Modulform - Versionsgeschichte

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	== Geschichte ==		== Geschichte ==
	Die Anfänge der Theorie gehen auf [[Carl Friedrich Gauß]] zurück, der Transformationen spezieller Modulformen unter der Modulgruppe im Rahmen seiner Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels im Komplexen betrachtete (ein Fundamentalbereich zu <math>\Gamma (2)</math> findet sich in seinen Aufzeichnungen schon 1805).<ref>Houzel: ''Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale.'' In: Dieudonné: ''Geschichte der Mathematik.'' Vieweg, 1985, S. 486 f.</ref> Begründer der klassischen (rein analytischen) Theorie der Modulformen des [[19. Jahrhundert]]s sind [[Richard Dedekind]], [[Felix Klein]], [[Leopold Kronecker]], [[Karl Weierstraß]], [[Carl Gustav Jacobi]], [[Gotthold Eisenstein]] und [[Henri Poincaré]]. Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung von Modulformen in der Zahlentheorie war der [[Satz von Jacobi (Zahlentheorie)\|Satz von Jacobi]] (Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch vier Quadrate). Die moderne Theorie der Modulformen entstand in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch [[Erich Hecke]] und [[Carl Ludwig Siegel]], die Anwendungen in der Zahlentheorie verfolgten. Hier spielt die Theorie der [[Hecke-Operator]]en, die im Raum der Modulformen wirken, und mit ihnen definierter [[Dirichletreihe]]n (Hecke L-Reihe) eine besondere Rolle. Modulformen in Termen der Darstellungstheorie stammen von [[Robert Langlands]] ([[Langlands-Programm]]). ''p''-adische Modulformen treten zuerst bei [[Nicholas Katz]] und [[Jean-Pierre Serre]] auf.		Die Anfänge der Theorie gehen auf [[Carl Friedrich Gauß]] zurück, der Transformationen spezieller Modulformen unter der Modulgruppe im Rahmen seiner Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels im Komplexen betrachtete (ein Fundamentalbereich zu <math>\Gamma (2)</math> findet sich in seinen Aufzeichnungen schon 1805).<ref>Houzel: ''Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale.'' In: Dieudonné: ''Geschichte der Mathematik.'' Vieweg, 1985, S. 486 f.</ref> Begründer der klassischen (rein analytischen) Theorie der Modulformen des [[19. Jahrhundert]]s sind [[Richard Dedekind]], [[Felix Klein (Mathematiker)\|Felix Klein]], [[Leopold Kronecker]], [[Karl Weierstraß]], [[Carl Gustav Jacobi]], [[Gotthold Eisenstein]] und [[Henri Poincaré]]. Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung von Modulformen in der Zahlentheorie war der [[Satz von Jacobi (Zahlentheorie)\|Satz von Jacobi]] (Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch vier Quadrate). Die moderne Theorie der Modulformen entstand in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch [[Erich Hecke]] und [[Carl Ludwig Siegel]], die Anwendungen in der Zahlentheorie verfolgten. Hier spielt die Theorie der [[Hecke-Operator]]en, die im Raum der Modulformen wirken, und mit ihnen definierter [[Dirichletreihe]]n (Hecke L-Reihe) eine besondere Rolle. Modulformen in Termen der Darstellungstheorie stammen von [[Robert Langlands]] ([[Langlands-Programm]]). ''p''-adische Modulformen treten zuerst bei [[Nicholas Katz]] und [[Jean-Pierre Serre]] auf.
	Modulformen spielten auch eine zentrale Rolle im Beweis der [[Großer fermatscher Satz\|Vermutung von Fermat]] ([[Modularitätssatz]], der wiederum ein Spezialfall der 2006 bewiesenen [[Serre-Vermutung]] ist), die Modulformen mit [[Galoisdarstellung]]en der [[absolute Galoisgruppe\|absoluten Galoisgruppe]] von [[Zahlkörper]]n verbindet. Sowohl beim Beweis der Lösung des Gaußschen [[Klassenzahlproblem]]s durch [[Kurt Heegner]] als auch des letzten Teils der [[Weil-Vermutungen]] (Riemann-Hypothese) und damit verbunden der [[Ramanujan-Vermutung]] durch [[Pierre Deligne]] spielten Modulformen eine wichtige Rolle wie auch beim Beweis von [[Maryna Viazovska]] (2016), dass das E8-Gitter in acht Dimensionen und das [[Leech-Gitter]] in 24 Dimensionen dichteste Kugelpackungen liefern (die Thetafunktionen dieser beiden Gitter sind Modulformen, siehe unten).		Modulformen spielten auch eine zentrale Rolle im Beweis der [[Großer fermatscher Satz\|Vermutung von Fermat]] ([[Modularitätssatz]], der wiederum ein Spezialfall der 2006 bewiesenen [[Serre-Vermutung]] ist), die Modulformen mit [[Galoisdarstellung]]en der [[absolute Galoisgruppe\|absoluten Galoisgruppe]] von [[Zahlkörper]]n verbindet. Sowohl beim Beweis der Lösung des Gaußschen [[Klassenzahlproblem]]s durch [[Kurt Heegner]] als auch des letzten Teils der [[Weil-Vermutungen]] (Riemann-Hypothese) und damit verbunden der [[Ramanujan-Vermutung]] durch [[Pierre Deligne]] spielten Modulformen eine wichtige Rolle wie auch beim Beweis von [[Maryna Viazovska]] (2016), dass das E8-Gitter in acht Dimensionen und das [[Leech-Gitter]] in 24 Dimensionen dichteste Kugelpackungen liefern (die Thetafunktionen dieser beiden Gitter sind Modulformen, siehe unten).
	Modulformen kodieren häufig arithmetische Informationen der algebraischen Zahlkörper, sind aber viel einfacher rechnerisch zugänglich, teilweise schon mit Computeralgebra-Programmen, und die Anzahl linear unabhängiger Modulformen bestimmten Typs ist beschränkt.		Modulformen kodieren häufig arithmetische Informationen der algebraischen Zahlkörper, sind aber viel einfacher rechnerisch zugänglich, teilweise schon mit Computeralgebra-Programmen, und die Anzahl linear unabhängiger Modulformen bestimmten Typs ist beschränkt.

