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Black-Scholes-Modell

2025-02-22T12:29:00Z

Sigma^2: Die letzte Textänderung von 2A02:810D:A240:15B8:39F8:4B7B:E932:1B35 wurde verworfen und die Version 251184342 von Wikiritter wiederhergestellt. Finanzwirtschaft ist die wissenschaftliche Bezeichnung des Fachgebiets an deutschsprachigen Universitäten.

Das '''Black-Scholes-Modell''' (gesprochen {{IPA|ˌblæk ˈʃoʊlz|}})<ref>Korrekte Aussprache von Black-Scholes bei [http://www.merriam-webster.com/dictionary/scholes Merriam-Webster]</ref> ist ein [[Finanzmathematik|finanzmathematisches]] [[Modell]] zur Bewertung von [[Option (Wirtschaft)|Finanzoptionen]]. Es wurde von [[Fischer Black]] und [[Myron Samuel Scholes]] 1973 (nach zweimaliger Ablehnung durch renommierte Zeitschriften) veröffentlicht und gilt als ein Meilenstein der [[Finanzwirtschaft]]. Das Modell führte in der [[Finanzmathematik]] zu einem [[Paradigmenwechsel]] weg von Gleichgewichtsmodellen hin zu einer Theorie arbitragefreier Preise<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Heimer, Sebastian Arend |Titel=The genesis of the Black-Scholes option pricing formula |Nummer=98 |Verlag=Frankfurt School - Working Paper Series |Datum=2008 |Online=https://www.econstor.eu/handle/10419/27866 |Abruf=2024-11-29}}</ref>.

== Geschichte ==
[[Robert C. Merton]] war ebenfalls essentiell an der Ausarbeitung beteiligt, veröffentlichte jedoch einen separaten Artikel. Gerechterweise müsste das Modell daher auch seinen Namen tragen, weshalb selten auch vom ''Black-Scholes-Merton-Modell'' gesprochen wird. Jedoch wurde Merton zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem [[Preisträger des Preises der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften in Gedenken an Alfred Nobel#1991-2000|Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften 1997]] geehrt; Fischer Black war bereits 1995 verstorben. Black setzte jedoch auch andere Bewertungsakzente als Scholes und Merton.<ref>[[Perry Mehrling|Mehrling, Perry]]: {{Webarchiv | url=http://www.econ.barnard.columbia.edu/faculty/mehrling/papers/understanding_fischer_black.pdf | wayback=20100622165007 | text=„Understanding Fischer Black“ first draft of the book chapters that deal with Black's academic years „Fischer Black and the Revolutionary Idea of Finance“}} (PDF; 158 kB), 2005</ref>

== Modellrahmen ==
Die zum Black-Scholes-Modell führende Analyse betrachtet ein beliebiges [[Derivat (Wirtschaft)|Derivat]], das eine nicht-[[dividende]]nzahlende Aktie als [[Basiswert]] hat.

=== Annahmen ===
Das ursprüngliche Modell trifft einige idealisierende Annahmen:<ref>Darstellung gemäß: John C. Hull: ''Options, futures and other derivatives.'' 9. Aufl., Pearson Education, 2015, ISBN 978-0-13-345631-8, S. 331.</ref>
# Der Preis des [[Basiswert]]es, – also der [[Börsenkurs|Aktienpreis]], folgt einer [[Geometrische brownsche Bewegung|geometrischen brownschen Bewegung]] mit konstantem Drift und [[Volatilität]].
# Der [[Leerverkauf]] von Finanzinstrumenten ist uneingeschränkt möglich.
# Es gibt keine [[Transaktionskosten]] oder Steuern. Alle Finanzinstrumente sind in beliebig kleinen Einheiten handelbar.
# Von Abschluss bis Fälligkeit des Derivats gibt es keine [[Dividende]]nzahlung auf die zugrunde liegende Aktie.
# Es gibt keine risikolose Möglichkeit zur [[Arbitrage]] ([[Arbitragefreiheit]]).
# Finanzinstrumente werden kontinuierlich gehandelt.
# Es existiert ein risikofreier Zinssatz, der zeitlich konstant und für alle Laufzeiten gleich ist.

In Modellerweiterungen werden auch Dividendenzahlungen, [[Stochastische Analysis|stochastische]] Zinssätze oder stochastische [[Volatilität]]en betrachtet.

=== Black-Scholes-Modell und Black-Scholes-Differentialgleichung ===
Der Grundgedanke ist, aus dem Derivat und der Aktie ein risikoloses Portfolio zu konstruieren.<ref>Die Herleitung in diesem Abschnitt folgt: John C. Hull: ''Options, futures and other derivatives.'' 9. Aufl., Pearson Education, 2015, ISBN 978-0-13-345631-8, S. 331 ff.</ref> „Risikolos“ meint in diesem Zusammenhang, dass der Wert des Portfolios für kurze Zeiträume – gleichbedeutend mit kleinen Änderungen des Aktienkurses – nicht vom Kurs der Aktie abhängt.

Grundannahmen: Wir betrachten einen Zeitraum <math>T\in (0,\infty)</math> und einen Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{F},P)</math> mit einer Filtration <math>\mathbb{F}</math>, welche durch eine brownsche Bewegung <math>W</math> erzeugt wurde und die [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Standardfiltration und die üblichen Bedingungen|üblichen Bedingungen]] erfüllt.

Nach den Annahmen bewegt sich der [[Abzinsung und Aufzinsung|undiskontierte]] Aktienkurs <math>S</math> gemäß einer [[Geometrische Brownsche Bewegung|geometrischen Brownschen Bewegung]] mit [[Inkrement und Dekrement|inkrementellen und dekrementellen]] Kursänderungen, d. h. <math>\mathrm{d}S = \mu \, S \, \mathrm{d}t + \sigma \, S \, \mathrm{d}W</math>. Dabei ist <math>\mu</math> die erwartete Rendite des Aktienkurses, <math>\sigma > 0</math> die [[Volatilität]] und <math>t \geq 0</math> die Zeit. <math>W</math> bezeichnet einen Standard-[[Wiener-Prozess]]. <math>\mathrm{d}W </math> kann als ein [[Infinitesimalzahl|infinitesimaler]] Zuwachs von <math>W_t</math> auf einem Zeitintervall der Länge <math>\mathrm{d}t</math> angesehen werden, d. h. als eine [[Normalverteilung|normalverteilte]] Zufallsvariable mit Erwartungswert <math>0</math> und Varianz <math>\mathrm{d}t </math>.

Sei nun <math>V=V(t,S)</math> in <math>C^2</math>. Mit der [[Itō-Formel]] erhält man für die Änderungen des Wertes <math>V</math> eines Derivats die Formel

:<math display="block">\mathrm{d}V = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu \,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\right) \mathrm{d}t + \sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}\,\mathrm{d}W</math>.

Hierbei sind <math>\mu</math> und <math>W</math> dieselben Größen wie zuvor, da der Preis des Derivats vom Preisprozess der Aktie abhängt.

Der Wiener-Prozess <math>W</math> beeinflusst also den Aktienpreis über einen Faktor <math>\sigma \, S </math> und den Wert des Derivats über einen Faktor <math>\sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}</math>. Das im Sinne der Analyse risikolose Portfolio besteht also aus
:* -1 Derivate (also eine [[Long und Short|Shortposition]] im Derivat)
:* <math>\frac{\partial V}{\partial S}</math> Stücke der Aktien
(oder mit umgekehrtem Vorzeichen: eine [[Long und Short|Longposition]] im Derivat und eine Shortposition in den Aktien in der angegebenen Größe). In der Praxis wird dieses Konzept der Portfolioabsicherung in Form des [[Delta-Hedging]] angewendet.

Mit den gegebenen Portfoliogewichten und den Preisprozessen für Aktie und Derivate lassen sich der Portfoliowert und die Wertänderungen des Portfolios über kurze Zeiträume formulieren.

Der Portfoliowert <math>\ P</math> ist

:<math>P = -V + S\,\frac{\partial V}{\partial S}</math>,

also die Summe des negativen Wertes des Derivats plus des Wertes von <math>\frac{\partial V}{\partial S}</math> Stück Aktien. Die Wertänderung des Portfolios über kurze Zeiträume <math>\mathrm{d}P</math> lässt sich schreiben als

:<math display="block">\mathrm{d}P = -\mathrm{d}V + \mathrm{d}S\,\frac{\partial V}{\partial S} = \left(-\frac{\partial V}{\partial t} - \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\right) \mathrm{d}t</math>.

Die Preisänderungen des Portfolios hängen also weder von den zufälligen Preisänderungen des Aktienkurses aus dem Wienerprozess <math>W</math> noch von der erwartete Aktienrendite <math>\mu</math> ab. Der zweite Punkt ist eine wichtige Erkenntnis aus dem Black-Scholes-Modell.

Da das Portfolio risikolos ist und laut Annahmen keine Arbitragemöglichkeiten bestehen, muss das Portfolio über kurze Zeiträume genau die risikolose Rendite <math>r</math> erwirtschaften, also

:<math>\mathrm{d}P = r\, P\, \mathrm{d}t</math>

Durch Einsetzen in die letzte Gleichung erhält man die Black-Scholes-Differentialgleichung

:<math display="block">\frac{\partial V}{\partial t} + r\,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}=r\,V</math>.

Diese Gleichung ist unter den gegebenen Annahmen für alle Derivate gültig, die sich auf Grundlage des Preisprozesses für <math>S</math> definieren lassen. Die Art des Derivats, für das die Gleichung gelöst werden soll, bestimmt die [[Randwertproblem|Randbedingungen]] für die Differentialgleichung.

[[Marek Musiela]] und [[Marek Rutkowski]] haben darauf hingewiesen, dass das in der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung verwendete Portfolio nicht selbst-finanzierend ist.<ref>{{Literatur |Autor=Marek Musiela, Marek Rutkowski |Titel=Martingale Methods in Financial Modelling |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2005 |DOI= |Seiten=107 |Online= |Abruf=}}</ref> Die Argumentation ist zwar intuitiv und liefert die Black-Scholes-Differentialgleichung. Finanzmathematisch ist die Herleitung jedoch problematisch. Musiela und Rutkowski geben auch eine finanzmathematisch überzeugende Herleitung an.<ref>{{Literatur |Autor=Marek Musiela und Marek Rutkowski |Titel=Martingale Methods in Financial Mathematics |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum= |ISBN= |Seiten=96ff}}</ref>

=== Mehrdimensionales Black-Scholes-Modell ===
Analog lässt sich für <math>n</math> Aktien <math>S^1,\dots,S^n</math> und <math>n</math> Standard-Wiener-Prozessen <math>W^1,\dots,W^n</math>, das mehrdimensionale Black-Scholes-Modell bilden:<ref>{{Literatur|Autor=Rene Carmona und Valdo Durrleman|Datum=2006|Titel=Generalizing the Black-Scholes Formula to Multivariate Contingent Claims|Sammelwerk=Journal of Computational Finance|Band=9|Seiten=43-67|DOI=10.21314/JCF.2005.159}}</ref>
:<math>\mathrm{d}S^i = \mu_i \, S^i \, \mathrm{d}t + S^i\sum\limits_{j=1}^n\sigma_{ij} \, \mathrm{d}W^j,\quad i=1,\dots,n</math>.

== Optionspreise nach Black-Scholes ==
Europäische Optionen erbringen am Ende der Laufzeit (bei <math>t=T</math>) die Kapitalflüsse <math>\mathit{CF_{\text{call}}}(T) = \max\{S-K;0\}</math> für eine [[Kaufoption]] ({{EnS|Call}}) beziehungsweise <math>\mathit{CF_{\text{put}}}(T) = \max\{K-S;0\}</math> für eine [[Verkaufsoption]] ({{EnS|Put}}).

Der faire Preis der Option kann über verschiedene Argumentationen hergeleitet werden. Er kann als diskontierter Erwartungswert der genannten Auszahlungen in <math>T</math> dargestellt werden, wobei der Erwartungswert bezüglich des [[Risikoneutrales Maß|risikoneutralen Maßes]] zu bilden ist. Ein anderer Weg zur Herleitung einer expliziten Formel für die Optionspreise besteht in der Lösung der Black-Scholes-Differentialgleichung, wobei die Auszahlungen bei Fälligkeiten als Randbedingungen berücksichtigt werden.

=== Preisformeln ===
Auf beiden Wegen erhält man die Preisformel nach Black-Scholes für eine europäische Kaufoption

:<math>C(S,t) = S \Phi(d_1) - Ke^{-r(T-t)} \Phi(d_2)</math>

beziehungsweise für eine europäische Verkaufsoption

:<math>P(S,t) = - S\Phi(-d_1) + Ke^{-r(T-t)} \Phi(-d_2)</math>

wobei

:<math>d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}</math>

:<math>d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}</math>

<math>\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{z^2}{2}\Bigr)\,\mathrm dz</math> bezeichnet die [[Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]].

Der Wert einer Option ist also durch 5 Parameter bestimmt:
* <math>S</math>: aktueller Aktienkurs
* <math>r</math>: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatz
* <math>\sigma</math>: Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschluss die einzige unbekannte Größe und damit letztlich Gegenstand der Preisfindung zwischen den Vertragsparteien.
* <math>T-t</math>: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit <math>T</math> zum Zeitpunkt <math>t</math>
* <math>K</math>: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegt

=== Die ''Griechen'' nach Black-Scholes ===
{{Siehe auch|Griechen (Finanzmathematik)}}
Als ''Griechen'' ({{enS|''Greeks''}}) werden die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den jeweiligen Modellparametern bezeichnet. Der Vorteil der expliziten Formel für die Optionspreise – etwa im Gegensatz zu einer [[Numerische Mathematik|numerischen]] Lösung – liegt darin, dass diese Ableitungen leicht berechnet werden können.

Die Griechen sind für das Risikomanagement wichtig. Sie erleichtern es dabei, den Einfluss einzelner Risikofaktoren zu analysieren. Dies gilt insbesondere auf Ebene eines Portfolios von Finanzinstrumenten, wenn der Einfluss einzelner Risikofaktoren – nämlich der Modellparameter – auf das Gesamtportfolio abgeschätzt werden soll. Ein Beispiel wäre ein Portfolio aus Optionen und Positionen im zugehörigen Basiswert, also z. B. Optionen auf den [[Euro-Bund-Future]] und Euro-Bund-Future-Positionen als solche. Über das Delta kann die (lineare) Auswirkung einer Änderung im Future-Preis auf das Gesamtportfolio dargestellt werden.

Deshalb können die Griechen auch zur [[Sicherungsgeschäft|Risikoabsicherung]] verwendet werden. Das bekannteste Beispiel ist das [[Delta-Hedging]]. Anhand der Rho-Sensitivität beispielsweise kann ermittelt werden, wie ein Optionsportfolio gegen Änderungen des Refinanzierungszinssatzes abgesichert werden muss.

== Schwächen ==

Im Black-Scholes-Modell wird die [[Volatilität]] σ als konstant angenommen. Alle ex-post-Berechnungen von [[Empirische Standardabweichung|Standardabweichungen]] der Renditen zeigen aber, dass die Volatilität über die Zeit nicht konstant ist, sondern eher ein sogenanntes [[Volatilitäts-Smile|Volatilitätslächeln]] bildet.

Eine weitere Schwäche besteht darin, dass die Volatilität als wichtigste Variable selbst prognostiziert werden muss. Das geschieht entweder mit Hilfe von Regressionsmodellen über die Extrapolation von Vergangenheitswerten oder über die Bestimmung der impliziten Volatilitäten (siehe dort), die aktuellen Marktpreisen zugrunde liegen könnten.
Außerdem enthält das Modell die vereinfachende Annahme, dass Renditen [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind. Die Normalverteilung enthält wenig Gewicht an ihren Enden, wodurch dem Auftreten von Extremereignissen zu wenig Rechnung getragen werden kann (siehe [[Wölbung (Statistik)]]).

Diese Einschränkungen des Black-Scholes-Modells zeigen sich bei den gehandelten Preisen von Optionen, wenn man die durch die Optionspreise [[implizite Volatilität|implizierten Volatilitäten]] betrachtet. Die implizite Volatilität für eine Option auf einen bestimmten Basiswert ist nicht konstant, sondern ändert sich im Zeitablauf. Zudem hängt die implizite Volatilität für einen bestimmten Zeitpunkt von der [[Geldnähe]] und von der Restlaufzeit der Option (Zeitstruktur der Volatilität) ab. Beide Beobachtungen stimmen nicht mit der Modellannahme einer einheitlichen, konstanten Volatilität überein. Die Verwendung restlaufzeit- und geldnäheabhängiger impliziter Volatilitäten sind eine Methode, mit den Einschränkungen des Black-Scholes-Modells umzugehen. Würde auf dem Optionsmarkt statt der Black-Scholes-Preisformel ein anderes Modell zum Standard, ist anzunehmen, dass sich nicht die gehandelten Optionspreise ändern würden, sondern die vom Modell implizierten Volatilitäten.<ref>[[John C. Hull]]: ''Options, Futures, and Other Derivatives.'' 3rd edition. Prentice Hall International, Upper Saddle River NJ 1997, ISBN 0-13-264367-7, S. 503–505, 510f (''Prentice-Hall International Editions'').</ref>

Erweiterte Modelle, in denen die Volatilität als fallende Funktion vom Aktienkurs angenommen wird, wie z. B. das [[CEV-Modell]], liefern bessere Resultate.

== Herleitung ==
Das Black-Scholes-Modell kann als Grenzfall des zeit- und wertediskreten [[Cox-Ross-Rubinstein-Modell|Binomialmodells]] nach Cox, Ross und Rubinstein interpretiert werden. Indem die Handelsintervalle immer kürzer gesetzt werden, <math>\Delta t \to 0</math> nehmen die Sprünge <math>u(\Delta t)</math> und <math>d(\Delta t)</math> kontrolliert ab. Mit Hilfe des [[Satz von Donsker|Satzes von Donsker]] und dem [[Skorochodscher Einbettungssatz|Skorochodschen Einbettungssatzes]] lässt sich die Konvergenz zur geometrischen brownschen Bewegung zeigen.

Die Aktienkursrenditen im diskreten Modell seien binomialverteilt. Sie konvergieren gegen eine Normalverteilung. Die Aktienkurse sind dann in jedem Zeitpunkt logarithmisch normalverteilt. In der Regel ist eine Schrittzahl von 100 ausreichend mit der Einschränkung [[Exotische Option|exotischer Optionen]] oder Optionssensitivitäten.

== Literatur ==
'''Originalarbeiten'''
* {{Literatur |Autor=[[Fischer Black]], [[Myron Scholes]] |Titel=The Pricing of Options and Corporate Liabilities |Sammelwerk=[[Journal of Political Economy]] |Band=81 |Nummer=3 |Datum=1973 |ISSN=0022-3808 |Seiten=637–654 |DOI=10.1086/260062}}
* {{Literatur |Autor=[[Robert C. Merton]] |Titel= Theory of Rational Option Pricing |Sammelwerk=[[The Bell Journal of Economics and Management Science]] |Band=4 |Nummer=1 |Datum=1973 |ISSN=0005-8556 |Seiten=141–183 |DOI=10.2307/3003143}}

'''Sekundärliteratur'''
* {{Literatur |Autor=Andreas Merk |Titel=Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Theoretische und empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells |Verlag=Gabler Verlag / Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden |Ort=Wiesbaden |Datum=2011 |Reihe=SpringerLink Bücher |ISBN=978-3-8349-2543-5}}
* {{Literatur |Autor=Anatol Porak |Titel=Die Optionspreisformel Von Black und Scholes: Anwendungsmöglichkeiten und Grenzen |Nummer= |Verlag=Springer Gabler. in Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH |Ort=Wiesbaden |Datum=1988 |Reihe=Oikos Studien Zur Ökonomie Ser |ISBN=978-3-409-14783-5}}
* Nasser Saber: ''Speculative Capital.'' Financial Times u. a., London 1999
** Vol. 1: ''The invisible hand of global finance.'' ISBN 0-273-64155-7,
** Vol. 2: ''The nature of risk in capital markets.'' ISBN 0-273-64422-X.

== Weblinks ==
* [https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1997/scholes/lecture Nobel-Vorlesungen 1997] von Scholes und Merton
* {{Webarchiv | url=http://www.ams.org/new-in-math/nobel1997econ.html | wayback=20050420074917 | text=American Mathematical Society}} zum 97er Wirtschaftsnobelpreis, mit weiteren Links
* [http://bradley.bradley.edu/~arr/bsm/model.html Bradley University] mehrseitige, informelle Darstellung mit umfangreicher Bibliographie
* [http://www.matthias-schlecker.de/excel-makros-optionsbewertung-zinstabellen Excel-Makros zur Berechnung des Optionspreises]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Optionsgeschäft]]
[[Kategorie:Ökonomisches Modell]]

Normalverteilung

2025-02-17T10:46:41Z

Sigma^2: /* Zwölferregel */ Weiter oben S in abweichender Bedeutung

{{Infobox Verteilung
| name =
| type = density
| pdf_image = [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px|class=skin-invert]] Dichtefunktionen der Normalverteilung <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün)
| cdf_image = [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|class=skin-invert]] Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün)
| notation = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>
| parameters = <math>\mu \in \R</math> – Erwartungswert <br />
<math>\sigma^2 > 0</math> – Varianz <br />
(<math>\mu</math> ist [[Lagemaß (Stochastik)|Lageparameter]], <math>\sigma</math> ist [[Skalenparameter]])
| support = <math>\mathcal T_X =\R</math>
| pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)</math>
| cdf = <math>\frac12\left(1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right) </math><br />– mit [[Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(x)</math>
| mean = <math>\mu</math>
| median = <math>\mu</math>
| mode = <math>\mu</math>
| variance = <math>\sigma^2\,</math>
| skewness = <math>0</math>
| kurtosis = <math>3</math>
| entropy = <math>\frac12 \log_2(2 \pi e \, \sigma^2)</math>
| mgf = <math>\exp\left(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\right)</math>
| char = <math>\exp\left(i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)</math>
| fisher = <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix}</math> <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}</math>
}}
Die '''Normal-''' oder '''Gauß-Verteilung''' (nach [[Carl Friedrich Gauß]]) ist in der [[Stochastik]] ein wichtiger Typ stetiger [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en. Ihre [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] wird auch ''Gauß-Funktion'', ''gaußsche Normalverteilung'', ''gaußsche Verteilungskurve'', ''Gauß-Kurve'', ''gaußsche Glockenkurve'', ''gaußsche Glockenfunktion'', ''Gauß-Glocke'' oder schlicht ''Glockenkurve'' genannt. Sie hat die Form
:<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \quad x \in \R</math>
mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> und der Standardabweichung <math>\sigma</math>.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind.

In der [[Messtechnik]] wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, um die Streuung von Messwerten zu beschreiben.
Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom [[Erwartungswert]] lassen sich durch die Normalverteilung in guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

* zufällige Streuung von Messwerten,
* zufällige Abweichungen vom [[Sollmaß]] bei der Fertigung von Werkstücken,
* Beschreibung der [[Brownsche Bewegung|brownschen Molekularbewegung]].

Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden. Die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] gibt ihre Breite an.

== Geschichte ==
Im Jahre 1733 zeigte [[Abraham de Moivre]] in seiner Schrift ''The Doctrine of Chances'' im Zusammenhang mit seinen Arbeiten am [[Satz von Moivre-Laplace|Grenzwertsatz für Binomialverteilungen]] eine Abschätzung des [[Binomialkoeffizient]]en, die als Vorform der Normalverteilung gedeutet werden kann.<ref name="Götze 2002" />

Die für die Normierung der Normalverteilungsdichte zur Wahrscheinlichkeitsdichte notwendige Berechnung des nicht[[Elementare Funktion|elementaren]] [[Integralrechnung|Integral]]s
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt = \sqrt{2\pi}</math>
gelang [[Pierre-Simon Laplace]] im Jahr 1782 (nach anderen Quellen [[Siméon Denis Poisson|Poisson]]).

Im Jahr 1809 publizierte Gauß sein Werk ''Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium'' ({{deS}} ''Theorie der Bewegung der in Kegelschnitten sich um die Sonne bewegenden Himmelskörper''), das neben der [[Methode der kleinsten Quadrate]] und der [[Maximum-Likelihood-Schätzung]] die Normalverteilung definiert.
Wiederum Laplace war es, der 1810 den [[Zentraler Grenzwertsatz|Satz vom zentralen Grenzwert]] bewies, der die Grundlage der theoretischen Bedeutung der Normalverteilung darstellt und de Moivres Arbeit am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen abschloss.

[[Adolphe Quetelet]] erkannte schließlich bei Untersuchungen des Brustumfangs von mehreren tausend Soldaten im Jahr 1845 eine verblüffende Übereinstimmung mit der Normalverteilung und brachte die Normalverteilung in die [[angewandte Statistik]].<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Sur l'appréciation des documents statistiques, et en particulier sur l'appréciation des moyennes |Sammelwerk=Bulletin de la Commission Centrale des Statistique |Band=2 |Datum=1845 |Seiten=205–286 |Online=https://books.google.be/books?id=eUxAAAAAcAAJ}}</ref>

Zunächst wurde die Normalverteilung als Fehlergesetz (''Law of Error'') oder Fehlerkurve (''error curve'') bezeichnet. Die erste unzweideutige Verwendung der Bezeichnung „Normalverteilung“ für die Verteilung mit der Formulierung „Normal Curve of Distribution“ wird [[Francis Galton]] (1889)<ref>{{Literatur |Autor=Francis Galton |Titel=Natural Inheritance |Verlag=Macmillan |Ort=London |Datum=1889 |Fundstelle=S. 51, ''Normal Curve of Distribution''}}</ref> zugeschrieben.<ref>{{Literatur |Autor=Herbert A. David |Titel=First (?) Occurence of Common Terms in Mathematical Statistics |Sammelwerk=The American Statistician |Band=49 |Nummer=2 |Seiten=121–133 |Datum=1995 |JSTOR=2684625}}</ref><ref>{{Internetquelle|autor=Jeff Miller |titel= Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics |url=https://web.universiteitleiden.nl/fsw/verduin/stathist/1stword.htm |abruf=2023-09-27}}</ref> Der Wissenschaftshistoriker Stephen M. Stigler identifizierte<ref>{{Literatur |Autor=Stephen M. Stigler |Titel=Statistics on the Table. The History of Statistical Concepts and Methods |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge / London |Datum=1999 |ISBN=0-674-00979-7}}</ref> drei frühere – vermutlich voneinander unabhängige – Verwendungen des Wortes ''normal'' im Zusammenhang mit der später Normalverteilung genannten Verteilung durch [[Charles S. Peirce]] (1873),<ref>{{Literatur |Autor=Charles S. Peirce| Titel=On the theory of errors of observations |Sammelwerk= Report of the Superintendent of the U. S. Coast Survey for the Year Ending June 1870, Appendix no. 21| Seiten=200-224|Kommentar=Wiederabgedruckt in S. M. Stigler (Hrsg.), ''American Contributions to Mathematical Statistics in the Ninteenth Century'', 2 Bände. Arno Press, New York 1980}}</ref> Francis Galton (1877)<ref>{{Literatur |Autor= Francis Galton |Titel= Typical laws of heredity |Sammelwerk=Nature |Band=15 |Datum=1877 |Seiten=492–495, 512–514, 532–533 |Kommentar= Auch publiziert in ''Proceedings of the Royal Institution of Great Britain''. Band 8, 1877, S. 282–301}}</ref> und [[Wilhelm Lexis]] (1877),<ref>{{Literatur |Autor=Wilhelm Lexis |Titel=Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft |Verlag=Fr. Wagner’sche Buchhandlung |Ort=Freiburg i. B. |Datum=1877 |Online=http://dspace.utlib.ee/dspace/bitstream/10062/3542/7/lexistheorieocr.pdf}}</ref> dabei werden eher die beobachteten Werte oder Teile der beobachteten Werte als „normal“ bezeichnet.

{{Anker|Standardnormalverteilung}}

== Definition ==
Eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> hat eine Normalverteilung mit Erwartungswert <math>\mu</math> und [[Standardabweichung]] <math>\sigma
</math> bzw. [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>, wobei <math>\mu,\sigma \in \R ,\; \sigma > 0</math>, oft geschrieben als <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math>, wenn <math>X</math> die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte hat:<ref>Bronstein: [[Taschenbuch der Mathematik]]. Kap. 16, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. </ref><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 47.</ref>

: <math>f(x \mid\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} </math>.

Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Normalverteilung ist, heißt '''normalverteilt'''. Eine normalverteilte Zufallsvariable heißt auch '''gaußsche Zufallsvariable'''.

Eine Normalverteilung mit den Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math> heißt '''Standardnormalverteilung''', '''standardisierte Normalverteilung'''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle =''Normalveretilung'', S. 289}}</ref> oder '''normierte Normalverteilung'''.<ref>{{Literatur |Titel=Bronstein: [[Taschenbuch der Mathematik]]. Kap. 16, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. |Verlag=Harri Deutsch Verlag |Datum=2000 |Auflage= 5 |ISBN=3-8171-2005-2 |Fundstelle=S. 779}}</ref> Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Standardnormalverteilung ist, heißt '''standardnormalverteilt'''. Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion
: <math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^2}</math>,
siehe auch [[Fehlerintegral#Normierung|Fehlerintegral]].

Zur mehrdimensionalen Verallgemeinerung siehe ''[[Mehrdimensionale Normalverteilung]]''.

=== Alternative Definition ===

Alternativ lässt sich die Normalverteilung auch über ihre [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] definieren:
:<math>\mathbb{E} \left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tX}\right] = \mathrm{e}^{\mathrm{i}t\mu-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}, \quad t \in \R\;.</math>
Diese Definition erweitert die obige Definition zusätzlich um den Fall <math>\sigma^2=0</math>.

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert und Varianz ===
Ist <math>X \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, dann gilt für den [[Erwartungswert]]

: <math>\operatorname{E}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\mu</math>

und für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]

: <math>\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\sigma^2</math>.

Insbesondere ist der Erwartungswert der Standardnormalverteilung <math>0</math>, denn für <math>Z \sim \mathcal N\left(0,1\right)</math> gilt

: <math> \operatorname{E}(Z) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = 0,</math>

da der Integrand [[Uneigentliches Integral|integrierbar]] und [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist.

=== Standardisierung ===
Eine Zufallsvariable <math>X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> wird durch [[Standardisierung (Statistik)|Standardisierung]] in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z = (X-\mu)/\sigma</math> überführt.

=== Verteilungsfunktion ===
Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariable ist nicht [[Elementare Funktion|elementar integrierbar]], sodass Wahrscheinlichkeiten [[Numerische Integration|numerisch]] berechnet werden müssen. Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer [[Standardnormalverteilungstabelle]] berechnet werden, die eine [[Standardisierung (Statistik)|Standardform]] verwendet. Dabei bedient man sich der Tatsache, dass die [[Lineare Abbildung|lineare Transformation]] einer normalverteilten Zufallsvariablen zu einer neuen Zufallsvariable führt, die ebenfalls normalverteilt ist. Konkret heißt das, wenn <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math> und <math>Y=aX+b</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> [[Parameter (Mathematik)|Konstanten]] sind mit <math>a \ne 0</math>, dann gilt <math>Y\sim\mathcal{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)</math>. Damit bilden Normalverteilungen eine [[Lage-Skalen-Familie]].

Die [[Verteilungsfunktion]] der Normalverteilung ist durch
: <math>F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt, \quad x \in \R</math>
gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass <math>X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> eine Realisierung im Intervall <math>[a,b]</math> hat, ist damit <math>P(X \in [a,b]) = F(b)-F(a)</math>.

Wenn man durch die [[Substitutionsregel|Substitution]] <math>t=\sigma z + \mu</math> statt <math>t</math> eine neue Integrationsvariable <math>z := \tfrac{t-\mu}{\sigma}</math> einführt, ergibt sich mit <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma = 1</math> (gemäß dem oben angeführten Linearitätskriterium)
: <math>F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{(x-\mu)/\sigma} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm d z = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math>
Dabei ist <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:
: <math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.</math>
Mit der [[Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}</math> lässt sich <math>\Phi</math> darstellen als
: <math>\Phi(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right).</math>

=== Funktionsgraph ===
Der [[Funktionsgraph|Graph]] der [[Dichtefunktion]] <math>f(x \mid\mu,\sigma^2)</math> bildet eine Gaußsche Glockenkurve und ist [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|achsensymmetrisch]] mit dem [[Parameter (Statistik)|Parameter]] <math>\mu</math> als ''Symmetriezentrum'', der auch den Erwartungswert, den [[Median (Stochastik)|Median]] und den [[Modus (Stochastik)|Modus]] der Verteilung darstellt. Vom zweiten Parameter <math>\sigma</math> hängen Höhe und Breite der Wahrscheinlichkeitsdichte ab, die [[Wendepunkt]]e liegen bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>.

Der Graph der Verteilungsfunktion <math>F</math> ist [[Punktsymmetrie#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(\mu ; 0{,}5).</math> Für <math>\mu=0</math> gilt insbesondere <math>\varphi(-x) =\varphi(x)</math> und <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> für alle <math>x \in \R</math>.

Als Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Fläche unter der Kurve|Gesamtfläche unter der Kurve]] gleich <math>1</math>.
Dass jede Normalverteilung normiert ist, ergibt sich über die lineare [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z= \tfrac{x-\mu}\sigma</math>:
: <math> \int_{-\infty}^{+\infty}\frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dx= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1</math>.
Für die Normiertheit des letzteren Integrals siehe [[Fehlerintegral#Normierung|Fehlerintegral]].

=== Momenterzeugende Funktion und höhere Momente ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>-verteilten Normalverteilung <math>X</math> lautet

: <math>m_X(t)=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}2\right)</math>.
Nach dem [[Moment (Stochastik)|stochastischen Moment]] 1. Ordnung, dem Erwartungswert, und dem [[zentrales Moment|zentralen Moment]] 2. Ordnung, der Varianz, ist die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] das zentrale Moment 3. Ordnung. Es ist unabhängig von den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> immer den Wert <math>0</math>. Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] als zentrales Moment 4. Ordnung ist ebenfalls von <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> unabhängig und ist gleich <math>3</math>. Um die Wölbungen anderer Verteilungen besser einschätzen zu können, werden sie oft mit der Wölbung der Normalverteilung verglichen. Dabei wird die Wölbung der Normalverteilung auf <math>0</math> normiert (Subtraktion von 3); diese Größe wird als [[Wölbung (Statistik)#Exzess|Exzess]] bezeichnet.

Die ersten Momente wie sind folgt:
{| class="wikitable zebra centered" style="text-align:right"
! align="right" | Ordnung
! [[Moment (Stochastik)|Moment]]
! [[Moment (Stochastik)#Zentrale Momente|zentrales Moment]]
|----
! align="right" |<math>k</math>
! <math>\operatorname E(X^k)</math>
! <math>\operatorname E((X-\mu)^k)</math>
|---- align="right"
|-
| 0 || <math>1</math> || <math>1</math>
|-
| 1 || <math>\mu</math> || <math>0</math>
|-
| 2 || <math>\mu^2 + \sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math>
|-
| 3 || <math>\mu^3 + 3\mu\sigma^2</math> || <math>0</math>
|-
| 4 || <math>\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4</math> || <math>3 \sigma^4</math>
|-
| 5 || <math>\mu^5 + 10 \mu^3 \sigma^2 + 15 \mu \sigma^4</math> || <math>0</math>
|-
| 6 || <math>\mu^6 + 15 \mu^4 \sigma^2 + 45 \mu^2 \sigma^4 + 15 \sigma^6 </math> || <math> 15 \sigma^6 </math>
|-
| 7 || <math>\mu^7 + 21 \mu^5 \sigma^2 + 105 \mu^3 \sigma^4 + 105 \mu \sigma^6 </math> || <math>0</math>
|-
| 8 || <math>\mu^8 + 28 \mu^6 \sigma^2 + 210 \mu^4 \sigma^4 + 420 \mu^2 \sigma^6 + 105 \sigma^8 </math> || <math> 105 \sigma^8 </math>
|}
Alle zentralen Momente <math>\mu_n</math> lassen sich durch die Standardabweichung <math>\sigma</math> darstellen:

: <math>\mu_{n}=\begin{cases}
0 & \text{wenn }n\text{ ungerade}\\
(n-1)!! \cdot \sigma^n & \text{wenn }n\text{ gerade}\end{cases}</math>

dabei wurde die [[Doppelfakultät]] verwendet:

: <math>(n-1)!! = (n-1)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 1 \quad \mathrm{f\ddot ur}\; n \text{ gerade}.</math>

Auch für <math>X \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> kann eine Formel für nicht-zentrale Momente angegeben werden. Dafür transformiert man <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> und wendet den binomischen Lehrsatz an.
: <math>\operatorname E(X^k) = \operatorname E((\sigma Z + \mu)^k) = \sum_{j=0}^k {k \choose j} \operatorname E(Z^j) \sigma^j \mu^{k-j} = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} {k \choose 2i} \operatorname E(Z^{2i}) \sigma^{2i} \mu^{k-2i} = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} {k \choose 2i} (2i-1)!! \sigma^{2i} \mu^{k-2i}. </math>

Die [[Streuung (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|mittlere absolute Abweichung]] ist <math> \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\sigma \approx 0{,}80\sigma</math> und der [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Quartil|Interquartilsabstand]] <math>\approx 1{,}349\sigma</math>.

=== Standardabweichung ===
[[Datei:Standard deviation diagram.svg|mini|hochkant=1.4|Intervalle um <math alt="µ">\mu</math> bei der Normalverteilung]]
Aus der [[Standardnormalverteilungstabelle]] ist ersichtlich, dass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr
: 68,3 % der [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math alt="µ ± σ">\mu\pm\sigma</math>,
: 95,4 % im Intervall <math alt="µ ± 2σ">\mu\pm 2\sigma</math> und
: 99,7 % im Intervall <math alt="µ ± 3σ">\mu\pm 3\sigma</math>
liegen. Da in der Praxis viele Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, werden diese Werte aus der Normalverteilung oft als Faustformel benutzt. So wird beispielsweise <math>\sigma</math> oft als die halbe Breite des Intervalls angenommen, das die mittleren zwei Drittel der Werte in einer Stichprobe umfasst.

Realisierungen außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung gelten oft als verdächtig, [[Ausreißer]] zu sein. Sie können ein Hinweis auf grobe Fehler der [[Daten]]erfassung oder auch auf das Nichtvorhandensein einer Normalverteilung sein. Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. jeder 20. Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung und ca. jeder 370. Messwert außerhalb der dreifachen Standardabweichung, ohne dass es sich dabei um Ausreißer handelt.

[[Datei:Confidence interval by Standard deviation.svg|mini|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit <math>P(-z \leq Z \leq z)</math> einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math> von <math>z \in[0,4]</math>]]
[[Datei:NormalverteilungAnteilAusserhalb.png|thumb|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit <math>P(|Z| > z)</math> einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math> von <math>z \in[0,6]</math>]]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> einen Wert im Intervall <math>[\mu -z\sigma,\mu+z\sigma]</math> annimmt, ist genau so groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> einen Wert im Intervall <math>[-z,z]</math> annimmt, es gilt also
:<math>p = P(X \in [\mu - z \sigma,\mu + z \sigma]) = P(Z \in [-z,z])</math>.<ref> Es gilt
:<math>P(\mu - z \sigma \leq X \leq \mu + z \sigma) = P\left(-z \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq z\right) = P(-z \leq Z \leq z)\;.</math>
Die letzte Gleichung gilt, da die standardisierte Zufallsvariable <math>(X-\mu)/\sigma</math> standardnormalverteilt ist.</ref>
Damit können bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen für Normalverteilungen mit beliebigen Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> auf die Standardnormalverteilung zurückgeführt werden.

Die Wahrscheinlichkeit <math>p</math> kann alternativ durch die Verteilungsfunktion <math>\Phi</math> der Standardnormalverteilung oder durch die Fehlerfunktion <math>\operatorname{erf}</math> ausgedrückt werden:
:<math>p = 2 \Phi(z) - 1 = \operatorname{erf}(z/\sqrt 2).</math><ref>Es gilt

: <math>P(Z \in [-z,z]) =P(-z \leq Z \leq z ) = \int_{-z}^{+z}\varphi(t) \mathrm{d}t= \Phi(z) -\Phi(-z) = \Phi(z) - (1 - \Phi(z)) = 2 \Phi(z)-1\,.</math>
Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, da die Standardnormalverteilung symmetrisch zu Null ist.</ref>
Umgekehrt ist zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit <math>p \in (0,1)</math> die Stelle <math>z</math>, für
die <math>p = P(Z \in [- z,z])</math> gilt, durch
:<math>z = \Phi^{-1}\left(\frac{p+1}{2}\right) = \sqrt 2\cdot \operatorname{erf}^{-1}(p)</math>
gegeben.

{| class="wikitable"
|+ Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math>
|-
! <math>z</math>
! <math>P(Z \in [-z,z])</math>
! <math>P(Z \notin [-z,z])</math>
|-
| 0,674490
| 50 %
| 50 %
|-
| 1
| 68,268 9492 %
| 31,731 0508 %
|-
| 1,17741<br>(Halbwertsbreite)
|76,096 8106 %
|23,903 1891 %
|-
| 1,644854
| 90 %
| 10 %
|-
| 2
| 95,449 9736 %
| 4,550 0264 %
|-
| 2,575829
| 99 %
| 1 %
|-
| 3
| 99,730 0204 %
| 0,269 9796 %
|-
| 3,290527
| 99,9 %
| 0,1 %
|-
| 3,890592
| 99,99 %
| 0,01 %
|-
| 4
| 99,993 666 %
| 0,006 334 %
|-
| 4,417173
| 99,999 %
| 0,001 %
|-
| 4,891638
| 99,9999 %
| 0,0001 %
|-
| 5
| 99,999 942 6697 %
| 0,000 057 3303 %
|-
| 5,326724
| 99,999 99 %
| 0,000 01 %
|-
| 5,730729
| 99,999 999 %
| 0,000 001 %
|-
| 6
| 99,999 999 8027 %
| 0,000 000 1973 %

|}

=== Halbwertsbreite ===
Der Wert der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung fällt auf die Hälfte des Maximums, wenn <math>e^{-t^2/2} = \frac{1}{2}</math>, also bei <math>t = \sqrt{2 \ln 2} \approx 1{,}177</math>. Die [[Halbwertsbreite]] ist damit das <math>2 \sqrt{2 \ln 2} \approx 2{,}355</math>fache der Standardabweichung.

=== Variationskoeffizient ===
Aus Erwartungswert <math>\mu</math> und Standardabweichung <math>\sigma</math> der <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>-Verteilung erhält man unmittelbar den [[Variationskoeffizient]]en
: <math>\operatorname{VarK} = \frac{\sigma}{\mu}.</math>

=== Kumulanten ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] ist
: <math>g_X(t)= \mu t+\frac{\sigma^2 t^2}2 </math>

Damit ist die erste [[Kumulante]] <math> \kappa_1=\mu </math>, die zweite ist <math> \kappa_2=\sigma^2 </math> und alle weiteren Kumulanten verschwinden.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> ist
: <math>\psi_Z(t) = e^{-\frac 12 t^2}</math>.

Für eine Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)</math> erhält man daraus mit <math>X = \sigma Z + \mu</math>:

: <math>\psi_X(t)=\operatorname E(e^{it(\sigma Z + \mu)})=\operatorname E(e^{it\sigma Z}e^{it\mu})= e^{it\mu}\operatorname{E}(e^{it\sigma Z})=e^{it\mu}\psi_Z(\sigma t)= \exp\left(it\mu-\tfrac 12 \sigma^2 t^2\right)</math>.

=== Invarianz gegenüber Faltung ===
Die Normalverteilung ist [[Invariante (Mathematik)|invariant]] gegenüber der [[Faltung (Stochastik)|Faltung]], d. h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter [[Alpha-stabile Verteilungen|stabile Verteilungen]] bzw. unter [[Unendliche Teilbarkeit|unendliche teilbare Verteilungen]]). Somit bildet die Normalverteilung eine [[Faltungshalbgruppe]] in ihren beiden Parametern. Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der Standardabweichung <math>\sigma_a</math> mit einer Gaußkurve der Standardabweichung <math>\sigma_b</math> ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Standardabweichung
: <math>\sigma_c = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2}</math>.
Sind also <math>X, Y</math> zwei unabhängige Zufallsvariablen mit
: <math>X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2),</math>
so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt:
: <math>X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)</math>.

Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. [[Faltungssatz]] der Fouriertransformation).

Damit ist jede [[Linearkombination]] wieder normalverteilt. Nach dem [[Satz von Cramér (Normalverteilung)|Satz von Cramér]] gilt sogar die Umkehrung: Ist eine normalverteilte Zufallsvariable die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen, dann sind die Summanden ebenfalls normalverteilt. Man spricht davon, dass die Normalverteilung reproduktiv ist bzw. die [[Reproduktivitätseigenschaft]] besitzt.

Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist ein [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] der [[Fourier-Transformation]], d. h., die Fourier-Transformierte einer Gaußkurve ist wieder eine Gaußkurve. Das Produkt der [[Varianz (Stochastik)|Standardabweichungen]] dieser korrespondierenden Gaußkurven ist konstant; es gilt die [[Heisenbergsche Unschärferelation]].

=== Entropie ===
Eine normalverteilte Zufallsvariable hat die [[Shannon-Entropie]] <math>\log_2\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Fundstelle=S. 302}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes et al. | Datum=2011 |Fundstelle=S. 144}}</ref>
Sie hat für gegebenen Erwartungswert und gegebene Varianz die größte Entropie unter allen stetigen Verteilungen.<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle =''Entropie einer Zufallsgröße'', S. 86}}</ref>

== Anwendung ==

=== Beispiel zur Standardabweichung ===
Die [[Körpergröße]] des Menschen ist näherungsweise normalverteilt. Bei einer Stichprobe von 1.284 Mädchen und 1.063 Jungen zwischen 14 und 18 Jahren wurde bei den Mädchen eine durchschnittliche Körpergröße von 166,3 cm (Standardabweichung 6,39 cm) und bei den Jungen eine durchschnittliche Körpergröße von 176,8 cm (Standardabweichung 7,46 cm) gemessen.<ref>Mareke Arends: ''Epidemiologie bulimischer Symptomatik unter 10-Klässlern in der Stadt Halle.'' Dissertation. Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, 2005, Tabelle 9, S. 30. {{URN|nbn:de:gbv:3-000008151}}</ref>

Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten, dass 68,3 % der Mädchen eine Körpergröße im Bereich 166,3 cm ± 6,39 cm und 95,4 % im Bereich 166,3 cm ± 12,8 cm haben, also
* 16 % [≈ (100 % − 68,3 %)/2] der Mädchen kleiner als 160 cm (und 16 % entsprechend größer als 173 cm) sind und
* 2,5 % [≈ (100 % − 95,4 %)/2] der Mädchen kleiner als 154 cm (und 2,5 % entsprechend größer als 179 cm) sind.

Für die Jungen lässt sich erwarten, dass 68,3 % eine Körpergröße im Bereich 176,8 cm ± 7,46 cm und 95,4 % im Bereich 176,8 cm ± 14,92 cm haben, also
* 16 % der Jungen kleiner als 169 cm (und 16 % größer als 184 cm) und
* 2,5 % der Jungen kleiner als 162 cm (und 2,5 % größer als 192 cm) sind.

=== Kontaminierte Normalverteilung ===
[[Datei:Kontaminierte Normalverteilung.svg|mini|Normalverteilung (a) und kontaminierte Normalverteilung (b)]]
{{Hauptartikel|Kontaminierte Normalverteilung}}

Von der Verteilung
: <math>P = 0{,}9\cdot\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)+0{,}1\cdot\mathcal{N}(\mu,(10\sigma)^2)</math>
ist die Standardabweichung <math>\overline\sigma</math>. Die Verteilung ist optisch kaum von der Normalverteilung zu unterscheiden (siehe Bild), aber bei ihr liegen im Intervall <math>\mu\pm\overline\sigma</math> 92,5 % der Werte. Solche kontaminierten Normalverteilungen sind in der Praxis häufig; das genannte Beispiel beschreibt die Situation, wenn zehn Präzisionsmaschinen etwas herstellen, aber eine davon schlecht justiert ist und mit zehnmal so hohen Abweichungen wie die anderen neun produziert.

=== Gestutzte Normalverteilung ===
{{Hauptartikel|Stutzung#Gestutzte_Normalverteilung}}
Bei der gestutzten Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f</math> außerhalb eines Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math>a,b\in\R</math> gleich Null. Entsprechend erhöht sich <math>f</math> in dem Intervall, so dass das Integral <math>\int_a^bf=1</math> bleibt.

=== Six Sigma ===
{{Hauptartikel|Six Sigma}}
Da der Anteil der Werte außerhalb der sechsfachen Standardabweichung mit ca. 2 [[Parts per billion|ppb]] verschwindend klein wird, gilt ein solches Intervall als gutes Maß für eine nahezu vollständige Abdeckung aller Werte. Das wird im Qualitätsmanagement durch die Methode [[Six Sigma]] genutzt, indem die Prozessanforderungen Toleranzgrenzen von mindestens <math>6\sigma</math> vorschreiben. Allerdings geht man dort von einer langfristigen Erwartungswertverschiebung um 1,5 Standardabweichungen aus, sodass der zulässige Fehleranteil auf 3,4 [[Parts per million|ppm]] steigt. Dieser Fehleranteil entspricht einer viereinhalbfachen Standardabweichung (<math>4{,}5\ \sigma</math>). Ein weiteres Problem der <math>6\sigma</math>-Methode ist, dass die <math>6\sigma</math>-Punkte praktisch nicht bestimmbar sind. Bei unbekannter Verteilung (d. h., wenn es sich nicht ''ganz sicher'' um eine Normalverteilung handelt) grenzen zum Beispiel die Extremwerte von 1.400.000.000 Messungen ein 75-%-[[Konfidenzintervall]] für die <math>6\sigma</math>-Punkte ein.<ref>H. Schmid, A. Huber: [http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014sscm.pdf ''Measuring a Small Number of Samples and the 3σ Fallacy.''] (PDF; 1,6 MB) In: ''IEEE Solid-State Circuits Magazine'', Band 6, Nr. 2, 2014, S. 52–58, [[doi:10.1109/MSSC.2014.2313714]].</ref>

== Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen ==
=== Normalverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung ===
Die [[Binomialverteilung]] ist eine diskrete Verteilung, die sich aus einer Anzahl an Versuchen <math>n</math> ergibt. Jeder einzelne Versuch hat die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges <math>p</math>. Die Binomialverteilung <math>B(k \mid p,n)</math> gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass die <math>n</math> Versuche genau <math>k</math>-mal ein Erfolg war, mit <math>0\leq k\leq n</math>.

Durch einen Grenzübergang für <math>n \to \infty</math> ergeben sich die Dichtefunktion einer Normalverteilung aus der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] der Binomialverteilung ([[Satz von Moivre-Laplace|lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace]]) und die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung aus der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ([[Satz von Moivre-Laplace|globaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace]]). Dies ist eine Rechtfertigung dafür, die Binomialverteilung mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math> für hinreichend große <math>n</math> durch die Normalverteilung <math>\mathcal{N}(np, np(1-p))</math> zu approximieren.

=== Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ===
{{Hauptartikel|Normal-Approximation}}
Die Normalverteilung kann zur Approximation der [[Binomialverteilung]] verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist ([[Satz von Moivre-Laplace]], [[zentraler Grenzwertsatz]], zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter [[Galtonbrett]]).

Ist ein Bernoulli-Versuch mit <math>n</math> voneinander unabhängigen Stufen (bzw. [[Zufallsexperiment]]en) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge allgemein durch <math>P(X=k) = \tbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \dotsc, n</math> berechnen ([[Binomialverteilung]]).

Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn <math>n</math> hinreichend groß und <math>p</math> weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt <math>np(1-p)\geq 9</math>. Für den Erwartungswert <math>\mu</math> und die Standardabweichung <math>\sigma</math> gilt dann:
: <math>\mu=n\cdot p </math> und <math>\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}</math>.
Damit gilt für die Standardabweichung <math>\sigma\geq 3</math>.

Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: <math>np\geq 4</math> und zugleich <math>n(1-p)\geq 4</math>.

Folgende Näherung ist dann brauchbar:

: <math>\begin{align}
P(x_1 \leq X \leq x_2) &= \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}}\\
&\approx \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}.
\end{align}</math>

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn <math>\sigma</math> einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.

Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte beim Rechnen mit einer binomialverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> geachtet werden:
* Der Unterschied zwischen <math><</math> oder <math>\leq</math> (sowie zwischen ''größer'' und ''größer gleich'') muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei <math>P(X<x)</math> die nächstkleinere [[natürliche Zahl]] gewählt werden, d. h.
:: <math>P(X<x)=P(X\leq x-1)</math> bzw. <math>P(X >x)=P(X\geq x+1)</math>,
: damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann.
: Zum Beispiel: <math>P(X<70) = P(X\leq 69)</math>

* Außerdem ist
:: <math> P(X \leq x) = P(0 \leq X \leq x) </math>
:: <math> P(X \geq x) = P(x \leq X \leq n) </math>
:: <math> P(X = x) = P(x \leq X \leq x) </math> (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur)
: und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.

Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können.

=== Beziehung zur Cauchy-Verteilung ===
Der [[Quotient]] von zwei stochastisch unabhängigen <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist [[Cauchy-Verteilung|Cauchy-verteilt]].

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
Das [[Quadrat (Mathematik)|Quadrat]] einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen hat eine [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit einem [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgrad]]. Also: Wenn <math>Z\sim\mathcal{N}(0,1)</math>, dann <math>Z^2\sim\chi^2(1)</math>. Weiterhin gilt: Wenn <math>\chi^2(r_1), \chi^2(r_2), \dotsc, \chi^2(r_n)</math> gemeinsam [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängige]] Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen sind, dann gilt

: <math>Y=\chi^2(r_1)+\chi^2(r_2)+\dotsb+\chi^2(r_n)\sim\chi^2(r_1+\dotsb+r_n)</math>.

Daraus folgt mit unabhängig und standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z_1,Z_2,\dotsc,Z_n</math>:<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 49.</ref>
: <math>Y=Z_1^2+\dotsb+Z_n^2\sim\chi^2(n)</math>

Weitere Beziehungen sind:

* Die Summe <math>X_{n-1}=\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} (Z_{i}-\overline Z)^{2}</math> mit <math>\overline Z:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Z_i</math> und <math>n</math> unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen <math>Z_i\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), \;i=1, \dotsc, n</math> genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung <math>X_{n-1}\sim\chi^2_{n-1}</math> mit <math>(n-1)</math> Freiheitsgraden.

* Mit steigender [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Anzahl an Freiheitsgraden]] (''df'' ≫ 100) nähert sich die Chi-Quadrat-Verteilung der Normalverteilung an.

* Die Chi-Quadrat-Verteilung wird zur [[Konfidenzintervall|Konfidenzschätzung]] für die Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit verwendet.

=== Beziehung zur Rayleigh-Verteilung ===
Der Betrag <math>Z = \sqrt{X^2 + Y^2}</math> zweier unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen <math>X, Y</math>, jeweils mit Mittelwert <math>\mu_X = \mu_Y = 0</math> und gleichen Varianzen <math>\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2</math>, ist [[Rayleigh-Verteilung|Rayleigh-verteilt]] mit Parameter <math>\sigma > 0</math>.

=== Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung ===
Ist die Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})</math>, dann ist die Zufallsvariable <math>Y=e^{X}</math> [[Logarithmische Normalverteilung|logarithmisch-normalverteilt]], also <math>Y \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})</math>.

Die Entstehung einer [[Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen.

=== Beziehung zur F-Verteilung ===
Wenn die stochastisch unabhängigen und normalverteilten Zufallsvariablen <math>X_1^{(1)}, X_2^{(1)}, \dotsc, X_{n_1}^{(1)}</math> und <math>X_1^{(2)}, X_2^{(2)}, \dotsc, X_{n_2}^{(2)}</math> die Parameter
: <math>\operatorname E(X_{i}^{(1)})=\mu_{1},\quad\operatorname{Var}(X_{i}^{(1)})=\sigma^2_{1}\quad\text{für }i=1,\dots,n_1 </math>
und
: <math>\operatorname E(X_{i}^{(2)})=\mu_{2},\quad\operatorname{Var}(X_{i}^{(2)})=\sigma_{2}^2 \quad\text{für }i=1,\dots, n_2 </math>
besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable
: <math>Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:=\frac{\sigma_{2}^2(n_{2}-1)\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-\overline{{X}}^{(1)})^{2}}
{\sigma_{1}^2(n_{1}-1)\sum\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\overline{{X}}^{(2)})^{2}}</math>
einer [[F-Verteilung]] mit <math>((n_{1}-1,n_{2}-1))</math> Freiheitsgraden. Dabei sind
: <math>\overline{X}^{(1)}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)},\quad
\overline{X}^{(2)}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}</math>.

=== Beziehung zur studentschen t-Verteilung ===
Wenn die stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> identisch normalverteilt sind mit den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math>, dann unterliegt die stetige Zufallsvariable
: <math>Y_{n-1}=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}</math>
mit dem Stichprobenmittel <math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math>, der Stichprobenvarianz <math>S^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math> und <math>S := \sqrt{S^2}</math> einer [[Studentsche t-Verteilung|studentschen t-Verteilung]] mit <math>(n-1)</math> Freiheitsgraden.

Für eine zunehmende Anzahl an Freiheitsgraden nähert sich die studentsche t-Verteilung der Normalverteilung immer näher an. Als Faustregel gilt, dass man ab ca. <math>df > 30</math> die studentsche t-Verteilung bei Bedarf durch die Normalverteilung approximieren kann.

Die studentsche t-Verteilung wird zur [[Konfidenzintervall|Konfidenzschätzung]] für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable bei unbekannter Varianz verwendet.

== Testen auf Normalverteilung ==
[[Datei:Quantile graph.svg|mini|300px|[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] einer Normalverteilung und einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]]]]
[[Datei:Anpassungstests.svg|mini|300px|Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt.]]
Um zu überprüfen, ob vorliegende Daten normalverteilt sind, können unter anderen folgende Methoden und Tests angewandt werden:
* [[Chi-Quadrat-Test]]
* [[Kolmogorow-Smirnow-Test]]
* [[Anderson-Darling-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
* [[Lilliefors-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
* [[Cramér-von-Mises-Test]]
* [[Shapiro-Wilk-Test]]
* [[Jarque-Bera-Test]]
* [[Q-Q-Plot]] (deskriptive Überprüfung)
* [[Maximum-Likelihood-Methode]] (deskriptive Überprüfung)
Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. So erkennt der Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen in der Mitte der Verteilung eher als Abweichungen an den Rändern, während der Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel auf stark abweichende Einzelwerte an den Rändern („[[Verteilung mit schweren Rändern|schwere Ränder]]“) reagiert.

Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d. h., <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.

Mit Hilfe von [[Quantil-Quantil-Diagramm]]en bzw. Normal-Quantil-Diagrammen ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.<br />Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden.

== Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen ==
Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable <math>x \sim \mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, so ist <math>a \cdot x + b</math> schließlich <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt.

=== Box-Muller-Methode ===
Nach der [[Box-Muller-Methode]] lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> aus zwei unabhängigen, [[Gleichverteilung|gleichverteilten]] Zufallsvariablen <math>U_1,U_2 \sim U(0,1)</math>, sogenannten [[Standardzufallszahl]]en, simulieren:

: <math>X= \cos( 2 \pi U_1) \sqrt{-2\ln U_2}</math>

und
: <math>Y = \sin ( 2 \pi U_1 ) \sqrt{-2 \ln U_2}.</math>

=== Polar-Methode ===
{{Hauptartikel|Polar-Methode}}

Die Polar-Methode von [[George Marsaglia]] ist auf einem Computer schneller, da sie keine Auswertungen von trigonometrischen Funktionen benötigt:

# Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall <math>[-1, 1]</math> gleichverteilte Zufallszahlen <math>u_1</math> und <math>u_2</math>
# Berechne <math>q=u_1^2+u_2^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1.
# Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>.
# <math>x_i=u_i \cdot p</math> für <math>i=1,2</math> liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.


=== Ziggurat-Algorithmus ===
Der Ziggurat-Algorithmus, der ebenfalls von George Marsaglia entwickelt wurde, ist effizienter als die Box-Muller-Methode.<ref>{{Literatur |Autor=Michael Günther, Ansgar Jüngel |Titel=Finanzderivate mit MATLAB - Mathematische Modellierung und numerische Simulation |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Datum=2003 |ISBN=9783834808790 |Seiten=115}}</ref> Er ist der voreingestellte Algorithmus, mit dem in [[Matlab]] und [[GNU Octave|Octave]] normalverteilte Zufallszahlen erzeugt werden.<ref>{{Internetquelle |url=https://de.mathworks.com/help/matlab/math/creating-and-controlling-a-random-number-stream.html#brvfsq3-2%20Matlab-Hilfe |titel=Creating and Controlling a Random Number Stream in Matlab |sprache=de |abruf=2023-09-16}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://octave.sourceforge.io/octave/function/randn.html |titel=Octave Function Reference: randn |abruf=2023-09-16}}</ref>

=== Verwerfungsmethode ===
Normalverteilungen lassen sich mit der [[Verwerfungsmethode]] (siehe dort) simulieren.

=== Inversionsmethode ===
Die Normalverteilung lässt sich auch mit der [[Inversionsmethode]] berechnen.

Mit der <math>[-1,1]</math>-gleichverteilten Verteilung <math>X</math> wird über die Inverse Verteilungsfunktion die Standardnormalverteilung erzeugt:

:<math>Y = \mathbb{erf}^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}X\right)</math>

Da die inverse Verteilungsfunktion nicht explizit mit elementaren Funktionen darstellbar ist, muss man auf eine komplexere numerische Darstellung zurückgreifen, mit relativ hohem Aufwand. Reihenentwicklungen sind in der Literatur zu finden.<ref>William B. Jones, W. J. Thron: ''Continued Fractions: Analytic Theory and Applications.'' Addison-Wesley, 1980.</ref>

=== Zwölferregel ===
Die [[Zwölferregel]] liefert keine exakte Normalverteilung, diese wird nur genähert. Der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] besagt, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilter Zufallszahlen]] einer Normalverteilung nähert.

Nach der [[Zwölferregel]] wird die Standardnormalverteilung durch die Verteilung der Zufallsvariablen <math>Y-6</math> approximiert, wobei <math>Y</math> die Summe von zwölf stochastisch unabhängigen, im Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen <math>X_1,\dots,X_{12}</math> ist. Der Erwartungswert von <math>Y</math> ist 6 und die Varianz von <math>Y</math> ist 1, sodass die Zufallsvariable <math>Y - 6</math> den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 hat. Dies führt für viele Anwendungen zu einer akzeptablen Approximation einer Standardnormalverteilung durch die Verteilung der Zufallsvariablen <math>Y-6</math>. Das Verfahren ist allerdings weder effizient noch wird eine echte Normalverteilung erreicht.

Zudem ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen <math>X_i</math> bei den immer noch häufig verwendeten [[Kongruenzgenerator#Linearer Kongruenzgenerator|Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG)]] nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom [[Spektraltest]] für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der <math>X_i</math> garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z. B. dem [[Mersenne-Twister]] (Standard in [[Python (Programmiersprache)|Python]], [[GNU R]]) oder [[WELL]] genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren sind daher der Zwölferregel vorzuziehen.

== Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
In der Statistik ist die Normalverteilung eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird verwendet zur Modellierung einer Merkmalsverteilung in der Grundgesamtheit und zur Modellierung der Verteilung von Messfehlern. Außerdem entsteht sie als [[asymptotische Normalität |asymptotische Verteilung]] von Schätzfunktionen und allgemeineren Statistiken, siehe dazu [[zentrale Grenzwertsätze]] der Statistik.

Die Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der [[Physik]] für das [[Amplitude]]nprofil der [[Gauß-Strahl]]en und andere Verteilungsprofile.

Zudem findet sie Verwendung in der [[Gabor-Transformation]] im Bereich der Signal- und Bildbearbeitung.

== Siehe auch ==
* [[Normalverteilungsmodell]]
* [[Additives weißes gaußsches Rauschen]]
* [[Lineare Regression]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes, Merran Evans, Nicholas Hastings, Brain Peacock |Auflage=4| Verlag=Wiley & Sons |Ort=Hoboken | Datum=2011 |ISBN=978-0-470-39063-4 |Fundstelle=Kap. 33: ''Normal (Gaussian) Distribution'', S. 143–148}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Normalverteilung'', S. 288–290}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=Teil B, Kap. 3.10.1: ''Eindimensionale Normalverteilung'', S. 298–306}}
* {{Literatur |Autor=Jagdish K. Patel, Campbell R. Read |Titel=Handbook of the Normal Distribution |Reihe=Statistics:Textbooks and Monographs |Auflage=Second edition, revised and expanded |Verlag=Dekker |Ort=New York / Basel / Hong Kong |Datum=1966 |ISBN=0-8247-9342-0}}
* Stephen M. Stigler: ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.'' Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 978-0-674-40341-3.
* {{Literatur |Autor=[[Paul J. Nahin]]|Titel=The Probability Integral. Its Origin, Its Importance, and Its Calculation|Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-38415-8}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Normal distribution|Normalverteilung|audio=1|video=1}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Normalverteilung|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math>: Mathematik für die Schule |suffix=-}}
{{Wikibooks|Statistik: Normalverteilung|Anschauliche Darstellung der Normalverteilung}}
* [https://matheguru.com/stochastik/normalverteilung.html Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen]
* {{Webarchiv | url=http://www.madeasy.de/2/gauss.htm | wayback=20180207233344 | text=Darstellung mit Programmcode}} in [[Visual Basic Classic]]
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=deutsch Online-Rechner Normalverteilung]
* Santa Cruz Institute for Particle Physics: [https://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C/NormalApprox.pdf The Normal Approximation to the Binomial Distribution]
* University of Connecticut: [https://probability.oer.math.uconn.edu/wp-content/uploads/sites/2187/2018/01/prob3160ch9.pdf Normal approximation to the binomial]
* Universität Uppsala: [https://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:425478/FULLTEXT01.pdf Approximating the Binomial Distribution by the Normal Distribution – Error and Accuracy]
* University of Saskatchewan: [https://openpress.usask.ca/introtoappliedstatsforpsych/chapter/5-2-the-normal-distribution-as-a-limit-of-binomial-distributions/ The Normal Distribution as a Limit of Binomial Distributions]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Götze 2002">
{{Literatur
|Autor=Wolfgang Götze, Christel Deutschmann, Heike Link
|Titel=Statistik. Lehr- und Übungsbuch mit Beispielen aus der Tourismus- und Verkehrswirtschaft
|Verlag=Oldenbourg
|Ort=München
|Datum=2002
|ISBN=3-486-27233-0
|Seiten=170
|Online={{Google Buch |BuchID=lRPnBQAAQBAJ |Seite=170}}}}
</ref>
</references>

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}{{Normdaten|TYP=s|GND=4075494-7}}
[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Normalverteilung

2025-02-17T10:41:55Z

Sigma^2: /* Beziehung zur studentschen t-Verteilung */ Klarstellung, vgl. letzte Änderungen

{{Infobox Verteilung
| name =
| type = density
| pdf_image = [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px|class=skin-invert]] Dichtefunktionen der Normalverteilung <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün)
| cdf_image = [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|class=skin-invert]] Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün)
| notation = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>
| parameters = <math>\mu \in \R</math> – Erwartungswert <br />
<math>\sigma^2 > 0</math> – Varianz <br />
(<math>\mu</math> ist [[Lagemaß (Stochastik)|Lageparameter]], <math>\sigma</math> ist [[Skalenparameter]])
| support = <math>\mathcal T_X =\R</math>
| pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)</math>
| cdf = <math>\frac12\left(1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right) </math><br />– mit [[Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(x)</math>
| mean = <math>\mu</math>
| median = <math>\mu</math>
| mode = <math>\mu</math>
| variance = <math>\sigma^2\,</math>
| skewness = <math>0</math>
| kurtosis = <math>3</math>
| entropy = <math>\frac12 \log_2(2 \pi e \, \sigma^2)</math>
| mgf = <math>\exp\left(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\right)</math>
| char = <math>\exp\left(i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)</math>
| fisher = <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix}</math> <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}</math>
}}
Die '''Normal-''' oder '''Gauß-Verteilung''' (nach [[Carl Friedrich Gauß]]) ist in der [[Stochastik]] ein wichtiger Typ stetiger [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en. Ihre [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] wird auch ''Gauß-Funktion'', ''gaußsche Normalverteilung'', ''gaußsche Verteilungskurve'', ''Gauß-Kurve'', ''gaußsche Glockenkurve'', ''gaußsche Glockenfunktion'', ''Gauß-Glocke'' oder schlicht ''Glockenkurve'' genannt. Sie hat die Form
:<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \quad x \in \R</math>
mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> und der Standardabweichung <math>\sigma</math>.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind.

In der [[Messtechnik]] wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, um die Streuung von Messwerten zu beschreiben.
Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom [[Erwartungswert]] lassen sich durch die Normalverteilung in guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

* zufällige Streuung von Messwerten,
* zufällige Abweichungen vom [[Sollmaß]] bei der Fertigung von Werkstücken,
* Beschreibung der [[Brownsche Bewegung|brownschen Molekularbewegung]].

Der Erwartungswert kann als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden. Die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] gibt ihre Breite an.

== Geschichte ==
Im Jahre 1733 zeigte [[Abraham de Moivre]] in seiner Schrift ''The Doctrine of Chances'' im Zusammenhang mit seinen Arbeiten am [[Satz von Moivre-Laplace|Grenzwertsatz für Binomialverteilungen]] eine Abschätzung des [[Binomialkoeffizient]]en, die als Vorform der Normalverteilung gedeutet werden kann.<ref name="Götze 2002" />

Die für die Normierung der Normalverteilungsdichte zur Wahrscheinlichkeitsdichte notwendige Berechnung des nicht[[Elementare Funktion|elementaren]] [[Integralrechnung|Integral]]s
: <math>\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt = \sqrt{2\pi}</math>
gelang [[Pierre-Simon Laplace]] im Jahr 1782 (nach anderen Quellen [[Siméon Denis Poisson|Poisson]]).

Im Jahr 1809 publizierte Gauß sein Werk ''Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium'' ({{deS}} ''Theorie der Bewegung der in Kegelschnitten sich um die Sonne bewegenden Himmelskörper''), das neben der [[Methode der kleinsten Quadrate]] und der [[Maximum-Likelihood-Schätzung]] die Normalverteilung definiert.
Wiederum Laplace war es, der 1810 den [[Zentraler Grenzwertsatz|Satz vom zentralen Grenzwert]] bewies, der die Grundlage der theoretischen Bedeutung der Normalverteilung darstellt und de Moivres Arbeit am Grenzwertsatz für Binomialverteilungen abschloss.

[[Adolphe Quetelet]] erkannte schließlich bei Untersuchungen des Brustumfangs von mehreren tausend Soldaten im Jahr 1845 eine verblüffende Übereinstimmung mit der Normalverteilung und brachte die Normalverteilung in die [[angewandte Statistik]].<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Sur l'appréciation des documents statistiques, et en particulier sur l'appréciation des moyennes |Sammelwerk=Bulletin de la Commission Centrale des Statistique |Band=2 |Datum=1845 |Seiten=205–286 |Online=https://books.google.be/books?id=eUxAAAAAcAAJ}}</ref>

Zunächst wurde die Normalverteilung als Fehlergesetz (''Law of Error'') oder Fehlerkurve (''error curve'') bezeichnet. Die erste unzweideutige Verwendung der Bezeichnung „Normalverteilung“ für die Verteilung mit der Formulierung „Normal Curve of Distribution“ wird [[Francis Galton]] (1889)<ref>{{Literatur |Autor=Francis Galton |Titel=Natural Inheritance |Verlag=Macmillan |Ort=London |Datum=1889 |Fundstelle=S. 51, ''Normal Curve of Distribution''}}</ref> zugeschrieben.<ref>{{Literatur |Autor=Herbert A. David |Titel=First (?) Occurence of Common Terms in Mathematical Statistics |Sammelwerk=The American Statistician |Band=49 |Nummer=2 |Seiten=121–133 |Datum=1995 |JSTOR=2684625}}</ref><ref>{{Internetquelle|autor=Jeff Miller |titel= Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics |url=https://web.universiteitleiden.nl/fsw/verduin/stathist/1stword.htm |abruf=2023-09-27}}</ref> Der Wissenschaftshistoriker Stephen M. Stigler identifizierte<ref>{{Literatur |Autor=Stephen M. Stigler |Titel=Statistics on the Table. The History of Statistical Concepts and Methods |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge / London |Datum=1999 |ISBN=0-674-00979-7}}</ref> drei frühere – vermutlich voneinander unabhängige – Verwendungen des Wortes ''normal'' im Zusammenhang mit der später Normalverteilung genannten Verteilung durch [[Charles S. Peirce]] (1873),<ref>{{Literatur |Autor=Charles S. Peirce| Titel=On the theory of errors of observations |Sammelwerk= Report of the Superintendent of the U. S. Coast Survey for the Year Ending June 1870, Appendix no. 21| Seiten=200-224|Kommentar=Wiederabgedruckt in S. M. Stigler (Hrsg.), ''American Contributions to Mathematical Statistics in the Ninteenth Century'', 2 Bände. Arno Press, New York 1980}}</ref> Francis Galton (1877)<ref>{{Literatur |Autor= Francis Galton |Titel= Typical laws of heredity |Sammelwerk=Nature |Band=15 |Datum=1877 |Seiten=492–495, 512–514, 532–533 |Kommentar= Auch publiziert in ''Proceedings of the Royal Institution of Great Britain''. Band 8, 1877, S. 282–301}}</ref> und [[Wilhelm Lexis]] (1877),<ref>{{Literatur |Autor=Wilhelm Lexis |Titel=Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft |Verlag=Fr. Wagner’sche Buchhandlung |Ort=Freiburg i. B. |Datum=1877 |Online=http://dspace.utlib.ee/dspace/bitstream/10062/3542/7/lexistheorieocr.pdf}}</ref> dabei werden eher die beobachteten Werte oder Teile der beobachteten Werte als „normal“ bezeichnet.

{{Anker|Standardnormalverteilung}}

== Definition ==
Eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> hat eine Normalverteilung mit Erwartungswert <math>\mu</math> und [[Standardabweichung]] <math>\sigma
</math> bzw. [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>, wobei <math>\mu,\sigma \in \R ,\; \sigma > 0</math>, oft geschrieben als <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math>, wenn <math>X</math> die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte hat:<ref>Bronstein: [[Taschenbuch der Mathematik]]. Kap. 16, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. </ref><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 47.</ref>

: <math>f(x \mid\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} </math>.

Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Normalverteilung ist, heißt '''normalverteilt'''. Eine normalverteilte Zufallsvariable heißt auch '''gaußsche Zufallsvariable'''.

Eine Normalverteilung mit den Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math> heißt '''Standardnormalverteilung''', '''standardisierte Normalverteilung'''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle =''Normalveretilung'', S. 289}}</ref> oder '''normierte Normalverteilung'''.<ref>{{Literatur |Titel=Bronstein: [[Taschenbuch der Mathematik]]. Kap. 16, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. |Verlag=Harri Deutsch Verlag |Datum=2000 |Auflage= 5 |ISBN=3-8171-2005-2 |Fundstelle=S. 779}}</ref> Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Standardnormalverteilung ist, heißt '''standardnormalverteilt'''. Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable hat die Dichtefunktion
: <math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^2}</math>,
siehe auch [[Fehlerintegral#Normierung|Fehlerintegral]].

Zur mehrdimensionalen Verallgemeinerung siehe ''[[Mehrdimensionale Normalverteilung]]''.

=== Alternative Definition ===

Alternativ lässt sich die Normalverteilung auch über ihre [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] definieren:
:<math>\mathbb{E} \left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tX}\right] = \mathrm{e}^{\mathrm{i}t\mu-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}, \quad t \in \R\;.</math>
Diese Definition erweitert die obige Definition zusätzlich um den Fall <math>\sigma^2=0</math>.

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert und Varianz ===
Ist <math>X \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, dann gilt für den [[Erwartungswert]]

: <math>\operatorname{E}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\mu</math>

und für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]

: <math>\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\sigma^2</math>.

Insbesondere ist der Erwartungswert der Standardnormalverteilung <math>0</math>, denn für <math>Z \sim \mathcal N\left(0,1\right)</math> gilt

: <math> \operatorname{E}(Z) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = 0,</math>

da der Integrand [[Uneigentliches Integral|integrierbar]] und [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist.

=== Standardisierung ===
Eine Zufallsvariable <math>X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> wird durch [[Standardisierung (Statistik)|Standardisierung]] in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z = (X-\mu)/\sigma</math> überführt.

=== Verteilungsfunktion ===
Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariable ist nicht [[Elementare Funktion|elementar integrierbar]], sodass Wahrscheinlichkeiten [[Numerische Integration|numerisch]] berechnet werden müssen. Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer [[Standardnormalverteilungstabelle]] berechnet werden, die eine [[Standardisierung (Statistik)|Standardform]] verwendet. Dabei bedient man sich der Tatsache, dass die [[Lineare Abbildung|lineare Transformation]] einer normalverteilten Zufallsvariablen zu einer neuen Zufallsvariable führt, die ebenfalls normalverteilt ist. Konkret heißt das, wenn <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math> und <math>Y=aX+b</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> [[Parameter (Mathematik)|Konstanten]] sind mit <math>a \ne 0</math>, dann gilt <math>Y\sim\mathcal{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)</math>. Damit bilden Normalverteilungen eine [[Lage-Skalen-Familie]].

Die [[Verteilungsfunktion]] der Normalverteilung ist durch
: <math>F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt, \quad x \in \R</math>
gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass <math>X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> eine Realisierung im Intervall <math>[a,b]</math> hat, ist damit <math>P(X \in [a,b]) = F(b)-F(a)</math>.

Wenn man durch die [[Substitutionsregel|Substitution]] <math>t=\sigma z + \mu</math> statt <math>t</math> eine neue Integrationsvariable <math>z := \tfrac{t-\mu}{\sigma}</math> einführt, ergibt sich mit <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma = 1</math> (gemäß dem oben angeführten Linearitätskriterium)
: <math>F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{(x-\mu)/\sigma} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm d z = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math>
Dabei ist <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:
: <math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.</math>
Mit der [[Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}</math> lässt sich <math>\Phi</math> darstellen als
: <math>\Phi(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right).</math>

=== Funktionsgraph ===
Der [[Funktionsgraph|Graph]] der [[Dichtefunktion]] <math>f(x \mid\mu,\sigma^2)</math> bildet eine Gaußsche Glockenkurve und ist [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|achsensymmetrisch]] mit dem [[Parameter (Statistik)|Parameter]] <math>\mu</math> als ''Symmetriezentrum'', der auch den Erwartungswert, den [[Median (Stochastik)|Median]] und den [[Modus (Stochastik)|Modus]] der Verteilung darstellt. Vom zweiten Parameter <math>\sigma</math> hängen Höhe und Breite der Wahrscheinlichkeitsdichte ab, die [[Wendepunkt]]e liegen bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>.

Der Graph der Verteilungsfunktion <math>F</math> ist [[Punktsymmetrie#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(\mu ; 0{,}5).</math> Für <math>\mu=0</math> gilt insbesondere <math>\varphi(-x) =\varphi(x)</math> und <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> für alle <math>x \in \R</math>.

Als Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Fläche unter der Kurve|Gesamtfläche unter der Kurve]] gleich <math>1</math>.
Dass jede Normalverteilung normiert ist, ergibt sich über die lineare [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z= \tfrac{x-\mu}\sigma</math>:
: <math> \int_{-\infty}^{+\infty}\frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dx= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1</math>.
Für die Normiertheit des letzteren Integrals siehe [[Fehlerintegral#Normierung|Fehlerintegral]].

=== Momenterzeugende Funktion und höhere Momente ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>-verteilten Normalverteilung <math>X</math> lautet

: <math>m_X(t)=\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}2\right)</math>.
Nach dem [[Moment (Stochastik)|stochastischen Moment]] 1. Ordnung, dem Erwartungswert, und dem [[zentrales Moment|zentralen Moment]] 2. Ordnung, der Varianz, ist die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] das zentrale Moment 3. Ordnung. Es ist unabhängig von den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> immer den Wert <math>0</math>. Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] als zentrales Moment 4. Ordnung ist ebenfalls von <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> unabhängig und ist gleich <math>3</math>. Um die Wölbungen anderer Verteilungen besser einschätzen zu können, werden sie oft mit der Wölbung der Normalverteilung verglichen. Dabei wird die Wölbung der Normalverteilung auf <math>0</math> normiert (Subtraktion von 3); diese Größe wird als [[Wölbung (Statistik)#Exzess|Exzess]] bezeichnet.

Die ersten Momente wie sind folgt:
{| class="wikitable zebra centered" style="text-align:right"
! align="right" | Ordnung
! [[Moment (Stochastik)|Moment]]
! [[Moment (Stochastik)#Zentrale Momente|zentrales Moment]]
|----
! align="right" |<math>k</math>
! <math>\operatorname E(X^k)</math>
! <math>\operatorname E((X-\mu)^k)</math>
|---- align="right"
|-
| 0 || <math>1</math> || <math>1</math>
|-
| 1 || <math>\mu</math> || <math>0</math>
|-
| 2 || <math>\mu^2 + \sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math>
|-
| 3 || <math>\mu^3 + 3\mu\sigma^2</math> || <math>0</math>
|-
| 4 || <math>\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4</math> || <math>3 \sigma^4</math>
|-
| 5 || <math>\mu^5 + 10 \mu^3 \sigma^2 + 15 \mu \sigma^4</math> || <math>0</math>
|-
| 6 || <math>\mu^6 + 15 \mu^4 \sigma^2 + 45 \mu^2 \sigma^4 + 15 \sigma^6 </math> || <math> 15 \sigma^6 </math>
|-
| 7 || <math>\mu^7 + 21 \mu^5 \sigma^2 + 105 \mu^3 \sigma^4 + 105 \mu \sigma^6 </math> || <math>0</math>
|-
| 8 || <math>\mu^8 + 28 \mu^6 \sigma^2 + 210 \mu^4 \sigma^4 + 420 \mu^2 \sigma^6 + 105 \sigma^8 </math> || <math> 105 \sigma^8 </math>
|}
Alle zentralen Momente <math>\mu_n</math> lassen sich durch die Standardabweichung <math>\sigma</math> darstellen:

: <math>\mu_{n}=\begin{cases}
0 & \text{wenn }n\text{ ungerade}\\
(n-1)!! \cdot \sigma^n & \text{wenn }n\text{ gerade}\end{cases}</math>

dabei wurde die [[Doppelfakultät]] verwendet:

: <math>(n-1)!! = (n-1)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 1 \quad \mathrm{f\ddot ur}\; n \text{ gerade}.</math>

Auch für <math>X \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> kann eine Formel für nicht-zentrale Momente angegeben werden. Dafür transformiert man <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> und wendet den binomischen Lehrsatz an.
: <math>\operatorname E(X^k) = \operatorname E((\sigma Z + \mu)^k) = \sum_{j=0}^k {k \choose j} \operatorname E(Z^j) \sigma^j \mu^{k-j} = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} {k \choose 2i} \operatorname E(Z^{2i}) \sigma^{2i} \mu^{k-2i} = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} {k \choose 2i} (2i-1)!! \sigma^{2i} \mu^{k-2i}. </math>

Die [[Streuung (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|mittlere absolute Abweichung]] ist <math> \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\sigma \approx 0{,}80\sigma</math> und der [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Quartil|Interquartilsabstand]] <math>\approx 1{,}349\sigma</math>.

=== Standardabweichung ===
[[Datei:Standard deviation diagram.svg|mini|hochkant=1.4|Intervalle um <math alt="µ">\mu</math> bei der Normalverteilung]]
Aus der [[Standardnormalverteilungstabelle]] ist ersichtlich, dass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr
: 68,3 % der [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math alt="µ ± σ">\mu\pm\sigma</math>,
: 95,4 % im Intervall <math alt="µ ± 2σ">\mu\pm 2\sigma</math> und
: 99,7 % im Intervall <math alt="µ ± 3σ">\mu\pm 3\sigma</math>
liegen. Da in der Praxis viele Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, werden diese Werte aus der Normalverteilung oft als Faustformel benutzt. So wird beispielsweise <math>\sigma</math> oft als die halbe Breite des Intervalls angenommen, das die mittleren zwei Drittel der Werte in einer Stichprobe umfasst.

Realisierungen außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung gelten oft als verdächtig, [[Ausreißer]] zu sein. Sie können ein Hinweis auf grobe Fehler der [[Daten]]erfassung oder auch auf das Nichtvorhandensein einer Normalverteilung sein. Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. jeder 20. Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung und ca. jeder 370. Messwert außerhalb der dreifachen Standardabweichung, ohne dass es sich dabei um Ausreißer handelt.

[[Datei:Confidence interval by Standard deviation.svg|mini|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit <math>P(-z \leq Z \leq z)</math> einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math> von <math>z \in[0,4]</math>]]
[[Datei:NormalverteilungAnteilAusserhalb.png|thumb|Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit <math>P(|Z| > z)</math> einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math> von <math>z \in[0,6]</math>]]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> einen Wert im Intervall <math>[\mu -z\sigma,\mu+z\sigma]</math> annimmt, ist genau so groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> einen Wert im Intervall <math>[-z,z]</math> annimmt, es gilt also
:<math>p = P(X \in [\mu - z \sigma,\mu + z \sigma]) = P(Z \in [-z,z])</math>.<ref> Es gilt
:<math>P(\mu - z \sigma \leq X \leq \mu + z \sigma) = P\left(-z \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq z\right) = P(-z \leq Z \leq z)\;.</math>
Die letzte Gleichung gilt, da die standardisierte Zufallsvariable <math>(X-\mu)/\sigma</math> standardnormalverteilt ist.</ref>
Damit können bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen für Normalverteilungen mit beliebigen Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> auf die Standardnormalverteilung zurückgeführt werden.

Die Wahrscheinlichkeit <math>p</math> kann alternativ durch die Verteilungsfunktion <math>\Phi</math> der Standardnormalverteilung oder durch die Fehlerfunktion <math>\operatorname{erf}</math> ausgedrückt werden:
:<math>p = 2 \Phi(z) - 1 = \operatorname{erf}(z/\sqrt 2).</math><ref>Es gilt

: <math>P(Z \in [-z,z]) =P(-z \leq Z \leq z ) = \int_{-z}^{+z}\varphi(t) \mathrm{d}t= \Phi(z) -\Phi(-z) = \Phi(z) - (1 - \Phi(z)) = 2 \Phi(z)-1\,.</math>
Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, da die Standardnormalverteilung symmetrisch zu Null ist.</ref>
Umgekehrt ist zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit <math>p \in (0,1)</math> die Stelle <math>z</math>, für
die <math>p = P(Z \in [- z,z])</math> gilt, durch
:<math>z = \Phi^{-1}\left(\frac{p+1}{2}\right) = \sqrt 2\cdot \operatorname{erf}^{-1}(p)</math>
gegeben.

{| class="wikitable"
|+ Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math>
|-
! <math>z</math>
! <math>P(Z \in [-z,z])</math>
! <math>P(Z \notin [-z,z])</math>
|-
| 0,674490
| 50 %
| 50 %
|-
| 1
| 68,268 9492 %
| 31,731 0508 %
|-
| 1,17741<br>(Halbwertsbreite)
|76,096 8106 %
|23,903 1891 %
|-
| 1,644854
| 90 %
| 10 %
|-
| 2
| 95,449 9736 %
| 4,550 0264 %
|-
| 2,575829
| 99 %
| 1 %
|-
| 3
| 99,730 0204 %
| 0,269 9796 %
|-
| 3,290527
| 99,9 %
| 0,1 %
|-
| 3,890592
| 99,99 %
| 0,01 %
|-
| 4
| 99,993 666 %
| 0,006 334 %
|-
| 4,417173
| 99,999 %
| 0,001 %
|-
| 4,891638
| 99,9999 %
| 0,0001 %
|-
| 5
| 99,999 942 6697 %
| 0,000 057 3303 %
|-
| 5,326724
| 99,999 99 %
| 0,000 01 %
|-
| 5,730729
| 99,999 999 %
| 0,000 001 %
|-
| 6
| 99,999 999 8027 %
| 0,000 000 1973 %

|}

=== Halbwertsbreite ===
Der Wert der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung fällt auf die Hälfte des Maximums, wenn <math>e^{-t^2/2} = \frac{1}{2}</math>, also bei <math>t = \sqrt{2 \ln 2} \approx 1{,}177</math>. Die [[Halbwertsbreite]] ist damit das <math>2 \sqrt{2 \ln 2} \approx 2{,}355</math>fache der Standardabweichung.

=== Variationskoeffizient ===
Aus Erwartungswert <math>\mu</math> und Standardabweichung <math>\sigma</math> der <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>-Verteilung erhält man unmittelbar den [[Variationskoeffizient]]en
: <math>\operatorname{VarK} = \frac{\sigma}{\mu}.</math>

=== Kumulanten ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] ist
: <math>g_X(t)= \mu t+\frac{\sigma^2 t^2}2 </math>

Damit ist die erste [[Kumulante]] <math> \kappa_1=\mu </math>, die zweite ist <math> \kappa_2=\sigma^2 </math> und alle weiteren Kumulanten verschwinden.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> ist
: <math>\psi_Z(t) = e^{-\frac 12 t^2}</math>.

Für eine Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)</math> erhält man daraus mit <math>X = \sigma Z + \mu</math>:

: <math>\psi_X(t)=\operatorname E(e^{it(\sigma Z + \mu)})=\operatorname E(e^{it\sigma Z}e^{it\mu})= e^{it\mu}\operatorname{E}(e^{it\sigma Z})=e^{it\mu}\psi_Z(\sigma t)= \exp\left(it\mu-\tfrac 12 \sigma^2 t^2\right)</math>.

=== Invarianz gegenüber Faltung ===
Die Normalverteilung ist [[Invariante (Mathematik)|invariant]] gegenüber der [[Faltung (Stochastik)|Faltung]], d. h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter [[Alpha-stabile Verteilungen|stabile Verteilungen]] bzw. unter [[Unendliche Teilbarkeit|unendliche teilbare Verteilungen]]). Somit bildet die Normalverteilung eine [[Faltungshalbgruppe]] in ihren beiden Parametern. Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der Standardabweichung <math>\sigma_a</math> mit einer Gaußkurve der Standardabweichung <math>\sigma_b</math> ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Standardabweichung
: <math>\sigma_c = \sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2}</math>.
Sind also <math>X, Y</math> zwei unabhängige Zufallsvariablen mit
: <math>X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2),</math>
so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt:
: <math>X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)</math>.

Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. [[Faltungssatz]] der Fouriertransformation).

Damit ist jede [[Linearkombination]] wieder normalverteilt. Nach dem [[Satz von Cramér (Normalverteilung)|Satz von Cramér]] gilt sogar die Umkehrung: Ist eine normalverteilte Zufallsvariable die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen, dann sind die Summanden ebenfalls normalverteilt. Man spricht davon, dass die Normalverteilung reproduktiv ist bzw. die [[Reproduktivitätseigenschaft]] besitzt.

Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist ein [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] der [[Fourier-Transformation]], d. h., die Fourier-Transformierte einer Gaußkurve ist wieder eine Gaußkurve. Das Produkt der [[Varianz (Stochastik)|Standardabweichungen]] dieser korrespondierenden Gaußkurven ist konstant; es gilt die [[Heisenbergsche Unschärferelation]].

=== Entropie ===
Eine normalverteilte Zufallsvariable hat die [[Shannon-Entropie]] <math>\log_2\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Fundstelle=S. 302}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes et al. | Datum=2011 |Fundstelle=S. 144}}</ref>
Sie hat für gegebenen Erwartungswert und gegebene Varianz die größte Entropie unter allen stetigen Verteilungen.<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle =''Entropie einer Zufallsgröße'', S. 86}}</ref>

== Anwendung ==

=== Beispiel zur Standardabweichung ===
Die [[Körpergröße]] des Menschen ist näherungsweise normalverteilt. Bei einer Stichprobe von 1.284 Mädchen und 1.063 Jungen zwischen 14 und 18 Jahren wurde bei den Mädchen eine durchschnittliche Körpergröße von 166,3 cm (Standardabweichung 6,39 cm) und bei den Jungen eine durchschnittliche Körpergröße von 176,8 cm (Standardabweichung 7,46 cm) gemessen.<ref>Mareke Arends: ''Epidemiologie bulimischer Symptomatik unter 10-Klässlern in der Stadt Halle.'' Dissertation. Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, 2005, Tabelle 9, S. 30. {{URN|nbn:de:gbv:3-000008151}}</ref>

Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten, dass 68,3 % der Mädchen eine Körpergröße im Bereich 166,3 cm ± 6,39 cm und 95,4 % im Bereich 166,3 cm ± 12,8 cm haben, also
* 16 % [≈ (100 % − 68,3 %)/2] der Mädchen kleiner als 160 cm (und 16 % entsprechend größer als 173 cm) sind und
* 2,5 % [≈ (100 % − 95,4 %)/2] der Mädchen kleiner als 154 cm (und 2,5 % entsprechend größer als 179 cm) sind.

Für die Jungen lässt sich erwarten, dass 68,3 % eine Körpergröße im Bereich 176,8 cm ± 7,46 cm und 95,4 % im Bereich 176,8 cm ± 14,92 cm haben, also
* 16 % der Jungen kleiner als 169 cm (und 16 % größer als 184 cm) und
* 2,5 % der Jungen kleiner als 162 cm (und 2,5 % größer als 192 cm) sind.

