Konisches Programm - Versionsgeschichte

Thomas Dresler: Korrektur

2024-09-19T13:16:26Z

Korrektur

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	\end{align} </math>,		\end{align} </math>,

	was wieder ~~eine~~ konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also stets wieder konische Probleme. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt man wieder zum Ausgangsproblem		was wieder ein konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also stets wieder konische Probleme. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt man wieder zum Ausgangsproblem

	Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#Starke Dualität\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.		Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#Starke Dualität\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.

BumbleMath: Link hinzugefügt

2023-12-11T15:13:28Z

Link hinzugefügt

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	== Definition ==		== Definition ==
	=== Abstrakte Definition ===		=== Abstrakte Definition ===
	Gegeben sei ein reeller [[Vektorraum]] <math> V_1 </math> versehen mit einem [[Skalarprodukt]] <math> \langle{\cdot},{\cdot}\rangle_1 </math> und einem abgeschlossenen, spitzen und [[konvexer Kegel\|konvexen Kegel]] <math> K </math> mit nichtleerem Inneren. Des Weiteren seien <math> B,C \in V_1 </math> und <math> \mathcal{L} </math> ein [[linearer Unterraum]] von <math> V_1 </math>. Dann heißt das Optimierungsproblem		Gegeben sei ein reeller [[Vektorraum]] <math> V_1 </math> versehen mit einem [[Skalarprodukt]] <math> \langle{\cdot},{\cdot}\rangle_1 </math> und einem abgeschlossenen, spitzen und [[konvexer Kegel\|konvexen Kegel]] <math> K </math> mit nichtleerem Inneren. Des Weiteren seien <math> B,C \in V_1 </math> und <math> \mathcal{L} </math> ein [[linearer Unterraum]] von <math> V_1 </math>. Dann heißt das [[Optimierungsproblem]]
	:<math> \begin{align}		:<math> \begin{align}
	\text{Minimiere } & s(X)=\langle{C},{X}\rangle_1 \\		\text{Minimiere } & s(X)=\langle{C},{X}\rangle_1 \\

Aka: https, Links normiert, Kleinkram

2021-03-06T20:09:04Z

https, Links normiert, Kleinkram

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	\end{align} </math>		\end{align} </math>

	ein konisches Programm oder konisches Optimierungsproblem. Gesucht wird also ein Element eines Vektorraumes, das sowohl in einem Kegel als auch in einem [[Affiner Unterraum\|affinen Unterraum]] liegt und minimal bezüglich des Skalarproduktes ist.		ein konisches Programm oder konisches Optimierungsproblem. Gesucht wird also ein Element eines Vektorraumes, das sowohl in einem Kegel als auch in einem [[Affiner Unterraum\|affinen Unterraum]] liegt und minimal bezüglich des Skalarproduktes ist.

	=== Konvexe Definition ===		=== Konvexe Definition ===
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	== Dualität ==		== Dualität ==
	=== Dualität konischer Programme ===		=== Dualität konischer Programme ===
	Betrachtet man das Problem		Betrachtet man das Problem
	:<math> \begin{align}		:<math> \begin{align}
	\text{Minimiere } & s(X)=\langle{C},{X}\rangle_1 \\		\text{Minimiere } & s(X)=\langle{C},{X}\rangle_1 \\
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	was wieder eine konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also stets wieder konische Probleme. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt man wieder zum Ausgangsproblem		was wieder eine konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also stets wieder konische Probleme. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt man wieder zum Ausgangsproblem

	Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#~~Starke_Dualit.C3.A4t~~\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.		Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#Starke Dualität\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.
	Ein schwächeres Ergebnis ist, dass der Zielfunktionswert des dualen Problems stets kleiner als der Zielfunktionswert des primalen Problems ist. Diese Aussage ist auch als schwache Dualität bekannt.		Ein schwächeres Ergebnis ist, dass der Zielfunktionswert des dualen Problems stets kleiner als der Zielfunktionswert des primalen Problems ist. Diese Aussage ist auch als schwache Dualität bekannt.

