Projektionsmatrix (Computer Vision) - Versionsgeschichte

2A02:8071:2282:183C:9022:C1A3:1560:1290: Math. Typografie: Lesbarkeit der zusammengesetzten Matrizen [ .. | .. ] verbessert; einen Bindestrich eingefügt.

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Math. Typografie: Lesbarkeit der zusammengesetzten Matrizen [ .. | .. ] verbessert; einen Bindestrich eingefügt.

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	:<math>		:<math>
	\mathbf{P}=\mathbf{KR}[\mathbf{I}\|-\mathbf{C}]		\mathbf{P}=\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}\cdot[\mathbf{I} \mid -\mathbf{C}]
	</math>		</math>
	(<math>\mathbf{I}</math> ist die 3×3 [[Einheitsmatrix]]). Da <math>[\mathbf{I}\|-\mathbf{C}]</math> eine 3×4 große Matrix ist, ist <math>\mathbf{P}</math> ebenfalls 3×4 groß. <math>\mathbf{P}</math> ist somit eindeutig bestimmt.		(<math>\mathbf{I}</math> ist die 3×3-[[Einheitsmatrix]]). Da <math>[\mathbf{I} \mid -\mathbf{C}]</math> eine 3×4 große Matrix ist, ist <math>\mathbf{P}</math> ebenfalls 3×4 groß. <math>\mathbf{P}</math> ist somit eindeutig bestimmt.

	Der Vorteil der Projektionsmatrix gegenüber anderen Darstellungsformen wie der [[Kollinearitätsgleichung]] ist ihre kompakte Darstellung in einer einzigen Matrix. Dadurch entfällt die explizite Angabe der einzelnen Orientierungsparameter. Auch etwaige Unklarheiten über die Reihenfolge der Transformationsschritte treten nicht auf. Sie wird überall angewendet, wo entsprechende Abbildungen durch eine Kamera durchgeführt werden. Dies ist zum Beispiel auf den Gebieten der [[Photogrammetrie]] bei der Bestimmung von 3D-Koordinaten und der Kalibrierung, [[Maschinelles Sehen\|Computer Vision]] und in der [[Projektive Geometrie\|projektiven Geometrie]] der Fall. Meist wird von den aufgezeichneten Bildpunkten auf die Koordinaten der beobachteten Objektpunkte rückgerechnet.		Der Vorteil der Projektionsmatrix gegenüber anderen Darstellungsformen wie der [[Kollinearitätsgleichung]] ist ihre kompakte Darstellung in einer einzigen Matrix. Dadurch entfällt die explizite Angabe der einzelnen Orientierungsparameter. Auch etwaige Unklarheiten über die Reihenfolge der Transformationsschritte treten nicht auf. Sie wird überall angewendet, wo entsprechende Abbildungen durch eine Kamera durchgeführt werden. Dies ist zum Beispiel auf den Gebieten der [[Photogrammetrie]] bei der Bestimmung von 3D-Koordinaten und der Kalibrierung, [[Maschinelles Sehen\|Computer Vision]] und in der [[Projektive Geometrie\|projektiven Geometrie]] der Fall. Meist wird von den aufgezeichneten Bildpunkten auf die Koordinaten der beobachteten Objektpunkte rückgerechnet.
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	Die Elemente von <math>\mathbf{P}</math> sind geometrisch deutbar. Die Zeilen <math>p^i</math> der Matrix <math>\mathbf{P}</math> sind 4-Vektoren und können als [[Ebene (Mathematik)\|Ebenen]] im projektiven Raum <math>\mathbb{P}^3</math> angesehen werden. Diese 3 Ebenen schneiden sich im Projektionszentrum <math>\mathbf{C}</math>. Die Spalten <math>p_i</math> sind 3-Vektoren. Die ersten drei Spalten <math>p_1, p_2, p_3</math> sind die Abbildungen des Weltkoordinatensystems und entsprechen den Fluchtpunkten der X-, Y- beziehungsweise Z-Achse. Die letzte Spalte <math>p_4</math> ist die Abbildung des [[Koordinatenursprung\|Ursprungs]] des Weltkoordinatensystems.		Die Elemente von <math>\mathbf{P}</math> sind geometrisch deutbar. Die Zeilen <math>p^i</math> der Matrix <math>\mathbf{P}</math> sind 4-Vektoren und können als [[Ebene (Mathematik)\|Ebenen]] im projektiven Raum <math>\mathbb{P}^3</math> angesehen werden. Diese 3 Ebenen schneiden sich im Projektionszentrum <math>\mathbf{C}</math>. Die Spalten <math>p_i</math> sind 3-Vektoren. Die ersten drei Spalten <math>p_1, p_2, p_3</math> sind die Abbildungen des Weltkoordinatensystems und entsprechen den Fluchtpunkten der X-, Y- beziehungsweise Z-Achse. Die letzte Spalte <math>p_4</math> ist die Abbildung des [[Koordinatenursprung\|Ursprungs]] des Weltkoordinatensystems.

