Binary Symmetric Channel - Versionsgeschichte

Middle Distance Biker 39: /* Literatur */ Hinweis "Leerzeichen um Schrägstrich", Literaturangaben leicht verbessert, ISBN-13 erst ab 2007

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	== Literatur ==		== Literatur ==
	* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.		* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.
	* [[Werner Lütkebohmert]]: ''Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen.'' Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (''Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik'').		* [[Werner Lütkebohmert]]: ''Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen.'' Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (''Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik'').
	* Rudolf Mathar: ''Informationstheorie.'' Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN ~~978-~~3-519-02574-0.		* Rudolf Mathar: ''Informationstheorie. Diskrete Modelle und Verfahren.'' B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 3-519-02574-4.

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==

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	* [http://www.ant.uni-bremen.de/sixcms/media.php/102/9490/kc1_top.pdf Vorlesungsskript Kanalcodierung I] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [http://www.ant.uni-bremen.de/sixcms/media.php/102/9490/kc1_top.pdf Vorlesungsskript Kanalcodierung I] (abgerufen am 22. Januar 2018)
	* [http://page.mi.fu-berlin.de/juergen/WS0910/Codierungstheorie/codtheo3.pdf Kanalcodierung] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [http://page.mi.fu-berlin.de/juergen/WS0910/Codierungstheorie/codtheo3.pdf Kanalcodierung] (abgerufen am 22. Januar 2018)
	* [https://www.uni-salzburg.at/fileadmin/oracle_file_imports/556438.PDF SKRIPTUM zur Lehrveranstaltung INFORMATIONSTHEORIE] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [https://web.archive.org/web/20180123072343/https://www.uni-salzburg.at/fileadmin/oracle_file_imports/556438.PDF SKRIPTUM zur Lehrveranstaltung INFORMATIONSTHEORIE] (abgerufen am 22. Januar 2018)

Aka: /* Kapazität */ Leerzeichen vor Referenz entfernt

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	wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der [[Bedingte Entropie\|bedingten Entropie]] folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit (<math>H(Y\|X=x)</math>) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.		wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der [[Bedingte Entropie\|bedingten Entropie]] folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit (<math>H(Y\|X=x)</math>) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.

	In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.		In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.<ref>Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: ''Elements of information theory'', S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.</ref>
	<ref>Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: ''Elements of information theory'', S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.</ref>

	== Siehe auch ==		== Siehe auch ==

Invisigoth67: typo, form

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typo, form

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	[[Datei:Binary symmetric channel (en).svg\|~~thumb~~\|~~upright~~=2\|Schema eines BSC]]		[[Datei:Binary symmetric channel (en).svg\|mini\|hochkant=2\|Schema eines BSC]]
	Ein '''binärer symmetrischer Kanal''' (englisch binary symmetric channel, kurz BSC) ist ein [[Kanal (Informationstheorie)\|informationstheoretischer Kanal]], bei dem die [[Wahrscheinlichkeit]] einer Falschübermittlung (auch Fehlerwahrscheinlichkeit) von 1 genau so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit der Falschübermittlung einer 0. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 empfangen wurde, falls eine 0 gesendet wurde und umgekehrt, beträgt die Wahrscheinlichkeit <math>p</math>. Für die verbleibenden Fälle, also der korrekten Übermittlung, ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von jeweils <math>1-p</math>:		Ein '''binärer symmetrischer Kanal''' (englisch binary symmetric channel, kurz BSC) ist ein [[Kanal (Informationstheorie)\|informationstheoretischer Kanal]], bei dem die [[Wahrscheinlichkeit]] einer Falschübermittlung (auch Fehlerwahrscheinlichkeit) von 1 genau so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit der Falschübermittlung einer 0. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 empfangen wurde, falls eine 0 gesendet wurde und umgekehrt, beträgt die Wahrscheinlichkeit <math>p</math>. Für die verbleibenden Fälle, also der korrekten Übermittlung, ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von jeweils <math>1-p</math>:

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	== Kapazität ==		== Kapazität ==
	Die [[ Kanalkapazität ]] des binären symmetrischen Kanals ist		Die [[Kanalkapazität]] des binären symmetrischen Kanals ist
	:<math>\ C_{\text{BSC}} = 1 - \operatorname H_\text{b}(p), </math>		:<math>\ C_{\text{BSC}} = 1 - \operatorname H_\text{b}(p), </math>
	wobei <math>\operatorname H_\text{b}(p)</math> die [[ Bernoulli-Verteilung#Entropie \| Entropie der Bernoulli-Verteilung ]] mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ist:		wobei <math>\operatorname H_\text{b}(p)</math> die [[Bernoulli-Verteilung#Entropie \| Entropie der Bernoulli-Verteilung]] mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ist:

	<math>\operatorname H_\text{b}(p) = -p\log_2(p)-(1-p)\log_2(1-p)</math>		<math>\operatorname H_\text{b}(p) = -p\log_2(p)-(1-p)\log_2(1-p)</math>
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der [[ Bedingte Entropie \| bedingten Entropie ]] folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit (<math>H(Y\|X=x)</math>) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.		wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der [[Bedingte Entropie \| bedingten Entropie]] folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit (<math>H(Y\|X=x)</math>) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.

