Computer Aided Optimization - Versionsgeschichte

Aka: Halbgeviertstrich, ISBN-Format

2022-09-22T17:10:08Z

Halbgeviertstrich, ISBN-Format

← Nächstältere Version		Version vom 22. September 2022, 19:10 Uhr
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	== Siehe auch ==		== Siehe auch ==
	* [[SKO (Bionik)\|Soft kill option]] - Variante des Verfahrens die unbelastete Teile der Struktur weg optimiert.		* [[SKO (Bionik)\|Soft kill option]] – Variante des Verfahrens die unbelastete Teile der Struktur weg optimiert.
	== Literatur ==		== Literatur ==
	* C. Mattheck: Design and Growth Rule for Biological Structures and their Application in Engineering. Fatigue Fract Eng Mater Struct 13, 5, 1990, 535–550.		* C. Mattheck: Design and Growth Rule for Biological Structures and their Application in Engineering. Fatigue Fract Eng Mater Struct 13, 5, 1990, 535–550.
	* C. Mattheck: Design in der Natur. Rombach GmbH + Co Verlagshaus KG, Freiburg i. B., 1997, ISBN ~~3793091503~~		* C. Mattheck: Design in der Natur. Rombach GmbH + Co Verlagshaus KG, Freiburg i. B., 1997, ISBN 3-7930-9150-3
	* C. Mattheck: Engineering Components Grow Like Trees. Mat.-wiss. U. Werkstofftech. 21, 1990, 143–168		* C. Mattheck: Engineering Components Grow Like Trees. Mat.-wiss. U. Werkstofftech. 21, 1990, 143–168
	* L. Harzheim: Optimierung von Bauteilen mit der Wachstumsregel von Bäumen und Knochen. BIONA Report 16, Akad. Wiss. Lit., Mainz, 2003, 83–94		* L. Harzheim: Optimierung von Bauteilen mit der Wachstumsregel von Bäumen und Knochen. BIONA Report 16, Akad. Wiss. Lit., Mainz, 2003, 83–94

Xorx: Beispiele als gallery, siehe auch

2022-09-06T12:01:07Z

Beispiele als gallery, siehe auch

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	== Anwendungen ==		== Anwendungen ==
			<gallery caption="Anwendungsbeispiele der CAO" widths=320px>

	~~[[Bild:Abb Lochplatte~~.png~~\|mini\|300px~~\|Abb. 2: Formoptimierung einer bi-axial belasteten Lochplatte. Bei der Berechnung der Spannungen wurde die Symmetrieeigenschaft ausgenutzt und nur ein Viertel der Platte modelliert. Durch Spiegelung dieses Viertels an den beiden Spiegelebenen (gestrichelte Linien) erhält man die gesamte Spannungsverteilung]]		Abb_Lochplatte.png\|Abb. 2: Formoptimierung einer bi-axial belasteten Lochplatte. Bei der Berechnung der Spannungen wurde die Symmetrieeigenschaft ausgenutzt und nur ein Viertel der Platte modelliert. Durch Spiegelung dieses Viertels an den beiden Spiegelebenen (gestrichelte Linien) erhält man die gesamte Spannungsverteilung
		⚫	Abb Differential 1.png\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung

		⚫	Abb Differential 2.png\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt
			</gallery>
	In Abb. 2 ist als einfaches Anwendungsbeispiel die Optimierung der Lochform einer bi-axial belasteten Lochplatte dargestellt. Ziel war es eine Form mit homogener Spannung entlang des Lochrandes zu finden. Diese wurde nach 10 Wachstumszyklen erreicht. Die gezeigte Lochplatte entspricht mechanisch gesehen ungefähr einem Astloch in einem Baum, das auch länglich und nicht kreisförmig zusammenwächst.		In Abb. 2 ist als einfaches Anwendungsbeispiel die Optimierung der Lochform einer bi-axial belasteten Lochplatte dargestellt. Ziel war es eine Form mit homogener Spannung entlang des Lochrandes zu finden. Diese wurde nach 10 Wachstumszyklen erreicht. Die gezeigte Lochplatte entspricht mechanisch gesehen ungefähr einem Astloch in einem Baum, das auch länglich und nicht kreisförmig zusammenwächst.

	Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2,5 mm und R=5,5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.		Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2,5 mm und R=5,5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.

			== Siehe auch ==
⚫	~~[[Bild:~~Abb Differential 1.png~~\|mini\|links\|400px~~\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]
			* [[SKO (Bionik)\|Soft kill option]] - Variante des Verfahrens die unbelastete Teile der Struktur weg optimiert.

⚫	~~[[Bild:~~Abb Differential 2.png~~\|mini\|330px~~\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]

	== Literatur ==		== Literatur ==
	* C. Mattheck: Design and Growth Rule for Biological Structures and their Application in Engineering. Fatigue Fract Eng Mater Struct 13, 5, 1990, 535–550.		* C. Mattheck: Design and Growth Rule for Biological Structures and their Application in Engineering. Fatigue Fract Eng Mater Struct 13, 5, 1990, 535–550.

