Erlanger Programm - Versionsgeschichte

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	{{Dieser Artikel\|befasst sich mit dem geometrischen Forschungsprogramm von Felix Klein. Zu anderen in Erlangen entwickelten Forschungsprogrammen siehe [[Erlanger Schule]].}}		{{Dieser Artikel\|befasst sich mit dem geometrischen Forschungsprogramm von Felix Klein. Zu anderen in Erlangen entwickelten Forschungsprogrammen siehe [[Erlanger Schule]].}}
	Das '''Erlanger Programm''' bezeichnet die von [[Felix Klein]] bei seinem Eintritt in die [[Universität Erlangen]] vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die [[Geometrie]] die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen, anstrebt.		Das '''Erlanger Programm''' bezeichnet die von [[Felix Klein (Mathematiker)\|Felix Klein]] bei seinem Eintritt in die [[Universität Erlangen]] vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die [[Geometrie]] die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen, anstrebt.

	== Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms ==		== Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms ==
	[[Felix Klein]] skizzierte eine [[Geometrie]] jenseits der [[euklidische Geometrie\|euklidischen Geometrie]], namentlich die [[hyperbolische Geometrie]]		[[Felix Klein (Mathematiker)\|Felix Klein]] skizzierte eine [[Geometrie]] jenseits der [[euklidische Geometrie\|euklidischen Geometrie]], namentlich die [[hyperbolische Geometrie]]
	nach [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski\|Lobatschewski]], die später für die [[Relativitätstheorie]] in der [[Physik]] Bedeutung erlangte, sowie die [[elliptische Geometrie]]. Diese beiden nichteuklidischen [[Geometrie]]n		nach [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski\|Lobatschewski]], die später für die [[Relativitätstheorie]] in der [[Physik]] Bedeutung erlangte, sowie die [[elliptische Geometrie]]. Diese beiden nichteuklidischen [[Geometrie]]n
	wurden bald darauf wichtig in der [[Differentialgeometrie]].		wurden bald darauf wichtig in der [[Differentialgeometrie]].

Noledjman: Korrektur des Autorennamens (David E. Rowe und nicht David J. Rowe,) und des Titels des Artikels in der Zitierung des Buches von Rowe und McCleary

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Korrektur des Autorennamens (David E. Rowe und nicht David J. Rowe,) und des Titels des Artikels in der Zitierung des Buches von Rowe und McCleary

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	* [[Renate Tobies]]: ''Felix Klein.'' Teubner, Leipzig 1981.		* [[Renate Tobies]]: ''Felix Klein.'' Teubner, Leipzig 1981.
	* Renate Tobies: ''Felix Klein in Erlangen und München.'' In: ''Amphora: Festschrift für Hans Wussing zu seinem 65. Geburtstag.'' Birkhäuser, 1992.		* Renate Tobies: ''Felix Klein in Erlangen und München.'' In: ''Amphora: Festschrift für Hans Wussing zu seinem 65. Geburtstag.'' Birkhäuser, 1992.
	* [[David J. Rowe]], John McCleary (Hrsg.): ''~~Klein,~~ ~~Lie,~~ ~~and~~ ~~the~~ ~~Geometric~~ ~~Background~~ of ~~the~~ ~~Erlangen~~ ~~Program.~~'' In: ''The History of Modern Mathematics. Ideas and their Reception.'' Academic Press, Boston 1989, Bd. 1, S. 209–273.		* [[David E. Rowe]], John McCleary (Hrsg.): ''The Early Geometrical Works of Sophus Lie and Felix Klein''. In: ''The History of Modern Mathematics. Ideas and their Reception.'' Academic Press, Boston 1989, Bd. 1, S. 209–273.
	* Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): ''Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen Program and Its Impact in Mathematics and Physics.'' IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2015.		* Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): ''Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen Program and Its Impact in Mathematics and Physics.'' IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2015.

ChristophDemmer: /* Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms */

2022-10-09T07:00:01Z

Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms

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	== Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms ==		== Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms ==
	[[Felix Klein]] skizzierte eine [[Geometrie]] jenseits der [[euklidische Geometrie\|euklidischen Geometrie]], namentlich die [[hyperbolische Geometrie]]		[[Felix Klein]] skizzierte eine [[Geometrie]] jenseits der [[euklidische Geometrie\|euklidischen Geometrie]], namentlich die [[hyperbolische Geometrie]]
	nach [[Lobatschewski]], die später für die [[Relativitätstheorie]] in der [[Physik]] Bedeutung erlangte, sowie die [[elliptische Geometrie]]. Diese beiden nichteuklidischen [[Geometrie]]n		nach [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski\|Lobatschewski]], die später für die [[Relativitätstheorie]] in der [[Physik]] Bedeutung erlangte, sowie die [[elliptische Geometrie]]. Diese beiden nichteuklidischen [[Geometrie]]n
	wurden bald darauf wichtig in der [[Differentialgeometrie]].		wurden bald darauf wichtig in der [[Differentialgeometrie]].