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	:<math>f(-1/z) = z^k f(z), \qquad f(z+1) = f(z)</math>		:<math>f(-1/z) = z^k f(z), \qquad f(z+1) = f(z)</math>

	und aus letzterer Gleichung ergibt sich, dass die Modulform periodisch ist. Daher ist die Fourierentwicklung <math>\tilde f(q)</math> für <math>0<\|q\|<1</math> wohldefiniert und holomorph bzw. meromorph. Mit den Fourierkoeffizienten <math>a_n</math> hat man die Fourierreihe (auch q-Entwicklung genannt)		und aus letzterer Gleichung ergibt sich, dass die Modulform periodisch ist. Daher ist die Fourierentwicklung <math>\tilde f(q)</math> für <math>0<\|q\|<1</math> wohldefiniert und holomorph bzw. meromorph. Mit den Fourierkoeffizienten <math>a_n</math> hat man die [[Fourierreihe]] (auch q-Entwicklung genannt)

	:<math>f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2\pi\mathrm i \,nz}= \sum_{n=-m}^\infty a_n q^n</math>,		:<math>f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2\pi\mathrm i \,nz}= \sum_{n=-m}^\infty a_n q^n</math>,
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	:<math>E_k(\tau +1 ) = E_k(\tau )</math>		:<math>E_k(\tau +1 ) = E_k(\tau )</math>

	Der Zusammenhang mit Gittern ergibt auch eine Verbindung von Modulformen zu [[Elliptische Funktion\|elliptischen Funktionen]], die als doppeltperiodische, meromorphe Funktionen auf einem solchen Gitter definiert sind (werden die Seiten des Gitters miteinander identifiziert, ergibt sich ein Torus mit topologischem [[Geschlecht (Fläche)\|Geschlecht]] <math>g=1</math>, die [[Riemannsche Fläche]] der elliptischen Funktionen). Am einfachsten wird das durch Betrachtung der [[Weierstraßsche ℘-Funktion\|Weierstraßschen ℘-Funktion]] deutlich. Meromorphe Modulformen vom Gewicht 0 sind auf den Isomorphieklassen der den elliptischen Funktionen zugrundeliegenden Gittern definiert. Die j-Invariante einer elliptischen Funktion kennzeichnet diese Isomorphieklassen, die damit von dieser Funktion der oberen Halbebene eindeutig parametrisiert werden. Sie ist eine Modulform vom Gewicht 0 und lässt sich als rationale Funktion aus Eisensteinreihen vom Gewicht 4 und 6 bilden, mit der [[Diskriminante (Modulform)\|modularen Diskriminante]] im Nenner, einer Modulfunktion vom Gewicht 12 (sie steht wiederum mit der [[Dedekindsche η-Funktion\|Dedekindschen η-Funktion]] in Verbindung). Die j-Funktion hat viele interessante Eigenschaften, die sie wichtig für die Zahlentheorie (Konstruktion algebraischer Zahlkörper) und Gruppentheorie (die Fourierkoeffizienten ihrer q-Entwicklung stehen mit der Darstellung der [[Monstergruppe]] in Verbindung, ''moonshine'') machen.		Der Zusammenhang mit Gittern ergibt auch eine Verbindung von Modulformen zu [[Elliptische Funktion\|elliptischen Funktionen]], die als doppeltperiodische, meromorphe Funktionen auf einem solchen Gitter definiert sind (werden die Seiten des Gitters miteinander identifiziert, ergibt sich ein Torus mit topologischem [[Geschlecht (Fläche)\|Geschlecht]] <math>g=1</math>, die [[Riemannsche Fläche]] der elliptischen Funktionen). Am einfachsten wird das durch Betrachtung der [[Weierstraßsche ℘-Funktion\|Weierstraßschen ℘-Funktion]] deutlich. Meromorphe Modulformen vom Gewicht 0 sind auf den Isomorphieklassen der den elliptischen Funktionen zugrundeliegenden Gittern definiert. Die j-Invariante einer elliptischen Funktion kennzeichnet diese Isomorphieklassen, die damit von dieser Funktion der oberen Halbebene eindeutig parametrisiert werden. Sie ist eine Modulform vom Gewicht 0 und lässt sich als [[rationale Funktion]] aus Eisensteinreihen vom Gewicht 4 und 6 bilden, mit der [[Diskriminante (Modulform)\|modularen Diskriminante]] im Nenner, einer Modulfunktion vom Gewicht 12 (sie steht wiederum mit der [[Dedekindsche η-Funktion\|Dedekindschen η-Funktion]] in Verbindung). Die j-Funktion hat viele interessante Eigenschaften, die sie wichtig für die Zahlentheorie (Konstruktion algebraischer Zahlkörper) und [[Gruppentheorie]] (die Fourierkoeffizienten ihrer q-Entwicklung stehen mit der Darstellung der [[Monstergruppe]] in Verbindung, ''moonshine'') machen.

	Der Zusammenhang von Modulformen und elliptischen Kurven setzt sich auch bei über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven fort, wo der oben erwähnte Modularitätssatz gilt, dass alle über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven sich durch Modulformen parametrisieren lassen (aus diesem Satz folgt die Fermatvermutung nach [[Andrew Wiles]] und anderen).		Der Zusammenhang von Modulformen und elliptischen Kurven setzt sich auch bei über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven fort, wo der oben erwähnte Modularitätssatz gilt, dass alle über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven sich durch Modulformen parametrisieren lassen (aus diesem Satz folgt die Fermatvermutung nach [[Andrew Wiles]] und anderen).

176.7.202.170: /* Beispiele und Zusammenhang mit Gittern */ Lambda

2024-08-05T11:22:04Z

Beispiele und Zusammenhang mit Gittern: Lambda

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	Die einfachsten Beispiele für ganze Modulformen vom Gewicht <math>k</math> sind die sogenannten [[Eisensteinreihe]]n <math>G_k</math>, für eine Modulfunktion die [[j-Funktion]] oder absolute Invariante und für eine Spitzenform die [[Diskriminante (Modulform)\|Diskriminante]] <math>\Delta</math>.		Die einfachsten Beispiele für ganze Modulformen vom Gewicht <math>k</math> sind die sogenannten [[Eisensteinreihe]]n <math>G_k</math>, für eine Modulfunktion die [[j-Funktion]] oder absolute Invariante und für eine Spitzenform die [[Diskriminante (Modulform)\|Diskriminante]] <math>\Delta</math>.

