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Lambertsche W-Funktion

2023-12-28T00:42:38Z

TonyMath: /* aktualisieren */

[[Datei:Lambert-w.svg|288px|mini|Der Graph von ''W''(''x'') für ''W'' > −4 und ''x'' < 6. Der obere Zweig ''W'' ≥ −1 ist die Funktion ''W''0 (principal branch), der untere Zweig mit ''W'' ≤ −1 ist die Funktion ''W''−1.]]
In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''' oder '''Produktlogarithmus''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f\colon x \mapsto x \mathrm e^x,</math>
wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet. Es gilt
: <math>z = W(z)\mathrm e^{W(z)} = W(z \mathrm e^z), z\in\mathbb C.</math><ref>{{YouTube|jVa86rzzSg0|Wer findet ALLE Lösungen der Gleichung?|sec=390}}</ref>

== Eigenschaften ==

=== Im Reellen ===

[[Datei:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|mini|400px|Die zwei Funktionsäste <math>W_0</math> und <math>W_{-1}</math>]]
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1{\mathrm e},0\right)</math> zwei Funktionsäste <math>W_0(x)</math> und <math>W_{-1}(x)</math>. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.

Die Ableitungsfunktion eines Astes der W-Funktion kann mit Hilfe der [[Umkehrregel]] der Differentialrechnung gefunden werden (an der Stelle <math>-1/e</math> existiert die Ableitung nicht, ihr Betrag wächst bei hinreichender Annäherung an diese Stelle in jedem Ast über alle Schranken):
: <math>W'(x) = \frac{W(x)}{x (1+W(x))} \text{ für } x>-\frac {1}{\mathrm e}, x \neq 0</math>

sowie <math>W'_0(0)=1</math> für den oberen Ast (der untere Ast ist für <math>x \ge 0</math> gar nicht definiert).

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n} = \frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, die sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (nt+3n-1) \cdot P_n(t)-(t+1) \cdot P_n'(t), \quad n \ge 1</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>\begin{align}
W''(x) &= -\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2)\\
W^{(3)}(x) &= +\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9)\\
W^{(4)}(x) &= -\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x)+36W^2(x)+79W(x)+64)
\end{align}</math>

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des ganzen Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C</math>

Durch implizites Differenzieren kann man zeigen, dass <math>W</math> folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz} = W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> um <math>x_0=0</math> ist durch folgende Formel gegeben:
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \ldots</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1\mathrm e</math>. Folgende zwei Funktionen haben ebenso Taylor-Reihen in diesem Muster:
: <math>\frac{W(x)}{1 + W(x)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{(n-1)!}\,x^n = x - 2x^2 + \frac{9}{2} x^3 - \frac{32}{3} x^4 + \frac{625}{24}x^5 - \ldots</math>
: <math>1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{W(x)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{(n+1)(n-1)!}\,x^n = \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x^2 + \frac{9}{8} x^3 - \frac{32}{15} x^4 + \frac{625}{144}x^5 - \ldots</math>

=== Im Komplexen ===
[[Datei:Product Log.jpg|mini|400px|Der Hauptzweig der W-Funktion auf der komplexen Zahlenebene. Man beachte den Bruch entlang der negativen reellen Halbachse ab <math>-e^{-1}</math>. Die Koordinaten eines Punkts beschreiben Real- und Imaginärteil des Arguments, die Helligkeit beschreibt den [[Betragsfunktion|Betrag]] und der Farbton die [[Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Phase]] des Ergebnisses.]]
[[Datei:Lambert-modulus-HSV.png|mini|400px|Betrag des Hauptzweigs der W-Funktion als Höhe, Farbton die Phase]]
Für jedes <math>k\in\Z</math> gibt es einen Zweig <math>W_k</math> der W-Funktion, wobei <math>k = 0</math> und <math>k = -1</math> die oben genannten reellen Zweige darstellen. Der Hauptzweig <math>W_0</math> ist insofern besonders, als er auf der gesamten komplexen Zahlenebene definiert ist; alle anderen Zweige (Nebenzweige) haben eine Definitionslücke bei <math>z = 0</math>. Konkret gilt
:<math>W_0(0) = 0</math> und
:<math>\lim_{z\to0} W_k(z) = -\infty</math> für alle <math>k\ne0</math>.
Dieses Verhalten ist im Diagramm oben für die reellen Fälle exemplarisch ersichtlich.

Die Verzweigungsstelle für den Hauptzweig ist bei <math>z = -\tfrac{1}{e}</math>, die sich über den Rest der negativen Halbachse in Richtung <math>-\infty</math> erstreckt. Diese Verzweigung trennt den Hauptzweig von den Nebenzweigen <math>W_{-1}</math> und <math>W_{+1}</math>.
Auf den Nebenzweigen beginnt die Verzweigung bereits bei <math>z = 0</math> und setzt sich wie beim Hauptzweig in Richtung <math>-\infty</math> fort.

Alle Zweige sind [[Injektivität|injektiv]] und ihre Wertebereiche sind [[disjunkt]].
Aufgefasst als Funktion mit zwei Parametern aus <math>\Z</math> und <math>\Complex</math> hat die W-Funktion die gesamte komplexe Zahlenebene als Wertebereich.
Das Bild der reellen Achse ist die [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] der reellen Achse mit der [[Quadratrix des Hippias]], der für <math>t \in \R \setminus \{k\pi \mid k \in \Z \setminus \{0\}\}</math> definierten parametrischen Kurve <math>w(t)=-t\cot t + it</math>, wobei man unter <math>w(0)</math> den Grenzwert <math>\lim_{t \to 0} w(t) = -1</math> versteht, wodurch <math>w</math> an der Stelle <math>t = 0</math> stetig fortgesetzt wird.

== Spezielle Werte ==

: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right) = -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904\dots =: \Omega</math>   (die [[Omega-Konstante]])
: <math>W\left(\mathrm e\right) = 1</math>

== Integrale ==

=== Integraldarstellungen der Lambertschen W-Funktion ===
Der Kehrwert des Nachfolgers<ref>{{Internetquelle |url=https://math.stackexchange.com/questions/45745/interesting-integral-related-to-the-omega-constant-lambert-w-function |titel=Interesting integral related to the Omega Constant/Lambert W Function |sprache=en |abruf=2022-12-20}}</ref> von der Lambertschen W-Funktion hat diese Integraldarstellung:
:<math>\frac{1}{1 + W(x)} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\bigl[x\exp(y) - y\bigr]^2 + \pi^2} \,\mathrm{d}y</math>
Die Lambertsche W-Funktion direkt hat diese<ref>{{Internetquelle |url=https://sites.google.com/site/istvanmezo81/other-things |titel=Webpage of István Mező PhD - Miscellaneous |sprache=de |abruf=2023-01-30}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://math.paperswithcode.com/paper/an-integral-representation-for-the-lambert-w |titel=Papers with Code - An integral representation for the Lambert W function |sprache=en |abruf=2023-01-30}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=David Jeffrey |Titel=Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert $ W$ |Datum=2011-01-01 |Online=https://www.academia.edu/15555333/Stieltjes_Poisson_and_other_integral_representations_for_functions_of_Lambert_W_ |Abruf=2023-01-30}}</ref> Integralidentitäten:
:<math>W(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{y^2 + 1}\ln\biggl\{1 + \frac{x \exp\bigl[y\arccot(y)\bigr]}{\sqrt{y^2 + 1}\,\arccot(y)}\biggr\} \,\mathrm{d}y</math>
Die kanadischen Mathematiker German Kalugin, David Jeffrey und Robert Corless entdeckten einige Formeln für die Integralrepresentation der Lambertschen W-Funktion und hielten diese Formeln in ihrer gemeinsamen Arbeit ''Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W'' fest. Dieser Zusammenhang wurde danach in erweiterter Form von dem ungarischen Mathematiker István Mező entdeckt. Er schrieb in seinem Werk ''An integral representation for the Lambert W function'' die Herleitung für die Integraldarstellung der Lambertschen W-Funktion nieder.

=== Integrale mit der Lambertschen W-Funktion ===
Integrale mit der Lambertschen Funktion aus einer inneren Funktion:
* <math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>
* <math>\int_{0}^{\pi} W\left(2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = \sqrt{16\pi}</math>
Integrale von Produkten aus der Lambertschen Funktion und gebrochen rationalen Funktionen:
* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = \sqrt{8\pi}</math>
* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt[3]{x}}\,\mathrm dx = 3^{5/3}\,\Gamma(\tfrac{2}{3})</math>
* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt[4]{x}}\,\mathrm dx = 2^{7/2}\,\Gamma(\tfrac{3}{4})</math>
* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt[5]{x}}\,\mathrm dx = 5^{9/5}\,\Gamma(\tfrac{4}{5})</math>
Dabei wird mit dem <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]] zum Ausdruck gebracht.

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>a(x)\mathrm e^{a(x)} = y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung
: <math>x^x = z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x = \frac{\ln z}{W(\ln z)} = \exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der unendliche [[Potenzturm]]
: <math>x\uparrow\uparrow \infty := x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden:
: <math>x\uparrow\uparrow \infty = \frac{W(\ln \frac 1x)}{\ln \frac 1x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===

Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>\mathrm e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)</math>
mit reellen Konstanten <math>a_0, c</math> und <math>r</math>. Die Lösung ist <math>x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c\, \mathrm e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion umfassen:<ref>T. C. Scott, R. B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function.'' In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing).'' '''17''' Nr. 1, April 2006. S. 41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel.]</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J. |last3=Grotendorst |year=2013 |title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) |volume=47 |issue=185 |pages=75–83 |url=http://www.sigsam.org/cca/articles/185/asymptotic.pdf |offline=yes}}</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J. |last3=Grotendorst |first4=W. Z. |last4=Zhang |year=2014 |title=Numerics of the Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM |volume=48 |issue=188 |pages=42–56 |url=http://www.sigsam.org/cca/articles/188/numerics_of_generalized_LW_pp42-56.pdf |offline=yes}}</ref>

* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] ([[Quantengravitation]]) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity,''<ref>P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation.'' In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, S. 4647–4659. [[doi:10.1088/0264-9381/24/18/006]]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel.]</ref> wobei die rechte Seite von Gleichung (1) nun ein quadratisches Polynom in <math>x</math> ist:
:: <math>\mathrm e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)</math>

: Hierbei sind <math>r_1</math> und <math>r_2</math> voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments <math>x</math>, aber <math>r_i</math> und <math>a_0</math> sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der [[Meijersche G-Funktion|Meijerschen G-Funktion]], aber sie gehört zu einer anderen „Klasse“ von Funktionen. Wenn <math>r_1 = r_2</math>, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, sodass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gleichung (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von dem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1 + 1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.

* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (dreidimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion.'' In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. S. 323–338. [[doi:10.1016/j.chemphys.2005.10.031]]; [http://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel.]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlichen Grades in <math>x</math>:
:: <math>\mathrm e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)</math>
: mit paarweise verschiedenen reellen Konstanten <math>r_i</math> und <math>s_i</math> sowie <math>x</math> als Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands <math>r</math>. Gleichung (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Mit Hilfe von [[Godfrey Harold Hardy|Hardys]] Begriff der „falschen Ableitung“ wurden exakte mehrfache Wurzeln für spezielle Fälle von Gleichung (3) gefunden.<ref>{{cite journal |first=Aude |last=Maignan |first2=T. C. |last2=Scott |year=2016 |title=Fleshing out the Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM |volume=50 |issue=2 |pages=45–60 |doi=10.1145/2992274.2992275}}</ref> Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom- und Molekularphysik<ref>T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions.'' In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A.]]'' 75:060101, 2007. {{Webarchiv |archive-is=20120717073513 |url=http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes |text=''scitation.aip.org.''}}</ref> das Keiper-Li-Kriterium für die [[Riemannsche Vermutung]].<ref>{{cite journal |first1=R. C.|last1 = McPhedran|last2=Scott |first2=T.C.|last3=Maignan|first3=Aude|year=2023 |title=The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions|journal=ACM Commun. Comput. Algebra|volume=57 |issue=3 |pages=85-110|doi=10.1145/3637529.3637530}}</ref>

== Beziehung zu anderen Funktionen ==

=== Hypergeometrische Funktionen ===
Die W-Funktion steht in direkten Zusammenhang zur [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen]]. Diese Beziehung wird durch die Gleichungen

<math>\zeta\left( n \right) = \frac{1}{1 - 2^{1 - n}} \cdot \operatorname{_{n + 1}F_{n}}\left( 1,\, a_{1},\, a_{2},\, \dots,\, a_{n};\, a_{1} + 1,\, a_{2} + 1,\, \dots,\, a_{n} + 1;\, -1 \right)\, /;\, a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 1 \wedge n - 1 \in \mathbb{N}</math>

und

<math>\zeta\left( n \right) = \operatorname{_{n + 1}F_{n}}\left( 1,\, a_{1},\, a_{2},\, \dots,\, a_{n};\, a_{1} + 1,\, a_{2} + 1,\, \dots,\, a_{n} + 1;\, 1 \right)\, /;\, a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 1 \wedge n - 1 \in \mathbb{N}</math>

klar.<ref>{{Internetquelle |url=https://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta/26/01/01/ |titel=Riemann zeta function: Representations through more general functions (subsection 26/01/01) |abruf=2023-03-02}}</ref>

=== Fox H-Funktion ===
Die [[Fox H-Funktion]] steht im direkten Zusammenhang zur W-Funktion, was durch die Relation

<math>
\overline{\operatorname{W}_{-1}\left( -\alpha \cdot z \right)} = \begin{cases} \lim_{\beta \to \alpha^{-}} \left[ \frac{\alpha^{2} \cdot \left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{\frac{\alpha}{\beta}}}{\beta} \cdot \operatorname{H}_{1,\, 2}^{1,\, 1} \left( \begin{matrix} \left( \frac{\alpha + \beta}{\beta},\, \frac{\alpha}{\beta} \right)\\ \left( 0,\, 1 \right),\, \left( -\frac{\alpha}{\beta},\, \frac{\alpha - \beta}{\beta} \right)\\\end{matrix} \mid -\left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{\frac{\alpha}{\beta} - 1} \right) \right],\, \text{falls} \left|
z \right| < \frac{1}{e \left| \alpha \right|}\\
\lim_{\beta \to \alpha^{-}} \left[ \frac{\alpha^{2} \cdot \left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{-\frac{\alpha}{\beta}}}{\beta} \cdot \operatorname{H}_{2,\, 1}^{1,\, 1} \left( \begin{matrix} \left( 1,\, 1 \right),\, \left( \frac{\beta - \alpha}{\beta},\, \frac{\alpha - \beta}{\beta} \right)\\ \left( -\frac{\alpha}{\beta},\, \frac{\alpha}{\beta} \right)\\\end{matrix} \mid -\left( \left( \alpha - \beta \right) \cdot z \right)^{1 - \frac{\alpha}{\beta}} \right) \right],\, \text{andernfalls}\\ \end{cases}
</math>

deutlich wird, wobei <math>
\overline{z}
</math> das komplex-konjugierte <math>
z
</math> ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Pushpa Narayan Rathie and Luan Carlos de Sena Monteiro Ozelim |url=https://www.researchgate.net/publication/365706509_On_the_Relation_between_Lambert_W-Function_and_Generalized_Hypergeometric_Functions |titel=On the Relation between Lambert W-Function and Generalized Hypergeometric Functions |abruf=2023-03-02}}</ref>

== Numerische Berechnung ==

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1} = w_j-\frac{w_j \mathrm e^{w_j}-z}{\mathrm e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_j\mathrm e^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden.<ref name="Corless">R. M. Corless u. a.: {{Webarchiv |url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf |wayback=20101214110615 |text=''On the Lambert W function.''}}. (PDF; 304 kB). In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, S. 329–359.</ref> Alternativ kann auch das [[Newton-Verfahren]] zur Lösung der Gleichung <math>w e^w - z = 0</math> verwendet werden:
: <math>w_{j+1} = w_j-\frac{w_j \mathrm e^{w_j}-z}{\mathrm e^{w_j}+\mathrm e^{w_j} w_j}</math>.

== Tabelle reeller Funktionswerte ==

<math>W_0,</math> oberer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0{,}3679 & -0{,}34 & -0{,}2 & 0 & 0{,}3 & 0{,}7 & 1{,}2 & 2 & 3 & 4 & 6 & 10 & 20 & 40 & +\infty \\
\hline
y & -1 & -0{,}6537 & -0{,}2592 & 0 & 0{,}2368 & 0{,}4475 & 0{,}6356 & 0{,}8526 & 1{,}0499 & 1{,}2022 & 1{,}4324 & 1{,}7455 & 2{,}205 & 2{,}6968 & +\infty \\
\end{array}
</math>
<math>W_{-1},</math> unterer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0{,}3679 & -0{,}365 & -0{,}355 & -0{,}31 & -0{,}25 & -0{,}18 & -0{,}1 & -0{,}05 & -0{,}025 & -0{,}01 & -0{,}005 & -0{,}001 & -0{,}0001&0 \\
\hline
y &-1 & -1{,}1307 & -1{,}2912 & -1{,}7044 & -2{,}1533 & -2{,}7128 & -3{,}5772 & -4{,}4998 & -5{,}3696 & -6{,}4728 & -7{,}284 & -9{,}118 & -11{,}6671 &-\infty \\
\end{array}
</math>
Andere Werte lassen sich leicht über <math>x = y\,\mathrm e^y</math> berechnen.

Eine Näherung von <math>W_0(x)</math> für große <math>x</math> ist<ref>{{MathWorld |id = LambertW-Function |title = Lambert W-Function}}</ref>
:<math>W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).</math>

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Johann Heinrich Lambert|Wfunktion]]

Michael Scotus

2023-12-27T23:59:39Z

TonyMath: /* aktualisieren */

'''Michael Scotus''' (* um 1180 in [[Schottland]] oder [[Irland]]; † um 1235) war ein [[scholastisch]]er [[Philosoph]], Übersetzer, [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde der am Hof des Kaisers [[Friedrich II. (HRR)|Friedrich II.]] tätige Gelehrte vor allem durch lateinische Übersetzungen von [[Avicenna]] (''De animalibus'') sowie [[Aristoteles]] (''De animalibus'') sowie ihm zugeschriebene und im Falle von ''De caelo'' wohl auch wirklich von ihm selbst durchgeführte Übersetzungen von [[Averroes]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, scheint sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen zu ergeben, könnte aber auch auf irische Herkunft hindeuten. Einige neuere Quellen gehen beim Geburtsjahr von etwa 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist das späte 12. Jahrhundert. Seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein, da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des frühen Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johannes Hispalensis|Johannes von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]].
{{Belege fehlen}}
Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes, und zwar des ''Kitāb fi ’l-haiʾa'' des [[Alpetragius]], der im 12. Jahrhundert in [[al-Andalus]] lebte.

Noch vor 1220 hat er die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzt, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruf als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die ihm zugeschriebenen Übersetzungen der [[Averroes]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von Averroes-Kommentaren erhalten geblieben, wovon wahrscheinlich einige am Hofe Friedrich II. vollendet wurden. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert war und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich lobend über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußert, aber nicht das Griechische erwähnt.

Nach Silke Ackermann war seine Beherrschung des Arabischen nicht sehr hoch einzuschätzen und seine Griechisch-Kenntnisse mangelhaft.<ref name="ackerm" /> In ihrer Analyse des ''Liber signis'' von Scotus machte sie fehlende Kenntnis arabischer Literatur und Verballhornung griechischer und arabischer Wörter aus.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer medizinischen Tätigkeit nachzugehen: Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof von Cashel]] in [[Irland (Insel)|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der [[Irische Sprache|irischen Sprache]] nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. in Sizilien wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als „besten Philosoph“ titulierte (''summa philosophus'').<ref name="ackerm">[http://www.sehepunkte.de/2010/09/18208.html Gerd Mentgen: Rezension von Silke Ackermann: Sternstunden am Kaiserhof], Sehepunkte 2010</ref>

Die zweite Auflage des ''Liber Abaci'', des Mathematikbuches von [[Leonardo Fibonacci]] aus dem Jahr 1227, war Michael Scot gewidmet. Daraus ist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle bei Fibonacci’s Darstellung der Zahlenfolge spielte, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=en|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =2014-03-08| accessdate=2014-03-23}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], das achte Buch der Naturkunde im ''Buch der Genesung'',<ref>[[Gotthard Strohmaier]]: ''Avicenna.'' Beck, München 1999, ISBN 3-406-41946-1, S. 144 f.</ref> welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch, durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Er sollte die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

Einige Quellen berichten, dass [[Friedrich II. (HRR)|Kaiser Friedrich]] Gelehrte wie Michael Scot aufgrund seiner Arabischkenntnisse als Boten für den diplomatischen und wissenschaftlichen Austausch mit arabischen Herrschern wie [[Al-Kamil]] einsetzte und Michael Scot sogar während des Sechsten Kreuzzuges 1228–29 ins [[Heiliges Land|Heilige Land]] brachte<ref>{{cite book |language=fr|last=Benoist-Méchin|first=Jacques |date=1980|title=Frédéric de Hohenstaufen, ou, Le rêve excommunié, 1194-1250|url= |location=Paris|publisher=Librairie Académique Perrin|page= |isbn=978-2-262-00202-2}}</ref><ref>{{cite book
|language=en|last=MacQuarrie |first=Alan D. |date=1982 |title= The Impact of the Crusading Movement 1095 in Scotland, - 1095-c.1560 |publisher=(Doktorarbeit) Universität von Edinburgh}}</ref>.

== Liber introductorius ==
Der ''Liber introductorius'' ist in drei verschiedene Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf [[Franz von Assisi]] hingewiesen – dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus’ Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus’ Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombardei|Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Sein Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236<ref>gemäß [[Nigel F. Palmer]] auf 1234 datierbar.</ref> am Hof Friedrichs II. entstandenen politischen Gedicht erwähnt der normannische Dichter [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, dass Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene „Turmrätsel“, und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

== Schriften ==
* ''Michaelis Scoti Astrologia cum figuris'' (Liber introductorius) – [[Bayerische Staatsbibliothek|BSB]] ''Clm 10268'' {{ULBDD|urn:nbn:de:bvb:12-bsb00002270-2}}
* [[Aristoteles]]: ''De Animalibus. Part three, Books XV–XIX: Generation of animals.'' Michael Scot’s Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* ''Liber de signis.'' In: Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99–281 (Erst-Edition und deutsche Übersetzung, sowie Edition des ''Firmamentum celi'' ohne Übersetzung).

== Literatur ==
* [[Silke Ackermann]]: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009 (Dissertation, Frankfurt 1996).
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II’s Philosopher''. In: ''Federico II e le nuove culture. Atti del XXXI Convegno storico internazionale, Todi, 9-12 ottobre 1994''. Centro italiano di studi sull’alto medioevo, Spoleto 1995, S. 225–285.
* Charles Burnett: ''Michael Scot and the Transmission of Scientific Culture from Toledo to Bologna via the Court of Frederick II Hohenstaufen.'' Micrologus '''2''', 1994, S. 101–26.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: [[Gunther Wolf (Historiker)|Gunther Wolf]] (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter'' (= ''Miscellanae Mediaevalia.'' Band 18). Berlin 1986, S. 141–160.
* Lorenzo Minuo-Paluello: ''Michael Scot'', [[Dictionary of Scientific Biography]], Band 9, S. 361–365
* Piero Morpurgo: ''Scot [Scott], Michael'', Oxford [[Dictionary of National Biography]] 2004
* {{BBKL|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070629173550/http://www.bautz.de/bbkl/m/michael_sco.shtml |autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}
* Tony Scott und David Harper ''Michael Scot and the Music of the Spheres'', Transversal: International Journal for the Historiography of Science, No. 15, 2023, S. 1-11
* [[Lynn Thorndike]]: ''Michael Scot''. London und Edinburgh 1965.
* [[Nigel F. Palmer]]: ''Scotus, Michael.'' In: ''[[Verfasserlexikon]].'' 2. Auflage. Band 8, Sp. 966–971.
* Hans H. Lauer: ''Michael Scotus.'' In: [[Werner E. Gerabek]], Bernhard D. Haage, [[Gundolf Keil]], Wolfgang Wegner (Hrsg.): ''Enzyklopädie Medizingeschichte.'' De Gruyter, Berlin/New York 2005, ISBN 3-11-015714-4, S. 986.

== Siehe auch ==
* [[Lateinische Übersetzungen im Hochmittelalter]]

== Weblinks ==
* {{MacTutor|id=Scot|title=Michael Scot|author=T.C. Scott, P. Marketos}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=118733613|LCCN=n83318295|VIAF=89415245}}

{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
[[Kategorie:Philosoph des Mittelalters]]
[[Kategorie:Mediziner des Mittelalters]]
[[Kategorie:Alchemist]]
[[Kategorie:Astrologe]]
[[Kategorie:Übersetzer aus dem Arabischen]]
[[Kategorie:Übersetzer ins Latein]]
[[Kategorie:Römisch-katholischer Bischof (13. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Erzbischof von Cashel]]
[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 13. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scotus, Michael
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=mittelalterlicher Philosoph, Mediziner, Alchemist und Astrologe
|GEBURTSDATUM=um 1180
|GEBURTSORT=
|STERBEDATUM=um 1235
|STERBEORT=
}}

Michael Scotus

2022-12-22T21:38:21Z

TonyMath: /* Michael Scot im Heiliges Land */

'''Michael Scotus''' (* um 1180 in [[Schottland]] oder [[Irland]]; † um 1235) war ein [[scholastisch]]er [[Philosoph]], Übersetzer, [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde der am Hof des Kaisers [[Friedrich II. (HRR)|Friedrich II.]] tätige Gelehrte vor allem durch lateinische Übersetzungen von [[Avicenna]] (''De animalibus'') sowie [[Aristoteles]] (''De animalibus'') sowie ihm zugeschriebene und im Falle von ''De caelo'' wohl auch wirklich von ihm selbst durchgeführte Übersetzungen von [[Averroes]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, scheint sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen zu ergeben, könnte aber auch auf irische Herkunft hindeuten. Einige neuere Quellen gehen beim Geburtsjahr von etwa 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist das späte 12. Jahrhundert. Seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein, da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des frühen Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johannes Hispalensis|Johannes von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. {{Belege fehlen}}Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes, und zwar des ''Kitāb fi ’l-haiʾa'' des [[Alpetragius]], der im 12. Jahrhundert in [[al-Andalus]] lebte.

Noch vor 1220 hat er die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzt, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruf als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die ihm zugeschriebenen Übersetzungen der [[Averroes]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von Averroes-Kommentaren erhalten geblieben, wovon wahrscheinlich einige am Hofe Friedrich II. vollendet wurden. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert war und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich lobend über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußert, aber nicht das Griechische erwähnt.

Nach Silke Ackermann war seine Beherrschung des Arabischen nicht sehr hoch einzuschätzen und seine Griechisch-Kenntnisse mangelhaft.<ref name="ackerm"/> In ihrer Analyse des ''Liber signis'' von Scotus machte sie fehlende Kenntnis arabischer Literatur und Verballhornung griechischer und arabischer Wörter aus.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer medizinischen Tätigkeit nachzugehen: Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof von Cashel]] in [[Irland (Insel)|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der [[Irische Sprache|irischen Sprache]] nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. in Sizilien wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als „besten Philosoph“ titulierte (''summa philosophus'').<ref name="ackerm">[http://www.sehepunkte.de/2010/09/18208.html Gerd Mentgen: Rezension von Silke Ackermann: Sternstunden am Kaiserhof], Sehepunkte 2010</ref>

Die zweite Auflage des ''Liber Abaci'', des Mathematikbuches von [[Leonardo Fibonacci]] aus dem Jahr 1227, war Michael Scot gewidmet. Daraus ist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle bei Fibonacci’s Darstellung der Zahlenfolge spielte, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=en|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =2014-03-08| accessdate=2014-03-23}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], das achte Buch der Naturkunde im ''Buch der Genesung'',<ref>[[Gotthard Strohmaier]]: ''Avicenna.'' Beck, München 1999, ISBN 3-406-41946-1, S. 144 f.</ref> welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch, durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Er sollte die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

Einige Quellen berichten, dass [[Friedrich II. (HRR)|Kaiser Friedrich]] Gelehrte wie Michael Scot aufgrund seiner Arabischkenntnisse als Boten für den diplomatischen und wissenschaftlichen Austausch mit arabischen Herrschern wie [[al-Kamil|Al-Kamil]] einsetzte und Michael Scot sogar während des Sechsten Kreuzzuges 1228-29 ins [[Heiliges Land|Heilige Land]] brachte<ref>{{cite book |language=fr|last=Benoist-Méchin|first=Jacques |date=1980|title=Frédéric de Hohenstaufen, ou, Le rêve excommunié, 1194-1250|url= |location=Paris|publisher=Librairie Académique Perrin|page= |isbn=978-2-262002022}}</ref><ref>{{cite book
|language=en|last=MacQuarrie |first=Alan D. |date=1982 |title= The Impact of the Crusading Movement 1095 in Scotland, - 1095-c.1560 |publisher=(Doktorarbeit) Universität von Edinburgh}}</ref>.

== Liber introductorius ==
Der ''Liber introductorius'' ist in drei verschiedene Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf [[Franz von Assisi]] hingewiesen – dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus’ Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus’ Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombardei|Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Sein Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236<ref>gemäß [[Nigel F. Palmer]] auf 1234 datierbar.</ref> am Hof Friedrichs II. entstandenen politischen Gedicht erwähnt der normannische Dichter [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, dass Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene „Turmrätsel“, und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

== Schriften ==
* ''Michaelis Scoti Astrologia cum figuris'' (Liber introductorius) – [[Bayerische Staatsbibliothek|BSB]] ''Clm 10268'' {{ULBDD|urn:nbn:de:bvb:12-bsb00002270-2}}
* [[Aristoteles]]: ''De Animalibus. Part three, Books XV–XIX: Generation of animals.'' Michael Scot’s Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* ''Liber de signis.'' In: Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99–281 (Erst-Edition und deutsche Übersetzung, sowie Edition des ''Firmamentum celi'' ohne Übersetzung).

== Literatur ==
* [[Silke Ackermann]]: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009 (Dissertation, Frankfurt 1996).
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II’s Philosopher''. In: ''Federico II e le nuove culture. Atti del XXXI Convegno storico internazionale, Todi, 9-12 ottobre 1994''. Centro italiano di studi sull’alto medioevo, Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: [[Gunther Wolf (Historiker)|Gunther Wolf]] (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter'' (= ''Miscellanae Mediaevalia.'' Band 18). Berlin 1986, S. 141–160.
* Lorenzo Minuo-Paluello: ''Michael Scot'', [[Dictionary of Scientific Biography]], Band 9, S. 361–365
* Piero Morpurgo: ''Scot [Scott], Michael'', Oxford [[Dictionary of National Biography]] 2004
* {{BBKL|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070629173550/http://www.bautz.de/bbkl/m/michael_sco.shtml |autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}
* [[Lynn Thorndike]]: ''Michael Scot''. London und Edinburgh 1965.
* [[Nigel F. Palmer]]: ''Scotus, Michael.'' In: ''[[Verfasserlexikon]].'' 2. Auflage. Band 8, Sp. 966–971.
* Hans H. Lauer: ''Michael Scotus.'' In: [[Werner E. Gerabek]], Bernhard D. Haage, [[Gundolf Keil]], Wolfgang Wegner (Hrsg.): ''Enzyklopädie Medizingeschichte.'' De Gruyter, Berlin/New York 2005, ISBN 3-11-015714-4, S. 986.

== Siehe auch ==
* [[Lateinische Übersetzungen im Hochmittelalter]]

== Weblinks ==
* {{MacTutor|id=Scot|title=Michael Scot|author=T.C. Scott, P. Marketos}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=118733613|LCCN=n83318295|VIAF=89415245}}

{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
[[Kategorie:Philosoph des Mittelalters]]
[[Kategorie:Mediziner des Mittelalters]]
[[Kategorie:Alchemist]]
[[Kategorie:Astrologe]]
[[Kategorie:Übersetzer aus dem Arabischen]]
[[Kategorie:Übersetzer ins Latein]]
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[[Kategorie:Erzbischof von Cashel]]
[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 13. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scotus, Michael
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=mittelalterlicher Philosoph, Mediziner, Alchemist und Astrologe
|GEBURTSDATUM=um 1180
|GEBURTSORT=
|STERBEDATUM=um 1235
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}}

Positronium

2017-10-16T10:22:30Z

TonyMath: /* c^{2n} -> 1/c^{2n} */

'''Positronium''' <math>e^-e^+\!\,</math> ist ein [[exotische Atome|exotisches Atom]], das aus einem [[Elektron]] <math>e^-\!\,</math> und seinem [[Antiteilchen]], dem [[Positron]] <math>e^+\!\,</math>, besteht.

== Eigenschaften ==
Es wird zwischen ''Ortho-'' und ''Parapositronium'' unterschieden. Während die [[Spin]]s von Elektron und Positron (jeweils 1/2) beim Orthopositronium gleichgerichtet sind, der Gesamtspin des Systems also 1 beträgt, sind sie im Parapositronium entgegengerichtet, wodurch der Gesamtspin hier 0 beträgt.

Elektron und Positron [[Annihilation|annihilieren]], so dass das Positronium nur eine geringe [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]] hat. Parapositronium zerfällt mit einer mittleren Lebensdauer von 0,125 [[Nanosekunde|ns]] in zwei [[Photon]]en.<ref>{{Literatur | Autor=A. H. Al-Ramadhan, D. W. Gidley | Titel=New precision measurement of the decay rate of singlet positronium | Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. | Band=72 | Nummer=11 | Jahr=1994 | Seiten=1632-1635 | DOI=10.1103/PhysRevLett.72.1632}}</ref> Orthopositronium kann aus Gründen der Invarianz unter [[Ladungskonjugation]] nur in eine ungerade Zahl Photonen zerfallen, aus Gründen der [[Lorentzinvarianz]] (Energie-Impulserhaltung) also mindestens drei. Da dieser Prozess weniger wahrscheinlich ist, hat es mit 142 ns die erheblich längere Lebensdauer.<ref>{{Literatur | Autor=R. S. Vallery, P. W. Zitzewitz, D. W. Gidley | Titel=Resolution of the Orthopositronium-Lifetime Puzzle | Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. | Band=90 | Nummer=20 | Jahr=2003 | Seiten=203402 | DOI=10.1103/PhysRevLett.90.203402}}</ref>

Zur Berechnung des Radius im Grundzustand genügt das [[Bohrsches Atommodell|Bohrsche Atommodell]]:

:<math>r = n^2 \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{\mu e^2} = 0{,}106\,\textrm{nm} \qquad
\textrm{mit} \qquad n=1 </math> (Hauptquantenzahl)<math> \qquad \textrm{und} \qquad \mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}=\frac{m_e}{2} \,\,\,</math> (<math>m_e</math> ist die Masse des Elektrons, <math>m_p</math> die Masse des Positrons).

Dies entspricht dem doppelten Radius der Elektronenschale des Grundzustandes des Wasserstoffatoms.

Positronium kann ebenfalls durch eine besondere Form der Zwei-Körper-Dirac-Gleichung behandelt werden. Ein System von zwei Punktteilchen mit [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-Wechselwirkung]] lässt sich im (relativistischen) [[Schwerpunktsystem|Impulsraum exakt separieren]]. Die resultierende [[Gebundener Zustand|Grundzustandsenergie]] ist von J. Shertzer<ref name="Shertzer"/> mit einer [[Finite-Elemente-Methode]] sehr genau berechnet worden.

Die Dirac-Gleichung mit einem Hamilton-Operator für zwei Dirac-Teilchen und einem statischen Coulomb-Potential ist nicht relativistisch invariant. Fügt man jedoch die Terme mit <math>1/c^{2n}</math>, <math>n=1,2 \ldots</math>, hinzu (oder <math>\alpha^{2n}</math>, wobei <math>\alpha</math> die [[Feinstrukturkonstante]] ist), so ist das Ergebnis relativistisch invariant. Nur der führende Term wird berücksichtigt. Der Beitrag zur Ordnung <math>\alpha^2</math> ist der Breit-Term; der Term zur Ordnung <math>\alpha^4</math> wird jedoch selten verwendet, weil in Ordnung <math>\alpha^3</math> bereits der Lamb-Shift auftritt, welcher [[Quantenelektrodynamik]] erfordert. <ref name="Shertzer">{{cite journal |last=Scott |first=T.C. |last2=Shertzer |first2=J. |last3=Moore |first3=R.A. |date=1992 |title=Accurate finite element solutions of the two-body Dirac equation |journal=[[Physical Review A]] |volume=45 |pages=4393–4398 |doi=10.1103/PhysRevA.45.4393 |bibcode=1992PhRvA..45.4393S |pmid=9907514 |issue=7 }}</ref>

== Vorhersage und Entdeckung ==
Theoretisch vorhergesagt wurde das Positronium-Atom 1932 von [[Carl David Anderson]] und z. B. [[Stjepan Mohorovičić]].<ref>{{cite journal| author=S. Mohorovičić | title=Möglichkeit neuer Elemente und ihre Bedeutung für die Astrophysik | journal=Astronomische Nachrichten | year=1934 | volume=253 | issue=4 | pages=93–108 | doi= 10.1002/asna.19342530402}}</ref> Der erste Nachweis gelang 1951 dem Physiker [[Martin Deutsch]] am [[Massachusetts Institute of Technology]].

==Verbindungen==
===Di-Positronium===
''Di-Positronium'', oder auch ''Dipositronium'', ist ein [[Molekül]] aus zwei Positronium-Atomen und damit eine Analogie zum Wasserstoffmolekül aus zwei normalen Wasserstoffatomen. Die Existenz wurde von [[John Archibald Wheeler]] bereits 1946 vorhergesagt und theoretisch beschrieben, das Molekül konnte aber erst 2007 von David Cassidy und Allen Mills experimentell hergestellt und nachgewiesen werden.<ref>''[http://www.newsroom.ucr.edu/cgi-bin/display.cgi?id=1662 Molecules of Positronium Observed in the Laboratory for the First Time].'' Pressemitteilung, [[University of California, Riverside]], 12. September 2007.</ref><ref>Jonathan Fildes: ''[http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6991030.stm Mirror particles form new matter].'' BBC News, 12. September 2007.</ref>

===Positronisches Wasser===
Positronisches Wasser ist ein [[Hypothese|hypothetisches]] kurzlebiges [[wasser]]<nowiki/>ähnliches Molekül aus einem [[Sauerstoff]]- und zwei Positroniumatomen. Im Vergleich zum normalen Wasser werden also die Wasserstoffatome durch Positronium ersetzt.

Jiang und Schrader sagten 1998 auf der Grundlage von [[Quanten-Monte-Carlo]]-Simulationen vorher, dass positronisches Wasser zwar existieren könne, jedoch chemisch nicht so stabil wie normales Wasser sei, da die [[Bindungsenergie]] nur etwa 30 % so groß sei.<ref>{{Literatur
|Autor=N. Jiang, D. M. Schrader
|Titel=Positronic Water, Ps2O
|Sammelwerk=Phys. Rev. Lett.
|Band=81
|Nummer=23
|Seiten=5113
|DOI=10.1103/PhysRevLett.81.5113}}</ref>

In der Praxis wurde positronisches Wasser bislang noch nicht hergestellt.

==Literatur==
*{{Literatur
| Autor=G. Schatz, A. Weidinger
| Titel=Nukleare Festkörperphysik
| Auflage=3.
| Verlag=Teubner Studienbücher
| Ort=Stuttgart
| Jahr=1997
| ISBN=3519230798
}}
*{{Literatur
| Autor=D. B. Cassidy, A. P. Mills Jr.
| Titel=The production of molecular positronium
| Sammelwerk=Nature
| Band=449
| Seiten=195
| DOI=10.1038/nature06094
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://www.mpg.de/bilderBerichteDokumente/dokumentation/pressemitteilungen/2006/pressemitteilung20060220/index.html Presse-Information der Max-Planck-Gesellschaft über Positronium-Ionen]

[[Kategorie:Atomphysik]]

Positronium

2017-10-16T10:13:33Z

TonyMath: /* -> J. Shertzer */

'''Positronium''' <math>e^-e^+\!\,</math> ist ein [[exotische Atome|exotisches Atom]], das aus einem [[Elektron]] <math>e^-\!\,</math> und seinem [[Antiteilchen]], dem [[Positron]] <math>e^+\!\,</math>, besteht.

== Eigenschaften ==
Es wird zwischen ''Ortho-'' und ''Parapositronium'' unterschieden. Während die [[Spin]]s von Elektron und Positron (jeweils 1/2) beim Orthopositronium gleichgerichtet sind, der Gesamtspin des Systems also 1 beträgt, sind sie im Parapositronium entgegengerichtet, wodurch der Gesamtspin hier 0 beträgt.

Elektron und Positron [[Annihilation|annihilieren]], so dass das Positronium nur eine geringe [[Lebensdauer (Physik)|Lebensdauer]] hat. Parapositronium zerfällt mit einer mittleren Lebensdauer von 0,125 [[Nanosekunde|ns]] in zwei [[Photon]]en.<ref>{{Literatur | Autor=A. H. Al-Ramadhan, D. W. Gidley | Titel=New precision measurement of the decay rate of singlet positronium | Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. | Band=72 | Nummer=11 | Jahr=1994 | Seiten=1632-1635 | DOI=10.1103/PhysRevLett.72.1632}}</ref> Orthopositronium kann aus Gründen der Invarianz unter [[Ladungskonjugation]] nur in eine ungerade Zahl Photonen zerfallen, aus Gründen der [[Lorentzinvarianz]] (Energie-Impulserhaltung) also mindestens drei. Da dieser Prozess weniger wahrscheinlich ist, hat es mit 142 ns die erheblich längere Lebensdauer.<ref>{{Literatur | Autor=R. S. Vallery, P. W. Zitzewitz, D. W. Gidley | Titel=Resolution of the Orthopositronium-Lifetime Puzzle | Sammelwerk=Phys. Rev. Lett. | Band=90 | Nummer=20 | Jahr=2003 | Seiten=203402 | DOI=10.1103/PhysRevLett.90.203402}}</ref>

Zur Berechnung des Radius im Grundzustand genügt das [[Bohrsches Atommodell|Bohrsche Atommodell]]:

:<math>r = n^2 \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{\mu e^2} = 0{,}106\,\textrm{nm} \qquad
\textrm{mit} \qquad n=1 </math> (Hauptquantenzahl)<math> \qquad \textrm{und} \qquad \mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}=\frac{m_e}{2} \,\,\,</math> (<math>m_e</math> ist die Masse des Elektrons, <math>m_p</math> die Masse des Positrons).

Dies entspricht dem doppelten Radius der Elektronenschale des Grundzustandes des Wasserstoffatoms.

Positronium kann ebenfalls durch eine besondere Form der Zwei-Körper-Dirac-Gleichung behandelt werden. Ein System von zwei Punktteilchen mit [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-Wechselwirkung]] lässt sich im (relativistischen) [[Schwerpunktsystem|Impulsraum exakt separieren]]. Die resultierende [[Gebundener Zustand|Grundzustandsenergie]] ist von J. Shertzer<ref name="Shertzer"/> mit einer [[Finite-Elemente-Methode]] sehr genau berechnet worden.

Die Dirac-Gleichung mit einem Hamilton-Operator für zwei Dirac-Teilchen und einem statischen Coulomb-Potential ist nicht relativistisch invariant. Fügt man jedoch die Terme mit <math>c^{2n}</math>, <math>n=1,2 \ldots</math>, hinzu (oder <math>\alpha^{2n}</math>, wobei <math>\alpha</math> die [[Feinstrukturkonstante]] ist), so ist das Ergebnis relativistisch invariant. Nur der führende Term wird berücksichtigt. Der Beitrag zur Ordnung <math>\alpha^2</math> ist der Breit-Term; der Term zur Ordnung <math>\alpha^4</math> wird jedoch selten verwendet, weil in Ordnung <math>\alpha^3</math> bereits der Lamb-Shift auftritt, welcher [[Quantenelektrodynamik]] erfordert. <ref name="Shertzer">{{cite journal |last=Scott |first=T.C. |last2=Shertzer |first2=J. |last3=Moore |first3=R.A. |date=1992 |title=Accurate finite element solutions of the two-body Dirac equation |journal=[[Physical Review A]] |volume=45 |pages=4393–4398 |doi=10.1103/PhysRevA.45.4393 |bibcode=1992PhRvA..45.4393S |pmid=9907514 |issue=7 }}</ref>

== Vorhersage und Entdeckung ==
Theoretisch vorhergesagt wurde das Positronium-Atom 1932 von [[Carl David Anderson]] und z. B. [[Stjepan Mohorovičić]].<ref>{{cite journal| author=S. Mohorovičić | title=Möglichkeit neuer Elemente und ihre Bedeutung für die Astrophysik | journal=Astronomische Nachrichten | year=1934 | volume=253 | issue=4 | pages=93–108 | doi= 10.1002/asna.19342530402}}</ref> Der erste Nachweis gelang 1951 dem Physiker [[Martin Deutsch]] am [[Massachusetts Institute of Technology]].

==Verbindungen==
===Di-Positronium===
''Di-Positronium'', oder auch ''Dipositronium'', ist ein [[Molekül]] aus zwei Positronium-Atomen und damit eine Analogie zum Wasserstoffmolekül aus zwei normalen Wasserstoffatomen. Die Existenz wurde von [[John Archibald Wheeler]] bereits 1946 vorhergesagt und theoretisch beschrieben, das Molekül konnte aber erst 2007 von David Cassidy und Allen Mills experimentell hergestellt und nachgewiesen werden.<ref>''[http://www.newsroom.ucr.edu/cgi-bin/display.cgi?id=1662 Molecules of Positronium Observed in the Laboratory for the First Time].'' Pressemitteilung, [[University of California, Riverside]], 12. September 2007.</ref><ref>Jonathan Fildes: ''[http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6991030.stm Mirror particles form new matter].'' BBC News, 12. September 2007.</ref>

===Positronisches Wasser===
Positronisches Wasser ist ein [[Hypothese|hypothetisches]] kurzlebiges [[wasser]]<nowiki/>ähnliches Molekül aus einem [[Sauerstoff]]- und zwei Positroniumatomen. Im Vergleich zum normalen Wasser werden also die Wasserstoffatome durch Positronium ersetzt.

Jiang und Schrader sagten 1998 auf der Grundlage von [[Quanten-Monte-Carlo]]-Simulationen vorher, dass positronisches Wasser zwar existieren könne, jedoch chemisch nicht so stabil wie normales Wasser sei, da die [[Bindungsenergie]] nur etwa 30 % so groß sei.<ref>{{Literatur
|Autor=N. Jiang, D. M. Schrader
|Titel=Positronic Water, Ps2O
|Sammelwerk=Phys. Rev. Lett.
|Band=81
|Nummer=23
|Seiten=5113
|DOI=10.1103/PhysRevLett.81.5113}}</ref>

In der Praxis wurde positronisches Wasser bislang noch nicht hergestellt.

==Literatur==
*{{Literatur
| Autor=G. Schatz, A. Weidinger
| Titel=Nukleare Festkörperphysik
| Auflage=3.
| Verlag=Teubner Studienbücher
| Ort=Stuttgart
| Jahr=1997
| ISBN=3519230798
}}
*{{Literatur
| Autor=D. B. Cassidy, A. P. Mills Jr.
| Titel=The production of molecular positronium
| Sammelwerk=Nature
| Band=449
| Seiten=195
| DOI=10.1038/nature06094
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://www.mpg.de/bilderBerichteDokumente/dokumentation/pressemitteilungen/2006/pressemitteilung20060220/index.html Presse-Information der Max-Planck-Gesellschaft über Positronium-Ionen]

[[Kategorie:Atomphysik]]

Michael Scotus

2017-07-06T11:18:39Z

TonyMath: /* Juni 29 -> Juni */

'''Michael Scotus''' (* um [[1175]] in Schottland; † um [[1234]]) war ein [[scholastisch]]er [[Philosoph]], Übersetzer, [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde er durch lateinische Übersetzungen von [[Avicenna]] (''De animalibus'') sowie [[Aristoteles]] (''De animalibus'') sowie ihm zugeschriebene und im Falle von ''De caelo'' wohl auch wirklich von ihm selbst durchgeführte Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, leitet sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen ab. Aber wann und wo das genau passierte, ist nicht mehr nachvollziehbar. Einige neuere Quellen gehen von um 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist aber das späte 12. Jahrhundert. Ebenfalls unbekannt ist seine schulische Laufbahn, aber seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein und da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man hier auch auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt dagegen ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte. Bis ins 15. Jahrhundert gab es keine in Schottland. Wann er die [[Britannien|britischen Inseln]] oder [[Schottland]] verließ, weiß man wiederum nicht, aber dass er nicht zurückkehrte, zumindest nicht lebendig.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des (frühen) Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johannes Hispalensis | Johannes von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes und zwar des ''Kitab fi l-hai'a'' des [[Alpetragius]], der zu dieser Zeit noch auf der [[Spanien|spanischen Halbinsel]] lebte.

Wie lange Michael Scotus vor 1217 schon in Toledo lebte, ist wiederum unbekannt. Eine kürzliche Studie eines Textes von Michael Scot zu [[Regenbogen#Terti.C3.A4re_und_quart.C3.A4re_Regenb.C3.B6gen|multiplen Regenbögen]], einem Phänomen das erst vor kurzen in der modernen Physik durch aktuelle Beobachtungen verstanden wurde, legt nahe, dass Michael Scot sogar Kontakt zu den [[Tuareg]] in der Wüste Sahara gehabt haben könnte.<ref>{{cite web|language=Englisch|first=Tony |last=Scott| url = http://www.historiographyofscience.org/index.php/transversal/article/view/28/43 | title = Michael Scot and the Four Rainbows | publisher = Transversal: International Journal for the Historiography of Science| issue=2| pages=204-255| format = PDF | date = Juni, 2017}}</ref> Aber man weiß, dass er noch vor 1220 die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzte, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruhm als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die ihm zugeschriebenen Übersetzungen der [[Averroës]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren erhalten geblieben, wovon wahrscheinlich einige am Hofe [[Friedrich II. (HRR)|Friedrichs II.]] vollendet wurden. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert ist und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich in höchsten Tönen über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußerte, aber nicht das Griechische erwähnt.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer kleineren medizinischen Tätigkeit nachzugehen. Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger Papst [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof]] von [[Cashel (Tipperary)|Cashel]] in [[Republik Irland|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der irischen Sprache nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als "besten Philosoph" titulierte.

Die zweite Auflage des "Liber Abaci", des berühmten Mathematikbuches von [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]], aus dem Jahr 1227 war Michael Scot gewidmet. Daraus ist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle spielte bei Fibonacci's Darstellung der Zahlenfolge, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =2014-03-08| accessdate=2014-03-23| offline=}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte nämlich auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb hier am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert worden, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Und zwar sollte er die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Doch Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

== Liber Introductorius ==
Der ''Liber Introductorius'' ist in drei verschieden Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf den Heiligen [[Franz von Assisi|Franziskus]] hingewiesen. Und dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus' Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus' Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombardei|Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Seit Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236<ref>gemäß [[Nigel F. Palmer]] auf 1234 datierbar.</ref> am Hof Friedrichs II. entstandenen politischen Gedicht erwähnt der normannische Dichter [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, dass Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene "Turmrätsel", und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

== Werke ==
* [[Aristoteles]]: ''De Animalibus. Part three, Books XV–XIX: Generation of animals.'' Michael Scot's Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* ''Liber de signis.'' In: Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99–281.

== Literatur ==
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009.
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II’s Philosopher''. In: ''Federico II e le nuove culture. Atti del XXXI Convegno storico internazionale, Todi, 9-12 ottobre 1994''. Centro italiano di studi sull'alto medioevo, Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: [[Gunther Wolf]] (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter'' (= ''Miscellanae Mediaevalia.'' Band 18). Berlin 1986, S. 141–160.
* {{BBKL|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070629173550/http://www.bautz.de/bbkl/m/michael_sco.shtml |autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}
* [[Lynn Thorndike]]: ''Michael Scot''. London 1965.
* [[Nigel F. Palmer]]: ''Scotus, Michael.'' In: ''[[Verfasserlexikon]].'' Band VIII, Sp. 966–971.

== Siehe auch ==
* [[Lateinische Übersetzungen im Hochmittelalter]]

== Weblinks ==
* {{MacTutor|id=Scot|title=Michael Scot|author=T.C. Scott, P. Marketos}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=118733613|LCCN=n/83/318295|VIAF=89415245}}

{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
[[Kategorie:Philosoph des Mittelalters]]
[[Kategorie:Mediziner des Mittelalters]]
[[Kategorie:Alchemist]]
[[Kategorie:Astrologe]]
[[Kategorie:Übersetzer]]
[[Kategorie:Römisch-katholischer Bischof (13. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Zauberer]]
[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 13. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scotus, Michael
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=mittelalterlicher Philosoph, Mediziner, Alchemist und Astrologe
|GEBURTSDATUM=um 1175
|GEBURTSORT=Schottland
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}}

Michael Scotus

2017-07-05T12:10:43Z

TonyMath: /* -> Transversal artikel */

'''Michael Scotus''' (* um [[1175]] in Schottland; † um [[1234]]) war ein [[scholastisch]]er [[Philosoph]], Übersetzer, [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde er durch lateinische Übersetzungen von [[Avicenna]] (''De animalibus'') sowie [[Aristoteles]] (''De animalibus'') sowie ihm zugeschriebene und im Falle von ''De caelo'' wohl auch wirklich von ihm selbst durchgeführte Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, leitet sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen ab. Aber wann und wo das genau passierte, ist nicht mehr nachvollziehbar. Einige neuere Quellen gehen von um 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist aber das späte 12. Jahrhundert. Ebenfalls unbekannt ist seine schulische Laufbahn, aber seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein und da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man hier auch auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt dagegen ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte. Bis ins 15. Jahrhundert gab es keine in Schottland. Wann er die [[Britannien|britischen Inseln]] oder [[Schottland]] verließ, weiß man wiederum nicht, aber dass er nicht zurückkehrte, zumindest nicht lebendig.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des (frühen) Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johannes Hispalensis | Johannes von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes und zwar des ''Kitab fi l-hai'a'' des [[Alpetragius]], der zu dieser Zeit noch auf der [[Spanien|spanischen Halbinsel]] lebte.

Wie lange Michael Scotus vor 1217 schon in Toledo lebte, ist wiederum unbekannt. Eine kürzliche Studie eines Textes von Michael Scot zu [[Regenbogen#Terti.C3.A4re_und_quart.C3.A4re_Regenb.C3.B6gen|multiplen Regenbögen]], einem Phänomen das erst vor kurzen in der modernen Physik durch aktuelle Beobachtungen verstanden wurde, legt nahe, dass Michael Scot sogar Kontakt zu den [[Tuareg]] in der Wüste Sahara gehabt haben könnte.<ref>{{cite web|language=Englisch|first=Tony |last=Scott| url = http://www.historiographyofscience.org/index.php/transversal/article/view/28/43 | title = Michael Scot and the Four Rainbows | publisher = Transversal: International Journal for the Historiography of Science| issue=2| pages=204-255| format = PDF | date = Juni 29, 2017}}</ref> Aber man weiß, dass er noch vor 1220 die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzte, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruhm als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die ihm zugeschriebenen Übersetzungen der [[Averroës]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren erhalten geblieben, wovon wahrscheinlich einige am Hofe [[Friedrich II. (HRR)|Friedrichs II.]] vollendet wurden. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert ist und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich in höchsten Tönen über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußerte, aber nicht das Griechische erwähnt.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer kleineren medizinischen Tätigkeit nachzugehen. Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger Papst [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof]] von [[Cashel (Tipperary)|Cashel]] in [[Republik Irland|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der irischen Sprache nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als "besten Philosoph" titulierte.

Die zweite Auflage des "Liber Abaci", des berühmten Mathematikbuches von [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]], aus dem Jahr 1227 war Michael Scot gewidmet. Daraus ist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle spielte bei Fibonacci's Darstellung der Zahlenfolge, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =2014-03-08| accessdate=2014-03-23| offline=}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte nämlich auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb hier am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert worden, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Und zwar sollte er die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Doch Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

== Liber Introductorius ==
Der ''Liber Introductorius'' ist in drei verschieden Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf den Heiligen [[Franz von Assisi|Franziskus]] hingewiesen. Und dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus' Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus' Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombardei|Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Seit Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236<ref>gemäß [[Nigel F. Palmer]] auf 1234 datierbar.</ref> am Hof Friedrichs II. entstandenen politischen Gedicht erwähnt der normannische Dichter [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, dass Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene "Turmrätsel", und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

== Werke ==
* [[Aristoteles]]: ''De Animalibus. Part three, Books XV–XIX: Generation of animals.'' Michael Scot's Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* ''Liber de signis.'' In: Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99–281.

== Literatur ==
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009.
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II’s Philosopher''. In: ''Federico II e le nuove culture. Atti del XXXI Convegno storico internazionale, Todi, 9-12 ottobre 1994''. Centro italiano di studi sull'alto medioevo, Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: [[Gunther Wolf]] (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter'' (= ''Miscellanae Mediaevalia.'' Band 18). Berlin 1986, S. 141–160.
* {{BBKL|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070629173550/http://www.bautz.de/bbkl/m/michael_sco.shtml |autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}
* [[Lynn Thorndike]]: ''Michael Scot''. London 1965.
* [[Nigel F. Palmer]]: ''Scotus, Michael.'' In: ''[[Verfasserlexikon]].'' Band VIII, Sp. 966–971.

== Siehe auch ==
* [[Lateinische Übersetzungen im Hochmittelalter]]

== Weblinks ==
* {{MacTutor|id=Scot|title=Michael Scot|author=T.C. Scott, P. Marketos}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=118733613|LCCN=n/83/318295|VIAF=89415245}}

{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
[[Kategorie:Philosoph des Mittelalters]]
[[Kategorie:Mediziner des Mittelalters]]
[[Kategorie:Alchemist]]
[[Kategorie:Astrologe]]
[[Kategorie:Übersetzer]]
[[Kategorie:Römisch-katholischer Bischof (13. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Zauberer]]
[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 13. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scotus, Michael
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=mittelalterlicher Philosoph, Mediziner, Alchemist und Astrologe
|GEBURTSDATUM=um 1175
|GEBURTSORT=Schottland
|STERBEDATUM=um 1232
|STERBEORT=
}}

Lambertsche W-Funktion

2016-08-30T03:54:14Z

TonyMath: /* -> Aude Maignan */

[[Datei:Lambert-w.svg|mini|288px|rechts|Der Graph von ''W''(''x'') für ''W'' > −4 und ''x'' < 6. Der obere Zweig ''W'' ≥ −1 ist die Funktion ''W''0 (principal branch), der untere Zweig mit ''W'' ≤ −1 ist die Funktion ''W''−1.]]
In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''' oder '''Produktlogarithmus''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f(x):= x e^x,\,</math>
wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet. Es gilt
: <math>z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.</math>

== Eigenschaften ==
[[Datei:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|mini|400px|Die zwei Funktionsäste <math>W_0</math> und <math>W_{-1}</math>]]
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1e,0\right)</math> zwei Funktionsäste <math>W_0(x)</math> und <math>W_{-1}(x)</math>. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.

Die Ableitungsfunktion eines Astes der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden (an der Stelle <math>-1/e</math> existiert die Ableitung nicht, ihr Betrag wächst bei hinreichender Annäherung an diese Stelle in jedem Ast über alle Schranken):
: <math>W'(x)=\lim_{\xi \to x} \frac{W(\xi)}{\xi (1+W(\xi))} \text{ für } x>-\frac {1}{e}</math>

Insbesondere ergibt sich daraus <math>W'_0(0)=1</math> für den oberen Ast (der untere Ast ist für <math>x\ge 0</math> gar nicht definiert). An allen anderen Stellen des jeweiligen Definitionsbereiches braucht man nur <math>\xi</math> durch <math>x</math> und dann <math>W(x)</math> durch <math>W_0(x)</math> oder <math>W_{-1}(x)</math> zu ersetzen, um den Grenzübergang auszuführen und damit die Ableitung des jeweiligen Astes an einer Stelle <math>x</math> zu erhalten.

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n}=\frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (n t+ 3n-1)\cdot P_n(t)-(t+1)\cdot P_n'(t), \quad n \ge 1</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>W''(x)\,\,=-\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2)</math>
: <math>W^{(3)}(x)=+\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9)</math>
: <math>W^{(4)}(x)=-\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x) +36W^2(x) +79W(x) +64)</math>

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C</math>

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> in <math>x_0=0</math> ist gegeben durch
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1e</math>.

== Spezielle Werte ==

: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904\dots = \Omega</math>   (die Omega-Konstante<ref>''[[:en:Omega constant|Omega constant]]'' in der englischsprachigen Wikipedia.</ref>)
: <math>W\left(e\right) = 1</math>

=== Eigenschaften ===

* <math>\int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>\, a(x)e^{a(x)}=y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung
: <math>\, x^x=z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der infinite (unendliche) [[Potenzturm]]
: <math>\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:
: <math>\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===
Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)
</math>
wobei ''a''0, ''c'' und ''r'' reelle Konstanten sind. Die Lösung ist <math> x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion<ref>T. C. Scott, R. B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function.'' In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing).'' '''17''' Nr. 1, April 2006. S. 41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel.]</ref><ref>{{cite journal | first=T. C. | last=Scott | first2=G. | last2=Fee | first3=J.| last3=Grotendorst| year=2013 | title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function | journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) | volume=47 | issue=185 | pages=75–83| url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html}}</ref><ref>{{cite journal | first=T. C. | last=Scott | first2=G. | last2=Fee | first3=J.| last3=Grotendorst| first4=W. Z. | last4=Zhang| year=2014| title=Numerics of the Generalized Lambert W Function| journal=SIGSAM | volume=48 | issue=188 | pages=42–56| url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue188.html}}</ref> umfassen:
* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] ([[Quantengravitation]]) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity'',<ref>P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation.'' In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, S. 4647–4659. [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18 iop.org]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel.]</ref> wobei die rechte Seite von (1) nun ein quadratisches Polynom in ''x'' ist:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
</math>
: Hierbei sind ''r''1 und ''r''2 voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments ''x'', aber ''r''i und ''a''0 sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der [[Meijersche G-Funktion|Meijerschen G-Funktion]], aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn ''r''1 = ''r''2, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gl. (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion.'' In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. S. 323–338. {{DOI|10.1016/j.chemphys.2005.10.031}}; [http://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel.]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in ''x'':
: <math>
e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
</math>
: wobei ''r''i und ''s''i unterschiedliche reelle Konstanten sind, und ''x'' ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands ''R''. Gl. (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Mit Hilfe von Hardys Begriff der "falschen Ableitung" wurden exakte mehrfache Wurzeln für spezielle Fälle von Gl.(3) gefunden.<ref>{{cite journal |first=Aude |last=Maignan |first2=T. C. |last2=Scott |year=2016|title=Fleshing out the Generalized Lambert W Function|journal=SIGSAM |volume=50 |issue=2|pages=45–60|doi=10.1145/2992274.2992275}}</ref>. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.<ref>T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions.'' In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A.]]'' 75:060101, 2007. [http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes scitation.aip.org.]</ref>

== Numerische Berechnung ==

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden.<ref name="Corless">Corless u. a.: [http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf ''On the Lambert W function.''] (PDF; 311 kB). In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, S. 329–359.</ref>
Alternativ kann auch das [[Newton-Verfahren]] zur Lösung der Gleichung <math>w e^w - z = 0</math> verwendet werden:
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+e^{w_j} w_j}</math>.

== Tabelle reeller Funktionswerte ==

<math>W_0,</math> oberer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0{,}3679 & -0{,}34 & -0{,}2& 0&0{,}3&0{,}7&1{,}2&2&3&4&6&10&20&40&+\infty \\
\hline
y & -1 & -0{,}6537 & -0{,}2592 & 0 & 0{,}2368 & 0{,}4475 & 0{,}6356 & 0{,}8526 & 1{,}0499 & 1{,}2022 & 1{,}4324 & 1{,}7455 & 2{,}205 & 2{,}6968 & +\infty \\
\end{array}
</math>
<math>W_{-1},</math> unterer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0{,}3679 & -0{,}365 & -0{,}355& -0{,}31& -0{,}25 & -0{,}18 & -0{,}1 & -0{,}05 & -0{,}025 & -0{,}01 & -0{,}005 & -0{,}001 & -0{,}0001&0\\
\hline
y &-1 &-1{,}1307 & -1{,}2912 & -1{,}7044 & -2{,}1533 & -2{,}7128 & -3{,}5772 & -4{,}4998 & -5{,}3696 & -6{,}4728 & -7{,}284 & -9{,}118 & -11{,}6671&-\infty\\
\end{array}
</math>
Andere Werte lassen sich leicht über <math> x = y\, e^y</math> berechnen.

Eine Näherung von <math>W_0(x)</math> für große <math>x</math> ist<ref>{{MathWorld |id = LambertW-Function |title = Lambert W-Function}}</ref>
:<math>W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Quantengravitation

2016-04-19T17:44:39Z

TonyMath: /* Scott et al. */

Die '''Quantengravitation''' ist eine sich derzeit noch in Entwicklung befindliche Theorie, welche die [[Quantenphysik]] und die [[allgemeine Relativitätstheorie]], also die beiden großen physikalischen Theorien des 20. Jahrhunderts, vereinigen soll. Während die allgemeine Relativitätstheorie nur eine der vier [[Grundkräfte der Physik|Elementarkräfte]] des Universums beschreibt, nämlich die [[Gravitation]], behandelt die Quantentheorie die anderen drei Elementarkräfte ([[elektromagnetische Wechselwirkung]], [[schwache Wechselwirkung]] und [[starke Wechselwirkung]]). Die Vereinigung dieser beiden Theorien ist unter anderem wegen ihrer Überschneidungen, aber auch wegen abweichender [[Wissenschaftstheorie|wissenschaftsphilosophischer]] Konsequenzen notwendig.

