Linearer Code - Versionsgeschichte

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2025-07-05T09:48:43Z

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	Ein Spezialfall sind die sogenannten selbstdualen Codes. Dies sind Codes, die mit ihrem Dualcode identisch sind. Aus Dimensiongründen haben diese immer die Dimension <math>k=n/2</math>.		Ein Spezialfall sind die sogenannten selbstdualen Codes. Dies sind Codes, die mit ihrem Dualcode identisch sind. Aus Dimensiongründen haben diese immer die Dimension <math>k=n/2</math>.
	Das wichtigste Beispiel für einen selbstdualen Code ist der erweiterte Hamming-Code, bei dem der binäre [7,4,3]-Hamming-Code um ein Paritätsbit auf gerade Parität erweitert wird:		Das wichtigste Beispiel für einen selbstdualen Code ist der erweiterte Hamming-Code, bei dem der binäre [7,4,3]-Hamming-Code um ein [[Paritätsbit]] auf gerade Parität erweitert wird:
	: <math>		: <math>
	G=H=		G=H=

Bildungskind: Umbenennung nach Diskussion in Portal:Mathematik

2024-03-21T01:31:37Z

Umbenennung nach Diskussion in Portal:Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 21. März 2024, 02:31 Uhr
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	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
	zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''[[Kontrollmatrix]]'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (~~Mathematik~~)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>k</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.		zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''[[Kontrollmatrix]]'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (Lineare Algebra)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>k</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.

	Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der [[Hamming-Abstand]] des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.		Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der [[Hamming-Abstand]] des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.

Maximum 2520: /* Eigenschaften */ ergänzt

2022-11-24T21:44:43Z

Eigenschaften: ergänzt

← Nächstältere Version		Version vom 24. November 2022, 22:44 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	== Eigenschaften ==		== Eigenschaften ==
	Da <math>C</math> ein Untervektorraum von <math>V</math> ist, existiert eine Basis <math>g_1, \dots, g_k</math> von <math>C</math>. Fasst man diese Basis in einer [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]]		Da <math>C</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math> ist, existiert eine [[Basis (Vektorraum)\|Basis]] <math>g_1, \dots, g_k</math> von <math>C</math>. Fasst man diese Basis in einer [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]]
	: <math> G=\begin{pmatrix}		: <math> G=\begin{pmatrix}
	g_1 \\		g_1 \\
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	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
	zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''Kontrollmatrix'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (Mathematik)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>k</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.		zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''[[Kontrollmatrix]]'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (Mathematik)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>k</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.

	Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der Hamming-Abstand des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.		Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der [[Hamming-Abstand]] des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.

	Permutiert man die einzelnen Koordinaten der Codewörter, erhält man einen sogenannten ''äquivalenten Code''. Damit und mittels [[Lineare Algebra\|linearer Algebra]] kann man zu jedem linearen Code einen äquivalenten finden, der eine Erzeugermatrix der Form <math>G=(\mathbb{E}_k\|P)</math> hat. Dabei ist <math>\mathbb{E}_k</math> die <math>(k \times k)</math>-[[Einheitsmatrix]], und <math>P</math> ist eine <math>(k \times (n-k))</math>-Matrix. Dann heißt <math>G</math> Erzeugermatrix in reduzierter Form. Die ersten <math>k</math> Koordinaten können als Informationssymbole und die letzten <math>n-k</math> als Kontrollsymbole interpretiert werden. Ist <math>G</math> eine Erzeugermatrix in reduzierter Form, kann eine Kontrollmatrix <math>H</math> sofort gefunden werden: <math>H=(-P^T\|\mathbb{E}_{n-k})</math>. Ein linearer Code ist bereits durch seine Erzeugermatrix oder seine Kontrollmatrix bestimmt.		Permutiert man die einzelnen [[Koordinatensystem\|Koordinaten]] der Codewörter, erhält man einen sogenannten ''äquivalenten Code''. Damit und mittels [[Lineare Algebra\|linearer Algebra]] kann man zu jedem linearen Code einen äquivalenten finden, der eine [[Erzeugermatrix]] der Form <math>G=(\mathbb{E}_k\|P)</math> hat. Dabei ist <math>\mathbb{E}_k</math> die <math>(k \times k)</math>-[[Einheitsmatrix]], und <math>P</math> ist eine <math>(k \times (n-k))</math>-Matrix. Dann heißt <math>G</math> Erzeugermatrix in reduzierter Form. Die ersten <math>k</math> Koordinaten können als Informationssymbole und die letzten <math>n-k</math> als Kontrollsymbole interpretiert werden. Ist <math>G</math> eine Erzeugermatrix in reduzierter Form, kann eine Kontrollmatrix <math>H</math> sofort gefunden werden: <math>H=(-P^T\|\mathbb{E}_{n-k})</math>. Ein linearer Code ist bereits durch seine Erzeugermatrix oder seine Kontrollmatrix bestimmt.