	Die Modulgruppe hat die wichtige Eigenschaft, dass sie [[Gitter (Mathematik)\|Gitter]] in der komplexen Ebene auf sich abbildet. Diese Gitter werden von zwei komplexen Zahlen <math>\omega_1,\omega_2\in\mathbb C\setminus \{ 0 \}</math> mit <math>\tau=\tfrac{\omega_1}{\omega_2}\not\in\mathbb R</math> aufgespannt:		Die Modulgruppe hat die wichtige Eigenschaft, dass sie [[Gitter (Mathematik)\|Gitter]] <math>\Lambda</math> in der komplexen Ebene auf sich abbildet. Diese Gitter werden von zwei komplexen Zahlen <math>\omega_1,\omega_2\in\mathbb C\setminus \{ 0 \}</math> mit <math>\tau=\tfrac{\omega_1}{\omega_2}\not\in\mathbb R</math> aufgespannt:

	:<math>\Lambda := \left\{m\omega_1+n \omega_2 \mid m,n \in\mathbb Z\right\}</math>		:<math>\Lambda := \left\{m\omega_1+n \omega_2 \mid m,n \in\mathbb Z\right\}</math>

176.0.0.7: /* Definition */ K

2024-08-05T11:12:46Z

Definition: K

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	und aus letzterer Gleichung ergibt sich, dass die Modulform periodisch ist. Daher ist die Fourierentwicklung <math>\tilde f(q)</math> für <math>0<\|q\|<1</math> wohldefiniert und holomorph bzw. meromorph. Mit den Fourierkoeffizienten <math>a_n</math> hat man die Fourierreihe (auch q-Entwicklung genannt)		und aus letzterer Gleichung ergibt sich, dass die Modulform periodisch ist. Daher ist die Fourierentwicklung <math>\tilde f(q)</math> für <math>0<\|q\|<1</math> wohldefiniert und holomorph bzw. meromorph. Mit den Fourierkoeffizienten <math>a_n</math> hat man die Fourierreihe (auch q-Entwicklung genannt)

	:<math>f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2i\pi nz}= \sum_{n=-m}^\infty a_n q^n</math>,		:<math>f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2\pi\mathrm i \,nz}= \sum_{n=-m}^\infty a_n q^n</math>,

	wobei <math>m</math> die Ordnung des Pols von <math>f</math> in der Spitze <math>q=0</math> genannt wird (Imaginärteil von <math>z</math> gegen Unendlich). Die Modulform ist bei negativen Fouriergliedern meromorph in der Spitze. Bei einer Spitzenform verschwindet <math>f</math> bei <math>q=0</math> (<math>a_0=0</math>), das heißt, die nichtverschwindenden Fourierkoeffizienten beginnen bei einem positiven <math>n</math>, das dann Ordnung der Nullstelle von <math>f</math> in der Spitze genannt wird.		wobei <math>m</math> die Ordnung des Pols von <math>f</math> in der Spitze <math>q=0</math> genannt wird (Imaginärteil von <math>z</math> gegen Unendlich). Die Modulform ist bei negativen Fouriergliedern meromorph in der Spitze. Bei einer Spitzenform verschwindet <math>f</math> bei <math>q=0</math> (<math>a_0=0</math>), das heißt, die nichtverschwindenden Fourierkoeffizienten beginnen bei einem positiven <math>n</math>, das dann Ordnung der Nullstelle von <math>f</math> in der Spitze genannt wird.

1234qwer1234qwer4: Links, Formatierung

2024-06-08T01:14:33Z

Links, Formatierung

1234qwer1234qwer4: /* Definition */ verlinkt

2023-02-12T16:48:00Z

Definition: verlinkt

← Nächstältere Version		Version vom 12. Februar 2023, 18:48 Uhr
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	Holomorphe Modulfunktionen sind uninteressant, da aufgrund des [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)\|Satzes von Liouville]] die einzigen holomorphen Modulfunktionen die konstanten Funktionen sind. Man nennt die holomorphen Modulformen auch ''ganze Modulformen.'' Verschwindet eine solche ganze Modulform darüber hinaus im Unendlichen <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> (in der Spitze, englisch ''cusp,'' <math>q=0</math>), so nennt man sie ''[[Spitzenform]].'' Genauer verschwindet eine Spitzenform vom Gewicht <math>k</math> für <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> wie <math>(\mathrm{Im}(z))^{-k}</math>. Die [[j-Funktion]] ist dagegen eine in der oberen Halbebene holomorphe Modulfunktion bis auf einen einfachen Pol in der Spitze, also ein Beispiel für Meromorphie. Aus der Definition folgt, dass eine Modulform für ungerades <math>k</math> identisch verschwindet.		Holomorphe Modulfunktionen sind uninteressant, da aufgrund des [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)\|Satzes von Liouville]] die einzigen holomorphen Modulfunktionen die konstanten Funktionen sind. Man nennt die holomorphen Modulformen auch ''ganze Modulformen.'' Verschwindet eine solche ganze Modulform darüber hinaus im Unendlichen <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> (in der Spitze, englisch ''cusp,'' <math>q=0</math>), so nennt man sie ''[[Spitzenform]].'' Genauer verschwindet eine Spitzenform vom Gewicht <math>k</math> für <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> wie <math>(\mathrm{Im}(z))^{-k}</math>. Die [[j-Funktion]] ist dagegen eine in der oberen Halbebene holomorphe Modulfunktion bis auf einen einfachen Pol in der Spitze, also ein Beispiel für Meromorphie. Aus der Definition folgt, dass eine Modulform für ungerades <math>k</math> identisch verschwindet.

	Die in der Definition der Modulform verwendeten speziellen [[Möbiustransformation]]en bilden die Modulgruppe<ref>Manche Autoren bezeichnen auch die projektive spezielle lineare Gruppe PSL(2, '''Z''') als Modulgruppe, in der Matrizen ''A'' und −''A'' identifiziert werden. Sie ist der Quotient von SL(2, '''Z''') nach ihrem Zentrum Z = {[[Einheitsmatrix\|I<sub>2</sub>]], −I<sub>2</sub>}.</ref>		Die in der Definition der Modulform verwendeten speziellen [[Möbiustransformation]]en bilden die Modulgruppe<ref>Manche Autoren bezeichnen auch die [[projektive spezielle lineare Gruppe]] PSL(2, '''Z''') als Modulgruppe, in der Matrizen ''A'' und −''A'' identifiziert werden. Sie ist der Quotient von SL(2, '''Z''') nach ihrem [[Zentrum (Algebra)\|Zentrum]] Z = {[[Einheitsmatrix\|I<sub>2</sub>]], −I<sub>2</sub>}.</ref>

	:<math>\text{SL}(2, \Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\| a, b, c, d \in \Z,\ ad-bc = 1 \right \}.</math>		:<math>\text{SL}(2, \Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\| a, b, c, d \in \Z,\ ad-bc = 1 \right \}.</math>

