Deming-Regression - Versionsgeschichte

93.226.222.207: Bei der Berechnung des Quotientes der Fehlervarianzen war ein Fehler. Es muss heißen "x-Fehler-Varianz" durch "y-Fehler-Varianz". Das stimmt deshalb weil vorher bei meinen Daten nur Mist rauskam. Jetzt funtioniert die Regression endlich. ^^

2024-05-09T14:06:53Z

Bei der Berechnung des Quotientes der Fehlervarianzen war ein Fehler. Es muss heißen "x-Fehler-Varianz" durch "y-Fehler-Varianz". Das stimmt deshalb weil vorher bei meinen Daten nur Mist rauskam. Jetzt funtioniert die Regression endlich. ^^

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	== Rechenweg ==		== Rechenweg ==
	Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit <math>\sigma^2_\eta:=Var(\eta)</math> und <math>\sigma^2_\varepsilon:=Var(\varepsilon)</math>. Bekannt sei zumindest der Quotient der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\sigma_{\~~varepsilon~~}^2}{\sigma_{\~~eta~~}^2}</math>.		Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit <math>\sigma^2_\eta:=Var(\eta)</math> und <math>\sigma^2_\varepsilon:=Var(\varepsilon)</math>. Bekannt sei zumindest der Quotient der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\sigma_{\eta}^2}{\sigma_{\varepsilon}^2}</math>.

	Es wird eine Gerade		Es wird eine Gerade

Woches: ergänzt + korrigiert

2024-02-19T14:35:37Z

ergänzt + korrigiert

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	Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der [[Regressionsanalyse]]; sie beruht auf einer [[Maximum-Likelihood-Methode\|Maximum-Likelihood-Schätzung]] der [[Regressionsparameter]], bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und [[Normalverteilung\|normalverteilt]] angenommen werden und der Quotient <math>\delta</math> ihrer [[Varianz (Stochastik)\|Varianzen]] als bekannt unterstellt wird.		Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der [[Regressionsanalyse]]; sie beruht auf einer [[Maximum-Likelihood-Methode\|Maximum-Likelihood-Schätzung]] der [[Regressionsparameter]], bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und [[Normalverteilung\|normalverteilt]] angenommen werden und der Quotient <math>\delta</math> ihrer [[Varianz (Stochastik)\|Varianzen]] als bekannt unterstellt wird.

	Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von [[C.H. Kummell]] (1879) zurück;<ref>~~{{cite~~ ~~journal\|last=Kummell\|first=C~~. ~~H.\|year=1879\|title=~~Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity~~\|journal=~~The Analyst~~\|volume=~~6~~\|issue=~~4~~\|pages=97–105\|publisher=Annals~~ of ~~Mathematics\|doi=10~~.~~2307/~~2635646}}</ref> 1937 wurde die Methode von [[T.C. Koopmans]] wieder aufgegriffen<ref>~~{{cite~~ ~~book\|last=~~Koopmans\|~~first=T.~~ ~~C.\|year=1937\|title=~~Linear regression analysis of economic time series~~\|publisher~~=~~DeErven~~ F. Bohn, Haarlem, ~~Netherlands}}~~</ref> und in allgemeinerem Rahmen 1943 von [[William Edwards Deming\|W. E. Deming]] für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.<ref>~~{{cite~~ ~~book\|last=~~Deming\|~~first=W. E.\|authorlink=~~W. Edwards Deming~~\|year=1943\|title=~~Statistical adjustment of data~~\|publisher=~~Wiley, NY (Dover Publications ~~edition~~, 1985~~)\|isbn=~~0-486-64685-8}}</ref>		Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von [[C.H. Kummell]] (1879) zurück;<ref>Charles H. Kummell: ''Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity.'' In: ''[[The Analyst]].'' Band 6, Nummer 4, 1879, S. 97–105, {{JSTOR\|2635646}}.</ref> 1937 wurde die Methode von [[T.C. Koopmans]] wieder aufgegriffen<ref>[[Tjalling C. Koopmans\|Tjalling Koopmans]]: ''Linear regression analysis of economic time series'' (= ''Publications of the Netherland Economic Institute.'' 20). De Erven F. Bohn, Haarlem 1937.</ref> und in allgemeinerem Rahmen 1943 von [[William Edwards Deming\|W. E. Deming]] für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.<ref>[[William Edwards Deming\|W. Edwards Deming]]: ''Statistical adjustment of data.'' Wiley u. a., New York NY 1943, (Unabriged and corrected republication. Dover Publications, New York NY 1985, ISBN 0-486-64685-8).</ref>