	Da die Projektionsmatrix auf Grund der homogenen Darstellung nur bis auf einen Skalierungsfaktor λ bekannt ist, sollte sie dafür normiert werden. Dazu ist der Betrag und das [[Vorzeichen (Zahl)\|Vorzeichen]] des Normierungsfaktors zu bestimmen. Für den Betrag wird die erste 3×3-[[Teilmatrix]] <math>\mathbf{M}</math> von <math>\mathbf{P}=[\mathbf{M}\|\mathbf{t}]</math> betrachtet. Wenn <math>\mathbf{m}^3</math> die dritte Zeile von <math>\mathbf{M}</math> ist, so muss die gesamte Projektionsmatrix durch die [[Norm (Mathematik)\|Norm]] dieses Vektors dividiert werden. Das korrekte Vorzeichen ergibt sich aus der Bedingung <math>\det(\mathbf{M})>0</math>. Ist die [[Determinante (Mathematik)\|Determinante]] kleiner 0, muss das Vorzeichen aller Komponenten von <math>\mathbf{P}</math> invertiert werden.		Da die Projektionsmatrix auf Grund der homogenen Darstellung nur bis auf einen Skalierungsfaktor λ bekannt ist, sollte sie dafür normiert werden. Dazu ist der Betrag und das [[Vorzeichen (Zahl)\|Vorzeichen]] des Normierungsfaktors zu bestimmen. Für den Betrag wird die erste 3×3-[[Teilmatrix]] <math>\mathbf{M}</math> von <math>\mathbf{P}=[\mathbf{M} \mid \mathbf{t}]</math> betrachtet. Wenn <math>\mathbf{m}^3</math> die dritte Zeile von <math>\mathbf{M}</math> ist, so muss die gesamte Projektionsmatrix durch die [[Norm (Mathematik)\|Norm]] dieses Vektors dividiert werden. Das korrekte Vorzeichen ergibt sich aus der Bedingung <math>\det(\mathbf{M})>0</math>. Ist die [[Determinante (Mathematik)\|Determinante]] kleiner 0, muss das Vorzeichen aller Komponenten von <math>\mathbf{P}</math> invertiert werden.

	== Zerlegung der Projektionsmatrix ==		== Zerlegung der Projektionsmatrix ==

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2021-10-04T20:57:19Z

Ueberfluessiges Wort "Matrix" entfernt

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	Es ist möglich, aus <math>\mathbf{P}</math> wiederum die einzelnen Orientierungsparameter der Kamera zu berechnen. Für das Projektionszentrum <math>\mathbf{C}</math> gilt der Zusammenhang <math>\mathbf{PC}=0</math>. Diese Eigenschaft kann als [[lineares Gleichungssystem]] aufgefasst und mittels [[Singulärwertzerlegung]] gelöst werden. Dabei ist zu beachten, dass die Rechteckmatrix <math>\mathbf{P}</math> um eine Zeile mit Nullen ergänzt werden muss.		Es ist möglich, aus <math>\mathbf{P}</math> wiederum die einzelnen Orientierungsparameter der Kamera zu berechnen. Für das Projektionszentrum <math>\mathbf{C}</math> gilt der Zusammenhang <math>\mathbf{PC}=0</math>. Diese Eigenschaft kann als [[lineares Gleichungssystem]] aufgefasst und mittels [[Singulärwertzerlegung]] gelöst werden. Dabei ist zu beachten, dass die Rechteckmatrix <math>\mathbf{P}</math> um eine Zeile mit Nullen ergänzt werden muss.