Claude J: /* Verallgemeinerungen, automorphe Formen */ shimura varietät erwähnt

2022-07-23T17:26:27Z

Verallgemeinerungen, automorphe Formen: shimura varietät erwähnt

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2022, 19:26 Uhr
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	Weitere Beispiele von Erweiterungen des Konzepts von Modulformen sind die Mock-Thetafunktionen von [[S. Ramanujan]] bzw. Mock-Modulformen. Sie sind selbst keine Modulformen, lassen sich aber durch Addition einer nicht-holomorphen Komponente (''Schatten'' der Mock-Modulform genannt) zu einer Modulform vervollständigen und fanden spektakuläre Anwendung in der Theorie der Partitionen durch [[Ken Ono]], [[Jan Hendrik Bruinier]] und [[Kathrin Bringmann]]. Sie stehen nach [[Sander Zwegers]] in Zusammenhang mit Maaß-Formen bzw. [[Maaßsche Wellenform\|Maaß-Wellenformen]] von [[Hans Maaß (Mathematiker)\|Hans Maaß]], nicht-analytischen automorphen Formen, die als Eigenfunktionen des invarianten (hyperbolischen) Laplace-Operators zum Gewicht <math>k</math> sind. Mock-Modulformen sind der holomorphe Anteil einer ''schwachen'' Maaßform, wobei sich das schwach auf die verlangten Wachstumsbedingungen bezieht.<ref>Amanda Folsom: ''[http://www.ams.org/notices/201011/rtx101101441p.pdf What is a mock theta modular form?]'' Notices AMS, Dezember 2010, PDF.</ref>		Weitere Beispiele von Erweiterungen des Konzepts von Modulformen sind die Mock-Thetafunktionen von [[S. Ramanujan]] bzw. Mock-Modulformen. Sie sind selbst keine Modulformen, lassen sich aber durch Addition einer nicht-holomorphen Komponente (''Schatten'' der Mock-Modulform genannt) zu einer Modulform vervollständigen und fanden spektakuläre Anwendung in der Theorie der Partitionen durch [[Ken Ono]], [[Jan Hendrik Bruinier]] und [[Kathrin Bringmann]]. Sie stehen nach [[Sander Zwegers]] in Zusammenhang mit Maaß-Formen bzw. [[Maaßsche Wellenform\|Maaß-Wellenformen]] von [[Hans Maaß (Mathematiker)\|Hans Maaß]], nicht-analytischen automorphen Formen, die als Eigenfunktionen des invarianten (hyperbolischen) Laplace-Operators zum Gewicht <math>k</math> sind. Mock-Modulformen sind der holomorphe Anteil einer ''schwachen'' Maaßform, wobei sich das schwach auf die verlangten Wachstumsbedingungen bezieht.<ref>Amanda Folsom: ''[http://www.ams.org/notices/201011/rtx101101441p.pdf What is a mock theta modular form?]'' Notices AMS, Dezember 2010, PDF.</ref>

			Siegelsche und Hilbertsche Modulformen und Modulkurven sind Beispiele für [[Shimura-Varietät]]en.

	== Literatur ==		== Literatur ==

Parulus: Änderung 208396404 von 2.247.249.14 rückgängig gemacht; Modulfunktionen sind Spezialfälle von Modulformen, kein Synonym

2021-03-02T21:13:53Z

Änderung 208396404 von 2.247.249.14 rückgängig gemacht; Modulfunktionen sind Spezialfälle von Modulformen, kein Synonym

← Nächstältere Version		Version vom 2. März 2021, 23:13 Uhr
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	Der klassische Begriff einer '''Modulform''' ~~(Modulfunktion)~~ ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von [[Funktion (Mathematik)\|Funktionen]] auf der [[Halbebene#Obere Halbebene\|oberen Halbebene]] (elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. [[siegelsche Modulform]]en), der in den [[Mathematik\|mathematischen]] Teilgebieten der [[Funktionentheorie]] und [[Zahlentheorie]] betrachtet wird. Der moderne Begriff einer Modulform ist dessen umfassende Neuformulierung in Termen der [[Darstellungstheorie]] (automorphe Darstellungen) und [[Arithmetische Geometrie\|arithmetischen Geometrie]] ([[p-adische Zahl\|''p''-adische]] Modulformen).		Der klassische Begriff einer '''Modulform''' ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von [[Funktion (Mathematik)\|Funktionen]] auf der [[Halbebene#Obere Halbebene\|oberen Halbebene]] (elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. [[siegelsche Modulform]]en), der in den [[Mathematik\|mathematischen]] Teilgebieten der [[Funktionentheorie]] und [[Zahlentheorie]] betrachtet wird. Der moderne Begriff einer Modulform ist dessen umfassende Neuformulierung in Termen der [[Darstellungstheorie]] (automorphe Darstellungen) und [[Arithmetische Geometrie\|arithmetischen Geometrie]] ([[p-adische Zahl\|''p''-adische]] Modulformen).
	Klassische Modulformen sind Spezialfälle der sogenannten automorphen Formen. Neben Anwendungen in der Zahlentheorie haben sie zum Beispiel auch wichtige Anwendungen in der [[Stringtheorie]] und [[Algebraische Topologie\|algebraischen Topologie]].<ref>Topologische Modulformen von [[Michael J. Hopkins]] u. a., [https://ncatlab.org/nlab/show/topological+modular+form Topological modular form, ncatLab]</ref>		Klassische Modulformen sind Spezialfälle der sogenannten automorphen Formen. Neben Anwendungen in der Zahlentheorie haben sie zum Beispiel auch wichtige Anwendungen in der [[Stringtheorie]] und [[Algebraische Topologie\|algebraischen Topologie]].<ref>Topologische Modulformen von [[Michael J. Hopkins]] u. a., [https://ncatlab.org/nlab/show/topological+modular+form Topological modular form, ncatLab]</ref>

2.247.249.14: (Modulfunktion)

2021-02-03T16:11:04Z

(Modulfunktion)

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2021, 18:11 Uhr
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	Der klassische Begriff einer '''Modulform''' ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von [[Funktion (Mathematik)\|Funktionen]] auf der [[Halbebene#Obere Halbebene\|oberen Halbebene]] (elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. [[siegelsche Modulform]]en), der in den [[Mathematik\|mathematischen]] Teilgebieten der [[Funktionentheorie]] und [[Zahlentheorie]] betrachtet wird. Der moderne Begriff einer Modulform ist dessen umfassende Neuformulierung in Termen der [[Darstellungstheorie]] (automorphe Darstellungen) und [[Arithmetische Geometrie\|arithmetischen Geometrie]] ([[p-adische Zahl\|''p''-adische]] Modulformen).		Der klassische Begriff einer '''Modulform''' (Modulfunktion) ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von [[Funktion (Mathematik)\|Funktionen]] auf der [[Halbebene#Obere Halbebene\|oberen Halbebene]] (elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. [[siegelsche Modulform]]en), der in den [[Mathematik\|mathematischen]] Teilgebieten der [[Funktionentheorie]] und [[Zahlentheorie]] betrachtet wird. Der moderne Begriff einer Modulform ist dessen umfassende Neuformulierung in Termen der [[Darstellungstheorie]] (automorphe Darstellungen) und [[Arithmetische Geometrie\|arithmetischen Geometrie]] ([[p-adische Zahl\|''p''-adische]] Modulformen).
	Klassische Modulformen sind Spezialfälle der sogenannten automorphen Formen. Neben Anwendungen in der Zahlentheorie haben sie zum Beispiel auch wichtige Anwendungen in der [[Stringtheorie]] und [[Algebraische Topologie\|algebraischen Topologie]].<ref>Topologische Modulformen von [[Michael J. Hopkins]] u. a., [https://ncatlab.org/nlab/show/topological+modular+form Topological modular form, ncatLab]</ref>		Klassische Modulformen sind Spezialfälle der sogenannten automorphen Formen. Neben Anwendungen in der Zahlentheorie haben sie zum Beispiel auch wichtige Anwendungen in der [[Stringtheorie]] und [[Algebraische Topologie\|algebraischen Topologie]].<ref>Topologische Modulformen von [[Michael J. Hopkins]] u. a., [https://ncatlab.org/nlab/show/topological+modular+form Topological modular form, ncatLab]</ref>