Zeile 141:		Zeile 141:
	== Literatur ==		== Literatur ==
	* Florian Jarre, Josef Stoer: ''Optimierung.'' Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.		* Florian Jarre, Josef Stoer: ''Optimierung.'' Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.
	* Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. ([~~http~~://~~www~~.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ online])		* Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. ([https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ online])

	[[Kategorie:Konvexe Optimierung]]		[[Kategorie:Konvexe Optimierung]]

부고: /* Literatur */

2016-09-01T07:28:36Z

Literatur

← Nächstältere Version		Version vom 1. September 2016, 09:28 Uhr
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	* Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. ([http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ online])		* Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. ([http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ online])

	[[Kategorie:Optimierung]]		[[Kategorie:Konvexe Optimierung]]

141.113.3.15: tippfehler

2016-07-19T07:52:54Z

tippfehler

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2016, 09:52 Uhr
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	Analog zu den Linearen Programmen kann man konische Programme auch in einer Standardform und einer Ungleichungsform angeben. Dazu betrachtet man die von dem Kegel induzierte [[verallgemeinerte Ungleichung]] <math> \preccurlyeq_K </math> und einen weiteren Vektorraum <math> V_2 </math> mit einem Skalarprodukt <math> \langle{\cdot},{\cdot}\rangle_2 </math>		Analog zu den Linearen Programmen kann man konische Programme auch in einer Standardform und einer Ungleichungsform angeben. Dazu betrachtet man die von dem Kegel induzierte [[verallgemeinerte Ungleichung]] <math> \preccurlyeq_K </math> und einen weiteren Vektorraum <math> V_2 </math> mit einem Skalarprodukt <math> \langle{\cdot},{\cdot}\rangle_2 </math>
	==== Standardform ====		==== Standardform ====
	Ein konisches Programm in Standardform (oder Normalform) lässt sich nun wie folgt definieren: <math> X \in \mathcal{K} </math> lässt sich auch als <math> X \succcurlyeq_{K} 0 </math> schreiben. Betrachtet man eine lineare Funktion <math> L: V_1 \mapsto V_2 </math>, so lässt sich der ~~linearen~~ Unterraum <math> \mathcal{L} </math> durch ~~die~~ diese Funktion beschreiben.		Ein konisches Programm in Standardform (oder Normalform) lässt sich nun wie folgt definieren: <math> X \in \mathcal{K} </math> lässt sich auch als <math> X \succcurlyeq_{K} 0 </math> schreiben. Betrachtet man eine lineare Funktion <math> L: V_1 \mapsto V_2 </math>, so lässt sich der lineare Unterraum <math> \mathcal{L} </math> durch diese Funktion beschreiben.
	Somit lässt sich auch folgende Definition eines konischen Programmes geben:		Somit lässt sich auch folgende Definition eines konischen Programmes geben:
	:<math>		:<math>

141.113.3.15: /* Definition */ Tippfelher korrigiert.

2016-07-19T07:31:25Z

Definition: Tippfelher korrigiert.

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2016, 09:31 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	\end{align} </math>		\end{align} </math>

	ein konisches Programm oder konisches Optimierungsproblem. Gesucht wird also ein ~~Elemente~~ eines Vektorraumes, das sowohl in einem Kegel als auch in einem [[Affiner Unterraum\|affinen Unterraum]] liegt und minimal bezüglich des Skalarproduktes ist.		ein konisches Programm oder konisches Optimierungsproblem. Gesucht wird also ein Element eines Vektorraumes, das sowohl in einem Kegel als auch in einem [[Affiner Unterraum\|affinen Unterraum]] liegt und minimal bezüglich des Skalarproduktes ist.