Xorx: /* Einleitung */ Hauptlemma fett und an den Anfang

2022-09-06T11:42:49Z

Einleitung: Hauptlemma fett und an den Anfang

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2022, 13:42 Uhr
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	~~Das~~ '''~~CAO~~'''~~-Verfahren~~ (~~Computer~~ ~~Aided Optimization~~) ist ein [[Bionik\|bionisches]] Verfahren zur Formoptimierung, bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern wie [[Baum\|Bäumen]] oder [[Knochen]] an [[CAD]]-Modellen von technischen Bauteilen unter einer simulierten Belastung nachgebildet wird. So kann die Form der Bauteile für den betrachteten Lastfall optimiert werden.		Die '''Computer Aided Optimization''' (Kurz: '''CAO''') ist ein [[Bionik\|bionisches]] Verfahren zur Formoptimierung, bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern wie [[Baum\|Bäumen]] oder [[Knochen]] an [[CAD]]-Modellen von technischen Bauteilen unter einer simulierten Belastung nachgebildet wird. So kann die Form der Bauteile für den betrachteten Lastfall optimiert werden.

	== Prinzip ==		== Prinzip ==

Xorx: Einleitung separiert und etwas klarer. Das geht sicher noch besser / BKL aufgelöst

2022-09-06T08:56:51Z

Einleitung separiert und etwas klarer. Das geht sicher noch besser / BKL aufgelöst

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2022, 10:56 Uhr
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	Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein ~~Verfahren zur~~ [[~~Formoptimierung~~]] ~~aus~~ ~~dem~~ ~~Bereich der [[Bionik]]~~, bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern (wie ~~z. B.~~ [[Baum\|~~Bäume~~]], [[Knochen]]) nachgebildet wird. ~~Die~~ ~~Idee~~ ~~ist~~ ~~dabei,~~ ~~dass~~ ~~man~~ ~~die~~ Oberfläche des zu optimierenden Bauteils gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen ~~lässt,~~ ~~wie~~ es beispielsweise ~~ein~~ ~~Knochen~~ ~~tun~~ ~~würde,~~ ~~wenn~~ er ~~die~~ ~~Funktion~~ ~~des~~ ~~Bauteils~~ ~~übernehmen~~ ~~müsste.~~ Da ~~die~~ ~~Wachstumsregel~~ zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt, kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen, sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder – besser gesagt – durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.		Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein [[Bionik\|bionisches]] Verfahren zur Formoptimierung, bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern wie [[Baum\|Bäumen]] oder [[Knochen]] an [[CAD]]-Modellen von technischen Bauteilen unter einer simulierten Belastung nachgebildet wird. So kann die Form der Bauteile für den betrachteten Lastfall optimiert werden.

			== Prinzip ==
			Die Oberfläche des zu optimierenden Bauteils lässt man gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen. Die dabei angewandte Wachstumsregel kann beispielsweise dem Wachstumsverhalten von Knochen oder Bäumen nachgebildet sein. Die Wachstumsregel ist so gestaltet, dass sie zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt. Daher kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] und Haltbarkeit eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen, sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder – besser gesagt – durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.

	Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.		Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.
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	Dabei ist <math> s </math> ein Skalierungsfaktor, der so gewählt werden sollte, dass sich im ersten Schritt die maximale Spannung im Variationsbereich um ungefähr die Hälfte reduziert. Der [[Vektor\|Richtungsvektor]] <math> \vec n^{(i)}_k </math> ist nach außen orientiert und in der Regel in Richtung der [[Normalenvektor\|Flächennormalen]] ausgerichtet. Er gibt die Richtung der Wachstumsverschiebung vor. Die Referenzspannung <math> \sigma_\text{ref} </math> legt fest, welcher Knoten als hoch belastet (<math> \sigma^{(i)}_k > \sigma_\text{ref}</math>) und welcher als niedrig belastet (<math> \sigma^{(i)}_k < \sigma_\text{ref}</math>) gilt. Sie ist auch die Spannung, die sich am Ende der Optimierung als homogene Oberflächenspannung einstellt. In der Regel müssen bei der Optimierung mehrere [[Lastanahme\|Lastfälle]] berücksichtigt werden. In diesem Fall wird für jeden Wachstumsknoten die maximale Spannung aus allen Lastfällen verwendet. Man sieht leicht, dass Gleichung (1) gerade das erwünschte Wachstumsverhalten beschreibt, da im Falle der hohen Belastung die Wachstumsverschiebung nach außen gerichtet ist und damit Material angelagert wird, während sie bei niedriger Belastung nach innen zeigt und somit Material entfernt wird. Der Korrekturfaktor <math> \alpha </math> bewirkt an starken Ecken eine Glättung der neuen Kontur und verhindert die Bildung von Knicken.		Dabei ist <math> s </math> ein Skalierungsfaktor, der so gewählt werden sollte, dass sich im ersten Schritt die maximale Spannung im Variationsbereich um ungefähr die Hälfte reduziert. Der [[Vektor\|Richtungsvektor]] <math> \vec n^{(i)}_k </math> ist nach außen orientiert und in der Regel in Richtung der [[Normalenvektor\|Flächennormalen]] ausgerichtet. Er gibt die Richtung der Wachstumsverschiebung vor. Die Referenzspannung <math> \sigma_\text{ref} </math> legt fest, welcher Knoten als hoch belastet (<math> \sigma^{(i)}_k > \sigma_\text{ref}</math>) und welcher als niedrig belastet (<math> \sigma^{(i)}_k < \sigma_\text{ref}</math>) gilt. Sie ist auch die Spannung, die sich am Ende der Optimierung als homogene Oberflächenspannung einstellt. In der Regel müssen bei der Optimierung mehrere [[Lastanahme\|Lastfälle]] berücksichtigt werden. In diesem Fall wird für jeden Wachstumsknoten die maximale Spannung aus allen Lastfällen verwendet. Man sieht leicht, dass Gleichung (1) gerade das erwünschte Wachstumsverhalten beschreibt, da im Falle der hohen Belastung die Wachstumsverschiebung nach außen gerichtet ist und damit Material angelagert wird, während sie bei niedriger Belastung nach innen zeigt und somit Material entfernt wird. Der Korrekturfaktor <math> \alpha </math> bewirkt an starken Ecken eine Glättung der neuen Kontur und verhindert die Bildung von Knicken.

