Golay-Code - Versionsgeschichte

Invisigoth67: form

2025-05-08T15:16:15Z

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	== Der ternäre Golay-Code ==		== Der ternäre Golay-Code ==
	Der '''ternäre Golay-Code''' <math>G_{11}</math> ist definiert als der ternäre quadratische Reste-Code der Länge 11. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (11,6,5)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 6-dimensionaler Untervektorraum des 11-dimensionalen Vektorraums <math>\mathbb{F}_3^{11}</math> mit dem Mindestabstand 5 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=2</math>. Der Code ist also 2-fehlerkorrigierend. Auch hier erfüllen die Parameter die oben genannte Gleichung, also ist auch der ternäre Golay-Code <math>G_{11}</math> perfekt.		Der '''ternäre Golay-Code''' <math>G_{11}</math> ist definiert als der ternäre quadratische Reste-Code der Länge 11. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (11,6,5)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 6-dimensionaler Untervektorraum des 11-dimensionalen Vektorraums <math>\mathbb{F}_3^{11}</math> mit dem Mindestabstand 5 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=2</math>. Der Code ist also 2-fehlerkorrigierend. Auch hier erfüllen die Parameter die oben genannte Gleichung, also ist auch der ternäre Golay-Code <math>G_{11}</math> perfekt.

			== Einzelnachweise ==
			<references />

	[[Kategorie:Kodierungstheorie]]		[[Kategorie:Kodierungstheorie]]

Leniesco: Quelle ergänzt

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Quelle ergänzt

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	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können.<ref>{{Literatur \|Autor=ER Berlekamp \|Titel=Decoding the Golay code \|Sammelwerk=Technical Report 32-1526 \|Band=XI \|Verlag=California Institut of Technology \|Ort=Pasadena, California \|Datum=1972-10-15 \|Seiten=83}}</ref> Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].

	== Der binäre Golay-Code ==		== Der binäre Golay-Code ==

Hiram Percy Krenkel am 18. August 2021 um 19:41 Uhr

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	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].

Björn Hagemann: Änderungen von 217.224.177.7 (Diskussion) auf die letzte Version von RoBri zurückgesetzt

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	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].

	== Der binäre ~~Gay~~-Code ==		== Der binäre Golay-Code ==
	[[Datei:BinaryGolayCode.svg\|mini\|Generatormatrix für den erweiterten binären Golay-Code]]		[[Datei:BinaryGolayCode.svg\|mini\|Generatormatrix für den erweiterten binären Golay-Code]]
	Der '''binäre Golay-Code''' <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler [[Untervektorraum]] des 23-dimensionalen [[Vektorraum]]s <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen [[Hamming-Distanz]] 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.		Der '''binäre Golay-Code''' <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler [[Untervektorraum]] des 23-dimensionalen [[Vektorraum]]s <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen [[Hamming-Distanz]] 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.

217.224.177.7 am 27. November 2018 um 10:25 Uhr

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	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].

	== Der binäre ~~Golay~~-Code ==		== Der binäre Gay-Code ==
	[[Datei:BinaryGolayCode.svg\|mini\|Generatormatrix für den erweiterten binären Golay-Code]]		[[Datei:BinaryGolayCode.svg\|mini\|Generatormatrix für den erweiterten binären Golay-Code]]
	Der '''binäre Golay-Code''' <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler [[Untervektorraum]] des 23-dimensionalen [[Vektorraum]]s <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen [[Hamming-Distanz]] 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.		Der '''binäre Golay-Code''' <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler [[Untervektorraum]] des 23-dimensionalen [[Vektorraum]]s <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen [[Hamming-Distanz]] 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.

RoBri: Revert: war richtig

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Revert: war richtig

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	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem ~~schweizer~~ Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].

	== Der binäre Golay-Code ==		== Der binäre Golay-Code ==

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	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem ~~Schweizer~~ Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].

	== Der binäre Golay-Code ==		== Der binäre Golay-Code ==

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	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code~~\|Wiederholungs-Codes~~]]) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].