== Hintergründe ==
Generell beschreibt die allgemeine Relativitätstheorie den Aufbau des [[Universum|Universums]] im Großen und ist bei großen [[Masse (Physik)|Massen]] und [[Beschleunigung|Beschleunigungen]] praktikabel. Die Quantentheorie hingegen beschreibt die [[Grundkräfte der Physik|Wechselwirkung]] zwischen kleinsten [[Elementarteilchen|Teilchen]] in kleinen Raumgebieten. Obwohl die Gravitation die schwächste der Elementarkräfte ist, bestimmt sie das [[Physikalismus (Ontologie)|Weltbild der Physik]]: Sie ist die einzige der vier Elementarkräfte, die, nach heutiger Kenntnis, ausschließlich anziehend wirkt, da es nur ''eine'' Gravitationsladung (die Masse) gibt, und sich somit nicht entgegengesetzte Ladungen gegenseitig aufheben können. Die anderen Elementarkräfte hingegen sind nur für mikroskopische Prozesse von Bedeutung – mit Ausnahme der elektromagnetischen Wechselwirkung, die durchaus makroskopische und im Fall von interstellarem Plasma oder den Magnetfeldern von beispielsweise Sonne und Erde auch kosmische Maßstäbe erreicht. Überschneidungen beider Theorien treten in einigen Extremfällen auf:

* Der [[Urknall]] stellt im Modell der allgemeinen Relativitätstheorie ein Problem dar, da hier die Krümmung der [[Raumzeit]] unendlich wird (sogenannte [[Singularität (Astronomie)|Singularität]]), womit die Gesetze der allgemeinen Relativitätstheorie außer Kraft gesetzt werden sowie [[Dichte]] und [[Temperatur]] extreme Werte annehmen.
* Bei [[schwarzes Loch|schwarzen Löchern]], welche durch ihre enorme Masse einhergehend mit ihrer geringen Größe die Raumzeit ebenfalls bis zur Singularität krümmen.

Einige Physiker verbinden mit der noch zu formulierenden Vereinigung der Gravitation mit den anderen Elementarkräften die Hoffnung, dass in einer solchen Theorie keine formal unendlichen [[Term]]e mehr auftreten, und sich Extremfälle, in denen alle Elementarkräfte gleichermaßen berücksichtigt werden müssen, dann berechnen lassen.
Zusätzlich gilt die Quantengravitation als möglicher Kandidat einer [[Weltformel|TOE]] ('''T'''heory '''O'''f '''E'''verything).

== Probleme ==
Bisher widersetzt sich die Gravitation allerdings beharrlich den Versuchen der Physiker, sie in das ''Quantenmodell'' einzufügen. Dieses beruht darauf, dass alle Kräfte in ''Elementarportionen'', die ''Quanten'', aufgeteilt werden. Die so zerlegten Kräfte lassen sich in der Quantentheorie und nur dort exakt berechnen und erklären. Die Gravitation allerdings lässt sich nicht so einfach zerlegen und so werden heute Theorien aufgestellt, die dies ermöglichen sollen.

Die wesentliche Problematik bei der Formulierung einer Theorie der Quantengravitation besteht darin, dass etablierte Methoden, die von anderen [[Quantenfeldtheorie]]n bekannt sind, sich nicht unmittelbar auf die [[Allgemeine Relativitätstheorie]] übertragen lassen. Insbesondere scheitert die störungstheoretische [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] und [[Renormierung]] der Gravitation. Versucht man, die Theorie mittels Gravitonen und deren Wechselwirkungen (mittels [[Feynmandiagramm]]en) zu konstruieren, so findet man die aus anderen Quantenfeldtheorien bekannten Unendlichkeiten; die Eliminierung dieser Unendlichkeiten ist jedoch mit den etablierten Methoden nicht möglich. Für eine Theorie der Quantengravitation müssen also zwingend neue Methoden zur Quantisierung bzw. Renormierung konstruiert werden.

== Kandidaten für eine Theorie der Quantengravitation ==

Ein Anwärter für die Quantengravitation ist die [[Stringtheorie]], in der alle Elementarteilchen durch eindimensionale Strings repräsentiert werden. Allerdings lässt sich diese Theorie nach bisherigem Kenntnisstand nur in einem 10-, 11- oder 26-dimensionalen Universum formulieren. Außerdem ist unklar, ob und in welcher Weise sie das bekannte [[Standardmodell]] der Elementarteilchen reproduziert.

Eine Alternative ist die [[Schleifenquantengravitation]] (auch ''Loop-Quantengravitation LQG''), in welcher auch Raum und Zeit gequantelt sind. Im Zuge der Schleifenquantengravitation wird die Allgemeine Relativitätstheorie zunächst als [[Eichtheorie]] umformuliert, sowie eine modifizierte Quantisierungsvorschrift angewandt. Es ist heute (2015) noch nicht endgültig geklärt, ob die so definierte Theorie in sich konsistent ist und ob sie im klassischen Grenzfall die Ergebnisse der Allgemeinen Relativitätstheorie reproduziert.

Eine weitere Alternative ist der Ansatz der sogenannten asymptotischen Sicherheit, einer Verallgemeinerung der [[Asymptotische Freiheit|asymptotischen Freiheit]], der eine nicht-störungstheoretische Quantisierung und Renormierung der Allgemeinen Relativitätstheorie zum Ziel hat. Dabei werden die oben genannten Probleme der störungstheoretischen Quantisierung vermieden; die [[Kopplungskonstante]]n sowie physikalischen Größen wie [[Streuamplitude]]n bleiben endlich.

Die kausale dynamische Triangulation stellt einen Ansatz dar, die Gravitation in einer diskretisierten Variante vergleichbar der [[Gittereichtheorie]] mittels [[Pfadintegral]]quantisierung und [[Monte-Carlo-Simulation]] zu lösen. Diese Formulierung erlaubt die Berechnung verschiedener „Phasen“ der Quantengravitation; im langreichweitigen Limes resultiert automatisch ein [[De-Sitter-Modell|de Sitter-Universum]], das heißt die kausale dynamische Triangulation reproduziert möglicherweise ohne zusätzliche Annahmen ein Universum mit nicht-verschwindender [[Kosmologische Konstante|kosmologischer Konstante]] und [[Expansion des Universums|beschleunigter Expansion]].

Die [[Supergravitation]] bezeichnet eine Klasse von Feldtheorien, die aus Erweiterungen der Allgemeinen Relativitätstheorie um [[Supersymmetrie|supersymmetrische]] Felder, insbesondere um das hypothetische [[Gravitino]] als Spin-3/2-Partner des (ebenfalls hypothetischen) Spin-2-[[Graviton]]s, resultieren. Verschiedene Klassen der Supergravitation ergeben sich als Grenzfälle von [[Superstringtheorie]]n im Limes verschwindender Stringlänge. Die Idee hinter der Supergravitation besteht darin, dass sie sowohl das [[Standardmodell]] der Elementarteilchen umfassen als auch das Renormierungsproblem lösen soll. Letzteres konnte bis heute (2015) nicht eindeutig bewiesen werden.

Dies sind nur einige Theorien, daneben gibt es noch eine ganze Reihe anderer Erklärungsmodelle.

== Einordnung der Quantengravitation ==
{{Tabelle der Grundkräfte}}

== Siehe auch ==
* [[Quantengeometrie]]
* [[Graviton]]

== Literatur ==
* Robin Schumann: ''Quantengravitation.'' Shaker, Aachen 2006, ISBN 978-3-8322-5683-8
* [[Claus Kiefer]]: ''Quantum gravity.'' Oxford Univ. Press, Oxford 2007, ISBN 0-19-921252-X
* Daniele Oriti: ''Approaches to Quantum Gravity - Toward a New Understanding of Space, Time and Matter.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-86045-1
* Andrés Gomberoff, Donald Marolf: ''Lectures on quantum gravity.'' Springer, New York 2005, ISBN 0-387-23995-2
* [[Carlo Rovelli]]: ''Quantum gravity.'' Univ. Press, Cambridge 2005, ISBN 0-521-83733-2
* Carlo Rovelli: ''Loop Quantum Gravity.'' Living Reviews in Relativity, 2008, [http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2008-5/download/lrr-2008-5Color.pdf PDF], 838 kB
* [[Lee Smolin]]: ''Quantum theories of gravity - results and prospects.''S. 492-527, in: John D. Barrow: ''Science and ultimate reality.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-83113-X
* Lee Smolin: ''[http://u00003.masterssystems.de/Ref/Smolin_Quanten_der_Raumzeit.pdf Quanten der Raumzeit] (PDF; 369 kB)'', aus: [[Spektrum der Wissenschaft]] (März 2004), S. 54–63. {{ISSN|0170-2971}}
* Nick Huggett, et al.: ''Physics meets philosophy at the Planck scale - contemporary theories in quantum gravity.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001, ISBN 0-521-66445-4
* Martin Bojowald: ''Zurück vor den Urknall.'' S. Fischer, Frankfurt a.M. 2009, ISBN 978-3-10-003910-1
* Martin Bojowald: ''Loop Quantum Cosmology.'' Living Reviews in Relativity, 2008, [http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2008-4/download/lrr-2008-4Color.pdf PDF], 1752 kB
* Claus Kiefer: ''Der Quantenkosmos - von der zeitlosen Welt zum expandierenden Universum'' S. Fischer, Frankfurt a.M. 2008, ISBN 978-3-10-039506-1
* Pierre S. Farrugia, Robert B. Mann, Tony C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation'', Class. Quantum Grav. '''24''': 4647–4659, 2007, [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18 Classical and Quantum Gravity, Volume 24, 2007 - IOPscience]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel]
* T.C. Scott, Xiangdong Zhang; Robert Mann, G.J. Fee (2016). "Canonical reduction for dilatonic gravity in 3 + 1 dimensions". Physical Review D '''93''' (8): 084017.

== Weblinks ==
* {{Literatur |Autor=Birgit Bomfleur |Titel=Der Apfel hüpft nicht weit vom Stamm |Jahr=2003 |Monat=Mai |Sammelwerk=Quanten.de Newsletter |ISSN=1618-3770 |Online=[http://www.quanten.de/pdf/quantengravitation.pdf PDF; 261 kB] |Kommentar=Eine leicht verständliche Einführung}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/quantum-gravity/}}
* [http://pirsa.org/C06001 Introduction to quantum gravity] Perimeter Institute Recorded Seminar Archive 2006

[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Fibonacci-Folge

2015-11-19T03:50:59Z

TonyMath: /* mathematisch-historische Analyse */

[[Datei:FibonacciBlocks.svg|mini|Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen]]
Die '''Fibonacci-Folge''' ist die unendliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die (ursprünglich) mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder (häufig, in moderner Schreibweise) zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist.<ref name=OESI2C>{{OEIS|A000045}}</ref> Im Anschluss ergibt jeweils die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl:
{|
| [[Datei:Fibonacci sequence - optional starting with zero.jpg|links|0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …]]
|}
Die darin enthaltenen Zahlen heißen '''Fibonacci-Zahlen'''. Benannt ist die Folge nach [[Leonardo Fibonacci]], der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den [[Antikes Griechenland|Griechen]] als auch den [[Indien|Indern]] bekannt.<ref>{{Cite journal|first=Parmanand|last=Singh|title=The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India|journal=Historia Mathematica|volume=12|issue=3|pages=229–244|year=1985|doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7}}</ref>

Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere [[#Fibonacci-Folgen in der Natur|Wachstumsvorgänge der Pflanzen]] beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.<ref name=GoSecEu>[http://www.golden-section.eu/kapitel5.html Der goldene Schnitt], golden-section.eu, Dr. Dr. Ruben Stelzner in Zusammenarbeit mit Prof. Dr. Wolfgang Schad, abgerufen am 26. Oktober 2015</ref>

Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf:
* Aufgrund der [[#Beziehungen zwischen den Folgegliedern|Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl]] scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen.
* Die Fibonacci-Folge steht in einem unmittelbaren [[#Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt|Zusammenhang zum Goldenen Schnitt]]. Je größer die Zahl der Reihe wird, desto mehr nähert sie sich dem Goldenen Schnitt (1,618033...) als Ergebnis der Division mit der vorhergehenden Zahl (beispielsweise 13:8=1,6250; 21:13=1,6154; 34:21=1,6190; 55:34=1,6176; etc).
* Die Annäherung ist dabei auch noch symmetrisch, d.h. je eine Division nähert sich dem Goldenen Schnitt abwechselnd von oben (ist größer als der Goldene Schnitt) und die darauf folgende Division von unten (ist kleiner als der Goldene Schnitt). Das ist bemerkenswert, da die Natur ebenfalls dem Prinzip der Symmetrie zu folgen scheint.<ref name=GoSecEu/>

== Definition der Fibonacci-Folge ==
Die Fibonacci-Folge <math>f_1,\,f_2,\,f_3,\ldots</math> ist durch das [[Rekursion|rekursive]] Bildungsgesetz

: <math>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}</math>   für <math>n > 2</math>

mit den Anfangswerten

: <math>f_1 = f_2 = 1</math>

definiert. Das bedeutet in Worten:

* Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert ''eins'' vorgegeben.
* Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge.

Daraus ergibt sich:

:{| class="wikitable" style="text-align:right"
! n
! ''f''n
! style="border-left:medium solid" |n
! ''f''n
! style="border-left:medium solid" |n
! ''f''n
! style="border-left:medium solid" |n
! ''f''n
! style="border-left:medium solid" |n
! ''f''n
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 11 || style="border-right:medium solid" | 89
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 21 || style="border-right:medium solid" | 10 946
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 41 || 165 580 141
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 12 || style="border-right:medium solid" | 144
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 22 || style="border-right:medium solid" | 17 711
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 32 || style="border-right:medium solid" | 2 178 309
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 42 || 267 914 296
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 43 || 433 494 437
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 24 || style="border-right:medium solid" | 46 368
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 44 || 701 408 733
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 35 || style="border-right:medium solid" | 9 227 465
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 45 || 1 134 903 170
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 16 || style="border-right:medium solid" | 987
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 26 || style="border-right:medium solid" | 121 393
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 36 || style="border-right:medium solid" | 14 930 352
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 46 || 1 836 311 903
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 47 || 2 971 215 073
|-
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| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 38 || style="border-right:medium solid" | 39 088 169
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|-
|}

Aus der Forderung, dass die Rekursion

: <math>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}</math>

auch für ganze Zahlen <math>n \leq 2</math> gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt:

: <math>f_0 = 0</math>
: <math>f_{-n} = (-1)^{n+1} f_n</math> für alle <math>n > 0</math>

Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann

: <math>\ldots,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots</math>

Darüber hinaus ist eine [[Verallgemeinerte Fibonacci-Folge|Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen]] auf [[komplexe Zahl]]en und auf [[Vektorraum|Vektorräume]] möglich.

== Eigenschaften ==

=== Beziehungen zwischen den Folgegliedern ===
[[Identitätsgleichung|Identitäten]]:
* <math>f_{m+n} = f_{n+1} \; f_m + f_n \; f_{m-1}</math>
* <math>f_{m+n} = f_n\; L_m + (-1)^{m+1} \; f_{n-m}</math> mit der [[Lucas-Folge]] <math>L_m=f_{m+1}+\;f_{m-1}=\Phi^m+\Psi^m</math>, insbesondere:
* <math>f_{2n} = f_n\; L_n = f_n\; (f_{n+1}+f_{n-1})</math>
* <math>f_{2n+1} = f_n^2 + f_{n+1}^2</math>
* <math>f_{n}^2 - f_{n+k} \; f_{n-k}=(-1)^{n-k} f_{k}^2</math> (Identität von [[Eugène Charles Catalan|Catalan]])
* <math>f_{n+1} \; f_{n-1} - f_{n}^2=(-1)^{n} </math> (Identität von [[Giovanni Domenico Cassini|Cassini]], Spezialfall der Catalan-Identität)
* <math>f_{m} \; f_{n+1} - f_{n} \; f_{m+1}=(-1)^{n} f_{m-n} </math> (Identität von [[Philbert Maurice d’Ocagne|d’Ocagne]])

[[Teilbarkeit]]:
* <math>\operatorname{ggT}(f_m,f_n)=f_{\operatorname{ggT}(m,n)}</math>
* Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. <math>\operatorname{ggT}(f_n,f_{n+1})=1</math>.
* <math>m\mid n\Rightarrow f_m\mid f_n</math>; für <math>m>2</math> gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann <math>f_n</math> für <math>n>4</math> nur dann eine [[Primzahl]] sein, wenn <math>n</math> eine Primzahl ist.
* <math>2 \mid f_n \Leftrightarrow 3 \mid n</math> (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.)
* <math>3 \mid f_n \Leftrightarrow 4 \mid n</math> (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.)
* <math>4 \mid f_n \Leftrightarrow 6 \mid n</math> (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.)
* <math>5 \mid f_n \Leftrightarrow 5 \mid n</math> (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.)
* <math>7 \mid f_n \Leftrightarrow 8 \mid n</math> (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.)
* <math>16 \mid f_n \Leftrightarrow 12 \mid n</math> (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.)<ref>Nicolai N. Vorobiev: ''Fibonacci Numbers.'' Birkhäuser, Basel 2002. ISBN 3-7643-6135-2. S. 59, [http://books.google.de/books?id=uVE_LiXbSpoC&pg=PA59#v=onepage&q&f=false Online-Version].</ref>
:Für die Teilbarkeit durch Primzahlen p gilt unter Verwendung des [[Quadratischer Rest#Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]:
* <math>p \mid f_{p-1} \Leftrightarrow \left(\frac{5}{p}\right)=1</math>
* <math>p \mid f_{p+1} \Leftrightarrow \left(\frac{5}{p}\right)=-1</math><ref>[http://sternenreise.com/Verschiedenes/Fibonacci-Teilbarkeit.pdf PDF.] Bei: ''sternenreise.com.''</ref>

[[Reihe_(Mathematik)|Reihen]]:
* <math>\sum_{i=0}^{n} f_i = f_{n+2}-1</math>
* <math>\sum_{i=1}^{2n} (-1)^{i-1} \; f_i = -f_{2n-1}+1</math>
* <math>\sum_{i=1}^{2n+1} (-1)^{i-1} \; f_i = f_{2n}+1</math>
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_i^2 = f_n \; f_{n+1}</math>
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_{2i-1} = f_{2n}</math>
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_{2i} = f_{2n+1}-1</math>

Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.

=== Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt ===
Wie von [[Johannes Kepler]] festgestellt wurde, nähert sich der [[Quotient]] zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] Φ an. Dies folgt unmittelbar aus der [[Fibonacci-Folge#Näherungsformel für große Zahlen|Näherungsformel]] für große ''n'':

:<math>\lim_{n \to \infty}\frac {f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n \to \infty}{\Phi^{n+1}\over\Phi^n} = \Phi \approx 1{,}618\ldots</math>

Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte [[Kettenbruch]]darstellung:
:<math>\frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 1+\frac{1}{1} \qquad \frac{3}{2} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1}} \qquad \frac{5}{3} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}} \qquad \frac{8}{5} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}}}</math>

Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch
:<math>\Phi = 1+\cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+\dotsb}}}}</math>
darstellen.

Die Zahl Φ ist [[irrationale Zahl|irrational]]. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich Φ durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen <math>f_0</math> und <math>f_1</math> beliebige natürliche Zahlen annehmen.

=== Zeckendorf-Theorem ===
Das nach [[Edouard Zeckendorf]] benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes <math>n \in \mathbb{N}, n > 0</math> eine eindeutige Darstellung der Form

:<math>n = \sum_{i=2}^{k} c_i f_i \quad\ c_i\in \{0, 1\}; \forall i: c_ic_{i+1}=0.</math>

Die entstehende Folge <math>(c)_i</math> von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Da aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ausgeschlossen sind, können keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz unmittelbar hintereinander stehen.

Allgemeiner ist die verwandte Aussage, dass sich jede ''ganze'' Zahl ''z'' eindeutig als Summe verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender ''negaFibonacci''-Zahlen (<math>f_{-k}</math> mit <math>k\geq 1</math>) darstellen lässt:
:<math>z = \sum_{i=1}^{k} c_i f_{-i} \quad\ c_i\in \{0, 1\}; \forall i: c_ic_{i+1}=0</math>
So wäre zum Beispiel <math>-2 = f_{-1} + f_{-4} = 1-3</math> als Binärsequenz <code>1001</code> darstellbar.<ref>{{Literatur | Autor=Donald E. Knuth | Titel=The Art Of Computer Programming Vol. IV}}</ref>

=== Fibonacci-Folgen in der Natur ===
[[Datei:Goldener Schnitt Bluetenstand Sonnenblume.jpg|thumb|180px|Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen]]
[[Datei:Fibonacci numbers.jpg|thumb|180px|Anordnung gleich großer Kreise im Abstand des goldenen Winkels mit farblicher Markierung der Fibonacci-Spiralen 8, 13, 21, 34]]

Viele Pflanzen weisen in der [[Phyllotaxis|Anordnung ihrer Blätter]] und anderer Teile [[Spirale]]n auf, deren Anzahlen durch Fibonacci-Zahlen gegeben sind, wie beispielsweise bei den Früchten in Fruchtständen. Das ist dann der Fall, wenn der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Früchten bezüglich der Pflanzenachse der [[Goldener Schnitt#Goldener Winkel|Goldene Winkel]] ist. Hintergrund ist der Umstand, dass die rationalen Zahlen, die den zugrunde liegenden [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] am besten [[Approximation|approximieren]], Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen. Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das [[Irrationale Zahl|irrationale]] Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z. B. bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° …). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und sich so die jeweils übereinanderstehenden Blätter maximalen Schatten machen oder maximale ‚Lichtlücken‘ entstehen.

Beispielsweise tragen die [[Korb (Blütenstand)|Körbe]] der [[Silberdistel]] (''Carlina acaulis'') hunderte gleichgestaltiger Blüten, die in kleineren Körben in einer 21-zu-55-Stellung, in größeren Körben in 34-zu-89- und 55-zu-144-Stellung in den Korbboden eingefügt sind.<ref>G. Hegi: ''Illustrierte Flora von Mitteleuropa.'' Band VI/4. 2. Auflage 1987. Weissdorn Verlag, Jena. ISBN 3-936055-23-8.</ref> Auch die Schuppen von Fichtenzapfen wie auch von Ananasfrüchten bilden im und gegen den Uhrzeigersinn Spiralen, deren Schuppenanzahl durch zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen gegeben ist.<ref>Richard A. Dunlap: ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers.'' World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0, S. 130–134.</ref>

Wissenschaftshistorisch sei hier auf das Buch ''On Growth and Form'' von [[D’Arcy Wentworth Thompson]] (1917) verwiesen.

Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass die Fibonacci-Folge die Ahnenmenge einer männlichen (''n''=1) Honigbiene ([[Apis mellifera]]) beschreibt. Das erklärt sich dadurch, dass Bienendrohnen sich aus unbefruchteten Eiern entwickeln, die in ihrem [[Genom]] dem Erbgut der Mutter (''n'' = 2) entsprechen, welche wiederum zwei Eltern besitzt (''n'' = 3) usw.

== Berechnung ==
=== Formel von Moivre/Binet ===
[[File:Fibonacci explicit (detail).png|thumb|175px|Die Fibonacci-Folge (rot) als Differenz zweier Folgen mit irrationalen Gliedern (schwarz)]]
Das explizite Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge wurde unabhängig voneinander von den französischen Mathematikern [[Abraham de Moivre]] im Jahr 1718 und [[Jacques Philippe Marie Binet]] im Jahr 1843 entdeckt. Dazwischen war sie aber auch den Mathematikern [[Leonhard Euler]] und [[Daniel Bernoulli]] bekannt, Letzterer lieferte 1728 auch den vermutlich ersten Beweis.<ref>In manchen Büchern wird für de Moivres Entdeckung auch 1730 angegeben oder auch die Entdeckung nur Binet zugeschrieben. Für de Moivre, Bernoulli und Binet siehe dazu Beutelspacher (Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1988. ISBN 3-411-03155-7, S. 90) und Schröder (u. a. in: Herbert Schröder: ''Wege Zur Analysis: Genetisch - Geometrisch - Konstruktiv.'' Gabler 2001, ISBN 3540420320, S. 12 ({{Google Buch|BuchID=jPQJIOzPcKkC|Seite=12|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})). Dass die Formel zudem auch Euler bekannt war, findet man z. B. bei Winkler (Peter Winkler: ''Mehr mathematische Rätsel für Liebhaber.'' Gabler 2010, ISBN 9783827423498, S. 46 ({{Google Buch|BuchID=qyqJVjyW3k0C |Seite=46|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})) oder Ben-Menahem (Ari Ben-Menahem: ''Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Band 1.'' Springer 2009, ISBN 9783540688310, S. ({{Google Buch|BuchID=9tUrarQYhKMC|Seite=611|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}}))</ref>

Die Fibonacci-Zahlen lassen sich direkt mittels
:<math>f_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\varphi-\psi}, \qquad n \in \mathbb Z</math>
berechnen, wobei <math>\varphi, \psi</math> die beiden Lösungen der [[Charakteristische Gleichung|charakteristischen Gleichung]] <math>x^2 - x - 1 = 0</math> sind und somit auch <math>\varphi = \Phi</math> und <math>\psi = -\Phi^{-1}</math> gilt. Setzt man
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt 5}2</math>
:<math>\psi = 1 - \varphi = \frac{1-\sqrt5}2</math>
ein, erhält man die explizite Formel von Moivre-Binet:

:<math>f_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}
= \frac1{\sqrt 5} \left[\Phi^n- \left(-\frac1{\Phi}\right)^n\right]
= \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right]</math>

Bemerkenswert ist das Zusammenspiel zweier [[Irrationale Zahlen|irrationaler]] Zahlen ''φ'' und ''ψ'', das zu einem ganzzahligen Ergebnis führt. Die Abbildung zeigt die beiden Teilfolgen mit ''φ'' und ''ψ'' sowie deren Differenz. Der Einfluss von ''ψn'' geht rasch gegen Null. Das kann man verwenden, um die Berechnung zu beschleunigen, indem man den Term ignoriert und das Ergebnis zur nächstgelegenen natürlichen Zahl rundet.

==== Induktiver Beweis ====
Einer der einfachsten Beweise gelingt induktiv. Wegen <math>\tfrac{\varphi^0-\psi^0}{\sqrt5} = 0 = f_0</math> und <math>\tfrac{\varphi^1-\psi^1}{\sqrt5} = 1 = f_1</math> ist der Induktionsanfang erfüllt. Angenommen die Formel gelte für alle Werte bis ''n''. Wir zeigen nun, dass sie dann notwendigerweise auch für n+1 gelten muss:
:<math>f_{n-1}+f_n = \frac{\varphi^{n-1}-\psi^{n-1}+\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}
= \frac{\varphi^n(1+\frac1{\varphi})-\psi^n(1+\frac1{\psi})}{\sqrt5}
= \frac{\varphi^{n+1}-\psi^{n+1}}{\sqrt5}
= f_{n+1}
</math>
Dabei haben wir benutzt, dass <math>\varphi</math> und <math>\psi</math> der charakteristischen Gleichung <math>x^2 = x + 1</math> bzw. <math>1 + \tfrac1{x} = x</math> genügen.

Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion muss nun die Formel für alle ''n'' gelten.

==== Herleitung der Formel von Moivre-Binet ====
Die Formel von Binet kann mit Matrizenrechnung und dem [[Eigenwertproblem]] in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] hergeleitet werden mittels folgendem Ansatz:
:<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} f(0) \\ f(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n+1) \end{pmatrix}, f(0)=0 \text{ und } f(1)=1 \text{ mit } n\geq 0.</math>

Nun transformiert man die Matrix <math>A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math> in eine Diagonalmatrix <math>D</math> durch Betrachtung als [[Eigenwertproblem]].

Es gilt <math>A=TDT^{-1}</math>, wobei <math>T</math> die Matrix der Eigenvektoren und <math>D</math> die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist. Damit folgt:

<math>
\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
f(0) \\
f(1)
\end{pmatrix}
& = A^n
\begin{pmatrix}
f(0) \\
f(1)
\end{pmatrix}
= \left(TDT^{-1}\right)^n
\begin{pmatrix}
f(0) \\
f(1)
\end{pmatrix}
= TD^nT^{-1}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1-\sqrt{5}}{2} & 0 \\
0 & \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\
0 & \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\\
\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\
\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
- \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\\
- \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\\
\frac{1}{\sqrt{5}} \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
f(n) \\
f(n+1)
\end{pmatrix}
\end{align}</math>

==== Herleitung mittels Differenzengleichung ====
Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie der [[Lineare Differenzengleichung|linearen Differenzengleichungen]]:

Sei <math>C_n = x^n, n\in\N_0</math> eine [[geometrische Folge]], so ergibt sich:
:<math>C_{n+1} - C_n - C_{n-1} = x^{n+1} - x^n - x^{n-1} = (x^2 - x - 1) x^{n-1}</math>

Wenn also <math>x</math> so gewählt wird, dass die charakteristische Gleichung <math>x^2 - x - 1 = 0</math> erfüllt ist (also <math>x=\varphi</math> oder <math>x=\psi\ </math>), wird <math>C_{n+1} = C_n + C_{n-1}</math>, d. h., <math>C_n</math> erfüllt die Fibonacci-Rekursion mit dem Rekursionsanfang <math>C_0=1</math> und <math>C_1=x</math>.

Die rekursive Folge <math>A_0=1</math>, <math>A_1=\varphi</math>, <math>A_{n+1} = A_n + A_{n-1}</math> hat die explizite Darstellung <math>A_n=\varphi^n</math>. Ebenso <math>B_0=1</math>, <math>B_1=\psi</math>, <math>B_n=\psi^n</math>.

Mit <math>A_n</math> und <math>B_n</math> genügt wegen der [[Superposition (Mathematik)|Superpositionseigenschaft]] auch jede [[Linearkombination]] <math>L_n=\alpha A_n + \beta B_n</math> der Fibonacci-Rekursion <math>L_{n+1} = L_n + L_{n-1}</math>. Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems ergibt sich <math>\alpha=\tfrac{1}{\sqrt5}</math> und <math>\beta=-\tfrac{1}{\sqrt5}</math>, damit <math>L_0=\tfrac{\varphi^0-\psi^0}{\sqrt5} = 0 = f_0</math> und <math>L_1=\tfrac{\varphi^1-\psi^1}{\sqrt5} = 1 = f_1</math>. Folglich ergibt sich explizit <math>F_n = \tfrac{A_n-B_n}{\sqrt5} = \tfrac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}</math>.

Für <math>\alpha=\beta=1</math> ergibt sich <math>L_0=2</math> und <math>L_1=1</math>, d. h. die klassische [[Lucas-Folge]] mit explizit <math>L_n = A_n+B_n = \varphi^n+\psi^n</math>.

=== Erzeugende Funktion ===
Die [[erzeugende Funktion]] der Fibonacci-Zahlen ist
: <math>\sum_{n=0}^\infty f_n z^n = \frac{z}{1-z-z^2}.</math>
Die auf der linken Seite stehende [[Potenzreihe]] konvergiert für <math>|z|<1/\Phi=0{,}618\ldots</math>. Über die [[Partialbruchzerlegung]] erhält man wiederum die Formel von Moivre-Binet.

Durch Entwicklung der obigen Erzeugenden Funktion <math>\textstyle \frac{z}{1-z-z^2} = z\cdot\frac{1}{1-(z+z^2)}</math> in eine Potenzreihe um <math>z=0</math> ergibt sich durch Koeffizientenvergleich ein Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und den Binomialkoeffizienten. Dies gelingt durch Einsetzen des Polynoms <math>w=z+z^2</math> in die Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{1-w}</math> mit <math>|z|<1/\Phi</math> und somit <math>|w|<1</math>.

Nach Multiplikation mit ''z'' ergibt sich <math>\textstyle z\sum_{l\geq 0} (z+z^2)^l= \sum_{l\geq 0} z^{l+1} \sum_{k=0}^{l} \tbinom l k z^k</math>, nach Umformen dieser Summe zu einer [[Binomialreihe]].

Die letzte Summe kann mittels Umbenennung der Summationsindizes vereinfacht werden zu <math>\textstyle \sum_{0 \leq k \leq l} \tbinom l k z^{l+k+1} = \sum_{n \geq 0} z^n \sum_{k=0}^{n} \tbinom {n-k-1} {k}</math>.

Koeffizientenvergleich liefert schließlich <math>\textstyle f_n = \sum_{k=0}^n \tbinom {n-k-1} {k}</math>.

Alternativ ergibt sich über die Definition <math>\textstyle G(z) := \frac{z}{1 - z - z^2}</math> die Darstellung

:<math>f_n = \frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n} G(0).</math>

=== Darstellung mit Matrizen ===
Die Fibonacci-Zahlen tauchen auch als Einträge der Potenzen der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}</math> auf:
: <math>\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix}</math>
Aus der Relation <math>A^{m+n}=A^mA^n</math> ergibt sich beispielsweise die erste oben angegebene Formel für <math>f_{m+n}</math>. <math>A</math> beschreibt zugleich die Summationsvorschrift der Fibonacci-Folge, denn ihr Produkt mit einem Paar aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Spaltenmatrix geschrieben) ergibt das nächste Paar; entsprechend erzeugt <math>A^n</math> das <math>n</math>-te Paar aus dem Startpaar <math>(0,1)</math>. Dies und die Tatsache, dass die Eigenwerte von <math>A</math> gerade der [[Goldener Schnitt|Goldene Schnitt]] und dessen Kehrwert (letzterer mit negativem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]) sind, führen wieder auf die oben genannte Formel von Binet.

=== Näherungsformel für große Zahlen ===
Für große Werte von ''n'' wird <math>\psi^n = \left(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n</math> in der Formel von Binet immer kleiner, da der Ausdruck in der Klammer vom [[Betragsfunktion|Betrag]] kleiner als 1 ist. Deshalb erhält man die Näherungsformel

:<math>f_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}} {\phi}^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n.</math>

Der Absolutbetrag des Quotienten <math>\tfrac{\psi^n}{\sqrt{5}}</math> ist für alle n kleiner als 0,5. Demnach beschreibt die Näherungsformel das exakte Ergebnis mit einem Fehler von weniger als 0,5. Durch Runden kommt man daher wieder zu einer exakten Formel:

:<math>f_n = \left\lfloor\frac{1}{\sqrt{5}} {\phi}^n + \frac{1}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \frac{1}{2}\right\rfloor</math>
mit der [[Gaußklammer]] <math>\lfloor{\cdot}\rfloor</math>.

=== Verallgemeinerungen ===
Die klassische („kanonische“) Fibonacci-Folge ist durch drei Kriterien charakterisiert:
* Eine lineare Iteration, welche die beiden vorangehenden Folgenglieder einbezieht
* Eine Linearkombination dieser Folgenglieder, in der beide Vorgänger den Koeffizienten +1 tragen
* Beide Startglieder gleich +1

Jedes dieser Kriterien erlaubt eine Verallgemeinerung:

* Die Wahl ''anderer Startglieder'' <math>u</math> und <math>v</math> liefert eine Folge <math>(a_n)</math>, die mit der kanonischen Folge nach der Beziehung <math>a_n=u\cdot f_{n-2}+v\cdot f_{n-1}</math> zusammenhängt. Ein Beispiel hierfür ist die [[Lucas-Folge]] <math>(L_n)</math>.
:Für die Glieder einer solchen Folge gilt ein gegenüber der Formel von Moivre-Binet verallgemeinertes explizites Bildungsgesetz:
::<math>a_n\!\,= \frac{k\cdot \varphi^n-l\cdot \psi^n}{\sqrt5}</math> mit <math>k=u\cdot \psi^2-v\cdot \psi</math> und <math>l=u\cdot \varphi^2-v\cdot \varphi</math>.
:Die kanonische Folge stellt sich hier als Spezialfall mit <math>u=v=1</math> dar, was wegen der charakteristischen Gleichung sofort <math>k=1</math> und <math>l=1</math> liefert.

* Die Wahl ''anderer Koeffizienten'' für die Linearkombination liefert eine Folge, für die eine andere charakteristische Gleichung gilt. Eine Folge mit der Iterationsvorschrift
::<math>a_n=q\cdot a_{n-2}+p\cdot a_{n-1}</math>
:besitzt die charakteristische Gleichung <math>x^2-px-q=0</math>. Die Wurzeln dieser Gleichung bestimmen das explizite Bildungsgesetz. Wenn die charakteristische Gleichung die Wurzeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> hat, dann lautet das Bildungsgesetz
:: <math>a_n=\frac{k\cdot \alpha^n-l\cdot \beta^n}{\alpha-\beta},</math>
:wobei <math>k</math> und <math>l</math> wieder durch die Startglieder bestimmt sind.

* Eine Iteration, die ''mehr als zwei vorangehende Folgenglieder'' einbezieht, besitzt dementsprechend ein Polynom höheren Grades als charakteristische Gleichung, wobei die Wurzeln <math>x_i</math> dieser Gleichung wieder im Bildungsgesetz auftauchen und die Koeffizienten <math>k_i</math> durch die Anfangswerte bestimmt sind. Es gilt dann
::<math>a_n=\sum_{i=1}^n {k_ix_i^n}</math>.
:Eine Iteration, die nur das unmittelbar vorhergehende Glied verwendet, liefert in diesem Zusammenhang als entartete Fibonacci-Folge eine reine Potenzfolge.

== Geschichte ==
[[Datei:Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg|thumb|180px|Berechnung der Kaninchenaufgabe im ''Liber abbaci'']]

Ihre früheste Erwähnung findet sich unter dem Namen ''maatraameru'' („Berg der Kadenz“) in der ''Chhandah-shāstra'' („Kunst der [[Versmaß|Prosodie]]“) des [[Sanskrit]]-Grammatikers [[Pingala (Grammatiker)|Pingala]] (um 450 v. Chr. oder nach anderer Datierung um 200 v. Chr.).<ref>Parmanand Singh: ''Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers.'' In: ''Mathematics Education.'' 20,1 (Siwan, 1986), S. 28–30, ISSN 0047-6269.</ref> In ausführlicherer Form behandelten später auch [[Virahanka]] (6. Jh.) und besonders dann [[Acharya Hemachandra]] (1089–1172) diese Zahlenfolge, um die rechnerische Möglichkeit der Bildung von Metren durch regelmäßige Verteilung kurzer und langer Silben zu beschreiben.

In der westlichen Welt war diese Reihe ebenfalls schon in der Antike [[Nikomachos von Gerasa]] (um 100 n. Chr.) bekannt.<ref>Friedrich Gustav Lang: [http://www.stichometrie.de/veroeffentlichungen.html ''Schreiben nach Mass. Zur Stichometrie in der antiken Literatur.''] In: ''Novum Testamentum.'' Vol. 41, Fasc. 1, 1999, S. 40–57. Lang verweist S. 55, Fußnote 86 auf Nikomachos von Gerasa, der diese Reihe neben anderen Zahlenreihen aufgelistet habe.</ref> Sie ist aber mit dem Namen des italienischen Mathematikers [[Leonardo Fibonacci|Leonardo da Pisa]], genannt Fibonacci (''„figlio di Bonacci“'', Sohn des Bonacci), verbunden, der in seinem ''Liber abbaci'' („Buch der Rechenkunst“, Erstfassung von 1202 nicht erhalten, zweite Fassung von ca. 1227) diese Zahlenfolge mit dem Beispiel eines Kaninchenzüchters beschrieb, der herausfinden will, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres aus einem einzigen Paar entstehen, wenn jedes Paar ab dem zweiten Lebensmonat ein weiteres Paar pro Monat zur Welt bringt:<ref>Baldassare Boncompagni (Hrsg.): ''Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo.'' Bd. I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, Rom, 1857, S. 283–284 (Kap. XII, 7: „Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur“).</ref>

=== Modell einer Kaninchenpopulation ===
Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache [[Mathematisches Modell|mathematische Modellierung]] des [[Wachstum (Mathematik)|Wachstum]]s einer [[Population (Biologie)|Population]] von [[Kaninchen]] nach folgenden Regeln:

# Jedes Paar Kaninchen wirft pro Monat ein weiteres Paar Kaninchen.
# Ein neugeborenes Paar bekommt erst im zweiten Lebensmonat Nachwuchs (die Austragungszeit reicht von einem Monat in den nächsten).
# Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum („in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus“), sodass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann.

Fibonacci begann die Reihe, nicht ganz konsequent, nicht mit einem neugeborenen, sondern mit einem trächtigen Paar, das seinen Nachwuchs bereits im ersten Monat wirft, sodass im ersten Monat bereits 2 Paare zu zählen sind. In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Fibonacci führte den Sachverhalt für die zwölf Monate eines Jahres vor (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) und wies auf das Bildungsgesetz der Reihe durch Summierung jeweils zweier aufeinanderfolgender Reihenglieder (2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 usw.) hin. Er merkte außerdem an, dass die Reihe sich nach diesem Prinzip für eine unendliche Zahl von Monaten fortsetzen lässt, was dann allerdings unsterbliche Kaninchen voraussetzt: ''„et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.“'' Weitere Beachtung hatte er dem Prinzip in seinen erhaltenen Werken nicht geschenkt.

Eine gerade erschienene mathematisch-historische Analyse zum Leben des Leonardo von Pisa, insbesondere zu seinem Aufenthalt in der nordafrikanischen Hafenstadt [[Bejaia]] (heute in Algerien), kam zu dem Schluss, dass der Hintergrund der Fibonacci-Folge gar nicht bei einem Modell der Vermehrung von Kaninchen zu suchen ist (was schon länger vermutet wurde), sondern vielmehr bei den Bienenzüchtern von Bejaia und ihrer Kenntnis des Bienenstammbaums zu finden ist. Zu Leonardos Zeit war Bejaia ein wichtiger Exporteur von Bienenwachs, worauf noch heute der französische Name der Stadt (Bougie, wie das frz. Wort für Kerze) hinweist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =March, 2014}}</ref>

Nachdem spätere Mathematiker wie [[Gabriel Lamé]] (1795–1870) die Entdeckung dieser Zahlenfolge für sich beansprucht hatten, brachten [[Édouard Lucas]] (1842–1891)<ref>Edouard Lucas: ''Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique supérieure.'' In: ''Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10.'' (1877), S. 129–193, S. 239–293.</ref> und andere wieder in Erinnerung, dass der zu dieser Zeit älteste bekannte Beleg von Leonardo da Pisa stammte, und unter dem Namen „Fibonacci-Folge“ („suite de Fibonacci“, „Fibonacci sequence“, „successione di Fibonacci“) ist sie seither in den meisten westlichen Sprachen geläufig.

[[Datei:Fibonaccis_Traum.jpg|mini|Martina Schettina: ''Fibonaccis Traum'', 2008, 40×40 cm]]
[[Datei:Diepholz Skulpturenpfad Fibonacci.JPG|mini|hochkant|Petra Paffenholz: ''Fibonacci Cubes'' (Teil des Skulpturenpfades „[[Diepholz]] <nowiki>|</nowiki> [[Dümmer]]“), 2014, 10 cm bis 5,50 m]]

== Rezeptionen in Kunst und Unterhaltung ==
* Das [[Lyrik#Gedicht|Systemgedicht]] ''alfabet'' (1981) der dänischen Schriftstellerin [[Inger Christensen]] basiert auf der Fibonacci-Folge.
* Das Cover des Debütalbums der kanadischen Band ''The Organ'', [[Grab That Gun]], wurde von [[David Cuesta]] mithilfe eines auf der Fibonacci-Folge basierenden Rasters entworfen.<ref>''[[w:en:The Organ#Grab That Gun|Grab That Gun.]]'' Auf: ''en.wikipedia.''</ref>
* Die Künstler [[Mario Merz]] und Petra Paffenholz setzten sich in ihren Installationen mit der Fibonacci-Folge auseinander.
* Der Gesang im Lied [[Lateralus (Lied)|Lateralus]] der [[Progressive Metal|Progressive-Metal]]-Band [[Tool (Band)|Tool]] basiert auf Fibonacci-Zahlen.<ref name>Graham Hartmann: [http://loudwire.com/tool-lateralus-top-21st-century-metal-songs/ „No. 1: Tool, ‘Lateralus’ – Top 21st Century Metal Songs.“] Bei: ''loudwire.com.'' Aufgerufen am 22. Februar 2014.</ref>
* Die Künstlerin [[Martina Schettina]] beschäftigt sich in ihren ''mathematischen Bildern'' ebenfalls mit den Fibonacci-Zahlen.<ref>Beitrag in MU – Der Mathematikunterricht „Mathematik und Kunst“ Jg 55 – Heft 2 – April 2009 – Friedrich Verlag, Herausgeber Stefan Deschauer TU Dresden ISSN-Nr. 0025-5807</ref><ref>[[Ingmar Lehmann]]: [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ieem/BzMU/BzMU2009/Beitraege/LEHMANN_Ingmar_2009_Fibonacci.pdf ''Fibonacci-Zahlen in Bildender Kunst und Literatur.''] Abgerufen am 7. November 2009 (PDF; 131 kB).</ref>
* [[Dan Brown]] verwendet in seinem Thriller ''The Da Vinci Code'' (2003) (deutsch: [[Sakrileg (Roman)|Sakrileg]], 2004) die Fibonacci-Folge als geheime Botschaft.
* Im Film ''[[Pi (Film)|π – System im Chaos]]'' von Darren Aronofsky, in dem der Protagonist nach dem „Muster der Welt” in den Kursdaten von Aktien und in der Zahl π sucht, wird die Fibonacci-Folge erwähnt.
* In der Serie [[Criminal Minds]] (Staffel 4, Folge 8) entführt ein Killer seine Opfer anhand der Fibonacci-Folge.
* In Lars von Triers Film ''[[Nymphomaniac]]'' wird im Kapitel 5 - kleine Orgelschule - die Fibonacci-Folge mit einem Bach-Orgelsatz in Verbindung gebracht.
* In dem Videospiel [[Watch Dogs]] von [[Ubisoft]], in der Serienkiller-Mission als Zahlen, die an den einzelnen Tatorten der Opfer aufzufinden sind.<ref>[http://watchdogs.wikia.com/wiki/Missing_Persons ''Missing Persons.''] Bei: ''watchdogs.wikia.com.''</ref>
* In dem Song [[What´s Goes]] von [[Die Orsons]] rappt KAAS die Fibonacci-Folge bis zur Zahl 144. <ref> [https://www.youtube.com/watch?v=Q2fzkDNK3gw] </ref>

== Fibonacci-Datenstrukturen ==
Die Fibonacci-Folge ist namensgebend für folgende Datenstrukturen, bei deren mathematischer Analyse sie auftritt.
* [[Fibonacci-Baum]]
* [[Fibonacci-Heap]]

== Literatur ==
* [[John Horton Conway|John H. Conway]] und [[Richard Kenneth Guy|Richard K. Guy]], ''The Book of Numbers'', Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.
* Richard A. Dunlap: ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers''. 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0.
* [[Huberta Lausch]], ''Fibonacci und die Folge(n)'', Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8.
* [[Paulo Ribenboim]], ''The New Book of Prime Number Records'', Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5.
* [http://www.fq.math.ca/list-of-issues.html ''The Fibonacci Quarterly''], seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Algorithmensammlung: Zahlentheorie: Fibonacci-Folge}}
{{Commonscat|Fibonacci numbers}}
* [http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html Fibonacci-Zahlen] – sehr ausführliche Seite mit weiterführenden Themen
* [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Fibonacci Numbers and the Golden Section] (englisch)
* [http://www.uni-giessen.de/~g013/goldfibo/goldfibo.pdf Fibonacci und der Goldene Schnitt] (PDF; 1,22 MB)
* [[Videoformat|Video]]: [http://www.br.de/fernsehen/br-alpha/sendungen/mathematik-zum-anfassen/mathematik-zum-anfassen-fibonacci-zahlen100.html Die Fibonacci-Zahlen] (aus der Fernsehsendung ''Mathematik zum Anfassen'' des Senders [[BR-alpha]]) von [[Albrecht Beutelspacher]]
* [http://milan.milanovic.org/math/ Fibonacci Numbers and the Pascal Triangle] (englisch, deutsch, serbisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Fibonaccifolge}}
[[Kategorie:Folge ganzer Zahlen]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Theoretische Biologie]]
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]

Michael Scotus

2014-12-04T12:41:34Z

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'''Michael Scotus''' (* um [[1175]] in Schottland; † um [[1235]]) war ein [[mittelalter]]licher [[scholastisch]]er [[Philosoph]], [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde er durch seine Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, leitet sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen ab. Aber wann und wo das genau passierte, ist nicht mehr nachvollziehbar. Einige neuere Quellen gehen von um 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist aber das späte 12. Jahrhundert. Ebenfalls unbekannt ist seine schulische Laufbahn, aber seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein und da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man hier auch auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt dagegen ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte. Bis ins 15. Jahrhundert gab es keine in Schottland. Wann er die [[Britannien|britischen Inseln]] oder [[Schottland]] verließ, weiß man wiederum nicht, aber dass er nicht zurückkehrte, zumindest nicht lebendig.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des (frühen) Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johann von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes und zwar des ''Kitab fi l-hai'a'' des [[Alpetragius]], der zu dieser Zeit noch auf der [[Spanien|spanischen Halbinsel]] lebte.

Wie lange Michael Scotus vor 1217 schon in Toledo lebte, ist wiederum unbekannt. Aber man weiß, dass er noch vor 1220 die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzte, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruhm als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die Übersetzungen der [[Averroës]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren erhalten geblieben, wovon er wahrscheinlich einige am Hofe [[Friedrich II. (HRR)|Friedrichs II.]] vollendete. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert ist und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus’ dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich in höchsten Tönen über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußerte, aber nicht das Griechische erwähnt.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer kleineren medizinischen Tätigkeit nachzugehen. Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger Papst [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof]] von [[Cashel (Tipperary)|Cashel]] in [[Republik Irland|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der irischen Sprache nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als "besten Philosoph" titulierte.

Die zweite Auflage des "Liber Abaci", des berühmten Mathematikbuches von [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]], aus dem Jahr 1227 war Michael Scot gewidmet. Darausist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle spielte bei Fibonacci's Darstellung der Zahlenfolge, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =2014-03-08| accessdate=2014-03-23| offline=}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte nämlich auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb hier am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert worden, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Und zwar sollte er die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Doch Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

== Liber Introductorius ==
Der ''Liber Introductorius'' ist in drei verschieden Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf den Heiligen [[Franz von Assisi|Franziskus]] hingewiesen. Und dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus' Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus' Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Seit Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236 am Hof Friedrichs II. entstandenenen Gedicht erwähnt [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, dass Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene "Turmrätsel", und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Werke ==
* Aristotle, ''De Animalibus. Part three, Books XV-XIX: Generation of animals.'' Michael Scot's Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99-281: Michael Scotus, ''Liber de signis'' (Edition).

== Literatur ==
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009.
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II’s Philosopher''. In: ''Federico II e le nuove culture. Atti del XXXI Convegno storico internazionale, Todi, 9-12 ottobre 1994''. Centro italiano di studi sull'alto medioevo, Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: [[Gunther Wolf]] (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter'' (= ''Miscellanae Mediaevalia.'' Band 18). Berlin 1986, S. 141–160.
* {{BBKL|m/michael_sco|autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}
* [[Lynn Thorndike]]: ''Michael Scot''. London 1965.

== Weblinks ==
* T.C. Scott und P. Marketos, {{MacTutor|id=Scot|title=Michael Scot}}

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{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
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Michael Scotus

2014-12-03T10:25:34Z

TonyMath: /* -> MacTutor */

'''Michael Scotus''' (* um [[1175]] in Schottland; † um [[1235]]) war ein [[mittelalter]]licher [[scholastisch]]er [[Philosoph]], [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde er durch seine Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, leitet sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen ab. Aber wann und wo das genau passierte, ist nicht mehr nachvollziehbar. Einige neuere Quellen gehen von um 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist aber das späte 12. Jahrhundert. Ebenfalls unbekannt ist seine schulische Laufbahn, aber seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein und da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man hier auch auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt dagegen ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte. Bis ins 15. Jahrhundert gab es keine in Schottland. Wann er die [[Britannien|britischen Inseln]] oder [[Schottland]] verließ, weiß man wiederum nicht, aber dass er nicht zurückkehrte, zumindest nicht lebendig.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des (frühen) Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johann von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes und zwar des ''Kitab fi l-hai'a'' des [[Alpetragius]], der zu dieser Zeit noch auf der [[Spanien|spanischen Halbinsel]] lebte.

Wie lange Michael Scotus vor 1217 schon in Toledo lebte, ist wiederum unbekannt. Aber man weiß, dass er noch vor 1220 die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzte, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruhm als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die Übersetzungen der [[Averroës]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren erhalten geblieben, wovon er wahrscheinlich einige am Hofe [[Friedrich II. (HRR)|Friedrichs II.]] vollendete. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert ist und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus’ dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich in höchsten Tönen über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußerte, aber nicht das Griechische erwähnt.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer kleineren medizinischen Tätigkeit nachzugehen. Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger Papst [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof]] von [[Cashel (Tipperary)|Cashel]] in [[Republik Irland|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der irischen Sprache nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als "besten Philosoph" titulierte.

Die zweite Auflage des "Liber Abaci", des berühmten Mathematikbuches von [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]], aus dem Jahr 1227 war Michael Scot gewidmet. Darausist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle spielte bei Fibonacci's Darstellung der Zahlenfolge, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =2014-03-08| accessdate=2014-03-23| offline=}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte nämlich auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb hier am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert worden, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Und zwar sollte er die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Doch Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

== Liber Introductorius ==
Der ''Liber Introductorius'' ist in drei verschieden Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf den Heiligen [[Franz von Assisi|Franziskus]] hingewiesen. Und dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus' Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus' Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Seit Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236 am Hof Friedrichs II. entstandenenen Gedicht erwähnt [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, dass Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene "Turmrätsel", und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Werke ==
* Aristotle, ''De Animalibus. Part three, Books XV-XIX: Generation of animals.'' Michael Scot's Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99-281: Michael Scotus, ''Liber de signis'' (Edition).

== Literatur ==
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009.
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II.'s Philosopher''. In: ''Federico II., e le nuove culture (centro di studi sulla spiritualiá medievale), atti del XXXI. Convegno storico inter-nazionale''. Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: Gunther Wolf (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter''. Berlin 1986 (''Miscellanae Mediaevalia'', Band 18), S. 141–160.
* Lynn Thorndike: ''Michael Scot''. London 1965.
* {{BBKL|m/michael_sco|autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}
* {{MacTutor|id=Scot|title=Michael Scotus}}

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{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
[[Kategorie:Philosoph des Mittelalters]]
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[[Kategorie:Römisch-katholischer Bischof (13. Jahrhundert)]]
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[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 13. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scotus, Michael
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=mittelalterlicher Philosoph, Mediziner, Alchemist und Astrologe
|GEBURTSDATUM=um 1175
|GEBURTSORT=Schottland
|STERBEDATUM=um 1232
|STERBEORT=
}}

Lambertsche W-Funktion

2014-06-18T09:12:27Z

TonyMath: /* added most recent reference */

[[Datei:Lambert-w.svg|thumb|288px|right|Der Graph von ''W''(''x'') für ''W'' > −4 und ''x'' < 6. Der obere Zweig ''W'' ≥ −1 ist die Funktion ''W''0 (principal branch), der untere Zweig mit ''W'' ≤ −1 ist die Funktion ''W''−1.]]
In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f(x):= x e^x,\,</math>
wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet. Es gilt
: <math>z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.</math>

== Eigenschaften ==
[[File:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|thumb|400px|Die zwei Funktionsäste <math>W_0</math> und <math>W_{-1}</math>]]
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1e,0\right)</math> zwei Funktionsäste <math>W_0(x)</math> und <math>W_{-1}(x)</math>. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.

Die Ableitungsfunktion (des oberen Funktionsastes <math>W_0</math>) der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden (an der Stelle ''-1/e'' existiert die Ableitung nicht):
: <math>W'(x)=\begin{cases} \frac{W(x)}{x(1+W(x))}&\text{für }x>-\frac {1}{e}\text{ und }x\neq 0\\1&\text{für }x=0 \end{cases}</math>

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n}=\frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (n t+ 3n-1)\cdot P_n(t)-(t+1)\cdot P_n'(t), \quad n \ge 1.</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>W''(x)\,\,=-\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2),</math>
: <math>W^{(3)}(x)=+\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9),</math>
: <math>W^{(4)}(x)=-\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x) +36W^2(x) +79W(x) +64).</math>

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C.</math>

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e.</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> in <math>x_0=0</math> ist gegeben durch
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1e</math>.

== Spezielle Werte ==

: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904... = \Omega</math>   (die Omega-Konstante<ref>''[[:en:Omega constant|Omega constant]]'' in der englischsprachigen Wikipedia</ref>)
: <math>W\left(e\right) = 1</math>

=== Eigenschaften ===

* <math>\int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>\, a(x)e^{a(x)}=y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung
: <math>\, x^x=z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der infinite (unendliche) [[Potenzturm]]
: <math>\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:
: <math>\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===
Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)
</math>
wobei ''a''0, ''c'' und ''r'' reelle Konstanten sind. Die Lösung ist <math> x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion<ref>T.C. Scott, R.B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function''. In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)'', '''17''' no. 1, April 2006. p.41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel]</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J.| last3=Grotendorst|year=2013 |title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) |volume=47 |issue=185 |pages=75–83|url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html}}</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J.| last3=Grotendorst|first4=W.Z. | last4=Zhang|year=2014|title=Numerics of the Generalized Lambert W Function|journal=SIGSAM |volume=48 |issue=188 |number=2|pages=42–56|url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue188.html}}</ref> umfassen:
* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] ([[Quantengravitation]]) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity'',<ref>P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation''. In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, p. 4647–4659. [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18 iop.org]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel]</ref> wobei die rechte Seite von (1) nun ein quadratisches Polynom in ''x'' ist:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
</math>
: Hierbei sind ''r''1 und ''r''2 voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments ''x'', aber ''r''i und ''a''0 sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der [[Meijersche G-Funktion|Meijerschen G-Funktion]], aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn ''r''1 = ''r''2, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gl. (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion''. In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. p.323–338. [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14 sciencedirect.com]; [http://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in ''x'':
: <math>
e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
</math>
: wobei ''r''i und ''s''i unterschiedliche reelle Konstanten sind, und ''x'' ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands ''R''. Gl. (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.<ref>T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J.D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions''. In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A]]'', 75:060101, 2007. [http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes scitation.aip.org]</ref>

== Numerische Berechnung ==

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden.<ref name="Corless">[http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf Corless et al.: ''On the Lambert W function''.] (PDF; 311 kB) In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, p. 329–359</ref>
Alternativ kann auch das [[Newton-Verfahren]] zur Lösung der Gleichung <math>w e^w - z = 0</math> verwendet werden:
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+e^{w_j} w_j}</math>.

== Tabelle reeller Funktionswerte ==

<math>W_0,</math> oberer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.34 & -0.2& 0&0.3&0.7&1.2&2&3&4&6&10&20&40&+\infty \\
\hline
y &-1 &-0.6537 & -0.2592 & 0&0.2368&0.4475&0.6356&0.8526&1.0499&1.2022&1.4324&1.7455&2.205&2.6968&+\infty \\
\end{array}
</math>
<math>W_{-1},</math> unterer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.365 & -0.355& -0.31&-0.25&-0.18&-0.1&-0.05&-0.025&-0.01&-0.005&-0.001&-0.0001&0\\
\hline
y &-1 &-1.1307 & -1.2912 & -1.7044&-2.1533&-2.7128&-3.5772&-4.4998&-5.3696&-6.4728&-7.284&-9.118&-11.6671&-\infty\\
\end{array}
</math>
Andere Werte lassen sich leicht über <math> x = y\, e^y</math> berechnen.

Eine Näherung von <math>W_0(x)</math> für große <math>x</math> ist<ref>Eric Weisstein, "Lambert W-Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html</ref>
:<math>W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Lambertsche W-Funktion

2014-06-18T08:30:44Z

TonyMath: /* added link to SIGSAM reference */

[[Datei:Lambert-w.svg|thumb|288px|right|Der Graph von ''W''(''x'') für ''W'' > −4 und ''x'' < 6. Der obere Zweig ''W'' ≥ −1 ist die Funktion ''W''0 (principal branch), der untere Zweig mit ''W'' ≤ −1 ist die Funktion ''W''−1.]]
In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f(x):= x e^x,\,</math>
wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet. Es gilt
: <math>z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.</math>

== Eigenschaften ==
[[File:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|thumb|400px|Die zwei Funktionsäste <math>W_0</math> und <math>W_{-1}</math>]]
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1e,0\right)</math> zwei Funktionsäste <math>W_0(x)</math> und <math>W_{-1}(x)</math>. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.

Die Ableitungsfunktion (des oberen Funktionsastes <math>W_0</math>) der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden (an der Stelle ''-1/e'' existiert die Ableitung nicht):
: <math>W'(x)=\begin{cases} \frac{W(x)}{x(1+W(x))}&\text{für }x>-\frac {1}{e}\text{ und }x\neq 0\\1&\text{für }x=0 \end{cases}</math>

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n}=\frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (n t+ 3n-1)\cdot P_n(t)-(t+1)\cdot P_n'(t), \quad n \ge 1.</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>W''(x)\,\,=-\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2),</math>
: <math>W^{(3)}(x)=+\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9),</math>
: <math>W^{(4)}(x)=-\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x) +36W^2(x) +79W(x) +64).</math>

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C.</math>

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e.</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> in <math>x_0=0</math> ist gegeben durch
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1e</math>.

== Spezielle Werte ==

: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904... = \Omega</math>   (die Omega-Konstante<ref>''[[:en:Omega constant|Omega constant]]'' in der englischsprachigen Wikipedia</ref>)
: <math>W\left(e\right) = 1</math>

=== Eigenschaften ===

* <math>\int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>\, a(x)e^{a(x)}=y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung
: <math>\, x^x=z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der infinite (unendliche) [[Potenzturm]]
: <math>\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:
: <math>\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===
Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)
</math>
wobei ''a''0, ''c'' und ''r'' reelle Konstanten sind. Die Lösung ist <math> x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion<ref>T.C. Scott, R.B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function''. In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)'', '''17''' no. 1, April 2006. p.41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel]</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J.| last3=Grotendorst|year=2013 |title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) |volume=47 |issue=185 |pages=75–83|url=http://www.sigsam.org/cca/issues/issue185.html}}</ref> umfassen:
* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] ([[Quantengravitation]]) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity'',<ref>P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation''. In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, p. 4647–4659. [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18 iop.org]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel]</ref> wobei die rechte Seite von (1) nun ein quadratisches Polynom in ''x'' ist:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
</math>
: Hierbei sind ''r''1 und ''r''2 voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments ''x'', aber ''r''i und ''a''0 sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der [[Meijersche G-Funktion|Meijerschen G-Funktion]], aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn ''r''1 = ''r''2, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gl. (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion''. In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. p.323–338. [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14 sciencedirect.com]; [http://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in ''x'':
: <math>
e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
</math>
: wobei ''r''i und ''s''i unterschiedliche reelle Konstanten sind, und ''x'' ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands ''R''. Gl. (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.<ref>T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J.D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions''. In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A]]'', 75:060101, 2007. [http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes scitation.aip.org]</ref>

== Numerische Berechnung ==

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden.<ref name="Corless">[http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf Corless et al.: ''On the Lambert W function''.] (PDF; 311 kB) In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, p. 329–359</ref>
Alternativ kann auch das [[Newton-Verfahren]] zur Lösung der Gleichung <math>w e^w - z = 0</math> verwendet werden:
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+e^{w_j} w_j}</math>.

== Tabelle reeller Funktionswerte ==

<math>W_0,</math> oberer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.34 & -0.2& 0&0.3&0.7&1.2&2&3&4&6&10&20&40&+\infty \\
\hline
y &-1 &-0.6537 & -0.2592 & 0&0.2368&0.4475&0.6356&0.8526&1.0499&1.2022&1.4324&1.7455&2.205&2.6968&+\infty \\
\end{array}
</math>
<math>W_{-1},</math> unterer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.365 & -0.355& -0.31&-0.25&-0.18&-0.1&-0.05&-0.025&-0.01&-0.005&-0.001&-0.0001&0\\
\hline
y &-1 &-1.1307 & -1.2912 & -1.7044&-2.1533&-2.7128&-3.5772&-4.4998&-5.3696&-6.4728&-7.284&-9.118&-11.6671&-\infty\\
\end{array}
</math>
Andere Werte lassen sich leicht über <math> x = y\, e^y</math> berechnen.

Eine Näherung von <math>W_0(x)</math> für große <math>x</math> ist<ref>Eric Weisstein, "Lambert W-Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html</ref>
:<math>W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Bejaia

2014-05-25T13:25:22Z

TonyMath: /* Fibonacci - Folge */

{{Infobox Ort
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|NAME = Bejaia, Vgaiet
|AMT-NAME = {{ar|بجاية,Bugia}}
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'''Bejaia''' oder '''Vgaiet''' (auch: Béjaïa; dt. ''Budschaja''; frz. ''Bougie''; it. ''Bugia''; {{arS|بجاية}}, ''Bidschāya'', [[Kabylische Sprache|kabylisch]] ''Vgaiet'') ist eine Hafenstadt am Mittelmeer in der [[Bejaia (Provinz)|gleichnamigen Provinz]] im Nordosten [[Algerien]]s.

Sie liegt etwa 200 km östlich der Hauptstadt [[Algier]] am westlichen Ufer der gleichnamigen Bucht.

Die Stadt Bejaia gilt als die Hauptstadt der ''Kleinen [[Kabylei]]'', in der es in jüngster Zeit häufiger zu Zusammenstößen zwischen der [[Berbersprachen|berbersprachigen]] Bevölkerung und der algerischen Zentralregierung kam, bei denen es etliche Todesfälle gab. Bejaia ist etwa die zehntgrößte Stadt Algeriens und hat etwa 115.000 Einwohner. Sie verfügt über eine Universität (''Université de Béjaia'').