=== Kontaminierte Normalverteilung ===
[[Datei:Kontaminierte Normalverteilung.svg|mini|Normalverteilung (a) und kontaminierte Normalverteilung (b)]]
{{Hauptartikel|Kontaminierte Normalverteilung}}

Von der Verteilung
: <math>P = 0{,}9\cdot\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)+0{,}1\cdot\mathcal{N}(\mu,(10\sigma)^2)</math>
ist die Standardabweichung <math>\overline\sigma</math>. Die Verteilung ist optisch kaum von der Normalverteilung zu unterscheiden (siehe Bild), aber bei ihr liegen im Intervall <math>\mu\pm\overline\sigma</math> 92,5 % der Werte. Solche kontaminierten Normalverteilungen sind in der Praxis häufig; das genannte Beispiel beschreibt die Situation, wenn zehn Präzisionsmaschinen etwas herstellen, aber eine davon schlecht justiert ist und mit zehnmal so hohen Abweichungen wie die anderen neun produziert.

=== Gestutzte Normalverteilung ===
{{Hauptartikel|Stutzung#Gestutzte_Normalverteilung}}
Bei der gestutzten Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f</math> außerhalb eines Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math>a,b\in\R</math> gleich Null. Entsprechend erhöht sich <math>f</math> in dem Intervall, so dass das Integral <math>\int_a^bf=1</math> bleibt.

=== Six Sigma ===
{{Hauptartikel|Six Sigma}}
Da der Anteil der Werte außerhalb der sechsfachen Standardabweichung mit ca. 2 [[Parts per billion|ppb]] verschwindend klein wird, gilt ein solches Intervall als gutes Maß für eine nahezu vollständige Abdeckung aller Werte. Das wird im Qualitätsmanagement durch die Methode [[Six Sigma]] genutzt, indem die Prozessanforderungen Toleranzgrenzen von mindestens <math>6\sigma</math> vorschreiben. Allerdings geht man dort von einer langfristigen Erwartungswertverschiebung um 1,5 Standardabweichungen aus, sodass der zulässige Fehleranteil auf 3,4 [[Parts per million|ppm]] steigt. Dieser Fehleranteil entspricht einer viereinhalbfachen Standardabweichung (<math>4{,}5\ \sigma</math>). Ein weiteres Problem der <math>6\sigma</math>-Methode ist, dass die <math>6\sigma</math>-Punkte praktisch nicht bestimmbar sind. Bei unbekannter Verteilung (d. h., wenn es sich nicht ''ganz sicher'' um eine Normalverteilung handelt) grenzen zum Beispiel die Extremwerte von 1.400.000.000 Messungen ein 75-%-[[Konfidenzintervall]] für die <math>6\sigma</math>-Punkte ein.<ref>H. Schmid, A. Huber: [http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014sscm.pdf ''Measuring a Small Number of Samples and the 3σ Fallacy.''] (PDF; 1,6 MB) In: ''IEEE Solid-State Circuits Magazine'', Band 6, Nr. 2, 2014, S. 52–58, [[doi:10.1109/MSSC.2014.2313714]].</ref>

== Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen ==
=== Normalverteilung als Grenzverteilung der Binomialverteilung ===
Die [[Binomialverteilung]] ist eine diskrete Verteilung, die sich aus einer Anzahl an Versuchen <math>n</math> ergibt. Jeder einzelne Versuch hat die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges <math>p</math>. Die Binomialverteilung <math>B(k \mid p,n)</math> gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass die <math>n</math> Versuche genau <math>k</math>-mal ein Erfolg war, mit <math>0\leq k\leq n</math>.

Durch einen Grenzübergang für <math>n \to \infty</math> ergeben sich die Dichtefunktion einer Normalverteilung aus der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] der Binomialverteilung ([[Satz von Moivre-Laplace|lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace]]) und die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung aus der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ([[Satz von Moivre-Laplace|globaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace]]). Dies ist eine Rechtfertigung dafür, die Binomialverteilung mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math> für hinreichend große <math>n</math> durch die Normalverteilung <math>\mathcal{N}(np, np(1-p))</math> zu approximieren.

=== Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ===
{{Hauptartikel|Normal-Approximation}}
Die Normalverteilung kann zur Approximation der [[Binomialverteilung]] verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist ([[Satz von Moivre-Laplace]], [[zentraler Grenzwertsatz]], zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter [[Galtonbrett]]).

Ist ein Bernoulli-Versuch mit <math>n</math> voneinander unabhängigen Stufen (bzw. [[Zufallsexperiment]]en) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge allgemein durch <math>P(X=k) = \tbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \dotsc, n</math> berechnen ([[Binomialverteilung]]).

Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn <math>n</math> hinreichend groß und <math>p</math> weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt <math>np(1-p)\geq 9</math>. Für den Erwartungswert <math>\mu</math> und die Standardabweichung <math>\sigma</math> gilt dann:
: <math>\mu=n\cdot p </math> und <math>\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}</math>.
Damit gilt für die Standardabweichung <math>\sigma\geq 3</math>.

Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: <math>np\geq 4</math> und zugleich <math>n(1-p)\geq 4</math>.

Folgende Näherung ist dann brauchbar:

: <math>\begin{align}
P(x_1 \leq X \leq x_2) &= \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}}\\
&\approx \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}.
\end{align}</math>

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn <math>\sigma</math> einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.

Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte beim Rechnen mit einer binomialverteilten Zufallsvariablen <math>X</math> geachtet werden:
* Der Unterschied zwischen <math><</math> oder <math>\leq</math> (sowie zwischen ''größer'' und ''größer gleich'') muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei <math>P(X<x)</math> die nächstkleinere [[natürliche Zahl]] gewählt werden, d. h.
:: <math>P(X<x)=P(X\leq x-1)</math> bzw. <math>P(X >x)=P(X\geq x+1)</math>,
: damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann.
: Zum Beispiel: <math>P(X<70) = P(X\leq 69)</math>

* Außerdem ist
:: <math> P(X \leq x) = P(0 \leq X \leq x) </math>
:: <math> P(X \geq x) = P(x \leq X \leq n) </math>
:: <math> P(X = x) = P(x \leq X \leq x) </math> (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur)
: und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.

Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können.

=== Beziehung zur Cauchy-Verteilung ===
Der [[Quotient]] von zwei stochastisch unabhängigen <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist [[Cauchy-Verteilung|Cauchy-verteilt]].

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
Das [[Quadrat (Mathematik)|Quadrat]] einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen hat eine [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit einem [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgrad]]. Also: Wenn <math>Z\sim\mathcal{N}(0,1)</math>, dann <math>Z^2\sim\chi^2(1)</math>. Weiterhin gilt: Wenn <math>\chi^2(r_1), \chi^2(r_2), \dotsc, \chi^2(r_n)</math> gemeinsam [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängige]] Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariablen sind, dann gilt

: <math>Y=\chi^2(r_1)+\chi^2(r_2)+\dotsb+\chi^2(r_n)\sim\chi^2(r_1+\dotsb+r_n)</math>.

Daraus folgt mit unabhängig und standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z_1,Z_2,\dotsc,Z_n</math>:<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, [[Helmut Lütkepohl]], T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 49.</ref>
: <math>Y=Z_1^2+\dotsb+Z_n^2\sim\chi^2(n)</math>

Weitere Beziehungen sind:

* Die Summe <math>X_{n-1}=\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} (Z_{i}-\overline Z)^{2}</math> mit <math>\overline Z:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Z_i</math> und <math>n</math> unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen <math>Z_i\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), \;i=1, \dotsc, n</math> genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung <math>X_{n-1}\sim\chi^2_{n-1}</math> mit <math>(n-1)</math> Freiheitsgraden.

* Mit steigender [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Anzahl an Freiheitsgraden]] (''df'' ≫ 100) nähert sich die Chi-Quadrat-Verteilung der Normalverteilung an.

* Die Chi-Quadrat-Verteilung wird zur [[Konfidenzintervall|Konfidenzschätzung]] für die Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit verwendet.

=== Beziehung zur Rayleigh-Verteilung ===
Der Betrag <math>Z = \sqrt{X^2 + Y^2}</math> zweier unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen <math>X, Y</math>, jeweils mit Mittelwert <math>\mu_X = \mu_Y = 0</math> und gleichen Varianzen <math>\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2</math>, ist [[Rayleigh-Verteilung|Rayleigh-verteilt]] mit Parameter <math>\sigma > 0</math>.

=== Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung ===
Ist die Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})</math>, dann ist die Zufallsvariable <math>Y=e^{X}</math> [[Logarithmische Normalverteilung|logarithmisch-normalverteilt]], also <math>Y \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})</math>.

Die Entstehung einer [[Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen.

=== Beziehung zur F-Verteilung ===
Wenn die stochastisch unabhängigen und normalverteilten Zufallsvariablen <math>X_1^{(1)}, X_2^{(1)}, \dotsc, X_{n_1}^{(1)}</math> und <math>X_1^{(2)}, X_2^{(2)}, \dotsc, X_{n_2}^{(2)}</math> die Parameter
: <math>\operatorname E(X_{i}^{(1)})=\mu_{1},\quad\operatorname{Var}(X_{i}^{(1)})=\sigma^2_{1}\quad\text{für }i=1,\dots,n_1 </math>
und
: <math>\operatorname E(X_{i}^{(2)})=\mu_{2},\quad\operatorname{Var}(X_{i}^{(2)})=\sigma_{2}^2 \quad\text{für }i=1,\dots, n_2 </math>
besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable
: <math>Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:=\frac{\sigma_{2}^2(n_{2}-1)\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-\overline{{X}}^{(1)})^{2}}
{\sigma_{1}^2(n_{1}-1)\sum\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\overline{{X}}^{(2)})^{2}}</math>
einer [[F-Verteilung]] mit <math>((n_{1}-1,n_{2}-1))</math> Freiheitsgraden. Dabei sind
: <math>\overline{X}^{(1)}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)},\quad
\overline{X}^{(2)}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}</math>.

=== Beziehung zur studentschen t-Verteilung ===
Wenn die stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> identisch normalverteilt sind mit den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math>, dann unterliegt die stetige Zufallsvariable
: <math>Y_{n-1}=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}</math>
mit dem Stichprobenmittel <math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math>, der Stichprobenvarianz <math>S^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math> und <math>S := \sqrt{S^2}</math> einer [[Studentsche t-Verteilung|studentschen t-Verteilung]] mit <math>(n-1)</math> Freiheitsgraden.

Für eine zunehmende Anzahl an Freiheitsgraden nähert sich die studentsche t-Verteilung der Normalverteilung immer näher an. Als Faustregel gilt, dass man ab ca. <math>df > 30</math> die studentsche t-Verteilung bei Bedarf durch die Normalverteilung approximieren kann.

Die studentsche t-Verteilung wird zur [[Konfidenzintervall|Konfidenzschätzung]] für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable bei unbekannter Varianz verwendet.

== Testen auf Normalverteilung ==
[[Datei:Quantile graph.svg|mini|300px|[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] einer Normalverteilung und einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]]]]
[[Datei:Anpassungstests.svg|mini|300px|Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt.]]
Um zu überprüfen, ob vorliegende Daten normalverteilt sind, können unter anderen folgende Methoden und Tests angewandt werden:
* [[Chi-Quadrat-Test]]
* [[Kolmogorow-Smirnow-Test]]
* [[Anderson-Darling-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
* [[Lilliefors-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
* [[Cramér-von-Mises-Test]]
* [[Shapiro-Wilk-Test]]
* [[Jarque-Bera-Test]]
* [[Q-Q-Plot]] (deskriptive Überprüfung)
* [[Maximum-Likelihood-Methode]] (deskriptive Überprüfung)
Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. So erkennt der Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen in der Mitte der Verteilung eher als Abweichungen an den Rändern, während der Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel auf stark abweichende Einzelwerte an den Rändern („[[Verteilung mit schweren Rändern|schwere Ränder]]“) reagiert.

Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d. h., <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.

Mit Hilfe von [[Quantil-Quantil-Diagramm]]en bzw. Normal-Quantil-Diagrammen ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.<br />Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden.

== Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen ==
Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable <math>x \sim \mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, so ist <math>a \cdot x + b</math> schließlich <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt.

=== Box-Muller-Methode ===
Nach der [[Box-Muller-Methode]] lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> aus zwei unabhängigen, [[Gleichverteilung|gleichverteilten]] Zufallsvariablen <math>U_1,U_2 \sim U(0,1)</math>, sogenannten [[Standardzufallszahl]]en, simulieren:

: <math>X= \cos( 2 \pi U_1) \sqrt{-2\ln U_2}</math>

und
: <math>Y = \sin ( 2 \pi U_1 ) \sqrt{-2 \ln U_2}.</math>

=== Polar-Methode ===
{{Hauptartikel|Polar-Methode}}

Die Polar-Methode von [[George Marsaglia]] ist auf einem Computer schneller, da sie keine Auswertungen von trigonometrischen Funktionen benötigt:

# Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall <math>[-1, 1]</math> gleichverteilte Zufallszahlen <math>u_1</math> und <math>u_2</math>
# Berechne <math>q=u_1^2+u_2^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1.
# Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>.
# <math>x_i=u_i \cdot p</math> für <math>i=1,2</math> liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.


=== Ziggurat-Algorithmus ===
Der Ziggurat-Algorithmus, der ebenfalls von George Marsaglia entwickelt wurde, ist effizienter als die Box-Muller-Methode.<ref>{{Literatur |Autor=Michael Günther, Ansgar Jüngel |Titel=Finanzderivate mit MATLAB - Mathematische Modellierung und numerische Simulation |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Datum=2003 |ISBN=9783834808790 |Seiten=115}}</ref> Er ist der voreingestellte Algorithmus, mit dem in [[Matlab]] und [[GNU Octave|Octave]] normalverteilte Zufallszahlen erzeugt werden.<ref>{{Internetquelle |url=https://de.mathworks.com/help/matlab/math/creating-and-controlling-a-random-number-stream.html#brvfsq3-2%20Matlab-Hilfe |titel=Creating and Controlling a Random Number Stream in Matlab |sprache=de |abruf=2023-09-16}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://octave.sourceforge.io/octave/function/randn.html |titel=Octave Function Reference: randn |abruf=2023-09-16}}</ref>

=== Verwerfungsmethode ===
Normalverteilungen lassen sich mit der [[Verwerfungsmethode]] (siehe dort) simulieren.

=== Inversionsmethode ===
Die Normalverteilung lässt sich auch mit der [[Inversionsmethode]] berechnen.

Mit der <math>[-1,1]</math>-gleichverteilten Verteilung <math>X</math> wird über die Inverse Verteilungsfunktion die Standardnormalverteilung erzeugt:

:<math>Y = \mathbb{erf}^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}X\right)</math>

Da die inverse Verteilungsfunktion nicht explizit mit elementaren Funktionen darstellbar ist, muss man auf eine komplexere numerische Darstellung zurückgreifen, mit relativ hohem Aufwand. Reihenentwicklungen sind in der Literatur zu finden.<ref>William B. Jones, W. J. Thron: ''Continued Fractions: Analytic Theory and Applications.'' Addison-Wesley, 1980.</ref>

=== Zwölferregel ===
Die [[Zwölferregel]] liefert keine exakte Normalverteilung, diese wird nur genähert. Der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] besagt, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe [[Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig und identisch verteilter Zufallszahlen]] einer Normalverteilung nähert.

Nach der [[Zwölferregel]] wird die Standardnormalverteilung durch die Verteilung der Zufallsvariablen <math>S-6</math> approximiert, wobei <math>S</math> die Summe von zwölf stochastisch unabhängigen, im Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen <math>X_1,\dots,X_{12}</math> ist. Der Erwartungswert von <math>S</math> ist 6 und die Varianz von <math>S</math> ist 1, sodass die Zufallsvariable <math>S - 6</math> den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 hat. Dies führt für viele Anwendungen zu einer akzeptablen Approximation. Das Verfahren ist allerdings weder effizient noch wird eine echte Normalverteilung erreicht.

Zudem ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen <math>X_i</math> bei den immer noch häufig verwendeten [[Kongruenzgenerator#Linearer Kongruenzgenerator|Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG)]] nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom [[Spektraltest]] für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der <math>X_i</math> garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z. B. dem [[Mersenne-Twister]] (Standard in [[Python (Programmiersprache)|Python]], [[GNU R]]) oder [[WELL]] genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren sind daher der Zwölferregel vorzuziehen.

== Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung ==
In der Statistik ist die Normalverteilung eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird verwendet zur Modellierung einer Merkmalsverteilung in der Grundgesamtheit und zur Modellierung der Verteilung von Messfehlern. Außerdem entsteht sie als [[asymptotische Normalität |asymptotische Verteilung]] von Schätzfunktionen und allgemeineren Statistiken, siehe dazu [[zentrale Grenzwertsätze]] der Statistik.

Die Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der [[Physik]] für das [[Amplitude]]nprofil der [[Gauß-Strahl]]en und andere Verteilungsprofile.

Zudem findet sie Verwendung in der [[Gabor-Transformation]] im Bereich der Signal- und Bildbearbeitung.

== Siehe auch ==
* [[Normalverteilungsmodell]]
* [[Additives weißes gaußsches Rauschen]]
* [[Lineare Regression]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes, Merran Evans, Nicholas Hastings, Brain Peacock |Auflage=4| Verlag=Wiley & Sons |Ort=Hoboken | Datum=2011 |ISBN=978-0-470-39063-4 |Fundstelle=Kap. 33: ''Normal (Gaussian) Distribution'', S. 143–148}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Normalverteilung'', S. 288–290}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage= 4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=Teil B, Kap. 3.10.1: ''Eindimensionale Normalverteilung'', S. 298–306}}
* {{Literatur |Autor=Jagdish K. Patel, Campbell R. Read |Titel=Handbook of the Normal Distribution |Reihe=Statistics:Textbooks and Monographs |Auflage=Second edition, revised and expanded |Verlag=Dekker |Ort=New York / Basel / Hong Kong |Datum=1966 |ISBN=0-8247-9342-0}}
* Stephen M. Stigler: ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.'' Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 978-0-674-40341-3.
* {{Literatur |Autor=[[Paul J. Nahin]]|Titel=The Probability Integral. Its Origin, Its Importance, and Its Calculation|Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-38415-8}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Normal distribution|Normalverteilung|audio=1|video=1}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Normalverteilung|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math>: Mathematik für die Schule |suffix=-}}
{{Wikibooks|Statistik: Normalverteilung|Anschauliche Darstellung der Normalverteilung}}
* [https://matheguru.com/stochastik/normalverteilung.html Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen]
* {{Webarchiv | url=http://www.madeasy.de/2/gauss.htm | wayback=20180207233344 | text=Darstellung mit Programmcode}} in [[Visual Basic Classic]]
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=deutsch Online-Rechner Normalverteilung]
* Santa Cruz Institute for Particle Physics: [https://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C/NormalApprox.pdf The Normal Approximation to the Binomial Distribution]
* University of Connecticut: [https://probability.oer.math.uconn.edu/wp-content/uploads/sites/2187/2018/01/prob3160ch9.pdf Normal approximation to the binomial]
* Universität Uppsala: [https://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:425478/FULLTEXT01.pdf Approximating the Binomial Distribution by the Normal Distribution – Error and Accuracy]
* University of Saskatchewan: [https://openpress.usask.ca/introtoappliedstatsforpsych/chapter/5-2-the-normal-distribution-as-a-limit-of-binomial-distributions/ The Normal Distribution as a Limit of Binomial Distributions]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Götze 2002">
{{Literatur
|Autor=Wolfgang Götze, Christel Deutschmann, Heike Link
|Titel=Statistik. Lehr- und Übungsbuch mit Beispielen aus der Tourismus- und Verkehrswirtschaft
|Verlag=Oldenbourg
|Ort=München
|Datum=2002
|ISBN=3-486-27233-0
|Seiten=170
|Online={{Google Buch |BuchID=lRPnBQAAQBAJ |Seite=170}}}}
</ref>
</references>

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}{{Normdaten|TYP=s|GND=4075494-7}}
[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Messraum (Mathematik)

2025-01-11T00:05:36Z

Sigma^2: /* Abzählbar erzeugte Messräume */ + Autor

'''Messraum''' oder auch '''messbarer Raum''' ist ein Begriff der [[Maßtheorie]], einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Messräume bilden hier ein Analogon zum [[Definitionsbereich]], sie geben an, über welche Mengen eine Aussage getroffen werden kann.

== Definition ==
Ein Tupel <math> (\Omega,\mathcal{A}) </math> heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn
* <math> \Omega </math> eine beliebige Grundmenge ist und
* <math> \mathcal{A} </math> eine [[σ-Algebra]] auf dieser Grundmenge ist.

In der Stochastik werden Messräume auch '''Ereignisräume''' genannt.<ref>{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |Seiten=10|DOI=10.1515/9783110215274}} </ref>
Eine Menge <math> A </math> heißt ''' messbare Menge''', wenn <math> A \in \mathcal{A} </math> ist.

== Abgrenzung zu anderen Messbarkeitsbegriffen ==
Wichtig für den hier verwendeten Begriff einer messbaren Menge ist, dass dafür kein [[Maß (Mathematik)|Maß]] definiert sein muss, sondern nur ein Messraum. Daher spricht man auch teilweise von Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Davon abzugrenzen ist die [[Messbarkeit nach Carathéodory]] von Mengen ''bezüglich eines äußeren Maßes''. Auch hier wird kein Maß benötigt, sondern nur ein [[äußeres Maß]].

== Beispiele ==
Betrachtet man als Beispiel den Grundraum
:<math> \Omega=\{1,2,3,4\} </math>

und definiert darauf die zwei σ-Algebren
:<math> \mathcal{A}_1=\mathcal{P}(\Omega) </math>, also die [[Potenzmenge]] von <math>\Omega</math>, und
:<math> \mathcal{A}_2=\{\emptyset,\{1,2\},\{3,4\}, \Omega\} </math>,

dann sind <math> M_1=(\Omega, \mathcal{A}_1)</math> und <math> M_2=(\Omega, \mathcal{A}_2)</math> Messräume, aber die Menge <math> \{1\} </math> ist nur messbar bezüglich <math> M_1 </math> und nicht bezüglich <math> M_2 </math>.

Allgemein bildet jede Menge mit ihrer Potenzmenge einen Messraum. Besonders in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] verwendet man häufig den Messraum <math> (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) </math> der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]].

== Isomorphie von Messräumen ==
Zwei Messräume <math> (\Omega_1, \mathcal A_1) </math> und <math> (\Omega_2, \mathcal A_2) </math> heißen isomorph, wenn es eine [[Bijektive Funktion|bijektive]] Funktion <math> f </math> von <math> \Omega_1 </math> nach <math> \Omega_2 </math> gibt, die <math> \mathcal A_1</math>-<math>\mathcal A_2</math>[[Messbare Funktion|-messbar]] ist und deren Umkehrabbildung <math> f^{-1} </math> <math> \mathcal A_2</math>-<math>\mathcal A_1</math>-messbar ist.<ref name=":0" />

== Klassen von Messräumen ==
{{Belege}}
=== Borel’sche Räume ===
Ein Messraum <math> (\Omega, \mathcal A ) </math> heißt ein ''Borel’scher Raum'' oder ''Borel-Raum'', wenn es eine messbare Menge <math> B \in \mathcal B (\R)</math> gibt, so dass <math> (\Omega, \mathcal A ) </math> und <math> (B, \mathcal B(B)) </math> [[Borel-Isomorphie|Borel-isomorph]] sind.

=== Entscheidungsräume ===
Ein '''Entscheidungsraum''' ist ein Messraum, bei dem die σ-Algebra alle einelementigen Mengen enthält, wenn also für jedes <math> \omega \in \Omega </math> die Menge <math> \{\omega\}\in \mathcal \mathcal A </math> ist. <math> (\R, \mathcal B(\R)) </math> ist beispielsweise ein Entscheidungsraum.

=== Separierte Messräume ===
Ein Messraum <math> (\Omega, \mathcal A) </math> heißt ein '''separierter Messraum''', wenn die Menge von Funktionen
:<math> M := \{ \chi_A \, | \, A \in \mathcal A \} </math>

eine [[punktetrennende Menge]] auf <math> \Omega </math> ist. Dabei bezeichnet <math> \chi_A </math> die [[Indikatorfunktion|Charakteristische Funktion]] der Menge <math> A </math>.

Dies ist genau dann der Fall, wenn es für je zwei voneinander verschiedene Punkte <math>x,y \in \Omega</math> eine Menge <math>A \in \mathcal A</math> gibt, so dass <math>x \in A</math> aber <math>y \notin A</math>.<ref name=":0" />

=== Abzählbar erzeugte Messräume ===
Ein Messraum heißt ein '''abzählbar erzeugter Messraum''', wenn die σ-Algebra des Messraumes eine [[abzählbar erzeugte σ-Algebra]] ist, also einen abzählbaren Erzeuger besitzt.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Jürgen Elstrodt |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=Vierte, korrigierte Auflage |Verlag=Springer-Verlag Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2005 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-540-21390-1 |Seiten=109 |Abruf=}}</ref>

== Verwendung ==
Für Messräume gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie zahlreiche Anwendungen. Einerseits lassen sie sich nach Wahl eines Maßes zu einem [[Maßraum]] erweitern, andererseits entsprechen sie dem Wertebereich bei Konstruktion von [[Bildmaß]]en mittels [[Messbare Funktion|messbarer Funktionen]].

In der [[Stochastik]] werden die Messräume auch teilweise [[Ereignissystem|Ereignisraum]] genannt, die messbaren Mengen heißen dann [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisse]]. Nach Wahl eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]es handelt es sich dann um einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Maßtheorie]]

Der Dorfschullehrer

2024-10-27T19:56:21Z

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'''Der Dorfschullehrer''' (anderer Titel von [[Max Brod]]: „Der Riesenmaulwurf“) ist eine Erzählung von [[Franz Kafka]], die vom Dezember 1914 bis Januar 1915 entstand, nicht abgeschlossen und [[postum]] veröffentlicht wurde. Ein Kaufmann und ein Dorfschullehrer führen einen vergeblichen Kampf um die wissenschaftliche Anerkennung der Existenz eines Riesenmaulwurfs. Es ist aber kein gemeinsamer Kampf, sondern ein zunehmend verbittertes Gegeneinander.

== Inhalt ==
'''1. Abschnitt'''

Der Erzähler, ein Kaufmann, schildert den Fall eines Riesenmaulwurfs, der in einem Dorf auftaucht, von den Leuten der Umgebung bestaunt wird und vom alten Dorfschullehrer in einer kleinen Schrift beschrieben wird. Der Dorfschullehrer kann aber kein Interesse bei den Wissenschaftlern erreichen. Ein Gelehrter fertigt ihn damit ab, dass wohl die schwarze, fette Erde schuld am Riesenwuchs sei. Der Dorfschullehrer hat darüber und über seine sonstigen schlechten Erfahrungen und seine Not einen Nachtrag zu seiner ursprünglichen Schrift veröffentlicht.

'''2. Abschnitt'''

Durch das Lesen dieses Nachtrags ist dem Erzähler das Schicksal des Dorfschullehrers so zu Herzen gegangen, dass er, ohne Näheres vom Maulwurf und der ersten Drucksache zu wissen, eigene Untersuchungen anstellt. Er will dem Dorfschullehrer zum verdienten wissenschaftlichen Ansehen verhelfen.

'''3. Abschnitt'''

Daraus erwächst aber keine fruchtbare Zusammenarbeit. Der Dorfschullehrer traut dem Kaufmann nicht, missversteht ihn, hat teilweise auch berechtigte Einwände. Der Kaufmann, erst ganz Menschenfreund, verbeißt sich ähnlich wie sein Gegenüber in die Maulwurf-Thematik und hält nun nur noch seine Erkenntnisse für richtig.

'''4. Abschnitt'''

Er scheitert genau wie der Dorfschullehrer. Auch er hat eine Drucksache veröffentlicht und später einen enttäuschten Nachtrag dazu. Er will sich nun aus der Sache zurückziehen. Beim letzten Treffen mit dem Dorfschullehrer, dem er anfangs so helfend zugetan war, möchte er diesen nur noch wie etwas sehr Lästiges schnell aus seiner Wohnung haben.

== Textanalyse und Deutungsansatz ==
'''Hintergrund'''

Kafka hatte im Herbst 1914 eine Soldatengeschichte von einem lebensrettenden Maulwurf im Schützengraben gehört. Er beschreibt sie in einem Tagebucheintrag von 4. November 1914.<ref>Franz Kafka Tagebücher M. Pasley/M.Müller Fischer Verlag 2002 Tagebucheintrag 4. November 1914</ref> Aufgrund des zeitlichen Zusammenhangs mit der Entstehung dieser Erzählung ist ein Bezug sehr wahrscheinlich.<ref>Peter-André Alt: ''Franz Kafka: Der ewige Sohn. Eine Biographie''. München: Verlag C.H. Beck, 2005, ISBN 3-406-53441-4. S. 437</ref>

'''Der Riesenmaulwurf'''

Das äußerliche Erscheinungsbild des monströsen Maulwurfs lässt eher an eine Tierfabel oder ein Wesen aus dem Panoptikum denken. Er wird nicht näher wissenschaftlich beschrieben. Nur so viel wird über ihn gesagt, dass er tödlichen Widerwillen hervorrufen könnte und fast zwei Meter groß ist. Wie er genau beschaffen ist, ist für die Geschichte auch nicht interessant, denn letztlich geht es ja nicht um ihn.

'''Das Scheitern'''

Es geht um das Verhältnis der beiden, die sich dieser Sache verschrieben haben und die beide zeitversetzt scheitern, sowohl an ihrem Untersuchungsgegenstand als auch in ihrer gegenseitigen Beziehung. Das Tragische liegt darin, dass die Begeisterung des Dorfschullehrers und das Mitleid des Kaufmanns nicht zu einem Miteinander führt, sondern zu einem gegenseitigen Sich-Aufreiben.

Sucht man die Ursache dafür, könnte man heranziehen, dass beide diesen wissenschaftlichen Gegenstand der Biologie mangels der spezifischen Ausbildung nicht bewältigen konnten oder zumindest nicht in der entsprechenden Fachterminologie vermitteln konnten. Außerdem war beim einen Mitleid, beim anderen Hoffnung auf Wohlstand die Triebfeder, also kein wissenschaftlicher Forschungsdrang. Eine wissenschaftliche Analyse wird auch im Text nicht vorgeführt.<ref>Peter-André Alt S. 437</ref>

Wie steht es aber um die auftretenden Wissensexperten? Der erwähnte Gelehrte und eine namhafte Landwirtschaftszeitung äußern sich völlig unqualifiziert und ignorant. Sie wären sicher nicht berufen, dem Thema Geltung zu verschaffen.

Es geht in der Erzählung aber ohnehin nur am Rande um einen satirischen Wissenschaftsstreit, sondern vielmehr um die Unvereinbarkeit menschlichen Strebens.

== Verbleib des Manuskripts ==
Das Manuskript von Kafkas ''Der Dorfschullehrer'' ist in der Dauerausstellung im [[Literaturmuseum der Moderne]] in Marbach zu sehen.

== Ausgaben ==
* ''Sämtliche Erzählungen.'' Herausgegeben von [[Paul Raabe]], Fischer-Taschenbuch-Verlag, Frankfurt am Main 1970, ISBN 3-596-21078-X.
* ''Die Erzählungen'' Originalfassung herausgegeben von Roger Herms, Fischer Verlag 1997, ISBN 3-596-13270-3.
* ''Nachgelassene Schriften und Fragmente 1.'' Herausgegeben von Malcolm Pasley, Fischer, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-10-038148-3, S. 310–313, 194–216.

== Sekundärliteratur ==
* [[Peter-André Alt]]: ''Franz Kafka: Der ewige Sohn. Eine Biographie.'' C.H. Beck, München 2005, ISBN 3-406-53441-4.
* Bernard Dieterle: ''Kleine nachgelassene Schriften und Fragmente 2.'' In: [[Manfred Engel]], [[Bernd Auerochs]] (Hrsg.): ''Kafka-Handbuch. Leben – Werk – Wirkung.'' Metzler, Stuttgart, Weimar 2010, ISBN 978-3-476-02167-0, S. 260–280, bes. 266–268.

== Weblinks ==
{{Wikisource|Der Riesenmaulwurf|Der Riesenmaulwurf (1917)}} (alias Der Dorfschullehrer)
* Volltext der Erzählung [https://www.projekt-gutenberg.org/kafka/misc/chap034.html Der Riesenmaulwurf], [[Projekt Gutenberg-DE]]
* Natalie Urbig – [https://www.mythos-magazin.de/methodenforschung/nu_kafka.htm Basis-Interpretation: Frank Kafka: Der Riesenmaulwurf, eine Analyse nach der kognitiven Hermeneutik]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Franz Kafkas Werk}}

{{SORTIERUNG:Dorfschullehrer #Der}}
[[Kategorie:Literarisches Werk]]
[[Kategorie:Literatur (Deutsch)]]
[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Erzählung]]
[[Kategorie:Werk von Franz Kafka]]

Günter Ziegler

2024-10-25T18:53:48Z

Sigma^2: /* Einleitung */ Sprache

{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Mathematiker Günter Ziegler.
* Zum Materialforscher siehe [[Günter Ziegler (Werkstoffwissenschaftler)]].
* Zum Schauspieler siehe [[Gunter Ziegler]].
* Zu anderen Personen siehe [[Günther Ziegler]].}}
[[Datei:Prof._Dr._Günter_M._Ziegler,_Präsident_der_FU_Berlin.jpg|mini|Günter Ziegler, 2023]]
'''Günter Matthias Ziegler'''<ref>[http://www.tagesspiegel.de/wissen/praesidentenwahlen-an-der-fu-berlin-zieglers-formel/20966152.html ''Zieglers Formel.''] In: ''Tagesspiegel.'' 15. Februar 2018, abgerufen am 20. Februar 2018.</ref> (* [[19. Mai]] [[1963]] in [[München]]) ist ein deutscher [[Mathematiker]] und Präsident der [[Freie Universität Berlin|Freien Universität Berlin]].<ref>Katharina Gotzler: [https://idw-online.de/de/news693608 ''German U15 gratuliert neu gewähltem FU-Präsidenten.''] 2018.</ref>

== Leben ==

Ziegler begann nach dem Abitur 1981 am [[Ernst-Mach-Gymnasium Haar|Ernst-Mach-Gymnasium]] in Haar<ref name="dfg_cv">[http://www.dfg.de/download/pdf/gefoerderte_projekte/preistraeger/communicator-preis/2008/lebenslauf_ziegler.pdf Lebenslauf von Günter Ziegler]</ref> mit dem Studium der [[Mathematik]] und [[Physik]] an der [[Ludwig-Maximilians-Universität München]]. Nach drei Jahren am [[Massachusetts Institute of Technology]] (MIT) in [[Cambridge (Massachusetts)|Cambridge]] (1984 bis 1987) wurde er 1987 am MIT bei [[Anders Björner]] mit der Arbeit ''Algebraic Combinatorics of Hyperplane Arrangements'' promoviert.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=28701 |titel=Günter Ziegler |werk=Mathematics Genealogy Project |hrsg=North Dakota State University |sprache=en |abruf=2023-07-17}}</ref> Er war von 1987 bis 1991 wissenschaftlicher Assistent von [[Martin Grötschel]] an der [[Universität Augsburg]] und schloss 1991 bis 1992 ein Forschungsjahr auf dem Gebiet der [[Kombinatorik]] am [[Mittag-Leffler-Institut]] im [[Schweden|schwedischen]] [[Djursholm]] an. Im Jahre 1992 wurde er an der [[Technische Universität Berlin|Technischen Universität Berlin]] [[Habilitation|habilitiert]]; von 1992 bis 1994 arbeitete er (gemeinsam mit Martin Grötschel) als Leiter der Abteilung „Kombinatorische Optimierung“ am [[Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin]] und als Privatdozent an der TU Berlin. Von 1995 bis 2011 war er Professor für Mathematik an der TU Berlin, seit 2011 ist er als Professor für Mathematik an der FU Berlin tätig.

Von 1993 bis 2000 war Ziegler als Dozent des [[Deutsche Forschungsgemeinschaft|DFG]]-Graduiertenkollegs „Algorithmische Diskrete Mathematik“ und zwischen 2000 und 2005 als Dozent des europäischen Graduiertenkollegs „Combinatorics, Geometry, and Computation“ tätig. In dieser Zeit, im Jahre 2001, erhielt er den höchstdotierten deutschen Wissenschaftspreis, den [[Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Preis]]. Seit 2006 ist Ziegler Sprecher des Graduiertenkollegs „Methods for Discrete Structures“. 2006 und 2007 war er Sprecher der Graduiertenschule [[Berlin Mathematical School]], seitdem ist er stellvertretender Sprecher. Er ist außerdem Mitglied des DFG-Forschungszentrums [[Matheon]] und der [[Deutsche Akademie der Technikwissenschaften|Deutschen Akademie der Technikwissenschaften (Acatech)]].

Am 2. Mai 2018 wurde er im erweiterten akademischen Senat der Freien Universität Berlin mit 39 von 61 abgegebenen Stimmen als Nachfolger von [[Peter-André Alt]] zum Präsidenten der Hochschule gewählt.<ref>{{Internetquelle| url=https://www.morgenpost.de/berlin/article214180929/Mathematiker-Ziegler-wird-neuer-FU-Praesident.html| titel=Mathematiker Ziegler wird neuer FU-Präsident| hrsg=[[Berliner Morgenpost]]| datum=2018-05-02| abruf=2020-07-06| archiv-url=http://web.archive.org/web/20180626164107/https://www.morgenpost.de/berlin/article214180929/Mathematiker-Ziegler-wird-neuer-FU-Praesident.html| archiv-datum=2018-06-26| abruf-verborgen=1}}</ref>

Am 16. Februar 2022 ist er für weitere vier Jahre wiedergewählt worden.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.berlin.de/rbmskzl/aktuelles/pressemitteilungen/2022/pressemitteilung.1193627.php |titel=Präsident der Freien Universität Berlin bestellt |werk=Pressemitteilung der Senatskanzlei |datum=2022-04-05 |abruf=2022-04-06}}</ref> In der Sitzung des erweiterten Akademischen Senats (eAS) erhielt er im ersten Wahlgang 46 von 61 abgegebenen Stimmen.<ref>https://www.fu-berlin.de/campusleben/campus/2022/220217-p-wahl/index.html</ref>

== Werk ==

Ziegler arbeitet an Problemen der [[Diskrete Mathematik|diskreten Mathematik]], insbesondere der [[Diskrete Geometrie|diskreten Geometrie]] und der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] von [[Diskrete Strukturen|diskreten Strukturen]], sowie zu Fragen der [[Lineare Optimierung|linearen]] und [[Diskrete Optimierung|diskreten Optimierung]].

Von 1997 bis 2000 war Ziegler Mitglied des Vorstands der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|Deutschen Mathematiker-Vereinigung]] (DMV) und Herausgeber der Mitteilungen der DMV. Er war von 2006 bis 2008 ihr Präsident und 2008 in koordinierender Funktion mit der Ausgestaltung des [[Jahr der Mathematik|Wissenschaftsjahrs der Mathematik]] betraut.

Gemeinsam mit [[Martin Aigner]] schrieb er ''[[Das Buch der Beweise|Das BUCH der Beweise]],'' ursprünglich auf Englisch unter dem Titel ''Proofs from THE BOOK,'' in dem, angeregt von [[Paul Erdős]], der scherzhaft von einem solchen idealen Buch im Besitz Gottes sprach, verschiedene sich durch Eleganz auszeichnende Beweise vor allem zur Kombinatorik gesammelt sind. Für dieses Buch erhielt er gemeinsam mit Martin Aigner den [[Leroy P. Steele Prize]] 2018 for Mathematical Exposition der [[American Mathematical Society]].<ref>[http://www.ams.org/news?news_id=3805 2018 Steele Prize for Mathematical Exposition]</ref>

2012 beendete er aus Protest gegen die Preispolitik des Verlags [[Elsevier]] seine Mitherausgeberschaft der Zeitschriften ''European Journal of Combinatorics'' und ''Journal of Combinatorial Theory, Series A.''<ref>''[http://www.scilogs.de/wblogs/blog/mathematik-im-alltag/allgemein/2012-02-19/boykottiert-elsevier-ich-boykottiere-elsevier Boykottiert Elsevier! Ich boykottiere Elsevier!]'' 19. Februar 2012.</ref>

In den Mitteilungen der DMV veröffentlicht er die Kolumne ''Mathematik im Alltag.''

Vom 1. Juli 2016 bis zum 1. Juli 2018 war Ziegler Chair der [[Berlin Mathematical School]].

== Ehrungen, Auszeichnungen und Mitgliedschaften ==
* Goldmedaille bei der [[Internationale Mathematik-Olympiade|Internationalen Mathematik-Olympiade]], 1981
* Stipendiat in die [[Studienstiftung des deutschen Volkes]], 1981<ref name="dfg_cv" />
* Bundessieg bei [[Jugend forscht]] im Gebiet Mathematik/Informatik mit einer Arbeit ''Vierfarbige Probleme. Nachbargebiete und Kartenfärbung in drei und mehr Dimensionen'', 1982<ref>{{Internetquelle| url=https://www.jugend-forscht.de/projektdatenbank/vierfarbige-probleme-nachbargebiete-und-kartenfaerbung-in-drei-und-mehr-dimensionen.html |werk=Projektdatenbank Jugend forscht |titel=Vierfarbige Probleme. Nachbargebiete und Kartenfärbung in drei und mehr Dimensionen |abruf=2024-10-25}}</ref>
* [[Literaturpreis der Schwulen Buchläden]] für ''Fragmente einer Legende,'' 1993
* [[Gerhard-Hess-Preis]] der [[Deutsche Forschungsgemeinschaft|Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG)]], 1994
* [[Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Preis]] der DFG, 2001
* 2002 war er Invited Speaker auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|Internationalen Mathematikerkongress]] in [[Peking]] (Face numbers of 4-polytopes and 3-spheres).
* 2005 [[Gauß-Vorlesung]] der [[Deutsche Mathematiker-Vereinigung|DMV]]
* [[Chauvenet-Preis]] der Mathematical Association of America (MAA) (gemeinsam mit Florian Pfender), 2006
* [[Communicator-Preis]], 2008
* Mitglied der [[Leopoldina]], seit 2009<ref>{{Leopoldina|1394|IDName=guenter-m-ziegler|Name=Prof. Dr. Günter M. Ziegler|Kommentar=mit Bild|Datum=27. Juni 2016}}</ref><ref name="leo2009">[http://www.leopoldina.org/uploads/tx_leopublication/Neugewaehlte_Mitglieder_2009_03.pdf ''Leopoldina: Neugewählte Mitglieder 2009.''] (PDF; 2,4 MB).</ref>
* Er ist Fellow der [[American Mathematical Society]].
* [[Hector Wissenschaftspreis]]<ref>[http://www.hector-fellow-academy.de/hector-fellows/hector-wissenschaftspreis/2013.html Verleihung des Hector Wissenschaftspreises]</ref> und Mitglied der [[Hector Fellow Academy]]<ref>[http://www.hector-fellow-academy.de/veranstaltungen/gruendungszeremonie.html Gründungszeremonie der Hector Fellow Academy]</ref>, 2013
* 2014 war er Eingeladener Sprecher auf dem [[Internationaler Mathematikerkongress|ICM]] in [[Seoul]] (Teaching and learning „What is Mathematics“) und Mitglied im Auswahlkomitee<ref>{{Internetquelle |url=http://www.mathunion.org/general/prizes/prize-committee-chairs/2014-1936/ |titel=Former Prize Committees |datum=2014-09-08 |zugriff=2016-07-06 |hrsg=[[Internationale Mathematische Union]] |archiv-url=https://web.archive.org/web/20160706115818/http://www.mathunion.org/general/prizes/prize-committee-chairs/2014-1936/ |archiv-datum=2016-07-06 }}</ref> für die in diesem Jahr verliehenen [[Fields-Medaille]]n.
* 2017 [[Berliner Wissenschaftspreis]]

== Bücher ==
* ''Lectures on Polytopes'' (= ''[[Graduate Texts in Mathematics]].'' 152). Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 0-387-94365-X.
* {{Literatur |Autor= |Titel=Lectures on Polytopes |TitelErg=Corrected and updated printing |Reihe=[[Graduate Texts in Mathematics]] |BandReihe=152 |Verlag= Springer |Ort=New York / Heidelberg / Dordrecht / London |Datum=2007 |ISBN=978-0-387-94329-9 |DOI=10.1007/978-1-4613-8431-1}}
* Mit Martin Aigner: ''Proofs from THE BOOK.'' Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63698-6 (6th edition. ebenda 2018, ISBN 978-3-662-57264-1).
** Mit Martin Aigner: ''Das BUCH der Beweise.'' Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-40185-7 (deutsche Ausgabe von ''Proofs from the Book.'' 5. Auflage. ebenda 2018, ISBN 978-3-662-57766-0).
* Als Herausgeber mit [[Ehrhard Behrends]], [[Peter Gritzmann]]: ''π & Co. Kaleidoskop der Mathematik.'' Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77888-2.
* ''Darf ich Zahlen? Geschichten aus der Mathematik.'' Piper, München u. a. 2010, ISBN 978-3-492-05346-4.
* ''Mathematik – Das ist doch keine Kunst!'' Albrecht Knaus, München 2013, ISBN 978-3-8135-0584-9.
* Mit Andreas Loos und Rainer Sinn: ''Panorama der Mathematik.'' Springer, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-54872-1.

== Schriften (Auswahl) ==
* Mit Rade T. Živaljević: ''Homotopy types of subspace arrangements via diagrams of spaces.'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' Band 295, Nr. 3, 1993, [http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002337878 S. 527–548].
* ''Generalized Kneser coloring theorems with combinatorial proofs.'' In: ''[[Inventiones Mathematicae]].'' Band 147, Nr. 3, 2002, S. 671–691, {{DOI|10.1007/s002220100188}}.
* Mit Bruno Benedetti: ''On locally constructible spheres and balls.'' In: ''[[Acta Mathematica]].'' Band 206, Nr. 2, 2011, S. 205–243, ([https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892546 online]).
* Mit [[Karim Adiprasito|Karim A. Adiprasito]]: ''Many projectively unique polytopes.'' In: ''Inventiones Mathematicae.'' Band 199, Nr. 3, 2015, S. 581–652, {{DOI|10.1007/s00222-014-0519-y}}.
* Mit Pavle V. M. Blagojević, Benjamin Matschke: ''Optimal bounds for the colored Tverberg problem.'' In: ''Journal of the European Mathematical Society.'' Band 17, Nr. 4, 2015, S. 739–754, {{DOI|10.4171/JEMS/516}}.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Günter Ziegler (mathematician)}}
* {{DNB-Portal|121062155}}
* [http://page.mi.fu-berlin.de/gmziegler/ Website von Günter Ziegler] an der Freien Universität Berlin.
* {{Webarchiv | url=http://www.dfg.de/aktuelles_presse/preise/leibniz_preis/2001/ziegler/index.html | wayback=20080624143016 | text=Würdigung der DFG zur Verleihung des Leibniz-Preises.}}
* [[Christoph Drösser]]: ''[http://www.zeit.de/2007/38/P-Ziegler Ein etwas anderer Streber.]'' Porträt in ''DIE ZEIT'' Nr. 38 vom 13. September 2007.
* Philipp Schwenke: ''[http://www.zeit.de/campus/2010/04/sprechstunde »Mich interessieren Ecken und Kanten«.]'' Interview in ''ZEIT campus,'' Nr. 04/2010.
* ''[https://www.fu-berlin.de/campusleben/vorgestellt/2011/110314_ziegler/index.html Ein Gesicht für die Mathematik.]'' In: ''Onlinemagazin campus.leben'' der Freien Universität Berlin, 14. März 2011.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{NaviBlock
|Navigationsleiste Vorsitzende und Präsidenten der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
|Navigationsleiste Rektoren und Präsidenten der FU Berlin
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{{Normdaten|TYP=p|GND=121062155|LCCN=n94048719|NDL=00905411|VIAF=59184827}}

{{SORTIERUNG:Ziegler, Gunter}}
[[Kategorie:Mathematiker (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Mathematiker (21. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Präsident (Freie Universität Berlin)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Freie Universität Berlin)]]
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[[Kategorie:Mitglied der Deutschen Akademie der Technikwissenschaften (acatech)]]
[[Kategorie:Mitglied der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften]]
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{{Personendaten
|NAME=Ziegler, Günter
|ALTERNATIVNAMEN=Ziegler, Günter M.
|KURZBESCHREIBUNG=deutscher Mathematiker
|GEBURTSDATUM=19. Mai 1963
|GEBURTSORT=[[München]]
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}}

Sankt-Petersburg-Paradoxon

2024-10-22T12:21:53Z

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Das '''Sankt-Petersburg-Paradoxon''' (auch '''Sankt-Petersburg-Lotterie''') beschreibt ein [[Paradoxon]] in einem [[Glücksspiel]]. Die [[Zufallsvariable]] hat hier einen unendlichen [[Erwartungswert]], was gleichbedeutend mit einer unendlich großen erwarteten Auszahlung ist. Trotzdem scheint der Spieleinstieg nur einen kleinen Geldbetrag wert zu sein. Das St.-Petersburg-Paradoxon ist eine klassische Situation, in der eine naive [[Entscheidungstheorie]], die nur den [[Bayes-Regel|Erwartungswert als Kriterium]] verwendet, eine Entscheidung empfehlen würde, die keine (reale) [[Rationalität|rationale]] Person fällen würde. Das Paradoxon kann gelöst werden, indem das Entscheidungsmodell durch die Verwendung einer [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]] verfeinert wird oder indem endliche Varianten der Lotterie betrachtet werden.

Das Paradox erhielt seinen Namen von [[Daniel Bernoulli]]s Präsentation des Problems und seiner Lösung, die er 1738 in den ''Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae'' ([[Sankt Petersburg]]) veröffentlichte. [[Nikolaus I Bernoulli]] erwähnte das Problem jedoch schon 1713 in einem Briefwechsel mit [[Pierre Rémond de Montmort]]. In der ursprünglichen Darstellung spielt sich diese Geschichte in einem hypothetischen [[Spielbank|Kasino]] in Sankt Petersburg ab, daher der Name des Paradoxons.

== Das Paradoxon ==
In einem [[Glücksspiel]], für das eine Teilnahmegebühr verlangt wird, wird eine faire Münze so lange [[Münzwurf|geworfen]], bis zum ersten Mal „Kopf“ fällt. Dies beendet das Spiel. Der Gewinn richtet sich nach der Anzahl der Münzwürfe insgesamt. War es nur einer, dann erhält der Spieler 1 Euro. Bei zwei Würfen (also einmal „Zahl“, einmal „Kopf“) gibt es 2 Euro, bei drei Würfen 4 Euro, bei vier Würfen 8 Euro und bei jedem weiteren Wurf verdoppelt sich der Betrag.<ref>Manon Bischoff: ''[https://www.spektrum.de/kolumne/sankt-petersburg-paradoxon-spielen-um-jeden-preis/2024761 Das Sankt-Petersburg-Paradoxon: Spielen um jeden Preis?]'' In: [[Spektrum der Wissenschaft|spektrum.de]], 16. Juni 2022, abgerufen am 20. Juni 2022.</ref>
Man gewinnt also <math>2^{k-1}</math> Euro, wenn die Münze <math>k</math>-mal geworfen wurde.

Welcher Geldbetrag sollte für die Teilnahme an diesem Spiel bezahlt werden?

Sei <math>P(Z_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass beim <math>i</math>-ten Münzwurf Zahl fällt, und <math>P(K_i)</math> die Wahrscheinlichkeit, dass beim <math>i</math>-ten Münzwurf Kopf fällt. Man kommt genau dann zum <math>k</math>-ten Wurf, wenn man vorher <math>k-1</math>-mal Zahl geworfen hat. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mal beim <math>k</math>-ten Münzwurf „Kopf“ fällt:
:<math>p_k=P(Z_1)\cdot P(Z_2)\dotsm P(Z_{k-1})\cdot P(K_k)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\dotsm\frac{1}{2}=\frac{1}{2^k}.</math>

Wie viel kann man im Durchschnitt erwarten zu gewinnen? Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ist der Gewinn 1 Euro, mit Wahrscheinlichkeit 1/4 ist er 2 Euro, mit Wahrscheinlichkeit 1/8 ist er 4 Euro usw.
Der Erwartungswert ist daher

:<math>E = \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \dotsb =\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^{k-1} = \sum_{k=1}^\infty {1 \over 2} \longrightarrow \infty.</math><ref>{{Literatur |Autor=Daniel Bernoulli |Titel=Exposition of a new theory on the measurement of risk |Seiten=31}}</ref>

Diese Summe [[Grenzwert (Folge)|divergiert]] gegen unendlich, das heißt, im Mittel erwartet man daher einen unendlich hohen Gewinn.

Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, z. B. 512 Euro oder mehr zu gewinnen, sehr klein, nämlich gerade 1:1024 (1:2048 für mindestens 1024 Euro).

Gemäß einer Entscheidungstheorie, die auf dem Erwartungswert basiert, sollte man daher jede beliebige Teilnahmegebühr akzeptieren. Dies widerspricht natürlich einer tatsächlichen Entscheidung und scheint auch irrational zu sein, da man in der Regel nur einige Euro gewinnt. Diese offenbar paradoxe Diskrepanz führte zu dem Namen ''Sankt-Petersburg-Paradoxon''.

== Lösungen des Paradoxons ==
Es gibt mehrere Ansätze, dieses Paradoxon zu lösen. Im Folgenden werden einige, ausgewählte Ideen vorgestellt.<ref>Für einen zusammenfassenden Überblick vgl. David Müller: ''Investitionscontrolling 2: Entscheidungstheorie ''. 3. Aufl. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36596-7, S. 306–314.</ref>

=== Erwartungsnutzentheorie ===
{{Belege|Für das Bernoulli-Zitat, sieht holprig übersetzt aus.}}
Ökonomen nutzen dieses Paradoxon, um Konzepte in der [[Entscheidungstheorie]] zu demonstrieren.<ref>Für einen Überblick siehe [[Thorsten Hens]] und [[Marc Oliver Rieger]] (2016): ''Financial Economics: A Concise Introduction to Classical and Behavioral Finance ''. Springer-Verlag, Chapter 2.</ref> Das Paradoxon wird dabei gelöst, indem die naive Entscheidungstheorie, die auf dem Erwartungswert basiert, durch die (vernünftigere) [[Erwartungsnutzentheorie]] (Expected Utility Theory) ersetzt wird.

Diese Theorie des ''sinkenden [[Grenznutzen]]s des Geldes'' wurde schon von Bernoulli erkannt. Die Hauptidee ist hierbei, dass ''ein Geldbetrag unterschiedlich bewertet wird'': Zum Beispiel ist der relative Unterschied in der (subjektiven) Nützlichkeit von 2 Billionen Euro zu 1 Billion Euro sicher kleiner als der entsprechende Unterschied zwischen 1 Billion Euro und gar keinem Geld. Die Beziehung zwischen Geldwert und Nutzen ist also nicht-linear. Verallgemeinert man diese Idee, so hat eine 1:100.000.000.000 Chance, 100.000.000.000 Euro zu gewinnen, zwar einen Erwartungswert von einem Euro, muss aber nicht zwingend einen Euro wert sein.

Wenn wir nun eine Nutzenfunktion, wie die von Bernoulli vorgeschlagene [[Logarithmus]]funktion <math>u(x)=\ln(x)</math>, verwenden, so hat die Sankt-Petersburg-Lotterie einen endlichen Wert:

:<math>\operatorname E[U] = \sum_{k=1}^\infty p_k u(2^{k-1}) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\ln(2^{k-1})}{2^k} = \ln(2) <\infty.</math>

In Bernoullis eigenen Worten:
:„[…] es ist hier nämlich der Wert einer Sache nicht aus ihrem bloßen Preise (Geld- oder Tauschwert) zu bestimmen, sondern aus dem Vorteil, den jeder einzelne daraus zieht. […] So muß es zweifellos für einen Armen mehr wert sein, tausend Dukaten zu gewinnen, als für einen Reichen, obschon der Geldwert für beide der gleiche ist.“<ref>{{Literatur |Autor=Alfred Pringsheim Daniel Bernoulli |Titel=Die Grundlage der modernen Wertlehre: Daniel Bernoulli, Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen. (Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis). Aus dem Lateinischen übersetzt und mit Erläuterungen versehen von Professor Dr. Alfred Pringsheim. Mit einer Einleitung von Dr. Ludwig Fick |Datum=1896 |Online=https://archive.org/details/DieGrundlageDerModernenWertlehreDanielBernoulliVersuchEinerNeuenTheorieDerWertbe |Abruf=2020-12-12}}</ref>

Diese Lösung ist jedoch noch nicht vollauf befriedigend, da die Lotterie in einer Weise geändert werden kann, dass das Paradox wieder auftritt: Dazu müssen wir lediglich die Lotterie so ändern, dass die Auszahlungen <math>e^{2^k}</math> betragen, dann ist der Wert der Lotterie, berechnet mit der logarithmischen Nutzenfunktion, wieder unendlich.

Allgemein kann man für jede [[Beschränkt|unbeschränkte]] Nutzenfunktion eine Variante des Sankt-Petersburg-Paradoxons finden, die einen unendlichen Wert liefert, wie von dem österreichischen Mathematiker [[Karl Menger]] als erstem bemerkt wurde.<ref>{{Literatur|Autor=[[Karl Menger]] |Titel=Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre – Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel |Sammelwerk=Zeitschrift für Nationalökonomie |Band=5 |Datum=1934| Seiten=459–485 |DOI=10.1007/BF01311578}}</ref>

Es gibt nun im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, dieses neue Paradoxon, das zuweilen ''Super-Sankt-Petersburg-Paradoxon'' genannt wird, zu lösen:

* Man kann berücksichtigen, dass ein Kasino nur Lotterien mit einem endlichen Erwartungswert anbieten würde. Unter dieser Annahme lässt sich zeigen, dass das Paradoxon verschwindet, falls die Nutzenfunktion [[Konvexe und konkave Funktionen|konkav]] ist, was bedeutet, dass man eine [[Risikoaversion]] (zumindest für hohe Geldbeträge) voraussetzt.<ref>Vergleiche [[Kenneth Arrow]] (1974): ''The use of unbounded utility functions in expected-utility maximization: Response''. In: ''Quarterly Journal of Economics'', Vol. 88, pp. 136–138.</ref>

* Man kann annehmen, dass die Nutzenfunktion nach oben beschränkt ist. Dies bedeutet nicht, dass die Nutzenfunktion ab einem bestimmten Wert konstant sein muss. Als Beispiel betrachte <math>u(x)=1-e^{-x}</math>.

In den letzten Jahren wurde die Expected Utility Theory erweitert, um Entscheidungsmodelle zu erhalten, die das reale Verhalten von Testpersonen quantitativ besser beschreiben. In einigen dieser neuen Theorien, wie der [[Prospect Theory|Cumulative Prospect Theory]], taucht das Sankt-Petersburg-Paradox in einigen Fällen auch dann auf, wenn die Nutzenfunktion konkav und der Erwartungswert endlich ist, jedoch nicht, wenn die Nutzenfunktion beschränkt ist.<ref>[[Marc Oliver Rieger]], [[Mei Wang]]: ''Cumulative prospect theory and the St. Petersburg paradox''. Economic Theory, Vol. 28, issue 3, 2006. Seiten 665–679.</ref>

=== Endliche Sankt-Petersburg-Lotterie ===
In der klassischen Variante der Sankt-Petersburg-Lotterie hat das Kasino unbegrenzte Geldvorräte. Es gibt also keinen Gewinn, den das Kasino nicht auszahlen könnte, und das Spiel könnte beliebig lange gehen.

Geht man hingegen von einem realen Kasino mit einem Kapital von <math>K</math> aus, dann kann das Kasino nicht mehr als einen maximalen Gewinn auszahlen. Erreicht der Spieler die daraus resultierende Grenze von <math>N</math> Münzwürfen, dann wird ihm der Gewinn an dieser Stelle ausgezahlt und das Spiel abgebrochen. Diese Grenze <math>N</math> legt das Kasino vorher fest.

Man erhält nun einen endlichen Erwartungswert. Zur Berechnung verwendet man die Formel
:<math>E = \sum_{k=1}^N p_k 2^{k-1}+2^{N-1}\sum_{k=N+1}^\infty p_k = \sum_{k=1}^N \frac{1}{2} + 2^{N-1} \left(1-\left(1 - \frac{1}{2^N}\right)\right)\ =\ \frac{N+1}{2},</math>

mit <math>N = 1 + \lfloor \log_2(K) \rfloor</math>.

Folgende Tabelle zeigt, welche Erwartungswerte die endliche Sankt-Petersburg-Lotterie für verschiedene Kasinotypen hat:
{|class="wikitable" align=cener
| ''Kasinokapital K'' || ''max. Spiellänge N'' || ''Erwartungswert E''
|-
|-
| 100 € || 7 || 4 € || Spiel unter Freunden
|-
| 100 Millionen € || 27 || 14 € || (normales) Kasino
|-
| 18 Billionen € || 44 || 22,50 € || BIP der EU 2009
|-
|}

=== Begrenzung der Nutzenfunktion aufgrund einer endlichen Lebensdauer ===
Eine Beschränkung des Nutzens kann auch mit der Lebenszeit des Menschen begründet werden. Der Nutzen eines Gewinns in dem St.-Petersburg-Spiel für einen Menschen mit begrenzter Lebensdauer ist
zwangsläufig ebenfalls begrenzt.

=== Ignoranz unwahrscheinlicher Ereignisse ===
Eine weitere Lösungsidee besteht in der Erklärung, dass reale Entscheidungsträger sehr unwahrscheinliche Ereignisse komplett ignorieren. D. h. anstelle der mathematisch korrekten Berücksichtigung sehr kleiner Werte werden diese vollständig ignoriert. Darauf wiesen schon [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert]] 1773 und [[Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon]] 1777 hin.

=== Zweifel am logischen Zustandekommen ===
Einige Autoren<ref>[[John Maynard Keynes]], A treatise on probability. London: Macmillan, S. 316–320.</ref><ref>[[Lloyd S. Shapley]], The St. Petersburg paradox: A con game? In: Journal of Economic
Theory, 14 (2), S. 439–442</ref> sehen einen logischen Widerspruch bei der Konstruktion des Paradoxes. Sie bezweifeln das Zustandekommen des St.-Petersburg-Spiels und somit die Existenz
des darauf beruhenden Paradoxes aufgrund logischer Gründe. Dieses Argument wird mit Blick auf den Spieler, aber auch auf den Gegenspieler vorgebracht. Mit Blick auf den Spieler stellt sich folgende Frage: Welches rationale Individuum glaubt, dass der Gegenspieler/die Spielbank in der Lage ist, den Spielgewinn zu liefern, wenn der Erwartungswert des Spieles unendlich hoch ist?

=== Zweifel am praktischen Zustandekommen ===
Aus praktischer Sicht wird eingewendet, dass:<ref>David Müller: ''Investitionscontrolling 2: Entscheidungstheorie ''. 3. Aufl. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36596-7, S. 311–312.</ref>
* jeder Münzwurf eine bestimmte Zeit benötigt, weshalb die erforderliche Zeit für eine unendliche Anzahl an Versuchen nicht zur Verfügung steht und/oder
* keine Spielbank eine unendliche Gewinnsumme vorhalten kann.

=== Ersatz des maximalen Nutzens durch die maximale Wahrscheinlichkeit ===
Eine weitere Lösung wird durch eine veränderte Zielstellung möglich. Sämtliche bisher vorgestellten Studien und Erklärungen basieren auf der Annahme, dass der Akteur den erwarteten Nutzen maximieren möchte. Das reale Verhalten legt jedoch den Schluss nahe, dass die Probanden versuchen, die Wahrscheinlichkeit der Lotterie zu maximieren. Sie suchen demzufolge die stochastisch optimale Lotterie.<ref>David Müller: ''Investitionscontrolling 2: Entscheidungstheorie ''. 3. Aufl. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36596-7, S. 314.</ref>

=== Experimentelle Analysen ===
Neben den theoretischen Analysen sind experimentelle Untersuchungen zu nennen. Ein frühes Experiment wurde 1777 von [[Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon]] durchgeführt.<ref>David Müller: ''Investitionscontrolling 2: Entscheidungstheorie ''. 3. Aufl. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36596-7, S. 313.</ref> Später wurden weitere Experimente durchgeführt, um die frühen Ergebnisse zu überprüfen.<ref>Jacques Dutka (1988): On the St. Petersburg paradox. In: Archive for History of Exact Sciences,
39 (1), S. 36–37.</ref><ref> Robert W. Vivian (2013): Ending the myth of the St. Petersburg paradox. In: South African Journal of Economic and Management Sciences, 16 (3), S. 356–360.</ref> Darüber hinaus wurde z. B. auf der Basis von 1 Mrd. Versuchen gezeigt, dass die Gewinnsumme im St.-Petersburg-Spiel einem Potenzgesetz folgt. Eine Verdopplung der Gewinnwahrscheinlichkeit führt zu einer Halbierung der Gewinnsumme.<ref>Sergio Da Silva, Raul Matsushita (2016): The St. Petersburg paradox: An experimental solution. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 445 (1): 66–74.</ref>

== Weblinks ==
* Martin, Robert (2004), „[https://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/ The St. Petersburg Paradox]“. In ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'' (Fall 2004 Edition), Edward N. Zalta (ed.) (auf Englisch)
* [http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html Online St.-Petersburg-Lotterie]
* [[Daniel Bernoulli]] (1738), [https://get.google.com/albumarchive/110664844632908712547/album/AF1QipMINr_bIgjSDbivQhVJSrIKFATfyeklzqDgX02r?source=pwa ''Theoriae Novae De Mensura Sortis''], übersetzt als „Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk“, ''Econometrica'' Vol. 22 (1954), pp. 23–36 (Engl. Version [https://web.archive.org/web/20140316004831/ im Internet Archive])
* [[Robert Aumann]], „The St. Petersburg paradox: A discussion of some recent comments“, ''Journal of Economic Theory'', 1977, Vol. 14, pp. 443–445

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Paradoxon]]
[[Kategorie:Entscheidungstheorie]]
[[Kategorie:Mikroökonomie]]

Hilfe Diskussion:TeX

2024-10-12T19:28:41Z

Sigma^2: /* Rendern */

{{Archivübersicht|
* [[/Archiv/1|2003 bis 2012]]
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}}
{{Autoarchiv-Erledigt
|Alter=14
|Ziel='((Lemma))/Archiv/2'
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}}

== Parser-Fehler mit \mathrm bei Umlauten ==

Der Befehl \mathrm{} führt in Formeln zu Parser-Fehlern, wenn im Argument deutsche Umlaute enthalten sind. Dies allerdings nur dann, wenn die Formel auf dem Wikimedia-Server interpretiert wird. Wenn sie lokal vom Browser mittels MathJax ausgewertet wird, dann ergibt sich ohne Fehlermeldung das erwartete Formel-Bild. MathJax ist offenbar toleranter als der Parser von Mediawiki. Das ist besonders unangenehm, weil auf diese Weise ein Autor, der MathJax bei sich aktiviert hat, nichts vom Fehler merkt.

Ich habe in der Tabelle mit den verschiedenen Schriftstilen eine Andeutung ergänzt. Das Problem erscheint mir allerdings gravierend genug, dass deutlicher darauf hingewiesen werden sollte. Wie wäre es mit einem Abschnitt zur Entscheidung, wann \mathrm und wann \text sinnvoll ist?--[[Benutzer:KaiMartin|-<)kmk(>-]] ([[Benutzer Diskussion:KaiMartin|Diskussion]]) 16:16, 20. Jan. 2014 (CET)

:Einen solchen Abschnitt halte ich auch für gut. Es ist immer grausig, wenn Fließtext mit \mathrm (mathematisches Symbol aufrecht ''innerhalb'' mathmode im TeX) statt mit \text (Fließtext ''außerhalb'' mathmode aber noch im TeX) gesetzt wurde. --<small>[[Benutzer_Diskussion:StefanPohl|Stefan]]</small> 17:53, 17. Feb. 2014 (CET)

== array mit Position ==

Nach [http://www.weinelt.de/latex/array.html dieser] Seite gilt
\begin{array}[Position]{Spalten} ... \end{array}
Der <code>[Position]</code>-Part ist bei uns nicht beschrieben. Er kann wohl nur ''t''op oder ''b''ottom enthalten. Habe heute einige mit ''h'' repariert. Vielleicht sollte man das auf der Vorderseite entsprechend einarbeiten. (Die Fehlermeldung bei den [h] war sehr irreführend, da einfach die Funktion nicht bekannt war …) [[Benutzer:Umherirrender|Der Umherirrende]] 19:22, 10. Jun. 2016 (CEST)
:Die Shortcut-Syntax für die Spalten <code>*{<num>}<col spec></code> wird auch nicht erklärt. [[Benutzer:Umherirrender|Der Umherirrende]] 20:13, 10. Jun. 2016 (CEST)
:: „Mit dem optionalen Parameter Position wird entschieden, ob die Oberkante [t], die Unterkante [b] oder die Mitte des Feldes auf die laufende Zeile ausgerichtet wird.“ Ein [h] ist somit gar nicht vorgesehen und sollte entfernt werden. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 23:11, 12. Jun. 2016 (CEST)

== Umlaute in Formeln sind fehlerhaft ==

Aus: [[Wikipedia:Technik/Werkstatt#Umlaute_in_Formeln_fehlerhaft]]
* Umlaute in PNG sehen gut aus, sind aber nicht ''accessible''
* Umlaute in SVG werden im Browser ggf. durch andere FOnts ersetzt
* MathML sieht gut aus, erfordert aber Plugin.

Zusammen mit dem folgenden Abschnitt ergibt sich hier die unschöne Situation, dass keine Einstellung richtig funktioniert:
--[[Benutzer:Alturand|Alturand]] ([[Benutzer Diskussion:Alturand|Diskussion]]) 22:17, 7. Feb. 2017 (CET)

: Ein dreiviertel Jahr später ist die Lage unverändert. Hier als schneller Test <nowiki><math>\text{UüöäÄeßzet}</math></nowiki>
:: <math>\text{UüöäÄeßzet}</math>
: Mit Firefox 52.4.0 und dem Plugin "Native MathML" sieht das bei mir gut aus. Ohne das Plugin erscheinen die Umlaute deutlich zu groß.
: Außerdem habe ich bemerkt, dass <nowiki>\mathrm</nowiki> zu einem Parser-Fehler führt. Wobei der Fehler noch nicht einmal mit "<nowiki><nowiki></nowiki>" unterdrückt werden kann. Auch nicht wirklich schön.--[[Benutzer:KaiMartin|-<)kmk(>-]] ([[Benutzer Diskussion:KaiMartin|Diskussion]]) 23:45, 14. Okt. 2017 (CEST)

„Umlaute in SVG werden im Browser ggf. durch andere FOnts ersetzt“: Deswegen gehen Autoren wieder einen Schritt zurück und zerstören das „accessible“. Siehe: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fall_mit_Luftwiderstand&diff=170484341&oldid=165943062

Das ist doch keine Lösung. Sehr ärgerlich. Da kann man doch lieber bei PNG bleiben und der Quälcode sieht genau wie das Ergebnis gut aus. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 20:48, 30. Okt. 2017 (CET)
: Hier eine mögliche Abhilfe: <nowiki><math>\frac{x^2}{x}=x \quad \text{f}\ddot{\text{u}}\text{r } x \ne 0</math></nowiki>
:: <math>\frac{x^2}{x}=x \quad \text{f}\ddot{\text{u}}\text{r } x \ne 0</math>
-- Gruß von der [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 21:01, 27. Dez. 2017 (CET)
:::Stolz habe ich das soeben im Hilfetext eingefügt, aber ich hatte nicht bis zum Ende gelesen. Danach sah ich in Abschnitt 4 ("Was nicht geht"), dass man genau das nicht tun soll. Also habe ich meine Änderung mit der Lösung erst mal rückgängig gemacht. Toll! Ist mbox bzw text mit Parameter "für" besser, wenn das Ergebnis "f r" ist? Freunde, das geht doch nicht! Man sollte ddot zulassen -- [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 02:46, 28. Dez. 2017 (CET)
:::: Jain: Früher habe ich „fuer“ im Mathe-Modus durch \mathrm{f\ddot ur} (<math>\mathrm{f\ddot ur}</math>) ersetzt. Ist kein schöner Quälcode, aber es geht. Dann konnte man endlich \text{für} (<math>\,\text{für}</math>, siehe Bild: /media/math/b/3/d/b3db1b1bd9a51b83badcfcbba103aae8.png) verwenden. Das ist deutlich besser und funktionierte für alle Leser. Dann erfolgten viele Verschlimmbesserungen. In der Tat scheint es pragmatisch zu sein auf die Ausgangsposition zurückzukehren. Besser wäre es allerdings endlich die neuen Fehler beim Rendern zu beheben. Allerdings ist das auf der Prioritätenliste der Wikipedia nicht sehr weit vorne: https://meta.wikimedia.org/wiki/2017_Community_Wishlist_Survey/Reading#Functional_and_beautiful_math_for_everyone also Platz 38 https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/2017_Community_Wishlist_Survey/Results wobei nur die ersten 10 Plätze im nächsten Jahr bearbeitet werden. Die wissen Alle bescheid, bauen aber erst einmal Stalk-Werkzeuge und Klicki-Bunti-Editoren und anderen Unsinn. Da hilft nur warten. Bis dahin habe ich auf „Mathe nur als png-Bilder darstellen“ umgeschalten und meine Nerven sind geschohnt. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 11:23, 28. Dez. 2017 (CET)

== <nowiki>\oiint</nowiki> wird nicht korrekt gerendert ==
s. [[Diskussion:Elektrische Ladung#Parser]]
* PNG macht schöne aber nicht behindertengerechte Umlaute, unterstützt aber <nowiki>\oiint</nowiki> nicht
* SVG rendering macht unschöne aber behindertengerechte Umlaute, aber unterstützt <nowiki>\oiint</nowiki>
* MathML hat nicht jeder

Wie kann das am besten aufgelöst werden?--[[Benutzer:Alturand|Alturand]] ([[Benutzer Diskussion:Alturand|Diskussion]]) 22:17, 7. Feb. 2017 (CET)

== MathJax ==

"Bis Mitte 2015 war es auch möglich, MathJax in den Benutzereinstellungen auszuwählen." Wo wurde eigentlich kommuniziert, dass und warum das nicht mehr möglich ist? -- [[Benutzer:WolfgangRieger|Wolfgang Rieger]] [[Benutzer Diskussion:WolfgangRieger|(Diskussion)]] 23:11, 14. Okt. 2017 (CEST)
:{{Antwort|Wolfgang Rieger}} [[phab:T99369]]. Da die gesamte Math-Erweiterung ausschließlich von Freiwilligen programmiert wird kann ich ihnen keinen Vorwurf machen, wenn sie es nicht mehr unterstützen können bzw. wollen. Die WMF scheint leider andere Prioritäten zu haben, zumindest kenne ich niemand offizielles, der sich mit der Math-Erweiterung auskennt oder sich für diese verantwortlich fühlt.--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 00:05, 15. Okt. 2017 (CEST)

:: Das halte ich für ein ziemlich peinliches Bild von Seiten der WMF. Naturwissenschaftliche Themen und damit auch Formeln gehören schließlich zum unverzichtbaren Kern einer Enzyklopädie. --[[Benutzer:KaiMartin|-<)kmk(>-]] ([[Benutzer Diskussion:KaiMartin|Diskussion]]) 18:36, 29. Okt. 2017 (CET)
:::Das um einen, zum anderen, dass es nicht kommuniziert wird, sondern das die Option sang- und klanglos verschwindet. -- [[Benutzer:WolfgangRieger|Wolfgang Rieger]] [[Benutzer Diskussion:WolfgangRieger|(Diskussion)]] 21:49, 29. Okt. 2017 (CET)

::::Die Abstimmung läuft zwar noch nicht, aber demnächst gäbe es die Möglichkeit/den Versuch am aktuellen Zustand etwas zu ändern: [[m:2017_Community_Wishlist_Survey/Reading/Functional_and_beautiful_math_for_everyone]]. Außerdem habe ich mal ein paar Optionen getestet: Etwas wie [[Benutzer:Debenben/MathJax.js]] funktioniert, wenn man in den Einstellungen LaTeX-Quelltext wählt. Leider weiß ich nicht wie man am Besten vorgeht, wenn man <nowiki>:<math></nowiki> als Blockformeln formatiert haben möchte. Außerdem scheint MathJaX keine spezielle Mathe-Schriftart zu unterstützen, wo die Oberlänge der Buchstaben zu Wikipedias Helvetica passt, aber im Vergleich zu svg ist es mMn trotzdem schon wesentlich besser.--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 21:07, 11. Nov. 2017 (CET)
:::::<small>OT: Wikipeida gibt für die Schriftart nur <code>sans-serif</code> vor, welche Schriftart damit gewählt wird ist entscheidet der Nutzer :-) --nennt[[User:Nenntmichruhigip|mich]]<nowiki/>ruhig[[WP:IP|ip]] ([[BD:nenntmichruhigip|Diskussion]]) 17:54, 12. Nov. 2017 (CET) </small>

== Angstrom ==

Bei mir zeigt <nowiki><math>\mathrm{\AA}</math></nowiki> als Ergebnis <math>\mathrm{\AA}</math>, also nicht das erwünschte Ergebnis. [[Benutzer:Madyno|Madyno]] ([[Benutzer Diskussion:Madyno|Diskussion]]) 10:24, 29. Okt. 2017 (CET)

: Bei mir wird ein großes A mit einem Kringel drauf angezeigt: /media/math/6/8/c/68c86f1649a7153be6943741e2e4e989.png Wie sieht es denn bei Dir aus, bzw. was erwartest Du für eine Ausgabe? (Ich verwende: Einstellungen -> Aussehen -> Mathematische Formeln -> PNG-Bilder). --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 11:58, 29. Okt. 2017 (CET)
:: Ich hätte jetzt gesagt, dass ich ([/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/085412b37ef2ac62058f72715866515b3ee71f39 SVG]) ein 'Ä' sähe, das rechts am Ende des waagerechten Strichs abgeschnitten ist. Da im SVG-Quelltext aber ein 'Å' steht habe ich nochmal sehr genau hingeschaut, und bemerkt, dass es auch oben abgeschnitten ist und der Kreis deshalb wie zwei Punkte aussieht. Mit MathML – dessen Darstellung mir als Firefox-Nutzer normal leider von MediaWiki verborgen wird – funktioniert es übrigens… {{Ping|Madyno}} Da es von der nutzerseitigen Konfiguration abhängt, was genau da passiert: ''Was'' siehst du? Bitte Beschreibung oder Screenshot :-) --nennt[[User:Nenntmichruhigip|mich]]<nowiki/>ruhig[[WP:IP|ip]] ([[BD:nenntmichruhigip|Diskussion]]) 17:26, 29. Okt. 2017 (CET)
::: Ich sehe als Firefox-Nutzer unter linux und ohne spezielles Plugin ebenfalls ein zu großes, dafür aber oben und rechts abgeschnittenes Å. --[[Benutzer:KaiMartin|-<)kmk(>-]] ([[Benutzer Diskussion:KaiMartin|Diskussion]]) 18:32, 29. Okt. 2017 (CET)
Ich benutze auch Firefox (Version 48.0.2), und habe in meiner Einstellungen unter Aussehen MathML angekreutzt, und she genau dasselbe was KaiMartin hieroben beschreibt.[[Benutzer:Madyno|Madyno]] ([[Benutzer Diskussion:Madyno|Diskussion]]) 22:12, 29. Okt. 2017 (CET)
:Ich sehe (mit Firefox 56.0.2 ohne MathML-AddOn) das Gewünschte. Vielleicht hängt Clipping-oder-nicht bei Inline-Math von Skin-Einstellungen ab. Ich benutze Vector ohne SchnickSchnack. --[[Benutzer:Rainald62|Rainald62]] ([[Benutzer Diskussion:Rainald62|Diskussion]]) 15:59, 30. Okt. 2017 (CET)
::Leute, schaut mal weiter oben in die Diskussion “Umlaute in Formeln sind fehlerhaft” - das beantwortet die Fragen (bei mir kommt übrigens mit Safari statt Angström und Umlauten einfach leerer Space) — [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 12:06, 29. Dez. 2017 (CET)
::: Also alle Fragen sind noch nicht beantwortet:
:::* Geben wir klein bei und fricken uns die Symbole zurecht? <math>\stackrel{\scriptstyle{\circ}}{\mathrm{A}}</math> (Also bei mir sieht es zumindest ähnlich aus). Und wenn alles wie es soll mit dem Mathematik-Modus funktioniert, dann stellen wir alles wieder zurück? Das ist bei Angstrom nicht wild, aber bei „für“ und co. eine Heidenarbeit.
:::* Warten wir geduldig bis jemand der sich damit auskennt ein wenig Zeit dafür nimmt?
:::* Stellen wir auf „PNG-only per Default“ zurück bis alle Browser und die Wikimedia-Software soweit sind?
:::* Sammeln wir akribisch alle Fehler, sodass den Technikern geholfen wird und man die Ausmaße der Probleme besser erkennen kann?
::: --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 21:24, 29. Dez. 2017 (CET)

::::* Die Frickelei mit stackrel führt bei mir zu einem Kringel, der ein Stück über dem A schwebt. Das finde ich eher unbefriedigend. Mein Set-Up sind Firefox, oder Chromium unter Linux in aktueller Version. In meinen Wikipedia_Einstellungen habe ich für Formeln "'MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff'" aktiviert.
::::* ''Warten wir geduldig bis jemand der sich damit auskennt ein wenig Zeit dafür nimmt?'' --- Dieser "jemand" sollte die Wikimedia-Foundation (WMF) sein. Meiner unbedeutenden Meinung nach gehört die Entwicklung der Software für eine vernünftige Darstellung von Formeln zu den Kernaufgaben der Stiftung. Es ist schon mehr als nur ein wenig peinlich, dass die Community die WMF extra dazu auffordern muss, endlich ihren Job zu tun. Genug Geld wird mit der Spendenkampagne gerade in die Kassen gespült.
::::* ''PNG bis alle Browser soweit sind.'' --- Wenn man "alle" ernst nimmt, dann wird man nie zu einer Umstellung kommen. Dafür gibt es einfach zu viele Browser im großen, weiten Internet. Die Wikipedia ist natürlich nicht die erste WWW-Seiten mit diesen Problemen. Also gibt es seit diversen Internet-Ewigkeiten erprobte Lösungen. Die klassische Variante besteht darin, dass der Server unterschiedliche Varianten ausliefert, abhängig davon, welcher WWW-Browser die Seite abfragt.
::::* ''akribisch alle Fehler sammeln'' --- Mein Eindruck ist, dass es seit langem [[Wikipedia:Technik/Phabricator|Phabricator-Tickets]] für all die Probleme mit der Darstellung von Formeln gibt. Es sind ja auch schon mehr als 10 Jahre ins Land gegangen seit die WMF Bug-Management-Tools einsetzt. Und bei der Umstellung 2014 von [[Wikipedia:Technik/Bugzilla|Bugzilla]] auf Phabricator wurde der Bestand an Fehler-Meldungen natürlich nicht der digitalen Tonne übergeben, sondern ins neue System migriert.
::::[[Benutzer:KaiMartin|-<)kmk(>-]] ([[Benutzer Diskussion:KaiMartin|Diskussion]]) 09:01, 30. Dez. 2017 (CET)

== Schriftart ==

Es wäre schön, zu den verschiedenen Fonts, die teilweise gezielt in der math-Umgebung angewählt werden können, als da sind \boldsymbol, \mathrm, \mathbf, \mathcal, \mathit, \mathtt, \mathfrak, \mathbb, \text, „math-italic“, „bold math-italic“, auch die christlichen Namen zu kennen. So dass man sie sich ggf. für andere Zwecke, bspw. für Graphiken, ebenso gezielt anwählen kann.

Habe ich da was übersehen? --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 12:03, 29. Jan. 2018 (CET)

:Keine Ahnung, was Du mit „christlich“ meinst. Aber das sind ganz normale TeX-Fonts. Man kann diese beispielsweise in [[inkscape]], [[gnuplot]] oder [[xfig]] einfach als Latex-Fonts auswählen. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 12:40, 29. Jan. 2018 (CET)

::Vielen Dank erstmal. Eine gewisse Hilfe war's.
::Natürlich wusste ich, dass man in Inkscape Schriften anwählen kann. Und zwar unter einem gewissen Namen (aber nie! sowas wie \mathbf etc.). Oft heißen sie "Times New Roman", "Arial", "Courier New", "Bookman Old". Diese Namen sind dann auch unter anderen Textverarbeitungssystemen verwendbar und gebräuchlich. (Sorry, dass ich da christlich dazu gesagt habe, Taufname wäre vllt besser gewesen.)
::Mir scheint, dass die im LaTeX verwendete Familie auf den Namen "Computer Modern" hört. Aber so richtig zugreifbar und vollständig implementiert scheint die nicht zu sein? Oder?
::Kommt zweitens die Frage auf, warum man nicht andere Schriftarten (als "Computer Modern") im LaTeX verwenden kann. --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 13:03, 29. Jan. 2018 (CET)
::: Ok, bleiben wir zunächst bei Inkscape: Um Latex-Texte einzubinden wählt man „Erweiterungen“ -> „Rendern“ -> „Latex-Formeln“ -> „Eingabe dessen, was hier im Wiki in math-Klammern steht“. Und schon hat man ein identisches Schriftbild zu Wikipedia (wenn man Mathematikformeln in Wikipedia bspw. als png-Bilder rendern lässt). Welche Fonts ein Browser nimmt, wenn man andere Rendermethoden verwendet, weiss ich nicht. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 15:25, 29. Jan. 2018 (CET)
::: PS: „Eingabe dessen, was hier im Wiki in math-Klammern steht“: Man benötigt den Mathematik-Modus, d. h. ein $-Zeichen vor und nach dem Text. Dann kann man auch \mathbf \mathrm etc. direkt verwenden. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 15:33, 29. Jan. 2018 (CET)

::::In Inkscape finde ich „Erweiterungen“ -> „Rendern“, aber dann kein „Latex-Formeln“ (nur bspw. "L-System"). Ich habe INKSCAPE 0.91. Brauche ich ein Neueres ? Oder fehlt mir ein Add-On ? --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 15:49, 29. Jan. 2018 (CET)
:::::"Extensions->Render->LaTeX" verwende ich auch immer. Ich glaube, es ist ein Add-On, allerdings habe ich es bei mir nie gesondert installieren müssen weil es bei diversen latex-paketen für debian standardmäßig mit-installiert wird [http://wiki.inkscape.org/wiki/index.php/LaTeX].
:::::Die Schriftart in LaTeX lässt sich beliebig ändern. Wie genau ist bei pdflatex xelatex lualatex usw. leicht unterschiedlich. Wenn man einigermaßen sichergehen will, dass es keine probleme mit fehlenden zeichen usw. gibt würde ich eine hiervon wählen: [http://www.tug.dk/FontCatalogue/mathfonts.html]. Bei "Computer Modern" gibt es eine ganze Reihe ähnlichen Schriften, insbesondere [[w:en:Latin Modern]] und [[w:en:STIX]] und je nachdem welche Methode zum Rendern der Formeln in Wikipedia verwendet wird können es theoretisch auch ganz andere Schriftarten sein.--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 16:50, 29. Jan. 2018 (CET)

::::::Also auf jeden Fall erstmal vielen Dank Euch beiden.
::::::Dass ich aber so viel kapieren muss, hätte ich nicht gedacht und nicht für möglich gehalten. Vielmehr hätte ich für möglich gehalten, dass man in den Artikel [[Hilfe:TeX]] bei jedem Schlüsselwort \math''xx'' ganz simpel dazuschreiben könnte, \math''xx'' ist der Font CMXXxxyyzz, den man von http://www.sonstwas.org herunterladen kann. Denn ich bin mir irgendwie sicher, dass \math''xx'' jeweils genau ein Font ist und nicht hunderte. Und man könnte den Hinweis schon haben, weil die Fonts sich ja auch so ähnlich sind, dass es schwierig ist, nicht danebenzugreifen. --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 18:15, 29. Jan. 2018 (CET)

:::::::Das sind eben nicht bestimmte Fonts, sondern Versionen der voreingestellten Fonts, sozusagen relative Namen. Ich glaube z.B. nicht, dass mein Firefox-MathML die üblichen Computer-Modern-Fonts verwendet. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 18:46, 29. Jan. 2018 (CET)

== Babel-Bausteine ==

{| class="wikitable"
! Ansicht
! Code
|-
|{{Benutzer:Max Vallender/Vorlage/LaTeX}}
|<nowiki>{{Benutzer:Max Vallender/Vorlage/LaTeX}}</nowiki>
|-
|{{Benutzer:Dti/Vorlage:User LaTeX-0}}
|<nowiki>{{Benutzer:Dti/Vorlage:User LaTeX-n}}</nowiki>
|-
|{{Benutzer:Dti/Vorlage:User LaTeX-1}}
|-
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|-
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|-
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|-
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|<nowiki>{{Benutzer:Fimp/Vorlage:LaTeX}}</nowiki>
|-
|{{Benutzer:Tacado/Vorlage:User mag LaTeX}}
|<nowiki>{{Benutzer:Tacado/Vorlage:User mag LaTeX}}</nowiki>
|-
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|<nowiki>{{Benutzer:Patrixx/Vorlage:latex}}</nowiki>
|-
|{{Benutzer:imde/Vorlage:user_latex}}
|<nowiki>{{Benutzer:imde/Vorlage:user_latex}}</nowiki>
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|<nowiki>{{Benutzer:imde/Vorlage:user_latex-n}}</nowiki>
|-
|{{Benutzer:imde/Vorlage:user_latex-1}}
|-
|{{Benutzer:imde/Vorlage:user_latex-2}}
|-
|{{Benutzer:imde/Vorlage:user_latex-3}}
|-
|{{Benutzer:imde/Vorlage:user_latex-4}}
|-
|{{Benutzer:Ruebsal/Vorlage:Latex}}
|<nowiki>{{Benutzer:Ruebsal/Vorlage:Latex}}</nowiki>
|}
ergänzt aus [[Diskussion:LaTeX/Archiv#Babelbausteine]]--[[Spezial:Beiträge/2003:77:4E58:1400:4005:61E6:7112:5D58|2003:77:4E58:1400:4005:61E6:7112:5D58]] 23:53, 16. Feb. 2018 (CET)

== Entspricht-Zeichen ==

Bei den Vergleichsoperatoren sollte noch das Entspricht-Zeichen eingefügt werden, auch wenn es nur in Deutschland verbreitet ist. <math>\widehat{=} </math> \widehat{=} --[[Benutzer:Thirunavukkarasye-Raveendran|Thirunavukkarasye-Raveendran]] ([[Benutzer Diskussion:Thirunavukkarasye-Raveendran|Diskussion]]) 08:50, 11. Mai 2018 (CEST)
: Na, dann: [[Wikipedia:Sei_mutig]] und füge es ein. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 10:08, 11. Mai 2018 (CEST)

== Zwischenraum nach <code>\operatorname</code>? ==

Hier findet sich als Beispiel <code>\sin x + \ln y + \operatorname{supp} \, z</code>, meines Erachtens ist das <code>\,</code> aber überflüssig, <code>\operatorname{supp} z</code> wird ja schon mit entsprechendem Zwischenraum gesetzt: <math>\operatorname{supp} z</math>. -- [[Benutzer:IvanP|IvanP]] ([[Benutzer Diskussion:IvanP|Diskussion]]) 23:39, 9. Aug. 2018 (CEST)
:Das sehe ich auch so. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 23:48, 9. Aug. 2018 (CEST)
:Habe das <code>\,</code> entfernt. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 23:52, 9. Aug. 2018 (CEST)
:: Das Leerzeichen war früher notwendig, wenn 4 Buchstaben im operatorname standen, nicht aber bei 3. Dieser Bug scheint nun behoben. Jetzt ist es auch ohne Leerzeichen ok. Danke fürs Richtigstellen. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 00:03, 10. Aug. 2018 (CEST)

== n-Wurzel auch im Wurzelteil ==

Da ich schon Mal nach der n-Wurzel Darstellung hier gesucht und nicht gefunden habe, finde ich es nicht überflüssig, die Darstellung hier zu wiederholen. In der Hoch und Tiefstellungen kann man sie nur dann finden, wenn man schon weiß, dass eine Wurzel durch eine Bruchhochzahl dargestellt werden kann. Mir war das schon bekannt, trotzdem musste ich in der Seite von Kubikwurzel suchen, um die Darstellung zu entdecken. Ich glaube, sie konnte in beiden Teilen bleiben, im Wurzelteil allerdings unbedingt.[[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] ([[Benutzer Diskussion:Yomomo|Diskussion]]) 09:46, 9. Dez. 2018 (CET)

== Kurioser Parser-Effekt: Formelnummerierung - Zeilenumbruch erfolgt nicht vor Gleichungsnummer (16) ==

Bei [[Populationsdynamik]] weigert sich der wiki-Parser die Gleichungsnummer (16) auf die neue Zeile zu ziehen. Und zwar exakt bei nur dieser Gleichungsnummer (16). Bei allen anderen Gleichungsnummern geht das prima. Irgendeine vorhergehende Zeichenfolge scheint da zu stören.

Siehe hier: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Populationsdynamik&type=revision&diff=183799047&oldid=183798646 .

Es geht um folgenden wiki-Text, die Gleichungsnummer (16) soll in diesem Fall am Anfang der neuen Zeile erscheinen:

<nowiki>die folgende Gleichung:
(16){{center|<math>\dot B = c_1N(t)</math>}}</nowiki>
Die Gleichungsnummer (16) erscheint hier im wiki-Code-Schnipsel zwar wunschgemäß am Anfang der Folgezeile, im zugehörigen Wikipedia-Artikel [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Populationsdynamik&oldid=183799047 Populationsdynamik] jedoch in unsinniger Weise am Ende der vorhergehenden Zeile. Der wiki-Code ist doch eigentlich sauber - was hab ich da übersehen ? (Und, nein, es ist keine gute Idee jetzt die ganzen Gleichungsnummern rauszulöschen.)

