Positive Operator Valued Probability Measure - Versionsgeschichte

Crazy1880: Vorlagen-fix (arXiv)

2021-03-21T18:34:56Z

Vorlagen-fix (arXiv)

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	\|Datum=2002		\|Datum=2002
	\|Seiten=41–60		\|Seiten=41–60
	\|~~arxiv~~=math/0107091}}		\|arXiv=math/0107091}}

	[[Kategorie:Quantenmechanik]]		[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Orthographus: \colon

2020-06-04T19:03:09Z

\colon

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Zeile 3:		Zeile 3:
	== Definition ==		== Definition ==
	Ein POVM auf einem [[Messraum (Mathematik)\|Messraum]] <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> ist eine [[Abbildung (Mathematik)\|Abbildung]]		Ein POVM auf einem [[Messraum (Mathematik)\|Messraum]] <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> ist eine [[Abbildung (Mathematik)\|Abbildung]]
	<math>\mu:\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})</math> mit Werten in der Menge der beschränkten linearen [[Operator (Mathematik)\|Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal{H}</math>, die folgenden drei Bedingungen genügt:		<math>\mu\colon\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})</math> mit Werten in der Menge der beschränkten linearen [[Operator (Mathematik)\|Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal{H}</math>, die folgenden drei Bedingungen genügt:

	* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].		* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].

IvanP: Die Großschreibung gilt auch „für nichtsubstantivische Wörter, wenn sie am Anfang einer Zusammensetzung mit Bindestrich stehen, die als Ganzes die Eigenschaften eines Substantivs hat“ (§ 55(1)).

2018-11-20T15:37:58Z

Die Großschreibung gilt auch „für nichtsubstantivische Wörter, wenn sie am Anfang einer Zusammensetzung mit Bindestrich stehen, die als Ganzes die Eigenschaften eines Substantivs hat“ (§ 55(1)).

← Nächstältere Version		Version vom 20. November 2018, 17:37 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math> gegeben durch <math> p_i=\operatorname{Tr}(\rho {E}_i )</math>.		ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math> gegeben durch <math> p_i=\operatorname{Tr}(\rho {E}_i )</math>.

	Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[Quantenmechanische Messung\|Von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = \|\psi_i \rangle \langle \psi_i\|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine ~~von~~-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.		Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[Quantenmechanische Messung\|Von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = \|\psi_i \rangle \langle \psi_i\|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine Von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

	Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.		Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.

HilberTraum: /* Verwendung in der Quantenmechanik */ Link korr.; k

2017-11-18T17:06:32Z

Verwendung in der Quantenmechanik: Link korr.; k

← Nächstältere Version		Version vom 18. November 2017, 19:06 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	=== Verwendung in der Quantenmechanik ===		=== Verwendung in der Quantenmechanik ===
	In der [[Quantenmechanik]] treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten <math> {E}_i </math>, die folgendes erfüllen:		In der [[Quantenmechanik]] treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten <math> {E}_i </math>, die folgendes erfüllen:
	* <math>0\leq E_i \leq I</math>, hier ist <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]]. Insbesondere sind die <math>E_i</math> [[Semidefinit#Definitheit von ~~Bilinearformen und Sesquilinearformen~~\|positiv semidefinit]].		* <math>0\leq E_i \leq I</math>, hier ist <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]]. Insbesondere sind die <math>E_i</math> [[Semidefinit#Definitheit von Matrizen\|positiv semidefinit]].
	* <math>\sum_i E_i = I</math>		* <math>\sum_i E_i = I</math>
	Die <math>E_i</math> beschreiben die verschiedenen Messergebnisse, ~~wenn~~ das System im Zustand <math>\rho</math>		Die <math>E_i</math> beschreiben die verschiedenen Messergebnisse: Wenn das System im Zustand <math>\rho</math>
	ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math> gegeben durch <math> p_i=Tr(\rho {E}_i )</math>.		ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math> gegeben durch <math> p_i=\operatorname{Tr}(\rho {E}_i )</math>.

	Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[Quantenmechanische Messung\|~~von~~-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = \|\psi_i \rangle \langle \psi_i\|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.		Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[Quantenmechanische Messung\|Von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = \|\psi_i \rangle \langle \psi_i\|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

	Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.		Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.

HilberTraum: /* Definition */ klein

2017-11-18T17:03:56Z

Definition: klein

← Nächstältere Version		Version vom 18. November 2017, 19:03 Uhr
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	<math>\mu:\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})</math> mit Werten in der Menge der beschränkten linearen [[Operator (Mathematik)\|Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal{H}</math>, die folgenden drei Bedingungen genügt:		<math>\mu:\mathcal{A}\to B(\mathcal{H})</math> mit Werten in der Menge der beschränkten linearen [[Operator (Mathematik)\|Operatoren]] eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal{H}</math>, die folgenden drei Bedingungen genügt:

	* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[~~Identische~~ Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].		* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].
	* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.		* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.
	* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt		* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt

HilberTraum: /* Einleitung */ + Link

2017-11-18T17:02:03Z

Einleitung: + Link

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Zeile 1:		Zeile 1:
	'''Positive Operator Valued (Probability) Measure''', abgekürzt als ''POVM'', ist eine Beschreibung des [[Quantenmechanische Messung\|quantenmechanischen Messprozesses]] in der [[Physik]]. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], dessen Werte positive Operatoren statt positiver Zahlen sind.		'''Positive Operator Valued (Probability) Measure''', abgekürzt als ''POVM'', ist eine Beschreibung des [[Quantenmechanische Messung\|quantenmechanischen Messprozesses]] in der [[Physik]]. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], dessen Werte [[Positiver Operator\|positive Operatoren]] statt positiver Zahlen sind.