Bekannt wurde die Stadt auch deshalb, weil [[Leonardo Fibonacci]] dort die [[Arabische Zahlen|arabischen Zahlen]] kennenlernte und sie später deren Ausbreitung in [[Europa]] förderte. Eine gerade erschienene mathematisch-historische Analyse zum Leben des Fibonacci, insbesondere zu seinem Aufenthalt in der nordafrikanischen Hafenstadt Bejaia, kam zu dem Schluss, dass der Hintergrund der [[Fibonacci-Folge]] gar nicht bei einem Modell der Vermehrung von Kaninchen zu suchen ist, sondern vielmehr bei den Bienenzüchtern von Bejaia und ihrer Kenntnis des Bienenstammbaums zu finden ist. Zu Leonardos Zeit war Bejaia ein wichtiger Exporteur von Bienenwachs, worauf noch heute der französische Name der Stadt (Bougie, wie das frz. Wort für Kerze) hinweist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =March, 2014}}</ref>.

== Geschichte ==
Die von den [[Karthager]]n gegründete Stadt entwickelte sich während der Zeit des Römischen Reiches unter dem Namen ''[[Saldae]]'' oder ''Civitas Salditana'' zu einem bedeutenden Militär- und Handelsstützpunkt. Im [[5. Jahrhundert]] nach Christus wurde sie von dem [[Vandalen]]könig [[Geiserich]] eingenommen und befestigt. Sie wurde später von [[Berber]]n besetzt. Die Stadt wurde [[1062]] Sitz des Herrscherhauses der Berber und blieb für viele Jahre eine der wichtigsten Hafenstädte Nordafrikas. Mit der sich abwechselnden Besetzung des Gebietes durch Spanier und Türken sank die Bedeutung der Stadt immer mehr, bis schließlich zu Beginn des 19. Jahrhunderts kaum mehr als Ruinen geblieben waren. Nach der Einnahme durch die Franzosen 1833 erlangte die Stadt jedoch einiges von ihrem früheren Wohlstand zurück. Der Hafen wurde erweitert und modernisiert, die Stadt wurde auch noch durch eine Nebenstrecke an die Bahnstrecke [[Tunis]] - [[Oran]] angeschlossen. Seit 1963 hat die Stadt ihren heutigen Namen, vorher hieß sie [[Bougie]].

== Wirtschaft ==
Die wichtigsten Handelswaren sind Wein, Bodenschätze, Tierhäute und Öle.
[[Datei:Statue à Béjaïa 2.jpg|thumb|left|150px|Denkmal des unbekannten Soldaten (Algerienkrieg), in Richtung des Hafens und der Metropole.]]
[[Datei:Aeroport, terminal container, usine Cévital à Béjaïa 2.jpg|thumb|right|250px|Seen von Bejaia: Blick auf die industriellen Anlagen und zum Flughafen]]

== Ehemalige Partnerstadt ==
Im Jahr 1956 wurde eine [[Städtepartnerschaft]] zwischen Bejaia und [[Bad Homburg vor der Höhe]] vereinbart. Es war damals die einzige Städtepartnerschaft mit Algerien und nur eine von sechs zwischen Deutschland und Afrika. Mit der Machtergreifung [[Ahmed Ben Bella|Ben Bellas]] 1963 wurde diese Städtepartnerschaft von algerischer Seite beendet. Der Versuch einer Reaktivierung der Städtepartnerschaft durch den Bürgermeister Bejaias im Jahr 1975 scheiterte.<ref>Johannes Latsch, "Sackgasse nach Afrika", in: Jahrbuch des Hochtaunuskreises 2008, ISBN 978-3-7973-1049-1, Seite 164-166</ref>
Die Stadt hat eine Städtepartnerschaft mit [[Brest (Finistère)|Brest]], Frankreich<ref>http://www.brest.fr/developpement-rayonnement/relations-internationales/les-jumelages.html</ref>.

== Weblinks ==
* [http://www.univ-bejaia.dz/ Webseite der Universität Bejaia]
{{commonscat|Béjaïa, Algeria|{{PAGENAME}}}}

== Quellen ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=g|GND=4087103-4|VIAF=235043050}}

[[Kategorie:Ort in Algerien]]
[[Kategorie:Ort in Afrika]]

Leonardo Fibonacci

2014-03-27T07:13:08Z

TonyMath: /* Weblinks -> MacTutor */

[[Datei:Liber abbaci magliab f124r.jpg|miniatur|''Liber abbaci'', MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r: Berechnung der „Kaninchenaufgabe“ mit Fibonacci-Reihe]]
'''Leonardo da Pisa''', auch '''Fibonacci''' genannt (* um 1170 in [[Pisa]]; † nach 1240 ebenda), war [[Rechenmeister]] in Pisa und gilt als einer der bedeutendsten [[Mathematiker]] des [[Mittelalter]]s. Auf seinen Reisen nach Afrika, Byzanz und Syrien machte er sich mit der arabischen Mathematik vertraut und verfasste mit den dabei gewonnenen Erkenntnissen das Rechenbuch ''Liber ab(b)aci'' im Jahre 1202 (Überarbeitung 1228). Bekannt ist daraus heute vor allem die nach ihm benannte [[Fibonacci-Folge]].

== Zum Namen ==

Leonardo wird in den Handschriften als ''Leonardus Pisanus'', ''Leonardus filius Bonacij'', ''Leonardus Pisanus de filiis Bonaccij'' und ''Leonardus Bigollus'' bezeichnet. Bonaccio (von [[Mittellatein|lat.]] ''bonatius'' „gütig, günstig, angenehm“) war der Großvatername, den Leonardos Vater Guglielmo und dessen Brüder Alberto und Matteo als [[Patronym]] führten, und der sich in Leonardos eigener Generation bereits zum Familiennamen verstetigt hatte. Aus ''filius Bonacii'' bzw. ''figlio di Bonaccio'' („Sohn des Bonaccio“) wurde im Italienischen dann durch [[Schmelzwort|Kontraktion]] die in Leonardos eigener Zeit noch nicht bezeugte Zunamensform ''Fibonacci'', unter der Leonardo vor allem wegen der seit [[Édouard Lucas]] nach ihm benannten [[Fibonacci-Folge]] heute noch am besten bekannt ist. Der Beiname ''Bigollus'', jeweils nur im Genitiv in der Form ''Leonardi Bigolli'' belegt und wohl darum in der Literatur zuweilen irrtümlich als Patronym ''Leonardo Bigolli'' wiedergegeben, ist in seiner Deutung nicht sicher, wird aber meist im Sinne von „der Weitgereiste“ interpretiert.

== Leben und Schriften ==

Über die Biographie Leonardos ist nur wenig bekannt, die meisten Angaben gehen zurück auf den Widmungsprolog seines [[Rechenbuch]]s ''Liber abbaci'' und auf ein Dokument der Kommune von Siena.

Leonardo wurde in der zweiten Hälfte des 12. Jahrhunderts als einer von mindestens zwei Söhnen des Guglielmo Bonacci in Pisa geboren, wo sich die Familie bis auf den Urgroßvater Leonardos, einen Anfang des 12. Jahrhunderts verstorbenen Bonito, zurückverfolgen lässt. Als der Vater von der Stadt als Notar in die Niederlassung der Pisaner Kaufmannschaft im algerischen Bougie, dem heutigen [[Bejaia]], entsandt wurde – wofür man als Datum um 1192 annimmt –, ließ er auch Leonardo zu sich kommen, um ihn dort im Rechnen unterrichten zu lassen. Leonardo lernte dort das Rechnen mit den ''novem figurae indorum'' („neun Ziffern der Inder“), unseren heutigen [[Indische Ziffern|(indo-arabischen) Ziffern]], die den arabischen Mathematikern in [[Bagdad]] seit der zweiten Hälfte des 8. Jahrhunderts aus Indien bekannt geworden waren und im 12. Jahrhundert von Spanien ([[Toledo]]) aus durch lateinische Übersetzungen aus den arabischen Schriften des [[Al-Chwarizmi]] auch im Westen allmählich verbreitet wurden.

Leonardo war in den neunziger Jahren des 12. Jahrhunderts folglich nicht der erste Lateiner, der das Rechnen mit den neuen Ziffern erlernte, aber er erwarb in Bougie offenbar mathematische Grundlagen, die er höher schätzte als alles, was er bei weiteren Studien an Handelsorten „in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und Südfrankreich“ noch erlernte. Als von ihm vergleichsweise gering, „gleichsam als Irrtum“ eingeschätzte Methoden nennt er besonders den „Algorismus“, worunter das elementare Ziffernrechnen nach Al-Chwarizmi verstanden wurde, von dem sich Leonardos eigene Mathematik eigentlich nur durch die anspruchsvollere Anwendung der Verfahren unterschied, sowie eine von ihm als „Bögen des Pythagoras“ umschriebene Methode: gemeint ist das abazistische Rechnen auf dem im 10. bis 12. Jahrhundert gebräuchlich gewesenen, zu Leonardos Zeit wieder weitgehend außer Gebrauch gekommenen Gerbertschen [[Abakus (Rechentafel)|Abakus]], der als Erfindung des Pythagoras galt und auf dem im Unterschied zu den späteren mittelalterlichen Rechenbrettern mit bezifferten Rechensteinen (beziffert mit arabischen Ghubar-Ziffern 1-9) gerechnet wurde.

Seine Reisen scheinen ihn gegen Ende des 12. Jahrhunderts auch nach [[Konstantinopel]] geführt zu haben, da er von einer der Aufgaben in seinem ''Liber abbaci'' angibt, dass sie ihm in Konstantinopel von einem dorther stammenden, hochgelehrten Meister namens „Muscus“ (''a peritissimo magistro musco constantinopolitano'', ed. Boncompagni, vol. I, p. 249) vorgelegt worden sei. Ein Mathematiker dieses Namens, vermutlich Μόσκος, ist anderweitig nicht bekannt.

Nachdem Leonardo, wie er im Widmungsprolog ausführt, seine Kenntnisse weiter vertieft hatte, teils durch eigene Beobachtungen und teils durch Studium der Geometrie [[Euklid]]s, legte er schließlich die „summa“ seiner mathematischen Kenntnisse in seinem Hauptwerk, dem ''Liber abbaci'' nieder. Der Titel ist am besten mit „Buch der Rechenkunst“ zu übersetzen, da die ursprüngliche, an das Rechenbrett gebundene Bedeutung von ''ab(b)acus'' sich in Italien erweitert hatte und zu Leonardos Zeit die allgemeine Bedeutung „Rechenkunst“ angenommen hatte. Die erste, heute nicht mehr erhaltene Fassung dieses Werks soll bereits 1202 (oder 1201?) entstanden sein, allerdings ist dieses Datum nur aus dem [[Kolophon (Schriftstück)|Kolophon]] einer Handschrift der zweiten, einzigen erhaltenen Fassung bekannt. Zudem besteht bei den expliziten Datierungen von Leonardos Schriften generell die Schwierigkeit, dass das Jahr nach dem ''mos pisanus'' am 25. März des – aus Sicht gewöhnlicher Jahreszählung – voraufgegangenen Jahres begann, so dass von solchen Jahresangaben ein Jahr abzuziehen ist, sofern die Datierung nicht im letzten Jahresviertel (von Januar bis 24. März) erfolgte.

Von Leonardo sind noch einige weitere Werke erhalten: eine ''Practica geometriae'' von 1220 (1219?), gewidmet einem Freund und Lehrer Dominicus, die im 15. Jahrhundert von Cristoforo Gherardo di Dino auch ins Italienische übertragen wurde; ein ''Liber quadratorum'' von 1225 (1224?), der [[Friedrich II. (HRR)|Friedrich II.]] gewidmet ist und erwähnt, dass dieser bereits ein Buch Leonardos gelesen habe, was man auf den ''Liber abbaci'' zu beziehen pflegt; ferner eine nicht datierte Schrift ''Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometriam uel ad utrumque pertinentium'', welche dem Kardinal [[Raniero Capocci]] von Viterbo gewidmet ist und Fragen behandelt, die Leonardo im Beisein Friedrichs II. von einem Magister Johannes aus Palermo vorgelegt worden sein sollen; und schließlich ein Brief an einen Magister Theodorus. Aus Leonardos Schriften geht hervor, dass er auch noch zwei weitere, heute nicht mehr erhaltene Schriften verfasste, ein kürzeres Rechenbuch und einen Kommentar zum zehnten Buch der Elemente Euklids.

Die zweite Fassung des ''Liber abbaci'' entstand dem Widmungsprolog zufolge für [[Michael Scotus]] († um 1236), nachdem dieser von Leonardo eine Abschrift des Werkes erbeten und Leonardo aus diesem Anlass einige Ergänzungen und Kürzungen vorgenommen hatte. Da Michael Scotus ab Herbst 1227 am Hof Friedrichs II. bezeugt ist, hat man 1227 auch als Entstehungsdatum für die erhaltene zweite Fassung des ''Liber abbaci'' angenommen, tatsächlich kann sie aber auch früher oder später entstanden sein, jedoch nicht vor 1220 (1219?), da sie bereits auf die ''Practica geometriae'' verweist.

Die letzte Erwähnung Leonardos findet sich in einem Dekret der Kommune von Pisa, das ihn als geachteten Magister Leonardus Bigollus für seine Verdienste als Steuerschätzer und Rechenmeister der Stadt würdigt und ihm für künftige Dienste dieser Art ein Jahresgehalt von zwanzig Pfund Pfennigen zuzüglich der bei solchen Beamten üblichen Naturalien gewährt. Der Herausgeber Bonaiini hatte das im Text nicht datierte Dokument auf 1241 datiert, allerdings ohne Angabe von Gründen. Falls die Datierung zutrifft, starb Leonardo nicht vor 1241 (wegen der Divergenz des ''mos pisanus'' in der Forschung manchmal auch „nicht vor 1240“ angegeben), so dass er, wenn man das Geburtsjahr um 1180 ansetzt, ein für die Zeit nicht unbeachtliches Alter von mindestens sechzig Jahren erreicht hätte und auch in diesem Alter von der Kommune noch für weitere Dienste vorgesehen gewesen wäre.

== Der Inhalt des Liber abbaci ==
Der ''Liber abbaci'' legt den Schwerpunkt ausdrücklich mehr auf die Theorie als die Praxis (''magis ad theoricam spectat quam ad practicam'') und geht tatsächlich in seinen Ansprüchen weit über alles hinaus, was dem lateinischen Mittelalter bis dahin bekannt geworden war oder bis zum 16. Jahrhundert noch bekannt werden sollte. Die Besonderheit liegt dabei nicht so sehr in der Schwierigkeit der Aufgaben, sondern in der mathematischen Intelligenz des Autors, seiner Durchdringung der Materie und dem besonderen Wert, den er darauf legt, Lösungen und Regeln nicht nur vorzuführen, sondern auch mathematisch zu beweisen. Der ''Liber abbaci'' ist in 15 capitula unterteilt:

# ''De cognitione nouem figurarum yndorum, et qualiter cum eis omnis numerus scribatur; et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de introductionibus abbaci'': Von der Kenntnis der neun Zahlzeichen der Inder, und wie mit ihnen jegliche Zahl geschrieben wird; und wie die Zahlen mit den Händen gemerkt werden sollen, und von der Einführung der Rechenkunst.
# ''De multiplicatione integrorum numerorum'': Von der Multiplikation natürlicher Zahlen.
# ''De additione ipsorum ad inuicem'': Von der Addition derselben miteinander.
# ''De extractione minorum numerorum ex maioribus'': Von der Subtraktion kleinerer Zahlen von größeren.
# ''De diuisione integrarum'' (sic) ''numerorum per integros'': Von der Teilung natürlicher Zahlen durch natürliche Zahlen.
# ''De multiplicatione integrarum'' (sic) ''numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis'': Von der Multiplikation natürlicher Zahlen mit Brüchen und der Multiplikation von Brüchen ohne Ganze.
# ''De additione ac extractione et diuisione numerorum integrarum cum ruptis atque partium numerorum in singulis partibus reductione'': Von der Addition und Subtraktion und Division natürlicher Zahlen mit Brüchen und der Zerlegung von Brüchen in Stammbrüche.
# ''De emptione et venditione rerum uenalium et similium'': Vom Kauf und Verkauf von Waren und ähnlicher Dinge. – Behandelt Dreisatz, Umrechnung von Währungen, Tuch- und andere Maße sowie Gewichte.
# ''De baractis rerum uenalium et de emptione bolsonalie, et quibusdam regulis similibus'': Vom Tauschhandel mit Waren und dem Kauf von Bolsonalien (Münzen, deren Wert sich nach ihrem Silberanteil richtet), und einigen ähnlichen Regeln.
# ''De societatibus factis inter consocios'': Von den Gesellschaften unter Gesellschaftern. – Behandelt werden zunächst Rechenaufgaben zu Viehfutter, Baumschlag und Nahrung, dann dem Titel gemäß die Gewinnaufteilung unter Gesellschaftern nach ihrem Anteil am eingesetzten Kapital.
# ''De consolamine monetarum atque eorum regulis, que ad consolamen pertinent'': Von der Legierung des Geldes und den Regeln, die die Legierung betreffen. – Es geht speziell darum, aus Kupfer-Silber-Legierungen mit bekanntem Silberanteil einen neue Legierung mit vorgegebenem Silberanteil herzustellen.
# ''De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus'': Von den Lösungen vieler Fragen, die wir als erratische bezeichnen. – Das umfangreichste Kapitel, das etwa ein Drittel des Gesamtwerks einnimmt, ist seinerseits in neun Unterkapitel eingeteilt:
## ''De collectionibus numerorum, et quarundam aliarum similium questionum'': Von den Sammlungen der Zahlen, und einigen ähnlichen Fragen. – Behandelt ist die Summierung arithmetischer Reihen.
## ''De proportionibus numerorum'': Von Zahlenproportionen. – Behandelt Systeme von linearen Gleichungen.
## ''De questionibus arborum, atque aliarum similium, quarum solutiones fiunt'': Von Aufgaben mit Bäumen, und anderen ähnlichen Aufgaben, deren Lösungen sie (d. h. die Proportionen) bieten. – Anwendung der im vorigen Unterkapitel besprochenen Regeln.
## ''De inuentione bursarum'': Von der Findung von Geldbörsen. – Fortsetzung des Themas mit Rechenaufgaben, die sich um gefundene Geldbörsen drehen.
## ''De emptione equorum inter consocios, secundum datam proportionem'': Vom Kauf von Pferden unter Gesellschaftern, gemäß einer gegebenen Proportion.
## ''De uiagiis, atque equorum questionum, que habent similitudinem uiagiorum questionibus'': Von Reisen und Aufgaben mit Pferden, die den Aufgaben mit Reisen ähneln. – Behandelt u. a. Zinsaufgaben.
## ''De reliquis erraticis, que ad inuicem in eorum regulis uariantur'': Von den übrigen erratischen Aufgaben, die sich untereinander in ihren Lösungswegen unterscheiden. – Enthält u. a. die berühmte Kaninchenaufgabe, die Leonardo eher kurz und beiläufig behandelt, und die in seinen Schriften offenbar auch der einzige Anwendungsfall der [[Fibonacci-Folge]] ist.
## ''De quibusdam diuinationibus'': Von einigen Rateaufgaben. – Aufgaben zu Resteproblemen, bei denen z. B. eine Zahl anhand der Reste ihrer Teilung durch mehrere andere Zahlen zu erraten ist.
## ''De Duplicatione scacherii, et quibusdam aliis questionibus'': Von der Verdoppelung auf dem Schachbrett, und einigen anderen Aufgaben. – Aufgaben rund um die Zahl (2^64)-1
# ''De regula elcataym qualiter per ipsam fere omnes erratice questiones soluantur'': Von der Regel „al-hata‘ain“, wie durch diese fast alle falschen Aufgaben gelöst werden können. – Behandelt die Regel vom zweifachen falschen Ansatz (''regula duarum falsarum posicionum''), heute auch ''[[regula falsi]]'' oder „lineares Eingabeln“ genannt, die bei linearen Problemen aus zwei falschen Lösungen die richtige berechnet.
# ''De reperiendis radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et diuisione seu extractione earum inter se, et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum radicum'': Vom Auffinden von Quadrat- und Kubikwurzeln durch deren Multiplikation und Division oder Subtraktion untereinander, und von Binomen und Differenzen und deren Wurzeln.
# ''De regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre almuchabale'': Von den Regeln, die die Proportionen der Geometrie betreffen: von den Aufgaben der Algebra und Almuchabala. – Zu quadratischen Gleichungen.

== Biographische Zeugnisse ==

Aus dem Widmungsprolog des ''Liber abbaci'', ed. B. Boncompagni, vol. I, Rom 1857, S. 1:
{{Zitat
|Text=Cvm genitor meus a patria publicus scriba in duana bugee pro pisanis mercatoribus ad eam confluentibus constitutus preesset, me in pueritia mea ad se uenire faciens, inspecta utilitate et commoditate futura, ibi me studio abbaci per aliquot dies stare uoluit et doceri. Vbi ex mirabili magisterio in arte[m] per nouem figuras indorum introductus, scientia artis in tantum mihi pre ceteris placuit, et intellexi ad illam, quod quicquid studebatur ex ea apud egyptum, syriam, graeciam, siciliam et prouinciam cum suis uariis modis, ad que loca negotiationis tam postea peragraui per multum studium et disputationis didici conflictum. Sed hoc totum etiam et algorismum atque arcus pictagore quasi errorem computaui respectu modi indorum.
|Übersetzung=Als mein Erzeuger von der Vaterstadt in die Handelsniederlassung von Bougie um der dort zusammenkommenden Pisaner Kaufleute willen als öffentlicher Notar abgeordnet worden war, ließ er mich in meinen Knabenjahren zu sich kommen. In Anbetracht des künftigen Nutzens und Vorteils wollte er, dass ich dort in der Schule des Rechnens für einige Tage verweile und unterrichtet werde. Wo ich dann aus bewunderungswürdiger Meisterschaft in die Kunst mit den neun Zahlzeichen der Inder eingeführt wurde, und so sehr gefiel mir die Wissenschaft dieser Kunst mehr als alle anderen und war ich um Einsicht in sie bemüht, dass ich was immer von ihr mit ihren verschiedenen Arten in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und Südfrankreich zu lernen ist, auf späteren Reisen zu diesen Handelsorten mit großem Aufwand an Studium und Disputationen mir aneignete. Doch alles dies und ebenso den Algorismus und die Bögen des Pythagoras hielt ich gleichsam für einen Irrtum im Vergleich zur Rechenart der Inder.}}

Aus dem ''Constitutum usus pisanae civitatis'', Zitat und Übersetzung nach H. Lüneburg: ''Leonardo Pisanos Liber abbaci''. In: ''Der Mathematik-Unterricht'' 42,3 (1996), S. 31–42, S. 31:
{{Zitat
|Text=Considerantes nostre civitatis et civium honorem atque profectum, qui eis tam per doctrinam quam per sedula obsequia discreti et sapientis viri magistri Leonardi Bigolli, in abbacandis estimationibus et rationibus civitatis eiusque officialium, et aliis quoties expedit, conferunter; ut eidem Leonardo, merito, dilectionis et gratie, atque scientie sue prerogativa, in recompensatione laboris sui, quem substinet in audiendis et consolidandis estimationibus et rationibus supradictis, a communi et camerariis publicis de communi et pro communi mercede sive salario suo, annis singulis, libre xx denariorum et amisceria consueta dari debeant; ipseque Pisano communi et eius officialibus in abbacatione de cetero, more solito, servat; presenti constitutione firmamus (…).
|Übersetzung=In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo, die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, dass eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung und Feststellung oben genannter Schätzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern – von der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd – als Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die üblichen Naturralleistungen gegeben werden müssen und dass er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie gewohnt durch Ausführung von Rechnungen dient.}}

== Zur Statue Leonardos ==
[[Datei:Leonardo da Pisa.jpg|miniatur|Statue Leonardos, Camposanto di [[Pisa]], 1863]]

In Pisa befindet sich im [[Kreuzgang]] des historischen Friedhofes [[Camposanto (Pisa)|Camposanto]] eine [[Statue]] Leonardos, welche die Inschrift: ''A Leonardo Fibonacci Insigne Matematico Pisano del Secolo XII'' trägt. Als [[Porträt]] ist die Darstellung ein Produkt künstlerischer Phantasie, da aus Leonardos eigener Zeit keine Abbildungen und keine Überlieferung über dessen Aussehen existiert.

Die Statue geht zurück auf die Initiative von zwei Mitgliedern der provisorischen Regierung des ehemaligen Großherzogtums [[Toskana]], Bettino Ricasoli und Cosimo Ridolfi, die am 23. September 1859 ein Dekret zur Finanzierung der Statue herbeiführten. Beauftragt wurde der Florentiner Bildhauer [[Giovanni Paganucci]], der das Werk 1863 vollendete. Die Statue wurde in Pisa auf dem Campo Santo aufgestellt, wo Grabmonumente Pisaner Bürger zusammen mit antiken Sarkophagen und neu hinzugefügten Kunstwerken seit dem Mittelalter ein einzigartiges Grab- und Gedenkensemble bilden.

Zur Zeit des [[Faschismus]] entschieden die Behörden in Pisa, die Statue Leonardos 1926 ebenso wie zwei Statuen anderer namhafter Bürger Pisas aus der sakralen Abgeschiedenheit des Campo Santo heraus an öffentlich besser sichtbare Standorte zu versetzen. Die Statue Leonardos wurde am südlichen Ende des Ponte di Mezzo aufgestellt. Während des [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieges]] wurde 1944 bei den Kämpfen um Pisa die Brücke zerstört und auch die Statue beschädigt, die zunächst an ihrem Standort verblieb, dann in einem Lager verwahrt wurde und zeitweise in Vergessenheit geriet. In den 1950er Jahren wurde sie wiederentdeckt, notdürftig restauriert und im Park Giardino Scotto am östlichen Eingang der Altstadt aufgestellt. Erst in den 1990er Jahren entschloss sich die pisanische Stadtverwaltung die Statue zu restaurieren und sie wieder an ihrem ursprünglichen Platz im Campo Santo aufstellen zu lassen.

== Siehe auch ==
* [[Fibonacci-Folge]]
* [[Fibonacci-Heap]]
* [[Fibonacci-Baum]]
* [[Fibonacci-Identität]]
* [[Fibonacci-Primzahl]]
* [[Fibonacci-Börsenzyklik]] von [[Wolfgang Bogen]]

== Ausgaben ==
* [[Baldassare Boncompagni]], ''Tre scritti inediti di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano'', Florenz: Tipografia Galileiana di M. Cellini e C., 1854 ([http://books.google.com/books?id=jdhMAAAAMAAJ Digitalisat bei Google Books]), 2. Ausgabe: ''Opuscoli di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano, Seconda edizione'', Florenz: Tipografia Galileiana di M. Cellini e C., 1856 ([http://books.google.com/books?id=lzYIAAAAIAAJ Digitalisat bei Google Books]; [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN578592444 Digitalisat] im Göttinger Digitalisierungszentrum)

* Baldassare Boncompagni, ''Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo'', Roma: Tipografia delle scienze matematiche e fisiche; vol. I: ''Il liber abbaci pubblicato secondo la lezione del codice Magliabechiano C. I, 2616, Badia Fiorentina, no. 73'' (1857); vol. II: ''Practica Geometriae et Opuscoli'' (1862) ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN594118492 Digitalisate] beider Bände im Göttinger Digitalisierungszentrum; Digitalisate von [http://www.mdz-nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bvb:12-bsb10525679-8 Band 1] und [http://www.mdz-nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bvb:12-bsb10525681-6 Band 2] im Münchener Digitalisierungszentrum)

* [[Paul ver Eecke]], ''Léonard de Pise, Le livre des nombres carrées. Traduit pour la première fois du latin médiéval en français, avec une introduction et des notes''. Brügge: Desclée, De Brouwer, 1952

* Gino Arrighi, ''La pratica di geometria volgarizzata da Cristofano di Gherardo di Dino, cittadino pisano, dal codice 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze''. Pisa: Domus Galilaeana, 1966 (= Testimonianze di storia della scienza, 3)

* Lucia Salomone, ''È chasi della terza parte del XV capitolo del Liber Abaci nella trascelta a cura di maestro Benedetto: secondo la lezione del codice L.IV.21 (sec. XV) dell Biblioteca Comunale di Siena''. Siena: Servizio Editoriale dell'Università, 1984 (= Quaderni del Centro Studi della Matematica Medioevale, 10)

* Laurence E. Sigler, ''Leonardo Pisano Fibonacci, The book of squares: an annotated translation into modern English'', Boston/London: Academic Press, 1987, ISBN 0-12-643130-2

* Jean-Pierre Levet, ''Léonard de Pise, Des chiffres hindous aux racines cubiques: extraits du Liber abaci, introduction, traduction et brefs commentaires mathématiques et philologiques'', Poitiers: IREM, 1997 (= Cahiers d’histoire des mathématiques et d’épistémologie)

* Jean-Pierre Levet, ''Léonard de Pise, Divisions et portions, perles et animaux'', Poitiers: IREM, 1997 (= Cahiers d’histoire des mathématiques et d’épistémologie)

* Laurence E. Sigler, ''Fibonacci's Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation'', New York: Springer, 2002, ISBN 0-387-95419-8, dazu kritisch Heinz Lüneburg, [http://www.mathematik.uni-kl.de/~luene/miszellen/abbaci.html Rezension]

* Barnabas Hughes, ''Fibonacci's De Practica Geometrie'', New York: Springer, 2008, ISBN 978-0-387-72930-5 (engl. Übersetzung mit Kommentar, ohne Wiedergabe des lateinischen Textes)

== Literatur ==

* ''Leonardo Fibonacci: matematica e società nel Mediterraneo nel secolo XIII'', Pisa: Istituti editoriali e poligrafici internazionali, 2005, ISBN 88-8147-374-7, Sondernummern des Bollettino di storia delle scienze matematiche, anno 23, num. 2 (Dez. 2003), anno 24, num. 1 (Juni 2004)

* [[Heinz Lüneburg]]: ''Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers''. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, Mannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag, 1999, ISBN 3-411-15462-4

* Heinz Lüneburg: ''Leonardo Pisanos Liber abbaci.'' In: Der Mathematik-Unterricht 42,3 (1996), S. 31–42

* Marcello Morelli / Marco Tangheroni (Hrsg.): ''Leonardo Fibonacci: il tempo, le opere, l'eredita scientifica''. Pisa: Pacini, 1994

* M. Mucillo: Art. ''Fibonacci, Leonardo'', in: [[Dizionario Biografico degli Italiani]], Bd. XL (Rom: Istituto della Enciclopedia Italiana, 1991): [http://www.treccani.it/Portale/elements/categoriesItems.jsp?pathFile=/sites/default/BancaDati/Dizionario_Biografico_degli_Italiani/VOL47/DIZIONARIO_BIOGRAFICO_DEGLI_ITALIANI_Vol47_019246.xml Online-Version]

* [[Helmuth Gericke]]: ''Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes''. Berlin [et al.]: Springer, 1990, S. 96–104, ISBN 3-540-51206-3

* [[Moritz Cantor]]: ''Vorlesungen über Geschichte der Mathematik'', II: ''Vom Jahre 1200 bis zum Jahre 1668.'' 2. Aufl. 1900, Repr. New York / Stuttgart 1965 (= Bibliotheca mathematica Teubneriana, 7)

* [[Édouard Lucas]]: [[:Datei:Recherches Sur Plusieurs Ouvrages De Léonard De Pise Et Sur Diverses Questions D’Arithmétique Supérieure, Édouard Lucas (1877).pdf|''Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d'arithmétique supérieure'']]. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10 (1877), S. 129–193, S. 239–293

* Francesco Bonaini: ''Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci, nuovamente trovata.'' Pisa: Nistri, 1858

* Baldassare Boncompagni: ''Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo.'' Rom: Tipografia delle Belle Arti, 1854 ([http://books.google.com/books?id=_4AAAAAAMAAJ Digitalisat bei Google Books]; [http://www.mdz-nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:bvb:12-bsb10593726-0 Digitalisat] im Münchner Digitalisierungszentrum)

* Baldassare Boncompagni: ''Della vita e delle opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo.'' In: ''Atti dell‘Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei'' 5 (1852), S. 5–91, S. 208–246

== Weblinks ==
{{Wikisource|Scriptor:Leonardo Fibonacci|Leonardo Fibonacci|lang=la}}
{{Commonscat|Fibonacci}}
* {{DNB-Portal|11868700X}}
* [http://dante.di.unipi.it/ricerca/html/lia.html Auszüge aus dem Liber abbaci] (Università di Pisa, Area della ricerca linguistica, Testi di Pisa)
* Charles Burnett: [http://www.muslimheritage.com/topics/default.cfm?TaxonomyTypeID=12&TaxonomySubTypeID=60&TaxonomyThirdLevelID=-1&ArticleID=472 ''Leonard of Pisa (Fibonacci) and Arabic Arithmetic''], 14. Januar 2005 (zuletzt aufgerufen am 12. April 2008)
* Heinz Lüneburg: [http://www.mathematik.uni-kl.de/~luene/miszellen/Fibonacci.html ''Fibonacci''] (Zum Pisaner Statut)
* Heinz Lüneburg: [http://www.mathematik.uni-kl.de/~luene/miszellen/abbaci.html ''Rezension''] (Zur englischen Ausgabe des ''Liber abbaci'' von Laurence E. Sigler, 2002)
* [http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/immagini_mostra/virtuale.php Virtueller Rundgang durch die Ausstellung ''Un ponte sul Mediterraneo: Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente''] (2002)
* [http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/catalogo/catalogo.php Aus dem Ausstellungskatalog ''Un ponte sul Mediterraneo: Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente''] (Druckausgabe Florenz 2002):
:* Clara Silvia Roero: [http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/catalogo/roero.php ''Algebra e Aritmetica nel Medioevo islamico'']
:* Marco Tangheroni: [http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/catalogo/tangheroni.php ''Pisa e il Mediterraneo all'epoca di Fibonacci'']
:* Enrico Giusti: [http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/catalogo/giusti.php ''Matematica e commercio nel Liber Abaci'']
:* Elisabetta Ulivi: [http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/catalogo/ulivi.php ''Scuole e maestri d’abaco in Italia tra Medioevo e Rinascimento'']
:* Luigi Pepe: [http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/fibonacci/catalogo/pepe.php ''La riscoperta di Leonardo Pisano'']
* Ricardo Moreno: [http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/LeonardoPisa.asp ''Leonardo de Pisa (1180–1250)''], Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas
* [http://www.malhatlantica.pt/mathis/Europa/Medieval/fibocacci/Fibonacci.htm ''Leonardo de Pisa (1170 -124?)''], Centro de Competência Nónio Malha Atlântica
* [http://www.ethbib.ethz.ch/exhibit/fibonacci/index.html Fibonacci. Un ponte sul Mediterraneo.] Virtuelle Ausstellung an der ETH-Bibliothek, Zürich.
* [http://www.epsilones.com/documentos/d-fibonacci.html#fibonacci-ingles Detaillierte Informationen zur Statue Fibonaccis] (englisch)
* {{MacTutor|id=Fibonacci|title=Leonardo Pisano Fibonacci}}

{{Normdaten|TYP=p|GND=11868700X|LCCN=n/84/804089|VIAF=27203458}}

[[Kategorie:Mathematiker des Mittelalters]]
[[Kategorie:Historische Person (Italien)]]
[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
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{{Personendaten
|NAME=Leonardo Fibonacci
|ALTERNATIVNAMEN=Leonardo von Pisa; Leonardo Pisano; Leonardo da Pisa
|KURZBESCHREIBUNG=Mathematiker
|GEBURTSDATUM=um 1170
|GEBURTSORT=[[Pisa]]
|STERBEDATUM=nach 1240
|STERBEORT=
}}

{{Link FA|scn}}

Fibonacci-Folge

2014-03-26T06:13:22Z

TonyMath: /* -> Bejaia */

[[Datei:FibonacciBlocks.svg|thumb|180px|right|Ein Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen.]]
Die '''Fibonacci-Folge''' ist eine unendliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Zahl]]en (den Fibonacci-Zahlen), bei der die Summe zweier benachbarter Zahlen die unmittelbar folgende Zahl ergibt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ({{OEIS|A000045}}). Benannt ist sie nach [[Leonardo Fibonacci]], der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den [[Antikes Griechenland|Griechen]] als auch den [[Indien|Indern]]<ref>{{Cite journal|first=Parmanand|last=Singh|title=The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India|journal=Historia Mathematica|volume=12|issue=3|pages=229–244|year=1985|doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7}}</ref> bekannt.

== Definition der Fibonacci-Folge ==
Die Fibonacci-Folge <math>f_1,\,f_2,\,f_3,\ldots</math> ist durch das [[Rekursion|rekursive]] Bildungsgesetz

: <math>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}</math>   für <math>n > 2</math>

mit den Anfangswerten

: <math>f_1 = f_2 = 1</math>

definiert. Das bedeutet in Worten:

* Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert ''eins'' vorgegeben.
* Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger.

Daraus ergibt sich:

:{| class="wikitable" style="text-align:right"
! n
! ''f''n
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|-
| style="padding-left:0.8em;"| 1{{0}} ||style="border-right:medium solid"| 1{{0}} ||style="padding-left:0.8em;"| 11{{0}} ||style="border-right:medium solid"| 89{{0}} ||style="padding-left:0.8em;"| 21{{0}} ||style="border-right:medium solid"| 10.946{{0}} ||style="padding-left:0.8em;"| 31{{0}} || style="border-right:medium solid"| 1.346.269{{0}} ||style="padding-left:0.8em;"| 41{{0}} || 165.580.141{{0}}
|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
|}

Aus der Forderung, dass die Rekursion

: <math>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}</math>

auch für ganze Zahlen <math>n \leq 2</math> gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt

: <math>f_0 = 0</math>   und   <math>f_{-n} = (-1)^{n+1} f_n \ .</math>

Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann

: <math>\ldots,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots</math>

Darüber hinaus ist eine [[Verallgemeinerte Fibonacci-Folge|Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen]] auf [[komplexe Zahl]]en und auf [[Vektorraum|Vektorräume]] möglich.

== Eigenschaften ==

=== Beziehungen zwischen den Folgegliedern ===
[[Identitätsgleichung|Identitäten]]:
* <math>f_{m+n} = f_{n+1} \; f_m + f_n \; f_{m-1}</math>
* <math>f_{m+n} = f_n\; L_m + (-1)^{m+1} \; f_{n-m}</math> mit der [[Lucas-Folge]] <math>L_m=f_{m+1}+\;f_{m-1}=\Phi^m+\Psi^m</math>, insbesondere:
* <math>f_{2n} = f_n\; L_n = f_n\; (f_{n+1}+f_{n-1})</math>
* <math>f_{2n+1} = f_n^2 + f_{n+1}^2</math>
* <math>f_{n}^2 - f_{n+k} \; f_{n-k}=(-1)^{n-k} f_{k}^2</math> (Identität von [[Eugène Charles Catalan|Catalan]])
* <math>f_{n+1} \; f_{n-1} - f_{n}^2=(-1)^{n} </math> (Identität von [[Giovanni Domenico Cassini|Cassini]], Spezialfall der Catalan-Identität)
* <math>f_{m} \; f_{n+1} - f_{n} \; f_{m+1}=(-1)^{n} f_{m-n} </math> (Identität von [[Philbert Maurice d’Ocagne|d’Ocagne]])

[[Teilbarkeit]]:
* <math>\operatorname{ggT}(f_m,f_n)=f_{\operatorname{ggT}(m,n)}</math>
* Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. <math>\operatorname{ggT}(f_n,f_{n+1})=1</math>.
* <math>m\mid n\Rightarrow f_m\mid f_n</math>; falls <math>m>2</math> ist, gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann <math>f_n</math> für <math>n>4</math> nur dann eine [[Primzahl]] sein, wenn <math>n</math> eine Primzahl ist.
* <math>2 \mid f_n \Leftrightarrow 3 \mid n</math> (genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar)
* <math>3 \mid f_n \Leftrightarrow 4 \mid n</math> (genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar)
* <math>4 \mid f_n \Leftrightarrow 6 \mid n</math> (genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar)
* <math>5 \mid f_n \Leftrightarrow 5 \mid n</math> (genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar)
* <math>7 \mid f_n \Leftrightarrow 8 \mid n</math> (genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar)
* <math>16 \mid f_n \Leftrightarrow 12 \mid n</math> (genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar)<ref>Nicolai N. Vorobiev: ''Fibonacci Numbers.'' Birkhäuser, Basel 2002. ISBN 3-7643-6135-2. S. 59, [http://books.google.de/books?id=uVE_LiXbSpoC&pg=PA59#v=onepage&q&f=false Online-Version]</ref>
:Für die Teilbarkeit durch Primzahlen p gilt unter Verwendung des [[Quadratischer_Rest#Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]:
* <math> p \mid f_{p-1} \Leftrightarrow \left(\frac{5}{p}\right)=1</math>
* <math> p \mid f_{p+1} \Leftrightarrow \left(\frac{5}{p}\right)=-1</math><ref>[http://sternenreise.com/Verschiedenes/Fibonacci-Teilbarkeit.pdf PDF bei sternenreise.com]</ref>

[[Reihe_(Mathematik)|Reihen]]:
* <math>\sum_{i=0}^{n} f_i = f_{n+2}-1</math>
* <math>\sum_{i=1}^{2n} (-1)^{i-1} \; f_i = -f_{2n-1}+1</math>
* <math>\sum_{i=1}^{2n+1} (-1)^{i-1} \; f_i = f_{2n}+1</math>
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_i^2 = f_n \; f_{n+1}</math>
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_{2i-1} = f_{2n}</math>
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_{2i} = f_{2n+1}-1</math>

Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.

=== Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt ===
Wie von [[Johannes Kepler]] festgestellt wurde, nähert sich der [[Quotient]] zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] Φ an. Dies folgt unmittelbar aus der [[Fibonacci-Folge#Näherungsformel für große Zahlen|Näherungsformel]] für große ''n'':

:<math>\lim_{n \to \infty}\frac {f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n \to \infty}{\Phi^{n+1}\over\Phi^n} = \Phi \approx 1{,}618\ldots</math>

Diese Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte [[Kettenbruch]]darstellung
:<math>\frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 1+\frac{1}{1} \qquad \frac{3}{2} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1}} \qquad \frac{5}{3} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}} \qquad \frac{8}{5} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}}}</math>

Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch
:<math>\Phi = 1+\cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+\dotsb}}}}</math>
darstellen.

Φ ist eine [[irrationale Zahl]]. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beiträgt. Am besten lässt sich Φ durch Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen <math>f_0</math> und <math>f_1</math> beliebige natürliche Zahlen annehmen.

=== Zeckendorf-Theorem ===
Das nach [[Edouard Zeckendorf]] benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl ''n'' größer Null eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes <math>n \in \mathbb{N}, n > 0</math> eine eindeutige Darstellung der Form

:<math>n = \sum_{i=2}^{k} c_i f_i \quad\ c_i\in \{0, 1\}; \forall i: c_ic_{i+1}=0</math>

Die entstehende Folge <math>(c)_i</math> von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Da aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ausgeschlossen sind, können keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz unmittelbar hintereinander stehen.

Allgemeiner ist die verwandte Aussage, dass sich jede ''ganze'' Zahl ''z'' eindeutig als Summe verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender ''negaFibonacci''-Zahlen (<math>f_{-k}</math> mit <math>k\geq 1</math>) darstellen lässt.
:<math>z = \sum_{i=1}^{k} c_i f_{-i} \quad\ c_i\in \{0, 1\}; \forall i: c_ic_{i+1}=0</math>
So wäre zum Beispiel <math> -2 = f_{-1} + f_{-4} = 1-3</math> als Binärsequenz <code>1001</code> darstellbar.<ref>{{Literatur | Autor=Donald E. Knuth | Titel=The Art Of Computer Programming Vol. IV}}</ref>

=== Fibonacci-Folgen in der Natur ===
[[Datei:Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Sonnenblume.jpg|thumb|180px|Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen]]
[[Datei:Fibonacci numbers.jpg|thumb|180px|Anordnung gleich großer Kreise im Abstand des goldenen Winkels mit farblicher Markierung der Fibonacci-Spiralen 8, 13, 21, 34.]]

Viele Pflanzen weisen in der [[Phyllotaxis|Anordnung ihrer Blätter]] und anderer Teile [[Spirale]]n auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlen gegeben sind, wie beispielsweise bei den Samen in Blütenständen. Das ist dann der Fall, wenn der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Samen bezüglich der Pflanzenachse der [[Goldener Schnitt#Goldener Winkel|Goldene Winkel]] ist. Hintergrund ist der Umstand, dass die rationalen Zahlen, die den zugrunde liegenden [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] am besten approximieren, Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen.
Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das [[Irrationale Zahl|irrationale]] Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z. B. bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° …). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und sich so die jeweils übereinanderstehenden Blätter maximalen Schatten machen oder maximale ‚Lichtlücken‘ entstehen.

Beispielsweise tragen die Köpfe der [[Silberdistel]] (''Carlina acaulis'') hunderte von gleichgestaltigen Blüten, die in kleineren Köpfen in einer 21-zu-55-Stellung, in größeren Köpfen in 34-zu-89- und 55-zu-144-Stellung in den Fruchtboden eingefügt sind.<ref>G. Hegi: ''Illustrierte Flora von Mitteleuropa'', Band VI/4. 2. Auflage 1987. Weissdorn Verlag, Jena. ISBN 3-936055-23-8 </ref> Auch die Schuppen von Fichtenzapfen wie auch von Ananasfrüchten bilden im und gegen den Uhrzeigersinn Spiralen, deren Schuppenanzahl durch zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen gegeben ist.<ref>Richard A. Dunlap: ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers''. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0, Seite 130–134</ref>

Wissenschaftshistorisch sei hier auf das Buch ''On Growth and Form'' von [[D’Arcy Wentworth Thompson]] (1917) verwiesen.

Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass die Fibonacci-Folge die Ahnenmenge einer männlichen (''n''=1) Honigbiene ([[Apis mellifera]]) beschreibt.
Das erklärt sich dadurch, dass Bienendrohnen sich aus unbefruchteten Eiern entwickeln, die in ihrem [[Genom]] dem Erbgut der Mutter (''n''=2) entsprechen, welche wiederum zwei Eltern besitzt (''n''=3), usw.

== Berechnung ==
=== Formel von Moivre-Binet ===
[[File:Fibonacci explicit (detail).png|thumb|175px|Die Fibonacci-Folge (rot) als Differenz zweier Folgen mit irrationalen Gliedern (schwarz).]]
Das explizite Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge wurde unabhängig voneinander von den französischen Mathematikern [[Abraham de Moivre]] im Jahr 1718 und [[Jacques Philippe Marie Binet]] im Jahr 1843 entdeckt. Dazwischen war sie aber auch den Mathematikern [[Leonhard Euler]] und [[Daniel Bernoulli]] bekannt, letzterer lieferte 1728 auch den vermutlich ersten Beweis.<ref>In manchen Büchern wird für de Moivres Entdeckung auch 1730 angegeben oder auch die Entdeckung nur Binet zugeschrieben. Für de Moivre, Bernoulli und Binet siehe dazu Beutelspacher (Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1988. ISBN 3-411-03155-7, S. 90) und Schröder (u. a. in: Herbert Schröder: ''Wege Zur Analysis: Genetisch - Geometrisch - Konstruktiv''. Gabler 2001, ISBN 3540420320, S. 12 ({{Google Buch|BuchID=jPQJIOzPcKkC|Seite=12|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})). Dass die Formel zudem auch Euler bekannt war findet man z. B. bei Winkler (Peter Winkler: ''Mehr mathematische Rätsel für Liebhaber''. Gabler 2010, ISBN 9783827423498, S. 46 ({{Google Buch|BuchID=qyqJVjyW3k0C |Seite=46|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})) oder Ben-Menahem (Ari Ben-Menahem: ''Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences- Band 1''. Springer 2009, ISBN 9783540688310, S. ({{Google Buch|BuchID=9tUrarQYhKMC|Seite=611|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}}))</ref>

Die Fibonacci-Zahlen lassen sich direkt mittels
:<math>f_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\varphi-\psi}, \qquad n \in \mathbb Z</math>
berechnen, wobei <math>\varphi, \psi</math> die beiden Lösungen der [[Charakteristische Gleichung|charakteristischen Gleichung]] <math>x^2 - x - 1 = 0</math> sind und somit auch <math>\varphi = \Phi</math> und <math>\psi = -\Phi^{-1}</math> gilt. Setzt man
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt 5}2</math>     und     <math>\psi = 1 - \varphi = \frac{1-\sqrt5}2</math>
ein, erhält man die explizite Formel von Moivre-Binet

:<math>f_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}
= \frac1{\sqrt 5} \left[\Phi^n- \left(-\frac1{\Phi}\right)^n\right]
= \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right].</math>

Bemerkenswert ist das Zusammenspiel zweier [[Irrationale Zahlen|irrationaler]] Zahlen ''φ'' und ''ψ'', das zu einem ganzzahligen Ergebnis führt. Die Abbildung zeigt die beiden Teilfolgen mit ''φ'' und ''ψ'' sowie deren Differenz. Der Einfluss von ''ψn'' geht rasch gegen Null. Das kann man verwenden, um die Berechnung zu beschleunigen, indem man den Term ignoriert und das Ergebnis zur nächstgelegenen natürlichen Zahl rundet.

==== Induktiver Beweis ====
Einer der einfachsten Beweise gelingt induktiv. Wegen <math>\tfrac{\varphi^0-\psi^0}{\sqrt5} = 0 = f_0</math> und <math>\tfrac{\varphi^1-\psi^1}{\sqrt5} = 1 = f_1</math> ist der Induktionsanfang erfüllt. Für den Induktionsschritt sei die Formel schon bis ''n'' bewiesen und wir betrachten
:<math>f_{n-1}+f_n = \frac{\varphi^{n-1}-\psi^{n-1}+\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}
= \frac{\varphi^n(1+\frac1{\varphi})-\psi^n(1+\frac1{\psi})}{\sqrt5}
= \frac{\varphi^{n+1}-\psi^{n+1}}{\sqrt5}
= f_{n+1}
</math>.
Dabei haben wir benutzt, dass <math>\varphi</math> und <math>\psi</math> der charakteristischen Gleichung <math>x^2 = x + 1</math> bzw. <math>1 + \tfrac1{x} = x</math> genügen.

==== Herleitung der Formel von Moivre-Binet ====

Die Formel von Binet kann mit Matrizenrechnung und dem [[Eigenwertproblem]] in der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]] hergeleitet werden mittels folgendem Ansatz:
:<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} f(0) \\ f(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n+1) \end{pmatrix}, f(0)=0 \text{ und } f(1)=1 \text{ mit } n\geq 0.</math>

Nun transformiert man die Matrix <math>A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math> in eine Diagonalmatrix <math>D</math> durch Betrachtung als [[Eigenwertproblem]].

Es gilt <math>A=TDT^{-1}</math>, wobei <math>T</math> die Matrix der Eigenvektoren und <math>D</math> die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist. Damit folgt:

<math>
\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
f(0) \\
f(1)
\end{pmatrix}
& = A^n
\begin{pmatrix}
f(0) \\
f(1)
\end{pmatrix}
= \left(TDT^{-1}\right)^n
\begin{pmatrix}
f(0) \\
f(1)
\end{pmatrix}
= TD^nT^{-1}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1-\sqrt{5}}{2} & 0 \\
0 & \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{pmatrix}^n
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2} & \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & 0 \\
0 & \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\\
\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n & \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} \\
\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
- \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\\
- \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\\
\frac{1}{\sqrt{5}} \left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
f(n) \\
f(n+1)
\end{pmatrix}
\end{align}</math>

==== Herleitung mittels Differenzengleichung ====

Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie zu [[Lineare Differenzengleichung|linearen Differenzengleichungen]]:

Sei <math>C_n = x^n, n\in\N_0</math> eine [[geometrische Folge]], so ergibt sich:
:<math>C_{n+1} - C_n - C_{n-1} = x^{n+1} - x^n - x^{n-1} = (x^2 - x - 1) x^{n-1}</math>

Wenn also <math>x</math> so gewählt wird, dass die charakteristische Gleichung <math>x^2 - x - 1 = 0</math> erfüllt ist (also <math>x=\varphi</math> oder <math>x=\psi\ </math>), wird <math>C_{n+1} = C_n + C_{n-1}</math>, d. h., <math>C_n</math> erfüllt die Fibonacci-Rekursion mit dem Rekursionsanfang <math>C_0=1</math> und <math>C_1=x</math>.

Die rekursive Folge <math>A_0=1</math>, <math>A_1=\varphi</math>, <math>A_{n+1} = A_n + A_{n-1}</math> hat die explizite Darstellung <math>A_n=\varphi^n</math>. Ebenso <math>B_0=1</math>, <math>B_1=\psi\ </math>, <math>B_n=\psi^n\ </math>.

Mit <math>A_n</math> und <math>B_n</math> genügt durch die [[Superposition (Mathematik)|Superpositionseigenschaft]] auch jede [[Linearkombination]] <math>L_n=\alpha A_n + \beta B_n</math> der Fibonacci-Rekursion
<math>L_{n+1} = L_n + L_{n-1}</math>. Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems ergibt sich
<math>\alpha=\tfrac{1}{\sqrt5}</math> und <math>\beta=-\tfrac{1}{\sqrt5}</math>, damit
<math>L_0=\tfrac{\varphi^0-\psi^0}{\sqrt5} = 0 = f_0</math> und
<math>L_1=\tfrac{\varphi^1-\psi^1}{\sqrt5} = 1 = f_1</math>.
Folglich ergibt sich explizit <math>F_n = \tfrac{A_n-B_n}{\sqrt5} = \tfrac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}</math>.

Für <math>\alpha=\beta=1</math> ergibt sich <math>L_0=2</math> und <math>L_1=1</math>, d. h. die klassische [[Lucas-Folge]] mit explizit <math>L_n = A_n+B_n = \varphi^n+\psi^n</math>.

=== Erzeugende Funktion ===
Die [[erzeugende Funktion]] der Fibonacci-Zahlen ist
: <math>\sum_{n=0}^\infty f_n z^n = \frac{z}{1-z-z^2}.</math>
Die auf der linken Seite stehende [[Potenzreihe]] konvergiert für <math>|z|<1/\Phi=0,618...</math>. Über die [[Partialbruchzerlegung]] erhält man wiederum die Formel von Moivre-Binet.

Durch Entwicklung der obigen Erzeugenden Funktion <math>\textstyle \frac{z}{1-z-z^2} = z\cdot\frac{1}{1-(z+z^2)}</math> in eine Potenzreihe um <math>z=0</math> ergibt sich durch Koeffizientenvergleich ein Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und den Binomialkoeffizienten. Dies gelingt durch Einsetzen des Polynoms <math>w=z+z^2</math> in die Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{1-w}</math> mit <math>|z|<1/\Phi</math> und somit <math>|w|<1</math>.

Nach Multiplikation mit ''z'' ergibt sich <math>\textstyle z\sum_{l\geq 0} (z+z^2)^l= \sum_{l\geq 0} z^{l+1} \sum_{k=0}^{l} \tbinom l k z^k</math>, nach Umformen dieser Summe zu einer [[Binomialreihe]].

Die letzte Summe kann mittels Umbenennung der Summationsindizes vereinfacht werden zu <math>\textstyle \sum_{0 \leq k \leq l} \tbinom l k z^{l+k+1} = \sum_{n \geq 0} z^n \sum_{k=0}^{n} \tbinom {n-k-1} {k} </math>.

Koeffizientenvergleich liefert schließlich <math>\textstyle f_n = \sum_{k=0}^n \tbinom {n-k-1} {k}</math>.

Alternativ ergibt sich über die Definition <math>\textstyle G(z) := \frac{z}{1 - z - z^2} </math> die Darstellung

:<math> f_n = \frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n} G(0). </math>

=== Darstellung mit Matrizen ===
Die Fibonacci-Zahlen tauchen auch als Einträge der Potenzen der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}</math> auf:
: <math>\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_n\\f_n&f_{n-1}\end{pmatrix}.</math>
Aus der Relation <math>A^{m+n}=A^mA^n</math> ergibt sich beispielsweise die erste oben angegebene Formel für <math>f_{m+n}</math>.
<math>A</math> beschreibt zugleich die Summationsvorschrift der Fibonacci-Folge, denn ihr Produkt mit einem Paar aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Spaltenmatrix geschrieben) ergibt das nächste Paar; entsprechend erzeugt <math>A^n</math> das <math>n</math>-te Paar aus dem Startpaar <math>(0,1)</math>. Dies und die Tatsache, dass die Eigenwerte von <math>A</math> gerade der [[Goldener Schnitt|Goldene Schnitt]] und dessen Kehrwert (letzterer mit negativem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]) sind, führen wieder auf die oben genannte Formel von Binet.

=== Näherungsformel für große Zahlen ===
Für große Werte von ''n'' wird <math>\psi^n = \left(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n</math>
in der Formel von Binet immer kleiner, da der Ausdruck in der Klammer vom [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>< 1</math> ist. Deshalb erhält man die Näherungsformel

:<math>f_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}} {\phi}^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n</math>

Der Absolutbetrag des Quotienten <math>\tfrac{\psi^n}{\sqrt{5}}</math> ist für alle n kleiner als 0,5. Demnach beschreibt die Näherungsformel das exakte Ergebnis mit einem Fehler von weniger als 0,5. Durch Runden kommt man daher wieder zu einer exakten Formel:

:<math>f_n = \left\lfloor\frac{1}{\sqrt{5}} {\phi}^n + \frac{1}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \frac{1}{2}\right\rfloor </math>
mit der [[Gaußklammer]] <math>\lfloor{\cdot}\rfloor</math>.

=== Verallgemeinerungen ===
Die klassische („kanonische“) Fibonacci-Folge ist durch drei Kriterien charakterisiert:
* Eine lineare Iteration, welche die beiden vorangehenden Folgenglieder einbezieht
* Eine Linearkombination dieser Folgenglieder, in der beide Vorgänger den Koeffizienten +1 tragen
* Beide Startglieder gleich +1

Jedes dieser Kriterien erlaubt eine Verallgemeinerung:

* Die Wahl ''anderer Startglieder'' <math>u\!\,</math> und <math>v\!\,</math> liefert eine Folge <math><a_n>\!\,</math>, die mit der kanonischen Folge nach der Beziehung <math>a_n\!\,=u\cdot f_{n-2}+v\cdot f_{n-1}</math> zusammenhängt. Ein Beispiel hierfür ist die [[Lucas-Folge]] <math><L_n>\!\,</math>.
:Für die Glieder einer solchen Folge gilt ein gegenüber der Formel von Moivre-Binet verallgemeinertes explizites Bildungsgesetz:
::<math>a_n\!\,= \frac{k\cdot \varphi^n-l\cdot \psi^n}{\sqrt5}</math> mit <math>k\!\,=u\cdot \psi^2-v\cdot \psi</math> und <math>l\!\,=u\cdot \varphi^2-v\cdot \varphi</math>.
:Die kanonische Folge stellt sich hier als Spezialfall mit u=v=1 dar, was wegen der charakteristischen Gleichung sofort k=1 und l=1 liefert.

* Die Wahl ''anderer Koeffizienten'' für die Linearkombination liefert eine Folge, für die eine andere charakteristische Gleichung gilt. Eine Folge mit der Iterationsvorschrift
::<math>a_n\!\,=q\cdot a_{n-2}+p\cdot a_{n-1}</math>
:besitzt die charakteristische Gleichung <math>x^2-px-q=\!\,0</math>. Die Wurzeln dieser Gleichung bestimmen das explizite Bildungsgesetz. Wenn die charakteristische Gleichung die Wurzeln <math>\alpha\!\,</math> und <math>\beta\!\,</math> hat, dann lautet das Bildungsgesetz
:: <math>a_n=\frac{k\cdot \alpha^n-l\cdot \beta^n}{\alpha-\beta}</math>,
:wobei k und l wieder durch die Startglieder bestimmt sind.

* Eine Iteration, die ''mehr als zwei vorangehende Folgenglieder'' einbezieht, besitzt dementsprechend ein Polynom höheren Grades als charakteristische Gleichung, wobei die Wurzeln <math>\!\,x_i</math> dieser Gleichung wieder im Bildungsgesetz auftauchen und die Koeffizienten <math>\!\,k_i</math> durch die Anfangswerte bestimmt sind. Es gilt dann
::<math>a_n=\sum_{i=1}^n {k_ix_i^n}</math>.
:Eine Iteration, die nur das unmittelbar vorhergehende Glied verwendet, liefert in diesem Zusammenhang als entartete Fibonacci-Folge eine reine Potenzfolge.

== Geschichte ==
[[Datei:Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg|thumb|180px|Berechnung der Kaninchenaufgabe im ''Liber abbaci'']]

Ihre früheste Erwähnung findet sich unter dem Namen ''maatraameru'' („Berg der Kadenz“) in der ''Chhandah-shāstra'' („Kunst der [[Versmaß|Prosodie]]“) des [[Sanskrit]]-Grammatikers [[Pingala (Grammatiker)|Pingala]] (um 450 v. Chr. oder nach anderer Datierung um 200 v. Chr.).<ref>Parmanand Singh: ''Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers.'' In: Mathematics Education 20,1 (Siwan, 1986), S. 28–30, ISSN 0047-6269</ref> In ausführlicherer Form behandelten später auch [[Virahanka]] (6. Jh.) und besonders dann [[Acharya Hemachandra]] (1089–1172) diese Zahlenfolge, um die rechnerische Möglichkeit der Bildung von Metren durch regelmäßige Verteilung kurzer und langer Silben zu beschreiben.

In der westlichen Welt war diese Reihe ebenfalls schon in der Antike [[Nikomachos von Gerasa]] (um 100 n. Chr.) bekannt.<ref>Friedrich Gustav Lang: [http://www.stichometrie.de/veroeffentlichungen.html ''Schreiben nach Mass. Zur Stichometrie in der antiken Literatur'']. In: ''Novum Testamentum'', Vol. 41, Fasc. 1, 1999, S. 40–57. Lang verweist S. 55, Fußnote 86, auf Nikomachos von Gerasa, der diese Reihe neben anderen Zahlenreihen aufgelistet habe.</ref> Sie ist aber mit dem Namen des italienischen Mathematikers [[Leonardo Fibonacci|Leonardo da Pisa]], genannt Fibonacci (''„figlio di Bonacci“'', Sohn des Bonacci), verbunden, der in seinem ''Liber abbaci'' („Buch der Rechenkunst“, Erstfassung von 1202 nicht erhalten, zweite Fassung von ca. 1227) diese Zahlenfolge mit dem Beispiel eines Kaninchenzüchters beschrieb, der herausfinden will, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres aus einem einzigen Paar entstehen, wenn jedes Paar ab dem zweiten Lebensmonat ein weiteres Paar pro Monat zur Welt bringt:<ref>Baldassare Boncompagni (Hrsg.): ''Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo'', Bd. I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, Rom, 1857, S. 283–284 (Kap. XII, 7: „Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur“)</ref>

=== Modell einer Kaninchenpopulation ===

Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache [[Mathematisches Modell|mathematische Modellierung]] des [[Wachstum (Mathematik)|Wachstum]]s einer [[Population (Biologie)|Population]] von [[Kaninchen]] nach folgenden Regeln:

# Jedes Paar Kaninchen wirft pro Monat ein weiteres Paar Kaninchen.
# Ein neugeborenes Paar bekommt erst im zweiten Lebensmonat Nachwuchs (die Austragungszeit reicht von einem Monat in den nächsten).
# Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum („in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus“), so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann.

Fibonacci begann die Reihe, nicht ganz konsequent, nicht mit einem neugeborenen, sondern mit einem trächtigen Paar, das seinen Nachwuchs bereits im ersten Monat wirft, so dass im ersten Monat bereits 2 Paare zu zählen sind. In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Fibonacci führte den Sachverhalt für die zwölf Monate eines Jahres vor (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) und wies auf das Bildungsgesetz der Reihe durch Summierung jeweils zweier aufeinanderfolgender Reihenglieder (2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 usw.) hin. Er merkte außerdem an, dass die Reihe sich nach diesem Prinzip für eine unendliche Zahl von Monaten fortsetzen lässt, was dann allerdings unsterbliche Kaninchen voraussetzt: ''„et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.“'' Weitere Beachtung hatte er dem Prinzip in seinen erhaltenen Werken nicht geschenkt.

Eine gerade erschienene mathematisch-historische Analyse zum Leben des Leonardo von Pisa, insbesondere zu seinem

Aufenthalt in der nordafrikanischen Hafenstadt [[Bejaia]] (heute in Algerien), kam zu dem Schluss, dass der Hintergrund der Fibonacci-Folge gar nicht bei einem Modell der Vermehrung von Kaninchen zu suchen ist (was schon länger vermutet wurde), sondern vielmehr bei den Bienenzüchtern von Bejaia und ihrer Kenntnis des Bienenstammbaums zu finden ist. Zu Leonardos Zeit war Bejaia ein wichtiger Exporteur von Bienenwachs, worauf noch heute der französische Name der Stadt (Bougie, wie das frz. Wort für Kerze) hinweist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =March, 2014}}</ref>

Nachdem spätere Mathematiker wie [[Gabriel Lamé]] (1795–1870) die Entdeckung dieser Zahlenfolge für sich beansprucht hatten, brachten [[Édouard Lucas]] (1842–1891)<ref>Edouard Lucas: ''Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique supérieure''. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10 (1877), S. 129–193, S. 239–293</ref> und andere wieder in Erinnerung, dass der zu dieser Zeit älteste bekannte Beleg von Leonardo da Pisa stammte, und unter dem Namen „Fibonacci-Folge“ („suite de Fibonacci“, „Fibonacci sequence“, „successione di Fibonacci“) ist sie seither in den meisten westlichen Sprachen geläufig.

