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Danielle de Picciotto

2018-05-18T19:08:04Z

Wikispaghetti: Interpunktion

[[Datei:Danielle de Picciotto 2.jpg|mini|Danielle de Picciotto (2013)]]
[[Datei:Danielle de Picciotto.JPG|mini|Danielle de Picciotto (2013)]]
'''Danielle de Picciotto''' (* [[19. Februar]] [[1965]] in [[Tacoma]], [[Washington (Bundesstaat)|Washington]]) ist eine [[Vereinigte Staaten|US-amerikanische]] [[Multimediakunst|Multimediakünstlerin]]. Sie lebt und arbeitet in [[Berlin]] als Malerin, Zeichnerin, Musikerin, Autorin und Filmemacherin. Ihre Werke werden international ausgestellt.

== Leben ==
Danielle de Picciotto studierte in [[New York City]] Musik und Kunst. 1987 ließ sie sich Deutschland nieder. Zusammen mit ihrem damaligen Lebensgefährten Matthias „[[Dr. Motte]]“ Roeingh initiierte sie am 1. Juli 1989 die erste [[Loveparade]] in Berlin.

Als Sängerin war sie von 1990 bis 1995 Mitglied der Berliner Band ''Space Cowboys''. Sie begründete 1997 zusammen mit [[Gudrun Gut]] den ''Ocean Club'', einen offenen Ort, in dem Kunst und Musik vorgestellt werden. Später verwandelte sich das Projekt in eine Radiosendung. Sie beteiligte sich von 1995 bis 2000 maßgeblich an der ''Berliner Clubkunstkultur''-Bewegung als Künstlerin/Kuratorin und gründete 1998 ''das Institut'', eine Galerie, in der sie über 150 Künstler, Musiker und Schriftsteller vertrat. 1999 begründete sie die regelmäßige Ausstellungs- und Eventreihe ''Kunst oder König'' und präsentierte Berliner Künstler, Musiker und DJs in internationalem Rahmen in Gruppenausstellungen, Konzerten und Kulturprojekten - oftmals in Zusammenarbeit mit dem [[Goethe-Institut]] (Rom, Mailand, Neapel, Hong Kong, Osaka, Tokyo, Sarajevo). Sie wurde regelmäßig als Künstlerin und [[Kurator]]in dazu aufgerufen, Berlin in seiner Vielseitigkeit und Kreativität zu präsentieren. 2005 initiierte sie ''Kunst oder Königin'', eine Ausstellungsreihe, in der ausschließlich Künstlerinnen vorgestellt werden. 2005 produzierte sie zusammen mit Alexander Hacke und den [[Tiger Lillies]] das audiovisuelle Bühnenstück ''Mountains of Madness''.

Im Jahr 2006 heiratete sie ihren langjährigen Lebensgefährten [[Alexander Hacke]], den Bassisten der Band [[Einstürzende Neubauten]]. 2007 erarbeiteten de Picciotto und Hacke das Werk von [[Sebastian Brant]] ''Das Narrenschiff'', das im Folgejahr auch als DVD und CD veröffentlicht wurde. Beide tourten mit dem Werk weltweit. 2008 wurde Danielle de Picciotto vom deutschen [[Auswärtiges Amt|Auswärtigen Amt]] beauftragt, einen Filmclip über europäische Tänze zu drehen. Der Clip ''Sternentanz'' veranschaulicht, wie [[Volkstanz|volkstümliche Tänze]] „clubtauglich“ und jugendnah erarbeitet werden können. 2009 wurde sie abermals vom Auswärtigen Amt mit einem Kurzfilm über 20 Jahre Mauerfall beauftragt. Im Mai 2009 wurden Hacke und de Picciotto in dem Dokumentarfilm ''In Berlin'' unter der Regie von [[Ciro Cappellari]] und [[Michael Ballhaus]] als schillerndes Berliner Künstlerpaar vorgestellt. 2011 wurden sie zu einem viermonatigen Aufenthalt in der ''Meetfactory'' von [[David Černý]] in Prag eingeladen, um eine audio-visuelle Installation aufzubauen und brachte Ihre Berlin Memoiren ''The Beauty Of Transgression'' ([[Die Gestalten Verlag]]) heraus. 2012 wurde Danielle Mitglied der Cultband ''[[Crime & the City Solution]]''. 2013 brachte die interdisziplinäre Künstlerin Ihr zweites Buch (Metrolit Verlag) ''We are Gypsies Now - Der Weg ins Ungewisse'' als Graphic Diary heraus. 2014 wurde Danielle eingeladen Musik für das Theaterstück ''Republik der Wölfe'' (Theater Dortmund) zusammen mit Mick Harvey, Alexander Hacke und Paul Wallfisch zu komponieren und während der Laufzeit live aufzuführen. Eine neue Band ''Ministry of Wolves'' entstand aus dieser Zusammenarbeit der vier Musiker. 2015 wird Ihr Buch "We Are Gypsies Now" in den USA von AMOK books veröffentlicht. 2006 werden Danielle de Picciotto und Alexander Hacke zu eine Soundresidency in Krems, Österreich eingeladen und leiten ein Seminar über interdisziplinäre Aufführungen an der HFG (ZKM) in Karlsruhe. Danielle macht außerdem ein kurzes Seminar in der NYU, Berlin und 2017 an der Volkwang Universität in Bochum.

== Werk ==
* 1991: Album ''Locked n’ Loaded'' – Space Cowboys – CD
* 1992: Geigenkomposition bei ''Cheerio'' auf Malaria – CD
* 1993: Single:''Terrorist'' mit Space Cowboys, BMG – CD
* 1995: Musikkomposition ''Waiting'' auf ''Divamania'' Digivalley – CD
* 1996: Musikkomposition: ''Ambition'' und ''Pearl'' auf ''The Ocean Club'' CD-Compilation in Zusammenarbeit mit Gudrun Gut – CD
* 1997: Musikkomposition: ''No Go''; Compilation ''Die Haut'' – CD
* 2002: erste Musikvideos für [[Fred Alpi]] (Paris), [[Martin Dean]] (Berlin) und [[Electrocute]] (USA)
* 2004: Filmdokumentation „Einstürzende Neubauten – On tour with neubauten.org“
* 2005: Musikkomposition:''Nackte Hunde'' auf ''Bleib Gold Mädchen'' Compilation, Mer Mer records – CD
* 2006: Konzertfilmdokumentation „[[Throbbing Gristle]], Berlin“
* 2007: ''Mountains of Madness'' – Filmdokumentation der audio/visuellen Aufführung in Zusammenarbeit mit Alexander Hacke und den Tiger Lillies DVD
* 2008: ''The Ship Of Fools'' – Filmdokumentation DVD/CD
* 2008: ''Europa Bewegt Sich'' – Kurzfilm/DVD im Auftrag für das Auswärtige Amt
* 2009: ''Sternentanz'' – Animationsfilm/DVD im Auftrag für das Auswärtige Amt
* 2009: ''In Berlin'' – Protagonistin in der Berlindokumentation von Michael Ballhaus und Ciro Cappelari
* 2009: ''Do You Love Me Like I Love You: Tender Prey'' – Protagonistin in der Dokumentation über [[Nick Cave and the Bad Seeds]] von [[Iain Forsyth]] und [[Jane Pollard]]
* 2009: ''SubBerlin'' – Protagonistin in der Dokumentation über den Berliner Techno-Club [[Tresor (Club)|Tresor]] von Tilmann Künzel
* 2010: ''How Long Is Now'' Filmdokumentation DVD
* 2011: ''Hitman's Heel''Album in Zusammenarbeit mit Alexander Hacke – CD
* 2012: ''The Beauty of Transgression – A Berlin Memoir'' Herausgeber: [[Die Gestalten Verlag]]; Autor: Danielle de Picciotto
* 2012: ''The Glasshouse'' Konzert-Dokumentation – DVD
* 2013: ''American Twilight'' - album mit Crime and The City Solution; [[Mute Records]] – CD
* 2013: ''We Are Gypsies Now. Der Weg ins Ungewisse'' Graphic Diary, Walde + Graf bei Metrolit, Berlin 2013, ISBN 978-3-8493-0047-0.
* 2014: ''The Ministry of Wolves'' Album in Zusammenarbeit mit Alexander Hacke, Mick Harvey, Paul Wallfisch – CD
* 2014: ''Republik der Wölfe'' – Intendant Kay Voges, Theater Dortmund
* 2015: " Not Junk Yet – The Art Of Lary 7" Film Documentary DVD
* 2015: ''Tacoma'' (CD/MC/MP3), auf dem Label [[Monika Enterprise]] (Monika82 / LC 01806)
* 2016: ''Perseverantia (CD/LP),'' auf dem Label POTOMAK in Zusammenarbeit mit Alexander Hacke
* 2017: ''Unity (CD)'', Mediatationsalbum in Zusammenarbeit mit Alexander Hacke
* 2017: ''Menetekel (CD/LP)'', in Zusammenarbeit mit Alexander Hacke
* 2018: ''Joy (CD)'', Meditationsalbum in Zusammenarbeit mit Alexander Hacke

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* [http://www.danielledepicciotto.de/ Website der Künstlerin]
* {{Discogs}}
* {{IMDb|nm2163922}}

{{Normdaten|TYP=p|GND=1012121488|LCCN=no/2011/119053|VIAF=170675641}}

{{SORTIERUNG:Picciotto, Danielle de}}
[[Kategorie:Künstler (Vereinigte Staaten)]]
[[Kategorie:Medienkünstler]]
[[Kategorie:Sänger]]
[[Kategorie:Musiker (Vereinigte Staaten)]]
[[Kategorie:US-Amerikaner]]
[[Kategorie:Geboren 1965]]
[[Kategorie:Frau]]

{{Personendaten
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}}

Thomas Bauernhansl

2015-09-06T00:55:29Z

Wikispaghetti: Toter Link

[[Datei:Thomas Bauernhansl 2012.JPG|thumb|Thomas Bauernhansl 2012]]
'''Thomas Bauernhansl''' (* [[3. Dezember]] [[1969]] in [[Miltenberg]]) ist Professor für [[Produktionstechnik]] und Fabrikbetrieb. Er ist seit September 2011 Leiter des Instituts für Industrielle Fertigung und Fabrikbetrieb (IFF) der [[Universität Stuttgart]] und Leiter des [[Fraunhofer-Institut für Produktionstechnik und Automatisierung|Fraunhofer-Instituts für Produktionstechnik und Automatisierung]] IPA.

== Berufliche Laufbahn ==
Nach seinem Maschinenbaustudium an der RWTH Aachen war Thomas Bauernhansl von 1998 – 2003 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Produktionssystematik des Laboratoriums für Werkzeugmaschinen und Betriebslehre (WZL) der RWTH Aachen. Von 1999 – 2001 leitete Bauernhansl die Gruppe „Prozess- und Technologieplanung“ und von 2001 – 2003 die Abteilungen „Integrierte Produktgestaltung“ sowie ab 2002 „Unternehmensentwicklung“. Im Juni 2002 promovierte er zum Dr.-Ing. mit dem Thema „Bewertung von Synergiepotenzialen im Maschinenbau“ bei Prof. Walter Eversheim. Zwischen April 2003 – Juni 2003 arbeitete er bei Freudenberg & Co. als Assistent der Unternehmensleitung. Von Juli 2003 – Oktober 2003 war er bei der Freudenberg Anlagen- und Werkzeugtechnik GmbH Geschäftsführer für den Werkzeugbau, danach bis September 2007 Sprecher der Geschäftsführung. Von Oktober 2007 – bis Ende 2010 leitete er das Technology Center der Freudenberg Dichtungs- und Schwingungstechnik GmbH & Co. KG.
Von Januar 2011 – August 2011 war er Leiter Global Process Technology bei Freudenberg Sealing Technologies. Seit September 2011 ist Professor Thomas Bauernhansl Leiter des Instituts für Industrielle Fertigung und Fabrikbetrieb (IFF) der Universität Stuttgart und des Fraunhofer-Instituts für Produktionstechnik und Automatisierung IPA<ref>Website FhG, 22. September 2011: [http://www.fraunhofer.de/de/presse/presseinformationen/2011/september/Institutsleiter-Bauernhansl.html Führungswechsel am Fraunhofer IPA]</ref> sowie, seit Oktober 2012, Leiter des Instituts für Energieeffizienz in der Produktion (EEP) der Universität Stuttgart. Er ist Mitglied der Gesellschaft für Fertigungstechnik in Stuttgart.