	Die [[orthogonale Regression]] ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall <math>\delta = 1</math>. Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der [[York-Regression]].		Die [[orthogonale Regression]] ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall <math>\delta = 1</math>. Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der [[York-Regression]].
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	:<math>s_{xy} = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})</math>     ([[Stichprobenkovarianz]] der <math>(x_i, y_i)</math>).		:<math>s_{xy} = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})</math>     ([[Stichprobenkovarianz]] der <math>(x_i, y_i)</math>).

	Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:<ref>P. Glaister: '' Least squares revisited''. '' The Mathematical Gazette''. ~~Vol.~~ 85 (2001), S. 104–107, {{JSTOR\|3620485}}.</ref>		Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:<ref>Paul Glaister: ''Least squares revisited.'' In: ''[[The Mathematical Gazette]].'' Band 85, Nummer 502, 2001, S. 104–107, {{JSTOR\|3620485}}.</ref>

	:<math>\beta_1 = \frac{s_y^2 - \delta s_x^2 + \sqrt{(s_y^2 - \delta s_x^2)^2 + 4 \delta s_{xy}^2}}{2s_{xy}}</math>		:<math>\beta_1 = \frac{s_y^2 - \delta s_x^2 + \sqrt{(s_y^2 - \delta s_x^2)^2 + 4 \delta s_{xy}^2}}{2s_{xy}}</math>
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	== Erweiterung York-Regression ==		== Erweiterung York-Regression ==
	York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt<ref>York, D., Evensen, N. ~~M.,~~ ~~Martınez~~, M. ~~L.,~~ ~~and~~ Delgado~~, J. D. B.~~: Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line~~, Am~~. J. ~~Phys~~., 72, ~~367–375~~, ~~2004~~, {{DOI\|10.1119/1.1632486}}.</ref>.		York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt<ref>Derek York, Norman M. Evensen, Margarita López Martı́nez, Jonás De Basabe Delgado: ''Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line.'' In: ''[[American Journal of Physics]].'' Band 72, 2004, S. 367–375, {{DOI\|10.1119/1.1632486}}.</ref>.

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==

Nere: /* Erweiterung York-Regression */

2023-08-31T21:31:24Z

Erweiterung York-Regression

← Nächstältere Version		Version vom 31. August 2023, 23:31 Uhr
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	== Erweiterung York-Regression ==		== Erweiterung York-Regression ==
	York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt<ref>York, D., Evensen, N. M., Martınez, M. L., and Delgado, J. D. B.: Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line, Am. J. Phys., 72, 367–375, ~~https://doi.org/~~10.1119/1.1632486~~, 2004~~.</ref>.		York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt<ref>York, D., Evensen, N. M., Martınez, M. L., and Delgado, J. D. B.: Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line, Am. J. Phys., 72, 367–375, 2004, {{DOI\|10.1119/1.1632486}}.</ref>.

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==

Biggerj1: /* Einzelnachweise */

2023-04-12T12:48:24Z

Einzelnachweise

← Nächstältere Version		Version vom 12. April 2023, 14:48 Uhr
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	:<math>x_i^* = x_i + \frac{\beta_1}{\beta_1^2 + \delta}(y_i - \beta_0 - \beta_1x_i)</math>.		:<math>x_i^* = x_i + \frac{\beta_1}{\beta_1^2 + \delta}(y_i - \beta_0 - \beta_1x_i)</math>.

			== Erweiterung York-Regression ==
			York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt<ref>York, D., Evensen, N. M., Martınez, M. L., and Delgado, J. D. B.: Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line, Am. J. Phys., 72, 367–375, https://doi.org/10.1119/1.1632486, 2004.</ref>.

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==

Biggerj1: /* Rechenweg */

2023-02-04T20:12:39Z

Rechenweg

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2023, 22:12 Uhr
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	== Rechenweg ==		== Rechenweg ==
	Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit <math>\sigma^2_\eta:=Var(\eta)</math> und <math>\sigma^2_\varepsilon:=Var(\varepsilon)</math>. Bekannt sei zumindest der ~~Quotienten~~ der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{\sigma_{\eta}^2}</math>.		Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit <math>\sigma^2_\eta:=Var(\eta)</math> und <math>\sigma^2_\varepsilon:=Var(\varepsilon)</math>. Bekannt sei zumindest der Quotient der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{\sigma_{\eta}^2}</math>.