== Rezeptionen in Kunst und Unterhaltung ==
[[Datei:Fibonaccis_Traum.jpg|thumb|Martina Schettina: ''Fibonaccis Traum'', 2008, 40×40 cm]]
* Das [[Lyrik#Gedicht|Systemgedicht]] ''alfabet'' (1981) der dänischen Schriftstellerin [[Inger Christensen]] basiert auf der Fibonacci-Folge.
* Das Cover des Debütalbums der kanadischen Band ''The Organ'', [[Grab That Gun]], wurde von [[David Cuesta]] mithilfe eines auf der Fibonacci-Folge basierenden Rasters entworfen.<ref>''[[w:en:The Organ#Grab That Gun|Grab That Gun.]]'' Auf: ''en.wikipedia.''</ref>
* Der Künstler [[Mario Merz]] setzte sich in seinen Installationen mit der Fibonacci-Folge auseinander.
* Der Gesang im Lied [[Lateralus (Lied)|Lateralus]] der [[Progressive Metal|Progressive-Metal]]-Band [[Tool (Band)|Tool]] basiert auf Fibonacci-Zahlen.<ref name>Hartmann, Graham. [http://loudwire.com/tool-lateralus-top-21st-century-metal-songs/ "No. 1: Tool, ‘Lateralus’ – Top 21st Century Metal Songs"], ''[[Loudwire]]''. Aufgerufen am 22. Februar 2014.</ref>
* Die Künstlerin [[Martina Schettina]] beschäftigt sich in ihren ''mathematischen Bildern'' ebenfalls mit den Fibonacci-Zahlen.<ref>Beitrag in MU – Der Mathematikunterricht „Mathematik und Kunst“ Jg 55 – Heft 2 – April 2009 – Friedrich Verlag, Herausgeber Stefan Deschauer TU Dresden ISSN-Nr. 0025-5807</ref><ref>Ingmar Lehman: [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ieem/BzMU/BzMU2009/Beitraege/LEHMANN_Ingmar_2009_Fibonacci.pdf ''Fibonacci-Zahlen in Bildender Kunst und Literatur.''] Abgerufen am 7. November 2009 (PDF; 131 kB).</ref>
* [[Dan Brown]] verwendet in seinem Thriller ''The Da Vinci Code'' (2003) (deutsch: [[Sakrileg (Roman)|Sakrileg]], 2004) die Fibonacci-Folge als geheime Botschaft.
* Im Film ''[[Pi (Film)|π – System im Chaos]]'' von Darren Aronofsky, in dem der Protagonist nach dem „Muster der Welt” in den Kursdaten von Aktien und in der Zahl π sucht, wird die Fibonacci-Folge erwähnt.
* In der Serie [[Criminal Minds]] (Staffel 4, Folge 8) entführt ein Killer seine Opfer anhand der Fibonacci-Folge.
* Im Film ''[[Nymphomaniac]]'' von Lars von Trier wird im Kapitel 5 - kleine Orgelschule - die Fibonacci-Folge mit einem Bach-Orgelsatz in Verbindung gebracht.

== Fibonacci-Datenstrukturen ==
Die Fibonacci-Folge ist namensgebend für folgende Datenstrukturen, bei deren mathematischer Analyse sie auftritt.
* [[Fibonacci-Baum]]
* [[Fibonacci-Heap]]

== Literatur ==
* [[John Horton Conway|John H. Conway]] und [[Richard Kenneth Guy|Richard K. Guy]], ''The Book of Numbers'', Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.
* Richard A. Dunlap: ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers''. 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0
* [[Huberta Lausch]], ''Fibonacci und die Folge(n)'', Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8.
* [[Paulo Ribenboim]], ''The New Book of Prime Number Records'', Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5.
* [http://www.fq.math.ca/list-of-issues.html ''The Fibonacci Quarterly''], seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Algorithmensammlung: Zahlentheorie: Fibonacci-Folge}}
{{Commonscat|Fibonacci numbers}}
* [http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html Fibonacci-Zahlen] – sehr ausführliche Seite mit weiterführenden Themen
* [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Fibonacci Numbers and the Golden Section] (englisch)
* [http://www.uni-giessen.de/~g013/goldfibo/goldfibo.pdf Fibonacci und der Goldene Schnitt] (PDF; 1,22 MB)
* [[Videoformat|Video]]: [http://www.br.de/fernsehen/br-alpha/sendungen/mathematik-zum-anfassen/mathematik-zum-anfassen-fibonacci-zahlen100.html Die Fibonacci-Zahlen] (aus der Fernsehsendung ''Mathematik zum Anfassen'' des Senders [[BR-alpha]]) von [[Albrecht Beutelspacher]]
* [http://www.boerse-online.de/leseraktionen/leserfrage/sonstiges/508498.html Fibonacci-Faktor] – Wie mit den Fibonacci-Zahlen Börsenkurse vorhergesagt werden
* [http://milan.milanovic.org/math/ Fibonacci Numbers and the Pascal Triangle] (englisch, deutsch, serbisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Fibonaccifolge}}
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Theoretische Biologie]]
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]

Michael Scotus

2014-03-23T11:52:07Z

TonyMath: /* Notes ->Aufzeichnungen */

'''Michael Scotus''' (* um [[1175]] in Schottland; † um [[1235]]) war ein [[mittelalter]]licher [[scholastisch]]er [[Philosoph]], [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde er durch seine Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, leitet sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen ab. Aber wann und wo das genau passierte, ist nicht mehr nachvollziehbar. Einige neuere Quellen gehen von um 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist aber das späte 12. Jahrhundert. Ebenfalls unbekannt ist seine schulische Laufbahn, aber seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein und da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man hier auch auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt dagegen ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte. Bis ins 15. Jahrhundert gab es keine in Schottland. Wann er die [[Britannien|britischen Inseln]] oder [[Schottland]] verließ, weiß man wiederum nicht, aber dass er nicht zurückkehrte, zumindest nicht lebendig.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des (frühen) Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johann von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes und zwar des ''Kitab fi l-hai'a'' des [[Alpetragius]], der zu dieser Zeit noch auf der [[Spanien|spanischen Halbinsel]] lebte.

Wie lange Michael Scotus vor 1217 schon in Toledo lebte, ist wiederum unbekannt. Aber man weiß, dass er noch vor 1220 die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzte, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruhm als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die Übersetzungen der [[Averroës]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren erhalten geblieben, wovon er wahrscheinlich einige am Hofe [[Friedrich II. (HRR)|Friedrichs II.]] vollendete. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert ist und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus’ dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich in höchsten Tönen über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußerte, aber nicht das Griechische erwähnt.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer kleineren medizinischen Tätigkeit nachzugehen. Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger Papst [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof]] von [[Cashel (Tipperary)|Cashel]] in [[Republik Irland|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der irischen Sprache nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als "besten Philosoph" titulierte.

Die zweite Auflage des "Liber Abaci", des berühmten Mathematikbuches von [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]], aus dem Jahr 1227 war Michael Scot gewidmet. Darausist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle spielte bei Fibonacci's Darstellung der Zahlenfolge, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =March, 2014}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte nämlich auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb hier am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert worden, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Und zwar sollte er die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Doch Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

== Liber Introductorius ==
Der ''Liber Introductorius'' ist in drei verschieden Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf den Heiligen [[Franz von Assisi|Franziskus]] hingewiesen. Und dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus' Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus' Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Seit Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236 am Hof Friedrichs II. entstandenenen Gedicht erwähnt [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, daß Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene "Turmrätsel", und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

==Aufzeichnungen==
<references/>

== Werke ==
* Aristotle, ''De Animalibus. Part three, Books XV-XIX: Generation of animals.'' Michael Scot's Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99-281: Michael Scotus, ''Liber de signis'' (Edition).

== Literatur ==
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009.
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II.'s Philosopher''. In: ''Federico II., e le nuove culture (centro di studi sulla spiritualiá medievale), atti del XXXI. Convegno storico inter-nazionale''. Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: Gunther Wolf (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter''. Berlin 1986 (''Miscellanae Mediaevalia'', Band 18), S. 141–160.
* Lynn Thorndike: ''Michael Scot''. London 1965.
* {{BBKL|m/michael_sco|autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}

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Michael Scotus

2014-03-23T11:50:10Z

TonyMath:

'''Michael Scotus''' (* um [[1175]] in Schottland; † um [[1235]]) war ein [[mittelalter]]licher [[scholastisch]]er [[Philosoph]], [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde er durch seine Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, leitet sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen ab. Aber wann und wo das genau passierte, ist nicht mehr nachvollziehbar. Einige neuere Quellen gehen von um 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist aber das späte 12. Jahrhundert. Ebenfalls unbekannt ist seine schulische Laufbahn, aber seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein und da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man hier auch auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt dagegen ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte. Bis ins 15. Jahrhundert gab es keine in Schottland. Wann er die [[Britannien|britischen Inseln]] oder [[Schottland]] verließ, weiß man wiederum nicht, aber dass er nicht zurückkehrte, zumindest nicht lebendig.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des (frühen) Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johann von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes und zwar des ''Kitab fi l-hai'a'' des [[Alpetragius]], der zu dieser Zeit noch auf der [[Spanien|spanischen Halbinsel]] lebte.

Wie lange Michael Scotus vor 1217 schon in Toledo lebte, ist wiederum unbekannt. Aber man weiß, dass er noch vor 1220 die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzte, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruhm als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die Übersetzungen der [[Averroës]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren erhalten geblieben, wovon er wahrscheinlich einige am Hofe [[Friedrich II. (HRR)|Friedrichs II.]] vollendete. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert ist und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus’ dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich in höchsten Tönen über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußerte, aber nicht das Griechische erwähnt.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer kleineren medizinischen Tätigkeit nachzugehen. Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger Papst [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof]] von [[Cashel (Tipperary)|Cashel]] in [[Republik Irland|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der irischen Sprache nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als "besten Philosoph" titulierte.

Die zweite Auflage des "Liber Abaci", des berühmten Mathematikbuches von [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]], aus dem Jahr 1227 war Michael Scot gewidmet. Darausist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle spielte bei Fibonacci's Darstellung der Zahlenfolge, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =March, 2014}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte nämlich auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb hier am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert worden, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Und zwar sollte er die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Doch Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

== Liber Introductorius ==
Der ''Liber Introductorius'' ist in drei verschieden Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf den Heiligen [[Franz von Assisi|Franziskus]] hingewiesen. Und dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus' Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus' Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Seit Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236 am Hof Friedrichs II. entstandenenen Gedicht erwähnt [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, daß Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene "Turmrätsel", und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

==Notes==
<references/>

== Werke ==
* Aristotle, ''De Animalibus. Part three, Books XV-XIX: Generation of animals.'' Michael Scot's Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99-281: Michael Scotus, ''Liber de signis'' (Edition).

== Literatur ==
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009.
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II.'s Philosopher''. In: ''Federico II., e le nuove culture (centro di studi sulla spiritualiá medievale), atti del XXXI. Convegno storico inter-nazionale''. Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: Gunther Wolf (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter''. Berlin 1986 (''Miscellanae Mediaevalia'', Band 18), S. 141–160.
* Lynn Thorndike: ''Michael Scot''. London 1965.
* {{BBKL|m/michael_sco|autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}

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{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
[[Kategorie:Philosoph des Mittelalters]]
[[Kategorie:Mediziner des Mittelalters]]
[[Kategorie:Alchemist]]
[[Kategorie:Astrologe]]
[[Kategorie:Übersetzer]]
[[Kategorie:Römisch-katholischer Bischof (13. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Zauberer]]
[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 13. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scotus, Michael
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=mittelalterlicher Philosoph, Mediziner, Alchemist und Astrologe
|GEBURTSDATUM=um 1175
|GEBURTSORT=Schottland
|STERBEDATUM=um 1232
|STERBEORT=
}}

Michael Scotus

2014-03-23T11:48:30Z

TonyMath: /* Fibonacci*/

'''Michael Scotus''' (* um [[1175]] in Schottland; † um [[1235]]) war ein [[mittelalter]]licher [[scholastisch]]er [[Philosoph]], [[Medizin]]er, [[Alchemie|Alchemist]] und [[Astrologe]], den [[Dante Alighieri]] als [[Zauberer|Magier]] beschrieb. Bekannt wurde er durch seine Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren [[Aristoteles|aristotelischer]] Werke aus dem [[Arabische Sprache|Arabischen]].

== Jugend und Ausbildung ==
Dass Michael Scotus in [[Schottland]] geboren wurde, leitet sich schon aus seinem selbstgegebenen Namen ab. Aber wann und wo das genau passierte, ist nicht mehr nachvollziehbar. Einige neuere Quellen gehen von um 1175 aus, was aber nicht verifizierbar ist; sicher anzunehmen ist aber das späte 12. Jahrhundert. Ebenfalls unbekannt ist seine schulische Laufbahn, aber seine Ausbildung muss breit gefächert gewesen sein und da er später gewöhnlich ''magister'' Michael Scotus genannt wurde, kann man hier auch auf eine Lehrtätigkeit an einer Universität schließen. Bekannt dagegen ist, dass er bei seinem Onkel aufwuchs und dieser ihn an eine Universität ins Ausland schickte. Bis ins 15. Jahrhundert gab es keine in Schottland. Wann er die [[Britannien|britischen Inseln]] oder [[Schottland]] verließ, weiß man wiederum nicht, aber dass er nicht zurückkehrte, zumindest nicht lebendig.

Bevor er nach [[Toledo]] ging, um als Übersetzer und Astrologe zu arbeiten, lehrte er schon lateinische Sprache und Literatur. Und schon früh zeigte er ein großes Interesse an Bezeichnungen, Namen, Definitionen und Etymologien. So benutzte er auch das Buch ''Etymologien'' des [[Isidor von Sevilla]], welches als die meistgelesene Enzyklopädie des (frühen) Mittelalters auch bei Michael Scotus’ Zeitgenossen noch in hoher Gunst stand und dessen Gebrauch darauf schließen lässt, dass er eine gründliche Ausbildung im Rahmen der elementaren klerikal-lateinischsprachigen Bildung genossen hatte.

== Übersetzungstätigkeiten in Toledo ==
: ''Hauptartikel:'' [[Übersetzerschule von Toledo]]

Durch seine immer noch währende Nähe zum [[Islam]] war [[Toledo]] eine der wichtigsten Städte der Bildung. Hier waren schon verschiedene bekannte Übersetzer tätig, wie zum Beispiel [[Johann von Sevilla]], [[Hermann von Carinthia]], [[Adelard von Bath]], der als erster Student aus [[Britannien]] kam, und [[Gerhard von Cremona]], der Übersetzer des ''[[Almagest]]'' des [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] und des ''De celo et mundo'' des [[Aristoteles]]. Das erste greifbare Datum im Leben Michael Scotus’ ist der 18. August 1217. Zu diesem Zeitpunkt vollendete er die Übersetzung eines arabischen astronomischen Werkes und zwar des ''Kitab fi l-hai'a'' des [[Alpetragius]], der zu dieser Zeit noch auf der [[Spanien|spanischen Halbinsel]] lebte.

Wie lange Michael Scotus vor 1217 schon in Toledo lebte, ist wiederum unbekannt. Aber man weiß, dass er noch vor 1220 die drei arabisch vorliegenden Bücher ''Historia animalium'', ''De partibus animalium'' und ''De generatione animalium'' des [[Aristoteles]] übersetzte, die dann auch durch die Verwendung von [[Albertus Magnus]] für sein ''De animalibus'' großen Einfluss erlangten. Obgleich [[Wilhelm von Moerbeke]] am 23. Dezember 1260 seine Übersetzungen direkt aus dem Griechischen vollendete, wurden die von Michael Scotus noch im 15. Jahrhundert an den Universitäten genutzt.

Sein Ruhm als Übersetzer gründet sich aber hauptsächlich auf die Übersetzungen der [[Averroës]]-Kommentare der [[Aristoteles]]-Schriften wie ''De anima'', ''De sensu et sensato'', ''De celo et mundo'', ''Physica'' und ''Metaphysica''. Insgesamt sind 14 Übersetzungen von [[Averroës]]-Kommentaren erhalten geblieben, wovon er wahrscheinlich einige am Hofe [[Friedrich II. (HRR)|Friedrichs II.]] vollendete. Diese Übersetzungen aus dem Arabischen setzen aber nicht nur sehr gute Sprachkenntnisse, sondern auch detaillierte Kenntnisse des Inhaltes voraus, da die arabische Schrift unvokalisiert ist und dies zu schwerwiegenden inhaltlichen Verständnisfehlern führen kann. Dies legt auch die Vermutung nahe, dass sich Michael Scotus’ dabei auch arabischer Hilfskräfte bediente. Seine sehr guten Sprachkenntnisse, und dass er nicht direkt aus dem Griechischen übersetzte, bezeugt auch Papst [[Gregor IX.]], der sich in höchsten Tönen über Michael Scotus’ Arabisch-, Hebräisch- und Lateinkenntnisse äußerte, aber nicht das Griechische erwähnt.

== Späte Jahre ==
Um 1220 verließ Michael Scotus Toledo, denn er taucht in [[Bologna]] auf, um einer kleineren medizinischen Tätigkeit nachzugehen. Er kuriert einen Tumor. Zwischen 1224 und 1227 scheint Michael Scotus in Diensten des Papstes [[Honorius III.]] und dessen Nachfolger Papst [[Gregor IX.]] zu stehen. Am 31. Mai 1224 wurde er zum [[Erzbischof]] von [[Cashel (Tipperary)|Cashel]] in [[Republik Irland|Irland]] gewählt. Er musste aber auf das Amt verzichten, da er der irischen Sprache nicht mächtig war. Am 9. Mai 1227 werden ihm weitere [[Pfründe]]n in [[Schottland]] und [[England]] vergeben. Michael Scotus scheint diesen Äußerungen nach ein [[Klerus|Kleriker]] gewesen zu sein, obzwar er keinem religiösen Orden angehörte, weswegen sich auch [[Albertus Magnus]] und [[Roger Bacon]] negativ über ihn äußerten. Nach 1227 erscheint er nicht mehr in den päpstlichen Registern und es kann angenommen werden, dass er nicht lange danach an den Hof Friedrichs II. wechselte. Wahrscheinlich geschah dies durch die Vermittlung des [[Leonard von Pisa]], der Michael Scotus als "besten Philosoph" titulierte.

Die zweite Auflage des "Liber Abaci", des berühmten Mathematikbuches von [[Fibonacci|Leonardo Fibonacci]], aus dem Jahr 1227 war Michael Scot gewidmet. Darausist geschlossen worden, dass Michael Scot sogar eine gewisse Rolle spielte bei Fibonacci's Darstellung der Zahlenfolge, die heute als [[Fibonacci-Folge]] bekannt ist<ref>{{cite web|language=Englisch|first=T.C.|last=Scott|coauthors=P. Marketos| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf | title = On the Origin of the Fibonacci Sequence | publisher = [[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| format = PDF | date =March, 2014}}</ref>.

Welche Rolle Michael Scotus als Hofastrologe am Hofe Friedrichs II. spielte, ist noch nicht gänzlich geklärt. Fest steht, dass er als Übersetzer für ihn arbeitete. Er übersetzte nämlich auf dessen Wunsch das ''Abbrevatio de animalibus'' des [[Avicenna]], welches dann Friedrich II. für sein Falkenbuch ''[[De arte venandi cum avibus]]'' verwendete. Des Weiteren beriet er ihn in astrologisch-philosophischen Fragen und schrieb hier am Hofe medizinisch-astrologische Schriften. Friedrich II. versuchte auch durch Fragen an seinen Hofastrologen zu profitieren, die er bei einem Genesungsaufenthalt in den Bädern bei [[Puzzouli]] im Oktober/November 1227 an Michael Scotus stellte. Durch [[Salimbene von Parma]] ist uns auch eine Anekdote überliefert worden, in welcher Friedrich II. seinen Hofastrologen und medizinischen Berater auf die Probe stellte. Und zwar sollte er die Entfernung zwischen dem Himmel und einer Kirchturmspitze errechnen. Der Astrologe rechnete und teilte das Ergebnis seinem Kaiser mit. Danach ließ Friedrich den Turm heimlich um eine Handbreit abtragen und sagte zu Michael Scotus, er solle die Entfernung nochmals berechnen, da er sie vergessen habe. Michael Scotus kam nun nicht auf dasselbe Ergebnis wie vorher und meinte, dass der Himmel höher als zuerst oder die Kirche eine Handbreit abgesunken sei. Daraufhin umarmte der Kaiser seinen Astrologen ob seiner genauen Berechnung.

Doch Michael Scotus’ literarischer Ruhm im Mittelalter gründet sich, die Übersetzungen und die Tätigkeiten am Hofe des Kaisers beiseitelassend, auf seine Schriften über die Astrologie und Medizin, allen voran sei das Hauptwerk ''Liber Introductorius'' genannt.

== Liber Introductorius ==
Der ''Liber Introductorius'' ist in drei verschieden Abschnitte aufgeteilt. Die Teilung erfolgt in den ''Liber quatuor distinctonum'', den ''Liber particularis'' und in den ''Liber physiognomiae''. Das ganze Werk ist Kaiser Friedrichs II. gewidmet und der ''Liber physiognomiae'' sogar auf dessen Veranlassung hin verfasst worden. Die genaue Datierung des Werkes erweist sich als schwierig, aber in der Einleitung wird auf den Heiligen [[Franz von Assisi|Franziskus]] hingewiesen. Und dieser wurde am 16. Juli 1228 heiliggesprochen. Zumindest die Einleitung wurde also erst nach diesem Datum geschrieben. Der erste Teil des Werkes, der ''Liber quatuor distinctonum'', ist unvollständig erhalten und vermutlich zu Michael Scotus' Tod auch unvollendet gewesen. Diesem Teil und dem ''Liber particularis'' fehlt es sowohl an innerer Einheit als auch an systematischem [[Arrangement (Kultur)|Arrangement]]. So ist es auch nicht überraschend, dass der ''Liber physiognomiae'' als einzelnes Buch angesehen wurde und sogar bis um 1500 in nicht weniger als 20 Ausgaben erschien. In den ersten beiden Teilen behandelt er die Themen [[Astronomie]], [[Astrologie]], [[Meteorologie]], [[Medizin]], Musik und [[Komputistik]]. Hier sind auch der schon vorher angesprochene Fragenkatalog Friedrichs II. und Michael Scotus' Antworten aufgenommen. Im ''Liber physiognomiae'' geht er dann auf Fragen über den Geschlechtsverkehr, die Schwangerschaft, die Embryologie und die Physiognomie ein.

Seine Ausführungen lassen auf weitreichende Kenntnisse schließen, aber können auch einen heutigen Leser zum Schmunzeln bringen. So schreibt er, dass der Mensch 140 Jahre leben könne, da es 14 Gelenke an den Fingern und Zehen gebe und jedes Gelenk für 10 Jahre stehe. Aber der Sünden wegen bestehe nur eine Lebensdauer von maximal 120 Jahren. Ganz empirisch stellt er weiterhin fest, dass Frauen länger leben als Männer. Dann rät er, dass man sich im Sommer mit frischem, kalten Quellwasser waschen und es auch trinken soll, denn nachdem die Poren sich durch die Kälte des Wassers schlössen, würde die natürliche Hitze bewahrt werden. Bei großer Hitze im Sommer warnte er die Männer vor dem Geschlechtsverkehr, nur bei Frauen würde dies nichts ausmachen. Außerdem untersagte er den [[Aderlass]] bei heißem Wetter, wenn es die Krankheit nicht unbedingt notwendig erscheinen ließe. Aber ihn interessierten auch die Unterschiede der Menschen aus verschiedenen Regionen. Er legte vor allem sein Augenmerk auf die Differenzen in Gestalt, Sprache, Verhalten, Kleidung und Bewegung in Zeiten des Friedens und des Krieges, der Gesundheit und der Krankheit zwischen [[Lombarden]], [[Slawen]], [[Deutschland|Deutschen]], [[Griechenland|Griechen]], [[Mongolen]], [[Sarazenen]], [[Schotten (Ethnie)|Schotten]], [[Juden]] und [[Ägypten|Ägyptern]].

Weitere Arbeiten des Michael Scotus sind die ''Ars Alchemie'' und das ''Vaticinium'', wobei es in der ersten um die Verwandlung der Metalle und im ''Vaticinium'' um Prophezeiungen über italienische Städte geht. Weiterhin schrieb er kleinere alchemistische und medizinische Texte.

== Das Ende des Michael Scotus ==
Michael Scotus ist zuletzt am 28. April 1232 in den päpstlichen Registern belegt. Seit Todesdatum wird um 1235 angesetzt, denn in einem wahrscheinlich zwischen Juni 1235 und 1236 am Hof Friedrichs II. entstandenenen Gedicht erwähnt [[Heinrich von Avranches]] ihn als nicht mehr lebend. Aufgrund dieses Gedichtes hat man auch vermutet, daß Michael Scotus zuletzt in Beziehung zu Friedrichs Hof stand. Nachrichten über seinen Tod sind ebenso anekdotisch wie das beschriebene "Turmrätsel", und es gibt keine zuverlässige Quellen darüber. [[Francesco Pipino]] erzählt, dass Michael Scotus vorhersah, wie er von einem kleinen Stein getötet werden würde und daraufhin einen Kopfschutz, das ''Cerebrerium'', erfand. Pipino fährt fort, dass eines Tages, während Michael Scotus eine Messe besuchte, er genau diese Kopfbedeckung abnahm und just in diesem Augenblick ein kleiner Stein vom Gewölbe fiel und ihn am Kopf leicht verwundete. Nachdem er den Stein betrachtet hatte, regelte er noch seine Angelegenheiten und verstarb kurz darauf.

== Werke ==
* Aristotle, ''De Animalibus. Part three, Books XV-XIX: Generation of animals.'' Michael Scot's Arabic-latin translation. Edited by Aafke M. I. Van Oppenraaij. With a greek index to ''De generatione animalium'' by [[Hendrik Joan Drossaart Lulofs|H. J. Drossaart Lulofs]]. Brill, Leiden 1992.
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009, S. 99-281: Michael Scotus, ''Liber de signis'' (Edition).

== Literatur ==
* Silke Ackermann: ''Sternstunden am Kaiserhof: Michael Scotus und sein Buch von den Bildern und Zeichen des Himmels''. Frankfurt am Main 2009.
* Ulrike Bauer: ''Der Liber Introductorius des Michael Scotus in der Abschrift Clm 10268 der Bayerischen Staatsbibliothek München''. 1983.
* Charles Burnett: ''Master Theodore, Frederick II.'s Philosopher''. In: ''Federico II., e le nuove culture (centro di studi sulla spiritualiá medievale), atti del XXXI. Convegno storico inter-nazionale''. Spoleto 1995, S. 225–285.
* [[Martin Grabmann]]: ''Kaiser Friedrich II. und sein Verhältnis zur aristotelischen und arabischen Philosophie''. In: Gunther Wolf (Hrsg.): ''Stupor Mundi. Zur Geschichte Friedrichs II. von Hohenstaufen''. Darmstadt 1966, S. 134–177.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in Mediaeval Culture''. Oxford 1929.
* Charles Homer Haskins: ''Studies in the History of Mediaeval Science''. New York 1960.
* Klaus Heinisch (Hrsg.): ''Kaiser Friedrich II. in Briefen und Berichten seiner Zeit''. Darmstadt 1968.
* Rudolf Hoffmann: ''Übersetzungsbedingte Verständnisprobleme im Großen Metaphysik-Kommentar des Averroës''. In: [[Albert Zimmermann (Philosophiehistoriker)|Albert Zimmermann]] (Hrsg.): ''Aristotelisches Erbe im arabisch-lateinischen Mittelalter''. Berlin 1986 (''Miscellanae Mediaevalia'', Band 18), S. 141–160.
* Lynn Thorndike: ''Michael Scot''. London 1965.
* {{BBKL|m/michael_sco|autor=Christoph Kann|band=5|spalten=1459-1461}}

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{{SORTIERUNG:Scotus, Michael}}
[[Kategorie:Universalgelehrter]]
[[Kategorie:Philosoph des Mittelalters]]
[[Kategorie:Mediziner des Mittelalters]]
[[Kategorie:Alchemist]]
[[Kategorie:Astrologe]]
[[Kategorie:Übersetzer]]
[[Kategorie:Römisch-katholischer Bischof (13. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Zauberer]]
[[Kategorie:Geboren im 12. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Gestorben im 13. Jahrhundert]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Scotus, Michael
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=mittelalterlicher Philosoph, Mediziner, Alchemist und Astrologe
|GEBURTSDATUM=um 1175
|GEBURTSORT=Schottland
|STERBEDATUM=um 1232
|STERBEORT=
}}

Lambertsche W-Funktion

2013-12-27T00:24:17Z

TonyMath: /* ajouter reference */

[[Datei:Lambert-w.svg|thumb|288px|right|Der Graph von ''W''(''x'') für ''W'' > −4 und ''x'' < 6. Der obere Zweig ''W'' ≥ −1 ist die Funktion ''W''0 (principal branch), der untere Zweig mit ''W'' ≤ −1 ist die Funktion ''W''−1.]]
In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f(x):= x e^x,\,</math>
wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet. Es gilt
: <math>z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.</math>

== Eigenschaften ==
[[File:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|thumb|400px|Die zwei Funktionsäste <math>W_0</math> und <math>W_{-1}</math>]]
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1e,0\right)</math> zwei Funktionsäste <math>W_0(x)</math> und <math>W_{-1}(x)</math>. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.

Die Ableitungsfunktion (des oberen Funktionsastes <math>W_0</math>) der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden (an der Stelle ''-1/e'' existiert die Ableitung nicht):
: <math>W'(x)=\begin{cases} \frac{W(x)}{x(1+W(x))}&\text{für }x>-\frac {1}{e}\text{ und }x\neq 0\\1&\text{für }x=0 \end{cases}</math>

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n}=\frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (n t+ 3n-1)\cdot P_n(t)-(t+1)\cdot P_n'(t), \quad n \ge 1.</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>W''(x)\,\,=-\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2),</math>
: <math>W^{(3)}(x)=+\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9),</math>
: <math>W^{(4)}(x)=-\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x) +36W^2(x) +79W(x) +64).</math>

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C.</math>

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e.</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> in <math>x_0=0</math> ist gegeben durch
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1e</math>.

== Spezielle Werte ==

: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904... = \Omega</math>   (die Omega-Konstante<ref>''[[:en:Omega constant|Omega constant]]'' in der englischsprachigen Wikipedia</ref>)
: <math>W\left(e\right) = 1</math>

=== Eigenschaften ===

* <math>\int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>\, a(x)e^{a(x)}=y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung
: <math>\, x^x=z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der infinite (unendliche) [[Potenzturm]]
: <math>\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:
: <math>\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===
Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)
</math>
wobei ''a''0, ''c'' und ''r'' reelle Konstanten sind. Die Lösung ist <math> x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion<ref>T.C. Scott, R.B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function''. In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)'', '''17''' no. 1, April 2006. p.41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel]</ref><ref>{{cite journal |first=T. C. |last=Scott |first2=G. |last2=Fee |first3=J.| last3=Grotendorst|year=2013 |title=Asymptotic series of Generalized Lambert W Function |journal=SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) |volume=47 |issue=185 |pages=75–83 }}</ref> umfassen:
* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] ([[Quantengravitation]]) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity'',<ref>P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation''. In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, p. 4647–4659. [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18 iop.org]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel]</ref> wobei die rechte Seite von (1) nun ein quadratisches Polynom in ''x'' ist:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
</math>
: Hierbei sind ''r''1 und ''r''2 voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments ''x'', aber ''r''i und ''a''0 sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der [[Meijersche G-Funktion|Meijerschen G-Funktion]], aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn ''r''1 = ''r''2, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gl. (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion''. In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. p.323–338. [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14 sciencedirect.com]; [http://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in ''x'':
: <math>
e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
</math>
: wobei ''r''i und ''s''i unterschiedliche reelle Konstanten sind, und ''x'' ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands ''R''. Gl. (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.<ref>T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J.D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions''. In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A]]'', 75:060101, 2007. [http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes scitation.aip.org]</ref>

== Numerische Berechnung ==

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden.<ref name="Corless">[http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf Corless et al.: ''On the Lambert W function''.] (PDF; 311 kB) In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, p. 329–359</ref>
Alternativ kann auch das [[Newton-Verfahren]] zur Lösung der Gleichung <math>w e^w - z = 0</math> verwendet werden:
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+e^{w_j} w_j}</math>.

== Tabelle reeller Funktionswerte ==

<math>W_0,</math> oberer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.34 & -0.2& 0&0.3&0.7&1.2&2&3&4&6&10&20&40&+\infty \\
\hline
y &-1 &-0.6537 & -0.2592 & 0&0.2368&0.4475&0.6356&0.8526&1.0499&1.2022&1.4324&1.7455&2.205&2.6968&+\infty \\
\end{array}
</math>
<math>W_{-1},</math> unterer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.365 & -0.355& -0.31&-0.25&-0.18&-0.1&-0.05&-0.025&-0.01&-0.005&-0.001&-0.0001&0\\
\hline
y &-1 &-1.1307 & -1.2912 & -1.7044&-2.1533&-2.7128&-3.5772&-4.4998&-5.3696&-6.4728&-7.284&-9.118&-11.6671&-\infty\\
\end{array}
</math>
Andere Werte lassen sich leicht über <math> x = y\, e^y</math> berechnen.

Eine Näherung von <math>W_0(x)</math> für große <math>x</math> ist<ref>Eric Weisstein, "Lambert W-Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html</ref>
:<math>W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Holstein-Herring-Methode

2013-03-21T18:28:55Z

TonyMath: /* -> Conyers Herring */

Die '''Holstein-[[Conyers Herring|Herring]]-Methode'''<ref>Holstein T., „Mobilities of positive ions in their parent gases“, J. Phys. Chem. '''56''', 832-836 (1952).</ref><ref>Holstein T., Westinghouse Research Report 60-94698-3-R9, (unpublished), (1955).</ref><ref name=Herring62>[[Conyers Herring|Herring C.]], „Critique of the Heitler-London Method of Calculating Spin Couplings at Large Distances“, Rev. Mod. Phys. '''34''', 631-645 (1962).</ref><ref>Bardsley J.N., Holstein T., Junker B.R., and Sinha S., „Calculations of ion-atom interactions relating to resonant charge-transfer collisions“, Phys. Rev. A '''11''', 1911-1920 (1975).</ref>, auch bekannt unter der englischen Bezeichnungen {{lang|en|'''surface integral method'''}}<ref>T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, D. Andrae, „Asymptotics of Quantum Mechanical Atom-Ion Systems“, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) '''13''', 233-255 (2002).</ref><ref>Aubert- Frécon M., Scott T.C., Hadinger G., Andrae D., Grotendorst J., and Morgan III J.D., „Asymptotically Exact Calculation of the Exchange Energies of One-Active-Electron Diatomic Ions with the Surface Integral Method“, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., '''37''', pp. 4451-4469 (2004).[http://iopscience.iop.org/0953-4075/37/22/005 Asymptotically exact calculation of the exchange energies of one-active-electron diatomic ions with the surface integral method] Abstract in: Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics - IOPscience</ref> oder {{lang|en|'''Smirnov's method'''}}<ref>Smirnov B.M. and Chibisov M.I., „Electron exchange and changes in the hyperfine state of colliding alkaline metal atoms“ Sov. Phys. JETP '''21''', 624-628 (1965).</ref>, ist ein effektives Verfahren zur Berechnung der [[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]] asymptotisch entarteter Energiezustände in molekularen Systemen. Obwohl die Austauschenergieaufspaltung für zunehmend größer werdende internukleare Abstände <math>R</math> immer schwieriger zu berechnen ist, hat sie fundamentale Bedeutung für die Theorien der Bindung in Molekülen und des Magnetismus.

== Theorie ==
Die Grundidee der Holstein-Herring-Methode lässt sich am Beispiel des [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekülions]], oder allgemeiner, der Atom-Ion-Systeme oder „Systeme mit einem aktiven Elektron“ folgendermaßen illustrieren. Wir betrachten Molekülzustände, die durch Zustandsfunktionen beschrieben werden, welche sich unter Rauminversion gerade oder ungerade verhalten. Dies wird durch die Suffixe [[Molekulare Termsymbole|g und u]] gekennzeichnet und ist Standard zur Kennzeichnung elektronischer Zustände zweiatomiger Moleküle (für Atomzustände sind dagegen die englischen Ausdrücke {{lang|en|„even“}} und {{lang|en|„odd“}} gebräuchlich). Die zugehörige elektronische [[Schrödinger-Gleichung]] lässt sich schreiben als:
:<math>
\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi ~,
</math>
wobei ''E'' die (elektronische) Energie eines gewählten quantenmechanischen Zustands (Eigenzustands) ist, mit einer elektronischen Zustandsfunktion <math> \psi=\psi(\mathbf{r}) </math> die von den Ortskoordinaten des Elektrons abhängt, und wobei <math> V </math> das Coulomb-Potential der Elektron-Kern-Wechselwirkung ist. Für das [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoff-Molekülion]] gilt:
:<math>
V = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 } \left(\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} \right)
</math>
Für irgendeinen geraden Zustand lässt sich die elektronische Schrödinger-Gleichung in [[atomare Einheiten|atomaren Einheiten]] (<math>\hbar=m=e=4 \pi \varepsilon_0 =1 </math>) schreiben als:
:<math>
\left(-\frac{1}{2} \nabla^2 + V(\textbf{x}) \right) \psi_{+} = E_{+} \psi_{+}
</math>
Für irgendeinen ungeraden Zustand lässt sich die zugehörige Wellengleichung schreiben als:
:<math>
\left(-\frac{1}{2} \nabla^2 + V(\textbf{x}) \right) \psi_{-} = E_{-} \psi_{-}
</math>
Der Einfachheit halber nehmen wir reelle Funktionen an (obwohl das Endergebnis für den Fall komplexer Funktionen verallgemeinert werden kann). Nun multiplizieren wir die Gleichung für die gerade Funktion von links mit <math>\psi_{-}</math>, die Gleichung für die ungerade Funktion von links mit <math>\psi_{+}</math>, und erhalten daraus die Differenz:
:<math>
\psi_{+} \nabla^2 \psi_{-} - \psi_{-} \nabla^2 \psi_{+} = {} - 2 \,
\Delta E \, \psi_{-} \psi_{+} \;.
</math>
wobei <math>\Delta E = E_{-} - E_{+} </math> die ''[[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]]'' ist. Im nächsten Schritt definieren wir, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, orthogonale Ein-Teilchen-Funktionen, <math>\phi_A^{}</math> und <math>\phi_B^{}</math>, die an den Kernen lokalisiert seien und schreiben:
:<math>
\psi_{+} = \frac{1}{\sqrt{\,2}} ~ (\phi_A^{} + \phi_B^{}) \;, \qquad
\psi_{-} = \frac{1}{\sqrt{\,2}} ~ (\phi_A^{} - \phi_B^{}) \;.
</math>
Dies ist ähnlich dem in der Quantenchemie verwendeten LCAO-Ansatz [[Molekülorbitaltheorie#MO-Verfahren|(Linear combination of atomic orbitals molecular orbital method)]], wir müssen aber betonen, dass die Funktionen <math>\phi_A^{}</math> und <math>\phi_B^{}</math> im Allgemeinen „polarisiert“ sind, d.h. sie sind keine reinen Eigenfunktionen der Drehimpulsoperatoren bzgl. ihrer jeweiligen Zentren (s.a. unten). Allerdings reduzieren sich die lokalisierten Funktionen <math>\phi_{A,B}^{}</math> im Grenzfall <math>R \rightarrow \infty</math> auf die wohlbekannten atomaren (wasserstoff-artigen) Psi-Funktionen <math>\phi_{A,B}^{0}</math>. Wir bezeichnen nun mit <math>M</math> die Ebene senkrecht zur Kernverbindungslinie in der Mitte zwischen beiden Kernen (s. Diagram für [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoff-Molekülion]] für weitere Einzelheiten), mit <math>{\mathbf{z}}</math> einen Einheitsvektor senkrecht zu dieser Ebene (dieser Vektor sei parallel zur kartesischen <math>z</math>-Richtung), so dass der gesamt dreidimensionale Raum <math>\mathbf{R}^3</math> in einen linken (<math>L</math>) und einen rechten (<math>R</math>) Halbraum geteilt wird. Aus Symmetrieüberlegungen folgt:
:<math>
\left. \psi_{-} \right|_M = \mathbf{z} \cdot \left. \mathbf{\nabla}
\psi_{+} \right|_M = 0 \;.
</math>
Dies impliziert, dass:
:<math>
\left. \phi_{A}^{} \right|_M = \left. \phi_{B}^{} \right|_M \;, \qquad
{\mathbf{z}} \cdot \left. \mathbf{\nabla} \phi_{A}^{} \right|_M =
{} - \mathbf{z} \cdot \left. \mathbf{\nabla} \phi_{B}^{} \right|_M \;.
</math>
Die lokalisierten Funktionen sind normiert, so dass gelten muss:
:<math>
\int_{L} \phi_A^2 ~dV = \int_{R} \phi_B^2 ~dV
</math>
und umgekehrt. Integration dieses Ergebnisses über den gesamten Raum links der Ebene <math>M</math> ergibt:
:<math>
2 \int_{L} \psi_{+} \psi_{-} ~ dV = \int_{L} (\phi_A^2 - \phi_B^2
) ~ dV = 1 - 2 \int_R \phi_A^2 ~ dV
</math>
und
:<math>
\int_{L} (\psi_{+} \nabla^2 \psi_{-} - \psi_{-} \nabla^2 \psi_{+})
~dV = \int_{L} (\phi_{B}^{} \nabla^2 \phi_{A}^{} - \phi_{A}^{}
\nabla^2 \phi_{B}^{}) ~dV
</math>
[[Bild:h2plus figure 1.png|thumb| Energie (E) der beiden niedrigsten gebundenen Zustände des Wasserstoff-Molekülions <math>H_2^{+}</math>, als Funktion des Kern-Kern-Abstandes (R) in atomaren Einheiten.]] Anwendung einer Variante des [[Gaußscher Integralsatz|gaußschen Integralsatzes]] auf dieses Ergebnis führt schließlich auf die Holstein-Herring-Formel:
:<math>
\Delta E = {} - 2 \, \frac{\int_M \phi_A^{} \mathbf{\nabla} \phi_A^{}
\bullet d{\mathbf{S}} }{1-2 \int_R \phi_A^2 ~dV}
</math>
wobei <math>d {\mathbf{S}}</math> ein differentielles Flächenelement der Mittelebene <math>M</math> ist. Mit dieser Formel gelang es Herring erstmals zu zeigen,<ref name=Herring62/> dass der führende Term der asymptotischen Entwicklung der Energiedifferenz zwischen den beiden niedrigsten Zuständen des Wasserstoff-Molekülions, also des ersten angeregten Zustandes <math>2 p \sigma_u</math> und des Grundzustandes <math>1 s \sigma_g</math> (bezeichnet nach [[Molekulare Notation|molekularer Notation]] – s. obige Abbildung für die Energiekurven), folgende mathematische Form hat:
:<math>
\Delta E = E_{-} - E_{+} = \frac{4}{e} \, R \, e^{-R}
</math>
Vorherige Berechnungen auf der Basis der LCAO-Näherung für die atomaren Orbitale hatten fälschlicherweise den Vorfaktor <math>4/3</math> anstatt <math>4/e</math> ergeben.

== Anwendungen ==
Die Holstein-Herring-Formel hatte nur begrenzte Bedeutung für Anwendungen, bis um 1990, als Tang, [[Jan Peter Toennies|Toennies]], und Yiu<ref>Tang K.T., [[Jan Peter Toennies|Toennies J.P.]], and Yiu C.L., „The exchange energy of H2+ calculated from polarization perturbation theory“, J. Chem. Phys. '''94''', 7266-7277 (1991).</ref> zeigten, dass <math>\phi_A^{}</math> eine ''polarisierte'' Funktion sein kann, d. h. eine atomare, an einem der beiden Kernorte lokalisierte Wellenfunktion, die durch den Einfluss des anderen Kerns verzerrt wird und daher keine eindeutige Symmetrie (gerade oder ungerade) mehr aufweist. Dennoch kann die oben angegebene Holstein-Herring-Formel verwendet werden, und liefert die korrekte asymptotische Reihenentwicklung für die Austauschenergieaufspaltung. Auf diese Weise ist auch ein ursprüngliches Zwei-Zentren-Problem erfolgreich in ein effektives Ein-Zentren-Problem umgewandelt worden. Anschließend wurde diese Formel für Zwei-Zentren-Probleme mit einem aktiven Elektronen (z. B. Alkalidimer-Kationen) erweitert. Durch Scott ''et al.'' wurde das Verständnis dieses zunächst überraschenden Ergebnisses vertieft, was die Klärung subtiler, aber wichtiger Fragen zur Konvergenz der polarisierten Funktionen erforderte<ref>Scott T.C., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III J.D. (1991). „Exchange Energy of ''H2+'' Calculated from Polarization Perturbation Theory and the Holstein-Herring Method“, [[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] '''67''': 1419-1422.[http://prola.aps.org/abstract/PRL/v67/i11/p1419_1 Phys. Rev. Lett. 67, 1419 (1991): Exchange energy of H_{2}^{+} calculated from polarization perturbation theory and the Holstein-Herring method]</ref><ref>Scott T.C., Babb J.F., Dalgarno A. and Morgan III J.D.,„Resolution of a Paradox in the Calculation of Exchange Forces for H2+, Chem. Phys. Lett. '''203''', 175-183 (1993).[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/000926149385383Y Abstract]</ref><ref>Scott T.C., Babb J.F., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III J.D., „The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models“, J. Chem. Phys., '''99''',2841-2854, (1993). [http://adsabs.harvard.edu/abs/1993JChPh..99.2841S Abstract]</ref>. Das Ergebnis dieser Analyse bedeutet, dass im Prinzip jede beliebige Ordnung der asymptotischen Reihenentwicklung der Austauschenergieaufspaltung berechnet werden kann. Die Holstein-Herring-Methode ist auch für den Fall von zwei aktiven Elektronen erweitert worden, d. h. für die beiden niedrigsten gebundenen Zustände des Wasserstoff-Moleküls <math>H_2</math><ref>Herring C., and Flicker M.,„Asymptotic Exchange Coupling of Two Hydrogen Atoms“, [[Physical Review|Phys. Rev. A]] '''134''', 362-366 (1964).</ref> und allgemeinere zweiatomige Systeme<ref>Scott T.C., Aubert-Frécon M., Andrae D., Grotendorst J., Morgan III J.D. and Glasser M.L., „Exchange Energy for Two-Active-Electron Diatomic Systems Within the Surface Integral Method“, AAECC, '''15''', 101-128 (2004). {{doi|10.1007/s00200-004-0156-6}}</ref>.

== Physikalische Interpretation ==
Die oben angegebene Holstein-Herring-Formel kann wie folgt physikalisch interpretiert werden: Das Elektron ''[[Tunneleffekt|tunnelt]]'' zwischen beiden Kernen hin und her, erzeugt dadurch einen Strom, dessen Flussdichte durch die Mittelebene <math>M</math> die Bestimmung der Austauschenergieaufspaltung erlaubt. Bezogen auf den Tunneleffekt, eine ergänzende Auslegung von [[Sidney Coleman]]'s ''"Aspects of Symmetry"'' ("Aspekte der Symmetrie", 1985) hat eine "[[Instanton]]" Reise in die Nähe und über den klassischen Weg innerhalb [[Pfadintegral]]. Diese Energie wird also von beiden Kernen geteilt, d. h. ''ausgetauscht''. Zu beachten ist noch, dass das Volumenintegral über <math>R</math> im Nenner der Holstein-Herring-Formel subdominant ist, so dass für genügend große Kern-Kern-Abstände der Nenner einfach gleich eins gesetzt werden kann und nur das Oberflächenintegral im Zähler berechnet zu werden braucht.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Magnetismus]]

[[en:Holstein–Herring method]]
[[es:Método de Holstein–Herring]]
[[fr:Méthode Holstein-Herring]]

Lambertsche W-Funktion

2013-01-18T23:34:32Z

TonyMath: /* Meijer G -> Meijersche G-Funktion */

[[Datei:Lambert-w.svg|thumb|288px|right|Der Graph von ''W''(''x'') für ''W'' > −4 und ''x'' < 6. Der obere Zweig ''W'' ≥ −1 ist die Funktion ''W''0 (principal branch), der untere Zweig mit ''W'' ≤ −1 ist die Funktion ''W''−1.]]
In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f(x):= x e^x,\,</math>
wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet. Es gilt
: <math>z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.</math>

== Eigenschaften ==
[[File:Diagram of the real branches of the Lambert W function.png|thumb|400px|Die zwei Funktionsäste <math>W_0</math> und <math>W_{-1}</math>]]
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1e,0\right)</math> zwei Funktionsäste <math>W_0(x)</math> und <math>W_{-1}(x)</math>. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet. Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden. Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.
Die Ableitungsfunktion der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden:
: <math>W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}</math>
für <math> x \neq 0</math> und <math>W'(0) = 1</math>. Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n}=\frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (n t+ 3n-1)\cdot P_n(t)-(t+1)\cdot P_n'(t), \quad n \ge 1.</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>W''(x)\,\,=-\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2),</math>
: <math>W^{(3)}(x)=+\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9),</math>
: <math>W^{(4)}(x)=-\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x) +36W^2(x) +79W(x) +64).</math>

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C.</math>

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e.</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> in <math>x_0=0</math> ist gegeben durch
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1e</math>.

== Spezielle Werte ==

: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904... = \Omega</math>   (die Omega-Konstante<ref>''[[:en:Omega constant|Omega constant]]'' in der englischsprachigen Wikipedia</ref>)
: <math>W\left(e\right) = 1</math>

=== Eigenschaften ===

* <math>\int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>\, a(x)e^{a(x)}=y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung
: <math>\, x^x=z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der infinite (unendliche) [[Potenzturm]]
: <math>\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:
: <math>\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===
Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)
</math>
wobei ''a''0, ''c'' und ''r'' reelle Konstanten sind. Die Lösung ist <math> x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion<ref>T.C. Scott, R.B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function''. In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)'', '''17''' no. 1, April 2006. p.41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel]</ref> umfassen:
* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] ([[Quantengravitation]]) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity'',<ref>P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation''. In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, p. 4647–4659. [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18 iop.org]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel]</ref> wobei die rechte Seite von (1) nun ein quadratisches Polynom in ''x'' ist:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
</math>
: Hierbei sind ''r''1 und ''r''2 voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments ''x'', aber ''r''i und ''a''0 sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der [[Meijersche G-Funktion]], aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn ''r''1 = ''r''2, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gl. (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion''. In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. p.323–338. [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14 sciencedirect.com]; [http://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in ''x'':
: <math>
e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
</math>
: wobei ''r''i und ''s''i unterschiedliche reelle Konstanten sind, und ''x'' ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands ''R''. Gl. (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.<ref>T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J.D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions''. In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A]]'', 75:060101, 2007. [http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes scitation.aip.org]</ref>

== Numerische Berechnung ==

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden<ref name="Corless">[http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf Corless et al.: ''On the Lambert W function''.] In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, p. 329–359</ref>
Oder auch mit:
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+e^{w_j} w_j}</math>.

== Tabelle reeller Funktionswerte ==

<math>W_0,</math> oberer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.34 & -0.2& 0&0.3&0.7&1.2&2&3&4&6&10&20&40&+\infty \\
\hline
y &-1 &-0.6537 & -0.2592 & 0&0.2368&0.4475&0.6356&0.8526&1.0499&1.2022&1.4324&1.7455&2.205&2.6968&+\infty \\
\end{array}
</math>
<math>W_{-1},</math> unterer Zweig:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -0.3679 & -0.365 & -0.355& -0.31&-0.25&-0.18&-0.1&-0.05&-0.025&-0.01&-0.005&-0.001&-0.0001&0\\
\hline
y &-1 &-1.1307 & -1.2912 & -1.7044&-2.1533&-2.7128&-3.5772&-4.4998&-5.3696&-6.4728&-7.284&-9.118&-11.6671&-\infty\\
\end{array}
</math>
Andere Werte lassen sich leicht über <math> x = y\, e^y</math> berechnen.

Eine Näherung von <math>W_0(x)</math> für große <math>x</math> ist<ref>Eric Weisstein, "Lambert W-Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html</ref>
:<math>W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

[[en:Lambert W function]]
[[es:Función W de Lambert]]
[[fa:تابع لامبرت دابلیو]]
[[fr:Fonction W de Lambert]]
[[it:Funzione W di Lambert]]
[[ja:ランベルトのW関数]]
[[ko:램버트 W 함수]]
[[pl:Funkcja W Lamberta]]
[[pt:Função W de Lambert]]
[[ru:W-функция Ламберта]]
[[sl:Lambertova funkcija W]]
[[sv:Lamberts W-funktion]]
[[tr:Lambert W Fonksiyonu]]
[[zh:朗伯W函数]]

Generative Programmierung

2012-06-11T00:10:52Z

TonyMath: /* Literatur */

Die '''Generative Programmierung''' ist ein besonderes [[Programmierparadigma]] bei der methodischen [[Softwareentwicklung]]. Charakteristisch für die generative Programmierung ist die automatische Erzeugung von [[Quelltext|Programmcode]] durch einen Generator.

== Funktionsweise eines Programmgenerators ==

Ein Programmgenerator kann am besten wie ein gewöhnliches Programm nach dem [[EVA-Prinzip]] verstanden werden. Aufgrund bestimmter Inputparameter erzeugt der Programmgenerator einen bestimmten Output, das sogenannte Generat. Allerdings ist der Output eines ''generativen Programms'' wiederum ein Programmcode, nämlich der Code, welcher für die konkretisierte Situation ausgeführt werden soll.

Grundlage für automatisch erzeugten Code ist die [[Abstraktion]] häufig vorkommender Programmkonstrukte in formalen [[Modell]]en. Die Programmierung unterteilt sich in drei Phasen:
# Der Programmierung eines bestimmten '''Programmgenerators'''
# Der Parametrierung oder Ergänzung und Konfiguration des formalen Modells auf eine spezifische Modellausprägung
# Dem Aufruf des Programmgenerators mit den spezifischen Inputparametern, welcher dann das spezifische Zielprogramm erstellt

Ein Programmgenerator bzw. [[Codegenerator]] ist demnach auf eine generische Anwendungs- und Programmklasse spezialisiert. Er bezieht sich auf ein bestimmtes, zugrundeliegendes generisches Programmmodell, aus welchem er nach konkretisierender Parametrisierung den Zielcode [[Codegenerierung|erzeugt]]. Dies kann ein [[Quellcode]], [[Zwischencode]] oder [[Binärcode]] sein.

Während ein normales, funktional programmiertes Programm die Varianz der Aufgabenstellungen ausschließlich mit Datenvariablen abdeckt, arbeitet die generative Programmierung auch mit ''variabilisiertem Programmcode'', der erst im Hinblick auf den Zielcode eindeutig ausgeprägt wird.

Dieses Vorgehen eignet sich besonders für Problemlösungen, die in entsprechend großer Zahl von Variationen in der Praxis vorkommen, da für die Erstellung des Modells und des Generators ein nicht geringer Aufwand eingeplant werden muss. Dieser Aufwand kann sich aufgrund höherer Qualität des Programmcodes und kürzerer Entwicklungszeit amortisieren. Häufig werden die Zielprogramme nur temporär zum einmaligen Gebrauch generiert und danach wieder gelöscht. Dadurch kann der zu einem bestimmten Zeitpunkt persistent vorhandene Programmcode, z. B. gemessen anhand Anzahl Codezeilen, ggf. um einige Zehnerpotenzen reduziert werden.

Generative Programmierung ist überall dort sinnvoll, wo bestimmte Codeteile analog variablen Textbausteinen zu einer Vielzahl von Zielprogrammen zusammengefügt werden sollen. Die generative Programmierung erlaubt im Weiteren auch die Erstellung von Zielprogrammen, deren Zielparameter zum Zeitpunkt der Codierung des Programmgenerators noch gar nicht bekannt sind.

=== Persistenter Zielcode ===
Der von einem Programmcode erzeugte Zielcode kann
* einmal erzeugt, persistent gespeichert und dann permanent genutzt werden oder
* nach Bedarf dynamisch erzeugt und ausgeführt und danach wieder gelöscht werden.

Wenn ein Zielcode einmal erzeugt und dann persistent gehalten wird, kann die Programmgenerierung und die Ausführung des Zielprogramms zeitlich entkoppelt stattfinden. Die Programmgenerierung und die Ausführung des Zielprogramms sind hier nur insofern voneinander abhängig, als die Generierung vor der Ausführung des Zielcodes stattfindet. Die Codegenerierung wird dann typischerweise vom Programmierer oder von einem Systemadministrator bei der Softwareinstallation angestoßen, also typischerweise nicht vom Endbenutzer.
::''Beispiel: Ein Programmgenerator (Codewizard) zur Erstellung des Basiscodes einer Programmklasse fragt verschiedene Parameter ab, wie Klassennamen, Anzahl, Namen und Typ der Klasseneigenschaften, Anzahl und Namen der Klassenmethoden und erstellt dann den Programmcode der Klasse.''

Eine Neugenerierung ist nur dann notwendig, wenn sich Änderungen an den Generierungsparametern ergeben.

=== Dynamisch erzeugter Zielcode ===
Im zweiten Fall wird die Programmgenerierung und die Ausführung des Zielcodes in der Regel direkt vom Endbenutzer angestoßen. Dabei erfolgt die Programmgenerierung idealerweise so schnell, dass der Endbenutzer gar nicht merkt, dass der von ihm genutzte Programmteil erst vor wenigen Sekundenbruchteilen automatisch ausprogrammiert worden ist. Der Ablauf dieses dynamischen Vorgangs soll in einzelnen Schritten nachvollzogen werden:
#Der Anwender macht eine Auswahl der Eingangsparameter, z. B. den Namen einer Datenbanktabelle.
#Der Programmgenerator nimmt den Tabellennamen vom Endbenutzer, liest aus dem [[Datadictionary]] der Datenbank die Felder, Feldtypen und Fremdschlüsselbeziehungen und erzeugt aus diesen Steuerparametern den Programmzielcode eines Suchformulars zur Datenanzeige für die vom Benutzer vorgegebene Datenbanktabelle.
#Der Programmzielcode wird nun kurz compiliert und dann vom Programmgenerator mit einem dynamischen Aufruf ausgeführt.

Der letzte Schritt stellt bestimmte Anforderungen an die verwendete Programmiersprache:
*Es muss im Programmgenerator möglich sein, eine Routine aufzurufen, deren Namen variabel vorgegeben ist, und im Kontext des Programmgenerators nicht zwingend bekannt ist. (z. B. Vorgabe der aufzurufenden Routine durch eine Stringvariable, Late Binding)
*Die notwendige Flexibilität in der Programmgenerierung verlangt nach einer interpretierten Sprache, d. h. in der Regel wird als Zielcode ein [[Interpreter]]code erzeugt und nicht ein [[Maschinencode]]. Grundsätzlich kann der Zielcode aber alles sein, d. h. ein [[Quellcode]], [[Zwischencode]] oder [[Binärcode]].

Der dynamisch erzeugte Zielcode ist sinnvollerweise oft in der gleichen Sprache codiert wie das codegenerierende Programmmodul. Ein Programmgenerator ist demnach ein auf eine generische Anwendungs- und Programmklasse spezialisierter [[Codegenerator]]. Er bezieht sich auf ein bestimmtes, zugrundeliegende generisches Programmodell, aus welchem er nach [[Customizing|konkretisierender Parametrisierung]] den Zielcode erzeugt. Eine komplexe Parametrisierung kann z. B. über ein Tabellenmodell in einer Datenbank erfolgen, welches die flexible Codegenerierung steuert.

== Anwendungsbeispiele ==

=== UML ===
[[Unified_Modeling_Language|UML]] erlaubt die Erstellung einer Softwarearchitektur in Form eines Diagramms. Daraus kann dann automatisch Code erzeugt werden, der dann gewöhnlich „von Hand“ vervollständigt werden muss. Anspruchsvollere Entwicklungsumgebungen ermöglichen auch das gleichzeitige Arbeiten auf der UML und Sourcecode-Ebene. Man kann so wahlweise die UML oder den Sourcecode verändern und die Entwicklungsumgebung erstellt dann automatisch die jeweils andere Darstellung des Programms. Dabei wird also entweder UML-Code aus dem Sourcecode generiert oder umgekehrt.

=== Mit XML und XSLT ===
Auch mit [[XSLT]] ist automatische Codegenerierung möglich. Das gewünschte Modell wird in einem [[Extensible Markup Language|XML]]-Dokument dargestellt, dessen Syntax man selbst deklarieren kann. Dann erstellt man ein zu dem XML-Dokument passende XSLT-Skript, das den Programmcode generiert. Dies kann auch in einem mehrstufigen Prozess geschehen, z. B. generiert man mit einem ersten XSLT-Skript eine [[Batchdatei]], ein [[Shellskript]] oder eine [[Makefile]] mit einer Liste weiterer XSLT-Verarbeitungsschritte oder anderer Befehle.

=== Formulargeneratoren ===
Anhand einer listenförmigen Beschreibung der Tabellenstruktur wird jeweils aus konkret vorgegebenen Tabellen eine Bildschirmmaske erstellt. Aufbau und Funktionsweise des Formulars ist fest vorgegeben. Die verschiedenen Tabellen unterscheiden sich jedoch bezüglich Art und Anzahl der Felder, der Feldbezeichnungen, -typen und Fremdschlüsselbeziehungen.

=== Compiler-Compiler ===
Die Syntax einer Programmiersprache wird z. B. in [[Erweiterte Backus-Naur-Form|EBNF-Notation]] vorgegeben. Aufgrund dieser formalen Sprachdefinition erzeugt ein Compiler-Compiler den Compiler, bzw. ein [[Parsergenerator]] den [[Parser]] für die spezifizierte Sprache. Siehe hierzu auch: [[Coco/R]] und [[yacc]].

=== Produktkonfiguration ===
Die generative Programmierung kann auch für die Abarbeitung von [[Stückliste]]n mit variablen [[Stücklistenposition]]en verwendet werden. Im Rahmen des [[Customizing]]s oder der Installation können generative Programme die [[Produktkonfiguration|Variantenkonfiguration]] von komplexen Softwareanwendungen auf die gewünschte Zielform bringen.

=== Rapid Control Prototyping ===
Beim [[Rapid Control Prototyping]] wird in der [[Regelungstechnik]] aus Blockdiagrammen ein für das [[Steuergerät]] angepasster Code erzeugt, sodass Fehler bei der Umsetzung von Blockdiagramme in Steuergerät spezifischen Code möglichst nicht mehr auftauchen.

== Siehe auch ==
* [[Generische Programmierung]]
* [[Intentionale Programmierung]]
* [[Model Driven Software Development]]
* [[Model Driven Architecture]]
* [[Aspektorientierte Programmierung]]
* [[Subjektorientierte Programmierung]]

== Literatur ==

* Czarnecki, Krzysztof, Ulrich W. Eisenecker: ''Generative Programming: Methods, Tools, and Applications''. Addison Wesley, 2000, ISBN 0-201-30977-7.

* Olaf Zwintzscher: ''Komponentenbasierte & generative Software-Entwicklung''. W3L, 2003, ISBN 3-937137-50-5.

* Peter Rechenberg, Hanspeter Mössenböck: ''Ein Compiler-Generator für Mikrocomputer. Grundlagen, Anwendung, Programmierung in Modula-2''. Hanser, 1988, ISBN 3-446-15350-0.

* Christof A. Hurst, Ulrich W. Eisenecker: ''Generative Programmierung für web-orientierte Softwaresystemfamilien''. Ein E-/Web-Learning-Projekt [http://143.93.17.153/downloads/doku/Projektbericht.pdf Projektbericht] (PDF 2 MB) [http://143.93.17.153/downloads/doku/Anlage_A.jpg Anlage A] [http://143.93.17.153/downloads/doku/Anlage_B.pdf Anlage B]

* Michael Klar: ''Einfach generieren. Generative Programmierung verständlich und praxisnah''. Hanser, 2006, ISBN 3-446-40448-1.

* C. Gomez and T.C. Scott, ''Maple Programs for Generating Efficient FORTRAN Code for Serial and Vectorized Machines'', Comput. Phys. Commun. '''115''', pp. 548-562, 1998 [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010465598001143].

* T.C. Scott, I.P. Grant, M.B. Monagan and V.R. Saunders, ''Numerical Computation of Molecular Integrals via optimized (vectorized) FORTRAN code'', Proceedings of the Fifth International Workshop on New computing Techniques in Physics Research (Software Engineering, Neural Nets, Genetic Algorithms, Expert Systems, Symbolic Algebra, Automatic Calculations), held in Lausanne (Switzerland), Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. '''389''', A, pp. 117-120, 1997 [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168900297000594]

[[Kategorie:Programmierparadigma]]

[[bs:Automatsko programiranje]]
[[en:Automatic programming]]
[[es:Programación automática]]
[[fr:Atelier de génie logiciel]]
[[hr:Generativno programiranje]]
[[ja:自動プログラミング]]
[[kk:Программалауды автоматтандыру]]
[[pt:Gerador de código]]
[[ru:Автоматизация процесса программирования]]
[[sl:Avtomatsko programiranje]]

Diwasserstoff-Kation

2012-05-31T23:14:11Z

TonyMath: /* Anwendung der experimentellen Mathematik */

Das '''Wasserstoff-Molekülion''', '''Diwasserstoff-Kation''', oder H2+, ist das einfachste [[Molekülion]]. Es besteht aus zwei positiv geladenen [[Proton]]en und einem negativ geladenen [[Elektron]] und kann durch [[Ionisation|Ionisierung]] des neutralen [[Wasserstoff|Wasserstoff-Moleküls]] gebildet werden.