== Privates ==
Thomas Bauernhansl ist verheiratet und hat ein Kind.

== Arbeitsgebiete ==
* Fabrikorganisation
* Holistische Fabrik
* Nachhaltige Produktion
* Digitale Produktion
* Globalisierungsstrategien
* Fabrikbetriebslehre
* Fertigungslehre
* [[Industrie 4.0]]<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=hu3HsXRJ68M Interview mit Bauernhansl über Industrie 4.0]</ref>

== Veröffentlichungen ==
* [http://fhgonline.fhg.de/server?suche-opac&au=bauernhansl,+thomas*&ipa Publikationen von Professor Bauernhansl]

== Ehrungen ==
* Borchers-Plakette der RWTH Aachen für „Dissertation mit Auszeichnung“

== Weblinks ==
* [http://www.iff.uni-stuttgart.de/institut/Documents/vita_bauernhansl.pdf IFF Uni Stuttgart] (PDF; 111 kB)
* [http://www.ipa.fraunhofer.de/Institutsleitung.4.0.html Fraunhofer IPA] {{Toter Link |date= 2015-09-06| url= }}
* [http://www.eep.uni-stuttgart.de EEP Uni Stuttgart]

== Referenzen ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=p|GND=12479193X|VIAF=62491089}}

{{SORTIERUNG:Bauernhansl, Thomas}}
[[Kategorie:Maschinenbauingenieur]]
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Geboren 1969]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Bauernhansl, Thomas
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG= deutscher Ingenieur und Professor für Produktionstechnik und Fabrikbetrieb
|GEBURTSDATUM=3. Dezember 1969
|GEBURTSORT=[[Miltenberg]], Franken
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Ein Stern (… der deinen Namen trägt)

2015-08-27T16:26:20Z

Wikispaghetti: +Coverversion

{{Infobox Song
| Titel = Ein Stern (… der deinen Namen trägt)
| Musiker = [[Nik P.]]
| Veröffentlichung = 1998
| Länge =
| Genres = [[Schlager]], [[Popmusik|Pop]]
| Autor = Nikolaus Presnik alias Nik P.
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{{Infobox Chartplatzierungen
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'''Ein Stern (… der deinen Namen trägt)''' ist ein [[Schlager]] des [[Österreich|österreichischen]] Sängers Nikolaus Presnik alias [[Nik P.]] aus dem Jahr 1998. Er wurde in der Version des ebenfalls aus Österreich stammenden Sängers [[DJ Ötzi]] gemeinsam mit Nik P. zu einem Erfolg im deutschsprachigen Raum.

== Geschichte ==
Das Lied wurde bereits 1998 von Nikolaus Presnik geschrieben und komponiert. Interpretiert von [[Michael Stern]] nahm es im selben Jahr beim [[Grand Prix des Schlagers]] teil und erreichte dort Platz zehn.

Es wurde Ende 2006 in der Clubszene von [[Mallorca]] häufig gespielt und so zu neuer Bekanntheit gebracht. Es wurde dann Februar 2007 in der Version von DJ Ötzi gemeinsam mit Nik P. als erste Single aus DJ Ötzis Album ''[[Sternstunden]]'' veröffentlicht und erreichte Platz 1 in den [[Deutschland|deutschen]] und österreichischen Charts sowie Platz 2 in der [[Schweiz]].<ref>[http://austriancharts.at/showitem.asp?interpret=DJ+%D6tzi+%26+Nik+P%2E&titel=Ein+Stern+%28%2E%2E%2E+der+deinen+Namen+tr%E4gt%29&cat=s ''DJ Ötzi & Nik P. – Ein Stern (… der deinen Namen trägt) (Song)''.] AustrianCharts.at, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref> Vier Jahre nach dem Erfolg des ''[[Burger Dance]]'' erzielte DJ Ötzi so mit ''Ein Stern'' erneut einen [[Liste der Nummer-eins-Hits in Deutschland|Nummer-eins-Hit in Deutschland]] und nach ''[[Anton aus Tirol]]'' (1999) den zweiten Hit, der auch in [[Liste der Nummer-eins-Hits in Österreich|Österreich Platz eins der Charts]] erreichte.

Mit 108 Wochen in den deutschen Charts ist es der am drittlängsten in den deutschen Charts notierte Song.<ref>[http://www.chartsurfer.de/dauerbrenner-de/single/t2.html ''Dauerbrenner Deutschland: Top 100 Auswertung (ab Monat 06/1959)''.] Chartsurfer.de, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref> Zur Zeit der Veröffentlichung stellte er einen neuen Rekord auf. Auch war es das erste Stück, das länger als zwei Jahre in den deutschen Charts notiert war. In der ''[[Ultimative Chart-Show|Ultimativen Chart Show]]'' des Senders [[RTL Television|RTL]] wurde das Lied auf Platz 1 der „erfolgreichsten Songs des neuen Jahrtausends“ platziert.<ref>[http://www.rtl.de/cms/sendungen/show/die-ultimative-chartshow/hits-neue-jahrtausend-download.html ''Die erfolgreichsten Hits des neuen Jahrtausends''.] Die ultimative Chart Show; RTL.de; abgerufen am 13. Juli 2014.</ref>

Mit mehr als 450.000 verkaufter Einheiten wurde die Single in Deutschland mit 3 × Gold ausgezeichnet, was es zu einem der [[Liste der meistverkauften deutschsprachigen Schlager- und Volksmusiklieder in Deutschland|meistverkauften deutschen Schlager]] seit 1975 macht.<ref>[http://www.musikindustrie.de/gold_platin_datenbank/ ''Gold-/Platin-Datenbank''.] Bundesverband Musikindustrie, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref>

== Coverversionen ==
Es existieren über 30 Coverversionen des Liedes, u.a. von Peter Wackel (spanisch), [[Klaus & Klaus]], [[Stefan Peter]] feat. [[Gotthilf Fischer]], [[Mike Krüger]], vom belgischen Sänger Christoff.<ref>[http://www.coverinfo.de/start.php?wert=12&lang=1&suchbegriff=%22Einen+Stern%2C+der+deinen+Namen+tr%E4gt%22&sort=2&suchenach=Titel&tabelle=1&suchebemerkung=&suchoption=xsearch&seite=1&xpert=0 ''Cover-Version / Zitierender Song''.] Coverinfo.de, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref>

== Weblinks ==
* [http://www.golyr.de/dj-oetzi/songtext-ein-stern-der-deinen-namen-traegt-mit-nik-p-601698.html Songtext bei golyr.de]

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{SORTIERUNG:Stern #Ein}}
[[Kategorie:Lied 1998]]
[[Kategorie:Popsong]]
[[Kategorie:Schlager (Lied)]]
[[Kategorie:Nummer-eins-Hit]]
[[Kategorie:Platin-Lied (Deutschland)]]

Ein Stern (… der deinen Namen trägt)

2015-08-23T14:38:34Z

Wikispaghetti: Coverversionen+

{{Infobox Song
| Titel = Ein Stern (… der deinen Namen trägt)
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{{Infobox Chartplatzierungen
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'''Ein Stern (… der deinen Namen trägt)''' ist ein [[Schlager]] des [[Österreich|österreichischen]] Sängers Nikolaus Presnik alias [[Nik P.]] aus dem Jahr 1998. Er wurde in der Version des ebenfalls aus Österreich stammenden Sängers [[DJ Ötzi]] gemeinsam mit Nik P. zu einem Erfolg im deutschsprachigen Raum.

== Geschichte ==
Das Lied wurde bereits 1998 von Nikolaus Presnik geschrieben und komponiert. Interpretiert von [[Michael Stern]] nahm es im selben Jahr beim [[Grand Prix des Schlagers]] teil und erreichte dort Platz zehn.

Es wurde Ende 2006 in der Clubszene von [[Mallorca]] häufig gespielt und so zu neuer Bekanntheit gebracht. Es wurde dann Februar 2007 in der Version von DJ Ötzi gemeinsam mit Nik P. als erste Single aus DJ Ötzis Album ''[[Sternstunden]]'' veröffentlicht und erreichte Platz 1 in den [[Deutschland|deutschen]] und österreichischen Charts sowie Platz 2 in der [[Schweiz]].<ref>[http://austriancharts.at/showitem.asp?interpret=DJ+%D6tzi+%26+Nik+P%2E&titel=Ein+Stern+%28%2E%2E%2E+der+deinen+Namen+tr%E4gt%29&cat=s ''DJ Ötzi & Nik P. – Ein Stern (… der deinen Namen trägt) (Song)''.] AustrianCharts.at, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref> Vier Jahre nach dem Erfolg des ''[[Burger Dance]]'' erzielte DJ Ötzi so mit ''Ein Stern'' erneut einen [[Liste der Nummer-eins-Hits in Deutschland|Nummer-eins-Hit in Deutschland]] und nach ''[[Anton aus Tirol]]'' (1999) den zweiten Hit, der auch in [[Liste der Nummer-eins-Hits in Österreich|Österreich Platz eins der Charts]] erreichte.