	An zahlreichen Beispielen aus der Natur konnte überprüft und nachgewiesen werden, dass das CAO-Verfahren zu den beobachteten Strukturen der biologischen Kraftträger führt und zudem auch Wachstumsverhalten wie beispielsweise das Wandern und Drehen von ~~Knochen~~[[~~trabekel~~]]n simulieren kann.		An zahlreichen Beispielen aus der Natur konnte überprüft und nachgewiesen werden, dass das CAO-Verfahren zu den beobachteten Strukturen der biologischen Kraftträger führt und zudem auch Wachstumsverhalten wie beispielsweise das Wandern und Drehen von [[Kortikalis und Spongiosa\|Knochentrabekeln]] simulieren kann.

	== Anwendungen ==		== Anwendungen ==

Aka: Halbgeviertstrich, Kleinkram

2020-01-30T17:10:28Z

Halbgeviertstrich, Kleinkram

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2020, 19:10 Uhr
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	Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein Verfahren zur [[Formoptimierung]] aus dem Bereich der [[Bionik]], bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern (wie z. B. [[Baum\|Bäume]], [[Knochen]]) nachgebildet wird. Die Idee ist dabei, dass man die Oberfläche des zu optimierenden Bauteils gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen lässt, wie es beispielsweise ein Knochen tun würde, wenn er die Funktion des Bauteils übernehmen müsste. Da die Wachstumsregel zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt, kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen, sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder - besser gesagt - durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.		Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein Verfahren zur [[Formoptimierung]] aus dem Bereich der [[Bionik]], bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern (wie z. B. [[Baum\|Bäume]], [[Knochen]]) nachgebildet wird. Die Idee ist dabei, dass man die Oberfläche des zu optimierenden Bauteils gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen lässt, wie es beispielsweise ein Knochen tun würde, wenn er die Funktion des Bauteils übernehmen müsste. Da die Wachstumsregel zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt, kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen, sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder – besser gesagt – durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.

	Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.		Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.