Es ist von großem historischem und theoretischem Interesse, da es nur ein Elektron enthält und deshalb keine Elektron-Elektron-Wechselwirkungen auftreten. Daher lässt sich die elektronische [[Schrödinger-Gleichung]] für dieses System bei festgehaltenem Kernabstand (sog. [[Born-Oppenheimer-Näherung]]) in geschlossener Weise analytisch lösen. Die analytischen Lösungen für die Energie-Eigenwerte<ref>T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion.'' Im: ''Chem. Phys.'' 324, 2006, S. 323–338, {{doi|10.1016/j.chemphys.2005.10.031}}, {{Arxiv|physics/0607081}}.</ref> stellen eine ''Verallgemeinerung'' der [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] dar (anwendung der [[Experimentelle Mathematik|experimentellen Mathematik]]).

Wegen seiner Bedeutung als einfachstes molekulares System wird das Wasserstoff-Molekülion in den meisten Lehrbüchern der [[Quantenchemie]] als Beispiel behandelt. Die erste erfolgreiche quantenmechanische Behandlung des H2+ wurde vom dänischen Physiker [[Øyvind Burrau]] im Jahr 1927 veröffentlicht,<ref>{{Cite journal| volume = M 7:14
| pages = 1-18| author=Ø. Burrau | title = Berechnung des Energiewertes des Wasserstoffmolekel-Ions (H2+) im Normalzustand | journal = Danske Vidensk. Selskab. Math.-fys. Meddel.| date = 1927| url = http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862}}</ref><ref>{{Cite journal| volume = 15| issue = 1| pages = 16-7| first = Burrau Ø.| title = The calculation of the Energy value of Hydrogen molecule ions (H2+) in their normal position | journal = Naturwissenschaften| date = 1927| url =http://www.springerlink.com/content/h60148l4717uv805/fulltext.pdf|format=PDF}}</ref>gerade ein Jahr nach der Veröffentlichung der grundlegenden Arbeit zur Wellenmechanik durch [[Erwin Schrödinger]]. Frühere Versuche waren im Jahr 1922 durch [[Karel Niessen]]<ref> Karel F. Niessen ''Zur Quantentheorie des Wasserstoffmolekülions'', Dissertation, Universität Utrecht, Utrecht: I. van Druten (1922), zitiert in J. Mehra, Volume 5, Part 2, 2001, p. 932.</ref> und [[Wolfgang Pauli]],<ref>{{cite journal |author=W. Pauli|title=Über das Modell des
Wasserstoffmolekülions |journal=Ann. d. Phys. |volume=373 |issue=11 |pages=177–240 |year=1922 |doi=10.1002/andp.19223731101}} erweiterte Dissertation; eingegangen 4 März 1922, veröffentlicht im Heft Nr. 11 vom 3. August 1922.</ref> und im Jahr 1925 durch [[Harold C. Urey|Harold Urey]]<ref>{{cite journal |author=Urey HC |title=The Structure of the Hydrogen Molecule Ion |journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. |volume=11 |issue=10 |pages=618–21 |year=1925 |month=October |pmid=16587051 |pmc=1086173 |doi= 10.1073/pnas.11.10.618|url=}}</ref> veröffentlicht worden. Mit einem Übersichtsartikel aus dem Jahr 1928 machte [[Linus Pauling]] sowohl die Arbeit von Burrau als auch die von [[Walter Heitler]] und [[Fritz London]] über das Wasserstoffmolekül einem größeren Leserkreis bekannt.<ref>{{cite journal |journal=Chemical Reviews |author=L. Pauling|title=The Application of the Quantum Mechanics to the Structure of the Hydrogen Molecule and Hydrogen Molecule-Ion and to Related Problems |year=1928 |volume=5 |pages=173–213 |doi=10.1021/cr60018a003}}</ref>

Die chemische Bindung in H2+ kann als kovalente [[Chemische Bindung|Ein-Elektron-Bindung]] beschrieben werden, die eine formale [[Bindungsordnung]] von 1/2 hat.<ref>{{cite book |author=Clark R. Landis, Frank Weinhold |title=Valency and bonding: a natural bond orbital donor-acceptor perspective |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=2005 |pages=96–100 |isbn=0-521-83128-8 }}</ref>

Das Wasserstoff-Molekülion wird gewöhnlich auch in [[Molekülwolke]]n im Weltall gebildet und ist von großer Bedeutung für die Chemie im [[Interstellare Materie|interstellaren Medium]].

== Quantenmechanische Behandlung, Symmetrien und Asymptotik ==
[[Datei:hydrogen_molecular_ion.png|thumb|Wasserstoff-Molekülion H2+ mit festgehaltenen Kernen A und B, Kern-Kern-Abstand R und Symmetrieebene des Kerngerüsts M.]]

Die einfachste elektronische Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoff-Molekülion berücksichtigt neben dem einen Elektron die beiden Kerne, gekennzeichnet mit A und B, an festen Positionen im Raum. Sie kann geschrieben werden als
:<math>\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi ~,</math>
wobei <math> V </math> die Elektron-Kern-Coulomb-Potentialfunktion
:<math>V = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{r_a} +\frac{1}{r_b} \right)</math>
ist, und <math>E</math> ist die (elektronische) Energie eines gegebenen quantenmechanischen Zustands (Eigenzustands), mit der elektronischen Zustandsfunktion <math>\psi=\psi(\mathbf{r}) </math> die von den Ortskoordinaten des Elektrons abhängt.
Ein additiver Term <math> 1/R </math>, der für vorgegebenen Kern-Kern-Abstand <math> R </math> eine Konstante ist, wurde in der Potentialfunktion <math> V</math> fortgelassen, da er den Eigenwert nur verschiebt. Die Abstände zwischen dem Elektron und den Kernen seien mit <math>r_a^{}</math> und <math>r_b^{}</math> bezeichnet. In atomaren Einheiten <math>(\hbar=m=e=4 \pi\varepsilon_0 =1)</math> wird die Schrödinger-Gleichung zu
:<math>\left( {} - \frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi \qquad \mbox{mit} \qquad V = {} - \frac{1}{r_a^{}} - \frac{1}{r_b^{}} \; .</math>
Der Mittelpunkt zwischen den Positionen der Kerne kann als Ursprung der Koordinaten gewählt werden. Aus allgemeinen Symmetrieprinzipien folgt, dass die Zustandsfunktionen nach ihrem Symmetrieverhalten bezüglich Rauminversion ('''r''' <math> \to </math> -'''r''') charakterisiert werden können. Es gibt Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{+}(\mathbf{r})</math>,
die "symmetrisch" bezüglich Rauminversion sind, und Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{-}(\mathbf{r})</math>,
die unter dieser Symmetrieoperation ''anti-symmetrisch'' sind: <math> \psi_{\pm}(-{\mathbf{r}}) = {} \pm \psi_{\pm}({\mathbf r}) \; . </math>

Wir merken an, dass die Permutation (der Austausch) der Kerne die gleiche Wirkung auf die elektronischen Zustandsfunktionen hat. Für ein Mehrelektronensystem muss, zusätzlich zu diesen gerade benannten Symmetrien, auch das richtige Symmetrieverhalten der Zustandsfunktion <math>\psi</math> bezüglich Permutationen der Elektronen ([[Pauli-Prinzip|Paulisches Ausschließungsprinzip]]) gewährleistet sein. Die Schrödinger-Gleichungen für die symmetrieangepassten Zustandsfunktionen sind nun
:<math> \begin{align}
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{+} = E_{+} \psi_{+} \\
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{-} = E_{-} \psi_{-}
\end{align}</math>
Der Grundzustand (der energetisch niedrigste diskrete Zustand) des <math>H_{2}^{+}</math> ist der <math> {\rm X}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math> Zustand <ref>K.-P. Huber, [[Gerhard Herzberg]]: ''Molecular Spectra and Molecular Structure. IV. Constants of Diatomic Molecules.'' Van Nostrand Reinhold, New York 1979.</ref>, die zugehörige Zustandsfunktion <math>\psi_{+}</math> wird üblicherweise mit <math>1s \sigma_{\rm g}^{}</math> gekennzeichnet. Die Zustandsfunktion <math>\psi_{-}</math> des ersten angeregten Zustands, <math> {\rm A}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math>, wird mit <math> {\rm 2p}\sigma_{\rm u}^{}</math> gekennzeichnet. Die hier auftretenden Suffixe [[Molekulare Termsymbole|g und u]] (von ''gerade'' und ''ungerade'') kennzeichnen gerade das Symmetrieverhalten unter Rauminversion.
Ihre Verwendung ist Standard für die Kennzeichnung elektronischer Zustände von zweiatomigen Molekülen, während für Zustände von Atomen die Kennzeichnungen e und u (von Englisch {{lang|en|„even“}} und {{lang|en|„odd“}}) verwendet werden.

[[Image:h2plus_figure_2.png|thumb|Energien (E) der niedrigsten diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions <math>H_2^{+}</math> als Funktion des Kern-Kern-Abstands (R) in atomaren Einheiten. Siehe Text für weitere Einzelheiten.]]

Für große Kern-Kern-Abstände haben die (totalen) Energie-Eigenwerte <math>E_{\pm}</math> für diese beiden niedrigsten Zustände dieselbe asymptotische Entwicklung in reziproken Potenzen des Kern-Kern-Abstandes ''R'' <ref> Čížek J., Damburg R.J., Graffi S., Grecchi V., Harrel II E.M., Harris J.G., Nakai S., [[Josef Paldus|Paldus J.]], Propin R.Kh., Silverstone H.J. (1986). "''1/R'' expansion for ''H2+'': Calculation of exponentially small terms and asymptotics", [[Physical Review|Phys. Rev. A]] '''33''': 12-54. {{DOI|10.1103/PhysRevA.33.12}}</ref>:
:<math>E_{\pm} = {} - \frac{1}{2} - \frac{9}{4 R^4} + O(R^{-6}) + \cdots</math>
Die tatsächliche Differenz zwischen diesen beiden Energien wird [[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]] genannt und ist gegeben durch<ref>T. C. Scott, [[Alexander Dalgarno]], J.D. Morgan III: ''Exchange Energy of ''H2+'' Calculated from Polarization Perturbation Theory and the Holstein-Herring Method.'' In: ''Phys. Rev. Lett.'' 67, 1991, S. 1419–1422. {{DOI|10.1103/PhysRevLett.67.1419}}</ref>:
:<math>\Delta E = E_{-} - E_{+} = \frac{4}{e} \, R \, e^{-R} \left[ \, 1 + \frac{1}{2R} + O(R^{-2}) \, \right]</math>
Dieser Ausdruck verschwindet exponentiell mit Zunahme des
Kern-Kern-Abstandes. Der führende Term <math> {\textstyle \frac{4}{e}} R e^{-R} </math> wurde erst mit der [[Holstein-Herring-Methode]] richtig erhalten. In ganz ähnlicher Weise wurden asymptotische Entwicklungen in Potenzen von 1/R bis zu hoher Ordnung von Čížek et al. für die niedrigsten zehn diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions erhalten (für den Fall festgehaltener Kerne). Für beliebige zweiatomige oder mehratomige molekulare Systeme lässt sich die Austauschenergieaufspaltung bei großem Kern-Kern-Abstand nur sehr schwer berechnen. Für die Behandlung langreichweitiger Wechselwirkungen, einschließlich Studien mit Bezug auf Magnetismus und Ladungsaustauscheffekte, ist ihre Kenntnis aber notwendig. Die genannten Effekte sind insbesondere von Bedeutung für das physikalische Verständnis von Sternen und von Atmosphären (terrestrisch und extraterrestrisch).

Die Energien für die niedrigsten diskreten Zustände sind in der obigen Abbildung gezeigt. Die Werte können mit jeder gewünschten Genauigkeit unter Verwendung eines [[Computeralgebrasystem|Computeralgebraprogramms]] aus der „verallgemeinerten“ [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhalten werden (siehe Gl. <math>(3)</math> dort und die Referenz auf die Arbeit von Scott, Aubert-Frécon, und Grotendorst) doch sie wurden zunächst numerisch erhalten, in doppelter Genauigkeit, mit Hilfe des genauesten verfügbaren Computerprogrammes genannt ODKIL <ref>G. Hadinger, M. Aubert-Frécon, G. Hadinger: ''The Killingbeck method for the one-electron two-centre problem.'' In: ''[[Journal of Physics B]].'' 22, 1989, S. 697-712, {{doi|10.1088/0953-4075/22/5/003}}.</ref>. Die roten durchgezogenen Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math> Zustände. Die grünen gestrichelten Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math> Zustände. Die blaue gestrichelte Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm u}</math> Zustand, und die rosa gepunktete Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm g}</math> Zustand. Obwohl die mit Hilfe der „verallgemeinerten“ [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhaltenen Eigenwertlösungen diese asymptotischen Entwicklungen ersetzen, sind sie in der Praxis besonders in der Umgebung des [[Bindungslänge|Gleichgewichtsabstands]] sehr brauchbar. Solche Lösungen sind möglich, weil die [[partielle Differentialgleichung]], die die Schrödinger-Gleichung darstellt, unter Verwendung von prolaten sphäroidalen Koordinaten in zwei gekoppelte [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche Differentialgleichungen]] separierbar ist.

== Bildung ==
Das Wasserstoff-Molekülion wird in der Natur durch die Wirkung [[Kosmische Strahlung|kosmischer Strahlung]] auf Wasserstoffmoleküle gebildet.
Ein Elektron wird dabei herausgeschlagen und lässt das Kation
zurück.<ref name="eherbstastro">E. Herbst: ''The Astrochemistry of H3+.'' In: ''Phil. Trans. R. Soc. Lond. A.'' 2000, 358, 1774, S. 2523-2534, {{DOI|10.1098/rsta.2000.0665}}.</ref>
:<math>\mathrm{H_2 + Kosmische\ Strahlung \longrightarrow H_2^+ + e^- + Kosmische\ Strahlung}</math>

Die Teilchen der kosmischen Strahlung besitzen genügend Energie, um viele Moleküle
zu ionisieren, bevor sie selbst abgestoppt werden.

Der maximale Wirkungsquerschnitt beträgt für sehr schnelle Protonen (70 keV) 2,5 × 10−16 cm2.

In der Natur reagiert das Ion weiter mit anderen Wasserstoffmolekülen:
:<math>\mathrm{H_2^+ + H_2 \longrightarrow H_3^+ + H}</math>



== Eigenschaften ==
Die Ionisierungsenergie des Wasserstoffmoleküls beträgt 15,603 eV, die Dissoziationsenergie 1,8 eV.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Theoretische Chemie]]

[[en:Dihydrogen cation]]
[[es:Catión dihidrógeno]]
[[fr:Dihydrogène (cation)]]
[[ko:수소 분자 이온]]
[[pt:Íon molecular de hidrogênio]]
[[ru:Молекулярный ион водорода]]
[[zh:氢分子离子]]

Quantengravitation

2011-05-29T06:34:46Z

TonyMath: /* Literatur: dilaton */

Die '''Quantengravitation''' ist eine zurzeit in Entwicklung befindliche Theorie, die die beiden großen physikalischen Theorien des 20. Jahrhunderts, die [[Quantentheorie]] und die [[allgemeine Relativitätstheorie]], vereinigen soll. Während die allgemeine Relativitätstheorie nur eine der vier [[Grundkräfte der Physik|Elementarkräfte]] unseres Universums, die [[Gravitation]] beschreibt, behandelt die Quantentheorie die anderen drei Elementarkräfte ([[elektromagnetische Wechselwirkung]], [[schwache Wechselwirkung]] und [[starke Wechselwirkung]]). Die Vereinigung dieser beiden Theorien ist unter anderem wegen ihrer Überschneidungen, aber auch wegen abweichender [[Wissenschaftstheorie|wissenschaftsphilosophischer]] Konsequenzen notwendig.

Generell beschreibt die allgemeine Relativitätstheorie den Aufbau des [[Universum|Universums]] im Großen und ist bei großen [[Masse (Physik)|Massen]] und [[Beschleunigung|Beschleunigungen]] praktikabel. Die Quantentheorie hingegen beschreibt die [[Grundkräfte der Physik|Wechselwirkung]] zwischen kleinsten [[Elementarteilchen|Teilchen]] in kleinen Raumgebieten. Obwohl die Gravitation die schwächste der Elementarkräfte ist, bestimmt sie unser [[Weltbild]]: Sie ist die einzige der vier Elementarkräfte, die, nach heutiger Kenntnis, ausschließlich anziehend wirkt, da es nur ''eine'' Gravitationsladung (die Masse) gibt, und sich somit nicht entgegengesetzte Ladungen gegenseitig aufheben können. Die anderen Elementarkräfte hingegen sind nur für mikroskopische Prozesse von Bedeutung - mit Ausnahme der elektromagnetischen Wechselwirkung, die durchaus makroskopische und im Fall von interstellarem Plasma oder den Magnetfeldern von beispielsweise Sonne und Erde auch kosmische Maßstäbe erreicht. Überschneidungen beider Theorien treten in einigen Extremfällen auf:

*Der [[Urknall]] stellt im Modell der allgemeinen Relativitätstheorie ein Problem dar, da hier die Krümmung der [[Raumzeit]] unendlich wird (sog. [[Singularität (Astronomie)|Singularität]]), womit die Gesetze der allgemeinen Relativitätstheorie außer Kraft gesetzt werden, und [[Dichte]] sowie [[Temperatur]] extreme Werte annehmen.
*Bei [[schwarzes Loch|schwarzen Löchern]], welche durch ihre enorme Masse einhergehend mit ihrer geringen Größe die Raumzeit ebenfalls bis zur Singularität krümmen.

Einige Physiker verbinden mit der noch zu formulierenden Vereinigung der Gravitation mit den anderen Elementarkräften die Hoffnung, dass in einer solchen Theorie keine formal unendlichen [[Term]]e mehr auftreten, und sich Extremfälle, in denen alle Elementarkräfte gleichermaßen berücksichtigt werden müssen, dann berechnen lassen.
Zusätzlich gilt die Quantengravitation als möglicher Kandidat einer [[Weltformel|TOE]] ('''T'''heory '''O'''f '''E'''verything), da sich mit der Vereinheitlichung von allgemeiner Relativitätstheorie und Quantentheorie vermutlich die gesamten physikalischen Eigenschaften des Universums aus einer einzigen Formel herleiten lassen, vom [[Hebelgesetz]] bis zur [[Zeitdilatation]] durch Fortbewegung nahe der [[Lichtgeschwindigkeit]].

Bisher widersetzt sich die Gravitation allerdings beharrlich den Versuchen der Physiker, sie in das ''Quantenmodell'' einzufügen. Dieses beruht darauf, dass alle Kräfte in ''Elementarportionen'', die ''Quanten'', aufgeteilt werden. Die so zerlegten Kräfte lassen sich in der Quantentheorie und nur dort exakt berechnen und erklären. Die Gravitation allerdings lässt sich nicht so einfach zerlegen und so werden heute Theorien aufgestellt, die dies ermöglichen sollen.
Erster Anwärter für die Quantengravitation ist die [[Stringtheorie]], in der alle Elementarteilchen durch eindimensionale Strings repräsentiert werden. Allerdings lässt sich diese Theorie nach bisherigem Kenntnisstand nur in einem 10-, 11- oder 26-dimensionalen Universum formulieren.
Eine Alternative ist die [[Loop-Quantengravitation]], in welcher auch Raum und Zeit gequantelt sind.

Dies sind nur die meistvertretenen Theorien, daneben gibt es noch eine ganze Reihe anderer Erklärungsmodelle.

== Siehe auch ==
* [[Quantengeometrie]]
* [[Große vereinheitlichte Theorie]]
* [[M-Theorie]]
* [[Graviton]]

==Literatur==
* Robin Schumann: ''Quantengravitation.'' Shaker, Aachen 2006, ISBN 978-3-8322-5683-8
* [[Claus Kiefer]]: ''Quantum gravity.'' Oxford Univ. Press, Oxford 2007, ISBN 0-19-921252-X
* Daniele Oriti: ''Approaches to Quantum Gravity - Toward a New Understanding of Space, Time and Matter.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-86045-1
* Andrés Gomberoff, Donald Marolf: ''Lectures on quantum gravity.'' Springer, New York 2005, ISBN 0-387-23995-2
* [[Carlo Rovelli]]: ''Quantum gravity.'' Univ. Press, Cambridge 2005, ISBN 0-521-83733-2
* [[Lee Smolin]]: ''Quantum theories of gravity - results and prospects.''S. 492-527, in: John D. Barrow: ''Science and ultimate reality.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-83113-X
* Lee Smolin: ''[http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/leseproben/Quantenrz.pdf Quanten der Raumzeit]'', in: [[Spektrum der Wissenschaft]] (März 2004), S. 54–63. {{ISSN|0170-2971}}
* Nick Huggett, et al.: ''Physics meets philosophy at the Planck scale - contemporary theories in quantum gravity.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001, ISBN 0-521-66445-4
* Martin Bojowald: ''Zurück vor den Urknall.'' S. Fischer, Frankfurt a.M. 2009, ISBN 978-3-10-003910-1
* Claus Kiefer: ''Der Quantenkosmos - von der zeitlosen Welt zum expandierenden Universum'' S. Fischer, Frankfurt a.M. 2008, ISBN 978-3-10-039506-1
* Pierre S. Farrugia, Robert B. Mann, und Tony C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation'', Class. Quantum Grav. '''24''': 4647–4659, 2007, [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18]; Arxiv-Artikel [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2]

== Weblinks ==
*[http://www.quanten.de/pdf/quantengravitation.pdf Eine leicht verständliche Einführung] (PDF; 261 kB)
*{{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/quantum-gravity/}}
* [http://pirsa.org/C06001 Introduction to quantum gravity] Perimeter Institute Recorded Seminar Archive 2006

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Instanton

2011-01-13T19:39:38Z

TonyMath: /* normalizing coleman reference */

'''Instantone''' sind in Raum und Zeit lokalisierte [[Soliton]]lösungen der so genannten [[Yang-Mills-Gleichungen]] in der [[Quantenchromodynamik]] im [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]]. Die Instantonlösungen beschreiben den [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Übergang zwischen den verschiedenen Klassen des [[Yang-Mills-Feld|Yang-Mills]]-[[Vakuum]]s. Sie sollen für die [[starke Wechselwirkung]] im niederenergetischen Regime eine große Bedeutung haben.

Instantone sind auch bekannt geworden, weil sie eine Erklärung für eine wichtige [[Symmetriebrechung]] in der Natur liefern, die mit der [[Händigkeit]] der Teilchen zu tun hat. So können Instantone die [[Chiralität (Physik)|Chiralität]] von [[Elementarteilchen]] im Quantenchromodynamik-Vakuum verändern. Die dazugehörige chirale Symmetrie spielt eine zentrale Rolle in der [[Hadron]]enphysik.

== Literatur ==
* R.Rajaraman: ''Solitons and instantons - an introduction to solitons and instantons in quantum field theory.'' Elsevier, Amsterdam 2005, ISBN 0-444-87047-4
* Mikhail A. Shifman: ''Instantons in gauge theories.'' World Scientific, Singapore 1994, ISBN 981-02-1681-5
* [[Sidney Coleman]]: ''Aspects of Symmetry'', Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]

[[ca:Instantó]]
[[en:Instanton]]
[[fr:Instanton]]
[[it:Istantone]]
[[ko:순간자]]
[[ru:Инстантон]]

Instanton

2011-01-13T19:26:27Z

TonyMath: /* Sidney Coleman */

'''Instantone''' sind in Raum und Zeit lokalisierte [[Soliton]]lösungen der so genannten [[Yang-Mills-Gleichungen]] in der [[Quantenchromodynamik]] im [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]]. Die Instantonlösungen beschreiben den [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Übergang zwischen den verschiedenen Klassen des [[Yang-Mills-Feld|Yang-Mills]]-[[Vakuum]]s. Sie sollen für die [[starke Wechselwirkung]] im niederenergetischen Regime eine große Bedeutung haben.

Instantone sind auch bekannt geworden, weil sie eine Erklärung für eine wichtige [[Symmetriebrechung]] in der Natur liefern, die mit der [[Händigkeit]] der Teilchen zu tun hat. So können Instantone die [[Chiralität (Physik)|Chiralität]] von [[Elementarteilchen]] im Quantenchromodynamik-Vakuum verändern. Die dazugehörige chirale Symmetrie spielt eine zentrale Rolle in der [[Hadron]]enphysik.

== Literatur ==
* R.Rajaraman: ''Solitons and instantons - an introduction to solitons and instantons in quantum field theory.'' Elsevier, Amsterdam 2005, ISBN 0-444-87047-4
* Mikhail A. Shifman: ''Instantons in gauge theories.'' World Scientific, Singapore 1994, ISBN 981-02-1681-5
*''Aspects of Symmetry'', [[Sidney Coleman]], Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]

[[ca:Instantó]]
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[[fr:Instanton]]
[[it:Istantone]]
[[ko:순간자]]
[[ru:Инстантон]]

Holstein-Herring-Methode

2010-12-10T19:28:57Z

TonyMath: /* Sidney Coleman */

Die '''Holstein-Herring-Methode'''<ref>Holstein T., „Mobilities of positive ions in their parent gases“, J. Phys. Chem. '''56''', 832-836 (1952).</ref><ref>Holstein T., Westinghouse Research Report 60-94698-3-R9, (unpublished), (1955).</ref><ref name=Herring62>Herring C., „Critique of the Heitler-London Method of Calculating Spin Couplings at Large Distances“, Rev. Mod. Phys. '''34''', 631-645 (1962).</ref><ref>Bardsley J.N., Holstein T., Junker B.R., and Sinha S., „Calculations of ion-atom interactions relating to resonant charge-transfer collisions“, Phys. Rev. A '''11''', 1911-1920 (1975).</ref>, auch bekannt unter der englischen Bezeichnungen {{lang|en|'''surface integral method'''}}<ref>T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, D. Andrae, „Asymptotics of Quantum Mechanical Atom-Ion Systems“, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) '''13''', 233-255 (2002).</ref><ref>Aubert- Frécon M., Scott T.C., Hadinger G., Andrae D., Grotendorst J., and Morgan III J.D., „Asymptotically Exact Calculation of the Exchange Energies of One-Active-Electron Diatomic Ions with the Surface Integral Method“, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., '''37''', pp. 4451-4469 (2004).[http://iopscience.iop.org/0953-4075/37/22/005]</ref> oder {{lang|en|'''Smirnov's method'''}}<ref>Smirnov B.M. and Chibisov M.I., „Electron exchange and changes in the hyperfine state of colliding alkaline metal atoms“ Sov. Phys. JETP '''21''', 624-628 (1965).</ref>, ist ein effektives Verfahren zur Berechnung der [[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]] asymptotisch entarteter Energiezustände in molekularen Systemen. Obwohl die Austauschenergieaufspaltung für zunehmend größer werdende internukleare Abstände <math>R</math> immer schwieriger zu berechnen ist, spielt sie eine fundamentale Bedeutung in den Theorien der Bindung in Molekülen und des Magnetismus.

== Theorie ==
Die Grundidee der Holstein-Herring-Methode lässt sich am Beispiel des [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekülions]], oder allgemeiner, der Atom-Ion-Systeme oder „Systeme mit einem aktiven Elektron“ folgendermaßen illustrieren. Wir betrachten Molekülzustände, die durch Zustandsfunktionen beschrieben werden, welche sich unter Rauminversion gerade oder ungerade verhalten. Dies wird durch die Suffixe [[Molekulare Termsymbole|g und u]] gekennzeichnet und ist Standard zur Kennzeichnung elektronischer Zustände zweiatomiger Moleküle (für Atomzustände sind dagegen die englischen Ausdrücke {{lang|en|„even“}} und {{lang|en|„odd“}} gebräuchlich). Die zugehörige elektronische [[Schrödinger-Gleichung|Schrödinger-Gleichung]] lässt sich schreiben als:
:<math>
\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi ~,
</math>
wobei ''E'' die (elektronische) Energie eines gewählten quantenmechanischen Zustands (Eigenzustands) ist, mit einer elektronischen Zustandsfunktion <math> \psi=\psi(\mathbf{r}) </math> die von den Ortskoordinaten des Elektrons abhängt, und wobei <math> V </math> das Coulomb-Potential der Elektron-Kern-Wechselwirkung ist. Für das [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoff-Molekülion]] gilt:
:<math>
V = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 } \left(\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} \right)
</math>
Für irgendeinen geraden Zustand lässt sich die elektronische Schrödinger-Gleichung in [[atomare Einheiten|atomaren Einheiten]] (<math>\hbar=m=e=4 \pi \varepsilon_0 =1 </math>) schreiben als:
:<math>
\left(-\frac{1}{2} \nabla^2 + V(\textbf{x}) \right) \psi_{+} = E_{+} \psi_{+}
</math>
Für irgendeinen ungeraden Zustand lässt sich die zugehörige Wellengleichung schreiben als:
:<math>
\left(-\frac{1}{2} \nabla^2 + V(\textbf{x}) \right) \psi_{-} = E_{-} \psi_{-}
</math>
Der Einfachheit halber nehmen wir reelle Funktionen an (obwohl das Endergebnis für den Fall komplexer Funktionen verallgemeinert werden kann). Nun multiplizieren wir die Gleichung für die gerade Funktion von links mit <math>\psi_{-}</math>, die Gleichung für die ungerade Funktion von links mit <math>\psi_{+}</math>, und erhalten daraus die Differenz:
:<math>
\psi_{+} \nabla^2 \psi_{-} - \psi_{-} \nabla^2 \psi_{+} = {} - 2 \,
\Delta E \, \psi_{-} \psi_{+} \;.
</math>
wobei <math>\Delta E = E_{-} - E_{+} </math> die ''[[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]]'' ist. Im nächsten Schritt definieren wir, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, orthogonale Ein-Teilchen-Funktionen, <math>\phi_A^{}</math> und <math>\phi_B^{}</math>, die an den Kernen lokalisiert seien und schreiben:
:<math>
\psi_{+} = \frac{1}{\sqrt{\,2}} ~ (\phi_A^{} + \phi_B^{}) \;, \qquad
\psi_{-} = \frac{1}{\sqrt{\,2}} ~ (\phi_A^{} - \phi_B^{}) \;.
</math>
Dies ist ähnlich dem in der Quantenchemie verwendeten LCAO-Ansatz [[Molekülorbitaltheorie#MO-Verfahren|(Linear combination of atomic orbitals molecular orbital method)]], wir müssen aber betonen, dass die Funktionen <math>\phi_A^{}</math> und <math>\phi_B^{}</math> im allgemeinen „polarisiert“ sind, d.h. sie sind keine reinen Eigenfunktionen der Drehimpulsoperatoren bzgl. ihrer jeweiligen Zentren (s.a. unten). Allerdings reduzieren sich die lokalisierten Funktionen <math>\phi_{A,B}^{}</math> im Grenzfall <math>R \rightarrow \infty</math> auf die wohlbekannten atomaren (wasserstoff-artigen) Psi-Funktionen <math>\phi_{A,B}^{0}</math>. Wir bezeichnen nun mit <math>M</math> die Ebene senkrecht zur Kernverbindungslinie in der Mitte zwischen beiden Kernen (s. Diagram für [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoff-Molekülion]] für weitere Einzelheiten), mit <math>{\mathbf{z}}</math> einen Einheitsvektor senkrecht zu dieser Ebene (dieser Vektor sei parallel zur kartesischen <math>z</math>-Richtung), so dass der gesamt dreidimensionale Raum <math>\mathbf{R}^3</math> in einen linken (<math>L</math>) und einen rechten (<math>R</math>) Halbraum geteilt wird. Aus Symmetrieüberlegungen folgt:
:<math>
\left. \psi_{-} \right|_M = \mathbf{z} \cdot \left. \mathbf{\nabla}
\psi_{+} \right|_M = 0 \;.
</math>
Dies impliziert, dass:
:<math>
\left. \phi_{A}^{} \right|_M = \left. \phi_{B}^{} \right|_M \;, \qquad
{\mathbf{z}} \cdot \left. \mathbf{\nabla} \phi_{A}^{} \right|_M =
{} - \mathbf{z} \cdot \left. \mathbf{\nabla} \phi_{B}^{} \right|_M \;.
</math>
Die lokalisierten Funktionen sind normiert, so dass gelten muss:
:<math>
\int_{L} \phi_A^2 ~dV = \int_{R} \phi_B^2 ~dV
</math>
und umgekehrt. Integration dieses Ergebnisses über den gesamten Raum links der Ebene <math>M</math> ergibt:
:<math>
2 \int_{L} \psi_{+} \psi_{-} ~ dV = \int_{L} (\phi_A^2 - \phi_B^2
) ~ dV = 1 - 2 \int_R \phi_A^2 ~ dV
</math>
und
:<math>
\int_{L} (\psi_{+} \nabla^2 \psi_{-} - \psi_{-} \nabla^2 \psi_{+})
~dV = \int_{L} (\phi_{B}^{} \nabla^2 \phi_{A}^{} - \phi_{A}^{}
\nabla^2 \phi_{B}^{}) ~dV
</math>
[[Bild:h2plus figure 1.png|thumb| Energie (E) der beiden niedrigsten gebundenen Zustände des Wasserstoff-Molekülions <math>H_2^{+}</math>, als Funktion des Kern-Kern-Abstandes (R) in atomaren Einheiten.]] Anwendung einer Variante des [[Gaußscher Integralsatz|gaußschen Integralsatzes]] auf dieses Ergebnis führt schließlich auf die Holstein-Herring-Formel:
:<math>
\Delta E = {} - 2 \, \frac{\int_M \phi_A^{} \mathbf{\nabla} \phi_A^{}
\bullet d{\mathbf{S}} }{1-2 \int_R \phi_A^2 ~dV}
</math>
wobei <math>d {\mathbf{S}}</math> ein differentielles Flächenelement der Mittelebene <math>M</math> ist. Mit dieser Formel gelang es Herring erstmals zu zeigen,<ref name=Herring62/> dass der führende Term der asymptotischen Entwicklung der Energiedifferenz zwischen den beiden niedrigsten Zuständen des Wasserstoff-Molekülions, also des ersten angeregten Zustandes <math>2 p \sigma_u</math> und des Grundzustandes <math>1 s \sigma_g</math> (bezeichnet nach [[Molekulare Notation|molekularer Notation]] – s. obige Abbildung für die Energiekurven), folgende mathematische Form hat:
:<math>
\Delta E = E_{-} - E_{+} = \frac{4}{e} \, R \, e^{-R}
</math>
Vorherige Berechnungen auf der Basis der LCAO-Näherung für die atomaren Orbitale hatten fälschlicherweise den Vorfaktor <math>4/3</math> anstatt <math>4/e</math> ergeben.

== Anwendungen ==
Die Holstein-Herring-Formel hatte nur begrenzte Bedeutung für Anwendungen, bis um 1990, als Tang, [[Jan Peter Toennies|Toennies]], und Yiu<ref>Tang K.T., [[Jan Peter Toennies|Toennies J.P.]], and Yiu C.L., „The exchange energy of H2+ calculated from polarization perturbation theory“, J. Chem. Phys. '''94''', 7266-7277 (1991).</ref> zeigten, dass <math>\phi_A^{}</math> eine ''polarisierte'' Funktion sein kann, d. h. eine atomare, an einem der beiden Kernorte lokalisierte Wellenfunktion, die durch den Einfluss des anderen Kerns verzerrt wird und daher keine eindeutige Symmetrie (gerade oder ungerade) mehr aufweist. Dennoch kann die oben angegebene Holstein-Herring-Formel verwendet werden, und liefert die korrekte asymptotische Reihenentwicklung für die Austauschenergieaufspaltung. Auf diese Weise ist auch ein ursprüngliches Zwei-Zentren-Problem erfolgreich in ein effektives Ein-Zentren-Problem umgewandelt worden. Anschließend wurde diese Formel für Zwei-Zentren-Probleme mit einem aktiven Elektronen (z. B. Alkalidimer-Kationen) erweitert. Durch Scott ''et al.'' wurde das Verständnis dieses zunächst überraschenden Ergebnisses vertieft, was die Klärung subtiler, aber wichtiger Fragen zur Konvergenz der polarisierten Funktionen erforderte<ref>Scott T.C., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III J.D. (1991). „Exchange Energy of ''H2+'' Calculated from Polarization Perturbation Theory and the Holstein-Herring Method“, [[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] '''67''': 1419-1422.[http://prola.aps.org/abstract/PRL/v67/i11/p1419_1]</ref><ref>Scott T.C., Babb J.F., Dalgarno A. and Morgan III J.D.,„Resolution of a Paradox in the Calculation of Exchange Forces for H2+, Chem. Phys. Lett. '''203''', 175-183 (1993).[http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFN-44F1KVT-1Y&_user=10&_coverDate=02%2F19%2F1993&_alid=1353291023&_rdoc=1&_fmt=high&_orig=search&_cdi=5231&_sort=r&_docanchor=&view=c&_ct=1&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=eb5f44261b508082d532fcae1b68d5c8]</ref><ref>Scott T.C., Babb J.F., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III J.D., „The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models“, J. Chem. Phys., '''99''',2841-2854, (1993). [http://adsabs.harvard.edu/abs/1993JChPh..99.2841S]</ref>. Das Ergebnis dieser Analyse bedeutet, dass im Prinzip jede beliebige Ordnung der asymptotischen Reihenentwicklung der Austauschenergieaufspaltung berechnet werden kann. Die Holstein-Herring-Methode ist auch für den Fall von zwei aktiven Elektronen erweitert worden, d. h. für die beiden niedrigsten gebundenen Zustände des Wasserstoff-Moleküls <math>H_2</math><ref>Herring C., and Flicker M.,„Asymptotic Exchange Coupling of Two Hydrogen Atoms“, [[Physical Review|Phys. Rev. A]] '''134''', 362-366 (1964).</ref> und allgemeinere zweiatomige Systeme<ref>Scott T.C., Aubert-Frécon M., Andrae D., Grotendorst J., Morgan III J.D. and Glasser M.L., „Exchange Energy for Two-Active-Electron Diatomic Systems Within the Surface Integral Method“, AAECC, '''15''', 101-128 (2004). {{doi|10.1007/s00200-004-0156-6}}</ref>.

== Physikalische Interpretation ==
Die oben angegebene Holstein-Herring-Formel kann wie folgt physikalisch interpretiert werden: Das Elektron ''[[Tunneleffekt|tunnelt]]'' zwischen beiden Kernen hin und her, erzeugt dadurch einen Strom, dessen Flussdichte durch die Mittelebene <math>M</math> die Bestimmung der Austauschenergieaufspaltung erlaubt. Bezogen auf den Tunneleffekt, eine ergänzende Auslegung von [[Sidney Coleman]]'s ''"Aspects of Symmetry"'' ("Aspekte der Symmetrie", 1985) hat eine "[[Instanton]]" Reise in die Nähe und über den klassischen Weg innerhalb [[Pfadintegral]]. Diese Energie wird also von beiden Kernen geteilt, d. h. ''ausgetauscht''. Zu beachten ist noch, dass das Volumenintegral über <math>R</math> im Nenner der Holstein-Herring-Formel subdominant ist, so dass für genügend große Kern-Kern-Abstände der Nenner einfach gleich eins gesetzt werden kann und nur das Oberflächenintegral im Zähler berechnet zu werden braucht.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Magnetismus]]

[[en:Holstein–Herring method]]
[[fr:Méthode Holstein-Herring]]

Benutzer Diskussion:TonyMath

2010-11-17T18:47:45Z

TonyMath: /* glad apology is accepted */

Hallo Tony,

bitte beteilige dich an der Diskussion zum Osteraufstand. Ich sehe nach wie vor keinen Grund, warum man dort auf [[Rebel Heart]] verweisen sollte, die Begründung müsste schon von dir kommen. Einen Edit-War wegen so einer Lapalie braucht nun wirklich niemand.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 11:23, 5. Nov. 2010 (CET)

Hello Nico

The connection to the movie and song "Rebel Heart" is VERY relevant! It is about the history of the Easter Rising all the way up to an including the Irish war of independence. This is a 4-part BBC television series which has much to say about the important players like e.g. Michael Collins. How can you insist it is not relevant? This site mentions the Cranberries and U2. So how can you rule out the Irish expressing themselves on this issue either in film or in music? If my German is less than perfect, you are welcome to make it better BUT it is wrong to remove all mention of "Rebel Heart".[[Benutzer:TonyMath|TonyMath]] 18:49, 5. Nov. 2010 (CET)

:Hi Tony, I am certainly the last one who would rule out the irish expressing themselves when it comes to their own history (even though the irish tend to have some quite funny notions about the easter rising in particular). I have said nothing about the BBC-production being relevant or not, thats a different question alltogether, I was only referring to the song. Have you read what Sharon of the Corrs had to say about the tune? "I wrote it in Malibu on piano when we were recording Talk on Corners. It sat around for a long time and then the BBC were looking for some music for their big Autumn drama about the 1916 Easter Rising in Ireland. It has a very Irish melody and we added the tin whistle and so on and it fitted the bill."
:So this is just some piece of music written in malibu where they thought "lets add some tin whistle to make it sound more irish". It was not written with the easter rising in mind nor is their anything in the music that would that would hint at the relation. This is certainly not the best we can come up with when it comes to 'the easter rising in the arts', now is it? Regards, --[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 22:51, 5. Nov. 2010 (CET)

Hello Nico

This remark is subjective (to say the least): Don't confuse comments about the composition of the piece i.e. how it was made with the subject matter itself. Those comments were made for fans of the Corrs. Have you ever listened to the piece? I can assure you: it is a '''very''' serious piece of music. However artists make their art, this song particular song was nominated for a grammy and it was accepted for the film. Anyway, I am happy to see that at least the BBC film is mentioned. I would like to add a hyperlink to the song since the wikipedia article for the Rebel Heart film is currently only in English. [[Benutzer:TonyMath|TonyMath]] 18:52, 9. Nov. 2010 (CET)

:I never doubted it's seriousness. If you can provide some evidence that it really relates to the easter rising and has developed some significance in doing so please feel free to add that info and link to the song. All we heard so far is that it was used in a BBC-play that plays either during the easter rising or during the anglo-irish war. I asked for clarification of this point days ago without success, so I deleted that sentence for now.
:We can not have sentences here like "in the time of the easter rising during the anglo-irish war", in the end we are still trying to write an encyclopedia.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 00:23, 10. Nov. 2010 (CET)

Nico!

Are you serious? If you want to know about the BBC play "Rebel Heart": just look at the wikipedia article in English! It covers the period of the easter rising until the Irish war of independence. It's all there, right on wikipedia! The Corrs were commissioned by the BBC to provide the music, which they did! The wikipedia version of Rebel Heart in English provides all the necessary links! The "proof" as you call it is right there. You are merely being a pedantic contrarian.

:1) It is always up to the one who wants to include something to present proof for what he wants to include, not for the rest of the world to dig it up.
:2) Right there in the english WP as well as in the german WP a member of the corrs is quoted with a statement showing that the song was not written for the series, but "had been lying around for some time". Your so-called proof is exactly the opposite, it clearly shows that you are wrong here.

You are doing it again: you are taking a sentence out of context and associating the selective meaning you want to give it and then you penalize based on your out-of-context interpretation. No, you are wrong again. Composition of music does not follow the inspiration/cause/effect you mentioned nor is it obligated to work out that way. The music composed by the Corrs became part of the BBC series. End of Story. Many musicians used unreleased bit parts long realized before committing themselves to a fully fleshed out version later on. It does not matter whether or not, the Corrs had a basic tune before being commissioned. E.g. Beethoven's "heroic symphony" had Napoleon as his initial inspiration before he changed his mind. Again, you are being pedantic.

:3) Even if it were as you state, it would be interesting to link the song to the easter rising, but not the other way round - you learn nothing about the rising or its perception from the link.

Both versions of the song rebel heart by the Corrs to have a link to the easter rising. You merely have to look at them! The proof of what I have stated is already in wikipedia for you and everybody to look at.
:::Of course they habe a relation - they were used in a film about the event. Like every song used in ''The wind that shakes the barley'' was used in a film about Urish history. That is no reason to list them in that article. We are talking about '''relevance''' here, and I still don't see that this song is by any means relevant enough to be mentioned here. Of course you can and should mention the easter rising and the film the song was used in in the article about the song, because that information adds to understanding why it is even mentioned in wikipedia. But linking to the song adds nothing to understanding the rising.

:4) So linking to the song or mentioning it is out of the question. The series is another matter, but if you want to do so, do it in a way so people can profit from it. Placing the easter rising inside the anglo-irish war is utter nonsense, thats why this sentence got deleted time and again and not only by me.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 20:25, 12. Nov. 2010 (CET)

You have a strange view of Irish history! Is it an ad hominem remark to point that you, a German I gather(?), are actually lecturing me, someone of Celtic ancestry on Irish history? I have read about and seen the movie "Rebel Heart" which traces the history FROM the Easter Rising all the way to the Irish War of Independence. Of course, the dates are different! But to say there is NO correlation between the events when history clearly states a causal effect between the two - is clearly ignorant of that part of history. It makes no sense! Why would the BBC series mention these 2 events in the SAME film if there was no relationship between the two? Of course, there is a relationship between the two as it involves some of the same key players! Like Michael Collins! Just read:

http://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Collins_(Irish_leader)

The teleseries film "Rebel Heart" is probably the most comprehensive rendition of that history committed to "theatre".

:::It is indeed again ad hominem to distort this to a question of '' a german vs. someone of celtic ancestry'', and it is a ridiculous argument ad well. Does your ''celtic ancestry'' provide you with some special insight sucked in with the breast milk or is it the DNA of Brian Boru that works this miracle? I could argue on a much more valid basis that you shouldn't lecture someone with a master in Irish history about his own field but I don't because that in turn proves nothing.
:::What you argue against here is something I never said. Of course there is a link between the rising and the war, but the sentence you insist upon places the rising chronologically '''inside''' the anglo-rish war, wich is utter nonsense. This might be due to the fact that german is not your native language, but still I insist that this article at least states the historical facts correctly.

:p.s.: I will not tolerate any further ad hominem attacks by you like "pedantic contrarian". If you can't argue in a civilized manner you might want to look for some other occupation as such manners are not welcome here.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 20:29, 12. Nov. 2010 (CET)

The label "pedantic contrarian" merely describes your manner of argument. Saying that your arguments are ridiculous is NOT the same as saying you are ridiculous. Saying that you are wrong and outrageously so - is not an ad hominem remark. I do not accept the premise that I must remain "civilized" when I witness your personal censorship on ANYTHING mentioned on this site. I do not accept the premise that you can act as judge, jury and executioner. I took on the mantle of burden-of-proof when I gave the appropriate hyperlinks. I could have done more had there been a German version of the wikipedia article on the BBC teleseries "Rebel Heart". Unfortunately, there is not but I have already given all the reasonable proof needed. Your criticism is based on selecting certain sentences out of context and making some strange thesis out of it.

=> The outcome is that unlike the English or French or Italian sites on the Easter Rising in wikipedia, the German site omits the very important mention of the Irish-BBC teleseries and apparently, from purely emotional resistance by specific individuals like yourself. Quite frankly, you don't have a leg to stand on and I fail to see how on earth you could explain that
omission. This is equivalent to mentioning Hitler and World War II in movies and theatre but NEVER mentioning the German film "Der Untergang" i.e. denying that the Germans finally came to grips with that part of history. You are denying the very mention of Irish expression concerning that part of history! It's simply wrong - morally and technically wrong. What you call my "ad hominem" remarks is simply an expression of righteous indignation![[Benutzer:TonyMath|TonyMath]] 00:14, 13. Nov. 2010 (CET)

:::Once more: there is no resistance to mentioning the series in the article. What I and others have reverted is a sentence containing historical nonsense and adding no information to the article. Make a contribution that shows the importance of the film, why it was debatted so controversially, why it drew criticism from so many sides, and noone will say a word against that.

::::: The movie "Rebel Heart" did draw controversy and more than a word was said against it. What it does is balance the notion that e.g. "Michael Collins" was a saint. Many Irish felt that he betrayed the Irish cause. This is one of the reasons why "Rebel Heart" should be mentioned, to provide a complete picture. There was no nonsense in the statement. Actually the last statement was written by one of your colleagues: one sentence mentioning the movie and its existence is not "historical nonsense".

:::BTW, hwo come you insist that a british tv-production with most leading roles played by english actors is to do with ''the Irish expression concerning that part of history''? Shouldn't you reject this as ''the brits'' lecturing you about your own history?--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 15:27, 13. Nov. 2010 (CET)

:::: They were not all British. Have you forgotten that Northern Ireland is part of Great Britain and that it has both Catholic and Protestant Irish feeling very strongly about the issue. Look again! E.g. the Michael Collins is played by actor Brendan Coyle who is of Scotch-Irish descent. The name "Brendan" is an Irish as they get. Many Irish actors like Daniel Day-Lewis have dual citizenship. Also BBC-Ireland played a part in this. Why do you an Irish group like The Corrs (from Southern Ireland) would have been commissioned for the music? Why do you think they accepted? Naturally, it expresses an Irish view.

Look Nico. I give up. Have it your way. We could go on forever and it has become clear to me that you and your colleagues are not even on top of not only Irish history but the very articles within wikipedia on Irish history! Every thing you have said has been "torn" to bits but the facts. If you are representative of the people "owning" the German wikipedia site on the Easter Rising, you have, by your reckless disregard of Irish history actually proven that the "people" in question are not authorities on the matter. Why do you do this anyway if you obviously are ignorant of Irish history?

::Hello again. I saw the latest versions. I was surprised. I owe you an apology for having been so aggressive. I realize now that fighting for a cause can make you excessive.

:::Taken and excepted, no bad feelings. But let me be pedantic one more time, because that hurts: you wrote ''Have you forgotten that Northern Ireland is part of Great Britain''. This isn't the case. Northern Ireland is part of the UK but not of Great Britain. Mise, --[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 23:32, 15. Nov. 2010 (CET)

:::: Glad you have accepted. I know the distinction but the southern Irish often refer to their northern neighbors as "British" in part because there is no "handy" term for a member of the UK and also because (from their perspective) they see little distinction between the UK and Great Britain. After all, northern Irish are in the British army and the first "B" in BBC means British but BBC-Ireland does exist :-) I am just being facetious. I am glad with the outcome. It is actually more than I asked for, [[Benutzer:TonyMath|TonyMath]] 19:47, 17. Nov. 2010 (CET)

Benutzer Diskussion:TonyMath

2010-11-12T23:14:11Z

TonyMath: /* Reckless disregard of history */

Benutzer Diskussion:TonyMath

2010-11-11T19:33:45Z

TonyMath: /* all the evidence is already in wikipedia! */

Osteraufstand

2010-11-09T18:15:40Z

TonyMath: /* Siehe auch Rebel Heart (song) */

[[Datei:Birth of the Irish Republic.jpg|right|300px|thumb|Birth of the Irish Republic]]
Der '''Osteraufstand''' ([[Irische Sprache|irisch]]: ''Éirí Amach na Cásca'' / [[Englische Sprache|englisch]]: '' Easter Rising'') von 1916 war ein Versuch militanter [[Irland (Insel)|irischer]] Republikaner, die Unabhängigkeit von [[Vereinigtes Königreich|Großbritannien]] gewaltsam zu erzwingen. Obwohl militärisch fehlgeschlagen, gilt er als Wendepunkt in der [[Geschichte Irlands (1801–1922)|Geschichte Irlands]], der dann letztlich zur Unabhängigkeit führte.

== Überblick ==
Der Aufstand fand vom 24. bis 30. April 1916 statt. Ein Teil der [[Irish Volunteers]] unter [[Patrick Pearse]] und die viel kleinere Gruppe der [[Irish Citizen Army]] von [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]] eroberten verschiedene Gebäude in [[Dublin]] und proklamierten die unabhängige irische Republik. Gleichzeitig wurden die verschiedenen Widerstandsgruppen zur Irish Republican Army verschmolzen. Obwohl militärisch fehlgeschlagen, gilt dieser Aufstand als Wendepunkt auf dem Weg zur irischen Unabhängigkeit, denn durch ihn kam es zu einer direkten Spaltung zwischen den gewaltbereiten Republikanern und den passiveren Nationalisten unter [[John Redmond]] und „seiner“ [[Irish Parliamentary Party]], die durch demokratische parlamentarische Arbeit die Genehmigung der (3.) [[Home Rule]] erreicht hatten.
Politisch wurde der Aufstand erst zum Erfolg durch den Fehler des Generalkommandanten der Britischen Streitkräfte in Irland, Sir [[John Grenfell Maxwell]], der die gefangengenommenen Kommandeure der Irisch Republikanischen Armee exekutieren ließ. Mit Bekanntwerden der Exekutionen schwenkte die Sympathie der irischen Bevölkerung auf die Seite der Republikaner über.

== Planung des Aufstands ==
[[Datei:Easter_Proclamation_of_1916.png|thumb|150px||Die [[Oster-Proklamation]]]]
Während der Osteraufstand hauptsächlich durch die Irish Volunteers (IV) ausgeführt wurde, wurde er doch von der [[Irish Republican Brotherhood]] (IRB) geplant. Kurz nach Ausbruch des [[Erster Weltkrieg|Ersten Weltkrieges]] am 4. August 1914 trafen sich die ranghöchsten Mitglieder der IRB unter der Maxime „Englands Schwierigkeiten sind Irlands Chancen“ und beschlossen die Durchführung von Aktionen vor Ende des Kriegs. Zu diesem Zweck formierte der Kassenwart der IRB [[Thomas J. Clarke|Tom Clarke]] ein militärisches Komitee (ursprünglich Patrick Pearse, [[Eamonn Ceannt]] und [[Joseph Plunkett]]; kurz darauf stießen [[Sean MacDermott]] und er selbst dazu) zur Planung des Aufstands. Jede dieser Personen war Mitglied der IRB und, mit Ausnahme von Clarke, der Irish Volunteers. Die IRB hatte seit der Gründung der Irish Volunteers 1913 versucht, die Kontrolle über die Volunteers zu erlangen, indem sie, wann immer möglich, IRB-Mitglieder in höhere Ränge brachte. Dies führte bis 1916 dazu, dass ein Großteil der Volunteer-Führerschaft gewaltbereite und ergebene Republikaner waren. Eine wichtige Ausnahme war allerdings Gründer und Stabschef [[Eoin MacNeill]], der gegen jede risikoreiche Rebellion war. Die IRB hoffte daher, ihn entweder auf ihre Seite ziehen (notfalls durch Arglist), oder ihn einfach umgehen zu können. Mit beiden Plänen hatte die IRB nur wenig Erfolg.

Der Plan für einen Aufstand nahm die erste große Hürde, als der Sozialist James Connolly, Kopf der Irish Citizen Army (ICA) und vollkommen ohne Ahnung von den Plänen der IRB, mit einem „eigenen“ Aufstand drohte, falls andere Gruppen nicht für die Unabhängigkeit kämpfen würden. Da die ICA kaum mehr als 200 Männer stark war, wäre jeder eigenständige Aufstand von vornherein zum Scheitern verurteilt, was auch die Chancen eines Aufstands durch die Volunteers stark vermindert hätte. Daher trafen sich die Führer der IRB mit Connolly und überzeugten ihn, sich ihnen anzuschließen. Sie einigten sich darauf, am kommenden Osterfest zusammenzuarbeiten.

Bei dem Versuch, Informanten und natürlich den eigentlichen Führer der Volunteers zu täuschen, befahl Pearse Anfang April dreitägige „Manöver und Paraden“ der Volunteers ab Ostersonntag. Während die wahren Republikaner innerhalb der Volunteers genau wussten, was das zu bedeuten hatte, hoffte man, dass MacNeill oder die britischen Kräfte in [[Dublin Castle]] diese Ankündigung wörtlich nehmen würden. Doch war diese Ankündigung zu offensichtlich und MacNeill bekam Wind von der Sache. Er drohte damit, alles Mögliche zu unternehmen, um diesen Aufstand zu verhindern. Als MacNeill von MacDermott allerdings erfuhr, dass Deutschland zugesagt hatte, irisch-britische [[Kriegsgefangene]], die sich dazu bereit erklärt hatten, nach Irland zu transportieren und etwa 40.000 [[Frankreich|französische]] und [[Russland|russische]] Beutegewehre mit einem alten [[Trawler]] namens [[Libau (1911)|''Aud'']] am [[Karfreitag]] in Irland ([[County Kerry|Grafschaft Kerry]]) anzulanden, war MacNeill kurzfristig bereit, dem Aufstand zuzustimmen. Diese Vereinbarung mit Deutschland wurde von Sir [[Roger Casement]] und der IRB eingefädelt. Die Landung schlug fehl, weil Ort und Zeit nicht gut koordiniert waren. Als MacNeill davon erfuhr, kehrte er zu seiner ursprünglichen Haltung zurück und erstellte zusammen mit „freundlich gesinnten“ Kollegen, u. a. [[Bulmer Hobson]] und [[The O'Rahilly]], einen Widerruf an alle Volunteers mit der Absage aller Aktionen am Sonntag. Dies führte zwar zu einer stark reduzierten Anzahl an Volunteer-Beteiligten am Aufstand (ca. 1.000), konnte diesen aber nicht verhindern, sondern lediglich um einen Tag verschieben.

Dass der Osteraufstand einem Selbstmord-Kommando gleichkam, war selbst Patrick Pearse bewusst. Einige Zeit vorher sagte er seiner Mutter: „Der Tag wird kommen, an dem ich erschossen werde, und meine Kameraden mit mir“. Als seine Mutter nach ihrem anderen Sohn William, ebenfalls ein extremer Nationalist, fragte, soll Pearse geantwortet haben: „Willie? Erschossen, wie die anderen. Wir werden alle erschossen.“ James Connolly soll einst angemerkt haben: „Die Chancen gegen uns stehen 1 zu 1000.“

== Der Aufstand ==
Der Plan, größtenteils von Plunkett ausgearbeitet (aber auch sehr ähnlich dem unabhängigen Plan von Connolly), war die Besetzung von Knotenpunkten und strategischen Gebäuden innerhalb Dublins, um die Stadt abzusperren und für den unvermeidbaren Gegenangriff der britischen Armee gerüstet zu sein. Dann, so hoffte man, sollte eines von drei Szenarien eintreten: Die irische Nation erhebt sich ebenfalls und unterstützt den Angriff; die Briten erkennen die Unmöglichkeit, Irland weiter zu regieren, und ziehen ab; oder - als letzte Hoffnung - würden die Deutschen den Rebellen doch noch irgendwie zu Hilfe kommen.

=== Ostermontag ===
Start der Operation war 12 Uhr mittags, und da es ein Feiertag war, waren größere Menschenmengen auf den Straßen, die die kleineren Gruppen der Volunteers und der Irish Citizen Army bewaffnet zu ihren Einsatzorten marschieren sahen.

Es folgte die Verlesung der [[Oster-Proklamation]] außerhalb des Hauptpostamtes in Dublin in der Sackville Street (heute: [[O'Connell Street]]), Dublins Hauptstraße und die weltweit breiteste [[Georgianische Architektur|georgianische Allee]]. Dies markierte den eigentlichen Beginn des Aufstands. Nach der Verlesung, die von vorbeigehenden Menschen mit Staunen und auch etwas Hohn bedacht wurde, begaben sich Pearse und weitere Anführer in das Hauptpostamt, brachten es in ihre Gewalt und richteten dort ihr Hauptquartier ein.

Im Grunde verlief die gesamte Operation problemlos: fünf größere Gebäude oder Gebäudekomplexe nördlich des Flusses [[Liffey]], neun südlich davon, und einige Eisenbahnstationen wurden besetzt.

Die Dublin-Division der Volunteers war in vier [[Bataillon]]e aufgeteilt – jedes unter dem Kommando eines loyalen IRB-Kommandanten. Ein behelfsmäßiges 5. Bataillon wurde aus Teilen der anderen sowie mit der Hilfe der Irish Citizen Army gebildet. Dieses Bataillon war es, das das Hauptpostamt in Dublin (GPO) besetzte. Jenem gehörten unter anderem der Präsident und befehlshabende Kommandant der IRB, Patrick Pearse,an, der Kommandant der Dublin-Division und Führer der ICA James Connolly, [[Tom Clarke]], Sean MacDermott, Joseph Plunkett sowie ein junger Hauptmann namens [[Michael Collins (Irland)|Michael Collins]]. Zwischenzeitlich hatte das 1. Bataillon unter [[Ned Daly]] das Gerichtsgebäude [[Four Courts]] sowie Gebiete im Nordwesten belagert; das 2. Bataillon unter [[Thomas MacDonagh]] besetzte Jacobs Biscuit Factory südlich der Innenstadt; im Osten kommandierte [[Eamon de Valera]] die Boland´s Bäckerei, und das 4. Bataillon unter Eamonn Ceannt eroberte das Gebäude ''South Dublin Union'' im Südwesten. Mitglieder der ICA besetzten unter [[Michael Mallin]] und [[Constance Markievicz]], der einzigen Frau, die in führender Position an dem Aufstand teilnahm, auch [[St. Stephen's Green]] und [[Dublin City Hall]].

Der Versuch, Dublin Castle zu erobern, schlug fehl. Ein anderer Versuch, eine größere Menge an Waffen und Munition aus einem Waffenlager im [[Phoenix Park]] zu stehlen, war ebenfalls nicht erfolgreich – nur wenige Waffen konnten erobert werden. Hingegen gelang es den Rebellen, Telefonleitungen zu kappen, sodass Dublin Castle für einige Zeit nahezu isoliert war.

Da der Widerruf von MacNeill dazu führte, dass der Aufstand nahezu nur in Dublin stattfand, ging das Kommando aller beteiligten Rebellen an Connolly über, der zudem das beste taktische Verständnis der Gruppe hatte. Connolly wurde während des Aufstandes schwer verwundet, kommandierte seine Leute aber auch weiterhin, indem er sich in einem Bett herumtragen ließ. Seine größte Fehleinschätzung war allerdings die Annahme, dass eine kapitalistische Regierung niemals [[Artillerie]] gegen ihren eigenen Besitz (sprich: Gebäude) einsetzen würde; innerhalb von 48 Stunden hatten die Briten ihn vom Gegenteil überzeugt. Dabei beschossen sich zwei britische Kanonenboote gegenseitig, da sie annahmen, die einschlagenden Granaten kämen von den Rebellen.

Die Briten gingen jedoch langsam gegen die Rebellen vor, waren sie doch unsicher, mit wie vielen Aufständischen sie es zu tun hatten. Sie forderten Truppen aus dem Militärlager [[Curragh (Irland)|Curragh]] und anderen Orten außerhalb von Dublin sowie Unterstützung aus [[London]] an. Dort führte Lord French, ein Ire und begeisterter Unionist, den Oberbefehl und schickte nicht weniger als vier Divisionen nach Irland. Die britische Politik wurde zu dieser Zeit auf den Kopf gestellt. Die Besänftigungspolitik gegenüber Irland war vergessen, es ging nur noch darum, die Rebellen schnell und vollständig zu vernichten. Doch nicht nur die Briten tappten im Dunkel – auch die Rebellen hatten keine Funkverbindungen zwischen ihren besetzten Stellungen. Den Rebellen (ca. 1.000 Irish Volunteers und um die 200 Mitglieder der ICA) standen ungefähr 4.500 britische Soldaten und 1.000 Polizeikräfte gegenüber.

=== Dienstag ===
Aus militärischer Sicht war der Dienstag vergleichsweise ruhig. Die Briten näherten sich vorsichtig den Stellungen, um die Gebiete zu sichern und die Anführer im Hauptpostamt zu isolieren. [[Artillerie]] wurde im [[Trinity College (Dublin)|Trinity College]] in Stellung gebracht. Plünderungen durch die Bevölkerung begannen. Die Spannungen innerhalb der beiden beteiligten Gruppen nahmen allerdings zu, als ein Offizier der Volunteers den Befehl gab, Plünderer zu erschießen – ein Befehl, der zornig von James Connolly widerrufen wurde. Das [[Ausnahmezustand|Kriegsrecht]] wurde über Dublin verhängt, und der britische Nachschub erreichte Kingstown. Die Greueltaten des Aufstands begannen damit, dass ein britischer Offizier mit dem Namen Bowen-Colthurst drei harmlose Journalisten „auf der Flucht“ erschießen ließ – eine Phrase, die nicht nur in Irland in trauriger Regelmäßigkeit verwendet werden sollte.

=== Mittwoch ===
Am Mittwochmorgen waren die Rebellen 20 zu 1 in der Unterzahl, und die Briten begannen nun ihrerseits, ernsthaft anzugreifen. Der erste Vorstoß galt [[Liberty Hall]] – das Gebäude, [[Hauptquartier]] der Labour Party und der Gewerkschaft, wurde durch die Bombardierung des Kanonenboots „Helga“ zerstört. Da die Rebellen dies vorausgesehen hatten, war das Gebäude zu dieser Zeit bereits leer. Der britische Beschuss war sehr ungenau, so dass auch diverse andere Gebäude getroffen und viele Zivilisten getötet wurden. Die Armee setzte nun auch Artillerie ein: teilweise sogar gegen einzelne Heckenschützen. Vielerorts in Dublin brannte es und die Dubliner Bevölkerung hungerte aufgrund des fehlenden Nahrungsnachschubs. Zu diesem Zeitpunkt war der Aufstand zu einem richtigen Krieg geworden, bei dem kein Versuch unternommen wurde, Zivilisten zu schützen und Opfer unter ihnen zu vermeiden. Die britische Unterstützung aus Kingstown geriet bei ihrem Marsch in die Stadt in einen Hinterhalt der De Valeras-Division, erlitt heftige Verluste, konnte sich aber aufgrund ihrer zahlenmäßigen Überlegenheit ihren Weg in die Stadt erkämpfen. In St. Stephen's Green befanden sich zu dieser Zeit keine Rebellen mehr. Die Park-Besetzung stellte sich im Nachhinein als unklug heraus, als ein Teil der britischen Armee Stellung im Shelbourne Hotel, an der nord-östliche Ecke des Parks, bezog, von der aus sie den ganzen Park überblicken und sogar in die Schützengräben schießen konnte. Die Rebellen zogen sich ins Royal College of Surgeons zurück und errichteten dort ihre Stellung erneut.

