Blockcode - Versionsgeschichte

Dexxor: /* Weblinks */ tote Links

2024-10-27T17:05:28Z

Weblinks: tote Links

← Nächstältere Version		Version vom 27. Oktober 2024, 19:05 Uhr
Zeile 326:		Zeile 326:

	== Weblinks ==		== Weblinks ==
	* [https://home.zhaw.ch/~rur/ntm/unterlagen/ntmkap94itfec1.pdf Kanalcodierung und Blockcodes] ~~(abgerufen am 6. April 2018)~~		* [https://web.archive.org/web/20180406163859/https://home.zhaw.ch/~rur/ntm/unterlagen/ntmkap94itfec1.pdf Kanalcodierung und Blockcodes]
	* [https://www.tu-chemnitz.de/informatik/ThIS/downloads/courses/ss03/kv/lincodes1.pdf Lineare Fehlerkorrigierende Codes] (abgerufen am 6. April 2018)
	* [http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS09/PI02/docs/codierungstheorie_Teil1.pdf Proinformatik - Funktionale Programmierung] (abgerufen am 6. April 2018)		* [http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/SS09/PI02/docs/codierungstheorie_Teil1.pdf Proinformatik - Funktionale Programmierung] (abgerufen am 6. April 2018)
	* [ftp://ftp.tnt.uni-hannover.de/pub/edu/KanalCod/Formelsammlung.pdf Formelsammlung Kanalcodierung] (abgerufen am 6. April 2018)
	* [http://ecee.colorado.edu/~mathys/ecen5682/slides/blockperf99.pdf Theory and Practice of Error Control Codes Block Code Performance] (abgerufen am 6. April 2018)		* [http://ecee.colorado.edu/~mathys/ecen5682/slides/blockperf99.pdf Theory and Practice of Error Control Codes Block Code Performance] (abgerufen am 6. April 2018)

Dexxor: /* Typen von Blockcodes */ Sprache; unübliche Formatierung

2024-10-27T16:49:48Z

Typen von Blockcodes: Sprache; unübliche Formatierung

Dexxor: /* Typen von Blockcodes */ unnötige Aufklappbox

2024-10-27T16:06:00Z

Typen von Blockcodes: unnötige Aufklappbox

← Nächstältere Version		Version vom 27. Oktober 2024, 18:06 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:
	Die Codeworte erhält man durch Multiplizieren des Eingangssignals <math>x</math> mit der Generatormatrix		Die Codeworte erhält man durch Multiplizieren des Eingangssignals <math>x</math> mit der Generatormatrix
	:<math>c(x) = x \cdot G</math>		:<math>c(x) = x \cdot G</math>
	Der Hauptvorteil linearer Code ist die einfache Codierbarkeit und die einfache Decodierbarkeit.		Der Hauptvorteil linearer Code ist die einfache Codierbarkeit und die einfache Decodierbarkeit: Zur Kodierung eines Codes mit <math>q^k</math> Codeworten muss man nur noch <math>k</math> Codeworte vorrätig halten. Gleiches gilt für die Dekodierung mit <math>q^n</math> vs. <math>n</math>.

	{\| class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border: 1px solid #C0C0C0; width:100%; padding-left:5px;"
	\|-
	! style="text-align:left"\| Bemerkungen:
	\|-
	\| Zur Kodierung eines Codes mit <math>q^k</math> Codeworten muss man nur noch <math>k</math> Codeworte vorrätig halten. Gleiches gilt für die Dekodierung mit <math>q^n</math> vs. <math>n</math>.
	\|}

	[[Systematischer Code\|'''Systematische''' Blockcodes]] sind Codes,<br />		[[Systematischer Code\|'''Systematische''' Blockcodes]] sind Codes,<br />

Mike Krüger: Leerzeichen vor/nach Schrägstrich korrigiert

2024-03-26T23:11:41Z

Leerzeichen vor/nach Schrägstrich korrigiert

← Nächstältere Version		Version vom 27. März 2024, 01:11 Uhr
Zeile 332:		Zeile 332:
	* Rudolf Nocker: ''Digitale Kommunikationssysteme 1.'' Grundlagen der Basisbandübertragung, 1. Auflage, Friedrich Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2004, ISBN 978-3-528-03976-9.		* Rudolf Nocker: ''Digitale Kommunikationssysteme 1.'' Grundlagen der Basisbandübertragung, 1. Auflage, Friedrich Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2004, ISBN 978-3-528-03976-9.
	* Markus Hufschmid: ''Information und Kommunikation''. Grundlagen der Informationsübertragung, Vieweg und Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0122-6.		* Markus Hufschmid: ''Information und Kommunikation''. Grundlagen der Informationsübertragung, Vieweg und Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0122-6.
	* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.		* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.