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	Holomorphe Modulfunktionen sind uninteressant, da aufgrund des [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)\|Satzes von Liouville]] die einzigen holomorphen Modulfunktionen die konstanten Funktionen sind. Man nennt die holomorphen Modulformen auch ''ganze Modulformen.'' Verschwindet eine solche ganze Modulform darüber hinaus im Unendlichen <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> (in der Spitze, englisch ''cusp,'' <math>q=0</math>), so nennt man sie ''[[Spitzenform]].'' Genauer verschwindet eine Spitzenform vom Gewicht <math>k</math> für <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> wie <math>(\mathrm{Im}(z))^{-k}</math>. Die [[j-Funktion]] ist dagegen eine in der oberen Halbebene holomorphe Modulfunktion bis auf einen einfachen Pol in der Spitze, also ein Beispiel für Meromorphie. Aus der Definition folgt, dass eine Modulform für ungerades <math>k</math> identisch verschwindet.		Holomorphe Modulfunktionen sind uninteressant, da aufgrund des [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)\|Satzes von Liouville]] die einzigen holomorphen Modulfunktionen die konstanten Funktionen sind. Man nennt die holomorphen Modulformen auch ''ganze Modulformen.'' Verschwindet eine solche ganze Modulform darüber hinaus im Unendlichen <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> (in der Spitze, englisch ''cusp,'' <math>q=0</math>), so nennt man sie ''[[Spitzenform]].'' Genauer verschwindet eine Spitzenform vom Gewicht <math>k</math> für <math>\mathrm{Im}(z) \to \infty</math> wie <math>(\mathrm{Im}(z))^{-k}</math>. Die [[j-Funktion]] ist dagegen eine in der oberen Halbebene holomorphe Modulfunktion bis auf einen einfachen Pol in der Spitze, also ein Beispiel für Meromorphie. Aus der Definition folgt, dass eine Modulform für ungerades <math>k</math> identisch verschwindet.

	Die in der Definition der Modulform verwendeten speziellen [[Möbiustransformation]]en bilden die Modulgruppe<ref>Manche Autoren bezeichnen auch die projektive spezielle lineare Gruppe PSL(2, '''Z''') als Modulgruppe, in der Matrizen ''A'' und −''A'' identifiziert werden. Sie ist der Quotient von SL(2, '''Z''') nach ihrem Zentrum Z = {[[Einheitsmatrix\|I<sub>2</sub>]], −I<sub>2</sub>}.</ref>		Die in der Definition der Modulform verwendeten speziellen [[Möbiustransformation]]en bilden die Modulgruppe<ref>Manche Autoren bezeichnen auch die [[projektive spezielle lineare Gruppe]] PSL(2, '''Z''') als Modulgruppe, in der Matrizen ''A'' und −''A'' identifiziert werden. Sie ist der Quotient von SL(2, '''Z''') nach ihrem [[Zentrum (Algebra)\|Zentrum]] Z = {[[Einheitsmatrix\|I<sub>2</sub>]], −I<sub>2</sub>}.</ref>

	:<math>\text{SL}(2, \Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\| a, b, c, d \in \Z,\ ad-bc = 1 \right \}.</math>		:<math>\text{SL}(2, \Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right\| a, b, c, d \in \Z,\ ad-bc = 1 \right \}.</math>