	Die Rotationsmatrix <math>\mathbf{R}</math> und die Kalibrierungsmatrix <math>\mathbf{K}</math> extrahiert eine [[QR-Zerlegung]] aus der ersten ~~Matrix~~ 3×3 Teilmatrix <math>\mathbf{M}</math> von <math>\mathbf{P}</math>:		Die Rotationsmatrix <math>\mathbf{R}</math> und die Kalibrierungsmatrix <math>\mathbf{K}</math> extrahiert eine [[QR-Zerlegung]] aus der ersten 3×3 Teilmatrix <math>\mathbf{M}</math> von <math>\mathbf{P}</math>:

	:<math>		:<math>

Nessaalk: entsprechend = Präposition mit Dativ

2020-08-12T09:03:38Z

entsprechend = Präposition mit Dativ

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	=== Verzeichnungskorrektur ===		=== Verzeichnungskorrektur ===
	Bevor man mit der eigentlichen Bestimmung der Projektionsmatrix loslegen kann, muss man – entsprechend den Genauigkeitsanforderungen – vorhandene [[Verzeichnung]] im Bild vorher korrigieren. Die Verzeichnungsparameter müssen zuvor durch eine [[Computer Vision#Kamerakalibrierung\|Kamerakalibrierung]] bestimmt worden sein. Damit kann dann eine geeignete [[Computer Vision#Verzeichnungskorrektur\|Verzeichnungskorrektur]] durchgeführt werden. Das Bild kann danach als verzeichnungsfrei angesehen werden, d. h., die Bildpunkte stimmen mit den geraden Abbildungsstrahlen – entsprechend ~~des~~ ~~Lochkameramodells~~ – überein.		Bevor man mit der eigentlichen Bestimmung der Projektionsmatrix loslegen kann, muss man – entsprechend den Genauigkeitsanforderungen – vorhandene [[Verzeichnung]] im Bild vorher korrigieren. Die Verzeichnungsparameter müssen zuvor durch eine [[Computer Vision#Kamerakalibrierung\|Kamerakalibrierung]] bestimmt worden sein. Damit kann dann eine geeignete [[Computer Vision#Verzeichnungskorrektur\|Verzeichnungskorrektur]] durchgeführt werden. Das Bild kann danach als verzeichnungsfrei angesehen werden, d. h., die Bildpunkte stimmen mit den geraden Abbildungsstrahlen – entsprechend dem Lochkameramodell – überein.

	Oft ist die Bestimmung der Projektionsmatrix selbst Teil einer Kamerakalibrierung. Dann ist eine mehrstufige Vorgehensweise notwendig. Dabei werden in einem ersten Schritt so viele Parameter wie möglich mittels linearer kleinste Quadrate Ausgleichung bestimmt. Anschließend findet eine iterative Optimierung statt unter Berücksichtigung aller Modellparameter inklusive notwendiger Verzeichnungsparameter.<ref>{{Internetquelle \|autor=Berthold K.P. Horn \|url=http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Tsai_Revisited.pdf \|titel=Tsai’s camera calibration method revisited \|werk= \|hrsg= \|datum=2000 \|abruf=25.07.2020 \|sprache=en}}</ref>		Oft ist die Bestimmung der Projektionsmatrix selbst Teil einer Kamerakalibrierung. Dann ist eine mehrstufige Vorgehensweise notwendig. Dabei werden in einem ersten Schritt so viele Parameter wie möglich mittels linearer kleinste Quadrate Ausgleichung bestimmt. Anschließend findet eine iterative Optimierung statt unter Berücksichtigung aller Modellparameter inklusive notwendiger Verzeichnungsparameter.<ref>{{Internetquelle \|autor=Berthold K.P. Horn \|url=http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Tsai_Revisited.pdf \|titel=Tsai’s camera calibration method revisited \|werk= \|hrsg= \|datum=2000 \|abruf=25.07.2020 \|sprache=en}}</ref>