	Es gibt zwei Versionen für die Simulation der biologischen Wachstumsregel. Bei der ursprünglichen Version des CAO-Verfahrens, die am Forschungszentrum Karlsruhe entwickelt wurde, wird die Wachstumsregel mit Hilfe einer Wachstumsschicht (auch Schwellschicht genannt) simuliert. Diese wird in dem zu optimierenden Bereich unterhalb der Außenkontur aufgebracht und sollte eine möglichst konstante Dicke aufweisen. Die Wachstumsverschiebungen werden in einer zusätzlichen FEM-Analyse berechnet, in der die Wachstumsschicht, die einen wesentlich geringeren [[Elastizitätsmodul\|E-Modul]] als die darunterliegende Struktur zugewiesen bekommt, einem volumetrischen Schwellgesetz unterworfen wird. Dabei wird in der Wachstumsschicht eine Temperaturverteilung der Art aufgebracht, dass sie in den unterbelasteten Bereichen zu einem Zusammenziehen und damit zu einem Abbau von Material führt, während sich die Schicht in den hochbelasteten Bereichen ausdehnt und damit Material angelagert wird. Bei der Verwendung der Wachstumsschicht tritt das Problem auf, dass bei komplexen [[Computer-aided design\|CAD]]-Modellen die Modellierung der Wachstumsschicht mit erheblichem Aufwand verbunden ist.		Es gibt zwei Versionen für die Simulation der biologischen Wachstumsregel. Bei der ursprünglichen Version des CAO-Verfahrens, die am Forschungszentrum Karlsruhe entwickelt wurde, wird die Wachstumsregel mit Hilfe einer Wachstumsschicht (auch Schwellschicht genannt) simuliert. Diese wird in dem zu optimierenden Bereich unterhalb der Außenkontur aufgebracht und sollte eine möglichst konstante Dicke aufweisen. Die Wachstumsverschiebungen werden in einer zusätzlichen FEM-Analyse berechnet, in der die Wachstumsschicht, die einen wesentlich geringeren [[Elastizitätsmodul\|E-Modul]] als die darunterliegende Struktur zugewiesen bekommt, einem volumetrischen Schwellgesetz unterworfen wird. Dabei wird in der Wachstumsschicht eine Temperaturverteilung der Art aufgebracht, dass sie in den unterbelasteten Bereichen zu einem Zusammenziehen und damit zu einem Abbau von Material führt, während sich die Schicht in den hochbelasteten Bereichen ausdehnt und damit Material angelagert wird. Bei der Verwendung der Wachstumsschicht tritt das Problem auf, dass bei komplexen [[Computer-aided design\|CAD]]-Modellen die Modellierung der Wachstumsschicht mit erheblichem Aufwand verbunden ist.
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	Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2,5 mm und R=5,5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.		Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2,5 mm und R=5,5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.

	[[Bild:Abb Differential 1.png\|mini\|links\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]		[[Bild:Abb Differential 1.png\|mini\|links\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]

	[[Bild:Abb Differential 2.png\|mini\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]		[[Bild:Abb Differential 2.png\|mini\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]

Aka: Halbgeviertstrich, Komma statt Punkt, Leerzeichen in Überschrift, deutsch, Links normiert

2018-08-19T16:56:44Z

Halbgeviertstrich, Komma statt Punkt, Leerzeichen in Überschrift, deutsch, Links normiert

Schnabeltassentier: satzbau

2017-06-24T00:10:57Z

satzbau

← Nächstältere Version		Version vom 24. Juni 2017, 02:10 Uhr
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	Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein Verfahren zur [[Formoptimierung]] aus dem Bereich der [[Bionik]], bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern (wie z. B. [[Baum\|Bäume]], [[Knochen]]) nachgebildet wird. Die Idee ist dabei, dass man die Oberfläche des zu optimierenden Bauteils gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen lässt, wie es beispielsweise ein Knochen tun würde, wenn er die Funktion des Bauteils übernehmen müsste. Da die Wachstumsregel zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt, kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder - besser gesagt - durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.		Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein Verfahren zur [[Formoptimierung]] aus dem Bereich der [[Bionik]], bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern (wie z. B. [[Baum\|Bäume]], [[Knochen]]) nachgebildet wird. Die Idee ist dabei, dass man die Oberfläche des zu optimierenden Bauteils gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen lässt, wie es beispielsweise ein Knochen tun würde, wenn er die Funktion des Bauteils übernehmen müsste. Da die Wachstumsregel zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt, kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen, sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder - besser gesagt - durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.

	Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.		Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.

CommonsDelinker: Ersetze Abb_Lochplatte.GIF durch Abb_Lochplatte.png (von GifTagger angeordnet: Replacing GIF by exact PNG duplicate.)

2014-08-05T20:08:48Z

Ersetze Abb_Lochplatte.GIF durch Abb_Lochplatte.png (von GifTagger angeordnet: Replacing GIF by exact PNG duplicate.)

← Nächstältere Version		Version vom 5. August 2014, 22:08 Uhr
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	==Anwendungen==		==Anwendungen==

	[[Image:~~Abb Lochplatte~~.~~GIF~~\|thumb\|300px\|Abb. 2: Formoptimierung einer bi-axial belasteten Lochplatte. Bei der Berechnung der Spannungen wurde die Symmetrieeigenschaft ausgenutzt und nur ein Viertel der Platte modelliert. Durch Spiegelung dieses Viertels an den beiden Spiegelebenen (gestrichelte Linien) erhält man die gesamte Spannungsverteilung]]		[[Image:Abb_Lochplatte.png\|thumb\|300px\|Abb. 2: Formoptimierung einer bi-axial belasteten Lochplatte. Bei der Berechnung der Spannungen wurde die Symmetrieeigenschaft ausgenutzt und nur ein Viertel der Platte modelliert. Durch Spiegelung dieses Viertels an den beiden Spiegelebenen (gestrichelte Linien) erhält man die gesamte Spannungsverteilung]]

	In Abb. 2 ist als einfaches Anwendungsbeispiel die Optimierung der Lochform einer bi-axial belasteten Lochplatte dargestellt. Ziel war es eine Form mit homogener Spannung entlang des Lochrandes zu finden. Diese wurde nach 10 Wachstumszyklen erreicht. Die gezeigte Lochplatte entspricht mechanisch gesehen ungefähr einem Astloch in einem Baum, das auch länglich und nicht kreisförmig zusammenwächst.		In Abb. 2 ist als einfaches Anwendungsbeispiel die Optimierung der Lochform einer bi-axial belasteten Lochplatte dargestellt. Ziel war es eine Form mit homogener Spannung entlang des Lochrandes zu finden. Diese wurde nach 10 Wachstumszyklen erreicht. Die gezeigte Lochplatte entspricht mechanisch gesehen ungefähr einem Astloch in einem Baum, das auch länglich und nicht kreisförmig zusammenwächst.