	== Weblinks ==		== Weblinks ==

Jansan: /* Aufbau */ \Sigma^n ist eine Menge, keine Zahl

2024-03-11T10:22:13Z

Aufbau: \Sigma^n ist eine Menge, keine Zahl

← Nächstältere Version		Version vom 11. März 2024, 12:22 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:

	== Aufbau ==		== Aufbau ==
	Aus dem Alphabet <math>\Sigma</math> und der Blockgröße <math>n</math> ~~ergeben~~ sich <math>\Sigma^n</math> ~~mögliche~~ Worte, von denen eine Teilmenge <math>\mathcal C \subseteq \Sigma^n</math> die gültigen Codeworte darstellt. Die Mächtigkeit des Alphabets <math>\Sigma</math> wird mit <math>q = \|\Sigma\|</math> bezeichnet, sie beträgt im Falle von Binärcodes <math>q = \|\Sigma\| = 2</math>.		Aus dem Alphabet <math>\Sigma</math> und der Blockgröße <math>n</math> ergibt sich <math>\Sigma^n</math> als Menge der möglichen Worte, von denen eine Teilmenge <math>\mathcal C \subseteq \Sigma^n</math> die gültigen Codeworte darstellt. Die Mächtigkeit des Alphabets <math>\Sigma</math> wird mit <math>q = \|\Sigma\|</math> bezeichnet, sie beträgt im Falle von Binärcodes <math>q = \|\Sigma\| = 2</math>.
	Die Mächtigkeit des Codes <math>\|\mathcal C\|</math> kann bei vielen Codes (bei linearen Codes immer) als <math>\|\mathcal C\| = q^k</math> mit <math>k \in \mathbb{N}^+</math> geschrieben werden. Diese Codes können bei einer Blockgröße von <math>n</math> Symbolen eine Nutzlast <math>k \leq n</math> tragen.		Die Mächtigkeit des Codes <math>\|\mathcal C\|</math> kann bei vielen Codes (bei linearen Codes immer) als <math>\|\mathcal C\| = q^k</math> mit <math>k \in \mathbb{N}^+</math> geschrieben werden. Diese Codes können bei einer Blockgröße von <math>n</math> Symbolen eine Nutzlast <math>k \leq n</math> tragen.

Kompetenter: /* Einleitung */ Pleonasmus entf.

2023-05-30T11:01:34Z

Einleitung: Pleonasmus entf.

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2023, 13:01 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	'''Blockcodes''' sind eine Art der [[Kanalkodierung]] der Familie der (fehlererkennenden und) [[Vorwärtsfehlerkorrektur\|fehlerkorrigierenden Codes]]. Sie zeichnen sich durch eine feste Blockgröße aus <math>n</math> [[Symbol (Nachrichtentechnik)\|Symbolen]] eines festen [[Alphabet (Informatik)\|Alphabets]] <math>\Sigma</math> (bei [[Binärcode]]s <math>\Sigma = \{ 0, 1 \}</math>) aus. Einzelne Blocks werden im Gegensatz zu [[Faltungscode]]s unabhängig voneinander kodiert und dekodiert.		'''Blockcodes''' sind eine Art der [[Kanalkodierung]] der Familie der (fehlererkennenden und) [[Vorwärtsfehlerkorrektur\|fehlerkorrigierenden Codes]]. Sie zeichnen sich durch eine feste Blockgröße aus <math>n</math> [[Symbol (Nachrichtentechnik)\|Symbolen]] eines festen [[Alphabet (Informatik)\|Alphabets]] <math>\Sigma</math> (bei [[Binärcode]]s <math>\Sigma = \{ 0, 1 \}</math>) aus. Einzelne Blocks werden im Gegensatz zu [[Faltungscode]]s unabhängig voneinander kodiert und dekodiert.