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	== Geschichte ==		== Geschichte ==
	Die Anfänge der Theorie gehen auf [[Carl Friedrich Gauß]] zurück, der Transformationen spezieller Modulformen unter der Modulgruppe im Rahmen seiner Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels im Komplexen betrachtete (ein Fundamentalbereich zu <math>\Gamma (2)</math> findet sich in seinen Aufzeichnungen schon 1805).<ref>Houzel: ''Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale.'' In: Dieudonné: ''Geschichte der Mathematik.'' Vieweg, 1985, S. 486 f.</ref> Begründer der klassischen (rein analytischen) Theorie der Modulformen des [[19. Jahrhundert]]s sind [[Richard Dedekind]], [[Felix Klein]], [[Leopold Kronecker]], [[Karl Weierstraß]], [[Carl Gustav Jacobi]], [[Gotthold Eisenstein]] und [[Henri Poincaré]]. Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung von Modulformen in der Zahlentheorie war der [[Satz von Jacobi (Zahlentheorie)\|Satz von Jacobi]] (Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch vier Quadrate). Die moderne Theorie der Modulformen entstand in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch [[Erich Hecke]] und [[Carl Ludwig Siegel]], die Anwendungen in der Zahlentheorie verfolgten. Hier spielt die Theorie der [[Hecke-Operator]]en, die im Raum der Modulformen wirken, und mit ihnen definierter [[Dirichletreihe]]n (Hecke L-Reihe) eine besondere Rolle. Modulformen in Termen der Darstellungstheorie stammen von [[Robert Langlands]] ([[Langlands-Programm]]). ''p''-adische Modulformen treten zuerst bei [[Nicholas Katz]] und [[Jean-Pierre Serre]] auf.		Die Anfänge der Theorie gehen auf [[Carl Friedrich Gauß]] zurück, der Transformationen spezieller Modulformen unter der Modulgruppe im Rahmen seiner Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels im Komplexen betrachtete (ein Fundamentalbereich zu <math>\Gamma (2)</math> findet sich in seinen Aufzeichnungen schon 1805).<ref>Houzel: ''Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale.'' In: Dieudonné: ''Geschichte der Mathematik.'' Vieweg, 1985, S. 486 f.</ref> Begründer der klassischen (rein analytischen) Theorie der Modulformen des [[19. Jahrhundert]]s sind [[Richard Dedekind]], [[Felix Klein]], [[Leopold Kronecker]], [[Karl Weierstraß]], [[Carl Gustav Jacobi]], [[Gotthold Eisenstein]] und [[Henri Poincaré]]. Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung von Modulformen in der Zahlentheorie war der [[Satz von Jacobi (Zahlentheorie)\|Satz von Jacobi]] (Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch vier Quadrate). Die moderne Theorie der Modulformen entstand in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch [[Erich Hecke]] und [[Carl Ludwig Siegel]], die Anwendungen in der Zahlentheorie verfolgten. Hier spielt die Theorie der [[Hecke-Operator]]en, die im Raum der Modulformen wirken, und mit ihnen definierter [[Dirichletreihe]]n (Hecke L-Reihe) eine besondere Rolle. Modulformen in Termen der Darstellungstheorie stammen von [[Robert Langlands]] ([[Langlands-Programm]]). ''p''-adische Modulformen treten zuerst bei [[Nicholas Katz]] und [[Jean-Pierre Serre]] auf.
	Modulformen spielten auch eine zentrale Rolle im Beweis der [[Großer fermatscher Satz\|Vermutung von Fermat]] ([[Modularitätssatz]], der wiederum ein Spezialfall der 2006 bewiesenen [[Serre-Vermutung]] ist), die Modulformen mit ~~Galoisdarstellungen~~ der absoluten Galoisgruppe von ~~Zahlkörpern~~ verbindet. Sowohl beim Beweis der Lösung des Gaußschen ~~Klassenzahlproblems~~ durch [[Kurt Heegner]] als auch des letzten Teils der [[Weil-Vermutungen]] (Riemann-Hypothese) und damit verbunden der [[Ramanujan-Vermutung]] durch [[Pierre Deligne]] spielten Modulformen eine wichtige Rolle wie auch beim Beweis von [[Maryna Viazovska]] (2016), dass das E8-Gitter in acht Dimensionen und das [[Leech-Gitter]] in 24 Dimensionen dichteste Kugelpackungen liefern (die Thetafunktionen dieser beiden Gitter sind Modulformen, siehe unten).		Modulformen spielten auch eine zentrale Rolle im Beweis der [[Großer fermatscher Satz\|Vermutung von Fermat]] ([[Modularitätssatz]], der wiederum ein Spezialfall der 2006 bewiesenen [[Serre-Vermutung]] ist), die Modulformen mit [[Galoisdarstellung]]en der [[absolute Galoisgruppe\|absoluten Galoisgruppe]] von [[Zahlkörper]]n verbindet. Sowohl beim Beweis der Lösung des Gaußschen [[Klassenzahlproblem]]s durch [[Kurt Heegner]] als auch des letzten Teils der [[Weil-Vermutungen]] (Riemann-Hypothese) und damit verbunden der [[Ramanujan-Vermutung]] durch [[Pierre Deligne]] spielten Modulformen eine wichtige Rolle wie auch beim Beweis von [[Maryna Viazovska]] (2016), dass das E8-Gitter in acht Dimensionen und das [[Leech-Gitter]] in 24 Dimensionen dichteste Kugelpackungen liefern (die Thetafunktionen dieser beiden Gitter sind Modulformen, siehe unten).
	Modulformen kodieren häufig arithmetische Informationen der algebraischen Zahlkörper, sind aber viel einfacher rechnerisch zugänglich, teilweise schon mit Computeralgebra-Programmen, und die Anzahl linear unabhängiger Modulformen bestimmten Typs ist beschränkt.		Modulformen kodieren häufig arithmetische Informationen der algebraischen Zahlkörper, sind aber viel einfacher rechnerisch zugänglich, teilweise schon mit Computeralgebra-Programmen, und die Anzahl linear unabhängiger Modulformen bestimmten Typs ist beschränkt.

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	:<math>E_k(\tau +1 ) = E_k(\tau )</math>		:<math>E_k(\tau +1 ) = E_k(\tau )</math>

	Der Zusammenhang mit Gittern ergibt auch eine Verbindung von Modulformen zu [[Elliptische Funktion\|elliptischen Funktionen]], die als doppeltperiodische, meromorphe Funktionen auf einem solchen Gitter definiert sind (werden die Seiten des Gitters miteinander identifiziert, ergibt sich ein Torus mit topologischem Geschlecht <math>g=1</math>, die [[Riemannsche Fläche]] der elliptischen Funktionen). Am einfachsten wird das durch Betrachtung der [[Weierstraßsche ℘-Funktion\|Weierstraßschen ℘-Funktion]] deutlich. Meromorphe Modulformen vom Gewicht 0 sind auf den Isomorphieklassen der den elliptischen Funktionen zugrundeliegenden Gittern definiert. Die j-Invariante einer elliptischen Funktion kennzeichnet diese Isomorphieklassen, die damit von dieser Funktion der oberen Halbebene eindeutig parametrisiert werden. Sie ist eine Modulform vom Gewicht 0 und lässt sich als rationale Funktion aus Eisensteinreihen vom Gewicht 4 und 6 bilden, mit der [[Diskriminante (Modulform)\|modularen Diskriminante]] im Nenner, einer Modulfunktion vom Gewicht 12 (sie steht wiederum mit der [[Dedekindsche η-Funktion\|Dedekindschen η-Funktion]] in Verbindung). Die j-Funktion hat viele interessante Eigenschaften, die sie wichtig für die Zahlentheorie (Konstruktion algebraischer Zahlkörper) und Gruppentheorie (die Fourierkoeffizienten ihrer q-Entwicklung stehen mit der Darstellung der Monstergruppe in Verbindung, ''moonshine'') machen.		Der Zusammenhang mit Gittern ergibt auch eine Verbindung von Modulformen zu [[Elliptische Funktion\|elliptischen Funktionen]], die als doppeltperiodische, meromorphe Funktionen auf einem solchen Gitter definiert sind (werden die Seiten des Gitters miteinander identifiziert, ergibt sich ein Torus mit topologischem [[Geschlecht (Fläche)\|Geschlecht]] <math>g=1</math>, die [[Riemannsche Fläche]] der elliptischen Funktionen). Am einfachsten wird das durch Betrachtung der [[Weierstraßsche ℘-Funktion\|Weierstraßschen ℘-Funktion]] deutlich. Meromorphe Modulformen vom Gewicht 0 sind auf den Isomorphieklassen der den elliptischen Funktionen zugrundeliegenden Gittern definiert. Die j-Invariante einer elliptischen Funktion kennzeichnet diese Isomorphieklassen, die damit von dieser Funktion der oberen Halbebene eindeutig parametrisiert werden. Sie ist eine Modulform vom Gewicht 0 und lässt sich als rationale Funktion aus Eisensteinreihen vom Gewicht 4 und 6 bilden, mit der [[Diskriminante (Modulform)\|modularen Diskriminante]] im Nenner, einer Modulfunktion vom Gewicht 12 (sie steht wiederum mit der [[Dedekindsche η-Funktion\|Dedekindschen η-Funktion]] in Verbindung). Die j-Funktion hat viele interessante Eigenschaften, die sie wichtig für die Zahlentheorie (Konstruktion algebraischer Zahlkörper) und Gruppentheorie (die Fourierkoeffizienten ihrer q-Entwicklung stehen mit der Darstellung der [[Monstergruppe]] in Verbindung, ''moonshine'') machen.