	=== Konvexe Definition ===		=== Konvexe Definition ===

Flusswehrwolf: /* Lagrange-Dualität */Deutsch

2015-10-16T15:31:20Z

Lagrange-Dualität: Deutsch

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2015, 17:31 Uhr
Zeile 121:		Zeile 121:
	\end{align} </math>,		\end{align} </math>,

	was wieder eine konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also stets wieder konische ~~Problem~~. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt ~~maan~~ wieder zum Ausgangsproblem		was wieder eine konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also stets wieder konische Probleme. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt man wieder zum Ausgangsproblem

	Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#Starke_Dualit.C3.A4t\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.		Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#Starke_Dualit.C3.A4t\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.
	Ein schwächeres Ergebnis ist, dass der Zielfunktionswert des dualen Problems ~~stehts~~ kleiner als der Zielfunktionswert des primalen Problems ist. Diese Aussage ist auch als schwache Dualität bekannt.		Ein schwächeres Ergebnis ist, dass der Zielfunktionswert des dualen Problems stets kleiner als der Zielfunktionswert des primalen Problems ist. Diese Aussage ist auch als schwache Dualität bekannt.

	=== Zusammenhang der Dualitätsbegriffe ===		=== Zusammenhang der Dualitätsbegriffe ===

Flusswehrwolf: /* Lagrange-Dualität */

2015-10-16T15:30:07Z

Lagrange-Dualität

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2015, 17:30 Uhr
Zeile 121:		Zeile 121:
	\end{align} </math>,		\end{align} </math>,

	was wieder eine konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also ~~stehts~~ wieder konische Problem. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt maan wieder zum Ausgangsproblem		was wieder eine konisches Programm in Normalform ist. Duale Probleme von konischen Problemen sind also stets wieder konische Problem. Bildet man außerdem das duale Problem eines dualen Problems, so gelangt maan wieder zum Ausgangsproblem

	Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#Starke_Dualit.C3.A4t\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.		Gilt die Slater-Bedingung (siehe unten), so gilt [[Lagrange-Dualität#Starke_Dualit.C3.A4t\|starke Dualität]], das heißt die Optimalwerte des primalen und des dualen Problems stimmen überein.

NikelsenH: /* Lagrange-Dualität */

2015-04-11T16:40:59Z

Lagrange-Dualität

← Nächstältere Version		Version vom 11. April 2015, 18:40 Uhr
Zeile 116:		Zeile 116:
	:<math>		:<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	\text{Maximiere } & s(\Lambda)=\langle{\Lambda},{B}\rangle_1 \\		\text{Maximiere } & s(\Lambda)=-\langle{\Lambda},{B}\rangle_1 \\
	\text{unter den Nebenbedingungen } & -\Lambda \preccurlyeq_{K^D} 0_{V_1} \\		\text{unter den Nebenbedingungen } & -\Lambda \preccurlyeq_{K^D} 0_{V_1} \\
	& L(\Lambda)+c=0_{V_2}		& L(\Lambda)+c=0_{V_2}

NikelsenH am 11. April 2015 um 15:02 Uhr

2015-04-11T15:02:25Z

@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 :<math> L(X,\Lambda, \mu)=\langle{C},{X}\rangle_1-\langle{X},{\Lambda}\rangle_1+\langle{b},{\mu}\rangle_2-\langle{X},{L^*(\mu)}\rangle_1 </math>.
 :<math>
 \begin{align}
@@ Zeile 94: / Zeile 101: @@
 \end{align} </math>,
-was ein konisches Programm in Ungleichungsform ist. Durch eine Substitution <math> \mu = - \tilde \mu </math> kann auch dieses Problem in ein Minimierungsproblem umgewandelt werden, als Maximierungsproblem hat es jedoch größere Ähnlichkeit zu einem Linearen Programm. Zwischen dem primalen und dem dualen Problem besteht stets der Zusammenhang
+was ein konisches Programm in Ungleichungsform ist. Ein Minimierungsproblem erhält man, indem man das Vorzeichen der Zielfunktion umkehrt.
 === Zusammenhang der Dualitätsbegriffe ===