OlafTheScientist: /* Verzeichnungskorrektur */ Rechtschreibfehler korrigiert

2020-07-25T01:53:32Z

Verzeichnungskorrektur: Rechtschreibfehler korrigiert

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	Bevor man mit der eigentlichen Bestimmung der Projektionsmatrix loslegen kann, muss man – entsprechend den Genauigkeitsanforderungen – vorhandene [[Verzeichnung]] im Bild vorher korrigieren. Die Verzeichnungsparameter müssen zuvor durch eine [[Computer Vision#Kamerakalibrierung\|Kamerakalibrierung]] bestimmt worden sein. Damit kann dann eine geeignete [[Computer Vision#Verzeichnungskorrektur\|Verzeichnungskorrektur]] durchgeführt werden. Das Bild kann danach als verzeichnungsfrei angesehen werden, d. h., die Bildpunkte stimmen mit den geraden Abbildungsstrahlen – entsprechend des Lochkameramodells – überein.		Bevor man mit der eigentlichen Bestimmung der Projektionsmatrix loslegen kann, muss man – entsprechend den Genauigkeitsanforderungen – vorhandene [[Verzeichnung]] im Bild vorher korrigieren. Die Verzeichnungsparameter müssen zuvor durch eine [[Computer Vision#Kamerakalibrierung\|Kamerakalibrierung]] bestimmt worden sein. Damit kann dann eine geeignete [[Computer Vision#Verzeichnungskorrektur\|Verzeichnungskorrektur]] durchgeführt werden. Das Bild kann danach als verzeichnungsfrei angesehen werden, d. h., die Bildpunkte stimmen mit den geraden Abbildungsstrahlen – entsprechend des Lochkameramodells – überein.

	Oft ist die Bestimmung der Projektionsmatrix selbst Teil einer Kamerakalibrierung. Dann ist eine mehrstufige Vorgehensweise notwendig. Dabei werden in einem ersten Schritt so viele Parameter wie möglich mittels linearer kleinste Quadrate Ausgleichung bestimmt. ~~Anschliessend~~ findet eine iterative Optimierung statt unter Berücksichtigung aller Modellparameter inklusive notwendiger Verzeichnungsparameter.<ref>{{Internetquelle \|autor=Berthold K.P. Horn \|url=http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Tsai_Revisited.pdf \|titel=Tsai’s camera calibration method revisited \|werk= \|hrsg= \|datum=2000 \|abruf=25.07.2020 \|sprache=en}}</ref>		Oft ist die Bestimmung der Projektionsmatrix selbst Teil einer Kamerakalibrierung. Dann ist eine mehrstufige Vorgehensweise notwendig. Dabei werden in einem ersten Schritt so viele Parameter wie möglich mittels linearer kleinste Quadrate Ausgleichung bestimmt. Anschließend findet eine iterative Optimierung statt unter Berücksichtigung aller Modellparameter inklusive notwendiger Verzeichnungsparameter.<ref>{{Internetquelle \|autor=Berthold K.P. Horn \|url=http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Tsai_Revisited.pdf \|titel=Tsai’s camera calibration method revisited \|werk= \|hrsg= \|datum=2000 \|abruf=25.07.2020 \|sprache=en}}</ref>

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==

JonskiC: +link

2020-07-25T00:02:12Z

+link

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2020, 02:02 Uhr
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	==== Geometrisches Fehlermaß ====		==== Geometrisches Fehlermaß ====
	[[Datei:Passpunktfeld.png\|~~thumb~~\|'''Passpunktfeld''' mit Marken]]		[[Datei:Passpunktfeld.png\|mini\|'''Passpunktfeld''' mit Marken]]

	Sind sehr genau vermessene Weltkoordinaten <math>\mathbf{X_i}</math> wie bei der Benutzung eines ausgemessenen [[Passpunkt]]feldes vorhanden, kann der geometrische Fehler ''d'' im Bild definiert werden:		Sind sehr genau vermessene Weltkoordinaten <math>\mathbf{X_i}</math> wie bei der Benutzung eines ausgemessenen [[Passpunkt]]feldes vorhanden, kann der geometrische Fehler ''d'' im Bild definiert werden:
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	</math>		</math>