=== Donnerstag ===
Am 4. Tag des Aufstandes traf der neue britische Oberbefehlshaber Sir John Maxwell in Irland ein. Obwohl er die Countess Markiewicz zu seiner weitläufigen Verwandtschaft zählte, hatte er doch keinerlei Wissen über die aktuelle politische Situation in Irland, und so kam es, dass er (unwissend) mehr dafür tat, die britische Herrschaft in Irland zu untergraben, als es alle Rebellen zusammen geschafft hätten. Sein Befehl - erteilt durch den britischen [[Premierminister]] [[Herbert Henry Asquith]] - war es, die Rebellion schnellstmöglich zu beenden. Dies tat er schließlich auch – ungeachtet der politischen Konsequenzen.

Die Unterstützung aus England, großteils unerfahrene Männer, war nun im Einsatz. Als sie entdeckten, dass viele der Männer der Irish Republican Army (wie sie sich fortan nennen sollten) keine Uniform trugen, begannen sie damit, auf Verdacht männliche Zivilisten zu erschießen, die ihnen begegneten.

An diesem Tag begannen die Angriffe auf Bolands Bäckerei, die Volunteer-Division in ''South Dublin Union'' verlor Gelände, und die Bombardierung des Hauptpostamts, das vollständig ausbrennen sollte, startete. Zweimal wurde Connolly an diesem Tag verwundet – die erste Wunde konnte er noch vor seinen Männern verbergen, die zweite Verletzung, einer seiner Füße war zerschmettert, war dafür zu schwerwiegend. Doch unter Morphium kommandierte er weiter, so gut es eben ging. Aufgrund des andauernden Beschusses in den Straßen und der oft unterbrochenen Wasserversorgung vereinigten sich die Brände in Dublin zu Großbränden, derer man nicht mehr Herr werden konnte. Am Donnerstag hatte noch keine Stellung der Rebellen kapituliert.

=== Freitag ===
Am Freitag befahl Connolly den Frauen unter den Rebellen, das Hauptpostamt zu verlassen, das nun komplett isoliert war und brannte. Später am Tag konnten er und die verbleibenden Rebellen das nahezu überall brennende und fast kollabierende Gebäude unbemerkt verlassen. Sie fanden Unterschlupf in einem nahegelegenen Haus, während die Briten weiter das leere Postamt bombardierten. In der King's Street fand ein letztes großes Gefecht statt. 5.000 britische Soldaten, ausgestattet mit gepanzerten Fahrzeugen und Artillerie, benötigten 28 Stunden, um knapp 150 Meter gegen 200 Rebellen vorzurücken. Bei diesem Kampf erstach das britische ''South Staffordshire Regiment'' Zivilisten und erschoss Menschen, die sich in Kellern versteckten.

=== Samstag ===
Am Morgen des 29. April war der Aufstand zu Ende. Pearse und Connolly ordneten aus ihrem neuen Stützpunkt in der Moore Street die bedingungslose Kapitulation an, nachdem sie zu der Erkenntnis gekommen waren, dass alles, was jetzt noch erreicht werden könnte, der Tod von weiteren Zivilisten war.

== Konsequenzen ==
[[Datei:IrishFlagGPO.JPG|thumb|right|Die irische Flagge weht auf dem Hauptpostamt in Dublin]]

Die Opfer des Aufstands sind schwer abzuschätzen. Man geht davon aus, dass ca. 500 britische Soldaten ihr Leben ließen. Auf Seiten der Iren (einschließlich Zivilisten) dürfte es doppelt so viele Opfer gegeben haben. Der materielle Schaden innerhalb der großteils zerstörten Stadt wurde auf 2.500.000 Pfund beziffert.

Die Rebellen hatten zu dieser Zeit lediglich geringe Unterstützung durch die Bevölkerung – dies sollte sich erst durch die [[Repressalie]]n der Briten ändern. Als die gefangenen Rebellen am Sonntag von einem Gefängnis in ein anderes verlegt wurden, führte man sie zu Fuß durch Dublin, wo sie vor allem in den ärmlichen Gegenden verspottet und beschimpft wurden. Insgesamt wurden 3.000 „Verdächtige“ verhaftet. Viele von ihnen landeten in Internierungslagern in [[Wales]].

Auf direkten Befehl des Kabinetts in London war die Bestrafung schnell, geheim und brutal. Die 15 Anführer (unter ihnen alle sieben Unterzeichner der Oster-Proklamation) wurden vor ein Kriegsgericht gestellt und in der Zeit vom 3. bis 12. Mai durch Erschießen hingerichtet. Unter den Hingerichteten waren Willie Pearse (eigentlich kein Anführer; es wird angenommen, dass er aufgrund seines berühmten Bruders Patrick Pearse ebenfalls erschossen wurde), der kranke Joseph Plunkett sowie der tödlich verwundete Connolly, der auf einem Stuhl gefesselt erschossen wurde, da er nicht eigenständig stehen konnte. Die Hinrichtungen wurden erst nach ihrer Durchführung bekannt gegeben. Als dies bekannt wurde, führte es zu einer Welle der Empörung in ganz Irland, die selbst dann nicht abebbte, als Asquith diese Maßnahmen im Unterhaus verteidigte, und auch nicht, als er den Fehler eingestand und den Befehlshaber John Maxwell entließ.

Eamon de Valera retteten Glück und seine [[Vereinigte Staaten|US-amerikanische]] Herkunft vor der Hinrichtung (er war zwar Ire, wurde aber in Amerika geboren). Dies führte zu einem Aufschub seiner Hinrichtung. Als letztendlich doch seine Exekution entschieden wurde und er „an der Reihe war“, waren die Hinrichtungen aufgrund der öffentlichen Meinung (in ganz Europa) generell gestoppt. Andere Beteiligte wurden lediglich verhaftet, unter ihnen auch Michael Collins.

Die harten Maßnahmen nach der Niederschlagung des Osteraufstandes forcierten die antibritische Stimmung.

Bei den Wahlen im Dezember 1918 erlangte die von [[Sinn Féin]] getragene Unabhängigkeitsbewegung 73 der 106 irischen Sitze im britischen Unterhaus. Im Januar 1919 traten in Dublin irische Abgeordnete zu einem Nationalparlament ([[Dáil Éireann]]) zusammen, erklärten die Unabhängigkeit und richteten eine Regierung unter Eamon de Valera ein, die von Großbritannien nicht anerkannt wurde. Dies führte zum [[Anglo-Irischer Krieg|Anglo-Irischen Krieg]].

Mit der [[Home Rule|Government of Ireland Bill]] (1920), die je ein Parlament für Nord- und [[Südirland]] mit begrenzter rechtlicher Autonomie vorsah und das [[Britisches Parlament|britische Parlament]] als letzte Instanz betrachtete, suchte die britischen Regierung unter Premier [[Lloyd George]], mit dem Preis der Teilung der Insel, den Unabhängigkeitsforderungen entgegenzukommen.

Am 11. Juli 1921 führten die Verhandlungen mit de Valera einen Waffenstillstand herbei und mündeten am 6. Dezember 1921 in den [[Anglo-Irischer Vertrag|Anglo-Irischen Vertrag]]. Nach der Annahme des Vertrages durch die Mehrheit des Dáil Éireann am 7. Januar 1922 konnte die Verfassung des „Irischen Freistaates“ am 6. Dezember 1922 in Kraft treten. Die sechs mehrheitlich protestantischen Grafschaften Ulsters erklärten durch Volksentscheid, als „[[Nordirland]]“ Teil des Vereinigten Königreiches bleiben zu wollen. Erst am 18. April 1949 trat die völlige Unabhängigkeit Irlands von Großbritannien in Kraft.

Der Aufstand war die Geburtsstunde der [[Irish Republican Army|IRA]]. Noch heute kämpfen die „Irische Republikanische Armee“ (IRA) und die Sinn Féin für die Vereinigung der Republik Irland und Nordirlands.

Die gefallenen Helden waren die Vorbilder der bengalischen Freiheitskämpfer, die als ''Indian Republican Army (Chittagong Branch)'' (IRA) am Karfreitag den [[Chittagong-Aufstand]] anzettelten.<ref>Sharma, Mallikarjuna I.; ''Easter Rebellion in India: the Chittagong Uprising;'' Hyderabad 1993 (zahlreiche Quellen in den Anhängen, darunter ca. 100 Kurzbiographien von Freiheitskämpfern)</ref>

== Liste der hingerichteten Anführer ==
[[Datei:Kilmainham Gaol - place of execution.JPG|miniatur|Hinrichtungsstätte im Dubliner [[Kilmainham Gaol|Kilmainham-Gefängnis]]]]
* Sir [[Roger Casement]]
* [[Thomas J. Clarke]]
* [[Eamonn Ceannt]]
* [[Cornelius Colbert]]
* [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]]
* [[Edward Daly (Revolutionär)|Edward Daly]]
* [[Sean Heuston]]
* [[Thomas Kent]]
* [[John MacBride]]
* [[Sean MacDermott]]
* [[Thomas MacDonagh]]
* [[Michael Mallin]]
* [[Michael O'Hanrahan]]
* [[Patrick Pearse]]
* [[William Pearse]]
* [[Joseph Mary Plunkett]]

== In der Kunst ==
Eine frühe und literarisch bedeutende Verarbeitung stellt [[William Butler Yeats]]’ Gedicht „Easter 1916“ dar, das den Aufstand mit dem prägnanten [[Oxymoron]] ''„a terrible beauty“'' charakterisiert.

Das Drama ''The Plough and the Stars'' von [[Sean O'Casey]], uraufgeführt 1926 am Abbey Theatre in Dublin, hat den Osteraufstand als Rahmen, zeigt aber aus der Perspektive der einfachen, armen Leute in Dublin die tragischen Auswirkungen der Ereignisse auf ihr Leben.

Der Roman ''A Star Called Henry'' von [[Roddy Doyle]] (1999) verarbeitet den Aufstand im zweiten Drittel des Buches auf interessante Weise: der Protagonist Henry, ein schlauer Straßenjunge aus ärmlichsten Verhältnissen und zu diesem Zeitpunkt 14 Jahre alt, ist als Protégé von [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]] im GPO dabei und berichtet das Geschehen aus seiner Perspektive.

Das Lied „[[Zombie (Lied)|Zombie]]“ von [[The Cranberries]] setzt sich mit den langanhaltenden Folgen des Osteraufstandes auseinander. In einer umstrittenen Interpretation des Liedes [[Sunday Bloody Sunday]] von [[U2]] finden sich Anspielungen auf den Osteraufstand.<ref>Frederick C. Millett: [https://www.msu.edu/~millettf/Easter%20Rising.pdf ''The Easter Rising and Its Effect on Irish Literature and Music.''] (PDF-Datei; 37 kB)</ref>
Eines der bekanntesten irischen Volkslieder, ''The Foggy Dew'', handelt vom Osteraufstand.

Eine vierteilige Fernsehserie der [[BBC]] namens „Rebel Heart“ spielt in der Zeit des Osteraufstandes im [[Anglo-Irischer Krieg|Anglo-Irischen Krieg]].

== Literatur ==
* Peter De Rosa: ''Rebellen des Glaubens. Der irische Freiheitskampf 1916-1921''. Droemer Knaur, München 1993, ISBN 3-426-77081-4
* Max Caulfield: ''The Easter Rebellion, Dublin 1916''. Gill & Macmillan, Dublin 1995, ISBN 0-7171-2293-X ''(en)''
* Tim P. Coogan: ''1916. The Easter Rising''. Cassell, London 2001, ISBN 0-304-35902-5 ''(en)''
* Michael Foy, Brian Barton: ''The Easter Rising''. Sutton Publications, Stroud 2000, ISBN 0-7509-2616-3 ''(en)''
* Conor Kostick, Lorcan Collins: ''The Easter Rising. A Guide to Dublin in 1916''. O’Brien Press, Dublin 2001, ISBN 0-86278-638-X ''(en)''
* Dorothy MacCardle: ''The Irish Republic. A Documented Chronicle of the Anglo-Irish Conflict and the Partioning of Ireland''. Wolfhound Press, Dublin 1999, ISBN 0-86327-712-8 ''(en)''
* Fearghal McGarry: ''The Rising. Ireland: Easter 1916'', [[Oxford University Press]], Oxford 2010 ISBN 978-0-19-280186-9
* Francis X. Martin (Hrsg.): ''Leaders and Men of the Easter Rising''. Methuen, London 1967 (Repr. d. Aus. Dublin 1916) ''(en)''
* Charles Townsend: ''Easter 1916: The Irish Rebellion.'' Ivan R. Dee: Chicago 2006, ISBN 978-1-56663-704-6 ''(en)''

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Blutsonntag (Irland 1920)]]
* [[Geschichte Nordirlands]]
* [[Katholizismus]], [[Protestantismus]]
* [[Terrorismus]]
* [[Bloody Friday (Belfast)|Bloody Friday]]
* [[Rebel Heart]] (Song)

== Weblinks ==
* [http://www.1916rising.com Seite des irischen Historikers Lorcan Collins] über den Osteraufstand mit Tour durch das Dublin von 1916 ''(en)''
* [http://www.msu.edu/~millettf/Easter%20Rising.pdf Frederick C. Millett: The Easter Rising and Its Effect on Irish Literature and Music] (''en''; PDF-Datei; 37 kB)



[[Kategorie:Irische Militärgeschichte]]
[[Kategorie:Britische Militärgeschichte]]
[[Kategorie:Aufstand]]
[[Kategorie:1916]]

{{Link FA|sh}}
{{Link GA|no}}

[[be:Велікоднае паўстанне]]
[[be-x-old:Велікоднае паўстаньне]]
[[br:Emsavadeg Pask]]
[[bs:Uskršnji ustanak]]
[[ca:Alçament de Pasqua]]
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[[zh:复活节起义]]

Benutzer Diskussion:TonyMath

2010-11-09T17:52:53Z

TonyMath: /* Rebel Heart is A SERIOUS PIECE OF MUSIC! */

Benutzer Diskussion:TonyMath

2010-11-05T17:49:01Z

TonyMath:

Benutzer Diskussion:Nico b.

2010-11-04T23:00:56Z

TonyMath: /* Revert */

== Irland ==

Da Du mit irischer Geschichte befasst bist:

habe in der englischen Wikipedia ein request zur Ausarbeitung
zu den sog. 'Brehon'-Laws.

Wenn ich mir im englischen die Mühe mache, warum nicht auch im deutschen
Interesse an der Mitarbeit?

[[Benutzer:Lectonar|Lectonar]] 11:42, 18. Nov 2004 (CET)

== IRA ==

Hallo!
Ich habe deinen Kommentar gelesen und habe bisher auch regelmässig versucht die Nagelkästchengeschichte zugunsten relevanterer Informationen zu ersetzen. Es gibt aber einen Benutzer der da wohl anderer Meinung ist, als ich.
Wenn du konkretere Anregungen geben willst/kannst, wie ich den Artikel anpassen kann, bitte einfach eine Nachricht an mich.

Grüße [[Benutzer:bwasner|bwasner]]

==Herbst-Treffen 05==
Hallo Nico b., gerne laden [[Benutzer:Napa|Napa]] und ich dich zu einem [[Wikipedia:Treffen_der_Wikipedianer/Schweiz#Herbst-Treffen_05|Wikipedianer-Treffen im Herbst 05]] ein. Zweck des Treffens soll nebst einem gemütlichen Schwatz eine erste Diskussion sein, ob wir einen [[m:Wikimedia Schweiz|Schweizer Wikimedia-Verein]] gründen möchten. Es wäre schön, dich dort zu sehen. Gruss, --[[Benutzer:Mbimmler|mbimmler]] [[Benutzer Diskussion:mbimmler|∑]] 18:58, 12. Jun 2005 (CEST)

== Babel-Vorlage Zürich ==

Hallo Nico b., vor einigen Tagen wurde die Babel-Vorlage Zürich ([[:Benutzer:Vorlage/aus Zürich]]), durch eine Vorlage für den Kanton überschrieben, was ich rückgängig gemacht habe. Aufgrund der Angaben auf deiner Benutzerseite/in Wikipedia habe ich mir erlaubt die Babel-Vorlage anzupassen und hoffe die Änderung ist in deinem Sinne. Gruss, --[[Benutzer:Sovereign|Sovereign]] 12:53, 4. Jun 2006 (CEST)
:Alles klar, danke für die Arbeit! Für meine Angaben müsste man eigentlich noch unterscheiden zwischen "kommt aus" und "lebt in", aber ich hoffe da mal auf den Verständniswillen des Durchschnittslesers :) [[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 13:50, 4. Jun 2006 (CEST)

==[[Geschichtsrevisionismus]]==

Hallo Nico,

danke für deine vernünftigen Aussagen auf der Diskussionsseite. Habe gesehen, dass du dich in "irischer Geschichte" auskennst. Habe zu Revisionismus dort was gefunden. Habe aber zu wenig Ahnung und keine Literatur zum Thema. Wäre eventuell doch was für dich.

Interpreting Irish History: The Debate on Historical Revisionism: The Debate on Historical Revisionism, 1938-94 (HISTORY) (Taschenbuch) unter [http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/0716525461]

auch ->

"In jüngster Zeit scheint sich vielmehreine neue Phase der legitimativen Instrumentalisierung der United Irishmen anzu-bahnen: Vor dem Hintergrund des
aufstrebenden Keltischen Tigerstaats mehren sich die Anzeichen dafür, daß die United Irishmen in post-revisionistischer Weise als Vorkämpfer für Freiheit und Demokratie vereinnahmt und so als Vorbild für eine irische Gesellschaft modelliert werden sollen, welche die parochiale Abgeschlossenheit des de Valeraschen Irland abgestreift hat und – nicht ohne die Unterstützung der Struktur- und Peripheriefonds der EU – endlich in Europa angekommen ist. So positiv man diese Entwicklung der irischen Gesellschaftwahrnehmen mag, rechtfertigt sie nicht die damit einhergehenden Geschichtsklitterungen, die das Potential des konfessionellen Fanatismus in den Reihen der United Irishmen herunterspielen bzw. allein als vom anglo-irischen Kolonialregimeinduziert auffassen, welche die United Irishmen als Schöpfer einer „pluralistischen Konzeption der irischen Kultur“ feiern und sie schließlich in offensichtlicher Sinnstiftungsabsicht als „demokratische Bewegung“ charakterisieren."

unter [http://bieson.ub.uni-bielefeld.de/volltexte/2005/690/pdf/4_Einleitung.pdf]

Gruß [[Benutzer:Boris Fernbacher|Boris Fernbacher]] 18:18, 17. Jan. 2007 (CET)

== Wikipedia-Treffen Schweiz ==
{{Wikipedia:Schweiz/WerbungFürTreffen}} --[[Benutzer:Petar Marjanovic|Petar Marjanovic]] ( [[Benutzer_Diskussion:Petar_Marjanovic|Frag mich]] • [[Benutzer:Petar_Marjanovic/Bewertung|Bewerte mich]] ) 07:31, 26. Mär. 2007 (CEST)
==Neuigkeiten==
# Die Artikel [[Wikinger]] und [[Wikingerzeit]] sind im Review. Ich sähe es ungern, wenn die Kritik erst bei der Kandidatur kommt.
# Ich habe ein Projekt [[Wikipedia:WikiProjekt Nord- und Ostsee im Mittelalter|Nord- und Ostsee im Mittelalter]] ins Leben gerufen. Bist herzlich eingeladen. [[Benutzer:Fingalo|Fingalo]] 20:50, 8. Sep. 2007 (CEST)

== Kategorien ==
Hi Nico,

Ich habe die [[:Kategorie:Sexismus]] nach Absprache in der Löschprüfung wieder hergestellt. Bei Interesse kannst du dich ja beteiligen. Beispielsweise bereiten mir die Lemmata [[Eunuch]] und [[Catfighting]], die in die [[:Kategorie:Diskriminierung]] eingeordnet wurden, Bauchschmerzen. Ich würde sie ungern in Sexismus einordnen. Weitere Fragen: Soll die [[:Kategorie:Antifeminismus]] der Kategorie Sexismus untergeornet werden? Soll eine Kategorie "Gewalt gegen Frauen" eingeführt werden (es existieren mindestens 5 Lemmata.

Und ich bin gerade dabei in Absprache mit Leuten vom Portal Homosexualität die Kategorie Heterosexismus zu erstellen. -- [[Benutzer:Schwarze feder|schwarze feder]] 21:01, 24. Sep. 2007 (CEST)

:Was die Diskussion über den letzten Löschantrag ja überdeutlich gezeigt hat, ist, das wir keine Kategorien im Sinne einer Brandmarkung brauchen. Wer die Kategorie "Sexismus" öffnet, soll über die angebotenen Links tiefer in den Begriff eintauchen können, als das über den Artikel allein möglich wäre. Von daher: "Eunuch" und "Catfight" nein, das trägt nichts bei, und ich würde es auch bei Diskriminierung rausschmeissen. Antifeminismus nein, es sei denn, man wollte auch Feminismus dort subsummieren, und den Aufschrei möchte ich nicht hören :)
:Wenn ich Zeit hätte würde ich noch sehr viel in dem Bereich machen, ich habe z.B. gestern gesehen, dass es noch keinen Artikel zum Thema "Kindesentzug" gibt, der wäre durchaus mal dringlich.
:Ich habe übrigens überhaupt nichts gegen eien sinnvoll gefüllte Kategorie "Sexismu", mir war nur der zeitliche Ablauf etwas komisch erschienen.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 21:10, 24. Sep. 2007 (CEST)

== Kategorie Antifeminismus ==

Hallo Nico b. Dein [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Maskulismus&diff=37266560&oldid=37260359 Revert] fügt die in meinen Augen unglückliche Kategorie Antifeminismus wieder zu [[Maskulismus]]. Zu deinem Kommentar ''Die Kategorie ist hier nicht POV, die Maskulisten sind der erklärtermassen antifeministische Teil der Männerbewegung'' fällt mir nur eine Frage ein: wer erklärt das denn, und wo sind die Belege dazu veröffentlicht? Wenn Du dir die Kategorie anschaust, so findet sich nun Maskulismus in der feinen Gesellschaft von [[Neue Rechte]], [[Rush Limbaugh]] und [[Feminazi]]. Was soll das ganze also sein, außer einer POV-lastigen Brandmarkung. Alles das Werk von [[Benutzer:Schwarze feder|schwarze feder]], deren Vorgehen in der LP (Wiederherstellungsantrag um 15:07, Wiederanlage um 18:45, ohne Konsens oder Admin-Votum) in meinen Augen grenzwertig war. [[Benutzer:Minderbinder|Minderbinder]] 20:03, 29. Sep. 2007 (CEST)

:Hallo Minderbinder, ob die Kategorie insgesamt Sinn macht kann man diskutieren, ich hatte die Löschdiskussion gar nicht mitbekommen, ich finde sie aber per se nicht diffamatorisch. Das ist sie für mich nur dann, wenn man den Feminismus als Wahrheit und Kritik daran als Ketzerei versteht, oder? Aber es gibt nun mal in der Männerbewegung einen Teil, der sich positiv auf die feministische Bewegung bezieht, und einen anderen Teil, der den Feminismus und die resultierende Gleichstellungspolitik als Übel betrachtet, und dieser Teil sind die Maskulisten. Ich kann mir wirklich nicht vorstellen, dass irgendjemand, der sich selbst ''Maskulist'' nennt, an der Beschreibung ''antifeministisch'' Anstoss nehmen würde.
:Nebenbei bemerkt ist [[Benutzer:Schwarze feder|schwarze feder]] ein "Er", keine "Sie".--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 20:17, 29. Sep. 2007 (CEST)

::Ich hatte mit "deren" natürlich nur Bezug auf den Genus, also '''die''' schwarze Feder genommen. ;-) In der Löschdiskussion war auch nur [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial%3ALogbuch&type=delete&user=&page=Kategorie%3ASexismus Sexismus], nicht die Kategorie Antifeminismus. Es kann ja sein, dass sich ''die Maskulisten'' als Antifeministen sehen (auch wenn du meine Frage nach Belegen nicht beantwortet hast) - mir war der Begriff bis heute fremd. Aber dennoch kann ich mir nicht vorstellen, dass sich ''die Maskulisten'' in der Gesellschaft von [[Neue Rechte]], [[Rush Limbaugh]] und [[Feminazi]] wohl fühlen. Und das ist Abwertung und POV. [[Benutzer:Minderbinder|Minderbinder]] 20:57, 29. Sep. 2007 (CEST)

:::Da liegt der Hase im Pfeffer. Ich finde diese anderen Zuordnungen aber auch viel problematischer, denn unter dem Lemma [[Maskulismus]] lernst du etwas über Antifeminismus, unter dem Lemma [[Neue Rechte]] nicht, dort ist dieses Thema gar nicht angeschnitten. Wenn wir hier genauso verfahren wie bei [[:Kategorie:Sexismus]], dann wäre das entscheidende Kriterium nicht mehr "Das ist antifeministisch" sondern "der Artikel trägt wesentlich zur Erhellung des Begriffs Antifeminismus bei". So angeschaut würde ich Maskulismus unbedingt in der Kategorie lassen, aber Limbaugh und Neue Rechte rausnehmen - zumindest beim gegenwärtigen Stand dieser Artikel.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 18:03, 30. Sep. 2007 (CEST)
::::[[Benutzer:Minderbinder]] hat mir gesagt, dass ihm meine Meinung interessieren würde. Ich sehe es so, dass Artikel in Kategorien aufgelistet werden sollten, die sich auch thematisch schwerpunktmäßig mit dem Thema beschäftigen. Wenn sich im Artikel [[Maskulismus]] genügend zum Thema Antifeminismus findet, kann er in diese Kategorie aufgelistet werden. Ich selber habe ihn dort nicht aufgelistet, weil es einerseits grenzwertig ist und andererseits natürlich die Debatte zu erwarten war: "Sind Maskulisten antifeministisch?" Dass ich die [[Neue Rechte]] dort auflistete ist nicht so ganz korrekt, wenn im Lemma dort selber nichts zu Antifeminismus steht. Es müsste dort etwas stehen und dann wäre der Artikel ganz richtig auch in der Kategorie Antifeminismus aufgehoben. -- [[Benutzer:Schwarze feder|schwarze feder]] 16:26, 1. Okt. 2007 (CEST)
:::::Nanu, wenn du die Zuordnung von [[Maskulismus]] zu [[:Kategorie:Antifeminismus]] nicht vorgenommen hast, warum steht es dann so im Änderungsprotokoll vom 5.September? Ist ja eigentlich auch egal, mir scheint im Grundsatz sind wir uns einig: Kategorien sind nicht zum Brandmarken da, aber wenn sich aufgrund der Darstellung in den Lemmata ergibt, dass [[Neue Rechte]] und [[Maskulismus]] beide dorthin gehören, dann müssen sie auch in die Kategorie, ob sich die jeweils angesprochenen dort nun wohlfühlen oder nicht.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 18:17, 1. Okt. 2007 (CEST)

:::::Hallo schwarze feder, ich stimme Dir zu, dass nur Artikel in Kategorien gelistet werden sollten, die sich auch schwerpunktmäßig mit dem Thema beschäftigen. Dann bleibt aber das Problem, dass es eine schwammige, und auch negative und POV-lastige Kat bleibt. Was das Anlegen der Links betrifft, darf ich Deinem Gedächtnis eine kleine Stütze anbieten:
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Feminazi&diff=36358358&oldid=36336693 15:27, 5. Sep. 2007] auf [[Feminazi]] -Kat Geschlechterforschung, +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Sexismus&diff=prev&oldid=36358418 15:29, 5. Sep. 2007] auf [[Sexismus]] -Kat Feminismus +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Antifeminismus&diff=prev&oldid=36358491 15:31, 5. Sep. 2007] auf [[Antifeminismus]] +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Maskulismus&diff=prev&oldid=36358504 15:31, 5. Sep. 2007] auf [[Maskulismus]] +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Arne_Hoffmann&diff=prev&oldid=36358519 15:32, 5. Sep. 2007] auf [[Arne Hoffmann]] +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Matthias_Matussek&diff=prev&oldid=36358575 15:34, 5. Sep. 2007] auf [[Matthias Matussek]] +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Backlash&diff=prev&oldid=36358605 15:34, 5. Sep. 2007] auf [[Backlash]] +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ernest_Belfort_Bax&diff=prev&oldid=36358730 15:37, 5. Sep. 2007] auf [[Ernest Belfort Bax]] +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Rush_Limbaugh&diff=36359401&oldid=35930409 15:55, 5. Sep. 2007] auf [[Rush Limbaugh]] +Kat Antifeminismus
:::::*Dein Edit: [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Neue_Rechte&diff=prev&oldid=36359799 16:06, 5. Sep. 2007] auf [[Neue Rechte]] +Kat Antifeminismus
:::::Der einzige, der hier bisher die Kategorie Antifeminismus '''irgendwo''' verlinkt hast, bist [[Benutzer:Schwarze feder|Du]]. Ich denke, diese Diskussion sollte viellleicht in ein anderes [[WP:LK|Forum]] verlagert werden. [[Benutzer:Minderbinder|Minderbinder]] 18:24, 1. Okt. 2007 (CEST)
::::::Für mich ist die Diskussion hier abgeschlossen, und geht [[Wikipedia:Löschkandidaten/2._Oktober_2007#Kategorie:Antifeminismus|dort]] weiter. Nico b., vielen Dank für die sachliche Diskussion. [[Benutzer:Minderbinder|Minderbinder]] 16:01, 2. Okt. 2007 (CEST)

Hallo Nico, ähnliches Thema, siehe [[Wikipedia:WikiProjekt_Kategorien/Diskussionen/2007/Oktober/14#Kategorie:Gruppenspezifische_Diskriminierung|hier]]... [[Benutzer:Minderbinder|Minderbinder]] 20:34, 14. Okt. 2007 (CEST)

== [[Filemaker]] ==
Verrat mir doch mal, was Du unter ''Relationen zwischen Tabellenauftreten'' verstehst? --  [[Benutzer Diskussion:Xqt|@]][[Benutzer:Xqt|xqt]] 07:07, 10. Mär. 2008 (CET)

::In FileMaker kann jede Tabelle mit beliebig vielen Auftreten im Beziehungsgraphen vertreten sein und auf keine andere Art. Beziehungen oder Relations werden ausschliesslich hier definiert. Es gibt keine Methode, um Beziehungen zwischen Tabellen herzustellen, sondern ausschliesslich zwischen ihren Auftreten. Das ist eine idiotische Nomenklatur, aber so macht FileMaker das nun einmal. Das dieser Unterschied relevant ist merkt man spätestens dann, wenn man verucht vom falschen Tabellenaurtreten her auf einen Bezugsdatensatz zuzugreifen.
::Die ganze Verwirrung an diesem Punkt rührt daher, dass FileMaker automatisch ein erstes Auftreten jeder Tabelle generiert und dieses identisch mit der Tabelle bezeichnet. Viele Anwender denken dann, dies sei das ''eigentliche'' Auftreten oder die ''richtige'' Tabelle.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 08:35, 10. Mär. 2008 (CET)

== Genitalverstümmelung ==

Hallo Nico!
Ich habe die beiden Verweise ausgetauscht. Leider habe ich nichts auf Deutsch gefunden. Ich hoffe, es ist jetzt besser!
Gruß
Martin
--[[Benutzer:Martin Drucker|Martin Drucker]] 18:29, 2. Okt. 2008 (CEST)

Hi, ich werde mal schauen, ob sich vielleicht etwas ''noch'' Neutraleres finden läßt.
Gruß, --[[Benutzer:Martin Drucker|Martin Drucker]] 00:20, 4. Okt. 2008 (CEST)

== James Connolly ==

Hallo Nico b.,

Naumanns wiss. bücher wurden in der tat (leider) kaum rezipiert (siehe seine diss. zu karl kraus (1969), die es echt in sich hat). nun stand aber im Connolly-artikel, außer dem einen titel, nichts anderes da, während ich wiederum zum ersten mal durch Naumanns buch überhaupt auf Connolly in der dt. wiss. lit. gestoßen bin. auch gehört es ja zur wissenschaftlichkeit, titel 'reinzustellen, die eben nicht so prestigeträchtig sind (ein schiller-artikel, wo nur Safranski und sigrid damm abgehandelt werden, wäre ja auch recht traurig... ). Naumanns text ist jedenfalls ein 'geheimtipp', ich habe in auch teils gelesen und halte ihn für wikifähig und wert, 'entdeckt' zu werden (p.s.: ich bin mit Naumann weder verwandt noch verschwägert!!). gruß, --[[Benutzer:Ammonius|Ammonius]] 01:06, 4. Okt. 2008 (CEST)

==Maskulismus - wie gehts weiter?==
Hallo Nico b., zwecks Besprechung des weiteren Vorgehens (Mini-Meinungsbild) lade ich Dich [[Benutzer Diskussion:AnglismenJäger#"Mini"-Meinungsbild|auf meine Diss.]] ein. Gruß --[[Benutzer:AnglismenJäger|AnglismenJäger (Diss)]] [[Benutzer:AnglismenJäger/Vorlage:AnglizismenHalt|Lieblingsvorlage...]] 19:38, 5. Jan. 2009 (CET)

== [[Michel Foucault]] ==

Mir ist aufgefallen, dass das Themenfeld um Michel Foucault sehr brachliegt und ausgebaute werden könnte und möchte dabei vor allem bei Foucault selbst ansetzen. Dazu habe ich auf der DS begonnen einen erste [http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Michel_Foucault#.C3.9Cberarbeitung strukturierte Liste] aufzustellen. Ich würde mich freuen, wenn du mal vorbeischauen kannst und das ein oder andere ergänzen, ausbauen oder sonst wie beitragen könntest. Deine Erfahrungen und Ausdauer mit Hannah Arendt wären da sehr hilfreich.

Herzliche Grüße, -- [[Benutzer:Herr Andrax|andrax]] 19:47, 17. Jan. 2009 (CET)

__NOINDEX__
== Mithelfer gesucht ==

Hallo Nico b., es wäre schön wenn Du uns [[WP:GSV/N#Mitarbeitende|hierbei]] unterstützen könntest. Jeder Beitrag zählt selbst wenn Du nur einige Sichtungen pro Tag schaffst, die Summe aller Mitwirkenden ist entscheidend. Sei aber auch achtsam, denn wenn Dir etwas verdächtig erscheint: lieber liegen lassen oder vom Autor [[WP:BLG|Belege]] anfordern. Wenn Du Fragen hast, kannst Du sie direkt auf der [[Wikipedia Diskussion:Gesichtete Versionen/Nachsichtung|Diskussionsseite des Projektes]] stellen. Viele Grüße [[Benutzer:Pittimann|Pittimann]] [[Benutzer Diskussion:Pittimann|besuch mich]] 19:07, 2. Jun. 2009 (CEST)

== [[Portal:Zürich]] ==

Hallo Nico b.. Ich habe gesehen, dass du aus dem Kanton Zürich kommst und wollte dich auf den von mir durchgeführten Relaunch hinweisen. Neu gibt es auch eine bessere [[Portal:Zürich/Mitarbeit|Mitarbeiterseite]], wo alle Anliegen koordiniert werden können. Vielleicht magst du dich ja als Ansprechpartner [[Portal:Zürich/Mitarbeit/Mitarbeiter|hier]] eintragen (dabei verpflichtest du dich natürlich zu gar nichts). Ich freue mich auf den weiteren Ausbau der Stadt und des Kantons Zürich und grüsse dich herzlich. [[Benutzer:Sandro Senn|Sandro]] 21:53, 25. Okt. 2009 (CEST) --[[Benutzer:Deadbot|DB]] in Auftrag von Sandro

== [[Löschung:Literatur]] ==

Lieber Nico, bitte sprich nicht von obskurem Unsinn, das könntest Du bei Dan Brown genauso tun. Es geht hier darum, in welchen Romanen das Cern eine zentrale Rolle spielt. Bei Sekunde Null ist dies der Fall. Zur Verdeutlichung füge ich noch zwei Links bei die zeigen, dass der Roman einen wesentlich realeren Hintergrund hat als beispielsweise Dan Browns Illuminati. http://taschenbuecher.de/sekunde-null/ und http://www.eurasischesmagazin.de/artikel/?artikelID=20090823 Im übrigen beinhaltet der Roman keine CERN-Kritik. Vielmehr kommt der Generaldirektor als honorige Person darin vor und ein CERN-Physiker und eine Gastwissenschaftlerin sind die heimlichen Helden der Handlung. Ich würde mich freuen, wenn Du den Link wieder aufnehmen würdest. Kannst ihn ja gerne weiter hinten platzieren
:Lass uns das bitte auf der Diskussionsseite des CERN-Artikels fortführen, dort habe ich bereits etwas dazu geschrieben.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 15:13, 12. Nov. 2009 (CET)

OK - ich schaue gleich nach.

== Regeln für Diskussionsseiten ==
Nico, bitte halte dich an die Regeln. Sachfremde Kommentare wie "you made my day" haben auf Diskussionsseiten nichts verloren und können regelkonform gelöscht werden. Siehe Konventionen bei der Benutzung von Diskussionsseiten, Punkt 10. [[Benutzer:Katach|Katach]] 09:32, 26. Nov. 2009 (CET)

== Rassentheorie ==

Hallo Nico, mich befremdet, dass du erst moderat für die Zuweisung einer bestimmten Aussage plädiert hast[http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Rassentheorie&diff=69506262&oldid=69505265] und einen halben Tag später die Löschung eines halben Absatzes befürwortest[http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Rassentheorie&diff=69527290&oldid=69525271], obwohl du die angegebene Begründung für bedeutungslos hältst und selber keine nennst. --[[Benutzer:Klaus Frisch|Klaus Frisch]] 01:19, 20. Jan. 2010 (CET)

:Ich habe durchaus eine Begründung geliefert: Geulens Stellungnahme ist bis zum Beweis des Gegenteils (durch dich) eine Einzelposition, die diametral zum Stand der Forschung in diesem Bereich steht, soweit ich ihn kenne. Ich halte es für völlig unnötig, sie in diesem Artikel darzustellen, meine Aufforderung war sozusagen als Minimalforderung zu verstehen. Ich halte die Begründung auch nicht für bedeutungslos, sondern für schlecht formuliert und nicht zuende gedacht.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 10:48, 20. Jan. 2010 (CET)

== [[Rote Armee Fraktion]] ==

Hallo Nico b.! die RAF ist auch als [[Stadtguerilla]] zu verstehen, daher diese einordnung. gruss -- [[Benutzer:Saltose|Saltose]] 19:47, 3. Feb. 2010 (CET)
:Naja, das ist erstmal eine Selbstbezeichnung, die die RAF in ihrem verzweifeltem Bemühen konstruiert hat, ihre völlige Isolation vom "revolutionären Subjekt" zu kaschieren. Meines Erachtens hat die RAF in der Kategorie "Guerilla" ebensowenig verloren wie die Roten Brigaden oder die CCC. Die IRA war zeitweise eine Guerilla, über die ETA lässt sich streiten, aber die RAF? Dann müsste man auf jeden Fall den Artikel [[Guerilla]] ziemlich anpassen, im Moment passt das hinten und vorne nicht zusammen.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 20:37, 3. Feb. 2010 (CET)

:::reinquetsch ja, es handelt sich schon um relativ unterschiedliche dimensionen... ich habe die einordnung ehrlich gesagt nur vorgenommen, weil ja auch [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kategorie:Rote_Armee_Fraktion&diff=70194637&oldid=69465530 die überkategorie bis vor wenigen minuten da eingeordnet] war und ich bei meinen kategorietechnischen aufräumarbeiten dort gelandet bin. insofern solls mir recht sein auf diese einordnung zu verzichten. -- [[Benutzer:Saltose|Saltose]] 21:01, 3. Feb. 2010 (CET)

::Halb Deiner Meinung (die Roten Brigaden hatten doch eine gewisse reale Verankerung?), aber ist das nicht TF.?--[[Benutzer:Radh|Radh]] 20:54, 3. Feb. 2010 (CET)

:::Ich meine, die Theoriefindung bestünde darin, ohne entsprechende Belege die aus den 68er-Bewegungen hervorgegangenen Terrorgruppen gemeinsam mit den Befreiungsbewegungen der 3. Welt oder der europäischen Peripherie unter "Guerilla" zu subsummieren. Das war wie gesagt deren Weltsicht, aber deshalb müssen wir das ja noch nicht beleglos übernehmen. Vielleicht ein Indiz dafür, dass es hier gewaltige Unterschiede gab: die RAF war ein polizeiliches Problem, kein militärisches.
:::Eine "gewisse Verankerung" hatte übrigens auch die RAF, zwar nicht in der Arbeiterschaft, aber doch im vielzitierten "Symphatisantensumpf". Wobei ich durchaus Abstufungen sehe, wenn man sie eben z.B. mit den Brigaden vergleicht. Die CCC in Belgien waren wohl die einzigen, die noch isolierter waren als die RAF der dritten Generation.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]]
::::Na Ja, mal sehen wie lange es dauert, bis jemand Tobsuchtsanfälle bekommt :-(. Mein Preis für die isoliertesten Guerilleros ginge an die Japanische Rote Armee im Libanon oder an Che in Bolivien. Die Panthers in den Staaten waren letztlich traurigerweise auch nur als Gangster überlebensfähig. Aber sie und selbst Weatherman werden natürlich in der en WP fanatisch heroisiert (unsere RAF auch). --[[Benutzer:Radh|Radh]] 23:17, 3. Feb. 2010 (CET)

== [[BRD]] ==

Lies doch mal den Artikel, DDR und BRD sind keine gleichwertigen Benennungen. Gruß--[[Benutzer:Jkü|Jkü]] 16:50, 19. Sep. 2010 (CEST)
:Doch natürlich, das ist ja gerade der Witz dabei. DDR und BRD sind gleichwertige Bezeichnungen, wer damit stets ein Problem hatte waren revanchistische Kreise in Westdeutschland, die die DDR nicht als gleichwertigen Staat anerkennen wollten. Mit der Unterscheidung von der nicht ausschreibungswürdigen "DDR", dem Abkürzungsstaat, auf der einen und der stolzen "Bundesrepublik" auf der anderen Seite wollte man den Alleinvertretungsanspruch Westdeutschlands untermauern. Das ist reiner POV, den wir uns nicht zueigen machen dürfen. Wer ARD sagt muss auch BRD sagen, wie es früher so treffend hiess. Entweder beides ausschreiben oder beides abkürzen, das ist neutral.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]]
::Es bleibt eine erzkonservative reaktionistische Sozialistenbezeichnung, die in Wikipedia nicht gebräuchlich ist.--[[Benutzer:Jkü|Jkü]] 20:17, 19. Sep. 2010 (CEST)
:::LOL, wo hast du denn den Ausdruck "erzkonservative reaktionistische Sozialistenbezeichnung" her, der ist ja nun richtig geil. Finde ich toll, wenn Leute ihre Fehler mit Humor nehmen.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 20:33, 19. Sep. 2010 (CEST)

== Revert ==

Hallo Nico, bevor du mich [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Rote_Armee_Fraktion&diff=prev&oldid=80936484 revertierst], informiere dich bitte richtig. Die ISBN passt eben nicht zu dem vorliegenden Titel (vgl [https://portal.d-nb.de/opac.htm?method=simpleSearch&query=978-3-9406-2120-7]). Ich mache Änderungen nicht grundlos rückgängig. Grüße--[[Benutzer:Mo4jolo|Mo4jolo]]  [[Benutzer Diskussion:Mo4jolo|∀]] [[Spezial:Contributions/Mo4jolo|≡]] [[Benutzer:Mo4jolo/Bewertung|↕]] >>> [[Benutzer:Mo4jolo/2000_Tage|2000 Tage]] 15:44, 31. Okt. 2010 (CET)
: Mag mir mal jemand erklären, wie dieses Buch, dass lt. dt. Nat.bibliothek erst im November 2010 erscheinen wird (und schlussfolgernd, da offenbar bereits bestellbar [beim Verg.heits.verl.], entweder noch nicht erschienen oder früher erschienen ist), "seit Monaten" hier als Literaturangabe unter _dieser_ ISBN stehen kann? Und was den Literaturspam angeht, hat Knitterprofesser doch in mindestens 10-12 Lemmata dieses Buch samt Bestelllink gepostet. Zumindest augenscheinlich sieht das, wie ich pers. finde, ziemlich nach Spam aus? Gruß - --[[Benutzer:S3r0|S3r0]] 22:46, 31. Okt. 2010 (CET)
:Moin, ich denke ich habe mich richtig informiert, nämlich direkt beim Verlag [http://www.vergangenheitsverlag.de/index.php?mainm=7&id=7&buchid=16]. Die DNB hat es nicht mal geschafft, das Wort "Getan" unfallfrei abzutippen, und anscheinend ihren Eintrag anhand einer früheren Vorankündigung des Verlages erstellt. Deshalb auch unten der Hinweis "Vom Verlag gemeldete Neuerscheinung, Publikation noch nicht im Haus". Hier scheint mir der Verlag die verlässlichere Quelle zu sein.
::Wichtiger finde ich den Einwand von S3r0. Wenn du das gleich auf der Disk geschreiben hättest, hätte ich niemals revertiert, so sah das ziemlich seltsam aus, wenn nach dem ganzen Hin und Her dann plötzlich der Spam-Hammer niederkommt. Also von mir aus: weg damit.--[[Benutzer:Nico b.|Nico b.]] 09:23, 1. Nov. 2010 (CET)
:::Mal abwarten, ob dieses Buch wirklich in die Literaturliste gehört. Wenn es vorliegt, lässt sich das vielleicht beurteilen. --[[Benutzer:Sf67|Sf67]] 14:44, 1. Nov. 2010 (CET)

==Had enough of you==
Nico? I have had enough of you. You are merely a contrarian and your criteria is trivial! [[Benutzer:TonyMath|TonyMath]] 00:00, 5. Nov. 2010 (CET)

Osteraufstand

2010-11-04T22:58:45Z

TonyMath: Änderung 81124513 von Nico b. wurde rückgängig gemacht.

[[Datei:Birth of the Irish Republic.jpg|right|300px|thumb|Birth of the Irish Republic]]
Der '''Osteraufstand''' ([[Irische Sprache|irisch]]: ''Éirí Amach na Cásca'' / [[Englische Sprache|englisch]]: '' Easter Rising'') von 1916 war ein Versuch militanter [[Irland (Insel)|irischer]] Republikaner, die Unabhängigkeit von [[Vereinigtes Königreich|Großbritannien]] gewaltsam zu erzwingen. Obwohl militärisch fehlgeschlagen, gilt er als Wendepunkt in der [[Geschichte Irlands (1801–1922)|Geschichte Irlands]], der dann letztlich zur Unabhängigkeit führte.

== Überblick ==
Der Aufstand fand vom 24. bis 30. April 1916 statt. Ein Teil der [[Irish Volunteers]] unter [[Patrick Pearse]] und die viel kleinere Gruppe der [[Irish Citizen Army]] von [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]] eroberten verschiedene Gebäude in [[Dublin]] und proklamierten die unabhängige irische Republik. Gleichzeitig wurden die verschiedenen Widerstandsgruppen zur Irish Republican Army verschmolzen. Obwohl militärisch fehlgeschlagen, gilt dieser Aufstand als Wendepunkt auf dem Weg zur irischen Unabhängigkeit, denn durch ihn kam es zu einer direkten Spaltung zwischen den gewaltbereiten Republikanern und den passiveren Nationalisten unter [[John Redmond]] und „seiner“ [[Irish Parliamentary Party]], die durch demokratische parlamentarische Arbeit die Genehmigung der (3.) [[Home Rule]] erreicht hatten.
Politisch wurde der Aufstand erst zum Erfolg durch den Fehler des Generalkommandanten der Britischen Streitkräfte in Irland, Sir [[John Grenfell Maxwell]], der die gefangengenommenen Kommandeure der Irisch Republikanischen Armee exekutieren ließ. Mit Bekanntwerden der Exekutionen schwenkte die Sympathie der irischen Bevölkerung auf die Seite der Republikaner über.

== Planung des Aufstands ==
[[Datei:Easter_Proclamation_of_1916.png|thumb|150px||Die [[Oster-Proklamation]]]]
Während der Osteraufstand hauptsächlich durch die Irish Volunteers (IV) ausgeführt wurde, wurde er doch von der [[Irish Republican Brotherhood]] (IRB) geplant. Kurz nach Ausbruch des [[Erster Weltkrieg|Ersten Weltkrieges]] am 4. August 1914 trafen sich die ranghöchsten Mitglieder der IRB unter der Maxime „Englands Schwierigkeiten sind Irlands Chancen“ und beschlossen die Durchführung von Aktionen vor Ende des Kriegs. Zu diesem Zweck formierte der Kassenwart der IRB [[Thomas J. Clarke|Tom Clarke]] ein militärisches Komitee (ursprünglich Patrick Pearse, [[Eamonn Ceannt]] und [[Joseph Plunkett]]; kurz darauf stießen [[Sean MacDermott]] und er selbst dazu) zur Planung des Aufstands. Jede dieser Personen war Mitglied der IRB und, mit Ausnahme von Clarke, der Irish Volunteers. Die IRB hatte seit der Gründung der Irish Volunteers 1913 versucht, die Kontrolle über die Volunteers zu erlangen, indem sie, wann immer möglich, IRB-Mitglieder in höhere Ränge brachte. Dies führte bis 1916 dazu, dass ein Großteil der Volunteer-Führerschaft gewaltbereite und ergebene Republikaner waren. Eine wichtige Ausnahme war allerdings Gründer und Stabschef [[Eoin MacNeill]], der gegen jede risikoreiche Rebellion war. Die IRB hoffte daher, ihn entweder auf ihre Seite ziehen (notfalls durch Arglist), oder ihn einfach umgehen zu können. Mit beiden Plänen hatte die IRB nur wenig Erfolg.

Der Plan für einen Aufstand nahm die erste große Hürde, als der Sozialist James Connolly, Kopf der Irish Citizen Army (ICA) und vollkommen ohne Ahnung von den Plänen der IRB, mit einem „eigenen“ Aufstand drohte, falls andere Gruppen nicht für die Unabhängigkeit kämpfen würden. Da die ICA kaum mehr als 200 Männer stark war, wäre jeder eigenständige Aufstand von vornherein zum Scheitern verurteilt, was auch die Chancen eines Aufstands durch die Volunteers stark vermindert hätte. Daher trafen sich die Führer der IRB mit Connolly und überzeugten ihn, sich ihnen anzuschließen. Sie einigten sich darauf, am kommenden Osterfest zusammenzuarbeiten.

Bei dem Versuch, Informanten und natürlich den eigentlichen Führer der Volunteers zu täuschen, befahl Pearse Anfang April dreitägige „Manöver und Paraden“ der Volunteers ab Ostersonntag. Während die wahren Republikaner innerhalb der Volunteers genau wussten, was das zu bedeuten hatte, hoffte man, dass MacNeill oder die britischen Kräfte in [[Dublin Castle]] diese Ankündigung wörtlich nehmen würden. Doch war diese Ankündigung zu offensichtlich und MacNeill bekam Wind von der Sache. Er drohte damit, alles Mögliche zu unternehmen, um diesen Aufstand zu verhindern. Als MacNeill von MacDermott allerdings erfuhr, dass Deutschland zugesagt hatte, irisch-britische [[Kriegsgefangene]], die sich dazu bereit erklärt hatten, nach Irland zu transportieren und etwa 40.000 [[Frankreich|französische]] und [[Russland|russische]] Beutegewehre mit einem alten [[Trawler]] namens [[Libau (1911)|''Aud'']] am [[Karfreitag]] in Irland ([[County Kerry|Grafschaft Kerry]]) anzulanden, war MacNeill kurzfristig bereit, dem Aufstand zuzustimmen. Diese Vereinbarung mit Deutschland wurde von Sir [[Roger Casement]] und der IRB eingefädelt. Die Landung schlug fehl, weil Ort und Zeit nicht gut koordiniert waren. Als MacNeill davon erfuhr, kehrte er zu seiner ursprünglichen Haltung zurück und erstellte zusammen mit „freundlich gesinnten“ Kollegen, u. a. [[Bulmer Hobson]] und [[The O'Rahilly]], einen Widerruf an alle Volunteers mit der Absage aller Aktionen am Sonntag. Dies führte zwar zu einer stark reduzierten Anzahl an Volunteer-Beteiligten am Aufstand (ca. 1.000), konnte diesen aber nicht verhindern, sondern lediglich um einen Tag verschieben.

Dass der Osteraufstand einem Selbstmord-Kommando gleichkam, war selbst Patrick Pearse bewusst. Einige Zeit vorher sagte er seiner Mutter: „Der Tag wird kommen, an dem ich erschossen werde, und meine Kameraden mit mir“. Als seine Mutter nach ihrem anderen Sohn William, ebenfalls ein extremer Nationalist, fragte, soll Pearse geantwortet haben: „Willie? Erschossen, wie die anderen. Wir werden alle erschossen.“ James Connolly soll einst angemerkt haben: „Die Chancen gegen uns stehen 1 zu 1000.“

== Der Aufstand ==
Der Plan, größtenteils von Plunkett ausgearbeitet (aber auch sehr ähnlich dem unabhängigen Plan von Connolly), war die Besetzung von Knotenpunkten und strategischen Gebäuden innerhalb Dublins, um die Stadt abzusperren und für den unvermeidbaren Gegenangriff der britischen Armee gerüstet zu sein. Dann, so hoffte man, sollte eines von drei Szenarien eintreten: Die irische Nation erhebt sich ebenfalls und unterstützt den Angriff; die Briten erkennen die Unmöglichkeit, Irland weiter zu regieren, und ziehen ab; oder - als letzte Hoffnung - würden die Deutschen den Rebellen doch noch irgendwie zu Hilfe kommen.

=== Ostermontag ===
Start der Operation war 12 Uhr mittags, und da es ein Feiertag war, waren größere Menschenmengen auf den Straßen, die die kleineren Gruppen der Volunteers und der Irish Citizen Army bewaffnet zu ihren Einsatzorten marschieren sahen.

Es folgte die Verlesung der [[Oster-Proklamation]] außerhalb des Hauptpostamtes in Dublin in der Sackville Street (heute: [[O'Connell Street]]), Dublins Hauptstraße und die weltweit breiteste [[Georgianische Architektur|georgianische Allee]]. Dies markierte den eigentlichen Beginn des Aufstands. Nach der Verlesung, die von vorbeigehenden Menschen mit Staunen und auch etwas Hohn bedacht wurde, begaben sich Pearse und weitere Anführer in das Hauptpostamt, brachten es in ihre Gewalt und richteten dort ihr Hauptquartier ein.

Im Grunde verlief die gesamte Operation problemlos: fünf größere Gebäude oder Gebäudekomplexe nördlich des Flusses [[Liffey]], neun südlich davon, und einige Eisenbahnstationen wurden besetzt.

Die Dublin-Division der Volunteers war in vier [[Bataillon]]e aufgeteilt – jedes unter dem Kommando eines loyalen IRB-Kommandanten. Ein behelfsmäßiges 5. Bataillon wurde aus Teilen der anderen sowie mit der Hilfe der Irish Citizen Army gebildet. Dieses Bataillon war es, das das Hauptpostamt in Dublin (GPO) besetzte. Jenem gehörten unter anderem der Präsident und befehlshabende Kommandant der IRB, Patrick Pearse,an, der Kommandant der Dublin-Division und Führer der ICA James Connolly, [[Tom Clarke]], Sean MacDermott, Joseph Plunkett sowie ein junger Hauptmann namens [[Michael Collins (Irland)|Michael Collins]]. Zwischenzeitlich hatte das 1. Bataillon unter [[Ned Daly]] das Gerichtsgebäude [[Four Courts]] sowie Gebiete im Nordwesten belagert; das 2. Bataillon unter [[Thomas MacDonagh]] besetzte Jacobs Biscuit Factory südlich der Innenstadt; im Osten kommandierte [[Eamon de Valera]] die Boland´s Bäckerei, und das 4. Bataillon unter Eamonn Ceannt eroberte das Gebäude ''South Dublin Union'' im Südwesten. Mitglieder der ICA besetzten unter [[Michael Mallin]] und [[Constance Markievicz]], der einzigen Frau, die in führender Position an dem Aufstand teilnahm, auch [[St. Stephen's Green]] und [[Dublin City Hall]].

Der Versuch, Dublin Castle zu erobern, schlug fehl. Ein anderer Versuch, eine größere Menge an Waffen und Munition aus einem Waffenlager im [[Phoenix Park]] zu stehlen, war ebenfalls nicht erfolgreich – nur wenige Waffen konnten erobert werden. Hingegen gelang es den Rebellen, Telefonleitungen zu kappen, sodass Dublin Castle für einige Zeit nahezu isoliert war.

Da der Widerruf von MacNeill dazu führte, dass der Aufstand nahezu nur in Dublin stattfand, ging das Kommando aller beteiligten Rebellen an Connolly über, der zudem das beste taktische Verständnis der Gruppe hatte. Connolly wurde während des Aufstandes schwer verwundet, kommandierte seine Leute aber auch weiterhin, indem er sich in einem Bett herumtragen ließ. Seine größte Fehleinschätzung war allerdings die Annahme, dass eine kapitalistische Regierung niemals [[Artillerie]] gegen ihren eigenen Besitz (sprich: Gebäude) einsetzen würde; innerhalb von 48 Stunden hatten die Briten ihn vom Gegenteil überzeugt. Dabei beschossen sich zwei britische Kanonenboote gegenseitig, da sie annahmen, die einschlagenden Granaten kämen von den Rebellen.

Die Briten gingen jedoch langsam gegen die Rebellen vor, waren sie doch unsicher, mit wie vielen Aufständischen sie es zu tun hatten. Sie forderten Truppen aus dem Militärlager [[Curragh (Irland)|Curragh]] und anderen Orten außerhalb von Dublin sowie Unterstützung aus [[London]] an. Dort führte Lord French, ein Ire und begeisterter Unionist, den Oberbefehl und schickte nicht weniger als vier Divisionen nach Irland. Die britische Politik wurde zu dieser Zeit auf den Kopf gestellt. Die Besänftigungspolitik gegenüber Irland war vergessen, es ging nur noch darum, die Rebellen schnell und vollständig zu vernichten. Doch nicht nur die Briten tappten im Dunkel – auch die Rebellen hatten keine Funkverbindungen zwischen ihren besetzten Stellungen. Den Rebellen (ca. 1.000 Irish Volunteers und um die 200 Mitglieder der ICA) standen ungefähr 4.500 britische Soldaten und 1.000 Polizeikräfte gegenüber.

=== Dienstag ===
Aus militärischer Sicht war der Dienstag vergleichsweise ruhig. Die Briten näherten sich vorsichtig den Stellungen, um die Gebiete zu sichern und die Anführer im Hauptpostamt zu isolieren. [[Artillerie]] wurde im [[Trinity College (Dublin)|Trinity College]] in Stellung gebracht. Plünderungen durch die Bevölkerung begannen. Die Spannungen innerhalb der beiden beteiligten Gruppen nahmen allerdings zu, als ein Offizier der Volunteers den Befehl gab, Plünderer zu erschießen – ein Befehl, der zornig von James Connolly widerrufen wurde. Das [[Ausnahmezustand|Kriegsrecht]] wurde über Dublin verhängt, und der britische Nachschub erreichte Kingstown. Die Greueltaten des Aufstands begannen damit, dass ein britischer Offizier mit dem Namen Bowen-Colthurst drei harmlose Journalisten „auf der Flucht“ erschießen ließ – eine Phrase, die nicht nur in Irland in trauriger Regelmäßigkeit verwendet werden sollte.

=== Mittwoch ===
Am Mittwochmorgen waren die Rebellen 20 zu 1 in der Unterzahl, und die Briten begannen nun ihrerseits, ernsthaft anzugreifen. Der erste Vorstoß galt [[Liberty Hall]] – das Gebäude, [[Hauptquartier]] der Labour Party und der Gewerkschaft, wurde durch die Bombardierung des Kanonenboots „Helga“ zerstört. Da die Rebellen dies vorausgesehen hatten, war das Gebäude zu dieser Zeit bereits leer. Der britische Beschuss war sehr ungenau, so dass auch diverse andere Gebäude getroffen und viele Zivilisten getötet wurden. Die Armee setzte nun auch Artillerie ein: teilweise sogar gegen einzelne Heckenschützen. Vielerorts in Dublin brannte es und die Dubliner Bevölkerung hungerte aufgrund des fehlenden Nahrungsnachschubs. Zu diesem Zeitpunkt war der Aufstand zu einem richtigen Krieg geworden, bei dem kein Versuch unternommen wurde, Zivilisten zu schützen und Opfer unter ihnen zu vermeiden. Die britische Unterstützung aus Kingstown geriet bei ihrem Marsch in die Stadt in einen Hinterhalt der De Valeras-Division, erlitt heftige Verluste, konnte sich aber aufgrund ihrer zahlenmäßigen Überlegenheit ihren Weg in die Stadt erkämpfen. In St. Stephen's Green befanden sich zu dieser Zeit keine Rebellen mehr. Die Park-Besetzung stellte sich im Nachhinein als unklug heraus, als ein Teil der britischen Armee Stellung im Shelbourne Hotel, an der nord-östliche Ecke des Parks, bezog, von der aus sie den ganzen Park überblicken und sogar in die Schützengräben schießen konnte. Die Rebellen zogen sich ins Royal College of Surgeons zurück und errichteten dort ihre Stellung erneut.

=== Donnerstag ===
Am 4. Tag des Aufstandes traf der neue britische Oberbefehlshaber Sir John Maxwell in Irland ein. Obwohl er die Countess Markiewicz zu seiner weitläufigen Verwandtschaft zählte, hatte er doch keinerlei Wissen über die aktuelle politische Situation in Irland, und so kam es, dass er (unwissend) mehr dafür tat, die britische Herrschaft in Irland zu untergraben, als es alle Rebellen zusammen geschafft hätten. Sein Befehl - erteilt durch den britischen [[Premierminister]] [[Herbert Henry Asquith]] - war es, die Rebellion schnellstmöglich zu beenden. Dies tat er schließlich auch – ungeachtet der politischen Konsequenzen.

Die Unterstützung aus England, großteils unerfahrene Männer, war nun im Einsatz. Als sie entdeckten, dass viele der Männer der Irish Republican Army (wie sie sich fortan nennen sollten) keine Uniform trugen, begannen sie damit, auf Verdacht männliche Zivilisten zu erschießen, die ihnen begegneten.

An diesem Tag begannen die Angriffe auf Bolands Bäckerei, die Volunteer-Division in ''South Dublin Union'' verlor Gelände, und die Bombardierung des Hauptpostamts, das vollständig ausbrennen sollte, startete. Zweimal wurde Connolly an diesem Tag verwundet – die erste Wunde konnte er noch vor seinen Männern verbergen, die zweite Verletzung, einer seiner Füße war zerschmettert, war dafür zu schwerwiegend. Doch unter Morphium kommandierte er weiter, so gut es eben ging. Aufgrund des andauernden Beschusses in den Straßen und der oft unterbrochenen Wasserversorgung vereinigten sich die Brände in Dublin zu Großbränden, derer man nicht mehr Herr werden konnte. Am Donnerstag hatte noch keine Stellung der Rebellen kapituliert.

=== Freitag ===
Am Freitag befahl Connolly den Frauen unter den Rebellen, das Hauptpostamt zu verlassen, das nun komplett isoliert war und brannte. Später am Tag konnten er und die verbleibenden Rebellen das nahezu überall brennende und fast kollabierende Gebäude unbemerkt verlassen. Sie fanden Unterschlupf in einem nahegelegenen Haus, während die Briten weiter das leere Postamt bombardierten. In der King's Street fand ein letztes großes Gefecht statt. 5.000 britische Soldaten, ausgestattet mit gepanzerten Fahrzeugen und Artillerie, benötigten 28 Stunden, um knapp 150 Meter gegen 200 Rebellen vorzurücken. Bei diesem Kampf erstach das britische ''South Staffordshire Regiment'' Zivilisten und erschoss Menschen, die sich in Kellern versteckten.

=== Samstag ===
Am Morgen des 29. April war der Aufstand zu Ende. Pearse und Connolly ordneten aus ihrem neuen Stützpunkt in der Moore Street die bedingungslose Kapitulation an, nachdem sie zu der Erkenntnis gekommen waren, dass alles, was jetzt noch erreicht werden könnte, der Tod von weiteren Zivilisten war.

== Konsequenzen ==
[[Datei:IrishFlagGPO.JPG|thumb|right|Die irische Flagge weht auf dem Hauptpostamt in Dublin]]

Die Opfer des Aufstands sind schwer abzuschätzen. Man geht davon aus, dass ca. 500 britische Soldaten ihr Leben ließen. Auf Seiten der Iren (einschließlich Zivilisten) dürfte es doppelt so viele Opfer gegeben haben. Der materielle Schaden innerhalb der großteils zerstörten Stadt wurde auf 2.500.000 Pfund beziffert.

Die Rebellen hatten zu dieser Zeit lediglich geringe Unterstützung durch die Bevölkerung – dies sollte sich erst durch die [[Repressalie]]n der Briten ändern. Als die gefangenen Rebellen am Sonntag von einem Gefängnis in ein anderes verlegt wurden, führte man sie zu Fuß durch Dublin, wo sie vor allem in den ärmlichen Gegenden verspottet und beschimpft wurden. Insgesamt wurden 3.000 „Verdächtige“ verhaftet. Viele von ihnen landeten in Internierungslagern in [[Wales]].