			Weil der lineare Code ein <math>k</math>-[[Dimension (Mathematik)\|dimensionaler]] [[Untervektorraum]] von <math>\mathbb{F}_q^n</math> ist, ist er der [[Kern (Algebra)\|Kern]] einer [[Lineare Abbildung\|linearen Abbildung]] <math>f \colon \mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^{n - k}</math>. Die [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]] einer solchen linearen Abbildung heißt ''Paritätsprüfungsmatrix'' und wird notiert als <math>H^T</math> mit <math>H \in \mathbb{F}_q^{(n - k)\times{n}}</math>. Der lineare Code ist definiert als [[Kern (Algebra)\|Kern]] dieser linearen Abbildung: <math>C := \mathrm{ker}(f) = \{c \in \mathbb{F}_q^n \mid cH^T = 0\}</math>.

			Die [[Informationsrate]] des linearen Codes <math>C</math> ist <math>R = \tfrac{k}{n} \cdot \log_2(q)</math>.<ref>Technische Universität Berlin: [https://www.commit.tu-berlin.de/fileadmin/fg302/CC-linear-codes.pdf Linear Codes]</ref>

	=== Beispiel ===		=== Beispiel ===

Anthroporraistes: /* Dualer Code */

2022-06-12T13:32:00Z

Dualer Code

← Nächstältere Version		Version vom 12. Juni 2022, 14:32 Uhr
Zeile 200:		Zeile 200:
	== Dualer Code ==		== Dualer Code ==

	Zu jedem (linearen) Code <math>C</math> gibt es einen dualen Code (oder auch Dualcode) <math>C^\perp</math>, der selbst ein linearer Code ist. Die Codewörter des dualen Codes sind alle Wörter aus <math>\mathbb{F}_q^n</math>, die zu den ~~Codewörter~~ aus <math>C</math> dual sind:		Zu jedem (linearen) Code <math>C</math> gibt es einen dualen Code (oder auch Dualcode) <math>C^\perp</math>, der selbst ein linearer Code ist. Die Codewörter des dualen Codes sind alle Wörter aus <math>\mathbb{F}_q^n</math>, die zu den Codewörtern aus <math>C</math> dual sind:

	Man definiert hierzu ein inneres Produkt:		Man definiert hierzu ein inneres Produkt:

A.kotlorz: Einheitliche Schreibweise für "kodieren" ist in einem Artikel besser :-)

2019-08-13T15:49:52Z

Einheitliche Schreibweise für "kodieren" ist in einem Artikel besser :-)

← Nächstältere Version		Version vom 13. August 2019, 16:49 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Ein '''linearer Code''' ist in der [[Kodierungstheorie]] ein spezieller [[Blockcode]], bei dem die Codewörter Elemente eines endlichdimensionalen [[Vektorraum\|Vektorraums]] <math>\mathbb{F}_q^n</math> über einem [[Endlicher Körper\|endlichen Körper]] <math>\mathbb{F}_q</math> sind. Ein [[Code]] ist genau dann linear, wenn er ein [[Untervektorraum]] von <math>\mathbb{F}_q^n</math> ist.		Ein '''linearer Code''' ist in der [[Kodierungstheorie]] ein spezieller [[Blockcode]], bei dem die Codewörter Elemente eines endlichdimensionalen [[Vektorraum\|Vektorraums]] <math>\mathbb{F}_q^n</math> über einem [[Endlicher Körper\|endlichen Körper]] <math>\mathbb{F}_q</math> sind. Ein [[Code]] ist genau dann linear, wenn er ein [[Untervektorraum]] von <math>\mathbb{F}_q^n</math> ist.