--[[Benutzer:Wurzel|Wurzel]] ([[Benutzer Diskussion:Wurzel|Diskussion]]) 21:47, 21. Feb. 2019 (CET)

: Ich habe das Problem notdürftig behoben. Aber es ist in der Tat ein seltsames Verhalten. Mal sehen, ob jemand das Rätsel löst. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 10:41, 22. Feb. 2019 (CET)
:: PS: Im Artikel wäre vielleicht die Vorlage [[Vorlage:NumBlk]] sinnvoll? --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 10:46, 22. Feb. 2019 (CET)

== "Haken" der Versicherungsmathematik ==

[[Datei:Actuarial notation.svg|mini|Sauber sieht es so aus. (3) ]]
Hallo,

weiß jemand, wie man den "Haken" in der Versicherungsmathematik hier bei WP in TeX realisiert?

Als einzigen halbwegs gangbaren Weg habe ich das gefunden: <math>\,A_{\overline{n|}}</math> was allerdings eine unschöne Lücke lässt. Ich kenne es eigentlich als <code>\angln</code>, was hier aber nicht funktioniert. Braucht es dazu ein spezielles Paket, was in der Wikipedia nicht implementiert ist? --[[Benutzer:Alabasterstein|Alabasterstein]] ([[Benutzer Diskussion:Alabasterstein|Diskussion]]) 08:47, 25. Apr. 2019 (CEST)

: Gemeint ist bestimmt [[:en:Actuarial notation]]. Die englischsprachige WP löst das genauso wie Du es vorgeschlagen hast. Leider habe ich keinen besseren Vorschlag. Vielleicht jemand anderes? --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 09:32, 25. Apr. 2019 (CEST)

:: Es gibt bereits einen Phabricator-Eintrag: [https://phabricator.wikimedia.org/T175673 https://phabricator.wikimedia.org/T175673] --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 10:35, 25. Apr. 2019 (CEST)
:::Na, der Eintrag ist ja 2,5 Jahre her. Das bedeutet dann wohl warten :-) Danke für die Rückmeldung/ für's Nachforschen. --[[Benutzer:Alabasterstein|Alabasterstein]] ([[Benutzer Diskussion:Alabasterstein|Diskussion]]) 10:48, 25. Apr. 2019 (CEST)

Schön ist es nicht, aber vielleicht etwas besser: <math>_{m|}\overline{A}_{x:{\overline{n\,}\!|}}</math> --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 21:27, 26. Apr. 2019 (CEST)

== Sinn und Unsinn von Verwendung der TeX-Formeln ==

Hallo Leute,<br />ich finde, die math-Umgebung wird häufig auch dann verwendet, wenn sie eher störend wird, und damit meine ich speziell Formeln im Fließtext. Man vergleiche: (das folgende Beispiel ist zusammengestoppelt aus Bruchstücken von [[Ölfleckversuch]], [[Josephson-Effekt]] und [[Atomradius]])

: Die Schicht hat eine Dicke von rund <math>10^{-10}</math> Metern. Das berechnete Ergebnis für <math>N_\mathrm{A}</math>liegt zwischen <math> 5 \cdot 10^{23}</math> und <math> 7 \cdot 10^{23}</math>. Weil <math>e</math> (Elementarladung) und <math>h</math> (plancksches Wirkungsquantum) zur Definition der Maßeinheiten dienen, sind sie genau bekannt und es ergibt sich für die Spannung von <math>1\,\mu\mathrm{V}</math> beispielsweise die Frequenz von <math>483{,}597\,8\,\ldots\text{MHz}</math>.<br />Beim Element Polonium (<math>A=208,983</math>; <math>\rho=9,196</math>) beträgt das Volumen dieses Würfels <math>37,737\,\text{cm}^3</math> und die Kantenlänge <math>3,354\,\text{cm}</math>. Daraus folgt ein Atomradius von <math>167,7\,\text{pm}</math>; in Datensammlungen angegeben werden <math>167,5\,\text{pm}</math>.

: Die Schicht hat eine Dicke von rund 10<sup>–10</sup> Metern. Das berechnete Ergebnis für ''N''<sub>A</sub> liegt zwischen zwischen 5·10<sup>23</sup> und 7·10<sup>23</sup>. Weil ''e'' (Elementarladung) und ''h'' (plancksches Wirkungsquantum) zur Definition der Maßeinheiten dienen, sind sie genau bekannt und ergibt sich für die Spannung von 1 µV beispielsweise die Frequenz von 483,5978… MHz.<br />Beim Element Polonium (A=208,983; ρ=9,196) beträgt das Volumen dieses Würfels 37,737 cm<sup>3</sup> und die Kantenlänge 3,354 cm. Daraus folgt ein Atomradius von 167,7 pm; in Datensammlungen angegeben werden 167,5 pm.

Manche Autoren verwenden in solchen Fällen TeX-Formeln, andere nicht. Aus meiner Sicht
* stören TeX-Formeln den Lesefluss,
* erfordern zudem jedes Mal unnötigerweise das Laden von Graphiken
* und verhindern copy-&-paste.
* Sie sollten daher im Fließtext nur dann verwendet werden, wenn es sinnvoll ist, d.h. wenn es ohne sie nicht oder nur unzureichend geht. Beispiel: "[...] Das Integral <math display="inline">\int_0^1 f(x)dx</math> hat einen endlichen Wert..." <br />aber ''nicht'' bei Mini„formeln“ à la <math>167,5\,\text{pm}</math> oder gar für Einzelbuchstaben.

Ich würde gerne den Satz: "Da TeX-Formeln im Fließtext den Lesefluss stören können, sollten sie dort nur dann verwendet werden, wenn ihre Verwendung erforderlich ist." in die Bescheibung einfügen. Am besten mit den Beispielen: "10<sup>–10</sup> Meter" und "die Elementarladung ''e''", aber: <math display="inline">\int_0^1 f(x)dx</math> und <math>\nabla \times \mathbf A(\mathbf r)</math>

Was meint ihr? -- [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 22:32, 21. Jul. 2019 (CEST)

:Das Problem ist lange bekannt und kann nur technisch gelöst werden: [https://meta.wikimedia.org/wiki/Community_Wishlist_Survey_2019/Reading/Functional_and_beautiful_math_for_everyone] Leider hat die technische Lösung keine Priorität bei der Abarbeitung. Die Autoren wollen lieber vorher Überwachungswerkzeug und viel Klickibunti haben. Dieses Problem scheint noch zu wenige zu stören. Mach bitte bei der nächsten Abstimmungsrunde mit. Bis zur technischen Optimierung würde ich nicht alles auf Latex-frei zurücksetzten, um dann, wenn die Technik soweit ist, wieder alles zurück zu konvertiern. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 23:40, 21. Jul. 2019 (CEST)
:: Ja, aber warum überhaupt LaTeX verwenden? Angenommen, es gäbe die technische Lösung. Was wäre dann an LaTeX-freiem 10<sup>–10</sup> Meter oder 3,35 cm suboptimal? -- [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 00:35, 22. Jul. 2019 (CEST)

::: Wenn alles irgendwann einmal so gut funktioniert, wie es seit jahrzehnten bei mit komplett mit Latex erstellten Dokumenten oder Büchern funktioniert ist es bei so „kleinen“ Sachen in der Tat egal. Es sollte identisch aussehen. Da es verschiedene Methoden gibt die Mathe-Umgebung zu rendern, ist es vermutlich schwierig für alle Möglichkeiten das perfekte Aussehen sicherzustellen. Wenn man aber trotzdem ein einheitliches Schriftbild für Variablen haben will, sollte man es zumindest immer gleich rendern. Also, wenn ein Buchstabe in einer Math-Formel vorkommt, dann sollte er auch im Fließtext in der Math-Umgebung stehen. Das sieht zwar nicht immer perfekt aus, aber es ist wenigstens einheitlich. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 09:56, 22. Jul. 2019 (CEST)

[[File:Screenshot from 2019-07-23 21-30-50.png|thumb|Leider hat Wikipedia die Rechte geändert, sodass man nicht mehr so einfach ein Skript ausführen kann um alles mit MathJax zu rendern, daher dieser Screenshot wie es bei mir in Firefox aussieht. Aber die gleiche Qualität, vielleicht sogar besser, wäre auch mit MathJax möglich.]]
:::: Wenn Formeln gut gesetzt sind, darf man als normaler Leser keinen Unterschied zwischen Text und Formel sehen. Da gäbe es höchstens winzige Unterschiede bei den Abständen, Zeilenumbrüchen und für Screenreader. Leider ist das aktuell bei Wikipedia nicht der Fall. Aus meiner Sicht gäbe es technische Lösungen, vielleicht nicht 100% perfekt, aber extrem viel besser als die Bilder die im Moment den meisten Lesern angezeigt werden. Warum es für die normalen Leser nicht 100% perfekt sein kann hat auch den Grund, dass Wikipedia standardmäßig sans-serif als Schriftart definiert und die normalen sans-serif Schriftarten für Formeln ungeeignet sind, weil Buchstaben wie I <math>(I)</math> und l <math>(l)</math> gleich aussehen.
:::: Die Funktionalität, dass "kleine" Formeln mit HTML als einfacher Text gerendert wurde gab es übrigends vor vielen Jahren schon mal in Wikipedia. Sobald die Formeln "komplizierter" wurden, wurden sie dann mit LaTeX gerendert und als png-Bilder angezeigt. Einige Autoren war Einheitlichkeit der Formeldarstellung wichtiger, sodass sie Befehle wie \!\, in jede Formel eingefügt haben um die png-Bild Erzeugung zu erzwingen. Die "simple Math" rendering Option wurde dann abgeschafft um die Einführung von MathJax HTML rendering zu ermöglichen. Die damit unnötigen Befehle wie \!\, waren bis vor einem Jahr oder so noch sehr häufig zu finden, dann haben wir sie weitestgehend gelöscht. MathJax HTML rendering wurde dann allerdings nicht eingeführt, insbesondere weil man nicht von externem CDN abhängig sein wollte, gleichzeitig aber kein Geld in eigene Server investieren wollte um die nötigen Webfonts bereitzustellen. Das hat dazu geführt dass alle Freiwilligen, die sich damals um die math Erweiterung (die damals übrigends keine Erweiterung war sondern zum Mediawiki-core dazugehörte) gekümmert haben, aufgehört haben bzw. sich anderen Projekten gewidmet haben. Seitdem gibt es quasi nur noch einen einzigen freiwilligen Softwareentwickler, [[Benutzer:Physikerwelt]], der sich gelegentlich um die math Erweiterung kümmert. Die als opt-in für angelmeldete Benutzer verfügbare MathJax rendering option wurde dann entfernt weil sie niemand mehr gewartet hat und mit dem Verweis dass man in Zukunft natives MathML rendering nutzen will, was allerdings z.B. von Chrome nicht unterstützt wird.
:::: Das Hauptproblem ist bis heute, dass es von der WMF keinerlei Unterstützung gibt, und sei es nur um ein Konzept aufzustellen welche Technologien man verwenden will. Ohne Konzept und irgendwelche Zusagen dass man Unterstützung bei Hardware oder Änderungen im Parser, VisualEditor usw. bekommt gibt es auch keine neuen freiwilligen Softwareentwickler. Wer will schon an seiner Freizeit an einem der schlechtesten Renderingsysteme arbeiten oder Prototypen und Konzepte erstellen die dann sowiso abgelehnt werden? Bzw. es gibt bei der WMF auch niemanden der überhaupt irgendetwas ablehnen oder kommentieren würde, schon alleine weil sich niemand damit beschäftigt und daher auch niemand Ahnung davon hat. Und externe Experten bezahlen um eine Grundlage für so ein Konzept zu erarbeiten wollen sie auch nicht [https://meta.wikimedia.org/wiki/Grants:Project/Accessibility_of_equation_rendering:_a_comparative_evaluation]. Das Thema scheint auch für die meisten Leute absolut keine Priorität zu haben, anders kann ich mir es nicht erklären, dass sie z.B. "lazy loading" von Bildern in der mobilen Ansicht auch für Formeln aktiviert wird, die ja für die meisten leider Bilder sind, dabei die Ausrichtung kaputt gemacht wird und es seit fast einem Jahr niemanden gibt der es für nötig hält es wieder in Ordnung zu bringen. [https://phabricator.wikimedia.org/T207929]--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 23:49, 23. Jul. 2019 (CEST)
::::: Danke für diese Zusammenfassung! --[[Benutzer:Christian1985|Christian1985]] <small>[[Benutzer Diskussion:Christian1985|(Disk)]]</small> 10:40, 24. Jul. 2019 (CEST)

::::: Danke. Ich gebe nicht auf und versuche Finanzierung für eine Entwicklerposition zu aquirieren sowie die Wünsche der Community auch international zu sammeln und die Sichtbarkeit der Gruppe zu erhöhen. Siehe [[meta:Wikimedia_Community_User_Group_Math]][[Benutzer:Physikerwelt|physikerwelt]] ([[Benutzer Diskussion:Physikerwelt|Diskussion]]) 12:54, 24. Jul. 2019 (CEST)

== Promillezeichen ==

Der derzeit hier vorgeschlagene Ersatz (<math>{}^{0\!}\!/\!_{00}</math>) ist mir zu unsymmetrisch und die Nullen zu groß. Was haltet ihr von <math>{}^{_{^{^{_0}}}}\!\!\!/_{^{_{_{\!00}}}}\!\!\!\!\!\;\;</math>? Vielleicht geht es mit <code>\diagup</code> oder sonst wie noch eleganter? Siehe auch: [[:en:Help talk:Displaying a formula#Some issues|<cite>Some issues</cite>]]. -- [[Benutzer:IvanP|IvanP]] ([[Benutzer Diskussion:IvanP|Diskussion]]) 11:58, 25. Jul. 2019 (CEST)

Auch ein Bogen wie beim Prozentzeichen (<math>\%</math>) lässt sich einigermaßen hinkriegen: <math>{}^{_{^{^{_0\!\!\!\;{_{^\smallsmile}}\!\!}}}}\!\!\!/_{^{_{_{\!00}}}}\!\!\!\!\!\;\;</math>. -- [[Benutzer:IvanP|IvanP]] ([[Benutzer Diskussion:IvanP|Diskussion]]) 13:24, 25. Jul. 2019 (CEST)
:Bei mir (MathML) sieht die derzeit hier vorgeschlagene Version am besten aus. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 17:30, 25. Jul. 2019 (CEST)

::Ich speicher mal ein paar Versionen untereinander, um sie mit verschiedenen Browsern anzuschauen und zu vergleichen:
::#<math>\text{‰}</math>
::#<math>{}^{0\!}\!/\!_{00}</math>
::#<math>{}^{_{^{^{_0}}}}\!\!\!/_{^{_{_{\!00}}}}\!\!\!\!\!\;\;</math>
::#<math>{}^{_{^{^{_0\!\!\!\;{_{^\smallsmile}}\!\!}}}}\!\!\!/_{^{_{_{\!00}}}}\!\!\!\!\!\;\;</math>
::#<math>{}^{_{^{^{_0\!\!\!\;{_{^\smallsmile}}}}}}\!\!\!\!\!/_{^{_{_{\!00}}}}</math>
::--[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 17:40, 25. Jul. 2019 (CEST)

== TeX-Fehlermeldungen ==

Die Fehlermeldungen bei TeX sind manchmal echt verstörend banal. Insbesondere, wenn man eine \begin{array} oder \begin{align} hat. Da muss man dann die Formel à la [[binäres Suchen]] wiederholt halbieren, um an die beanstandete Stelle zu kommen. Andererseits darf man doch sicherlich annehmen, dass er '''ganz genau''' weiß, was ihn stört. Warum, Deubel auch, hält er mit seinem Wissen so hinterm Berg? --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 11:49, 2. Okt. 2019 (CEST)

== mathrel defekt ==

Auf der Seite ist der Relationsoperator <code>\mathrel{\hat=}</code> angegeben. Ich habe aber das Gefühl, dass die Abstände in TeX dabei dann nicht wie bei dem normalen <code>=</code> gesetzt werden. Kann es sein, dass <code>\mathrel</code> in Wikipedia nicht funktioniert? Beispiel: <math>a=b</math> und <math>a\mathrel{\hat=}b</math>. --[[Benutzer:Geek3|Geek3]] ([[Benutzer Diskussion:Geek3|Diskussion]]) 14:40, 4. Apr. 2020 (CEST)
: Ist mir auch aufgefallen. Beispiel: in der Infobox von [[Gauß (Einheit)]] steht
::<math>\mathrm{1 \; Gs \,\mathrel{\widehat=}\, 10^{-4} \; \frac{kg} {A \, s^2} = 0{,}1 \; mT}</math>
: codiert als <code>\mathrm{1 \; Gs \,\mathrel{\widehat=}\, 10^{-4} \; \frac{kg} {A \, s^2} = 0{,}1 \; mT}</code>, also mit <code>\,</code> davor und dahinter. Sonst wäre es zu eng. -- [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 10:22, 27. Mai 2021 (CEST)
::<code>\mathrel</code> scheint hauptsächlich mit dem Gleichheitszeichen als mathematischem Symbol ein Problem zu haben:
::*<math>a\mathrel{=}b</math>, <math>a\mathrel{\hat{=}}b</math>, <math>a\mathrel{\widehat{=}}b</math>
::*<math>a\mathrel{=}b_1</math>, <math>a\mathrel{\hat{=}}b_1,</math> <math>a\mathrel{\widehat{=}}b_1</math>
::*<math>a\mathrel{=}bc</math>, <math>a\mathrel{\hat{=}}bc,</math> <math>a\mathrel{\widehat{=}}bc</math>
::*<math>a\mathrel{=}b, a\mathrel{\hat{=}}b, a\mathrel{\widehat{=}}b</math>
::*<math>a\mathrel{\text{=}}b</math>, <math>a\mathrel{\hat{\text{=}}}b</math>, <math>a\mathrel{\widehat{\text{=}}}b</math>
::*<math>a\mathrel{\neq} b</math>, <math>a\mathrel{\hat\neq}b</math>, <math>a\mathrel{\widehat\neq}b</math>
::*<math>a\mathrel{\equiv} b</math>, <math>a\mathrel{\hat\equiv}b</math>, <math>a\mathrel{\widehat\equiv}b</math>
::*<math>a\mathrel{\sim}b</math>, <math>a\mathrel{\hat\sim}b</math>, <math>a\mathrel{\widehat\sim}b</math>
::Tests mit verschiedenen Argumenten von <code>\mathrel</code> lassen mich die Arbeitshypothese aufstellen, dass <code>\mathrel</code> in Wikipedia nur im Zusammenhang mit dem Gleichheitszeichen fehlerhaft arbeitet. Außerdem hängt die Fehlfunktion davon ab, ob nach dem Gleichheitszeichen ein einzelnes Zeichen oder mehrere Zeichen folgen.
:: Das oben angegebene Beispiel von [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] kann ich in diesem Zusammenhang nicht nachvollziehen, denn
:::<math>\mathrm{1 \; Gs \mathrel{\widehat=} 10^{-4} \; \frac{kg} {A \, s^2} = 0{,}1 \; mT}</math>
:: codiert als <code>\mathrm{1 \; Gs \mathrel{\widehat=} 10^{-4} \; \frac{kg} {A \, s^2} = 0{,}1 \; mT}</code> hat die LaTeX-üblichen Abstände (<code>\;</code>) vor <math>10^{-4}</math> und nach <math>\text{Gs}</math>, die eigentlich nicht künstlich vergrößert werden müssen. Dagegen hat [[Benutzer:Geek3|Geek3]] einen Fall dokumentiert, in dem die Abstände '''vollständig''' fehlen. --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 14:28, 27. Dez. 2023 (CET)
::Nachtrag: Bereits ein zusätzliches Leerzeichen ändert die Darstellung: <math>a\mathrel{=}b </math>, <math>a\mathrel{\hat{=}}b </math>, <math>a\mathrel{\widehat{=}}b </math>. Das ist dann der richtige [[Workaround]], damit nicht nach der Korrektur von <code>\mathrel</code> zusätzlicher Leerraum in den Formeln erscheint. --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 14:52, 27. Dez. 2023 (CET)
:: {{Ping|Physikerwelt}} ich habe bei phabricator.wikimedia.org und Suche nach <code>\mathrel</code> gesehen, dass daran wohl grundsätzlich gearbeitet worden ist. Dabei scheint diese eine Fehlfunktion übrig geblieben zu sein. Ich durchschaue nicht, wie ich dies dort melden könnte. --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 15:05, 27. Dez. 2023 (CET)
:::[[Datei:Screenshot vom mathrel Fehler auf Wikipedoa.png|mini|Screenshot von dieser Seite]] Ich kann die Helfen den Fehler zu melden, wenn ich ihn verstehe/sehe. Im Moment sehe ich aber nicht wo das Problem liegt. --[[Benutzer:Physikerwelt|physikerwelt]] ([[Benutzer Diskussion:Physikerwelt|Diskussion]]) 16:38, 27. Dez. 2023 (CET)
:::: Also kurz:
:::::<code><nowiki><math>a\mathrel{\widehat{=}}b</math></nowiki></code>
:::: wird '''falsch''' ('''ohne''' Leerraum vor und nach dem Relationszeichen) als
:::::<math>a\mathrel{\widehat{=}}b</math>
:::: gesetzt. Dagegen wird
:::::<code><nowiki><math>a\mathrel{\widehat{=}}b </math></nowiki></code>
:::: '''richtig''' ('''mit''' Leerraum vor und nach dem Relationszeichen) als
:::::<math>a\mathrel{\widehat{=}}b </math>
::::gesetzt.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 19:34, 27. Dez. 2023 (CET)

== [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden]] ==

{| class="wikitable"
|-
! Syntax !! Wirkung !! Status
|-
| <code><nowiki><math>%</math></nowiki></code> ||rowspan="3"| <math>{} \%</math> ||rowspan="3"| [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden|Mathfehler]]
|-
| <code><nowiki><math>\%</math></nowiki></code>
|-
| <code><nowiki><math>\mathrm{ % }</math></nowiki></code>
|- class="hintergrundfarbe9"
| <code><nowiki><math>{}\%</math> <math>{\%}</math></nowiki></code> || <math>{}\%</math> <math>{\%}</math> || {{ok}}
|- class="hintergrundfarbe9"
| <code><nowiki><math>X \%</math></nowiki></code> || <math>X \%</math> <math>10 \%</math> || {{ok}}
|}
* Weiß jemand wie man diese [[Vorlage:Infobox Hilfsmaßeinheit|Vorlage]] reparieren kann? Oder ist da etwas in der Abfrage für die Kategorie schief gelaufen?
* Auch das \Complex scheint irgendwie Probleme zu haben <code><nowiki><math>\Complex \mathbb{P}^n</math></nowiki></code> wird hier [[Sphärensatz]] als Fehler angezeigt. Auch beim [[Vektorbündel]] war es ein Complex, aber da ist der Eintrag nach einem Seitenpurge verschwunden Es steht aber noch in der Kat. Mag sich das mal jemand ansehen. --Liebe Grüße, [[Benutzerin:Lómelinde|Lómelinde]] [[Benutzerin Diskussion:Lómelinde#top|Diskussion]] 15:02, 12. Mai 2020 (CEST)
::{{ping|Physikerwelt}} kannst du vielleicht helfen?--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 20:46, 13. Mai 2020 (CEST)

** Ja. Kann ich;-) Leider handelt es sich hier um ein Fehler den ich selbst nicht verstehe. Man kann unter https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/#/Math/post_media_math_check__type_ testen was passiert wenn die Formel <nowiki><math>\%</math></nowiki> gerendert wird. Durch Linksklick auf das Formelbild /media/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a85b333ac4e07604aff5d6d89bba8c2341802b in Chomre oder durch view sourch in Firefox kommt man auf den String der an die rendering-engine übergeben wird. Hier <nowiki>{\displaystyle \%}</nowiki>. Wenn man in das Formular oben einträgt und die \ durch \\ ersetzt also
{
"q": "{\\displaystyle \\%}"
}

erhält man die Antwort:

{
"success": true,
"checked": "{\\displaystyle \\%}",
"requiredPackages": [],
"identifiers": [],

"endsWithDot": false,
"warnings": [
{
"type": "texvc-deprecation",
"details": {
"error": {
"message": "Deprecation: % and $ need to be escaped.",
"expected": [],
"found": "%\n",
"location": {
"start": {
"offset": 15,
"line": 1,
"column": 16
},
"end": {
"offset": 17,
"line": 2,
"column": 1
}
},
"name": "SyntaxError"
},
"success": false,
"warnings": [],
"status": "S",
"details": "SyntaxError: Deprecation: % and $ need to be escaped.",
"offset": 15,
"line": 1,
"column": 16
}
}
]
}

Das bedeutet, dass hier die Kategorie getagt wird. Das sollte nicht so sein. Ich hab ein Ticket erstellt [[phab:T252753]]. --[[Benutzer:Physikerwelt|physikerwelt]] ([[Benutzer Diskussion:Physikerwelt|Diskussion]]) 10:57, 14. Mai 2020 (CEST)

== Seltsamkeit im Artikel [[Terence Tao]] ==

Hallo liebe fellow Wikipedians, die Formel (2-\sqrt{2})(n-4)+3 <small>(im Original in korrekten math-Klammern)</small> bei der Kakeya-Vermutung im Artikel [[Terence Tao]] wird zumindest auf meinem Rechner (Laptop gut 1 Jahr alt, MS Windows & MS Edge) fehlerhaft dargestellt: Die beiden Minuszeichen fehlen. Macht Ihr diese Beobachtung auch? Noch seltsamer: Wenn ich im Abschnitt „Leistungen“ auf „Quelltext bearbeiten“ klicke, nichts ändere und mir die Vorschau angucke, wird es plötzlich richtig. Wenn ich hingegen im Gesamtartikel auf „Quelltext bearbeiten“ gehe und mir die Vorschau betrachte, bleibt der Fehler in der Darstellung erhalten. Ich habe die Formel samt math-Umgebung per copy/paste in andere Bereiche der Wikipedia übertragen und betrachtet (natürlich nicht editiert), und es geschehen ähnliche Seltsamkeiten.

Formelreiche Artikel wie z. B. [[Quadratische Gleichung]] stellt mein Rechner hingegen fehlerfrei dar. Auch alte Fassungen des Terence-Tao-Artikels bis mindestens Ende 2019 werden korrekt dargestellt. Tsor und ClaudeJ konnten den Anzeigefehler nicht replizieren (siehe von mir begonnenen Thread auf ClaudeJ's Diskussionsseite).

--[[Benutzer:Himbeerbläuling|Himbeerbläuling]] ([[Benutzer Diskussion:Himbeerbläuling|Diskussion]]) 16:15, 6. Dez. 2020 (CET)

:Korrektur: Auch in [[Quadratische Gleichung]] werden einige wenige Minuszeichen nicht angezeigt. --[[Benutzer:Himbeerbläuling|Himbeerbläuling]] ([[Benutzer Diskussion:Himbeerbläuling|Diskussion]]) 16:23, 6. Dez. 2020 (CET)
::{{Antwort|Himbeerbläuling}} Benutzt du Chrome? Siehe [[phab:T269222]].--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 16:31, 6. Dez. 2020 (CET)
:::Danke für die Antwort, Debenben. Ich verwende MS Edge, aber beim letzten automatischen update erzählte mir mein Rechner, dass seit dieser Version MS Edge und Chrome auf derselben Technologie aufbauen oder so ähnlich. In der von Dir verlinkten Seite steht (wahrscheinlich erst seit neuestem) ganz oben, dass auch Edge betroffen ist. Echte Lösung scheint noch nicht zu bestehen, wenn ich das richtig gelesen habe. Aber die Fachwelt ist dran. --[[Benutzer:Himbeerbläuling|Himbeerbläuling]] ([[Benutzer Diskussion:Himbeerbläuling|Diskussion]]) 18:21, 6. Dez. 2020 (CET)

==Darstellung von Matrix-Variablen==
Ich stolpere gerade über die unterschiedliche Formatierung der Bewegungensgleichungen von [[Mehrkörpersystem]] und [[en:Multibody system]] - im Englischen sind die Matrixvariablen (via \mathbf) gefettet, in der deutschen Version nicht. Ich würde die Formatierung der englischen Variante bevorzugen. Auf jeden Fall sollte man die Formatierung auch in der deutschen Wikipedia irgendwie regeln. In [[Mehrkörpersystem]] geht das fröhlich durcheinander. Schön wäre es, wenn man ein TeX-Makro \matrix oder \mtx definieren würde, statt es via \mathbf in das Belieben eines jeden Autors zu stellen. {{unsigniert|Whugemann|19:58, 29. Mär. 2021 (CEST)}}
--Wolfgang Hugemann 19:59, 29. Mär. 2021 (CEST) {{unsigniert|Whugemann|ALT=unvollständig}}

== Formeln werden in iPadOS mit Displayhilfe Farben intelligent umkehren unsichtbar ==
{{tracked|T111222}}

Formeln werden in iPadOS und iOS mit Displayhilfe Farben intelligent umkehren unsichtbar
Das betrifft mathematische wie chemische Formelm in Wikipedia.

zuerst ist hier die Frage der Diagnose.
iPhones und iPads sollten auch bei Ihnen verfügbar sein.
Die Funktion Displayhilfe Farben intelligent umkehren (ab iOS 11+) ist leicht in den Einstellungen zu finden.

https://iphone-tricks.de/anleitung/2602-iphone-bildschirm-farben-invertieren

Mit der Wikipedia App habe ich dieses nicht getestet, weil die App mich zu stark limitiert gegenüber der Ansicht im Browser.

Jetzt Safari oder anderen Browser im iOS oder iPadOS aufrufen.

1. normale Ansicht iPadOS 14.6: Formeln sichtbar, formula black on white

eine Seite mit Formeln aufrufen wie „Gleichung“.

2. Displayhilfe Farben intelligent umkehren angeschaltet -> schwarzer Hintergrund: Formeln unsichtbar, formula black on black

3. Displayhilfe Farben intelligent umkehren wieder abgeschaltet: Formeln auch unsichtbar, formula white on white

Um wieder zu 1. zu kommen muss ein neues Fenster in einem Browser, hier Safari, geöffnet werden.

Warum ist für mich und viele andere diese Displayhilfe wichtig?
Mit schwarzen Hintergrund und dann hellen Buchstaben wird das Einschlafen nicht stark negiert und die Augen geschont. Bei jüngeren wird die Gefahr der Brille mit Kurzsichtigkeit gemindert. Bei älteren sind es alle Augenkrankheiten, die die Netzhautzellen betreffen, durch die Überlastung mit weißen Hintergründen.

„Kurzsichtigkeit: Warum wir zukünftig mehr weiß auf schwarz lesen sollten“
Konsistenter schwarzer Hintergrund mit einem schwarzen Thema in Betriebssystem und den Programmen gegen Kurzsichtigkeit und Überlastung der Augennetzhautzellen
https://www.geo.de/wissen/gesundheit/19282-rtkl-kurzsichtigkeit-warum-wir-zukuenftig-mehr-weiss-auf-schwarz-lesen
und
https://www.nature.com/articles/s41598-018-28904-x

Ich habe auch Fotos davon, aber keine Lust extra einen Login zu erstellen. {{unsigniert|2A02:810B:C940:4798:A941:8650:5D14:B3C9|11:33, 26. Mai 2021 (CEST)}}

:Hallo IP, danke für die Beschreibung deines Problems. Es wird als [[Phab:T111222|Task 111222]] behandelt, leider bisher ohne Lösung :-( [[Benutzer:Raymond|Raymond]] [[Benutzer Diskussion:Raymond|<sup>Disk.</sup>]] 13:31, 26. Mai 2021 (CEST)

== Parser-Fehler bei Android, mobile Ansicht, Chrome ==
Hallo, vielleicht ist das schon bekannt: Bei Android, mobile Ansicht, Chrome-Browser wird mit <code><nowiki><math>(\tfrac 56)^{n-1}\cdot\tfrac 16</math></nowiki></code> der Zähler im letzten Bruch nicht richtig dargestellt: <math>(\tfrac 56)^{n-1}\cdot\tfrac 16</math>. Mit einem einfacheren Exponenten ohne geschweifter Klammer funktioniert es: <code><nowiki><math>(\tfrac 56)^n\cdot\tfrac 16</math></nowiki></code> <math>(\tfrac 56)^n\cdot\tfrac 16</math>. Die klassische Ansicht unter Android mit Chrome zeigt übrigens keinen Fehler. Bei Firefox unter Android funktionieren beide Ansichten. Grüße --[[Benutzer:W like wiki|W like wiki]] <sup>[[Gewaltfreie Kommunikation|good to know]]</sup> 11:46, 5. Okt. 2021 (CEST)
: Wenn man angemeldet ist, kann man unter Einstellungen das Aussehen der Math-Umgebung einstellen. Einfach auf PNG-Bilder stellen, und schon sollte es wieder hübsch aussehen.
: '''OT''': Quälkode lesen vs. Quellkode schreiben: Natürlich ist einfacher \frac 12 zu schreiben, insbesondere weil auf deutschsprachigen Tastaturen die Klammern den Umlauten weichen musten. Aber \frac{1}{2} liest sich leichter, insbesondere in komplexeren Ausdrücken. Da der Kode im Gemeinschaftprojekt auch von anderen Autoren einigermaßen verstanden werden sollte, würde ich die längere Schreibweise bevorzugen. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 12:31, 5. Okt. 2021 (CEST)
::Das sehe ich nicht so. Klammern machen einen Quellcode unübersichtlicher. Es hat schon seinen Grund, warum man in der Mathematik Regel über die Operatorrangfolge vereinbart hat, die einem erlauben, Klammern wegzulassen. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 20:09, 5. Okt. 2021 (CEST)
::: Ja, das ist richtig, wenn es viele Klammerebenen gibt. Im obigen Beispiel ist das nicht der Fall. Es gibt zwar Operatorrangfolgen, aber leider sind einige Menschen bereits bei Punkt vor Strich überfordert. Eine theoretisch unnötige Klammer kann die Lesbarkeit auch für Laien erhöhen. Also, dass z. B. nicht die Zahl 56, sondern die Zahl 5 und dann die Zahl 6 gemeint sind. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 20:30, 5. Okt. 2021 (CEST)
::::Da tut es aber auch ein Leerzeichen. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 21:01, 5. Okt. 2021 (CEST)
::::: Es ist schlicht ein Bug im Browser. Eine reguläre, erlaubte Schreibweise im Quellcode nicht zu verwenden, um einen Bug in der aktuellen Version eines spezifischen Browsers zu umgehen, kann nicht die Lösung - und schon gar nicht eine offzielle Empfehlung - sein. -- [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 10:50, 13. Okt. 2021 (CEST)
::::::Ich glaube, das ist ein Missverständnis. Damit hat das Problem nichts zu tun. Die Diskussion von Boehm und mir war off topic. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 18:54, 13. Okt. 2021 (CEST)

== Komplexe Zahlen mit oder ohne Punkt auf dem i/ı ==

Angesichts des umseitigen EW und [[Wikipedia:Vandalismusmeldung#Benutzer:Antonsusi_(erl.)|dieser VM]] <small>(später dann irgendwann mal [[Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/12/22#Benutzer:Antonsusi|hier]])</small> starte ich hier mal einen Diskussionspunkt zum Thema, ohne selber dazu was groß beitragen zu können. Der Dissens besteht wohl, so wie ich das verstehe, darin, ob es überhaupt zulässig ist, das i ohne Punkt als ı zu schreiben (oder eben irgendwie mit diesen geschwungenen Dingens in Latex), sprich, ob die Erwähnung irgendeinen Mehrwert bringen kann. --Grüße vom [[Benutzer:Sänger|Sänger ♫]] <sup>([[Benutzer Diskussion:Sänger|Reden]])</sup> 10:13, 22. Dez. 2021 (CET)

:Zu dem Thema läuft gerade eine nicht abgeschlossene (!!) Diskussion [[Portal_Diskussion:Mathematik#Schreibweise_imaginäre_Einheit]]. Ich finde es '''gänzlich inakzeptabel''', die zentrale, Wikipedia-weit gültige Hilfe:TeX eigenmächtig zu ändern.
:Von dieser grundsätzlichen Überlegung ganz absehen: <code>\dot\imath</code> heißt: "nimm das mathematische i ohne Punkt und setze den Punkt wieder drauf, aber diesmal mittig, also ohne zu berücksichtigen, dass im math-Modus die Buchstaben (sowohl i also auch imath) per default mathit-kursiv sind. Dis sogenannte Verbesserung von <code>i</code> (<math>i</math>) nach <code>\dot\imath</code> (<math>\dot\imath</math>) ist also, dass im letztgenannten Fall der Punkt schief sitzt.
: [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 11:28, 22. Dez. 2021 (CET)
::Kollaboration bedeutet, dass wir stets eigenmächtig etwas erarbeiten, was wir dann nach bestem Wissen und Gewissen veröffentlichen. Und natürlich können dabei auch Fehler entstehen, wie hier die Fehlinterpretation der semantischen Bedeutung von \imath. Und weil wir Energie und Herzblut in unsere Arbeit stecken, wollen wir auch nicht, dass das dann jemand einfach so weglöscht. Wenn ich so etwas tue und eine kaum begründete Löschung meines Werkes revertiere, dann wünsche ich mir doch sehr, dass ich mit vernünftigen Argumenten auf meinen Fehler hingewiesen werde. Das kann in der Artikel-Disk, oder meiner Benutzer-Disk geschehen. Entscheidend ist hier, dass Belege, oder zumindest Argumente geliefert werden. Sofort mit EW-Anklage um sich zu hauen ist in jedem Fall inakzeptabel - selbst wenn man in der Sache 1000x recht hat. --[[Benutzer:Vollbracht|Vollbracht]] ([[Benutzer Diskussion:Vollbracht|Diskussion]]) 02:47, 23. Dez. 2021 (CET)
:::Ich schlage vor, diese Nebendiskussion zu beenden und lade im Gegenzug zur sachlichen(!) Teilnahme an der Diskussion im Portal ein. <span style="white-space:nowrap;">[[Benutzer:Antonsusi| '''Å'''ñŧóñŜûŝî]] [[Benutzer_Diskussion:Antonsusi|'''(Ð)''']]</span> 12:37, 23. Dez. 2021 (CET)

== Überschriften und PNG-Erzwingung ==

Formeln sahen im Inhaltsverzeichnis noch nie sonderlich gut aus, jetzt werden sie nur noch als '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' angezeigt. [[Spezial:Suche/UNIQ--postMath|83 Artikel sind betroffen]], das Problem ist [[phab:T295091|seit November 2021 bekannt]].

Außerdem gibt es noch [https://de.wikipedia.org/w/index.php?search=insource:%2Fmath%5B%5E%3E%5D%2A%5C%3E%20%2A%5C%5C%21%2F 108 Artikel], die <code><nowiki><math>\!</nowiki></code> beinhalten, vermutlich ein Relikt aus der Zeit, als es nötig war, [[Hilfe:TeX#Erzwungene_PNG-Erzeugung|PNG-Darstellungen zu erzwingen]]. Leider wird die Formel dadurch <math>\!\,\text{zu weit links}</math> dargestellt, auch wenn <code>\!</code> teilweise durch <code>\,</code> kompensiert wird.

Ich werde die Formeln in Überschriften demnächst durch HTML ersetzen oder ganz entfernen. <code>\!</code> am Anfang eines <math>-Tags werde ich löschen, wenn mir das Resultat unschön auffällt. —[[Benutzer:Dexxor|Dexxor]] ([[Benutzer Diskussion:Dexxor|Diskussion]]) 12:10, 4. Mai 2022 (CEST)

== Fehler beim Parsen ==
{{tracked|T343648}}

Im Artikel [[Howard Garland]] erscheint bei mir im Abschnitt Schriften
:''Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „/mathoid/local/v1/“:): K_{2}''
Wenn ich aber in den Abschnitt rein gehe wird in der Verschauansicht das K_2 korrekt dargestellt. Hat dafür jemand eine Erklärung? --[[Benutzer:Alabasterstein|Alabasterstein]] ([[Benutzer Diskussion:Alabasterstein|Diskussion]]) 12:53, 17. Jun. 2022 (CEST)

:Gerade geprüft: das scheint browserabhängig gewesen zu sein. --[[Benutzer:Alabasterstein|Alabasterstein]] ([[Benutzer Diskussion:Alabasterstein|Diskussion]]) 18:13, 19. Jun. 2022 (CEST)

Ich erhalte mit zunehmender Häufigkeit folgende Fehlermedung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:):
gefolgt von etwas LaTeX-Code nach dem Doppelpunkt. Teilweise erfolgt dies mehrfach in einem Artikel, der bis dahin problemlos angezeigt wurde. Es geht also nicht um LateX-Fehler in neu gesetztem LaTeX-Code. Wer kann dazu etwas beitragen? --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:38, 29. Aug. 2023 (CEST)

:{{Ping|Mabit1}} Siehe auch
:* https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Benutzer_Diskussion%3AM2k%7Edewiki&diff=236868149&oldid=236793586 ([[Benutzer_Diskussion:M2k~dewiki#Fehler_beim_Parsen_im_Artikel_Goldener_Schnitt]])
:* https://phabricator.wikimedia.org/tag/math/
:* '''[[:en:Wikipedia:Village_pump_(technical)#Math_parsing_error]]'''
:* '''[https://phabricator.wikimedia.org/T343648 https://phabricator.wikimedia.org/T343648 "Math extension cannot connect to Restbase." error in Wikimedia projects]'''
:* https://phabricator.wikimedia.org/T338381
:* https://phabricator.wikimedia.org/T325725
:* https://phabricator.wikimedia.org/T270348
:Der Fehler könnte ggf. auf
:* https://phabricator.wikimedia.org/
:gemeldet werden, bei mir lässt sich der angegebene Fehler leider weder mit [[Howard Garland]] noch mit [[Goldener Schnitt]] reproduzieren. --[[Benutzer:M2k~dewiki|M2k~dewiki]] ([[Benutzer Diskussion:M2k~dewiki|Diskussion]]) 21:57, 29. Aug. 2023 (CEST)
::Hallo M2k~dewiki, [[Howard Garland]] enthält bei mir im Unterschied zu [[Goldener Schnitt]] keine Fehlermeldung. --[[Benutzer:Mabit1|Mabit1]] ([[Benutzer Diskussion:Mabit1|Diskussion]]) 22:17, 29. Aug. 2023 (CEST)
:::Eine Rolle könnte auch der serverseitige Cache ([[Hilfe:Cache]] / [[Hilfe:Cache#Serverseitigen_Cache_leeren]]) pro Artikel spielen, der in der Regel nach Änderung einer Seite aktualisiert wird. --[[Benutzer:M2k~dewiki|M2k~dewiki]] ([[Benutzer Diskussion:M2k~dewiki|Diskussion]]) 22:19, 29. Aug. 2023 (CEST)
::::Es gibt auch die
::::* [[:Kategorie:Wikipedia:Seite mit Math-Render-Fehlern]]
::::* [[:Kategorie:Wikipedia:Seite mit Math-Fehlern]]
::::--[[Benutzer:M2k~dewiki|M2k~dewiki]] ([[Benutzer Diskussion:M2k~dewiki|Diskussion]]) 23:01, 29. Aug. 2023 (CEST)
::::Ich hatte das Problem auf dieser Seite [[Hosmer-Lemeshow-Test]] stabil an drei Stellen. Gelöst wurde das Problem eben durch https://de.wikipedia.org/wiki/Hosmer-Lemeshow-Test;action=purge Der Hinweis auf den serverseitigen Cache war also der Richtige. Vielen Dank {{ping|M2k~dewiki}} --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 23:20, 29. Aug. 2023 (CEST)

== Angleichung der Formatierung an DIN/ISO ==

Kennt sich einer von euch mit den DIN-Normen bzw. ISO-Normen zur mathematisch-physikalischen Formatierung aus und den dazugehörigen deutschen Eigenheiten beim Formelsatz? Notfalls kann man nur auf das Green Book der IUPAC (https://iupac.org/wp-content/uploads/2019/05/IUPAC-GB3-2012-2ndPrinting-PDFsearchable.pdf ) bzw. das Red Book der IUPAP.

Eine '''''konsequente''''' Orientierung der Wikipedia an den DIN-Normen fände ich sehr hilfreich, da Wikipedia für viele Leute eine (wenn nicht gar die) Referenz für viele Fragen darstellt und Wikipedia mithelfen kann, '''''korrekte''''' Formatierungsstandards zu etablieren. --[[Benutzer:Jakobjakobson13|Jakobjakobson13]] ([[Benutzer Diskussion:Jakobjakobson13|Diskussion]]) 23:05, 10. Okt. 2022 (CEST)

:Wenn ich das richtig sehe, dann setzen in diesen Bereichen eben gerade nicht DIN und ISO die Standards, sondern eher die Fachverbände und das [[BIPM]]. Was meinst du konkret mit Formatierungsstandards? --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 22:31, 29. Aug. 2023 (CEST)

== [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden]] ==

Hallo,
ich habe den Eindruck, dass sich diese Kategorie immer weiter füllt. Welchen Sinn hat diese Kategorie? Muss diese für ein bestimmtes Tex-Update leer sein? Kann es sein, dass in der Kategorie einige Artikel fälschlicherweise einsortiert sind? Beispielsweise wird die Seite [[3-Sphäre]] dort wegen des Tex-Ausdrucks
<nowiki><math>z_1 := x_0+\mathrm i_\Complex x_1</math></nowiki> einsortiert. Wenn man eine geschweifte Klammer um i oder um \Complex setzt, dann verschwindet die Kategorisierung. Ist das gewollt? @[[Benutzer:Physikerwelt|Physikerwelt]], weißt du da dazu etwas? --[[Benutzer:Christian1985|Christian1985]] <small>[[Benutzer Diskussion:Christian1985|(Disk)]]</small> 15:46, 11. Jun. 2023 (CEST)
:: Sinn ist ein großes Wort. Ich kann erklären wie es implementiert ist. Falls ein [https://github.com/search?q=repo%3Awikimedia%2Fmediawiki-extensions-Math+%22deprecated%22+path%3A%2F%5Esrc%5C%2FTexVC%5C%2F%2F+language%3AJSON&type=code deprecated] Makro aus verwendet wird, kommt der Artikel in die liste. Ziel ist das man texvc Formeln aus Wikipedia in LaTeX Dokumenten verwenden kann. Dafür kann das [https://ctan.org/pkg/texvc?lang=de LaTeX Paket texvc] hilfreich sein allerdings ist das überschreiben von \and oder \or in TeX keine gute Idee. Dementsprechend sollte <nowiki><math>z_1 := x_0+\mathrm i_\Complex x_1</math></nowiki> nie in der Kategorie erscheinen. Das er das doch tut ist ein wahrscheinlich ein Caching Problem und löst sich durch unendlich langes Warten (das ist die Cache Lebenszeit) von selbst. Zum Prüfen ohne Cache eignet sich https://mathoid.beta.math.wmflabs.org/. [[Benutzer:Physikerwelt|physikerwelt]] ([[Benutzer Diskussion:Physikerwelt|Diskussion]]) 17:28, 12. Jul. 2023 (CEST)
:::Hallo [[Benutzer:Physikerwelt|Physikerwelt]],
:::danke für Deine Antwort. Ich habe mich nun nochmal intensiv mit dem Thema befasst. Es gibt (und zwar nicht zu wenige) Artikel in der Kategorie, die gar keinen Fehler haben. Und da gibt es noch zwei unterschiedliche Phänomene.
:::Beim ersten Phänomen ist zwar ein Artikel von der Kategorie aus einsortiert. Schaut man dann in dne Artikel so hat dieser nicht die Wartungskategorie [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden]]. Speichert man in diesem Fall den Artikel ohne eine Änderung so verschwindet er auch aus der Kategorie.
:::Die zweite Art Klasse ist etwas leidlicher. Hier hat der Artikel selbst auch die [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden]] und wenn man nur einzelne Abschnitte eines Artikels editiert und sich die Vorschau anschaut, dann kann man auch erkennen aus welchem Abschnitt die [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden]] resultiert. Hat man den entsprechenden Abschnitt gefunden, so muss man in diesem in allen math-Umgebungen eine Leertaste ergänzen und den Abschnitt in der Vorschau neu anschauen. Dadurch nötigt man den Server wohl den Cache für den entsprechenden TeX-Schnipsel zu aktualisieren. Danach verschwindet dann die [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des math-Tags verwenden]].
:::Wenn es irgendwann für Wikipedia ein Update geben soll, für das es notwendig ist, dass die Kategorie leer ist, dann müsste diese wohl in einer Hauruckaktion geleert werden. Aktuell habe ich den Eindruck, dass sie sich eher füllt als leert auch mit Fällen, in denen wirklich alter Syntax vorliegt.--[[Benutzer:Christian1985|Christian1985]] <small>[[Benutzer Diskussion:Christian1985|(Disk)]]</small> 19:40, 30. Aug. 2023 (CEST)
::::Diese Diskussion hier betrifft auch die [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des chem-Tags verwenden]] und alle andersprachigen Analoga, z.B. [[en:Category:Pages that use a deprecated format of the chem tags]]. Auch da gibt es Seiten mit völlig korrekten Formeln oder Reaktionsgleichungen, die fälschlicherweise in diesen Wartungskategorien landen. Beispielsweise waren das in der Vergangenheit Seiten mit <code><nowiki><chem>H2SO4</chem></nowiki></code> oder <code><nowiki><chem>CO2</chem></nowiki></code> (<chem>H2SO4</chem> oder <chem>CO2</chem>). Auch hier bekommt man eine Seite aus der Wartungskategorie, indem man: 1. Mit Hilfe der Vorschau oder der Spielwiese herausfindet, welche Formel die Wartungskategorie auslöst, 2. Solange Leerzeichen in die betreffende korrekte Formel einfügt und die Vorschau aufruft, bis der Artikel oder Artikelteil laut Vorschau nicht mehr in der Wartungskategorie landet und 3. Dann den Artikel ohne die überflüssigen Leerzeichen speichert. Da die betreffende Formel unverändert bleibt, die versteckte Kategorie nicht für jeden sichtbar ist und da die Formel danach die Kategorie nicht mehr auslöst, ist die erfolgreiche Entnahme aus der Wartungskategorie hinterher nicht mehr nachvollziehbar. {{ping|Christian1985|Physikerwelt}} Vielen Dank für den Leerzeichen-Tipp, mit dessen Hilfe ich Seiten (z.B. [[Nährstoffkreislauf]], wo die korrekte Formel <code><nowiki><chem>N2</chem></nowiki></code> der Auslöser war) aus der Kategorie [[:Kategorie:Wikipedia:Seiten, die ein veraltetes Format des chem-Tags verwenden]] nehmen konnte. --[[Benutzer:Nick B.|Nick B.]] ([[Benutzer Diskussion:Nick B.|Diskussion]]) 21:48, 19. Nov. 2023 (CET)

== Spielwiese ==

Wo kann mensch herumprobieren? --[[Spezial:Beiträge/217.13.180.202|217.13.180.202]] 09:33, 13. Okt. 2023 (CEST)

:[[WP:Spielwiese]] --[[Benutzer:Raymond|Raymond]] [[Benutzer Diskussion:Raymond|<sup>Disk.</sup>]] 09:50, 13. Okt. 2023 (CEST)

== Shortcut für abgesetzte Formeln im VisualEditor ==

Gibt es einen shortcut für abgesetzte Formeln im VisualEditor? Wenn ich im VisualEditor in einer neuen Zeile "<math" eintippe, öffnet sich der Formeleditor eine Formel, aber die Formel ist nicht standardmäßig eingerückt, z.B.

<math>a^2+b^2=c^2</math> (Quelltext: <nowiki><math> a^2+b^2=c^2</math></nowiki>),

aber wenn ich sie als abgesetzte Formel gemäß dem Quelltext "<nowiki>:<math> a^2+b^2=c^2</math></nowiki>" etwas einrücken möchte, sollte das Ergebnis so aussehen:
:<math>a^2+b^2=c^2</math>,
aber tippe ich erst ":" und anschließend "<math" ein, ist die Formel zu weit eingerückt:
<blockquote><math>a^2+b^2=c^2</math></blockquote>
(Quelltext: <nowiki><blockquote><math>a^2+b^2=c^2</math></blockquote></nowiki>). Das ist immer super nervig, wenn ich eine neue eingerückte Formel im VisualEditor schreiben will, denn dann muss ich hinterher immer in den Quelltexteditor wechseln und den Doppelpunkt vor dem "<math"-Block manuell einfügen.
Ich würde mich sehr über eine Lösung für dieses Problem freuen. --[[Benutzer:MathPhy42|MathPhy42]] ([[Benutzer Diskussion:MathPhy42|Diskussion]]) 15:30, 25. Mai 2024 (CEST)

== Doppelbrüche ==

Es sind IMHO zu viele und zu komplexe Beispiele in der Tabelle aufgeführt. Ein einfaches <math>\frac x \frac y z \neq \frac {\frac x y} z</math> oder so würde doch auch reichen, oder was meint ihr? --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] ([[Benutzer Diskussion:RokerHRO|Diskussion]]) 11:30, 27. Sep. 2024 (CEST)
: Unter der Rubrik „Doppelbrüche“ reicht dein Beispiel vollkommen aus. Das was jetzt unter „Doppelbrüche“ steht, sollte eher unter „Kombination von Wurzeln und Brüchen“ stehen. Dabei wird ja auf das Problem hingewiesen, dass beispielsweise Indizes in Doppeldrüchen zu klein aussehen könnten und man dann mit displaystyle nachhelfen kann. Das komplexe Beispiel aus „Brüchen“ könnte man dann auch in die neue Rubrik verschieben. --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 11:57, 27. Sep. 2024 (CEST)

== Rendern ==

Bei mir sieht Folgendes mit verschiedenen Browsern unerwartet aus:

: <math>a = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036</math>
: <math>b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579</math>
: <math>c = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999</math>

Seht ihr auch Probleme mit der Darstellung? --[[Benutzer:Boehm|Boehm]] ([[Benutzer Diskussion:Boehm|Diskussion]]) 21:23, 10. Okt. 2024 (CEST)
:Nein.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 21:28, 12. Okt. 2024 (CEST)

Diskussion:Maß (Mathematik)

2024-09-10T09:23:25Z

Sigma^2: /* Lienarkombination von Maßen */ R

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}
== Klasse! ==
Wollte nur schonmal ein Lob aussprechen, das sieht toll und überfällig aus, was hier entsteht! --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&action=edit&section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 21:36, 26. Dez. 2012 (CET)

:Danke!!! Ist nur viel mehr Arbeit als ich anfangs dachte, aber jetzt nimmt's langsam Form an ... -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 21:48, 26. Dez. 2012 (CET)

::Wow, große Klasse, dickes Lob! Wenn nur ein Bruchteil der mathematischen Artikel so gut geschrieben wäre. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 19:31, 28. Dez. 2012 (CET)

:::Oh, so viel Lob, ja is denn heut noch Weihnachten? Vielen Dank! Jetzt müsste man als nächstes mal schauen, was man mit [[Maßtheorie]] am besten macht und insgesamt das ganze Umfeld ein bisschen aufräumen ... -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 22:13, 28. Dez. 2012 (CET)
:::: Auch von mir ein „Frohes Messen“ - schön! --[[Benutzer:Erzbischof|Erzbischof]] 11:25, 29. Dez. 2012 (CET)
:::::Dann hob i ma jetz oiso a [[Maßkrug|Maß]] verdient! Bei uns in Bayern sind ja sonst die beiden höchsten Stufen eines Lobs nur „basst scho!“ und „ned schlecht!“. Danke. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 13:32, 29. Dez. 2012 (CET)

::::::Kann mich dem Lob nur anschließen, wirklich toller Artikel! Aber er hätte ruhig ein bisschen früher kommen können. ;) Als ich mich vor einigen Monaten für meine Abschlussarbeit in die Maßtheorie eingearbeitet habe, musste ich mir diese Infos noch überall zusammensuchen. :D -- [[Spezial:Beiträge/82.119.29.173|82.119.29.173]] 00:37, 10. Jan. 2013 (CET)
:::::::Danke! Wenn ich das mit deiner Abschlussarbeit vorher gewusst hätte, dann hätte ich den Artikel natürlich früher geschrieben. :) -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 09:59, 10. Jan. 2013 (CET)

== Sehr gut, aber eine Anmerkung ==

Erstmal muss ich sagen, dass dieser Artikel sehr gut geschrieben ist. Allerdings ist er ein wenig inkonsequent, was messbare Funktionen angeht. An mehreren Stellen wird der Begriff der messbaren Menge verwendet ohne irgendwo zu definieren, wann eine Menge tatsächlich messbar ist.

Für einen Vektorverband (geordneter Vektorraum) verstehen wir unter dem System der <math>\mathcal X </math>-messbaren Funktionen das kleinste Funktionensystem <math>\mathcal M(\mathcal X)</math> von numerischen Funktionen <math>\varphi:X\to\overline{\mathbb{R}}</math>, das drei Eigenschaften erfüllt:
* <math>\mathcal X\subset\mathcal M(\mathcal X)</math>
* Für <math>\varphi,\psi\in\mathcal M(\mathcal X), \ \lambda\in\mathbb R</math> sind auch <math>\lambda\varphi\in\mathcal M(\mathcal X)</math> und (falls definiert) <math>\varphi+\psi\in\mathcal M(\mathcal X)</math>
* Für <math>(\varphi_n)\subset\mathcal M(\mathcal X)</math> ist <math>\bigcup\limits_{n\in\mathbb N} \varphi_n:=\sup\{\varphi_n: n\in\mathbb N\}\in\mathcal M(\mathcal X)</math>

Das "falls definiert" bezieht sich auf den Sonderfall <math>\infty+(-\infty)</math>, der nicht definiert ist. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/77.179.32.76|77.179.32.76]] ([[Benutzer Diskussion:77.179.32.76|Diskussion]])<nowiki/> 07:20, 24. Mai 2014 (CEST))</small>

:Danke für das Lob! Zum Begriff der messbaren Menge habe ich bei der Definition noch einen Satz ergänzt. Bei deiner Definition bin ich etwas skeptisch. Wer ist „wir“, das heißt, wo ist diese Definition nachzulesen? Was soll dabei ein Vektorverband sein und warum? Vor allem werden hier aber nur numerische Funktionen erfasst. Gerade z. B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie, wo Abbildungen zwischen beliebigen Ereignisräumen betrachtet werden, wäre das viel zu speziell. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 08:14, 24. Mai 2014 (CEST)

== Maßtheorie nach Daniell-Stone ==

Es fehlt m.E. ein Hinweis auf den alternativen funktionalanalytischen Zugang zur Maßtheorie der von Daniell 1917 begründet worden ist. Anstelle des Messens von Inhalten stellt man das Integrieren (als positives lineares Funktional) an den Anfang und entwickelt durch einen Fortsetzungsprozess die Integrationstheorie. Dass beide Zugänge letztlich äquivalent sind, liefert der Satz von Daniell-Stone.
Standard-Literatur: Bauer: Maß- und Integrationstheorie (Satz von Daniell-Stone), K. Floret: Maß- und Integrationstheorie. In letzterem Buch wird die Daniell' sche Integrationstheorie entwickelt. S. auch Dinculeanu: Integration on locally compact spaces, Pedersen: Analysis Now
(er nennt das Radon-Integrale). Auch Bourbaki verwendet diesen Zugang zur Integrationstheorie.
Die Literaturliste zeigt (hoffentlich), dass es sich nicht etwa um eine obskure Variante handelt.

PS: siehe etwa den Artikel zum Daniell Integral in der englischen Wikipedia (leider nicht übersetzt)
[https://en.wikipedia.org/wiki/Daniell_integral] -- <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Benutzer:MaLeZig|MaLeZig]] ([[Benutzer Diskussion:MaLeZig|Diskussion]] | [[Spezial:Beiträge/MaLeZig|Beiträge]])<nowiki/> 12:49, 31. Jul 2014 (CEST))</small>

:Hallo! Ja, das Daniell-Integral ist mir ein Begriff und sicher nicht „obskur“ (wenn auch wohl etwas „aus der Mode“?). Die Frage ist allerdings, was davon gerade in diesen Artikel gehört. Das besondere an diesem Zugang ist ja, dass er erstmal ganz ohne Maße auskommt und es gibt ja auch noch den Artikel [[Maßtheorie]]. Die Integrationstheorie habe ich hier bewusst knapp gehalten, damit der Fokus auf das Thema ''Maße'' nicht verlorengeht. Was man aber sicher noch einbauen könnte: Wenn man bereits einen Integralbegriff ohne Maß zur Verfügung hat, dann bekommt man durch <math>\mu(A) := \int \chi_A</math> ein Maß. Zum Beispiel wird ja auch in einigen älteren Analysis-Lehrbüchern (ältere Auflagen von Forster, Königsberger) das Lebesgue-Integral zuerst ohne Maßtheorie definiert und damit anschließend das Lebesgue-Maß. Grüße -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] (''[[BD:HilberTraum|d]], [[P:M|m]]'') 13:53, 31. Jul. 2014 (CEST)

::+1 Das gehört nicht in diesen Artikel, sondern in Artikel zur Maß- und Integrationstheorie. Oder besser noch: Wir machen einen besseren Artikel zum Satz von Riesz-Markov, der ja besagt, dass die beiden Ansätze im lokal-kompakten Fall im Wesentlichen äquivalent sind (wobei im nicht-sigma-kompakten Fall unterschiedliche Varianten je nach Wahl der σ-Algebra oder der Regularitätsbedingungen möglich sind). Siehe dazu auch die [[Portal:QSM#Borelma.C3.9F.2C_Regul.C3.A4res_Ma.C3.9F.2C_Radonma.C3.9F.2C_Haarma.C3.9F|QS]]. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&action=edit&section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 00:14, 2. Aug. 2014 (CEST)

== Lebesgue-Stieltjes-Maße ==

In der Folgezeit erweiterten Thomas Jean Stieltjes und Johann Radon die Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf allgemeinere Maße im d-dimensionalen Raum, die Lebesgue-Stieltjes-Maße
kann so nicht stimmen, denn Stieltjes ist bereits 1894 verstorben, also sieben Jahre vor Einführung des Lebesgue-Maßes.—[[Benutzer:회기-로|Hoegiro]] ([[Benutzer Diskussion:회기-로|Diskussion]]) 22:32, 23. Okt. 2020 (CEST)

== Lienarkombination von Maßen ==

Der Satz „Für eine Familie <math>(\mu_i)_{i \in I}</math> von Maßen auf dem gleichen Messraum und für nicht-negative reelle Konstanten <math>(\alpha_i)_{i\in I}</math> wird durch <math>\textstyle \mu = \sum_{i\in I} \alpha_i \mu_i</math> wieder ein Maß definiert.“ verwendet <math>\sum_{i\in I}</math> für beliebige Indexmengen. Dies scheint mir für überabzählbare Indexmengen undefiniert zu sein und letztlich nur mit einem Integralbegriff formulierbar zu sein.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:22, 10. Sep. 2024 (CEST)

Diskussion:Maß (Mathematik)

2024-09-10T09:22:36Z

Sigma^2: Neuer Abschnitt /* Lienarkombination von Maßen */

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}
== Klasse! ==
Wollte nur schonmal ein Lob aussprechen, das sieht toll und überfällig aus, was hier entsteht! --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&action=edit&section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 21:36, 26. Dez. 2012 (CET)

:Danke!!! Ist nur viel mehr Arbeit als ich anfangs dachte, aber jetzt nimmt's langsam Form an ... -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 21:48, 26. Dez. 2012 (CET)

::Wow, große Klasse, dickes Lob! Wenn nur ein Bruchteil der mathematischen Artikel so gut geschrieben wäre. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 19:31, 28. Dez. 2012 (CET)

:::Oh, so viel Lob, ja is denn heut noch Weihnachten? Vielen Dank! Jetzt müsste man als nächstes mal schauen, was man mit [[Maßtheorie]] am besten macht und insgesamt das ganze Umfeld ein bisschen aufräumen ... -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 22:13, 28. Dez. 2012 (CET)
:::: Auch von mir ein „Frohes Messen“ - schön! --[[Benutzer:Erzbischof|Erzbischof]] 11:25, 29. Dez. 2012 (CET)
:::::Dann hob i ma jetz oiso a [[Maßkrug|Maß]] verdient! Bei uns in Bayern sind ja sonst die beiden höchsten Stufen eines Lobs nur „basst scho!“ und „ned schlecht!“. Danke. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 13:32, 29. Dez. 2012 (CET)

::::::Kann mich dem Lob nur anschließen, wirklich toller Artikel! Aber er hätte ruhig ein bisschen früher kommen können. ;) Als ich mich vor einigen Monaten für meine Abschlussarbeit in die Maßtheorie eingearbeitet habe, musste ich mir diese Infos noch überall zusammensuchen. :D -- [[Spezial:Beiträge/82.119.29.173|82.119.29.173]] 00:37, 10. Jan. 2013 (CET)
:::::::Danke! Wenn ich das mit deiner Abschlussarbeit vorher gewusst hätte, dann hätte ich den Artikel natürlich früher geschrieben. :) -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 09:59, 10. Jan. 2013 (CET)

== Sehr gut, aber eine Anmerkung ==

Erstmal muss ich sagen, dass dieser Artikel sehr gut geschrieben ist. Allerdings ist er ein wenig inkonsequent, was messbare Funktionen angeht. An mehreren Stellen wird der Begriff der messbaren Menge verwendet ohne irgendwo zu definieren, wann eine Menge tatsächlich messbar ist.

Für einen Vektorverband (geordneter Vektorraum) verstehen wir unter dem System der <math>\mathcal X </math>-messbaren Funktionen das kleinste Funktionensystem <math>\mathcal M(\mathcal X)</math> von numerischen Funktionen <math>\varphi:X\to\overline{\mathbb{R}}</math>, das drei Eigenschaften erfüllt:
* <math>\mathcal X\subset\mathcal M(\mathcal X)</math>
* Für <math>\varphi,\psi\in\mathcal M(\mathcal X), \ \lambda\in\mathbb R</math> sind auch <math>\lambda\varphi\in\mathcal M(\mathcal X)</math> und (falls definiert) <math>\varphi+\psi\in\mathcal M(\mathcal X)</math>
* Für <math>(\varphi_n)\subset\mathcal M(\mathcal X)</math> ist <math>\bigcup\limits_{n\in\mathbb N} \varphi_n:=\sup\{\varphi_n: n\in\mathbb N\}\in\mathcal M(\mathcal X)</math>

Das "falls definiert" bezieht sich auf den Sonderfall <math>\infty+(-\infty)</math>, der nicht definiert ist. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/77.179.32.76|77.179.32.76]] ([[Benutzer Diskussion:77.179.32.76|Diskussion]])<nowiki/> 07:20, 24. Mai 2014 (CEST))</small>

:Danke für das Lob! Zum Begriff der messbaren Menge habe ich bei der Definition noch einen Satz ergänzt. Bei deiner Definition bin ich etwas skeptisch. Wer ist „wir“, das heißt, wo ist diese Definition nachzulesen? Was soll dabei ein Vektorverband sein und warum? Vor allem werden hier aber nur numerische Funktionen erfasst. Gerade z. B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie, wo Abbildungen zwischen beliebigen Ereignisräumen betrachtet werden, wäre das viel zu speziell. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 08:14, 24. Mai 2014 (CEST)

== Maßtheorie nach Daniell-Stone ==

Es fehlt m.E. ein Hinweis auf den alternativen funktionalanalytischen Zugang zur Maßtheorie der von Daniell 1917 begründet worden ist. Anstelle des Messens von Inhalten stellt man das Integrieren (als positives lineares Funktional) an den Anfang und entwickelt durch einen Fortsetzungsprozess die Integrationstheorie. Dass beide Zugänge letztlich äquivalent sind, liefert der Satz von Daniell-Stone.
Standard-Literatur: Bauer: Maß- und Integrationstheorie (Satz von Daniell-Stone), K. Floret: Maß- und Integrationstheorie. In letzterem Buch wird die Daniell' sche Integrationstheorie entwickelt. S. auch Dinculeanu: Integration on locally compact spaces, Pedersen: Analysis Now
(er nennt das Radon-Integrale). Auch Bourbaki verwendet diesen Zugang zur Integrationstheorie.
Die Literaturliste zeigt (hoffentlich), dass es sich nicht etwa um eine obskure Variante handelt.

PS: siehe etwa den Artikel zum Daniell Integral in der englischen Wikipedia (leider nicht übersetzt)
[https://en.wikipedia.org/wiki/Daniell_integral] -- <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Benutzer:MaLeZig|MaLeZig]] ([[Benutzer Diskussion:MaLeZig|Diskussion]] | [[Spezial:Beiträge/MaLeZig|Beiträge]])<nowiki/> 12:49, 31. Jul 2014 (CEST))</small>

:Hallo! Ja, das Daniell-Integral ist mir ein Begriff und sicher nicht „obskur“ (wenn auch wohl etwas „aus der Mode“?). Die Frage ist allerdings, was davon gerade in diesen Artikel gehört. Das besondere an diesem Zugang ist ja, dass er erstmal ganz ohne Maße auskommt und es gibt ja auch noch den Artikel [[Maßtheorie]]. Die Integrationstheorie habe ich hier bewusst knapp gehalten, damit der Fokus auf das Thema ''Maße'' nicht verlorengeht. Was man aber sicher noch einbauen könnte: Wenn man bereits einen Integralbegriff ohne Maß zur Verfügung hat, dann bekommt man durch <math>\mu(A) := \int \chi_A</math> ein Maß. Zum Beispiel wird ja auch in einigen älteren Analysis-Lehrbüchern (ältere Auflagen von Forster, Königsberger) das Lebesgue-Integral zuerst ohne Maßtheorie definiert und damit anschließend das Lebesgue-Maß. Grüße -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] (''[[BD:HilberTraum|d]], [[P:M|m]]'') 13:53, 31. Jul. 2014 (CEST)

::+1 Das gehört nicht in diesen Artikel, sondern in Artikel zur Maß- und Integrationstheorie. Oder besser noch: Wir machen einen besseren Artikel zum Satz von Riesz-Markov, der ja besagt, dass die beiden Ansätze im lokal-kompakten Fall im Wesentlichen äquivalent sind (wobei im nicht-sigma-kompakten Fall unterschiedliche Varianten je nach Wahl der σ-Algebra oder der Regularitätsbedingungen möglich sind). Siehe dazu auch die [[Portal:QSM#Borelma.C3.9F.2C_Regul.C3.A4res_Ma.C3.9F.2C_Radonma.C3.9F.2C_Haarma.C3.9F|QS]]. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&action=edit&section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 00:14, 2. Aug. 2014 (CEST)

== Lebesgue-Stieltjes-Maße ==

In der Folgezeit erweiterten Thomas Jean Stieltjes und Johann Radon die Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf allgemeinere Maße im d-dimensionalen Raum, die Lebesgue-Stieltjes-Maße
kann so nicht stimmen, denn Stieltjes ist bereits 1894 verstorben, also sieben Jahre vor Einführung des Lebesgue-Maßes.—[[Benutzer:회기-로|Hoegiro]] ([[Benutzer Diskussion:회기-로|Diskussion]]) 22:32, 23. Okt. 2020 (CEST)

== Lienarkombination von Maßen ==

Der Satz „Für eine Familie <math>(\mu_i)_{i \in I}</math> von Maßen auf dem gleichen Messraum und für nicht-negative reelle Konstanten <math>(\alpha_i)_{i\in I}</math> wird durch <math>\textstyle \mu = \sum_{i\in I} \alpha_i \mu_i</math> wieder ein Maß definiert.“ verwendet <math>\sum_{i\in I}</math> für beliebige Indexmengen. Dies scheint mir für überabzählbare Indexmengen undefiniert u sein und letztlich nur mit einem Integralbegriff formulierbar zu sein.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:22, 10. Sep. 2024 (CEST)

Diskussion:Maß (Mathematik)

2024-09-10T09:12:32Z

Sigma^2: Archiv eingerichtet

Diskussion:Summe

2024-09-10T09:07:28Z

Sigma^2: Neuer Abschnitt /* Formale Definition */

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}
== Das einfachste Beispiel ==
Wie würde das Summenzeichen ausschauen wenn man die Zahlen 1 bis 10 addieren will ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Ist das korrekt ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n*n = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385 </math>

Wie kann man das programmieren ?
*Siehe dazu: http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Rechnen#Das_Summenzeichen__programmieren <small>[in Klammern Unterschrift]</small>

Nein. Wie in diesem Artikel und auch hinter dem genannten Link erläutert, geht es nur so: <math>\sum_{n=1}^{10}n=1+2+\cdots+9+10=55 </math> Man beachte die Angabe der oberen Grenze. [[Benutzer:89.50.38.20|89.50.38.20]] 21:11, 9. Mär. 2007 (CET)
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:46, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Verrückte Summenzeichentricks ==
Das Summenzeichen verhält sich als Element innerhalb von mathematischen Formeln häufig recht ungewöhnlich. Als Beispiel gebe ich hier die Berechnung des ''Mittelwertes des Messergebnisses'', aus dem Themenkomplex [[Zufälliger Fehler]] an.

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (f(\bar x_1, \bar x_2) + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \Delta x_{1j} + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \Delta x_{2v}) </math>

Das vereinfacht sich zu

<math>\bar y = f(\bar x_1, \bar x_2) + {1 \over m} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \sum_{j=1}^m \Delta x_{1j} + {1 \over k} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \sum_{v=1}^k \Delta x_{2v}</math>

Ich schreib's nochmal mit einfacheren Koeffizienten:

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v ) = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

Ich find es komisch, wie das Summenzeichen hin- und hergeschoben werden kann, "wie's man gerade möchte". Zwei Summenzeichen sehen sich für mich wie zwei verschachtelte [[For-Schleife]]n aus.

Kann jemand auf die Rechenvorschriften bei Summenzeichen eingehen?

Danke, --[[Benutzer:Abdull|Abdull]] 14:41, 13. Jul 2005 (CEST)

: Wo ist jetzt der Unterschied zu zwei verschachtelten For-Schleifen? Mir ist Dein Problem nicht klar.--[[Benutzer Diskussion:Gunther|Gunther]] 14:45, 13. Jul 2005 (CEST)

:: Ah, ich bin jetzt selbst draufgekommen.

:: <math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v )</math>

:: <math> = {1 \over mk} \cdot ( \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (b x_j) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (c x_v))</math>

:: das ''a'' in der ersten Summengruppe verhält sich gegenüber beiden Summenzeichen als Konstante. ''bx<sub>j</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{v=1}^k</math>, ''cx<sub>v</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{j=1}^m</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + \sum_{j=1}^m (k \cdot b x_j) + \sum_{v=1}^k (m \cdot c x_v))</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + k \cdot b \sum_{j=1}^m (x_j) + m \cdot c \sum_{v=1}^k ( x_v))</math>

:: ausgeklammert...
::<math> = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

::... womit das die Lösung für mein anfängliches Problem wär'.

::Problematisch sind aber immer noch Variablen, die zwei Indizes haben, <math>x_{ij}</math>.

::Bemerkenswert finde ich, dass gilt: <math> \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k = \sum_{v=1}^k \sum_{j=1}^m </math>

::Gunther, zu meinem Vergleich mit For-Schleifen, da gilt: <math> \sum_{j=1}^3 \sum_{v=1}^3 (x_{jv}) = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{31} + x_{32} + x_{33} </math>

::... hum, was wollte ich eigentlich mit den For-Schleifen andeuten... weiß es jetzt schon garnicht mehr... naja, jedenfalls finde ich es schwierig, zwei Summenzeichen auf Variablen mit ''zwei Indizes'', eben wie <math>x_{ij}</math> anzuwenden. Aber mir scheint, als würde in solchen Momenten eine [[Taylorreihe]] zur Hilfe kommen, da man so die Variable von ihren zwei Indizes befreit, und daraus zwei Variablen mit jeweils einem Index macht. Dann sagt man: ''Taylor-Entwicklung um einen Punkt im <math>\mathbb{R}^{n}</math>'', wobei man als n die Anzahl der Indizes (hier 2, i und j) nimmt. Siehe auch [[Taylorreihe#Taylor-Entwicklung um einen Punkt im]].

;-) Kann mal einer eine einfache Annotation machen, was die Zeichen funktioniern:
^ > < Sum_
[Für jemanden, der in der Schule noch mit der Hand geschrieben hat!!!
z.B. °= Grad ]
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:48, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Müssen m und n natürlich/ganz/... sein? ==

Muss in der Summe <math>\sum_{k=m}^n a_k</math> Die Zahlen n und m natürlich sein? Im Text wird dort nur mit natürlichen Zahlen gerechnet, aber es wären für <math>n\notin\mathbb{N}</math> und/oder <math>m\notin\mathbb{N}</math> doch auch eine "Ausweichlösung" wie <math>\sum_{k=m}^n a_k:=\sum_{k=\lfloor m\rfloor}^{\lfloor n\rfloor} a_k</math> ( <math>\lfloor x \rfloor</math> ist die größte ganze Zahl kleiner als x) möglich...--[[Benutzer:217.250.250.137|217.250.250.137]] 16:48, 12. Feb. 2007 (CET)
:<math>\lfloor m\rfloor</math> und <math>\lfloor n\rfloor</math> sind doch ganzzahlig und somit durch die übliche Notation erfasst.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:52, 10. Sep. 2024 (CEST)
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:52, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Produkt zweier Summen ==

Gilt nicht auch das Cauchy-Produkt für Summen? Und sollte das dann nicht vielleicht auch noch in den Artikel?
:<math> (\sum_{n=0}^{m}a_n) (\sum_{n=0}^{i}b_n) = \sum_{n=0}^{m} (\sum_{j=0}^{n}a_j b_{n-j}) </math>

::Allein, dass links die freie Variable <math>i</math> steht, die rechts nicht erscheint, zeigt schon, dass diese Formel falsch ist. Man kann ja mal versuchen, eine korrekte Formel zu finden. Das ist nicht so einfach. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 19:51, 10. Mai 2009 (CEST)

== konkretes Beispiel für Gebrauch des Summenzeichens fehlt ==

Leider fehlt im Artikeltext ein konkretes Beispiel mit Zahlenwerten für den Gebrauch des Summenzeichens, der Einsteigern in die Materie den Zugang erleichtern würde, so wie einige auf der Diskussionsseite oben zu finden sind. Doch nicht jeder schaut dorthin. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:16, 1. Mär. 2008 (CET)

:Ich war so frei, ein Beispiel von dieser Seite dort etwas modifiziert zu übernehmen. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:24, 1. Mär. 2008 (CET)
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:53, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== ausgeartete Summe ==

Zitat aus dem Text:

''Ferner hat es sich als nützlich erwiesen, für <math> n=m-1 </math> eine '''leere Summe''' zu definieren:''
:<math>\sum_{k=m}^{m-1}a_k := 0</math>

''Man beachte, dass dieses der einzige Fall mit <math>n<m</math> ist, der sinnvoll definiert werden kann. Im Gegensatz zur Integralnotation bleibt die Summe für n<m in allen anderen Fällen undefiniert.''

Wuerde ich nicht so schreiben, denn letztendlich bleibt es eine Definition, und es ist mir nicht klar, warum fuer n<m (allgemein fuer Summen ueber leere Indexmengen) <math>\sum_{k=m}^n=0</math> eine nicht sinnvolle Definition sein sollte. Wird auch oefters so definiert, siehe Beispielsweise [http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html hier] oder [http://www-m10.ma.tum.de/twiki/pub/Lehre/HoehereMathematik1/HM_1_2005_06_03_Reelle_Zahlen.pdf hier]
:Falsch für n<m-1: <math>\sum_{k=m}^n 1=n-(m-1)</math>, <math>n!=\prod_{k=1}^n k</math> u.v.a.m.

::Diese „Gegenbeispiele“ sind Stuss, man kann diese Formeln eben nicht auf ganze <math>n</math> erweitern. (Die Fakultät erst recht nicht.) Die spezielle Definition sieht sowieso nach Marke Eigenbau aus und gibt nicht den allgemeinen Konsens wieder.
::Auch bei leerer Indexmenge ist die Summe definiert und ist gleich dem Nullelement der Algebra, in der die Addition erklärt ist.
::Man überlegt sich schon gut, wann man was in „Grenzfällen“ definiert oder undefiniert lässt. Binomialkoeffizienten sind immer definiert: vgl. [[Binomialkoeffizient#Eigenschaften|hier]] – <math>0^0</math> hingegen nicht.
::Habs jetzt konventionsgemäß geändert. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 16:58, 8. Mai 2009 (CEST)

== Aussprache ==

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Könnte bitte noch Jemand etwas zur Aussprache des Summenzeichens schreiben. Danke.

:Summe über n von eins bis zehn. Objections? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]]

== Summe von 0 bis 0? ==

Kann das bitte jemand beantworten? Tippe zwar auf 1, aber bin mir alles andre als sicher... Danke.
-- [[Spezial:Beiträge/131.188.24.20|131.188.24.20]] 21:14, 7. Jun. 2009 (CEST)
:Die „Verwirrung“ liegt auch an der Sprechweise. Man sagt nicht einfach „Summe von 3 bis 5“, sondern etwa „Summe der natürlichen Zahlen von 3 bis 5“. Die „Summe (der ganzen Zahlen) von 0 bis 0“ ist gleich 0. (Diese Summe besteht nur aus einem Summanden, nämlich 0.) --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 00:33, 11. Jun. 2009 (CEST)

== Einleitende Definition fehlt ==
Bevor wir lossprudeln, was wir zum Thema so alles wissen, gehört an den Beginn jedes Artikels die Defintion. Und zwar vor die erste Überschrift, so dass sie über dem Inhaltsverzeichnis erscheint. Ich schlage vor: ''Unter einer Summe versteht man das Ergebnis einer Addition, einen Geldbetrag oder die Gesamtheit aller Dinge, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen.''. Gleichzeitig schlage ich vor, die Überschrift ''Wortgeschichte und -bedeutungen'' in ''Wortgeschichte'' zu ändern und darunter folgende zwei Sätze zu löschen: 1.) ''Im weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gemeinheit oder einen Inbegriff.'' sowie 2.) ''In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.''. Einwände? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]] 15:18, 10. Dez. 2009 (CET)

Leider wird im Artikel (bzw. in der einleitenden Definition) nicht zwischen Summe und Summenwert unterschieden. Die Summe ist lediglich der Term, der durch Addition zweier (oder mehrerer) Summanden gebildet wird. Das "Ergebnis" des Terms ist dann der Summenwert bzw. der Wert der Summe. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/46.244.214.217|46.244.214.217]] ([[Benutzer Diskussion:46.244.214.217|Diskussion]])<nowiki/> 11:13, 18. Jan. 2015 (CET))</small>

== Summe von Produkten ==

Gibt es für Summen von Produkttermen einen speziellen Namen? Insbesondere folgende Summe:
:<math>w(n) := 1 + n + [n\cdot(n-1)] + [n\cdot(n-1)\cdot(n-2)] + \ldots + [n!]</math>
Ich habe versucht, das in Summen- und Produktschreibweise zu notieren. Mein erster Versuch sah so aus:
:<math>w(n) = 1 + \sum_{k=0}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
Ob das so korrekt ist, weiß ich nicht, aber: Hat diese Summe w einen speziellen Namen? Irgendwie finde ich nix dazu in der WP. --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 07:43, 9. Mär. 2011 (CET)

: Ja, ist korrekt, könnte man aber auch als
:: <math>w(n) = \sum_{k=-1}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
: oder als
:: <math>w(n) = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}</math>
: schreiben. Einen Namen hat meines Wissens weder w, noch das allgemeine Konzept Summe von Produkten. --[[Benutzer:Daniel5Ko|Daniel5Ko]] 20:08, 9. Mär. 2011 (CET)

:: Hey, der Bruch mit den beiden Fakultäten gefällt mir. Cool, danke! Aber trotzdem seltsam, dass es dafür keinen Namen gibt… --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 22:26, 9. Mär. 2011 (CET)
:::Die Summe hat keinen eigenen Namen, aber den Quotienten <math>\frac{w(n)}{n!}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\colon H_n</math> nennt man „<math>n</math>-te [[harmonische Zahl]]“. --[[Benutzer Diskussion:FranzR|Franz]] 19:13, 31. Jul. 2014 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Literaturhinweise ==

Hi,

Wo kann man die Formale Definition nachlesen? Es wäre nützlich am Ende noch Literaturhinweise zu nennen in denen z.B. die angeführte Definition der Summe zu finden sind. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/92.224.5.164|92.224.5.164]] ([[Benutzer Diskussion:92.224.5.164|Diskussion]])<nowiki/> 21:52, 11. Apr. 2014 (CEST))</small>

== Lemma nicht exakt definiert? ==

Im Artikel-Punkt "Summe als Ergebnis einer Addition" steht:
* "In dem mathematischen [[Term]]:<math>2+3</math> heißen die Zahlen 2 und 3 [[Summand]]en. Der gesamte Term (gemeint muss sein: "<math>2+3</math> - d. Verf.) wird als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet."
Wenn diese beiden Aussagen stimmen, ist die Formulierung des Lemmas wohl "etwas schlampig" (umgangssprachlich). Hier steht:
* "Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition."
Exakt müsste es heißen (ganz in Übereinstimmung mit den eben zitierten Aussagen aus dem Artikelpunkt "Summe als Ergebnis einer Addition")
* ''Eine Summe ist in der Mathematik die Addition von Zahlen. Das Ergebnis einer Addition von Zahlen nennt man Summen-Wert.''
Zwar wird umgangssprachlich (schulisch) gesagt: "Summand + Summand = Summe." Aber exakterweise wird der Ausdruck "Summand + Summand" ''<u>zusammenfassend</u>'' mit "Summe" bezeichnet, aber das Ergebnis einer Summe (eines additiven Terms, Summenterms) nennt man exakterweise nicht "Summe", sondern "Summenwert" (so lese ich es in mancher Literatur) - nur verkürzt spricht man hier von "Summe".<small> Man könnte dann erläuternd etwa so weiterschreiben: ''Den ganzen Term aus Summe und Summen-Wert nennt man Summen-Aussage. Hingegen nennt man eine Summe einen Term (bzw. Summenterm). Denn "Aussage" meint in der Mathematik eine wahre oder eine falsche Äußerung (z. B. 3 + 4 = 12 Oder: 3 + 4 = 7). Aber die Äußerung "3 + 4" oder "3 + 4 =" kann weder wahr noch falsch genannt werden. Deshalb bezeichnet man z. B. "3 + 4" als Term, nicht als Aussagen.''</small>--[[Benutzer:Stefan B. Link|Stefan B. Link]] ([[Benutzer Diskussion:Stefan B. Link|Diskussion]]) 09:48, 19. Apr. 2014 (CEST)

== Wenn man keine Ahnung von der Summenschreibweise hat ==

In dem Text wird nirgends Bezug genommen, was eigentlich das i=1 unter dem Summenzeichen bedeutet.
Das sollte man nicht als bekannt voraus setzen. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/88.64.7.59|88.64.7.59]] ([[Benutzer Diskussion:88.64.7.59|Diskussion]])<nowiki/> 17:18, 21. Sep. 2014 (CEST))</small>

== Syntaktische Reichweite des \sum-Operators klarstellen ==

Im Artikel sollte klar werden, wie weit der <math>\sum</math>-Operator wirkt.
Z.B. ob <math>\sum_{i=0}^n i + 1</math> dasselbe meint wie <math>\sum_{i=0}^n (i + 1)</math> oder dasselbe wie <math>(\sum_{i=0}^n i) + 1</math>. Im ersten Fall ist Reichweite laengst-, im zweiten kuerzestmoeglich.

Die Konvention sollte wiki-weit einheitlich sein und auch einheitlich mit der fuer Quantoren, Lambda-Terme, Integrale (und wo sonst noch Variablenbindungen erfolgen). - [[Benutzer:Jochen Burghardt|Jochen Burghardt]] ([[Benutzer Diskussion:Jochen Burghardt|Diskussion]]) 10:12, 21. Feb. 2015 (CET)

:Bei der [[Präfixnotation|Operatornotation]] bindet der Operator normalerweise stärker als arithmetische Operationen, insofern ist

::<math>\sum_{i=0}^n i + 1 = \left(\sum_{i=0}^n i\right) + 1</math>.

:Wir bräuchten mal einen eigenen Artikel [[Summenzeichen]], wo auch die Notationsfragen geklärt werden. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 15:13, 21. Feb. 2015 (CET)

== Gaußklammer am Ende ==

Beim letzten Beispiel, dass eine Summe mit Obergrenze unendlich keine Reihe sein muss, wird die Klammer [] als Gaußklammer identifiziert, aber in welche Richtung? die Gaußklammer ist oben oder unter offen, diese ist geschlossen wie eine ganz normale Eckigeklammer. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/141.2.169.197|141.2.169.197]] ([[Benutzer Diskussion:141.2.169.197|Diskussion]])<nowiki/> 18:24, 8. Jul. 2015‎ (CEST))</small>

:Mit <math>[x]</math> ist die Abrundungsfunktion gemeint, siehe [[Gaußklammer]], zweiter Satz. --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 18:51, 8. Jul. 2015 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"]:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge '' definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

(Vorschlag 29 Mai 2021) '''Unendlich summieren'''

Wenn's um unendlich viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n" .

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (Formen) (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

(Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe"   <ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die högere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref> <ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100; siehe [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22Reihe+ist+ein+Zeichen+der+Form%22 snippet1], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge+%28sn%29%22 snippet2], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge%22 snippet3] /ref>)

(Oft wird nicht unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math>für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.)

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

{{ping|Kmhkmh}}, {{ping|Digamma}}, {{ping|Googolplexian1221}}, {{ping|Christian1985}}, {{ping|Haraldmmueller}}, {{ping|Sung Kyun Kwan}}   Wer gibt hier mit inhaltlicher Argumente belegt Kommentar? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:25, 28. Mai 2021 (CEST)

:'''Zwei Ergänzungen'''

:Einzelnachweise zu  <nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n">

:Noch immer auch "Summe der Reihe".   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).

:- Einzelnachweise zu  <Oft wird nicht unterschieden zwischen ...>

:Dieser Unterschied wird explizit genennt in:   - Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 1994, Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22 Grenzwerte, Stetigkeit. Zeile 9.2 . --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 10:02, 29. Mai 2021 (CEST)

:'''Und noch ein Dritter'''  unter <Oft wird nicht unterschieden ...>:

:Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch <ref sehe 'Fußnote' /ref>) nicht die ''Summe'' aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

:'Fußnote':  K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "The quite customery designation ''sum'' for the value ''s'' of a series is nevertheless unfortunate. For ''s'' is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]" .

:''Personal reflection, Hesselp's POV''.  I have a hypothesis on the origin of the 'unfortunate' use of "sum" instead of "limit"(Grenzwert). In the years/centuries before the introduction of the word "sequence"/"Folge" it was not at all unusual to use an expression with plusses: u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>+u<sub>3</sub>+... instead of comma's (or semicolons or just spaces): u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, ... . Both forms had the same meaning: series-in-traditional-sense (series<sup>His</sup>) / Reihe-im-traditionellen-Sinne (Reihe<sup>His</sup>). My collected documentation includes hundreds of copied pages showing examples. The language, English, French, German, (Dutch, Swedish) doesn't seem to make a difference on this point. More recent examples I showed [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Reihe_(Mathematik)#Neun_Quellen,_von_die_Beziehung_zwischen_den_Namen_'Reihe'_und_'Folge' here: Neun Quellen], numbers 2 - 10. The use of the plusses, and later on (less frequently) also the sigma-sign, is quite understandable when you realize that at that time the main (only?) purpose for this successions/progressions of numbers (or in extended form: power series / Taylor expansions) was: to describe ''irrational'' numbers. Not the convergence of ''terms'' was important but the convergence of ''sums''. The notation of the series<sup>His</sup> with plusses reflects that fact.

:The most striking example of the equivalence of the commas-notation and the plusses-notation I saw in Niels Abel's ''Untersuchungen über die [binomial]Reihe'' (1826), footnote p. 9. There Abel refers to Cauchy's ''Cours d'Analyse'' p.131, and gives within quotation marks, an exact translation of one of Cauchy's theorems. With only the comma's in Cauchy's u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, ... changed into plusses!

:I'm aware that this hypothesis needs much more ''Begründung'' before it eventually can be included in WP. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 18:27, 4. Jun. 2021 (CEST)

== Begründung der Artikeländerung 3. Jun. 2021 ==

Das Konzept ist hier seit 28. Mai gezeigt. An sechs Benutzer ist persönlich gefragt um (inhaltlich) Kommentar zu geben: niemand hat Einwände erhoben. Also: 'Konsens'.  Die Bemerkung in Fußnote 1, ist an andere Stelle 'nicht falsch' und 'wichtig' bewertet. (Aber 'unangemessen' im ersten Satz.) --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 21:02, 3. Jun. 2021 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ; ergänzter Vorschlag ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"] im Artikel “Summe”:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode, um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge ''definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

Vorschlag 9. Jun. 2021, anstatt die heutige Sektion "Reihe":

'''Unendlich summieren'''

Wenn's um ''unendlich'' viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n",  "Summe der Reihe mit Glieder a n",  oder auch (ohne Präzisierung) "Summe der Reihe".  
::<ref "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl). /ref>.

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe".  
::<ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>
::<ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100. /ref>

Zuweilen wird unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math> (ohne ∞) für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.
::<ref Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 2. Aufl. 1994 (auch 3. Aufl. 2009), Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22, Zeile 9.2 . /ref>

Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch
::<ref K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "''The quite customery designation ''sum'' for the value s of a series is nevertheless unfortunate. For s is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]'' " . /ref>
) nicht die ''Summe'', aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

--[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:12, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 [https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021].  Wer will also die (etwas aus der) obigen Änderungen platzieren?)