	Es wird eine Gerade		Es wird eine Gerade

Biggerj1: /* Rechenweg */Definition

2023-02-04T20:11:29Z

Rechenweg: Definition

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2023, 22:11 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	== Rechenweg ==		== Rechenweg ==
	Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit ~~bekanntem~~ Quotienten der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{\sigma_{\eta}^2}</math>.		Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit <math>\sigma^2_\eta:=Var(\eta)</math> und <math>\sigma^2_\varepsilon:=Var(\varepsilon)</math>. Bekannt sei zumindest der Quotienten der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{\sigma_{\eta}^2}</math>.

	Es wird eine Gerade		Es wird eine Gerade

Biggerj1 am 23. November 2022 um 13:09 Uhr

2022-11-23T13:09:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2022, 15:09 Uhr
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			[[Image:Total least squares.svg\|thumb\|Deming-Regression]]
	In der [[Statistik]] wird mit der '''Deming-Regression''' eine [[Ausgleichsgerade]] für eine endliche Menge [[Skalenniveau\|metrisch skalierter]] Datenpaare (<math>x_i, y_i</math>) nach der [[Methode der kleinsten Quadrate]] bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der [[Lineare Regression\|linearen Regression]]. Bei der Deming-Regression werden die [[Störgröße und Residuum\|Residuen]] (Messfehler) sowohl für die <math>x</math>- als auch für die <math>y</math>-Werte in das Modell einbezogen.		In der [[Statistik]] wird mit der '''Deming-Regression''' eine [[Ausgleichsgerade]] für eine endliche Menge [[Skalenniveau\|metrisch skalierter]] Datenpaare (<math>x_i, y_i</math>) nach der [[Methode der kleinsten Quadrate]] bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der [[Lineare Regression\|linearen Regression]]. Bei der Deming-Regression werden die [[Störgröße und Residuum\|Residuen]] (Messfehler) sowohl für die <math>x</math>- als auch für die <math>y</math>-Werte in das Modell einbezogen.

80.155.164.58: Quotienten der Fehlervarianzen sigma -> sigma_epsilon im Zähler

2020-06-17T15:41:56Z

Quotienten der Fehlervarianzen sigma -> sigma_epsilon im Zähler

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juni 2020, 17:41 Uhr
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	== Rechenweg ==		== Rechenweg ==
	Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit bekanntem Quotienten der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\~~sigma~~^2}{\sigma_{\eta}^2}</math>.		Die gemessenen Werte <math>x_i</math> und <math>y_i</math> werden als Summen der „[[Wahrer Wert\|wahren Werte]]“ <math>x_i^{}</math> bzw. <math>y_i^{}</math> und der „Fehler“ <math>\eta_i</math> bzw. <math>\varepsilon_i</math> aufgefasst, d. h. <math>(x_i, y_i) = (x_i^{} + \eta_i, y_i^{} + \varepsilon_i)</math> Die Datenpaare (<math>x_i^{}, y_i^{}</math>) liegen auf der zu berechnenden Geraden. <math>\eta_i</math> und <math>\varepsilon_i</math> seien unabhängig mit bekanntem Quotienten der [[Erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen\|Fehlervarianzen]] <math>\delta = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{\sigma_{\eta}^2}</math>.

	Es wird eine Gerade		Es wird eine Gerade

Cosal: /* Rechenweg */

2019-12-03T22:04:53Z

Rechenweg

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2019, 00:04 Uhr
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	:<math>s_x^2 = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2</math>     ([[Empirische Varianz\|Stichprobenvarianz]] der <math>x_i</math>)		:<math>s_x^2 = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2</math>     ([[Empirische Varianz\|Stichprobenvarianz]] der <math>x_i</math>)

	:<math>s_y^2 = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i-\overline{y})^2</math>     (Stichprobenvarianz der <math>y_i</math>		:<math>s_y^2 = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i-\overline{y})^2</math>     (Stichprobenvarianz der <math>y_i</math>)

	:<math>s_{xy} = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})</math>     ([[Stichprobenkovarianz]] der <math>(x_i, y_i)</math>).		:<math>s_{xy} = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})</math>     ([[Stichprobenkovarianz]] der <math>(x_i, y_i)</math>).

