Bohr-van-Leeuwen-Theorem - Versionsgeschichte

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	Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt. Das Theorem wurde 1911 von [[Niels Bohr]]<ref>''Studier over Metallernes Elektrontheori'', Københavns Universitet (1911), in: L. Rosenfeld, J. Rud Nielsen (Hrsg.) ''Niels Bohr Collected Works'' Bd. 1, Elsevier 1972, S. 163–393, doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X, isbn = 978-0-7204-1801-9</ref> und 1921 unabhängig von [[Hendrika Johanna van Leeuwen]]<ref>{{Internetquelle \|autor=H.-J. van Leeuwen \|hrsg= \|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/42/99/PDF/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf \|format=PDF \|sprache=fr \|titel=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme \|werk=Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12 \|seiten=361–377 \|datum=1921-12 \|zugriff=2013-12-04}}</ref> entdeckt.		Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im [[Thermodynamisches Gleichgewicht\|thermischen Gleichgewicht]] Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt. Das Theorem wurde 1911 von [[Niels Bohr]]<ref>''Studier over Metallernes Elektrontheori'', Københavns Universitet (1911), in: L. Rosenfeld, J. Rud Nielsen (Hrsg.) ''Niels Bohr Collected Works'' Bd. 1, Elsevier 1972, S. 163–393, doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X, isbn = 978-0-7204-1801-9</ref> und 1921 unabhängig von [[Hendrika Johanna van Leeuwen]]<ref>{{Internetquelle \|autor=H.-J. van Leeuwen \|hrsg= \|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/42/99/PDF/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf \|format=PDF \|sprache=fr \|titel=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme \|werk=Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12 \|seiten=361–377 \|datum=1921-12 \|zugriff=2013-12-04}}</ref> entdeckt.

	== Heuristische klassische Betrachtung ==		== Heuristische klassische Betrachtung ==
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	== Mathematischer Beweis ==		== Mathematischer Beweis ==
	Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in [[Magnetische Flussdichte\|Magnetfeldern]] <math>\mathbf B_i</math> mit [[Magnetisches Vektorpotential\|Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über		Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in [[Magnetische Flussdichte\|Magnetfeldern]] <math>\mathbf B_i</math> mit [[Magnetisches Vektorpotential\|Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über
	<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.		<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges [[Gradientenfeld]] hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.

	Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik\|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert:		Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik\|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert:

Aka: Punkt hinter Abkürzung gesetzt, Leerzeichen in Überschrift

2023-02-28T18:45:55Z

Punkt hinter Abkürzung gesetzt, Leerzeichen in Überschrift

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	Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt. Das Theorem wurde 1911 von [[Niels Bohr]]<ref>''Studier over Metallernes Elektrontheori'', Københavns Universitet (1911), in: L. Rosenfeld, J. Rud Nielsen (Hrsg.) ''Niels Bohr Collected Works'' Bd 1, Elsevier 1972, S. 163–393, doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X, isbn = 978-0-7204-1801-9</ref> und 1921 unabhängig von [[Hendrika Johanna van Leeuwen]]<ref>{{Internetquelle \|autor=H.-J. van Leeuwen \|hrsg= \|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/42/99/PDF/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf \|format=PDF \|sprache=fr \|titel=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme \|werk=Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12 \|seiten=361–377 \|datum=1921-12 \|zugriff=2013-12-04}}</ref> entdeckt.		Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt. Das Theorem wurde 1911 von [[Niels Bohr]]<ref>''Studier over Metallernes Elektrontheori'', Københavns Universitet (1911), in: L. Rosenfeld, J. Rud Nielsen (Hrsg.) ''Niels Bohr Collected Works'' Bd. 1, Elsevier 1972, S. 163–393, doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X, isbn = 978-0-7204-1801-9</ref> und 1921 unabhängig von [[Hendrika Johanna van Leeuwen]]<ref>{{Internetquelle \|autor=H.-J. van Leeuwen \|hrsg= \|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/42/99/PDF/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf \|format=PDF \|sprache=fr \|titel=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme \|werk=Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12 \|seiten=361–377 \|datum=1921-12 \|zugriff=2013-12-04}}</ref> entdeckt.

	==Heuristische klassische Betrachtung==		== Heuristische klassische Betrachtung ==
	Die Magnetisierung (Anzahl [[Magnetisches Moment\|magnetischer Momente]] pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung ([[Lorentzkraft]]) exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.		Die Magnetisierung (Anzahl [[Magnetisches Moment\|magnetischer Momente]] pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung ([[Lorentzkraft]]) exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.

	==Mathematischer Beweis==		== Mathematischer Beweis ==
	Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in [[Magnetische Flussdichte\|Magnetfeldern]] <math>\mathbf B_i</math> mit [[Magnetisches Vektorpotential\|Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über		Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in [[Magnetische Flussdichte\|Magnetfeldern]] <math>\mathbf B_i</math> mit [[Magnetisches Vektorpotential\|Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über
	<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.		<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.
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	Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.		Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.