Mit 108 Wochen in den deutschen Charts ist es der am drittlängsten in den deutschen Charts notierte Song.<ref>[http://www.chartsurfer.de/dauerbrenner-de/single/t2.html ''Dauerbrenner Deutschland: Top 100 Auswertung (ab Monat 06/1959)''.] Chartsurfer.de, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref> Zur Zeit der Veröffentlichung stellte er einen neuen Rekord auf. Auch war es das erste Stück, das länger als zwei Jahre in den deutschen Charts notiert war. In der ''[[Ultimative Chart-Show|Ultimativen Chart Show]]'' des Senders [[RTL Television|RTL]] wurde das Lied auf Platz 1 der „erfolgreichsten Songs des neuen Jahrtausends“ platziert.<ref>[http://www.rtl.de/cms/sendungen/show/die-ultimative-chartshow/hits-neue-jahrtausend-download.html ''Die erfolgreichsten Hits des neuen Jahrtausends''.] Die ultimative Chart Show; RTL.de; abgerufen am 13. Juli 2014.</ref>

Mit mehr als 450.000 verkaufter Einheiten wurde die Single in Deutschland mit 3 × Gold ausgezeichnet, was es zu einem der [[Liste der meistverkauften deutschsprachigen Schlager- und Volksmusiklieder in Deutschland|meistverkauften deutschen Schlager]] seit 1975 macht.<ref>[http://www.musikindustrie.de/gold_platin_datenbank/ ''Gold-/Platin-Datenbank''.] Bundesverband Musikindustrie, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref>

== Coverversionen ==
Es existieren über 30 Coverversionen des Liedes, u.a. von Peter Wackel (spanisch), [[Klaus & Klaus]], [[Stefan Peter]] feat. [[Gotthilf Fischer]], [[Mike Krüger]], [https://nl.wikipedia.org/wiki/Christoff_De_Bolle Christoff (Belgien)].<ref>[http://www.coverinfo.de/start.php?wert=12&lang=1&suchbegriff=%22Einen+Stern%2C+der+deinen+Namen+tr%E4gt%22&sort=2&suchenach=Titel&tabelle=1&suchebemerkung=&suchoption=xsearch&seite=1&xpert=0 ''Cover-Version / Zitierender Song''.] Coverinfo.de, abgerufen am 13. Juli 2014.</ref>

== Weblinks ==
* [http://www.golyr.de/dj-oetzi/songtext-ein-stern-der-deinen-namen-traegt-mit-nik-p-601698.html Songtext bei golyr.de]

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{SORTIERUNG:Stern #Ein}}
[[Kategorie:Lied 1998]]
[[Kategorie:Popsong]]
[[Kategorie:Schlager (Lied)]]
[[Kategorie:Nummer-eins-Hit]]
[[Kategorie:Platin-Lied (Deutschland)]]

Vic Nees

2013-03-14T19:12:38Z

Wikispaghetti: Sterbedatum

'''Vic Nees''' (* [[8. März]] [[1936]] in [[Mecheln]] - [[14. März]] [[2013]]<ref>http://www.deredactie.be/cm/vrtnieuws/cultuur%2Ben%2Bmedia/muziek/130314_NeesOverleden (auf Niederländisch).</ref>) ist ein belgischer [[Komponist]] und [[Chorleiter]]. Sein Vater ist der Komponist [[Staf Nees]] (1901–1965).

== Leben ==
Nach Abschluss seines musiktheoretischen Studiums am Königlichen Flämischen Musikkonservatorium in [[Antwerpen]] (bei Marcel Andries und [[Flor Peeters]]) studierte er Chorleitung bei [[Kurt Thomas (Komponist)|Kurt Thomas]] an der Musikhochschule in [[Hamburg]], wo er 1964 Preisträger des Meisterkurses wurde. Seit 1961 war Nees als Programmdirektor für Chormusik beim Flämischen Rundfunk in [[Brüssel]] tätig, von 1970 bis 1996 auch als Dirigent des renommierten Rundfunkchores. Weiterhin war er Leiter des ''Vokaal Ensemble Philippus de Monte'' in Mechelen sowie des ''Ter Kamerenkoor'' in Brüssel. Seit 1998 ist er Mitglied der Königlichen Flämischen Akademie für Wissenschaft und Kunst und Autor zahlreicher musikwissenschaftlicher Publikationen. Vic Nees zählt zu den international namhaftesten Chorkomponisten Belgiens.

Sein kompositorisches Werk besteht aus Chorzyklen, größeren Chorwerken und einer Vielzahl von Liedzyklen. Für sein Schaffen wurde Vic Nees unter anderem durch den ''Eugène-Baie-Preis'' (1973), den [[Arbeitsgemeinschaft Europäischer Chorverbände|''AGEC-Preis'']] (1990) und den ''Visser-Neerlandia-Preis'' (1995) ausgezeichnet. Seine Kompositionen sind in das Repertoire vieler Chöre innerhalb und außerhalb Europas aufgenommen worden. Vic Nees ist regelmäßig Jurymitglied bei internationalen Chorwettbewerben und Berater der ''Europäischen Föderation Junger Chöre''.

Sein wohl bekanntestes Werk ist das ''[[Magnificat]]'' für gemischten Chor und Solosopran (1981). Neuere Werke sind das ''Trumpet [[Te Deum]]'' für Chor, Sopran und zwei Trompeten (2003) und die ''Neusser Messe'' für Chor, Orgel und Trompete (1998).

== Werke ==
* ''Mijn Herder is de Heer'' (Psalm 23) (1958)
* ''Onder de linde'' (1962)
* ''Looft den Heer in zijn heiligdom'' (Psalm 133) (1963)
* Psalm 150 (1963)
* ''Ik kwam er lestmaal'' (1966)
* Sonatine für Piano (1968)
* ''Wech op ! Wech op !'' (1968)
* ''Gekwetst ben ik van binnen'' (1969)
* ''Rachel'' (1971) Kirchenkantate
* ''Vigilia de Pentecostes'' (1972)
* ''Hoe lustich is den Somer'' (1973)
* ''Ik ben van nergens en overal'' (1973)
* ''Lesbia'' (1978)
* ''Magnificat'' für gemischten Chor (1981)
* ''Veni sancte Spritus'' (1982)
* ''Regina Coeli - Blue be it'' (1988)
* ''Anima Christi'' (1990) Oratorium
* ''Nuestra Señora de la solidad'' (1991)
* ''Ego Flos'' (1995)
* ''Neusser Messe'' (1998) für gemischten Chor, Orgel und Trompete (im Auftrag der Stadt Neuss)
* ''Singet dem Herrn'' (2001) für gemischten Chor und Sopran (im Auftrag des Lübecker Kammerchors "I Vocalisti")
* ''Trumpet Te Deum'' (2003) für gemischten Chor, Sopran und zwei Trompeten
* ''Nausikaa'' Kantate
* ''Eight Japanese Folk-Songs''
* ''A Bunch of Cherries''
* ''Three Partsongs''
* ''Bonum est confiteri Domino'' für Tenor, gemischten Chor, Harfe und Schlagzeug
* ''European Stabat Mater'' für Alt, Tenor und gemischten Chor
* 5 Motetten (''De profundis clamavi''; ''Diffusa est gratia in labiis tuis''; ''Illumina oculos meos''; ''Inimicitias ponam inter te''; ''Reges Tharsis et insulae'') für gemischten Chor

== Literatur ==
* Kamiel Cooremans: ''Vic Nees.'' Im Beiheft zur CD ''Vic Nees: Trumpet Te Deum & Choral Works.'' Phaedra, Beveren 2005.

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|134871766|TYP=Werke von und über}}

==Nachweise==
<references />

{{Normdaten|PND=134871766|LCCN=nr/89/3541|VIAF=118280980}}

{{SORTIERUNG:Nees, Vic}}
[[Kategorie:Komponist (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Belgischer Komponist]]
[[Kategorie:Geboren 1936]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Nees, Vic
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=belgischer Komponist
|GEBURTSDATUM=8. März 1936
|GEBURTSORT=[[Mecheln]], [[Belgien]]
|STERBEDATUM=14. März 2013
|STERBEORT=
}}

[[bg:Вик Нес]]
[[fr:Vic Nees]]
[[nl:Vic Nees]]

Benutzer:Wikispaghetti

2013-03-05T22:50:27Z

Wikispaghetti: Benutzer SUL

Number of Transfer Units

2013-01-11T09:48:51Z

Wikispaghetti: Einheit nicht kursiv

Die '''Number of Transfer Units''' (NTU) ist eine dimensionslose Kennzahl und gehört in den Bereich der Wärmeübertragung.

Der Nutzen der NTU besteht darin, einen Wärmeüberträger auszulegen oder ein vorhandenes Gerät nachzurechnen. Das NTU-Verfahren vereinfacht den Auslegungs- bzw. Nachrechnungsprozess erheblich, da es bei komplizierteren Strömungsformen schwierige Berechnungen erspart.

Herleiten lässt sich NTU, in dem man zunächst für den ohne Verlust übertragenen Wärmestrom die Formel für das Fluid (mit: Massenstrom <math>\dot{m}</math>, [[Wärmekapazität]] <math>c_p</math>, Temperaturdifferenz <math>\Delta T</math>) sowie die Formel für die Übertragungsfläche (mit: [[Wärmedurchgangskoeffizient]] k, Übertragungsfläche A, logarithmische Temperaturdifferenz <math>\Delta \vartheta</math>) notiert, die nach der Energieerhaltung beide gleich sein müssen:

<math>\dot{Q} = \dot{m} \cdot c_p \cdot \Delta T = k \cdot A \cdot \Delta \vartheta</math>

Nun formt man diese Gleichung in das Verhältnis von Temperaturdifferenz und logarithmischer Temperaturdifferenz um, da letztere bei Wärmeübertragern die nicht dem Gleich- oder Gegenstromprinzip folgen, schwer zu bestimmen ist:

<math>NTU = \frac{k \cdot A}{\dot{m} \cdot c_p} = \frac{\Delta T}{\Delta \vartheta}</math>

In der Literatur wird der Ausdruck <math>\dot{m} \cdot c_p</math> auch als Wärmekapazitätsstrom <math>\dot{W}</math> (oft auch <math> {C} </math>) bezeichnet<ref>Shah, R.K.; Sekulic, D.P.: ''Fundamentals of heat exchanger design'', ''Wiley Online Library'' 2003</ref> .
Dieser Ausdruck bezeichnet den NTU für den Wärmeübergang. Der NTU für den Stoffübergang berechnet sich wie folgt:
<math>NTU = \frac{\beta \cdot A}{\dot{V}}</math>

<math>\beta</math> ist hier der Stoffübertragungskoeffizient mit <math>\mathrm{m\over s}</math> als Einheit.

Um mit NTU zu arbeiten benötigt man sogenannte NTU-Diagramme, die es für gängige Strömungstypen in der Fachliteratur gibt. Anhand bekannter Massenströme sowie Fluidtemperaturen kann im Diagramm die NTU abgelesen werden. Unter Schätzung des Wärmedurchgangskoeffizienten U kann die wärmeübertragende Fläche ermittelt werden.

== Literatur ==
* VDI-Gesellschaft, Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen (GVC): VDI-Wärmeatlas, 10. Auflage, Springer Verlag Berlin 2006, ISBN 978-3540255031
== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Technische Chemie]]
[[Kategorie:Wärmekennwert]]
[[Kategorie:Messgröße der Verfahrenstechnik]]

[[en:NTU method]]
[[pt:Método das NTU]]

Integralgleichung

2013-01-05T12:46:21Z

Wikispaghetti: Deklination(gesucht)

Eine [[Gleichung]] wird in der [[Mathematik]] '''Integralgleichung''' genannt, wenn darin die unbekannte [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] in einem [[Integralrechnung|Integral]] vorkommt. Integralgleichungen können in [[Naturwissenschaft]] und [[Technik]] zur Beschreibung verschiedener [[Phänomen]]e verwendet werden. Ein bekanntes Beispiel für eine Integralgleichung mit einigen Anwendungen ist die [[Abelsche Integralgleichung]], die auch historisch zu den ersten untersuchten Integralgleichungen zählt.

Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Integralgleichungen und den [[#Operatortheoretischer Zugang|unten]] erwähnten [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] beschäftigt, ist die [[Funktionalanalysis]].

== Definition ==
=== Lineare Integralgleichung ===
Eine [[Linearität|linear]]e Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion <math>u</math> und hat für <math>x\in\Omega</math> die Form

:<math>\lambda(x) u(x) + \int_\Omega k(x,y) u(y)\, \mathrm{d}y = f(x),</math>

wobei <math>\lambda</math>, <math>f</math>, <math>k</math> gegebene Funktionen und <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> [[Kompakter Raum | kompakt]] sind.
Die Funktion <math>k</math> wird [[Integralkern|Kern]] genannt.

=== Nichtlineare Integralgleichung ===
Ein nichtlinearer Integralgleichung hat die Gestalt
:<math>\int_\Omega K(y,x,u(y)) \mathrm{d} y = f(x)</math>
mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion K und einem geeigneten Integrationsbereich <math>\Omega \subset \R^n</math>.