CommonsDelinker: Ersetze Abb_Differential_1.GIF durch Abb_Differential_1.png (von GifTagger angeordnet: Replacing GIF by exact PNG duplicate.)

2014-08-05T20:08:15Z

Ersetze Abb_Differential_1.GIF durch Abb_Differential_1.png (von GifTagger angeordnet: Replacing GIF by exact PNG duplicate.)

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	Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2.5 mm und R=5.5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.		Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2.5 mm und R=5.5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.

	[[Image:~~Abb Differential 1~~.~~GIF~~\|thumb\|left\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]		[[Image:Abb_Differential_1.png\|thumb\|left\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]

	[[Image:Abb_Differential_2.png\|thumb\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]		[[Image:Abb_Differential_2.png\|thumb\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]

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	[[Image:Abb Differential 1.GIF\|thumb\|left\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]		[[Image:Abb Differential 1.GIF\|thumb\|left\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]

	[[Image:~~Abb Differential 2~~.~~GIF~~\|thumb\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]		[[Image:Abb_Differential_2.png\|thumb\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]

	==Literatur==		==Literatur==

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	Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein Verfahren zur [[Formoptimierung]] aus dem Bereich der [[Bionik]], bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern (wie z. B. [[Baum\|Bäume]], [[Knochen]]) nachgebildet wird. Die Idee ist dabei, dass man die Oberfläche des zu optimierenden Bauteils gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen lässt, wie es beispielsweise ein Knochen tun würde, wenn er die Funktion des Bauteils übernehmen müsste. Da die Wachstumsregel zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt, kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen, sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder - besser gesagt - durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.		Das '''CAO'''-Verfahren (Computer Aided Optimization) ist ein Verfahren zur [[Formoptimierung]] aus dem Bereich der [[Bionik]], bei dem das Wachstumsverhalten von biologischen Kraftträgern (wie z. B. [[Baum\|Bäume]], [[Knochen]]) nachgebildet wird. Die Idee ist dabei, dass man die Oberfläche des zu optimierenden Bauteils gemäß der [[biologische Wachstumsregel\|biologischen Wachstumsregel]] virtuell wachsen lässt, wie es beispielsweise ein Knochen tun würde, wenn er die Funktion des Bauteils übernehmen müsste. Da die Wachstumsregel zu einer Form mit homogener Oberflächenspannung führt, kann das Verfahren zum Abbau von [[Spannung (Mechanik)\|Spannungsspitzen]] und damit zur Erhöhung der [[Festigkeit]] eingesetzt werden. In der Regel wird jedoch nicht die gesamte Oberfläche eines Bauteils dem Optimierungsprozess unterworfen, sondern nur die kritischen Bereiche, die vom Anwender zuvor identifiziert worden sind. Die Basis für die Simulation der biologischen Wachstumsregel sind die Spannungen in dem zu optimierenden Bauteil, die mit Hilfe eines [[Finite-Elemente-Methode\|Finite-Elemente-Modell]]s (FEM) berechnet werden. Dabei wird die Geometrie des zu optimierenden Bauteils allein über das FEM-Netz, oder – besser gesagt – durch die Lage der Knoten auf der Oberfläche beschrieben.

	Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.		Der prinzipielle Ablauf des CAO-Verfahrens ist in Abb. 1 dargestellt. Zu Beginn steht eine FEM-Analyse, in der die Spannungen im Bauteil [[Computer-aided engineering\|berechnet]] werden. Basierend auf den Spannungswerten wird die biologische Wachstumsregel simuliert und eine daraus resultierende Wachstumsverschiebung bestimmt. Die neue Kontur erhält man, indem man die Wachstumsverschiebungen zu den entsprechenden aktuellen Koordinaten hinzuaddiert. Im nächsten Schritt wird eine Netzkorrektur durchgeführt, um das Netz an die neue Kontur anzupassen und um Netzverzerrungen so gering wie möglich zu halten. Danach ist ein Wachstumszyklus abgeschlossen und die nächste Iteration kann mit der Spannungsanalyse für die modifizierte Struktur begonnen werden. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn die erwünschte homogene Oberflächenspannung erreicht ist oder geometrische Restriktionen weiteres Wachstum verbieten.