	==Einzelnachweise und Fußnoten==		== Einzelnachweise und Fußnoten ==
	<references />		<references />
	==Siehe auch==		== Siehe auch ==
	*[[Magnetismus]], insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklärung des Phänomens.		*[[Magnetismus]], insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklärung des Phänomens.

Bleckneuhaus: /* Einleitung */ Bohr Beleg

2023-02-28T14:37:53Z

Einleitung: Bohr Beleg

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	Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt. Das Theorem ~~ist~~ ~~benannt~~ ~~nach~~ [[Hendrika Johanna van Leeuwen]]<ref>{{Internetquelle \|autor=H.-J. van Leeuwen \|hrsg= \|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/42/99/PDF/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf \|format=PDF \|sprache=fr \|titel=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme \|werk=Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12 \|seiten=361–377 \|datum=1921-12 \|zugriff=2013-12-04}}</ref> ~~und [[Niels Bohr]]~~.		Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt. Das Theorem wurde 1911 von [[Niels Bohr]]<ref>''Studier over Metallernes Elektrontheori'', Københavns Universitet (1911), in: L. Rosenfeld, J. Rud Nielsen (Hrsg.) ''Niels Bohr Collected Works'' Bd 1, Elsevier 1972, S. 163–393, doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X, isbn = 978-0-7204-1801-9</ref> und 1921 unabhängig von [[Hendrika Johanna van Leeuwen]]<ref>{{Internetquelle \|autor=H.-J. van Leeuwen \|hrsg= \|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/42/99/PDF/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf \|format=PDF \|sprache=fr \|titel=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme \|werk=Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12 \|seiten=361–377 \|datum=1921-12 \|zugriff=2013-12-04}}</ref> entdeckt.

	==Heuristische klassische Betrachtung==		==Heuristische klassische Betrachtung==

Bleckneuhaus: /* Einleitung */ Namenspaten verlinkt

2023-02-27T11:54:40Z

Einleitung: Namenspaten verlinkt

← Nächstältere Version		Version vom 27. Februar 2023, 13:54 Uhr
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	Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt.		Das '''Bohr-van-Leeuwen-Theorem''' ist ein Theorem aus dem Bereich der [[Festkörperphysik]] und [[Statistische Physik\|statistischen Physik]]. Es besagt, dass bei Anwendung der ''klassischen Statistik'' die [[Magnetisierung]] im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist [[Magnetismus]] bei Festkörpern ein rein [[Quantenmechanik\|quantenmechanischer]] Effekt. Das Theorem ist benannt nach [[Hendrika Johanna van Leeuwen]]<ref>{{Internetquelle \|autor=H.-J. van Leeuwen \|hrsg= \|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/42/99/PDF/ajp-jphysrad_1921_2_12_361_0.pdf \|format=PDF \|sprache=fr \|titel=Problèmes de la théorie électronique du magnétisme \|werk=Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12 \|seiten=361–377 \|datum=1921-12 \|zugriff=2013-12-04}}</ref> und [[Niels Bohr]].

	==Heuristische klassische Betrachtung==		==Heuristische klassische Betrachtung==

Nabloodel: /* Heuristische klassische Betrachtung */ Links

2022-08-11T13:01:58Z

Heuristische klassische Betrachtung: Links

62.141.176.2: /* Abweichung in der Quantenmechanik */

2022-05-24T11:27:46Z

Abweichung in der Quantenmechanik

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	== Abweichung in der Quantenmechanik ==		== Abweichung in der Quantenmechanik ==
	In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van ~~Leeuven~~-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin} = \frac{m}{2}v_i^2 = \frac{\mathrm p_i'^2}{2m} \, ,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom [[Vektorpotential]], in der Quantenmechanik nicht mehr.		In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin} = \frac{m}{2}v_i^2 = \frac{\mathrm p_i'^2}{2m} \, ,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom [[Vektorpotential]], in der Quantenmechanik nicht mehr.

	Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.		Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.

Qcomp: unnötig wortreich; ist auch nicht "rein logisch" sondern ein Resultat der klassischen Physik; Die letzte Textänderung von 2003:CA:1717:5BBF:D501:53E:150A:E987 wurde verworfen und die Version 205948977 von Orthographus wiederhergestellt.

2022-01-25T12:49:45Z

unnötig wortreich; ist auch nicht "rein logisch" sondern ein Resultat der klassischen Physik; Die letzte Textänderung von 2003:CA:1717:5BBF:D501:53E:150A:E987 wurde verworfen und die Version 205948977 von Orthographus wiederhergestellt.

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	==Mathematischer Beweis==		==Mathematischer Beweis==
	~~Rein logisch gesehen ist für~~ ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> die [[Hamiltonfunktion]] definiert über		Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über
	<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.		<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.