	Der Zusammenhang von Modulformen und elliptischen Kurven setzt sich auch bei über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven fort, wo der oben erwähnte Modularitätssatz gilt, dass alle über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven sich durch Modulformen parametrisieren lassen (aus diesem Satz folgt die Fermatvermutung nach [[Andrew Wiles]] und anderen).		Der Zusammenhang von Modulformen und elliptischen Kurven setzt sich auch bei über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven fort, wo der oben erwähnte Modularitätssatz gilt, dass alle über Zahlkörpern definierten elliptischen Kurven sich durch Modulformen parametrisieren lassen (aus diesem Satz folgt die Fermatvermutung nach [[Andrew Wiles]] und anderen).
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	:<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L} q^{ \frac {\lambda \cdot \lambda}{2}} = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z}</math>		:<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L} q^{ \frac {\lambda \cdot \lambda}{2}} = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z}</math>

	eine Modulform vom Gewicht <math>\frac{n}{2}</math>. Zum Beweis wird für das Verhalten unter Inversion die [[Poissonsche Summenformel]] benutzt. „Unimodular“ bedeutet, dass die [[Gitter (Mathematik)#Gitterdiskriminante\|Gitterdiskriminante]] gleich 1 ist und „gerade“, dass die Quadrate der Längen der Vektoren des Gitters <math>\lambda \cdot \lambda</math> alle [[Parität (Mathematik)\|gerade]] sind. Beispiele solcher Gitter (deren Dimension <math>n</math> durch 8 teilbar sein muss) sind das [[Leech-Gitter]] (<math>n=24</math>, als eines von 24 Niemeier-Gittern) und das Gitter des Wurzelsystems der speziellen Liegruppe <math>E_8</math> (<math>n=8</math>). Im Fall <math>n=8</math> ist sie also eine Modulform vom Gewicht 4, davon gibt es aber nur eine, die Eisenstein-Reihe vom Gewicht 4.		eine Modulform vom Gewicht <math>\frac{n}{2}</math>. Zum Beweis wird für das Verhalten unter Inversion die [[Poissonsche Summenformel]] benutzt. „Unimodular“ bedeutet, dass die [[Gitter (Mathematik)#Gitterdiskriminante\|Gitterdiskriminante]] gleich 1 ist und „gerade“, dass die Quadrate der Längen der Vektoren des Gitters <math>\lambda \cdot \lambda</math> alle [[Parität (Mathematik)\|gerade]] sind. Beispiele solcher Gitter (deren Dimension <math>n</math> durch 8 teilbar sein muss) sind das [[Leech-Gitter]] (<math>n=24</math>, als eines von 24 Niemeier-Gittern) und das Gitter des Wurzelsystems der speziellen [[Liegruppe]] [[E8 (Gruppe)\|<math>E_8</math>]] (<math>n=8</math>). Im Fall <math>n=8</math> ist sie also eine Modulform vom Gewicht 4, davon gibt es aber nur eine, die Eisenstein-Reihe vom Gewicht 4.

	=== Vektorräume der Modulformen ===		=== Vektorräume der Modulformen ===
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	== Kongruenzuntergruppen ==		== Kongruenzuntergruppen ==
	Statt für <math>\~~text~~{SL}(2, \mathbb Z)</math> werden Modulformen auch für diskrete Untergruppen dieser Gruppe betrachtet, insbesondere für die sogenannten [[Kongruenzuntergruppe]]n der Modulgruppe (<math>N</math> ist eine positive ganze Zahl):		Statt für <math>\operatorname{SL}(2, \mathbb Z)</math> werden Modulformen auch für diskrete Untergruppen dieser Gruppe betrachtet, insbesondere für die sogenannten [[Kongruenzuntergruppe]]n der Modulgruppe (<math>N</math> ist eine positive ganze Zahl):

	:<math>\Gamma_0(N) = \left\{ \left. \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \~~text~~{SL}(2, \mathbb{Z}) \right\| c \equiv 0 \pmod{N} \right\}</math>		:<math>\Gamma_0(N) = \left\{ \left. \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z}) \right\| c \equiv 0 \pmod{N} \right\}</math>
	:<math>\Gamma(N) = \left\{ \left. \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \~~text~~{SL}(2, \mathbb{Z}) \right\| c \equiv b \equiv 0 \pmod{N}, \quad a \equiv d \equiv 1 \pmod{N} \right\}</math>		:<math>\Gamma(N) = \left\{ \left. \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z}) \right\| c \equiv b \equiv 0 \pmod{N}, \quad a \equiv d \equiv 1 \pmod{N} \right\}</math>

	Die Zahl <math>N</math> heißt die Stufe der zugeordneten Modulformen. <math>\Gamma (N)</math> heißt auch die Hauptkongruenzgruppe der Stufe <math>N</math>. Jede Untergruppe von <math>SL (2, \mathbb{Z})</math>, die die Hauptkongruenzgruppe für eine Stufe <math>N</math> als Untergruppe enthält, wird Kongruenzuntergruppe genannt.		Die Zahl <math>N</math> heißt die Stufe der zugeordneten Modulformen. <math>\Gamma (N)</math> heißt auch die Hauptkongruenzgruppe der Stufe <math>N</math>. Jede Untergruppe von <math>\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})</math>, die die Hauptkongruenzgruppe für eine Stufe <math>N</math> als Untergruppe enthält, wird Kongruenzuntergruppe genannt.

	Bisweilen betrachtet man auch die Kongruenzuntergruppe		Bisweilen betrachtet man auch die Kongruenzuntergruppe

	:<math>\Gamma_1 (N) = \left \{ \left. \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \~~text~~{SL}(2, \mathbb{Z}) \right\| a\equiv d\equiv 1 \pmod N, \quad c\equiv 0 \pmod N \right \},</math>		:<math>\Gamma_1 (N) = \left \{ \left. \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z}) \right\| a\equiv d\equiv 1 \pmod N, \quad c\equiv 0 \pmod N \right \},</math>

	die eine Mittelstellung einnimmt zwischen <math>\Gamma_0</math> (modulo <math>N</math> äquivalent zu oberer Dreiecksmatrix) und <math>\Gamma</math> (modulo <math>N</math> äquivalent zur Einheitsmatrix). Es gilt <math>\Gamma (N) \subseteq \Gamma_1 (N) \subseteq \Gamma_0 (N) \subseteq SL (2, \mathbb{Z})</math> und <math>\Gamma (1) = \Gamma_1 (1) =\Gamma_0 (1) = SL (2, \mathbb{Z})</math>.		die eine Mittelstellung einnimmt zwischen <math>\Gamma_0</math> (modulo <math>N</math> äquivalent zu oberer Dreiecksmatrix) und <math>\Gamma</math> (modulo <math>N</math> äquivalent zur Einheitsmatrix). Es gilt <math>\Gamma (N) \subseteq \Gamma_1 (N) \subseteq \Gamma_0 (N) \subseteq \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})</math> und <math>\Gamma (1) = \Gamma_1 (1) =\Gamma_0 (1) = \operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})</math>.