== "Eine solche Folge [..] wird als Reihe bezeichnet." ==

Satz 13 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]: Eine solche Folge von [[Partialsumme]]n über die Anfangsglieder einer Folge wird als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] bezeichnet.

Weil es unbestritten ist , dass JEDE Zahlenfolge (''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ...) Partialsummenfolge einer Folge (nämlich ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>−''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>3</sub>−''s''<sub>2</sub>, ...) ist, hat das Prädikat "Reihe" hier keinen spezifizierenden Inhalt. (Ist die Folge der Quadratzahlen "eine solche" Folge, und deshalb eine Reihe?)  Also meiner Vorschlag (15. Jun. 2021): dieser Satz 13 auslassen. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:51, 15. Jun. 2021 (CEST)

:{{ping|1234qwer1234qwer4}} Auf deiner Bemerkung [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Portal_Diskussion%3AMathematik&type=revision&diff=213115077&oldid=212994044 im Portal Diskussion:Mathematik, 19. Jun. 2021], danke :
:Die Bedeutung von "Prädikat" kann (ein wenig) variieren, scheint mir.  Bitte lese "hat das Prädikat "Reihe" " als:  "hat die Benennung (Bewertung) mit "Reihe" ". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:06, 20. Jun. 2021 (CEST)

::Bleiben meine Fragen:
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 3/4, 7/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, 1/4, 1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 1/4, 1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -1/4, -1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, -1/4, -1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -3/4, 1/8, ...). Usw.
::Oder ist es logischer Satz 13 einfach zu streichen? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:31, 20. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::: Wie ist es mit "...wird als Reihe dieser Folge bezeichnet"? [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 13:42, 21. Jun. 2021 (CEST)

::::{{ping|1234qwer1234qwer4}} Ja, das (oder etwas ähnliches) sieht man zuweilen. Mit das "eine solche Folge" etwas schärfer/expliziter formuliert, scheint mir z. B. geeignet: (Satz 13) "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet." --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:41, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::::Quellen, zu "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet."
::::– E. Fisher, [https://books.google.nl/books?id=WJrfBwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=nl&source=gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false ''Intermediate real analysis''], 1983, S. 151:  "''If <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math> is a real sequence, then the sequence <math display="inline">\,\langle S_n\rangle</math>, [...] is called the ''infinite series'' of terms of the sequence <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math>''."
::::– S. Haschler, [https://www.google.nl/search?num=100&hl=nl&ei=nTUiXPrABInNwAKsiLygBw&q=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&oq=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&gs_l=psy-ab.12...9683.12100..14954...0.0..0.99.553.8......0....1..gws-wiz.......0i22i30j33i160.MyuK8WdoQag schule 2005-06], S. 3 'Reihen': "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
::::– R. Mayer, [http://people.reed.edu/~mayer/math112.html/html2/node28.html ''Infinite series''], 2006 (Reed College),  "''<small><math>\,\sum</math></small> is actually a function that maps complex sequences to complex sequences.''"
::::– M. Veraar, [https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/Wiskundige_structuren_VI.1_Convergentie_van_Reeksen.pdf ''Wiskundige structuren (TU Delft)''], 2016, module 6.1:  "''Laat <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> een rij <small>[= Folge]</small> reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen <math display="inline">\,(s_n)_{n\ge0}\,</math> wordt de ''reeks'' <small>[= Reihe]</small> van <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> genoemd'' ".
::::– B. Keller, [https://puremath.ch/pdf/themen/analysis/Skript_Folgen_und_Reihen.pdf Folgen und Reihen] 2017 S. 4: "''Die Folge <math display="inline">(s_n)\,</math> [...] nennen wir ''Reihe der Folge <math display="inline">(a_n)\,</math>."
::::– J. Leydold, [http://statmath.wu.ac.at/~leydold/Mathematik_Grundlagen/download/Mathematik_Grundlagen_1.pdf Grundlagen] 2017, S. 34: "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
:::: --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 12:33, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])
::::Link der Quelle 'Fischer' verbessert. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 13:18, 22. Jun. 2021 (CEST)

=== "Die Reihe der Partialsummem ..." = "Die Folge der Partialsummen ..." ===
Satz 16 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]:  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit <math>s_1 = 1</math>, <math>s_2 = 5</math>, <math>s_3 = 14</math>.

Oftmals ist "Die Reihe einer Folge" zu lesen als "Die Partialsummenfolge dieser Folge". Hier aber nicht. Verwirrend.  
Also meiner Vorschlag (16. Jun. 2021): in Satz 16 nicht "Die Reihe der", aber modern "Die Folge der". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 16:05, 16. Jun. 2021 (CEST)
: "Reihe der Partialsummen" wäre eine Reihe von Reihen; das sollte in der Tat korrigiert werden. [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 00:11, 20. Jun. 2021 (CEST)

== Formale Definition ==

Ich halte diesen unbelegten Abschnitt für überarbeitungsbedürftig. Es wird die Notation <math>\sum_{i\in I}</math> für allgemeine Indexmengen <math>I</math> eingeführt. Wird so etwas wirklich gemacht? Quelle? Behandelt werden dann nur Spezialfälle. Außerdem geht der Autor des Abschnitts von <math>\sum_{i\in I} 0 = 0 </math> für überabzählbare Indexmengen aus. Quelle? Dies scheint mir das Grundproblem der Integration zu verkennen.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:07, 10. Sep. 2024 (CEST)

Diskussion:Summe

2024-09-10T08:53:21Z

Sigma^2: /* konkretes Beispiel für Gebrauch des Summenzeichens fehlt */

Diskussion:Summe

2024-09-10T08:52:12Z

Sigma^2: /* Müssen m und n natürlich/ganz/... sein? */

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}
== Das einfachste Beispiel ==
Wie würde das Summenzeichen ausschauen wenn man die Zahlen 1 bis 10 addieren will ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Ist das korrekt ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n*n = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385 </math>

Wie kann man das programmieren ?
*Siehe dazu: http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Rechnen#Das_Summenzeichen__programmieren <small>[in Klammern Unterschrift]</small>

Nein. Wie in diesem Artikel und auch hinter dem genannten Link erläutert, geht es nur so: <math>\sum_{n=1}^{10}n=1+2+\cdots+9+10=55 </math> Man beachte die Angabe der oberen Grenze. [[Benutzer:89.50.38.20|89.50.38.20]] 21:11, 9. Mär. 2007 (CET)
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:46, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Verrückte Summenzeichentricks ==
Das Summenzeichen verhält sich als Element innerhalb von mathematischen Formeln häufig recht ungewöhnlich. Als Beispiel gebe ich hier die Berechnung des ''Mittelwertes des Messergebnisses'', aus dem Themenkomplex [[Zufälliger Fehler]] an.

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (f(\bar x_1, \bar x_2) + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \Delta x_{1j} + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \Delta x_{2v}) </math>

Das vereinfacht sich zu

<math>\bar y = f(\bar x_1, \bar x_2) + {1 \over m} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \sum_{j=1}^m \Delta x_{1j} + {1 \over k} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \sum_{v=1}^k \Delta x_{2v}</math>

Ich schreib's nochmal mit einfacheren Koeffizienten:

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v ) = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

Ich find es komisch, wie das Summenzeichen hin- und hergeschoben werden kann, "wie's man gerade möchte". Zwei Summenzeichen sehen sich für mich wie zwei verschachtelte [[For-Schleife]]n aus.

Kann jemand auf die Rechenvorschriften bei Summenzeichen eingehen?

Danke, --[[Benutzer:Abdull|Abdull]] 14:41, 13. Jul 2005 (CEST)

: Wo ist jetzt der Unterschied zu zwei verschachtelten For-Schleifen? Mir ist Dein Problem nicht klar.--[[Benutzer Diskussion:Gunther|Gunther]] 14:45, 13. Jul 2005 (CEST)

:: Ah, ich bin jetzt selbst draufgekommen.

:: <math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v )</math>

:: <math> = {1 \over mk} \cdot ( \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (b x_j) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (c x_v))</math>

:: das ''a'' in der ersten Summengruppe verhält sich gegenüber beiden Summenzeichen als Konstante. ''bx<sub>j</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{v=1}^k</math>, ''cx<sub>v</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{j=1}^m</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + \sum_{j=1}^m (k \cdot b x_j) + \sum_{v=1}^k (m \cdot c x_v))</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + k \cdot b \sum_{j=1}^m (x_j) + m \cdot c \sum_{v=1}^k ( x_v))</math>

:: ausgeklammert...
::<math> = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

::... womit das die Lösung für mein anfängliches Problem wär'.

::Problematisch sind aber immer noch Variablen, die zwei Indizes haben, <math>x_{ij}</math>.

::Bemerkenswert finde ich, dass gilt: <math> \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k = \sum_{v=1}^k \sum_{j=1}^m </math>

::Gunther, zu meinem Vergleich mit For-Schleifen, da gilt: <math> \sum_{j=1}^3 \sum_{v=1}^3 (x_{jv}) = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{31} + x_{32} + x_{33} </math>

::... hum, was wollte ich eigentlich mit den For-Schleifen andeuten... weiß es jetzt schon garnicht mehr... naja, jedenfalls finde ich es schwierig, zwei Summenzeichen auf Variablen mit ''zwei Indizes'', eben wie <math>x_{ij}</math> anzuwenden. Aber mir scheint, als würde in solchen Momenten eine [[Taylorreihe]] zur Hilfe kommen, da man so die Variable von ihren zwei Indizes befreit, und daraus zwei Variablen mit jeweils einem Index macht. Dann sagt man: ''Taylor-Entwicklung um einen Punkt im <math>\mathbb{R}^{n}</math>'', wobei man als n die Anzahl der Indizes (hier 2, i und j) nimmt. Siehe auch [[Taylorreihe#Taylor-Entwicklung um einen Punkt im]].

;-) Kann mal einer eine einfache Annotation machen, was die Zeichen funktioniern:
^ > < Sum_
[Für jemanden, der in der Schule noch mit der Hand geschrieben hat!!!
z.B. °= Grad ]
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:48, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Müssen m und n natürlich/ganz/... sein? ==

Muss in der Summe <math>\sum_{k=m}^n a_k</math> Die Zahlen n und m natürlich sein? Im Text wird dort nur mit natürlichen Zahlen gerechnet, aber es wären für <math>n\notin\mathbb{N}</math> und/oder <math>m\notin\mathbb{N}</math> doch auch eine "Ausweichlösung" wie <math>\sum_{k=m}^n a_k:=\sum_{k=\lfloor m\rfloor}^{\lfloor n\rfloor} a_k</math> ( <math>\lfloor x \rfloor</math> ist die größte ganze Zahl kleiner als x) möglich...--[[Benutzer:217.250.250.137|217.250.250.137]] 16:48, 12. Feb. 2007 (CET)
:<math>\lfloor m\rfloor</math> und <math>\lfloor n\rfloor</math> sind doch ganzzahlig und somit durch die übliche Notation erfasst.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:52, 10. Sep. 2024 (CEST)
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:52, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Produkt zweier Summen ==

Gilt nicht auch das Cauchy-Produkt für Summen? Und sollte das dann nicht vielleicht auch noch in den Artikel?
:<math> (\sum_{n=0}^{m}a_n) (\sum_{n=0}^{i}b_n) = \sum_{n=0}^{m} (\sum_{j=0}^{n}a_j b_{n-j}) </math>

::Allein, dass links die freie Variable <math>i</math> steht, die rechts nicht erscheint, zeigt schon, dass diese Formel falsch ist. Man kann ja mal versuchen, eine korrekte Formel zu finden. Das ist nicht so einfach. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 19:51, 10. Mai 2009 (CEST)

== konkretes Beispiel für Gebrauch des Summenzeichens fehlt ==

Leider fehlt im Artikeltext ein konkretes Beispiel mit Zahlenwerten für den Gebrauch des Summenzeichens, der Einsteigern in die Materie den Zugang erleichtern würde, so wie einige auf der Diskussionsseite oben zu finden sind. Doch nicht jeder schaut dorthin. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:16, 1. Mär. 2008 (CET)

:Ich war so frei, ein Beispiel von dieser Seite dort etwas modifiziert zu übernehmen. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:24, 1. Mär. 2008 (CET)

== ausgeartete Summe ==

Zitat aus dem Text:

''Ferner hat es sich als nützlich erwiesen, für <math> n=m-1 </math> eine '''leere Summe''' zu definieren:''
:<math>\sum_{k=m}^{m-1}a_k := 0</math>

''Man beachte, dass dieses der einzige Fall mit <math>n<m</math> ist, der sinnvoll definiert werden kann. Im Gegensatz zur Integralnotation bleibt die Summe für n<m in allen anderen Fällen undefiniert.''

Wuerde ich nicht so schreiben, denn letztendlich bleibt es eine Definition, und es ist mir nicht klar, warum fuer n<m (allgemein fuer Summen ueber leere Indexmengen) <math>\sum_{k=m}^n=0</math> eine nicht sinnvolle Definition sein sollte. Wird auch oefters so definiert, siehe Beispielsweise [http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html hier] oder [http://www-m10.ma.tum.de/twiki/pub/Lehre/HoehereMathematik1/HM_1_2005_06_03_Reelle_Zahlen.pdf hier]
:Falsch für n<m-1: <math>\sum_{k=m}^n 1=n-(m-1)</math>, <math>n!=\prod_{k=1}^n k</math> u.v.a.m.

::Diese „Gegenbeispiele“ sind Stuss, man kann diese Formeln eben nicht auf ganze <math>n</math> erweitern. (Die Fakultät erst recht nicht.) Die spezielle Definition sieht sowieso nach Marke Eigenbau aus und gibt nicht den allgemeinen Konsens wieder.
::Auch bei leerer Indexmenge ist die Summe definiert und ist gleich dem Nullelement der Algebra, in der die Addition erklärt ist.
::Man überlegt sich schon gut, wann man was in „Grenzfällen“ definiert oder undefiniert lässt. Binomialkoeffizienten sind immer definiert: vgl. [[Binomialkoeffizient#Eigenschaften|hier]] – <math>0^0</math> hingegen nicht.
::Habs jetzt konventionsgemäß geändert. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 16:58, 8. Mai 2009 (CEST)

== Aussprache ==

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Könnte bitte noch Jemand etwas zur Aussprache des Summenzeichens schreiben. Danke.

:Summe über n von eins bis zehn. Objections? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]]

== Summe von 0 bis 0? ==

Kann das bitte jemand beantworten? Tippe zwar auf 1, aber bin mir alles andre als sicher... Danke.
-- [[Spezial:Beiträge/131.188.24.20|131.188.24.20]] 21:14, 7. Jun. 2009 (CEST)
:Die „Verwirrung“ liegt auch an der Sprechweise. Man sagt nicht einfach „Summe von 3 bis 5“, sondern etwa „Summe der natürlichen Zahlen von 3 bis 5“. Die „Summe (der ganzen Zahlen) von 0 bis 0“ ist gleich 0. (Diese Summe besteht nur aus einem Summanden, nämlich 0.) --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 00:33, 11. Jun. 2009 (CEST)

== Einleitende Definition fehlt ==
Bevor wir lossprudeln, was wir zum Thema so alles wissen, gehört an den Beginn jedes Artikels die Defintion. Und zwar vor die erste Überschrift, so dass sie über dem Inhaltsverzeichnis erscheint. Ich schlage vor: ''Unter einer Summe versteht man das Ergebnis einer Addition, einen Geldbetrag oder die Gesamtheit aller Dinge, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen.''. Gleichzeitig schlage ich vor, die Überschrift ''Wortgeschichte und -bedeutungen'' in ''Wortgeschichte'' zu ändern und darunter folgende zwei Sätze zu löschen: 1.) ''Im weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gemeinheit oder einen Inbegriff.'' sowie 2.) ''In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.''. Einwände? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]] 15:18, 10. Dez. 2009 (CET)

Leider wird im Artikel (bzw. in der einleitenden Definition) nicht zwischen Summe und Summenwert unterschieden. Die Summe ist lediglich der Term, der durch Addition zweier (oder mehrerer) Summanden gebildet wird. Das "Ergebnis" des Terms ist dann der Summenwert bzw. der Wert der Summe. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/46.244.214.217|46.244.214.217]] ([[Benutzer Diskussion:46.244.214.217|Diskussion]])<nowiki/> 11:13, 18. Jan. 2015 (CET))</small>

== Summe von Produkten ==

Gibt es für Summen von Produkttermen einen speziellen Namen? Insbesondere folgende Summe:
:<math>w(n) := 1 + n + [n\cdot(n-1)] + [n\cdot(n-1)\cdot(n-2)] + \ldots + [n!]</math>
Ich habe versucht, das in Summen- und Produktschreibweise zu notieren. Mein erster Versuch sah so aus:
:<math>w(n) = 1 + \sum_{k=0}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
Ob das so korrekt ist, weiß ich nicht, aber: Hat diese Summe w einen speziellen Namen? Irgendwie finde ich nix dazu in der WP. --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 07:43, 9. Mär. 2011 (CET)

: Ja, ist korrekt, könnte man aber auch als
:: <math>w(n) = \sum_{k=-1}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
: oder als
:: <math>w(n) = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}</math>
: schreiben. Einen Namen hat meines Wissens weder w, noch das allgemeine Konzept Summe von Produkten. --[[Benutzer:Daniel5Ko|Daniel5Ko]] 20:08, 9. Mär. 2011 (CET)

:: Hey, der Bruch mit den beiden Fakultäten gefällt mir. Cool, danke! Aber trotzdem seltsam, dass es dafür keinen Namen gibt… --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 22:26, 9. Mär. 2011 (CET)
:::Die Summe hat keinen eigenen Namen, aber den Quotienten <math>\frac{w(n)}{n!}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\colon H_n</math> nennt man „<math>n</math>-te [[harmonische Zahl]]“. --[[Benutzer Diskussion:FranzR|Franz]] 19:13, 31. Jul. 2014 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Literaturhinweise ==

Hi,

Wo kann man die Formale Definition nachlesen? Es wäre nützlich am Ende noch Literaturhinweise zu nennen in denen z.B. die angeführte Definition der Summe zu finden sind. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/92.224.5.164|92.224.5.164]] ([[Benutzer Diskussion:92.224.5.164|Diskussion]])<nowiki/> 21:52, 11. Apr. 2014 (CEST))</small>

== Lemma nicht exakt definiert? ==

Im Artikel-Punkt "Summe als Ergebnis einer Addition" steht:
* "In dem mathematischen [[Term]]:<math>2+3</math> heißen die Zahlen 2 und 3 [[Summand]]en. Der gesamte Term (gemeint muss sein: "<math>2+3</math> - d. Verf.) wird als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet."
Wenn diese beiden Aussagen stimmen, ist die Formulierung des Lemmas wohl "etwas schlampig" (umgangssprachlich). Hier steht:
* "Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition."
Exakt müsste es heißen (ganz in Übereinstimmung mit den eben zitierten Aussagen aus dem Artikelpunkt "Summe als Ergebnis einer Addition")
* ''Eine Summe ist in der Mathematik die Addition von Zahlen. Das Ergebnis einer Addition von Zahlen nennt man Summen-Wert.''
Zwar wird umgangssprachlich (schulisch) gesagt: "Summand + Summand = Summe." Aber exakterweise wird der Ausdruck "Summand + Summand" ''<u>zusammenfassend</u>'' mit "Summe" bezeichnet, aber das Ergebnis einer Summe (eines additiven Terms, Summenterms) nennt man exakterweise nicht "Summe", sondern "Summenwert" (so lese ich es in mancher Literatur) - nur verkürzt spricht man hier von "Summe".<small> Man könnte dann erläuternd etwa so weiterschreiben: ''Den ganzen Term aus Summe und Summen-Wert nennt man Summen-Aussage. Hingegen nennt man eine Summe einen Term (bzw. Summenterm). Denn "Aussage" meint in der Mathematik eine wahre oder eine falsche Äußerung (z. B. 3 + 4 = 12 Oder: 3 + 4 = 7). Aber die Äußerung "3 + 4" oder "3 + 4 =" kann weder wahr noch falsch genannt werden. Deshalb bezeichnet man z. B. "3 + 4" als Term, nicht als Aussagen.''</small>--[[Benutzer:Stefan B. Link|Stefan B. Link]] ([[Benutzer Diskussion:Stefan B. Link|Diskussion]]) 09:48, 19. Apr. 2014 (CEST)

== Wenn man keine Ahnung von der Summenschreibweise hat ==

In dem Text wird nirgends Bezug genommen, was eigentlich das i=1 unter dem Summenzeichen bedeutet.
Das sollte man nicht als bekannt voraus setzen. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/88.64.7.59|88.64.7.59]] ([[Benutzer Diskussion:88.64.7.59|Diskussion]])<nowiki/> 17:18, 21. Sep. 2014 (CEST))</small>

== Syntaktische Reichweite des \sum-Operators klarstellen ==

Im Artikel sollte klar werden, wie weit der <math>\sum</math>-Operator wirkt.
Z.B. ob <math>\sum_{i=0}^n i + 1</math> dasselbe meint wie <math>\sum_{i=0}^n (i + 1)</math> oder dasselbe wie <math>(\sum_{i=0}^n i) + 1</math>. Im ersten Fall ist Reichweite laengst-, im zweiten kuerzestmoeglich.

Die Konvention sollte wiki-weit einheitlich sein und auch einheitlich mit der fuer Quantoren, Lambda-Terme, Integrale (und wo sonst noch Variablenbindungen erfolgen). - [[Benutzer:Jochen Burghardt|Jochen Burghardt]] ([[Benutzer Diskussion:Jochen Burghardt|Diskussion]]) 10:12, 21. Feb. 2015 (CET)

:Bei der [[Präfixnotation|Operatornotation]] bindet der Operator normalerweise stärker als arithmetische Operationen, insofern ist

::<math>\sum_{i=0}^n i + 1 = \left(\sum_{i=0}^n i\right) + 1</math>.

:Wir bräuchten mal einen eigenen Artikel [[Summenzeichen]], wo auch die Notationsfragen geklärt werden. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 15:13, 21. Feb. 2015 (CET)

== Gaußklammer am Ende ==

Beim letzten Beispiel, dass eine Summe mit Obergrenze unendlich keine Reihe sein muss, wird die Klammer [] als Gaußklammer identifiziert, aber in welche Richtung? die Gaußklammer ist oben oder unter offen, diese ist geschlossen wie eine ganz normale Eckigeklammer. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/141.2.169.197|141.2.169.197]] ([[Benutzer Diskussion:141.2.169.197|Diskussion]])<nowiki/> 18:24, 8. Jul. 2015‎ (CEST))</small>

:Mit <math>[x]</math> ist die Abrundungsfunktion gemeint, siehe [[Gaußklammer]], zweiter Satz. --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 18:51, 8. Jul. 2015 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"]:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge '' definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

(Vorschlag 29 Mai 2021) '''Unendlich summieren'''

Wenn's um unendlich viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n" .

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (Formen) (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

(Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe"   <ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die högere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref> <ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100; siehe [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22Reihe+ist+ein+Zeichen+der+Form%22 snippet1], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge+%28sn%29%22 snippet2], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge%22 snippet3] /ref>)

(Oft wird nicht unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math>für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.)

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

{{ping|Kmhkmh}}, {{ping|Digamma}}, {{ping|Googolplexian1221}}, {{ping|Christian1985}}, {{ping|Haraldmmueller}}, {{ping|Sung Kyun Kwan}}   Wer gibt hier mit inhaltlicher Argumente belegt Kommentar? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:25, 28. Mai 2021 (CEST)

:'''Zwei Ergänzungen'''

:Einzelnachweise zu  <nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n">

:Noch immer auch "Summe der Reihe".   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).

:- Einzelnachweise zu  <Oft wird nicht unterschieden zwischen ...>

:Dieser Unterschied wird explizit genennt in:   - Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 1994, Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22 Grenzwerte, Stetigkeit. Zeile 9.2 . --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 10:02, 29. Mai 2021 (CEST)

:'''Und noch ein Dritter'''  unter <Oft wird nicht unterschieden ...>:

:Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch <ref sehe 'Fußnote' /ref>) nicht die ''Summe'' aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

:'Fußnote':  K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "The quite customery designation ''sum'' for the value ''s'' of a series is nevertheless unfortunate. For ''s'' is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]" .

:''Personal reflection, Hesselp's POV''.  I have a hypothesis on the origin of the 'unfortunate' use of "sum" instead of "limit"(Grenzwert). In the years/centuries before the introduction of the word "sequence"/"Folge" it was not at all unusual to use an expression with plusses: u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>+u<sub>3</sub>+... instead of comma's (or semicolons or just spaces): u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, ... . Both forms had the same meaning: series-in-traditional-sense (series<sup>His</sup>) / Reihe-im-traditionellen-Sinne (Reihe<sup>His</sup>). My collected documentation includes hundreds of copied pages showing examples. The language, English, French, German, (Dutch, Swedish) doesn't seem to make a difference on this point. More recent examples I showed [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Reihe_(Mathematik)#Neun_Quellen,_von_die_Beziehung_zwischen_den_Namen_'Reihe'_und_'Folge' here: Neun Quellen], numbers 2 - 10. The use of the plusses, and later on (less frequently) also the sigma-sign, is quite understandable when you realize that at that time the main (only?) purpose for this successions/progressions of numbers (or in extended form: power series / Taylor expansions) was: to describe ''irrational'' numbers. Not the convergence of ''terms'' was important but the convergence of ''sums''. The notation of the series<sup>His</sup> with plusses reflects that fact.

:The most striking example of the equivalence of the commas-notation and the plusses-notation I saw in Niels Abel's ''Untersuchungen über die [binomial]Reihe'' (1826), footnote p. 9. There Abel refers to Cauchy's ''Cours d'Analyse'' p.131, and gives within quotation marks, an exact translation of one of Cauchy's theorems. With only the comma's in Cauchy's u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, ... changed into plusses!

:I'm aware that this hypothesis needs much more ''Begründung'' before it eventually can be included in WP. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 18:27, 4. Jun. 2021 (CEST)

== Begründung der Artikeländerung 3. Jun. 2021 ==

Das Konzept ist hier seit 28. Mai gezeigt. An sechs Benutzer ist persönlich gefragt um (inhaltlich) Kommentar zu geben: niemand hat Einwände erhoben. Also: 'Konsens'.  Die Bemerkung in Fußnote 1, ist an andere Stelle 'nicht falsch' und 'wichtig' bewertet. (Aber 'unangemessen' im ersten Satz.) --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 21:02, 3. Jun. 2021 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ; ergänzter Vorschlag ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"] im Artikel “Summe”:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode, um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge ''definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

Vorschlag 9. Jun. 2021, anstatt die heutige Sektion "Reihe":

'''Unendlich summieren'''

Wenn's um ''unendlich'' viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n",  "Summe der Reihe mit Glieder a n",  oder auch (ohne Präzisierung) "Summe der Reihe".  
::<ref "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl). /ref>.

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe".  
::<ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>
::<ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100. /ref>

Zuweilen wird unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math> (ohne ∞) für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.
::<ref Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 2. Aufl. 1994 (auch 3. Aufl. 2009), Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22, Zeile 9.2 . /ref>

Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch
::<ref K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "''The quite customery designation ''sum'' for the value s of a series is nevertheless unfortunate. For s is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]'' " . /ref>
) nicht die ''Summe'', aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

--[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:12, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 [https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021].  Wer will also die (etwas aus der) obigen Änderungen platzieren?)

== "Eine solche Folge [..] wird als Reihe bezeichnet." ==

Satz 13 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]: Eine solche Folge von [[Partialsumme]]n über die Anfangsglieder einer Folge wird als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] bezeichnet.

Weil es unbestritten ist , dass JEDE Zahlenfolge (''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ...) Partialsummenfolge einer Folge (nämlich ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>−''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>3</sub>−''s''<sub>2</sub>, ...) ist, hat das Prädikat "Reihe" hier keinen spezifizierenden Inhalt. (Ist die Folge der Quadratzahlen "eine solche" Folge, und deshalb eine Reihe?)  Also meiner Vorschlag (15. Jun. 2021): dieser Satz 13 auslassen. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:51, 15. Jun. 2021 (CEST)

:{{ping|1234qwer1234qwer4}} Auf deiner Bemerkung [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Portal_Diskussion%3AMathematik&type=revision&diff=213115077&oldid=212994044 im Portal Diskussion:Mathematik, 19. Jun. 2021], danke :
:Die Bedeutung von "Prädikat" kann (ein wenig) variieren, scheint mir.  Bitte lese "hat das Prädikat "Reihe" " als:  "hat die Benennung (Bewertung) mit "Reihe" ". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:06, 20. Jun. 2021 (CEST)

::Bleiben meine Fragen:
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 3/4, 7/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, 1/4, 1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 1/4, 1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -1/4, -1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, -1/4, -1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -3/4, 1/8, ...). Usw.
::Oder ist es logischer Satz 13 einfach zu streichen? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:31, 20. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::: Wie ist es mit "...wird als Reihe dieser Folge bezeichnet"? [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 13:42, 21. Jun. 2021 (CEST)

::::{{ping|1234qwer1234qwer4}} Ja, das (oder etwas ähnliches) sieht man zuweilen. Mit das "eine solche Folge" etwas schärfer/expliziter formuliert, scheint mir z. B. geeignet: (Satz 13) "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet." --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:41, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::::Quellen, zu "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet."
::::– E. Fisher, [https://books.google.nl/books?id=WJrfBwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=nl&source=gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false ''Intermediate real analysis''], 1983, S. 151:  "''If <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math> is a real sequence, then the sequence <math display="inline">\,\langle S_n\rangle</math>, [...] is called the ''infinite series'' of terms of the sequence <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math>''."
::::– S. Haschler, [https://www.google.nl/search?num=100&hl=nl&ei=nTUiXPrABInNwAKsiLygBw&q=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&oq=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&gs_l=psy-ab.12...9683.12100..14954...0.0..0.99.553.8......0....1..gws-wiz.......0i22i30j33i160.MyuK8WdoQag schule 2005-06], S. 3 'Reihen': "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
::::– R. Mayer, [http://people.reed.edu/~mayer/math112.html/html2/node28.html ''Infinite series''], 2006 (Reed College),  "''<small><math>\,\sum</math></small> is actually a function that maps complex sequences to complex sequences.''"
::::– M. Veraar, [https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/Wiskundige_structuren_VI.1_Convergentie_van_Reeksen.pdf ''Wiskundige structuren (TU Delft)''], 2016, module 6.1:  "''Laat <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> een rij <small>[= Folge]</small> reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen <math display="inline">\,(s_n)_{n\ge0}\,</math> wordt de ''reeks'' <small>[= Reihe]</small> van <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> genoemd'' ".
::::– B. Keller, [https://puremath.ch/pdf/themen/analysis/Skript_Folgen_und_Reihen.pdf Folgen und Reihen] 2017 S. 4: "''Die Folge <math display="inline">(s_n)\,</math> [...] nennen wir ''Reihe der Folge <math display="inline">(a_n)\,</math>."
::::– J. Leydold, [http://statmath.wu.ac.at/~leydold/Mathematik_Grundlagen/download/Mathematik_Grundlagen_1.pdf Grundlagen] 2017, S. 34: "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
:::: --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 12:33, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])
::::Link der Quelle 'Fischer' verbessert. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 13:18, 22. Jun. 2021 (CEST)

=== "Die Reihe der Partialsummem ..." = "Die Folge der Partialsummen ..." ===
Satz 16 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]:  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit <math>s_1 = 1</math>, <math>s_2 = 5</math>, <math>s_3 = 14</math>.

Oftmals ist "Die Reihe einer Folge" zu lesen als "Die Partialsummenfolge dieser Folge". Hier aber nicht. Verwirrend.  
Also meiner Vorschlag (16. Jun. 2021): in Satz 16 nicht "Die Reihe der", aber modern "Die Folge der". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 16:05, 16. Jun. 2021 (CEST)
: "Reihe der Partialsummen" wäre eine Reihe von Reihen; das sollte in der Tat korrigiert werden. [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 00:11, 20. Jun. 2021 (CEST)

Diskussion:Summe

2024-09-10T08:48:06Z

Sigma^2: /* Verrückte Summenzeichentricks */

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}
== Das einfachste Beispiel ==
Wie würde das Summenzeichen ausschauen wenn man die Zahlen 1 bis 10 addieren will ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Ist das korrekt ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n*n = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385 </math>

Wie kann man das programmieren ?
*Siehe dazu: http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Rechnen#Das_Summenzeichen__programmieren <small>[in Klammern Unterschrift]</small>

Nein. Wie in diesem Artikel und auch hinter dem genannten Link erläutert, geht es nur so: <math>\sum_{n=1}^{10}n=1+2+\cdots+9+10=55 </math> Man beachte die Angabe der oberen Grenze. [[Benutzer:89.50.38.20|89.50.38.20]] 21:11, 9. Mär. 2007 (CET)
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:46, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Verrückte Summenzeichentricks ==
Das Summenzeichen verhält sich als Element innerhalb von mathematischen Formeln häufig recht ungewöhnlich. Als Beispiel gebe ich hier die Berechnung des ''Mittelwertes des Messergebnisses'', aus dem Themenkomplex [[Zufälliger Fehler]] an.

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (f(\bar x_1, \bar x_2) + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \Delta x_{1j} + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \Delta x_{2v}) </math>

Das vereinfacht sich zu

<math>\bar y = f(\bar x_1, \bar x_2) + {1 \over m} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \sum_{j=1}^m \Delta x_{1j} + {1 \over k} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \sum_{v=1}^k \Delta x_{2v}</math>

Ich schreib's nochmal mit einfacheren Koeffizienten:

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v ) = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

Ich find es komisch, wie das Summenzeichen hin- und hergeschoben werden kann, "wie's man gerade möchte". Zwei Summenzeichen sehen sich für mich wie zwei verschachtelte [[For-Schleife]]n aus.

Kann jemand auf die Rechenvorschriften bei Summenzeichen eingehen?

Danke, --[[Benutzer:Abdull|Abdull]] 14:41, 13. Jul 2005 (CEST)

: Wo ist jetzt der Unterschied zu zwei verschachtelten For-Schleifen? Mir ist Dein Problem nicht klar.--[[Benutzer Diskussion:Gunther|Gunther]] 14:45, 13. Jul 2005 (CEST)

:: Ah, ich bin jetzt selbst draufgekommen.

:: <math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v )</math>

:: <math> = {1 \over mk} \cdot ( \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (b x_j) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (c x_v))</math>

:: das ''a'' in der ersten Summengruppe verhält sich gegenüber beiden Summenzeichen als Konstante. ''bx<sub>j</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{v=1}^k</math>, ''cx<sub>v</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{j=1}^m</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + \sum_{j=1}^m (k \cdot b x_j) + \sum_{v=1}^k (m \cdot c x_v))</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + k \cdot b \sum_{j=1}^m (x_j) + m \cdot c \sum_{v=1}^k ( x_v))</math>

:: ausgeklammert...
::<math> = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

::... womit das die Lösung für mein anfängliches Problem wär'.

::Problematisch sind aber immer noch Variablen, die zwei Indizes haben, <math>x_{ij}</math>.

::Bemerkenswert finde ich, dass gilt: <math> \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k = \sum_{v=1}^k \sum_{j=1}^m </math>

::Gunther, zu meinem Vergleich mit For-Schleifen, da gilt: <math> \sum_{j=1}^3 \sum_{v=1}^3 (x_{jv}) = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{31} + x_{32} + x_{33} </math>

::... hum, was wollte ich eigentlich mit den For-Schleifen andeuten... weiß es jetzt schon garnicht mehr... naja, jedenfalls finde ich es schwierig, zwei Summenzeichen auf Variablen mit ''zwei Indizes'', eben wie <math>x_{ij}</math> anzuwenden. Aber mir scheint, als würde in solchen Momenten eine [[Taylorreihe]] zur Hilfe kommen, da man so die Variable von ihren zwei Indizes befreit, und daraus zwei Variablen mit jeweils einem Index macht. Dann sagt man: ''Taylor-Entwicklung um einen Punkt im <math>\mathbb{R}^{n}</math>'', wobei man als n die Anzahl der Indizes (hier 2, i und j) nimmt. Siehe auch [[Taylorreihe#Taylor-Entwicklung um einen Punkt im]].

;-) Kann mal einer eine einfache Annotation machen, was die Zeichen funktioniern:
^ > < Sum_
[Für jemanden, der in der Schule noch mit der Hand geschrieben hat!!!
z.B. °= Grad ]
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:48, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Müssen m und n natürlich/ganz/... sein? ==

Muss in der Summe <math>\sum_{k=m}^n a_k</math> Die Zahlen n und m natürlich sein? Im Text wird dort nur mit natürlichen Zahlen gerechnet, aber es wären für <math>n\notin\mathbb{N}</math> und/oder <math>m\notin\mathbb{N}</math> doch auch eine "Ausweichlösung" wie <math>\sum_{k=m}^n a_k:=\sum_{k=\lfloor m\rfloor}^{\lfloor n\rfloor} a_k</math> ( <math>\lfloor x \rfloor</math> ist die größte ganze Zahl kleiner als x) möglich...--[[Benutzer:217.250.250.137|217.250.250.137]] 16:48, 12. Feb. 2007 (CET)

== Produkt zweier Summen ==

Gilt nicht auch das Cauchy-Produkt für Summen? Und sollte das dann nicht vielleicht auch noch in den Artikel?
:<math> (\sum_{n=0}^{m}a_n) (\sum_{n=0}^{i}b_n) = \sum_{n=0}^{m} (\sum_{j=0}^{n}a_j b_{n-j}) </math>

::Allein, dass links die freie Variable <math>i</math> steht, die rechts nicht erscheint, zeigt schon, dass diese Formel falsch ist. Man kann ja mal versuchen, eine korrekte Formel zu finden. Das ist nicht so einfach. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 19:51, 10. Mai 2009 (CEST)

== konkretes Beispiel für Gebrauch des Summenzeichens fehlt ==

Leider fehlt im Artikeltext ein konkretes Beispiel mit Zahlenwerten für den Gebrauch des Summenzeichens, der Einsteigern in die Materie den Zugang erleichtern würde, so wie einige auf der Diskussionsseite oben zu finden sind. Doch nicht jeder schaut dorthin. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:16, 1. Mär. 2008 (CET)

:Ich war so frei, ein Beispiel von dieser Seite dort etwas modifiziert zu übernehmen. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:24, 1. Mär. 2008 (CET)

== ausgeartete Summe ==

Zitat aus dem Text:

''Ferner hat es sich als nützlich erwiesen, für <math> n=m-1 </math> eine '''leere Summe''' zu definieren:''
:<math>\sum_{k=m}^{m-1}a_k := 0</math>

''Man beachte, dass dieses der einzige Fall mit <math>n<m</math> ist, der sinnvoll definiert werden kann. Im Gegensatz zur Integralnotation bleibt die Summe für n<m in allen anderen Fällen undefiniert.''

Wuerde ich nicht so schreiben, denn letztendlich bleibt es eine Definition, und es ist mir nicht klar, warum fuer n<m (allgemein fuer Summen ueber leere Indexmengen) <math>\sum_{k=m}^n=0</math> eine nicht sinnvolle Definition sein sollte. Wird auch oefters so definiert, siehe Beispielsweise [http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html hier] oder [http://www-m10.ma.tum.de/twiki/pub/Lehre/HoehereMathematik1/HM_1_2005_06_03_Reelle_Zahlen.pdf hier]
:Falsch für n<m-1: <math>\sum_{k=m}^n 1=n-(m-1)</math>, <math>n!=\prod_{k=1}^n k</math> u.v.a.m.

::Diese „Gegenbeispiele“ sind Stuss, man kann diese Formeln eben nicht auf ganze <math>n</math> erweitern. (Die Fakultät erst recht nicht.) Die spezielle Definition sieht sowieso nach Marke Eigenbau aus und gibt nicht den allgemeinen Konsens wieder.
::Auch bei leerer Indexmenge ist die Summe definiert und ist gleich dem Nullelement der Algebra, in der die Addition erklärt ist.
::Man überlegt sich schon gut, wann man was in „Grenzfällen“ definiert oder undefiniert lässt. Binomialkoeffizienten sind immer definiert: vgl. [[Binomialkoeffizient#Eigenschaften|hier]] – <math>0^0</math> hingegen nicht.
::Habs jetzt konventionsgemäß geändert. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 16:58, 8. Mai 2009 (CEST)

== Aussprache ==

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Könnte bitte noch Jemand etwas zur Aussprache des Summenzeichens schreiben. Danke.

:Summe über n von eins bis zehn. Objections? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]]

== Summe von 0 bis 0? ==

Kann das bitte jemand beantworten? Tippe zwar auf 1, aber bin mir alles andre als sicher... Danke.
-- [[Spezial:Beiträge/131.188.24.20|131.188.24.20]] 21:14, 7. Jun. 2009 (CEST)
:Die „Verwirrung“ liegt auch an der Sprechweise. Man sagt nicht einfach „Summe von 3 bis 5“, sondern etwa „Summe der natürlichen Zahlen von 3 bis 5“. Die „Summe (der ganzen Zahlen) von 0 bis 0“ ist gleich 0. (Diese Summe besteht nur aus einem Summanden, nämlich 0.) --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 00:33, 11. Jun. 2009 (CEST)

== Einleitende Definition fehlt ==
Bevor wir lossprudeln, was wir zum Thema so alles wissen, gehört an den Beginn jedes Artikels die Defintion. Und zwar vor die erste Überschrift, so dass sie über dem Inhaltsverzeichnis erscheint. Ich schlage vor: ''Unter einer Summe versteht man das Ergebnis einer Addition, einen Geldbetrag oder die Gesamtheit aller Dinge, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen.''. Gleichzeitig schlage ich vor, die Überschrift ''Wortgeschichte und -bedeutungen'' in ''Wortgeschichte'' zu ändern und darunter folgende zwei Sätze zu löschen: 1.) ''Im weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gemeinheit oder einen Inbegriff.'' sowie 2.) ''In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.''. Einwände? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]] 15:18, 10. Dez. 2009 (CET)

Leider wird im Artikel (bzw. in der einleitenden Definition) nicht zwischen Summe und Summenwert unterschieden. Die Summe ist lediglich der Term, der durch Addition zweier (oder mehrerer) Summanden gebildet wird. Das "Ergebnis" des Terms ist dann der Summenwert bzw. der Wert der Summe. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/46.244.214.217|46.244.214.217]] ([[Benutzer Diskussion:46.244.214.217|Diskussion]])<nowiki/> 11:13, 18. Jan. 2015 (CET))</small>

== Summe von Produkten ==

Gibt es für Summen von Produkttermen einen speziellen Namen? Insbesondere folgende Summe:
:<math>w(n) := 1 + n + [n\cdot(n-1)] + [n\cdot(n-1)\cdot(n-2)] + \ldots + [n!]</math>
Ich habe versucht, das in Summen- und Produktschreibweise zu notieren. Mein erster Versuch sah so aus:
:<math>w(n) = 1 + \sum_{k=0}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
Ob das so korrekt ist, weiß ich nicht, aber: Hat diese Summe w einen speziellen Namen? Irgendwie finde ich nix dazu in der WP. --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 07:43, 9. Mär. 2011 (CET)

: Ja, ist korrekt, könnte man aber auch als
:: <math>w(n) = \sum_{k=-1}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
: oder als
:: <math>w(n) = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}</math>
: schreiben. Einen Namen hat meines Wissens weder w, noch das allgemeine Konzept Summe von Produkten. --[[Benutzer:Daniel5Ko|Daniel5Ko]] 20:08, 9. Mär. 2011 (CET)

:: Hey, der Bruch mit den beiden Fakultäten gefällt mir. Cool, danke! Aber trotzdem seltsam, dass es dafür keinen Namen gibt… --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 22:26, 9. Mär. 2011 (CET)
:::Die Summe hat keinen eigenen Namen, aber den Quotienten <math>\frac{w(n)}{n!}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\colon H_n</math> nennt man „<math>n</math>-te [[harmonische Zahl]]“. --[[Benutzer Diskussion:FranzR|Franz]] 19:13, 31. Jul. 2014 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Literaturhinweise ==

Hi,

Wo kann man die Formale Definition nachlesen? Es wäre nützlich am Ende noch Literaturhinweise zu nennen in denen z.B. die angeführte Definition der Summe zu finden sind. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/92.224.5.164|92.224.5.164]] ([[Benutzer Diskussion:92.224.5.164|Diskussion]])<nowiki/> 21:52, 11. Apr. 2014 (CEST))</small>

== Lemma nicht exakt definiert? ==

Im Artikel-Punkt "Summe als Ergebnis einer Addition" steht:
* "In dem mathematischen [[Term]]:<math>2+3</math> heißen die Zahlen 2 und 3 [[Summand]]en. Der gesamte Term (gemeint muss sein: "<math>2+3</math> - d. Verf.) wird als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet."
Wenn diese beiden Aussagen stimmen, ist die Formulierung des Lemmas wohl "etwas schlampig" (umgangssprachlich). Hier steht:
* "Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition."
Exakt müsste es heißen (ganz in Übereinstimmung mit den eben zitierten Aussagen aus dem Artikelpunkt "Summe als Ergebnis einer Addition")
* ''Eine Summe ist in der Mathematik die Addition von Zahlen. Das Ergebnis einer Addition von Zahlen nennt man Summen-Wert.''
Zwar wird umgangssprachlich (schulisch) gesagt: "Summand + Summand = Summe." Aber exakterweise wird der Ausdruck "Summand + Summand" ''<u>zusammenfassend</u>'' mit "Summe" bezeichnet, aber das Ergebnis einer Summe (eines additiven Terms, Summenterms) nennt man exakterweise nicht "Summe", sondern "Summenwert" (so lese ich es in mancher Literatur) - nur verkürzt spricht man hier von "Summe".<small> Man könnte dann erläuternd etwa so weiterschreiben: ''Den ganzen Term aus Summe und Summen-Wert nennt man Summen-Aussage. Hingegen nennt man eine Summe einen Term (bzw. Summenterm). Denn "Aussage" meint in der Mathematik eine wahre oder eine falsche Äußerung (z. B. 3 + 4 = 12 Oder: 3 + 4 = 7). Aber die Äußerung "3 + 4" oder "3 + 4 =" kann weder wahr noch falsch genannt werden. Deshalb bezeichnet man z. B. "3 + 4" als Term, nicht als Aussagen.''</small>--[[Benutzer:Stefan B. Link|Stefan B. Link]] ([[Benutzer Diskussion:Stefan B. Link|Diskussion]]) 09:48, 19. Apr. 2014 (CEST)

== Wenn man keine Ahnung von der Summenschreibweise hat ==

In dem Text wird nirgends Bezug genommen, was eigentlich das i=1 unter dem Summenzeichen bedeutet.
Das sollte man nicht als bekannt voraus setzen. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/88.64.7.59|88.64.7.59]] ([[Benutzer Diskussion:88.64.7.59|Diskussion]])<nowiki/> 17:18, 21. Sep. 2014 (CEST))</small>

== Syntaktische Reichweite des \sum-Operators klarstellen ==

Im Artikel sollte klar werden, wie weit der <math>\sum</math>-Operator wirkt.
Z.B. ob <math>\sum_{i=0}^n i + 1</math> dasselbe meint wie <math>\sum_{i=0}^n (i + 1)</math> oder dasselbe wie <math>(\sum_{i=0}^n i) + 1</math>. Im ersten Fall ist Reichweite laengst-, im zweiten kuerzestmoeglich.

Die Konvention sollte wiki-weit einheitlich sein und auch einheitlich mit der fuer Quantoren, Lambda-Terme, Integrale (und wo sonst noch Variablenbindungen erfolgen). - [[Benutzer:Jochen Burghardt|Jochen Burghardt]] ([[Benutzer Diskussion:Jochen Burghardt|Diskussion]]) 10:12, 21. Feb. 2015 (CET)

:Bei der [[Präfixnotation|Operatornotation]] bindet der Operator normalerweise stärker als arithmetische Operationen, insofern ist

::<math>\sum_{i=0}^n i + 1 = \left(\sum_{i=0}^n i\right) + 1</math>.

:Wir bräuchten mal einen eigenen Artikel [[Summenzeichen]], wo auch die Notationsfragen geklärt werden. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 15:13, 21. Feb. 2015 (CET)

== Gaußklammer am Ende ==

Beim letzten Beispiel, dass eine Summe mit Obergrenze unendlich keine Reihe sein muss, wird die Klammer [] als Gaußklammer identifiziert, aber in welche Richtung? die Gaußklammer ist oben oder unter offen, diese ist geschlossen wie eine ganz normale Eckigeklammer. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/141.2.169.197|141.2.169.197]] ([[Benutzer Diskussion:141.2.169.197|Diskussion]])<nowiki/> 18:24, 8. Jul. 2015‎ (CEST))</small>

:Mit <math>[x]</math> ist die Abrundungsfunktion gemeint, siehe [[Gaußklammer]], zweiter Satz. --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 18:51, 8. Jul. 2015 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"]:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge '' definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

(Vorschlag 29 Mai 2021) '''Unendlich summieren'''

Wenn's um unendlich viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n" .

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (Formen) (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

(Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe"   <ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die högere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref> <ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100; siehe [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22Reihe+ist+ein+Zeichen+der+Form%22 snippet1], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge+%28sn%29%22 snippet2], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge%22 snippet3] /ref>)

(Oft wird nicht unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math>für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.)

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

{{ping|Kmhkmh}}, {{ping|Digamma}}, {{ping|Googolplexian1221}}, {{ping|Christian1985}}, {{ping|Haraldmmueller}}, {{ping|Sung Kyun Kwan}}   Wer gibt hier mit inhaltlicher Argumente belegt Kommentar? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:25, 28. Mai 2021 (CEST)

:'''Zwei Ergänzungen'''

:Einzelnachweise zu  <nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n">

:Noch immer auch "Summe der Reihe".   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).

:- Einzelnachweise zu  <Oft wird nicht unterschieden zwischen ...>

:Dieser Unterschied wird explizit genennt in:   - Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 1994, Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22 Grenzwerte, Stetigkeit. Zeile 9.2 . --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 10:02, 29. Mai 2021 (CEST)

:'''Und noch ein Dritter'''  unter <Oft wird nicht unterschieden ...>:

:Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch <ref sehe 'Fußnote' /ref>) nicht die ''Summe'' aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

:'Fußnote':  K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "The quite customery designation ''sum'' for the value ''s'' of a series is nevertheless unfortunate. For ''s'' is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]" .

:''Personal reflection, Hesselp's POV''.  I have a hypothesis on the origin of the 'unfortunate' use of "sum" instead of "limit"(Grenzwert). In the years/centuries before the introduction of the word "sequence"/"Folge" it was not at all unusual to use an expression with plusses: u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>+u<sub>3</sub>+... instead of comma's (or semicolons or just spaces): u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, ... . Both forms had the same meaning: series-in-traditional-sense (series<sup>His</sup>) / Reihe-im-traditionellen-Sinne (Reihe<sup>His</sup>). My collected documentation includes hundreds of copied pages showing examples. The language, English, French, German, (Dutch, Swedish) doesn't seem to make a difference on this point. More recent examples I showed [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Reihe_(Mathematik)#Neun_Quellen,_von_die_Beziehung_zwischen_den_Namen_'Reihe'_und_'Folge' here: Neun Quellen], numbers 2 - 10. The use of the plusses, and later on (less frequently) also the sigma-sign, is quite understandable when you realize that at that time the main (only?) purpose for this successions/progressions of numbers (or in extended form: power series / Taylor expansions) was: to describe ''irrational'' numbers. Not the convergence of ''terms'' was important but the convergence of ''sums''. The notation of the series<sup>His</sup> with plusses reflects that fact.

:The most striking example of the equivalence of the commas-notation and the plusses-notation I saw in Niels Abel's ''Untersuchungen über die [binomial]Reihe'' (1826), footnote p. 9. There Abel refers to Cauchy's ''Cours d'Analyse'' p.131, and gives within quotation marks, an exact translation of one of Cauchy's theorems. With only the comma's in Cauchy's u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, ... changed into plusses!

:I'm aware that this hypothesis needs much more ''Begründung'' before it eventually can be included in WP. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 18:27, 4. Jun. 2021 (CEST)

== Begründung der Artikeländerung 3. Jun. 2021 ==

Das Konzept ist hier seit 28. Mai gezeigt. An sechs Benutzer ist persönlich gefragt um (inhaltlich) Kommentar zu geben: niemand hat Einwände erhoben. Also: 'Konsens'.  Die Bemerkung in Fußnote 1, ist an andere Stelle 'nicht falsch' und 'wichtig' bewertet. (Aber 'unangemessen' im ersten Satz.) --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 21:02, 3. Jun. 2021 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ; ergänzter Vorschlag ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"] im Artikel “Summe”:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode, um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge ''definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

Vorschlag 9. Jun. 2021, anstatt die heutige Sektion "Reihe":

'''Unendlich summieren'''

Wenn's um ''unendlich'' viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n",  "Summe der Reihe mit Glieder a n",  oder auch (ohne Präzisierung) "Summe der Reihe".  
::<ref "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl). /ref>.

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe".  
::<ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>
::<ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100. /ref>

Zuweilen wird unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math> (ohne ∞) für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.
::<ref Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 2. Aufl. 1994 (auch 3. Aufl. 2009), Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22, Zeile 9.2 . /ref>

Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch
::<ref K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "''The quite customery designation ''sum'' for the value s of a series is nevertheless unfortunate. For s is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]'' " . /ref>
) nicht die ''Summe'', aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

--[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:12, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 [https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021].  Wer will also die (etwas aus der) obigen Änderungen platzieren?)

== "Eine solche Folge [..] wird als Reihe bezeichnet." ==

Satz 13 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]: Eine solche Folge von [[Partialsumme]]n über die Anfangsglieder einer Folge wird als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] bezeichnet.

Weil es unbestritten ist , dass JEDE Zahlenfolge (''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ...) Partialsummenfolge einer Folge (nämlich ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>−''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>3</sub>−''s''<sub>2</sub>, ...) ist, hat das Prädikat "Reihe" hier keinen spezifizierenden Inhalt. (Ist die Folge der Quadratzahlen "eine solche" Folge, und deshalb eine Reihe?)  Also meiner Vorschlag (15. Jun. 2021): dieser Satz 13 auslassen. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:51, 15. Jun. 2021 (CEST)

:{{ping|1234qwer1234qwer4}} Auf deiner Bemerkung [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Portal_Diskussion%3AMathematik&type=revision&diff=213115077&oldid=212994044 im Portal Diskussion:Mathematik, 19. Jun. 2021], danke :
:Die Bedeutung von "Prädikat" kann (ein wenig) variieren, scheint mir.  Bitte lese "hat das Prädikat "Reihe" " als:  "hat die Benennung (Bewertung) mit "Reihe" ". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:06, 20. Jun. 2021 (CEST)

::Bleiben meine Fragen:
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 3/4, 7/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, 1/4, 1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 1/4, 1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -1/4, -1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, -1/4, -1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -3/4, 1/8, ...). Usw.
::Oder ist es logischer Satz 13 einfach zu streichen? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:31, 20. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::: Wie ist es mit "...wird als Reihe dieser Folge bezeichnet"? [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 13:42, 21. Jun. 2021 (CEST)

::::{{ping|1234qwer1234qwer4}} Ja, das (oder etwas ähnliches) sieht man zuweilen. Mit das "eine solche Folge" etwas schärfer/expliziter formuliert, scheint mir z. B. geeignet: (Satz 13) "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet." --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:41, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::::Quellen, zu "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet."
::::– E. Fisher, [https://books.google.nl/books?id=WJrfBwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=nl&source=gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false ''Intermediate real analysis''], 1983, S. 151:  "''If <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math> is a real sequence, then the sequence <math display="inline">\,\langle S_n\rangle</math>, [...] is called the ''infinite series'' of terms of the sequence <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math>''."
::::– S. Haschler, [https://www.google.nl/search?num=100&hl=nl&ei=nTUiXPrABInNwAKsiLygBw&q=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&oq=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&gs_l=psy-ab.12...9683.12100..14954...0.0..0.99.553.8......0....1..gws-wiz.......0i22i30j33i160.MyuK8WdoQag schule 2005-06], S. 3 'Reihen': "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
::::– R. Mayer, [http://people.reed.edu/~mayer/math112.html/html2/node28.html ''Infinite series''], 2006 (Reed College),  "''<small><math>\,\sum</math></small> is actually a function that maps complex sequences to complex sequences.''"
::::– M. Veraar, [https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/Wiskundige_structuren_VI.1_Convergentie_van_Reeksen.pdf ''Wiskundige structuren (TU Delft)''], 2016, module 6.1:  "''Laat <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> een rij <small>[= Folge]</small> reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen <math display="inline">\,(s_n)_{n\ge0}\,</math> wordt de ''reeks'' <small>[= Reihe]</small> van <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> genoemd'' ".
::::– B. Keller, [https://puremath.ch/pdf/themen/analysis/Skript_Folgen_und_Reihen.pdf Folgen und Reihen] 2017 S. 4: "''Die Folge <math display="inline">(s_n)\,</math> [...] nennen wir ''Reihe der Folge <math display="inline">(a_n)\,</math>."
::::– J. Leydold, [http://statmath.wu.ac.at/~leydold/Mathematik_Grundlagen/download/Mathematik_Grundlagen_1.pdf Grundlagen] 2017, S. 34: "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
:::: --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 12:33, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])
::::Link der Quelle 'Fischer' verbessert. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 13:18, 22. Jun. 2021 (CEST)

=== "Die Reihe der Partialsummem ..." = "Die Folge der Partialsummen ..." ===
Satz 16 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]:  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit <math>s_1 = 1</math>, <math>s_2 = 5</math>, <math>s_3 = 14</math>.

Oftmals ist "Die Reihe einer Folge" zu lesen als "Die Partialsummenfolge dieser Folge". Hier aber nicht. Verwirrend.  
Also meiner Vorschlag (16. Jun. 2021): in Satz 16 nicht "Die Reihe der", aber modern "Die Folge der". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 16:05, 16. Jun. 2021 (CEST)
: "Reihe der Partialsummen" wäre eine Reihe von Reihen; das sollte in der Tat korrigiert werden. [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 00:11, 20. Jun. 2021 (CEST)

Diskussion:Summe

2024-09-10T08:46:28Z

Sigma^2: /* Das einfachste Beispiel */

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}
== Das einfachste Beispiel ==
Wie würde das Summenzeichen ausschauen wenn man die Zahlen 1 bis 10 addieren will ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Ist das korrekt ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n*n = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385 </math>

Wie kann man das programmieren ?
*Siehe dazu: http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Rechnen#Das_Summenzeichen__programmieren <small>[in Klammern Unterschrift]</small>

Nein. Wie in diesem Artikel und auch hinter dem genannten Link erläutert, geht es nur so: <math>\sum_{n=1}^{10}n=1+2+\cdots+9+10=55 </math> Man beachte die Angabe der oberen Grenze. [[Benutzer:89.50.38.20|89.50.38.20]] 21:11, 9. Mär. 2007 (CET)
{{Erledigt|--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:46, 10. Sep. 2024 (CEST)}}

== Verrückte Summenzeichentricks ==
Das Summenzeichen verhält sich als Element innerhalb von mathematischen Formeln häufig recht ungewöhnlich. Als Beispiel gebe ich hier die Berechnung des ''Mittelwertes des Messergebnisses'', aus dem Themenkomplex [[Zufälliger Fehler]] an.

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (f(\bar x_1, \bar x_2) + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \Delta x_{1j} + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \Delta x_{2v}) </math>

Das vereinfacht sich zu

<math>\bar y = f(\bar x_1, \bar x_2) + {1 \over m} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \sum_{j=1}^m \Delta x_{1j} + {1 \over k} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \sum_{v=1}^k \Delta x_{2v}</math>

Ich schreib's nochmal mit einfacheren Koeffizienten:

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v ) = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

Ich find es komisch, wie das Summenzeichen hin- und hergeschoben werden kann, "wie's man gerade möchte". Zwei Summenzeichen sehen sich für mich wie zwei verschachtelte [[For-Schleife]]n aus.

Kann jemand auf die Rechenvorschriften bei Summenzeichen eingehen?

Danke, --[[Benutzer:Abdull|Abdull]] 14:41, 13. Jul 2005 (CEST)

: Wo ist jetzt der Unterschied zu zwei verschachtelten For-Schleifen? Mir ist Dein Problem nicht klar.--[[Benutzer Diskussion:Gunther|Gunther]] 14:45, 13. Jul 2005 (CEST)

:: Ah, ich bin jetzt selbst draufgekommen.

:: <math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v )</math>

:: <math> = {1 \over mk} \cdot ( \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (b x_j) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (c x_v))</math>

:: das ''a'' in der ersten Summengruppe verhält sich gegenüber beiden Summenzeichen als Konstante. ''bx<sub>j</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{v=1}^k</math>, ''cx<sub>v</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{j=1}^m</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + \sum_{j=1}^m (k \cdot b x_j) + \sum_{v=1}^k (m \cdot c x_v))</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + k \cdot b \sum_{j=1}^m (x_j) + m \cdot c \sum_{v=1}^k ( x_v))</math>

:: ausgeklammert...
::<math> = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

::... womit das die Lösung für mein anfängliches Problem wär'.

::Problematisch sind aber immer noch Variablen, die zwei Indizes haben, <math>x_{ij}</math>.

::Bemerkenswert finde ich, dass gilt: <math> \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k = \sum_{v=1}^k \sum_{j=1}^m </math>

::Gunther, zu meinem Vergleich mit For-Schleifen, da gilt: <math> \sum_{j=1}^3 \sum_{v=1}^3 (x_{jv}) = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{31} + x_{32} + x_{33} </math>

::... hum, was wollte ich eigentlich mit den For-Schleifen andeuten... weiß es jetzt schon garnicht mehr... naja, jedenfalls finde ich es schwierig, zwei Summenzeichen auf Variablen mit ''zwei Indizes'', eben wie <math>x_{ij}</math> anzuwenden. Aber mir scheint, als würde in solchen Momenten eine [[Taylorreihe]] zur Hilfe kommen, da man so die Variable von ihren zwei Indizes befreit, und daraus zwei Variablen mit jeweils einem Index macht. Dann sagt man: ''Taylor-Entwicklung um einen Punkt im <math>\mathbb{R}^{n}</math>'', wobei man als n die Anzahl der Indizes (hier 2, i und j) nimmt. Siehe auch [[Taylorreihe#Taylor-Entwicklung um einen Punkt im]].

;-) Kann mal einer eine einfache Annotation machen, was die Zeichen funktioniern:
^ > < Sum_
[Für jemanden, der in der Schule noch mit der Hand geschrieben hat!!!
z.B. °= Grad ]

== Müssen m und n natürlich/ganz/... sein? ==

Muss in der Summe <math>\sum_{k=m}^n a_k</math> Die Zahlen n und m natürlich sein? Im Text wird dort nur mit natürlichen Zahlen gerechnet, aber es wären für <math>n\notin\mathbb{N}</math> und/oder <math>m\notin\mathbb{N}</math> doch auch eine "Ausweichlösung" wie <math>\sum_{k=m}^n a_k:=\sum_{k=\lfloor m\rfloor}^{\lfloor n\rfloor} a_k</math> ( <math>\lfloor x \rfloor</math> ist die größte ganze Zahl kleiner als x) möglich...--[[Benutzer:217.250.250.137|217.250.250.137]] 16:48, 12. Feb. 2007 (CET)

== Produkt zweier Summen ==

Gilt nicht auch das Cauchy-Produkt für Summen? Und sollte das dann nicht vielleicht auch noch in den Artikel?
:<math> (\sum_{n=0}^{m}a_n) (\sum_{n=0}^{i}b_n) = \sum_{n=0}^{m} (\sum_{j=0}^{n}a_j b_{n-j}) </math>

::Allein, dass links die freie Variable <math>i</math> steht, die rechts nicht erscheint, zeigt schon, dass diese Formel falsch ist. Man kann ja mal versuchen, eine korrekte Formel zu finden. Das ist nicht so einfach. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 19:51, 10. Mai 2009 (CEST)

== konkretes Beispiel für Gebrauch des Summenzeichens fehlt ==

Leider fehlt im Artikeltext ein konkretes Beispiel mit Zahlenwerten für den Gebrauch des Summenzeichens, der Einsteigern in die Materie den Zugang erleichtern würde, so wie einige auf der Diskussionsseite oben zu finden sind. Doch nicht jeder schaut dorthin. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:16, 1. Mär. 2008 (CET)

:Ich war so frei, ein Beispiel von dieser Seite dort etwas modifiziert zu übernehmen. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:24, 1. Mär. 2008 (CET)

== ausgeartete Summe ==

Zitat aus dem Text:

''Ferner hat es sich als nützlich erwiesen, für <math> n=m-1 </math> eine '''leere Summe''' zu definieren:''
:<math>\sum_{k=m}^{m-1}a_k := 0</math>

''Man beachte, dass dieses der einzige Fall mit <math>n<m</math> ist, der sinnvoll definiert werden kann. Im Gegensatz zur Integralnotation bleibt die Summe für n<m in allen anderen Fällen undefiniert.''

Wuerde ich nicht so schreiben, denn letztendlich bleibt es eine Definition, und es ist mir nicht klar, warum fuer n<m (allgemein fuer Summen ueber leere Indexmengen) <math>\sum_{k=m}^n=0</math> eine nicht sinnvolle Definition sein sollte. Wird auch oefters so definiert, siehe Beispielsweise [http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html hier] oder [http://www-m10.ma.tum.de/twiki/pub/Lehre/HoehereMathematik1/HM_1_2005_06_03_Reelle_Zahlen.pdf hier]
:Falsch für n<m-1: <math>\sum_{k=m}^n 1=n-(m-1)</math>, <math>n!=\prod_{k=1}^n k</math> u.v.a.m.

::Diese „Gegenbeispiele“ sind Stuss, man kann diese Formeln eben nicht auf ganze <math>n</math> erweitern. (Die Fakultät erst recht nicht.) Die spezielle Definition sieht sowieso nach Marke Eigenbau aus und gibt nicht den allgemeinen Konsens wieder.
::Auch bei leerer Indexmenge ist die Summe definiert und ist gleich dem Nullelement der Algebra, in der die Addition erklärt ist.
::Man überlegt sich schon gut, wann man was in „Grenzfällen“ definiert oder undefiniert lässt. Binomialkoeffizienten sind immer definiert: vgl. [[Binomialkoeffizient#Eigenschaften|hier]] – <math>0^0</math> hingegen nicht.
::Habs jetzt konventionsgemäß geändert. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 16:58, 8. Mai 2009 (CEST)

== Aussprache ==

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Könnte bitte noch Jemand etwas zur Aussprache des Summenzeichens schreiben. Danke.

:Summe über n von eins bis zehn. Objections? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]]

== Summe von 0 bis 0? ==

Kann das bitte jemand beantworten? Tippe zwar auf 1, aber bin mir alles andre als sicher... Danke.
-- [[Spezial:Beiträge/131.188.24.20|131.188.24.20]] 21:14, 7. Jun. 2009 (CEST)
:Die „Verwirrung“ liegt auch an der Sprechweise. Man sagt nicht einfach „Summe von 3 bis 5“, sondern etwa „Summe der natürlichen Zahlen von 3 bis 5“. Die „Summe (der ganzen Zahlen) von 0 bis 0“ ist gleich 0. (Diese Summe besteht nur aus einem Summanden, nämlich 0.) --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 00:33, 11. Jun. 2009 (CEST)

== Einleitende Definition fehlt ==
Bevor wir lossprudeln, was wir zum Thema so alles wissen, gehört an den Beginn jedes Artikels die Defintion. Und zwar vor die erste Überschrift, so dass sie über dem Inhaltsverzeichnis erscheint. Ich schlage vor: ''Unter einer Summe versteht man das Ergebnis einer Addition, einen Geldbetrag oder die Gesamtheit aller Dinge, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen.''. Gleichzeitig schlage ich vor, die Überschrift ''Wortgeschichte und -bedeutungen'' in ''Wortgeschichte'' zu ändern und darunter folgende zwei Sätze zu löschen: 1.) ''Im weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gemeinheit oder einen Inbegriff.'' sowie 2.) ''In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.''. Einwände? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]] 15:18, 10. Dez. 2009 (CET)

Leider wird im Artikel (bzw. in der einleitenden Definition) nicht zwischen Summe und Summenwert unterschieden. Die Summe ist lediglich der Term, der durch Addition zweier (oder mehrerer) Summanden gebildet wird. Das "Ergebnis" des Terms ist dann der Summenwert bzw. der Wert der Summe. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/46.244.214.217|46.244.214.217]] ([[Benutzer Diskussion:46.244.214.217|Diskussion]])<nowiki/> 11:13, 18. Jan. 2015 (CET))</small>

== Summe von Produkten ==

Gibt es für Summen von Produkttermen einen speziellen Namen? Insbesondere folgende Summe:
:<math>w(n) := 1 + n + [n\cdot(n-1)] + [n\cdot(n-1)\cdot(n-2)] + \ldots + [n!]</math>
Ich habe versucht, das in Summen- und Produktschreibweise zu notieren. Mein erster Versuch sah so aus:
:<math>w(n) = 1 + \sum_{k=0}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
Ob das so korrekt ist, weiß ich nicht, aber: Hat diese Summe w einen speziellen Namen? Irgendwie finde ich nix dazu in der WP. --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 07:43, 9. Mär. 2011 (CET)

: Ja, ist korrekt, könnte man aber auch als
:: <math>w(n) = \sum_{k=-1}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
: oder als
:: <math>w(n) = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}</math>
: schreiben. Einen Namen hat meines Wissens weder w, noch das allgemeine Konzept Summe von Produkten. --[[Benutzer:Daniel5Ko|Daniel5Ko]] 20:08, 9. Mär. 2011 (CET)

:: Hey, der Bruch mit den beiden Fakultäten gefällt mir. Cool, danke! Aber trotzdem seltsam, dass es dafür keinen Namen gibt… --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 22:26, 9. Mär. 2011 (CET)
:::Die Summe hat keinen eigenen Namen, aber den Quotienten <math>\frac{w(n)}{n!}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\colon H_n</math> nennt man „<math>n</math>-te [[harmonische Zahl]]“. --[[Benutzer Diskussion:FranzR|Franz]] 19:13, 31. Jul. 2014 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Literaturhinweise ==

Hi,

Wo kann man die Formale Definition nachlesen? Es wäre nützlich am Ende noch Literaturhinweise zu nennen in denen z.B. die angeführte Definition der Summe zu finden sind. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/92.224.5.164|92.224.5.164]] ([[Benutzer Diskussion:92.224.5.164|Diskussion]])<nowiki/> 21:52, 11. Apr. 2014 (CEST))</small>

== Lemma nicht exakt definiert? ==

Im Artikel-Punkt "Summe als Ergebnis einer Addition" steht:
* "In dem mathematischen [[Term]]:<math>2+3</math> heißen die Zahlen 2 und 3 [[Summand]]en. Der gesamte Term (gemeint muss sein: "<math>2+3</math> - d. Verf.) wird als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet."
Wenn diese beiden Aussagen stimmen, ist die Formulierung des Lemmas wohl "etwas schlampig" (umgangssprachlich). Hier steht:
* "Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition."
Exakt müsste es heißen (ganz in Übereinstimmung mit den eben zitierten Aussagen aus dem Artikelpunkt "Summe als Ergebnis einer Addition")
* ''Eine Summe ist in der Mathematik die Addition von Zahlen. Das Ergebnis einer Addition von Zahlen nennt man Summen-Wert.''
Zwar wird umgangssprachlich (schulisch) gesagt: "Summand + Summand = Summe." Aber exakterweise wird der Ausdruck "Summand + Summand" ''<u>zusammenfassend</u>'' mit "Summe" bezeichnet, aber das Ergebnis einer Summe (eines additiven Terms, Summenterms) nennt man exakterweise nicht "Summe", sondern "Summenwert" (so lese ich es in mancher Literatur) - nur verkürzt spricht man hier von "Summe".<small> Man könnte dann erläuternd etwa so weiterschreiben: ''Den ganzen Term aus Summe und Summen-Wert nennt man Summen-Aussage. Hingegen nennt man eine Summe einen Term (bzw. Summenterm). Denn "Aussage" meint in der Mathematik eine wahre oder eine falsche Äußerung (z. B. 3 + 4 = 12 Oder: 3 + 4 = 7). Aber die Äußerung "3 + 4" oder "3 + 4 =" kann weder wahr noch falsch genannt werden. Deshalb bezeichnet man z. B. "3 + 4" als Term, nicht als Aussagen.''</small>--[[Benutzer:Stefan B. Link|Stefan B. Link]] ([[Benutzer Diskussion:Stefan B. Link|Diskussion]]) 09:48, 19. Apr. 2014 (CEST)

== Wenn man keine Ahnung von der Summenschreibweise hat ==

In dem Text wird nirgends Bezug genommen, was eigentlich das i=1 unter dem Summenzeichen bedeutet.
Das sollte man nicht als bekannt voraus setzen. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/88.64.7.59|88.64.7.59]] ([[Benutzer Diskussion:88.64.7.59|Diskussion]])<nowiki/> 17:18, 21. Sep. 2014 (CEST))</small>

== Syntaktische Reichweite des \sum-Operators klarstellen ==

Im Artikel sollte klar werden, wie weit der <math>\sum</math>-Operator wirkt.
Z.B. ob <math>\sum_{i=0}^n i + 1</math> dasselbe meint wie <math>\sum_{i=0}^n (i + 1)</math> oder dasselbe wie <math>(\sum_{i=0}^n i) + 1</math>. Im ersten Fall ist Reichweite laengst-, im zweiten kuerzestmoeglich.

Die Konvention sollte wiki-weit einheitlich sein und auch einheitlich mit der fuer Quantoren, Lambda-Terme, Integrale (und wo sonst noch Variablenbindungen erfolgen). - [[Benutzer:Jochen Burghardt|Jochen Burghardt]] ([[Benutzer Diskussion:Jochen Burghardt|Diskussion]]) 10:12, 21. Feb. 2015 (CET)

:Bei der [[Präfixnotation|Operatornotation]] bindet der Operator normalerweise stärker als arithmetische Operationen, insofern ist

::<math>\sum_{i=0}^n i + 1 = \left(\sum_{i=0}^n i\right) + 1</math>.

:Wir bräuchten mal einen eigenen Artikel [[Summenzeichen]], wo auch die Notationsfragen geklärt werden. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 15:13, 21. Feb. 2015 (CET)

== Gaußklammer am Ende ==

Beim letzten Beispiel, dass eine Summe mit Obergrenze unendlich keine Reihe sein muss, wird die Klammer [] als Gaußklammer identifiziert, aber in welche Richtung? die Gaußklammer ist oben oder unter offen, diese ist geschlossen wie eine ganz normale Eckigeklammer. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/141.2.169.197|141.2.169.197]] ([[Benutzer Diskussion:141.2.169.197|Diskussion]])<nowiki/> 18:24, 8. Jul. 2015‎ (CEST))</small>

:Mit <math>[x]</math> ist die Abrundungsfunktion gemeint, siehe [[Gaußklammer]], zweiter Satz. --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 18:51, 8. Jul. 2015 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"]:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge '' definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

(Vorschlag 29 Mai 2021) '''Unendlich summieren'''

Wenn's um unendlich viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n" .

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (Formen) (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

(Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe"   <ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die högere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref> <ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100; siehe [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22Reihe+ist+ein+Zeichen+der+Form%22 snippet1], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge+%28sn%29%22 snippet2], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge%22 snippet3] /ref>)

(Oft wird nicht unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math>für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.)

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

{{ping|Kmhkmh}}, {{ping|Digamma}}, {{ping|Googolplexian1221}}, {{ping|Christian1985}}, {{ping|Haraldmmueller}}, {{ping|Sung Kyun Kwan}}   Wer gibt hier mit inhaltlicher Argumente belegt Kommentar? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:25, 28. Mai 2021 (CEST)

:'''Zwei Ergänzungen'''

:Einzelnachweise zu  <nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n">

:Noch immer auch "Summe der Reihe".   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).

:- Einzelnachweise zu  <Oft wird nicht unterschieden zwischen ...>

:Dieser Unterschied wird explizit genennt in:   - Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 1994, Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22 Grenzwerte, Stetigkeit. Zeile 9.2 . --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 10:02, 29. Mai 2021 (CEST)

:'''Und noch ein Dritter'''  unter <Oft wird nicht unterschieden ...>:

:Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch <ref sehe 'Fußnote' /ref>) nicht die ''Summe'' aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

:'Fußnote':  K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "The quite customery designation ''sum'' for the value ''s'' of a series is nevertheless unfortunate. For ''s'' is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]" .

:''Personal reflection, Hesselp's POV''.  I have a hypothesis on the origin of the 'unfortunate' use of "sum" instead of "limit"(Grenzwert). In the years/centuries before the introduction of the word "sequence"/"Folge" it was not at all unusual to use an expression with plusses: u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>+u<sub>3</sub>+... instead of comma's (or semicolons or just spaces): u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, ... . Both forms had the same meaning: series-in-traditional-sense (series<sup>His</sup>) / Reihe-im-traditionellen-Sinne (Reihe<sup>His</sup>). My collected documentation includes hundreds of copied pages showing examples. The language, English, French, German, (Dutch, Swedish) doesn't seem to make a difference on this point. More recent examples I showed [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Reihe_(Mathematik)#Neun_Quellen,_von_die_Beziehung_zwischen_den_Namen_'Reihe'_und_'Folge' here: Neun Quellen], numbers 2 - 10. The use of the plusses, and later on (less frequently) also the sigma-sign, is quite understandable when you realize that at that time the main (only?) purpose for this successions/progressions of numbers (or in extended form: power series / Taylor expansions) was: to describe ''irrational'' numbers. Not the convergence of ''terms'' was important but the convergence of ''sums''. The notation of the series<sup>His</sup> with plusses reflects that fact.

:The most striking example of the equivalence of the commas-notation and the plusses-notation I saw in Niels Abel's ''Untersuchungen über die [binomial]Reihe'' (1826), footnote p. 9. There Abel refers to Cauchy's ''Cours d'Analyse'' p.131, and gives within quotation marks, an exact translation of one of Cauchy's theorems. With only the comma's in Cauchy's u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, ... changed into plusses!

:I'm aware that this hypothesis needs much more ''Begründung'' before it eventually can be included in WP. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 18:27, 4. Jun. 2021 (CEST)

== Begründung der Artikeländerung 3. Jun. 2021 ==

Das Konzept ist hier seit 28. Mai gezeigt. An sechs Benutzer ist persönlich gefragt um (inhaltlich) Kommentar zu geben: niemand hat Einwände erhoben. Also: 'Konsens'.  Die Bemerkung in Fußnote 1, ist an andere Stelle 'nicht falsch' und 'wichtig' bewertet. (Aber 'unangemessen' im ersten Satz.) --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 21:02, 3. Jun. 2021 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ; ergänzter Vorschlag ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"] im Artikel “Summe”:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode, um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge ''definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

Vorschlag 9. Jun. 2021, anstatt die heutige Sektion "Reihe":

'''Unendlich summieren'''

Wenn's um ''unendlich'' viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n",  "Summe der Reihe mit Glieder a n",  oder auch (ohne Präzisierung) "Summe der Reihe".  
::<ref "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl). /ref>.

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe".  
::<ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>
::<ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100. /ref>

Zuweilen wird unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math> (ohne ∞) für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.
::<ref Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 2. Aufl. 1994 (auch 3. Aufl. 2009), Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22, Zeile 9.2 . /ref>

Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch
::<ref K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "''The quite customery designation ''sum'' for the value s of a series is nevertheless unfortunate. For s is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]'' " . /ref>
) nicht die ''Summe'', aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

--[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:12, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 [https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021].  Wer will also die (etwas aus der) obigen Änderungen platzieren?)

== "Eine solche Folge [..] wird als Reihe bezeichnet." ==

Satz 13 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]: Eine solche Folge von [[Partialsumme]]n über die Anfangsglieder einer Folge wird als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] bezeichnet.

Weil es unbestritten ist , dass JEDE Zahlenfolge (''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ...) Partialsummenfolge einer Folge (nämlich ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>−''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>3</sub>−''s''<sub>2</sub>, ...) ist, hat das Prädikat "Reihe" hier keinen spezifizierenden Inhalt. (Ist die Folge der Quadratzahlen "eine solche" Folge, und deshalb eine Reihe?)  Also meiner Vorschlag (15. Jun. 2021): dieser Satz 13 auslassen. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:51, 15. Jun. 2021 (CEST)

:{{ping|1234qwer1234qwer4}} Auf deiner Bemerkung [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Portal_Diskussion%3AMathematik&type=revision&diff=213115077&oldid=212994044 im Portal Diskussion:Mathematik, 19. Jun. 2021], danke :
:Die Bedeutung von "Prädikat" kann (ein wenig) variieren, scheint mir.  Bitte lese "hat das Prädikat "Reihe" " als:  "hat die Benennung (Bewertung) mit "Reihe" ". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:06, 20. Jun. 2021 (CEST)

::Bleiben meine Fragen:
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 3/4, 7/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, 1/4, 1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 1/4, 1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -1/4, -1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, -1/4, -1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -3/4, 1/8, ...). Usw.
::Oder ist es logischer Satz 13 einfach zu streichen? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:31, 20. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::: Wie ist es mit "...wird als Reihe dieser Folge bezeichnet"? [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 13:42, 21. Jun. 2021 (CEST)

::::{{ping|1234qwer1234qwer4}} Ja, das (oder etwas ähnliches) sieht man zuweilen. Mit das "eine solche Folge" etwas schärfer/expliziter formuliert, scheint mir z. B. geeignet: (Satz 13) "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet." --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:41, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::::Quellen, zu "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet."
::::– E. Fisher, [https://books.google.nl/books?id=WJrfBwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=nl&source=gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false ''Intermediate real analysis''], 1983, S. 151:  "''If <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math> is a real sequence, then the sequence <math display="inline">\,\langle S_n\rangle</math>, [...] is called the ''infinite series'' of terms of the sequence <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math>''."
::::– S. Haschler, [https://www.google.nl/search?num=100&hl=nl&ei=nTUiXPrABInNwAKsiLygBw&q=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&oq=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&gs_l=psy-ab.12...9683.12100..14954...0.0..0.99.553.8......0....1..gws-wiz.......0i22i30j33i160.MyuK8WdoQag schule 2005-06], S. 3 'Reihen': "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
::::– R. Mayer, [http://people.reed.edu/~mayer/math112.html/html2/node28.html ''Infinite series''], 2006 (Reed College),  "''<small><math>\,\sum</math></small> is actually a function that maps complex sequences to complex sequences.''"
::::– M. Veraar, [https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/Wiskundige_structuren_VI.1_Convergentie_van_Reeksen.pdf ''Wiskundige structuren (TU Delft)''], 2016, module 6.1:  "''Laat <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> een rij <small>[= Folge]</small> reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen <math display="inline">\,(s_n)_{n\ge0}\,</math> wordt de ''reeks'' <small>[= Reihe]</small> van <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> genoemd'' ".
::::– B. Keller, [https://puremath.ch/pdf/themen/analysis/Skript_Folgen_und_Reihen.pdf Folgen und Reihen] 2017 S. 4: "''Die Folge <math display="inline">(s_n)\,</math> [...] nennen wir ''Reihe der Folge <math display="inline">(a_n)\,</math>."
::::– J. Leydold, [http://statmath.wu.ac.at/~leydold/Mathematik_Grundlagen/download/Mathematik_Grundlagen_1.pdf Grundlagen] 2017, S. 34: "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
:::: --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 12:33, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])
::::Link der Quelle 'Fischer' verbessert. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 13:18, 22. Jun. 2021 (CEST)

=== "Die Reihe der Partialsummem ..." = "Die Folge der Partialsummen ..." ===
Satz 16 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]:  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit <math>s_1 = 1</math>, <math>s_2 = 5</math>, <math>s_3 = 14</math>.

Oftmals ist "Die Reihe einer Folge" zu lesen als "Die Partialsummenfolge dieser Folge". Hier aber nicht. Verwirrend.  
Also meiner Vorschlag (16. Jun. 2021): in Satz 16 nicht "Die Reihe der", aber modern "Die Folge der". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 16:05, 16. Jun. 2021 (CEST)
: "Reihe der Partialsummen" wäre eine Reihe von Reihen; das sollte in der Tat korrigiert werden. [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 00:11, 20. Jun. 2021 (CEST)

Diskussion:Summe

2024-09-10T08:45:50Z

Sigma^2: Archiv eingerichtet

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}
== Das einfachste Beispiel ==
Wie würde das Summenzeichen ausschauen wenn man die Zahlen 1 bis 10 addieren will ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Ist das korrekt ?

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n*n = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385 </math>

Wie kann man das programmieren ?
*Siehe dazu: http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Rechnen#Das_Summenzeichen__programmieren <small>[in Klammern Unterschrift]</small>

Nein. Wie in diesem Artikel und auch hinter dem genannten Link erläutert, geht es nur so: <math>\sum_{n=1}^{10}n=1+2+\cdots+9+10=55 </math> Man beachte die Angabe der oberen Grenze. [[Benutzer:89.50.38.20|89.50.38.20]] 21:11, 9. Mär. 2007 (CET)

== Verrückte Summenzeichentricks ==
Das Summenzeichen verhält sich als Element innerhalb von mathematischen Formeln häufig recht ungewöhnlich. Als Beispiel gebe ich hier die Berechnung des ''Mittelwertes des Messergebnisses'', aus dem Themenkomplex [[Zufälliger Fehler]] an.

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (f(\bar x_1, \bar x_2) + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \Delta x_{1j} + {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \Delta x_{2v}) </math>

Das vereinfacht sich zu

<math>\bar y = f(\bar x_1, \bar x_2) + {1 \over m} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_1} \sum_{j=1}^m \Delta x_{1j} + {1 \over k} \cdot {\delta f(\bar x_1, \bar x_2) \over \delta x_2} \sum_{v=1}^k \Delta x_{2v}</math>

Ich schreib's nochmal mit einfacheren Koeffizienten:

<math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v ) = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

Ich find es komisch, wie das Summenzeichen hin- und hergeschoben werden kann, "wie's man gerade möchte". Zwei Summenzeichen sehen sich für mich wie zwei verschachtelte [[For-Schleife]]n aus.

Kann jemand auf die Rechenvorschriften bei Summenzeichen eingehen?

Danke, --[[Benutzer:Abdull|Abdull]] 14:41, 13. Jul 2005 (CEST)

: Wo ist jetzt der Unterschied zu zwei verschachtelten For-Schleifen? Mir ist Dein Problem nicht klar.--[[Benutzer Diskussion:Gunther|Gunther]] 14:45, 13. Jul 2005 (CEST)

:: Ah, ich bin jetzt selbst draufgekommen.

:: <math>\bar y = {1 \over m} \cdot {1 \over k} \cdot \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a + b x_j + c x_v )</math>

:: <math> = {1 \over mk} \cdot ( \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (a) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (b x_j) + \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k (c x_v))</math>

:: das ''a'' in der ersten Summengruppe verhält sich gegenüber beiden Summenzeichen als Konstante. ''bx<sub>j</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{v=1}^k</math>, ''cx<sub>v</sub>'' verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen <math>\sum_{j=1}^m</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + \sum_{j=1}^m (k \cdot b x_j) + \sum_{v=1}^k (m \cdot c x_v))</math>

::<math> = {1 \over mk} \cdot ( mk \cdot a + k \cdot b \sum_{j=1}^m (x_j) + m \cdot c \sum_{v=1}^k ( x_v))</math>

:: ausgeklammert...
::<math> = a + {1 \over m} b \sum_{j=1}^m x_j + {1 \over k} c \sum_{v=1}^k x_v</math>

::... womit das die Lösung für mein anfängliches Problem wär'.

::Problematisch sind aber immer noch Variablen, die zwei Indizes haben, <math>x_{ij}</math>.

::Bemerkenswert finde ich, dass gilt: <math> \sum_{j=1}^m \sum_{v=1}^k = \sum_{v=1}^k \sum_{j=1}^m </math>

::Gunther, zu meinem Vergleich mit For-Schleifen, da gilt: <math> \sum_{j=1}^3 \sum_{v=1}^3 (x_{jv}) = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{31} + x_{32} + x_{33} </math>

::... hum, was wollte ich eigentlich mit den For-Schleifen andeuten... weiß es jetzt schon garnicht mehr... naja, jedenfalls finde ich es schwierig, zwei Summenzeichen auf Variablen mit ''zwei Indizes'', eben wie <math>x_{ij}</math> anzuwenden. Aber mir scheint, als würde in solchen Momenten eine [[Taylorreihe]] zur Hilfe kommen, da man so die Variable von ihren zwei Indizes befreit, und daraus zwei Variablen mit jeweils einem Index macht. Dann sagt man: ''Taylor-Entwicklung um einen Punkt im <math>\mathbb{R}^{n}</math>'', wobei man als n die Anzahl der Indizes (hier 2, i und j) nimmt. Siehe auch [[Taylorreihe#Taylor-Entwicklung um einen Punkt im]].

;-) Kann mal einer eine einfache Annotation machen, was die Zeichen funktioniern:
^ > < Sum_
[Für jemanden, der in der Schule noch mit der Hand geschrieben hat!!!
z.B. °= Grad ]

== Müssen m und n natürlich/ganz/... sein? ==

Muss in der Summe <math>\sum_{k=m}^n a_k</math> Die Zahlen n und m natürlich sein? Im Text wird dort nur mit natürlichen Zahlen gerechnet, aber es wären für <math>n\notin\mathbb{N}</math> und/oder <math>m\notin\mathbb{N}</math> doch auch eine "Ausweichlösung" wie <math>\sum_{k=m}^n a_k:=\sum_{k=\lfloor m\rfloor}^{\lfloor n\rfloor} a_k</math> ( <math>\lfloor x \rfloor</math> ist die größte ganze Zahl kleiner als x) möglich...--[[Benutzer:217.250.250.137|217.250.250.137]] 16:48, 12. Feb. 2007 (CET)

== Produkt zweier Summen ==

Gilt nicht auch das Cauchy-Produkt für Summen? Und sollte das dann nicht vielleicht auch noch in den Artikel?
:<math> (\sum_{n=0}^{m}a_n) (\sum_{n=0}^{i}b_n) = \sum_{n=0}^{m} (\sum_{j=0}^{n}a_j b_{n-j}) </math>

::Allein, dass links die freie Variable <math>i</math> steht, die rechts nicht erscheint, zeigt schon, dass diese Formel falsch ist. Man kann ja mal versuchen, eine korrekte Formel zu finden. Das ist nicht so einfach. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 19:51, 10. Mai 2009 (CEST)

== konkretes Beispiel für Gebrauch des Summenzeichens fehlt ==

Leider fehlt im Artikeltext ein konkretes Beispiel mit Zahlenwerten für den Gebrauch des Summenzeichens, der Einsteigern in die Materie den Zugang erleichtern würde, so wie einige auf der Diskussionsseite oben zu finden sind. Doch nicht jeder schaut dorthin. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:16, 1. Mär. 2008 (CET)

:Ich war so frei, ein Beispiel von dieser Seite dort etwas modifiziert zu übernehmen. --[[Benutzer:Wolfgang1018|Wolfgang1018]] 19:24, 1. Mär. 2008 (CET)

== ausgeartete Summe ==

Zitat aus dem Text:

''Ferner hat es sich als nützlich erwiesen, für <math> n=m-1 </math> eine '''leere Summe''' zu definieren:''
:<math>\sum_{k=m}^{m-1}a_k := 0</math>

''Man beachte, dass dieses der einzige Fall mit <math>n<m</math> ist, der sinnvoll definiert werden kann. Im Gegensatz zur Integralnotation bleibt die Summe für n<m in allen anderen Fällen undefiniert.''

Wuerde ich nicht so schreiben, denn letztendlich bleibt es eine Definition, und es ist mir nicht klar, warum fuer n<m (allgemein fuer Summen ueber leere Indexmengen) <math>\sum_{k=m}^n=0</math> eine nicht sinnvolle Definition sein sollte. Wird auch oefters so definiert, siehe Beispielsweise [http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node10.html hier] oder [http://www-m10.ma.tum.de/twiki/pub/Lehre/HoehereMathematik1/HM_1_2005_06_03_Reelle_Zahlen.pdf hier]
:Falsch für n<m-1: <math>\sum_{k=m}^n 1=n-(m-1)</math>, <math>n!=\prod_{k=1}^n k</math> u.v.a.m.

::Diese „Gegenbeispiele“ sind Stuss, man kann diese Formeln eben nicht auf ganze <math>n</math> erweitern. (Die Fakultät erst recht nicht.) Die spezielle Definition sieht sowieso nach Marke Eigenbau aus und gibt nicht den allgemeinen Konsens wieder.
::Auch bei leerer Indexmenge ist die Summe definiert und ist gleich dem Nullelement der Algebra, in der die Addition erklärt ist.
::Man überlegt sich schon gut, wann man was in „Grenzfällen“ definiert oder undefiniert lässt. Binomialkoeffizienten sind immer definiert: vgl. [[Binomialkoeffizient#Eigenschaften|hier]] – <math>0^0</math> hingegen nicht.
::Habs jetzt konventionsgemäß geändert. --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 16:58, 8. Mai 2009 (CEST)

== Aussprache ==

:<math>Summe = \sum_{n=1}^{n=10}n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 </math>

Könnte bitte noch Jemand etwas zur Aussprache des Summenzeichens schreiben. Danke.

