Normaler Operator - Versionsgeschichte

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Verwandte Begriffe: einheitliche Interpunktion

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	Ein Operator <math>A\in\mathcal{L}(X)</math> heißt		Ein Operator <math>A\in\mathcal{L}(X)</math> heißt
	* ''quasinormal'', falls <math>A\,\!</math> mit <math>A^{\ast}A</math> vertauscht, das heißt <math>AA^{\ast}A=A^{\ast}AA</math>.		* ''quasinormal'', falls <math>A\,\!</math> mit <math>A^{\ast}A</math> vertauscht, das heißt <math>AA^{\ast}A=A^{\ast}AA</math>.
	* ''subnormal'', falls es einen Hilbertraum <math>Y</math> gibt, so dass <math>X</math> Unterraum von <math>Y</math> ist, und einen normalen Operator <math>B\in\mathcal{L}(Y)</math>, so dass <math>B(X)\subset X</math> und <math>A=B\|_X~~\,\!~~</math>		* ''subnormal'', falls es einen Hilbertraum <math>Y</math> gibt, so dass <math>X</math> Unterraum von <math>Y</math> ist, und einen normalen Operator <math>B\in\mathcal{L}(Y)</math>, so dass <math>B(X)\subset X</math> und <math>A=B\|_X</math>.
	* ''hyponormal'', falls <math>\\|A^{\ast}x\\| \le \\|Ax\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.		* ''hyponormal'', falls <math>\\|A^{\ast}x\\| \le \\|Ax\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
	* ''paranormal'', falls <math> \\|Ax\\|^2 \le \\|A^2x\\| \\|x\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.		* ''paranormal'', falls <math> \\|Ax\\|^2 \le \\|A^2x\\| \\|x\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.

Aka: https, Kleinkram

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https, Kleinkram

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	In der [[Funktionalanalysis]] verallgemeinert der '''normale Operator''' den Begriff der [[Normale Matrix\|normalen Matrix]] aus der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]].		In der [[Funktionalanalysis]] verallgemeinert der '''normale Operator''' den Begriff der [[Normale Matrix\|normalen Matrix]] aus der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]].

	== Definition ==		== Definition ==
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	== Literatur ==		== Literatur ==
	* [[Harro Heuser]]: ''Funktionalanalysis''. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.		* [[Harro Heuser]]: ''Funktionalanalysis''. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
	* [[Gerald Teschl]]: ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics'', American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. ([~~http~~://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ freie Online-Version])		* [[Gerald Teschl]]: ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics'', American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. ([https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ freie Online-Version])

	[[Kategorie:Funktionalanalysis]]		[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

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	== Definition ==		== Definition ==
	Ist <math>X</math> ein [[Hilbertraum]] und bezeichnet <math>\mathcal{L}(X)</math> die Menge aller [[~~Stetigkeit~~\|stetigen]] [[Endomorphismus\|Endomorphismen]] von <math>X</math>, so heißt ein Operator <math>A \in \mathcal{L}(X)</math> normal, falls er mit seinem [[Adjungierter Operator\|adjungierten Operator]] <math>A^{\ast}</math> kommutiert, also wenn		Ist <math>X</math> ein [[Hilbertraum]] und bezeichnet <math>\mathcal{L}(X)</math> die Menge aller [[Beschränkter Operator\|stetigen]] [[Endomorphismus\|Endomorphismen]] von <math>X</math>, so heißt ein Operator <math>A \in \mathcal{L}(X)</math> normal, falls er mit seinem [[Adjungierter Operator\|adjungierten Operator]] <math>A^{\ast}</math> kommutiert, also wenn

	:<math> A A^{\ast} = A^{\ast} A</math>		:<math> A A^{\ast} = A^{\ast} A</math>

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	* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.		* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.
	* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].		* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].
	* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz~~\|Spektralsatzes~~]].		* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz]]es.
	* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.		* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
	* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.		* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.
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	* ''hyponormal'', falls <math>\\|A^{\ast}x\\| \le \\|Ax\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.		* ''hyponormal'', falls <math>\\|A^{\ast}x\\| \le \\|Ax\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
	* ''paranormal'', falls <math> \\|Ax\\|^2 \le \\|A^2x\\| \\|x\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.		* ''paranormal'', falls <math> \\|Ax\\|^2 \le \\|A^2x\\| \\|x\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
	* ''normaloid'', falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\|; \lambda \in \sigma(A)\} </math>.		* ''normaloid'', falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\|; \lambda \in \sigma(A)\} </math>.

	Es gelten folgende Implikationen:		Es gelten folgende Implikationen:

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	* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].		* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].
	* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].		* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].
	* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.		* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
	* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.		* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.