	Wichtige Eigenschaften eines Blockcodes sind die [[Informationsrate]] (das Verhältnis aus enthaltener Informationsmenge <math>k</math> zur Gesamt-Datenmenge <math>n</math>) sowie seine ''Korrekturrate'' (d. h. die Fähigkeit Fehler zu erkennen und/oder zu korrigieren). Beide Eigenschaften beeinflussen einander ~~gegenseitig~~ und spannen eine gemeinsame, unüberwindbare Schranke auf. Durch Optimierung kann man sich der Schranke nähern, erhält aber lange und [[NP (Komplexitätsklasse)\|aufwändig]] zu dekodierende Codes. Hier hat sich das Kaskadieren von Codes als praktikablere Lösung erwiesen.		Wichtige Eigenschaften eines Blockcodes sind die [[Informationsrate]] (das Verhältnis aus enthaltener Informationsmenge <math>k</math> zur Gesamt-Datenmenge <math>n</math>) sowie seine ''Korrekturrate'' (d. h. die Fähigkeit Fehler zu erkennen und/oder zu korrigieren). Beide Eigenschaften beeinflussen einander und spannen eine gemeinsame, unüberwindbare Schranke auf. Durch Optimierung kann man sich der Schranke nähern, erhält aber lange und [[NP (Komplexitätsklasse)\|aufwändig]] zu dekodierende Codes. Hier hat sich das Kaskadieren von Codes als praktikablere Lösung erwiesen.

	Obwohl Blockcodes häufig nicht optimal im Sinne einer minimalen mittleren Codewortlänge sind, schränkt man sich oft auf Blockcodes ein. Eine weitere Spezialisierung stellen [[Linearer Code\|lineare Codes]] und [[Systematischer Code\|systematische Codes]] dar.		Obwohl Blockcodes häufig nicht optimal im Sinne einer minimalen mittleren Codewortlänge sind, schränkt man sich oft auf Blockcodes ein. Eine weitere Spezialisierung stellen [[Linearer Code\|lineare Codes]] und [[Systematischer Code\|systematische Codes]] dar.

Thomas Dresler: Selbstlink entfernt

2022-11-24T07:31:17Z

Selbstlink entfernt

← Nächstältere Version		Version vom 24. November 2022, 09:31 Uhr
Zeile 313:		Zeile 313:

	=== Plotkin-Grenze ===		=== Plotkin-Grenze ===
	In der [[Kanalcodierung]] verwendet man ~~[[Blockcode]]s~~, um Fehler in Datenströmen erkennen und korrigieren zu können. Ein Blockcode <math>C</math> der Länge <math>n</math> über einem <math>q</math>-nären Alphabet mit einem Minimalabstand <math>d</math> erfüllt die [[Plotkin-Grenze]], auch als ''Plotkin-Schranke'' bezeichnet,<ref>M. Plotkin: Binary codes with specified minimum distance, IRE Transactions on Information Theory, 6:445-450, 1960 (engl.).</ref><ref>W.C. Huffman, V. Pless: Fundamentals of Error-Correcting Codes, Cambridge University Press, 2003 (engl.).</ref>		In der [[Kanalcodierung]] verwendet man Blockcodes, um Fehler in Datenströmen erkennen und korrigieren zu können. Ein Blockcode <math>C</math> der Länge <math>n</math> über einem <math>q</math>-nären Alphabet mit einem Minimalabstand <math>d</math> erfüllt die [[Plotkin-Grenze]], auch als ''Plotkin-Schranke'' bezeichnet,<ref>M. Plotkin: Binary codes with specified minimum distance, IRE Transactions on Information Theory, 6:445-450, 1960 (engl.).</ref><ref>W.C. Huffman, V. Pless: Fundamentals of Error-Correcting Codes, Cambridge University Press, 2003 (engl.).</ref>

	: <math> \|C\|\leq \frac{d}{d-(\frac{q-1}{q})\cdot n} </math>		: <math> \|C\|\leq \frac{d}{d-(\frac{q-1}{q})\cdot n} </math>

Aka: Leerzeichen vor Satzzeichen entfernt, typografische Anführungszeichen, Links optimiert, Kleinkram

2022-11-23T12:10:07Z

Leerzeichen vor Satzzeichen entfernt, typografische Anführungszeichen, Links optimiert, Kleinkram

