Linearform - Versionsgeschichte

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	== Verwandte Begriffe ==		== Verwandte Begriffe ==
	Gilt speziell <math>K = \Complex</math> und ändert man die zweite Bedingung in <math>f(\alpha x) = \overline \alpha f(x)</math> ab, wobei <math>\overline \alpha</math> das [[~~Konjugation~~ ~~(Mathematik)~~\|komplex Konjugierte]] von <math>\alpha</math> bezeichnet, erhält man eine [[Semilinearform]].		Gilt speziell <math>K = \Complex</math> und ändert man die zweite Bedingung in <math>f(\alpha x) = \overline \alpha f(x)</math> ab, wobei <math>\overline \alpha</math> das [[Komplexe Konjugation\|komplex Konjugierte]] von <math>\alpha</math> bezeichnet, erhält man eine [[Semilinearform]].

	Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine [[Sesquilinearform]], eine [[Bilinearform]], oder allgemein eine [[Multilinearform]].		Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine [[Sesquilinearform]], eine [[Bilinearform]], oder allgemein eine [[Multilinearform]].

Aka: /* Eigenschaften */ Tippfehler entfernt

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Eigenschaften: Tippfehler entfernt

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	* Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte für eine beliebige [[Basis (Vektorraum)\|Basis]] von <math>V</math> vollständig bestimmt.		* Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte für eine beliebige [[Basis (Vektorraum)\|Basis]] von <math>V</math> vollständig bestimmt.
	* Sie sind entweder trivial (überall identisch <math>0_K</math>) oder [[Surjektivität\|surjektiv]].		* Sie sind entweder trivial (überall identisch <math>0_K</math>) oder [[Surjektivität\|surjektiv]].
	* Haben zwei von ~~Ihnen~~ gleiche [[Kern (Algebra)\|Kern]]e, so unterscheiden sie sich nur durch die [[Skalarmultiplikation\|Multiplikation]] mit einem Skalar.		* Haben zwei von ihnen gleiche [[Kern (Algebra)\|Kern]]e, so unterscheiden sie sich nur durch die [[Skalarmultiplikation\|Multiplikation]] mit einem Skalar.

	Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:		Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:

Xario: /* Einleitung */ begriffe bezeichnen nicht

2020-09-02T11:23:19Z

Einleitung: begriffe bezeichnen nicht

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Zeile 1:		Zeile 1:
	~~Die~~ '''Linearform''' ist ein ~~Begriff~~ aus dem [[Teilgebiete der Mathematik\|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]]. ~~Man~~ ~~bezeichnet~~ ~~damit~~ eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] in den zugrundeliegenden [[Körper (Algebra)\|Körper]].		Eine '''Linearform''' ist ein [[mathematisches Objekt\|Objekt]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik\|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]]. Es handelt sich dabei um eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] in den zugrundeliegenden [[Körper (Algebra)\|Körper]].

	Im Kontext der [[Funktionalanalysis]], das heißt im Falle eines [[Topologischer Vektorraum\|topologischen]] <math>\R</math>- oder <math>\Complex</math>-Vektorraums, sind die betrachteten Linearformen meistens [[Stetiges lineares Funktional\|stetige lineare Funktionale]].		Im Kontext der [[Funktionalanalysis]], das heißt im Falle eines [[Topologischer Vektorraum\|topologischen]] <math>\R</math>- oder <math>\Complex</math>-Vektorraums, sind die betrachteten Linearformen meistens [[Stetiges lineares Funktional\|stetige lineare Funktionale]].

Godung Gwahag: /* Literatur */

2019-09-19T21:02:12Z

Literatur

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2019, 23:02 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	[[Kategorie:Lineare Algebra]]		[[Kategorie:Lineare Algebra]]
	[[Kategorie:Funktionalanalysis]]		[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
			[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Felix Tritschler: /* Linearform als Tensor */

2019-05-23T15:02:26Z

Linearform als Tensor

← Nächstältere Version		Version vom 23. Mai 2019, 17:02 Uhr
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	== Linearform als Tensor ==		== Linearform als Tensor ==
	Eine Linearform <math>f</math> ist ein [[Kontravarianz (Physik)\|~~kontravarianter~~]] [[Tensor]] erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch [[1-Form]]. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von [[Differentialform]]en.		Eine Linearform <math>f</math> ist ein [[Kontravarianz (Physik)\|kovarianter]] [[Tensor]] erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch [[1-Form]]. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von [[Differentialform]]en.

	== Verwandte Begriffe ==		== Verwandte Begriffe ==

Schojoha: Nachtrag.

2019-04-15T21:24:36Z

Nachtrag.

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Zeile 1:		Zeile 1:
	Die '''Linearform''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik\|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]]. Man bezeichnet damit eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] in den zugrundeliegenden [[Körper (Algebra)\|Körper]].		Die '''Linearform''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik\|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]]. Man bezeichnet damit eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] in den zugrundeliegenden [[Körper (Algebra)\|Körper]].

	Im Kontext der [[Funktionalanalysis]], das heißt im Falle eines [[Topologischer Vektorraum\| topologischen]] <math>\R</math>- oder <math>\Complex</math>-Vektorraums, sind die Linearformen ~~außerdem genau die linearen~~ [[Funktional]]e.		Im Kontext der [[Funktionalanalysis]], das heißt im Falle eines [[Topologischer Vektorraum\|topologischen]] <math>\R</math>- oder <math>\Complex</math>-Vektorraums, sind die betrachteten Linearformen meistens [[Stetiges lineares Funktional\|stetige lineare Funktionale]].