	Lineare Codes haben den Vorteil, dass Methoden der [[Lineare Algebra\|Linearen Algebra]] verwendet werden können. Sie sind somit einfach zu ~~codieren~~ und dekodieren. Die meisten wichtigen Codes sind linear: [[Hamming-Code]], [[Low-Density-Parity-Check-Code]], [[Reed-Muller-Code]], [[Hadamard-Code]], alle [[Zyklischer Code\|zyklischen Codes]] (damit auch [[BCH-Code\|BCH]], [[Reed-Solomon-Code]]s, [[Golay-Code]]s und [[Goppa-Code]]s).		Lineare Codes haben den Vorteil, dass Methoden der [[Lineare Algebra\|Linearen Algebra]] verwendet werden können. Sie sind somit einfach zu kodieren und dekodieren. Die meisten wichtigen Codes sind linear: [[Hamming-Code]], [[Low-Density-Parity-Check-Code]], [[Reed-Muller-Code]], [[Hadamard-Code]], alle [[Zyklischer Code\|zyklischen Codes]] (damit auch [[BCH-Code\|BCH]], [[Reed-Solomon-Code]]s, [[Golay-Code]]s und [[Goppa-Code]]s).

	Ist die Vektorraumdimension des linearen Codes <math>C</math> gleich <math>k</math>, so nennt man <math>C</math> einen ''<math>[n,k]</math>-Code'' oder bei einem [[Hamming-Abstand]] von <math>d</math> auch ''<math>[n,k,d]</math>-Code''.		Ist die Vektorraumdimension des linearen Codes <math>C</math> gleich <math>k</math>, so nennt man <math>C</math> einen ''<math>[n,k]</math>-Code'' oder bei einem [[Hamming-Abstand]] von <math>d</math> auch ''<math>[n,k,d]</math>-Code''.
Zeile 196:		Zeile 196:

	== Anwendung ==		== Anwendung ==
	Die Kodierung und Dekodierung ist, so wie sie oben beschrieben ist, relativ aufwendig. Bei der ~~Codierung~~ muss die Erzeugermatrix im Speicher gehalten werden, was bei Systemen mit begrenzten Ressourcen (zum Beispiel mobile Endgeräte oder Weltraumsonden) problematisch ist. Bei der Dekodierung wird eine – je nach Korrekturrate – große Tabelle benötigt; der Speicherverbrauch ist dementsprechend groß. Aus diesem Grund werden in der Regel zusätzliche Eigenschaften der Codes benutzt, um diese effizient zu kodieren und dekodieren. Binäre [[Zyklischer Code\|zyklische Codes]] lassen sich beispielsweise sehr einfach mittels [[Schieberegister]] und [[Exklusiv-Oder-Gatter]] realisieren.		Die Kodierung und Dekodierung ist, so wie sie oben beschrieben ist, relativ aufwendig. Bei der Kodierung muss die Erzeugermatrix im Speicher gehalten werden, was bei Systemen mit begrenzten Ressourcen (zum Beispiel mobile Endgeräte oder Weltraumsonden) problematisch ist. Bei der Dekodierung wird eine – je nach Korrekturrate – große Tabelle benötigt; der Speicherverbrauch ist dementsprechend groß. Aus diesem Grund werden in der Regel zusätzliche Eigenschaften der Codes benutzt, um diese effizient zu kodieren und dekodieren. Binäre [[Zyklischer Code\|zyklische Codes]] lassen sich beispielsweise sehr einfach mittels [[Schieberegister]] und [[Exklusiv-Oder-Gatter]] realisieren.

	== Dualer Code ==		== Dualer Code ==

Wdwd: rev, bitte um Kommentar warum - Ggf. auf Disk.

2019-06-07T09:19:12Z

rev, bitte um Kommentar warum - Ggf. auf Disk.

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2019, 10:19 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	=== Beispiel ===		=== Beispiel ===

	Der binäre <math>[7,4,3]</math>-[[Hamming-Code]] besitzt folgende Erzeugermatrix in reduzierter Form:		Der binäre <math>[7,4,3]</math>-[[Hamming-Code]] besitzt folgende Erzeugermatrix in reduzierter Form sowie die dazugehörige Kontrollmatrix:
	{\| style="margin-left:2em"		{\| style="margin-left:2em"
	\|-		\|-

2A00:8A60:C000:1:89D1:94F0:496A:7C49: /* Beispiel */Fehler korrigiert, die im folgenden angegebene Matrix ist keine Kontrollmatrix des [7, 4, 3] -Hamming-Code

2019-06-07T06:43:26Z

Beispiel: Fehler korrigiert, die im folgenden angegebene Matrix ist keine Kontrollmatrix des [7, 4, 3] -Hamming-Code

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2019, 07:43 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	=== Beispiel ===		=== Beispiel ===

	Der binäre <math>[7,4,3]</math>-[[Hamming-Code]] besitzt folgende Erzeugermatrix in reduzierter Form ~~sowie die dazugehörige Kontrollmatrix~~:		Der binäre <math>[7,4,3]</math>-[[Hamming-Code]] besitzt folgende Erzeugermatrix in reduzierter Form:
	{\| style="margin-left:2em"		{\| style="margin-left:2em"
	\|-		\|-

A.kotlorz: Rang der Matrix ist gleich k (und nicht n).