Thomas Dresler: Selbstlink entfernt

2022-11-23T07:47:02Z

Selbstlink entfernt

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2022, 09:47 Uhr
Zeile 269:		Zeile 269:

	=== Singleton-Schranke ===		=== Singleton-Schranke ===
	Die [[Singleton-Schranke]] bezeichnet eine obere Schranke für die [[Hamming-Abstand#Mindestdistanz\|Mindestdistanz]] <math>d</math> eines ~~[[Blockcode\|~~Blockcodes]] der Länge <math>n</math> bei Informationswörtern der Länge <math>k</math> über einem einheitlichen Alphabet <math>\Sigma</math>.		Die [[Singleton-Schranke]] bezeichnet eine obere Schranke für die [[Hamming-Abstand#Mindestdistanz\|Mindestdistanz]] <math>d</math> eines Blockcodes der Länge <math>n</math> bei Informationswörtern der Länge <math>k</math> über einem einheitlichen Alphabet <math>\Sigma</math>.

	Sie lautet:		Sie lautet:

Maximum 2520: /* Einzelnachweise */ Formatierung angepasst

2022-11-22T21:44:41Z

Einzelnachweise: Formatierung angepasst

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2022, 23:44 Uhr
Zeile 341:		Zeile 341:
	* [http://ecee.colorado.edu/~mathys/ecen5682/slides/blockperf99.pdf Theory and Practice of Error Control Codes Block Code Performance] (abgerufen am 6. April 2018)		* [http://ecee.colorado.edu/~mathys/ecen5682/slides/blockperf99.pdf Theory and Practice of Error Control Codes Block Code Performance] (abgerufen am 6. April 2018)

			== Einzelnachweise ==
			<references />

	[[Kategorie:Kodierungstheorie]]		[[Kategorie:Kodierungstheorie]]

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2023, 13:01 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	'''Blockcodes''' sind eine Art der [[Kanalkodierung]] der Familie der (fehlererkennenden und) [[Vorwärtsfehlerkorrektur\|fehlerkorrigierenden Codes]]. Sie zeichnen sich durch eine feste Blockgröße aus <math>n</math> [[Symbol (Nachrichtentechnik)\|Symbolen]] eines festen [[Alphabet (Informatik)\|Alphabets]] <math>\Sigma</math> (bei [[Binärcode]]s <math>\Sigma = \{ 0, 1 \}</math>) aus. Einzelne Blocks werden im Gegensatz zu [[Faltungscode]]s unabhängig voneinander kodiert und dekodiert.		'''Blockcodes''' sind eine Art der [[Kanalkodierung]] der Familie der (fehlererkennenden und) [[Vorwärtsfehlerkorrektur\|fehlerkorrigierenden Codes]]. Sie zeichnen sich durch eine feste Blockgröße aus <math>n</math> [[Symbol (Nachrichtentechnik)\|Symbolen]] eines festen [[Alphabet (Informatik)\|Alphabets]] <math>\Sigma</math> (bei [[Binärcode]]s <math>\Sigma = \{ 0, 1 \}</math>) aus. Einzelne Blocks werden im Gegensatz zu [[Faltungscode]]s unabhängig voneinander kodiert und dekodiert.

	Wichtige Eigenschaften eines Blockcodes sind die [[Informationsrate]] (das Verhältnis aus enthaltener Informationsmenge <math>k</math> zur Gesamt-Datenmenge <math>n</math>) sowie seine ''Korrekturrate'' (d. h. die Fähigkeit Fehler zu erkennen und/oder zu korrigieren). Beide Eigenschaften beeinflussen einander ~~gegenseitig~~ und spannen eine gemeinsame, unüberwindbare Schranke auf. Durch Optimierung kann man sich der Schranke nähern, erhält aber lange und [[NP (Komplexitätsklasse)\|aufwändig]] zu dekodierende Codes. Hier hat sich das Kaskadieren von Codes als praktikablere Lösung erwiesen.		Wichtige Eigenschaften eines Blockcodes sind die [[Informationsrate]] (das Verhältnis aus enthaltener Informationsmenge <math>k</math> zur Gesamt-Datenmenge <math>n</math>) sowie seine ''Korrekturrate'' (d. h. die Fähigkeit Fehler zu erkennen und/oder zu korrigieren). Beide Eigenschaften beeinflussen einander und spannen eine gemeinsame, unüberwindbare Schranke auf. Durch Optimierung kann man sich der Schranke nähern, erhält aber lange und [[NP (Komplexitätsklasse)\|aufwändig]] zu dekodierende Codes. Hier hat sich das Kaskadieren von Codes als praktikablere Lösung erwiesen.