== Klassifizierung linearer Integralgleichungen ==
Lineare Integralgleichungen kann man in
*[[Integralgleichung 1. Art|Integralgleichungen 1. Art]], wenn <math>\lambda(x)\equiv 0</math>,
*[[Integralgleichung 2. Art|Integralgleichungen 2. Art]], wenn <math>\lambda(x)\equiv\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{ 0\}</math>, und
*[[Integralgleichung 3. Art|Integralgleichungen 3. Art]], für alle anderen <math>\lambda</math>,
einteilen.

Diese Einteilung erscheint willkürlich, ist aber aufgrund der unterschiedlichen analytischen Eigenschaften der jeweiligen Arten von Integralgleichungen notwendig. So sind beispielsweise Integralgleichungen 2. Art (unter schwachen Voraussetzungen an den Kern) für fast alle Werte von <math>\lambda</math> eindeutig lösbar, und die Lösung hängt stetig von <math>f</math> ab. Dies gilt für Integralgleichungen 1. Art (unter denselben Voraussetzungen an den Kern) im Allgemeinen nicht. Integralgleichungen 1. Art sind wie z.B. die [[Laplace-Transformation]] fast immer [[Korrekt gestelltes Problem|inkorrekt gestellte Probleme]]. Die [[Fourier-Transformation]] bildet eine der wenigen Ausnahmen. Auch Integralgleichungen 3. Art sind in der Regel inkorrekt gestellte Probleme.

Ist die in einer Integralgleichung vorkommende bekannte Funktion <math>f\equiv 0</math>, so ist die Gleichung ''homogen'', andernfalls ''inhomogen''.

Außerdem kann man Integralgleichungen nach ihren Integrationsgrenzen klassifizieren. Sind alle Grenzen konstant, so spricht man von ''[[Erik Ivar Fredholm|Fredholm]]-Integralgleichungen'', ist eine der Grenzen variabel, so nennt man die Gleichung eine ''[[Vito Volterra|Volterra]]-Integralgleichung''.

Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften des Kerns. Hier gibt es ''schwach singuläre'' und ''stark singuläre'' Integralgleichungen.

== Operatortheoretischer Zugang ==
{{Hauptartikel|Integraloperator}}

Mit
:<math>(K u)(x) = \int_\Omega k(x,y) u(y)\, \mathrm{d}y</math>
wird für einen hinreichend integrierbaren Kern <math>k(x,y)</math> ein [[linearer Operator]] <math>K</math> definiert.
Wesentlich für die Theorie der (nicht stark singulären) Integralgleichungen ist die Theorie der [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]]. Diese Theorie ähnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen. Kompakte Operatoren haben nämlich im Wesentlichen pure [[Eigenwertproblem|Eigenwertspektren]]. Genauer heißt das: Das Spektrum besteht (evtl. von der Null abgesehen) nur aus Eigenwerten und diese häufen sich in höchstens einem Punkt, der Null. Alle Eigenräume (evtl. von dem der Null abgesehen) sind endlichdimensional.

== Dualität von Integral- und Differentialgleichungen ==
Integraloperatoren treten oft (aber nicht ausschließlich) bei der Lösung von [[Differentialgleichung]]en auf, zum Beispiel bei [[Sturm-Liouville-Problem]]en, oder bei [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichung]]en in Form der [[Greensche Funktion|Greenschen Funktion]].

== Integro-Differentialgleichung ==
Eine Integro-Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl die Ableitung der zu bestimmenden Funktion, als auch ein Integral vorkommt, in dessen Integrand diese gesuchte Funktion auftritt.

Solche Gleichungen können genauso wie Integral- beziehungsweise Differenzialgleichungen linear oder nichtlinear sein. Treten nur gewöhnliche Ableitungen der gesuchten Funktion auf, spricht man von einer gewöhnlichen Integro-Differentialgleichung, treten
partielle Ableitungen auf, dann spricht man von einer partiellen Integro-Differentialgleichung.<ref>{{Literatur |Titel=Integro-Differentialgleichung |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

Ein Beispiel hierfür ist die aus der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]] stammende [[Boltzmann-Gleichung]].

== Literatur ==
* [[David Hilbert]]: ''[http://name.umdl.umich.edu/ACU8916.0003.001 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen].'' B. G. Teubner, Leipzig, Berlin 1912.
* [[Adolf Kneser]]: ''[http://www.archive.org/details/DieIntegralgleichungen Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik].'' Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1922.
* [[Pavel Urysohn]]: ''Sur une classe d'equations integrales non lineaires'', Mat. Sb. 31 (1923) 256-255
* Richard Courant und David Hilbert: ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN380672502 Methoden der mathematischen Physik Band 1].'' Julius Springer, Berlin 1924. (Drittes Kapitel)
* [[Eberhard Schock]]: ''Integral Equations of the Third Kind.'' Studia Mathematica 81 (1985), 1-11

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Differentialgleichungen]]

[[ca:Equació integral]]
[[cs:Integrální rovnice]]
[[en:Integral equation]]
[[es:Ecuación integral]]
[[fi:Integraaliyhtälö]]
[[fr:Équation intégrale]]
[[it:Equazione integrale]]
[[ja:積分方程式]]
[[kk:Интералдық теңдеулер]]
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[[nap:Equazione integrale]]
[[nl:Integraalvergelijking]]
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[[pt:Equação integral]]
[[ro:Ecuație integrală]]
[[ru:Интегральное уравнение]]
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[[sv:Integralekvation]]
[[ta:தொகையீட்டுச் சமன்பாடு]]
[[uk:Інтегральне рівняння]]
[[zh:积分方程]]

Lebesgue-Integral

2011-05-21T16:23:40Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den allgemeinen Integral-Begriff, für die spezielle Integration bzgl. des [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]], siehe dort.}}

Das '''Lebesgue-Integral''' (nach [[Henri Léon Lebesgue]]) ist der [[Integralrechnung|Integralbegriff]] der modernen Mathematik, der die Berechnung von Integralen in beliebigen [[Maßtheorie|Maßräumen]] ermöglicht. Im Fall der [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] mit dem [[Lebesgue-Maß]] stellt das Lebesgue-Integral eine echte Verallgemeinerung des [[Riemann-Integral]]s dar.

[[Image:RandLintegrals.svg|right|thumb|200px|Illustration der Grenzwertbildung beim Riemann-Integral (blau) und beim Lebesgue-Integral (rot)]]
So wie ein Riemann-Integral durch die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] des [[Flächeninhalt]]es einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Treppenfunktion|Treppenfunktionen]] definiert ist, so ist das Lebesgue-Integral durch die Konvergenz einer Folge von sog. [[einfache Funktion|einfachen Funktionen]] definiert. Anschaulich gesprochen bedeutet dies: Das Riemann-Integral (blau) wird durch senkrechte Flächenstreifen, das Lebesgue-Integral (rot) dagegen durch waagerechte Streifen angenähert (siehe die zugehörige Illustration).

== Geschichtliches zum Lebesgue-Integral ==
Die Begründung der Differential- und Integralrechnung beginnt bereits im 17. Jahrhundert mit [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1687 erscheint Newtons „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“). Sie stellt einen Meilenstein in der Wissenschaftsgeschichte dar, besaß man doch nun zum ersten Mal ein mathematisches Konzept zur Beschreibung kontinuierlicher, dynamischer Prozesse in der Natur und – dadurch motiviert – zur Berechnung krummlinig berandeter Flächen. Es sollten aber noch viele Jahrzehnte vergehen, bis die Integralrechnung gegen Mitte des 19. Jahrhunderts durch [[Augustin Louis Cauchy]] und [[Bernhard Riemann]] auf ein solides theoretisches Fundament gestellt wurde.

Die Verallgemeinerung des so genannten [[Riemann-Integral|Riemann-Integrals]] auf höherdimensionale Räume, zum Beispiel zur Berechnung der Volumina beliebiger Körper im Raum, erwies sich jedoch als schwierig. Die Entwicklung eines moderneren und leistungsfähigeren Integralbegriffes ist untrennbar mit der Entwicklung der [[Maßtheorie]] verknüpft. Tatsächlich begannen die Mathematiker erst reichlich spät systematisch zu untersuchen, wie sich beliebigen Teilmengen des <math>\mathbb R^n</math> in sinnvoller Weise ein Volumen zuordnen lässt. Unverzichtbare Voraussetzung für diese Arbeiten war die strenge axiomatische Begründung der [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch [[Richard Dedekind]] und [[Georg Cantor]] und die Begründung der [[Mengenlehre]] durch Cantor, Ende des 19. Jahrhunderts.

Erste Antworten auf die Frage nach dem Volumen beliebiger Teilmengen des <math>\mathbb R^n</math> gaben zum Beispiel [[Giuseppe Peano]] und [[Marie Ennemond Camille Jordan]]. Eine befriedigende Lösung dieses Problems gelang aber erst [[Émile Borel]] und [[Henri Lebesgue]] durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes. 1902 formulierte Lebesgue in seiner Pariser ''Thèse'' zum ersten Mal das moderne Maßproblem und wies explizit darauf hin, es nicht in voller Allgemeinheit lösen zu können, sondern nur für eine ganz bestimmte Klasse von Mengen, die er ''messbare Mengen'' nannte. Tatsächlich sollte sich herausstellen, dass das Maßproblem nicht allgemein lösbar ist, d. h. tatsächlich Mengen existieren, denen man kein sinnvolles Maß zuordnen kann (siehe [[Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]], [[Banach-Tarski-Paradoxon]]). Durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes stand nun der Weg für einen neuen, verallgemeinerbaren Integralbegriff offen. Die erste Definition des Lebesgue-Integrals gab denn auch Henri Lebesgue in seiner ''Thèse'' gleich selbst. Weitere bedeutende Definitionen des Lebesgue-Integrals stammten wenig später von [[William Henry Young]] (1905) und [[Frigyes Riesz]] (1910). Die nachfolgend vorgestellte Definition, die mittlerweile in der Fachliteratur am üblichsten ist, folgt der Konstruktion Youngs.

Heutzutage ist das Lebesgue-Integral der Integralbegriff der modernen Mathematik. Seine Verallgemeinerbarkeit und seine – aus mathematischer Sicht – schönen Eigenschaften machen ihn auch zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der [[Funktionalanalysis]], der [[Physik]] und der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]].

== Zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals ==
===Maßraum und messbare Funktionen===

Das Lebesgue-Integral wird auf einem [[Maßraum]] definiert. Vereinfacht gesagt ist ein Maßraum eine Menge Ω mit einer zusätzlichen Struktur, die es erlaubt, bestimmten Teilmengen ein [[Maßtheorie#Maß|Maß]] zuzuordnen, z. B. ihre geometrische Länge (bzw. ihr Volumen). Das Maß, das letzteres leistet, heißt [[Lebesgue-Maß]]. Eine Menge <math> A \in \mathcal P(\Omega)</math>, der man ein Maß zuordnen kann, heißt messbar. Dabei bezeichnet <math>\mathcal P(\Omega)</math> die [[Potenzmenge]] von Ω. Ist ''A'' eine messbare Menge, so bezeichnet man mit <math>\mathcal\mu(A)</math> das Maß von ''A''. Für das Lebesgue-Maß schreibt man stattdessen üblicherweise <math>\mathcal\lambda(A)</math> .