	Dabei sind <math>\mathbf{x}_i</math> die gemessenen Bildpunkte und <math>\hat{\mathbf{x}}_i</math> der Punkt <math>\mathbf{PX}_i</math>. Wenn die Fehler [[Normalverteilung\|normalverteilt]] sind, dann ist die Lösung		Dabei sind <math>\mathbf{x}_i</math> die gemessenen Bildpunkte und <math>\hat{\mathbf{x}}_i</math> der Punkt <math>\mathbf{PX}_i</math>. Wenn die [[Störgröße und Residuum\|Fehler]] [[Normalverteilung\|normalverteilt]] sind, dann ist die Lösung

	:<math>		:<math>

OlafTheScientist: /* Verzeichnungskorrektur */ Problembeschreibung bei Bestimmung der Projektionsmatrix im Rahmen einer Kamerakalibrierung (Quelle: Horn)

2020-07-24T23:51:28Z

Verzeichnungskorrektur: Problembeschreibung bei Bestimmung der Projektionsmatrix im Rahmen einer Kamerakalibrierung (Quelle: Horn)

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2020, 01:51 Uhr
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	=== Verzeichnungskorrektur ===		=== Verzeichnungskorrektur ===
	Bevor man mit der eigentlichen Bestimmung der Projektionsmatrix loslegen kann, muss man – entsprechend den Genauigkeitsanforderungen – vorhandene [[Verzeichnung]] im Bild vorher korrigieren. Die Verzeichnungsparameter müssen zuvor durch eine [[Computer Vision#Kamerakalibrierung\|Kamerakalibrierung]] bestimmt worden sein. Damit kann dann eine geeignete [[Computer Vision#Verzeichnungskorrektur\|Verzeichnungskorrektur]] durchgeführt werden. Das Bild kann danach als verzeichnungsfrei angesehen werden, d. h., die Bildpunkte stimmen mit den geraden Abbildungsstrahlen – entsprechend des Lochkameramodells – überein.		Bevor man mit der eigentlichen Bestimmung der Projektionsmatrix loslegen kann, muss man – entsprechend den Genauigkeitsanforderungen – vorhandene [[Verzeichnung]] im Bild vorher korrigieren. Die Verzeichnungsparameter müssen zuvor durch eine [[Computer Vision#Kamerakalibrierung\|Kamerakalibrierung]] bestimmt worden sein. Damit kann dann eine geeignete [[Computer Vision#Verzeichnungskorrektur\|Verzeichnungskorrektur]] durchgeführt werden. Das Bild kann danach als verzeichnungsfrei angesehen werden, d. h., die Bildpunkte stimmen mit den geraden Abbildungsstrahlen – entsprechend des Lochkameramodells – überein.

			Oft ist die Bestimmung der Projektionsmatrix selbst Teil einer Kamerakalibrierung. Dann ist eine mehrstufige Vorgehensweise notwendig. Dabei werden in einem ersten Schritt so viele Parameter wie möglich mittels linearer kleinste Quadrate Ausgleichung bestimmt. Anschliessend findet eine iterative Optimierung statt unter Berücksichtigung aller Modellparameter inklusive notwendiger Verzeichnungsparameter.<ref>{{Internetquelle \|autor=Berthold K.P. Horn \|url=http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Tsai_Revisited.pdf \|titel=Tsai’s camera calibration method revisited \|werk= \|hrsg= \|datum=2000 \|abruf=25.07.2020 \|sprache=en}}</ref>

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==

OlafTheScientist: Abschnitt /* radiale Verzeichnung */ entfernt und nach Artikel "Computer Vision"#Verzeichnungskorrektur verschoben und entsprechend verlinkt; stattdessen neuen Unterabschnitt "Verzeichnungskorrektur" eingefügt

2020-07-24T23:21:15Z

Abschnitt radiale Verzeichnung: entfernt und nach Artikel "Computer Vision"#Verzeichnungskorrektur verschoben und entsprechend verlinkt; stattdessen neuen Unterabschnitt "Verzeichnungskorrektur" eingefügt