	In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.		In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.
	<ref>Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: ''Elements of information theory'', S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.</ref>		<ref>Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: ''Elements of information theory'', S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.</ref>

			== Siehe auch ==
		⚫	* [[Binärer Auslöschungskanal]]

	== Literatur ==		== Literatur ==
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	* R. Mathar:''Informationstheorie''. Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-519-02574-0.		* R. Mathar:''Informationstheorie''. Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-519-02574-0.

	== ~~Siehe auch~~ ==		== Einzelnachweise ==
⚫	* [[Binärer Auslöschungskanal]]

	==Einzelnachweise==
	<references />		<references />

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	* [http://page.mi.fu-berlin.de/juergen/WS0910/Codierungstheorie/codtheo3.pdf Kanalcodierung] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [http://page.mi.fu-berlin.de/juergen/WS0910/Codierungstheorie/codtheo3.pdf Kanalcodierung] (abgerufen am 22. Januar 2018)
	* [https://www.uni-salzburg.at/fileadmin/oracle_file_imports/556438.PDF SKRIPTUM zur Lehrveranstaltung INFORMATIONSTHEORIE] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [https://www.uni-salzburg.at/fileadmin/oracle_file_imports/556438.PDF SKRIPTUM zur Lehrveranstaltung INFORMATIONSTHEORIE] (abgerufen am 22. Januar 2018)

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	* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.		* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.
	* [[Werner Lütkebohmert]]: ''Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen.'' Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (''Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik'').		* [[Werner Lütkebohmert]]: ''Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen.'' Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (''Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik'').
			* R. Mathar:''Informationstheorie''. Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-519-02574-0.

	== Siehe auch ==		== Siehe auch ==

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	== Literatur ==		== Literatur ==
	* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.		* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.
			* [[Werner Lütkebohmert]]: ''Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen.'' Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (''Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik'').

	== Siehe auch ==		== Siehe auch ==

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	In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.		In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.
	<ref>Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: ''Elements of information theory'', S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.</ref>		<ref>Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: ''Elements of information theory'', S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.</ref>

			== Literatur ==
			* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.

	== Siehe auch ==		== Siehe auch ==

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	* [http://www.ant.uni-bremen.de/sixcms/media.php/102/9490/kc1_top.pdf Vorlesungsskript Kanalcodierung I] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [http://www.ant.uni-bremen.de/sixcms/media.php/102/9490/kc1_top.pdf Vorlesungsskript Kanalcodierung I] (abgerufen am 22. Januar 2018)
	* [http://page.mi.fu-berlin.de/juergen/WS0910/Codierungstheorie/codtheo3.pdf Kanalcodierung] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [http://page.mi.fu-berlin.de/juergen/WS0910/Codierungstheorie/codtheo3.pdf Kanalcodierung] (abgerufen am 22. Januar 2018)
			* [https://www.uni-salzburg.at/fileadmin/oracle_file_imports/556438.PDF SKRIPTUM zur Lehrveranstaltung INFORMATIONSTHEORIE] (abgerufen am 22. Januar 2018)

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	== Weblinks ==		== Weblinks ==
	* [http://www.ant.uni-bremen.de/sixcms/media.php/102/9490/kc1_top.pdf Vorlesungsskript Kanalcodierung I] (abgerufen am 22. Januar 2018)		* [http://www.ant.uni-bremen.de/sixcms/media.php/102/9490/kc1_top.pdf Vorlesungsskript Kanalcodierung I] (abgerufen am 22. Januar 2018)
			* [http://page.mi.fu-berlin.de/juergen/WS0910/Codierungstheorie/codtheo3.pdf Kanalcodierung] (abgerufen am 22. Januar 2018)




	[[Kategorie:Informationstheorie]]		[[Kategorie:Informationstheorie]]

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	Die [[Kanalkapazität]] des binären symmetrischen Kanals ist		Die [[Kanalkapazität]] des binären symmetrischen Kanals ist
	:<math>\ C_{\text{BSC}} = 1 - \operatorname H_\text{b}(p), </math>		:<math>\ C_{\text{BSC}} = 1 - \operatorname H_\text{b}(p), </math>
	wobei <math>\operatorname H_\text{b}(p)</math> die [[Bernoulli-Verteilung#Entropie \| Entropie der Bernoulli-Verteilung]] mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ist:		wobei <math>\operatorname H_\text{b}(p)</math> die [[Bernoulli-Verteilung#Entropie\|Entropie der Bernoulli-Verteilung]] mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ist:

	<math>\operatorname H_\text{b}(p) = -p\log_2(p)-(1-p)\log_2(1-p)</math>		<math>\operatorname H_\text{b}(p) = -p\log_2(p)-(1-p)\log_2(1-p)</math>
Zeile 31:		Zeile 31:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der [[Bedingte Entropie \| bedingten Entropie]] folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit (<math>H(Y\|X=x)</math>) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.		wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der [[Bedingte Entropie\|bedingten Entropie]] folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit (<math>H(Y\|X=x)</math>) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.

	In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.		In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.
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	* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.		* Bernd Friedrichs: ''Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.
	* [[Werner Lütkebohmert]]: ''Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen.'' Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (''Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik'').		* [[Werner Lütkebohmert]]: ''Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen.'' Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (''Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik'').
	* R. Mathar:''Informationstheorie''. Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-519-02574-0.		* Rudolf Mathar: ''Informationstheorie.'' Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-519-02574-0.

	== Einzelnachweise ==		== Einzelnachweise ==