=== Integration einfacher Funktionen ===

So wie das [[Riemann-Integral]] mittels Approximation durch [[Treppenfunktion]]en konstruiert wird, konstruiert man das Lebesgue-Integral mit Hilfe sogenannter [[einfache Funktion|einfacher Funktionen]]. Eine einfache Funktion, auch ''Elementarfunktion'' genannt, ist eine nicht-negative [[messbare Funktion]], die nur endlich viele Funktionswerte αi annimmt. Somit lässt sich jede einfache Funktion Φ schreiben als
:<math>\phi=\sum_{i=1}^n\alpha_i \chi_{A_i}</math>
Dabei ist <math>\chi_{A_i}</math> die [[charakteristische Funktion (Mathematik)|charakteristische Funktion]], αi eine [[positive Zahl|positive]], [[reelle Zahl]] und ''A''''i'' die (messbare) Menge, auf der die Funktion den Wert αi annimmt.

Nun lässt sich auf sehr natürliche Weise das Integral einer einfachen Funktion definieren:
:<math>\int_\Omega \phi\ \mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu(A_i)</math>
Das Integral von Φ über Ω ist also einfach die Summe der Produkte aus Funktionswert von Φ und Maß der Menge, auf der die Funktion den jeweiligen Wert annimmt.

=== Integration nicht-negativer Funktionen ===

Nun definiert man zunächst das Integral für nicht-negative Funktionen, d. h. für Funktionen, die keine negativen Werte annehmen. Voraussetzung für die Integrierbarkeit einer Funktion ist ihre [[messbare Funktion|Messbarkeit]].

Eine nicht-negative Funktion <math>f\colon\left(\Omega,\Sigma,\mu\right)\rightarrow(\overline\mathbb R, B)</math>, ''B'' [[Borelsche σ-Algebra]], ist genau dann [[messbare Funktion|messbar]], wenn es eine Folge <math> \ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \ </math> von einfachen Funktionen gibt, die [[Punktweise Konvergenz|punktweise]] und monoton wachsend gegen ''f'' [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Man definiert nun das Integral einer nicht-negativen, messbaren Funktion durch
:<math>\int_\Omega f \mathrm d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n \mathrm d\mu,</math>
wobei die <math>f_n</math> einfach sind und punktweise und monoton wachsend gegen ''f'' konvergieren. Der Limes ist von der speziellen Wahl der Folge <math>f_n</math> unabhängig. Das Integral kann auch den Wert <math>+\infty</math> annehmen.

Häufig findet man in der Literatur auch folgende äquivalente Definition:
:<math>\int_\Omega f \mathrm d\mu=\sup\left\lbrace \int_\Omega \phi \, \mathrm d\mu \, \vert \, \phi \ \text{einfach}, 0 \leq \phi<f \right\rbrace</math>

Man definiert also das Integral einer nicht-negativen messbaren Funktion, indem man die Funktion „von unten“ beliebig genau durch einfache Funktionen approximiert.

=== Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit ===

Um das Integral einer beliebigen messbaren Funktion zu definieren, zerlegt man diese in ihren positiven und negativen Anteil, integriert diese beiden einzeln und zieht die Integrale voneinander ab. Das ergibt aber nur dann einen Sinn, wenn die Werte dieser beiden Integrale endlich sind (zumindest der Wert eines der beiden Integrale).

Der ''Positivteil'' <math>f^+ \ </math> einer Funktion ''f'' ist (punktweise) definiert als <math>f^+ = \max \{ f , 0 \}</math>.

Der ''Negativteil'' <math>f^- \ </math> wird entsprechend (punktweise) durch <math>f^- = \max \{-f , 0\}</math> definiert.

Es gilt dann (punktweise) <math>f^+ \ge 0</math>, <math>f^- \ge 0</math>, <math>f = f^+ - f^-</math> und <math>f^+ + f^- = |f|</math>.

Eine Funktion heißt ''µ-quasiintegrierbar'' oder ''quasiintegrierbar bezüglich des Maßes µ'', wenn mindestens eines der beiden Integrale
:<math>\int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu</math> und <math>\int_\Omega f^-\ \mathrm d\mu \ </math>
endlich ist.

In diesem Falle heißt
:<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu-\int_\Omega f^-\mathrm d \mu \ </math>.
das <math>\mu</math>-Integral von <math>f</math> über <math>\Omega</math>.

Für alle messbare Teilmengen <math> A\subseteq\Omega </math> ist dann
:<math>\int_A f \mathrm d\mu=\int_\Omega f \cdot \chi_A\ \mathrm d\mu</math>
das <math>\mu</math>-Integral von <math>f</math> über <math>A</math>.

Eine Funktion heißt ''µ-integrierbar'' oder ''integrierbar bezüglich des Maßes µ'', wenn beide Integrale
:<math>\int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu</math> und <math> \int_\Omega f^-\ \mathrm d\mu</math>
endlich sind.
Äquivalent dazu ist die Bedingung
:<math>\int_\Omega |f| \,\mathrm d\mu<\infty \ </math>.

Offensichtlich ist jede integrierbare Funktion quasiintegrierbar.

== Wichtige Eigenschaften des Lebesgue-Integrals ==
Das Integral ist linear in <math>\mathcal{L}^1</math> ([[Lp-Raum|Raum der integrierbaren Funktionen]]), d. h. für integrierbare Funktionen <math> \ f \ </math> und <math> \ g \ </math> und beliebige <math> \alpha , \beta \in \mathbb R </math> ist auch <math> \ \alpha f + \beta g \ </math> integrierbar und es gilt:
:<math> \int_ \Omega (\alpha f + \beta g) \, \mathrm d\mu = \alpha \cdot \int_\Omega f \mathrm d\mu + \beta \cdot \int_\Omega g \, \mathrm d\mu </math>

Das Integral ist monoton, d. h. sind <math> \ f \ </math> und <math> \ g \ </math> zwei messbare Funktionen mit <math>f\leq g</math>, so gilt
:<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu\leq \int_\Omega g\ \mathrm{d}\mu</math>.

Ist <math>A \in \mathcal P(\Omega)</math> messbar mit <math> \ \mu(A)=0 \ </math>, so gilt
:<math> \ \int_ A f \mathrm d\mu = 0 \ </math>

== Konvergenzsätze ==
Einer der wichtigsten Vorzüge des Lebesgue-Integrals sind die aus mathematischer Sicht sehr schönen Konvergenzsätze. Dies betrifft die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral bei Funktionenfolgen der Form <math> \ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \ </math>. Die wichtigsten Konvergenzsätze sind:

;[[Satz von der monotonen Konvergenz]] (Beppo Levi, 1906): Ist <math> f_n:(\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B), n\in\mathbb N </math> eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen, messbaren Funktionen, so gilt:
::<math> \int_\Omega \sup_{n\in\mathbb{N}} f_n\ \mathrm{d}\mu = \int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} f_n\ \mathrm{d}\mu= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\ \mathrm{d}\mu </math>.

;[[Satz von der majorisierten Konvergenz|Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz]] (Henri Léon Lebesgue, 1910): Konvergiert die Folge der messbaren Funktionen <math>f_n\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math> <math>\mu</math>-fast überall gegen die messbare Funktion <math>f\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math> und sind die Funktionen <math>f_n</math>, <math>n \in \N</math>, betragsmäßig <math>\mu</math>-fast überall durch eine integrierbare Funktion <math>g\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math> beschränkt, dann gilt:

:*<math>f</math> ist integrierbar,
:*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\ \mathrm{d}\mu=\int_\Omega f\ \mathrm{d}\mu</math> und
:*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega |f-f_n|\ \mathrm{d}\mu=0.</math>

;[[Lemma von Fatou]] (Pierre Fatou): Sind <math>f_n:(\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math>, <math>n\in\mathbb N</math>, nichtnegative messbare Funktionen, dann gilt:
::<math>\int_\Omega \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega f_n \ \mathrm{d}\mu</math>

== Nullmengen und fast-überall bestehende Eigenschaften ==
Eine Menge <math>N \subset \Omega</math>, die das Maß 0 besitzt, heißt [[Nullmenge]]. Im Falle des Lebesgue-Maßes auch speziell ''Lebesgue-Nullmenge''.
Ist also <math>N \subset \Omega</math> mit <math> \ \mu(N)=0 \ </math> und f eine integrierbare Funktion, so gilt:
:<math>\int_\Omega f \, \mathrm d\mu = \int_{\Omega \setminus N}f\, \mathrm d\mu + \int_N f \, \mathrm d\mu = \int_{\Omega \setminus N}f \, \mathrm d\mu</math>
da das Integral über die Nullmenge N den Wert 0 annimmt. (<math>\Omega\backslash N</math> bezeichnet die Menge <math>\Omega</math> ohne die Menge <math>N</math>)

Folglich ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die Funktion f auf einer Nullmenge ändert. Besitzt eine Funktion eine Eigenschaft (Stetigkeit, punktweise Konvergenz etc.) auf dem gesamten Definitionsbereich mit Ausnahme einer Menge vom Maß 0, so sagt man, diese Eigenschaft bestehe ''fast-überall''. In der Lebesgue'schen Integrationstheorie ist es folglich oft sinnvoll, zwei Funktionen die fast-überall übereinstimmen, auch als ''gleich'' anzusehen - man fasst sie zu einer [[Äquivalenzrelation|Äquivalenzklasse]] zusammen (siehe hierzu auch [[Lp-Raum]]).

Es ist sogar oft so, dass man Funktionen, die nur fast überall definiert sind (z. B. der punktweise Limes einer Funktionenfolge, die nur fast überall konvergiert), als Funktionen auf dem ganzen Raum auffasst und ohne Bedenken
:<math>\int_\Omega f\,d\mu</math>
schreibt, auch wenn f gar nicht auf ganz <math>\Omega</math> definiert ist. Dieses Vorgehen ist dadurch gerechtfertigt, dass jede Fortsetzung von f sich nur auf einer Nullmenge N von f unterscheidet und somit das Integral der Fortsetzung über ganz <math>\Omega</math> den gleichen Wert hat wie das Integral über <math>\Omega\backslash N</math>.

Diese Konvention erlaubt es, viele Sätze einfacher zu formulieren, zum Beispiel könnte man den Satz von der majorisierten Konvergenz (siehe oben) auch so aufschreiben:

Seien <math>f_n,g: \Omega\rightarrow\overline{\mathbb{R}}</math> messbar, <math>g</math> integrierbar, <math>f_n</math> sei fast überall konvergent und jedes <math>|f_n|</math> sei fast überall beschränkt durch <math>g</math>.
Dann ist jedes <math>f_n</math> und der Limes integrierbar und es gilt:
:<math>\int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} f_n\,\mathrm d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\,\mathrm d\mu</math>

Man muss beachten, dass eine Nullmenge nur im Sinne des Maßes vernachlässigbar „klein“ ist. Sie kann aber auch durchaus unendlich viele Elemente enthalten. So ist zum Beispiel die Menge <math>\mathbb Q \subset \mathbb R</math>, also die Menge der [[rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] als Teilmenge der [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] eine Lebesgue-Nullmenge. Die [[Dirichlet-Funktion]]
:<math>f(x)=\begin{cases}1 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & \mbox{sonst}.\end{cases}</math>
ist also im oben genannten Sinne gleich der Funktion, die konstant den Wert Null annimmt (Null-Funktion), obwohl es keine noch so kleine Umgebung gibt, in der ihre Werte übereinstimmen. Eine bekannte überabzählbare (zu <math>\R</math> gleichmächtige) Lebesgue-Nullmenge ist die [[Cantor-Menge]].