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2020, 01:21 Uhr
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	Voraussetzung für die Berechnung von <math>\mathbf{P}</math> ist, dass mehr als sechs Punktkorrespondenzen vorhanden sind. Ziel ist es dann, die Maximum-Likelihood-Schätzung von <math>\mathbf{P}</math> zu bestimmen. Da die Maximum-Likelihood-Methode gute Startwerte für die Minimierung benötigt, wird davor eine Lösung von <math>\mathbf{P}</math> mittels des algebraischen Fehlermaßes bestimmt. Zusätzlich werden die Eingangsdaten normalisiert. Dabei werden alle Bildpunkte so verschoben, dass ihr Schwerpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Danach werden sie so skaliert, dass der durchschnittliche Abstand zum Ursprung <math>\sqrt{2}</math> beträgt. Die Objektpunkte werden auch in den Ursprung verschoben und so skaliert, dass der durchschnittliche Abstand zum Ursprung <math>\sqrt{3}</math> ist. Diese Vorgehensweise führt zu numerisch stabileren Ergebnissen. Die jeweiligen Transformationen <math>\mathbf{T}</math> der Bildpunkte und <math>\mathbf{U}</math> der Objektpunkte müssen nach Berechnung von <math>\mathbf{P}</math> rückgängig gemacht werden.		Voraussetzung für die Berechnung von <math>\mathbf{P}</math> ist, dass mehr als sechs Punktkorrespondenzen vorhanden sind. Ziel ist es dann, die Maximum-Likelihood-Schätzung von <math>\mathbf{P}</math> zu bestimmen. Da die Maximum-Likelihood-Methode gute Startwerte für die Minimierung benötigt, wird davor eine Lösung von <math>\mathbf{P}</math> mittels des algebraischen Fehlermaßes bestimmt. Zusätzlich werden die Eingangsdaten normalisiert. Dabei werden alle Bildpunkte so verschoben, dass ihr Schwerpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Danach werden sie so skaliert, dass der durchschnittliche Abstand zum Ursprung <math>\sqrt{2}</math> beträgt. Die Objektpunkte werden auch in den Ursprung verschoben und so skaliert, dass der durchschnittliche Abstand zum Ursprung <math>\sqrt{3}</math> ist. Diese Vorgehensweise führt zu numerisch stabileren Ergebnissen. Die jeweiligen Transformationen <math>\mathbf{T}</math> der Bildpunkte und <math>\mathbf{U}</math> der Objektpunkte müssen nach Berechnung von <math>\mathbf{P}</math> rückgängig gemacht werden.

			=== Verzeichnungskorrektur ===
	== Radiale Verzeichnung ==
			Bevor man mit der eigentlichen Bestimmung der Projektionsmatrix loslegen kann, muss man – entsprechend den Genauigkeitsanforderungen – vorhandene [[Verzeichnung]] im Bild vorher korrigieren. Die Verzeichnungsparameter müssen zuvor durch eine [[Computer Vision#Kamerakalibrierung\|Kamerakalibrierung]] bestimmt worden sein. Damit kann dann eine geeignete [[Computer Vision#Verzeichnungskorrektur\|Verzeichnungskorrektur]] durchgeführt werden. Das Bild kann danach als verzeichnungsfrei angesehen werden, d. h., die Bildpunkte stimmen mit den geraden Abbildungsstrahlen – entsprechend des Lochkameramodells – überein.
	[[Datei:Geometrical Aberration de.svg\|thumb\|upright=2\|Bei Objektiven mit Verzeichnung wird ein Rechteck nicht maßstabsgetreu abgebildet]]

	Bisher wurde davon ausgegangen, dass die Bilder [[Verzeichnung\|verzeichnungsfrei]] sind. Nur bei sehr hochwertigen Objektiven ist das im Rahmen der erforderlichen Genauigkeit richtig. Daher muss der Fehler so korrigiert werden, als wenn die Bilder von einer perfekten linearen Kamera ([[Lochkamera]]) aufgenommen worden wären. Da die Linsenverzeichnung bei der ursprünglichen Abbildung des Objektpunktes auf das Bild auftritt, wird der dabei entstandene Fehler modelliert mit folgender Gleichung:

	:<math>
	\begin{pmatrix}
	y_d \\
	x_d
	\end{pmatrix}
	=L(\tilde r)
	\begin{pmatrix}
	\tilde y \\
	\tilde x
	\end{pmatrix}
	</math>

	Dabei sind

	* <math>(\tilde x, \tilde y)</math> die idealen Bildpunkte ohne Verzeichnung,
	* <math>x_d, y_d</math> die verzeichneten Bildkoordinaten,
	* <math>\tilde r</math> der radialen Abstand <math>\sqrt{\tilde{x}^2 + \tilde{y}^2}</math> vom Verzeichnungszentrum (meist Bildmitte) und
	* <math>L(\tilde r)</math> der Verzeichnisfaktor, welcher nur von <math>\tilde r</math> abhängig ist.

	Die Korrektur geschieht dann mittels

	:<math>
	\hat x = x_c + L(r)(x-x_c) \quad \hat y = y_c + L(r)(y-y_c)
	</math>

	<math>x</math> und <math>y</math> sind die gemessenen, <math>\hat x</math> und <math>\hat y</math> die korrigierten Bildkoordinaten und <math>x_c</math>, <math>y_c</math> das Zentrum der Verzeichnung mit <math>r^2=(x-x_c)^2+(y-y_c)^2</math>. <math>L</math> ist nur definiert bei positiven <math>r</math>. Eine Annäherung geschieht meist mittels [[Taylorreihe\|Taylor-Approximation]]. <math>L</math> ist dann

	:<math>
	L(r)=1+k_1r + k_2r^2 + k_3r^3 + \ldots
	</math>

	Die Koeffizienten <math>k_i</math> sind Teil der inneren Kalibrierung der Kamera. Sie werden meist mittels iterativer Verfahren bestimmt. Dabei wird das Bild von Geraden benutzt. Diese müssen sich bei richtiger Korrektur in Geraden abbilden. Die Minimierung einer Kostenfunktion (zum Beispiel der Abstand der Linienenden zum Mittelpunkt) liefert dann die Lösung. Diese Methode ist auch als ''Plumbline-Kalibrierung'' bekannt.<ref>{{Literatur \|Autor=Thomas Luhmann \|Titel=Nahbereichsphotogrammetrie \|Verlag=Wichmann \|Ort=Heidelberg \|Datum=2003 \|ISBN=3-87907-398-8}}</ref>

	Der Hauptpunkt wird meist als Zentrum der Verzeichnung angenommen. Die Verzeichniskorrektur zusammen mit der Kamerakalibrierungsmatrix beschreibt damit vollständig die Abbildung des Objektpunktes auf einen Bildpunkt.

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==

Girus: WL, lf

2020-06-11T10:19:53Z

WL, lf

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juni 2020, 12:19 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	[[Datei:Lochkamera-Prinzip 2.svg\|mini\|Modell einer Lochkamera. Die Abbildung des 3D-Objektes kann mathematisch mit der Projektionsmatrix beschrieben werden.]]		[[Datei:Lochkamera-Prinzip 2.svg\|mini\|Modell einer Lochkamera. Die Abbildung des 3D-Objektes kann mathematisch mit der Projektionsmatrix beschrieben werden.]]

	Nimmt eine Kamera ein Objekt auf, so bildet sich das Objekt auf dem Kamerabild ab. Diese Abbildung (auch Projektion genannt) wird mathematisch durch die so genannte '''Projektionsmatrix''' <math>\mathbf{P}</math> beschrieben. Diese ist eine spezielle [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]] aus dem Bereich [[~~Computer_Vision\|~~Computer Vision]] und beschreibt die [[Zentralprojektion\|perspektivische]] Abbildung eines dreidimensionalen Objektpunktes an die zweidimensionale Bildposition.		Nimmt eine Kamera ein Objekt auf, so bildet sich das Objekt auf dem Kamerabild ab. Diese Abbildung (auch Projektion genannt) wird mathematisch durch die so genannte '''Projektionsmatrix''' <math>\mathbf{P}</math> beschrieben. Diese ist eine spezielle [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]] aus dem Bereich [[Computer Vision]] und beschreibt die [[Zentralprojektion\|perspektivische]] Abbildung eines dreidimensionalen Objektpunktes an die zweidimensionale Bildposition.