:Summe über n von eins bis zehn. Objections? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]]

== Summe von 0 bis 0? ==

Kann das bitte jemand beantworten? Tippe zwar auf 1, aber bin mir alles andre als sicher... Danke.
-- [[Spezial:Beiträge/131.188.24.20|131.188.24.20]] 21:14, 7. Jun. 2009 (CEST)
:Die „Verwirrung“ liegt auch an der Sprechweise. Man sagt nicht einfach „Summe von 3 bis 5“, sondern etwa „Summe der natürlichen Zahlen von 3 bis 5“. Die „Summe (der ganzen Zahlen) von 0 bis 0“ ist gleich 0. (Diese Summe besteht nur aus einem Summanden, nämlich 0.) --[[Benutzer:Stefan Neumeier|Stefan Neumeier]] 00:33, 11. Jun. 2009 (CEST)

== Einleitende Definition fehlt ==
Bevor wir lossprudeln, was wir zum Thema so alles wissen, gehört an den Beginn jedes Artikels die Defintion. Und zwar vor die erste Überschrift, so dass sie über dem Inhaltsverzeichnis erscheint. Ich schlage vor: ''Unter einer Summe versteht man das Ergebnis einer Addition, einen Geldbetrag oder die Gesamtheit aller Dinge, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen.''. Gleichzeitig schlage ich vor, die Überschrift ''Wortgeschichte und -bedeutungen'' in ''Wortgeschichte'' zu ändern und darunter folgende zwei Sätze zu löschen: 1.) ''Im weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gemeinheit oder einen Inbegriff.'' sowie 2.) ''In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.''. Einwände? --[[Benutzer:Weede|Henning |-|_,_/]] 15:18, 10. Dez. 2009 (CET)

Leider wird im Artikel (bzw. in der einleitenden Definition) nicht zwischen Summe und Summenwert unterschieden. Die Summe ist lediglich der Term, der durch Addition zweier (oder mehrerer) Summanden gebildet wird. Das "Ergebnis" des Terms ist dann der Summenwert bzw. der Wert der Summe. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/46.244.214.217|46.244.214.217]] ([[Benutzer Diskussion:46.244.214.217|Diskussion]])<nowiki/> 11:13, 18. Jan. 2015 (CET))</small>

== Summe von Produkten ==

Gibt es für Summen von Produkttermen einen speziellen Namen? Insbesondere folgende Summe:
:<math>w(n) := 1 + n + [n\cdot(n-1)] + [n\cdot(n-1)\cdot(n-2)] + \ldots + [n!]</math>
Ich habe versucht, das in Summen- und Produktschreibweise zu notieren. Mein erster Versuch sah so aus:
:<math>w(n) = 1 + \sum_{k=0}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
Ob das so korrekt ist, weiß ich nicht, aber: Hat diese Summe w einen speziellen Namen? Irgendwie finde ich nix dazu in der WP. --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 07:43, 9. Mär. 2011 (CET)

: Ja, ist korrekt, könnte man aber auch als
:: <math>w(n) = \sum_{k=-1}^n \left( \prod_{m=n-k}^n m \right) </math>
: oder als
:: <math>w(n) = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}</math>
: schreiben. Einen Namen hat meines Wissens weder w, noch das allgemeine Konzept Summe von Produkten. --[[Benutzer:Daniel5Ko|Daniel5Ko]] 20:08, 9. Mär. 2011 (CET)

:: Hey, der Bruch mit den beiden Fakultäten gefällt mir. Cool, danke! Aber trotzdem seltsam, dass es dafür keinen Namen gibt… --[[Benutzer:RokerHRO|RokerHRO]] 22:26, 9. Mär. 2011 (CET)
:::Die Summe hat keinen eigenen Namen, aber den Quotienten <math>\frac{w(n)}{n!}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\colon H_n</math> nennt man „<math>n</math>-te [[harmonische Zahl]]“. --[[Benutzer Diskussion:FranzR|Franz]] 19:13, 31. Jul. 2014 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Verschieben des Laufindex' ==

Hallo,
fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks?
[[Benutzer:Metoc|– Metoc]] 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST)

== Literaturhinweise ==

Hi,

Wo kann man die Formale Definition nachlesen? Es wäre nützlich am Ende noch Literaturhinweise zu nennen in denen z.B. die angeführte Definition der Summe zu finden sind. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/92.224.5.164|92.224.5.164]] ([[Benutzer Diskussion:92.224.5.164|Diskussion]])<nowiki/> 21:52, 11. Apr. 2014 (CEST))</small>

== Lemma nicht exakt definiert? ==

Im Artikel-Punkt "Summe als Ergebnis einer Addition" steht:
* "In dem mathematischen [[Term]]:<math>2+3</math> heißen die Zahlen 2 und 3 [[Summand]]en. Der gesamte Term (gemeint muss sein: "<math>2+3</math> - d. Verf.) wird als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet."
Wenn diese beiden Aussagen stimmen, ist die Formulierung des Lemmas wohl "etwas schlampig" (umgangssprachlich). Hier steht:
* "Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition."
Exakt müsste es heißen (ganz in Übereinstimmung mit den eben zitierten Aussagen aus dem Artikelpunkt "Summe als Ergebnis einer Addition")
* ''Eine Summe ist in der Mathematik die Addition von Zahlen. Das Ergebnis einer Addition von Zahlen nennt man Summen-Wert.''
Zwar wird umgangssprachlich (schulisch) gesagt: "Summand + Summand = Summe." Aber exakterweise wird der Ausdruck "Summand + Summand" ''<u>zusammenfassend</u>'' mit "Summe" bezeichnet, aber das Ergebnis einer Summe (eines additiven Terms, Summenterms) nennt man exakterweise nicht "Summe", sondern "Summenwert" (so lese ich es in mancher Literatur) - nur verkürzt spricht man hier von "Summe".<small> Man könnte dann erläuternd etwa so weiterschreiben: ''Den ganzen Term aus Summe und Summen-Wert nennt man Summen-Aussage. Hingegen nennt man eine Summe einen Term (bzw. Summenterm). Denn "Aussage" meint in der Mathematik eine wahre oder eine falsche Äußerung (z. B. 3 + 4 = 12 Oder: 3 + 4 = 7). Aber die Äußerung "3 + 4" oder "3 + 4 =" kann weder wahr noch falsch genannt werden. Deshalb bezeichnet man z. B. "3 + 4" als Term, nicht als Aussagen.''</small>--[[Benutzer:Stefan B. Link|Stefan B. Link]] ([[Benutzer Diskussion:Stefan B. Link|Diskussion]]) 09:48, 19. Apr. 2014 (CEST)

== Wenn man keine Ahnung von der Summenschreibweise hat ==

In dem Text wird nirgends Bezug genommen, was eigentlich das i=1 unter dem Summenzeichen bedeutet.
Das sollte man nicht als bekannt voraus setzen. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/88.64.7.59|88.64.7.59]] ([[Benutzer Diskussion:88.64.7.59|Diskussion]])<nowiki/> 17:18, 21. Sep. 2014 (CEST))</small>

== Syntaktische Reichweite des \sum-Operators klarstellen ==

Im Artikel sollte klar werden, wie weit der <math>\sum</math>-Operator wirkt.
Z.B. ob <math>\sum_{i=0}^n i + 1</math> dasselbe meint wie <math>\sum_{i=0}^n (i + 1)</math> oder dasselbe wie <math>(\sum_{i=0}^n i) + 1</math>. Im ersten Fall ist Reichweite laengst-, im zweiten kuerzestmoeglich.

Die Konvention sollte wiki-weit einheitlich sein und auch einheitlich mit der fuer Quantoren, Lambda-Terme, Integrale (und wo sonst noch Variablenbindungen erfolgen). - [[Benutzer:Jochen Burghardt|Jochen Burghardt]] ([[Benutzer Diskussion:Jochen Burghardt|Diskussion]]) 10:12, 21. Feb. 2015 (CET)

:Bei der [[Präfixnotation|Operatornotation]] bindet der Operator normalerweise stärker als arithmetische Operationen, insofern ist

::<math>\sum_{i=0}^n i + 1 = \left(\sum_{i=0}^n i\right) + 1</math>.

:Wir bräuchten mal einen eigenen Artikel [[Summenzeichen]], wo auch die Notationsfragen geklärt werden. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 15:13, 21. Feb. 2015 (CET)

== Gaußklammer am Ende ==

Beim letzten Beispiel, dass eine Summe mit Obergrenze unendlich keine Reihe sein muss, wird die Klammer [] als Gaußklammer identifiziert, aber in welche Richtung? die Gaußklammer ist oben oder unter offen, diese ist geschlossen wie eine ganz normale Eckigeklammer. <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/141.2.169.197|141.2.169.197]] ([[Benutzer Diskussion:141.2.169.197|Diskussion]])<nowiki/> 18:24, 8. Jul. 2015‎ (CEST))</small>

:Mit <math>[x]</math> ist die Abrundungsfunktion gemeint, siehe [[Gaußklammer]], zweiter Satz. --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 18:51, 8. Jul. 2015 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"]:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge '' definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

(Vorschlag 29 Mai 2021) '''Unendlich summieren'''

Wenn's um unendlich viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n" .

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (Formen) (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

(Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe"   <ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die högere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref> <ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100; siehe [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22Reihe+ist+ein+Zeichen+der+Form%22 snippet1], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge+%28sn%29%22 snippet2], [https://books.google.nl/books?redir_esc=y&hl=nl&id=US3vAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=%22mit+dem+die+Folge%22 snippet3] /ref>)

(Oft wird nicht unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math>für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.)

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

{{ping|Kmhkmh}}, {{ping|Digamma}}, {{ping|Googolplexian1221}}, {{ping|Christian1985}}, {{ping|Haraldmmueller}}, {{ping|Sung Kyun Kwan}}   Wer gibt hier mit inhaltlicher Argumente belegt Kommentar? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:25, 28. Mai 2021 (CEST)

:'''Zwei Ergänzungen'''

:Einzelnachweise zu  <nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n">

:Noch immer auch "Summe der Reihe".   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).

:- Einzelnachweise zu  <Oft wird nicht unterschieden zwischen ...>

:Dieser Unterschied wird explizit genennt in:   - Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 1994, Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22 Grenzwerte, Stetigkeit. Zeile 9.2 . --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 10:02, 29. Mai 2021 (CEST)

:'''Und noch ein Dritter'''  unter <Oft wird nicht unterschieden ...>:

:Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch <ref sehe 'Fußnote' /ref>) nicht die ''Summe'' aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

:'Fußnote':  K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "The quite customery designation ''sum'' for the value ''s'' of a series is nevertheless unfortunate. For ''s'' is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]" .

:''Personal reflection, Hesselp's POV''.  I have a hypothesis on the origin of the 'unfortunate' use of "sum" instead of "limit"(Grenzwert). In the years/centuries before the introduction of the word "sequence"/"Folge" it was not at all unusual to use an expression with plusses: u<sub>1</sub>+u<sub>2</sub>+u<sub>3</sub>+... instead of comma's (or semicolons or just spaces): u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, u<sub>3</sub>, ... . Both forms had the same meaning: series-in-traditional-sense (series<sup>His</sup>) / Reihe-im-traditionellen-Sinne (Reihe<sup>His</sup>). My collected documentation includes hundreds of copied pages showing examples. The language, English, French, German, (Dutch, Swedish) doesn't seem to make a difference on this point. More recent examples I showed [https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Reihe_(Mathematik)#Neun_Quellen,_von_die_Beziehung_zwischen_den_Namen_'Reihe'_und_'Folge' here: Neun Quellen], numbers 2 - 10. The use of the plusses, and later on (less frequently) also the sigma-sign, is quite understandable when you realize that at that time the main (only?) purpose for this successions/progressions of numbers (or in extended form: power series / Taylor expansions) was: to describe ''irrational'' numbers. Not the convergence of ''terms'' was important but the convergence of ''sums''. The notation of the series<sup>His</sup> with plusses reflects that fact.

:The most striking example of the equivalence of the commas-notation and the plusses-notation I saw in Niels Abel's ''Untersuchungen über die [binomial]Reihe'' (1826), footnote p. 9. There Abel refers to Cauchy's ''Cours d'Analyse'' p.131, and gives within quotation marks, an exact translation of one of Cauchy's theorems. With only the comma's in Cauchy's u<sub>0</sub>, u<sub>1</sub>, ... changed into plusses!

:I'm aware that this hypothesis needs much more ''Begründung'' before it eventually can be included in WP. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 18:27, 4. Jun. 2021 (CEST)

== Begründung der Artikeländerung 3. Jun. 2021 ==

Das Konzept ist hier seit 28. Mai gezeigt. An sechs Benutzer ist persönlich gefragt um (inhaltlich) Kommentar zu geben: niemand hat Einwände erhoben. Also: 'Konsens'.  Die Bemerkung in Fußnote 1, ist an andere Stelle 'nicht falsch' und 'wichtig' bewertet. (Aber 'unangemessen' im ersten Satz.) --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 21:02, 3. Jun. 2021 (CEST)

== Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden . . . ; ergänzter Vorschlag ==

Kommentar zu [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Reihe Sektion "Reihe"] im Artikel “Summe”:

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele ''Zahlen'' 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen <math>\,\sin (n^{-2})\ </math><small>(''n'' = 1,2,···)</small> ,  gibts ''keiner'' (Analysis-)Methode, um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht ''gefunden'' sondern durch nur die Teilsummenfolge ''definiert''.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel <math>\infty</math> als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   ''unendlich'' viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

Vorschlag 9. Jun. 2021, anstatt die heutige Sektion "Reihe":

'''Unendlich summieren'''

Wenn's um ''unendlich'' viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (<math>a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n</math>) einer Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]], nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n",  "Summe der Reihe mit Glieder a n",  oder auch (ohne Präzisierung) "Summe der Reihe".  
::<ref "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.von Mangoldt]] - [[Konrad Knopp|K.Knopp]] ''Einführung in die höhere Mathematik'' zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer ''unendliche Reihe'' heißte, wurde in der 6. (1932) ''Zahlenfolge''.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl). /ref>.

Geschrieben:   <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> (1)    oder   <math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math> (2)     oder   <math display="inline">\lim_{n\to\infty} (a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)\,</math> (3) .

Die Ausdrücke (1) und (2) werden  ''Reihe''  oder  ''unendliche Reihe''  genannt.

Ausdruck (2) bezeichnet auch die ''Folge'' <math>\,(a_1{+}a_2{+}\cdots{+}a_n)_{n\ge1}</math>, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe".  
::<ref [[Konrad Knopp]], ''[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|H.v. Mangoldt's]] Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band'', 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>
::<ref Konrad Knopp, ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100. /ref>

Zuweilen wird unterschieden zwischen  <math display="inline">\sum_{i=1}a_i\,</math> (ohne ∞) für die Folge der Teilsummen und  <math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i\,</math> für ihre Grenzwert.
::<ref Deutsches Institut für Normung e.V., ''DIN-Taschenbuch 202'', 2. Aufl. 1994 (auch 3. Aufl. 2009), Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22, Zeile 9.2 . /ref>

Mit  "Summe der Reihe <math>\,a_1{+}a_2{+}a_3{+}\cdots\,</math>"  und  "Summe der Reihe <math display="inline">\sum_{i=1}a_i</math>"  wird (nicht ganz logisch
::<ref K. Knopp, ''Infinite Sequences and Series'', 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "''The quite customery designation ''sum'' for the value s of a series is nevertheless unfortunate. For s is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]'' " . /ref>
) nicht die ''Summe'', aber den ''Grenzwert'' der Teilsummenfolge der Folge <math>(a_n)_{n\ge1}</math> gemeint.

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^{\infty}a_i</math>)  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (<math display="inline">\sum_{i=1}^n a_i\ </math>)  sind:

* Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

* Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

* Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

* Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

--[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:12, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 [https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021].  Wer will also die (etwas aus der) obigen Änderungen platzieren?)

== "Eine solche Folge [..] wird als Reihe bezeichnet." ==

Satz 13 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]: Eine solche Folge von [[Partialsumme]]n über die Anfangsglieder einer Folge wird als [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] bezeichnet.

Weil es unbestritten ist , dass JEDE Zahlenfolge (''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>, ''s''<sub>3</sub>, ...) Partialsummenfolge einer Folge (nämlich ''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>−''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>3</sub>−''s''<sub>2</sub>, ...) ist, hat das Prädikat "Reihe" hier keinen spezifizierenden Inhalt. (Ist die Folge der Quadratzahlen "eine solche" Folge, und deshalb eine Reihe?)  Also meiner Vorschlag (15. Jun. 2021): dieser Satz 13 auslassen. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:51, 15. Jun. 2021 (CEST)

:{{ping|1234qwer1234qwer4}} Auf deiner Bemerkung [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Portal_Diskussion%3AMathematik&type=revision&diff=213115077&oldid=212994044 im Portal Diskussion:Mathematik, 19. Jun. 2021], danke :
:Die Bedeutung von "Prädikat" kann (ein wenig) variieren, scheint mir.  Bitte lese "hat das Prädikat "Reihe" " als:  "hat die Benennung (Bewertung) mit "Reihe" ". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:06, 20. Jun. 2021 (CEST)

::Bleiben meine Fragen:
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 3/4, 7/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, 1/4, 1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 1/4, 1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -1/4, -1/8, ...).
::Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, -1/4, -1/8, ... 'als ''Reihe'' bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -3/4, 1/8, ...). Usw.
::Oder ist es logischer Satz 13 einfach zu streichen? --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 23:31, 20. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::: Wie ist es mit "...wird als Reihe dieser Folge bezeichnet"? [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 13:42, 21. Jun. 2021 (CEST)

::::{{ping|1234qwer1234qwer4}} Ja, das (oder etwas ähnliches) sieht man zuweilen. Mit das "eine solche Folge" etwas schärfer/expliziter formuliert, scheint mir z. B. geeignet: (Satz 13) "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet." --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 00:41, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])

::::Quellen, zu "Die Folge <math>(s_n)</math>, die Partialsummenfolge der Folge <math>(a_n)</math>, wird zuweilen auch mit ''die Reihe der Folge (<math>a_n</math>)'' bezeichnet."
::::– E. Fisher, [https://books.google.nl/books?id=WJrfBwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=nl&source=gbs_ViewAPI&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false ''Intermediate real analysis''], 1983, S. 151:  "''If <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math> is a real sequence, then the sequence <math display="inline">\,\langle S_n\rangle</math>, [...] is called the ''infinite series'' of terms of the sequence <math display="inline">\,\langle a_n\rangle\,</math>''."
::::– S. Haschler, [https://www.google.nl/search?num=100&hl=nl&ei=nTUiXPrABInNwAKsiLygBw&q=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&oq=%22Steffen+Haschler%22+guthaben&gs_l=psy-ab.12...9683.12100..14954...0.0..0.99.553.8......0....1..gws-wiz.......0i22i30j33i160.MyuK8WdoQag schule 2005-06], S. 3 'Reihen': "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
::::– R. Mayer, [http://people.reed.edu/~mayer/math112.html/html2/node28.html ''Infinite series''], 2006 (Reed College),  "''<small><math>\,\sum</math></small> is actually a function that maps complex sequences to complex sequences.''"
::::– M. Veraar, [https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/Wiskundige_structuren_VI.1_Convergentie_van_Reeksen.pdf ''Wiskundige structuren (TU Delft)''], 2016, module 6.1:  "''Laat <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> een rij <small>[= Folge]</small> reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen <math display="inline">\,(s_n)_{n\ge0}\,</math> wordt de ''reeks'' <small>[= Reihe]</small> van <math display="inline">\,(a_j)_{j\ge0}\,</math> genoemd'' ".
::::– B. Keller, [https://puremath.ch/pdf/themen/analysis/Skript_Folgen_und_Reihen.pdf Folgen und Reihen] 2017 S. 4: "''Die Folge <math display="inline">(s_n)\,</math> [...] nennen wir ''Reihe der Folge <math display="inline">(a_n)\,</math>."
::::– J. Leydold, [http://statmath.wu.ac.at/~leydold/Mathematik_Grundlagen/download/Mathematik_Grundlagen_1.pdf Grundlagen] 2017, S. 34: "''Die Folge <math display="inline">(s_k)</math> aller Teilsummen einer Folge <math display="inline">(a_i)\,</math> heisst die ''Reihe'' der Folge <math display="inline">(a_i)\,</math>.''"
:::: --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 12:33, 22. Jun. 2021 (CEST) ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2021/06/04#Benutzer:_Hesselp_(erl.) gesperrt für ANR])
::::Link der Quelle 'Fischer' verbessert. --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 13:18, 22. Jun. 2021 (CEST)

=== "Die Reihe der Partialsummem ..." = "Die Folge der Partialsummen ..." ===
Satz 16 im [https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Summe_einer_Folge,_Reihe Sektion "Summe einer Folge"]:  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit <math>s_1 = 1</math>, <math>s_2 = 5</math>, <math>s_3 = 14</math>.

Oftmals ist "Die Reihe einer Folge" zu lesen als "Die Partialsummenfolge dieser Folge". Hier aber nicht. Verwirrend.  
Also meiner Vorschlag (16. Jun. 2021): in Satz 16 nicht "Die Reihe der", aber modern "Die Folge der". --[[Benutzer:Hesselp|Hesselp]] ([[Benutzer Diskussion:Hesselp|Diskussion]]) 16:05, 16. Jun. 2021 (CEST)
: "Reihe der Partialsummen" wäre eine Reihe von Reihen; das sollte in der Tat korrigiert werden. [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|𝟙𝟤𝟯𝟺𝐪𝑤𝒆𝓇𝟷𝟮𝟥𝟜𝓺𝔴𝕖𝖗𝟰]] (Diskussion☞·········[[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|🚪]]) 00:11, 20. Jun. 2021 (CEST)

Diskussion:Vollständiger Raum

2024-09-07T10:34:29Z

Sigma^2: /* Konstruktion */

{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}

==Absatz verschoben==
Dieser Absatz war als im Artikel versteckt, da der Einsteller sich über die Richtigkeit nicht sicher war. Ich stelle ihn mal hier zur Diskussion, da einen versteckten Absatz ja niemand findet. [[Benutzer:Geisslr|Geisslr]] 09:55, 7. Apr 2006 (CEST)

''Das Baire'sche Kategorientheorem (??) besagt, dass jeder vollständige metrische Raum ein Baire-Raum (??) ist. Das heißt, dass das Innere einer abzählbaren Vereinigung nirgends dichter Teilmengen dieses Raums leer ist.''

== Zweifel an Ordnungsvollständigkeits-Absatz ==

Ich habe Zweifel an der Richtigkeit folgender Aussage:

"Für einen metrischen Raum mit verträglicher Totalordnung gilt: Er ist genau dann metrisch vollständig, wenn er ordnungsvollständig ist."

Nehmen wir mal das offene Einheitsintervall X:=]0,1[ mit der gewöhnlichen Ordnung und der gewöhnlichen Metrik. Dann ist nach obiger Definition die Ordnung sicher mit der Metrik verträglich. Als totalgeordnete Menge ist X isomorph zu R, also ist X als totalgeordnete Menge ordnungsvollständig. Als metrischer Raum ist X aber nicht vollständig, weil z.B. (1/n) eine Cauchyfolge ohne Grenzwert in X ist.

So ist die Aussage also falsch. Und ich bin mir auch nicht sicher, ob man die Aussage retten kann, weil die Ordnung einfach nicht "wissen" kann, ob die Metrik vollständig ist oder nicht.

Was übrig bleibt, ist dass bei Q mit Standardordnung und Standardmetrik die Begriffe zusammenfallen. Aber auch bei Q kann man natürlich tricksen, indem man z.B. die Metrik d(x,y)=|arctanx-arctany| verwendet. Die erzeugt die gewöhnliche Topologie auf Q und ist nach obiger Definition mit der Ordnung verträglich. Aber bzgl. dieser neuen Metrik stimmt Vervollständigung nicht mehr mit der Ordnungsvervollständigung (nach Dedekindschen Schnitten) überein.
Ich würde also vorschlagen, den Teil "Metrische Vollständigkeit und Ordnungsvollständigkeit"ersatzlos zu streichen. Insbesondere auch, weil die Formulierung "Eine eindeutige Vervollständigung als metrischer Raum, wie sie oben beschrieben ist, ist genau dann möglich, wenn [...]" irreführend ist, weil dies ein bisschen so klingt, als gäbe es metrische Räume, bei denen eine eindeutige Vervollständigung nicht möglich ist. Vorschläge?

Viele Grüße, [[Spezial:Beiträge/130.83.2.27|130.83.2.27]] 11:23, 17. Feb. 2012 (CET)

:Sorry, hatte revertiert, ohne richtig hinzugucken. Hab's jetzt wieder rückgängig gemacht. Zum Inhalt: Vielleicht [[Benutzer:Digamma]] fragen? -- [[Benutzer:UKoch|UKoch]] 23:41, 22. Feb. 2012 (CET)
::Der beanstandete Satz zur Ordnungsvollständigkeit ist nicht mehr im Artikel. Allerdings wär es gut, wenn irgendwo im Artikel eine Beziehung zum Begriff der [[Ordnungsvollständigkeit]] hergestellt würde. --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:58, 17. Aug. 2024 (CEST)

== Konstruktion ==

Dort steht, dass die auf der Vervollständigung definierte Metrik nur eine Pseudometrik ist, was ich nicht nachvollziehen kann. Die Vervollständigung besteht aus Äquivalenzklassen, in einer solche Klasse liegen alle Cauchy-Folgen, die den gleichen Grenzwert besitzen. Nur gucken wir uns zwei solche Äquivalenzklassen an und definieren deren Abstand als Abstand zweier Repräsentanten, mithilfe der Metrik auf dem ursprünglichen Raum. Dabei sollen die Grenzwerte betrachtet werden, sprich beim Abstand der Äquivalenzklassen handelt es sich um den Abstand der Grenzwerte beliebiger Repräsentanten aus diesen Klassen. Warum sollten nur zwei verschiedene Elemente aus der Vervollständigung den Abstand Null haben können? Das ist nur möglich, wenn sie denselben Grenzwert besitzen, dann gehören sie aber derselben Klasse an und es handelt sich um dieselben Elemente in der Vervollständigung, evt. dargestellt durch versch. Repräsentanten.

Gruß --[[Spezial:Beiträge/92.229.234.166|92.229.234.166]] 17:56, 25. Apr. 2012 (CEST)

:Bitte genauer lesen. Die Pseudo-Metrik ist auf dem Raum der Cauchy-Folgen, also vor dem Schritt des Bildens der Äquivalenzklassen und diesen vorbereitend, motivierend.--[[Benutzer:LutzL|LutzL]] ([[Benutzer Diskussion:LutzL|Diskussion]]) 19:10, 25. Apr. 2012 (CEST)

::Ich versuche ganz genau zu lesen – im Text steht:
:::»Dieser Abstand ist [[wohldefiniert]], er ist aber nur eine [[Pseudometrik]], denn verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand <math>0</math> haben.«
::Wohldefiniert ist gut, aber was soll diese Begründung und wie soll sie wozu motivieren? Auch bei einer vollen (und Nicht-Pseudo-)Metrik können verschiedene Cauchy-Folgen den Abstand <math>0</math> haben. Natürlich können sie das, das ist doch total trivial! Überall können sie das, man nehme bspw. die Folgen
:::<math>x:=\left(1,0,0,0,...\right)_{n\in\N}</math> und
:::<math>y:=\left(0,0,0,0,...\right)_{n\in\N}</math>,
::dann sind die beiden Folgen Cauchy und verschieden. UND sie haben den soeben definierten Abstand <math>\tilde d(x,y)=\lim_n d(x_n,y_n)=\lim_n \left(1,0,0,0,...\right)=0</math>. Der Halbsatz nach dem »denn« motiviert doch für überhaupt gar nichts, weder für eine Nur-Pseudometrik, noch für eine Metrik. Und »verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand <math>0</math> haben«, egal ob vor oder nach dem Bilden der Äquivalenzklassen. --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 18:40, 28. Mai 2018 (CEST)
In der ersten Formelzeile des Abschnitts 'Konstruktion' findet sich folgende 'Definition':
::<math>\tilde d(\tilde x,\tilde y):=\lim_{m,n\in\N} d(x_m,y_n)\;.</math>
Dabei ist die rechte Seite undefiniert. Auch wenn man <math>\lim_{m,n\in\N}</math> als <math>\lim_{m,n\to \infty}</math> liest (was wohl gemeint ist) müsste geklärt und erklärt werden, warum z. B. <math>\lim_{m\to \infty}\lim_{n\to \infty}</math>, <math>\lim_{n\to \infty}\lim_{m\to \infty}</math> oder irgendeine andere Art mit der <math>m</math> und <math>n</math> gemeinsam unendlich groß werden, zum selben Grenzwert führen.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 12:34, 7. Sep. 2024 (CEST)

== Fehlerhaftes Beispiel ==

Unter ''Beispiele'' ist die angegebene vollständige "Metrik" auf dem Intervall (0, 1) fehlerhaft, da sie nicht positiv definit ist, denn d(1/2, 1/2) = 8 (und nicht 0). Findet jemand ein richtiges Beispiel? <small>(''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/79.252.206.159|79.252.206.159]] ([[Benutzer Diskussion:79.252.206.159|Diskussion]])<nowiki/> 11:29, 27. Mai 2016 (CEST))</small>

:Es steht ja dabei, dass die Formel nur für <math>x \ne y</math> gelten soll. Für <math>x = y</math> ist natürlich <math>d(x,y) = 0</math>. Trotzdem finde ich das Beispiel seltsam. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 12:15, 27. Mai 2016 (CEST)
:Auch dann, wenn man <math>d(x,x)=0</math> ergänzt, bleibt es seltsam und erklärungsbedürftig. Für jedes <math>\epsilon \in (0,1/2)</math> gilt
::<math>d(1/2,1/2+\epsilon) = \epsilon + 2 + \frac{1}{1/2 + \epsilon} + 2 + \frac{1}{1/2 - \epsilon} > 4 \;. </math>
:--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:01, 17. Aug. 2024 (CEST)
:Für die Folgen <math>(x_n)_{n\in\N}</math> mit <math>x_n = 1/2 + 1/(2^{n+1})</math> und <math>(y_n)_{n\in\N}</math> mit <math>y_n = 1/2</math> gilt <math>\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n) = 8</math> und <math>\lim_{n\to\infty}|x_n -y_n| = 0</math>. Ist <math>d</math> wirklich eine der Metriken, die „dieselbe Topologie wie die Betragsmetrik erzeugen“? --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:43, 17. Aug. 2024 (CEST)

== Limes-Schreibweise ==

Im Aufsatz wird die Schreibweise <math>\lim_{n\in\N}</math> anstelle von <math>\lim_{n \to \infty}</math> verwendet. Ist das beabsichtigt? Bedeutet es etwas anderes? Der Artikel [[Grenzwert (Folge)]] klärt dazu nichts.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:33, 17. Aug. 2024 (CEST)

Hahn-Jordan-Zerlegung

2024-09-01T18:49:54Z

Sigma^2: /* Bemerkungen */ Grundsätzliches erwähnt

In der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die '''Hahn-Jordan-Zerlegung''', wie man ein [[signiertes Maß]] in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den '''Hahnschen Zerlegungssatz''' und den '''Jordanschen Zerlegungssatz'''. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von [[Hans Hahn]] 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf [[Marie Ennemond Camille Jordan]], der [[1881]] gezeigt hat, dass sich eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] [[Beschränktheit|beschränkter]] Variation als Differenz zweier [[Monotone Abbildung|monoton wachsender]] Funktionen darstellen lässt.

== Hahnscher Zerlegungssatz ==
=== Aussage ===
Sei <math>(X,\mathcal{A})</math> ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] und <math>\mu </math> ein [[signiertes Maß]] auf diesem Messraum.

Dann existiert eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] der Grundmenge <math> X </math> in eine [[positive Menge]] <math> P </math> und eine [[negative Menge]] <math> N </math>, also <math> X= P \cup N </math> und <math> P \cap N = \emptyset </math>.

=== Bemerkung ===
Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine <math> \mu </math>-Nullmenge eindeutig. Ist also <math> P^*, N^* </math> eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist <math> P \triangle P^* = N \triangle N^* </math> und <math> \mu (P \triangle P^* )= \mu(N \triangle N^*)=0 </math>. Dabei bezeichnet <math> \triangle </math> die [[symmetrische Differenz]].

== Variation ==
Mittels des Hahnschen Zerlegungssatzes lassen sich die '''Variation''', die '''positive Variation''' und die '''negative Variation''' definieren. Die Variation wird teils auch '''Totalvariation''' oder '''totale Variation''' genannt. Diese Bezeichnung ist jedoch zweideutig, da sie teilweise auch für die aus der Variation konstruierte Norm, die [[Totalvariationsnorm]], verwendet wird.
=== Definition ===
Ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung <math> N,P </math>, so heißt
:<math> \mu^+(A):=\mu(A \cap P) </math>

die ''positive Variation'' von <math> \mu </math>,
:<math> \mu^-(A):= -\mu(A \cap N ) </math>

die ''negative Variation'' von <math> \mu </math> und
:<math> |\mu|(A):=\mu^+(A)+\mu^-(A) </math>

die ''Variation'' von <math> \mu </math>.

=== Bemerkungen ===
* <math>\mu^+</math>, <math>\mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße auf <math>(X,\mathcal{A})</math>.
* Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
* Die Kennzahl <math> |\mu|(X) </math> heißt auch die [[Totalvariationsnorm]] eines signierten Maßes.
* Die positive Variation und die negative Variation sind [[Singuläres Maß|singulär]] zueinander.

== Jordanscher Zerlegungssatz ==
Der Jordansche Zerlegungssatz fasst noch einmal die Zerlegung des signierten Maßes zusammen. Er lautet: ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß, so ist
:<math> \mu = \mu^+ - \mu^- </math>

und <math> \mu^+ </math> und <math> \mu^- </math> sind singulär zueinander, also <math> \mu^+ \perp \mu^- </math>.

== Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes ==
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> und mit <math>\mu(\{1\})=3</math> und <math>\mu(\{2\})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

== Literatur ==
* [[Camille Jordan]]: ''Sur la Série de Fourier.'' In: ''Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences.'' Bd. 92, Nr. 5, 1881, {{ISSN|0001-4036}}, S. 228–230, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7351t/f227.image Digitalisat].
* {{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

== Weblinks ==
* [https://arxiv.org/pdf/1206.5449v2.pdf Beweis der grundlegenden Aussagen zur Hahn-Jordan-Zerlegung (pdf, englisch; 62 kB)]

[[Kategorie:Maßtheorie]]

Hahn-Jordan-Zerlegung

2024-09-01T18:42:07Z

Sigma^2: /* Hahnscher Zerlegungssatz */ R

In der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die '''Hahn-Jordan-Zerlegung''', wie man ein [[signiertes Maß]] in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den '''Hahnschen Zerlegungssatz''' und den '''Jordanschen Zerlegungssatz'''. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von [[Hans Hahn]] 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf [[Marie Ennemond Camille Jordan]], der [[1881]] gezeigt hat, dass sich eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] [[Beschränktheit|beschränkter]] Variation als Differenz zweier [[Monotone Abbildung|monoton wachsender]] Funktionen darstellen lässt.

== Hahnscher Zerlegungssatz ==
=== Aussage ===
Sei <math>(X,\mathcal{A})</math> ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] und <math>\mu </math> ein [[signiertes Maß]] auf diesem Messraum.

Dann existiert eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] der Grundmenge <math> X </math> in eine [[positive Menge]] <math> P </math> und eine [[negative Menge]] <math> N </math>, also <math> X= P \cup N </math> und <math> P \cap N = \emptyset </math>.

=== Bemerkung ===
Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine <math> \mu </math>-Nullmenge eindeutig. Ist also <math> P^*, N^* </math> eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist <math> P \triangle P^* = N \triangle N^* </math> und <math> \mu (P \triangle P^* )= \mu(N \triangle N^*)=0 </math>. Dabei bezeichnet <math> \triangle </math> die [[symmetrische Differenz]].

== Variation ==
Mittels des Hahnschen Zerlegungssatzes lassen sich die '''Variation''', die '''positive Variation''' und die '''negative Variation''' definieren. Die Variation wird teils auch '''Totalvariation''' oder '''totale Variation''' genannt. Diese Bezeichnung ist jedoch zweideutig, da sie teilweise auch für die aus der Variation konstruierte Norm, die [[Totalvariationsnorm]], verwendet wird.
=== Definition ===
Ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung <math> N,P </math>, so heißt
:<math> \mu^+(A):=\mu(A \cap P) </math>

die ''positive Variation'' von <math> \mu </math>,
:<math> \mu^-(A):= -\mu(A \cap N ) </math>

die ''negative Variation'' von <math> \mu </math> und
:<math> |\mu|(A):=\mu^+(A)+\mu^-(A) </math>

die ''Variation'' von <math> \mu </math>.

=== Bemerkungen ===
* Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
* Die Kennzahl <math> |\mu|(X) </math> heißt auch die [[Totalvariationsnorm]] eines signierten Maßes.
* Die positive Variation und die negative Variation sind [[Singuläres Maß|singulär]] zueinander.

== Jordanscher Zerlegungssatz ==
Der Jordansche Zerlegungssatz fasst noch einmal die Zerlegung des signierten Maßes zusammen. Er lautet: ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß, so ist
:<math> \mu = \mu^+ - \mu^- </math>

und <math> \mu^+ </math> und <math> \mu^- </math> sind singulär zueinander, also <math> \mu^+ \perp \mu^- </math>.

== Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes ==
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> und mit <math>\mu(\{1\})=3</math> und <math>\mu(\{2\})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

== Literatur ==
* [[Camille Jordan]]: ''Sur la Série de Fourier.'' In: ''Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences.'' Bd. 92, Nr. 5, 1881, {{ISSN|0001-4036}}, S. 228–230, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7351t/f227.image Digitalisat].
* {{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

== Weblinks ==
* [https://arxiv.org/pdf/1206.5449v2.pdf Beweis der grundlegenden Aussagen zur Hahn-Jordan-Zerlegung (pdf, englisch; 62 kB)]

[[Kategorie:Maßtheorie]]

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-09-01T11:54:45Z

Sigma^2: /* Beispiele zum Variationsabstand von Wahrscheinlichkeitsmaßen */

Geplante Ergänzungen
# zum Artikel [[Stichprobenverteilung]]
# zum Artikel [[Hahn-Jordan-Zerlegung]]

=== Bayesianische Inferenzstatistik ===
Bei der bayesianischen Inferenz wird die [[A-priori-Verteilung]], die auf dem Parameterraum eines zu schätzenden Parameters definiert ist, unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> und unter Verwendung eines realisierten und beobachteten Wertes <math>\mathbf{x} =(x_1,\dots,x_n)</math> des Stichprobenvektors in die [[A-posteriori-Verteilung]] transformiert. Dabei ist die A-posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus A-priori-Verteilung und der [[Likelihoodfunktion]]. Die Likelihoodfunktion gibt im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeit und im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte des beobachten Wertes <math>\mathbf{x}</math> für alternative Parameter an und wird als Funktion auf dem Parameterraum interpretiert.

Falls eine [[suffiziente Statistik|suffiziente Stichprobenfunktion]] (suffiziente Statistik) existiert, kann die Stichprobenverteilung dieser Stichprobenfunktion an die Stelle der Verteilung des Stichprobenvektors treten, ohne dass sich die resultierende A-posteriori-Verteilung ändert.
==== Beispiel ====
Die Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> seien stochastisch unabhängig und identisch [[Bernoulli-verteilt]] mit unbekanntem [[Bernoulli-Parameter]] <math>0 < p< 1</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist dann
:<math>P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}) = \begin{cases} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) \in \{0,1\}^n \\
0&\text{sonst} \end{cases}\;,</math>
wobei <math>k := \sum_{i=1}^n x_i</math>.
Wenn <math>f_0</math> die gegebene Dichtefunktion einer A-Priori-Verteilung auf dem Intervall <math>(0,1)</math> ist und <math>\mathbf{x}</math> ein relasierter und beobachteter Wert des Suchprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist, dann ist die Dichtefunktion <math>f_1</math> der A-Posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus <math>f_0</math> und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{\mathbf x}(p) := P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}),\quad 0 < p < 1\;.</math>
Es gilt also
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c \cdot L_{\mathbf x}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die Summe <math>K = \sum_{i=1}^n X_i</math> der Stichprobenvariablen ist eine suffiziente Stichprobenfunktion für den Parameter <math>p</math> mit der Stichprobenverteilung
:<math>P_p(K = k) = \begin{cases}\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }k \in \{0,1,\dots, n\}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases} </math>
und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{k}(p) := P_p(K =k), \quad 0 < p < 1 \;.</math>
Da sich die Likelihoodfunktionen <math>L_{\mathbf x}</math> und <math>L_{k}</math> nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, gilt auch
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c' \cdot L_{k}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die bayessche Inferenz beruhend auf der Verteilung des Stichprobenvektors und auf der Stichprobenverteilung der suffizienten Stichprobenfunktion führt zur selben A-Posteriori-Verteilung. Zu diesem Beispiel siehe auch [[Bayessche Statistik#Bayessche Inferenz am Beispiel des Münzwurfes]] und [[Suffiziente Statistik#Beispiel Binomialverteilung]].

=== Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung ===
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> und mit <math>\mu(\{1\})=3</math> und <math>\mu(\{2\})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

=== Beispiele zum Variationsabstand von Wahrscheinlichkeitsmaßen ===
Gegeben seien der Meßraum <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math>, <math>\mathcal{F} =2^\Omega</math> und die beiden Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P(\{1\})=1</math> und <math>Q(\{2\})=1</math>.
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Der ''Variationsabstand''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Metriken in der Wahrscheinlichkeitstheorie |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Seiten=257–259}} </ref> zweier Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf demselben Messraum definiert sind, ist die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>P-Q</math>
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) := \|P-Q\|_\mathrm{TV} = |P-Q|(\Omega)\;.</math>
Im Beispiel gilt <math>|P-Q|(\Omega) =2</math>.
Eine ähnliche Distanz ist
:<math>d_{\mathcal{F}}(P,Q) := \sup_{A \in\mathcal{F}}|P(A)-Q(A)|</math>.
Allgemein gilt für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf demselben Messraum
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q).</math>
(Quelle?, Beweis?)
Im Beispiel ist <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)= 1</Math>.
Von einigen Autoren wird die Distanz <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)</math> als Variationsabstand oder Totalvariationsdistanz bezeichnet, obwohl sich die beiden Distanzen um den Faktor 2 unterscheiden. Daraus ergeben sich Verwechselungen und Inkonsistenzen in der Literatur. (Z. B. Abweichung zwischen englischer und französischer Wikipedia).

Für einen diskreten Messraum <math>(\Omega,2^\Omega)</math> mit abzählbarem <math>\Omega</math> und zwei Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf <math>(\Omega,2^\Omega)</math> definiert sind, gilt
:<math> \sum_{x \in \Omega}|P(\{x\}) -Q(\{x\}| = d_{\mathrm{TV}}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q)\;. </math>

=== Variationsabstand und signierte Maße ===
Gegeben seien der Meßraum <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math>, <math>\mathcal{F} =2^\Omega</math> und die beiden endlichen signierten Maße <math>\mu</math> und <math>\nu</math> mit <math>\nu_i = \nu(\{i\})</math> und <math>\mu_i = \mu(\{i\})</math> für <math>i=1,2</math>.
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|<math>|\mu_1 - \nu_1| + |\mu_2 - \nu_2|</math>
|<math>|\mu_1 - \nu_1 + \mu_2 - \nu_2|</math>
|}
Der Variationsabstand der signierten Maße <math>\mu</math> und <math>\nu</math> ist
:<math>d_\mathrm{TV}(\mu,\nu) := \|\mu-\nu\|_\mathrm{TV} = |\mu-\nu|(\Omega) = |\mu_1 - \nu_1| + |\mu_2 - \nu_2|\;.</math>
Für die Distanz <math>d_\mathcal{F}</math> gilt
:<math>d_{\mathcal{F}}(\mu,\nu) = \max\{|\mu_1 - \nu_1|,|\mu_2 - \nu_2|, |\mu_1 - \nu_1 + \mu_2 - \nu_2|\} \leq d_\mathrm{TV}(\mu,\nu)</math>.
Die für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße gültige Proportionalität
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q)</math>
gilt nicht analog für signierte Maße,
Für <math>\mu_1 - \nu_1 = 1</math> und <math>\mu_2 - \nu_2 = -1</math>
gilt <math>d_\mathrm{TV}(\mu,\nu) = 2</math> und <math>d_\mathcal{F}(\mu,\nu) = 1</math>.
Für <math>\mu_1 - \nu_1 = 1</math> und <math>\mu_2 - \nu_2 = -2</math>
gilt <math>d_\mathrm{TV}(\mu,\nu) = 3</math> und <math>d_\mathcal{F}(\mu,\nu) = 2</math>.

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-09-01T11:53:54Z

Sigma^2: /* Variationsabstand und signierte Maße */

Geplante Ergänzungen
# zum Artikel [[Stichprobenverteilung]]
# zum Artikel [[Hahn-Jordan-Zerlegung]]

=== Bayesianische Inferenzstatistik ===
Bei der bayesianischen Inferenz wird die [[A-priori-Verteilung]], die auf dem Parameterraum eines zu schätzenden Parameters definiert ist, unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> und unter Verwendung eines realisierten und beobachteten Wertes <math>\mathbf{x} =(x_1,\dots,x_n)</math> des Stichprobenvektors in die [[A-posteriori-Verteilung]] transformiert. Dabei ist die A-posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus A-priori-Verteilung und der [[Likelihoodfunktion]]. Die Likelihoodfunktion gibt im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeit und im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte des beobachten Wertes <math>\mathbf{x}</math> für alternative Parameter an und wird als Funktion auf dem Parameterraum interpretiert.

Falls eine [[suffiziente Statistik|suffiziente Stichprobenfunktion]] (suffiziente Statistik) existiert, kann die Stichprobenverteilung dieser Stichprobenfunktion an die Stelle der Verteilung des Stichprobenvektors treten, ohne dass sich die resultierende A-posteriori-Verteilung ändert.
==== Beispiel ====
Die Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> seien stochastisch unabhängig und identisch [[Bernoulli-verteilt]] mit unbekanntem [[Bernoulli-Parameter]] <math>0 < p< 1</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist dann
:<math>P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}) = \begin{cases} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) \in \{0,1\}^n \\
0&\text{sonst} \end{cases}\;,</math>
wobei <math>k := \sum_{i=1}^n x_i</math>.
Wenn <math>f_0</math> die gegebene Dichtefunktion einer A-Priori-Verteilung auf dem Intervall <math>(0,1)</math> ist und <math>\mathbf{x}</math> ein relasierter und beobachteter Wert des Suchprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist, dann ist die Dichtefunktion <math>f_1</math> der A-Posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus <math>f_0</math> und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{\mathbf x}(p) := P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}),\quad 0 < p < 1\;.</math>
Es gilt also
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c \cdot L_{\mathbf x}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die Summe <math>K = \sum_{i=1}^n X_i</math> der Stichprobenvariablen ist eine suffiziente Stichprobenfunktion für den Parameter <math>p</math> mit der Stichprobenverteilung
:<math>P_p(K = k) = \begin{cases}\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }k \in \{0,1,\dots, n\}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases} </math>
und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{k}(p) := P_p(K =k), \quad 0 < p < 1 \;.</math>
Da sich die Likelihoodfunktionen <math>L_{\mathbf x}</math> und <math>L_{k}</math> nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, gilt auch
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c' \cdot L_{k}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die bayessche Inferenz beruhend auf der Verteilung des Stichprobenvektors und auf der Stichprobenverteilung der suffizienten Stichprobenfunktion führt zur selben A-Posteriori-Verteilung. Zu diesem Beispiel siehe auch [[Bayessche Statistik#Bayessche Inferenz am Beispiel des Münzwurfes]] und [[Suffiziente Statistik#Beispiel Binomialverteilung]].

=== Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung ===
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> und mit <math>\mu(\{1\})=3</math> und <math>\mu(\{2\})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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|<math>7</math>
|}
<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

=== Beispiele zum Variationsabstand von Wahrscheinlichkeitsmaßen ===
Gegeben seien der Meßraum <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math>, <math>\mathcal{F} =2^\Omega</math> und die beiden Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P(\{1\})=1</math> und <math>Q(\{2\})=1</math>.
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Der ''Variationsabstand''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Metriken in der Wahrscheinlichkietstheorie |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Seiten=257–259}} </ref> zweier Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf demselben Messraum definiert sind, ist die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>P-Q</math>
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) := \|P-Q\|_\mathrm{TV} = |P-Q|(\Omega)\;.</math>
Im Beispiel gilt <math>|P-Q|(\Omega) =2</math>.
Eine ähnliche Distanz ist
:<math>d_{\mathcal{F}}(P,Q) := \sup_{A \in\mathcal{F}}|P(A)-Q(A)|</math>.
Allgemein gilt für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf demselben Messraum
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q).</math>
(Quelle?, Beweis?)
Im Beispiel ist <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)= 1</Math>.
Von einigen Autoren wird die Distanz <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)</math> als Variationsabstand oder Totalvariationsdistanz bezeichnet, obwohl sich die beiden Distanzen um den Faktor 2 unterscheiden. Daraus ergeben sich Verwechselungen und Inkonsistenzen in der Literatur. (Z. B. Abweichung zwischen englischer und französischer Wikipedia).

Für einen diskreten Messraum <math>(\Omega,2^\Omega)</math> mit abzählbarem <math>\Omega</math> und zwei Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf <math>(\Omega,2^\Omega)</math> definiert sind, gilt
:<math> \sum_{x \in \Omega}|P(\{x\}) -Q(\{x\}| = d_{\mathrm{TV}}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q)\;. </math>

=== Variationsabstand und signierte Maße ===
Gegeben seien der Meßraum <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math>, <math>\mathcal{F} =2^\Omega</math> und die beiden endlichen signierten Maße <math>\mu</math> und <math>\nu</math> mit <math>\nu_i = \nu(\{i\})</math> und <math>\mu_i = \mu(\{i\})</math> für <math>i=1,2</math>.
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|}
Der Variationsabstand der signierten Maße <math>\mu</math> und <math>\nu</math> ist
:<math>d_\mathrm{TV}(\mu,\nu) := \|\mu-\nu\|_\mathrm{TV} = |\mu-\nu|(\Omega) = |\mu_1 - \nu_1| + |\mu_2 - \nu_2|\;.</math>
Für die Distanz <math>d_\mathcal{F}</math> gilt
:<math>d_{\mathcal{F}}(\mu,\nu) = \max\{|\mu_1 - \nu_1|,|\mu_2 - \nu_2|, |\mu_1 - \nu_1 + \mu_2 - \nu_2|\} \leq d_\mathrm{TV}(\mu,\nu)</math>.
Die für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße gültige Proportionalität
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q)</math>
gilt nicht analog für signierte Maße,
Für <math>\mu_1 - \nu_1 = 1</math> und <math>\mu_2 - \nu_2 = -1</math>
gilt <math>d_\mathrm{TV}(\mu,\nu) = 2</math> und <math>d_\mathcal{F}(\mu,\nu) = 1</math>.
Für <math>\mu_1 - \nu_1 = 1</math> und <math>\mu_2 - \nu_2 = -2</math>
gilt <math>d_\mathrm{TV}(\mu,\nu) = 3</math> und <math>d_\mathcal{F}(\mu,\nu) = 2</math>.

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-09-01T10:48:41Z

Sigma^2: /* Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung */

Geplante Ergänzungen
# zum Artikel [[Stichprobenverteilung]]
# zum Artikel [[Hahn-Jordan-Zerlegung]]

=== Bayesianische Inferenzstatistik ===
Bei der bayesianischen Inferenz wird die [[A-priori-Verteilung]], die auf dem Parameterraum eines zu schätzenden Parameters definiert ist, unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> und unter Verwendung eines realisierten und beobachteten Wertes <math>\mathbf{x} =(x_1,\dots,x_n)</math> des Stichprobenvektors in die [[A-posteriori-Verteilung]] transformiert. Dabei ist die A-posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus A-priori-Verteilung und der [[Likelihoodfunktion]]. Die Likelihoodfunktion gibt im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeit und im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte des beobachten Wertes <math>\mathbf{x}</math> für alternative Parameter an und wird als Funktion auf dem Parameterraum interpretiert.

Falls eine [[suffiziente Statistik|suffiziente Stichprobenfunktion]] (suffiziente Statistik) existiert, kann die Stichprobenverteilung dieser Stichprobenfunktion an die Stelle der Verteilung des Stichprobenvektors treten, ohne dass sich die resultierende A-posteriori-Verteilung ändert.
==== Beispiel ====
Die Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> seien stochastisch unabhängig und identisch [[Bernoulli-verteilt]] mit unbekanntem [[Bernoulli-Parameter]] <math>0 < p< 1</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist dann
:<math>P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}) = \begin{cases} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) \in \{0,1\}^n \\
0&\text{sonst} \end{cases}\;,</math>
wobei <math>k := \sum_{i=1}^n x_i</math>.
Wenn <math>f_0</math> die gegebene Dichtefunktion einer A-Priori-Verteilung auf dem Intervall <math>(0,1)</math> ist und <math>\mathbf{x}</math> ein relasierter und beobachteter Wert des Suchprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist, dann ist die Dichtefunktion <math>f_1</math> der A-Posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus <math>f_0</math> und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{\mathbf x}(p) := P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}),\quad 0 < p < 1\;.</math>
Es gilt also
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c \cdot L_{\mathbf x}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die Summe <math>K = \sum_{i=1}^n X_i</math> der Stichprobenvariablen ist eine suffiziente Stichprobenfunktion für den Parameter <math>p</math> mit der Stichprobenverteilung
:<math>P_p(K = k) = \begin{cases}\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }k \in \{0,1,\dots, n\}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases} </math>
und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{k}(p) := P_p(K =k), \quad 0 < p < 1 \;.</math>
Da sich die Likelihoodfunktionen <math>L_{\mathbf x}</math> und <math>L_{k}</math> nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, gilt auch
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c' \cdot L_{k}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die bayessche Inferenz beruhend auf der Verteilung des Stichprobenvektors und auf der Stichprobenverteilung der suffizienten Stichprobenfunktion führt zur selben A-Posteriori-Verteilung. Zu diesem Beispiel siehe auch [[Bayessche Statistik#Bayessche Inferenz am Beispiel des Münzwurfes]] und [[Suffiziente Statistik#Beispiel Binomialverteilung]].

=== Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung ===
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> und mit <math>\mu(\{1\})=3</math> und <math>\mu(\{2\})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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|}
<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

=== Beispiele zum Variationsabstand von Wahrscheinlichkeitsmaßen ===
Gegeben seien der Meßraum <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math>, <math>\mathcal{F} =2^\Omega</math> und die beiden Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P(\{1\})=1</math> und <math>Q(\{2\})=1</math>.
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Der ''Variationsabstand''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Metriken in der Wahrscheinlichkietstheorie |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Seiten=257–259}} </ref> zweier Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf demselben Messraum definiert sind, ist die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>P-Q</math>
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) := \|P-Q\|_\mathrm{TV} = |P-Q|(\Omega)\;.</math>
Im Beispiel gilt <math>|P-Q|(\Omega) =2</math>.
Eine ähnliche Distanz ist
:<math>d_{\mathcal{F}}(P,Q) := \sup_{A \in\mathcal{F}}|P(A)-Q(A)|</math>.
Allgemein gilt für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf demselben Messraum
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q).</math>
(Quelle?, Beweis?)
Im Beispiel ist <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)= 1</Math>.
Von einigen Autoren wird die Distanz <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)</math> als Variationsabstand oder Totalvariationsdistanz bezeichnet, obwohl sich die beiden Distanzen um den Faktor 2 unterscheiden. Daraus ergeben sich Verwechselungen und Inkonsistenzen in der Literatur. (Z. B. Abweichung zwischen englischer und französischer Wikipedia).

Für einen diskreten Messraum <math>(\Omega,2^\Omega)</math> mit abzählbarem <math>\Omega</math> und zwei Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf <math>(\Omega,2^\Omega)</math> definiert sind, gilt
:<math> \sum_{x \in \Omega}|P(\{x\}) -Q(\{x\}| = d_{\mathrm{TV}}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q)\;. </math>

=== Variationsabstand und signierte Maße ===
Gegeben seien der Meßraum <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math>, <math>\mathcal{F} =2^\Omega</math> und die beiden endlichen signierten Maße <math>\mu</math> und <math>\nu</math> mit <math>\nu_i = \nu(\{i\})</math> und <math>\mu_i = \mu(\{i\})</math> für <math>i=1,2</math>.
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Der ''Variationsabstand''<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Metriken in der Wahrscheinlichkietstheorie |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Seiten=257–259}} </ref> zweier Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf demselben Messraum definiert sind, ist die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>P-Q</math>
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) := \|P-Q\|_\mathrm{TV} = |P-Q|(\Omega)\;.</math>
Im Beispiel gilt <math>|P-Q|(\Omega) =2</math>.
Eine ähnliche Distanz ist
:<math>d_{\mathcal{F}}(P,Q) := \sup_{A \in\mathcal{F}}|P(A)-Q(A)|</math>.
Allgemein gilt für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf demselben Messraum
:<math>d_\mathrm{TV}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q).</math>
(Quelle?, Beweis?)
Im Beispiel ist <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)= 1</Math>.
Von einigen Autoren wird die Distanz <math>d_{\mathcal{F}}(P,Q)</math> als Variationsabstand oder Totalvariationsdistanz bezeichnet, obwohl sich die beiden Distanzen um den Faktor 2 unterscheiden. Daraus ergeben sich Verwechselungen und Inkonsistenzen in der Literatur. (Z. B. Abweichung zwischen englischer und französischer Wikipedia).

Für einen diskreten Messraum <math>(\Omega,2^\Omega)</math> mit abzählbarem <math>\Omega</math> und zwei Wahrscheinlichkeitsmaße <math>P</math> und <math>Q</math>, die auf <math>(\Omega,2^\Omega)</math> definiert sind, gilt
:<math> \sum_{x \in \Omega}|P(\{x\}) -Q(\{x\}| = d_{\mathrm{TV}}(P,Q) = 2 d_{\mathcal{F}}(P,Q)\;. </math>

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-08-31T15:24:11Z

Sigma^2:

Hahn-Jordan-Zerlegung

2024-08-31T13:45:59Z

Sigma^2: /* Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes */ fehlende Klammern ergänzt

In der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die '''Hahn-Jordan-Zerlegung''', wie man ein [[signiertes Maß]] in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den '''Hahnschen Zerlegungssatz''' und den '''Jordanschen Zerlegungssatz'''. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von [[Hans Hahn]] 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf [[Marie Ennemond Camille Jordan]], der [[1881]] gezeigt hat, dass sich eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] [[Beschränktheit|beschränkter]] Variation als Differenz zweier [[Monotone Abbildung|monoton wachsender]] Funktionen darstellen lässt.

== Hahnscher Zerlegungssatz ==
=== Aussage ===
Sei <math>(X,\mathcal{A})</math> ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] und <math>\mu </math> ein [[signiertes Maß]] auf diesem Messraum.

Dann existiert eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] der Grundmenge <math> X </math> in eine [[Positive Menge]] <math> P </math> und eine [[Negative Menge]] <math> N </math>, also <math> X= P \cup N </math> und <math> P \cap N = \emptyset </math>.

=== Bemerkung ===
Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine <math> \mu </math>-Nullmenge eindeutig. Ist also <math> P^*, N^* </math> eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist <math> P \triangle P^* = N \triangle N^* </math> und <math> \mu (P \triangle P^* )= \mu(N \triangle N^*)=0 </math>. Dabei bezeichnet <math> \triangle </math> die [[symmetrische Differenz]].

== Variation ==
Mittels des Hahnschen Zerlegungssatzes lassen sich die '''Variation''', die '''positive Variation''' und die '''negative Variation''' definieren. Die Variation wird teils auch '''Totalvariation''' oder '''totale Variation''' genannt. Diese Bezeichnung ist jedoch zweideutig, da sie teilweise auch für die aus der Variation konstruierte Norm, die [[Totalvariationsnorm]], verwendet wird.
=== Definition ===
Ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung <math> N,P </math>, so heißt
:<math> \mu^+(A):=\mu(A \cap P) </math>

die ''positive Variation'' von <math> \mu </math>,
:<math> \mu^-(A):= -\mu(A \cap N ) </math>

die ''negative Variation'' von <math> \mu </math> und
:<math> |\mu|(A):=\mu^+(A)+\mu^-(A) </math>

die ''Variation'' von <math> \mu </math>.

=== Bemerkungen ===
* Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
* Die Kennzahl <math> |\mu|(X) </math> heißt auch die [[Totalvariationsnorm]] eines signierten Maßes.
* Die positive Variation und die negative Variation sind [[Singuläres Maß|singulär]] zueinander.

== Jordanscher Zerlegungssatz ==
Der Jordansche Zerlegungssatz fasst noch einmal die Zerlegung des signierten Maßes zusammen. Er lautet: ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß, so ist
:<math> \mu = \mu^+ - \mu^- </math>

und <math> \mu^+ </math> und <math> \mu^- </math> sind singulär zueinander, also <math> \mu^+ \perp \mu^- </math>.

== Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes ==
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> und mit <math>\mu(\{1\})=3</math> und <math>\mu(\{2\})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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|}
<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

== Literatur ==
* [[Camille Jordan]]: ''Sur la Série de Fourier.'' In: ''Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences.'' Bd. 92, Nr. 5, 1881, {{ISSN|0001-4036}}, S. 228–230, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7351t/f227.image Digitalisat].
* {{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

== Weblinks ==
* [https://arxiv.org/pdf/1206.5449v2.pdf Beweis der grundlegenden Aussagen zur Hahn-Jordan-Zerlegung (pdf, englisch; 62 kB)]

[[Kategorie:Maßtheorie]]

Hahn-Jordan-Zerlegung

2024-08-31T13:41:06Z

Sigma^2: /* Jordanscher Zerlegungssatz */ +Beispiel

In der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die '''Hahn-Jordan-Zerlegung''', wie man ein [[signiertes Maß]] in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den '''Hahnschen Zerlegungssatz''' und den '''Jordanschen Zerlegungssatz'''. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von [[Hans Hahn]] 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf [[Marie Ennemond Camille Jordan]], der [[1881]] gezeigt hat, dass sich eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] [[Beschränktheit|beschränkter]] Variation als Differenz zweier [[Monotone Abbildung|monoton wachsender]] Funktionen darstellen lässt.

== Hahnscher Zerlegungssatz ==
=== Aussage ===
Sei <math>(X,\mathcal{A})</math> ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] und <math>\mu </math> ein [[signiertes Maß]] auf diesem Messraum.

Dann existiert eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] der Grundmenge <math> X </math> in eine [[Positive Menge]] <math> P </math> und eine [[Negative Menge]] <math> N </math>, also <math> X= P \cup N </math> und <math> P \cap N = \emptyset </math>.

=== Bemerkung ===
Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine <math> \mu </math>-Nullmenge eindeutig. Ist also <math> P^*, N^* </math> eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist <math> P \triangle P^* = N \triangle N^* </math> und <math> \mu (P \triangle P^* )= \mu(N \triangle N^*)=0 </math>. Dabei bezeichnet <math> \triangle </math> die [[symmetrische Differenz]].

== Variation ==
Mittels des Hahnschen Zerlegungssatzes lassen sich die '''Variation''', die '''positive Variation''' und die '''negative Variation''' definieren. Die Variation wird teils auch '''Totalvariation''' oder '''totale Variation''' genannt. Diese Bezeichnung ist jedoch zweideutig, da sie teilweise auch für die aus der Variation konstruierte Norm, die [[Totalvariationsnorm]], verwendet wird.
=== Definition ===
Ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung <math> N,P </math>, so heißt
:<math> \mu^+(A):=\mu(A \cap P) </math>

die ''positive Variation'' von <math> \mu </math>,
:<math> \mu^-(A):= -\mu(A \cap N ) </math>

die ''negative Variation'' von <math> \mu </math> und
:<math> |\mu|(A):=\mu^+(A)+\mu^-(A) </math>

die ''Variation'' von <math> \mu </math>.

=== Bemerkungen ===
* Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
* Die Kennzahl <math> |\mu|(X) </math> heißt auch die [[Totalvariationsnorm]] eines signierten Maßes.
* Die positive Variation und die negative Variation sind [[Singuläres Maß|singulär]] zueinander.

== Jordanscher Zerlegungssatz ==
Der Jordansche Zerlegungssatz fasst noch einmal die Zerlegung des signierten Maßes zusammen. Er lautet: ist <math> \mu </math> ein signiertes Maß, so ist
:<math> \mu = \mu^+ - \mu^- </math>

und <math> \mu^+ </math> und <math> \mu^- </math> sind singulär zueinander, also <math> \mu^+ \perp \mu^- </math>.

== Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes ==
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> und mit <math>\mu({1})=3</math> und <math>\mu({2})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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|}
<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

== Literatur ==
* [[Camille Jordan]]: ''Sur la Série de Fourier.'' In: ''Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences.'' Bd. 92, Nr. 5, 1881, {{ISSN|0001-4036}}, S. 228–230, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7351t/f227.image Digitalisat].
* {{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

== Weblinks ==
* [https://arxiv.org/pdf/1206.5449v2.pdf Beweis der grundlegenden Aussagen zur Hahn-Jordan-Zerlegung (pdf, englisch; 62 kB)]

[[Kategorie:Maßtheorie]]

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-08-31T13:38:38Z

Sigma^2: /* Zu signierten Maßen */

Geplante Ergänzungen
# zum Artikel [[Stichprobenverteilung]]
# zum Artikel [[Signiertes Maß]]

=== Bayesianische Inferenzstatistik ===
Bei der bayesianischen Inferenz wird die [[A-priori-Verteilung]], die auf dem Parameterraum eines zu schätzenden Parameters definiert ist, unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> und unter Verwendung eines realisierten und beobachteten Wertes <math>\mathbf{x} =(x_1,\dots,x_n)</math> des Stichprobenvektors in die [[A-posteriori-Verteilung]] transformiert. Dabei ist die A-posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus A-priori-Verteilung und der [[Likelihoodfunktion]]. Die Likelihoodfunktion gibt im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeit und im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte des beobachten Wertes <math>\mathbf{x}</math> für alternative Parameter an und wird als Funktion auf dem Parameterraum interpretiert.

Falls eine [[suffiziente Statistik|suffiziente Stichprobenfunktion]] (suffiziente Statistik) existiert, kann die Stichprobenverteilung dieser Stichprobenfunktion an die Stelle der Verteilung des Stichprobenvektors treten, ohne dass sich die resultierende A-posteriori-Verteilung ändert.
==== Beispiel ====
Die Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> seien stochastisch unabhängig und identisch [[Bernoulli-verteilt]] mit unbekanntem [[Bernoulli-Parameter]] <math>0 < p< 1</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist dann
:<math>P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}) = \begin{cases} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) \in \{0,1\}^n \\
0&\text{sonst} \end{cases}\;,</math>
wobei <math>k := \sum_{i=1}^n x_i</math>.
Wenn <math>f_0</math> die gegebene Dichtefunktion einer A-Priori-Verteilung auf dem Intervall <math>(0,1)</math> ist und <math>\mathbf{x}</math> ein relasierter und beobachteter Wert des Suchprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist, dann ist die Dichtefunktion <math>f_1</math> der A-Posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus <math>f_0</math> und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{\mathbf x}(p) := P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}),\quad 0 < p < 1\;.</math>
Es gilt also
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c \cdot L_{\mathbf x}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die Summe <math>K = \sum_{i=1}^n X_i</math> der Stichprobenvariablen ist eine suffiziente Stichprobenfunktion für den Parameter <math>p</math> mit der Stichprobenverteilung
:<math>P_p(K = k) = \begin{cases}\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }k \in \{0,1,\dots, n\}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases} </math>
und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{k}(p) := P_p(K =k), \quad 0 < p < 1 \;.</math>
Da sich die Likelihoodfunktionen <math>L_{\mathbf x}</math> und <math>L_{k}</math> nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, gilt auch
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c' \cdot L_{k}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die bayessche Inferenz beruhend auf der Verteilung des Stichprobenvektors und auf der Stichprobenverteilung der suffizienten Stichprobenfunktion führt zur selben A-Posteriori-Verteilung. Zu diesem Beispiel siehe auch [[Bayessche Statistik#Bayessche Inferenz am Beispiel des Münzwurfes]] und [[Suffiziente Statistik#Beispiel Binomialverteilung]].
Gegeben sei der [[signierter Maßraum|signierte Maßraum]] <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> mit <math>\mu({1})=3</math> und <math>\mu({2})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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|}
<math>\mu</math> ist ein signiertes Maß; <math>\mu^+, \mu^-</math> und <math>|\mu|</math> sind Maße. Die Mengenfunktion <math>|\mu(\cdot)|</math> ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation <math>|\mu|(\cdot)</math> verwechselt werden.
Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes <math>\mu</math> ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-08-31T13:20:43Z

Sigma^2: /* Einleitung */

Geplante Ergänzungen
# zum Artikel [[Stichprobenverteilung]]
# zum Artikel [[Signiertes Maß]]

=== Bayesianische Inferenzstatistik ===
Bei der bayesianischen Inferenz wird die [[A-priori-Verteilung]], die auf dem Parameterraum eines zu schätzenden Parameters definiert ist, unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> und unter Verwendung eines realisierten und beobachteten Wertes <math>\mathbf{x} =(x_1,\dots,x_n)</math> des Stichprobenvektors in die [[A-posteriori-Verteilung]] transformiert. Dabei ist die A-posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus A-priori-Verteilung und der [[Likelihoodfunktion]]. Die Likelihoodfunktion gibt im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeit und im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte des beobachten Wertes <math>\mathbf{x}</math> für alternative Parameter an und wird als Funktion auf dem Parameterraum interpretiert.

Falls eine [[suffiziente Statistik|suffiziente Stichprobenfunktion]] (suffiziente Statistik) existiert, kann die Stichprobenverteilung dieser Stichprobenfunktion an die Stelle der Verteilung des Stichprobenvektors treten, ohne dass sich die resultierende A-posteriori-Verteilung ändert.
==== Beispiel ====
Die Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> seien stochastisch unabhängig und identisch [[Bernoulli-verteilt]] mit unbekanntem [[Bernoulli-Parameter]] <math>0 < p< 1</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist dann
:<math>P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}) = \begin{cases} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) \in \{0,1\}^n \\
0&\text{sonst} \end{cases}\;,</math>
wobei <math>k := \sum_{i=1}^n x_i</math>.
Wenn <math>f_0</math> die gegebene Dichtefunktion einer A-Priori-Verteilung auf dem Intervall <math>(0,1)</math> ist und <math>\mathbf{x}</math> ein relasierter und beobachteter Wert des Suchprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist, dann ist die Dichtefunktion <math>f_1</math> der A-Posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus <math>f_0</math> und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{\mathbf x}(p) := P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}),\quad 0 < p < 1\;.</math>
Es gilt also
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c \cdot L_{\mathbf x}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die Summe <math>K = \sum_{i=1}^n X_i</math> der Stichprobenvariablen ist eine suffiziente Stichprobenfunktion für den Parameter <math>p</math> mit der Stichprobenverteilung
:<math>P_p(K = k) = \begin{cases}\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }k \in \{0,1,\dots, n\}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases} </math>
und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{k}(p) := P_p(K =k), \quad 0 < p < 1 \;.</math>
Da sich die Likelihoodfunktionen <math>L_{\mathbf x}</math> und <math>L_{k}</math> nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, gilt auch
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c' \cdot L_{k}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die bayessche Inferenz beruhend auf der Verteilung des Stichprobenvektors und auf der Stichprobenverteilung der suffizienten Stichprobenfunktion führt zur selben A-Posteriori-Verteilung. Zu diesem Beispiel siehe auch [[Bayessche Statistik#Bayessche Inferenz am Beispiel des Münzwurfes]] und [[Suffiziente Statistik#Beispiel Binomialverteilung]].
=== Zu signierten Maßen ===
Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes.
Gegeben sei der signierte Maßraum <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> mit <math>\mu({1})=3</math> und <math>\mu({2})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
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|<math>1</math>
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|}
Die Totalvariationsnorm ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-08-31T13:18:54Z

Sigma^2: /* Zu signierten Maßen */

Geplante Ergänzung zum Artikel [[Stichprobenverteilung]]

=== Bayesianische Inferenzstatistik ===
Bei der bayesianischen Inferenz wird die [[A-priori-Verteilung]], die auf dem Parameterraum eines zu schätzenden Parameters definiert ist, unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> und unter Verwendung eines realisierten und beobachteten Wertes <math>\mathbf{x} =(x_1,\dots,x_n)</math> des Stichprobenvektors in die [[A-posteriori-Verteilung]] transformiert. Dabei ist die A-posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus A-priori-Verteilung und der [[Likelihoodfunktion]]. Die Likelihoodfunktion gibt im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeit und im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeitsdichte des beobachten Wertes <math>\mathbf{x}</math> für alternative Parameter an und wird als Funktion auf dem Parameterraum interpretiert.

Falls eine [[suffiziente Statistik|suffiziente Stichprobenfunktion]] (suffiziente Statistik) existiert, kann die Stichprobenverteilung dieser Stichprobenfunktion an die Stelle der Verteilung des Stichprobenvektors treten, ohne dass sich die resultierende A-posteriori-Verteilung ändert.
==== Beispiel ====
Die Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> seien stochastisch unabhängig und identisch [[Bernoulli-verteilt]] mit unbekanntem [[Bernoulli-Parameter]] <math>0 < p< 1</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist dann
:<math>P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}) = \begin{cases} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n) \in \{0,1\}^n \\
0&\text{sonst} \end{cases}\;,</math>
wobei <math>k := \sum_{i=1}^n x_i</math>.
Wenn <math>f_0</math> die gegebene Dichtefunktion einer A-Priori-Verteilung auf dem Intervall <math>(0,1)</math> ist und <math>\mathbf{x}</math> ein relasierter und beobachteter Wert des Suchprobenvektors <math>\mathbf{X} =(X_1,\dots,X_n)</math> ist, dann ist die Dichtefunktion <math>f_1</math> der A-Posteriori-Verteilung proportional zum Produkt aus <math>f_0</math> und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{\mathbf x}(p) := P_p(\mathbf{X} = \mathbf{x}),\quad 0 < p < 1\;.</math>
Es gilt also
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c \cdot L_{\mathbf x}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die Summe <math>K = \sum_{i=1}^n X_i</math> der Stichprobenvariablen ist eine suffiziente Stichprobenfunktion für den Parameter <math>p</math> mit der Stichprobenverteilung
:<math>P_p(K = k) = \begin{cases}\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},&\text{falls }k \in \{0,1,\dots, n\}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases} </math>
und der Likelihoodfunktion
:<math>L_{k}(p) := P_p(K =k), \quad 0 < p < 1 \;.</math>
Da sich die Likelihoodfunktionen <math>L_{\mathbf x}</math> und <math>L_{k}</math> nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, gilt auch
:<math>f_1(p; \mathbf{x}) = c' \cdot L_{k}(p) \cdot f_0(p),\quad 0 < p < 1</math>.
Die bayessche Inferenz beruhend auf der Verteilung des Stichprobenvektors und auf der Stichprobenverteilung der suffizienten Stichprobenfunktion führt zur selben A-Posteriori-Verteilung. Zu diesem Beispiel siehe auch [[Bayessche Statistik#Bayessche Inferenz am Beispiel des Münzwurfes]] und [[Suffiziente Statistik#Beispiel Binomialverteilung]].
=== Zu signierten Maßen ===
Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes.
Gegeben sei der signierte Maßraum <math>(\Omega,2^\Omega,\mu)</math> mit <math>\Omega =\{1,2\}</math> mit <math>\mu({1})=3</math> und <math>\mu({2})=-4</math>. Es ist <math>P=\{1\}</math> und <math>N =\{2\}</math>.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
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|<math>1</math>
|<math>3</math>
|<math>4</math>
|<math>7</math>
|}
Die Totalvariationsnorm ist <math>|\mu|(\Omega)=7</math>.

Benutzer:Sigma^2/Baustelle

2024-08-31T13:18:07Z

Sigma^2: /* Bayesianische Inferenzstatistik */

Signiertes Maß

2024-08-31T12:28:02Z

Sigma^2: /* Hahn-Jordan-Zerlegung */ Fehlendes Minuszeichen

'''Signiertes Maß''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Maßtheorie]]. Es ist wie das [[Maß (Mathematik)|Maß]] eine auf einem Mengensystem, meist einer [[σ-Algebra]], definierte Funktion und unterscheidet sich von diesem nur darin, dass auch negative Werte zugelassen sind. Das signierte Maß stellt somit eine Verallgemeinerung des Maßbegriffs dar. Manchmal werden signierte Maße auch als '''Ladungsverteilungen''' bezeichnet, da sie bildlich jedem Teil eines geladenen Körpers die in ihm enthaltene Ladung zuweisen.

Mengen signierter Maße besitzen im Vergleich zu den gewöhnlichen Maßen mehr Struktur. So bildet beispielsweise die Menge aller signierten Maße auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] einen [[Vektorraum]] mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]].

== Definition ==

Sei <math>\Omega</math> eine nichtleere Menge und <math>\mathcal{C} \subseteq 2^\Omega</math> ein [[Mengensystem]] auf <math>\Omega</math> mit <math>\emptyset \in \mathcal{C}</math>.

Eine [[Mengenfunktion]] <math>\nu </math> von <math>\mathcal{C}</math> nach <math>[-\infty, +\infty)</math> oder <math>(-\infty, +\infty]</math> heißt ''signiertes Maß'', wenn gilt:
#<math>\nu(\emptyset) = 0</math>
#Für jede [[disjunkt]]e Familie <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math> und <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math> gilt
:: <math>\nu\left(\bigcup_{i \in\mathbb{N}}A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math>.
::Diese Eigenschaft wird als [[σ-Additivität]] bezeichnet.

Ist das Mengensystem <math>\mathcal{C}</math> eine [[σ-Algebra]], so wird es im Folgenden mit <math>\mathcal{A}</math> bezeichnet. Insbesondere ist dann <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i</math> immer in <math>\mathcal{A}</math> enthalten.

== Bemerkungen zur Definition ==
Die Konvergenz der Reihe <math>\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math> ist als [[unbedingte Konvergenz]] in <math>\bar{\mathbb{R}}</math> zu betrachten, das heißt ihr [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] ist <math>\textstyle \nu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>.

Die Einschränkung auf entweder die Bildmenge <math>[-\infty, +\infty)</math> oder die Bildmenge <math>(-\infty, +\infty]</math> erfolgt, um die Assoziativität der Addition zu erhalten. Außerdem vermeidet sie das Auftreten von nicht definierten Ausdrücken wie <math> - \infty + \infty </math>.

Wählt man als Bildraum die Menge <math> (- \infty, + \infty )</math>, so kann auf die Forderung <math> \nu (\emptyset)=0 </math> verzichtet werden. Dies folgt daraus, dass <math> \nu(\emptyset) </math> eine reelle Zahl ist und
:<math> \nu(\emptyset)= \sum_{i \in \N} \nu(\emptyset) </math>

gilt.

== Beispiele ==
Die beiden hier angegebenen Beispiele sind gleichzeitig die klassischen Methoden, signierte Maße zu konstruieren.
=== Differenz von Maßen ===
Sind <math> \mu_1, \mu_2 </math> endliche Maße auf dem Messraum <math> (\Omega, \mathcal A) </math>, so sind
:<math> \nu_1= \mu_1 - \mu_2 \text{ und } \nu_2= \mu_2 - \mu_1 </math>

signierte Maße auf <math> (\Omega, \mathcal A) </math>. Bei einem der beiden Maße <math> \mu_1, \mu_2 </math> kann auf die Endlichkeit verzichtet werden, wenn man zulassen will, dass die signierten Maße die Werte <math> + \infty </math> oder <math> - \infty </math> annehmen können.

=== Integralinduzierte signierte Maße ===
Signierte Maße treten auch in der Integrationstheorie auf, sie werden von einem unbestimmten Integral induziert.

Sei <math>(\Omega,\mathcal{A},\mu)</math> ein [[Maßraum]] und <math>f \colon \Omega \rightarrow \bar{\mathbb{R}}</math> eine <math>\mathcal{A}-\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})</math> [[Messbare Funktion|messbare]] Funktion. Ist <math>f</math> positiv (nimmt Werte in <math>[0,\infty]</math> an) oder [[Quasiintegrierbare Funktion|quasiintegrierbar]], so existiert das Integral <math>\textstyle \int_\Omega f\chi_{A} d\mu</math> mit <math>\chi</math> als Indikatorfunktion und <math>A\in \mathcal{A}</math> immer.
Die Abbildung <math>\textstyle \int f d\mu \colon \mathcal{A}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}</math> mit
:<math>(\int f d\mu)(A):= \int_\Omega f\chi_A d\mu</math>
definiert das unbestimmte <math>\mu</math>-Integral.
*Ist <math>f</math> positiv, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein Maß.
*Ist <math>f</math> integrierbar, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein endliches signiertes Maß, das heißt <math>\textstyle (\int f d\mu)(A)\in\mathbb{R}</math> für <math>A\in\mathcal{A}</math>.
*Ist <math>f</math> quasiintegrierbar, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein signiertes Maß.
Man verwendet für <math>\textstyle (\int f d\mu)(A)</math> üblicherweise die Kurzschreibweise <math>\textstyle \int_A f d\mu</math>.

== Eigenschaften ==
Gegeben seien <math> A,B \in \mathcal A </math> und <math> B \subset A </math>. Ist <math> |\nu(A)| < \infty</math>, so ist auch stets <math> |\nu(B)| < \infty </math>, denn es gilt <math> \nu(A)= \nu(A \setminus B)+ \nu(B) </math>. Aus der σ-Additivität folgt dann die Endlichkeit der rechten Seite.

Ist <math> A, (A_i)_{i \in \N } \in \mathcal A</math> mit disjunkten <math> A_i </math> und ist
:<math> A= \bigcup_{i \in \N} A_i \text{ sowie } |\nu(A)|< \infty</math>,

so ist die Reihe <math> \sum_{i=1}^\infty \nu(A_i) </math> absolut konvergent. Denn es ist für jede Bijektion <math> \pi \colon \N \to \N </math> immer
:<math> \bigcup_{i \in \N} A_{\pi(i)}= A = \bigcup_{i \in \N} A_i </math>

und somit
:<math> \sum_{i=1}^\infty \nu(A_{\pi(i)}) = \sum_{i=1}^\infty \nu(A_i) </math>.

Also konvergiert die Reihe [[Unbedingte Konvergenz|unbedingt]] und damit auch [[Absolute Konvergenz|absolut]].

=== Stetigkeit von oben ===
Ist <math>\mathcal{C}</math> ein [[Mengenring|Ring]] so ist <math>\nu</math> [[Stetigkeit von oben|stetig von oben]], es gilt folglich, dass für jede [[Monoton fallende Mengenfolge|monoton fallende Folge]] <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math>, <math>|\nu(A_1)|<\infty</math> und <math>\textstyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math>
:<math>\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i)= \nu\left(\bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>
gilt. Ist <math>\mathcal{C}</math> eine σ-Algebra, so ist die Eigenschaft immer erfüllt.

=== Stetigkeit von unten ===
Ein signiertes Maß auf einer σ-Algebra <math> \mathcal A</math> ist [[stetigkeit von unten|stetig von unten]], das heißt für eine [[monoton wachsende Mengenfolge]] <math> (A_i)_{i \in \N }</math> aus <math> \mathcal A </math> gilt
:<math>\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i)= \nu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>.

== Abgeleitete Begriffe ==
=== Positive und negative Mengen ===
Eine Menge <math> A \in \mathcal A </math> wird eine '''positive Menge''' genannt, wenn für jede weitere Menge <math> B \subset A </math> mit <math> B \in \mathcal A </math> gilt, dass
: <math> \nu(B) \geq 0 </math>.

Ebenso wird eine Menge <math> A \in \mathcal A </math> eine '''negative Menge''' genannt, wenn für jede weitere Menge <math> B \subset A </math> mit <math> B \in \mathcal A </math> gilt, dass
: <math> \nu(B) \leq 0 </math>.

Der Begriff der [[Nullmenge]] überträgt sich direkt von Maßen auf signierte Maße.

=== Signierter Maßraum ===
Ist <math> \mathcal A </math> eine σ-Algebra über der Grundmenge <math> \Omega </math> und <math> \nu </math> ein signiertes Maß, so nennt man das Tripel <math> (\Omega, \mathcal A, \nu )</math> einen '''signierten Maßraum'''.

=== Endliches signiertes Maß ===
Ein signiertes Maß <math> \nu </math> heißt endlich, wenn <math> |\nu(A)|< \infty </math> für alle <math> A \in \mathcal A </math>.
Dies ist äquivalent zu <math> |\nu(\Omega)|< \infty </math> oder zur Endlichkeit der [[Variation (Maßtheorie)|Variation]] von <math> \nu </math>.

=== σ-endliches signiertes Maß ===
Ein signiertes Maß heißt σ-endlich, wenn es eine Folge <math> (A_n)_{n \in \N} </math> von Mengen aus <math> \mathcal A </math> gibt, so dass
:<math> \Omega= \bigcup_{n \in \N} A_n </math>

und <math> |\nu(A_n)| < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math>. Dies ist äquivalent dazu, dass die Variation von <math> \nu </math> ein [[Sigma-endliches Maß|σ-endliches Maß]] ist.

=== Reguläres signiertes Maß ===
Ein endliches signiertes Maß auf einem [[Hausdorff-Raum]], versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]] heißt regulär, wenn die Variation des signierten Maßes ein [[reguläres Maß]] ist.

== Wichtige Aussagen ==
=== Hahn-Jordan-Zerlegung ===
{{Hauptartikel|Hahn-Jordan-Zerlegung}}
Die Hahn-Jordan-Zerlegung liefert eine Aufteilung eines signierten Maßes. Dabei wird entweder die Grundmenge auf eindeutige Weise in eine positive Menge und eine negative Menge zerlegt (Hahnscher Zerlegungssatz), oder das signierte Maß in zwei (gewöhnliche) Maße aufgeteilt, von denen mindestens eines endlich ist und die zusammen das signierte Maß ergeben (Jordanscher Zerlegungssatz).

Zu jedem signierten Maß <math> \mu </math> existieren also eine positive Menge <math> P </math> und eine negative Menge <math> N </math>, so dass <math> N \cup P = \Omega </math> und <math> N \cap P = \emptyset </math> ist.

Ebenso existieren Maße <math> \mu^+, \mu^- </math>, (die sogenannte [[positive Variation]] und die [[negative Variation]]), von denen mindestens eines endlich ist, die [[Singuläres Maß|singulär]] zueinander sind und für die <math> \mu= \mu^+-\mu^- </math> gilt.

Es gilt dann
:<math> \mu^+(A)=\mu(P\cap A), \quad \mu^-(A)= -\mu(N \cap A) </math>.

Das Maß <math> |\mu|= \mu^+ + \mu^- </math> nennt man dann die [[Variation (Maßtheorie)|Variation]] von <math> \mu </math>, die Zahl <math> |\mu|(\Omega) </math> die [[Totalvariationsnorm]] des signierten Maßes.

=== Satz von Radon-Nikodym ===
{{Hauptartikel|Satz von Radon-Nikodym}}
Ist <math>\mu</math> ein [[σ-endliches Maß|σ-endliches]] Maß auf dem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(X,\mathcal{A})</math> und ist <math>\nu</math> ein signiertes Maß, das [[Absolut stetiges Maß|absolut stetig]] bezüglich <math>\mu</math> ist (<math>\nu \ll \mu </math>), so besitzt <math>\nu</math> eine Dichtefunktion bezüglich <math>\mu</math>, das heißt, es existiert eine [[messbare Funktion]] <math>f\colon X \to \R</math>, so dass
:<math>\nu(E) = \int_{E} f \,\mathrm{d}\mu</math> für alle <math>E \in \mathcal A</math>.

=== Zerlegungssatz von Lebesgue ===
{{Hauptartikel|Zerlegungssatz von Lebesgue}}
Ist <math>\mu</math> ein σ-endliches Maß auf dem Messraum <math>(X,\mathcal{A})</math> und ist <math>\nu</math> ein σ-endliches signiertes Maß, so existiert genau eine Zerlegung <math> \nu= \tau+ \pi </math>, wobei <math> \tau , \pi </math> signierte Maße sind, so dass <math> \tau </math> absolut stetig bezüglich <math> \mu </math> ist und <math> \pi </math> singulär bezüglich <math> \mu </math> ist.

=== Satz von Vitali-Hahn-Saks ===
{{Hauptartikel|Satz von Vitali-Hahn-Saks}}
Der Satz von Vitali-Hahn-Saks besagt, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein signiertes Maß definiert.

== Räume signierter Maß ==
Im Gegensatz zu den Maßen bilden die signierten Maße auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] einen reellen [[Vektorraum]], wenn sie endlich sind. Insbesondere ist jede reelle [[Linearkombination]] signierter Maße ebenfalls ein signiertes Maß. Die Maße bilden dann einen [[Konvexer Kegel|konvexen Kegel]] in diesem Vektorraum. Wichtige [[Konvexe Menge|konvexe Teilmengen]] sind die [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e und die [[Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß]]e.

Versieht man den Vektorraum der endlichen signierten Maße mit der [[Totalvariationsnorm]] als [[Norm (Mathematik)|Norm]], so erhält man einen [[Normierter Raum|normierten Raum]]. Dieser Raum ist sogar [[Vollständiger Raum|vollständig]], es handelt sich also um einen [[Banachraum]].

Dieser Raum kann noch mit einer Ordnungsstruktur versehen werden, diese wird definiert als
:<math> \mu \leq \nu \; \iff \, \mu(A) \leq \nu (A) \quad \text{für alle } A \in \mathcal A </math>.

Damit werden die endlichen signierten Maße zum [[Riesz-Raum]] und sogar zum [[Banach-Verband]]. Außerdem ist er [[ordnungsvollständig]].

Reguläre signierte Maße treten beispielsweise auch in der [[Funktionalanalysis]] als [[Dualraum]] der im unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen, der sogenannten [[C0-Funktion|C<sub>0</sub>-Funktionen]], auf.

== Anwendungen ==
Mit signierten Maßen lassen sich zum Beispiel Verteilungen von positiven und negativen Ladungen in einem Stoff modellieren.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
*{{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
*{{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Signiertes Maß

2024-08-31T12:20:09Z

Sigma^2: /* Hahn-Jordan-Zerlegung */ dopp. Komma

'''Signiertes Maß''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Maßtheorie]]. Es ist wie das [[Maß (Mathematik)|Maß]] eine auf einem Mengensystem, meist einer [[σ-Algebra]], definierte Funktion und unterscheidet sich von diesem nur darin, dass auch negative Werte zugelassen sind. Das signierte Maß stellt somit eine Verallgemeinerung des Maßbegriffs dar. Manchmal werden signierte Maße auch als '''Ladungsverteilungen''' bezeichnet, da sie bildlich jedem Teil eines geladenen Körpers die in ihm enthaltene Ladung zuweisen.

Mengen signierter Maße besitzen im Vergleich zu den gewöhnlichen Maßen mehr Struktur. So bildet beispielsweise die Menge aller signierten Maße auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] einen [[Vektorraum]] mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]].

== Definition ==

Sei <math>\Omega</math> eine nichtleere Menge und <math>\mathcal{C} \subseteq 2^\Omega</math> ein [[Mengensystem]] auf <math>\Omega</math> mit <math>\emptyset \in \mathcal{C}</math>.

Eine [[Mengenfunktion]] <math>\nu </math> von <math>\mathcal{C}</math> nach <math>[-\infty, +\infty)</math> oder <math>(-\infty, +\infty]</math> heißt ''signiertes Maß'', wenn gilt:
#<math>\nu(\emptyset) = 0</math>
#Für jede [[disjunkt]]e Familie <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math> und <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math> gilt
:: <math>\nu\left(\bigcup_{i \in\mathbb{N}}A_i\right) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math>.
::Diese Eigenschaft wird als [[σ-Additivität]] bezeichnet.

Ist das Mengensystem <math>\mathcal{C}</math> eine [[σ-Algebra]], so wird es im Folgenden mit <math>\mathcal{A}</math> bezeichnet. Insbesondere ist dann <math>\textstyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i</math> immer in <math>\mathcal{A}</math> enthalten.

== Bemerkungen zur Definition ==
Die Konvergenz der Reihe <math>\textstyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \nu(A_i)</math> ist als [[unbedingte Konvergenz]] in <math>\bar{\mathbb{R}}</math> zu betrachten, das heißt ihr [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] ist <math>\textstyle \nu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>.

Die Einschränkung auf entweder die Bildmenge <math>[-\infty, +\infty)</math> oder die Bildmenge <math>(-\infty, +\infty]</math> erfolgt, um die Assoziativität der Addition zu erhalten. Außerdem vermeidet sie das Auftreten von nicht definierten Ausdrücken wie <math> - \infty + \infty </math>.

Wählt man als Bildraum die Menge <math> (- \infty, + \infty )</math>, so kann auf die Forderung <math> \nu (\emptyset)=0 </math> verzichtet werden. Dies folgt daraus, dass <math> \nu(\emptyset) </math> eine reelle Zahl ist und
:<math> \nu(\emptyset)= \sum_{i \in \N} \nu(\emptyset) </math>

gilt.

== Beispiele ==
Die beiden hier angegebenen Beispiele sind gleichzeitig die klassischen Methoden, signierte Maße zu konstruieren.
=== Differenz von Maßen ===
Sind <math> \mu_1, \mu_2 </math> endliche Maße auf dem Messraum <math> (\Omega, \mathcal A) </math>, so sind
:<math> \nu_1= \mu_1 - \mu_2 \text{ und } \nu_2= \mu_2 - \mu_1 </math>

signierte Maße auf <math> (\Omega, \mathcal A) </math>. Bei einem der beiden Maße <math> \mu_1, \mu_2 </math> kann auf die Endlichkeit verzichtet werden, wenn man zulassen will, dass die signierten Maße die Werte <math> + \infty </math> oder <math> - \infty </math> annehmen können.

=== Integralinduzierte signierte Maße ===
Signierte Maße treten auch in der Integrationstheorie auf, sie werden von einem unbestimmten Integral induziert.