== Schreibweisen ==
Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet: Im Folgenden sei <math> A\subseteq\Omega </math> eine messbare Menge. Will man bei der Integration die Integrationsvariable <math>x</math> angeben, so schreibt man
:<math>\int_A f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)</math> oder <math>\int_A f(x)\,\mu(\mathrm{d}x)</math> oder auch <math>\int_A \mu(\mathrm{d}x)\,f(x)</math>.

Ist <math>\mu</math> das Lebesgue-Maß, so schreibt man statt <math>\mathrm{d}\mu(x)</math> einfach <math>\mathrm{d}x</math>, im eindimensionalen Fall <math>\Omega=\mathbb R</math> schreibt man auch
:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>
für das Integral über das Intervall <math>[a,b]</math> oder <math>]a,b[</math>.

Wenn das Maß <math>\mu</math> eine [[Satz von Radon-Nikodym|Radon-Nikodym-Dichte]] <math>h</math> bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, gilt
:<math>\int_A f(x) \, \mathrm d\mu(x) = \int_A f(x) \, h(x)\mathrm d x</math>.
In Anwendungsgebieten wird die Schreibweise
:<math>\int_A f(x) \, h(x)\,\mathrm{d}x</math>
häufig auch dann verwendet, wenn <math>\mu</math> formal keine Dichte besitzt. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn man <math>h</math> nicht als Funktion, sondern als [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] auffasst.

Ist das Maß <math>\mu</math> im Fall <math>\Omega=\mathbb R</math> durch eine kumulative Funktion <math>F</math> definiert, so schreibt man auch
:<math>\int_A f(x) \,\mathrm{d}F(x)</math> oder <math>\int_A f \,\mathrm{d}F</math>
([[Stieltjes-Integral]]).

Ist <math>\mu</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], so schreibt man auch <math> \mathbb E(f) </math> für
:<math>\int_\Omega f\,\mathrm{d}\mu\,</math>
([[Erwartungswert]]).
In der [[theoretische Physik|theoretischen Physik]] wird die Schreibweise <math>\langle f \rangle</math> verwendet, in der [[Funktionalanalysis]] manchmal die Schreibweise <math> \ \mu(f) \ </math>.

== Riemann- und Lebesgue-Integral ==
Im Fall <math>\Omega = \mathbb R</math> mit dem Lebesgue-Maß gilt: Ist eine Funktion auf einem kompakten Intervall [[Riemann-Integral|Riemann-integrierbar]], so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und die Werte beider Integrale stimmen überein. Hingegen ist nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch Riemann-integrierbar. Besitzt jedoch eine Funktion abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, so folgt auch aus Lebesgue-integrierbarkeit die Riemann-integrierbarkeit.

Hingegen muss eine ''uneigentlich'' Riemann-integrierbare Funktion nicht ''als Ganzes'' Lebesgue-integrierbar sein, der entsprechende Grenzwert von Lebesgue-Integralen existiert jedoch nach den obigen Bemerkungen und liefert denselben Wert wie für die Riemann-Integrale. Ist jedoch <math>|f|</math> uneigentlich Riemann-integrierbar, dann ist <math>f</math> sogar als Ganzes Lebesgue-integrierbar.

Man kann leicht ein Beispiel einer uneigentlich Riemann-integrierbaren Funktion angeben, die nicht Lebesgue-integrierbar ist: Ist nämlich ''f'' eine Treppenfunktion mit den Flächen ''1'', ''-1/2'', ''1/3'' usw., dann ist ''f'' uneigentlich Riemann-integrierbar. Denn das Integral entspricht gerade der [[harmonische Reihe|alternierenden harmonischen Reihe]]. Damit ''f'' aber Lebesgue-integrierbar ist, müsste notwendig <math>\int_{\mathbb{R}^+}|f|\mathrm d\lambda<\infty</math> gelten, dies ist aber nicht der Fall, da die [[harmonische Reihe]] divergent ist. Folglich existiert das entsprechende Lebesgue-Integral ''nicht''. Die Situation ist im folgenden Bild wiedergegeben:

[[Bild:Lebesgue vs Riemann.gif]]
 
Wichtiger ist der umgekehrte Fall einer Lebesgue-integrierbaren Funktion, die nicht Riemann-integrierbar ist.

Das bekannteste Beispiel dafür ist die [[Dirichlet-Funktion]]:
:<math>f:[0,1]\rightarrow[0,1]</math>
:<math>x\mapsto\begin{cases}1 & , x\in\mathbb{Q}\\ 0 & , \mbox{sonst}.\end{cases}</math>
''f'' ist nicht Riemann-integrierbar, da alle Untersummen stets 0 und alle Obersummen stets 1 sind. Da aber <math>\mathbb Q\,,</math> die Menge der rationalen Zahlen, in der Menge der reellen Zahlen eine Lebesgue-Nullmenge ist, ist die Funktion ''fast überall 0''. Also existiert das Lebesgue-Integral und besitzt den Wert 0.

Der wesentliche Unterschied im Vorgehen bei der Integration nach Riemann bzw. Lebesgue besteht darin, dass beim Riemann-Integral der ''Definitionsbereich'' ([[Abszisse]]) beim Lebesgue-Integral jedoch die ''Bildmenge'' ([[Ordinate]]) der Funktion unterteilt wird. An obigen Beispielen lässt sich bereits erkennen, dass sich dieser Unterschied durchaus als entscheidend herausstellen kann. Das gilt, wie hier ''nicht'' weiter gezeigt werden soll, vor allem dann, wenn eine Funktion wie im vorigen Beispiel nur „fast überall“ definiert ist, und bei Fragen der Grenzwertbildung und Vervollständigung.

;Henri Lebesgue über den Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral:
''"Man kann sagen, dass man sich bei dem Vorgehen von Riemann verhält wie ein Kaufmann ohne System, der Geldstücke und Banknoten zählt in der Reihenfolge, wie er sie in die Hand bekommt; während wir vorgehen wie ein umsichtiger Kaufmann, der sagt:''
:''Ich habe m(E1) Münzen zu einer Krone, macht 1∙m(E1)
:''ich habe m(E2) Münzen zu zwei Kronen, macht 2∙m(E2)''
:''ich habe m(E3) Münzen zu fünf Kronen, macht 5∙m(E3)''
''usw., ich habe also insgesamt S=1∙m(E1)+ 2∙m(E2) + 5∙m(E3) + ...''

''Die beiden Verfahren führen sicher den Kaufmann zum gleichen Resultat, weil er – wie reich er auch sei – nur eine endliche Zahl von Banknoten zu zählen hat; aber für uns, die wir unendlich viele Indivisiblen zu addieren haben, ist der Unterschied zwischen beiden Vorgehensweisen wesentlich."''

(H. Lebesgue, 1926; zitiert nach J.Elstrodt)

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor= [[Jürgen Elstrodt]]
| Titel= Maß- und Integrationstheorie
| TitelErg=
| Auflage= 2.
| Verlag= Springer
| Ort= Heidelberg
| Jahr= 1999
| Kapitel= IV. Das Lebesgue-Integral
| Seiten= 118-160
| Spalten=
| ISBN=3-540-65420-8
}}
* {{Literatur
| Autor = [[Walter Rudin]]
| Titel = Analysis
| TitelErg = dt. Ausgabe
| Auflage = 2.
| Verlag = Oldenbourg
| Ort = München/ Wien
| Jahr = 2002
| Kapitel = 11 Die Lebesguesche Theorie
| Seiten = 353 - 392
| Spalten =
| ISBN=3-486-25810-9
}}
* {{Literatur
|Autor = Klaus D. Schmidt
|Titel = Maß und Wahrscheinlichkeit
| Verlag = Springer-Verlag
| Ort = Berlin Heidelberg
| Jahr = 2009
| Kapitel = 8 Lebesgue-Integral, 9 Berechnung des Lebesgue-Integral
| Seiten = 109 - 190
| ISBN = 978-3-540-89729-3
}}

[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]

[[ca:Integral de Lebesgue]]
[[cs:Lebesgueův integrál]]
[[en:Lebesgue integration]]
[[es:Integral de Lebesgue]]
[[fr:Intégrale de Lebesgue]]
[[he:אינטגרל לבג]]
[[it:Integrale di Lebesgue]]
[[ja:ルベーグ積分]]
[[ko:르베그 적분]]
[[nl:Lebesgue-integraal]]
[[pl:Całka Lebesgue'a]]
[[pt:Integral de Lebesgue]]
[[ru:Интеграл Лебега]]
[[sk:Lebesgueov integrál]]
[[su:Integrasi Lebesgue]]
[[sv:Lebesgueintegration]]
[[tr:Lebesgue integrali]]
[[uk:Інтеграл Лебега]]
[[zh:勒貝格積分]]

Lebesgue-Integral

2011-05-21T16:17:57Z

Wikispaghetti: Orthographiefehler

{{Dieser Artikel|behandelt den allgemeinen Integral-Begriff, für die spezielle Integration bzgl. des [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]], siehe dort.}}

Das '''Lebesgue-Integral''' (nach [[Henri Léon Lebesgue]]) ist der [[Integralrechnung|Integralbegriff]] der modernen Mathematik, der die Berechnung von Integralen in beliebigen [[Maßtheorie|Maßräumen]] ermöglicht. Im Fall der [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] mit dem [[Lebesgue-Maß]] stellt das Lebesgue-Integral eine echte Verallgemeinerung des [[Riemann-Integral]]s dar.

[[Image:RandLintegrals.svg|right|thumb|200px|Illustration der Grenzwertbildung beim Riemann-Integral (blau) und beim Lebesgue-Integral (rot)]]
So wie ein Riemann-Integral durch die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] des [[Flächeninhalt]]es einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Treppenfunktion|Treppenfunktionen]] definiert ist, so ist das Lebesgue-Integral durch die Konvergenz einer Folge von sog. [[einfache Funktion|einfachen Funktionen]] definiert. Anschaulich gesprochen bedeutet dies: das Riemann-Integral (blau) wird durch senkrechte Flächenstreifen, das Lebesgue-Integral (rot) dagegen durch waagerechte Streifen angenähert (siehe die zugehörige Illustration).

== Geschichtliches zum Lebesgue-Integral ==
Die Begründung der Differential- und Integralrechnung beginnt bereits im 17. Jahrhundert mit [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1687 erscheint Newtons „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“). Sie stellt einen Meilenstein in der Wissenschaftsgeschichte dar, besaß man doch nun zum ersten Mal ein mathematisches Konzept zur Beschreibung kontinuierlicher, dynamischer Prozesse in der Natur und – dadurch motiviert – zur Berechnung krummlinig berandeter Flächen. Es sollten aber noch viele Jahrzehnte vergehen, bis die Integralrechnung gegen Mitte des 19. Jahrhunderts durch [[Augustin Louis Cauchy]] und [[Bernhard Riemann]] auf ein solides theoretisches Fundament gestellt wurde.

Die Verallgemeinerung des so genannten [[Riemann-Integral|Riemann-Integrals]] auf höherdimensionale Räume, zum Beispiel zur Berechnung der Volumina beliebiger Körper im Raum, erwies sich jedoch als schwierig. Die Entwicklung eines moderneren und leistungsfähigeren Integralbegriffes ist untrennbar mit der Entwicklung der [[Maßtheorie]] verknüpft. Tatsächlich begannen die Mathematiker erst reichlich spät systematisch zu untersuchen, wie sich beliebigen Teilmengen des <math>\mathbb R^n</math> in sinnvoller Weise ein Volumen zuordnen lässt. Unverzichtbare Voraussetzung für diese Arbeiten war die strenge axiomatische Begründung der [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch [[Richard Dedekind]] und [[Georg Cantor]] und die Begründung der [[Mengenlehre]] durch Cantor, Ende des 19. Jahrhunderts.