	Obwohl Blockcodes häufig nicht optimal im Sinne einer minimalen mittleren Codewortlänge sind, schränkt man sich oft auf Blockcodes ein. Eine weitere Spezialisierung stellen [[Linearer Code\|lineare Codes]] und [[Systematischer Code\|systematische Codes]] dar.		Obwohl Blockcodes häufig nicht optimal im Sinne einer minimalen mittleren Codewortlänge sind, schränkt man sich oft auf Blockcodes ein. Eine weitere Spezialisierung stellen [[Linearer Code\|lineare Codes]] und [[Systematischer Code\|systematische Codes]] dar.

← Nächstältere Version		Version vom 27. Oktober 2024, 18:49 Uhr
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	\|}		\|}

	[[Linearer Code\|'''Lineare''' Blockcodes]] sind Codes,<br />		[[Linearer Code\|'''Lineare''' Blockcodes]] sind Codes, die auch als <math>k</math>-dimensionaler Untervektorraum von <math>\Sigma^n</math> aufgefasst werden können. Es existiert dann eine Basis <math>g_1, \dots, g_k</math> des Codes <math>\mathcal C</math>.
	wenn <math>\mathcal C</math> ein <math>k</math>-dimensionaler Untervektorraum von <math>\Sigma^n</math> ist. Es existiert dann eine Basis <math>g_1, \dots, g_k</math> von <math>\mathcal C</math>.
	Fasst man diese Basis zu einer [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]]		Fasst man diese Basis zu einer [[Matrix (Mathematik)\|Matrix]]

Zeile 80:		Zeile 79:
	Der Hauptvorteil linearer Code ist die einfache Codierbarkeit und die einfache Decodierbarkeit: Zur Kodierung eines Codes mit <math>q^k</math> Codeworten muss man nur noch <math>k</math> Codeworte vorrätig halten. Gleiches gilt für die Dekodierung mit <math>q^n</math> vs. <math>n</math>.		Der Hauptvorteil linearer Code ist die einfache Codierbarkeit und die einfache Decodierbarkeit: Zur Kodierung eines Codes mit <math>q^k</math> Codeworten muss man nur noch <math>k</math> Codeworte vorrätig halten. Gleiches gilt für die Dekodierung mit <math>q^n</math> vs. <math>n</math>.

	[[Systematischer Code\|'''Systematische''' Blockcodes]] sind Codes,~~<br />~~		[[Systematischer Code\|'''Systematische''' Blockcodes]] sind Codes,
	bei denen die <math>k</math> Informationssymbole direkt im Block ablesbar sind (meist am Blockanfang, siehe Abbildung am Anfang des Artikels).		bei denen die <math>k</math> Informationssymbole direkt im Block ablesbar sind (meist am Blockanfang, siehe Abbildung am Anfang des Artikels).
	Sie können gleichzeitig lineare Blockcodes sein, müssen es aber nicht.		Sie können gleichzeitig lineare Blockcodes sein, müssen es aber nicht.
	Sie sind lineare Blockcodes, wenn neben den Informationssymbolen (die immer linear sind) auch die Prüfsymbole linear sind.		Sie sind lineare Blockcodes, wenn neben den Informationssymbolen (die immer linear sind) auch die Prüfsymbole linear sind.

	[[Perfekter Code\|'''Perfekte''' Blockcodes]] sind Codes,~~<br />~~		[[Perfekter Code\|'''Perfekte''' Blockcodes]] sind Codes,
	in denen jedes Wort <math>w \in \Sigma^n</math> nur zu genau einem [[Code]]wort <math>c \in \mathcal C</math> (und nicht zu mehreren) einen geringsten [[Hamming-Abstand]] <math>d_w</math> hat.		in denen jedes Wort <math>w \in \Sigma^n</math> nur zu genau einem [[Code]]wort <math>c \in \mathcal C</math> (und nicht zu mehreren) einen geringsten [[Hamming-Abstand]] <math>d_w</math> hat.
	Jedes Wort lässt sich damit eindeutig decodieren. Der [[Hamming-Code]] ist ein Beispiel für einen perfekten Code.		Jedes Wort lässt sich damit eindeutig decodieren. Der [[Hamming-Code]] ist ein Beispiel für einen perfekten Code.