Sei <math>(\Omega,\mathcal{A},\mu)</math> ein [[Maßraum]] und <math>f \colon \Omega \rightarrow \bar{\mathbb{R}}</math> eine <math>\mathcal{A}-\mathcal{B}(\bar{\mathbb{R}})</math> [[Messbare Funktion|messbare]] Funktion. Ist <math>f</math> positiv (nimmt Werte in <math>[0,\infty]</math> an) oder [[Quasiintegrierbare Funktion|quasiintegrierbar]], so existiert das Integral <math>\textstyle \int_\Omega f\chi_{A} d\mu</math> mit <math>\chi</math> als Indikatorfunktion und <math>A\in \mathcal{A}</math> immer.
Die Abbildung <math>\textstyle \int f d\mu \colon \mathcal{A}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}</math> mit
:<math>(\int f d\mu)(A):= \int_\Omega f\chi_A d\mu</math>
definiert das unbestimmte <math>\mu</math>-Integral.
*Ist <math>f</math> positiv, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein Maß.
*Ist <math>f</math> integrierbar, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein endliches signiertes Maß, das heißt <math>\textstyle (\int f d\mu)(A)\in\mathbb{R}</math> für <math>A\in\mathcal{A}</math>.
*Ist <math>f</math> quasiintegrierbar, so ist <math>\textstyle \int f d\mu</math> ein signiertes Maß.
Man verwendet für <math>\textstyle (\int f d\mu)(A)</math> üblicherweise die Kurzschreibweise <math>\textstyle \int_A f d\mu</math>.

== Eigenschaften ==
Gegeben seien <math> A,B \in \mathcal A </math> und <math> B \subset A </math>. Ist <math> |\nu(A)| < \infty</math>, so ist auch stets <math> |\nu(B)| < \infty </math>, denn es gilt <math> \nu(A)= \nu(A \setminus B)+ \nu(B) </math>. Aus der σ-Additivität folgt dann die Endlichkeit der rechten Seite.

Ist <math> A, (A_i)_{i \in \N } \in \mathcal A</math> mit disjunkten <math> A_i </math> und ist
:<math> A= \bigcup_{i \in \N} A_i \text{ sowie } |\nu(A)|< \infty</math>,

so ist die Reihe <math> \sum_{i=1}^\infty \nu(A_i) </math> absolut konvergent. Denn es ist für jede Bijektion <math> \pi \colon \N \to \N </math> immer
:<math> \bigcup_{i \in \N} A_{\pi(i)}= A = \bigcup_{i \in \N} A_i </math>

und somit
:<math> \sum_{i=1}^\infty \nu(A_{\pi(i)}) = \sum_{i=1}^\infty \nu(A_i) </math>.

Also konvergiert die Reihe [[Unbedingte Konvergenz|unbedingt]] und damit auch [[Absolute Konvergenz|absolut]].

=== Stetigkeit von oben ===
Ist <math>\mathcal{C}</math> ein [[Mengenring|Ring]] so ist <math>\nu</math> [[Stetigkeit von oben|stetig von oben]], es gilt folglich, dass für jede [[Monoton fallende Mengenfolge|monoton fallende Folge]] <math>(A_i)_{i \in \mathbb{N}}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{C}</math>, <math>|\nu(A_1)|<\infty</math> und <math>\textstyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i \in \mathcal{C}</math>
:<math>\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i)= \nu\left(\bigcap_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>
gilt. Ist <math>\mathcal{C}</math> eine σ-Algebra, so ist die Eigenschaft immer erfüllt.

=== Stetigkeit von unten ===
Ein signiertes Maß auf einer σ-Algebra <math> \mathcal A</math> ist [[stetigkeit von unten|stetig von unten]], das heißt für eine [[monoton wachsende Mengenfolge]] <math> (A_i)_{i \in \N }</math> aus <math> \mathcal A </math> gilt
:<math>\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i)= \nu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}A_i\right)</math>.

== Abgeleitete Begriffe ==
=== Positive und negative Mengen ===
Eine Menge <math> A \in \mathcal A </math> wird eine '''positive Menge''' genannt, wenn für jede weitere Menge <math> B \subset A </math> mit <math> B \in \mathcal A </math> gilt, dass
: <math> \nu(B) \geq 0 </math>.

Ebenso wird eine Menge <math> A \in \mathcal A </math> eine '''negative Menge''' genannt, wenn für jede weitere Menge <math> B \subset A </math> mit <math> B \in \mathcal A </math> gilt, dass
: <math> \nu(B) \leq 0 </math>.

Der Begriff der [[Nullmenge]] überträgt sich direkt von Maßen auf signierte Maße.

=== Signierter Maßraum ===
Ist <math> \mathcal A </math> eine σ-Algebra über der Grundmenge <math> \Omega </math> und <math> \nu </math> ein signiertes Maß, so nennt man das Tripel <math> (\Omega, \mathcal A, \nu )</math> einen '''signierten Maßraum'''.

=== Endliches signiertes Maß ===
Ein signiertes Maß <math> \nu </math> heißt endlich, wenn <math> |\nu(A)|< \infty </math> für alle <math> A \in \mathcal A </math>.
Dies ist äquivalent zu <math> |\nu(\Omega)|< \infty </math> oder zur Endlichkeit der [[Variation (Maßtheorie)|Variation]] von <math> \nu </math>.

=== σ-endliches signiertes Maß ===
Ein signiertes Maß heißt σ-endlich, wenn es eine Folge <math> (A_n)_{n \in \N} </math> von Mengen aus <math> \mathcal A </math> gibt, so dass
:<math> \Omega= \bigcup_{n \in \N} A_n </math>

und <math> |\nu(A_n)| < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math>. Dies ist äquivalent dazu, dass die Variation von <math> \nu </math> ein [[Sigma-endliches Maß|σ-endliches Maß]] ist.

=== Reguläres signiertes Maß ===
Ein endliches signiertes Maß auf einem [[Hausdorff-Raum]], versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]] heißt regulär, wenn die Variation des signierten Maßes ein [[reguläres Maß]] ist.

== Wichtige Aussagen ==
=== Hahn-Jordan-Zerlegung ===
{{Hauptartikel|Hahn-Jordan-Zerlegung}}
Die Hahn-Jordan-Zerlegung liefert eine Aufteilung eines signierten Maßes. Dabei wird entweder die Grundmenge auf eindeutige Weise in eine positive Menge und eine negative Menge zerlegt (Hahnscher Zerlegungssatz), oder das signierte Maß in zwei (gewöhnliche) Maße aufgeteilt, von denen mindestens eines endlich ist und die zusammen das signierte Maß ergeben (Jordanscher Zerlegungssatz).

Zu jedem signierten Maß <math> \mu </math> existieren also eine positive Menge <math> P </math> und eine negative Menge <math> N </math>, so dass <math> N \cup P = \Omega </math> und <math> N \cap P = \emptyset </math> ist.

Ebenso existieren Maße <math> \mu^+, \mu^- </math>, (die sogenannte [[positive Variation]] und die [[negative Variation]]), von denen mindestens eines endlich ist, die [[Singuläres Maß|singulär]] zueinander sind und für die <math> \mu= \mu^+-\mu^- </math> gilt.

Es gilt dann
:<math> \mu^+(A)=\mu(P\cap A), \quad \mu^-(A)= \mu(N \cap A) </math>.

Das Maß <math> |\mu|= \mu^+ + \mu^- </math> nennt man dann die [[Variation (Maßtheorie)|Variation]] von <math> \mu </math>, die Zahl <math> |\mu|(\Omega) </math> die [[Totalvariationsnorm]] des signierten Maßes.

=== Satz von Radon-Nikodym ===
{{Hauptartikel|Satz von Radon-Nikodym}}
Ist <math>\mu</math> ein [[σ-endliches Maß|σ-endliches]] Maß auf dem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math>(X,\mathcal{A})</math> und ist <math>\nu</math> ein signiertes Maß, das [[Absolut stetiges Maß|absolut stetig]] bezüglich <math>\mu</math> ist (<math>\nu \ll \mu </math>), so besitzt <math>\nu</math> eine Dichtefunktion bezüglich <math>\mu</math>, das heißt, es existiert eine [[messbare Funktion]] <math>f\colon X \to \R</math>, so dass
:<math>\nu(E) = \int_{E} f \,\mathrm{d}\mu</math> für alle <math>E \in \mathcal A</math>.

=== Zerlegungssatz von Lebesgue ===
{{Hauptartikel|Zerlegungssatz von Lebesgue}}
Ist <math>\mu</math> ein σ-endliches Maß auf dem Messraum <math>(X,\mathcal{A})</math> und ist <math>\nu</math> ein σ-endliches signiertes Maß, so existiert genau eine Zerlegung <math> \nu= \tau+ \pi </math>, wobei <math> \tau , \pi </math> signierte Maße sind, so dass <math> \tau </math> absolut stetig bezüglich <math> \mu </math> ist und <math> \pi </math> singulär bezüglich <math> \mu </math> ist.

=== Satz von Vitali-Hahn-Saks ===
{{Hauptartikel|Satz von Vitali-Hahn-Saks}}
Der Satz von Vitali-Hahn-Saks besagt, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein signiertes Maß definiert.

== Räume signierter Maß ==
Im Gegensatz zu den Maßen bilden die signierten Maße auf einem gemeinsamen [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] einen reellen [[Vektorraum]], wenn sie endlich sind. Insbesondere ist jede reelle [[Linearkombination]] signierter Maße ebenfalls ein signiertes Maß. Die Maße bilden dann einen [[Konvexer Kegel|konvexen Kegel]] in diesem Vektorraum. Wichtige [[Konvexe Menge|konvexe Teilmengen]] sind die [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e und die [[Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß]]e.

Versieht man den Vektorraum der endlichen signierten Maße mit der [[Totalvariationsnorm]] als [[Norm (Mathematik)|Norm]], so erhält man einen [[Normierter Raum|normierten Raum]]. Dieser Raum ist sogar [[Vollständiger Raum|vollständig]], es handelt sich also um einen [[Banachraum]].

Dieser Raum kann noch mit einer Ordnungsstruktur versehen werden, diese wird definiert als
:<math> \mu \leq \nu \; \iff \, \mu(A) \leq \nu (A) \quad \text{für alle } A \in \mathcal A </math>.

Damit werden die endlichen signierten Maße zum [[Riesz-Raum]] und sogar zum [[Banach-Verband]]. Außerdem ist er [[ordnungsvollständig]].

Reguläre signierte Maße treten beispielsweise auch in der [[Funktionalanalysis]] als [[Dualraum]] der im unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen, der sogenannten [[C0-Funktion|C<sub>0</sub>-Funktionen]], auf.

== Anwendungen ==
Mit signierten Maßen lassen sich zum Beispiel Verteilungen von positiven und negativen Ladungen in einem Stoff modellieren.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
*{{Literatur|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]|Titel=Maß- und Integrationstheorie|Auflage=6., korrigierte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2009|ISBN=978-3-540-89727-9|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
*{{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}

[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Diskussion:Funktion (Mathematik)

2024-08-27T12:07:41Z

Sigma^2: /* Nur eine Definitionsmenge? */

{{Diskussionsseite}}
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== Grundlegende Begriffe und deren Notation ==

=== Die Bedeutung von <math>f</math> von <math>x</math> ===
Der Ausdruck <math>f</math> von <math>x</math>, also <math>f(x)</math>, wird in verschiedenen Zusammenhängen unscharf genutzt. Ich habe im Studium noch die Sprechweise gelernt: ''Die Funktion <math>f</math> mit dem Funktionsterm <math>f(x)=</math> …''
Mittlerweile habe ich schon gelesen: ''Die Funktion <math>f(x)</math>'' … Dieses wird auch auf der Artikelseite und anderen Seiten praktiziert. Die (alte) Sprechweise oben wird offenbar verkürzt zu: ''Die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)</math> = …'' bzw. zu: ''Die Funktion <math>f(x)</math> = …''. Jedoch kann die Verkürzung zu Missdeutungen des Ausdrucks <math>f(x)</math> führen.

==== <math>f(x)</math> als Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bzw. Funktionsterm ====
Der Ausdruck <math>f(x)</math> war für mich bislang immer der Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bzw. der Ausdruck für den Funktionsterm, mit dessen Hilfe die Funktionswerte berechnet werden kann. Diese beiden Bedeutungen sehe ich noch als gleichwertig an und das lässt sich auch in der Literatur durchgehend belegen. Alles, was darüber hinaus geht, sehe ich als problematisch an und verwirrend.

Bei der Quadratfunktion <math>f</math> ist der Funktionsterm <math>f(x) = x^2</math>. Dies lese ich im Sinne einer Definition, d. h. für den Funktionsterm <math>f(x)</math> gilt: <math>f(x):=x^2</math>. <math>f(x)</math> repräsentiert nur den Funktionsterm. Entsprechend ist <math>f(x)=x^2</math> keine Gleichung, sondern eine Definition.

==== <math>f(x)</math> im Zusammenhang des Begriffs "Funktionsgleichung" ====
Nun lese ich aber in letzter Zeit immer häufiger, z. B. <math>f(x) = x^2</math> sei eine Funktionsgleichung. Der Begriff Funktionsgleichung ist jedoch in älteren Werken, z. B. im Taschenbuch der Mathematik (Bronstein, 25. Auflage) für die Gleichung <math>y = x^2</math> vorgesehen. Diese Gleichung hat eine Lösungsmenge mit gewissen Wertepaaren <math>(x, y)</math>, die nach Einsetzen in die Gleichung wahre Aussagen liefern und derer grafische Darstellung den Graphen der Funktion <math>f</math> ergibt.
Nun könnte man einwenden, dass dieses kleinlich sei, da man ja die Funktionswerte einfach mit <math>y</math> benennen könnte, also <math>y = f(x)</math>. So gesehen, wäre <math>f(x) = x^2</math> eine "Funktionsgleichung". Jedoch sollte man dann konsequenterweise davon absehen, den Ausdruck <math>f(x)</math> als Funktion zu bezeichnen, da ja damit Funktionswerte bezeichnet werden.
Die Bezeichnung von <math>f(x) = x^2</math> bleibt wiederum mehrdeutig: Wird hier ein Funktionsterm definiert oder ist eine "Funktionsgleichung" (mit einer gewissen Lösungsmenge) angegeben?

==== Vorschlag ====
Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, sollten Funktionen ausschließlich mit dem Funktionsnamen, z. B. <math>f</math> und nicht mit dem Ausdruck <math>f(x)</math> benannt werden. Wird eine verkürzte Ausdrucksweise gewünscht, sollte die folgende Formulierung verwendet werden: ''Die Betragsfunktion'' <math>f</math> '''''mit''''' <math>f(x)=|x|</math> und nicht: ''Die Betragsfunktion'' <math>f(x)=|x|</math>. Der Ausdruck <math>f(x)</math> sollte dem Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bzw. dem Funktionsterm vorbehalten bleiben. Wird der Begriff Funktionsgleichung verwendet, ist die Schreibweise <math>y=f(x)</math> vorzuziehen, um die Mehrdeutigkeit zum Funktionsterm zu vermeiden.

==== Euler und <math>f</math> von <math>x</math> ====
Wie verwendet Euler den Ausdruck ursprünglich? Ich kann leider dazu nichts finden, außer dass Euler diesen Ausdruck eingeführt habe. --[[Benutzer:Mrepker|Mrepker]] ([[Benutzer Diskussion:Mrepker|Diskussion]]) 20:56, 26. Jan. 2023 (CET)
:+1. Die Funktion ist <math>f</math> oder <math>f(\cdot)</math>. Dagegen sollte <math>f(x)</math> in Definitonszusammenhängen, <math>f(x) = ...</math>, <math> x \mapsto f(x)</math>, verwendet werden. --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:41, 29. Nov. 2023 (CET)

== Kann ''D'' die leere Menge sein? ==

Für den Definitionsbereich <math>D</math> ist der Fall <math>D = \emptyset</math> nicht ausgeschlossen. Ist das Absicht? Ist <math>f: \emptyset \to M</math> ein sinnvolles mathematisches Objekt?--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:47, 29. Nov. 2023 (CET)

:Sinnvoll: auf jeden Fall. Besonders interessant: eher nicht. --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 11:15, 29. Nov. 2023 (CET)

== Schreibweise von Exponenten ==

Exponenten schreibt man meines Wissens direkt ans Funktionszeichen, also <math>f(x)\cdot f(x) = f^2(x)</math> und ''nicht'' <math>f(x)\cdot f(x) = f(x)^2</math>. Sollte man das vielleicht erwähnen? --[[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 02:37, 31. Dez. 2023 (CET)
:Es gibt beide Schreibweisen, die je nach Kontext aber missverständlich sein können, insbesondere wird die Schreibweise direkt an der Funktion auch zur Kennzeichnung von [[Differentialrechnung#Lagrange-Notation|Ableitungen]] (<math>f^{(n)}</math>), der [[inverse Funktion|inversen Funktion]] (<math>f^{-1}</math>) oder allgemeiner der [[Komposition_(Mathematik)#Iteration|Verkettung von Funktionen]] (<math>f^{n}</math>) verwendet. Insofern ist die zweite Schreibweise sicherer bzw. meidet Verwechselungen.--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 04:43, 31. Dez. 2023 (CET)
:: Ah, ich verstehe. Das mit der Vermeidung von Missverständnissen geht natürlich nur, wenn man “(x)” auch schreibt. Der Physiker schreibt <math>E_\text{kin}=\tfrac 1 2 mv^2</math> und fügt nicht unbedingt hinzu, dass v zeitabhängig ist, also v(t). Er schreibt auch sin²(x). — [[Benutzer:Wassermaus|Wassermaus]] ([[Benutzer Diskussion:Wassermaus|Diskussion]]) 09:27, 31. Dez. 2023 (CET)
::: Ja, ohne das (x) sind Verwechselungen nicht vermeidbar bzw. die Bedeutung ist immer kontextabhängig (Notationstraditionen/konventionen des betroffen Fachgebiets, Bezug zu vorher definierten/eingeführten Verknüpfungsoperationen, etc.). Bei den trigonometrischen Funktionen gibt es ja zudem auch die nicht-funktionale Notation mit x, bei der man ohne die Einführung von Klammern die Potenzierung nur der Funktion zuordnen kann (<math> \sin x</math>statt <math> \sin(x)</math>, da geht dann nur <math> \sin^2 x</math> oder <math> (\sin x)^2</math>).--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 12:54, 31. Dez. 2023 (CET)

== "Naiver" Funktionsbegriff? ==

Im Abschnitt "Begriffsgeschichte" finden sich folgende Sätze;

''Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen Descartes und Fermat, die mit Hilfe der von Vieta eingeführten Variablen die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten.[2] Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel y = x^2 dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten.''

Es stellt sich mir die Frage, was daran in diesem Kontext "naiv" sein soll. Der Satz klingt eher wie ein arrogantes Statement eines typischen Hochschulmathematikers, der so tut, als sei die Mathematik erst seit dem 19. Jahrhundert, als alles auf eine "saubere" Grundlage gestellt wurde, eine richtige Wissenschaft geworden. IMHO ist der Funktionsbegriff von Descartes, Euler etc. aber genau der, der auch heute noch relevant ist. Man kann jetzt noch viel mit Verallgemeinerungen, Abbildungen zwischen möglichst abstrakten Mengen etc. daherkommen - am Grundbegriff einer Funktion ändert das nichts. Ich erkläre es immer so, dass eine Funktion in der Regel eine Eingabe (bisweilen auch mehrere Eingaben) zu einer Ausgabe (oder ggf. mehreren) Ausgaben verarbeitet. Es gibt also einen Input und einen Output. Genauso wird es auch in der Informatik gehandhabt. Auch im allgemeinen Sprachgebrauch bedeutet "eine Funktion erfüllen", dass man etwas verarbeitet. Als Beispiel benutze ich oft die Funktion eines Fahrkartenautomaten. Die Eingabe besteht aus Geld und Information, wohin man fahren möchte, die Ausgabe aus dem Ticket und eventuell noch einer Kaufquittung.

--[[Spezial:Beiträge/2A02:AA16:1104:D300:DC48:1083:F10F:5FB2|2A02:AA16:1104:D300:DC48:1083:F10F:5FB2]] 03:02, 23. Mär. 2024 (CET)

:"Naiv" ist in der Mathematik nicht so abwertend wie im Alltag. Es gibt auch "Naive Mengenlehre", die ist alles andere als naiv im üblichen Sinn.
:Was den Funktionsbegriff in dem zitierten Abschnitt vom heutigen unterscheidet, ist, dass vorausgesetzt wird, dass der Zusammenhang zwischen Input und Output durch eine Gleichung beschrieben wird. Das, was du beschreibst, ist viel allgemeiner. Wie Input und Output eines Computerprogramms zusammenhängen, kann viel komplizierter sein. Andererseits kann dem einfach eine Look-up-Tabelle zu Grunde liegen. Dann ist man gleich beim modernen Funktionsbegriff, wo eine Funktion einfach eine Menge von Paaren, die Input und Output enthalten, ist.
:"Eine Funktion erfüllen" habe ich noch nie gehört. Gib mal ein Beispiel an. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 13:24, 24. Mär. 2024 (CET)

== 'Multifunktion'? ==
Der Begriff ist mit dem Artikel 'Korrespondenz' verlinkt, in dem es heißt:"In der Mathematik ist der Begriff der Korrespondenz eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion."
Warum wird es dann hier 'Multifunktion' genannt? Richtigerweise sind das ja keine Funktionen, da diese per Definition rechtseindeutig sind. --[[Benutzer:Felix Tritschler|Felix Tritschler]] ([[Benutzer Diskussion:Felix Tritschler|Diskussion]]) 18:19, 15. Apr. 2024 (CEST)
: Dass die Vokabel "Multifunktion" verwendet wird, heißt doch nicht, dass es sich um Funktionen handelt.
: Problematischer ist eher, dass hier Multifunktionen von A nach B linkstotale Relationen von A nach B sein sollen, Korrespondenzen von A nach B aber nach dem dortigen Artikel einfach Funktionen von A nach <math>\mathcal PB</math> sind, was beliebigen Relationen von A nach B entspricht. --[[Benutzer:Daniel5Ko|Daniel5Ko]] ([[Benutzer Diskussion:Daniel5Ko|Diskussion]]) 23:01, 15. Apr. 2024 (CEST)
::Sind Funktionen nicht linkstotal? --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 21:18, 21. Apr. 2024 (CEST)
::: Funktionen sind linkstotal.
::: Hier geht es aber um die Frage, ob "Multifunktionen" <math>A\to B</math> linkstotal sein müssen. Der Artikel hier sagt: "Ja" (es sei halt eine <em>linkstotale</em> Relation <math>A\to B</math>), der verlinkte Artikel "Korrespondenz" sagt: "Nein" (es sei halt eine Funktion <math>A\to \mathcal PB</math>, was einer <em>beliebigen</em> Relation <math>A \to B</math> entspricht). --[[Benutzer:Daniel5Ko|Daniel5Ko]] ([[Benutzer Diskussion:Daniel5Ko|Diskussion]]) 01:15, 2. Jul. 2024 (CEST)

== Beginnender "Edit-War" zu "f von x" ==

Ich schlage folgenden Kompromiss vor: Man bezeichnet <math>f(x)</math> als den „Funktionswert der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x</math>“, häufig sprachlich stark verkürzt zu „<math>f</math> von <math>x</math>“.--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 10:50, 19. Mai 2024 (CEST)
:::+1--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 16:54, 19. Mai 2024 (CEST)
:Ich finde auch, dass eine besondere Sprechweise, wie sie hier statthat, in ein Volkslexikon wie WikiPedia reingehört. Und da gefällt mir die Version von [[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] sehr gut. Vielleicht die englische Sprechweise noch dazu. --[[Benutzer:Nomen4Omen|Nomen4Omen]] ([[Benutzer Diskussion:Nomen4Omen|Diskussion]]) 11:03, 19. Mai 2024 (CEST)
::Dann werde ich das mal so einfügen. --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 11:57, 19. Mai 2024 (CEST)
::: Ich finde das besser als meinen eigenen Edit. Danke. --[[Spezial:Beiträge/83.226.113.94|83.226.113.94]] 14:07, 19. Mai 2024 (CEST)

== Nur eine Definitionsmenge? ==

Der Artikel beschreibt - vor Allem in der Begriffsfindung - stets nur den Fall, dass eine Funktion ein Abbild ''EINER'' Definitionsmenge auf eine Zielmenge darstellt.

In der Realität werden aber oft mehrere "Variablen" für Funktionen definiert, also z. B. f(a, b) = ...

Dabei können a und b aus verschiedenen Definitionsmengen bestehen, z. B. a aus N und b aus R o.ä.

Laut Definition dieses Artikels wären das dann keine Funktionen? --[[Spezial:Beiträge/79.204.204.221|79.204.204.221]] 13:02, 27. Aug. 2024 (CEST)
:Die Definitionsmenge ist dann <math>\N \times \R </math>. Beispielsweise die Funktion <math>f \colon \N \times \R \to \R</math>, <math>f(a,b) = b^a</math> für <math>(a,b) \in \N \times \R</math>. --[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 14:07, 27. Aug. 2024 (CEST)

Streuungsmaß (Statistik)

2024-08-26T09:46:47Z

Sigma^2: /* Alternative Bezeichnungen und Notationen */

{{Dieser Artikel| behandelt Streuungsmaße in der deskriptiven und induktiven Statistik. Für Streuungsmaße als Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen siehe [[Dispersionsmaß (Stochastik)]].}}

'''Streuungsmaße''', auch '''Dispersionsmaße''' ({{laS}} ''dispersio'' „Zerstreuung“, von ''dispergere'' „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder '''Streuungsparameter''' genannt, fassen in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] verschiedene [[Parameter (Statistik)|Maßzahlen]] zusammen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer [[Häufigkeitsverteilung]] um einen geeigneten [[Lageparameter (Deskriptive Statistik)|Lageparameter]] herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber [[Ausreißer]]n.

== Anforderungen ==
Es sei <math>(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> ein Vektor von Beobachtungwerten (Daten) und <math>s\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Funktion. Die Funktion <math>s</math> heißt ein ''Streuungsmaß'', wenn sie im Allgemeinen folgende Anforderungen erfüllt:

* <math>s(x_1, \dots, x_n)</math> ist eine nichtnegative reelle Zahl, die Null ist, wenn alle Beobachtungen gleich sind <math>x_1=x_2=\ldots=x_n=\overline x</math> (in den Daten ist keinerlei Variabilität vorhanden), und zunimmt, wenn die Daten vielfältiger werden. Wenn mindestens zwei Merkmalswerte voneinander verschieden sind, dann streuen die Daten untereinander bzw. um einen Mittelwert, was auch beim Streuungsmaß zum Ausdruck kommen sollte.
* Bei einem Streuungsmaß wird Nichtnegativität gefordert, da bei Streuung „das [[Maß (Mathematik)|Ausmaß]]“ statt „die Richtung“ konstituierend ist. Ein Streuungsmaß sollte also umso größer sein, je stärker Beobachtungswerte voneinander abweichen. Noch strenger wird oft gefordert, dass sich ein Streuungsmaß bei einer Ersetzung eines Beobachtungswertes durch einen neuen Merkmalswert nicht verkleinern darf.
* <math>s</math> ist [[Translationsinvarianz|translationsinvariant]]<ref name="Buechter83" />, d. h. eine Verschiebung des Nullpunktes hat keinen Einfluss auf die Verteilung. Es muss also folgendes gelten: <math>s(x_1 + a, \dots, x_n + a) = s(x_1, \dots, x_n) \;\;\; \forall a \in \mathbb{R}</math>
* Es ist auch wünschenswert, dass das Streuungsmaß gegenüber Maßstabsänderungen invariant ist.<ref>Hans Friedrich Eckey et al.: ''Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele.'', S. 74. (1. Aufl. 1992; 3. Aufl. 2002, ISBN 3-409-32701-0). Die 4. Aufl. 2005 und die 5. Aufl. 2008 erschienen unter dem Titel ''Deskriptive Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele).''</ref>
Ein einfacher Ansatz für ein Streuungsmaß wäre, die Differenzen der Werte vom empirischen Mittel aufzusummieren. Dies führt zu

: <math> s(x)= \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x) </math>

Diese Summe ergibt allerdings stets 0, weil sich positive und negative Summanden gegenseitig aufheben ([[Arithmetisches Mittel#Schwerpunkteigenschaft|Schwerpunkteigenschaft]]). Das ist also nicht geeignet als Streuungsmaß, da der Wert nicht zunimmt, wenn die Variabilität der Daten steigt. Möglichkeiten bestehen also darin, die Absolutbeträge oder die Quadrate der Abweichungen zu summieren.

== Streuungsmaßzahlen in der beschreibenden (deskriptiven) Statistik ==
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass <math>x_1,\dots,x_n</math> reellwertige Beobachtungswerte vorliegen, die inhaltlich zu einer Variablen gehören. Diese können Messwerte sein. Es kann sich um [[Stichprobenwert]]e handeln, es kann sich aber auch um die Beobachtungswerte einer Gesamtheit handeln, die nicht als Stichprobe aufgefasst wird. Mit
:<math>\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
ist der [[arithmetischer Mittelwert |arithmetische Mittelwert]] der Beobachtungswerte bezeichnet.

=== Streuung um das arithmetische Mittel ===
==== Summe der Abweichungsquadrate ====
{{Hauptartikel|Summe der Abweichungsquadrate}}
Ein intuitives Streuungsmaß ist die Summe der Abweichungsquadrate, bei der die quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittelwert aufsummiert werden,
:<math>SQ :=\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2\;.</math>

==== Empirische Varianz ====
{{Hauptartikel|empirische Varianz}}
Einer der wichtigsten Streuungsparameter ist die ''Varianz'' der Beobachtungswerte, die als
:<math>s^2=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2 </math>
definiert ist und die äquivalente Darstellung
:<math>s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar x^2</math>
besitzt.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=43}}</ref>
Eine weitere äquivalente Darstellung, die keinen Bezug auf den arithmetischen Mittelwert der Beobachtungswerte nimmt, ist
:<math>s^2 = \frac{1}{2n^2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x_i -x_j)^2 \;.</math><ref name="MS2009-43">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=43}}</ref>

==== Empirische Standardabweichung ====
{{Hauptartikel|Empirische Standardabweichung}}

Die Standardabweichung ist definiert als die Wurzel aus der Varianz und ist demnach
:<math>s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\;. </math>
Ein wesentlicher Unterschied zur Varianz ist, dass die Standardabweichung dieselbe Dimension und damit dieselben Einheiten wie die Beobachtungswerte besitzt.

==== Mittlere absolute Abweichung ====
Im Falle einer konkreten Stichprobe <math>x_1, \dots, x_n</math> mit dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\overline{x}</math> wird sie errechnet durch

:<math>\operatorname{e} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \overline{x}\right|.</math>

Die mittlere absolute Abweichung wird in der mathematischen Statistik meist zugunsten der quadratischen Abweichung umgangen, welche analytisch leichter zu behandeln ist. Die in der Definition verwendete Betragsfunktion ist nicht überall differenzierbar, was die Berechnung des Minimums erschwert.

Aufgrund der [[Mittelungleichung#Ungleichung der verallgemeinerten Mittel|Ungleichung vom arithmetisch-quadratischen Mittel]] ist die mittlere absolute Abweichung kleiner oder gleich der Standardabweichung (Gleichheit gilt nur für konstante Zufallsgrößen).

=== Streuung um den Median ===
==== Quantilsabstand ====
Der Quantilsabstand ist die Differenz zwischen dem <math>p</math>- und <math>\left(1-p\right)</math>-[[Empirisches Quantil|Quantil]]:

:<math>QA_p = Q_{1-p}-Q_p\;</math> mit <math>\;0\leq p < 0{,}5</math>

Innerhalb des <math>QA_p</math> liegen etwa <math>100 \cdot (1-2p)</math> Prozent aller Beobachtungswerte.

==== Interquartilsabstand ====
{{Hauptartikel|Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)}}

Der Interquartilsabstand (engl. {{lang|en|''interquartile range''}}), abgekürzt IQR, wird als Differenz
der [[Empirisches Quantil#Quartil|Quartile]] <math>Q_{0{,}75}</math> und <math>Q_{0{,}25}</math> berechnet:

:<math> \operatorname{IQR} = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25} </math>

Innerhalb des IQR liegen 50 % aller Messwerte. Er ist – wie auch der [[Median]] bzw. <math>Q_{0{,}5}</math> – unempfindlich gegenüber Ausreißern. Es lässt sich zeigen, dass er einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^*=0{,}25</math> hat.

Der Interquartilsabstand ist gleich dem [[Empirisches Quantil#Abgeleitete Begriffe|Quantilsabstand]] <math>QA_{0{,}25}</math>

==== Mittlere absolute Abweichung vom Median ====
{{Hauptartikel|Mittlere absolute Abweichung vom Median}}

Für <math>n</math> beobachtete Werte <math>x_1,\dots,x_n</math> mit dem (eindeutigen) Median <math>\tilde{x}</math> ist die Mittlere absolute Abweichung vom Median als
:<math> \operatorname{MD} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \tilde{x}\right| </math>
definiert.
Aufgrund der [[Median#Eigenschaften|Extremaleigenschaft des Medians]] gilt im Vergleich mit der mittleren absoluten Abweichung stets
:<math> \operatorname{MD} \le \operatorname{e} </math>,

d. h. die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians ist erst recht kleiner als die Standardabweichung.

==== Median der absoluten Abweichungen vom Median ====
Für Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> ist die mittlere absolute Abweichung (engl. {{lang|en|''median absolute deviation''}}, auch ''MedMed''), abgekürzt MAD, ist definiert durch
:<math> \operatorname{MAD} = \operatorname{median}\{\left|x_i - \tilde{x}\right| \mid i=1,\dots,n \} </math>

Die mittlere absolute Abweichung ist ein [[Robuste Schätzverfahren|robuster Schätzer]] für die Standardabweichung. Es lässt sich zeigen, dass sie einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^* = 0{,}5</math> hat.

=== Weitere Streuungsmaße ===
==== Spannweite ====
Die [[Spannweite (Statistik)|Spannweite]] ({{enS|''range''}}) <math>R</math> berechnet sich als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:
:<math> R = x_{\max} - x_{\min} </math>
Da die Spannweite nur aus den zwei Extremwerten berechnet wird, ist sie nicht robust gegenüber Ausreißern.

==== Ginis mittlere Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> heißt die Maßzahl
:<math> \Delta = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j|</math>
''Ginis mittlere Differenz''.<ref name="MS2009-46">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=46}}</ref>

==== Mittlere absolute Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> ist
:<math> \bar\Delta = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j| = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |x_i - x_j|</math>
die ''mittlere absolute Differenz'' oder '''mittlere Differenz'''.<ref name="R2008-45" />

==== Geometrische Standardabweichung ====
Die [[geometrische Standardabweichung]] ist ein Streuungsmaß um das [[geometrisches Mittel|geometrische Mittel]].

=== Relative Streuungsmaße ===
Relative Streuungsmaße heißen auch ''relative Streumaße'' oder ''Dispersionskoeffizienten''.<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref> Ein relatives Streumaß ist typischerweise ein Quotient aus einem Streuungsmaß und einem [[Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lagemaß]].<ref name="R2008-45" />

==== Relative Spannweite ====
Die relative Spannweite berechnet sich als Quotient aus der Spannweite und der [[Bereichsmitte]];<ref name="R2008-45" />
:<math> vR = \frac{R}{ \frac{x_{\min} + x_{\max}}{2}} \;.</math>

==== Variationskoeffizient ====
Der [[Empirischer Variationskoeffizient|empirische Variationskoeffizient]] wird gebildet als Quotient aus [[empirische Standardabweichung|empirischer Standardabweichung]] <math>s</math> und [[Arithmetisches Mittel|arithmetischem Mittel]] <math>\overline{x}</math>:
:<math>v=\frac{s}{\overline{x}},\quad \overline{x} > 0</math>.<ref name="R2008-45" />

Er ist dimensionslos und somit nicht einheitenbehaftet.

==== Ginikoeffizient ====
{{Hauptartikel|Ginikoeffizient}}
Zwischen Ginis mittlerer Differenz <math>\Delta</math>, dem arithmetischen Mittelwert <math>\bar x</math> und dem [[Gini-Koeffizient]]en <math>G</math> besteht der Zusammenhang
:<math> G = \frac{\Delta}{2 \bar x}\;.</math><ref name="MS2009-95">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=95}}</ref>
Damit ist der Gini-Koeffizient als Quotient aus einem Streuungsmaß und einem Lagemaß ein ''relatives Streuungsmaß''.<ref name="MS2009-96">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=96}}</ref>

==== Relative durchschnittliche Abweichung vom Median ====
Die relative durchschnittliche Abweichung vom Median wird gebildet als Quotient aus durchschnittlicher Abweichung vom Median und Median;<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref>
:<math>vd = \frac{\operatorname{MD}}{\tilde x} \;.</math>

==== Relativer Quartilsabstand ====
Der relative Quartilsabstand wird gebildet als Quotient aus Quartilsabstand und Median;<ref name="R2008-45" />
:<math>vq = \frac{\operatorname{IQR}}{\tilde x}\;.</math>

== Streuungsmaßzahlen in der schließenden (induktiven) Statistik ==
In der [[induktive Statistik|induktiven Statistik]] sind die Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> [[Stichprobenwert]]e aus einer [[Stichprobe]] aus einer [[Grundgesamtheit]] und Realisierungen von [[Stichprobenvariable]]n <math>X_1,\dots,X_n</math> mit einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>(X_1,\dots,X_n)</math>.

Dabei liegt häufig der Spezialfall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen vor. In diesem Spezialfall können viele Streuungsmaßzahlen der deskriptiven Statistik als Schätzwerte analoger Streuungsmaßzahlen der Grundgesamtheit verwendet werden. Dass dieses Vorgehen – zumindest für große Stichprobenumfänge – meistens zu plausiblen Schätzern führt, garantiert der [[Hauptsatz der mathematischen Statistik]] (Satz von Glivenko und Cantelli), der besagt, dass sich die Häufigkeitsverteilung der Stichprobenwerte für wachsenden Stichprobenumfang in einem sehr weitgehenden Sinn der Verteilung der Grundgesamtheit annähert.

=== Stichprobenvarianz ===
In der schließenden Statistik wird die aus den Stichprobenwerten <math>x_1,\dots,x_n</math> berechnete Varianz <math>s^2</math> häufig als ''Stichprobenvarianz'' bezeichnet. Die aus den Stichprobenwerte berechnete Varianz wird auch als ''empirische Varianz'' bezeichnet, um diese von der Varianz der Grundgesamtheit zu unterscheiden. Bei stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Stichprobenvariablen ist die Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^2</math> die Varianz der identisch verteilten Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math>, es gilt also <math>\mathrm{Var}[X_i] = \sigma^2</math> für <math>i=1,\dots,n</math>.
{{Hauptartikel|Varianz (Stochastik)}}
Die aus den Stichprobenwerten berechnete Varianz <math>s^2</math> ist ein realisierter Wert der [[Stichprobenfunktion]]
: <math>S^2 =\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2\;, </math>
die eine [[Schätzfunktion]] für die Grundgesamtheitsvarianz <math>\sigma^2</math> ist.

{{Hauptartikel|Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)}}

=== Korrigierte Stichprobenvarianz ===

Wenn die Stichprobenwerte als realisierte Werte stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen angesehen werden können und wenn mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Varianz <math>\sigma^2 < \infty</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, dann wird häufig anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> die sogenannte ''korrigierte Stichprobenvarianz''
:<math>s_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2 </math>
verwendet. Der Grund ist, dass unter den gemachten Voraussetzungen die zugehörige Stichprobenfunktion
: <math>S_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2 </math>
eine [[erwartungstreue]] [[Schätzfunktion]] für die Varianz der Grundgesamtheit ist, es gilt also
:<math>\mathrm{E}[S_k^2] = \sigma^2\;.</math>

Dagegen hat die Schätzfunktion <math>S^2</math> den Erwartungswert
: <math>\mathrm{E}[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 = \sigma^2 - \frac{1}{n}\sigma^2\;.</math>
Die Schätzfunktion <math>S^2</math> ist also keine erwartungstreue Schätzfunktion für <math>\sigma^2</math> und hat die [[Verzerrung einer Schätzfunktion|Verzerrung]] <math>\mathrm{E}[S^2] - \sigma^2 = -\sigma^2/n</math>.

Die Erwartungstreue der Schätzfunktion <math>S_k^2</math> für den Parameter <math>\sigma^2 </math> der Grundgesamtheit hängt entscheidend von der stochastischen Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen ab und ist bei allgemeineren [[Stichprobenplan| Stichprobenplänen]] ([[Ziehen mit Zurücklegen]], [[geschichtete Stichprobenziehung]] usw.) nicht mehr automatisch erfüllt, so dass die Rechtfertigung der Korrektur entfällt.

In einem rein beschreibenden Kontext der deskriptiven Statistik, in dem es nicht um eine Schätzung eines Parameters der Grundgesamtheit geht, ist die Verwendung der korrigierten Stichprobenvarianz <math>s_k^2</math> anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> nicht zu begründen. „Statt mit dem Faktor <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> werden die Varianz und die die Standardabweichung gelegentlich mit dem Faktor <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> definiert, besonders in manchen Taschenrechnern und statistischen Computerprogrammen. Eine Begründung des Faktors <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> ist nur im Rahmen der schließenden Statistik möglich.“<ref name="MS2009-43" />

=== Korrigierte Stichprobenstandardabweichung ===
Wenn in der induktiven Statistik mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, wird häufig die ''korrigierte Stichprobenstandardabweichung ''
:<math>s_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2} </math>
als Schätzwert für die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit verwendet. Allerdings ist die zugehörige Schätzfunktion
:<math>S_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2} </math>
auch im Fall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen in der Regel ''keine'' erwartungstreue Schätzfunktion für den Parameter <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit.

Im Spezialfall einer normalverteilten Grundgesamtheit ist durch eine modifizierte Schätzfunktion eine [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)#Erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung|erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung]] möglich.

=== Alternative Bezeichnungen und Notationen ===
In vielen Anwendungsbereichen, in denen die Stichprobeninterpretation der beobachteten Werte der Standardfall ist (z. B. Messungen in der Technik und Biometrie) wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''die Stichprobenvarianz'' bezeichnet und dann meistens mit <math>s^2</math> bezeichnet. Auch wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''empirische Streuung'' oder als ''empirische Varianz'' bezeichnet und die zugehörige Stichprobenfunktion als ''Stichprobenstreuung''.<ref>{{Literatur |Herausgeber=P. H. Müller |Titel=Streuungsmaße (measures of dispersion) |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Seiten=428–429}}</ref>

In Darstellungen der induktiven Statistik wird häufig das Symbol <math>S^2</math> für die oben mit <math>S_k^2</math> bezeichnete korrigierte Stichprobenvarianz verwendet und diese einfach als ''Stichprobenvarianz'' ({{enS|sample variance}}) bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=[[Helge Toutenburg]] |Titel=Induktive Statistik – Eine Einführung mit SPSS für Windows |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-66434-3 |Seiten=116}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle=Def. 5.2.3, S. 212}}</ref> Analog bezeichnet dann <math>S</math> die korrigierte Stichprobenstandardabweichung und wird einfach als ''Stichprobenstandardabweichung'' ({{enS|sample standard deviation}}) bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle=Def. 5.2.3, S. 212}}</ref>

== Streuungsmaßzahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie ==
In der Wahrscheinlichkeitstheorie charakterisieren Streuungsmaßzahlen Eigenschaften einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Die entsprechenden Maßzahlen sind teilweise analog zu den Maßzahlen der deskriptiven Statistik konstruiert. In der mathematischen Statistik werden Methoden zu Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch beschreibende Kennzahlen der deskriptiven Statistik zugerechnet.<ref>Siehe dazu ''Chapter 3, Descriptive Statistics'' in {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3}}</ref>

{{Hauptartikel|Dispersionsmaß (Stochastik)}}

== Graphische Darstellungsformen ==
* [[Boxplot|Box-Whisker-Plot]]
* [[Streuungsfächerkarte]]
* [[Streudiagramm]]

== Siehe auch ==
* [[Dispersionsindex]]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Buechter83">{{Literatur |Autor=Andreas Büchter, H.-W. Henn |Titel=Elementare Stochastik - Eine Einführung |Auflage=2 |Verlag=Springer |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-45382-6 |Seiten=83}}</ref>
</references>
== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Streuungsmaße (measures of dispersion)'', S. 428–429}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=''A 2.3.2 Streuungsparameter'', S. 42–46}}
* {{Literatur |Herausgeber=Bernd Rönz, Hans Gerhard Strohe |Titel=Lexikon Statistik |Verlag=Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=1994 |ISBN=3-409-19952-7 |Fundstelle= ''Streuungsmaß'', S. 353}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Streuung}}

[[Kategorie:Streuungsmaß (Deskriptive Statistik)| ]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Portal:Statistik/Literatur

2024-08-26T09:43:52Z

Sigma^2: /* Statistische Inferenz */

__NOTOC__
{{Portal:Statistik/Tabs|Aktiv=4}}
<div style="padding:2em 10px; border-left:solid 1px #7F3045; border-right:solid 1px #7F3045; background:#FFFFFF; text-align:left;">

__TOC__



==Grundlagen ==
===Einführende Literatur, allgemein ===
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=[[Jörg Bewersdorff]] |Titel=Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch mit einer Einführung in R |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63711-1 |DOI=10.1007/978-3-662-63712-8}}
* {{Literatur |Autor= Angelika Caputo, [[Ludwig Fahrmeir]], Rita Künstler, [[Stefan Lang (Statistiker)|Stefan Lang]], [[Iris Pigeot|Iris Pigeot-Kübler]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Arbeitsbuch Statistik |Auflage=5., verbesserte Auflage |Datum=2009 |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |ISBN=978-3-540-85082-3 |DOI=10.1007/978-3-540-85083-0}}
* {{Literatur |Autor=Lutz Dümbgen |Titel=Einführung in die Statistik |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel u. a. |Datum=2016 |ISBN=978-3-0348-0003-7 |DOI=10.1007/978-3-0348-0004-4}}
* {{Literatur |Autor=Peter P. Eckstein |Titel=Repetitorium Statistik |Verlag=Gabler Verlag |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-8349-0464-5 |Auflage=6}}
* {{Literatur |Autor=Peter P. Eckstein |Titel=Angewandte Statistik mit SPSS |Verlag=Gabler Verlag |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=3-8349-0307-8 |Auflage=5}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], Christian Heumann, Rita Künstler, [[Iris Pigeot]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Statistik – Der Weg zur Datenanalyse |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |Auflage=8., überarbeitete und ergänzte Auflage |ISBN=978-3-662-50371-3 |DOI=10.1007/978-3-662-50372-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], Christian Heumann, Rita Künstler, [[Iris Pigeot]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Statistik – Der Weg zur Datenanalyse |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |Auflage=9., überarbeitete und ergänzte Auflage |ISBN=978-3-662-67525-0 |DOI=10.1007/978-3-662-67526-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans-Otto Georgii]] |Titel=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=5 |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2015 |ISBN=978-3-11-035969-5 |DOI=10.1515/9783110359701}}
* {{Literatur |Autor=Andreas Handl, Torben Kuhlenkasper |Titel=Einführung in die Statistik – Theorie und Praxis mit R |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-56439-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Joachim Hartung]], Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener |Titel=Statistik – Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2009 |Auflage=15., überarbeitete und wesentlich erweiterte Auflage |ISBN=978-3-486-59028-9 |DOI=10.1524/9783486710540}}
* {{Literatur |Autor=[[Norbert Henze]] |Titel=Stochastik für Einsteiger |TitelErg=Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls |Auflage=13., überarbeitete und aktualisierte Auflage |Verlag=Springer Spektrum | Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63839-2 |DOI=10.1007/978-3-662-63840-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Norbert Henze]] |Titel=Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik |Verlag=Springer Spektrum | Ort=Berlin |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-65610-5 |DOI=10.1007/978-3-662-65611-2}}
* {{Literatur |Autor=Erwin Kreyszig | Titel=Statistische Methoden und ihre Anwendungen |Auflage=7 |Verlag=Vandenhoek und Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1991 |ISBN=978-3-525-40717-2 }}
* {{Literatur |Autor=Franz Kronthaler |Titel=Statistik angewandt mit dem R Commander – Datenanalyse ist (k)eine Kunst |Auflage=2 | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1991 |ISBN=978-3-662-63603-9 |DOI=10.1007/978-3-662-63604-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Günter Menges (Ökonom)| Günter Menges]] |Titel=Grundriß der Statistik. Teil 1: Theorie |Auflage=2. |Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Köln / Opladen |Datum=1972 |ISBN=3-531-11070-5}}
* {{Literatur |Autor=Günter Menges, [[Heinz J. Skala]] |Titel=Grundriß der Statistik. Teil 2: Daten |Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Opladen |Datum=1973 |ISBN=3-531-11093-4}}
* {{Literatur |Autor=Günter Menges |Titel=Die Statistik. Zwölf Stationen des statistischen Arbeitens |Verlag=Gabler |Ort= Wiesbaden |Datum=1982 |ISBN=3-409-27074-4}}
* {{Literatur |Autor=Hans-Joachim Mittag, [[Katharina Schüller]] |Titel=Statistik: Eine Einführung mit interaktiven Elementen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2020 |Auflage=6 |ISBN=978-3-662-61911-7 |DOI=10.1007/978-3-662-61912-4}}
* {{Literatur |Autor=Hans-Joachim Mittag, [[Katharina Schüller]] |Titel=Statistik: Eine interdisziplinäre Einführung mit interaktiven Elementen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |Auflage=7 |ISBN=978-3-662-68223-4 |DOI=10.1007/978-3-662-68224-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-15009-8}}
* {{Literatur |Autor=Wolfgang Polasek |Titel=EDA Explorative Datenanalyse – Einführung in die deskriptive Statistik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1994 |Auflage=2 |ISBN=978-3-540-58394-3 |DOI=10.1007/978-3-642-57889-2}}
* {{Literatur |Autor=Rainer Schlittgen |Titel=Einführung in die Statistik – Analyse und Modellierung von Daten |Verlag=Oldenbourg Verlag |Auflage=12., korrigierte Auflage |Ort=München |Datum=2012 |ISBN=978-3-486-71524-8 |DOI=10.1524/9783486715910}}
* {{Literatur |Autor=Christoph Weigand |Titel=Statistik mit und ohne Zufall |Verlag=Physica |Ort=Heidelberg |Datum=2006 |ISBN=3-7908-1693-0}}

;Englisch
* {{Literatur |Autor=David A. Freedman, Robert Pisani, Roger Purves |Titel=Statistics |Verlag=Norton |Ort=New York |Datum=|ISBN=0-393-97121-X |Auflage=3}}
* {{Literatur |Autor=Bernard W. Lindgren |Titel=Statistical Theory |Verlag=Chapmann & Hall |Ort=New York |Datum=1993 |ISBN=0-412-04181-2 |Auflage=4}}

;Französisch
* {{Literatur |Autor=Michel Volle |Titel=Le métier de statisticien |Verlag=Economica |Ort=Paris |Datum=1984 |ISBN=2-7178-0824-8 |Auflage=2}}

===Einführende Literatur, fachspezifisch ===
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=[[Günter Bamberg]], Franz Baur, Michael Krapp |Titel= Statistik: Eine Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2022 |Auflage= 19 |ISBN=978-3-11-075919-8 |DOI=10.1515/9783110759327 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-11-075940-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Benninghaus]] |Titel=Deskriptive Statistik: Eine Einführung für Sozialwissenschaftler |Verlag=VS |Ort=Wiesbaden |Datum=2007 |ISBN=978-3-531-34607-6 |Auflage=11}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Bortz]], Christof Schuster |Titel=Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2010 |ISBN=978-3-642-12769-4 |Auflage=7., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage}}
* {{Literatur |Autor=[[Tatjana Lange]], [[Karl Mosler]] |Titel=Statistik kompakt. Basiswissen für Ökonomen und Ingenieure. Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer Gabler |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53466-3}}
* {{Literatur |Autor=Ilona Leyer, Karsten Wesche |Titel=Multivariate Statistik in der Ökologie – Eine Einführung |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-37705-4 |DOI=10.1007/978-3-540-37706-1}}
* {{Literatur |Autor=Wolfgang Polasek |Titel=Schließende Statistik – Einführung in die Schätz- und Testtheorie für Wirtschaftswissenschaftler |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1997 |Auflage=2 |ISBN=978-3-540-61731-0 |DOI=10.1007/978-3-642-59099-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernhard Rüger]] |Titel=Induktive Statistik – Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Oldenbourg |Ort=München / Wien |Datum=1988 |ISBN= 3-486-20535-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Sahner]] |Titel=Schließende Statistik: Eine Einführung für Sozialwissenschaftler |Verlag=VS |Ort=Wiesbaden |Datum=2005 |ISBN=3-531-14687-4 |Auflage=6}}
* {{Literatur |Autor=Josef Schira |Titel=Statistische Methoden der VWL und BWL: Theorie und Praxis |Verlag=Pearson |Ort=München |Datum=2005 |ISBN=3-8273-7163-5}}
* {{Literatur |Autor=Werner Timischl |Titel=Angewandte Statistik. – Eine Einführung für Biologen und Mediziner |Verlag=Springer |Ort=Wien |Datum=2013 |ISBN=978-3-7091-1348-6 |DOI=10.1007/978-3-7091-1349-3}}
* {{Literatur |Autor=Max C. Wewel |Titel=Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL: Methoden, Anwendung, Interpretation |Verlag=Pearson |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-8689-4054-1 |Auflage=2}}

;Englisch
* {{Literatur |Herausgeber=Daniel Dorling, Stephen C. Simpson |Titel=Statistics in Society. The Arithmetic of Politics (Arnold Applications of Statistics Series) |Verlag=Hodder Arnold |Ort=London |Datum=1998 |ISBN=0-340-71994-X}}

===Lexika, Enzyklopädien, Nachschlagewerke === 

;Deutsch
* {{Literatur |Herausgeber=F. E. Beichelt, D. C. Montgomery |Titel=Teubner-Taschenbuch der Statistik – Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastische Prozesse, Mathematische Statistik |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden |Datum=2003 | ISBN= 978-3-322-80067-1}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4}}
* {{Literatur |Herausgeber=Bernd Rönz, Hans Gerhard Strohe |Titel=Lexikon Statistik |Verlag=Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=1994 |ISBN=3-409-19952-7}}
* {{Literatur |Herausgeber=Werner Voß |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Fachbuchverlag |Ort=Leipzig |Datum=2000 |ISBN=3-446-22605-2}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 1. A bis Eif |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53497-7 |DOI=10.1007/978-3-662-53498-4}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 3. Inp bis Mon |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53501-1 |DOI=10.1007/978-3-662-53502-8}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 4. Moo bis Sch |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53499-1 |DOI=10.1007/978-3-662-53500-4}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 5. Sed bis Zyl |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53505-9 |DOI=10.1007/978-3-662-53506-6}}

;Englisch
* {{Literatur |Autor=Yadolah Dodge |Titel=The Concise Encyclopedia of Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-31742-7 | DOI=10.1007/978-0-387-32833-1}}
* {{Literatur |Titel=The Oxford Dictionary of Statistical Terms |Hrsg=Yadolah Dodge |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Datum=2003 |ISBN=0-19-850994-4}}
* {{Literatur |Autor=B. S. Everitt, A. Skrondal |Titel=The Cambridge Dictionary of Statistics |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum= 2010 |ISBN=978-0-521-76699-9 |Auflage=4}}
* {{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes, Merran Evans, Nicholas Hastings, Brain Peacock |Auflage=4| Verlag=Wiley & Sons |Ort=Hoboken | Datum=2011 |ISBN=978-0-470-39063-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Norman L. Johnson]], Adrienne W. Kemp, [[Samuel Kotz]] |Titel=Univariate Discrete Distributions |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2005 |ISBN=978-0-471-27246-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Norman L. Johnson]], [[Samuel Kotz]], [[Narayanaswamy Balakrishnan]] |Titel=Continuous Univariate Distributions – Volume 1 |Reihe=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1994 |ISBN=0-471-58495-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Norman L. Johnson]], [[Samuel Kotz]], [[Narayanaswamy Balakrishnan]] |Titel=Discrete Multivariate Distributions |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=978-0-471-12844-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Samuel Kotz]], [[Narayanaswamy Balakrishnan]], [[Norman L. Johnson]] |Titel=Continuous Multivariate Distributions – Volume 1: Models and Applications |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=978-0-471-18387-7 |DOI=10.1002/0471722065}}
* {{Literatur |Titel=Encyclopedia of Statistical Sciences |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196}}
* {{Literatur |Titel=International Encyclopedia of Statistical Sciences |Hrsg=Miodrag Lovric |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-04897-5 | DOI=10.1007/978-3-642-04898-2}}
* {{Literatur |Autor=Jagdish K. Patel, Campbell R. Read |Titel=Handbook of the Normal Distribution |Reihe=Statistics:Textbooks and Monographs |Auflage=Second edition, revised and expanded |Verlag=Dekker |Ort=New York / Basel / Hong Kong |Datum=1966 |ISBN=0-8247-9342-0}}
* {{Literatur |Hrsg=[[Ulf Rehmann]] |Titel=Encyclopedia of Mathematics |Verlag=EMS Press |Ort= |Online=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Main_page |ISBN= |Kommentar=Teilmengen: [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Category:Statistics ''Statistics''], [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Category:Statprob ''StatProb'']}}
* {{Literatur |Hrsg=Fabrizio Ruggeri, Ron S. Kennett, Frederick W. Faltin |Titel=Encyclopedia of Statistics in Quality and Reliability |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2007 |ISBN=978-0-470-01861-3 |DOI=10.1002/9780470061572}}
* {{Literatur |Autor=Statsoft Inc. |Titel=Electronic Statistics Textbook |Verlag=StatSoft |Ort=Tulsa/OK |Datum=2007 |Online=http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html}}

;Französisch
* {{Literatur |Autor=Yadolah Dodge |Titel=Statistique – Dictionnaire encyclopédique |Verlag=Springer-Verlag France |Ort=Paris |Datum=2007 |ISBN=978-2-287-72093-2}}

===Mehrsprachige Glossare ===
* {{Internetquelle |autor=[[International Statistical Institute]] |titel= ISI Glossary |url=https://www.isi-web.org/glossary |werk=www.isi-web.org |abruf=2024-02-04 |kommentar=vielsprachiges Verzeichnis statistischer Fachbegriffe}}
* {{Literatur |Titel= Elsevier's Dictionary of Biometry |Hrsg=[[Dieter Rasch]], M. L. Tiku, D. Sumpf |Verlag=Elsevier |Ort=Amsterdam |Datum=1994 |ISBN=0-444-81495-7 |DOI= |Kommentar= in Englisch, Französisch, Spanisch, Niederländisch, Deutsch, Italienisch und Russisch}}

===Bibliographien zur Statistik===
* {{Literatur |Autor=[[Stefan Huschens]] |Titel=Literaturauswahl zur Statistik|Datum=2017|Online= https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa-222575|DNB=1130092801}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Kellerer]] |Titel=Bibliographie der seit 1928 in Buchform erschienenen deutschsprachigen Veröffentlichungen über theoretische Statistik und einige ihrer Anwendungsgebiete |Datum=1969 |Verlag=Physica-Verlag |Ort=Würzburg |ISBN=978-3-525-13163-3}}
* {{Literatur |Autor=H. O. Lancaster |Titel=A Bibliography of Statistical Bibliographies: A Fourteenth List |Sammelwerk=International Statistical Review |Band=50 |Nummer=2 |Datum=1982 |JSTOR=140261}}
* {{Literatur |Autor=[[Günter Menges (Ökonom)|Günter Menges]]|Titel=Bibliographie zur statistischen Entscheidungstheorie 1950 -1967|Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Köln |Datum=1968 |ISBN=978-3-663-00459-2}}
* {{Literatur |Autor=Jürgen Wilke | Titel=Bibliographie zu Verfahren der multivariaten Statistik, der mehrdimensionalen Klassifikation und ihre Anwendungen in Natur- und Gesellschaftswissenschaften, 1901-1975; Faktoranalyse, Hauptkomponentenanalyse, multidimensionale Skalierung, Clusteranalyse, numer. Taxonomie, automat. Muster- oder Gestalt- oder Zeichenerkennung (Pattern recognition) |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1978|DNB=550357483}}

===Geschichte der Statistik ===
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=Otto Behre |Titel=Geschichte der Statistik in Brandenburg-Preussen bis zur Gründung des Königlichen Statistischen Bureaus |Verlag=Carl Heymann |Ort=Berlin |Datum=1905}}
* {{Literatur |Autor=Alain Desrosières |Titel=Die Politik der großen Zahlen. Eine Geschichte der statistischen Denkweise. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |ISBN=3-540-20655-8 |Datum=2005}}
* {{Literatur |Autor=[[Gerd Gigerenzer]], Zeno Swijtink, Theodore Porter, Lorraine Daston, John Beatty, Lorenz Krüger |Titel=Das Reich des Zufalls. Wissen zwischen Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten und Unschärfen |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg/Berlin |Datum=1999 |ISBN=978-3827401014 |Originaltitel=The Empire of Chance: How Probability Changed Science and Everyday Life |Originalsprache=en-US}}

;Englisch
* {{Literatur |Autor=Herbert A. David |Titel=First (?) Occurence of Common Terms in Mathematical Statistics |Sammelwerk=The American Statistician |Band=49 |Nummer=2 |Seiten=121–133 |Datum=1995 |JSTOR=2684625 |Datum=1995}}
* {{Literatur |Autor=Herbert A. David, Anthony W.F. Edwards |Titel=Annotated Readings in the History of Statistics |Verlag=Springer |Ort=Berlin |ISBN=0-387-98844-0 |Datum=2001}}
* {{Literatur |Autor=Hans Fischer |Titel=A History of the Central Limit Theorem – From Classical to Modern Probability Theorem |Reihe=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |Verlag=Springer |Ort=New York / Dordrecht / Heidelberg / London |Datum=2011 |ISBN=978-0-387-87857-7 |DOI=10.1002/0471667196}}
* {{Literatur |Autor=[[Ian Hacking]] |Titel=The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge/London/New York |Datum=1975 |ISBN=978-0521204606}}
* {{Literatur |Autor=Anders Hald |Titel=A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 |Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=1998 |ISBN=0-471-17912-4}}
* {{Literatur |Autor=Anders Hald |Titel=A History of Probability and Statistics and Their Applications Before 1750 |Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=2003 |ISBN=0-471-47129-1}}
* {{Literatur |Autor=Anders Hald |Titel=A History of Parametric Statistical Inference from Bernoulli to Fischer, 1713-1935| Reihe= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2007 |ISBN=978-1-4419-2363-9 |DOI=10.1007/978-0-387-46409-1}}
* {{Literatur |Autor=Norman L. Johnson, Eric Ed. Johnson |Titel=Leading Personalities in Statistical Sciences: From the Seventeenth Century to the Present| Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=1997 |ISBN=0-471-16381-3}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[Samuel Kotz]], Norman L. Johnson |Titel=Breakthroughs in Statistics, Volume I – Foundations and Basic Theory | Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1992 |ISBN=3-540-94039-1 |DOI=10.1007/978-1-4612-0919-5}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[Samuel Kotz]], Norman L. Johnson |Titel=Breakthroughs in Statistics, Volume II – Methodology and Distribution | Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1992 |ISBN=3-540-94037-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-4380-9}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[Samuel Kotz]], Norman L. Johnson |Titel=Breakthroughs in Statistics, Volume III | Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1997 |ISBN=978-0-387-94989-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-0667-5}}
* {{Literatur |Herausgeber=Lorenz Krüger, Lorraine J. Daston, Michael Heidelberger |Titel=The Probabilistic Revolution. Vol. 1: Ideas in History |Verlag=MIT Press |Ort=Cambridge/MA |Datum=1987 |ISBN=0-262-11118-7}}
* {{Literatur |Herausgeber=Lorenz Krüger, [[Gerd Gigerenzer]], Mary S. Morgan |Titel=The Probabilistic Revolution. Vol. 2: Ideas in the Sciences |Verlag=MIT Press |Ort=Cambridge/MA |Datum=1990 |ISBN=0-262-61063-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-31084-3}}
* {{Literatur |Autor=Theodore M. Porter |Titel=The Rise of Statistical Thinking, 1820-1900 |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton/NJ |Datum=1988 |ISBN=0-691-02409-X}}
* {{Literatur |Autor=Theodore M. Porter |Titel=Karl Pearson. The Scientific Life in a Statistical Age |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton/NJ |Datum=2006 |ISBN=0-691-12635-6}}
* {{Literatur |Autor=David Salsburg |Titel=The Lady Tasting Tea – How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century |Verlag=Freeman |Ort=New York |Datum=2001 |ISBN=978-0-8050-7134-4}}
* {{Literatur |Autor=Libby Schweber |Titel=Disciplining Statistics. Demography and Vital Statistics in France and England, 1830/1885 |Verlag=Duke University Press |Ort=Durham |Datum=2006 |ISBN=0-8223-3814-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Stephen M. Stigler]] |Titel=Statistics on the Table. The History of Statistical Concepts and Methods |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge / London |Datum=1999 |ISBN=0-674-00979-7}}
* {{Literatur |Autor=Stephen M. Stigler |Titel=The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900 |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge, Ma. |Datum=1990 |ISBN=0-674-40340-1}}
* {{Literatur |Autor=Stephen M. Stigler |Titel=The Seven Pillars of Statistical Wisdom |Verlag= Harvard University Press| Ort=Cambridge, Ma. |Jahr=2016 |ISBN=978-0-6740-8891-7}}
;Historische Texte
* {{Literatur |Autor=Joseph C. Bisinger |Titel=Vergleichende Darstellung der Grundmacht oder der Staatskräfte aller europäischen Monarchien und Republiken| Verlag=C.A.Hartleben |Ort=Pesth und Wien |Datum=1823 |Online=http://www.archive.org/details/vergleichendedar00bisiuoft}}

===Populärliteratur===
* {{Literatur |Autor=[[Jörg Bewersdorff]] |Titel=Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2018 |ISBN=978-3-658-21764-8 |DOI=10.1007/978-3-658-21765-5 |Auflage=7., verbesserte und erweiterte Auflage}}
* [[Gerd Bosbach]], [[Jens Jürgen Korff]]: ''Die Zahlentrickser. Das Märchen von den aussterbenden Deutschen und andere Statistiklügen.'' Heyne, München 2017, ISBN 978-3-453-20132-3.
* {{Literatur |Autor=[[Walter Krämer (Ökonom)|Walter Krämer]] |Titel=So lügt man mit Statistik |Verlag=Campus |Ort=Frankfurt |Datum=1997 |ISBN=3-593-35689-9 |Auflage=7}}
* {{Literatur |Autor=Steven D. Levitt, Stephen J. Dubner |Titel=Freakonomics. Überraschende Antworten auf alltägliche Lebensfragen |Verlag=Riemann |Ort=München |Datum=2006 |ISBN=978-3-570-50064-4}}

== Methodische Teilgebiete ==

===Mathematische Statistik===
;''Deutsch''
* {{Literatur |Autor=[[Oskar Anderson|Oskar N. Anderson]] |Titel=Einführung in die Mathematische Statistik |Verlag=Springer |Ort=Wien |Datum=1935 |ISBN=978-3-7091-5873-9 |DOI=10.1007/978-3-7091-5923-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Marek Fisz]] |Titel=Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Reihe=[[Hochschulbücher für Mathematik]] |BandReihe=40 |Auflage=11 |Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=978-3-326-00079-4}}
* {{Literatur |Autor=Ludger Rüschendorf |Titel=Mathematische Statistik |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-41996-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Hermann Witting]] |Titel=Mathematische Statistik I. Parametrische Verfahren bei festem Stichprobenumfang |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1985 |ISBN=3-519-02026-2 |DOI=10.1007/978-3-322-90150-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Hermann Witting]], [[Ulrich Müller-Funk]] |Titel=Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1995 |ISBN=978-3-322-90153-8 |DOI=10.1007/978-3-322-90152-1}}
;''Englisch''
* {{Literatur |Autor=Edward J. Dudewicz, Satya N. Mishra |Titel=Modern Mathematical Statistics |Reihe= Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1988 |ISBN=978-0471-81472-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Marek Fisz]] |Titel=Probability Theory and Mathematical Statistics |Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=1963}}
* {{Literatur |Autor=Robert W. Keener |Titel=Theoretical statistics - topics for a core course |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2010 |ISBN=978-0-387-93838-7 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-0-387-93839-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-31084-3}}
* {{Literatur |Autor=Martin J. Wainwright|Titel=High-dimensional statistics - a non-asymptotic viewpoint |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge u.a. |Datum=2019 |ISBN=978-1-108-49802-9 |DOI=10.1017/9781108627771}}
====Asymptotik====
* {{Literatur |Autor=[[Lucien Le Cam]], Grace Lo Young |Titel=Asymptotics in Statistics - Some Basic Concepts |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-95036-2}}
* {{Literatur |Autor=Anirban DasGupta |Titel=Asymptotic Theory of Statistics and Probability |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-75970-8 |DOI=10.1007/978-0-387-75971-5}}
* {{Literatur |Autor=Pál Révész |Titel=Die Gesetze der Grossen Zahlen |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften |BandReihe=35 |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel |Datum=1980 |ISBN=978-3-0348-6941-6 |DOI=10.1007/978-3-0348-6940-9 |Kommentar=Originalausgabe: ''The Laws of Large Numbers'', Budapest 1967, übersetzt von Eva Vas }}
* {{Literatur |Autor=Robert J. Serfling |Titel=Approximation Theorems of Mathematical Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1980 |ISBN=0-471-21927-4}}
* {{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart |Titel=Asymptotic Statistics |Reihe=Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1998 |ISBN=978-0-521-78450-4}}

==== Statistische Inferenz (Induktive Statistik) ====
* {{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6}}
* {{Literatur |Autor=Robert V. Hogg, Elliot A. Tanis, Dale L. Zimmermann |Titel=Probability and Statistical Inference |Auflage=9. |Verlag=Pearson |Ort=Boston |Datum=2013 |ISBN=978-0-321-92327-1}}

* {{Literatur |Autor=[[Helge Toutenburg]] |Titel=Induktive Statistik – Eine Einführung mit SPSS für Windows |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-66434-3}}
* {{Literatur |Autor=Nitis Mukhopadhyay |Titel=Probability and Statistical Inference |Reihe=Statistics: Textbooks and Monographs |BandReihe=162 |Verlag=Dekker |Ort=New York / Basel |Datum=2000 |ISBN=0-8247-0379-0}}
* {{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}

====Statistische Schätzverfahren====
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Georg Casella |Titel=Theory of Point Estimation |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1998 |ISBN=0-387-98502-6}}

====Statistische Testverfahren====
Zu ''Multiplen Testverfahren'' siehe [[Portal:Statistik/Literatur#Multiples Testen |Spezialgebiete: Multiples Testen]], zu ''Nichtparametrischen Testverfahren'' siehe [[Portal:Statistik/Literatur#Nichtparametrische Statistik |Nichtparametrische Statistik]].
* {{Literatur |Autor=[[Herbert Büning]] |Titel=Robuste und Adaptive Tests |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin/New York |Datum=1991 |ISBN=3-11-012827-6}}
* {{Literatur |Autor=Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák, Pranab K. Sen | Titel=Theory of Rank Tests |Auflage = 2 |Verlag= Academic Press |Ort=San Diego et al. |ISBN=978-0-12-642350-1 |DOI=10.1016/B978-0-12-642350-1.X5017-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Joseph P. Romano |Titel=Testing Statistical Hypothesis |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2005 |ISBN=0-387-98864-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Joseph P. Romano |Titel=Testing Statistical Hypothesis |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2022 |ISBN=978-3-030-70577-0 |DOI=10.1007/978-3-030-70578-7 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-030-70578-7}} [In zwei fortlaufend paginierten Bänden, Volume I: ''Finite-sample-theory'', Volume II: ''Asymptotic Theory'']
* {{Literatur |Autor=[[Bernhard Rüger]] |Titel=Test- und Schätztheorie, Band I: Grundlagen |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=1999 |ISBN=3-486-23650-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernhard Rüger]] |Titel=Test- und Schätztheorie, Band II: Statistische Tests |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2002 |ISBN=3-486-25130-9}}
* ''Artikel und Buchkapitel''
** {{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle= Kap. 8: ''Hypothesis Testing''}}
** {{Literatur |Autor=Ronald L. Wasserstein, Nicole A. Lazar | Titel=The ASA’s Statement on ''p''-Values: Context, Process, and Purpose |Sammelwerk=The American Statistician |Band=70 |Nummer=2 |Datum=2016 |Seiten=129–133 |DOI=10.1080/00031305.2016.1154108}}

====Multivariate Statistische Methoden====
* {{Literatur |Autor=[[Theodore Wilbur Anderson |T. W. Anderson]]|Titel=Introduction to Multivariate Statistical Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Jahr=2003| ISBN=978-0-471-36091-9}}
* {{Literatur |Hrsg=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Alfred Hamerle]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Multivariate Statistische Verfahren |Auflage=2 |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Jahr=1996 |ISBN=978-3-11-013806-1 |DOI=10.1515/9783110816020}}
* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Karl Härdle]], Léopold Simar |Titel=Applied Multivariate Statistical Analysis |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-17228-1}}
* {{Literatur |Autor=K. V. Mardia, J. T. Kent und J. M. Bibby |Titel=Multivariate Analysis|Verlag=Academic Press |Ort=Amsterdam |Datum=1979 |ISBN=0-12-471252-5}}
* {{Literatur |Autor=Alvin C. Rencher, William F. Christensen |Titel=Methods of Multivariate Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-0-470-17896-6}}
* {{Literatur |Autor=Donald F. Morrison |Titel=Multivariate Statistical Methods |Auflage=4 |Verlag=Brooks/Cole |Ort=Belmont |Datum=2005 |ISBN=0-534-38778-0}}

====[[Nichtparametrische Statistik]]====
* {{Literatur |Autor=[[Herbert Büning]], [[Götz Trenkler]] |Titel=Nichtparametrische Statistische Methoden |Verlag=Walter de Gruyter |Auflage= 2. völlig neu bearbeitete Auflage |Ort=Berlin / New York |Datum=1994 |ISBN=3-11-013860-3 |DOI=10.1515/9783110902990}}
* {{Literatur |Autor=W. J. Conover |Titel=Practical Nonparametric Statistics |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=1999 |ISBN=0-471-16068-7}}
* {{Literatur |Autor=Thorsten Dickhaus |Titel=Theory of Nonparametric Tests |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2018 |ISBN=978-3-319-76314-9 |DOI=10.1007/978-3-319-76315-6 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-319-76315-6}}
* {{Literatur |Autor=Jean Dickinson Gibbons, Subhabrata Chakraborti |Titel=Nonparametric Statistical Inference |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Auflage=5 |Ort=Boca Raton |Datum=2010 |ISBN=978-1-4200-7761-2}}
* {{Literatur |Autor=Jean Dickinson Gibbons, Subhabrata Chakraborti |Titel=Nonparametric Statistical Inference |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Auflage=6 |Ort=Boca Raton |Datum=2021 |ISBN=978-1-315-11047-9| DOI=10.1201/9781315110479}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich L. Lehmann]] |Titel=Nonparametric Statistical Methods based on Ranks |Verlag=Prentince-Hall |Ort=Upper Saddle River |Datum=1975}}
* {{Literatur |Autor=[[Gottfried E. Noether]] |Titel=Introduction to Statistics – The Nonparametric Way |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |Datum=1991 |ISBN=978-1-4612-6955-7 |DOI=10.1007/978-1-4612-0943-0}}

=== Stichproben aus endlichen Grundgesamtheiten ===
Dieses Teilgebiet der Statistik, das auch als ''Survey-Statistik'' bezeichnet wird, wird typischerweise in Standardwerken der mathematischen Statistik nicht behandelt.

;''Deutsch''
* {{Literatur |Autor=[[Göran Kauermann]], [[Helmut Küchenhoff]] |Titel=Stichproben – Methoden und praktische Umsetzung mit R |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-12317-7|DOI=10.1007/978-3-642-12318-4|Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-12318-4}}
* {{Literatur |Autor=Bernd Leiner |Titel=Stichprobentheorie: Grundlagen, Theorie und Technik |Verlag=Oldenbourg| Ort=München |Auflage=3 |Datum=1989 |DOI=10.1515/9783486785869}}
* {{Literatur |Autor=[[Günter Menges (Ökonom) |Günter Menges]] |Titel=Stichproben aus endlichen Gesamtheiten – Theorie und Technik – Ein Beitrag zur Methodenlehre der Statistik |Reihe=Frankfurter wissenschaftliche Beiträge, Kulturwissenschaftliche Reihe |BandReihe=19 |Verlag=Vittorio Klostermann |Ort= Frankfurt am Main |Datum=1959 |DNB=453305881}}
* {{Literatur |Autor=[[Fritz Pokropp]] |Titel=Stichproben – Theorie und Verfahren |Verlag= Oldenbourg |Ort=München |Auflage=2 |Datum=1996 |ISBN=3-486-23856-6}}
* {{Literatur |Autor=Andreas Quatember |Titel=Datenqualität in Stichprobenerhebungen – Eine verständnisorientierte Einführung in die Survey-Statistik |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=3 |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-60273-7 |DOI=10.1007/978-3-662-60274-4 |Kommentar=EBook-ISBN 978-3-662-60274-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Stenger]] |Titel=Stichprobentheorie| Verlag=Physica-Verlag |Ort=Würzburg / Wien |Datum=1971 |ISBN=978-3-7908-0011-1 }}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Stenger]] |Titel=Stichproben: Verfahren und Grundlagen| Verlag=Physica-Verlag |Ort=Heidelberg / Wien |Datum=1986 |ISBN=978-3-7908-0319-8 |DOI=10.1007/978-3-642-61651-8 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-61651-8}}

;''Englisch''
* {{Literatur |Autor=Arijit Chaudhuri |Titel=Modern Survey Sampling| Verlag=CRC Press |Ort=Boca Raton / London / New York |Datum=2014 |ISBN=978-1-4665-7260-7}}
* {{Literatur |Autor=Arijit Chaudhuri, [[Horst Stenger]] |Titel=Survey Sampling – Theory and Methods| Verlag=CRC Press |Ort=New York |Auflage=2 |Datum=2005 |ISBN=978-1-4665-7260-7}}
* {{Literatur |Autor=Wayne A. Fuller |Titel=Sampling Statistics |Reihe=Wiley Series in Survey Methodology |BandReihe=560 |Ort=Hoboken |Datum=2009 | ISBN=978-0-470-45460-2 |DOI=10.1002/9780470523551}}
* {{Literatur |Autor=Sharon L. Lohr |Titel=Sampling: Design and Analysis |Verlag=Brooks/Cole |Ort=Boston |Auflage=2 |Datum=2010 |ISBN=978-0-495-10527-5}}
* {{Literatur |Autor=Sharon L. Lohr |Titel=Sampling: Design and Analysis |Verlag=Chapman & Hall |Ort=Boca Raton |Auflage=3 |Datum=2022 |ISBN=978-0-367-27950-9}}
* {{Literatur |Autor=Steven K. Thompson |Titel=Sampling |Verlag=Wiley |Ort=New York |Auflage=3 |Datum=2012 |ISBN=978-1-118-16294-1}}
* {{Literatur |Autor=Changboa Wu, Mary E. Thompson |Titel=Sampling Theory and Practice |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2020 |ISBN=978-3-030-44392-4 |DOI=10.1007/978-3-030-44246-0}}

;''Artikel und Buchkapitel''
* {{Literatur |Autor=Herbert Basler |Titel=Zur Definition von Zufallsstichproben aus endlichen Grundgesamtheiten| Sammelwerk=Metrika |Band=26 |Seiten=219–236| Datum=1979 |DOI=10.1007/BF01893490}}
* {{Literatur |Autor=Günter Menges, Heinz J. Skala |Titel=Grundriß der Statistik. Teil 2: Daten |Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Opladen |Datum=1973 |ISBN=3-531-11093-4 |Fundstelle= Kap. 3 ''Datengewinnung: Beobachtungen'', S. 85–135}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4| Fundstelle= Teil D, Kap. 4: ''Stichprobentheorie'', S. 721–736}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Stenger]] |Titel=Mehrstufige Auswahlverfahren| Sammelwerk= Metrika |Band=21 |Seiten=7–18| Datum=1974 |DOI=10.1007/BF01893889}}
*{{Literatur |Autor= [[Leopold Schmetterer]] |Titel=Zur Theorie der Stichproben aus endlichen Gesamtheiten |Hrsg=[[Kurt Schröder (Mathematiker)|Kurt Schröder]] |Sammelwerk=Internationale Tagung über mathematische Statistik und ihre Anwendungen |Seiten=117–120 |Verlag=Akademie-Verlag |Datum=1964 |DOI=10.1515/9783112648889-027}}

===Statistische Berechnungen===
* {{Literatur |Herausgeber=James E. Gentle, [[Wolfgang Karl Härdle|Wolfgang Härdle]], Yuichi Mori |Titel=Handbook of Computational Statistics. Concepts and Methods |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-3-540-40464-4}}

;R
* {{Literatur |Autor=Dubravko Dolić |Titel=Statistik mit R – Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Oldenbourg |Ort=München / Wien |Datum=2004 |ISBN=3-486-27537-2}}
* {{Literatur |Autor=Günter Faes |Titel=Einführung in R – Ein Kochbuch zur statistischen Datenanalyse mit R |Verlag=BoD |Ort=Norderstedt |Datum=2007 |ISBN=978-3-8334-9184-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernd Heesen]] |Titel=Data Science und Statistik mit R: Anwendungslösungen für die Praxis |Verlag=Springer-Gabler |Ort=Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-658-34824-3}}
* {{Literatur |Autor=Uwe Ligges |Titel=Programmieren mit R |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=3 |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-79997-9 |DOI=10.1007/978-3-540-79998-6 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-540-79998-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Lothar Sachs]], Jürgen Hedderich |Titel= Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R |Auflage=17 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-62293-3 |DOI=10.1007/978-3-662-62294-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Rainer Schlittgen]] |Titel=Das Statistiklabor – R leicht gemacht. | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2009 |ISBN=978-3-642-01838-1}}
* {{Literatur |Autor=John Verzani |Titel= Using R for Introductory Statistics |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2014 | Auflage=2 |ISBN=978-1-4665-9073-1}}

;SPSS
* {{Literatur |Autor=Achim Bühl|Titel= SPSS. Einführung in die moderne Datenanalyse ab SPSS 25
|Verlag=Pearson Studium |Ort=|Datum=2018 | Auflage=16 |ISBN=978-3-86894-371-9}}

===Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen===
Hier finden sich Bücher auf einem gemäßigten mathematischen Niveau und solche, die sich explizit an Statistiker richten. Für weitere Bücher zur Wahrscheinlichkeitstheorie, oft mit gehobenem mathematischen Niveau, siehe Abschnitt [[Portal:Statistik/Literatur#Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie|Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie]].
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=S. Goldberg |Titel=Die Wahrscheinlichkeit |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig |Datum=1960 |ISBN=978-3-663-01040-1 |DOI=10.1007/978-3-663-02953-3}}
*{{Literatur |Autor=[[Norbert Henze]] |Titel=Stochastik: Eine Einführung mit Grundzügen der Maßtheorie |Verlag=Springer Spektrum | Ort=Berlin |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-59562-6 |DOI=10.1007/978-3-662-59563-3}}
*{{Literatur |Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung mit Beispielen und Anwendungen |Auflage= 2. überarbeitete Auflage |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag | Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0969-8}}
*{{Literatur |Autor=[[Ulrich Krengel]] |Titel=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |TitelErg=Für Studium, Berufspraxis und Lehramt |Auflage=8., erweiterte Auflage |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Jahr=2005 |ISBN=3-8348-0063-5 |DOI=10.1007/978-3-663-09885-0 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-663-09885-0}}
* {{Literatur |Autor=René L. Schilling |Titel=Wahrscheinlichkeit – Eine Einführung für Bachelor-Studenten |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Jahr=2017 |ISBN=978-3-11-035065-4 |DOI=10.1515/9783110350661}}
* {{Literatur |Herausgeber=August Schmid, Wilhelm Schweizer |Titel=Lambacher-Schweizer: Stochastik Leistungskurs. Für die Sekundarstufe II |Verlag=Klett |Ort=Stuttgart |Datum=1999 |ISBN=3-12-739370-9}}
;Englisch
* {{Literatur |Autor=James Davidson |Titel=Stochastic Limit Theory – An Introduction for Econometricians |Reihe=Advanced Texts in Econometrics |HrsgReihe=[[Clive W. J. Granger|C. W. J. Granger]], G. E. Mizon |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Jahr=1994 |Auflage=1 |ISBN=0-19-877402-8}}
* {{Literatur |Autor=James Davidson |Titel=Stochastic Limit Theory – An Introduction for Econometricians |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Jahr=2021 |Auflage=2 |ISBN=978-0-19-284450-7 |Kommentar= E-Book-ISBN 978-0-19-265880-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Bruno de Finetti]] |Titel=Theory of Probability |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=1974 |ISBN=9-780-471-92611-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Bruno de Finetti]] |Titel=Theory of Probability |Band=2 |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=1975 |ISBN=0-471-92612-4}}
* {{Literatur |Autor=E.T. Jaynes, G. Larry Bretthors |Titel=Probability Theory: The Logic of Science: Principles and Elementary Applications (Vol 1) |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Jahr=2003 |ISBN=0-521-59271-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Jean Jacod]], Philip Protter |Titel=Probability Essentials | Auflage= 2. Aufl., zweiter korrigierter Druck |Verlag=Springer |Ort= Berlin / Heidelberg |Jahr=2004 |ISBN= 978-3-540-43871-7| DOI=10.1007/978-3-642-55682-1}}
* {{Literatur |Autor=Michael A. Proschan, Pamela A. Shaw| Titel=Essentials of Probability Theory for Statisticians |Verlag=CRC Press |Ort=Boca Raton |Datum=2016 |ISBN=978-1-4987-0419-9}}
* {{Literatur |Autor=Sidney I. Resnick |Titel=A Probability Path |Verlag=Birkhäuser |Ort=Boston / Basel / Berlin |ISBN=0-8176-4055-X |DOI=10.1007/978-0-8176-8409-9}}
* {{Literatur |Autor=René L. Schilling |Titel=Measure, Integral, Probability, & Processes – Probab(ilistically) the Theoretical Minimum| Verlag=Eigenverlag René L. Schilling |Ort=Dresden |Jahr=2021 |ISBN=979-8-5991-0488-9}}
* {{Literatur |Autor=Galen R. Shorack |Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-98953-6}}
* {{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52206-7 |DOI=10.1007/978-3-319-52207-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Anatolij Skorochod|A. V. Skorokhod]] |Titel=Basic Principles and Applications of Probability Theory |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2005 |ISBN=978-3-642-08121-7 |DOI=10.1007/b137401}}
* {{Literatur |Autor=[[James Victor Uspensky|J. V. Uspensky]] |Titel=Introduction to Mathematical Probability |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York /London |Datum=1937 |Online=https://ia801407.us.archive.org/17/items/in.ernet.dli.2015.263184/2015.263184.Introduction-To.pdf}}
* {{Literatur |Autor=Peter Whittle| Titel=Probability via Expectation |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=978-1-4612-6795-9 |DOI=10.1007/978-1-4612-0509-8}}

=== Spezialgebiete ===
Hier finden sich methodische Spezialgebiete. Für Anwendungen der Statistik in inhaltlichen Bereichen siehe Abschnitt [[Portal:Statistik/Literatur#Anwendungsbereiche|Anwendungsbereiche]].