Erste Antworten auf die Frage nach dem Volumen beliebiger Teilmengen des <math>\mathbb R^n</math> gaben zum Beispiel [[Giuseppe Peano]] und [[Marie Ennemond Camille Jordan]]. Eine befriedigende Lösung dieses Problems gelang aber erst [[Émile Borel]] und [[Henri Lebesgue]] durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes. 1902 formulierte Lebesgue in seiner Pariser ''Thèse'' zum ersten Mal das moderne Maßproblem und wies explizit darauf hin, es nicht in voller Allgemeinheit lösen zu können, sondern nur für eine ganz bestimmte Klasse von Mengen, die er ''messbare Mengen'' nannte. Tatsächlich sollte sich herausstellen, dass das Maßproblem nicht allgemein lösbar ist, d. h. tatsächlich Mengen existieren, denen man kein sinnvolles Maß zuordnen kann (siehe [[Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]], [[Banach-Tarski-Paradoxon]]). Durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes stand nun der Weg für einen neuen, verallgemeinerbaren Integralbegriff offen. Die erste Definition des Lebesgue-Integrals gab denn auch Henri Lebesgue in seiner ''Thèse'' gleich selbst. Weitere bedeutende Definitionen des Lebesgue-Integrals stammten wenig später von [[William Henry Young]] (1905) und [[Frigyes Riesz]] (1910). Die nachfolgend vorgestellte Definition, die mittlerweile in der Fachliteratur am üblichsten ist, folgt der Konstruktion Youngs.

Heutzutage ist das Lebesgue-Integral der Integralbegriff der modernen Mathematik. Seine Verallgemeinerbarkeit und seine – aus mathematischer Sicht – schönen Eigenschaften machen ihn auch zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der [[Funktionalanalysis]], der [[Physik]] und der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]].

== Zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals ==
===Maßraum und messbare Funktionen===

Das Lebesgue-Integral wird auf einem [[Maßraum]] definiert. Vereinfacht gesagt ist ein Maßraum eine Menge Ω mit einer zusätzlichen Struktur, die es erlaubt, bestimmten Teilmengen ein [[Maßtheorie#Maß|Maß]] zuzuordnen, z. B. ihre geometrische Länge (bzw. ihr Volumen). Das Maß, das letzteres leistet, heißt [[Lebesgue-Maß]]. Eine Menge <math> A \in \mathcal P(\Omega)</math>, der man ein Maß zuordnen kann, heißt messbar. Dabei bezeichnet <math>\mathcal P(\Omega)</math> die [[Potenzmenge]] von Ω. Ist ''A'' eine messbare Menge, so bezeichnet man mit <math>\mathcal\mu(A)</math> das Maß von ''A''. Für das Lebesgue-Maß schreibt man stattdessen üblicherweise <math>\mathcal\lambda(A)</math> .

=== Integration einfacher Funktionen ===

So wie das [[Riemann-Integral]] mittels Approximation durch [[Treppenfunktion]]en konstruiert wird, konstruiert man das Lebesgue-Integral mit Hilfe sogenannter [[einfache Funktion|einfacher Funktionen]]. Eine einfache Funktion, auch ''Elementarfunktion'' genannt, ist eine nicht-negative [[messbare Funktion]], die nur endlich viele Funktionswerte αi annimmt. Somit lässt sich jede einfache Funktion Φ schreiben als
:<math>\phi=\sum_{i=1}^n\alpha_i \chi_{A_i}</math>
Dabei ist <math>\chi_{A_i}</math> die [[charakteristische Funktion (Mathematik)|charakteristische Funktion]], αi eine [[positive Zahl|positive]], [[reelle Zahl]] und ''A''''i'' die (messbare) Menge, auf der die Funktion den Wert αi annimmt.

Nun lässt sich auf sehr natürliche Weise das Integral einer einfachen Funktion definieren:
:<math>\int_\Omega \phi\ \mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu(A_i)</math>
Das Integral von Φ über Ω ist also einfach die Summe der Produkte aus Funktionswert von Φ und Maß der Menge, auf der die Funktion den jeweiligen Wert annimmt.

=== Integration nicht-negativer Funktionen ===

Nun definiert man zunächst das Integral für nicht-negative Funktionen, d. h. für Funktionen, die keine negativen Werte annehmen. Voraussetzung für die Integrierbarkeit einer Funktion ist ihre [[messbare Funktion|Messbarkeit]].

Eine nicht-negative Funktion <math>f\colon\left(\Omega,\Sigma,\mu\right)\rightarrow(\overline\mathbb R, B)</math>, ''B'' [[Borelsche σ-Algebra]], ist genau dann [[messbare Funktion|messbar]], wenn es eine Folge <math> \ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \ </math> von einfachen Funktionen gibt, die [[Punktweise Konvergenz|punktweise]] und monoton wachsend gegen ''f'' [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Man definiert nun das Integral einer nicht-negativen, messbaren Funktion durch
:<math>\int_\Omega f \mathrm d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n \mathrm d\mu,</math>
wobei die <math>f_n</math> einfach sind und punktweise und monoton wachsend gegen ''f'' konvergieren. Der Limes ist von der speziellen Wahl der Folge <math>f_n</math> unabhängig. Das Integral kann auch den Wert <math>+\infty</math> annehmen.

Häufig findet man in der Literatur auch folgende äquivalente Definition:
:<math>\int_\Omega f \mathrm d\mu=\sup\left\lbrace \int_\Omega \phi \, \mathrm d\mu \, \vert \, \phi \ \text{einfach}, 0 \leq \phi<f \right\rbrace</math>

Man definiert also das Integral einer nicht-negativen messbaren Funktion, indem man die Funktion „von unten“ beliebig genau durch einfache Funktionen approximiert.

=== Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit ===

Um das Integral einer beliebigen messbaren Funktion zu definieren, zerlegt man diese in ihren positiven und negativen Anteil, integriert diese beiden einzeln und zieht die Integrale voneinander ab. Das ergibt aber nur dann einen Sinn, wenn die Werte dieser beiden Integrale endlich sind (zumindest der Wert eines der beiden Integrale).

Der ''Positivteil'' <math>f^+ \ </math> einer Funktion ''f'' ist (punktweise) definiert als <math>f^+ = \max \{ f , 0 \}</math>.

Der ''Negativteil'' <math>f^- \ </math> wird entsprechend (punktweise) durch <math>f^- = \max \{-f , 0\}</math> definiert.

Es gilt dann (punktweise) <math>f^+ \ge 0</math>, <math>f^- \ge 0</math>, <math>f = f^+ - f^-</math> und <math>f^+ + f^- = |f|</math>.

Eine Funktion heißt ''µ-quasiintegrierbar'' oder ''quasiintegrierbar bezüglich des Maßes µ'', wenn mindestens eines der beiden Integrale
:<math>\int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu</math> und <math>\int_\Omega f^-\ \mathrm d\mu \ </math>
endlich ist.

In diesem Falle heißt
:<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu-\int_\Omega f^-\mathrm d \mu \ </math>.
das <math>\mu</math>-Integral von <math>f</math> über <math>\Omega</math>.

Für alle messbare Teilmengen <math> A\subseteq\Omega </math> ist dann
:<math>\int_A f \mathrm d\mu=\int_\Omega f \cdot \chi_A\ \mathrm d\mu</math>
das <math>\mu</math>-Integral von <math>f</math> über <math>A</math>.

Eine Funktion heißt ''µ-integrierbar'' oder ''integrierbar bezüglich des Maßes µ'', wenn beide Integrale
:<math>\int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu</math> und <math> \int_\Omega f^-\ \mathrm d\mu</math>
endlich sind.
Äquivalent dazu ist die Bedingung
:<math>\int_\Omega |f| \,\mathrm d\mu<\infty \ </math>.

Offensichtlich ist jede integrierbare Funktion quasiintegrierbar.

== Wichtige Eigenschaften des Lebesgue-Integrals ==
Das Integral ist linear in <math>\mathcal{L}^1</math> ([[Lp-Raum|Raum der integrierbaren Funktionen]]), d. h. für integrierbare Funktionen <math> \ f \ </math> und <math> \ g \ </math> und beliebige <math> \alpha , \beta \in \mathbb R </math> ist auch <math> \ \alpha f + \beta g \ </math> integrierbar und es gilt:
:<math> \int_ \Omega (\alpha f + \beta g) \, \mathrm d\mu = \alpha \cdot \int_\Omega f \mathrm d\mu + \beta \cdot \int_\Omega g \, \mathrm d\mu </math>

Das Integral ist monoton, d. h. sind <math> \ f \ </math> und <math> \ g \ </math> zwei messbare Funktionen mit <math>f\leq g</math>, so gilt
:<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu\leq \int_\Omega g\ \mathrm{d}\mu</math>.

Ist <math>A \in \mathcal P(\Omega)</math> messbar mit <math> \ \mu(A)=0 \ </math>, so gilt
:<math> \ \int_ A f \mathrm d\mu = 0 \ </math>

== Konvergenzsätze ==
Einer der wichtigsten Vorzüge des Lebesgue-Integrals sind die aus mathematischer Sicht sehr schönen Konvergenzsätze. Dies betrifft die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral bei Funktionenfolgen der Form <math> \ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \ </math>. Die wichtigsten Konvergenzsätze sind:

;[[Satz von der monotonen Konvergenz]] (Beppo Levi, 1906): Ist <math> f_n:(\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B), n\in\mathbb N </math> eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen, messbaren Funktionen, so gilt:
::<math> \int_\Omega \sup_{n\in\mathbb{N}} f_n\ \mathrm{d}\mu = \int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} f_n\ \mathrm{d}\mu= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\ \mathrm{d}\mu </math>.

;[[Satz von der majorisierten Konvergenz|Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz]] (Henri Léon Lebesgue, 1910): Konvergiert die Folge der messbaren Funktionen <math>f_n\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math> <math>\mu</math>-fast überall gegen die messbare Funktion <math>f\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math> und sind die Funktionen <math>f_n</math>, <math>n \in \N</math>, betragsmäßig <math>\mu</math>-fast überall durch eine integrierbare Funktion <math>g\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math> beschränkt, dann gilt:

:*<math>f</math> ist integrierbar,
:*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\ \mathrm{d}\mu=\int_\Omega f\ \mathrm{d}\mu</math> und
:*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega |f-f_n|\ \mathrm{d}\mu=0.</math>

;[[Lemma von Fatou]] (Pierre Fatou): Sind <math>f_n:(\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline\mathbb R,B)</math>, <math>n\in\mathbb N</math>, nichtnegative messbare Funktionen, dann gilt:
::<math>\int_\Omega \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega f_n \ \mathrm{d}\mu</math>

== Nullmengen und fast-überall bestehende Eigenschaften ==
Eine Menge <math>N \subset \Omega</math>, die das Maß 0 besitzt, heißt [[Nullmenge]]. Im Falle des Lebesgue-Maßes auch speziell ''Lebesgue-Nullmenge''.
Ist also <math>N \subset \Omega</math> mit <math> \ \mu(N)=0 \ </math> und f eine integrierbare Funktion, so gilt:
:<math>\int_\Omega f \, \mathrm d\mu = \int_{\Omega \setminus N}f\, \mathrm d\mu + \int_N f \, \mathrm d\mu = \int_{\Omega \setminus N}f \, \mathrm d\mu</math>
da das Integral über die Nullmenge N den Wert 0 annimmt. (<math>\Omega\backslash N</math> bezeichnet die Menge <math>\Omega</math> ohne die Menge <math>N</math>)

Folglich ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die Funktion f auf einer Nullmenge ändert. Besitzt eine Funktion eine Eigenschaft (Stetigkeit, punktweise Konvergenz etc.) auf dem gesamten Definitionsbereich mit Ausnahme einer Menge vom Maß 0, so sagt man, diese Eigenschaft bestehe ''fast-überall''. In der Lebesgue'schen Integrationstheorie ist es folglich oft sinnvoll, zwei Funktionen die fast-überall übereinstimmen, auch als ''gleich'' anzusehen - man fasst sie zu einer [[Äquivalenzrelation|Äquivalenzklasse]] zusammen (siehe hierzu auch [[Lp-Raum]]).