JonskiC: +kleinigkeiten

2019-12-01T19:25:09Z

+kleinigkeiten

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2019, 21:25 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	In der [[Statistik]] wird mit der '''Deming-Regression''' eine [[Ausgleichsgerade]] für eine endliche Menge [[Skalenniveau\|metrisch skalierter]] Datenpaare ''(x<~~sub>i</sub~~>,~~ y<sub>i~~</~~sub~~>)'' nach der [[Methode der kleinsten Quadrate]] bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der [[Lineare Regression\|linearen Regression]]. Bei der Deming-Regression werden die Residuen (Messfehler) sowohl für die ''x-'' als auch für die ''y-''Werte in das Modell einbezogen.		In der [[Statistik]] wird mit der '''Deming-Regression''' eine [[Ausgleichsgerade]] für eine endliche Menge [[Skalenniveau\|metrisch skalierter]] Datenpaare (<math>x_i, y_i</math>) nach der [[Methode der kleinsten Quadrate]] bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der [[Lineare Regression\|linearen Regression]]. Bei der Deming-Regression werden die [[Störgröße und Residuum\|Residuen]] (Messfehler) sowohl für die <math>x</math>- als auch für die <math>y</math>-Werte in das Modell einbezogen.

	Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der [[Regressionsanalyse]]; sie beruht auf einer [[Maximum-Likelihood-Methode\|Maximum-Likelihood-Schätzung]] der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und [[Normalverteilung\|normalverteilt]] angenommen werden und der Quotient ~~''δ''~~ ihrer [[~~Varianz_~~(Stochastik)\|Varianzen]] als bekannt unterstellt wird.		Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der [[Regressionsanalyse]]; sie beruht auf einer [[Maximum-Likelihood-Methode\|Maximum-Likelihood-Schätzung]] der [[Regressionsparameter]], bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und [[Normalverteilung\|normalverteilt]] angenommen werden und der Quotient <math>\delta</math> ihrer [[Varianz (Stochastik)\|Varianzen]] als bekannt unterstellt wird.

	Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von [[C.H. Kummell]] (1879) zurück;<ref>{{cite journal\|last=Kummell\|first=C. H.\|year=1879\|title=Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity\|journal=The Analyst\|volume=6\|issue=4\|pages=97–105\|publisher=Annals of Mathematics\|doi=10.2307/2635646}}</ref> 1937 wurde die Methode von [[T.C. Koopmans]] wieder aufgegriffen<ref>{{cite book\|last=Koopmans\|first=T. C.\|year=1937\|title=Linear regression analysis of economic time series\|publisher=DeErven F. Bohn, Haarlem, Netherlands}}</ref> und in allgemeinerem Rahmen 1943 von [[William Edwards Deming\|W. E. Deming]] für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.<ref>{{cite book\|last=Deming\|first=W. E.\|authorlink=W. Edwards Deming\|year=1943\|title=Statistical adjustment of data\|publisher=Wiley, NY (Dover Publications edition, 1985)\|isbn=0-486-64685-8}}</ref>		Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von [[C.H. Kummell]] (1879) zurück;<ref>{{cite journal\|last=Kummell\|first=C. H.\|year=1879\|title=Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity\|journal=The Analyst\|volume=6\|issue=4\|pages=97–105\|publisher=Annals of Mathematics\|doi=10.2307/2635646}}</ref> 1937 wurde die Methode von [[T.C. Koopmans]] wieder aufgegriffen<ref>{{cite book\|last=Koopmans\|first=T. C.\|year=1937\|title=Linear regression analysis of economic time series\|publisher=DeErven F. Bohn, Haarlem, Netherlands}}</ref> und in allgemeinerem Rahmen 1943 von [[William Edwards Deming\|W. E. Deming]] für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.<ref>{{cite book\|last=Deming\|first=W. E.\|authorlink=W. Edwards Deming\|year=1943\|title=Statistical adjustment of data\|publisher=Wiley, NY (Dover Publications edition, 1985)\|isbn=0-486-64685-8}}</ref>

	Die [[orthogonale Regression]] ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall ~~''δ ~~=~~ ~~1''. Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der [[York-Regression]].		Die [[orthogonale Regression]] ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall <math>\delta = 1</math>. Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der [[York-Regression]].

	== Rechenweg ==		== Rechenweg ==