Auf direkten Befehl des Kabinetts in London war die Bestrafung schnell, geheim und brutal. Die 15 Anführer (unter ihnen alle sieben Unterzeichner der Oster-Proklamation) wurden vor ein Kriegsgericht gestellt und in der Zeit vom 3. bis 12. Mai durch Erschießen hingerichtet. Unter den Hingerichteten waren Willie Pearse (eigentlich kein Anführer; es wird angenommen, dass er aufgrund seines berühmten Bruders Patrick Pearse ebenfalls erschossen wurde), der kranke Joseph Plunkett sowie der tödlich verwundete Connolly, der auf einem Stuhl gefesselt erschossen wurde, da er nicht eigenständig stehen konnte. Die Hinrichtungen wurden erst nach ihrer Durchführung bekannt gegeben. Als dies bekannt wurde, führte es zu einer Welle der Empörung in ganz Irland, die selbst dann nicht abebbte, als Asquith diese Maßnahmen im Unterhaus verteidigte, und auch nicht, als er den Fehler eingestand und den Befehlshaber John Maxwell entließ.

Eamon de Valera retteten Glück und seine [[Vereinigte Staaten|US-amerikanische]] Herkunft vor der Hinrichtung (er war zwar Ire, wurde aber in Amerika geboren). Dies führte zu einem Aufschub seiner Hinrichtung. Als letztendlich doch seine Exekution entschieden wurde und er „an der Reihe war“, waren die Hinrichtungen aufgrund der öffentlichen Meinung (in ganz Europa) generell gestoppt. Andere Beteiligte wurden lediglich verhaftet, unter ihnen auch Michael Collins.

Die harten Maßnahmen nach der Niederschlagung des Osteraufstandes forcierten die antibritische Stimmung.

Bei den Wahlen im Dezember 1918 erlangte die von [[Sinn Féin]] getragene Unabhängigkeitsbewegung 73 der 106 irischen Sitze im britischen Unterhaus. Im Januar 1919 traten in Dublin irische Abgeordnete zu einem Nationalparlament ([[Dáil Éireann]]) zusammen, erklärten die Unabhängigkeit und richteten eine Regierung unter Eamon de Valera ein, die von Großbritannien nicht anerkannt wurde. Dies führte zum [[Anglo-Irischer Krieg|Anglo-Irischen Krieg]].

Mit der [[Home Rule|Government of Ireland Bill]] (1920), die je ein Parlament für Nord- und [[Südirland]] mit begrenzter rechtlicher Autonomie vorsah und das [[Britisches Parlament|britische Parlament]] als letzte Instanz betrachtete, suchte die britischen Regierung unter Premier [[Lloyd George]], mit dem Preis der Teilung der Insel, den Unabhängigkeitsforderungen entgegenzukommen.

Am 11. Juli 1921 führten die Verhandlungen mit de Valera einen Waffenstillstand herbei und mündeten am 6. Dezember 1921 in den [[Anglo-Irischer Vertrag|Anglo-Irischen Vertrag]]. Nach der Annahme des Vertrages durch die Mehrheit des Dáil Éireann am 7. Januar 1922 konnte die Verfassung des „Irischen Freistaates“ am 6. Dezember 1922 in Kraft treten. Die sechs mehrheitlich protestantischen Grafschaften Ulsters erklärten durch Volksentscheid, als „[[Nordirland]]“ Teil des Vereinigten Königreiches bleiben zu wollen. Erst am 18. April 1949 trat die völlige Unabhängigkeit Irlands von Großbritannien in Kraft.

Der Aufstand war die Geburtsstunde der [[Irish Republican Army|IRA]]. Noch heute kämpfen die „Irische Republikanische Armee“ (IRA) und die Sinn Féin für die Vereinigung der Republik Irland und Nordirlands.

Die gefallenen Helden waren die Vorbilder der bengalischen Freiheitskämpfer, die als ''Indian Republican Army (Chittagong Branch)'' (IRA) am Karfreitag den [[Chittagong-Aufstand]] anzettelten.<ref>Sharma, Mallikarjuna I.; ''Easter Rebellion in India: the Chittagong Uprising;'' Hyderabad 1993 (zahlreiche Quellen in den Anhängen, darunter ca. 100 Kurzbiographien von Freiheitskämpfern)</ref>

== Liste der hingerichteten Anführer ==
[[Datei:Kilmainham Gaol - place of execution.JPG|miniatur|Hinrichtungsstätte im Dubliner [[Kilmainham Gaol|Kilmainham-Gefängnis]]]]
* Sir [[Roger Casement]]
* [[Thomas J. Clarke]]
* [[Eamonn Ceannt]]
* [[Cornelius Colbert]]
* [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]]
* [[Edward Daly (Revolutionär)|Edward Daly]]
* [[Sean Heuston]]
* [[Thomas Kent]]
* [[John MacBride]]
* [[Sean MacDermott]]
* [[Thomas MacDonagh]]
* [[Michael Mallin]]
* [[Michael O'Hanrahan]]
* [[Patrick Pearse]]
* [[William Pearse]]
* [[Joseph Mary Plunkett]]

== In der Kunst ==
Eine frühe und literarisch bedeutende Verarbeitung stellt [[William Butler Yeats]]’ Gedicht „Easter 1916“ dar, das den Aufstand mit dem prägnanten [[Oxymoron]] ''„a terrible beauty“'' charakterisiert.

Das Drama ''The Plough and the Stars'' von [[Sean O'Casey]], uraufgeführt 1926 am Abbey Theatre in Dublin, hat den Osteraufstand als Rahmen, zeigt aber aus der Perspektive der einfachen, armen Leute in Dublin die tragischen Auswirkungen der Ereignisse auf ihr Leben.

Der Roman ''A Star Called Henry'' von [[Roddy Doyle]] (1999) verarbeitet den Aufstand im zweiten Drittel des Buches auf interessante Weise: der Protagonist Henry, ein schlauer Straßenjunge aus ärmlichsten Verhältnissen und zu diesem Zeitpunkt 14 Jahre alt, ist als Protégé von [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]] im GPO dabei und berichtet das Geschehen aus seiner Perspektive.

Das Lied „[[Zombie (Lied)|Zombie]]“ von [[The Cranberries]] setzt sich mit den langanhaltenden Folgen des Osteraufstandes auseinander. Das Lied "[[Rebel Heart]]" von "[[The Corrs]]", ein instrumentales Stueck fuer die vier-teilige [[BBC]] Fernseh-Serie mit dem gleichen Titel, spielt in der Zeit des Osteraufstandes im [[Anglo-Irischer Krieg|Anglo-Irischen Krieg]]. Eine umstrittene Interpretation findet Anspielungen auf den Osteraufstand in dem Lied [[Sunday Bloody Sunday]] von [[U2]].<ref>Frederick C. Millett: [https://www.msu.edu/~millettf/Easter%20Rising.pdf ''The Easter Rising and Its Effect on Irish Literature and Music.''] (PDF-Datei; 37 kB)</ref>

Eines der bekanntesten irischen Volkslieder, ''The Foggy Dew'', handelt vom Osteraufstand.

== Literatur ==
* Peter De Rosa: ''Rebellen des Glaubens. Der irische Freiheitskampf 1916-1921''. Droemer Knaur, München 1993, ISBN 3-426-77081-4
* Max Caulfield: ''The Easter Rebellion, Dublin 1916''. Gill & Macmillan, Dublin 1995, ISBN 0-7171-2293-X ''(en)''
* Tim P. Coogan: ''1916. The Easter Rising''. Cassell, London 2001, ISBN 0-304-35902-5 ''(en)''
* Michael Foy, Brian Barton: ''The Easter Rising''. Sutton Publications, Stroud 2000, ISBN 0-7509-2616-3 ''(en)''
* Conor Kostick, Lorcan Collins: ''The Easter Rising. A Guide to Dublin in 1916''. O’Brien Press, Dublin 2001, ISBN 0-86278-638-X ''(en)''
* Dorothy MacCardle: ''The Irish Republic. A Documented Chronicle of the Anglo-Irish Conflict and the Partioning of Ireland''. Wolfhound Press, Dublin 1999, ISBN 0-86327-712-8 ''(en)''
* Fearghal McGarry: ''The Rising. Ireland: Easter 1916'', [[Oxford University Press]], Oxford 2010 ISBN 978-0-19-280186-9
* Francis X. Martin (Hrsg.): ''Leaders and Men of the Easter Rising''. Methuen, London 1967 (Repr. d. Aus. Dublin 1916) ''(en)''
* Charles Townsend: ''Easter 1916: The Irish Rebellion.'' Ivan R. Dee: Chicago 2006, ISBN 978-1-56663-704-6 ''(en)''

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Blutsonntag (Irland 1920)]]
* [[Geschichte Nordirlands]]
* [[Katholizismus]], [[Protestantismus]]
* [[Terrorismus]]
* [[Bloody Friday (Belfast)|Bloody Friday]]

== Weblinks ==
* [http://www.1916rising.com Seite des irischen Historikers Lorcan Collins] über den Osteraufstand mit Tour durch das Dublin von 1916 ''(en)''
* [http://www.msu.edu/~millettf/Easter%20Rising.pdf Frederick C. Millett: The Easter Rising and Its Effect on Irish Literature and Music] (''en''; PDF-Datei; 37 kB)



[[Kategorie:Irische Militärgeschichte]]
[[Kategorie:Britische Militärgeschichte]]
[[Kategorie:Aufstand]]
[[Kategorie:1916]]

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[[be:Велікоднае паўстанне]]
[[be-x-old:Велікоднае паўстаньне]]
[[br:Emsavadeg Pask]]
[[bs:Uskršnji ustanak]]
[[ca:Alçament de Pasqua]]
[[cs:Velikonoční povstání]]
[[cy:Gwrthryfel y Pasg]]
[[da:Påskeopstanden 1916]]
[[en:Easter Rising]]
[[eo:Paska Ribelo]]
[[es:Alzamiento de Pascua]]
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[[fr:Insurrection de Pâques 1916]]
[[ga:Éirí Amach na Cásca]]
[[gl:Alzamento de Pascua]]
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[[simple:1916 rising]]
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[[sv:Påskupproret]]
[[tr:Paskalya Ayaklanması]]
[[zh:复活节起义]]

Osteraufstand

2010-11-04T18:03:22Z

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[[Datei:Birth of the Irish Republic.jpg|right|300px|thumb|Birth of the Irish Republic]]
Der '''Osteraufstand''' ([[Irische Sprache|irisch]]: ''Éirí Amach na Cásca'' / [[Englische Sprache|englisch]]: '' Easter Rising'') von 1916 war ein Versuch militanter [[Irland (Insel)|irischer]] Republikaner, die Unabhängigkeit von [[Vereinigtes Königreich|Großbritannien]] gewaltsam zu erzwingen. Obwohl militärisch fehlgeschlagen, gilt er als Wendepunkt in der [[Geschichte Irlands (1801–1922)|Geschichte Irlands]], der dann letztlich zur Unabhängigkeit führte.

== Überblick ==
Der Aufstand fand vom 24. bis 30. April 1916 statt. Ein Teil der [[Irish Volunteers]] unter [[Patrick Pearse]] und die viel kleinere Gruppe der [[Irish Citizen Army]] von [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]] eroberten verschiedene Gebäude in [[Dublin]] und proklamierten die unabhängige irische Republik. Gleichzeitig wurden die verschiedenen Widerstandsgruppen zur Irish Republican Army verschmolzen. Obwohl militärisch fehlgeschlagen, gilt dieser Aufstand als Wendepunkt auf dem Weg zur irischen Unabhängigkeit, denn durch ihn kam es zu einer direkten Spaltung zwischen den gewaltbereiten Republikanern und den passiveren Nationalisten unter [[John Redmond]] und „seiner“ [[Irish Parliamentary Party]], die durch demokratische parlamentarische Arbeit die Genehmigung der (3.) [[Home Rule]] erreicht hatten.
Politisch wurde der Aufstand erst zum Erfolg durch den Fehler des Generalkommandanten der Britischen Streitkräfte in Irland, Sir [[John Grenfell Maxwell]], der die gefangengenommenen Kommandeure der Irisch Republikanischen Armee exekutieren ließ. Mit Bekanntwerden der Exekutionen schwenkte die Sympathie der irischen Bevölkerung auf die Seite der Republikaner über.

== Planung des Aufstands ==
[[Datei:Easter_Proclamation_of_1916.png|thumb|150px||Die [[Oster-Proklamation]]]]
Während der Osteraufstand hauptsächlich durch die Irish Volunteers (IV) ausgeführt wurde, wurde er doch von der [[Irish Republican Brotherhood]] (IRB) geplant. Kurz nach Ausbruch des [[Erster Weltkrieg|Ersten Weltkrieges]] am 4. August 1914 trafen sich die ranghöchsten Mitglieder der IRB unter der Maxime „Englands Schwierigkeiten sind Irlands Chancen“ und beschlossen die Durchführung von Aktionen vor Ende des Kriegs. Zu diesem Zweck formierte der Kassenwart der IRB [[Thomas J. Clarke|Tom Clarke]] ein militärisches Komitee (ursprünglich Patrick Pearse, [[Eamonn Ceannt]] und [[Joseph Plunkett]]; kurz darauf stießen [[Sean MacDermott]] und er selbst dazu) zur Planung des Aufstands. Jede dieser Personen war Mitglied der IRB und, mit Ausnahme von Clarke, der Irish Volunteers. Die IRB hatte seit der Gründung der Irish Volunteers 1913 versucht, die Kontrolle über die Volunteers zu erlangen, indem sie, wann immer möglich, IRB-Mitglieder in höhere Ränge brachte. Dies führte bis 1916 dazu, dass ein Großteil der Volunteer-Führerschaft gewaltbereite und ergebene Republikaner waren. Eine wichtige Ausnahme war allerdings Gründer und Stabschef [[Eoin MacNeill]], der gegen jede risikoreiche Rebellion war. Die IRB hoffte daher, ihn entweder auf ihre Seite ziehen (notfalls durch Arglist), oder ihn einfach umgehen zu können. Mit beiden Plänen hatte die IRB nur wenig Erfolg.

Der Plan für einen Aufstand nahm die erste große Hürde, als der Sozialist James Connolly, Kopf der Irish Citizen Army (ICA) und vollkommen ohne Ahnung von den Plänen der IRB, mit einem „eigenen“ Aufstand drohte, falls andere Gruppen nicht für die Unabhängigkeit kämpfen würden. Da die ICA kaum mehr als 200 Männer stark war, wäre jeder eigenständige Aufstand von vornherein zum Scheitern verurteilt, was auch die Chancen eines Aufstands durch die Volunteers stark vermindert hätte. Daher trafen sich die Führer der IRB mit Connolly und überzeugten ihn, sich ihnen anzuschließen. Sie einigten sich darauf, am kommenden Osterfest zusammenzuarbeiten.

Bei dem Versuch, Informanten und natürlich den eigentlichen Führer der Volunteers zu täuschen, befahl Pearse Anfang April dreitägige „Manöver und Paraden“ der Volunteers ab Ostersonntag. Während die wahren Republikaner innerhalb der Volunteers genau wussten, was das zu bedeuten hatte, hoffte man, dass MacNeill oder die britischen Kräfte in [[Dublin Castle]] diese Ankündigung wörtlich nehmen würden. Doch war diese Ankündigung zu offensichtlich und MacNeill bekam Wind von der Sache. Er drohte damit, alles Mögliche zu unternehmen, um diesen Aufstand zu verhindern. Als MacNeill von MacDermott allerdings erfuhr, dass Deutschland zugesagt hatte, irisch-britische [[Kriegsgefangene]], die sich dazu bereit erklärt hatten, nach Irland zu transportieren und etwa 40.000 [[Frankreich|französische]] und [[Russland|russische]] Beutegewehre mit einem alten [[Trawler]] namens [[Libau (1911)|''Aud'']] am [[Karfreitag]] in Irland ([[County Kerry|Grafschaft Kerry]]) anzulanden, war MacNeill kurzfristig bereit, dem Aufstand zuzustimmen. Diese Vereinbarung mit Deutschland wurde von Sir [[Roger Casement]] und der IRB eingefädelt. Die Landung schlug fehl, weil Ort und Zeit nicht gut koordiniert waren. Als MacNeill davon erfuhr, kehrte er zu seiner ursprünglichen Haltung zurück und erstellte zusammen mit „freundlich gesinnten“ Kollegen, u. a. [[Bulmer Hobson]] und [[The O'Rahilly]], einen Widerruf an alle Volunteers mit der Absage aller Aktionen am Sonntag. Dies führte zwar zu einer stark reduzierten Anzahl an Volunteer-Beteiligten am Aufstand (ca. 1.000), konnte diesen aber nicht verhindern, sondern lediglich um einen Tag verschieben.

Dass der Osteraufstand einem Selbstmord-Kommando gleichkam, war selbst Patrick Pearse bewusst. Einige Zeit vorher sagte er seiner Mutter: „Der Tag wird kommen, an dem ich erschossen werde, und meine Kameraden mit mir“. Als seine Mutter nach ihrem anderen Sohn William, ebenfalls ein extremer Nationalist, fragte, soll Pearse geantwortet haben: „Willie? Erschossen, wie die anderen. Wir werden alle erschossen.“ James Connolly soll einst angemerkt haben: „Die Chancen gegen uns stehen 1 zu 1000.“

== Der Aufstand ==
Der Plan, größtenteils von Plunkett ausgearbeitet (aber auch sehr ähnlich dem unabhängigen Plan von Connolly), war die Besetzung von Knotenpunkten und strategischen Gebäuden innerhalb Dublins, um die Stadt abzusperren und für den unvermeidbaren Gegenangriff der britischen Armee gerüstet zu sein. Dann, so hoffte man, sollte eines von drei Szenarien eintreten: Die irische Nation erhebt sich ebenfalls und unterstützt den Angriff; die Briten erkennen die Unmöglichkeit, Irland weiter zu regieren, und ziehen ab; oder - als letzte Hoffnung - würden die Deutschen den Rebellen doch noch irgendwie zu Hilfe kommen.

=== Ostermontag ===
Start der Operation war 12 Uhr mittags, und da es ein Feiertag war, waren größere Menschenmengen auf den Straßen, die die kleineren Gruppen der Volunteers und der Irish Citizen Army bewaffnet zu ihren Einsatzorten marschieren sahen.

Es folgte die Verlesung der [[Oster-Proklamation]] außerhalb des Hauptpostamtes in Dublin in der Sackville Street (heute: [[O'Connell Street]]), Dublins Hauptstraße und die weltweit breiteste [[Georgianische Architektur|georgianische Allee]]. Dies markierte den eigentlichen Beginn des Aufstands. Nach der Verlesung, die von vorbeigehenden Menschen mit Staunen und auch etwas Hohn bedacht wurde, begaben sich Pearse und weitere Anführer in das Hauptpostamt, brachten es in ihre Gewalt und richteten dort ihr Hauptquartier ein.

Im Grunde verlief die gesamte Operation problemlos: fünf größere Gebäude oder Gebäudekomplexe nördlich des Flusses [[Liffey]], neun südlich davon, und einige Eisenbahnstationen wurden besetzt.

Die Dublin-Division der Volunteers war in vier [[Bataillon]]e aufgeteilt – jedes unter dem Kommando eines loyalen IRB-Kommandanten. Ein behelfsmäßiges 5. Bataillon wurde aus Teilen der anderen sowie mit der Hilfe der Irish Citizen Army gebildet. Dieses Bataillon war es, das das Hauptpostamt in Dublin (GPO) besetzte. Jenem gehörten unter anderem der Präsident und befehlshabende Kommandant der IRB, Patrick Pearse,an, der Kommandant der Dublin-Division und Führer der ICA James Connolly, [[Tom Clarke]], Sean MacDermott, Joseph Plunkett sowie ein junger Hauptmann namens [[Michael Collins (Irland)|Michael Collins]]. Zwischenzeitlich hatte das 1. Bataillon unter [[Ned Daly]] das Gerichtsgebäude [[Four Courts]] sowie Gebiete im Nordwesten belagert; das 2. Bataillon unter [[Thomas MacDonagh]] besetzte Jacobs Biscuit Factory südlich der Innenstadt; im Osten kommandierte [[Eamon de Valera]] die Boland´s Bäckerei, und das 4. Bataillon unter Eamonn Ceannt eroberte das Gebäude ''South Dublin Union'' im Südwesten. Mitglieder der ICA besetzten unter [[Michael Mallin]] und [[Constance Markievicz]], der einzigen Frau, die in führender Position an dem Aufstand teilnahm, auch [[St. Stephen's Green]] und [[Dublin City Hall]].

Der Versuch, Dublin Castle zu erobern, schlug fehl. Ein anderer Versuch, eine größere Menge an Waffen und Munition aus einem Waffenlager im [[Phoenix Park]] zu stehlen, war ebenfalls nicht erfolgreich – nur wenige Waffen konnten erobert werden. Hingegen gelang es den Rebellen, Telefonleitungen zu kappen, sodass Dublin Castle für einige Zeit nahezu isoliert war.

Da der Widerruf von MacNeill dazu führte, dass der Aufstand nahezu nur in Dublin stattfand, ging das Kommando aller beteiligten Rebellen an Connolly über, der zudem das beste taktische Verständnis der Gruppe hatte. Connolly wurde während des Aufstandes schwer verwundet, kommandierte seine Leute aber auch weiterhin, indem er sich in einem Bett herumtragen ließ. Seine größte Fehleinschätzung war allerdings die Annahme, dass eine kapitalistische Regierung niemals [[Artillerie]] gegen ihren eigenen Besitz (sprich: Gebäude) einsetzen würde; innerhalb von 48 Stunden hatten die Briten ihn vom Gegenteil überzeugt. Dabei beschossen sich zwei britische Kanonenboote gegenseitig, da sie annahmen, die einschlagenden Granaten kämen von den Rebellen.

Die Briten gingen jedoch langsam gegen die Rebellen vor, waren sie doch unsicher, mit wie vielen Aufständischen sie es zu tun hatten. Sie forderten Truppen aus dem Militärlager [[Curragh (Irland)|Curragh]] und anderen Orten außerhalb von Dublin sowie Unterstützung aus [[London]] an. Dort führte Lord French, ein Ire und begeisterter Unionist, den Oberbefehl und schickte nicht weniger als vier Divisionen nach Irland. Die britische Politik wurde zu dieser Zeit auf den Kopf gestellt. Die Besänftigungspolitik gegenüber Irland war vergessen, es ging nur noch darum, die Rebellen schnell und vollständig zu vernichten. Doch nicht nur die Briten tappten im Dunkel – auch die Rebellen hatten keine Funkverbindungen zwischen ihren besetzten Stellungen. Den Rebellen (ca. 1.000 Irish Volunteers und um die 200 Mitglieder der ICA) standen ungefähr 4.500 britische Soldaten und 1.000 Polizeikräfte gegenüber.

=== Dienstag ===
Aus militärischer Sicht war der Dienstag vergleichsweise ruhig. Die Briten näherten sich vorsichtig den Stellungen, um die Gebiete zu sichern und die Anführer im Hauptpostamt zu isolieren. [[Artillerie]] wurde im [[Trinity College (Dublin)|Trinity College]] in Stellung gebracht. Plünderungen durch die Bevölkerung begannen. Die Spannungen innerhalb der beiden beteiligten Gruppen nahmen allerdings zu, als ein Offizier der Volunteers den Befehl gab, Plünderer zu erschießen – ein Befehl, der zornig von James Connolly widerrufen wurde. Das [[Ausnahmezustand|Kriegsrecht]] wurde über Dublin verhängt, und der britische Nachschub erreichte Kingstown. Die Greueltaten des Aufstands begannen damit, dass ein britischer Offizier mit dem Namen Bowen-Colthurst drei harmlose Journalisten „auf der Flucht“ erschießen ließ – eine Phrase, die nicht nur in Irland in trauriger Regelmäßigkeit verwendet werden sollte.

=== Mittwoch ===
Am Mittwochmorgen waren die Rebellen 20 zu 1 in der Unterzahl, und die Briten begannen nun ihrerseits, ernsthaft anzugreifen. Der erste Vorstoß galt [[Liberty Hall]] – das Gebäude, [[Hauptquartier]] der Labour Party und der Gewerkschaft, wurde durch die Bombardierung des Kanonenboots „Helga“ zerstört. Da die Rebellen dies vorausgesehen hatten, war das Gebäude zu dieser Zeit bereits leer. Der britische Beschuss war sehr ungenau, so dass auch diverse andere Gebäude getroffen und viele Zivilisten getötet wurden. Die Armee setzte nun auch Artillerie ein: teilweise sogar gegen einzelne Heckenschützen. Vielerorts in Dublin brannte es und die Dubliner Bevölkerung hungerte aufgrund des fehlenden Nahrungsnachschubs. Zu diesem Zeitpunkt war der Aufstand zu einem richtigen Krieg geworden, bei dem kein Versuch unternommen wurde, Zivilisten zu schützen und Opfer unter ihnen zu vermeiden. Die britische Unterstützung aus Kingstown geriet bei ihrem Marsch in die Stadt in einen Hinterhalt der De Valeras-Division, erlitt heftige Verluste, konnte sich aber aufgrund ihrer zahlenmäßigen Überlegenheit ihren Weg in die Stadt erkämpfen. In St. Stephen's Green befanden sich zu dieser Zeit keine Rebellen mehr. Die Park-Besetzung stellte sich im Nachhinein als unklug heraus, als ein Teil der britischen Armee Stellung im Shelbourne Hotel, an der nord-östliche Ecke des Parks, bezog, von der aus sie den ganzen Park überblicken und sogar in die Schützengräben schießen konnte. Die Rebellen zogen sich ins Royal College of Surgeons zurück und errichteten dort ihre Stellung erneut.

=== Donnerstag ===
Am 4. Tag des Aufstandes traf der neue britische Oberbefehlshaber Sir John Maxwell in Irland ein. Obwohl er die Countess Markiewicz zu seiner weitläufigen Verwandtschaft zählte, hatte er doch keinerlei Wissen über die aktuelle politische Situation in Irland, und so kam es, dass er (unwissend) mehr dafür tat, die britische Herrschaft in Irland zu untergraben, als es alle Rebellen zusammen geschafft hätten. Sein Befehl - erteilt durch den britischen [[Premierminister]] [[Herbert Henry Asquith]] - war es, die Rebellion schnellstmöglich zu beenden. Dies tat er schließlich auch – ungeachtet der politischen Konsequenzen.

Die Unterstützung aus England, großteils unerfahrene Männer, war nun im Einsatz. Als sie entdeckten, dass viele der Männer der Irish Republican Army (wie sie sich fortan nennen sollten) keine Uniform trugen, begannen sie damit, auf Verdacht männliche Zivilisten zu erschießen, die ihnen begegneten.

An diesem Tag begannen die Angriffe auf Bolands Bäckerei, die Volunteer-Division in ''South Dublin Union'' verlor Gelände, und die Bombardierung des Hauptpostamts, das vollständig ausbrennen sollte, startete. Zweimal wurde Connolly an diesem Tag verwundet – die erste Wunde konnte er noch vor seinen Männern verbergen, die zweite Verletzung, einer seiner Füße war zerschmettert, war dafür zu schwerwiegend. Doch unter Morphium kommandierte er weiter, so gut es eben ging. Aufgrund des andauernden Beschusses in den Straßen und der oft unterbrochenen Wasserversorgung vereinigten sich die Brände in Dublin zu Großbränden, derer man nicht mehr Herr werden konnte. Am Donnerstag hatte noch keine Stellung der Rebellen kapituliert.

=== Freitag ===
Am Freitag befahl Connolly den Frauen unter den Rebellen, das Hauptpostamt zu verlassen, das nun komplett isoliert war und brannte. Später am Tag konnten er und die verbleibenden Rebellen das nahezu überall brennende und fast kollabierende Gebäude unbemerkt verlassen. Sie fanden Unterschlupf in einem nahegelegenen Haus, während die Briten weiter das leere Postamt bombardierten. In der King's Street fand ein letztes großes Gefecht statt. 5.000 britische Soldaten, ausgestattet mit gepanzerten Fahrzeugen und Artillerie, benötigten 28 Stunden, um knapp 150 Meter gegen 200 Rebellen vorzurücken. Bei diesem Kampf erstach das britische ''South Staffordshire Regiment'' Zivilisten und erschoss Menschen, die sich in Kellern versteckten.

=== Samstag ===
Am Morgen des 29. April war der Aufstand zu Ende. Pearse und Connolly ordneten aus ihrem neuen Stützpunkt in der Moore Street die bedingungslose Kapitulation an, nachdem sie zu der Erkenntnis gekommen waren, dass alles, was jetzt noch erreicht werden könnte, der Tod von weiteren Zivilisten war.

== Konsequenzen ==
[[Datei:IrishFlagGPO.JPG|thumb|right|Die irische Flagge weht auf dem Hauptpostamt in Dublin]]

Die Opfer des Aufstands sind schwer abzuschätzen. Man geht davon aus, dass ca. 500 britische Soldaten ihr Leben ließen. Auf Seiten der Iren (einschließlich Zivilisten) dürfte es doppelt so viele Opfer gegeben haben. Der materielle Schaden innerhalb der großteils zerstörten Stadt wurde auf 2.500.000 Pfund beziffert.

Die Rebellen hatten zu dieser Zeit lediglich geringe Unterstützung durch die Bevölkerung – dies sollte sich erst durch die [[Repressalie]]n der Briten ändern. Als die gefangenen Rebellen am Sonntag von einem Gefängnis in ein anderes verlegt wurden, führte man sie zu Fuß durch Dublin, wo sie vor allem in den ärmlichen Gegenden verspottet und beschimpft wurden. Insgesamt wurden 3.000 „Verdächtige“ verhaftet. Viele von ihnen landeten in Internierungslagern in [[Wales]].

Auf direkten Befehl des Kabinetts in London war die Bestrafung schnell, geheim und brutal. Die 15 Anführer (unter ihnen alle sieben Unterzeichner der Oster-Proklamation) wurden vor ein Kriegsgericht gestellt und in der Zeit vom 3. bis 12. Mai durch Erschießen hingerichtet. Unter den Hingerichteten waren Willie Pearse (eigentlich kein Anführer; es wird angenommen, dass er aufgrund seines berühmten Bruders Patrick Pearse ebenfalls erschossen wurde), der kranke Joseph Plunkett sowie der tödlich verwundete Connolly, der auf einem Stuhl gefesselt erschossen wurde, da er nicht eigenständig stehen konnte. Die Hinrichtungen wurden erst nach ihrer Durchführung bekannt gegeben. Als dies bekannt wurde, führte es zu einer Welle der Empörung in ganz Irland, die selbst dann nicht abebbte, als Asquith diese Maßnahmen im Unterhaus verteidigte, und auch nicht, als er den Fehler eingestand und den Befehlshaber John Maxwell entließ.

Eamon de Valera retteten Glück und seine [[Vereinigte Staaten|US-amerikanische]] Herkunft vor der Hinrichtung (er war zwar Ire, wurde aber in Amerika geboren). Dies führte zu einem Aufschub seiner Hinrichtung. Als letztendlich doch seine Exekution entschieden wurde und er „an der Reihe war“, waren die Hinrichtungen aufgrund der öffentlichen Meinung (in ganz Europa) generell gestoppt. Andere Beteiligte wurden lediglich verhaftet, unter ihnen auch Michael Collins.

Die harten Maßnahmen nach der Niederschlagung des Osteraufstandes forcierten die antibritische Stimmung.

Bei den Wahlen im Dezember 1918 erlangte die von [[Sinn Féin]] getragene Unabhängigkeitsbewegung 73 der 106 irischen Sitze im britischen Unterhaus. Im Januar 1919 traten in Dublin irische Abgeordnete zu einem Nationalparlament ([[Dáil Éireann]]) zusammen, erklärten die Unabhängigkeit und richteten eine Regierung unter Eamon de Valera ein, die von Großbritannien nicht anerkannt wurde. Dies führte zum [[Anglo-Irischer Krieg|Anglo-Irischen Krieg]].

Mit der [[Home Rule|Government of Ireland Bill]] (1920), die je ein Parlament für Nord- und [[Südirland]] mit begrenzter rechtlicher Autonomie vorsah und das [[Britisches Parlament|britische Parlament]] als letzte Instanz betrachtete, suchte die britischen Regierung unter Premier [[Lloyd George]], mit dem Preis der Teilung der Insel, den Unabhängigkeitsforderungen entgegenzukommen.

Am 11. Juli 1921 führten die Verhandlungen mit de Valera einen Waffenstillstand herbei und mündeten am 6. Dezember 1921 in den [[Anglo-Irischer Vertrag|Anglo-Irischen Vertrag]]. Nach der Annahme des Vertrages durch die Mehrheit des Dáil Éireann am 7. Januar 1922 konnte die Verfassung des „Irischen Freistaates“ am 6. Dezember 1922 in Kraft treten. Die sechs mehrheitlich protestantischen Grafschaften Ulsters erklärten durch Volksentscheid, als „[[Nordirland]]“ Teil des Vereinigten Königreiches bleiben zu wollen. Erst am 18. April 1949 trat die völlige Unabhängigkeit Irlands von Großbritannien in Kraft.

Der Aufstand war die Geburtsstunde der [[Irish Republican Army|IRA]]. Noch heute kämpfen die „Irische Republikanische Armee“ (IRA) und die Sinn Féin für die Vereinigung der Republik Irland und Nordirlands.

Die gefallenen Helden waren die Vorbilder der bengalischen Freiheitskämpfer, die als ''Indian Republican Army (Chittagong Branch)'' (IRA) am Karfreitag den [[Chittagong-Aufstand]] anzettelten.<ref>Sharma, Mallikarjuna I.; ''Easter Rebellion in India: the Chittagong Uprising;'' Hyderabad 1993 (zahlreiche Quellen in den Anhängen, darunter ca. 100 Kurzbiographien von Freiheitskämpfern)</ref>

== Liste der hingerichteten Anführer ==
[[Datei:Kilmainham Gaol - place of execution.JPG|miniatur|Hinrichtungsstätte im Dubliner [[Kilmainham Gaol|Kilmainham-Gefängnis]]]]
* Sir [[Roger Casement]]
* [[Thomas J. Clarke]]
* [[Eamonn Ceannt]]
* [[Cornelius Colbert]]
* [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]]
* [[Edward Daly (Revolutionär)|Edward Daly]]
* [[Sean Heuston]]
* [[Thomas Kent]]
* [[John MacBride]]
* [[Sean MacDermott]]
* [[Thomas MacDonagh]]
* [[Michael Mallin]]
* [[Michael O'Hanrahan]]
* [[Patrick Pearse]]
* [[William Pearse]]
* [[Joseph Mary Plunkett]]

== In der Kunst ==
Eine frühe und literarisch bedeutende Verarbeitung stellt [[William Butler Yeats]]’ Gedicht „Easter 1916“ dar, das den Aufstand mit dem prägnanten [[Oxymoron]] ''„a terrible beauty“'' charakterisiert.

Das Drama ''The Plough and the Stars'' von [[Sean O'Casey]], uraufgeführt 1926 am Abbey Theatre in Dublin, hat den Osteraufstand als Rahmen, zeigt aber aus der Perspektive der einfachen, armen Leute in Dublin die tragischen Auswirkungen der Ereignisse auf ihr Leben.

Der Roman ''A Star Called Henry'' von [[Roddy Doyle]] (1999) verarbeitet den Aufstand im zweiten Drittel des Buches auf interessante Weise: der Protagonist Henry, ein schlauer Straßenjunge aus ärmlichsten Verhältnissen und zu diesem Zeitpunkt 14 Jahre alt, ist als Protégé von [[James Connolly (Gewerkschafter)|James Connolly]] im GPO dabei und berichtet das Geschehen aus seiner Perspektive.

Das Lied „[[Zombie (Lied)|Zombie]]“ von [[The Cranberries]] setzt sich mit den langanhaltenden Folgen des Osteraufstandes auseinander. Das Lied "[[Rebel Heart]]" von "[[The Corrs]]", ein instrumentales Stueck fuer die vier-teilige [[BBC]] Fernseh-Serie mit dem gleichen Titel, spielt in der Zeit des Osteraufstandes im [[Anglo-Irischer Krieg|Anglo-Irischen Krieg]]. Eine umstrittene Interpretation findet Anspielungen auf den Osteraufstand in dem Lied [[Sunday Bloody Sunday]] von [[U2]].<ref>Frederick C. Millett: [https://www.msu.edu/~millettf/Easter%20Rising.pdf ''The Easter Rising and Its Effect on Irish Literature and Music.''] (PDF-Datei; 37 kB)</ref>

Eines der bekanntesten irischen Volkslieder, ''The Foggy Dew'', handelt vom Osteraufstand.

== Literatur ==
* Peter De Rosa: ''Rebellen des Glaubens. Der irische Freiheitskampf 1916-1921''. Droemer Knaur, München 1993, ISBN 3-426-77081-4
* Max Caulfield: ''The Easter Rebellion, Dublin 1916''. Gill & Macmillan, Dublin 1995, ISBN 0-7171-2293-X ''(en)''
* Tim P. Coogan: ''1916. The Easter Rising''. Cassell, London 2001, ISBN 0-304-35902-5 ''(en)''
* Michael Foy, Brian Barton: ''The Easter Rising''. Sutton Publications, Stroud 2000, ISBN 0-7509-2616-3 ''(en)''
* Conor Kostick, Lorcan Collins: ''The Easter Rising. A Guide to Dublin in 1916''. O’Brien Press, Dublin 2001, ISBN 0-86278-638-X ''(en)''
* Dorothy MacCardle: ''The Irish Republic. A Documented Chronicle of the Anglo-Irish Conflict and the Partioning of Ireland''. Wolfhound Press, Dublin 1999, ISBN 0-86327-712-8 ''(en)''
* Fearghal McGarry: ''The Rising. Ireland: Easter 1916'', [[Oxford University Press]], Oxford 2010 ISBN 978-0-19-280186-9
* Francis X. Martin (Hrsg.): ''Leaders and Men of the Easter Rising''. Methuen, London 1967 (Repr. d. Aus. Dublin 1916) ''(en)''
* Charles Townsend: ''Easter 1916: The Irish Rebellion.'' Ivan R. Dee: Chicago 2006, ISBN 978-1-56663-704-6 ''(en)''

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Blutsonntag (Irland 1920)]]
* [[Geschichte Nordirlands]]
* [[Katholizismus]], [[Protestantismus]]
* [[Terrorismus]]
* [[Bloody Friday (Belfast)|Bloody Friday]]

== Weblinks ==
* [http://www.1916rising.com Seite des irischen Historikers Lorcan Collins] über den Osteraufstand mit Tour durch das Dublin von 1916 ''(en)''
* [http://www.msu.edu/~millettf/Easter%20Rising.pdf Frederick C. Millett: The Easter Rising and Its Effect on Irish Literature and Music] (''en''; PDF-Datei; 37 kB)



[[Kategorie:Irische Militärgeschichte]]
[[Kategorie:Britische Militärgeschichte]]
[[Kategorie:Aufstand]]
[[Kategorie:1916]]

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[[be:Велікоднае паўстанне]]
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Molekülorbitaltheorie

2010-10-05T19:11:45Z

TonyMath: /* HH methode */

Die '''Molekülorbitaltheorie''' (kurz MO-Theorie) ist eine von zwei komplementären Möglichkeiten den Aufbau von Atombindungen zu beschreiben, die andere Möglichkeit ist die [[Valenzstrukturtheorie]] (VB-Theorie). Beim '''MO-Verfahren''' werden die [[Atomorbital]]e der beteiligten Atome ‚vermischt‘. Dabei spalten sie sich in bindende und antibindende Molekülorbitale auf.

Das VB-Verfahren geht von lokalisierten Bindungen aus. Mit diesem von [[Walter Heitler]], [[Fritz London]] und [[Linus Carl Pauling]] 1927 entwickelten Verfahren konnte das H2-Molekül näherungsweise berechnet werden, was als Begründung der Quantenchemie gesehen werden kann. Etwas später wurde von [[Friedrich Hund]] und [[Robert S. Mulliken]] das MO-Verfahren entwickelt, das heute für die meisten quantenchemischen Rechnungen verwendet wird.

== Physikalische Erklärung ==
Eine n-Elektronen-Wellenfunktion hat, wenn der Spin nicht beachtet wird, die allgemeine Form <math>\Psi(\vec r_1, \ldots \vec r_n)</math>. Der Betrag des Produktes mit der komplex konjugierten Funktion <math>| \Psi^{*} (\vec r_1, \ldots \vec r_n) \cdot \Psi(\vec r_1, \ldots \vec r_n)|</math> gibt die [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeitsdichte]] wieder, das erste Elektron an der Stelle <math>\vec r_1</math>, das 2-te an der Stelle <math>\vec r_2</math> usw. zu finden.

Die exakte Wellenfunktion lässt sich analytisch nicht finden. Eine zielführende Vereinfachung ist es, die Elektronen als statistisch unabhängig anzusehen. Mathematisch bedeutet das, einen Produktansatz zu verwenden <math>\Psi(\vec r_1, \ldots\vec r_n)= \prod_{i=1}^n \Psi_i(\vec r_i)</math>. Dieser Ansatz ist auch als [[Hartree-Produkt]] bekannt. Die <math>\Psi_i( \vec r_i)</math> geben die Aufenthaltsbereiche für die einzelnen Elektronen an. Sie werden als Molekülorbitale bezeichnet. Um das [[Pauli-Prinzip]] einzuhalten, wird die Wellenfunktion als [[Slater-Determinante]] (einer Summe von n Produkten) angesetzt. Dann sind die Elektronen ununterscheidbar und wechseln zwischen allen Orbitalen.

Abgesehen davon, dass MO-Schemata im Allgemeinen nicht die wahre Situation wiedergeben können, ist zu beachten, dass sie in der MO-Theorie nicht eindeutig bestimmt sind. Entscheidend ist nur die Summe über alle quadrierten Orbitale, die Elektronendichte (das ist auch die Grundlage für die [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]]). Mathematisch gesprochen ist die Wellenfunktion gegenüber einer unitären Lineartransformation invariant. Ein Beispiel dazu sind die beiden angegebenen Modelle zur Beschreibung der Doppelbindung.

== Mathematische Grundlagen ==
Gesucht werden Lösungen der [[Schrödingergleichung]] eines Moleküls. Die Rechnungen sind aber wesentlich schwieriger auszuführen als bei einem isolierten Atom. Im Normalfall, wenn mehr als ein Elektron betrachtet wird, gibt es im Sinne eines [[Dreikörperproblem]]s keine analytisch angebbaren exakten Lösungen. Daher müssen Näherungsmethoden herangezogen werden. Dafür eignen sich das VB- und das MO-Verfahren, die zu ähnlichen Ergebnissen führen.

Zur näherungsweisen Bestimmung der Molekülorbitale dient das [[Rayleigh-Ritz-Prinzip]]. Das besagt, dass wenn man mit einer beliebigen Funktion den Erwartungswert des Hamiltonoperators bildet, der Erwartungswert größer gleich dem Erwartungswert der Eigenfunktion des Hamiltonoperators mit dem geringsten Eigenwert ist. Man muss also in einer Extremwertaufgabe die Funktion mit dem tiefsten Energieerwartungswert auswählen. Diese ist dann wahrscheinlich die beste Näherung.

Einfach einen vollständigen Satz von Basisfunktionen auszuwählen, den Erwartungswert für eine allgemeine lineare Kombination dieser zu bilden und anschließend den Erwartungswert zu minimieren ist eine zu komplizierte Aufgabe. Man reduziert zur Vereinfachung des Problems das nach [[Born-Oppenheimer-Näherung]] erhaltene Mehrelektronenproblem auf ein Einelektronenproblem. Ein Möglichkeit hierfür ist die [[Hartree-Fock-Methode|Hartree-Fock]]-Self-Consistent-Field-Methode, die da es sich um ein nichlineares Problem handelt [[Iteration|iterativ]] gelöst werden muss. Die Lösungen dieser Gleichung sind Einelektronenwellenfunktionen, sogenannte Orbitale. Das Prinzip ist, dass auf jedes Elektron das gemittelte Potential aller anderen Elektronen wirkt. Die anderen Elektronen wiederum befinden sich in den Orbitalen, die die Hartree-Fock-Gleichung beschreibt, weshalb man die Methode auch Self-Consisting-Field-Methode nennt.

Wichtig ist auch die [[Born-Oppenheimer-Näherung]], nach der die Elektronen- und Kernbewegung isoliert betrachtet werden können. Somit können Elektronenverteilung und Schwingung getrennt behandelt werden.

== VB-Verfahren ==
Die [[Valenzstrukturtheorie]] (VB-Theorie oder VB-Verfahren von engl. ''valence bond'') nach [[Walter Heitler]], [[Fritz London]], [[John C. Slater]] und [[Linus Carl Pauling]] geht von lokalisierten Bindungen aus. Sie wird durch die üblichen Strukturformeln (u.U. mit [[Mesomerie]]) repräsentiert. Sie war historisch entscheidend für das Verständnis der chemischen Bindungen. Heutige Rechnungen werden eher mit der MO-Methode durchgeführt.

Rechnerisch werden die Elektronen in verschiedener Art auf die Atomorbitale verteilt und die Linearkombination dieser Valenzstrukturen gebildet, die die geringste Energie besitzt und daher gemäß dem [[Variationsprinzip]] die beste Näherung ist.

Ein entscheidendes Prinzip bei der VB-Theorie ist Promotion der Elektronen und [[Hybridorbital|Hybridisierung]] der Orbitale.

== MO-Verfahren ==
Das MO-Verfahren (von engl. ''molecular orbital'') nach [[Friedrich Hund]] und [[Robert S. Mulliken|Robert Sanderson Mulliken]] ordnet alle Elektronen des Moleküls einem Satz Molekülorbitalen zu. Die Veranschaulichung erfolgt durch [[Atommodell|Elektronenwolken]], die meist über das gesamte Molekül delokalisiert sind.

Molekülorbitale können als [[Linearkombinationen]] zu einer endlichen Basis angesetzt werden. Dann werden in einem erweiterten [[Eigenwertproblem]] die Molekülorbitale bestimmt. Als Basis können, wie von Lennard-Jones vorgeschlagen, die Atomorbitale der isolierten Atome im Sinne der '''LCAO'''-Näherung (''Linear Combination of Atomic Orbitals'') verwendet werden.

Grundsätzlich könnten beliebige Funktionen als Basis herangezogen werden. Gute Lösungen mit wenig Rechenaufwand werden erhalten, wenn physikalisch sinnvolle Funktionen verwendet werden. Dafür eignen sich, wie Lennard-Jones als erster feststellte, die Atomorbitale, die in isolierten Atomen die Elektronen richtig beschreiben. Man spricht dann von LCAO. Zur Verbesserung können auch die Atomorbitale variiert werden oder weitere Funktionen in den Basissatz eingeschlossen werden.

Das MO-Verfahren kann bei kleinen symmetrischen Molekülen intuitiv verstanden werden. Aus Symmetriegründen ergeben sich die Molekülorbitale aus Addition bzw. Subtraktion der Atomorbitale. Bei komplizierteren Molekülen setzen sich die Molekülorbitale als Linearkombination von verschiedenen Atomorbitalen zusammen. Genau genommen wechselwirken auch schon in der zweiten Periode die 2s und 2pz-Orbitale, sodass auch schon dort kompliziertere Linearkombinationen erhalten würden. Bei konjugierten π-Systemen stellt die [[Hückel-Näherung]] eine Methode zur groben Bestimmung von MOs dar.

Ein grundsätzlicher Fehler dieser Methode ist, dass die Elektronen (bis auf Einhaltung des [[Pauli-Prinzip]]s) als statistisch unabhängig voneinander gesehen werden. Viel aufwendigere [[korrelierte Rechnungen]], v. a. CI (configuration interaction), beachten auch die Elektronen-Korrelation.

=== Zeichnen von LCAO-MO-Diagrammen ===
Qualitative LCAO-MO-Diagramme können auch ohne Rechnung gezeichnet werden. Zu beachten ist, dass bei der Linearkombination zweier AOs ein bindendes MO mit tieferer Energie als das tieferliegende AO und ein antibindendes MO mit höherliegender Energie als das höherliegende AO gebildet werden. Die Aufspaltung wird in erster Näherung von der Überlappung bestimmt. So kann man z. B. vorhersagen, dass eine σ-Bindung stärker aufspaltet als eine π-Bindung.

== {{Anker|sigma-Bindung}}{{Anker|σ-Bindung}}σ-Bindung ==
{| class="prettytable float-right" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
| σ-Bindung
|-
| [[Datei:Dihydrogen-HOMO-phase-3D-balls.svg|50px|Molekülorbital von H2]] Molekülorbital von H2
|-
| [[Datei:Molecular orbitals sq.svg|100px]] s-q-MO
|-
| [[Datei:Molecular orbital of hydrogen fluoride.svg|130px]] s-p-MO
|-
| [[Datei:Molecular orbital of acetylene.svg|180px]] q-q-MO
|-
|}
Als σ-Bindung wird eine Bindung bezeichnet, die rotationssymmetrisch zur Bindungsachse ist. Anders ausgedrückt werden Orbitale mit der magnetischen Quantenzahl ml = 0 kombiniert, d. h. s-, p-, dz2-Orbitale und Mischungen ([[Hybridorbital|Hybride]]) aus diesen. Hybridorbitale werden für gewöhnlich unabhängig von der Hybridisierung als q-Orbitale bezeichnet.

''Beispiele:''
* Das [[Wasserstoff]]-Molekülorbital entsteht durch Überlappung der 1s-Orbitale der Wasserstoffatome. Die kleinen Kreise entsprechen dem Bindungsabstand, die großen Kreise dem Atomradius.
* Im [[Wassermolekül]] verbinden sich die 1s-Orbitale von zwei Wasserstoffatomen mit je einem sp3-[[Hybridorbital]] des [[Sauerstoff]]-Atoms zu zwei σ-Bindungen. Die vier Orbitale der bindenden und nichtbindenden Elektronenpaare sind nach den Ecken eines Tetraeders ausgerichtet. Die rot eingezeichneten [[Elektronenpaar]]e befinden sich in den Atomorbitalen und die grauen Elektronenpaare in den Molekülorbitalen.
* Im [[Fluorwasserstoff]] verbindet sich das kugelige 1s-Orbital des Wasserstoffatoms mit dem hantelförmigen px-Orbital des Fluoratoms zu einem Molekülorbital mit ungleichen Orbitalhälften. (Die nichtbindenden py- und pz-Orbitale sind nicht eingezeichnet.)
* Im [[Ethin]] verbinden sich zwei sp-Hybridorbitale der Kohlenstoffatome zu einem Molekülorbital, die anderen Hybridorbitale bilden mit den 1s-Orbitalen der Wasserstoffatome ebenfalls je ein Molekülorbital, die py- und pz-Orbitale der C-Atome, die nicht zur Hybridisierung der Atomorbitale benutzt wurden, stehen senkrecht zur Bindungsachse und bilden zwei π-Bindungen (siehe unten). (In der Abbildung sind zusätzlich zu den Molekülorbitalen die p-Orbitale als schwarze Linien angedeutet)
 

== Das Molekülorbital der Doppelbindung ==
Es ist [[Spiegelsymmetrie|spiegelsymmetrisch]] bezüglich der Bindungsachse.
=== σ-π-Modell ===
[[Datei:Liaison pi.svg|hochkant=1.5|miniatur|Molekülorbital der π-Bindung im [[Ethen]]]]
Eine Doppelbindung besteht aus einer σ-Bindung und aus einer π-Bindung, wobei die Bindungspartner im sp2-hybridisierten Zustand vorliegen: drei Hybridorbitale weisen in die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, senkrecht dazu steht das pz-Orbital, das nicht für die Hybridisierung verwendet wurde. Die σ-Bindung entsteht durch Überlappung zweier Hybridorbitale, die π-Bindung entsteht durch Überlappung der zwei pz-Orbitale. Da beide pz-Orbitale parallel zu einander stehen müssen, entsteht ein neues Molekülorbital mit einer [[Knoten (Chemie)|Knotenebene]].

Das π-Molekülorbital wird durch Kombination von Orbitalen mit |ml| = 1 gebildet. Es enthält eine Knotenebene in der Kernachse.

Beispiel [[Ethen]]: Die beiden Hälften des π-Molekülorbitals liegen ober- und unterhalb der Ebene der σ-Bindungen (blau, die C-C- und H-C-Sigma-Bindungen sind nur als schwarze Linien dargestellt).

Beispiel [[Ethin]]: Die Bindungssituation im Ethin (Trivialname Acetylen), das eine Dreifachbindung enthält, setzt sich aus einer <math>\sigma</math>-Bindung, die zwischen der Kernverbindungsachse lokalisiert ist, und zwei <math>\pi</math>-Bindungen zusammen.

=== τ-Modell ===
{| class="prettytable float-right" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
| τ-Modell
|-
| [[Datei:Ethene tau orbitals.svg|250px|Molekülorbitale nach dem τ-Modell]] Molekülorbitale nach dem τ-Modell
|-
|}
Eine selten angewandte Methode zur Beschreibung von Doppelbindungen ist das τ-Modell. s- und p-Orbitale werden zuerst gemischt (beide C-Atome sind sp³-hybridisiert) und aus den beiden Hybridorbitalen die Doppelbindung zusammengesetzt. Die τ-Bindungen entstehen durch Überlappung von jeweils zwei Hybridorbitalen, es bilden sich zwei spiegelbildliche Molekülorbitale („[[Bananenbindung|Bananen-Bindungen]]“). Es zeigt sich, dass das τ-Modell Bindungswinkel und -längen passend wiedergibt.

Die Unterscheidung ist nur in der VB-Theorie sinnvoll. Bei einer LCAO-Methode gehen die beiden Modelle ineinander über, da in beiden Fällen in der Summe die gleiche Elektronendichte erhalten wird. Diese ist das einzig relevante.

=== Delokalisation ===
{| class="prettytable float-right" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
| Konjugierte π-Bindung
|-
| [[Datei:Butadiene-HOMO-minus-1-Spartan-3D-balls.png|150px|Delokalisiertes Molekülorbital bei 1,3-Butadien]] Delokalisiertes Molekülorbital bei [[1,3-Butadien]]
|-
|}
[[Delokalisation]] tritt dann auf, wenn ein Molekül mehrere Doppelbindungen enthält, die [[Konjugation (Chemie)|''konjugiert'']] sind. Das heißt, dass zwischen ihnen immer genau eine Einfachbindung ist. Dazu müssen alle pz-Orbitale zueinander parallel und in direkter Nachbarschaft stehen. Dann können alle pz-Orbitale zu einem einzigen Molekülorbital kombiniert werden, was quantenmechanisch bewiesen werden kann.
 

== Beispiele in chemischen Verbindungen ==
=== Wasserstoff ===
{| class="prettytable float-right" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
! colspan="2" | Wasserstoff
|- class="hintergrundfarbe5"
| bindend
| antibindend
|-
| [[Datei:Wave functions binding.svg|Additive Überlagerung der Wellenfunktion|200px]] Additive Überlagerung der Wellenfunktion
| [[Datei:Wave functions anti-binding.svg|Subtraktive Überlagerung der Wellenfunktion|200px]] Subtraktive Überlagerung der Wellenfunktion
|-
| [[Datei:Dihydrogen-HOMO-phase-3D-balls.svg|150px|Bindendes Molekülorbital]] Bindendes Molekülorbital
| [[Datei:Dihydrogen-LUMO-phase-3D-balls.png|150px|Antibindendes Molekülorbital]] Antibindendes Molekülorbital
|-
|- class="hintergrundfarbe6"
| colspan="2" | Besetzung der Molekülorbitale von Wasserstoff und Helium
|- class="hintergrundfarbe5"
| Wasserstoff
| Helium
|-
| [[Datei:Wasserstoff-Orbitale.svg|240px|Besetzung beim Wasserstoff]] Besetzung beim Wasserstoff
| [[Datei:Helium-Orbitale.svg|220px|Besetzung beim Helium]] Besetzung beim Helium
|-
|}
Die zur Bindung notwendigen einsamen Elektronen befinden sich jeweils im 1s-Orbital der beiden Atome Ha und Hb, das durch die Eigenfunktionen ψa(1s) und Ψb(1s) beschrieben wird.

Die Addition der Wellenfunktionen ψa(1s) + ψb(1s) ergibt ein rotationssymmetrisches ''bindendes'' Molekülorbital ( σ(1s) ) mit erhöhter Ladungsdichte zwischen den Kernen der Bindungspartner. Durch die Anziehung der Kerne durch die Ladung hält das Molekül zusammen.

Die Subtraktion der Wellenfunktionen ψa(1s) - ψb(1s) ergibt ein ''antibindendes'' Molekülorbital ( σ*(1s) ) mit einer Knotenebene zwischen den Kernen der Bindungspartner. Durch die resultierende geringe Elektronendichte zwischen den Kernen kommt es zu einer Abstoßung der Atome.

Die Molekülorbitale können (wie die Atomorbitale) mit maximal zwei Elektronen entgegengesetzten Spins besetzt werden. Da jedes Wasserstoffatom jeweils ein Elektron zur Verfügung stellt, wird das bindende Molekülorbital im energieärmsten Grundzustand mit einem Elektronenpaar besetzt, während das antibindende leer bleibt. (Im angeregten Zustand ist das bindende und das antibindende Molekülorbital mit je einem Elektron besetzt.)

Ein anderes Beispiel ist [[Helium]]. Hier ist jedes 1s-Orbital bereits mit einem Elektronenpaar besetzt. Bei der Kombination dieser Atomorbitale müsste sowohl das bindende als auch das antibindende Molekülorbital mit je einem Elektronenpaar besetzt werden. Ihre Wirkungen würden sich gegenseitig aufheben, es kommt keine Bindung zustande.
 

=== Sauerstoff ===
[[Datei:MOO2.png|miniatur|hochkant=1.2|LCAO-MO-Schema von Triplett-Sauerstoff: Besetzung der Energieniveaus]]
Das LCAO-MO-Schema kann wie oben beschrieben qualitativ abgeleitet werden. Jedes Sauerstoff-Atom hat im Grundzustand sechs Valenzelektronen auf dem zweiten Hauptenergieniveau. Die zwölf Valenzelektronen eines O2-Sauerstoffmoleküls werden auf die vier bindenden (σs, σx, πy und πz) und drei der vier antibindenden Molekülorbitale (σs*, πy*, πz*) verteilt. Da zwei antibindende Orbitale mit nur einem Elektron besetzt sind (eine „halbe Bindung“), resultiert eine Doppelbindung.

Di-Sauerstoff hat im Grundzustand, einem Triplettzustand, gemäß der Hund’schen Regel zwei ungepaarte Elektronen parallelen Spins. Durch diese Elektronenverteilung lässt sich der [[Paramagnetismus]] und der [[Radikal (Chemie)|diradikalische]] Charakter des Sauerstoffs erklären. Interessanterweise senkt der Diradikalcharakter die Reaktionsfähigkeit, da eine [[konzertierte Reaktion]] der Spinerhaltung widersprechen würde. Besonders reaktionsfähig ist der angeregte diamagnetische Singulett-Sauerstoff.

Eine weitere Folge der MO-Besetzung ist, dass es für O2 schwierig ist, eine korrekte Lewis-Formel anzugeben. Entweder wird der Diradikalcharakter vernachlässigt oder die Doppelbindung.
 

=== Butadien ===
[[Datei:Butadiene-pi-MOs-Spartan-3D-balls.png|miniatur|hochkant=2|π-System des Butadiens]]
Das π-System des [[1,3-Butadien|Butadiens]] setzt sich zusammen aus 4 pz-Orbitalen, die am Anfang mit je einem Elektron besetzt sind. Diese 4 Atomorbitale werden nun zu vier Molekülorbitalen linear kombiniert. Die Koeffizienten erhält man durch Symmetrie-angepasste-Linearkombination (SALC) oder nach der [[Hückel-Näherung|Hückel’schen Theorie]]. Dabei entstehen die rechts gezeichneten Orbitale. Die rot/blaue Färbung gibt an, ob das Orbital vor dem Quadrieren ein negatives oder positives Vorzeichen hatte. Physikalisch hat sie keine Relevanz.

Jedes dieser Orbitale kann mit 2 Elektronen besetzt werden. Es werden also die beiden unteren Orbitale voll aufgefüllt und die beiden oberen bleiben leer. Energetisch besonders günstig ist das Orbital, bei dem alle pz-Orbitale das gleiche Vorzeichen haben und sich daher die Elektronen fast frei über das ganze Molekül bewegen können.

Man erkennt die von SALC geforderte Eigenschaft, dass in jedem Molekülorbital alle Symmetrieelemente des Moleküls erhalten bleiben. Weiterhin sieht man, wie mit zunehmender Energie die Anzahl an Knotenebenen steigt.

== Bindungsordnung ==
Die Bindungsordnung bezeichnet die Zahl der effektiven Bindungen in einem Molekül. Sie ist die Hälfte der Differenz der bindenden und der antibindenden Valenzelektronen (s. [[Bindungsordnung]]).
Sie ist einfach abzulesen, da sie gleich der Anzahl der Bindungsstriche in der Lewis- Schreibweise der Verbindung ist.

== Siehe auch ==
* [[Konjugation (Chemie)]]
* [[Mesomerie]]
* [[Aromaten]]
* [[Bindungsordnung]]
* [[Holstein-Herring Methode]]

== Weblinks ==
* [http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/software/index.html MolecuLab, ein Flashprogramm mit Animationen zu Molekülorbitalen und ihrer Entstehung]
{{commonscat|Molecular orbitals|Molekülorbitale}}

[[Kategorie:Chemische Bindung]]
[[Kategorie:Theoretische Chemie]]

[[en:Molecular orbital theory]]
[[es:Teoría de los orbitales moleculares]]
[[fa:تئوری اوربیتال مولکولی]]
[[fi:Molekyyliorbitaaliteoria]]
[[fr:Théorie de l'orbitale moléculaire]]
[[it:Teoria degli orbitali molecolari]]
[[ko:분자궤도함수 이론]]
[[nl:Molecuulorbitaaltheorie]]
[[pt:Teoria dos orbitais moleculares]]
[[ru:Теория молекулярных орбиталей]]
[[tr:Moleküler orbital teorisi]]
[[zh:分子轨道理论]]

Lambertsche W-Funktion

2010-06-20T17:11:49Z

TonyMath: /* Diwasserstoff-Kation */

[[Datei:lambertw.png|thumb|288px|right|Der Graph von <math>W(x)</math> für <math>-1/e\le x\le 4</math>]]

In der [[Mathematik]] ist die '''lambertsche W-Funktion''' (oder ''Lambert-W-Funktion''), auch '''Omegafunktion''', benannt nach [[Johann Heinrich Lambert]], die [[Umkehrfunktion]] von
: <math>f(x):= x e^x,\,</math>
wobei <math>e^x</math> die [[Exponentialfunktion]] ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit <math>W(x)</math> bezeichnet. Es gilt
: <math>z = W(z)e^{W(z)}, z\in\mathbb C.</math>

== Eigenschaften ==
Da die Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>\left(-\infty,0\right]</math> nicht [[Injektivität|injektiv]] ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall <math>\left[-\tfrac 1e,0\right)</math> zwei Funktionsäste. Mit <math>W(x)</math> wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet. Die W-Funktion kann nicht als [[elementare Funktion]] ausgedrückt werden. Zumeist wird sie in der [[Kombinatorik]] verwendet, beispielsweise zur Auswertung von [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] oder zur [[Asymptote|asymptotischen]] Bestimmung der [[Bell-Zahl]]en.
Die Ableitungsfunktion der W-Funktion kann mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion gefunden werden:
: <math>W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}.</math>
Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form
: <math>\frac{\mathrm{d}^n W(x)}{\mathrm{d}x^n}=\frac{(-1)^{n+1} W^n(x)}{x^n (1+W(x))^{2n-1}}\cdot P_n(W(x)),</math>

wobei die <math>P_n</math> Polynome sind, welche sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:
: <math>P_{n+1}(t) = (n t+ 3n-1)\cdot P_n(t)-(t+1)\cdot P_n'(t), \quad n \ge 1.</math>

Ausgehend von <math>P_1(t)=1</math> ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:
: <math>W''(x)\,\,=-\frac{W^2(x)}{x^2 (1+W(x))^3}\cdot (W(x)+2),</math>
: <math>W^{(3)}(x)=+\frac{W^3(x)}{x^3 (1+W(x))^5}\cdot (2W^2(x)+8W(x)+9),</math>
: <math>W^{(4)}(x)=-\frac{W^4(x)}{x^4 (1+W(x))^7}\cdot (6W^3(x) +36W^2(x) +79W(x) +64).</math>

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des gesamten Integranden:
: <math>\int W(x)\, \mathrm dx = x \left(W(x) - 1 + \frac 1{W(x)} \right) + C.</math>

Durch implizite Differentiation kann man zeigen, dass W folgender [[Differentialgleichung]] genügt:
: <math>z(1+W)\frac{\mathrm dW}{\mathrm dz}=W\quad\text{mit }z\neq -\frac 1e.</math>

Die [[Taylor-Reihe]] von <math>W</math> in <math>x_0=0</math> ist gegeben durch
: <math>W(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.</math>

Der [[Konvergenzradius]] beträgt <math>\tfrac 1e</math>.