Es ist sogar oft so, dass man Funktionen, die nur fast überall definiert sind (z. B. der punktweise Limes einer Funktionenfolge, die nur fast überall konvergiert), als Funktionen auf dem ganzen Raum auffasst und ohne Bedenken
:<math>\int_\Omega f\,d\mu</math>
schreibt, auch wenn f gar nicht auf ganz <math>\Omega</math> definiert ist. Dieses Vorgehen ist dadurch gerechtfertigt, dass jede Fortsetzung von f sich nur auf einer Nullmenge N von f unterscheidet und somit das Integral der Fortsetzung über ganz <math>\Omega</math> den gleichen Wert hat wie das Integral über <math>\Omega\backslash N</math>.

Diese Konvention erlaubt es, viele Sätze einfacher zu formulieren, zum Beispiel könnte man den Satz von der majorisierten Konvergenz (siehe oben) auch so aufschreiben:

Seien <math>f_n,g: \Omega\rightarrow\overline{\mathbb{R}}</math> messbar, <math>g</math> integrierbar, <math>f_n</math> sei fast überall konvergent und jedes <math>|f_n|</math> sei fast überall beschränkt durch <math>g</math>.
Dann ist jedes <math>f_n</math> und der Limes integrierbar und es gilt:
:<math>\int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} f_n\,\mathrm d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\,\mathrm d\mu</math>

Man muss beachten, dass eine Nullmenge nur im Sinne des Maßes vernachlässigbar „klein“ ist. Sie kann aber auch durchaus unendlich viele Elemente enthalten. So ist zum Beispiel die Menge <math>\mathbb Q \subset \mathbb R</math>, also die Menge der [[rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] als Teilmenge der [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] eine Lebesgue-Nullmenge. Die [[Dirichlet-Funktion]]
:<math>f(x)=\begin{cases}1 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & \mbox{sonst}.\end{cases}</math>
ist also im oben genannten Sinne gleich der Funktion, die konstant den Wert Null annimmt (Null-Funktion), obwohl es keine noch so kleine Umgebung gibt, in der ihre Werte übereinstimmen. Eine bekannte überabzählbare (zu <math>\R</math> gleichmächtige) Lebesgue-Nullmenge ist die [[Cantor-Menge]].

== Schreibweisen ==
Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet: Im Folgenden sei <math> A\subseteq\Omega </math> eine messbare Menge. Will man bei der Integration die Integrationsvariable <math>x</math> angeben, so schreibt man
:<math>\int_A f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)</math> oder <math>\int_A f(x)\,\mu(\mathrm{d}x)</math> oder auch <math>\int_A \mu(\mathrm{d}x)\,f(x)</math>.

Ist <math>\mu</math> das Lebesgue-Maß, so schreibt man statt <math>\mathrm{d}\mu(x)</math> einfach <math>\mathrm{d}x</math>, im eindimensionalen Fall <math>\Omega=\mathbb R</math> schreibt man auch
:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>
für das Integral über das Intervall <math>[a,b]</math> oder <math>]a,b[</math>.

Wenn das Maß <math>\mu</math> eine [[Satz von Radon-Nikodym|Radon-Nikodym-Dichte]] <math>h</math> bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, gilt
:<math>\int_A f(x) \, \mathrm d\mu(x) = \int_A f(x) \, h(x)\mathrm d x</math>.
In Anwendungsgebieten wird die Schreibweise
:<math>\int_A f(x) \, h(x)\,\mathrm{d}x</math>
häufig auch dann verwendet, wenn <math>\mu</math> formal keine Dichte besitzt. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn man <math>h</math> nicht als Funktion, sondern als [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] auffasst.

Ist das Maß <math>\mu</math> im Fall <math>\Omega=\mathbb R</math> durch eine kumulative Funktion <math>F</math> definiert, so schreibt man auch
:<math>\int_A f(x) \,\mathrm{d}F(x)</math> oder <math>\int_A f \,\mathrm{d}F</math>
([[Stieltjes-Integral]]).

Ist <math>\mu</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], so schreibt man auch <math> \mathbb E(f) </math> für
:<math>\int_\Omega f\,\mathrm{d}\mu\,</math>
([[Erwartungswert]]).
In der [[theoretische Physik|theoretischen Physik]] wird die Schreibweise <math>\langle f \rangle</math> verwendet, in der [[Funktionalanalysis]] manchmal die Schreibweise <math> \ \mu(f) \ </math>.

== Riemann- und Lebesgue-Integral ==
Im Fall <math>\Omega = \mathbb R</math> mit dem Lebesgue-Maß gilt: Ist eine Funktion auf einem kompakten Intervall [[Riemann-Integral|Riemann-integrierbar]], so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und die Werte beider Integrale stimmen überein. Hingegen ist nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch Riemann-integrierbar. Besitzt jedoch eine Funktion abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, so folgt auch aus Lebesgue-integrierbarkeit die Riemann-integrierbarkeit.

Hingegen muss eine ''uneigentlich'' Riemann-integrierbare Funktion nicht ''als Ganzes'' Lebesgue-integrierbar sein, der entsprechende Grenzwert von Lebesgue-Integralen existiert jedoch nach den obigen Bemerkungen und liefert denselben Wert wie für die Riemann-Integrale. Ist jedoch <math>|f|</math> uneigentlich Riemann-integrierbar, dann ist <math>f</math> sogar als Ganzes Lebesgue-integrierbar.

Man kann leicht ein Beispiel einer uneigentlich Riemann-integrierbaren Funktion angeben, die nicht Lebesgue-integrierbar ist: Ist nämlich ''f'' eine Treppenfunktion mit den Flächen ''1'', ''-1/2'', ''1/3'' usw., dann ist ''f'' uneigentlich Riemann-integrierbar. Denn das Integral entspricht gerade der [[harmonische Reihe|alternierenden harmonischen Reihe]]. Damit ''f'' aber Lebesgue-integrierbar ist, müsste notwendig <math>\int_{\mathbb{R}^+}|f|\mathrm d\lambda<\infty</math> gelten, dies ist aber nicht der Fall, da die [[harmonische Reihe]] divergent ist. Folglich existiert das entsprechende Lebesgue-Integral ''nicht''. Die Situation ist im folgenden Bild wiedergegeben:

[[Bild:Lebesgue vs Riemann.gif]]
 
Wichtiger ist der umgekehrte Fall einer Lebesgue-integrierbaren Funktion, die nicht Riemann-integrierbar ist.

Das bekannteste Beispiel dafür ist die [[Dirichlet-Funktion]]:
:<math>f:[0,1]\rightarrow[0,1]</math>
:<math>x\mapsto\begin{cases}1 & , x\in\mathbb{Q}\\ 0 & , \mbox{sonst}.\end{cases}</math>
''f'' ist nicht Riemann-integrierbar, da alle Untersummen stets 0 und alle Obersummen stets 1 sind. Da aber <math>\mathbb Q\,,</math> die Menge der rationalen Zahlen, in der Menge der reellen Zahlen eine Lebesgue-Nullmenge ist, ist die Funktion ''fast überall 0''. Also existiert das Lebesgue-Integral und besitzt den Wert 0.

Der wesentliche Unterschied im Vorgehen bei der Integration nach Riemann bzw. Lebesgue besteht darin, dass beim Riemann-Integral der ''Definitionsbereich'' ([[Abszisse]]) beim Lebesgue-Integral jedoch die ''Bildmenge'' ([[Ordinate]]) der Funktion unterteilt wird. An obigen Beispielen lässt sich bereits erkennen, dass sich dieser Unterschied durchaus als entscheidend herausstellen kann. Das gilt, wie hier ''nicht'' weiter gezeigt werden soll, vor allem dann, wenn eine Funktion wie im vorigen Beispiel nur „fast überall“ definiert ist, und bei Fragen der Grenzwertbildung und Vervollständigung.

;Henri Lebesgue über den Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral:
''"Man kann sagen, dass man sich bei dem Vorgehen von Riemann verhält wie ein Kaufmann ohne System, der Geldstücke und Banknoten zählt in der Reihenfolge, wie er sie in die Hand bekommt; während wir vorgehen wie ein umsichtiger Kaufmann, der sagt:''
:''Ich habe m(E1) Münzen zu einer Krone, macht 1∙m(E1)
:''ich habe m(E2) Münzen zu zwei Kronen, macht 2∙m(E2)''
:''ich habe m(E3) Münzen zu fünf Kronen, macht 5∙m(E3)''
''usw., ich habe also insgesamt S=1∙m(E1)+ 2∙m(E2) + 5∙m(E3) + ...''

''Die beiden Verfahren führen sicher den Kaufmann zum gleichen Resultat, weil er – wie reich er auch sei – nur eine endliche Zahl von Banknoten zu zählen hat; aber für uns, die wir unendlich viele Indivisiblen zu addieren haben, ist der Unterschied zwischen beiden Vorgehensweisen wesentlich."''

(H. Lebesgue, 1926; zitiert nach J.Elstrodt)

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor= [[Jürgen Elstrodt]]
| Titel= Maß- und Integrationstheorie
| TitelErg=
| Auflage= 2.
| Verlag= Springer
| Ort= Heidelberg
| Jahr= 1999
| Kapitel= IV. Das Lebesgue-Integral
| Seiten= 118-160
| Spalten=
| ISBN=3-540-65420-8
}}
* {{Literatur
| Autor = [[Walter Rudin]]
| Titel = Analysis
| TitelErg = dt. Ausgabe
| Auflage = 2.
| Verlag = Oldenbourg
| Ort = München/ Wien
| Jahr = 2002
| Kapitel = 11 Die Lebesguesche Theorie
| Seiten = 353 - 392
| Spalten =
| ISBN=3-486-25810-9
}}
* {{Literatur
|Autor = Klaus D. Schmidt
|Titel = Maß und Wahrscheinlichkeit
| Verlag = Springer-Verlag
| Ort = Berlin Heidelberg
| Jahr = 2009
| Kapitel = 8 Lebesgue-Integral, 9 Berechnung des Lebesgue-Integral
| Seiten = 109 - 190
| ISBN = 978-3-540-89729-3
}}

[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]

[[ca:Integral de Lebesgue]]
[[cs:Lebesgueův integrál]]
[[en:Lebesgue integration]]
[[es:Integral de Lebesgue]]
[[fr:Intégrale de Lebesgue]]
[[he:אינטגרל לבג]]
[[it:Integrale di Lebesgue]]
[[ja:ルベーグ積分]]
[[ko:르베그 적분]]
[[nl:Lebesgue-integraal]]
[[pl:Całka Lebesgue'a]]
[[pt:Integral de Lebesgue]]
[[ru:Интеграл Лебега]]
[[sk:Lebesgueov integrál]]
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[[uk:Інтеграл Лебега]]
[[zh:勒貝格積分]]