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	* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].		* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].
	* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.		* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.
	* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem ~~„Realteil"~~ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.		* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.

	== Verwandte Begriffe ==		== Verwandte Begriffe ==

Christian1985: /* Definition */

2014-03-26T14:47:32Z

Definition

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Zeile 8:		Zeile 8:
	gilt.		gilt.

			== Beispiele ==
	[[Selbstadjungierter Operator\|Selbstadjungierte]] und [[Unitärer Operator\|unitäre]] Operatoren sind offenbar normal.		* [[Selbstadjungierter Operator\|Selbstadjungierte]] und [[Unitärer Operator\|unitäre]] Operatoren sind offenbar normal.
	Der [[Shift-Operator\|unilaterale Shift]] ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.		* Der [[Shift-Operator\|unilaterale Shift]] ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

	== Eigenschaften ==		== Eigenschaften ==

2001:4CA0:4103:3:219:99FF:FE6C:AE6E: /* Eigenschaften */

2013-10-14T11:50:23Z

Eigenschaften

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	* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.		* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.
	* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].		* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].
	* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[~~Spektralmaß~~\|Spektralsatzes]].		* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].
	* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.		* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.
	* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil" <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.		* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil" <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.

KLBot2: Bot: 7 Interwiki-Link(s) nach Wikidata (:d:Q854946) migriert

2013-04-01T00:14:27Z

Bot: 7 Interwiki-Link(s) nach Wikidata (d:Q854946) migriert

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	[[Kategorie:Funktionalanalysis]]		[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

	[[en:Normal operator]]
	[[fr:Endomorphisme normal]]
	[[it:Operatore normale]]
	[[ja:正規作用素]]
	[[nl:Normale operator]]
	[[pl:Operator normalny]]
	[[pt:Operador normal]]

Christian1985: /* Unbeschränkte Operatoren */ mit quantenmeschanik hat dasa uch nichts zu tun

2012-11-30T13:43:13Z

Unbeschränkte Operatoren: mit quantenmeschanik hat dasa uch nichts zu tun

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2012, 15:43 Uhr
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	:<math> \\| A x\\| = \\|A^\ast x\\|, \qquad \forall x\in D(A)=D(A^\ast)</math>		:<math> \\| A x\\| = \\|A^\ast x\\|, \qquad \forall x\in D(A)=D(A^\ast)</math>

	gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren ~~der [[Quantenmechanik]]~~ sind normal, denn für diese gilt <math>A^\ast = A</math>.		gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt <math>A^\ast = A</math>.

	== Literatur ==		== Literatur ==

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	* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.		* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.
	* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].		* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].
	* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz~~\|Spektralsatzes~~]].		* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz]]es.
	* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.		* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
	* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.		* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.
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	* ''hyponormal'', falls <math>\\|A^{\ast}x\\| \le \\|Ax\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.		* ''hyponormal'', falls <math>\\|A^{\ast}x\\| \le \\|Ax\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
	* ''paranormal'', falls <math> \\|Ax\\|^2 \le \\|A^2x\\| \\|x\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.		* ''paranormal'', falls <math> \\|Ax\\|^2 \le \\|A^2x\\| \\|x\\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
	* ''normaloid'', falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\|; \lambda \in \sigma(A)\} </math>.		* ''normaloid'', falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\|; \lambda \in \sigma(A)\} </math>.

	Es gelten folgende Implikationen:		Es gelten folgende Implikationen:

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	* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].		* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].
	* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].		* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].
	* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.		* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
	* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.		* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.

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	* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.		* Die [[Operatornorm]] von <math>A</math> ist gleich dem [[Spektralradius]]: <math> \\|A\\| = \sup\{\|\lambda\| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das [[Spektrum (Operatortheorie)\|Spektrum]] von <math>A</math>.
	* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].		* Die von <math>A</math> erzeugte [[C-Algebra\|C<sup></sup>-Algebra]] und die von <math>A</math> erzeugte [[Von-Neumann-Algebra]] sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen [[Funktionalkalkül]].
	* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[~~Spektralmaß~~\|Spektralsatzes]].		* Die [[Diagonalisierbarkeit]] normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des [[Spektralsatz\|Spektralsatzes]].
	* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.		* Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. [[Unitäre Abbildung\|unitärer]] Äquivalenz modulo [[kompakter Operator]]en, indem man zur [[Calkin-Algebra]] übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur [[Calkin-Algebra]] ausgeführt.
	* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil" <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.		* Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil" <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> [[Selbstadjungierter Operator\|selbstadjungiert]]. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.