	Es gibt zwei Versionen für die Simulation der biologischen Wachstumsregel. Bei der ursprünglichen Version des CAO-Verfahrens, die am Forschungszentrum Karlsruhe entwickelt wurde, wird die Wachstumsregel mit Hilfe einer Wachstumsschicht (auch Schwellschicht genannt) simuliert. Diese wird in dem zu optimierenden Bereich unterhalb der Außenkontur aufgebracht und sollte eine möglichst konstante Dicke aufweisen. Die Wachstumsverschiebungen werden in einer zusätzlichen FEM-Analyse berechnet, in der die Wachstumsschicht, die einen wesentlich geringeren [[Elastizitätsmodul\|E-Modul]] als die darunterliegende Struktur zugewiesen bekommt, einem volumetrischen Schwellgesetz unterworfen wird. Dabei wird in der Wachstumsschicht eine Temperaturverteilung der Art aufgebracht, dass sie in den unterbelasteten Bereichen zu einem Zusammenziehen und damit zu einem Abbau von Material führt, während sich die Schicht in den hochbelasteten Bereichen ausdehnt und damit Material angelagert wird. Bei der Verwendung der Wachstumsschicht tritt das Problem auf, dass bei komplexen [[Computer-aided design\|CAD]]-Modellen die Modellierung der Wachstumsschicht mit erheblichem Aufwand verbunden ist.		Es gibt zwei Versionen für die Simulation der biologischen Wachstumsregel. Bei der ursprünglichen Version des CAO-Verfahrens, die am Forschungszentrum Karlsruhe entwickelt wurde, wird die Wachstumsregel mit Hilfe einer Wachstumsschicht (auch Schwellschicht genannt) simuliert. Diese wird in dem zu optimierenden Bereich unterhalb der Außenkontur aufgebracht und sollte eine möglichst konstante Dicke aufweisen. Die Wachstumsverschiebungen werden in einer zusätzlichen FEM-Analyse berechnet, in der die Wachstumsschicht, die einen wesentlich geringeren [[Elastizitätsmodul\|E-Modul]] als die darunterliegende Struktur zugewiesen bekommt, einem volumetrischen Schwellgesetz unterworfen wird. Dabei wird in der Wachstumsschicht eine Temperaturverteilung der Art aufgebracht, dass sie in den unterbelasteten Bereichen zu einem Zusammenziehen und damit zu einem Abbau von Material führt, während sich die Schicht in den hochbelasteten Bereichen ausdehnt und damit Material angelagert wird. Bei der Verwendung der Wachstumsschicht tritt das Problem auf, dass bei komplexen [[Computer-aided design\|CAD]]-Modellen die Modellierung der Wachstumsschicht mit erheblichem Aufwand verbunden ist.
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	Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2,5 mm und R=5,5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.		Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2,5 mm und R=5,5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.

	[[Bild:Abb Differential 1.png\|mini\|links\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]		[[Bild:Abb Differential 1.png\|mini\|links\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]

	[[Bild:Abb Differential 2.png\|mini\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]		[[Bild:Abb Differential 2.png\|mini\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]

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	Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2.5 mm und R=5.5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.		Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2.5 mm und R=5.5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.

	[[Image:~~Abb Differential 1~~.~~GIF~~\|thumb\|left\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]		[[Image:Abb_Differential_1.png\|thumb\|left\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]

	[[Image:Abb_Differential_2.png\|thumb\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]		[[Image:Abb_Differential_2.png\|thumb\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]

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	Es gibt zwei Versionen für die Simulation der biologischen Wachstumsregel. Bei der ursprünglichen Version des CAO-Verfahrens, die am Forschungszentrum Karlsruhe entwickelt wurde, wird die Wachstumsregel mit Hilfe einer Wachstumsschicht (auch Schwellschicht genannt) simuliert. Diese wird in dem zu optimierenden Bereich unterhalb der Außenkontur aufgebracht und sollte eine möglichst konstante Dicke aufweisen. Die Wachstumsverschiebungen werden in einer zusätzlichen FEM-Analyse berechnet, in der die Wachstumsschicht, die einen wesentlich geringeren [[Elastizitätsmodul\|E-Modul]] als die darunterliegende Struktur zugewiesen bekommt, einem volumetrischen Schwellgesetz unterworfen wird. Dabei wird in der Wachstumsschicht eine Temperaturverteilung der Art aufgebracht, dass sie in den unterbelasteten Bereichen zu einem Zusammenziehen und damit zu einem Abbau von Material führt, während sich die Schicht in den hochbelasteten Bereichen ausdehnt und damit Material angelagert wird. Bei der Verwendung der Wachstumsschicht tritt das Problem auf, dass bei komplexen [[Computer-aided design\|CAD]]-Modellen die Modellierung der Wachstumsschicht mit erheblichem Aufwand verbunden ist.		Es gibt zwei Versionen für die Simulation der biologischen Wachstumsregel. Bei der ursprünglichen Version des CAO-Verfahrens, die am Forschungszentrum Karlsruhe entwickelt wurde, wird die Wachstumsregel mit Hilfe einer Wachstumsschicht (auch Schwellschicht genannt) simuliert. Diese wird in dem zu optimierenden Bereich unterhalb der Außenkontur aufgebracht und sollte eine möglichst konstante Dicke aufweisen. Die Wachstumsverschiebungen werden in einer zusätzlichen FEM-Analyse berechnet, in der die Wachstumsschicht, die einen wesentlich geringeren [[Elastizitätsmodul\|E-Modul]] als die darunterliegende Struktur zugewiesen bekommt, einem volumetrischen Schwellgesetz unterworfen wird. Dabei wird in der Wachstumsschicht eine Temperaturverteilung der Art aufgebracht, dass sie in den unterbelasteten Bereichen zu einem Zusammenziehen und damit zu einem Abbau von Material führt, während sich die Schicht in den hochbelasteten Bereichen ausdehnt und damit Material angelagert wird. Bei der Verwendung der Wachstumsschicht tritt das Problem auf, dass bei komplexen [[Computer-aided design\|CAD]]-Modellen die Modellierung der Wachstumsschicht mit erheblichem Aufwand verbunden ist.