	== Der binäre Golay-Code ==		== Der binäre Golay-Code ==
	[[Datei:BinaryGolayCode.svg\|~~thumb\|right~~\|Generatormatrix für den erweiterten binären Golay-Code]]		[[Datei:BinaryGolayCode.svg\|mini\|Generatormatrix für den erweiterten binären Golay-Code]]
	Der '''binäre Golay-Code''' <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler [[Untervektorraum]] des 23-dimensionalen [[Vektorraum]]s <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen [[Hamming-Distanz]] 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.		Der '''binäre Golay-Code''' <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler [[Untervektorraum]] des 23-dimensionalen [[Vektorraum]]s <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen [[Hamming-Distanz]] 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.

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	=== Der erweiterte binäre Golay-Code ===		=== Der erweiterte binäre Golay-Code ===
	Hängt man dem binären Golay-Code <math>G_{23}</math> ein Paritätsbit an, so erhält man den '''erweiterten binären Golay-Code''' <math>G_{24}</math> mit den Parametern <math>(n,k,d)=(24,12,8)</math>. Dieser Code ist [[doppelt-gerader Code\|doppelt gerade]], d.h. alle Codewörter haben ein durch 4 teilbares [[Hamming-Gewicht]].		Hängt man dem binären Golay-Code <math>G_{23}</math> ein Paritätsbit an, so erhält man den '''erweiterten binären Golay-Code''' <math>G_{24}</math> mit den Parametern <math>(n,k,d)=(24,12,8)</math>. Dieser Code ist [[doppelt-gerader Code\|doppelt gerade]], d. h. alle Codewörter haben ein durch 4 teilbares [[Hamming-Gewicht]].

	Die [[Automorphismengruppe]] des erweiterten binären Golay-Codes ist die [[Mathieugruppe]] <math>M_{24}</math>, eine [[sporadische Gruppe]].		Die [[Automorphismengruppe]] des erweiterten binären Golay-Codes ist die [[Mathieugruppe]] <math>M_{24}</math>, eine [[sporadische Gruppe]].

Claude J: /* Der erweiterte binäre Golay-Code */ link

2016-08-20T14:46:34Z

Der erweiterte binäre Golay-Code: link

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	Hängt man dem binären Golay-Code <math>G_{23}</math> ein Paritätsbit an, so erhält man den '''erweiterten binären Golay-Code''' <math>G_{24}</math> mit den Parametern <math>(n,k,d)=(24,12,8)</math>. Dieser Code ist [[doppelt-gerader Code\|doppelt gerade]], d.h. alle Codewörter haben ein durch 4 teilbares [[Hamming-Gewicht]].		Hängt man dem binären Golay-Code <math>G_{23}</math> ein Paritätsbit an, so erhält man den '''erweiterten binären Golay-Code''' <math>G_{24}</math> mit den Parametern <math>(n,k,d)=(24,12,8)</math>. Dieser Code ist [[doppelt-gerader Code\|doppelt gerade]], d.h. alle Codewörter haben ein durch 4 teilbares [[Hamming-Gewicht]].

	Die [[Automorphismengruppe]] des erweiterten binären Golay-Codes ist die [[~~Mathieu-Gruppe~~]] <math>M_{24}</math>, eine [[sporadische Gruppe]].		Die [[Automorphismengruppe]] des erweiterten binären Golay-Codes ist die [[Mathieugruppe]] <math>M_{24}</math>, eine [[sporadische Gruppe]].

	== Der ternäre Golay-Code ==		== Der ternäre Golay-Code ==

Der.Traeumer: Änderungen von 91.66.229.136 (Diskussion) auf die letzte Version von Schotterebene zurückgesetzt (HG)

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Änderungen von 91.66.229.136 (Diskussion) auf die letzte Version von Schotterebene zurückgesetzt (HG)

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	== ffff ==
	Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code\|Wiederholungs-Codes]]) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].		Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code\|Wiederholungs-Codes]]) bis auf [[Isomorphismus\|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code\|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code\|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code\|linearen Code]].