	[[MDS-Code\|'''Maximum-Distanz'''-Codes]] (MDS Codes) sind Blockcodes,		[[MDS-Code\|'''Maximum-Distanz'''-Codes]] (MDS-Codes) sind Blockcodes,

	deren Codeworte den größtmöglichen Hamming-Abstand voneinander haben. Beispiele für MDS Codes sind [[Wiederholungscode]]s, [[Paritätsbit\|Paritätscodes]] und [[Reed-Solomon-Code]]s.		deren Codeworte den größtmöglichen Hamming-Abstand voneinander haben. Beispiele für MDS Codes sind [[Wiederholungscode]]s, [[Paritätsbit\|Paritätscodes]] und [[Reed-Solomon-Code]]s.

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2022, 14:10 Uhr
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	[[Perfekter Code\|'''Perfekte''' Blockcodes]] sind Codes,<br />		[[Perfekter Code\|'''Perfekte''' Blockcodes]] sind Codes,<br />
	in denen jedes Wort <math>w \in \Sigma^n</math> nur zu genau einem [[Code]]wort <math>c \in \mathcal C</math> (und nicht zu mehreren) einen geringsten [[Hamming-Abstand]] <math>d_w</math> hat.		in denen jedes Wort <math>w \in \Sigma^n</math> nur zu genau einem [[Code]]wort <math>c \in \mathcal C</math> (und nicht zu mehreren) einen geringsten [[Hamming-Abstand]] <math>d_w</math> hat.
	Jedes Wort lässt sich damit eindeutig decodieren. Der [[Hamming-Code]] ist ein Beispiel für einen perfekten Code.		Jedes Wort lässt sich damit eindeutig decodieren. Der [[Hamming-Code]] ist ein Beispiel für einen perfekten Code.

	[[MDS-Code\|'''Maximum-Distanz'''-Codes]] (MDS Codes) sind Blockcodes,		[[MDS-Code\|'''Maximum-Distanz'''-Codes]] (MDS Codes) sind Blockcodes,

	deren Codeworte den größtmöglichen Hamming-Abstand voneinander haben. Beispiele für MDS Codes sind [[Wiederholungscode~~\|Wiederholungscodes~~]], [[Paritätsbit\|Paritätscodes]] und [[Reed-Solomon-Code~~\|Reed-Solomon-Codes~~]].		deren Codeworte den größtmöglichen Hamming-Abstand voneinander haben. Beispiele für MDS Codes sind [[Wiederholungscode]]s, [[Paritätsbit\|Paritätscodes]] und [[Reed-Solomon-Code]]s.

	== Informationsrate von Blockcodes ==		== Informationsrate von Blockcodes ==
Zeile 116:		Zeile 116:

	=== Wiederholungscode ===		=== Wiederholungscode ===
	[[Wiederholungscode~~\|Wiederholungscodes~~]] sind lineare, systematische <math>[n,1;n]</math>-Blockcodes über einem beliebigen Alphabet, bei denen jedes Nachrichtensymbol n-mal wiederholt wird. Damit hat ein Wiederholungscode die Generatormatrix		[[Wiederholungscode]]s sind lineare, systematische <math>[n,1;n]</math>-Blockcodes über einem beliebigen Alphabet, bei denen jedes Nachrichtensymbol n-mal wiederholt wird. Damit hat ein Wiederholungscode die Generatormatrix

	<math>G = \begin{pmatrix} 1 \cdots 1 \end{pmatrix}</math>		<math>G = \begin{pmatrix} 1 \cdots 1 \end{pmatrix}</math>

	und eine Informationsrate von <math>R = \frac{1}{n}</math>.		und eine Informationsrate von <math>R = \frac{1}{n}</math>.