	== Definition ==		== Definition ==
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	== Linearform als Tensor ==		== Linearform als Tensor ==

	Eine Linearform <math>f</math> ist ein [[Kontravarianz (Physik)\|kontravarianter]] [[Tensor]] erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch [[1-Form]]. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von [[Differentialform]]en.		Eine Linearform <math>f</math> ist ein [[Kontravarianz (Physik)\|kontravarianter]] [[Tensor]] erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch [[1-Form]]. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von [[Differentialform]]en.

	== Verwandte Begriffe ==		== Verwandte Begriffe ==

	Gilt speziell <math>K = \Complex</math> und ändert man die zweite Bedingung in <math>f(\alpha x) = \overline \alpha f(x)</math> ab, wobei <math>\overline \alpha</math> das [[Konjugation (Mathematik)\|komplex Konjugierte]] von <math>\alpha</math> bezeichnet, erhält man eine [[Semilinearform]].		Gilt speziell <math>K = \Complex</math> und ändert man die zweite Bedingung in <math>f(\alpha x) = \overline \alpha f(x)</math> ab, wobei <math>\overline \alpha</math> das [[Konjugation (Mathematik)\|komplex Konjugierte]] von <math>\alpha</math> bezeichnet, erhält man eine [[Semilinearform]].

Schojoha: /* Literatur */ Ergänzungen.

2019-04-15T21:20:43Z

Literatur: Ergänzungen.

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 }}
 * [[Walter Rudin]]: ''Functional Analysis'', 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
 [[Kategorie:Lineare Algebra]]

Schwalbe: linkfix

2019-03-30T18:52:56Z

linkfix

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	Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:		Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:
	* Sie sind genau dann [[~~Stetigkeit~~ ~~(Topologie)~~\|stetig]] wenn ihr Kern [[Abgeschlossene Menge\|abgeschlossen]] ist.		* Sie sind genau dann [[Stetige Funktion\|stetig]] wenn ihr Kern [[Abgeschlossene Menge\|abgeschlossen]] ist.
	* Ihr [[absoluter Betrag]] ist stets eine [[Halbnorm]] auf <math>V</math>.		* Ihr [[absoluter Betrag]] ist stets eine [[Halbnorm]] auf <math>V</math>.
	* Lineare Funktionale <math>\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}</math> sind genau die Abbildungen <math>x \mapsto \langle v,x \rangle</math>, wobei <math>v \in \mathbb{K}^n</math> einen Vektor und <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] bezeichnen.		* Lineare Funktionale <math>\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}</math> sind genau die Abbildungen <math>x \mapsto \langle v,x \rangle</math>, wobei <math>v \in \mathbb{K}^n</math> einen Vektor und <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] bezeichnen.

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2018-12-26T21:49:05Z

Texvc Makros durch LaTeX Pendant ersetzt gemäß mw:Extension:Math/Roadmap

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	Die '''Linearform''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik\|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]]. Man bezeichnet damit eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] in den zugrundeliegenden [[Körper (Algebra)\|Körper]].		Die '''Linearform''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik\|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra\|linearen Algebra]]. Man bezeichnet damit eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] in den zugrundeliegenden [[Körper (Algebra)\|Körper]].

	Im Kontext der [[Funktionalanalysis]], das heißt im Falle eines [[Topologischer Vektorraum\| topologischen]] <math>\R</math>- oder <math>\C</math>-Vektorraums, sind die Linearformen außerdem genau die linearen [[Funktional]]e.		Im Kontext der [[Funktionalanalysis]], das heißt im Falle eines [[Topologischer Vektorraum\| topologischen]] <math>\R</math>- oder <math>\Complex</math>-Vektorraums, sind die Linearformen außerdem genau die linearen [[Funktional]]e.

	== Definition ==		== Definition ==
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	== Verwandte Begriffe ==		== Verwandte Begriffe ==

	Gilt speziell <math>K = \C</math> und ändert man die zweite Bedingung in <math>f(\alpha x) = \overline \alpha f(x)</math> ab, wobei <math>\overline \alpha</math> das [[Konjugation (Mathematik)\|komplex Konjugierte]] von <math>\alpha</math> bezeichnet, erhält man eine [[Semilinearform]].		Gilt speziell <math>K = \Complex</math> und ändert man die zweite Bedingung in <math>f(\alpha x) = \overline \alpha f(x)</math> ab, wobei <math>\overline \alpha</math> das [[Konjugation (Mathematik)\|komplex Konjugierte]] von <math>\alpha</math> bezeichnet, erhält man eine [[Semilinearform]].

	Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine [[Sesquilinearform]], eine [[Bilinearform]], oder allgemein eine [[Multilinearform]].		Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine [[Sesquilinearform]], eine [[Bilinearform]], oder allgemein eine [[Multilinearform]].

Bigbossfarin: Änderungen von Bigbossfarin (Diskussion) auf die letzte Version von 141.35.40.1 zurückgesetzt

2018-04-17T19:06:45Z

Änderungen von Bigbossfarin (Diskussion) auf die letzte Version von 141.35.40.1 zurückgesetzt

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	== Linearform als Tensor ==		== Linearform als Tensor ==

	Eine Linearform <math>f</math> ist ein [[~~Kovarianz~~ (Physik)\|~~kovarianter~~]] [[Tensor]] erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch [[1-Form]]. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von [[Differentialform]]en.		Eine Linearform <math>f</math> ist ein [[Kontravarianz (Physik)\|kontravarianter]] [[Tensor]] erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch [[1-Form]]. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von [[Differentialform]]en.

	== Verwandte Begriffe ==		== Verwandte Begriffe ==