2003:CA:1717:5BBF:D501:53E:150A:E987: /* Abweichung in der Quantenmechanik */

2022-01-24T19:11:04Z

Abweichung in der Quantenmechanik

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2022, 21:11 Uhr
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	==Mathematischer Beweis==		==Mathematischer Beweis==
	~~Für~~ ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ~~ist~~ die [[Hamiltonfunktion]] definiert über		Rein logisch gesehen ist für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> die [[Hamiltonfunktion]] definiert über
	<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.		<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.

Orthographus: Komma

2020-11-26T10:20:18Z

Komma

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	==Mathematischer Beweis==		==Mathematischer Beweis==
	Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über		Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über
	<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.		<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.

	Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik\|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert:		Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik\|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert:

Acky69: /* Abweichung in der Quantenmechanik */ zus. Link

2019-05-06T13:43:17Z

Abweichung in der Quantenmechanik: zus. Link

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	:<math>\mathbf M = - \frac{\partial F}{\partial \mathbf B} \equiv 0\,,</math> wobei <math>F = - k_B T \ln(Z)</math> die freie Energie ist.		:<math>\mathbf M = - \frac{\partial F}{\partial \mathbf B} \equiv 0\,,</math> wobei <math>F = - k_B T \ln(Z)</math> die freie Energie ist.

	==Abweichung in der Quantenmechanik==		== Abweichung in der Quantenmechanik ==
	In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van Leeuven-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin}=\frac{m}{2}v_i^2~~</math>~~ ~~bzw.~~ ~~<math>=~~\frac{\mathrm p_i'^2}{2m}\,,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom Vektorpotential, in der Quantenmechanik nicht mehr, ~~sondern~~ der Hamiltonoperator ~~hängt~~ explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.		In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van Leeuven-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin} = \frac{m}{2}v_i^2 = \frac{\mathrm p_i'^2}{2m} \, ,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom [[Vektorpotential]], in der Quantenmechanik nicht mehr.

			Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.

	==Einzelnachweise und Fußnoten==		==Einzelnachweise und Fußnoten==

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	==Mathematischer Beweis==		==Mathematischer Beweis==
	Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit [[Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über		Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in [[Magnetische Flussdichte\|Magnetfeldern]] <math>\mathbf B_i</math> mit [[Magnetisches Vektorpotential\|Vektorpotential]] <math>\mathbf A_i</math> ist die [[Hamiltonfunktion]] definiert über
	<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.		<math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. [[cgs-System]] benutzt. Im alternativen [[Internationales Einheitensystem\|Internationalen Einheitensystem]] ersetzt man ''c'' durch 1.</ref> . Dabei stellt das erste Argument den sog. ''kanonischen Impuls'' <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den ''kinetischen Impuls'' bildet.  <math>\frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2</math> ist die kinetische Energie, während <math>\mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i</math> die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential <math>\mathbf A_i</math> des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu <math>m\cdot\mathbf v_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu <math>\mathbf A_i</math> ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.

	Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik\|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert:		Trotzdem ist die [[Zustandssumme]] eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der [[Statistische Physik\|statistischen Physik]] klassisch über den kanonischen Impuls definiert:

	:<math>Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\,</math><math>\mathrm{e}^{-\beta H\{( \mathbf p_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i), \mathbf r_i )\}}\,,</math>		:<math>Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\,</math><math>\mathrm{e}^{-\beta H\{( \mathbf p_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i), \mathbf r_i )\}}\,,</math>
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	wobei dies in drei Dimensionen behandelt wird.		wobei dies in drei Dimensionen behandelt wird.

	Nun geht man zum ''kinetischen Impuls'' über, indem man substituiert: <math>\mathbf p_i \equiv \mathbf p_i' + \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i)</math>.		Nun geht man zum ''kinetischen Impuls'' über, indem man substituiert: <math>\mathbf p_i \equiv \mathbf p_i' + \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i)</math>.
	Da alle Impulse <math>\mathbf p_i'</math> über den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu		Da alle Impulse <math>\mathbf p_i'</math> über den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu
	<math>Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p' \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\,		<math>Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p' \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\,
	\mathrm{e}^{-\beta H\{ (\mathbf p_i', \mathbf r_i )\}}</math>		\mathrm{e}^{-\beta H\{ (\mathbf p_i', \mathbf r_i )\}}</math>
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	== Abweichung in der Quantenmechanik ==		== Abweichung in der Quantenmechanik ==
	In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin} = \frac{m}{2}v_i^2 = \frac{\mathrm p_i'^2}{2m} \, ,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom [[Vektorpotential]], in der Quantenmechanik nicht mehr.		In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem nicht mehr, weil der [[Spin]] des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin} = \frac{m}{2}v_i^2 = \frac{\mathrm p_i'^2}{2m} \, ,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom [[Magnetisches Vektorpotential\|Vektorpotential]], in der Quantenmechanik nicht mehr.

	Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.		Stattdessen hängt der [[Hamiltonoperator]] explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. [[Ferromagnetismus]] von bestimmten Festkörpern und [[Paramagnetismus]] in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.