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	Bei jeder der sich so ergebenden [[Geometrie]]n bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine [[Gruppe (Mathematik)\|Gruppe]], die Transformationsgruppe der jeweils betrachteten Geometrie. Die in der betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller Transformationen der Transformationsgruppe invariant.		Bei jeder der sich so ergebenden [[Geometrie]]n bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine [[Gruppe (Mathematik)\|Gruppe]], die Transformationsgruppe der jeweils betrachteten Geometrie. Die in der betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller Transformationen der Transformationsgruppe invariant.

	Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der Bewegungen (also der [[Parallelverschiebung\|Translationen]], [[Drehung]]en oder [[Spiegelung (Geometrie)\|Spiegelungen]]) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.		Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der [[Bewegung (Mathematik)\|Bewegungen]] (also der [[Parallelverschiebung\|Translationen]], [[Drehung]]en oder [[Spiegelung (Geometrie)\|Spiegelungen]]) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.
	* Verzichtet man bei den zugelassenen Transformationen auf die Längentreue und lässt auch Punktstreckungen zu, so erhält man die äquiforme Gruppe der Transformationen, die die Ähnlichkeits- oder äquiforme Geometrie kennzeichnet.		* Verzichtet man bei den zugelassenen Transformationen auf die Längentreue und lässt auch Punktstreckungen zu, so erhält man die äquiforme Gruppe der Transformationen, die die Ähnlichkeits- oder äquiforme Geometrie kennzeichnet.
	* Verzichtet man auch auf die Winkeltreue, so gelangt man zur Transformationsgruppe der bei Koordinatendarstellung linearen Transformationen, d. h. der [[Kollineation]]en, die das [[Teilverhältnis]] je dreier Punkte erhalten. Sie kennzeichnen die [[affine Geometrie]].		* Verzichtet man auch auf die Winkeltreue, so gelangt man zur Transformationsgruppe der bei Koordinatendarstellung linearen Transformationen, d. h. der [[Kollineation]]en, die das [[Teilverhältnis]] je dreier Punkte erhalten. Sie kennzeichnen die [[affine Geometrie]].

Boobarkee: /* Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms */

2020-08-21T11:40:30Z

Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms

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	wurden bald darauf wichtig in der [[Differentialgeometrie]].		wurden bald darauf wichtig in der [[Differentialgeometrie]].

	Bei jeder der sich so ergebenden [[Geometrie]]n bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine [[Gruppe (Mathematik)\|Gruppe]], die Transformationsgruppe der Geometrie. Die in der betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller Transformationen der Transformationsgruppe invariant.		Bei jeder der sich so ergebenden [[Geometrie]]n bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine [[Gruppe (Mathematik)\|Gruppe]], die Transformationsgruppe der jeweils betrachteten Geometrie. Die in der betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller Transformationen der Transformationsgruppe invariant.

	Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der Bewegungen (also der [[Parallelverschiebung\|Translationen]], [[Drehung]]en oder [[Spiegelung (Geometrie)\|Spiegelungen]]) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.		Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der Bewegungen (also der [[Parallelverschiebung\|Translationen]], [[Drehung]]en oder [[Spiegelung (Geometrie)\|Spiegelungen]]) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.

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	{{Dieser Artikel\|befasst sich mit dem geometrischen Forschungsprogramm von Felix Klein. Zu anderen in Erlangen entwickelten Forschungsprogrammen siehe [[Erlanger Schule]].}}		{{Dieser Artikel\|befasst sich mit dem geometrischen Forschungsprogramm von Felix Klein. Zu anderen in Erlangen entwickelten Forschungsprogrammen siehe [[Erlanger Schule]].}}
	Das '''Erlanger Programm''' bezeichnet die von [[Felix Klein]] bei seinem Eintritt in die [[Universität Erlangen]] vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die [[Geometrie]] die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen anstrebt.		Das '''Erlanger Programm''' bezeichnet die von [[Felix Klein]] bei seinem Eintritt in die [[Universität Erlangen]] vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die [[Geometrie]] die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen, anstrebt.


	== Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms ==		== Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms ==
	[[Felix Klein]] skizzierte eine [[Geometrie]] jenseits der [[euklidische Geometrie\|euklidischen Geometrie]], namentlich die [[hyperbolische Geometrie]]		[[Felix Klein]] skizzierte eine [[Geometrie]] jenseits der [[euklidische Geometrie\|euklidischen Geometrie]], namentlich die [[hyperbolische Geometrie]]