==== Ausreißer ====
* {{Literatur |Autor=Vic Barnett, Toby Williams |Titel=Outliers in Statistical Data |Auflage=3 |Reihe=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=1994 |ISBN=0-471-93094-6}}

==== Bayessche Netze ====
* {{Literatur |Autor=Marco Scutari, Jean-Baptiste Denis |Titel=Bayesian Networks – Withs Examples in R |Auflage=2 |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2022 |ISBN=978-0-367-36651-3}}

==== Bayessche Statistik ====
* {{Literatur |Autor=Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, David B. Dunson, Aki Vehtari, Donald R. Rubin |Titel=Bayesian Data Analysis |Auflage=3 |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2014 |ISBN=978-1-4398-4095-5}}

==== Extremwerttheorie ====
* {{Literatur |Autor=Paul Embrechts, Thomas Mikosch, [[Claudia Klüppelberg]] |Titel=Modelling extremal events |Reihe=Stochastic Modelling and Applied Probability |BandReihe=33 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum= 1997 |ISBN=3-540-60931-8 |DOI=10.1007/978-3-642-33483-2}}
* {{Literatur |Autor=Laurens de Haan, Ana Ferreira |Titel=Extrem Value Theory. An Introduction |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-1-4419-2020-1 |DOI=10.1007/0-387-34471-3}}
* {{Literatur |Autor=Sidney I. Resnick |Titel=Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes|Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-75952-4}}
* {{Literatur |Autor=R.-D. Reiss, M. Thomas |Titel=Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields |Verlag=Birkhäuser|Auflage = 3 |Ort=Basel / Bosten / Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-7643-7230-9}}

==== Monte-Carlo-Methoden, Simulation ====
* {{Literatur |Autor=Luc Devroye |Titel=Non-Uniform Random Variate Generation |Verlag =Springer |Ort=New York |Datum=1986 |ISBN=0-387-96305-7 |DOI=10.1007/978-1-4613-8643-8 |Online=http://luc.devroye.org/nonuniformrandomvariates.zip Zip-Datei aller Buchkapitel}}
* {{Literatur |Autor=George S. Fishman |Titel=Monte Carlo –Concepts, Algorithms, and Applications |Reihe=Springer Series in Operations Research |Verlag=Springer |Ort=New York / Berlin / Heidelberg |Datum=1996 |ISBN=0-387-94527-X |DOI=10.1007/978-1-4757-2553-7}}
* {{Literatur |Autor=Christian P. Robert, George Casella |Titel=Monte Carlo Statistical Methods |Auflage=2 |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Datum=2004 |ISBN=0-387-21239-6 |DOI=10.1007/978-1-4757-4145-2}}

==== Multiples Testen ====
* {{Literatur |Autor=Alexei Dimitrenko, Jason C. Hsu |Titel=Multiple Testing in Clinical Trials |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |Seiten=5111–5117 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 |DOI=10.1002/0471667196}}
* {{Literatur |Autor=Jason C. Hsu |Titel=Multiple Comparisons – Theory and Methods |Verlag=Chapman and Hall |Ort=London |Datum=1996 |ISBN=9780412982811 |DOI=10.1201/b15074 |Kommentar=E-Book-ISBN 9780429170874}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Joseph P. Romano |Titel=Testing Statistical Hypothesis |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2022 |ISBN=978-3-030-70577-0 |DOI=10.1007/978-3-030-70578-7 |Fundstelle=Chapter 9: Multiple Testing and Simultaneous Inference |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-030-70578-7}}
* {{Literatur |Autor=Bernhard Rüger |Titel=Test- und Schätztheorie, Band II: Statistische Tests |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2002 |ISBN=3-486-25130-9 |Fundstelle= Abschnitt 3.3.7: Multiple Testverfahren }}
* {{Literatur |Titel=Handbook of Multiple Comparisons |Hrsg=Xinping Ciu, Thorsten Dickhaus, Ying Ding, Jason C. Hsu |Verlag=Chapman and Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2021 |ISBN=978-0-367-14067-0| DOI=10.1201/9780429030888 |Kommentar=E-Book-ISBN: 978-0-429-03088-8}}
* Artikel
** {{Literatur |Autor=Ralf Bender, St. Lange, A. Ziegler |Titel=Multiples Testen |TitelErg=Artikel Nr. 12 der Statistik-Serie in DMW |Sammelwerk=Deutsche Medizinische Wochenschrift |Datum=2002 |Band=127 |Seiten=T4–T7 |Online=https://www.thieme-connect.de/products/ejournals/pdf/10.1055/s-2002-32816.pdf}}
** {{Literatur |Autor=Yoav Benjamini, D. Yekutieli |Titel=The control of the false discovery rate in multiple testing under dependency |Sammelwerk=Annals of Statistics |Datum=2001 |Band=28 |Seiten=1165–1189}}
** {{Literatur |Autor=Yoav Benjamini, Yosef Hochberg |Titel=Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing |Sammelwerk=Journal of the Royal Statistical Society Series B |Datum=1995 |Band=57 |Seiten=289–300 |Online=http://www.math.tau.ac.il/~ybenja/MyPapers/benjamini_hochberg1995.pdf}}
** {{Literatur |Autor=Yosef Hochberg |Titel=A sharper Bonferroni procedure for multiple test of significance |Sammelwerk=Biometrika |Datum=1988 |Band=75 |Seiten=800–802}}
** {{Literatur |Autor=Mark Rubin |Titel=When to adjust alpha during multiple testing: a consideration of disjunction, conjunction, and individual testing |Sammelwerk=Synthese |Datum=2021 |Band=199 |Seiten=10969–11000 |DOI=10.1007/s11229-021-03276-4}}
** {{Literatur |Autor=R. J. Siemes |Titel=An improved Bonferroni procedure for multiple test of significance |Sammelwerk=Biometrika |Datum=1986 |Band=73 |Seiten=751–754}}
** {{Literatur |Autor=Anja Victor, Amelie Elsäßer, Gerhard Hommel, Maria Blettner |Titel=How to Contend With The Problem of Multiple Testing |TitelErg=Part 10 of a Series on Evaluation of Scientic Publications |Sammelwerk=Deutsches Ärzteblatt International |Datum=2010 |Band=107 |Nummer=4 |Seiten=50–56 |DOI=10.3238/arztebl.2010.0050 |Online=https://www.aerzteblatt.de/int/archive/article/67552 |Kommentar=Deutsche Fassung: ''Wie bewertet man die p-Wert-Flut? Hinweise zum Umgang mit dem multiplen Testen''. Teil 10 der Serie zur Bewertung wissenschaftlicher Publikationen, [https://www.aerzteblatt.de/archiv/67473/Wie-bewertet-man-die-p-Wert-Flut-Hinweise-zum-Umgang-mit-dem-multiplen-Testen-Teil-10-der-Serie-zur-Bewertung-wissenschaftlicher-Publikationen aerzteblatt.de]}}
* [[Graue Literatur]]
** {{Literatur |Autor=Thorsten Dickhaus |Titel=Multiples Testen – Skript zur Lehrveranstaltung |Hrsg=Universität Bremen, Institut für Statistik |Ort=Bremen |Datum=2022 |Kommentar=Version: 8. April 2022 |Online=http://www.math.uni-bremen.de/~dickhaus/downloads/skript-multiple-tests-SoSe2022.pdf |Abruf=2023-01-11}}

==== Mustererkennung ====
* {{Literatur |Autor=Christopher M. Bishop |Titel=Neural Networks for Pattern Recognition |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Datum=1995 |ISBN=0-198-53864-2}}
* {{Literatur |Autor=Brian D. Ripley |Titel=Pattern Recognition and Neural Networks |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2008 |ISBN=0-521-71770-1}}

==== Räumliche Statistik ====
* {{Literatur |Autor=Jörg Benndorf |Titel=Angewandte Geodatenanalyse und -Modellierung – Eine Einführung in die Geostatistik für Geowissenschaftler und Geoingenieure |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-39980-1 |DOI=10.1007/978-3-658-39981-8}}
* {{Literatur |Autor=Kanti Mardia, John Kent |Titel=Spatial Analysis |Verlag=John Wiley & Sons |Jahr=2022 |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |ISBN=9781118763551 |DOI=10.1002/9781118763551}}
* {{Literatur |Autor=Michael Leonhard Stein |Titel=Interpolation of Spatial Data – Some Theory for Kriging |Reihe=Springer Series in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1999 |ISBN=978-1-4612-7166-6 |DOI=10.1007/978-1-4612-1494-6}}

==== Regression ====
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]] |Titel=Regression – Modelle, Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-33932-8 |DOI=10.1007/978-3-540-33933-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang |Titel=Regression – Modelle, Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort= Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2009 |Auflage=2 |ISBN=978-3-642-01836-7 |DOI=10.1007/978-3-642-01837-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang, Brian D. Marx |Titel=Regression – Models, Methods and Applications |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-34332-2 |DOI=10.1007/978-3-642-34333-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang, Brian D. Marx |Titel=Regression – Models, Methods and Applications |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2021 |Auflage=2 |ISBN=978-3-658-00829-1 |DOI=10.1007/978-3-662-63882-8}}
* {{Literatur |Autor=David M. Hosmer, Stanley Lemeshow, Rodney X. Sturdivant |Titel=Applied Logistic Regression |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2013 |Auflage=3 |ISBN=978-0-470-58247-3 |DOI=10.1002/9781118548387}}
* {{Literatur |Autor=Charles E. McCulloch, Shayle R. Searle, John M. Neuhaus |Titel= Generalized, Linear, and Mixed Models |Auflage=2. |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag= Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2008}}
* {{Literatur |Autor=[[Fritz Pokropp]] |Titel=Lineare Regression und Varianzanalyse |Verlag=Oldenbourg |Ort= München / Wien |Datum=1994 |ISBN=3-486-22997-4 |DOI=10.1515/9783486786682}}
* {{Literatur |Autor=[[Helge Toutenburg]] |Titel=Lineare Modelle. Theorie und Anwendungen |Auflage=2., neu bearb. und erw. Aufl. |Verlag=Physica-Verlag |Ort=Heidelberg York |Datum=2002 |ISBN=978-3-7908-1519-1 |DOI=10.1007/978-3-642-57348-4 |Kommentar=Mit Beiträgen von Christian Heumann}}
* {{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Die Analyse kategorialer Daten – Anwendungsorientierte Einführung in Logit-Modellierung und kategoriale Regression |Verlag=Oldenbourg |Ort=München / Wien |Datum=2000 |ISBN=3-486-25405-7}}
* {{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Regression for Categorical Data |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2012 |ISBN=978-1-107-00965-3}}
* {{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Modelle für kategoriale Daten mit ordinalem Skalenniveau – Parametrische und nonparametrische Ansätze |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1990 |ISBN=3-525-11268-8}}

==== Risikoquantifizierung ====
* {{Literatur |Autor=Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch |Titel=Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-49406-6 |DOI=10.1007/978-3-662-49407-3}}
* {{Literatur |Autor=Claudia Cottin, Sebastian Döhler |Titel=Risikoanalyse – Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |Auflage=2 |ISBN=978-3-658-00829-1 |DOI=10.1007/978-3-658-00830-7}}
* {{Literatur |Autor=Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, Rob Kass |Titel=Actuarial Theory for Dependent Risks – Measures, Orders and Models |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2005 |ISBN=978-0-470-01492-9}}
* {{Literatur |Autor=Steffi Höse, [[Stefan Huschens]] |Titel=Ereignisrisiko – Statistische Verfahren und Konzepte zur Risikoquantifizierung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64690-8 |DOI=10.1007/978-3-662-64691-5}}
* {{Literatur |Autor=Philippe Jorion |Titel=Value at Risk – The New Benchmark for Managing Financial Risk |Auflage=3. |Verlag= McGraw Hill |Datum=2007 |ISBN=978-0-07-146495-6}}
* {{Literatur |Autor=Rob Kaas, Marc Goovaerts, Jan Dhaene, Michael Denuit |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |TitelErg=Using R |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-70992-3 |DOI=10.1007/978-3-540-70998-5}}
* {{Literatur |Autor=Alfred Müller, [[Dietrich Stoyan]] |Titel=Comparison Methods for Stochastic Models and Risks |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2002 |ISBN=978-0-471-49446-1}}
* {{Literatur |Autor=Georg Ch. Pflug, Werner Römisch |Titel=Modeling, Measuring and Managing Risk |Verlag=World Scientific |Ort=Singapore |Datum=2007 |ISBN=978-981-270-740-6}}

==== [[Robustheit]] ====
* {{Literatur |Autor=[[Herbert Büning]] |Titel=Robuste und Adaptive Tests |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin/New York |Datum=1991 |ISBN=3-11-012827-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Frank Hampel]], Elvezio M. Ronchetti, Peter J. Rousseeuw, Werner A. Stahel |Titel=Robust statistics. The approach based on influence functions |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2011 |ISBN=978-1-118-15068-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter J. Huber]], Elvezio M. Ronchetti |Titel=Robust Statistics |Auflage=2 |Verlag = Wiley |Ort=Hoboken |Datum=1986 |ISBN=978-0-470-12990-6}}
* {{Literatur |Autor=Ricardo A. Maronna, R. Douglas Martin, Victor J. Yohai |Titel=Robust Statistics – Theory and Methods |Reihe=Wiley Series in Probability and Statics |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2006 |ISBN=978-0-470-01092-1}}
* {{Literatur |Autor=Ricardo A. Maronna, R. Douglas Martin, Victor J. Yohai, Matías Salibián-Barrera |Titel=Robust Statistics – Theory and Methods (With R) |Reihe=Wiley Series in Probability and Statics |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2019 |ISBN=978-1-119-21468-7}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Robustheit statistischer Verfahren |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Seiten=338–343 |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1}}

==== Statistische Klassifikationsverfahren, Diskriminanzanalyse ====
* {{Literatur |Autor=K. V. Mardia, J. T. Kent und J. M. Bibby |Titel=Multivariate Analysis|Verlag=Academic Press |Ort=Amsterdam |Datum=1979 |ISBN=0-12-471252-5| Fundstelle= Kap. 11: Discrimant Analysis, S. 300-332}}
* {{Literatur |Autor=Alvin C. Rencher, William F. Christensen |Titel=Methods of Multivariate Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-0-470-17896-6 |Fundstelle=Kap. 8: Discriminant Analysis: Description of Group Separation, S. 281–308}}
* {{Literatur |Autor=Alvin C. Rencher, William F. Christensen |Titel=Methods of Multivariate Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-0-470-17896-6 |Fundstelle=Kap. 9: Classification Analysis: Allocation of Observations to Groups, S. 309–337}}

==== Statistisches Lernen ====
* {{Literatur |Autor=Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman |Titel=The Elements of Statistical Learning – Data Mining, Inference, and Prediction |Auflage=2. |Reihe=Springer Series in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2009 |ISBN=978-0-387-84857-0 |DOI=10.1007/978-0-387-84858-7}}
* {{Literatur |Autor=Garet James, Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani |Titel=An Introduction to Statistical Learning with Applications in R |Auflage=2. |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2021 |ISBN=978-1-0716-1417-4 |DOI=10.1007/978-1-0716-1418-1 |Kommentar=Ohne Literaturverzeichnis und Quellenangaben}}

==== Zeitreihenanalyse ====
Zu den wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen der Zeitreihenanalyse siehe Abschnitt [[Portal:Statistik/Literatur#Stochastische Prozesse|Stochastische Prozesse]].
* {{Literatur |Autor=[[George E. P. Box]], Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel |Titel=Time Series Analysis – Forecasting and Control |Auflage=4 |Reihe=Wileys Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2008 |ISBN=978-0-470-27284-8}}
* {{Literatur |Autor=[[George E. P. Box]], Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel, Greta M. Ljung |Titel=Time Series Analysis – Forecasting and Control |Auflage=5 |Reihe=Wileys Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2015 |ISBN=978-1-118-67502-1}}
* {{Literatur |Autor=Peter J. Brockwell, Richard A. Davis |Titel=Introduction to Time Series and Forecasting | Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2002 |ISBN=978-0-387-95351-9 |DOI=10.1007/b97391}}
* {{Literatur |Autor=Peter J. Brockwell, Richard A. Davis |Titel=Introduction to Time Series and Forecasting | Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2016 |ISBN=978-3-319-29854-2 |DOI=10.1007/978-3-319-29854-2}}
* {{Literatur |Autor=Peter J. Brockwell, Richard A. Davis |Titel=Time Series: Theory and Methods | Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1991 |ISBN=0-387-97429-6 |DOI=10.1007/978-1-4419-0320-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Christian Gourieroux]], Alain Montfort |Titel=Time Series and Dynamic Models | Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1997 |ISBN=0-521-42308-2 |DOI=10.1017/CBO9780511628597}} (Französisch: ''Séries Temporelles et Modèles Dynamiques'', Economica, 1990)
* {{Literatur |Autor=[[James D. Hamilton]] |Titel=Time Series Analysis |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton |Datum=1994 |ISBN=978-0-691-04289-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Gebhard Kirchgässner]], [[Jürgen Wolters]], [[Uwe Hassler]] |Titel=Introduction to Modern Times Series Analysis |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=2. |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-33435-1 |DOI=10.1007/978-3-642-33436-8}}
* {{Literatur |Autor=Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus |Titel=Einführung in die Zeitreihenanalyse | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-25628-1 |DOI=10.1007/3-540-33571-4}}
* {{Literatur |Autor=Robert H. Shumway, David S. Stoffer |Titel=Time Series Analysis and Its Applications – With R Examples |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=New York/Dordrecht/Heidelberg/London |Datum=2011 |ISBN=978-1-4419-7864-6 |DOI=10.1007/978-1-4419-7865-3}}
* {{Literatur |Autor=Robert H. Shumway, David S. Stoffer |Titel=Time Series Analysis and Its Applications – With R Examples |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52451-1 |DOI=10.1007/978-3-319-52452-8}}

==== Zuverlässigkeitstheorie ====
* {{Literatur |Autor=Terje Aven, Uwe Jensen |Titel=Stochastic Models in Reliability |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York/Heidelberg/Dordrecht/London |Datum=2013 |ISBN=978-1-4899-9855-2 |DOI=10.1007/978-1-4614-7894-2}}

=== Randgebiete ===
==== Graphische Präsentation ====
* {{Literatur |Autor=Edward Tufte |Titel=Visual Explanations: Images and Quantities, Evidence and Narrative |Verlag=Graphics Press |Ort=USA |Datum=1997 |ISBN=0-961-39212-6}}
* {{Literatur |Autor=Edward Tufte |Titel=The Visual Display of Quantitative Information |Verlag=Graphics Press |Ort=USA |Datum=2001 |ISBN=0-961-39214-2}}
==== Maschinelles Lernen ====
* {{Literatur |Autor=Robert B. Gramacy |Titel=Surrogates – Gaussian Process Modeling, Design, and Optimization for the Applied Siences |Reihe=Texts in Statistical Science |Verlag=CRC Press |Ort=Boca Raton / London / New York |Datum=2020 |ISBN=978-1-03-224255-2|Online=https://bobby.gramacy.com/surrogates/surrogates.pdf}}
* {{Literatur |Autor=Carl Edward Rasmussen, Christopher K. I. Williams |Titel=Gaussian Processes for Machine Learning |Verlag=MIT Press |Ort=Cambridge / London |Datum=2006 |ISBN=0-262-18253-X |Online=http://www.gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf}}

==== Verallgemeinerungen des Wahrscheinlichkeitskonzeptes ====
* {{Literatur |Hrsg=Thomas Augustin, Frank P. A. Coolen, Gert de Cooman, Matthias C. M. Troffaes |Titel=Introduction to Imprecise Probabilities |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2014 |ISBN=978-0-470-97381-3}}
* {{Literatur |Autor=Peter Walley |Titel=Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities |Reihe= Monographs on Statistics and Applied Probability |BandReihe=42 |Verlag=Chapman and Hall |Ort=London |Datum=1991 |ISBN=0-412-28660-2}}
* {{Literatur |Autor=Anton Wallner |Titel=Beiträge zur Theorie der Intervallwahrscheinlichkeit: der Blick über Kolmogorov und Choquet hinaus |Reihe=Schriftenreihe Beiträge zur Mathematik |BandReihe=1 |Verlag=Kovač |Ort=Hamburg |Datum=2002 |ISBN=978-3-8300-0758-6 |Kommentar=Zugl. München, Univ., Diss. 2002}}
* {{Literatur |Autor=[[Kurt Weichselberger]] |Titel=Elementare Grundbegriffe einer allgemeineren Wahrscheinlichkeitsrechnung I – Intervallwahrscheinlichkeit als umfassendes Konzept | TitelErg= Unter Mitarbeit von Thomas Augustin und Anton Wallner |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2001 |ISBN=978-3-642-63304-1 |DOI= 10.1007/978-3-642-57583-9 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-57583-9}}

==Anwendungsbereiche==
===Biologie und Medizin===
* {{Literatur |Autor=Holger Behrendt, Klaus Runggaldier |Titel=Statistik für den Rettungsdienst. Eine allgemeine Einführung |Verlag=Stumpf und Kossendey |Ort=Edewecht |Datum=2005 |ISBN=3-938179-01-5}}
* {{Literatur |Autor=Jürg Hüsler, Heinz Zimmermann |Titel=Statistische Prinzipien für medizinische Projekte |Auflage=5., überarbeitete und erweiterte Auflage |Verlag=Hans Huber |Ort=Bern |Datum=2017 |ISBN=978-3-456-84868-6}}
* {{Literatur |Autor=Wilhelm Gaus, Rainer Muche |Titel=Medizinische Statistik – Angewandte Biometrie für Ärzte und Gesundheitsberufe |Auflage=2., überarbeitete Auflage |Verlag=Schattauer |Ort=Stuttgart |Datum=2017 |ISBN=978-3-7945-3241-4 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-7945-9072-8}}
* {{Literatur |Autor=Matthias Rudolf, Wiltrud Kuhlisch |Titel=Biostatistik. Eine Einführung für Bio- und Umweltwissenschaftler |Verlag=Pearson |Ort=München |Datum=2021 |ISBN=978-3-86894-404-4 |Auflage=2|Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-86326-300-3}}

===Geographie===
* {{Literatur |Autor=Gerhard Bahrenberg, Ernst Giese, Josef Nipper |Titel=Statistische Methoden in der Geographie |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1999 |ISBN=3-443-07101-5}}

=== Physik ===
* {{Literatur |Autor=[[Kurt Binder]], [[Dieter Heermann|Dieter W. Heermann]] |Titel=Monte Carlo Simulation in Statistical Physics – An Introduction |Reihe= Graduate Texts in Physics |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2019 |ISBN=978-3-030-10757-4 |DOI=10.1007/978-3-030-10758-1}}
===Sport===
* {{Literatur |Herausgeber=Jay Bennett |Titel=Statistics in Sport (Arnold Applications of Statistics Series) |Verlag=Arnold |Ort=London |Datum=1998 |ISBN=0-340-70072-6}}

===Technik===
* {{Literatur |Autor=Edgar Dietrich, Alfred Schulze |Titel=Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation |Verlag=Hanser |Ort=München |Datum=2003 |ISBN=3-446-22077-1 |Auflage=4}}
* {{Literatur |Autor=Volker Rausch |Titel=Bediensysteme der Instandhaltung: Eine Verknüpfung von mathematisch-statistischen Methoden und der Bedientheorie |Verlag=SVH Verlag |Ort=Saarbrücken |Datum=2010 |ISBN=3838114922}}

===Versicherungsmathematik===
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Versicherungsmathematik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=978-3-540-42731-5 |DOI=10.1007/978-3-662-10783-6}}
* {{Literatur |Autor=Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, Rob Kass |Titel=Actuarial Theory for Dependent Risks – Measures, Orders and Models |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2005 |ISBN=978-0-470-01492-9 |DOI=10.1002/0470016450}}
* {{Literatur |Autor=Rob Kaas, Marc Goovaerts, Jan Dhaene, Michael Denuit |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |TitelErg=Using R |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-70992-3 |DOI=10.1007/978-3-540-70998-5}}

===Wirtschaftswissenschaften===
* {{Literatur |Autor=Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher |Titel=Statistik für Wirtschaftswissenschaftler |Verlag=Vahlen |Ort=München |Datum=2008 |ISBN=3-8006-3529-1 |Auflage=15}}
* {{Literatur |Autor=David M. Levine, David F. Stephan, Mark L. Berenson |Titel=Statistics for Managers Using Microsoft Excel |Verlag=Prentice Hall |Ort=Upper Saddle River/NJ |Datum=1999 |ISBN=0-13-021218-0}}
* {{Literatur |Autor=Paul Newbold, William L. Carlson, Betty Thorne |Titel=Statistics for Business and Economics |Verlag=Prentice Hall |Ort=Upper Saddle River/NJ |Datum=2006 |ISBN=0-132-20384-7 |Auflage=6}}
* {{Literatur |Autor=Volker Oppitz, [[Volker Nollau]] |Titel=Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung – quantitative Methoden der ökonomischen Analyse |Verlag=Hanser |Ort=Leipzig |Datum=2003 |ISBN=3-446-22463-7}}

====Entscheidungstheorie====
* {{Literatur |Autor=[[Günter Bamberg]], [[Adolf G. Coenenberg]], [[Michael Krapp]] |Titel=Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre |Auflage=16 |Verlag=Vahlen |Ort=München |Datum=2019 |ISBN=978-3-8006-5885-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Helmut Laux]], Robert M. Gillenkirch, Heike Y. Schenk-Mathes |Titel=Entscheidungstheorie |Auflage=10 |Verlag=Springer Gabler |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-57817-9 |DOI=10.1007/978-3-662-57818-6}}

====Finanzmarktstochastik und Risikomanagement====
* {{Literatur |Autor=Christian Bluhm, Ludger Overbeck, Christoph Wagner |Titel=Introduction to Credit Risk Modeling |Reihe=Financial Mathematics Series |Auflage=2. |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton / London / New York |Datum=2010 |ISBN=978-1-58488-992-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Ernst Eberlein]], Jan Kallsen |Titel=Mathematical Finance |Reihe=Springer Finance |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2019 |ISBN=978-3-030-26105-4 |DOI=10.1007/978-3-030-26106-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Föllmer]], Alexander Schied |Titel=Stochastic Finance – An Introduction in Discrete Time |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2016 |Auflage=4. überarbeitete und erweiterte |ISBN=978-3-11-046344-6 |DOI=10.1515/9783110463453}} 
* {{Literatur |Autor=Frank Romeike, Manfred Stallinger |Titel=Stochastische Szenariosimulation in der Unternehmenspraxis – Risikomodellierung, Fallstudien, Umsetzung in R |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2021 |ISBN=978-3-658-34062-9 |DOI=10.1007/978-3-658-34063-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]], Mark Trede |Titel=Finanzmarktstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-27723-1}}

====Ökonometrie====
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig von Auer]] |Titel=Ökonometrie – Eine Einführung |Auflage=8. |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-42699-6 |DOI=10.1007/978-3-658-42700-9}}
* {{Literatur |Autor=Peter M. Schulze, Alexander Prinz, Andreas Schweinberger |Titel=Angewandte Statistik und Ökonometrie mit WinRATS |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2006 |ISBN=3-486-58033-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Jeffrey M. Wooldridge]] |Titel=Introductory Ecomometrics. A Modern Approach | Auflage = 4 | Verlag=South-Western |Ort = Mason  |Datum=2009 |ISBN=978-0-324-58548-3}}

====Wirtschaftsstatistik====
* {{Literatur |Autor=[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)|Oskar Anderson]], Werner Popp, Manfred Schaffranek, [[Horst Stenger]], Klaus Szameitat |Titel=Grundlagen der Statistik – Amtliche Statistik und beschreibende Methoden |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=195 | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=2 |Datum=1988 |ISBN=978-3-540-18689-2 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-86898-6 |DOI=10.1007/978-3-642-86898-6}}
* {{Literatur |Autor=Horst Degen, Peter Lorscheid |Titel=Statistik-Lehrbuch – Methoden der Statistik im wirtschaftswissenschaftlichen Grundstudium. Mit Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik |Verlag=Oldenbourg Wissensch.Vlg |Datum=2002 |ISBN=3-486-27240-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort= Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Autor=Jürgen Stiefl |Titel=Wirtschaftsstatistik |Verlag=Oldenbourg Wissensch. Vlg |Datum=2006 |ISBN=3-486-58012-4}}

== Mathematische Grundlagen der Statistik ==
=== Analysis ===
* {{Literatur |Autor=[[Otto Forster]], Florian Lindemann |Titel=Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen |Reihe=Grundkurs Mathematik |Auflage=13. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-40129-0 |DOI=10.1007/978-3-658-40130-6}}
* {{Literatur |Autor= A. I. Khuri |Titel= Advanced Calculus with Applications in Statistics |Auflage=2. |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag= Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2003 |ISBN=0-471-39104-2}}

=== Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie ===
==== Allgemein ====
''Deutsch''
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie |Band=1 |Reihe=Sammlung Göschen |BandReihe=1216/1216a |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=1964}}
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Datum=2002 |ISBN=3-11-017236-4 |Auflage=5}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter Gänssler]], Winfried Stute |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1977 |ISBN=3-540-08418-5|DOI=10.1007/978-3-642-66749-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2020 |ISBN=978-3-662-62088-5 |Auflage=4., überarbeitete und ergänzte Auflage |DOI=10.1007/978-3-662-62089-2}}
* {{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}
* {{Literatur |Autor=David Meintrup, [[Stefan Schäffler]] |Titel=Stochastik – Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |DOI=10.1007/b137972}}
* {{Literatur |Autor=Ludger Rüschendorf |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Reihe=Springer Lehrbuch Masterclass |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-48936-9 |DOI=10.1007/978-3-662-48937-6}}
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9}}

''Englisch''
* {{Literatur |Autor=[[Krishna B. Athreya]], Soumendra N. Lahiri |Titel=Measure Theory and Probability Theory |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0387-32903-1 |DOI=10.1007/978-0-387-35434-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Patrick Billingsley]] |Titel=Convergence of Probability Measures |Auflage=2. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1999 |ISBN=0-471-19745-9 }}
* {{Literatur |Autor=[[Patrick Billingsley]] |Titel=Probability and Measure |Reihe=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |Auflage=3. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1995 |ISBN=0-471-00710-2 |Auflage=3}}
* {{Literatur |Autor=[[Patrick Billingsley]] |Titel=Probability and Measure |Auflage= ''Anniversary Edition'' |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-1-118-12237-2 |Kommentar=inhaltsgleich zur dritten Auflage aus 1995, geänderter Seitenumbruch, andere Seitenzählung}}
* {{Literatur |Autor=[[Alexander Alexejewitsch Borowkow|Alexandr A. Borovkov]] |Titel=Probability Theory |Verlag=Springer-Verlag |Ort=London |Datum=2013 |ISBN=978-1-4471-5200-2 |Originalsprache=ru |Originaltitel=Teoriya Veroyatnostei, 5. Aufl., 2009 | Übersetzer= O. B. Borovkova und P. S. Ruzankin}}
* {{Literatur |Autor=[[Erhan Çinlar]] |Titel=Probability and Stochastics |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=261 |Verlag=Springer |Ort=Dordrecht / Heidelberg / London |Datum=2011 |ISBN=978-0-387-87858-4 |DOI=10.1007/978-0-387-87859-1}}
* {{Literatur |Autor=[[William Feller]] |Titel=An Introduction to Probability Theory and Its Applications |Band= I |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=New York / London / Sydney |Datum=1968 |ISBN=978-0-471-25708-0}}
* {{Literatur |Autor=[[William Feller]] |Titel=An Introduction to Probability Theory and Its Applications |Band = II |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=New York / London / Sydney / Toronto |Datum=1971 | ISBN=978-0-471-25709-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Olav Kallenberg]] |Titel=Foundations of Modern Probability |Reihe=Probability Theory and Stochastic Modelling |BandReihe=99 |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2021 |ISBN=978-3-030-61870-4 |DOI=10.1007/978-3-030-61871-1}}
* {{Literatur |Autor=Alan F. Karr |Titel=Probability |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |Datum=1993 |ISBN=0387-94071-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-0891-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Michel Loève]] |Titel=Probability Theory I |Auflage=4. |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=45 |Verlag = Springer |Ort=New York |Datum=1977 |ISBN=978-0-387-90210-4 |DOI=10.1007/978-1-4684-9464-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Michel Loève]] |Titel=Probability Theory II |Auflage=4. |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=46 |Verlag = Springer |Ort=New York |Datum=1978 |ISBN=978-0-387-90262-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Daniel W. Stroock]] |Titel=Probability Theory - An Analytic View |Auflage=2. |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge / New York |Jahr=2010 |ISBN=978-0521132503 |DOI=10.1017/CBO9780511974243}}

==== Gauß-Maße ====
* {{Literatur | Autor=Daniel W. Stroock |Titel=Gaussian Measures in Finite and Infinite Dimensions |Reihe=Universitext |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-23121-6 |DOI=10.1007/978-3-031-23122-3}}

==== Gegenbeispiele ====
* {{Literatur |Autor=Joseph P. Romano, [[Andrew F. Siegel]] |Titel=Counterexamples in Probability and Statistics |Verlag=Chapman & Hall |Ort=New York / London |Datum=1986 |ISBN=0-412-98901-8}}
* {{Literatur |Autor=Jordan Stoyanov |Titel=Counterexamples in Probability |Verlag=John Wiley & Sons |Ort=Chichester |Datum=1997 |ISBN=0-471-96538-3 |Auflage=2}}
* {{Literatur |Autor=Jordan Stoyanov |Titel=Counterexamples in Probability |Reihe=Dover Books on Mathematics |Verlag=Dover Publications |Ort=New York |Datum=2013 |ISBN=978-0-486-49998-7 |Auflage=3}}
* {{Literatur |Autor=Gary L. Wise, Eric B. Hall |Titel=Counterexamples in Probability and Real Analyses |Verlag=Oxford University Press |Ort=New York |Datum=1993 |ISBN=0-19-507068-2}}

==== Grenzwertsätze ====
* {{Literatur |Autor=Valentin V. Petrov |Titel=Limit Theorems of Probability Theory – Sequences of Independent Random Variables |Reihe=Oxford Studies in Probability |BandReihe=4 |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford |Datum=1995 |ISBN=0-19-853499-X}}

==== Stochastische Differentialgleichungen und stochastische Integration ====
* {{Literatur |Autor=Bernt Øksendal |Titel=Stochastic Differential Equations |TitelErg=An Introduction with Applications |Reihe=Universitext |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Jahr=2003 |ISBN=978-3-540-04758-2 |DOI=10.1007/978-3-642-14394-6 |Kommentar=6th corrected printing 2013}}
* {{Literatur |Autor=Philip E. Protter |Titel=Stochastic Integration and Differential Equations |Reihe= Stochastic Modelling and Applied Probability |BandReihe=21 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Jahr=2005 |ISBN=978-3-540-00313-7 |DOI=10.1007/978-3-662-10061-5 |Kommentar=corrected printing 2005}}

==== Stochastische Folgen ====
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Stochastische Folgen |TitelErg=Ein Proseminar mit Anwendungen in der Versicherungsmathematik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-46175-4 |DOI=10.1007/978-3-662-46176-1}}

==== Stochastische Matrizen ====
* {{Literatur |Autor=Franz-Josef Fritz, [[Bertram Huppert]], Wolfgang Willems |Titel=Stochastische Matrizen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1979 |ISBN=978-3-540-09126-4 |DOI=10.1007/978-3-642-67131-9|Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-67131-9}}

==== Stochastische Prozesse ====
* {{Literatur |Autor=Zwedisław Brezeźniak, Tomasz Zastawniak |Titel=Basic Stochastic Processes |Verlag=Springer |Ort= Berlin |Datum=1999 |ISBN=3-540-76175-6 |DOI=10.1007/978-1-4471-0533-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Joseph L. Doob]] |Titel=Stochastic Processes |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1953 |ISBN=978-0-471-52369-7}}
* {{Literatur |Autor=Harald Luschgy |Titel=Martingale in diskreter Zeit – Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=New York |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-29960-5| DOI=10.1007/978-3-642-29961-2}}
* {{Literatur |Autor=Sidney I. Resnick |Titel=Adventures in Stochastic Processes |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1992 |ISBN=978-1-4612-6738-6| DOI=10.1007/978-1-4612-0387-2}}
* {{Literatur | Autor=[[Daniel Revuz]], [[Marc Yor]] |Titel=Continuous Martingales and Brownian motion |Reihe=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |BandReihe=293 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1999 |ISBN=978-3-642-08400-3 |DOI=10.1007/978-3-662-06400-9 |Kommentar=Corrected 3rd printing 2005}}
* {{Literatur |Autor=Richard Serfozo |Titel=Basics of Applied in Stochastic Processes |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89331-8| DOI=10.1007/978-3-540-89332-5}}
* {{Literatur |Autor=Galen R. Shorack, Jon A. Wellner |Titel=Empirical Processes with Applications in Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1986 |Kommentar=Unveränderter Nachdruck: SIAM, Philadelphia 2009, ISBN 978-0-89871-684-9}}
* {{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart, Jon A. Wellner |Titel=Weak Convergence and Empirical Processes – With Applications to Statistics |Reihe= Springer Series in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1996 |ISBN=978-1-4757-2547-6 |DOI=10.1007/978-1-4757-2545-2}}
* {{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart, Jon A. Wellner |Titel=Weak Convergence and Empirical Processes – With Applications to Statistics |Reihe= Springer Series in Statistics |Auflage=2|Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-29038-1 |DOI=10.1007/978-3-031-29040-4}}

=== Maß- und Integrationstheorie ===
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Auflage=2., überarbeitete |Datum=1992 |ISBN=3-11-013626-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=Achte, erweiterte und aktualisierte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort= Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57938-1 |DOI=10.1007/978-3-662-57939-8}}

=== Matrix-Algebra ===
* {{Literatur |Autor=James E. Gentle |Titel=Matrix Algebra |TitelErg=Theory, Computations, and Applications in Statistics |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=Cham |Auflage=2 |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-64866-8 |DOI=10.1007/978-3-319-64867-5 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-319-64867-5}}
* {{Literatur |Autor=David A. Harville |Titel=Matrix Algebra from a Statistician’s Perspective |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1997 |ISBN=0-387-94978-X |DOI=10.1007/b98818 |Kommentar=Es gibt einen Nachdruck von 2008 mit kleineren Änderungen und geänderter Seitenzählung, der nicht als zweite Auflage ausgewiesen ist}}
* {{Literatur |Autor=David A. Harville |Titel=Matrix Algebra from a Statistician’s Perspective |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-78356-7 |DOI=10.1007/b98818 |Kommentar=Es gibt einen Vorläufer von 1997 mit abweichender Seitenzählung}}
* {{Literatur |Autor=Karsten Schmidt, [[Götz Trenkler]] |Titel=Einführung in die Moderne Matrix-Algebra – Mit Anwendungen in der Statistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=3 |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-46772-5 |DOI=10.1007/978-3-662-46773-2}}
;''Buchkapitel''
* {{Literatur |Autor=Phoebus J. Dhrymes |Titel=Mathematics for Econometrics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2013 |Auflage=4 |ISBN=978-1-4614-8144-7 |DOI=10.1007/978-1-4614-8145-4_2 |Fundstelle= Kap. 2, ''Matrix Algebra'', S. 13–94}}

=== Verschiedene tangierende Gebiete ===

==== Funktionalanalysis ====
* {{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Funktionalanalysis – Theorie und Anwendungen |Reihe=Mathematische Leitfäden |Auflage=4. |Verlag=Teubner und Vieweg |Ort=Wiesbaden |ISBN=978-3-8351-0026-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Reihe=Springer-Lehrbuch |Auflage=8., vollständig überarbeitete |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |ISBN=978-3-662-55406-7 |DOI=10.1007/978-3-662-55407-4}}

==== Geometrie ====
* {{Literatur |Autor= |Titel=Lectures on Polytopes |TitelErg=Corrected and updated printing |Reihe=[[Graduate Texts in Mathematics]] |BandReihe=152 |Verlag= Springer |Ort=New York / Heidelberg / Dordrecht / London |Datum=2007 |ISBN=978-0-387-94329-9 |DOI=10.1007/978-1-4613-8431-1}}
==== Konvexe Analysis ====
* {{Literatur |Autor=[[Ralph Tyrrell Rockafellar]] |Titel=Convex Analysis
|Reihe=Princeton Landmarks in Mathematics and Physics |BandReihe=30 |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton |Datum=1970 |ISBN=0-691-08069-0 |DOI=10.1515/97814008731738}}

==== Mathematisches Denken ====
* {{Literatur |Autor=Joachim Hilgert, Max Hoffmann, Anja Panse |Titel=Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten – tutoriell und transparent |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45511-1 |DOI=10.1007/978-3-662-45512-8}}

==== Mathematische Logik ====
* {{Literatur |Autor=[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]], Jörg Flum, Wolfgang Thum |Titel=Einführung in die mathematische Logik
|Auflage=6., überarbeitete und erweiterte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-58028-8 |DOI=10.1007/978-3-662-58029-5}}

* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Rautenberg]] |Titel=Einführung in die Mathematische Logik – Ein Lehrbuch |Verlag=Vieweg und Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8348-0578-2 |DOI=10.1007/978-3-8348-9530-1}}

==== Mengenlehre ====
* {{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-34034-8 |DOI=10.1007/978-3-540-34035-5 |Kommentar=Nachdruck der Originalausgabe Hermann, Paris 1970 |Sprache=fr}}

==== Operations Research ====
* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Domschke]], Andreas Drexl, Robert Klein, [[Armin Scholl (Wirtschaftswissenschaftler)|Armin Scholl]] |Titel=Einführung in Operations Research |Auflage=9., überarbeitete und verbesserte |Verlag=Springer Gabler |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-48215-5 |DOI=10.1007/978-3-662-48216-2}}

==== Optimierung ====
* {{Literatur |Autor=[[Rainer E. Burkard]], [[Uwe T. Zimmermann]] |Titel=Einführung in die mathematische Optimierung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-28672-8 |DOI=10.1007/978-3-642-28673-5}}
* {{Literatur |Autor=Winfried Hochstättler |Titel=Lineare Optimierung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-54424-2 |DOI=10.1007/978-3-662-54425-9}}
* {{Literatur |Autor=Florian Jarre, [[Josef Stoer]] |Titel=Optimierung |TitelErg=Einführung in mathematische Theorie und Methoden |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-58854-3 |DOI=10.1007/978-3-662-58855-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Dieter Jungnickel]] |Titel=Optimierungsmethoden – Eine Einführung
|Auflage=3., neu bearbeitete |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |ISBN=978-3-642-54820-8 |DOI=10.1007/978-3-642-54821-5}}

==== Reelle Funktionen ====
* {{Literatur |Autor=[[I. P. Natanson]] |Titel=Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen |Auflage=4. |Verlag= Harri Deutsch |Ort=Thun |Datum=1981 |ISBN=3-87144-217-8 |Kommentar=Unveränderter Nachdruck der 4. Aufl., Akademie-Verlag, Berlin 1975}}

== Sammelwerke ==
=== Zeitschriften ===
* [[Liste statistischer Zeitschriften]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Statistikzeitschriften, allgemein|Statistikzeitschriften, allgemein]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Statistikzeitschriften bezogen auf methodische Teilgebiete|Statistikzeitschriften bezogen auf methodische Teilgebiete]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Statistikzeitschriften bezogen auf Anwendungsbereiche|Statistikzeitschriften bezogen auf Anwendungsbereiche]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Zeitschriften aus Nachbargebieten mit Statistikbezug|Zeitschriften aus Nachbargebieten mit Statistikbezug]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Monographische Statistikreihen|Monographische Statistikreihen]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Monographische Reihen aus Nachbargebieten mit Statistikbezug|Monographische Reihen aus Nachbargebieten mit Statistikbezug]]

=== Sammelbände ===

* {{Literatur |Titel=Contributions to Probability and Statistics |TitelErg=Essays in Honor of [[Harold Hotelling]] |Hrsg=[[Ingram Olkin]], Sudhist G. Ghurye, [[Wassily Hoeffding]], William G. Madow, [[Henry Mann|Henry B. Mann]] |Verlag=Stanford University Press |Ort=Stanford |Reihe=Stanford Studies in Mathematics and Statistics |BandReihe=2 |Datum=1960 |ISBN=978-0-8047-0596-7 |Kommentar=Enthält u. a. eine Bibliographie von Harold Hotelling und einen häufig zitierten Artikel von [[Howard Levene]]}}
* {{Literatur |Hrsg=[[Horst Rinne]], [[Bernhard Rüger]], [[Heinrich Strecker (Mathematiker)|Heinrich Strecker]] |Titel=Grundlagen der Statistik und ihre Anwendungen – Festschrift für [[Kurt Weichselberger]]|Verlag= Physica-Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=1995 |ISBN=3-7908-0872-5}}

== Artikel ==

=== [[Sankt-Petersburg-Paradoxon]] ===
* {{Literatur |Autor=[[Daniel Bernoulli]] |Titel=Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk |Sammelwerk=Econometrica |Band=22 |Datum=1954 |Seiten=23–36 |DOI=10.2307/1909829 |Kommentar=Übersetzung aus dem Lateinischen}}
* {{Literatur |Autor=Daniel Bernoulli |Titel=Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen (Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis) |Reihe=Sammlung älterer und neuerer staats-wissenschaftlicher Schriften des In- und Auslandes| BandReihe=9 |HrsgReihe=[[Lujo Brentano]], [[Emanuel Leser]] |Verlag=Duncker & Humblot |Ort=Leipzig |Datum=1896 |Kommentar=Mit einer Einleitung von Luwig Fick, aus dem Lateinischen übersetzt und kommentiert von [[Alfred Pringsheim]]}}
*{{Literatur |Autor=[[Karl Menger]] |Titel=Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre – Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel |Sammelwerk=Zeitschrift für Nationalökonomie |Band=5 |Datum=1934| Seiten=459–485 |DOI=10.1007/BF01311578}}
*{{Literatur |Autor=[[Christian Seidl]] |Titel=The St. Petersburg Paradox at 300|Sammelwerk=Journal of Risk and Uncertainty |Band=46 |Datum=2013| Seiten=247–264 |DOI=10.1007/s11166-013-9165-9}}

=== COVID-19 ===
* {{Internetquelle |autor=Statistisches Bundesamt |titel=Monatsberichte der Todesursachenstatistik mit Fokus auf COVID-19-Sterbefälle – Vorläufige Fallzahlen nach Monaten für ausgewählte Diagnosegruppen und Einzeldiagnosen für die Monate Januar 2020 bis Januar 2022 |url=https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Gesundheit/Todesursachen/Tabellen/sonderauswertung-todesursachen.html
|abruf=2023-01-06 |kommentar=Die Sonderauswertung wird vorerst monatlich aktualisiert}}

=== Verschiedenes ===
* {{Literatur |Autor=Jonathan J. Koehler |Titel=The influence of prior beliefs on scientific judgments of evidence quality |Sammelwerk=Organizational Behavior and Human Decision Processes |Band=56 |Jahr=1993 |Seiten=17–67}}

</div>
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[[Kategorie:Portal:Statistik|Literatur]]
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Streuungsmaß (Statistik)

2024-08-26T09:36:27Z

Sigma^2: /* Streuungsmaßzahlen in der schließenden (induktiven) Statistik */

{{Dieser Artikel| behandelt Streuungsmaße in der deskriptiven und induktiven Statistik. Für Streuungsmaße als Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen siehe [[Dispersionsmaß (Stochastik)]].}}

'''Streuungsmaße''', auch '''Dispersionsmaße''' ({{laS}} ''dispersio'' „Zerstreuung“, von ''dispergere'' „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder '''Streuungsparameter''' genannt, fassen in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] verschiedene [[Parameter (Statistik)|Maßzahlen]] zusammen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer [[Häufigkeitsverteilung]] um einen geeigneten [[Lageparameter (Deskriptive Statistik)|Lageparameter]] herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber [[Ausreißer]]n.

== Anforderungen ==
Es sei <math>(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> ein Vektor von Beobachtungwerten (Daten) und <math>s\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Funktion. Die Funktion <math>s</math> heißt ein ''Streuungsmaß'', wenn sie im Allgemeinen folgende Anforderungen erfüllt:

* <math>s(x_1, \dots, x_n)</math> ist eine nichtnegative reelle Zahl, die Null ist, wenn alle Beobachtungen gleich sind <math>x_1=x_2=\ldots=x_n=\overline x</math> (in den Daten ist keinerlei Variabilität vorhanden), und zunimmt, wenn die Daten vielfältiger werden. Wenn mindestens zwei Merkmalswerte voneinander verschieden sind, dann streuen die Daten untereinander bzw. um einen Mittelwert, was auch beim Streuungsmaß zum Ausdruck kommen sollte.
* Bei einem Streuungsmaß wird Nichtnegativität gefordert, da bei Streuung „das [[Maß (Mathematik)|Ausmaß]]“ statt „die Richtung“ konstituierend ist. Ein Streuungsmaß sollte also umso größer sein, je stärker Beobachtungswerte voneinander abweichen. Noch strenger wird oft gefordert, dass sich ein Streuungsmaß bei einer Ersetzung eines Beobachtungswertes durch einen neuen Merkmalswert nicht verkleinern darf.
* <math>s</math> ist [[Translationsinvarianz|translationsinvariant]]<ref name="Buechter83" />, d. h. eine Verschiebung des Nullpunktes hat keinen Einfluss auf die Verteilung. Es muss also folgendes gelten: <math>s(x_1 + a, \dots, x_n + a) = s(x_1, \dots, x_n) \;\;\; \forall a \in \mathbb{R}</math>
* Es ist auch wünschenswert, dass das Streuungsmaß gegenüber Maßstabsänderungen invariant ist.<ref>Hans Friedrich Eckey et al.: ''Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele.'', S. 74. (1. Aufl. 1992; 3. Aufl. 2002, ISBN 3-409-32701-0). Die 4. Aufl. 2005 und die 5. Aufl. 2008 erschienen unter dem Titel ''Deskriptive Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele).''</ref>
Ein einfacher Ansatz für ein Streuungsmaß wäre, die Differenzen der Werte vom empirischen Mittel aufzusummieren. Dies führt zu

: <math> s(x)= \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x) </math>

Diese Summe ergibt allerdings stets 0, weil sich positive und negative Summanden gegenseitig aufheben ([[Arithmetisches Mittel#Schwerpunkteigenschaft|Schwerpunkteigenschaft]]). Das ist also nicht geeignet als Streuungsmaß, da der Wert nicht zunimmt, wenn die Variabilität der Daten steigt. Möglichkeiten bestehen also darin, die Absolutbeträge oder die Quadrate der Abweichungen zu summieren.

== Streuungsmaßzahlen in der beschreibenden (deskriptiven) Statistik ==
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass <math>x_1,\dots,x_n</math> reellwertige Beobachtungswerte vorliegen, die inhaltlich zu einer Variablen gehören. Diese können Messwerte sein. Es kann sich um [[Stichprobenwert]]e handeln, es kann sich aber auch um die Beobachtungswerte einer Gesamtheit handeln, die nicht als Stichprobe aufgefasst wird. Mit
:<math>\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
ist der [[arithmetischer Mittelwert |arithmetische Mittelwert]] der Beobachtungswerte bezeichnet.

=== Streuung um das arithmetische Mittel ===
==== Summe der Abweichungsquadrate ====
{{Hauptartikel|Summe der Abweichungsquadrate}}
Ein intuitives Streuungsmaß ist die Summe der Abweichungsquadrate, bei der die quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittelwert aufsummiert werden,
:<math>SQ :=\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2\;.</math>

==== Empirische Varianz ====
{{Hauptartikel|empirische Varianz}}
Einer der wichtigsten Streuungsparameter ist die ''Varianz'' der Beobachtungswerte, die als
:<math>s^2=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2 </math>
definiert ist und die äquivalente Darstellung
:<math>s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar x^2</math>
besitzt.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=43}}</ref>
Eine weitere äquivalente Darstellung, die keinen Bezug auf den arithmetischen Mittelwert der Beobachtungswerte nimmt, ist
:<math>s^2 = \frac{1}{2n^2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x_i -x_j)^2 \;.</math><ref name="MS2009-43">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=43}}</ref>

==== Empirische Standardabweichung ====
{{Hauptartikel|Empirische Standardabweichung}}

Die Standardabweichung ist definiert als die Wurzel aus der Varianz und ist demnach
:<math>s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\;. </math>
Ein wesentlicher Unterschied zur Varianz ist, dass die Standardabweichung dieselbe Dimension und damit dieselben Einheiten wie die Beobachtungswerte besitzt.

==== Mittlere absolute Abweichung ====
Im Falle einer konkreten Stichprobe <math>x_1, \dots, x_n</math> mit dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\overline{x}</math> wird sie errechnet durch

:<math>\operatorname{e} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \overline{x}\right|.</math>

Die mittlere absolute Abweichung wird in der mathematischen Statistik meist zugunsten der quadratischen Abweichung umgangen, welche analytisch leichter zu behandeln ist. Die in der Definition verwendete Betragsfunktion ist nicht überall differenzierbar, was die Berechnung des Minimums erschwert.

Aufgrund der [[Mittelungleichung#Ungleichung der verallgemeinerten Mittel|Ungleichung vom arithmetisch-quadratischen Mittel]] ist die mittlere absolute Abweichung kleiner oder gleich der Standardabweichung (Gleichheit gilt nur für konstante Zufallsgrößen).

=== Streuung um den Median ===
==== Quantilsabstand ====
Der Quantilsabstand ist die Differenz zwischen dem <math>p</math>- und <math>\left(1-p\right)</math>-[[Empirisches Quantil|Quantil]]:

:<math>QA_p = Q_{1-p}-Q_p\;</math> mit <math>\;0\leq p < 0{,}5</math>

Innerhalb des <math>QA_p</math> liegen etwa <math>100 \cdot (1-2p)</math> Prozent aller Beobachtungswerte.

==== Interquartilsabstand ====
{{Hauptartikel|Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)}}

Der Interquartilsabstand (engl. {{lang|en|''interquartile range''}}), abgekürzt IQR, wird als Differenz
der [[Empirisches Quantil#Quartil|Quartile]] <math>Q_{0{,}75}</math> und <math>Q_{0{,}25}</math> berechnet:

:<math> \operatorname{IQR} = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25} </math>

Innerhalb des IQR liegen 50 % aller Messwerte. Er ist – wie auch der [[Median]] bzw. <math>Q_{0{,}5}</math> – unempfindlich gegenüber Ausreißern. Es lässt sich zeigen, dass er einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^*=0{,}25</math> hat.

Der Interquartilsabstand ist gleich dem [[Empirisches Quantil#Abgeleitete Begriffe|Quantilsabstand]] <math>QA_{0{,}25}</math>

==== Mittlere absolute Abweichung vom Median ====
{{Hauptartikel|Mittlere absolute Abweichung vom Median}}

Für <math>n</math> beobachtete Werte <math>x_1,\dots,x_n</math> mit dem (eindeutigen) Median <math>\tilde{x}</math> ist die Mittlere absolute Abweichung vom Median als
:<math> \operatorname{MD} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \tilde{x}\right| </math>
definiert.
Aufgrund der [[Median#Eigenschaften|Extremaleigenschaft des Medians]] gilt im Vergleich mit der mittleren absoluten Abweichung stets
:<math> \operatorname{MD} \le \operatorname{e} </math>,

d. h. die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians ist erst recht kleiner als die Standardabweichung.

==== Median der absoluten Abweichungen vom Median ====
Für Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> ist die mittlere absolute Abweichung (engl. {{lang|en|''median absolute deviation''}}, auch ''MedMed''), abgekürzt MAD, ist definiert durch
:<math> \operatorname{MAD} = \operatorname{median}\{\left|x_i - \tilde{x}\right| \mid i=1,\dots,n \} </math>

Die mittlere absolute Abweichung ist ein [[Robuste Schätzverfahren|robuster Schätzer]] für die Standardabweichung. Es lässt sich zeigen, dass sie einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^* = 0{,}5</math> hat.

=== Weitere Streuungsmaße ===
==== Spannweite ====
Die [[Spannweite (Statistik)|Spannweite]] ({{enS|''range''}}) <math>R</math> berechnet sich als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:
:<math> R = x_{\max} - x_{\min} </math>
Da die Spannweite nur aus den zwei Extremwerten berechnet wird, ist sie nicht robust gegenüber Ausreißern.

==== Ginis mittlere Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> heißt die Maßzahl
:<math> \Delta = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j|</math>
''Ginis mittlere Differenz''.<ref name="MS2009-46">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=46}}</ref>

==== Mittlere absolute Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> ist
:<math> \bar\Delta = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j| = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |x_i - x_j|</math>
die ''mittlere absolute Differenz'' oder '''mittlere Differenz'''.<ref name="R2008-45" />

==== Geometrische Standardabweichung ====
Die [[geometrische Standardabweichung]] ist ein Streuungsmaß um das [[geometrisches Mittel|geometrische Mittel]].

=== Relative Streuungsmaße ===
Relative Streuungsmaße heißen auch ''relative Streumaße'' oder ''Dispersionskoeffizienten''.<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref> Ein relatives Streumaß ist typischerweise ein Quotient aus einem Streuungsmaß und einem [[Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lagemaß]].<ref name="R2008-45" />

==== Relative Spannweite ====
Die relative Spannweite berechnet sich als Quotient aus der Spannweite und der [[Bereichsmitte]];<ref name="R2008-45" />
:<math> vR = \frac{R}{ \frac{x_{\min} + x_{\max}}{2}} \;.</math>

==== Variationskoeffizient ====
Der [[Empirischer Variationskoeffizient|empirische Variationskoeffizient]] wird gebildet als Quotient aus [[empirische Standardabweichung|empirischer Standardabweichung]] <math>s</math> und [[Arithmetisches Mittel|arithmetischem Mittel]] <math>\overline{x}</math>:
:<math>v=\frac{s}{\overline{x}},\quad \overline{x} > 0</math>.<ref name="R2008-45" />

Er ist dimensionslos und somit nicht einheitenbehaftet.

==== Ginikoeffizient ====
{{Hauptartikel|Ginikoeffizient}}
Zwischen Ginis mittlerer Differenz <math>\Delta</math>, dem arithmetischen Mittelwert <math>\bar x</math> und dem [[Gini-Koeffizient]]en <math>G</math> besteht der Zusammenhang
:<math> G = \frac{\Delta}{2 \bar x}\;.</math><ref name="MS2009-95">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=95}}</ref>
Damit ist der Gini-Koeffizient als Quotient aus einem Streuungsmaß und einem Lagemaß ein ''relatives Streuungsmaß''.<ref name="MS2009-96">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=96}}</ref>

==== Relative durchschnittliche Abweichung vom Median ====
Die relative durchschnittliche Abweichung vom Median wird gebildet als Quotient aus durchschnittlicher Abweichung vom Median und Median;<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref>
:<math>vd = \frac{\operatorname{MD}}{\tilde x} \;.</math>

==== Relativer Quartilsabstand ====
Der relative Quartilsabstand wird gebildet als Quotient aus Quartilsabstand und Median;<ref name="R2008-45" />
:<math>vq = \frac{\operatorname{IQR}}{\tilde x}\;.</math>

== Streuungsmaßzahlen in der schließenden (induktiven) Statistik ==
In der [[induktive Statistik|induktiven Statistik]] sind die Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> [[Stichprobenwert]]e aus einer [[Stichprobe]] aus einer [[Grundgesamtheit]] und Realisierungen von [[Stichprobenvariable]]n <math>X_1,\dots,X_n</math> mit einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>(X_1,\dots,X_n)</math>.

Dabei liegt häufig der Spezialfall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen vor. In diesem Spezialfall können viele Streuungsmaßzahlen der deskriptiven Statistik als Schätzwerte analoger Streuungsmaßzahlen der Grundgesamtheit verwendet werden. Dass dieses Vorgehen – zumindest für große Stichprobenumfänge – meistens zu plausiblen Schätzern führt, garantiert der [[Hauptsatz der mathematischen Statistik]] (Satz von Glivenko und Cantelli), der besagt, dass sich die Häufigkeitsverteilung der Stichprobenwerte für wachsenden Stichprobenumfang in einem sehr weitgehenden Sinn der Verteilung der Grundgesamtheit annähert.

=== Stichprobenvarianz ===
In der schließenden Statistik wird die aus den Stichprobenwerten <math>x_1,\dots,x_n</math> berechnete Varianz <math>s^2</math> häufig als ''Stichprobenvarianz'' bezeichnet. Die aus den Stichprobenwerte berechnete Varianz wird auch als ''empirische Varianz'' bezeichnet, um diese von der Varianz der Grundgesamtheit zu unterscheiden. Bei stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Stichprobenvariablen ist die Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^2</math> die Varianz der identisch verteilten Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math>, es gilt also <math>\mathrm{Var}[X_i] = \sigma^2</math> für <math>i=1,\dots,n</math>.
{{Hauptartikel|Varianz (Stochastik)}}
Die aus den Stichprobenwerten berechnete Varianz <math>s^2</math> ist ein realisierter Wert der [[Stichprobenfunktion]]
: <math>S^2 =\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2\;, </math>
die eine [[Schätzfunktion]] für die Grundgesamtheitsvarianz <math>\sigma^2</math> ist.

{{Hauptartikel|Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)}}

=== Korrigierte Stichprobenvarianz ===

Wenn die Stichprobenwerte als realisierte Werte stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen angesehen werden können und wenn mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Varianz <math>\sigma^2 < \infty</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, dann wird häufig anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> die sogenannte ''korrigierte Stichprobenvarianz''
:<math>s_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2 </math>
verwendet. Der Grund ist, dass unter den gemachten Voraussetzungen die zugehörige Stichprobenfunktion
: <math>S_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2 </math>
eine [[erwartungstreue]] [[Schätzfunktion]] für die Varianz der Grundgesamtheit ist, es gilt also
:<math>\mathrm{E}[S_k^2] = \sigma^2\;.</math>

Dagegen hat die Schätzfunktion <math>S^2</math> den Erwartungswert
: <math>\mathrm{E}[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 = \sigma^2 - \frac{1}{n}\sigma^2\;.</math>
Die Schätzfunktion <math>S^2</math> ist also keine erwartungstreue Schätzfunktion für <math>\sigma^2</math> und hat die [[Verzerrung einer Schätzfunktion|Verzerrung]] <math>\mathrm{E}[S^2] - \sigma^2 = -\sigma^2/n</math>.

Die Erwartungstreue der Schätzfunktion <math>S_k^2</math> für den Parameter <math>\sigma^2 </math> der Grundgesamtheit hängt entscheidend von der stochastischen Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen ab und ist bei allgemeineren [[Stichprobenplan| Stichprobenplänen]] ([[Ziehen mit Zurücklegen]], [[geschichtete Stichprobenziehung]] usw.) nicht mehr automatisch erfüllt, so dass die Rechtfertigung der Korrektur entfällt.

In einem rein beschreibenden Kontext der deskriptiven Statistik, in dem es nicht um eine Schätzung eines Parameters der Grundgesamtheit geht, ist die Verwendung der korrigierten Stichprobenvarianz <math>s_k^2</math> anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> nicht zu begründen. „Statt mit dem Faktor <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> werden die Varianz und die die Standardabweichung gelegentlich mit dem Faktor <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> definiert, besonders in manchen Taschenrechnern und statistischen Computerprogrammen. Eine Begründung des Faktors <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> ist nur im Rahmen der schließenden Statistik möglich.“<ref name="MS2009-43" />

=== Korrigierte Stichprobenstandardabweichung ===
Wenn in der induktiven Statistik mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, wird häufig die ''korrigierte Stichprobenstandardabweichung ''
:<math>s_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2} </math>
als Schätzwert für die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit verwendet. Allerdings ist die zugehörige Schätzfunktion
:<math>S_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2} </math>
auch im Fall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen in der Regel ''keine'' erwartungstreue Schätzfunktion für den Parameter <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit.

Im Spezialfall einer normalverteilten Grundgesamtheit ist durch eine modifizierte Schätzfunktion eine [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)#Erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung|erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung]] möglich.

=== Alternative Bezeichnungen und Notationen ===
In vielen Anwendungsbereichen, in denen die Stichprobeninterpretation der beobachteten Werte der Standardfall ist (z. B. Messungen in der Technik und Biometrie) wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''die Stichprobenvarianz'' bezeichnet und dann meistens mit <math>s^2</math> bezeichnet. Auch wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''empirische Streuung'' oder als ''empirische Varianz'' bezeichnet und die zugehörige Stichprobenfunktion als ''Stichprobenstreuung''.<ref>{{Literatur |Herausgeber=P. H. Müller |Titel=Streuungsmaße (measures of dispersion) |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Seiten=428–429}}</ref>

In Darstellungen der induktiven Statistik wird häufig das Symbol <math>S^2</math> für die oben mit <math>S_k^2</math> bezeichnete korrigierte Stichprobenvarianz verwendet und diese einfach als ''Stichprobenvarianz'' ({{enS|sample variance}}) bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle=Def. 5.2.3, S. 212}}</ref> Analog bezeichnet dann <math>S</math> die korrigierte Stichprobenstandardabweichung und wird einfach als ''Stichprobenstandardabweichung'' ({{enS|sample standard deviation}}) bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle=Def. 5.2.3, S. 212}}</ref>

== Streuungsmaßzahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie ==
In der Wahrscheinlichkeitstheorie charakterisieren Streuungsmaßzahlen Eigenschaften einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Die entsprechenden Maßzahlen sind teilweise analog zu den Maßzahlen der deskriptiven Statistik konstruiert. In der mathematischen Statistik werden Methoden zu Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch beschreibende Kennzahlen der deskriptiven Statistik zugerechnet.<ref>Siehe dazu ''Chapter 3, Descriptive Statistics'' in {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3}}</ref>

{{Hauptartikel|Dispersionsmaß (Stochastik)}}

== Graphische Darstellungsformen ==
* [[Boxplot|Box-Whisker-Plot]]
* [[Streuungsfächerkarte]]
* [[Streudiagramm]]

== Siehe auch ==
* [[Dispersionsindex]]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Buechter83">{{Literatur |Autor=Andreas Büchter, H.-W. Henn |Titel=Elementare Stochastik - Eine Einführung |Auflage=2 |Verlag=Springer |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-45382-6 |Seiten=83}}</ref>
</references>
== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Streuungsmaße (measures of dispersion)'', S. 428–429}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=''A 2.3.2 Streuungsparameter'', S. 42–46}}
* {{Literatur |Herausgeber=Bernd Rönz, Hans Gerhard Strohe |Titel=Lexikon Statistik |Verlag=Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=1994 |ISBN=3-409-19952-7 |Fundstelle= ''Streuungsmaß'', S. 353}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Streuung}}

[[Kategorie:Streuungsmaß (Deskriptive Statistik)| ]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Streuungsmaß (Statistik)

2024-08-26T09:28:37Z

Sigma^2: /* Streuungsmaßzahlen in der beschreibenden (deskriptiven) Statistik */ R

{{Dieser Artikel| behandelt Streuungsmaße in der deskriptiven und induktiven Statistik. Für Streuungsmaße als Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen siehe [[Dispersionsmaß (Stochastik)]].}}

'''Streuungsmaße''', auch '''Dispersionsmaße''' ({{laS}} ''dispersio'' „Zerstreuung“, von ''dispergere'' „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder '''Streuungsparameter''' genannt, fassen in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] verschiedene [[Parameter (Statistik)|Maßzahlen]] zusammen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer [[Häufigkeitsverteilung]] um einen geeigneten [[Lageparameter (Deskriptive Statistik)|Lageparameter]] herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber [[Ausreißer]]n.

== Anforderungen ==
Es sei <math>(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> ein Vektor von Beobachtungwerten (Daten) und <math>s\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Funktion. Die Funktion <math>s</math> heißt ein ''Streuungsmaß'', wenn sie im Allgemeinen folgende Anforderungen erfüllt:

* <math>s(x_1, \dots, x_n)</math> ist eine nichtnegative reelle Zahl, die Null ist, wenn alle Beobachtungen gleich sind <math>x_1=x_2=\ldots=x_n=\overline x</math> (in den Daten ist keinerlei Variabilität vorhanden), und zunimmt, wenn die Daten vielfältiger werden. Wenn mindestens zwei Merkmalswerte voneinander verschieden sind, dann streuen die Daten untereinander bzw. um einen Mittelwert, was auch beim Streuungsmaß zum Ausdruck kommen sollte.
* Bei einem Streuungsmaß wird Nichtnegativität gefordert, da bei Streuung „das [[Maß (Mathematik)|Ausmaß]]“ statt „die Richtung“ konstituierend ist. Ein Streuungsmaß sollte also umso größer sein, je stärker Beobachtungswerte voneinander abweichen. Noch strenger wird oft gefordert, dass sich ein Streuungsmaß bei einer Ersetzung eines Beobachtungswertes durch einen neuen Merkmalswert nicht verkleinern darf.
* <math>s</math> ist [[Translationsinvarianz|translationsinvariant]]<ref name="Buechter83" />, d. h. eine Verschiebung des Nullpunktes hat keinen Einfluss auf die Verteilung. Es muss also folgendes gelten: <math>s(x_1 + a, \dots, x_n + a) = s(x_1, \dots, x_n) \;\;\; \forall a \in \mathbb{R}</math>
* Es ist auch wünschenswert, dass das Streuungsmaß gegenüber Maßstabsänderungen invariant ist.<ref>Hans Friedrich Eckey et al.: ''Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele.'', S. 74. (1. Aufl. 1992; 3. Aufl. 2002, ISBN 3-409-32701-0). Die 4. Aufl. 2005 und die 5. Aufl. 2008 erschienen unter dem Titel ''Deskriptive Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele).''</ref>
Ein einfacher Ansatz für ein Streuungsmaß wäre, die Differenzen der Werte vom empirischen Mittel aufzusummieren. Dies führt zu

: <math> s(x)= \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x) </math>

Diese Summe ergibt allerdings stets 0, weil sich positive und negative Summanden gegenseitig aufheben ([[Arithmetisches Mittel#Schwerpunkteigenschaft|Schwerpunkteigenschaft]]). Das ist also nicht geeignet als Streuungsmaß, da der Wert nicht zunimmt, wenn die Variabilität der Daten steigt. Möglichkeiten bestehen also darin, die Absolutbeträge oder die Quadrate der Abweichungen zu summieren.

== Streuungsmaßzahlen in der beschreibenden (deskriptiven) Statistik ==
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass <math>x_1,\dots,x_n</math> reellwertige Beobachtungswerte vorliegen, die inhaltlich zu einer Variablen gehören. Diese können Messwerte sein. Es kann sich um [[Stichprobenwert]]e handeln, es kann sich aber auch um die Beobachtungswerte einer Gesamtheit handeln, die nicht als Stichprobe aufgefasst wird. Mit
:<math>\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
ist der [[arithmetischer Mittelwert |arithmetische Mittelwert]] der Beobachtungswerte bezeichnet.

=== Streuung um das arithmetische Mittel ===
==== Summe der Abweichungsquadrate ====
{{Hauptartikel|Summe der Abweichungsquadrate}}
Ein intuitives Streuungsmaß ist die Summe der Abweichungsquadrate, bei der die quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittelwert aufsummiert werden,
:<math>SQ :=\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2\;.</math>

==== Empirische Varianz ====
{{Hauptartikel|empirische Varianz}}
Einer der wichtigsten Streuungsparameter ist die ''Varianz'' der Beobachtungswerte, die als
:<math>s^2=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2 </math>
definiert ist und die äquivalente Darstellung
:<math>s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar x^2</math>
besitzt.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=43}}</ref>
Eine weitere äquivalente Darstellung, die keinen Bezug auf den arithmetischen Mittelwert der Beobachtungswerte nimmt, ist
:<math>s^2 = \frac{1}{2n^2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x_i -x_j)^2 \;.</math><ref name="MS2009-43">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=43}}</ref>

==== Empirische Standardabweichung ====
{{Hauptartikel|Empirische Standardabweichung}}

Die Standardabweichung ist definiert als die Wurzel aus der Varianz und ist demnach
:<math>s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\;. </math>
Ein wesentlicher Unterschied zur Varianz ist, dass die Standardabweichung dieselbe Dimension und damit dieselben Einheiten wie die Beobachtungswerte besitzt.

==== Mittlere absolute Abweichung ====
Im Falle einer konkreten Stichprobe <math>x_1, \dots, x_n</math> mit dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\overline{x}</math> wird sie errechnet durch

:<math>\operatorname{e} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \overline{x}\right|.</math>

Die mittlere absolute Abweichung wird in der mathematischen Statistik meist zugunsten der quadratischen Abweichung umgangen, welche analytisch leichter zu behandeln ist. Die in der Definition verwendete Betragsfunktion ist nicht überall differenzierbar, was die Berechnung des Minimums erschwert.

Aufgrund der [[Mittelungleichung#Ungleichung der verallgemeinerten Mittel|Ungleichung vom arithmetisch-quadratischen Mittel]] ist die mittlere absolute Abweichung kleiner oder gleich der Standardabweichung (Gleichheit gilt nur für konstante Zufallsgrößen).

=== Streuung um den Median ===
==== Quantilsabstand ====
Der Quantilsabstand ist die Differenz zwischen dem <math>p</math>- und <math>\left(1-p\right)</math>-[[Empirisches Quantil|Quantil]]:

:<math>QA_p = Q_{1-p}-Q_p\;</math> mit <math>\;0\leq p < 0{,}5</math>

Innerhalb des <math>QA_p</math> liegen etwa <math>100 \cdot (1-2p)</math> Prozent aller Beobachtungswerte.

==== Interquartilsabstand ====
{{Hauptartikel|Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)}}

Der Interquartilsabstand (engl. {{lang|en|''interquartile range''}}), abgekürzt IQR, wird als Differenz
der [[Empirisches Quantil#Quartil|Quartile]] <math>Q_{0{,}75}</math> und <math>Q_{0{,}25}</math> berechnet:

:<math> \operatorname{IQR} = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25} </math>

Innerhalb des IQR liegen 50 % aller Messwerte. Er ist – wie auch der [[Median]] bzw. <math>Q_{0{,}5}</math> – unempfindlich gegenüber Ausreißern. Es lässt sich zeigen, dass er einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^*=0{,}25</math> hat.

Der Interquartilsabstand ist gleich dem [[Empirisches Quantil#Abgeleitete Begriffe|Quantilsabstand]] <math>QA_{0{,}25}</math>

==== Mittlere absolute Abweichung vom Median ====
{{Hauptartikel|Mittlere absolute Abweichung vom Median}}

Für <math>n</math> beobachtete Werte <math>x_1,\dots,x_n</math> mit dem (eindeutigen) Median <math>\tilde{x}</math> ist die Mittlere absolute Abweichung vom Median als
:<math> \operatorname{MD} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \tilde{x}\right| </math>
definiert.
Aufgrund der [[Median#Eigenschaften|Extremaleigenschaft des Medians]] gilt im Vergleich mit der mittleren absoluten Abweichung stets
:<math> \operatorname{MD} \le \operatorname{e} </math>,

d. h. die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians ist erst recht kleiner als die Standardabweichung.

==== Median der absoluten Abweichungen vom Median ====
Für Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> ist die mittlere absolute Abweichung (engl. {{lang|en|''median absolute deviation''}}, auch ''MedMed''), abgekürzt MAD, ist definiert durch
:<math> \operatorname{MAD} = \operatorname{median}\{\left|x_i - \tilde{x}\right| \mid i=1,\dots,n \} </math>

Die mittlere absolute Abweichung ist ein [[Robuste Schätzverfahren|robuster Schätzer]] für die Standardabweichung. Es lässt sich zeigen, dass sie einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^* = 0{,}5</math> hat.

=== Weitere Streuungsmaße ===
==== Spannweite ====
Die [[Spannweite (Statistik)|Spannweite]] ({{enS|''range''}}) <math>R</math> berechnet sich als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:
:<math> R = x_{\max} - x_{\min} </math>
Da die Spannweite nur aus den zwei Extremwerten berechnet wird, ist sie nicht robust gegenüber Ausreißern.

==== Ginis mittlere Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> heißt die Maßzahl
:<math> \Delta = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j|</math>
''Ginis mittlere Differenz''.<ref name="MS2009-46">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=46}}</ref>

==== Mittlere absolute Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> ist
:<math> \bar\Delta = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j| = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |x_i - x_j|</math>
die ''mittlere absolute Differenz'' oder '''mittlere Differenz'''.<ref name="R2008-45" />

==== Geometrische Standardabweichung ====
Die [[geometrische Standardabweichung]] ist ein Streuungsmaß um das [[geometrisches Mittel|geometrische Mittel]].

=== Relative Streuungsmaße ===
Relative Streuungsmaße heißen auch ''relative Streumaße'' oder ''Dispersionskoeffizienten''.<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref> Ein relatives Streumaß ist typischerweise ein Quotient aus einem Streuungsmaß und einem [[Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lagemaß]].<ref name="R2008-45" />

==== Relative Spannweite ====
Die relative Spannweite berechnet sich als Quotient aus der Spannweite und der [[Bereichsmitte]];<ref name="R2008-45" />
:<math> vR = \frac{R}{ \frac{x_{\min} + x_{\max}}{2}} \;.</math>

==== Variationskoeffizient ====
Der [[Empirischer Variationskoeffizient|empirische Variationskoeffizient]] wird gebildet als Quotient aus [[empirische Standardabweichung|empirischer Standardabweichung]] <math>s</math> und [[Arithmetisches Mittel|arithmetischem Mittel]] <math>\overline{x}</math>:
:<math>v=\frac{s}{\overline{x}},\quad \overline{x} > 0</math>.<ref name="R2008-45" />

Er ist dimensionslos und somit nicht einheitenbehaftet.

==== Ginikoeffizient ====
{{Hauptartikel|Ginikoeffizient}}
Zwischen Ginis mittlerer Differenz <math>\Delta</math>, dem arithmetischen Mittelwert <math>\bar x</math> und dem [[Gini-Koeffizient]]en <math>G</math> besteht der Zusammenhang
:<math> G = \frac{\Delta}{2 \bar x}\;.</math><ref name="MS2009-95">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=95}}</ref>
Damit ist der Gini-Koeffizient als Quotient aus einem Streuungsmaß und einem Lagemaß ein ''relatives Streuungsmaß''.<ref name="MS2009-96">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=96}}</ref>

==== Relative durchschnittliche Abweichung vom Median ====
Die relative durchschnittliche Abweichung vom Median wird gebildet als Quotient aus durchschnittlicher Abweichung vom Median und Median;<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref>
:<math>vd = \frac{\operatorname{MD}}{\tilde x} \;.</math>

==== Relativer Quartilsabstand ====
Der relative Quartilsabstand wird gebildet als Quotient aus Quartilsabstand und Median;<ref name="R2008-45" />
:<math>vq = \frac{\operatorname{IQR}}{\tilde x}\;.</math>

== Streuungsmaßzahlen in der schließenden (induktiven) Statistik ==
In der [[induktive Statistik|induktiven Statistik]] sind die Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> [[Stichprobenwert]]e aus einer [[Stichprobe]] aus einer [[Grundgesamtheit]] und Realisierungen von [[Stichprobenvariable]]n <math>X_1,\dots,X_n</math> mit einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>(X_1,\dots,X_n)</math>.

Dabei liegt häufig der Spezialfall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen vor. In diesem Spezialfall können viele Streuungsmaßzahlen der deskriptiven Statistik als Schätzwerte analoger Streuungsmaßzahlen der Grundgesamtheit verwendet werden. Dass dieses Vorgehen – zumindest für große Stichprobenumfänge – meistens zu plausiblen Schätzern führt, garantiert der [[Hauptsatz der mathematischen Statistik]] (Satz von Glivenko und Cantelli), der besagt, dass sich die Häufigkeitsverteilung der Stichprobenwerte in einem sehr weitgehenden Sinn der Verteilung der Grundgesamtheit annähert.

=== Stichprobenvarianz ===
In der schließenden Statistik wird die aus den Stichprobenwerten <math>x_1,\dots,x_n</math> berechnete Varianz <math>s^2</math> häufig als ''Stichprobenvarianz'' bezeichnet. Die aus den Stichprobenwerte berechnete Varianz wird auch als ''empirische Varianz'' bezeichnet, um diese von der Varianz der Grundgesamtheit zu unterscheiden. Bei stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Stichprobenvariablen ist die Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^2</math> die Varianz der identisch verteilten Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math>, es gilt also <math>\mathrm{Var}[X_i] = \sigma^2</math> für <math>i=1,\dots,n</math>.
{{Hauptartikel|Varianz (Stochastik)}}
Die aus den Stichprobenwerten berechnete Varianz <math>s^2</math> ist ein realisierter Wert der [[Stichprobenfunktion]]
: <math>S^2 =\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2\;, </math>
die eine [[Schätzfunktion]] für die Grundgesamtheitsvarianz <math>\sigma^2</math> ist.

{{Hauptartikel|Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)}}

=== Korrigierte Stichprobenvarianz ===

Wenn die Stichprobenwerte als realisierte Werte stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen angesehen werden können und wenn mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Varianz <math>\sigma^2 < \infty</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, dann wird häufig anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> die sogenannte ''korrigierte Stichprobenvarianz''
:<math>s_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2 </math>
verwendet. Der Grund ist, dass unter den gemachten Voraussetzungen die zugehörige Stichprobenfunktion
: <math>S_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2 </math>
eine [[erwartungstreue]] [[Schätzfunktion]] für die Varianz der Grundgesamtheit ist, es gilt also
:<math>\mathrm{E}[S_k^2] = \sigma^2\;.</math>

Dagegen hat die Schätzfunktion <math>S^2</math> den Erwartungswert
: <math>\mathrm{E}[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 = \sigma^2 - \frac{1}{n}\sigma^2\;.</math>
Die Schätzfunktion <math>S^2</math> ist also keine erwartungstreue Schätzfunktion für <math>\sigma^2</math> und hat die [[Verzerrung einer Schätzfunktion|Verzerrung]] <math>\mathrm{E}[S^2] - \sigma^2 = -\sigma^2/n</math>.

Die Erwartungstreue der Schätzfunktion <math>S_k^2</math> für den Parameter <math>\sigma^2 </math> der Grundgesamtheit hängt entscheidend von der stochastischen Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen ab und ist bei allgemeineren [[Stichprobenplan| Stichprobenplänen]] ([[Ziehen mit Zurücklegen]], [[geschichtete Stichprobenziehung]] usw.) nicht mehr automatisch erfüllt, so dass die Rechtfertigung der Korrektur entfällt.

In einem rein beschreibenden Kontext der deskriptiven Statistik, in dem es nicht um eine Schätzung eines Parameters der Grundgesamtheit geht, ist die Verwendung der korrigierten Stichprobenvarianz <math>s_k^2</math> anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> nicht zu begründen. „Statt mit dem Faktor <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> werden die Varianz und die die Standardabweichung gelegentlich mit dem Faktor <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> definiert, besonders in manchen Taschenrechnern und statistischen Computerprogrammen. Eine Begründung des Faktors <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> ist nur im Rahmen der schließenden Statistik möglich.“<ref name="MS2009-43" />

=== Korrigierte Stichprobenstandardabweichung ===
Wenn in der induktiven Statistik mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, wird häufig die ''korrigierte Stichprobenstandardabweichung ''
:<math>s_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2} </math>
als Schätzwert für die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit verwendet. Allerdings ist die zugehörige Schätzfunktion
:<math>S_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2} </math>
auch im Fall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen in der Regel ''keine'' erwartungstreue Schätzfunktion für den Parameter <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit.

Im Spezialfall einer normalverteilten Grundgesamtheit ist durch eine modifizierte Schätzfunktion eine [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)#Erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung|erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung]] möglich.

=== Alternative Bezeichnungen und Notationen ===
In vielen Anwendungsbereichen, in denen die Stichprobeninterpretation der beobachteten Werte der Standardfall ist (z. B. Messungen in der Technik und Biometrie) wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''die Stichprobenvarianz'' bezeichnet und dann meistens mit <math>s^2</math> bezeichnet. Auch wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''empirische Streuung'' oder als ''empirische Varianz'' bezeichnet und die zugehörige Stichprobenfunktion als ''Stichprobenstreuung''.<ref>{{Literatur |Herausgeber=P. H. Müller |Titel=Streuungsmaße (measures of dispersion) |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Seiten=428–429}}</ref>

In Darstellungen der induktiven Statistik wird häufig das Symbol <math>S^2</math> für die oben mit <math>S_k^2</math> bezeichnete korrigierte Stichprobenvarianz verwendet und diese einfach als ''Stichprobenvarianz'' ({{enS|sample variance}}) bezeichnet. Analog bezeichnet dann <math>S</math> die korrigierte Stichprobenstandardabweichung und wird einfach als ''Stichprobenstandardabweichung'' ({{enS|sample standard deviation}}) bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle=Def. 5.2.3, S. 212}}</ref>

== Streuungsmaßzahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie ==
In der Wahrscheinlichkeitstheorie charakterisieren Streuungsmaßzahlen Eigenschaften einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Die entsprechenden Maßzahlen sind teilweise analog zu den Maßzahlen der deskriptiven Statistik konstruiert. In der mathematischen Statistik werden Methoden zu Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch beschreibende Kennzahlen der deskriptiven Statistik zugerechnet.<ref>Siehe dazu ''Chapter 3, Descriptive Statistics'' in {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3}}</ref>

{{Hauptartikel|Dispersionsmaß (Stochastik)}}

== Graphische Darstellungsformen ==
* [[Boxplot|Box-Whisker-Plot]]
* [[Streuungsfächerkarte]]
* [[Streudiagramm]]

== Siehe auch ==
* [[Dispersionsindex]]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Buechter83">{{Literatur |Autor=Andreas Büchter, H.-W. Henn |Titel=Elementare Stochastik - Eine Einführung |Auflage=2 |Verlag=Springer |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-45382-6 |Seiten=83}}</ref>
</references>
== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Streuungsmaße (measures of dispersion)'', S. 428–429}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=''A 2.3.2 Streuungsparameter'', S. 42–46}}
* {{Literatur |Herausgeber=Bernd Rönz, Hans Gerhard Strohe |Titel=Lexikon Statistik |Verlag=Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=1994 |ISBN=3-409-19952-7 |Fundstelle= ''Streuungsmaß'', S. 353}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Streuung}}

[[Kategorie:Streuungsmaß (Deskriptive Statistik)| ]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Streuungsmaß (Statistik)

2024-08-26T09:27:42Z

Sigma^2: /* Streuungsmaßzahlen in der schließenden (induktiven) Statistik */ Präzisierungen, Noationsänderung ^* zu _k, um Konsistenz mit anderen Artikeln zu erreichen

{{Dieser Artikel| behandelt Streuungsmaße in der deskriptiven und induktiven Statistik. Für Streuungsmaße als Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen siehe [[Dispersionsmaß (Stochastik)]].}}

'''Streuungsmaße''', auch '''Dispersionsmaße''' ({{laS}} ''dispersio'' „Zerstreuung“, von ''dispergere'' „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder '''Streuungsparameter''' genannt, fassen in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] verschiedene [[Parameter (Statistik)|Maßzahlen]] zusammen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer [[Häufigkeitsverteilung]] um einen geeigneten [[Lageparameter (Deskriptive Statistik)|Lageparameter]] herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber [[Ausreißer]]n.

== Anforderungen ==
Es sei <math>(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> ein Vektor von Beobachtungwerten (Daten) und <math>s\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Funktion. Die Funktion <math>s</math> heißt ein ''Streuungsmaß'', wenn sie im Allgemeinen folgende Anforderungen erfüllt:

* <math>s(x_1, \dots, x_n)</math> ist eine nichtnegative reelle Zahl, die Null ist, wenn alle Beobachtungen gleich sind <math>x_1=x_2=\ldots=x_n=\overline x</math> (in den Daten ist keinerlei Variabilität vorhanden), und zunimmt, wenn die Daten vielfältiger werden. Wenn mindestens zwei Merkmalswerte voneinander verschieden sind, dann streuen die Daten untereinander bzw. um einen Mittelwert, was auch beim Streuungsmaß zum Ausdruck kommen sollte.
* Bei einem Streuungsmaß wird Nichtnegativität gefordert, da bei Streuung „das [[Maß (Mathematik)|Ausmaß]]“ statt „die Richtung“ konstituierend ist. Ein Streuungsmaß sollte also umso größer sein, je stärker Beobachtungswerte voneinander abweichen. Noch strenger wird oft gefordert, dass sich ein Streuungsmaß bei einer Ersetzung eines Beobachtungswertes durch einen neuen Merkmalswert nicht verkleinern darf.
* <math>s</math> ist [[Translationsinvarianz|translationsinvariant]]<ref name="Buechter83" />, d. h. eine Verschiebung des Nullpunktes hat keinen Einfluss auf die Verteilung. Es muss also folgendes gelten: <math>s(x_1 + a, \dots, x_n + a) = s(x_1, \dots, x_n) \;\;\; \forall a \in \mathbb{R}</math>
* Es ist auch wünschenswert, dass das Streuungsmaß gegenüber Maßstabsänderungen invariant ist.<ref>Hans Friedrich Eckey et al.: ''Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele.'', S. 74. (1. Aufl. 1992; 3. Aufl. 2002, ISBN 3-409-32701-0). Die 4. Aufl. 2005 und die 5. Aufl. 2008 erschienen unter dem Titel ''Deskriptive Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele).''</ref>
Ein einfacher Ansatz für ein Streuungsmaß wäre, die Differenzen der Werte vom empirischen Mittel aufzusummieren. Dies führt zu

: <math> s(x)= \sum_{i=1}^n (x_i-\overline x) </math>

Diese Summe ergibt allerdings stets 0, weil sich positive und negative Summanden gegenseitig aufheben ([[Arithmetisches Mittel#Schwerpunkteigenschaft|Schwerpunkteigenschaft]]). Das ist also nicht geeignet als Streuungsmaß, da der Wert nicht zunimmt, wenn die Variabilität der Daten steigt. Möglichkeiten bestehen also darin, die Absolutbeträge oder die Quadrate der Abweichungen zu summieren.

== Streuungsmaßzahlen in der beschreibenden (deskriptiven) Statistik ==
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass <math>x_1,\dots,x_n</math> reellwertige Beobachtungswerte vorliegen, die inhaltlich zu einer Variablen gehören. Dies können Messwerte sein. Es kann sich um [[Stichprobenwert]]e handeln, es kann sich aber auch um die Beobachtungswerte einer Gesamtheit handeln, die nicht als Stichprobe aufgefasst wird. Mit
:<math>\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
ist der [[arithmetischer Mittelwert |arithmetische Mittelwert]] der Beobachtungswerte bezeichnet.

=== Streuung um das arithmetische Mittel ===
==== Summe der Abweichungsquadrate ====
{{Hauptartikel|Summe der Abweichungsquadrate}}
Ein intuitives Streuungsmaß ist die Summe der Abweichungsquadrate, bei der die quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittelwert aufsummiert werden,
:<math>SQ :=\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2\;.</math>

==== Empirische Varianz ====
{{Hauptartikel|empirische Varianz}}
Einer der wichtigsten Streuungsparameter ist die ''Varianz'' der Beobachtungswerte, die als
:<math>s^2=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2 </math>
definiert ist und die äquivalente Darstellung
:<math>s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar x^2</math>
besitzt.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=43}}</ref>
Eine weitere äquivalente Darstellung, die keinen Bezug auf den arithmetischen Mittelwert der Beobachtungswerte nimmt, ist
:<math>s^2 = \frac{1}{2n^2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x_i -x_j)^2 \;.</math><ref name="MS2009-43">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=43}}</ref>

==== Empirische Standardabweichung ====
{{Hauptartikel|Empirische Standardabweichung}}

Die Standardabweichung ist definiert als die Wurzel aus der Varianz und ist demnach
:<math>s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}\;. </math>
Ein wesentlicher Unterschied zur Varianz ist, dass die Standardabweichung dieselbe Dimension und damit dieselben Einheiten wie die Beobachtungswerte besitzt.

==== Mittlere absolute Abweichung ====
Im Falle einer konkreten Stichprobe <math>x_1, \dots, x_n</math> mit dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\overline{x}</math> wird sie errechnet durch

:<math>\operatorname{e} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \overline{x}\right|.</math>

Die mittlere absolute Abweichung wird in der mathematischen Statistik meist zugunsten der quadratischen Abweichung umgangen, welche analytisch leichter zu behandeln ist. Die in der Definition verwendete Betragsfunktion ist nicht überall differenzierbar, was die Berechnung des Minimums erschwert.

Aufgrund der [[Mittelungleichung#Ungleichung der verallgemeinerten Mittel|Ungleichung vom arithmetisch-quadratischen Mittel]] ist die mittlere absolute Abweichung kleiner oder gleich der Standardabweichung (Gleichheit gilt nur für konstante Zufallsgrößen).

=== Streuung um den Median ===
==== Quantilsabstand ====
Der Quantilsabstand ist die Differenz zwischen dem <math>p</math>- und <math>\left(1-p\right)</math>-[[Empirisches Quantil|Quantil]]:

:<math>QA_p = Q_{1-p}-Q_p\;</math> mit <math>\;0\leq p < 0{,}5</math>

Innerhalb des <math>QA_p</math> liegen etwa <math>100 \cdot (1-2p)</math> Prozent aller Beobachtungswerte.

==== Interquartilsabstand ====
{{Hauptartikel|Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)}}

Der Interquartilsabstand (engl. {{lang|en|''interquartile range''}}), abgekürzt IQR, wird als Differenz
der [[Empirisches Quantil#Quartil|Quartile]] <math>Q_{0{,}75}</math> und <math>Q_{0{,}25}</math> berechnet:

:<math> \operatorname{IQR} = Q_{0{,}75} - Q_{0{,}25} </math>

Innerhalb des IQR liegen 50 % aller Messwerte. Er ist – wie auch der [[Median]] bzw. <math>Q_{0{,}5}</math> – unempfindlich gegenüber Ausreißern. Es lässt sich zeigen, dass er einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^*=0{,}25</math> hat.

Der Interquartilsabstand ist gleich dem [[Empirisches Quantil#Abgeleitete Begriffe|Quantilsabstand]] <math>QA_{0{,}25}</math>

==== Mittlere absolute Abweichung vom Median ====
{{Hauptartikel|Mittlere absolute Abweichung vom Median}}

Für <math>n</math> beobachtete Werte <math>x_1,\dots,x_n</math> mit dem (eindeutigen) Median <math>\tilde{x}</math> ist die Mittlere absolute Abweichung vom Median als
:<math> \operatorname{MD} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left|x_i - \tilde{x}\right| </math>
definiert.
Aufgrund der [[Median#Eigenschaften|Extremaleigenschaft des Medians]] gilt im Vergleich mit der mittleren absoluten Abweichung stets
:<math> \operatorname{MD} \le \operatorname{e} </math>,

d. h. die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians ist erst recht kleiner als die Standardabweichung.

==== Median der absoluten Abweichungen vom Median ====
Für Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> ist die mittlere absolute Abweichung (engl. {{lang|en|''median absolute deviation''}}, auch ''MedMed''), abgekürzt MAD, ist definiert durch
:<math> \operatorname{MAD} = \operatorname{median}\{\left|x_i - \tilde{x}\right| \mid i=1,\dots,n \} </math>

Die mittlere absolute Abweichung ist ein [[Robuste Schätzverfahren|robuster Schätzer]] für die Standardabweichung. Es lässt sich zeigen, dass sie einen [[Bruchpunkt]] von <math>\varepsilon^* = 0{,}5</math> hat.

=== Weitere Streuungsmaße ===
==== Spannweite ====
Die [[Spannweite (Statistik)|Spannweite]] ({{enS|''range''}}) <math>R</math> berechnet sich als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:
:<math> R = x_{\max} - x_{\min} </math>
Da die Spannweite nur aus den zwei Extremwerten berechnet wird, ist sie nicht robust gegenüber Ausreißern.

==== Ginis mittlere Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> heißt die Maßzahl
:<math> \Delta = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j|</math>
''Ginis mittlere Differenz''.<ref name="MS2009-46">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=46}}</ref>

==== Mittlere absolute Differenz ====
Für Beobachtungswerte <math>(x_1,\dots,x_n)</math> ist
:<math> \bar\Delta = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j| = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n |x_i - x_j|</math>
die ''mittlere absolute Differenz'' oder '''mittlere Differenz'''.<ref name="R2008-45" />

==== Geometrische Standardabweichung ====
Die [[geometrische Standardabweichung]] ist ein Streuungsmaß um das [[geometrisches Mittel|geometrische Mittel]].

=== Relative Streuungsmaße ===
Relative Streuungsmaße heißen auch ''relative Streumaße'' oder ''Dispersionskoeffizienten''.<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref> Ein relatives Streumaß ist typischerweise ein Quotient aus einem Streuungsmaß und einem [[Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lagemaß]].<ref name="R2008-45" />

==== Relative Spannweite ====
Die relative Spannweite berechnet sich als Quotient aus der Spannweite und der [[Bereichsmitte]];<ref name="R2008-45" />
:<math> vR = \frac{R}{ \frac{x_{\min} + x_{\max}}{2}} \;.</math>

==== Variationskoeffizient ====
Der [[Empirischer Variationskoeffizient|empirische Variationskoeffizient]] wird gebildet als Quotient aus [[empirische Standardabweichung|empirischer Standardabweichung]] <math>s</math> und [[Arithmetisches Mittel|arithmetischem Mittel]] <math>\overline{x}</math>:
:<math>v=\frac{s}{\overline{x}},\quad \overline{x} > 0</math>.<ref name="R2008-45" />

Er ist dimensionslos und somit nicht einheitenbehaftet.

==== Ginikoeffizient ====
{{Hauptartikel|Ginikoeffizient}}
Zwischen Ginis mittlerer Differenz <math>\Delta</math>, dem arithmetischen Mittelwert <math>\bar x</math> und dem [[Gini-Koeffizient]]en <math>G</math> besteht der Zusammenhang
:<math> G = \frac{\Delta}{2 \bar x}\;.</math><ref name="MS2009-95">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=95}}</ref>
Damit ist der Gini-Koeffizient als Quotient aus einem Streuungsmaß und einem Lagemaß ein ''relatives Streuungsmaß''.<ref name="MS2009-96">{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Friedrich Schmid |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Datum=2009 |Seiten=96}}</ref>

==== Relative durchschnittliche Abweichung vom Median ====
Die relative durchschnittliche Abweichung vom Median wird gebildet als Quotient aus durchschnittlicher Abweichung vom Median und Median;<ref name="R2008-45">{{Literatur |Autor=Horst Rinne |Titel=Taschenbuch der Statistik |Datum=2008 |Seiten=45}}</ref>
:<math>vd = \frac{\operatorname{MD}}{\tilde x} \;.</math>

==== Relativer Quartilsabstand ====
Der relative Quartilsabstand wird gebildet als Quotient aus Quartilsabstand und Median;<ref name="R2008-45" />
:<math>vq = \frac{\operatorname{IQR}}{\tilde x}\;.</math>

== Streuungsmaßzahlen in der schließenden (induktiven) Statistik ==
In der [[induktive Statistik|induktiven Statistik]] sind die Beobachtungswerte <math>x_1,\dots,x_n</math> [[Stichprobenwert]]e aus einer [[Stichprobe]] aus einer [[Grundgesamtheit]] und Realisierungen von [[Stichprobenvariable]]n <math>X_1,\dots,X_n</math> mit einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors <math>(X_1,\dots,X_n)</math>.

Dabei liegt häufig der Spezialfall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen vor. In diesem Spezialfall können viele Streuungsmaßzahlen der deskriptiven Statistik als Schätzwerte analoger Streuungsmaßzahlen der Grundgesamtheit verwendet werden. Dass dieses Vorgehen – zumindest für große Stichprobenumfänge – meistens zu plausiblen Schätzern führt, garantiert der [[Hauptsatz der mathematischen Statistik]] (Satz von Glivenko und Cantelli), der besagt, dass sich die Häufigkeitsverteilung der Stichprobenwerte in einem sehr weitgehenden Sinn der Verteilung der Grundgesamtheit annähert.