	[[~~Image~~:Fig CAO Verfahren.svg\|~~thumb~~\|300px\|Abb. 1: Das CAO-Verfahren (direkte Methode)]]		[[Bild:Fig CAO Verfahren.svg\|mini\|300px\|Abb. 1: Das CAO-Verfahren (direkte Methode)]]

	Bei der direkten Methode besteht das Modellierungsproblem nicht mehr, weil auf eine Wachstumsschicht verzichtet wird und die Wachstumsverschiebungen direkt berechnet und auf die Knoten aufgebracht werden. Man kann damit ein bestehendes FEM-Netz ohne Modifikationen verwenden. Weiterhin wird die FEM-Analyse für die Simulation des Schwellgesetzes eingespart. Zu Beginn der Optimierung definiert der Anwender die Oberflächenknoten in den Bereichen, die in der Form variiert werden sollen, als 'Wachstumsknoten'. Für jeden dieser Wachstumsknoten wird mit Hilfe der Knotenpunktsspannung <math> \sigma^{(i)}_k </math> eine Wachstumsverschiebung <math> \vec d^{(i)}_k </math> berechnet:		Bei der direkten Methode besteht das Modellierungsproblem nicht mehr, weil auf eine Wachstumsschicht verzichtet wird und die Wachstumsverschiebungen direkt berechnet und auf die Knoten aufgebracht werden. Man kann damit ein bestehendes FEM-Netz ohne Modifikationen verwenden. Weiterhin wird die FEM-Analyse für die Simulation des Schwellgesetzes eingespart. Zu Beginn der Optimierung definiert der Anwender die Oberflächenknoten in den Bereichen, die in der Form variiert werden sollen, als 'Wachstumsknoten'. Für jeden dieser Wachstumsknoten wird mit Hilfe der Knotenpunktsspannung <math> \sigma^{(i)}_k </math> eine Wachstumsverschiebung <math> \vec d^{(i)}_k </math> berechnet:
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	An zahlreichen Beispielen aus der Natur konnte überprüft und nachgewiesen werden, dass das CAO-Verfahren zu den beobachteten Strukturen der biologischen Kraftträger führt und zudem auch Wachstumsverhalten wie beispielsweise das Wandern und Drehen von Knochen[[trabekel]]n simulieren kann.		An zahlreichen Beispielen aus der Natur konnte überprüft und nachgewiesen werden, dass das CAO-Verfahren zu den beobachteten Strukturen der biologischen Kraftträger führt und zudem auch Wachstumsverhalten wie beispielsweise das Wandern und Drehen von Knochen[[trabekel]]n simulieren kann.

	==Anwendungen==		== Anwendungen ==

	[[~~Image~~:~~Abb_Lochplatte~~.png\|~~thumb~~\|300px\|Abb. 2: Formoptimierung einer bi-axial belasteten Lochplatte. Bei der Berechnung der Spannungen wurde die Symmetrieeigenschaft ausgenutzt und nur ein Viertel der Platte modelliert. Durch Spiegelung dieses Viertels an den beiden Spiegelebenen (gestrichelte Linien) erhält man die gesamte Spannungsverteilung]]		[[Bild:Abb Lochplatte.png\|mini\|300px\|Abb. 2: Formoptimierung einer bi-axial belasteten Lochplatte. Bei der Berechnung der Spannungen wurde die Symmetrieeigenschaft ausgenutzt und nur ein Viertel der Platte modelliert. Durch Spiegelung dieses Viertels an den beiden Spiegelebenen (gestrichelte Linien) erhält man die gesamte Spannungsverteilung]]