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	Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der Bewegungen (also der [[Parallelverschiebung\|Translationen]], [[Drehung]]en oder [[Spiegelung (Geometrie)\|Spiegelungen]]) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.		Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der Bewegungen (also der [[Parallelverschiebung\|Translationen]], [[Drehung]]en oder [[Spiegelung (Geometrie)\|Spiegelungen]]) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.
	* Verzichtet man bei den zugelassenen Transformationen auf die Längentreue und lässt auch Punktstreckungen zu, so erhält man die äquiforme Gruppe der Transformationen, die die Ähnlichkeits- oder äquiforme Geometrie kennzeichnet.		* Verzichtet man bei den zugelassenen Transformationen auf die Längentreue und lässt auch Punktstreckungen zu, so erhält man die äquiforme Gruppe der Transformationen, die die Ähnlichkeits- oder äquiforme Geometrie kennzeichnet.
	* Verzichtet man auch auf die Winkeltreue, so gelangt man zur Transformationsgruppe der bei Koordinatendarstellung linearen Transformationen, d.h. der [[Kollineation]]en, die das [[Teilverhältnis]] je dreier Punkte erhalten. Sie kennzeichnen die [[affine Geometrie]].		* Verzichtet man auch auf die Winkeltreue, so gelangt man zur Transformationsgruppe der bei Koordinatendarstellung linearen Transformationen, d. h. der [[Kollineation]]en, die das [[Teilverhältnis]] je dreier Punkte erhalten. Sie kennzeichnen die [[affine Geometrie]].
	* Fügt man schließlich zum Anschauungsraum noch unendlich ferne oder uneigentliche Punkte als Schnittpunkte von Parallelen hinzu, so lassen die Kollineationen in diesem Raum das [[Doppelverhältnis]] von je vier Punkten invariant und bilden die Gruppe der projektiven Transformationen, deren zugehörige Geometrie die projektive Geometrie ist.		* Fügt man schließlich zum Anschauungsraum noch unendlich ferne oder uneigentliche Punkte als Schnittpunkte von Parallelen hinzu, so lassen die Kollineationen in diesem Raum das [[Doppelverhältnis]] von je vier Punkten invariant und bilden die Gruppe der projektiven Transformationen, deren zugehörige Geometrie die projektive Geometrie ist.

FranzR: /* Literatur */

2015-04-23T05:43:08Z

Literatur

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	== Literatur ==		== Literatur ==
	* Renate Tobies: ''Felix Klein'', Teubner, Leipzig 1981		* [[Renate Tobies]]: ''Felix Klein.'' Teubner, Leipzig 1981.
	* ~~dies.~~ ''Felix Klein in Erlangen und München'', in Amphora, Festschrift Wussing, Birkhäuser 1992		* Renate Tobies: ''Felix Klein in Erlangen und München.'' In: ''Amphora: Festschrift für Hans Wussing zu seinem 65. Geburtstag.'' Birkhäuser, 1992.
	* David Rowe ''Klein, Lie, and the Geometric Background of the Erlangen Program'', in ''The History of Modern Mathematics- Ideas and their Reception''~~, Hrsg. Rowe, McCleary, eds.,~~ Academic Press, Boston 1989, Bd. 1, S.~~209-273~~		* [[David J. Rowe]], John McCleary (Hrsg.): ''Klein, Lie, and the Geometric Background of the Erlangen Program.'' In: ''The History of Modern Mathematics. Ideas and their Reception.'' Academic Press, Boston 1989, Bd. 1, S. 209–273.
	* Lizhen Ji ~~and~~ Athanase Papadopoulos (ed.) Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen ~~program~~ and ~~its~~ ~~impact~~ in ~~mathematics~~ and ~~physics,~~ IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich, 2015.		* Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): ''Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen Program and Its Impact in Mathematics and Physics.'' IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2015.

	== Weblinks ==		== Weblinks ==

Hdmgmp6: /* Literatur */

2015-04-23T04:45:13Z

Literatur

← Nächstältere Version		Version vom 23. April 2015, 06:45 Uhr
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	* dies. ''Felix Klein in Erlangen und München'', in Amphora, Festschrift Wussing, Birkhäuser 1992		* dies. ''Felix Klein in Erlangen und München'', in Amphora, Festschrift Wussing, Birkhäuser 1992
	* David Rowe ''Klein, Lie, and the Geometric Background of the Erlangen Program'', in ''The History of Modern Mathematics- Ideas and their Reception'', Hrsg. Rowe, McCleary, eds., Academic Press, Boston 1989, Bd. 1, S.209-273		* David Rowe ''Klein, Lie, and the Geometric Background of the Erlangen Program'', in ''The History of Modern Mathematics- Ideas and their Reception'', Hrsg. Rowe, McCleary, eds., Academic Press, Boston 1989, Bd. 1, S.209-273
			* Lizhen Ji and Athanase Papadopoulos (ed.) Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen program and its impact in mathematics and physics, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich, 2015.

	== Weblinks ==		== Weblinks ==

Jesi: + BKH zu Erlanger Schule

2015-02-28T13:26:45Z

+ BKH zu Erlanger Schule

← Nächstältere Version		Version vom 28. Februar 2015, 15:26 Uhr
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			{{Dieser Artikel\|befasst sich mit dem geometrischen Forschungsprogramm von Felix Klein. Zu anderen in Erlangen entwickelten Forschungsprogrammen siehe [[Erlanger Schule]].}}
	Das '''Erlanger Programm''' bezeichnet die von [[Felix Klein]] bei seinem Eintritt in die [[Universität Erlangen]] vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die [[Geometrie]] die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen anstrebt.		Das '''Erlanger Programm''' bezeichnet die von [[Felix Klein]] bei seinem Eintritt in die [[Universität Erlangen]] vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die [[Geometrie]] die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen anstrebt.