	== Einleitung und Anwendung ==		== Einleitung und Anwendung ==
Zeile 35:		Zeile 35:
	# dem Scherungswinkel Θ zwischen den Bildachsen.		# dem Scherungswinkel Θ zwischen den Bildachsen.

	Zusammengefasst wird das in der ~~Kalibrierungsmatrix~~ <math>\mathbf{K}</math>:		Zusammengefasst wird das in der [[Kalibrierung]]smatrix <math>\mathbf{K}</math>:

	:<math>		:<math>

OlafTheScientist: Link "Maschinelles Sehen" geändert auf "Computer_Vision" ;Kategorie "Photogrammetrie" geändert auf "Computer_Vision"

2020-06-09T23:20:39Z

Link "Maschinelles Sehen" geändert auf "Computer_Vision" ;Kategorie "Photogrammetrie" geändert auf "Computer_Vision"

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 01:20 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	[[Datei:Lochkamera-Prinzip 2.svg\|mini\|Modell einer Lochkamera. Die Abbildung des 3D-Objektes kann mathematisch mit der Projektionsmatrix beschrieben werden.]]		[[Datei:Lochkamera-Prinzip 2.svg\|mini\|Modell einer Lochkamera. Die Abbildung des 3D-Objektes kann mathematisch mit der Projektionsmatrix beschrieben werden.]]

	Nimmt eine Kamera ein Objekt auf, so bildet sich das Objekt auf dem Kamerabild ab. Diese Abbildung (auch Projektion genannt) wird mathematisch durch die so genannte '''Projektionsmatrix''' <math>\mathbf{P}</math> beschrieben. Diese ist eine spezielle [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]] aus dem Bereich [[~~Maschinelles Sehen~~\|Computer Vision]] und beschreibt die [[Zentralprojektion\|perspektivische]] Abbildung eines dreidimensionalen Objektpunktes an die zweidimensionale Bildposition.		Nimmt eine Kamera ein Objekt auf, so bildet sich das Objekt auf dem Kamerabild ab. Diese Abbildung (auch Projektion genannt) wird mathematisch durch die so genannte '''Projektionsmatrix''' <math>\mathbf{P}</math> beschrieben. Diese ist eine spezielle [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]] aus dem Bereich [[Computer_Vision\|Computer Vision]] und beschreibt die [[Zentralprojektion\|perspektivische]] Abbildung eines dreidimensionalen Objektpunktes an die zweidimensionale Bildposition.

	== Einleitung und Anwendung ==		== Einleitung und Anwendung ==
Zeile 217:		Zeile 217:
	[[Kategorie:Matrix]]		[[Kategorie:Matrix]]
	[[Kategorie:Analytische Geometrie]]		[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
	[[Kategorie:~~Photogrammetrie~~]]		[[Kategorie:Computer_Vision]]

OlafTheScientist: OlafTheScientist verschob die Seite Projektionsmatrix (Photogrammetrie) nach Projektionsmatrix (Computer Vision): die hier beschriebene Projektionsmatrix kommt aus dem Fachgebiet Computer Vision und nicht aus der Photogrammetrie. In der Photogrammetrie verwendet man stattdessen meistens die Kollinearitätsgleichung.

2020-05-05T11:54:30Z

OlafTheScientist verschob die Seite Projektionsmatrix (Photogrammetrie) nach Projektionsmatrix (Computer Vision): die hier beschriebene Projektionsmatrix kommt aus dem Fachgebiet Computer Vision und nicht aus der Photogrammetrie. In der Photogrammetrie verwendet man stattdessen meistens die Kollinearitätsgleichung.

← Nächstältere Version	Version vom 5. Mai 2020, 13:54 Uhr
(kein Unterschied)