	In Abb. 2 ist als einfaches Anwendungsbeispiel die Optimierung der Lochform einer bi-axial belasteten Lochplatte dargestellt. Ziel war es eine Form mit homogener Spannung entlang des Lochrandes zu finden. Diese wurde nach 10 Wachstumszyklen erreicht. Die gezeigte Lochplatte entspricht mechanisch gesehen ungefähr einem Astloch in einem Baum, das auch länglich und nicht kreisförmig zusammenwächst.		In Abb. 2 ist als einfaches Anwendungsbeispiel die Optimierung der Lochform einer bi-axial belasteten Lochplatte dargestellt. Ziel war es eine Form mit homogener Spannung entlang des Lochrandes zu finden. Diese wurde nach 10 Wachstumszyklen erreicht. Die gezeigte Lochplatte entspricht mechanisch gesehen ungefähr einem Astloch in einem Baum, das auch länglich und nicht kreisförmig zusammenwächst.

	Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2.5 mm und R=5.5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.		Als weiteres Anwendungsbeispiel ist in Abb. 3 und 4 die Optimierung eines [[Differentialgetriebe\|Hinterachsdiffentials]] gezeigt. Dort lag am [[Flansch (Maschinenbau)\|Flansch]] zur Befestigung des großen [[Kegelradgetriebe\|Kegelrads]] eine [[schwingbruch]]kritische Stelle vor. Der Radius bei der dort verwendeten Verrundung von R=2 mm konnte nicht weiter vergrößert werden, um die Spannung abzusenken. Beginnend mit einem Hinterschnitt mit R=3 mm wurde deshalb eine Optimierung mit dem CAO-Verfahren durchgeführt. Die optimierte Kontur wurde dann durch zwei Kreissegmente mit den Radien von R=2,5 mm und R=5,5 mm angenähert. Diese kann sowohl mittels [[Drehen (Verfahren)\|Drehen]] als auch mittels [[Schleifen (Fertigungsverfahren)\|Schleifen]] gefertigt werden. Es ergab sich eine Spannungsreduktion von 28 %.

	[[~~Image~~:~~Abb_Differential_1~~.png\|~~thumb~~\|~~left~~\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]		[[Bild:Abb Differential 1.png\|mini\|links\|400px\|Abb. 3: Querschnitt und Spannungsverteilung eines Differentialkäfigs vor der Optimierung]]

	[[~~Image~~:~~Abb_Differential_2~~.png\|~~thumb~~\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]		[[Bild:Abb Differential 2.png\|mini\|330px\|Abb. 4: Zwischenschritte der Formoptimierung ausgehend vom Hinterschnitt (Ausgangsmodell) bis zur optimierten Kontur und über die Glättung bis zur optimierten Endkontur im schwingbruchkritischen Bereich. Zum Vergleich ist links die Form- und Spannungsverteilung der Basiskontur aus Abb. 3 gezeigt]]

	==Literatur==		== Literatur ==
	* C. Mattheck: Design and Growth Rule for Biological Structures and their Application in Engineering. Fatigue Fract Eng Mater Struct 13, 5, 1990, ~~535-550~~.		* C. Mattheck: Design and Growth Rule for Biological Structures and their Application in Engineering. Fatigue Fract Eng Mater Struct 13, 5, 1990, 535–550.
	* C. Mattheck: Design in der Natur. Rombach GmbH + Co Verlagshaus KG, Freiburg i. B., 1997, ISBN 3793091503		* C. Mattheck: Design in der Natur. Rombach GmbH + Co Verlagshaus KG, Freiburg i. B., 1997, ISBN 3793091503
	* C. Mattheck: Engineering Components Grow Like Trees. Mat.-wiss. U. Werkstofftech. 21, 1990, ~~143-168~~		* C. Mattheck: Engineering Components Grow Like Trees. Mat.-wiss. U. Werkstofftech. 21, 1990, 143–168
	* L. Harzheim: Optimierung von Bauteilen mit der Wachstumsregel von Bäumen und Knochen. BIONA Report 16, Akad. Wiss. Lit., Mainz, 2003, ~~83-94~~		* L. Harzheim: Optimierung von Bauteilen mit der Wachstumsregel von Bäumen und Knochen. BIONA Report 16, Akad. Wiss. Lit., Mainz, 2003, 83–94
	* H. Bubenhagen, L. Harzheim: Einsatz der Formoptimierung zur Lebensdauerverbesserung von Bauteilen. Konstruktion 50 1998 H. 11/12, 1998, ~~40-44~~		* H. Bubenhagen, L. Harzheim: Einsatz der Formoptimierung zur Lebensdauerverbesserung von Bauteilen. Konstruktion 50 1998 H. 11/12, 1998, 40–44
	* L. Harzheim: Strukturoptimierung, Grundlagen und Anwendungen. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2007, ISBN 978-3-8171-1809-0		* L. Harzheim: Strukturoptimierung, Grundlagen und Anwendungen. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2007, ISBN 978-3-8171-1809-0