== Spezielle Werte ==

: <math>W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\mathrm i\pi} 2</math>
: <math>W\left(-\frac 1e\right) = -1</math>
: <math>W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2</math>
: <math>W\left(0\right) = 0</math>
: <math>W\left(1\right) = 0{,}5671432904... = \Omega</math>   (die [[Omega-Konstante]]<ref>''[[:en:Omega constant|Omega constant]]'' in der englischsprachigen Wikipedia</ref>)
: <math>W\left(e\right) = 1</math>

=== Eigenschaften ===

* <math>\int_{0}^{\pi} W\left( 2\cot^2(x) \right)\sec^2(x)\,\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = \sqrt{2\pi}</math>

* <math>\int_{0}^{+\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\,\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}</math>

== Verwendung außerhalb der Kombinatorik ==

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus
: <math>a(x)e^{a(x)}=y</math>
zu lösen (<math>a(x)</math> ist ein beliebiger, von <math>x</math> abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung
: <math>x^x=z</math>
kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet
: <math>x=\frac{\ln z}{W(\ln z)}=\exp\left(W(\ln z)\right).</math>

Der infinite (unendliche) [[Potenzturm]]
: <math>\operatorname{expturm}(x):=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>
kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden, was auch die Ableitung ermöglicht:
: <math>\operatorname{expturm}(x)=\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}.</math>

=== Verallgemeinerungen ===
Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in ''x'') folgender Form ausdrücken:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\quad(1)
</math>
wobei ''a''0, ''c'' und ''r'' reelle Konstanten sind. Die Lösung ist <math> x = r + \frac{1}{c} W \left( \frac{c e^{-c r}}{a_0 } \right)</math>. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion<ref>T.C. Scott, R.B. Mann: ''General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function''. In: ''AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing)'', '''17''' no. 1, April 2006. p.41–47. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1127202.1127208&coll=&dl=ACM acm.org]; [http://arxiv.org/abs/math-ph/0607011 Arxiv-Artikel]</ref> umfassen:
* Eine Anwendung auf dem Gebiet der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Quantenmechanik]] in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe ''Journal of Classical and Quantum Gravity'',<ref>P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott: ''N-body Gravity and the Schrödinger Equation''. In: ''Class. Quantum Grav.'' 24, 2007, p. 4647–4659. [http://www.iop.org/EJ/toc/0264-9381/24/18 iop.org]; [http://arxiv.org/abs/gr-qc/0611144v2 Arxiv-Artikel]</ref> wobei die rechte Seite von (1) nun ein quadratisches Polynom in ''x'' ist:
: <math>
e^{-c x} = a_0 (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
</math>
: Hierbei sind ''r''1 und ''r''2 voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments ''x'', aber ''r''i und ''a''0 sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der [[Hypergeometrische Funktion|hypergeometrischen]] Funktion und der Meijer G-Funktion, aber sie gehört zu einer anderen "Klasse" von Funktionen. Wenn ''r''1 = ''r''2, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, so dass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gl. (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von welchem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1+1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.
* Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des Eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (drei-dimensionalen) [[Diwasserstoff-Kation|Wasserstoffmolekül-Ions]].<ref>T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: ''New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion''. In: ''Chem. Phys.'' 324: 2006. p.323–338. [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14 sciencedirect.com]; [http://arxiv.org/abs/physics/0607081 Arxiv-Artikel]</ref> Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlicher Ordnung in ''x'':
: <math>
e^{-c x} = a_0 \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
</math>
: wobei ''r''i und ''s''i unterschiedliche reelle Konstanten sind, und ''x'' ist eine Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands ''R''. Gl. (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse [[Retardierte Differentialgleichung|retardierter Differentialgleichungen]]. Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertschen W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom-, Molekül-, und optischen Physik.<ref>T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J.D. Morgan III: ''The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions''. In: ''[[Physical Review|Phys. Rev. A]]'', 75:060101, 2007. [http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PLRAAN000075000006060101000001&idtype=cvips&gifs=yes scitation.aip.org]</ref>

== Numerische Berechnung ==

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}{2w_j+2}}</math>
berechnet werden<ref name="Corless">[http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf Corless et al.: ''On the Lambert W function''.] In: ''Adv. Computational Maths.'' 5, 1996, p. 329–359</ref>
Oder auch mit:
: <math>w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}+e^{w_j} w_j}</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

[[en:Lambert W function]]
[[es:Función W de Lambert]]
[[fa:تابع لامبرت دابلیو]]
[[fr:Fonction W de Lambert]]
[[ja:ランベルトのW関数]]
[[pl:Funkcja W Lamberta]]
[[pt:Função W de Lambert]]
[[ru:W-функция Ламберта]]
[[sl:Lambertova funkcija W]]
[[sv:Lamberts W-funktion]]
[[zh:朗伯W函数]]

Diwasserstoff-Kation

2010-06-20T06:54:27Z

TonyMath: /* Phys. Rev. Lett. */

{{QS-NaWi}}

Das '''Wasserstoff-Molekülion''', '''Diwasserstoff-Kation''', oder H2+, ist das einfachste [[Molekülion]]. Es besteht aus zwei positiv geladenen [[Proton]]en und einem negativ geladenen [[Elektron]], und kann durch [[Ionisation|Ionisierung]] des neutralen [[Wasserstoff|Wasserstoff-Moleküls]] gebildet werden. Es ist von grossem historischem und theoretischem Interesse, denn da es nur ein Elektron enthält und deshalb keine Elektron-Elektron-Abstossung ([[Elektronenkorrelation]]) auftreten kann, lässt sich die elektronische [[Schrödinger-Gleichung]] für dieses System bei festgehaltenem Kernabstand relativ einfach lösen. Die analytischen Lösungen für die Energie-Eigenwerte<ref> Scott T.C., Aubert-Frécon M. and Grotendorst J. (2006). "New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion", Chem. Phys. '''324''': 323-338, [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14]; Arxiv article [http://arxiv.org/abs/physics/0607081] </ref> stellen eine ''Verallgemeinerung'' der [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] dar (siehe [[Lambertsche W-Funktion|lambertsche W-Function]] und dort genannte Nachweise für weitere Einzelheiten zu dieser Funktion). Für den Fall festgehaltener Atomkerne kann eine vollständige analytische Lösung mit Hilfe eines [[Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystems]] erhalten werden. Wegen seiner Bedeutung als einfachstes molekulares System wird das Wasserstoff-Molekülion in den meisten Lehrbüchern der [[Quantenchemie]] als Beispiel behandelt. Die erste erfolgreiche quantenmechanische Behandlung des H2+ wurde vom dänischen Physiker Øyvind Burrau im Jahr 1927 veröffentlicht,<ref>{{Cite journal
| volume = M 7:14
| pages = 1-18
| first = Burrau Ø.
| title = Berechnung des Energiewertes des Wasserstoffmolekel-Ions (H2+) im Normalzustand
| journal = Danske Vidensk. Selskab. Math.-fys. Meddel.
| date = 1927
| url = http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862}}</ref><ref>{{Cite journal
| volume = 15
| issue = 1
| pages = 16-7
| first = Burrau Ø.
| title = The calculation of the Energy value of Hydrogen molecule ions (H2+) in their normal position
| journal = Naturwissenschaften
| date = 1927
| url =http://www.springerlink.com/content/h60148l4717uv805/fulltext.pdf|format=PDF}}</ref>gerade ein Jahr nach der Veröffentlichung der grundlegenden Arbeit zur Wellenmechanik durch [[Erwin Schrödinger]]. Frühere Versuche unter Verwendung der [[Alte Quantentheorien|alten Quantentheorie]] waren im Jahr 1922 durch [[Karel Niessen]]<ref> Karel F. Niessen ''Zur Quantentheorie des Wasserstoffmolekülions'', Dissertation, Universität Utrecht, Utrecht: I. van Druten (1922), zitiert in J. Mehra, Volume 5, Part 2, 2001, p. 932.</ref> und [[Wolfgang Pauli]],<ref>{{cite journal |author=Pauli W |title=Über das Modell des
Wasserstoffmolekülions |journal=Ann. d. Phys. |volume=373 |issue=11 |pages=177–240 |year=1922 |doi=10.1002/andp.19223731101}} erweiterte Dissertation; eingegangen 4 März 1922, veröffentlicht im Heft Nr. 11 vom 3 August 1922.</ref> und im Jahr 1925 durch [[Harold C. Urey|Harold Urey]]<ref>{{cite journal |author=Urey HC |title=The Structure of the Hydrogen Molecule Ion |journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. |volume=11 |issue=10 |pages=618–21 |year=1925 |month=October |pmid=16587051 |pmc=1086173 |doi= 10.1073/pnas.11.10.618|url=}}</ref> veröffentlicht worden. Mit einem Übersichtsartikel aus dem Jahr 1928 machte [[Linus Pauling]] sowohl die Arbeit von Burrau als auch die von [[Walter Heitler]] und [[Fritz London]] über das Wasserstoffmolekül einem grösseren Leserkreis bekannt.<ref>{{cite journal |journal=Chemical Reviews |author=Pauling, L. |title=The Application of the Quantum Mechanics to the Structure of the Hydrogen Molecule and Hydrogen Molecule-Ion and to Related Problems |year=1928 |volume=5 |pages=173–213 |doi=10.1021/cr60018a003}}</ref>

Die chemische Bindung in H2+ kann als kovalente [[Chemische Bindung|Ein-Elektron-Bindung]] beschrieben werden, die eine formale [[Bindungsordnung]] von 1/2 hat.<ref>{{cite book |author=Clark R. Landis; Frank Weinhold |title=Valency and bonding: a natural bond orbital donor-acceptor perspective |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=2005 |pages=96–100 |isbn=0-521-83128-8 |oclc= |doi= |accessdate=}}</ref>

Das Wasserstoff-Molekülion wird gewöhnlich auch in [[Molekülwolke|Molekülwolke]]n im Weltall gebildet, und ist von grosser Bedeutung für die Chemie im [[Interstellare Materie|interstellaren Medium]].

==Quantenmechanische Behandlung, Symmetrien und Asymptotik ==
[[Image:hydrogen_molecular_ion.png|thumb|300px|right| Wasserstoff-Molekülion H2+ mit festgehaltenen Kernen A und B, Kern-Kern-Abstand R und Symmetrieebene des Kerngerüsts M.]]Die einfachste elektronische Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoff-Molekülion berücksichtigt neben dem einen Elektron die beiden Kerne, gekennzeichnet mit "A" und "B", an festen Positionen im Raum. Sie kann geschrieben werden als
:<math>
\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi ~,
</math>
wobei <math> V </math> die Elektron-Kern-Coulomb-Potentialfunktion
:<math>
V = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{r_a} +
\frac{1}{r_b} \right)
</math>
ist, und "E" ist die (elektronische) Energie eines gegebenen quantenmechanischen
Zustands (Eigenzustands), mit der elektronischen Zustandsfunktion
<math>
\psi=\psi(\mathbf{r}) </math>
die von den Ortskoordinaten des Elektrons abhängt.
Ein additiver Term
<math> 1/R </math>,
der für vorgegebenen Kern-Kern-Abstand
<math> R </math> eine Konstante ist, wurde in der Potentialfunktion
<math> V</math> fortgelassen, da er den Eigenwert nur verschiebt.
Die Abstände zwischen dem Elektron und den Kernen seien mit
<math>r_a^{}</math> und <math>r_b^{}</math> bezeichnet.
In atomaren Einheiten
<math>(\hbar=m=e=4 \pi\varepsilon_0 =1)</math>
wird die Schrödinger-Gleichung zu
:<math>\left( {} - \frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi
\qquad \mbox{with} \qquad V = {} - \frac{1}{r_a^{}} -
\frac{1}{r_b^{}} \; .
</math>
Der Mittelpunkt zwischen den Positionen der Kerne kann als
Ursprung der Koordinaten gewählt werden.
Aus allgemeinen Symmetrieprinzipien folgt, dass die Zustandsfunktionen
nach ihrem Symmetrieverhalten bezüglich Rauminversion
('''r''' <math> \to </math> -'''r''')
charakterisiert werden können.
Es gibt Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{+}(\mathbf{r})</math>,
die "symmetrisch" bezüglich Rauminversion sind, und Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{-}(\mathbf{r})</math>,
die unter dieser Symmetrieoperation
''anti-symmetrisch'' sind: <math>
\psi_{\pm}(-{\mathbf{r}}) = {} \pm \psi_{\pm}({\mathbf r}) \; .
</math>
Wir merken an, dass die Permutation (der Austausch) der Kerne die gleiche Wirkung auf die elektronischen Zustandsfunktionen hat. Für ein Mehrelektronensystem muss, zusätzlich zu diesen gerade benannten Symmetrien, auch das richtige Symmetrieverhalten der Zustandsfunktion <math>\psi</math> bezüglich Permutationen der Elektronen ([[Pauli-Prinzip|Paulisches Ausschliessungsprinzip]]) gewährleistet sein. Die Schrödinger-Gleichungen für die symmetrieangepassten Zustandsfunktionen sind nun
:<math> \begin{align}
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{+} = E_{+} \psi_{+} \\
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{-} = E_{-} \psi_{-}
\end{align}</math>
Der Grundzustand (der energetisch niedrigste diskrete Zustand) des
<math>H_{2}^{+}</math> ist der <math> {\rm X}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math>
Zustand <ref> Huber K.-P., [[Gerhard Herzberg|Herzberg G.]] (1979).
''Molecular Spectra and Molecular Structure. IV. Constants of Diatomic
Molecules'', New York: Van Nostrand Reinhold. </ref>, die zugehörige
Zustandsfunktion <math>\psi_{+}</math> wird üblicherweise mit
<math>1s \sigma_{\rm g}^{}</math> gekennzeichnet.
Die Zustandsfunktion <math>\psi_{-}</math> des ersten angeregten
Zustands, <math> {\rm A}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math>, wird mit
<math> {\rm 2p}\sigma_{\rm u}^{}</math> gekennzeichnet.
Die hier auftretenden Suffixe [[Molekulare Termsymbole|g und u]]
(von ''gerade'' und ''ungerade'') kennzeichnen gerade das Symmetrieverhalten
unter Rauminversion.
Ihre Verwendung ist Standard für die Kennzeichnung elektronischer
Zustände von zweiatomigen Molekülen, während für Zustände von
Atomen die Kennzeichnungen e und u (von Englisch "even" und "odd")
verwendet werden.
[[Image:h2plus_figure_2.png|thumb|900px|left| Energien (E)
der niedrigsten diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions
<math>H_2^{+}</math> als Funktion des Kern-Kern-Abstands (R)
in atomaren Einheiten. Siehe Text für weitere Einzelheiten.]]
Für grosse Kern-Kern-Abstände haben die (totalen) Energie-Eigenwerte
<math>E_{\pm}</math>
für diese beiden niedrigsten Zustände dieselbe asymptotische Entwicklung
in reziproken Potenzen des Kern-Kern-Abstandes
''R'' <ref> Čížek J., Damburg R.J., Graffi S.,
Grecchi V., Harrel II E.M., Harris J.G., Nakai S., [[Josef
Paldus|Paldus J.]], Propin R.Kh., Silverstone H.J. (1986). "''1/R''
expansion for ''H2+'': Calculation of exponentially small terms and
asymptotics", [[Physical Review|Phys. Rev. A]] '''33''': 12-54.
[http://prola.aps.org/abstract/PRA/v33/i1/p12_1]</ref>:
:<math>
E_{\pm} = {} - \frac{1}{2} - \frac{9}{4 R^4} + O(R^{-6}) + \cdots
</math>
Die tatsächliche Differenz zwischen diesen beiden Energien wird
[[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]]
genannt und ist gegeben durch
<ref> Scott T.C., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III
J.D. (1991). "Exchange Energy of ''H2+'' Calculated from Polarization
Perturbation Theory and the Holstein-Herring Method", Phys. Rev. Lett. '''67''':
1419-1422.[http://prola.aps.org/abstract/PRL/v67/i11/p1419_1]</ref>:
:<math>
\Delta E = E_{-} - E_{+} = \frac{4}{e} \, R \, e^{-R} \left[ \, 1
+ \frac{1}{2R} + O(R^{-2}) \, \right]
</math>
Dieser Ausdruck verw´schwindet exponentiell mit Zunahme des
Kern-Kern-Abstandes. In ganz ähnlicher Weise wurden asymptotische
Entwicklungen in Potenzen von "1/R" bis zu hoher Ordnung von Čížek "et al."
für die niedrigsten zehn diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions
erhalten (für den Fall festgehaltener Kerne).
Für beliebige zweiatomige oder mehratomige molekulare Systeme lässt sich
die Austauschenergieaufspaltung bei grossem Kern-Kern-Abstand nur sehr schwer
berechnen.
Für die Behandlung langreichweitiger Wechselwirkungen, einschliesslich
Studien mit Bezug auf Magnetismus und Ladungsaustauscheffekte, ist ihre
Kenntnis aber notwendig.
Die genannten Effekte sind insbesondere von Bedeutung für das physikalische
Verständnis von Sternen und von Atmosphären (terrestrisch und extraterrestrisch).

Die Energien für die niedrigsten diskreten Zustände sind in der obigen Abbildung gezeigt. Die Werte können mit jeder gewünschten Genauigkeit unter Verwendung eines [[Computeralgebrasystem|Computeralgebraprogramm]]s aus der "verallgemeinerten" [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhalten werden (siehe Gl. <math>(3)</math> dort und die Referenz auf die Arbeit von Scott, Aubert-Frécon, und Grotendorst) doch sie wurden zunächst numerisch erhalten, in doppelter Genauigkeit, mit Hilfe des genauesten verfügbaren Computerprogrammes genannt ODKIL <ref>Hadinger G., Aubert-Frécon M. and Hadinger G. (1989). "The Killingbeck method for the one-electron two-centre problem", [[Journal of Physics B|J. Phys. B]] '''22''': 697-712 [http://www.iop.org/EJ/abstract/0953-4075/22/5/003].</ref>. Die roten durchgezogenen Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math> Zustände. Die grünen gestrichelten Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math> Zustände. Die blaue gestrichelte Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm u}</math> Zustand, und die rosa gepunktete Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm g}</math> Zustand. Obwohl die mit Hilfe der "verallgemeinerten" [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhaltenen Eigenwertlösungen diese asymptotischen Entwicklungen ersetzen, sind sie in der Praxis besonders in der Umgebung des [[Bindungslänge|Gleichgewichtsabstands]] sehr brauchbar. Solche Lösungen sind möglich, weil die [[Partielle Differentialgleichung|partielle Differentialgleichung]], die die Schrödinger-Gleichung darstellt, unter Verwendung von prolaten sphäroidalen Koordinaten in zwei gekoppelte [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche Differentialgleichungen]] separierbar ist.

==Bildung==
Das Wasserstoff-Molekülion wird in der Natur durch die Wirkung [[Kosmische Strahlung|kosmischer Strahlung]]
auf Wasserstoffmoleküle gebildet.
Ein Elektron wird dabei herausgeschlagen und lässt das Kation
zurück.<ref name="eherbstastro">{{Cite journal
| doi = 10.1098/rsta.2000.0665
| volume = 358
| issue = 1774
| pages = 2523-2534
| first = E.
| last = Herbst
| title = The Astrochemistry of H3+
| journal = Phil. Trans. R. Soc. Lond. A.
| date = 2000
| url = http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862
}}</ref>
:H2 + cosmic ray → H2+ +
e- + cosmic ray.
Die Teilchen der kosmischen Strahlung besitzen genügend Energie um viele Moleküle
zu ionisieren bevor sie selbst abgestoppt werden.

In der Natur reagiert das Ion weiter mit anderen Wasserstoffmolekülen:
:H2+ + H2 →
H3+ + H.

Die Ionisierungsenergie des Wasserstoffmoleküls ist 15.603 eV. Die Dissoziationsenergie des Ions ist 1.8 eV. Sehr schnelle Elektronen können ebenfalls eine Ionisierung des Wasserstoffmoleküls verursachen. Der maximale Wirkungsquerschnitt für Ionisierung wird erhalten für sehr schnelle Protonen (70 keV), mit 2.5x10−16 cm2. Ein niederenergetisches Proton der kosmischen Strahlung kann einem neutralen Wasserstoffmolekül ebenfalls ein Elektron entreissen und ein neutrales Wasserstoffatom bilden, mit maximalem Wirkungsquerschnitt bei etwa 8000 eV von 8x10−16 cm2.<ref>Marco Padovani, Daniele Galli, Alfred E. Glassgold: ''[http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4149v1.pdf Cosmic-ray ionization of molecular clouds]'' in Astronomy & Astrophysics 27 April 2009.</ref>

In einer künstlichen [[Plasmaentladung]]szelle kann das Ion ebenfalls erzeugt werden.

==Siehe auch==
* [[Triwasserstoff-Kation]]

==Einzelnachweise==
<references/>

[[Kategorie:Wasserstoffphysik]]
[[Kategorie:Kationen]]
[[Kategorie:Quantenchemie]]

[[en:Dihydrogen cation]]
[[es:Catión dihidrógeno]]
[[fr:Dihydrogène (cation)]]
[[pt:Íon molecular de hidrogênio]]

Diwasserstoff-Kation

2010-06-20T06:44:53Z

TonyMath: /*Harold C. Urey */

Das '''Wasserstoff-Molekülion''', '''Diwasserstoff-Kation''', oder H2+, ist das einfachste [[Molekülion]]. Es besteht aus zwei positiv geladenen [[Proton]]en und einem negativ geladenen [[Elektron]], und kann durch [[Ionisation|Ionisierung]] des neutralen [[Wasserstoff|Wasserstoff-Moleküls]] gebildet werden. Es ist von grossem historischem und theoretischem Interesse, denn da es nur ein Elektron enthält und deshalb keine Elektron-Elektron-Abstossung ([[Elektronenkorrelation]]) auftreten kann, lässt sich die elektronische [[Schrödinger-Gleichung]] für dieses System bei festgehaltenem Kernabstand relativ einfach lösen. Die analytischen Lösungen für die Energie-Eigenwerte<ref> Scott T.C., Aubert-Frécon M. and Grotendorst J. (2006). "New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion", Chem. Phys. '''324''': 323-338, [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14]; Arxiv article [http://arxiv.org/abs/physics/0607081] </ref> stellen eine ''Verallgemeinerung'' der [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] dar (siehe [[Lambertsche W-Funktion|lambertsche W-Function]] und dort genannte Nachweise für weitere Einzelheiten zu dieser Funktion). Für den Fall festgehaltener Atomkerne kann eine vollständige analytische Lösung mit Hilfe eines [[Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystems]] erhalten werden. Wegen seiner Bedeutung als einfachstes molekulares System wird das Wasserstoff-Molekülion in den meisten Lehrbüchern der [[Quantenchemie]] als Beispiel behandelt. Die erste erfolgreiche quantenmechanische Behandlung des H2+ wurde vom dänischen Physiker Øyvind Burrau im Jahr 1927 veröffentlicht,<ref>{{Cite journal
| volume = M 7:14
| pages = 1-18
| first = Burrau Ø.
| title = Berechnung des Energiewertes des Wasserstoffmolekel-Ions (H2+) im Normalzustand
| journal = Danske Vidensk. Selskab. Math.-fys. Meddel.
| date = 1927
| url = http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862}}</ref><ref>{{Cite journal
| volume = 15
| issue = 1
| pages = 16-7
| first = Burrau Ø.
| title = The calculation of the Energy value of Hydrogen molecule ions (H2+) in their normal position
| journal = Naturwissenschaften
| date = 1927
| url =http://www.springerlink.com/content/h60148l4717uv805/fulltext.pdf|format=PDF}}</ref>gerade ein Jahr nach der Veröffentlichung der grundlegenden Arbeit zur Wellenmechanik durch [[Erwin Schrödinger]]. Frühere Versuche unter Verwendung der [[Alte Quantentheorien|alten Quantentheorie]] waren im Jahr 1922 durch [[Karel Niessen]]<ref> Karel F. Niessen ''Zur Quantentheorie des Wasserstoffmolekülions'', Dissertation, Universität Utrecht, Utrecht: I. van Druten (1922), zitiert in J. Mehra, Volume 5, Part 2, 2001, p. 932.</ref> und [[Wolfgang Pauli]],<ref>{{cite journal |author=Pauli W |title=Über das Modell des
Wasserstoffmolekülions |journal=Ann. d. Phys. |volume=373 |issue=11 |pages=177–240 |year=1922 |doi=10.1002/andp.19223731101}} erweiterte Dissertation; eingegangen 4 März 1922, veröffentlicht im Heft Nr. 11 vom 3 August 1922.</ref> und im Jahr 1925 durch [[Harold C. Urey|Harold Urey]]<ref>{{cite journal |author=Urey HC |title=The Structure of the Hydrogen Molecule Ion |journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. |volume=11 |issue=10 |pages=618–21 |year=1925 |month=October |pmid=16587051 |pmc=1086173 |doi= 10.1073/pnas.11.10.618|url=}}</ref> veröffentlicht worden. Mit einem Übersichtsartikel aus dem Jahr 1928 machte [[Linus Pauling]] sowohl die Arbeit von Burrau als auch die von [[Walter Heitler]] und [[Fritz London]] über das Wasserstoffmolekül einem grösseren Leserkreis bekannt.<ref>{{cite journal |journal=Chemical Reviews |author=Pauling, L. |title=The Application of the Quantum Mechanics to the Structure of the Hydrogen Molecule and Hydrogen Molecule-Ion and to Related Problems |year=1928 |volume=5 |pages=173–213 |doi=10.1021/cr60018a003}}</ref>

Die chemische Bindung in H2+ kann als kovalente [[Chemische Bindung|Ein-Elektron-Bindung]] beschrieben werden, die eine formale [[Bindungsordnung]] von 1/2 hat.<ref>{{cite book |author=Clark R. Landis; Frank Weinhold |title=Valency and bonding: a natural bond orbital donor-acceptor perspective |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=2005 |pages=96–100 |isbn=0-521-83128-8 |oclc= |doi= |accessdate=}}</ref>

Das Wasserstoff-Molekülion wird gewöhnlich auch in [[Molekülwolke|Molekülwolke]]n im Weltall gebildet, und ist von grosser Bedeutung für die Chemie im [[Interstellare Materie|interstellaren Medium]].

==Quantenmechanische Behandlung, Symmetrien und Asymptotik ==
[[Image:hydrogen_molecular_ion.png|thumb|300px|right| Wasserstoff-Molekülion H2+ mit festgehaltenen Kernen A und B, Kern-Kern-Abstand R und Symmetrieebene des Kerngerüsts M.]]Die einfachste elektronische Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoff-Molekülion berücksichtigt neben dem einen Elektron die beiden Kerne, gekennzeichnet mit "A" und "B", an festen Positionen im Raum. Sie kann geschrieben werden als
:<math>
\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi ~,
</math>
wobei <math> V </math> die Elektron-Kern-Coulomb-Potentialfunktion
:<math>
V = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{r_a} +
\frac{1}{r_b} \right)
</math>
ist, und "E" ist die (elektronische) Energie eines gegebenen quantenmechanischen
Zustands (Eigenzustands), mit der elektronischen Zustandsfunktion
<math>
\psi=\psi(\mathbf{r}) </math>
die von den Ortskoordinaten des Elektrons abhängt.
Ein additiver Term
<math> 1/R </math>,
der für vorgegebenen Kern-Kern-Abstand
<math> R </math> eine Konstante ist, wurde in der Potentialfunktion
<math> V</math> fortgelassen, da er den Eigenwert nur verschiebt.
Die Abstände zwischen dem Elektron und den Kernen seien mit
<math>r_a^{}</math> und <math>r_b^{}</math> bezeichnet.
In atomaren Einheiten
<math>(\hbar=m=e=4 \pi\varepsilon_0 =1)</math>
wird die Schrödinger-Gleichung zu
:<math>\left( {} - \frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi
\qquad \mbox{with} \qquad V = {} - \frac{1}{r_a^{}} -
\frac{1}{r_b^{}} \; .
</math>
Der Mittelpunkt zwischen den Positionen der Kerne kann als
Ursprung der Koordinaten gewählt werden.
Aus allgemeinen Symmetrieprinzipien folgt, dass die Zustandsfunktionen
nach ihrem Symmetrieverhalten bezüglich Rauminversion
('''r''' <math> \to </math> -'''r''')
charakterisiert werden können.
Es gibt Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{+}(\mathbf{r})</math>,
die "symmetrisch" bezüglich Rauminversion sind, und Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{-}(\mathbf{r})</math>,
die unter dieser Symmetrieoperation
''anti-symmetrisch'' sind: <math>
\psi_{\pm}(-{\mathbf{r}}) = {} \pm \psi_{\pm}({\mathbf r}) \; .
</math>
Wir merken an, dass die Permutation (der Austausch) der Kerne die gleiche Wirkung auf die elektronischen Zustandsfunktionen hat. Für ein Mehrelektronensystem muss, zusätzlich zu diesen gerade benannten Symmetrien, auch das richtige Symmetrieverhalten der Zustandsfunktion <math>\psi</math> bezüglich Permutationen der Elektronen ([[Pauli-Prinzip|Paulisches Ausschliessungsprinzip]]) gewährleistet sein. Die Schrödinger-Gleichungen für die symmetrieangepassten Zustandsfunktionen sind nun
:<math> \begin{align}
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{+} = E_{+} \psi_{+} \\
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{-} = E_{-} \psi_{-}
\end{align}</math>
Der Grundzustand (der energetisch niedrigste diskrete Zustand) des
<math>H_{2}^{+}</math> ist der <math> {\rm X}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math>
Zustand <ref> Huber K.-P., [[Gerhard Herzberg|Herzberg G.]] (1979).
''Molecular Spectra and Molecular Structure. IV. Constants of Diatomic
Molecules'', New York: Van Nostrand Reinhold. </ref>, die zugehörige
Zustandsfunktion <math>\psi_{+}</math> wird üblicherweise mit
<math>1s \sigma_{\rm g}^{}</math> gekennzeichnet.
Die Zustandsfunktion <math>\psi_{-}</math> des ersten angeregten
Zustands, <math> {\rm A}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math>, wird mit
<math> {\rm 2p}\sigma_{\rm u}^{}</math> gekennzeichnet.
Die hier auftretenden Suffixe [[Molekulare Termsymbole|g und u]]
(von ''gerade'' und ''ungerade'') kennzeichnen gerade das Symmetrieverhalten
unter Rauminversion.
Ihre Verwendung ist Standard für die Kennzeichnung elektronischer
Zustände von zweiatomigen Molekülen, während für Zustände von
Atomen die Kennzeichnungen e und u (von Englisch "even" und "odd")
verwendet werden.
[[Image:h2plus_figure_2.png|thumb|900px|left| Energien (E)
der niedrigsten diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions
<math>H_2^{+}</math> als Funktion des Kern-Kern-Abstands (R)
in atomaren Einheiten. Siehe Text für weitere Einzelheiten.]]
Für grosse Kern-Kern-Abstände haben die (totalen) Energie-Eigenwerte
<math>E_{\pm}</math>
für diese beiden niedrigsten Zustände dieselbe asymptotische Entwicklung
in reziproken Potenzen des Kern-Kern-Abstandes
''R'' <ref> Čížek J., Damburg R.J., Graffi S.,
Grecchi V., Harrel II E.M., Harris J.G., Nakai S., [[Josef
Paldus|Paldus J.]], Propin R.Kh., Silverstone H.J. (1986). "''1/R''
expansion for ''H2+'': Calculation of exponentially small terms and
asymptotics", [[Physical Review|Phys. Rev. A]] '''33''': 12-54.
[http://prola.aps.org/abstract/PRA/v33/i1/p12_1]</ref>:
:<math>
E_{\pm} = {} - \frac{1}{2} - \frac{9}{4 R^4} + O(R^{-6}) + \cdots
</math>
Die tatsächliche Differenz zwischen diesen beiden Energien wird
[[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]]
genannt und ist gegeben durch
<ref> Scott T.C., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III
J.D. (1991). "Exchange Energy of ''H2+'' Calculated from Polarization
Perturbation Theory and the Holstein-Herring Method", [[Physical
Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] '''67''':
1419-1422.[http://prola.aps.org/abstract/PRL/v67/i11/p1419_1]</ref>:
:<math>
\Delta E = E_{-} - E_{+} = \frac{4}{e} \, R \, e^{-R} \left[ \, 1
+ \frac{1}{2R} + O(R^{-2}) \, \right]
</math>
Dieser Ausdruck verw´schwindet exponentiell mit Zunahme des
Kern-Kern-Abstandes. In ganz ähnlicher Weise wurden asymptotische
Entwicklungen in Potenzen von "1/R" bis zu hoher Ordnung von Čížek "et al."
für die niedrigsten zehn diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions
erhalten (für den Fall festgehaltener Kerne).
Für beliebige zweiatomige oder mehratomige molekulare Systeme lässt sich
die Austauschenergieaufspaltung bei grossem Kern-Kern-Abstand nur sehr schwer
berechnen.
Für die Behandlung langreichweitiger Wechselwirkungen, einschliesslich
Studien mit Bezug auf Magnetismus und Ladungsaustauscheffekte, ist ihre
Kenntnis aber notwendig.
Die genannten Effekte sind insbesondere von Bedeutung für das physikalische
Verständnis von Sternen und von Atmosphären (terrestrisch und extraterrestrisch).

Die Energien für die niedrigsten diskreten Zustände sind in der obigen Abbildung gezeigt. Die Werte können mit jeder gewünschten Genauigkeit unter Verwendung eines [[Computeralgebrasystem|Computeralgebraprogramm]]s aus der "verallgemeinerten" [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhalten werden (siehe Gl. <math>(3)</math> dort und die Referenz auf die Arbeit von Scott, Aubert-Frécon, und Grotendorst) doch sie wurden zunächst numerisch erhalten, in doppelter Genauigkeit, mit Hilfe des genauesten verfügbaren Computerprogrammes genannt ODKIL <ref>Hadinger G., Aubert-Frécon M. and Hadinger G. (1989). "The Killingbeck method for the one-electron two-centre problem", [[Journal of Physics B|J. Phys. B]] '''22''': 697-712 [http://www.iop.org/EJ/abstract/0953-4075/22/5/003].</ref>. Die roten durchgezogenen Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math> Zustände. Die grünen gestrichelten Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math> Zustände. Die blaue gestrichelte Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm u}</math> Zustand, und die rosa gepunktete Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm g}</math> Zustand. Obwohl die mit Hilfe der "verallgemeinerten" [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhaltenen Eigenwertlösungen diese asymptotischen Entwicklungen ersetzen, sind sie in der Praxis besonders in der Umgebung des [[Bindungslänge|Gleichgewichtsabstands]] sehr brauchbar. Solche Lösungen sind möglich, weil die [[Partielle Differentialgleichung|partielle Differentialgleichung]], die die Schrödinger-Gleichung darstellt, unter Verwendung von prolaten sphäroidalen Koordinaten in zwei gekoppelte [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche Differentialgleichungen]] separierbar ist.

==Bildung==
Das Wasserstoff-Molekülion wird in der Natur durch die Wirkung [[Kosmische Strahlung|kosmischer Strahlung]]
auf Wasserstoffmoleküle gebildet.
Ein Elektron wird dabei herausgeschlagen und lässt das Kation
zurück.<ref name="eherbstastro">{{Cite journal
| doi = 10.1098/rsta.2000.0665
| volume = 358
| issue = 1774
| pages = 2523-2534
| first = E.
| last = Herbst
| title = The Astrochemistry of H3+
| journal = Phil. Trans. R. Soc. Lond. A.
| date = 2000
| url = http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862
}}</ref>
:H2 + cosmic ray → H2+ +
e- + cosmic ray.
Die Teilchen der kosmischen Strahlung besitzen genügend Energie um viele Moleküle
zu ionisieren bevor sie selbst abgestoppt werden.

In der Natur reagiert das Ion weiter mit anderen Wasserstoffmolekülen:
:H2+ + H2 →
H3+ + H.

Die Ionisierungsenergie des Wasserstoffmoleküls ist 15.603 eV. Die Dissoziationsenergie des Ions ist 1.8 eV. Sehr schnelle Elektronen können ebenfalls eine Ionisierung des Wasserstoffmoleküls verursachen. Der maximale Wirkungsquerschnitt für Ionisierung wird erhalten für sehr schnelle Protonen (70 keV), mit 2.5x10−16 cm2. Ein niederenergetisches Proton der kosmischen Strahlung kann einem neutralen Wasserstoffmolekül ebenfalls ein Elektron entreissen und ein neutrales Wasserstoffatom bilden, mit maximalem Wirkungsquerschnitt bei etwa 8000 eV von 8x10−16 cm2.<ref>Marco Padovani, Daniele Galli, Alfred E. Glassgold: ''[http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4149v1.pdf Cosmic-ray ionization of molecular clouds]'' in Astronomy & Astrophysics 27 April 2009.</ref>

In einer künstlichen [[Plasmaentladung]]szelle kann das Ion ebenfalls erzeugt werden.

==Siehe auch==
* [[Triwasserstoff-Kation]]

==Einzelnachweise==
<references/>

[[Kategorie:Wasserstoffphysik]]
[[Kategorie:Kationen]]
[[Kategorie:Quantenchemie]]

[[en:Dihydrogen cation]]
[[es:Catión dihidrógeno]]
[[fr:Dihydrogène (cation)]]
[[pt:Íon molecular de hidrogênio]]

Diwasserstoff-Kation

2010-06-20T06:28:19Z

TonyMath: /*Diwasserstoff-Kation */

Das '''Wasserstoff-Molekülion''', '''Diwasserstoff-Kation''', oder H2+, ist das einfachste [[Molekülion]]. Es besteht aus zwei positiv geladenen [[Proton]]en und einem negativ geladenen [[Elektron]], und kann durch [[Ionisation|Ionisierung]] des neutralen [[Wasserstoff|Wasserstoff-Moleküls]] gebildet werden. Es ist von grossem historischem und theoretischem Interesse, denn da es nur ein Elektron enthält und deshalb keine Elektron-Elektron-Abstossung ([[Elektronenkorrelation]]) auftreten kann, lässt sich die elektronische [[Schrödinger-Gleichung]] für dieses System bei festgehaltenem Kernabstand relativ einfach lösen. Die analytischen Lösungen für die Energie-Eigenwerte<ref> Scott T.C., Aubert-Frécon M. and Grotendorst J. (2006). "New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion", Chem. Phys. '''324''': 323-338, [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14]; Arxiv article [http://arxiv.org/abs/physics/0607081] </ref> stellen eine ''Verallgemeinerung'' der [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] dar (siehe [[Lambertsche W-Funktion|lambertsche W-Function]] und dort genannte Nachweise für weitere Einzelheiten zu dieser Funktion). Für den Fall festgehaltener Atomkerne kann eine vollständige analytische Lösung mit Hilfe eines [[Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystems]] erhalten werden. Wegen seiner Bedeutung als einfachstes molekulares System wird das Wasserstoff-Molekülion in den meisten Lehrbüchern der [[Quantenchemie]] als Beispiel behandelt. Die erste erfolgreiche quantenmechanische Behandlung des H2+ wurde vom dänischen Physiker Øyvind Burrau im Jahr 1927 veröffentlicht,<ref>{{Cite journal
| volume = M 7:14
| pages = 1-18
| first = Burrau Ø.
| title = Berechnung des Energiewertes des Wasserstoffmolekel-Ions (H2+) im Normalzustand
| journal = Danske Vidensk. Selskab. Math.-fys. Meddel.
| date = 1927
| url = http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862}}</ref><ref>{{Cite journal
| volume = 15
| issue = 1
| pages = 16-7
| first = Burrau Ø.
| title = The calculation of the Energy value of Hydrogen molecule ions (H2+) in their normal position
| journal = Naturwissenschaften
| date = 1927
| url =http://www.springerlink.com/content/h60148l4717uv805/fulltext.pdf|format=PDF}}</ref>gerade ein Jahr nach der Veröffentlichung der grundlegenden Arbeit zur Wellenmechanik durch [[Erwin Schrödinger]]. Frühere Versuche unter Verwendung der [[Alte Quantentheorien|alten Quantentheorie]] waren im Jahr 1922 durch [[Karel Niessen]]<ref> Karel F. Niessen ''Zur Quantentheorie des Wasserstoffmolekülions'', Dissertation, Universität Utrecht, Utrecht: I. van Druten (1922), zitiert in J. Mehra, Volume 5, Part 2, 2001, p. 932.</ref> und [[Wolfgang Pauli]],<ref>{{cite journal |author=Pauli W |title=Über das Modell des
Wasserstoffmolekülions |journal=Ann. d. Phys. |volume=373 |issue=11 |pages=177–240 |year=1922 |doi=10.1002/andp.19223731101}} erweiterte Dissertation; eingegangen 4 März 1922, veröffentlicht im Heft Nr. 11 vom 3 August 1922.</ref> und im Jahr 1925 durch [[Harold Urey]]<ref>{{cite journal |author=Urey HC |title=The Structure of the Hydrogen Molecule Ion |journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. |volume=11 |issue=10 |pages=618–21 |year=1925 |month=October |pmid=16587051 |pmc=1086173 |doi= 10.1073/pnas.11.10.618|url=}}</ref> veröffentlicht worden. Mit einem Übersichtsartikel aus dem Jahr 1928 machte [[Linus Pauling]] sowohl die Arbeit von Burrau als auch die von [[Walter Heitler]] und [[Fritz London]] über das Wasserstoffmolekül einem grösseren Leserkreis bekannt.<ref>{{cite journal |journal=Chemical Reviews |author=Pauling, L. |title=The Application of the Quantum Mechanics to the Structure of the Hydrogen Molecule and Hydrogen Molecule-Ion and to Related Problems |year=1928 |volume=5 |pages=173–213 |doi=10.1021/cr60018a003}}</ref>

Die chemische Bindung in H2+ kann als kovalente [[Chemische Bindung|Ein-Elektron-Bindung]] beschrieben werden, die eine formale [[Bindungsordnung]] von 1/2 hat.<ref>{{cite book |author=Clark R. Landis; Frank Weinhold |title=Valency and bonding: a natural bond orbital donor-acceptor perspective |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=2005 |pages=96–100 |isbn=0-521-83128-8 |oclc= |doi= |accessdate=}}</ref>

Das Wasserstoff-Molekülion wird gewöhnlich auch in [[Molekülwolke|Molekülwolke]]n im Weltall gebildet, und ist von grosser Bedeutung für die Chemie im [[Interstellare Materie|interstellaren Medium]].

==Quantenmechanische Behandlung, Symmetrien und Asymptotik ==
[[Image:hydrogen_molecular_ion.png|thumb|300px|right| Wasserstoff-Molekülion H2+ mit festgehaltenen Kernen A und B, Kern-Kern-Abstand R und Symmetrieebene des Kerngerüsts M.]]Die einfachste elektronische Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoff-Molekülion berücksichtigt neben dem einen Elektron die beiden Kerne, gekennzeichnet mit "A" und "B", an festen Positionen im Raum. Sie kann geschrieben werden als
:<math>
\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi ~,
</math>
wobei <math> V </math> die Elektron-Kern-Coulomb-Potentialfunktion
:<math>
V = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{r_a} +
\frac{1}{r_b} \right)
</math>
ist, und "E" ist die (elektronische) Energie eines gegebenen quantenmechanischen
Zustands (Eigenzustands), mit der elektronischen Zustandsfunktion
<math>
\psi=\psi(\mathbf{r}) </math>
die von den Ortskoordinaten des Elektrons abhängt.
Ein additiver Term
<math> 1/R </math>,
der für vorgegebenen Kern-Kern-Abstand
<math> R </math> eine Konstante ist, wurde in der Potentialfunktion
<math> V</math> fortgelassen, da er den Eigenwert nur verschiebt.
Die Abstände zwischen dem Elektron und den Kernen seien mit
<math>r_a^{}</math> und <math>r_b^{}</math> bezeichnet.
In atomaren Einheiten
<math>(\hbar=m=e=4 \pi\varepsilon_0 =1)</math>
wird die Schrödinger-Gleichung zu
:<math>\left( {} - \frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi
\qquad \mbox{with} \qquad V = {} - \frac{1}{r_a^{}} -
\frac{1}{r_b^{}} \; .
</math>
Der Mittelpunkt zwischen den Positionen der Kerne kann als
Ursprung der Koordinaten gewählt werden.
Aus allgemeinen Symmetrieprinzipien folgt, dass die Zustandsfunktionen
nach ihrem Symmetrieverhalten bezüglich Rauminversion
('''r''' <math> \to </math> -'''r''')
charakterisiert werden können.
Es gibt Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{+}(\mathbf{r})</math>,
die "symmetrisch" bezüglich Rauminversion sind, und Zustandsfunktionen
:<math>\psi_{-}(\mathbf{r})</math>,
die unter dieser Symmetrieoperation
''anti-symmetrisch'' sind: <math>
\psi_{\pm}(-{\mathbf{r}}) = {} \pm \psi_{\pm}({\mathbf r}) \; .
</math>
Wir merken an, dass die Permutation (der Austausch) der Kerne die gleiche Wirkung auf die elektronischen Zustandsfunktionen hat. Für ein Mehrelektronensystem muss, zusätzlich zu diesen gerade benannten Symmetrien, auch das richtige Symmetrieverhalten der Zustandsfunktion <math>\psi</math> bezüglich Permutationen der Elektronen ([[Pauli-Prinzip|Paulisches Ausschliessungsprinzip]]) gewährleistet sein. Die Schrödinger-Gleichungen für die symmetrieangepassten Zustandsfunktionen sind nun
:<math> \begin{align}
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{+} = E_{+} \psi_{+} \\
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{-} = E_{-} \psi_{-}
\end{align}</math>
Der Grundzustand (der energetisch niedrigste diskrete Zustand) des
<math>H_{2}^{+}</math> ist der <math> {\rm X}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math>
Zustand <ref> Huber K.-P., [[Gerhard Herzberg|Herzberg G.]] (1979).
''Molecular Spectra and Molecular Structure. IV. Constants of Diatomic
Molecules'', New York: Van Nostrand Reinhold. </ref>, die zugehörige
Zustandsfunktion <math>\psi_{+}</math> wird üblicherweise mit
<math>1s \sigma_{\rm g}^{}</math> gekennzeichnet.
Die Zustandsfunktion <math>\psi_{-}</math> des ersten angeregten
Zustands, <math> {\rm A}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math>, wird mit
<math> {\rm 2p}\sigma_{\rm u}^{}</math> gekennzeichnet.
Die hier auftretenden Suffixe [[Molekulare Termsymbole|g und u]]
(von ''gerade'' und ''ungerade'') kennzeichnen gerade das Symmetrieverhalten
unter Rauminversion.
Ihre Verwendung ist Standard für die Kennzeichnung elektronischer
Zustände von zweiatomigen Molekülen, während für Zustände von
Atomen die Kennzeichnungen e und u (von Englisch "even" und "odd")
verwendet werden.
[[Image:h2plus_figure_2.png|thumb|900px|left| Energien (E)
der niedrigsten diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions
<math>H_2^{+}</math> als Funktion des Kern-Kern-Abstands (R)
in atomaren Einheiten. Siehe Text für weitere Einzelheiten.]]
Für grosse Kern-Kern-Abstände haben die (totalen) Energie-Eigenwerte
<math>E_{\pm}</math>
für diese beiden niedrigsten Zustände dieselbe asymptotische Entwicklung
in reziproken Potenzen des Kern-Kern-Abstandes
''R'' <ref> Čížek J., Damburg R.J., Graffi S.,
Grecchi V., Harrel II E.M., Harris J.G., Nakai S., [[Josef
Paldus|Paldus J.]], Propin R.Kh., Silverstone H.J. (1986). "''1/R''
expansion for ''H2+'': Calculation of exponentially small terms and
asymptotics", [[Physical Review|Phys. Rev. A]] '''33''': 12-54.
[http://prola.aps.org/abstract/PRA/v33/i1/p12_1]</ref>:
:<math>
E_{\pm} = {} - \frac{1}{2} - \frac{9}{4 R^4} + O(R^{-6}) + \cdots
</math>
Die tatsächliche Differenz zwischen diesen beiden Energien wird
[[Austauschwechselwirkung|Austauschenergieaufspaltung]]
genannt und ist gegeben durch
<ref> Scott T.C., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III
J.D. (1991). "Exchange Energy of ''H2+'' Calculated from Polarization
Perturbation Theory and the Holstein-Herring Method", [[Physical
Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] '''67''':
1419-1422.[http://prola.aps.org/abstract/PRL/v67/i11/p1419_1]</ref>:
:<math>
\Delta E = E_{-} - E_{+} = \frac{4}{e} \, R \, e^{-R} \left[ \, 1
+ \frac{1}{2R} + O(R^{-2}) \, \right]
</math>
Dieser Ausdruck verw´schwindet exponentiell mit Zunahme des
Kern-Kern-Abstandes. In ganz ähnlicher Weise wurden asymptotische
Entwicklungen in Potenzen von "1/R" bis zu hoher Ordnung von Čížek "et al."
für die niedrigsten zehn diskreten Zustände des Wasserstoff-Molekülions
erhalten (für den Fall festgehaltener Kerne).
Für beliebige zweiatomige oder mehratomige molekulare Systeme lässt sich
die Austauschenergieaufspaltung bei grossem Kern-Kern-Abstand nur sehr schwer
berechnen.
Für die Behandlung langreichweitiger Wechselwirkungen, einschliesslich
Studien mit Bezug auf Magnetismus und Ladungsaustauscheffekte, ist ihre
Kenntnis aber notwendig.
Die genannten Effekte sind insbesondere von Bedeutung für das physikalische
Verständnis von Sternen und von Atmosphären (terrestrisch und extraterrestrisch).

Die Energien für die niedrigsten diskreten Zustände sind in der obigen Abbildung gezeigt. Die Werte können mit jeder gewünschten Genauigkeit unter Verwendung eines [[Computeralgebrasystem|Computeralgebraprogramm]]s aus der "verallgemeinerten" [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhalten werden (siehe Gl. <math>(3)</math> dort und die Referenz auf die Arbeit von Scott, Aubert-Frécon, und Grotendorst) doch sie wurden zunächst numerisch erhalten, in doppelter Genauigkeit, mit Hilfe des genauesten verfügbaren Computerprogrammes genannt ODKIL <ref>Hadinger G., Aubert-Frécon M. and Hadinger G. (1989). "The Killingbeck method for the one-electron two-centre problem", [[Journal of Physics B|J. Phys. B]] '''22''': 697-712 [http://www.iop.org/EJ/abstract/0953-4075/22/5/003].</ref>. Die roten durchgezogenen Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math> Zustände. Die grünen gestrichelten Linien sind <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math> Zustände. Die blaue gestrichelte Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm u}</math> Zustand, und die rosa gepunktete Linie ist ein <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm g}</math> Zustand. Obwohl die mit Hilfe der "verallgemeinerten" [[Lambertsche W-Funktion|lambertschen W-Funktion]] erhaltenen Eigenwertlösungen diese asymptotischen Entwicklungen ersetzen, sind sie in der Praxis besonders in der Umgebung des [[Bindungslänge|Gleichgewichtsabstands]] sehr brauchbar. Solche Lösungen sind möglich, weil die [[Partielle Differentialgleichung|partielle Differentialgleichung]], die die Schrödinger-Gleichung darstellt, unter Verwendung von prolaten sphäroidalen Koordinaten in zwei gekoppelte [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche Differentialgleichungen]] separierbar ist.

==Bildung==
Das Wasserstoff-Molekülion wird in der Natur durch die Wirkung [[Kosmische Strahlung|kosmischer Strahlung]]
auf Wasserstoffmoleküle gebildet.
Ein Elektron wird dabei herausgeschlagen und lässt das Kation
zurück.<ref name="eherbstastro">{{Cite journal
| doi = 10.1098/rsta.2000.0665
| volume = 358
| issue = 1774
| pages = 2523-2534
| first = E.
| last = Herbst
| title = The Astrochemistry of H3+
| journal = Phil. Trans. R. Soc. Lond. A.
| date = 2000
| url = http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862
}}</ref>
:H2 + cosmic ray → H2+ +
e- + cosmic ray.
Die Teilchen der kosmischen Strahlung besitzen genügend Energie um viele Moleküle
zu ionisieren bevor sie selbst abgestoppt werden.

In der Natur reagiert das Ion weiter mit anderen Wasserstoffmolekülen:
:H2+ + H2 →
H3+ + H.

Die Ionisierungsenergie des Wasserstoffmoleküls ist 15.603 eV. Die Dissoziationsenergie des Ions ist 1.8 eV. Sehr schnelle Elektronen können ebenfalls eine Ionisierung des Wasserstoffmoleküls verursachen. Der maximale Wirkungsquerschnitt für Ionisierung wird erhalten für sehr schnelle Protonen (70 keV), mit 2.5x10−16 cm2. Ein niederenergetisches Proton der kosmischen Strahlung kann einem neutralen Wasserstoffmolekül ebenfalls ein Elektron entreissen und ein neutrales Wasserstoffatom bilden, mit maximalem Wirkungsquerschnitt bei etwa 8000 eV von 8x10−16 cm2.<ref>Marco Padovani, Daniele Galli, Alfred E. Glassgold: ''[http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4149v1.pdf Cosmic-ray ionization of molecular clouds]'' in Astronomy & Astrophysics 27 April 2009.</ref>

In einer künstlichen [[Plasmaentladung]]szelle kann das Ion ebenfalls erzeugt werden.

==Siehe auch==
* [[Triwasserstoff-Kation]]

==Einzelnachweise==
<references/>

[[Kategorie:Wasserstoffphysik]]
[[Kategorie:Kationen]]
[[Kategorie:Quantenchemie]]

[[en:Dihydrogen cation]]
[[es:Catión dihidrógeno]]
[[fr:Dihydrogène (cation)]]
[[pt:Íon molecular de hidrogênio]]

Diwasserstoff-Kation

2010-06-13T06:36:15Z

TonyMath: /* link to Holstein-Herring method */

The '''hydrogen molecular ion''', '''dihydrogen cation''', or H2+, is the simplest [[molecular ion]]. It is composed of two positively-charged [[proton]]s and one negatively-charged [[electron]], and can be formed from [[ionization]] of a neutral [[hydrogen molecule]]. It is of great historical and theoretical interest because, having only one electron, the [[Schrödinger equation]] for the system can be solved in a relatively straightforward way due to the lack of electron–electron repulsion ([[electron correlation]]). The analytical solutions for the energy eigenvalues<ref>
Scott T.C, Aubert-Frécon M. and Grotendorst J. (2006). "New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion", Chem. Phys. '''324''': 323-338, [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TFM-4HNYMS6-5&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=9fd01e7be3137ccf30280c1281b62e14]; Arxiv article [http://arxiv.org/abs/physics/0607081]
</ref> are a ''generalization'' of the [[Lambert W function]] (see [[Lambert W function]] and references therein for more details on this function). Thus, the case of clamped nuclei can be completely done analytically using a [[Computer algebra system]]. Consequently, it is included as an example in most [[quantum chemistry]] textbooks.

The first successful quantum mechanical treatment of H2+ was published by the Danish physicist Øyvind Burrau in 1927,<ref>{{cite journal |author=Burrau Ø |title=Berechnung des Energiewertes des Wasserstoffmolekel-Ions (H2+) im Normalzustand. |journal=Danske Vidensk. Selskab. Math.-fys. Meddel. |volume=M 7:14 |issue= |pages=1–18 |year=1927| language=German| url=http://www.royalacademy.dk/CatalogEntry.asp?id=862}} {{cite journal |author=Burrau Ø |title=The calculation of the Energy value of Hydrogen molecule ions (H2+) in their normal position |journal=Naturwissenschaften |volume=15 |issue=1 |pages=16–7 |year=1927| language=German| url=http://www.springerlink.com/content/h60148l4717uv805/fulltext.pdf|format=PDF}}</ref> just one year after the publication of wave mechanics by [[Erwin Schrödinger]]. Earlier attempts using the [[old quantum theory]] had been published in 1922 by [[Karel Niessen]]<ref> Karel F. Niessen ''Zur Quantentheorie des Wasserstoffmolekülions'', doctoral dissertation, University of Utrecht, Utrecht: I. Van Druten (1922) as cited in Mehra, Volume 5, Part 2, 2001, p. 932.</ref> and [[Wolfgang Pauli]],<ref>{{cite journal |author=Pauli W |title=Über das Modell des Wasserstoffmolekülions |journal=Ann. D. Phys. |volume=373 |issue=11 |pages=177–240 |year=1922 |doi=10.1002/andp.19223731101}} Extended doctoral dissertation; received 4 March 1922, published in issue No. 11 of 3 August 1922.</ref> and in 1925 by [[Harold Urey]].<ref>{{cite journal |author=Urey HC |title=The Structure of the Hydrogen Molecule Ion |journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. |volume=11 |issue=10 |pages=618–21 |year=1925 |month=October |pmid=16587051 |pmc=1086173 |doi= 10.1073/pnas.11.10.618|url=}}</ref> In 1928, [[Linus Pauling]] published a review putting together the work of Burrau with the work of [[Walter Heitler]] and [[Fritz London]] on the hydrogen molecule.<ref>{{cite journal |journal=Chemical Reviews |author=Pauling, L. |title=The Application of the Quantum Mechanics to the Structure of the Hydrogen Molecule and Hydrogen Molecule-Ion and to Related Problems |year=1928 |volume=5 |pages=173–213 |doi=10.1021/cr60018a003}}</ref>

Bonding in H2+ can be described as a covalent [[one-electron bond]], which has a formal [[bond order]] of one half.<ref>{{cite book |author=Clark R. Landis; Frank Weinhold |title=Valency and bonding: a natural bond orbital donor-acceptor perspective |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=2005 |pages=96–100 |isbn=0-521-83128-8 |oclc= |doi= |accessdate=}}</ref>

The ion is commonly formed in [[molecular cloud]]s in space, and is important in the chemistry of the [[interstellar medium]].

==Quantum mechanical treatment, symmetries, and asymptotics==
[[Image:hydrogen_molecular_ion.png|thumb|300px|right| Hydrogen Molecular Ion H2+ with clamped nuclei A and B, internuclear distance R and plane of symmetry M.]]The simplest electronic Schrödinger wave equation for the hydrogen molecular ion <math> H_2^{+}</math> is modeled with two fixed nuclear centers, labeled ''A'' and ''B'', and one electron. It can be written as
:<math>
\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi = E ~,
</math>
where <math> V </math> is the electron-nuclear Coulomb potential energy function:
:<math>
V = - \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 } \left( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} \right)
</math>
and ''E'' is the (electronic) energy of a given quantum mechanical state (eigenstate), with the electronic state function <math> \psi=\psi(\mathbf{r}) </math> depending on the spatial coordinates of the electron. An additive term <math> 1/R </math>, which is constant for fixed inter-nuclear distance <math> R </math>, has been omitted from the potential <math> V</math>, since it merely shifts the eigenvalue. The distances between the electron and the nuclei are denoted <math>r_a^{}</math> and <math>r_b^{}</math>. In atomic units <math>(\hbar=m=e=4 \pi\varepsilon_0 =1)</math> the wave equation is
:<math>\left( {} - \frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi = E \psi \qquad \mbox{with} \qquad V = {} - \frac{1}{r_a^{}} - \frac{1}{r_b^{}} \; .
</math>
We can choose the midpoint between the nuclei as the origin of coordinates. It follows from general symmetry principles that the wave functions can be characterized by their symmetry behavior with respect to space inversion ('''r''' <math> \to </math> -'''r'''). There are wave functions :<math>\psi_{+}(\mathbf{r})</math>, which are ''symmetric'' with respect to space inversion, and there are wave functions :<math>\psi_{-}(\mathbf{r})</math>, which are ''anti-symmetric'' under this symmetry operation: <math> \psi_{\pm}(-{\mathbf{r}}) = {} \pm \psi_{\pm}({\mathbf r}) \; . </math> We note that the permutation (exchange) of the nuclei has a similar effect on the electronic wave function. We only mention that for a many-electron system proper behavior of <math>\psi</math> with respect to the permutational symmetry of the electrons ([[Pauli exclusion principle]]) must be guaranteed, in addition to those symmetries just discussed above. Now the Schrödinger equations for these symmetry-adapted wave functions are
:<math> \begin{align}
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{+} = E_{+} \psi_{+} \\
\left( -\frac{1}{2} \nabla^2 + V \right) \psi_{-} = E_{-} \psi_{-}
\end{align}</math>
The ground state (the lowest discrete state) of <math> H_{2}^{+}</math> is the <math> {\rm X}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math> state <ref> Huber K.-P., [[Gerhard Herzberg|Herzberg G.]] (1979). ''Molecular Spectra and Molecular Structure. IV. Constants of Diatomic Molecules'', New York: Van Nostrand Reinhold. </ref> with the corresponding wave function <math>\psi_{+}</math> denoted as <math>1s \sigma_{\rm g}^{}</math>. There is also the first excited <math> {\rm A}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math> state, with its <math>\psi_{-}</math> labeled as <math> {\rm 2p}\sigma_{\rm u}^{}</math>. (The suffixes [[Molecular term symbol|g and u]] are from the German ''gerade'' and ''ungerade'') occurring here denote just the symmetry behavior under space inversion. Their use is standard practice for the designation of electronic states of diatomic molecules, whereas for atomic states the terms ''even'' and ''odd'' are used. [[Image:h2plus_figure_2.png|thumb|850px|left| Energies (E) of the lowest discrete states of the Hydrogen Molecular Ion <math>H_2^{+}</math> as a function of inter-nuclear distance (R) in atomic units. See text for details.]] Asymptotically, the (total) eigenenergies <math>E_{\pm}</math> for these two lowest lying states have the same asymptotic expansion in inverse powers of the inter-nuclear distance ''R'' <ref> Čížek J., Damburg R.J., Graffi S., Grecchi V., Harrel II E.M., Harris J.G., Nakai S., [[Josef Paldus|Paldus J.]], Propin R.Kh., Silverstone H.J. (1986). "''1/R'' expansion for ''H2+'': Calculation of exponentially small terms and asymptotics", [[Physical Review|Phys. Rev. A]] '''33''': 12-54. [http://prola.aps.org/abstract/PRA/v33/i1/p12_1]</ref>:
:<math>
E_{\pm} = {} - \frac{1}{2} - \frac{9}{4 R^4} + O(R^{-6}) + \cdots
</math>
The actual difference between these two energies is called the [[exchange interaction|exchange energy]] splitting and is given by <ref> Scott T.C., [[Alexander Dalgarno|Dalgarno A.]] and Morgan III J.D. (1991). "Exchange Energy of ''H2+'' Calculated from Polarization Perturbation Theory and the [[Holstein-Herring Method]]", [[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] '''67''': 1419-1422.[http://prola.aps.org/abstract/PRL/v67/i11/p1419_1]</ref>:
:<math>
\Delta E = E_{-} - E_{+} = \frac{4}{e} \, R \, e^{-R} \left[ \, 1 + \frac{1}{2R} + O(R^{-2}) \, \right]
</math>
which exponentially vanishes as the inter-nuclear distance ''R'' gets greater. Similarly, asympotic expansions in powers of ''1/R'' have been obtained to high order by Cizek ''et al.'' for the lowest ten discrete states of the hydrogen molecular ion (clamped nuclei case). For general diatomic and polyatomic molecular systems, the exchange energy is thus very elusive to calculate at large inter-nuclear distances but is nonetheless needed for long-range interactions including studies related to magnetism and charge exchange effects. These are of particular importance in stellar and atmospheric physics.

The energies for the lowest discrete states are shown in the graph above. These can be obtained to within arbitrary accuracy using [[computer algebra]] from the ''generalized'' [[Lambert W function]] (see eq. <math>(3)</math> in that site and the reference of Scott, Aubert-Frécon, and Grotendorst) but were obtained initially by numerical means to within double precision by the most precise program available, namely ODKIL<ref>Hadinger G., Aubert-Frécon M. and Hadinger G. (1989). "The Killingbeck method for the one-electron two-centre problem", [[Journal of Physics B|J. Phys. B]] '''22''': 697-712 [http://www.iop.org/EJ/abstract/0953-4075/22/5/003].</ref>. The red full lines are <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm g}^{+}</math> states. The green dashed lines are <math> {\rm {}}_{}^{2}\Sigma_{\rm u}^{+}</math> states. The blue dashed line is a <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm u}</math> state and the pink dotted line is a <math> {\rm {}}_{}^{2}\Pi_{\rm g}</math> state. Note that although the ''generalized'' [[Lambert W function]] eigenvalue solutions supersede these asymptotic expansions, in practice, they are most useful near the [[bond length]]. These solutions are possible because the [[partial differential equation]] of the wave equation here separates into two coupled [[ordinary differential equations]] using [[prolate spheroidal coordinates]].

==Formation==
The dihydrogen ion is formed in nature by the interaction of [[cosmic ray]]s and the hydrogen molecule. An electron is knocked off leaving the cation behind.<ref name="eherbstastro">{{cite journal|last=Herbst|first=E.|authorlink=|coauthors=|year=2000|month=|title=The Astrochemistry of H3+|journal=Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. |volume=358|issue=1774|pages=2523–2534|doi=10.1098/rsta.2000.0665|url=|accessdate=|quote=}}</ref>
:H2 + cosmic ray → H2+ + e- + cosmic ray.
Cosmic ray particles have enough energy to ionize many molecules before coming to a stop.

In nature the ion is destroyed by reacting with other hydrogen molecules:
:H2+ + H2 → H3+ + H.

The ionization energy of the hydrogen molecule is 15.603 eV. The dissociation energy of the ion is 1.8 eV. High speed electrons also cause ionization of hydrogen molecules. The peak cross section for ionization for high speed protons is 70000 eV with a cross section of 2.5x10−16 cm2. A cosmic ray proton at lower energy can also strip an electron off a neutral hydrogen molecule to form a neutral hydrogen atom, with a peak cross section at around 8000 eV of 8x10−16 cm2.<ref>Marco Padovani, Daniele Galli, Alfred E. Glassgold: ''[http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0904/0904.4149v1.pdf Cosmic-ray ionization of molecular clouds]'' in Astronomy & Astrophysics 27 April 2009.</ref>

An artificial [[plasma discharge]] cell can also produce the ion.

==See also==
* [[Trihydrogen cation]]

==References==
{{reflist}}

[[Category:Hydrogen physics]]
[[Category:Cations]]
[[Category:Quantum chemistry]]

[[es:Catión dihidrógeno]]
[[fr:Dihydrogène (cation)]]
[[pt:Íon molecular de hidrogênio]]