	== Definition ==		== Definition ==

Nothingserious: Defekter Weblink -> funktionierende Literaturangabe

2017-11-18T15:48:02Z

Defekter Weblink -> funktionierende Literaturangabe

← Nächstältere Version		Version vom 18. November 2017, 17:48 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[Identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].		* Für alle <math>A\in \mathcal{A}</math> gilt <math>0\le \mu(A) \le \operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> (hier bezeichnet <math>\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math> die [[Identische Abbildung]] auf dem Hilbertraum). Das heißt, <math>\mu(A)</math> ist positiv und daher auch [[selbstadjungiert]].
	* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.		* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.
	* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt		* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt
	:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n),</math>		:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n),</math>
	:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[~~starke~~ Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.		:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[Starke Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.

	== Erläuterungen ==		== Erläuterungen ==
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	=== Verwendung in der Quantenmechanik ===		=== Verwendung in der Quantenmechanik ===
	In der [[Quantenmechanik]] treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten <math> {E}_i </math>, die folgendes erfüllen:		In der [[Quantenmechanik]] treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten <math> {E}_i </math>, die folgendes erfüllen:
	* <math>0\leq E_i \leq I</math>, hier ist <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]]. Insbesondere sind die <math>E_i</math> [[Semidefinit#~~Definitheit_von_Bilinearformen_und_Sesquilinearformen~~\|positiv semidefinit]].		* <math>0\leq E_i \leq I</math>, hier ist <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]]. Insbesondere sind die <math>E_i</math> [[Semidefinit#Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen\|positiv semidefinit]].
	* <math>\sum_i E_i = I</math>		* <math>\sum_i E_i = I</math>
	Die <math>E_i</math> beschreiben die verschiedenen Messergebnisse, wenn das System im Zustand <math>\rho</math>		Die <math>E_i</math> beschreiben die verschiedenen Messergebnisse, wenn das System im Zustand <math>\rho</math>
	ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math> gegeben durch <math> p_i=Tr(\rho {E}_i )</math>.		ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats <math>i</math> gegeben durch <math> p_i=Tr(\rho {E}_i )</math>.

	Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[~~quantenmechanische~~ Messung\|von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = \|\psi_i \rangle \langle \psi_i\|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.		Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer [[Quantenmechanische Messung\|von-Neumann-Messung]] (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die <math>E_i = \|\psi_i \rangle \langle \psi_i\|</math> Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

	Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.		Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.

	== ~~Weblinks~~ ==		== Literatur ==
			* {{Literatur
	* [http://gauss.dartmouth.edu/~jodyt/IPSI.2003.Trout.pdf Übersichtsartikel] (PDF, 159 kB)
			\|Autor=Diane Martinez, Jody Trout
			\|Titel=Asymptotic Spectral Measures, Quantum Mechanics, and E-theory
			\|Sammelwerk=Communications in Mathematical Physics
			\|Band=226
			\|Nummer=1
			\|Datum=2002
			\|Seiten=41–60
			\|arxiv=math/0107091}}

	[[Kategorie:Quantenmechanik]]		[[Kategorie:Quantenmechanik]]

HilberTraum: /* Definition */ so

2017-11-09T18:06:13Z

Definition: so

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2017, 20:06 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.		* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.
	* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt		* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt
	:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=0}^\infty \mu(A_n),</math>		:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n),</math>
	:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[starke Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.		:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[starke Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.

77.188.98.126: summation index corrected

2017-11-08T23:00:23Z

summation index corrected

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Zeile 8:		Zeile 8:
	* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.		* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.
	* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt		* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt
	:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{i=n}^\infty \mu(A_n),</math>		:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=0}^\infty \mu(A_n),</math>
	:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[starke Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.		:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[starke Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.

77.188.98.126: correction summation index

2017-11-08T22:59:36Z

correction summation index

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2017, 00:59 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.		* <math>\mu(\Omega)=\operatorname{id}_{\mathcal{H}}</math>.
	* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt		* Für jede Folge [[paarweise disjunkt]]er [[Menge (Mathematik)\|Mengen]] <math>(A_n\in \mathcal{A})_{n\in\mathbb{N}}</math> gilt
	:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_n),</math>		:<math>\mu\bigg(\biguplus_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{i=n}^\infty \mu(A_n),</math>
	:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[starke Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.		:wobei die unendliche [[Reihe (Mathematik)\|Reihe]] im Sinne der [[starke Operatortopologie\|starken Operatortopologie]] konvergiert.