2019-05-27T08:17:02Z

Rang der Matrix ist gleich k (und nicht n).

← Nächstältere Version		Version vom 27. Mai 2019, 09:17 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
	zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''Kontrollmatrix'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (Mathematik)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>n</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.		zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''Kontrollmatrix'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (Mathematik)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>k</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.

	Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der Hamming-Abstand des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.		Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der Hamming-Abstand des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.

143.93.17.16: Falsche Angaben. Auch im Beispiel ist zu sehen, dass der Rang von G n ist und nicht k

2019-02-06T11:26:38Z

Falsche Angaben. Auch im Beispiel ist zu sehen, dass der Rang von G n ist und nicht k

← Nächstältere Version		Version vom 6. Februar 2019, 12:26 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	</math>		</math>
	zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''Kontrollmatrix'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (Mathematik)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>k</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.		zusammen, erhält man eine ''[[Generatormatrix\|Erzeugermatrix]]''. Des Weiteren besitzt der Code eine ''Kontrollmatrix'' <math>H</math>. Für sie gilt <math>H c^T=0</math> genau dann, wenn <math>c</math> ein Codewort ist. Der [[Rang (Mathematik)\|Rang]] von <math>G</math> ist <math>n</math>, der von <math>H</math> ist <math>n-k</math>. Der [[Hamming-Abstand#Hamming-Abstand eines Codes\|Hamming-Abstand]] von <math>C</math> ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spalten der Kontrollmatrix.

	Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der Hamming-Abstand des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.		Das [[Hamming-Gewicht]] eines Codewortes <math>c=(c_1,\dots,c_n)</math> ist gleich der Anzahl der <math>c_i</math>, die von Null verschieden sind. Beispielsweise hat das Codewort <math>(4 3 0 5 4 0)</math> über <math>\mathbb{F}_7^6</math> das Hamming-Gewicht 4. Der Hamming-Abstand des Codes ist gleich dem kleinsten Hamming-Gewicht aller Codewörter außer dem Nullwort.

Pemu am 19. April 2018 um 22:38 Uhr

2018-04-19T22:38:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. April 2018, 23:38 Uhr
Zeile 196:		Zeile 196:

	== Anwendung ==		== Anwendung ==
	Die Kodierung und Dekodierung ist, so wie sie oben beschrieben ist, relativ aufwendig. Bei der Codierung muss die Erzeugermatrix im Speicher gehalten werden, was bei Systemen mit begrenzten Ressourcen (zum Beispiel mobile Endgeräte oder Weltraumsonden) problematisch ist. Bei der Dekodierung wird eine – je nach Korrekturrate – große Tabelle benötigt; der Speicherverbrauch ist dementsprechend groß. Aus diesem Grund werden in der Regel zusätzliche Eigenschaften der Codes benutzt, um diese effizient zu kodieren und dekodieren. Binäre [[Zyklischer Code\|zyklische Codes]] lassen sich beispielsweise sehr einfach mittels [[Schieberegister]] und [[~~XOR~~-Gatter]] realisieren.		Die Kodierung und Dekodierung ist, so wie sie oben beschrieben ist, relativ aufwendig. Bei der Codierung muss die Erzeugermatrix im Speicher gehalten werden, was bei Systemen mit begrenzten Ressourcen (zum Beispiel mobile Endgeräte oder Weltraumsonden) problematisch ist. Bei der Dekodierung wird eine – je nach Korrekturrate – große Tabelle benötigt; der Speicherverbrauch ist dementsprechend groß. Aus diesem Grund werden in der Regel zusätzliche Eigenschaften der Codes benutzt, um diese effizient zu kodieren und dekodieren. Binäre [[Zyklischer Code\|zyklische Codes]] lassen sich beispielsweise sehr einfach mittels [[Schieberegister]] und [[Exklusiv-Oder-Gatter]] realisieren.

	== Dualer Code ==		== Dualer Code ==