	Der Index der Kongruenzuntergruppen als Untergruppen von <math>SL (2, \mathbb {Z})</math> ist endlich und lässt sich explizit angeben. So ist:		Der Index der Kongruenzuntergruppen als Untergruppen von <math>\operatorname{SL}(2, \mathbb {Z})</math> ist endlich und lässt sich explizit angeben. So ist:

	:<math>\left[\,SL (2, \mathbb{Z}) \colon \Gamma_0 (N)\,\right] = N \prod_{p \mid N} \left(1 + \frac{1}{p}\right)</math>		:<math>\left[\,\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z}) \colon \Gamma_0 (N)\,\right] = N \prod_{p \mid N} \left(1 + \frac{1}{p}\right)</math>

	:<math>\left[\,\Gamma_0 (N) \colon \Gamma (N)\,\right] = N^2 \prod_{p \mid N} \left(1 - \frac{1}{p}\right)</math>		:<math>\left[\,\Gamma_0 (N) \colon \Gamma (N)\,\right] = N^2 \prod_{p \mid N} \left(1 - \frac{1}{p}\right)</math>
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	Sie sind für <math>z</math> in der oberen Halbebene definiert und holomorph in der Spitze.		Sie sind für <math>z</math> in der oberen Halbebene definiert und holomorph in der Spitze.

	Automorphe Formen sind für topologische Gruppen <math>G</math> ([[Lie-Gruppe]]n) definiert und deren diskrete Untergruppen <math> \Gamma</math>. Das entspricht im Fall der Modulformen für die Modulgruppe <math>SL (2, \mathbf Z)</math> der Modulgruppe selbst als diskreter Untergruppe der Liegruppe <math>SL (2, \mathbf R)</math> oder den Kongruenzuntergruppen als diskreten Untergruppe der Modulgruppe. Das Transformationsgesetz wird hier allgemein mit Automorphiefaktoren definiert. Automorphe Formen sind Eigenfunktionen bestimmter [[Casimir-Operator]]en von <math>G</math> (das entspricht bei den Modulfunktionen der Tatsache, dass diese analytische Funktionen in zwei Dimensionen sind, die die Laplacegleichung erfüllen, was dem Casimir-Operator für <math>SL (2, \mathbf R)</math> entspricht) und erfüllen wie die Modulformen bestimmte Wachstumsbedingungen. Sie wurden schon im 19. Jahrhundert für [[Fuchssche Gruppe]]n (diskrete Untergruppen von <math>SL (2, \mathbf R)</math>) von [[Henri Poincaré]] betrachtet und in der Zahlentheorie Anfang des 20. Jahrhunderts von [[David Hilbert]] (Hilbertsche Modulformen für total reelle Zahlkörper<ref>Erzeugt als Erweiterung der rationalen Zahlen durch Adjunktion einer Wurzel <math>q</math> eines ganzzahligen Polynoms mit <math>m</math> reellen Wurzeln.</ref> <math>F</math> zur allgemeinen linearen Gruppe <math>GL_2^+(\mathcal O_F)</math> über dem Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers, definiert als Modulform auf dem <math>m</math>-fachen Produkt der oberen Halbebene, mit <math>m</math> als Grad von <math>F</math> über den rationalen Zahlen).		Automorphe Formen sind für topologische Gruppen <math>G</math> ([[Lie-Gruppe]]n) definiert und deren diskrete Untergruppen <math> \Gamma</math>. Das entspricht im Fall der Modulformen für die Modulgruppe <math>\operatorname{SL}(2, \mathbf Z)</math> der Modulgruppe selbst als diskreter Untergruppe der Liegruppe <math>\operatorname{SL}(2, \mathbf R)</math> oder den Kongruenzuntergruppen als diskreten Untergruppe der Modulgruppe. Das Transformationsgesetz wird hier allgemein mit Automorphiefaktoren definiert. Automorphe Formen sind Eigenfunktionen bestimmter [[Casimir-Operator]]en von <math>G</math> (das entspricht bei den Modulfunktionen der Tatsache, dass diese analytische Funktionen in zwei Dimensionen sind, die die Laplacegleichung erfüllen, was dem Casimir-Operator für <math>\operatorname{SL}(2, \mathbf R)</math> entspricht) und erfüllen wie die Modulformen bestimmte Wachstumsbedingungen. Sie wurden schon im 19. Jahrhundert für [[Fuchssche Gruppe]]n (diskrete Untergruppen von <math>\operatorname{SL}(2, \mathbf R)</math>) von [[Henri Poincaré]] betrachtet und in der Zahlentheorie Anfang des 20. Jahrhunderts von [[David Hilbert]] (Hilbertsche Modulformen für total reelle Zahlkörper<ref>Erzeugt als Erweiterung der rationalen Zahlen durch Adjunktion einer Wurzel <math>q</math> eines ganzzahligen Polynoms mit <math>m</math> reellen Wurzeln.</ref> <math>F</math> zur allgemeinen linearen Gruppe <math>GL_2^+(\mathcal O_F)</math> über dem Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers, definiert als Modulform auf dem <math>m</math>-fachen Produkt der oberen Halbebene, mit <math>m</math> als Grad von <math>F</math> über den rationalen Zahlen).

	Ein weiteres Beispiel automorpher Formen in mehreren komplexen Variablen sind Siegelsche Modulformen, die im [[Siegelscher Halbraum\|siegelschen Halbraum]] definiert sind und automorphe Formen zur [[Symplektische Gruppe\|symplektischen Gruppe]] sind. Sie spielen eine ähnliche Rolle für die Parametrisierung abelscher Varietäten wie Modulformen für die Parametrisierung von elliptischen Funktionen (als jeweilige Modulräume) und wurden von [[Carl Ludwig Siegel]] ursprünglich in der Theorie quadratischer Formen betrachtet.		Ein weiteres Beispiel automorpher Formen in mehreren komplexen Variablen sind Siegelsche Modulformen, die im [[Siegelscher Halbraum\|siegelschen Halbraum]] definiert sind und automorphe Formen zur [[Symplektische Gruppe\|symplektischen Gruppe]] sind. Sie spielen eine ähnliche Rolle für die Parametrisierung abelscher Varietäten wie Modulformen für die Parametrisierung von elliptischen Funktionen (als jeweilige Modulräume) und wurden von [[Carl Ludwig Siegel]] ursprünglich in der Theorie quadratischer Formen betrachtet.