	=== Paritätscode ===		=== Paritätscode ===
	[[Paritätsbit\|Paritätscodes]] (engl. Single Parity Check (SPC) codes) sind lineare, systematische und binäre Codes, bei denen der Nachricht ein einziges Prüfbit angefügt wird, das sich als XOR-Verknüpfung aller Nachrichtenbits ergibt. Somit hat jedes Codewort eine gerade Anzahl an ~~"1"~~-Bits. Die Generatormatrix hat folgende Form:		[[Paritätsbit\|Paritätscodes]] (engl. Single Parity Check (SPC) codes) sind lineare, systematische und binäre Codes, bei denen der Nachricht ein einziges Prüfbit angefügt wird, das sich als XOR-Verknüpfung aller Nachrichtenbits ergibt. Somit hat jedes Codewort eine gerade Anzahl an „1“-Bits. Die Generatormatrix hat folgende Form:

	<math> G=\begin{pmatrix}		<math> G=\begin{pmatrix}
Zeile 278:		Zeile 278:

	* Annahme: Alphabet <math>\Sigma =\{0,\ldots,q-1\}</math>		* Annahme: Alphabet <math>\Sigma =\{0,\ldots,q-1\}</math>
	* Anzahl der möglichen Informationswörter : <math>\|\mathcal I\| = q^k</math>		* Anzahl der möglichen Informationswörter: <math>\|\mathcal I\| = q^k</math>
	* Anzahl der Codewörter: <math>\|\mathcal C\|=\|\mathcal I\| = q^k</math>		* Anzahl der Codewörter: <math>\|\mathcal C\|=\|\mathcal I\| = q^k</math>
	* Mindestdistanz: <math>d</math>		* Mindestdistanz: <math>d</math>
Zeile 296:		Zeile 296:
	wobei <math>M = \|\mathcal C\|</math>.		wobei <math>M = \|\mathcal C\|</math>.

	Codes, die die Singleton-Schranke mit Gleichheit erfüllen, nennt man auch [[MDS-Code~~\|MDS-Codes~~]].		Codes, die die Singleton-Schranke mit Gleichheit erfüllen, nennt man auch [[MDS-Code]]s.

	Im Falle der [[Hamming-Schranke]] ist <math>t = \lfloor (d-1)/2 \rfloor </math> die Anzahl der maximal korrigierbaren Fehler eines Codes mit der Hamming-Distanz <math>d</math>.		Im Falle der [[Hamming-Schranke]] ist <math>t = \lfloor (d-1)/2 \rfloor </math> die Anzahl der maximal korrigierbaren Fehler eines Codes mit der Hamming-Distanz <math>d</math>.
Zeile 313:		Zeile 313:

	=== Plotkin-Grenze ===		=== Plotkin-Grenze ===
	In der [[Kanalcodierung]] verwendet man [[Blockcode~~\|Blockcodes~~]], um Fehler in Datenströmen erkennen und korrigieren zu können. Ein Blockcode <math>C</math> der Länge <math>n</math> über einem <math>q</math>-nären Alphabet mit einem Minimalabstand <math>d</math> erfüllt die [[Plotkin-Grenze]], auch als ''Plotkin-Schranke'' bezeichnet,<ref>M. Plotkin: Binary codes with specified minimum distance, IRE Transactions on Information Theory, 6:445-450, 1960 (engl.).</ref><ref>W.C. Huffman, V. Pless: Fundamentals of Error-Correcting Codes, Cambridge University Press, 2003 (engl.).</ref>		In der [[Kanalcodierung]] verwendet man [[Blockcode]]s, um Fehler in Datenströmen erkennen und korrigieren zu können. Ein Blockcode <math>C</math> der Länge <math>n</math> über einem <math>q</math>-nären Alphabet mit einem Minimalabstand <math>d</math> erfüllt die [[Plotkin-Grenze]], auch als ''Plotkin-Schranke'' bezeichnet,<ref>M. Plotkin: Binary codes with specified minimum distance, IRE Transactions on Information Theory, 6:445-450, 1960 (engl.).</ref><ref>W.C. Huffman, V. Pless: Fundamentals of Error-Correcting Codes, Cambridge University Press, 2003 (engl.).</ref>

	: <math> \|C\|\leq \frac{d}{d-(\frac{q-1}{q})\cdot n} </math>		: <math> \|C\|\leq \frac{d}{d-(\frac{q-1}{q})\cdot n} </math>