=== Stichprobenvarianz ===
In der schließenden Statistik wird die aus den Stichprobenwerten <math>x_1,\dots,x_n</math> berechnete Varianz <math>s^2</math> häufig als ''Stichprobenvarianz'' bezeichnet. Die aus den Stichprobenwerte berechnete Varianz wird auch als ''empirische Varianz'' bezeichnet, um diese von der Varianz der Grundgesamtheit zu unterscheiden. Bei stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Stichprobenvariablen ist die Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^2</math> die Varianz der identisch verteilten Stichprobenvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math>, es gilt also <math>\mathrm{Var}[X_i] = \sigma^2</math> für <math>i=1,\dots,n</math>.
{{Hauptartikel|Varianz (Stochastik)}}
Die aus den Stichprobenwerten berechnete Varianz <math>s^2</math> ist ein realisierter Wert der [[Stichprobenfunktion]]
: <math>S^2 =\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2\;, </math>
die eine [[Schätzfunktion]] für die Grundgesamtheitsvarianz <math>\sigma^2</math> ist.

{{Hauptartikel|Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)}}

=== Korrigierte Stichprobenvarianz ===

Wenn die Stichprobenwerte als realisierte Werte stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen angesehen werden können und wenn mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Varianz <math>\sigma^2 < \infty</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, dann wird häufig anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> die sogenannte ''korrigierte Stichprobenvarianz''
:<math>s_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2 </math>
verwendet. Der Grund ist, dass unter den gemachten Voraussetzungen die zugehörige Stichprobenfunktion
: <math>S_k^2=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2 </math>
eine [[erwartungstreue]] [[Schätzfunktion]] für die Varianz der Grundgesamtheit ist, es gilt also
:<math>\mathrm{E}[S_k^2] = \sigma^2\;.</math>

Dagegen hat die Schätzfunktion <math>S^2</math> den Erwartungswert
: <math>\mathrm{E}[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 = \sigma^2 - \frac{1}{n}\sigma^2\;.</math>
Die Schätzfunktion <math>S^2</math> ist also keine erwartungstreue Schätzfunktion für <math>\sigma^2</math> und hat die [[Verzerrung einer Schätzfunktion|Verzerrung]] <math>\mathrm{E}[S^2] - \sigma^2 = -\sigma^2/n</math>.

Die Erwartungstreue der Schätzfunktion <math>S_k^2</math> für den Parameter <math>\sigma^2 </math> der Grundgesamtheit hängt entscheidend von der stochastischen Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen ab und ist bei allgemeineren [[Stichprobenplan| Stichprobenplänen]] ([[Ziehen mit Zurücklegen]], [[geschichtete Stichprobenziehung]] usw.) nicht mehr automatisch erfüllt, so dass die Rechtfertigung der Korrektur entfällt.

In einem rein beschreibenden Kontext der deskriptiven Statistik, in dem es nicht um eine Schätzung eines Parameters der Grundgesamtheit geht, ist die Verwendung der korrigierten Stichprobenvarianz <math>s_k^2</math> anstelle der Stichprobenvarianz <math>s^2</math> nicht zu begründen. „Statt mit dem Faktor <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> werden die Varianz und die die Standardabweichung gelegentlich mit dem Faktor <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> definiert, besonders in manchen Taschenrechnern und statistischen Computerprogrammen. Eine Begründung des Faktors <math>\textstyle\frac{1}{n-1}</math> ist nur im Rahmen der schließenden Statistik möglich.“<ref name="MS2009-43" />

=== Korrigierte Stichprobenstandardabweichung ===
Wenn in der induktiven Statistik mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, wird häufig die ''korrigierte Stichprobenstandardabweichung ''
:<math>s_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2} </math>
als Schätzwert für die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit verwendet. Allerdings ist die zugehörige Schätzfunktion
:<math>S_k = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^n\left(X_i-\bar X\right)^2} </math>
auch im Fall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen in der Regel ''keine'' erwartungstreue Schätzfunktion für den Parameter <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit.

Im Spezialfall einer normalverteilten Grundgesamtheit ist durch eine modifizierte Schätzfunktion eine [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)#Erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung|erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung]] möglich.

=== Alternative Bezeichnungen und Notationen ===
In vielen Anwendungsbereichen, in denen die Stichprobeninterpretation der beobachteten Werte der Standardfall ist (z. B. Messungen in der Technik und Biometrie) wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''die Stichprobenvarianz'' bezeichnet und dann meistens mit <math>s^2</math> bezeichnet. Auch wird die korrigierte Stichprobenvarianz als ''empirische Streuung'' oder als ''empirische Varianz'' bezeichnet und die zugehörige Stichprobenfunktion als ''Stichprobenstreuung''.<ref>{{Literatur |Herausgeber=P. H. Müller |Titel=Streuungsmaße (measures of dispersion) |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Seiten=428–429}}</ref>

In Darstellungen der induktiven Statistik wird häufig das Symbol <math>S^2</math> für die oben mit <math>S_k^2</math> bezeichnete korrigierte Stichprobenvarianz verwendet und diese einfach als ''Stichprobenvarianz'' ({{enS|sample variance}}) bezeichnet. Analog bezeichnet dann <math>S</math> die korrigierte Stichprobenstandardabweichung und wird einfach als ''Stichprobenstandardabweichung'' ({{enS|sample standard deviation}}) bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle=Def. 5.2.3, S. 212}}</ref>

== Streuungsmaßzahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie ==
In der Wahrscheinlichkeitstheorie charakterisieren Streuungsmaßzahlen Eigenschaften einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Die entsprechenden Maßzahlen sind teilweise analog zu den Maßzahlen der deskriptiven Statistik konstruiert. In der mathematischen Statistik werden Methoden zu Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch beschreibende Kennzahlen der deskriptiven Statistik zugerechnet.<ref>Siehe dazu ''Chapter 3, Descriptive Statistics'' in {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3}}</ref>

{{Hauptartikel|Dispersionsmaß (Stochastik)}}

== Graphische Darstellungsformen ==
* [[Boxplot|Box-Whisker-Plot]]
* [[Streuungsfächerkarte]]
* [[Streudiagramm]]

== Siehe auch ==
* [[Dispersionsindex]]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Buechter83">{{Literatur |Autor=Andreas Büchter, H.-W. Henn |Titel=Elementare Stochastik - Eine Einführung |Auflage=2 |Verlag=Springer |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-45382-6 |Seiten=83}}</ref>
</references>
== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Streuungsmaße (measures of dispersion)'', S. 428–429}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4 |Fundstelle=''A 2.3.2 Streuungsparameter'', S. 42–46}}
* {{Literatur |Herausgeber=Bernd Rönz, Hans Gerhard Strohe |Titel=Lexikon Statistik |Verlag=Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=1994 |ISBN=3-409-19952-7 |Fundstelle= ''Streuungsmaß'', S. 353}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Streuung}}

[[Kategorie:Streuungsmaß (Deskriptive Statistik)| ]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Portal:Statistik/Literatur

2024-08-26T09:23:25Z

Sigma^2: /* Statistische Inferenz */

__NOTOC__
{{Portal:Statistik/Tabs|Aktiv=4}}
<div style="padding:2em 10px; border-left:solid 1px #7F3045; border-right:solid 1px #7F3045; background:#FFFFFF; text-align:left;">

__TOC__



==Grundlagen ==
===Einführende Literatur, allgemein ===
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=[[Jörg Bewersdorff]] |Titel=Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch mit einer Einführung in R |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63711-1 |DOI=10.1007/978-3-662-63712-8}}
* {{Literatur |Autor= Angelika Caputo, [[Ludwig Fahrmeir]], Rita Künstler, [[Stefan Lang (Statistiker)|Stefan Lang]], [[Iris Pigeot|Iris Pigeot-Kübler]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Arbeitsbuch Statistik |Auflage=5., verbesserte Auflage |Datum=2009 |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |ISBN=978-3-540-85082-3 |DOI=10.1007/978-3-540-85083-0}}
* {{Literatur |Autor=Lutz Dümbgen |Titel=Einführung in die Statistik |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel u. a. |Datum=2016 |ISBN=978-3-0348-0003-7 |DOI=10.1007/978-3-0348-0004-4}}
* {{Literatur |Autor=Peter P. Eckstein |Titel=Repetitorium Statistik |Verlag=Gabler Verlag |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=978-3-8349-0464-5 |Auflage=6}}
* {{Literatur |Autor=Peter P. Eckstein |Titel=Angewandte Statistik mit SPSS |Verlag=Gabler Verlag |Ort=Berlin |Datum=2006 |ISBN=3-8349-0307-8 |Auflage=5}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], Christian Heumann, Rita Künstler, [[Iris Pigeot]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Statistik – Der Weg zur Datenanalyse |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |Auflage=8., überarbeitete und ergänzte Auflage |ISBN=978-3-662-50371-3 |DOI=10.1007/978-3-662-50372-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], Christian Heumann, Rita Künstler, [[Iris Pigeot]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Statistik – Der Weg zur Datenanalyse |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |Auflage=9., überarbeitete und ergänzte Auflage |ISBN=978-3-662-67525-0 |DOI=10.1007/978-3-662-67526-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans-Otto Georgii]] |Titel=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=5 |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2015 |ISBN=978-3-11-035969-5 |DOI=10.1515/9783110359701}}
* {{Literatur |Autor=Andreas Handl, Torben Kuhlenkasper |Titel=Einführung in die Statistik – Theorie und Praxis mit R |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-56439-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Joachim Hartung]], Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener |Titel=Statistik – Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2009 |Auflage=15., überarbeitete und wesentlich erweiterte Auflage |ISBN=978-3-486-59028-9 |DOI=10.1524/9783486710540}}
* {{Literatur |Autor=[[Norbert Henze]] |Titel=Stochastik für Einsteiger |TitelErg=Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls |Auflage=13., überarbeitete und aktualisierte Auflage |Verlag=Springer Spektrum | Ort=Berlin |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63839-2 |DOI=10.1007/978-3-662-63840-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Norbert Henze]] |Titel=Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik |Verlag=Springer Spektrum | Ort=Berlin |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-65610-5 |DOI=10.1007/978-3-662-65611-2}}
* {{Literatur |Autor=Erwin Kreyszig | Titel=Statistische Methoden und ihre Anwendungen |Auflage=7 |Verlag=Vandenhoek und Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1991 |ISBN=978-3-525-40717-2 }}
* {{Literatur |Autor=Franz Kronthaler |Titel=Statistik angewandt mit dem R Commander – Datenanalyse ist (k)eine Kunst |Auflage=2 | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1991 |ISBN=978-3-662-63603-9 |DOI=10.1007/978-3-662-63604-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Günter Menges (Ökonom)| Günter Menges]] |Titel=Grundriß der Statistik. Teil 1: Theorie |Auflage=2. |Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Köln / Opladen |Datum=1972 |ISBN=3-531-11070-5}}
* {{Literatur |Autor=Günter Menges, [[Heinz J. Skala]] |Titel=Grundriß der Statistik. Teil 2: Daten |Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Opladen |Datum=1973 |ISBN=3-531-11093-4}}
* {{Literatur |Autor=Günter Menges |Titel=Die Statistik. Zwölf Stationen des statistischen Arbeitens |Verlag=Gabler |Ort= Wiesbaden |Datum=1982 |ISBN=3-409-27074-4}}
* {{Literatur |Autor=Hans-Joachim Mittag, [[Katharina Schüller]] |Titel=Statistik: Eine Einführung mit interaktiven Elementen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2020 |Auflage=6 |ISBN=978-3-662-61911-7 |DOI=10.1007/978-3-662-61912-4}}
* {{Literatur |Autor=Hans-Joachim Mittag, [[Katharina Schüller]] |Titel=Statistik: Eine interdisziplinäre Einführung mit interaktiven Elementen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |Auflage=7 |ISBN=978-3-662-68223-4 |DOI=10.1007/978-3-662-68224-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-15009-8}}
* {{Literatur |Autor=Wolfgang Polasek |Titel=EDA Explorative Datenanalyse – Einführung in die deskriptive Statistik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1994 |Auflage=2 |ISBN=978-3-540-58394-3 |DOI=10.1007/978-3-642-57889-2}}
* {{Literatur |Autor=Rainer Schlittgen |Titel=Einführung in die Statistik – Analyse und Modellierung von Daten |Verlag=Oldenbourg Verlag |Auflage=12., korrigierte Auflage |Ort=München |Datum=2012 |ISBN=978-3-486-71524-8 |DOI=10.1524/9783486715910}}
* {{Literatur |Autor=Christoph Weigand |Titel=Statistik mit und ohne Zufall |Verlag=Physica |Ort=Heidelberg |Datum=2006 |ISBN=3-7908-1693-0}}

;Englisch
* {{Literatur |Autor=David A. Freedman, Robert Pisani, Roger Purves |Titel=Statistics |Verlag=Norton |Ort=New York |Datum=|ISBN=0-393-97121-X |Auflage=3}}
* {{Literatur |Autor=Bernard W. Lindgren |Titel=Statistical Theory |Verlag=Chapmann & Hall |Ort=New York |Datum=1993 |ISBN=0-412-04181-2 |Auflage=4}}

;Französisch
* {{Literatur |Autor=Michel Volle |Titel=Le métier de statisticien |Verlag=Economica |Ort=Paris |Datum=1984 |ISBN=2-7178-0824-8 |Auflage=2}}

===Einführende Literatur, fachspezifisch ===
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=[[Günter Bamberg]], Franz Baur, Michael Krapp |Titel= Statistik: Eine Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2022 |Auflage= 19 |ISBN=978-3-11-075919-8 |DOI=10.1515/9783110759327 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-11-075940-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Benninghaus]] |Titel=Deskriptive Statistik: Eine Einführung für Sozialwissenschaftler |Verlag=VS |Ort=Wiesbaden |Datum=2007 |ISBN=978-3-531-34607-6 |Auflage=11}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Bortz]], Christof Schuster |Titel=Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2010 |ISBN=978-3-642-12769-4 |Auflage=7., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage}}
* {{Literatur |Autor=[[Tatjana Lange]], [[Karl Mosler]] |Titel=Statistik kompakt. Basiswissen für Ökonomen und Ingenieure. Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer Gabler |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53466-3}}
* {{Literatur |Autor=Ilona Leyer, Karsten Wesche |Titel=Multivariate Statistik in der Ökologie – Eine Einführung |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-37705-4 |DOI=10.1007/978-3-540-37706-1}}
* {{Literatur |Autor=Wolfgang Polasek |Titel=Schließende Statistik – Einführung in die Schätz- und Testtheorie für Wirtschaftswissenschaftler |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1997 |Auflage=2 |ISBN=978-3-540-61731-0 |DOI=10.1007/978-3-642-59099-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernhard Rüger]] |Titel=Induktive Statistik – Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Oldenbourg |Ort=München / Wien |Datum=1988 |ISBN= 3-486-20535-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Sahner]] |Titel=Schließende Statistik: Eine Einführung für Sozialwissenschaftler |Verlag=VS |Ort=Wiesbaden |Datum=2005 |ISBN=3-531-14687-4 |Auflage=6}}
* {{Literatur |Autor=Josef Schira |Titel=Statistische Methoden der VWL und BWL: Theorie und Praxis |Verlag=Pearson |Ort=München |Datum=2005 |ISBN=3-8273-7163-5}}
* {{Literatur |Autor=Werner Timischl |Titel=Angewandte Statistik. – Eine Einführung für Biologen und Mediziner |Verlag=Springer |Ort=Wien |Datum=2013 |ISBN=978-3-7091-1348-6 |DOI=10.1007/978-3-7091-1349-3}}
* {{Literatur |Autor=Max C. Wewel |Titel=Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL: Methoden, Anwendung, Interpretation |Verlag=Pearson |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-8689-4054-1 |Auflage=2}}

;Englisch
* {{Literatur |Herausgeber=Daniel Dorling, Stephen C. Simpson |Titel=Statistics in Society. The Arithmetic of Politics (Arnold Applications of Statistics Series) |Verlag=Hodder Arnold |Ort=London |Datum=1998 |ISBN=0-340-71994-X}}

===Lexika, Enzyklopädien, Nachschlagewerke === 

;Deutsch
* {{Literatur |Herausgeber=F. E. Beichelt, D. C. Montgomery |Titel=Teubner-Taschenbuch der Statistik – Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastische Prozesse, Mathematische Statistik |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden |Datum=2003 | ISBN= 978-3-322-80067-1}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 |Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4}}
* {{Literatur |Herausgeber=Bernd Rönz, Hans Gerhard Strohe |Titel=Lexikon Statistik |Verlag=Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=1994 |ISBN=3-409-19952-7}}
* {{Literatur |Herausgeber=Werner Voß |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Fachbuchverlag |Ort=Leipzig |Datum=2000 |ISBN=3-446-22605-2}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 1. A bis Eif |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53497-7 |DOI=10.1007/978-3-662-53498-4}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 3. Inp bis Mon |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53501-1 |DOI=10.1007/978-3-662-53502-8}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 4. Moo bis Sch |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53499-1 |DOI=10.1007/978-3-662-53500-4}}
*{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 5. Sed bis Zyl |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53505-9 |DOI=10.1007/978-3-662-53506-6}}

;Englisch
* {{Literatur |Autor=Yadolah Dodge |Titel=The Concise Encyclopedia of Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-31742-7 | DOI=10.1007/978-0-387-32833-1}}
* {{Literatur |Titel=The Oxford Dictionary of Statistical Terms |Hrsg=Yadolah Dodge |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Datum=2003 |ISBN=0-19-850994-4}}
* {{Literatur |Autor=B. S. Everitt, A. Skrondal |Titel=The Cambridge Dictionary of Statistics |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum= 2010 |ISBN=978-0-521-76699-9 |Auflage=4}}
* {{Literatur |Titel=Statistical Distributions |Hrsg=Catherine Forbes, Merran Evans, Nicholas Hastings, Brain Peacock |Auflage=4| Verlag=Wiley & Sons |Ort=Hoboken | Datum=2011 |ISBN=978-0-470-39063-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Norman L. Johnson]], Adrienne W. Kemp, [[Samuel Kotz]] |Titel=Univariate Discrete Distributions |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2005 |ISBN=978-0-471-27246-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Norman L. Johnson]], [[Samuel Kotz]], [[Narayanaswamy Balakrishnan]] |Titel=Continuous Univariate Distributions – Volume 1 |Reihe=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1994 |ISBN=0-471-58495-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Norman L. Johnson]], [[Samuel Kotz]], [[Narayanaswamy Balakrishnan]] |Titel=Discrete Multivariate Distributions |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=978-0-471-12844-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Samuel Kotz]], [[Narayanaswamy Balakrishnan]], [[Norman L. Johnson]] |Titel=Continuous Multivariate Distributions – Volume 1: Models and Applications |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=978-0-471-18387-7 |DOI=10.1002/0471722065}}
* {{Literatur |Titel=Encyclopedia of Statistical Sciences |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196}}
* {{Literatur |Titel=International Encyclopedia of Statistical Sciences |Hrsg=Miodrag Lovric |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-04897-5 | DOI=10.1007/978-3-642-04898-2}}
* {{Literatur |Autor=Jagdish K. Patel, Campbell R. Read |Titel=Handbook of the Normal Distribution |Reihe=Statistics:Textbooks and Monographs |Auflage=Second edition, revised and expanded |Verlag=Dekker |Ort=New York / Basel / Hong Kong |Datum=1966 |ISBN=0-8247-9342-0}}
* {{Literatur |Hrsg=[[Ulf Rehmann]] |Titel=Encyclopedia of Mathematics |Verlag=EMS Press |Ort= |Online=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Main_page |ISBN= |Kommentar=Teilmengen: [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Category:Statistics ''Statistics''], [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Category:Statprob ''StatProb'']}}
* {{Literatur |Hrsg=Fabrizio Ruggeri, Ron S. Kennett, Frederick W. Faltin |Titel=Encyclopedia of Statistics in Quality and Reliability |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2007 |ISBN=978-0-470-01861-3 |DOI=10.1002/9780470061572}}
* {{Literatur |Autor=Statsoft Inc. |Titel=Electronic Statistics Textbook |Verlag=StatSoft |Ort=Tulsa/OK |Datum=2007 |Online=http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html}}

;Französisch
* {{Literatur |Autor=Yadolah Dodge |Titel=Statistique – Dictionnaire encyclopédique |Verlag=Springer-Verlag France |Ort=Paris |Datum=2007 |ISBN=978-2-287-72093-2}}

===Mehrsprachige Glossare ===
* {{Internetquelle |autor=[[International Statistical Institute]] |titel= ISI Glossary |url=https://www.isi-web.org/glossary |werk=www.isi-web.org |abruf=2024-02-04 |kommentar=vielsprachiges Verzeichnis statistischer Fachbegriffe}}
* {{Literatur |Titel= Elsevier's Dictionary of Biometry |Hrsg=[[Dieter Rasch]], M. L. Tiku, D. Sumpf |Verlag=Elsevier |Ort=Amsterdam |Datum=1994 |ISBN=0-444-81495-7 |DOI= |Kommentar= in Englisch, Französisch, Spanisch, Niederländisch, Deutsch, Italienisch und Russisch}}

===Bibliographien zur Statistik===
* {{Literatur |Autor=[[Stefan Huschens]] |Titel=Literaturauswahl zur Statistik|Datum=2017|Online= https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa-222575|DNB=1130092801}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Kellerer]] |Titel=Bibliographie der seit 1928 in Buchform erschienenen deutschsprachigen Veröffentlichungen über theoretische Statistik und einige ihrer Anwendungsgebiete |Datum=1969 |Verlag=Physica-Verlag |Ort=Würzburg |ISBN=978-3-525-13163-3}}
* {{Literatur |Autor=H. O. Lancaster |Titel=A Bibliography of Statistical Bibliographies: A Fourteenth List |Sammelwerk=International Statistical Review |Band=50 |Nummer=2 |Datum=1982 |JSTOR=140261}}
* {{Literatur |Autor=[[Günter Menges (Ökonom)|Günter Menges]]|Titel=Bibliographie zur statistischen Entscheidungstheorie 1950 -1967|Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Köln |Datum=1968 |ISBN=978-3-663-00459-2}}
* {{Literatur |Autor=Jürgen Wilke | Titel=Bibliographie zu Verfahren der multivariaten Statistik, der mehrdimensionalen Klassifikation und ihre Anwendungen in Natur- und Gesellschaftswissenschaften, 1901-1975; Faktoranalyse, Hauptkomponentenanalyse, multidimensionale Skalierung, Clusteranalyse, numer. Taxonomie, automat. Muster- oder Gestalt- oder Zeichenerkennung (Pattern recognition) |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1978|DNB=550357483}}

===Geschichte der Statistik ===
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=Otto Behre |Titel=Geschichte der Statistik in Brandenburg-Preussen bis zur Gründung des Königlichen Statistischen Bureaus |Verlag=Carl Heymann |Ort=Berlin |Datum=1905}}
* {{Literatur |Autor=Alain Desrosières |Titel=Die Politik der großen Zahlen. Eine Geschichte der statistischen Denkweise. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |ISBN=3-540-20655-8 |Datum=2005}}
* {{Literatur |Autor=[[Gerd Gigerenzer]], Zeno Swijtink, Theodore Porter, Lorraine Daston, John Beatty, Lorenz Krüger |Titel=Das Reich des Zufalls. Wissen zwischen Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten und Unschärfen |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg/Berlin |Datum=1999 |ISBN=978-3827401014 |Originaltitel=The Empire of Chance: How Probability Changed Science and Everyday Life |Originalsprache=en-US}}

;Englisch
* {{Literatur |Autor=Herbert A. David |Titel=First (?) Occurence of Common Terms in Mathematical Statistics |Sammelwerk=The American Statistician |Band=49 |Nummer=2 |Seiten=121–133 |Datum=1995 |JSTOR=2684625 |Datum=1995}}
* {{Literatur |Autor=Herbert A. David, Anthony W.F. Edwards |Titel=Annotated Readings in the History of Statistics |Verlag=Springer |Ort=Berlin |ISBN=0-387-98844-0 |Datum=2001}}
* {{Literatur |Autor=Hans Fischer |Titel=A History of the Central Limit Theorem – From Classical to Modern Probability Theorem |Reihe=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |Verlag=Springer |Ort=New York / Dordrecht / Heidelberg / London |Datum=2011 |ISBN=978-0-387-87857-7 |DOI=10.1002/0471667196}}
* {{Literatur |Autor=[[Ian Hacking]] |Titel=The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge/London/New York |Datum=1975 |ISBN=978-0521204606}}
* {{Literatur |Autor=Anders Hald |Titel=A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 |Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=1998 |ISBN=0-471-17912-4}}
* {{Literatur |Autor=Anders Hald |Titel=A History of Probability and Statistics and Their Applications Before 1750 |Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=2003 |ISBN=0-471-47129-1}}
* {{Literatur |Autor=Anders Hald |Titel=A History of Parametric Statistical Inference from Bernoulli to Fischer, 1713-1935| Reihe= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2007 |ISBN=978-1-4419-2363-9 |DOI=10.1007/978-0-387-46409-1}}
* {{Literatur |Autor=Norman L. Johnson, Eric Ed. Johnson |Titel=Leading Personalities in Statistical Sciences: From the Seventeenth Century to the Present| Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=1997 |ISBN=0-471-16381-3}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[Samuel Kotz]], Norman L. Johnson |Titel=Breakthroughs in Statistics, Volume I – Foundations and Basic Theory | Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1992 |ISBN=3-540-94039-1 |DOI=10.1007/978-1-4612-0919-5}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[Samuel Kotz]], Norman L. Johnson |Titel=Breakthroughs in Statistics, Volume II – Methodology and Distribution | Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1992 |ISBN=3-540-94037-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-4380-9}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[Samuel Kotz]], Norman L. Johnson |Titel=Breakthroughs in Statistics, Volume III | Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1997 |ISBN=978-0-387-94989-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-0667-5}}
* {{Literatur |Herausgeber=Lorenz Krüger, Lorraine J. Daston, Michael Heidelberger |Titel=The Probabilistic Revolution. Vol. 1: Ideas in History |Verlag=MIT Press |Ort=Cambridge/MA |Datum=1987 |ISBN=0-262-11118-7}}
* {{Literatur |Herausgeber=Lorenz Krüger, [[Gerd Gigerenzer]], Mary S. Morgan |Titel=The Probabilistic Revolution. Vol. 2: Ideas in the Sciences |Verlag=MIT Press |Ort=Cambridge/MA |Datum=1990 |ISBN=0-262-61063-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-31084-3}}
* {{Literatur |Autor=Theodore M. Porter |Titel=The Rise of Statistical Thinking, 1820-1900 |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton/NJ |Datum=1988 |ISBN=0-691-02409-X}}
* {{Literatur |Autor=Theodore M. Porter |Titel=Karl Pearson. The Scientific Life in a Statistical Age |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton/NJ |Datum=2006 |ISBN=0-691-12635-6}}
* {{Literatur |Autor=David Salsburg |Titel=The Lady Tasting Tea – How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century |Verlag=Freeman |Ort=New York |Datum=2001 |ISBN=978-0-8050-7134-4}}
* {{Literatur |Autor=Libby Schweber |Titel=Disciplining Statistics. Demography and Vital Statistics in France and England, 1830/1885 |Verlag=Duke University Press |Ort=Durham |Datum=2006 |ISBN=0-8223-3814-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Stephen M. Stigler]] |Titel=Statistics on the Table. The History of Statistical Concepts and Methods |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge / London |Datum=1999 |ISBN=0-674-00979-7}}
* {{Literatur |Autor=Stephen M. Stigler |Titel=The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900 |Verlag=Harvard University Press |Ort=Cambridge, Ma. |Datum=1990 |ISBN=0-674-40340-1}}
* {{Literatur |Autor=Stephen M. Stigler |Titel=The Seven Pillars of Statistical Wisdom |Verlag= Harvard University Press| Ort=Cambridge, Ma. |Jahr=2016 |ISBN=978-0-6740-8891-7}}
;Historische Texte
* {{Literatur |Autor=Joseph C. Bisinger |Titel=Vergleichende Darstellung der Grundmacht oder der Staatskräfte aller europäischen Monarchien und Republiken| Verlag=C.A.Hartleben |Ort=Pesth und Wien |Datum=1823 |Online=http://www.archive.org/details/vergleichendedar00bisiuoft}}

===Populärliteratur===
* {{Literatur |Autor=[[Jörg Bewersdorff]] |Titel=Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2018 |ISBN=978-3-658-21764-8 |DOI=10.1007/978-3-658-21765-5 |Auflage=7., verbesserte und erweiterte Auflage}}
* [[Gerd Bosbach]], [[Jens Jürgen Korff]]: ''Die Zahlentrickser. Das Märchen von den aussterbenden Deutschen und andere Statistiklügen.'' Heyne, München 2017, ISBN 978-3-453-20132-3.
* {{Literatur |Autor=[[Walter Krämer (Ökonom)|Walter Krämer]] |Titel=So lügt man mit Statistik |Verlag=Campus |Ort=Frankfurt |Datum=1997 |ISBN=3-593-35689-9 |Auflage=7}}
* {{Literatur |Autor=Steven D. Levitt, Stephen J. Dubner |Titel=Freakonomics. Überraschende Antworten auf alltägliche Lebensfragen |Verlag=Riemann |Ort=München |Datum=2006 |ISBN=978-3-570-50064-4}}

== Methodische Teilgebiete ==

===Mathematische Statistik===
;''Deutsch''
* {{Literatur |Autor=[[Oskar Anderson|Oskar N. Anderson]] |Titel=Einführung in die Mathematische Statistik |Verlag=Springer |Ort=Wien |Datum=1935 |ISBN=978-3-7091-5873-9 |DOI=10.1007/978-3-7091-5923-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Marek Fisz]] |Titel=Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Reihe=[[Hochschulbücher für Mathematik]] |BandReihe=40 |Auflage=11 |Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=978-3-326-00079-4}}
* {{Literatur |Autor=Ludger Rüschendorf |Titel=Mathematische Statistik |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-41996-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Hermann Witting]] |Titel=Mathematische Statistik I. Parametrische Verfahren bei festem Stichprobenumfang |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1985 |ISBN=3-519-02026-2 |DOI=10.1007/978-3-322-90150-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Hermann Witting]], [[Ulrich Müller-Funk]] |Titel=Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1995 |ISBN=978-3-322-90153-8 |DOI=10.1007/978-3-322-90152-1}}
;''Englisch''
* {{Literatur |Autor=Edward J. Dudewicz, Satya N. Mishra |Titel=Modern Mathematical Statistics |Reihe= Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1988 |ISBN=978-0471-81472-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Marek Fisz]] |Titel=Probability Theory and Mathematical Statistics |Verlag=Wiley |Ort=London |Datum=1963}}
* {{Literatur |Autor=Robert W. Keener |Titel=Theoretical statistics - topics for a core course |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2010 |ISBN=978-0-387-93838-7 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-0-387-93839-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl]] |Titel=Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-642-31083-6 |DOI=10.1007/978-3-642-31084-3 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-31084-3}}
* {{Literatur |Autor=Martin J. Wainwright|Titel=High-dimensional statistics - a non-asymptotic viewpoint |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge u.a. |Datum=2019 |ISBN=978-1-108-49802-9 |DOI=10.1017/9781108627771}}
====Asymptotik====
* {{Literatur |Autor=[[Lucien Le Cam]], Grace Lo Young |Titel=Asymptotics in Statistics - Some Basic Concepts |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-95036-2}}
* {{Literatur |Autor=Anirban DasGupta |Titel=Asymptotic Theory of Statistics and Probability |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-75970-8 |DOI=10.1007/978-0-387-75971-5}}
* {{Literatur |Autor=Pál Révész |Titel=Die Gesetze der Grossen Zahlen |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften |BandReihe=35 |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel |Datum=1980 |ISBN=978-3-0348-6941-6 |DOI=10.1007/978-3-0348-6940-9 |Kommentar=Originalausgabe: ''The Laws of Large Numbers'', Budapest 1967, übersetzt von Eva Vas }}
* {{Literatur |Autor=Robert J. Serfling |Titel=Approximation Theorems of Mathematical Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1980 |ISBN=0-471-21927-4}}
* {{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart |Titel=Asymptotic Statistics |Reihe=Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1998 |ISBN=978-0-521-78450-4}}

====Statistische Inferenz====
* {{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6}}
* {{Literatur |Autor=Robert V. Hogg, Elliot A. Tanis, Dale L. Zimmermann |Titel=Probability and Statistical Inference |Auflage=9. |Verlag=Pearson |Ort=Boston |Datum=2013 |ISBN=978-0-321-92327-1}}

* {{Literatur |Autor=Nitis Mukhopadhyay |Titel=Probability and Statistical Inference |Reihe=Statistics: Textbooks and Monographs |BandReihe=162 |Verlag=Dekker |Ort=New York / Basel |Datum=2000 |ISBN=0-8247-0379-0}}
* {{Literatur |Autor=Larry Wasserman |Titel=All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-1-4419-2322-6 |DOI= 10.1007/978-0-387-21736-9}}

====Statistische Schätzverfahren====
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Georg Casella |Titel=Theory of Point Estimation |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1998 |ISBN=0-387-98502-6}}

====Statistische Testverfahren====
Zu ''Multiplen Testverfahren'' siehe [[Portal:Statistik/Literatur#Multiples Testen |Spezialgebiete: Multiples Testen]], zu ''Nichtparametrischen Testverfahren'' siehe [[Portal:Statistik/Literatur#Nichtparametrische Statistik |Nichtparametrische Statistik]].
* {{Literatur |Autor=[[Herbert Büning]] |Titel=Robuste und Adaptive Tests |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin/New York |Datum=1991 |ISBN=3-11-012827-6}}
* {{Literatur |Autor=Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák, Pranab K. Sen | Titel=Theory of Rank Tests |Auflage = 2 |Verlag= Academic Press |Ort=San Diego et al. |ISBN=978-0-12-642350-1 |DOI=10.1016/B978-0-12-642350-1.X5017-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Joseph P. Romano |Titel=Testing Statistical Hypothesis |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2005 |ISBN=0-387-98864-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Joseph P. Romano |Titel=Testing Statistical Hypothesis |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2022 |ISBN=978-3-030-70577-0 |DOI=10.1007/978-3-030-70578-7 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-030-70578-7}} [In zwei fortlaufend paginierten Bänden, Volume I: ''Finite-sample-theory'', Volume II: ''Asymptotic Theory'']
* {{Literatur |Autor=[[Bernhard Rüger]] |Titel=Test- und Schätztheorie, Band I: Grundlagen |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=1999 |ISBN=3-486-23650-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernhard Rüger]] |Titel=Test- und Schätztheorie, Band II: Statistische Tests |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2002 |ISBN=3-486-25130-9}}
* ''Artikel und Buchkapitel''
** {{Literatur |Autor=George Casella, Roger L. Berger |Titel=Statistical Inference |Auflage=2 |Verlag=Duxbury |Ort=Pacific Grove |Datum=2002 |ISBN=0-534-24312-6 |Fundstelle= Kap. 8: ''Hypothesis Testing''}}
** {{Literatur |Autor=Ronald L. Wasserstein, Nicole A. Lazar | Titel=The ASA’s Statement on ''p''-Values: Context, Process, and Purpose |Sammelwerk=The American Statistician |Band=70 |Nummer=2 |Datum=2016 |Seiten=129–133 |DOI=10.1080/00031305.2016.1154108}}

====Multivariate Statistische Methoden====
* {{Literatur |Autor=[[Theodore Wilbur Anderson |T. W. Anderson]]|Titel=Introduction to Multivariate Statistical Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Jahr=2003| ISBN=978-0-471-36091-9}}
* {{Literatur |Hrsg=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Alfred Hamerle]], [[Gerhard Tutz]] |Titel=Multivariate Statistische Verfahren |Auflage=2 |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Jahr=1996 |ISBN=978-3-11-013806-1 |DOI=10.1515/9783110816020}}
* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Karl Härdle]], Léopold Simar |Titel=Applied Multivariate Statistical Analysis |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-17228-1}}
* {{Literatur |Autor=K. V. Mardia, J. T. Kent und J. M. Bibby |Titel=Multivariate Analysis|Verlag=Academic Press |Ort=Amsterdam |Datum=1979 |ISBN=0-12-471252-5}}
* {{Literatur |Autor=Alvin C. Rencher, William F. Christensen |Titel=Methods of Multivariate Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-0-470-17896-6}}
* {{Literatur |Autor=Donald F. Morrison |Titel=Multivariate Statistical Methods |Auflage=4 |Verlag=Brooks/Cole |Ort=Belmont |Datum=2005 |ISBN=0-534-38778-0}}

====[[Nichtparametrische Statistik]]====
* {{Literatur |Autor=[[Herbert Büning]], [[Götz Trenkler]] |Titel=Nichtparametrische Statistische Methoden |Verlag=Walter de Gruyter |Auflage= 2. völlig neu bearbeitete Auflage |Ort=Berlin / New York |Datum=1994 |ISBN=3-11-013860-3 |DOI=10.1515/9783110902990}}
* {{Literatur |Autor=W. J. Conover |Titel=Practical Nonparametric Statistics |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=1999 |ISBN=0-471-16068-7}}
* {{Literatur |Autor=Thorsten Dickhaus |Titel=Theory of Nonparametric Tests |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2018 |ISBN=978-3-319-76314-9 |DOI=10.1007/978-3-319-76315-6 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-319-76315-6}}
* {{Literatur |Autor=Jean Dickinson Gibbons, Subhabrata Chakraborti |Titel=Nonparametric Statistical Inference |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Auflage=5 |Ort=Boca Raton |Datum=2010 |ISBN=978-1-4200-7761-2}}
* {{Literatur |Autor=Jean Dickinson Gibbons, Subhabrata Chakraborti |Titel=Nonparametric Statistical Inference |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Auflage=6 |Ort=Boca Raton |Datum=2021 |ISBN=978-1-315-11047-9| DOI=10.1201/9781315110479}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich L. Lehmann]] |Titel=Nonparametric Statistical Methods based on Ranks |Verlag=Prentince-Hall |Ort=Upper Saddle River |Datum=1975}}
* {{Literatur |Autor=[[Gottfried E. Noether]] |Titel=Introduction to Statistics – The Nonparametric Way |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |Datum=1991 |ISBN=978-1-4612-6955-7 |DOI=10.1007/978-1-4612-0943-0}}

=== Stichproben aus endlichen Grundgesamtheiten ===
Dieses Teilgebiet der Statistik, das auch als ''Survey-Statistik'' bezeichnet wird, wird typischerweise in Standardwerken der mathematischen Statistik nicht behandelt.

;''Deutsch''
* {{Literatur |Autor=[[Göran Kauermann]], [[Helmut Küchenhoff]] |Titel=Stichproben – Methoden und praktische Umsetzung mit R |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-12317-7|DOI=10.1007/978-3-642-12318-4|Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-12318-4}}
* {{Literatur |Autor=Bernd Leiner |Titel=Stichprobentheorie: Grundlagen, Theorie und Technik |Verlag=Oldenbourg| Ort=München |Auflage=3 |Datum=1989 |DOI=10.1515/9783486785869}}
* {{Literatur |Autor=[[Günter Menges (Ökonom) |Günter Menges]] |Titel=Stichproben aus endlichen Gesamtheiten – Theorie und Technik – Ein Beitrag zur Methodenlehre der Statistik |Reihe=Frankfurter wissenschaftliche Beiträge, Kulturwissenschaftliche Reihe |BandReihe=19 |Verlag=Vittorio Klostermann |Ort= Frankfurt am Main |Datum=1959 |DNB=453305881}}
* {{Literatur |Autor=[[Fritz Pokropp]] |Titel=Stichproben – Theorie und Verfahren |Verlag= Oldenbourg |Ort=München |Auflage=2 |Datum=1996 |ISBN=3-486-23856-6}}
* {{Literatur |Autor=Andreas Quatember |Titel=Datenqualität in Stichprobenerhebungen – Eine verständnisorientierte Einführung in die Survey-Statistik |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=3 |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-60273-7 |DOI=10.1007/978-3-662-60274-4 |Kommentar=EBook-ISBN 978-3-662-60274-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Stenger]] |Titel=Stichprobentheorie| Verlag=Physica-Verlag |Ort=Würzburg / Wien |Datum=1971 |ISBN=978-3-7908-0011-1 }}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Stenger]] |Titel=Stichproben: Verfahren und Grundlagen| Verlag=Physica-Verlag |Ort=Heidelberg / Wien |Datum=1986 |ISBN=978-3-7908-0319-8 |DOI=10.1007/978-3-642-61651-8 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-61651-8}}

;''Englisch''
* {{Literatur |Autor=Arijit Chaudhuri |Titel=Modern Survey Sampling| Verlag=CRC Press |Ort=Boca Raton / London / New York |Datum=2014 |ISBN=978-1-4665-7260-7}}
* {{Literatur |Autor=Arijit Chaudhuri, [[Horst Stenger]] |Titel=Survey Sampling – Theory and Methods| Verlag=CRC Press |Ort=New York |Auflage=2 |Datum=2005 |ISBN=978-1-4665-7260-7}}
* {{Literatur |Autor=Wayne A. Fuller |Titel=Sampling Statistics |Reihe=Wiley Series in Survey Methodology |BandReihe=560 |Ort=Hoboken |Datum=2009 | ISBN=978-0-470-45460-2 |DOI=10.1002/9780470523551}}
* {{Literatur |Autor=Sharon L. Lohr |Titel=Sampling: Design and Analysis |Verlag=Brooks/Cole |Ort=Boston |Auflage=2 |Datum=2010 |ISBN=978-0-495-10527-5}}
* {{Literatur |Autor=Sharon L. Lohr |Titel=Sampling: Design and Analysis |Verlag=Chapman & Hall |Ort=Boca Raton |Auflage=3 |Datum=2022 |ISBN=978-0-367-27950-9}}
* {{Literatur |Autor=Steven K. Thompson |Titel=Sampling |Verlag=Wiley |Ort=New York |Auflage=3 |Datum=2012 |ISBN=978-1-118-16294-1}}
* {{Literatur |Autor=Changboa Wu, Mary E. Thompson |Titel=Sampling Theory and Practice |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2020 |ISBN=978-3-030-44392-4 |DOI=10.1007/978-3-030-44246-0}}

;''Artikel und Buchkapitel''
* {{Literatur |Autor=Herbert Basler |Titel=Zur Definition von Zufallsstichproben aus endlichen Grundgesamtheiten| Sammelwerk=Metrika |Band=26 |Seiten=219–236| Datum=1979 |DOI=10.1007/BF01893490}}
* {{Literatur |Autor=Günter Menges, Heinz J. Skala |Titel=Grundriß der Statistik. Teil 2: Daten |Verlag=Westdeutscher Verlag |Ort=Opladen |Datum=1973 |ISBN=3-531-11093-4 |Fundstelle= Kap. 3 ''Datengewinnung: Beobachtungen'', S. 85–135}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Rinne]] |Titel=Taschenbuch der Statistik |Verlag=Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2008 | Auflage=4 |ISBN=978-3-8171-1827-4| Fundstelle= Teil D, Kap. 4: ''Stichprobentheorie'', S. 721–736}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Stenger]] |Titel=Mehrstufige Auswahlverfahren| Sammelwerk= Metrika |Band=21 |Seiten=7–18| Datum=1974 |DOI=10.1007/BF01893889}}
*{{Literatur |Autor= [[Leopold Schmetterer]] |Titel=Zur Theorie der Stichproben aus endlichen Gesamtheiten |Hrsg=[[Kurt Schröder (Mathematiker)|Kurt Schröder]] |Sammelwerk=Internationale Tagung über mathematische Statistik und ihre Anwendungen |Seiten=117–120 |Verlag=Akademie-Verlag |Datum=1964 |DOI=10.1515/9783112648889-027}}

===Statistische Berechnungen===
* {{Literatur |Herausgeber=James E. Gentle, [[Wolfgang Karl Härdle|Wolfgang Härdle]], Yuichi Mori |Titel=Handbook of Computational Statistics. Concepts and Methods |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2004 |ISBN=978-3-540-40464-4}}

;R
* {{Literatur |Autor=Dubravko Dolić |Titel=Statistik mit R – Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler |Verlag=Oldenbourg |Ort=München / Wien |Datum=2004 |ISBN=3-486-27537-2}}
* {{Literatur |Autor=Günter Faes |Titel=Einführung in R – Ein Kochbuch zur statistischen Datenanalyse mit R |Verlag=BoD |Ort=Norderstedt |Datum=2007 |ISBN=978-3-8334-9184-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernd Heesen]] |Titel=Data Science und Statistik mit R: Anwendungslösungen für die Praxis |Verlag=Springer-Gabler |Ort=Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-658-34824-3}}
* {{Literatur |Autor=Uwe Ligges |Titel=Programmieren mit R |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=3 |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-79997-9 |DOI=10.1007/978-3-540-79998-6 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-540-79998-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Lothar Sachs]], Jürgen Hedderich |Titel= Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R |Auflage=17 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-62293-3 |DOI=10.1007/978-3-662-62294-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Rainer Schlittgen]] |Titel=Das Statistiklabor – R leicht gemacht. | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2009 |ISBN=978-3-642-01838-1}}
* {{Literatur |Autor=John Verzani |Titel= Using R for Introductory Statistics |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2014 | Auflage=2 |ISBN=978-1-4665-9073-1}}

;SPSS
* {{Literatur |Autor=Achim Bühl|Titel= SPSS. Einführung in die moderne Datenanalyse ab SPSS 25
|Verlag=Pearson Studium |Ort=|Datum=2018 | Auflage=16 |ISBN=978-3-86894-371-9}}

===Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen===
Hier finden sich Bücher auf einem gemäßigten mathematischen Niveau und solche, die sich explizit an Statistiker richten. Für weitere Bücher zur Wahrscheinlichkeitstheorie, oft mit gehobenem mathematischen Niveau, siehe Abschnitt [[Portal:Statistik/Literatur#Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie|Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie]].
;Deutsch
* {{Literatur |Autor=S. Goldberg |Titel=Die Wahrscheinlichkeit |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig |Datum=1960 |ISBN=978-3-663-01040-1 |DOI=10.1007/978-3-663-02953-3}}
*{{Literatur |Autor=[[Norbert Henze]] |Titel=Stochastik: Eine Einführung mit Grundzügen der Maßtheorie |Verlag=Springer Spektrum | Ort=Berlin |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-59562-6 |DOI=10.1007/978-3-662-59563-3}}
*{{Literatur |Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung mit Beispielen und Anwendungen |Auflage= 2. überarbeitete Auflage |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag | Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0969-8}}
*{{Literatur |Autor=[[Ulrich Krengel]] |Titel=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |TitelErg=Für Studium, Berufspraxis und Lehramt |Auflage=8., erweiterte Auflage |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Jahr=2005 |ISBN=3-8348-0063-5 |DOI=10.1007/978-3-663-09885-0 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-663-09885-0}}
* {{Literatur |Autor=René L. Schilling |Titel=Wahrscheinlichkeit – Eine Einführung für Bachelor-Studenten |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Jahr=2017 |ISBN=978-3-11-035065-4 |DOI=10.1515/9783110350661}}
* {{Literatur |Herausgeber=August Schmid, Wilhelm Schweizer |Titel=Lambacher-Schweizer: Stochastik Leistungskurs. Für die Sekundarstufe II |Verlag=Klett |Ort=Stuttgart |Datum=1999 |ISBN=3-12-739370-9}}
;Englisch
* {{Literatur |Autor=James Davidson |Titel=Stochastic Limit Theory – An Introduction for Econometricians |Reihe=Advanced Texts in Econometrics |HrsgReihe=[[Clive W. J. Granger|C. W. J. Granger]], G. E. Mizon |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Jahr=1994 |Auflage=1 |ISBN=0-19-877402-8}}
* {{Literatur |Autor=James Davidson |Titel=Stochastic Limit Theory – An Introduction for Econometricians |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Jahr=2021 |Auflage=2 |ISBN=978-0-19-284450-7 |Kommentar= E-Book-ISBN 978-0-19-265880-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Bruno de Finetti]] |Titel=Theory of Probability |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=1974 |ISBN=9-780-471-92611-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Bruno de Finetti]] |Titel=Theory of Probability |Band=2 |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=1975 |ISBN=0-471-92612-4}}
* {{Literatur |Autor=E.T. Jaynes, G. Larry Bretthors |Titel=Probability Theory: The Logic of Science: Principles and Elementary Applications (Vol 1) |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Jahr=2003 |ISBN=0-521-59271-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Jean Jacod]], Philip Protter |Titel=Probability Essentials | Auflage= 2. Aufl., zweiter korrigierter Druck |Verlag=Springer |Ort= Berlin / Heidelberg |Jahr=2004 |ISBN= 978-3-540-43871-7| DOI=10.1007/978-3-642-55682-1}}
* {{Literatur |Autor=Michael A. Proschan, Pamela A. Shaw| Titel=Essentials of Probability Theory for Statisticians |Verlag=CRC Press |Ort=Boca Raton |Datum=2016 |ISBN=978-1-4987-0419-9}}
* {{Literatur |Autor=Sidney I. Resnick |Titel=A Probability Path |Verlag=Birkhäuser |Ort=Boston / Basel / Berlin |ISBN=0-8176-4055-X |DOI=10.1007/978-0-8176-8409-9}}
* {{Literatur |Autor=René L. Schilling |Titel=Measure, Integral, Probability, & Processes – Probab(ilistically) the Theoretical Minimum| Verlag=Eigenverlag René L. Schilling |Ort=Dresden |Jahr=2021 |ISBN=979-8-5991-0488-9}}
* {{Literatur |Autor=Galen R. Shorack |Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=0-387-98953-6}}
* {{Literatur |Autor=Galen R. Shorack | Titel=Probability for Statisticians |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52206-7 |DOI=10.1007/978-3-319-52207-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Anatolij Skorochod|A. V. Skorokhod]] |Titel=Basic Principles and Applications of Probability Theory |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2005 |ISBN=978-3-642-08121-7 |DOI=10.1007/b137401}}
* {{Literatur |Autor=[[James Victor Uspensky|J. V. Uspensky]] |Titel=Introduction to Mathematical Probability |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York /London |Datum=1937 |Online=https://ia801407.us.archive.org/17/items/in.ernet.dli.2015.263184/2015.263184.Introduction-To.pdf}}
* {{Literatur |Autor=Peter Whittle| Titel=Probability via Expectation |Reihe=Springer Texts in Statistics |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2000 |ISBN=978-1-4612-6795-9 |DOI=10.1007/978-1-4612-0509-8}}

=== Spezialgebiete ===
Hier finden sich methodische Spezialgebiete. Für Anwendungen der Statistik in inhaltlichen Bereichen siehe Abschnitt [[Portal:Statistik/Literatur#Anwendungsbereiche|Anwendungsbereiche]].

==== Ausreißer ====
* {{Literatur |Autor=Vic Barnett, Toby Williams |Titel=Outliers in Statistical Data |Auflage=3 |Reihe=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=1994 |ISBN=0-471-93094-6}}

==== Bayessche Netze ====
* {{Literatur |Autor=Marco Scutari, Jean-Baptiste Denis |Titel=Bayesian Networks – Withs Examples in R |Auflage=2 |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2022 |ISBN=978-0-367-36651-3}}

==== Bayessche Statistik ====
* {{Literatur |Autor=Andrew Gelman, John B. Carlin, Hal S. Stern, David B. Dunson, Aki Vehtari, Donald R. Rubin |Titel=Bayesian Data Analysis |Auflage=3 |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2014 |ISBN=978-1-4398-4095-5}}

==== Extremwerttheorie ====
* {{Literatur |Autor=Paul Embrechts, Thomas Mikosch, [[Claudia Klüppelberg]] |Titel=Modelling extremal events |Reihe=Stochastic Modelling and Applied Probability |BandReihe=33 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum= 1997 |ISBN=3-540-60931-8 |DOI=10.1007/978-3-642-33483-2}}
* {{Literatur |Autor=Laurens de Haan, Ana Ferreira |Titel=Extrem Value Theory. An Introduction |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-1-4419-2020-1 |DOI=10.1007/0-387-34471-3}}
* {{Literatur |Autor=Sidney I. Resnick |Titel=Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes|Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-75952-4}}
* {{Literatur |Autor=R.-D. Reiss, M. Thomas |Titel=Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields |Verlag=Birkhäuser|Auflage = 3 |Ort=Basel / Bosten / Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-7643-7230-9}}

==== Monte-Carlo-Methoden, Simulation ====
* {{Literatur |Autor=Luc Devroye |Titel=Non-Uniform Random Variate Generation |Verlag =Springer |Ort=New York |Datum=1986 |ISBN=0-387-96305-7 |DOI=10.1007/978-1-4613-8643-8 |Online=http://luc.devroye.org/nonuniformrandomvariates.zip Zip-Datei aller Buchkapitel}}
* {{Literatur |Autor=George S. Fishman |Titel=Monte Carlo –Concepts, Algorithms, and Applications |Reihe=Springer Series in Operations Research |Verlag=Springer |Ort=New York / Berlin / Heidelberg |Datum=1996 |ISBN=0-387-94527-X |DOI=10.1007/978-1-4757-2553-7}}
* {{Literatur |Autor=Christian P. Robert, George Casella |Titel=Monte Carlo Statistical Methods |Auflage=2 |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Datum=2004 |ISBN=0-387-21239-6 |DOI=10.1007/978-1-4757-4145-2}}

==== Multiples Testen ====
* {{Literatur |Autor=Alexei Dimitrenko, Jason C. Hsu |Titel=Multiple Testing in Clinical Trials |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |Seiten=5111–5117 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 |DOI=10.1002/0471667196}}
* {{Literatur |Autor=Jason C. Hsu |Titel=Multiple Comparisons – Theory and Methods |Verlag=Chapman and Hall |Ort=London |Datum=1996 |ISBN=9780412982811 |DOI=10.1201/b15074 |Kommentar=E-Book-ISBN 9780429170874}}
* {{Literatur |Autor=[[Erich Leo Lehmann|E. L. Lehmann]], Joseph P. Romano |Titel=Testing Statistical Hypothesis |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2022 |ISBN=978-3-030-70577-0 |DOI=10.1007/978-3-030-70578-7 |Fundstelle=Chapter 9: Multiple Testing and Simultaneous Inference |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-030-70578-7}}
* {{Literatur |Autor=Bernhard Rüger |Titel=Test- und Schätztheorie, Band II: Statistische Tests |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2002 |ISBN=3-486-25130-9 |Fundstelle= Abschnitt 3.3.7: Multiple Testverfahren }}
* {{Literatur |Titel=Handbook of Multiple Comparisons |Hrsg=Xinping Ciu, Thorsten Dickhaus, Ying Ding, Jason C. Hsu |Verlag=Chapman and Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2021 |ISBN=978-0-367-14067-0| DOI=10.1201/9780429030888 |Kommentar=E-Book-ISBN: 978-0-429-03088-8}}
* Artikel
** {{Literatur |Autor=Ralf Bender, St. Lange, A. Ziegler |Titel=Multiples Testen |TitelErg=Artikel Nr. 12 der Statistik-Serie in DMW |Sammelwerk=Deutsche Medizinische Wochenschrift |Datum=2002 |Band=127 |Seiten=T4–T7 |Online=https://www.thieme-connect.de/products/ejournals/pdf/10.1055/s-2002-32816.pdf}}
** {{Literatur |Autor=Yoav Benjamini, D. Yekutieli |Titel=The control of the false discovery rate in multiple testing under dependency |Sammelwerk=Annals of Statistics |Datum=2001 |Band=28 |Seiten=1165–1189}}
** {{Literatur |Autor=Yoav Benjamini, Yosef Hochberg |Titel=Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing |Sammelwerk=Journal of the Royal Statistical Society Series B |Datum=1995 |Band=57 |Seiten=289–300 |Online=http://www.math.tau.ac.il/~ybenja/MyPapers/benjamini_hochberg1995.pdf}}
** {{Literatur |Autor=Yosef Hochberg |Titel=A sharper Bonferroni procedure for multiple test of significance |Sammelwerk=Biometrika |Datum=1988 |Band=75 |Seiten=800–802}}
** {{Literatur |Autor=Mark Rubin |Titel=When to adjust alpha during multiple testing: a consideration of disjunction, conjunction, and individual testing |Sammelwerk=Synthese |Datum=2021 |Band=199 |Seiten=10969–11000 |DOI=10.1007/s11229-021-03276-4}}
** {{Literatur |Autor=R. J. Siemes |Titel=An improved Bonferroni procedure for multiple test of significance |Sammelwerk=Biometrika |Datum=1986 |Band=73 |Seiten=751–754}}
** {{Literatur |Autor=Anja Victor, Amelie Elsäßer, Gerhard Hommel, Maria Blettner |Titel=How to Contend With The Problem of Multiple Testing |TitelErg=Part 10 of a Series on Evaluation of Scientic Publications |Sammelwerk=Deutsches Ärzteblatt International |Datum=2010 |Band=107 |Nummer=4 |Seiten=50–56 |DOI=10.3238/arztebl.2010.0050 |Online=https://www.aerzteblatt.de/int/archive/article/67552 |Kommentar=Deutsche Fassung: ''Wie bewertet man die p-Wert-Flut? Hinweise zum Umgang mit dem multiplen Testen''. Teil 10 der Serie zur Bewertung wissenschaftlicher Publikationen, [https://www.aerzteblatt.de/archiv/67473/Wie-bewertet-man-die-p-Wert-Flut-Hinweise-zum-Umgang-mit-dem-multiplen-Testen-Teil-10-der-Serie-zur-Bewertung-wissenschaftlicher-Publikationen aerzteblatt.de]}}
* [[Graue Literatur]]
** {{Literatur |Autor=Thorsten Dickhaus |Titel=Multiples Testen – Skript zur Lehrveranstaltung |Hrsg=Universität Bremen, Institut für Statistik |Ort=Bremen |Datum=2022 |Kommentar=Version: 8. April 2022 |Online=http://www.math.uni-bremen.de/~dickhaus/downloads/skript-multiple-tests-SoSe2022.pdf |Abruf=2023-01-11}}

==== Mustererkennung ====
* {{Literatur |Autor=Christopher M. Bishop |Titel=Neural Networks for Pattern Recognition |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Datum=1995 |ISBN=0-198-53864-2}}
* {{Literatur |Autor=Brian D. Ripley |Titel=Pattern Recognition and Neural Networks |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2008 |ISBN=0-521-71770-1}}

==== Räumliche Statistik ====
* {{Literatur |Autor=Jörg Benndorf |Titel=Angewandte Geodatenanalyse und -Modellierung – Eine Einführung in die Geostatistik für Geowissenschaftler und Geoingenieure |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-39980-1 |DOI=10.1007/978-3-658-39981-8}}
* {{Literatur |Autor=Kanti Mardia, John Kent |Titel=Spatial Analysis |Verlag=John Wiley & Sons |Jahr=2022 |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |ISBN=9781118763551 |DOI=10.1002/9781118763551}}
* {{Literatur |Autor=Michael Leonhard Stein |Titel=Interpolation of Spatial Data – Some Theory for Kriging |Reihe=Springer Series in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1999 |ISBN=978-1-4612-7166-6 |DOI=10.1007/978-1-4612-1494-6}}

==== Regression ====
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]] |Titel=Regression – Modelle, Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-33932-8 |DOI=10.1007/978-3-540-33933-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang |Titel=Regression – Modelle, Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort= Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2009 |Auflage=2 |ISBN=978-3-642-01836-7 |DOI=10.1007/978-3-642-01837-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang, Brian D. Marx |Titel=Regression – Models, Methods and Applications |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-34332-2 |DOI=10.1007/978-3-642-34333-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang, Brian D. Marx |Titel=Regression – Models, Methods and Applications |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2021 |Auflage=2 |ISBN=978-3-658-00829-1 |DOI=10.1007/978-3-662-63882-8}}
* {{Literatur |Autor=David M. Hosmer, Stanley Lemeshow, Rodney X. Sturdivant |Titel=Applied Logistic Regression |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2013 |Auflage=3 |ISBN=978-0-470-58247-3 |DOI=10.1002/9781118548387}}
* {{Literatur |Autor=Charles E. McCulloch, Shayle R. Searle, John M. Neuhaus |Titel= Generalized, Linear, and Mixed Models |Auflage=2. |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag= Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2008}}
* {{Literatur |Autor=[[Fritz Pokropp]] |Titel=Lineare Regression und Varianzanalyse |Verlag=Oldenbourg |Ort= München / Wien |Datum=1994 |ISBN=3-486-22997-4 |DOI=10.1515/9783486786682}}
* {{Literatur |Autor=[[Helge Toutenburg]] |Titel=Lineare Modelle. Theorie und Anwendungen |Auflage=2., neu bearb. und erw. Aufl. |Verlag=Physica-Verlag |Ort=Heidelberg York |Datum=2002 |ISBN=978-3-7908-1519-1 |DOI=10.1007/978-3-642-57348-4 |Kommentar=Mit Beiträgen von Christian Heumann}}
* {{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Die Analyse kategorialer Daten – Anwendungsorientierte Einführung in Logit-Modellierung und kategoriale Regression |Verlag=Oldenbourg |Ort=München / Wien |Datum=2000 |ISBN=3-486-25405-7}}
* {{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Regression for Categorical Data |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2012 |ISBN=978-1-107-00965-3}}
* {{Literatur|Autor=[[Gerhard Tutz]] |Titel=Modelle für kategoriale Daten mit ordinalem Skalenniveau – Parametrische und nonparametrische Ansätze |Verlag=Vandenhoeck & Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1990 |ISBN=3-525-11268-8}}

==== Risikoquantifizierung ====
* {{Literatur |Autor=Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch |Titel=Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-49406-6 |DOI=10.1007/978-3-662-49407-3}}
* {{Literatur |Autor=Claudia Cottin, Sebastian Döhler |Titel=Risikoanalyse – Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |Auflage=2 |ISBN=978-3-658-00829-1 |DOI=10.1007/978-3-658-00830-7}}
* {{Literatur |Autor=Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, Rob Kass |Titel=Actuarial Theory for Dependent Risks – Measures, Orders and Models |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2005 |ISBN=978-0-470-01492-9}}
* {{Literatur |Autor=Steffi Höse, [[Stefan Huschens]] |Titel=Ereignisrisiko – Statistische Verfahren und Konzepte zur Risikoquantifizierung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64690-8 |DOI=10.1007/978-3-662-64691-5}}
* {{Literatur |Autor=Philippe Jorion |Titel=Value at Risk – The New Benchmark for Managing Financial Risk |Auflage=3. |Verlag= McGraw Hill |Datum=2007 |ISBN=978-0-07-146495-6}}
* {{Literatur |Autor=Rob Kaas, Marc Goovaerts, Jan Dhaene, Michael Denuit |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |TitelErg=Using R |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-70992-3 |DOI=10.1007/978-3-540-70998-5}}
* {{Literatur |Autor=Alfred Müller, [[Dietrich Stoyan]] |Titel=Comparison Methods for Stochastic Models and Risks |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2002 |ISBN=978-0-471-49446-1}}
* {{Literatur |Autor=Georg Ch. Pflug, Werner Römisch |Titel=Modeling, Measuring and Managing Risk |Verlag=World Scientific |Ort=Singapore |Datum=2007 |ISBN=978-981-270-740-6}}

==== [[Robustheit]] ====
* {{Literatur |Autor=[[Herbert Büning]] |Titel=Robuste und Adaptive Tests |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin/New York |Datum=1991 |ISBN=3-11-012827-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Frank Hampel]], Elvezio M. Ronchetti, Peter J. Rousseeuw, Werner A. Stahel |Titel=Robust statistics. The approach based on influence functions |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2011 |ISBN=978-1-118-15068-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter J. Huber]], Elvezio M. Ronchetti |Titel=Robust Statistics |Auflage=2 |Verlag = Wiley |Ort=Hoboken |Datum=1986 |ISBN=978-0-470-12990-6}}
* {{Literatur |Autor=Ricardo A. Maronna, R. Douglas Martin, Victor J. Yohai |Titel=Robust Statistics – Theory and Methods |Reihe=Wiley Series in Probability and Statics |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2006 |ISBN=978-0-470-01092-1}}
* {{Literatur |Autor=Ricardo A. Maronna, R. Douglas Martin, Victor J. Yohai, Matías Salibián-Barrera |Titel=Robust Statistics – Theory and Methods (With R) |Reihe=Wiley Series in Probability and Statics |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2019 |ISBN=978-1-119-21468-7}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Robustheit statistischer Verfahren |Sammelwerk=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Seiten=338–343 |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1}}

==== Statistische Klassifikationsverfahren, Diskriminanzanalyse ====
* {{Literatur |Autor=K. V. Mardia, J. T. Kent und J. M. Bibby |Titel=Multivariate Analysis|Verlag=Academic Press |Ort=Amsterdam |Datum=1979 |ISBN=0-12-471252-5| Fundstelle= Kap. 11: Discrimant Analysis, S. 300-332}}
* {{Literatur |Autor=Alvin C. Rencher, William F. Christensen |Titel=Methods of Multivariate Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-0-470-17896-6 |Fundstelle=Kap. 8: Discriminant Analysis: Description of Group Separation, S. 281–308}}
* {{Literatur |Autor=Alvin C. Rencher, William F. Christensen |Titel=Methods of Multivariate Analysis |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-0-470-17896-6 |Fundstelle=Kap. 9: Classification Analysis: Allocation of Observations to Groups, S. 309–337}}

==== Statistisches Lernen ====
* {{Literatur |Autor=Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman |Titel=The Elements of Statistical Learning – Data Mining, Inference, and Prediction |Auflage=2. |Reihe=Springer Series in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2009 |ISBN=978-0-387-84857-0 |DOI=10.1007/978-0-387-84858-7}}
* {{Literatur |Autor=Garet James, Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani |Titel=An Introduction to Statistical Learning with Applications in R |Auflage=2. |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2021 |ISBN=978-1-0716-1417-4 |DOI=10.1007/978-1-0716-1418-1 |Kommentar=Ohne Literaturverzeichnis und Quellenangaben}}

==== Zeitreihenanalyse ====
Zu den wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen der Zeitreihenanalyse siehe Abschnitt [[Portal:Statistik/Literatur#Stochastische Prozesse|Stochastische Prozesse]].
* {{Literatur |Autor=[[George E. P. Box]], Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel |Titel=Time Series Analysis – Forecasting and Control |Auflage=4 |Reihe=Wileys Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2008 |ISBN=978-0-470-27284-8}}
* {{Literatur |Autor=[[George E. P. Box]], Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel, Greta M. Ljung |Titel=Time Series Analysis – Forecasting and Control |Auflage=5 |Reihe=Wileys Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2015 |ISBN=978-1-118-67502-1}}
* {{Literatur |Autor=Peter J. Brockwell, Richard A. Davis |Titel=Introduction to Time Series and Forecasting | Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2002 |ISBN=978-0-387-95351-9 |DOI=10.1007/b97391}}
* {{Literatur |Autor=Peter J. Brockwell, Richard A. Davis |Titel=Introduction to Time Series and Forecasting | Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2016 |ISBN=978-3-319-29854-2 |DOI=10.1007/978-3-319-29854-2}}
* {{Literatur |Autor=Peter J. Brockwell, Richard A. Davis |Titel=Time Series: Theory and Methods | Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1991 |ISBN=0-387-97429-6 |DOI=10.1007/978-1-4419-0320-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Christian Gourieroux]], Alain Montfort |Titel=Time Series and Dynamic Models | Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1997 |ISBN=0-521-42308-2 |DOI=10.1017/CBO9780511628597}} (Französisch: ''Séries Temporelles et Modèles Dynamiques'', Economica, 1990)
* {{Literatur |Autor=[[James D. Hamilton]] |Titel=Time Series Analysis |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton |Datum=1994 |ISBN=978-0-691-04289-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Gebhard Kirchgässner]], [[Jürgen Wolters]], [[Uwe Hassler]] |Titel=Introduction to Modern Times Series Analysis |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=2. |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-33435-1 |DOI=10.1007/978-3-642-33436-8}}
* {{Literatur |Autor=Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus |Titel=Einführung in die Zeitreihenanalyse | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-25628-1 |DOI=10.1007/3-540-33571-4}}
* {{Literatur |Autor=Robert H. Shumway, David S. Stoffer |Titel=Time Series Analysis and Its Applications – With R Examples |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=New York/Dordrecht/Heidelberg/London |Datum=2011 |ISBN=978-1-4419-7864-6 |DOI=10.1007/978-1-4419-7865-3}}
* {{Literatur |Autor=Robert H. Shumway, David S. Stoffer |Titel=Time Series Analysis and Its Applications – With R Examples |Auflage=4 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-52451-1 |DOI=10.1007/978-3-319-52452-8}}

==== Zuverlässigkeitstheorie ====
* {{Literatur |Autor=Terje Aven, Uwe Jensen |Titel=Stochastic Models in Reliability |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=New York/Heidelberg/Dordrecht/London |Datum=2013 |ISBN=978-1-4899-9855-2 |DOI=10.1007/978-1-4614-7894-2}}

=== Randgebiete ===
==== Graphische Präsentation ====
* {{Literatur |Autor=Edward Tufte |Titel=Visual Explanations: Images and Quantities, Evidence and Narrative |Verlag=Graphics Press |Ort=USA |Datum=1997 |ISBN=0-961-39212-6}}
* {{Literatur |Autor=Edward Tufte |Titel=The Visual Display of Quantitative Information |Verlag=Graphics Press |Ort=USA |Datum=2001 |ISBN=0-961-39214-2}}
==== Maschinelles Lernen ====
* {{Literatur |Autor=Robert B. Gramacy |Titel=Surrogates – Gaussian Process Modeling, Design, and Optimization for the Applied Siences |Reihe=Texts in Statistical Science |Verlag=CRC Press |Ort=Boca Raton / London / New York |Datum=2020 |ISBN=978-1-03-224255-2|Online=https://bobby.gramacy.com/surrogates/surrogates.pdf}}
* {{Literatur |Autor=Carl Edward Rasmussen, Christopher K. I. Williams |Titel=Gaussian Processes for Machine Learning |Verlag=MIT Press |Ort=Cambridge / London |Datum=2006 |ISBN=0-262-18253-X |Online=http://www.gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf}}

==== Verallgemeinerungen des Wahrscheinlichkeitskonzeptes ====
* {{Literatur |Hrsg=Thomas Augustin, Frank P. A. Coolen, Gert de Cooman, Matthias C. M. Troffaes |Titel=Introduction to Imprecise Probabilities |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2014 |ISBN=978-0-470-97381-3}}
* {{Literatur |Autor=Peter Walley |Titel=Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities |Reihe= Monographs on Statistics and Applied Probability |BandReihe=42 |Verlag=Chapman and Hall |Ort=London |Datum=1991 |ISBN=0-412-28660-2}}
* {{Literatur |Autor=Anton Wallner |Titel=Beiträge zur Theorie der Intervallwahrscheinlichkeit: der Blick über Kolmogorov und Choquet hinaus |Reihe=Schriftenreihe Beiträge zur Mathematik |BandReihe=1 |Verlag=Kovač |Ort=Hamburg |Datum=2002 |ISBN=978-3-8300-0758-6 |Kommentar=Zugl. München, Univ., Diss. 2002}}
* {{Literatur |Autor=[[Kurt Weichselberger]] |Titel=Elementare Grundbegriffe einer allgemeineren Wahrscheinlichkeitsrechnung I – Intervallwahrscheinlichkeit als umfassendes Konzept | TitelErg= Unter Mitarbeit von Thomas Augustin und Anton Wallner |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2001 |ISBN=978-3-642-63304-1 |DOI= 10.1007/978-3-642-57583-9 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-57583-9}}

==Anwendungsbereiche==
===Biologie und Medizin===
* {{Literatur |Autor=Holger Behrendt, Klaus Runggaldier |Titel=Statistik für den Rettungsdienst. Eine allgemeine Einführung |Verlag=Stumpf und Kossendey |Ort=Edewecht |Datum=2005 |ISBN=3-938179-01-5}}
* {{Literatur |Autor=Jürg Hüsler, Heinz Zimmermann |Titel=Statistische Prinzipien für medizinische Projekte |Auflage=5., überarbeitete und erweiterte Auflage |Verlag=Hans Huber |Ort=Bern |Datum=2017 |ISBN=978-3-456-84868-6}}
* {{Literatur |Autor=Wilhelm Gaus, Rainer Muche |Titel=Medizinische Statistik – Angewandte Biometrie für Ärzte und Gesundheitsberufe |Auflage=2., überarbeitete Auflage |Verlag=Schattauer |Ort=Stuttgart |Datum=2017 |ISBN=978-3-7945-3241-4 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-7945-9072-8}}
* {{Literatur |Autor=Matthias Rudolf, Wiltrud Kuhlisch |Titel=Biostatistik. Eine Einführung für Bio- und Umweltwissenschaftler |Verlag=Pearson |Ort=München |Datum=2021 |ISBN=978-3-86894-404-4 |Auflage=2|Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-86326-300-3}}

===Geographie===
* {{Literatur |Autor=Gerhard Bahrenberg, Ernst Giese, Josef Nipper |Titel=Statistische Methoden in der Geographie |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1999 |ISBN=3-443-07101-5}}

=== Physik ===
* {{Literatur |Autor=[[Kurt Binder]], [[Dieter Heermann|Dieter W. Heermann]] |Titel=Monte Carlo Simulation in Statistical Physics – An Introduction |Reihe= Graduate Texts in Physics |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2019 |ISBN=978-3-030-10757-4 |DOI=10.1007/978-3-030-10758-1}}
===Sport===
* {{Literatur |Herausgeber=Jay Bennett |Titel=Statistics in Sport (Arnold Applications of Statistics Series) |Verlag=Arnold |Ort=London |Datum=1998 |ISBN=0-340-70072-6}}

===Technik===
* {{Literatur |Autor=Edgar Dietrich, Alfred Schulze |Titel=Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation |Verlag=Hanser |Ort=München |Datum=2003 |ISBN=3-446-22077-1 |Auflage=4}}
* {{Literatur |Autor=Volker Rausch |Titel=Bediensysteme der Instandhaltung: Eine Verknüpfung von mathematisch-statistischen Methoden und der Bedientheorie |Verlag=SVH Verlag |Ort=Saarbrücken |Datum=2010 |ISBN=3838114922}}

===Versicherungsmathematik===
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Versicherungsmathematik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=978-3-540-42731-5 |DOI=10.1007/978-3-662-10783-6}}
* {{Literatur |Autor=Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, Rob Kass |Titel=Actuarial Theory for Dependent Risks – Measures, Orders and Models |Verlag=Wiley |Ort=Chichester |Datum=2005 |ISBN=978-0-470-01492-9 |DOI=10.1002/0470016450}}
* {{Literatur |Autor=Rob Kaas, Marc Goovaerts, Jan Dhaene, Michael Denuit |Titel=Modern Actuarial Risk Theory |TitelErg=Using R |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-70992-3 |DOI=10.1007/978-3-540-70998-5}}

===Wirtschaftswissenschaften===
* {{Literatur |Autor=Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher |Titel=Statistik für Wirtschaftswissenschaftler |Verlag=Vahlen |Ort=München |Datum=2008 |ISBN=3-8006-3529-1 |Auflage=15}}
* {{Literatur |Autor=David M. Levine, David F. Stephan, Mark L. Berenson |Titel=Statistics for Managers Using Microsoft Excel |Verlag=Prentice Hall |Ort=Upper Saddle River/NJ |Datum=1999 |ISBN=0-13-021218-0}}
* {{Literatur |Autor=Paul Newbold, William L. Carlson, Betty Thorne |Titel=Statistics for Business and Economics |Verlag=Prentice Hall |Ort=Upper Saddle River/NJ |Datum=2006 |ISBN=0-132-20384-7 |Auflage=6}}
* {{Literatur |Autor=Volker Oppitz, [[Volker Nollau]] |Titel=Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung – quantitative Methoden der ökonomischen Analyse |Verlag=Hanser |Ort=Leipzig |Datum=2003 |ISBN=3-446-22463-7}}

====Entscheidungstheorie====
* {{Literatur |Autor=[[Günter Bamberg]], [[Adolf G. Coenenberg]], [[Michael Krapp]] |Titel=Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre |Auflage=16 |Verlag=Vahlen |Ort=München |Datum=2019 |ISBN=978-3-8006-5885-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Helmut Laux]], Robert M. Gillenkirch, Heike Y. Schenk-Mathes |Titel=Entscheidungstheorie |Auflage=10 |Verlag=Springer Gabler |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-57817-9 |DOI=10.1007/978-3-662-57818-6}}

====Finanzmarktstochastik und Risikomanagement====
* {{Literatur |Autor=Christian Bluhm, Ludger Overbeck, Christoph Wagner |Titel=Introduction to Credit Risk Modeling |Reihe=Financial Mathematics Series |Auflage=2. |Verlag=Chapman & Hall/CRC |Ort=Boca Raton / London / New York |Datum=2010 |ISBN=978-1-58488-992-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Ernst Eberlein]], Jan Kallsen |Titel=Mathematical Finance |Reihe=Springer Finance |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2019 |ISBN=978-3-030-26105-4 |DOI=10.1007/978-3-030-26106-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Hans Föllmer]], Alexander Schied |Titel=Stochastic Finance – An Introduction in Discrete Time |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin / Boston |Datum=2016 |Auflage=4. überarbeitete und erweiterte |ISBN=978-3-11-046344-6 |DOI=10.1515/9783110463453}} 
* {{Literatur |Autor=Frank Romeike, Manfred Stallinger |Titel=Stochastische Szenariosimulation in der Unternehmenspraxis – Risikomodellierung, Fallstudien, Umsetzung in R |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2021 |ISBN=978-3-658-34062-9 |DOI=10.1007/978-3-658-34063-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]], Mark Trede |Titel=Finanzmarktstatistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-27723-1}}

====Ökonometrie====
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig von Auer]] |Titel=Ökonometrie – Eine Einführung |Auflage=8. |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-42699-6 |DOI=10.1007/978-3-658-42700-9}}
* {{Literatur |Autor=Peter M. Schulze, Alexander Prinz, Andreas Schweinberger |Titel=Angewandte Statistik und Ökonometrie mit WinRATS |Verlag=Oldenbourg |Ort=München |Datum=2006 |ISBN=3-486-58033-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Jeffrey M. Wooldridge]] |Titel=Introductory Ecomometrics. A Modern Approach | Auflage = 4 | Verlag=South-Western |Ort = Mason  |Datum=2009 |ISBN=978-0-324-58548-3}}

====Wirtschaftsstatistik====
* {{Literatur |Autor=[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)|Oskar Anderson]], Werner Popp, Manfred Schaffranek, [[Horst Stenger]], Klaus Szameitat |Titel=Grundlagen der Statistik – Amtliche Statistik und beschreibende Methoden |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=195 | Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=2 |Datum=1988 |ISBN=978-3-540-18689-2 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-86898-6 |DOI=10.1007/978-3-642-86898-6}}
* {{Literatur |Autor=Horst Degen, Peter Lorscheid |Titel=Statistik-Lehrbuch – Methoden der Statistik im wirtschaftswissenschaftlichen Grundstudium. Mit Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik |Verlag=Oldenbourg Wissensch.Vlg |Datum=2002 |ISBN=3-486-27240-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Karl Mosler]], [[Friedrich Schmid (Statistiker) |Friedrich Schmid]] |Titel=Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik |Verlag=Springer |Ort= Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |Auflage=4 |ISBN=978-3-642-01556-4}}
* {{Literatur |Autor=Jürgen Stiefl |Titel=Wirtschaftsstatistik |Verlag=Oldenbourg Wissensch. Vlg |Datum=2006 |ISBN=3-486-58012-4}}

== Mathematische Grundlagen der Statistik ==
=== Analysis ===
* {{Literatur |Autor=[[Otto Forster]], Florian Lindemann |Titel=Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen |Reihe=Grundkurs Mathematik |Auflage=13. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-40129-0 |DOI=10.1007/978-3-658-40130-6}}
* {{Literatur |Autor= A. I. Khuri |Titel= Advanced Calculus with Applications in Statistics |Auflage=2. |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag= Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2003 |ISBN=0-471-39104-2}}

=== Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie ===
==== Allgemein ====
''Deutsch''
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie |Band=1 |Reihe=Sammlung Göschen |BandReihe=1216/1216a |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=1964}}
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Datum=2002 |ISBN=3-11-017236-4 |Auflage=5}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter Gänssler]], Winfried Stute |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1977 |ISBN=3-540-08418-5|DOI=10.1007/978-3-642-66749-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2020 |ISBN=978-3-662-62088-5 |Auflage=4., überarbeitete und ergänzte Auflage |DOI=10.1007/978-3-662-62089-2}}
* {{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}
* {{Literatur |Autor=David Meintrup, [[Stefan Schäffler]] |Titel=Stochastik – Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2005 |ISBN=3-540-21676-6 |DOI=10.1007/b137972}}
* {{Literatur |Autor=Ludger Rüschendorf |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Reihe=Springer Lehrbuch Masterclass |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-48936-9 |DOI=10.1007/978-3-662-48937-6}}
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9}}

''Englisch''
* {{Literatur |Autor=[[Krishna B. Athreya]], Soumendra N. Lahiri |Titel=Measure Theory and Probability Theory |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0387-32903-1 |DOI=10.1007/978-0-387-35434-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Patrick Billingsley]] |Titel=Convergence of Probability Measures |Auflage=2. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1999 |ISBN=0-471-19745-9 }}
* {{Literatur |Autor=[[Patrick Billingsley]] |Titel=Probability and Measure |Reihe=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |Auflage=3. |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1995 |ISBN=0-471-00710-2 |Auflage=3}}
* {{Literatur |Autor=[[Patrick Billingsley]] |Titel=Probability and Measure |Auflage= ''Anniversary Edition'' |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag=Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2012 |ISBN=978-1-118-12237-2 |Kommentar=inhaltsgleich zur dritten Auflage aus 1995, geänderter Seitenumbruch, andere Seitenzählung}}
* {{Literatur |Autor=[[Alexander Alexejewitsch Borowkow|Alexandr A. Borovkov]] |Titel=Probability Theory |Verlag=Springer-Verlag |Ort=London |Datum=2013 |ISBN=978-1-4471-5200-2 |Originalsprache=ru |Originaltitel=Teoriya Veroyatnostei, 5. Aufl., 2009 | Übersetzer= O. B. Borovkova und P. S. Ruzankin}}
* {{Literatur |Autor=[[Erhan Çinlar]] |Titel=Probability and Stochastics |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=261 |Verlag=Springer |Ort=Dordrecht / Heidelberg / London |Datum=2011 |ISBN=978-0-387-87858-4 |DOI=10.1007/978-0-387-87859-1}}
* {{Literatur |Autor=[[William Feller]] |Titel=An Introduction to Probability Theory and Its Applications |Band= I |Auflage=3 |Verlag=Wiley |Ort=New York / London / Sydney |Datum=1968 |ISBN=978-0-471-25708-0}}
* {{Literatur |Autor=[[William Feller]] |Titel=An Introduction to Probability Theory and Its Applications |Band = II |Auflage=2 |Verlag=Wiley |Ort=New York / London / Sydney / Toronto |Datum=1971 | ISBN=978-0-471-25709-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Olav Kallenberg]] |Titel=Foundations of Modern Probability |Reihe=Probability Theory and Stochastic Modelling |BandReihe=99 |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2021 |ISBN=978-3-030-61870-4 |DOI=10.1007/978-3-030-61871-1}}
* {{Literatur |Autor=Alan F. Karr |Titel=Probability |Verlag=Springer-Verlag |Ort=New York |Datum=1993 |ISBN=0387-94071-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-0891-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Michel Loève]] |Titel=Probability Theory I |Auflage=4. |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=45 |Verlag = Springer |Ort=New York |Datum=1977 |ISBN=978-0-387-90210-4 |DOI=10.1007/978-1-4684-9464-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Michel Loève]] |Titel=Probability Theory II |Auflage=4. |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=46 |Verlag = Springer |Ort=New York |Datum=1978 |ISBN=978-0-387-90262-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Daniel W. Stroock]] |Titel=Probability Theory - An Analytic View |Auflage=2. |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge / New York |Jahr=2010 |ISBN=978-0521132503 |DOI=10.1017/CBO9780511974243}}

==== Gauß-Maße ====
* {{Literatur | Autor=Daniel W. Stroock |Titel=Gaussian Measures in Finite and Infinite Dimensions |Reihe=Universitext |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-23121-6 |DOI=10.1007/978-3-031-23122-3}}

==== Gegenbeispiele ====
* {{Literatur |Autor=Joseph P. Romano, [[Andrew F. Siegel]] |Titel=Counterexamples in Probability and Statistics |Verlag=Chapman & Hall |Ort=New York / London |Datum=1986 |ISBN=0-412-98901-8}}
* {{Literatur |Autor=Jordan Stoyanov |Titel=Counterexamples in Probability |Verlag=John Wiley & Sons |Ort=Chichester |Datum=1997 |ISBN=0-471-96538-3 |Auflage=2}}
* {{Literatur |Autor=Jordan Stoyanov |Titel=Counterexamples in Probability |Reihe=Dover Books on Mathematics |Verlag=Dover Publications |Ort=New York |Datum=2013 |ISBN=978-0-486-49998-7 |Auflage=3}}
* {{Literatur |Autor=Gary L. Wise, Eric B. Hall |Titel=Counterexamples in Probability and Real Analyses |Verlag=Oxford University Press |Ort=New York |Datum=1993 |ISBN=0-19-507068-2}}

==== Grenzwertsätze ====
* {{Literatur |Autor=Valentin V. Petrov |Titel=Limit Theorems of Probability Theory – Sequences of Independent Random Variables |Reihe=Oxford Studies in Probability |BandReihe=4 |Verlag=Clarendon Press |Ort=Oxford |Datum=1995 |ISBN=0-19-853499-X}}

==== Stochastische Differentialgleichungen und stochastische Integration ====
* {{Literatur |Autor=Bernt Øksendal |Titel=Stochastic Differential Equations |TitelErg=An Introduction with Applications |Reihe=Universitext |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Jahr=2003 |ISBN=978-3-540-04758-2 |DOI=10.1007/978-3-642-14394-6 |Kommentar=6th corrected printing 2013}}
* {{Literatur |Autor=Philip E. Protter |Titel=Stochastic Integration and Differential Equations |Reihe= Stochastic Modelling and Applied Probability |BandReihe=21 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Jahr=2005 |ISBN=978-3-540-00313-7 |DOI=10.1007/978-3-662-10061-5 |Kommentar=corrected printing 2005}}

==== Stochastische Folgen ====
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Stochastische Folgen |TitelErg=Ein Proseminar mit Anwendungen in der Versicherungsmathematik |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-46175-4 |DOI=10.1007/978-3-662-46176-1}}

==== Stochastische Matrizen ====
* {{Literatur |Autor=Franz-Josef Fritz, [[Bertram Huppert]], Wolfgang Willems |Titel=Stochastische Matrizen |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1979 |ISBN=978-3-540-09126-4 |DOI=10.1007/978-3-642-67131-9|Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-642-67131-9}}

==== Stochastische Prozesse ====
* {{Literatur |Autor=Zwedisław Brezeźniak, Tomasz Zastawniak |Titel=Basic Stochastic Processes |Verlag=Springer |Ort= Berlin |Datum=1999 |ISBN=3-540-76175-6 |DOI=10.1007/978-1-4471-0533-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Joseph L. Doob]] |Titel=Stochastic Processes |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1953 |ISBN=978-0-471-52369-7}}
* {{Literatur |Autor=Harald Luschgy |Titel=Martingale in diskreter Zeit – Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=New York |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-29960-5| DOI=10.1007/978-3-642-29961-2}}
* {{Literatur |Autor=Sidney I. Resnick |Titel=Adventures in Stochastic Processes |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1992 |ISBN=978-1-4612-6738-6| DOI=10.1007/978-1-4612-0387-2}}
* {{Literatur | Autor=[[Daniel Revuz]], [[Marc Yor]] |Titel=Continuous Martingales and Brownian motion |Reihe=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |BandReihe=293 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1999 |ISBN=978-3-642-08400-3 |DOI=10.1007/978-3-662-06400-9 |Kommentar=Corrected 3rd printing 2005}}
* {{Literatur |Autor=Richard Serfozo |Titel=Basics of Applied in Stochastic Processes |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89331-8| DOI=10.1007/978-3-540-89332-5}}
* {{Literatur |Autor=Galen R. Shorack, Jon A. Wellner |Titel=Empirical Processes with Applications in Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1986 |Kommentar=Unveränderter Nachdruck: SIAM, Philadelphia 2009, ISBN 978-0-89871-684-9}}
* {{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart, Jon A. Wellner |Titel=Weak Convergence and Empirical Processes – With Applications to Statistics |Reihe= Springer Series in Statistics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1996 |ISBN=978-1-4757-2547-6 |DOI=10.1007/978-1-4757-2545-2}}
* {{Literatur |Autor=Aad W. van der Vaart, Jon A. Wellner |Titel=Weak Convergence and Empirical Processes – With Applications to Statistics |Reihe= Springer Series in Statistics |Auflage=2|Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-29038-1 |DOI=10.1007/978-3-031-29040-4}}

=== Maß- und Integrationstheorie ===
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Auflage=2., überarbeitete |Datum=1992 |ISBN=3-11-013626-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=Achte, erweiterte und aktualisierte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort= Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57938-1 |DOI=10.1007/978-3-662-57939-8}}

=== Matrix-Algebra ===
* {{Literatur |Autor=James E. Gentle |Titel=Matrix Algebra |TitelErg=Theory, Computations, and Applications in Statistics |Reihe=Springer Texts in Statistics |Verlag=Springer |Ort=Cham |Auflage=2 |Datum=2017 |ISBN=978-3-319-64866-8 |DOI=10.1007/978-3-319-64867-5 |Kommentar=E-Book-ISBN 978-3-319-64867-5}}
* {{Literatur |Autor=David A. Harville |Titel=Matrix Algebra from a Statistician’s Perspective |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1997 |ISBN=0-387-94978-X |DOI=10.1007/b98818 |Kommentar=Es gibt einen Nachdruck von 2008 mit kleineren Änderungen und geänderter Seitenzählung, der nicht als zweite Auflage ausgewiesen ist}}
* {{Literatur |Autor=David A. Harville |Titel=Matrix Algebra from a Statistician’s Perspective |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2008 |ISBN=978-0-387-78356-7 |DOI=10.1007/b98818 |Kommentar=Es gibt einen Vorläufer von 1997 mit abweichender Seitenzählung}}
* {{Literatur |Autor=Karsten Schmidt, [[Götz Trenkler]] |Titel=Einführung in die Moderne Matrix-Algebra – Mit Anwendungen in der Statistik |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Auflage=3 |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-46772-5 |DOI=10.1007/978-3-662-46773-2}}
;''Buchkapitel''
* {{Literatur |Autor=Phoebus J. Dhrymes |Titel=Mathematics for Econometrics |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2013 |Auflage=4 |ISBN=978-1-4614-8144-7 |DOI=10.1007/978-1-4614-8145-4_2 |Fundstelle= Kap. 2, ''Matrix Algebra'', S. 13–94}}

=== Verschiedene tangierende Gebiete ===

==== Funktionalanalysis ====
* {{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Funktionalanalysis – Theorie und Anwendungen |Reihe=Mathematische Leitfäden |Auflage=4. |Verlag=Teubner und Vieweg |Ort=Wiesbaden |ISBN=978-3-8351-0026-8}}
* {{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Reihe=Springer-Lehrbuch |Auflage=8., vollständig überarbeitete |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |ISBN=978-3-662-55406-7 |DOI=10.1007/978-3-662-55407-4}}

==== Geometrie ====
* {{Literatur |Autor= |Titel=Lectures on Polytopes |TitelErg=Corrected and updated printing |Reihe=[[Graduate Texts in Mathematics]] |BandReihe=152 |Verlag= Springer |Ort=New York / Heidelberg / Dordrecht / London |Datum=2007 |ISBN=978-0-387-94329-9 |DOI=10.1007/978-1-4613-8431-1}}
==== Konvexe Analysis ====
* {{Literatur |Autor=[[Ralph Tyrrell Rockafellar]] |Titel=Convex Analysis
|Reihe=Princeton Landmarks in Mathematics and Physics |BandReihe=30 |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton |Datum=1970 |ISBN=0-691-08069-0 |DOI=10.1515/97814008731738}}

==== Mathematisches Denken ====
* {{Literatur |Autor=Joachim Hilgert, Max Hoffmann, Anja Panse |Titel=Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten – tutoriell und transparent |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45511-1 |DOI=10.1007/978-3-662-45512-8}}

==== Mathematische Logik ====
* {{Literatur |Autor=[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]], Jörg Flum, Wolfgang Thum |Titel=Einführung in die mathematische Logik
|Auflage=6., überarbeitete und erweiterte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-58028-8 |DOI=10.1007/978-3-662-58029-5}}

* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Rautenberg]] |Titel=Einführung in die Mathematische Logik – Ein Lehrbuch |Verlag=Vieweg und Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2008 |ISBN=978-3-8348-0578-2 |DOI=10.1007/978-3-8348-9530-1}}

==== Mengenlehre ====
* {{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=Éléments de Mathematique – Théorie des ensembles |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-34034-8 |DOI=10.1007/978-3-540-34035-5 |Kommentar=Nachdruck der Originalausgabe Hermann, Paris 1970 |Sprache=fr}}

==== Operations Research ====
* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Domschke]], Andreas Drexl, Robert Klein, [[Armin Scholl (Wirtschaftswissenschaftler)|Armin Scholl]] |Titel=Einführung in Operations Research |Auflage=9., überarbeitete und verbesserte |Verlag=Springer Gabler |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-48215-5 |DOI=10.1007/978-3-662-48216-2}}

==== Optimierung ====
* {{Literatur |Autor=[[Rainer E. Burkard]], [[Uwe T. Zimmermann]] |Titel=Einführung in die mathematische Optimierung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-28672-8 |DOI=10.1007/978-3-642-28673-5}}
* {{Literatur |Autor=Winfried Hochstättler |Titel=Lineare Optimierung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-54424-2 |DOI=10.1007/978-3-662-54425-9}}
* {{Literatur |Autor=Florian Jarre, [[Josef Stoer]] |Titel=Optimierung |TitelErg=Einführung in mathematische Theorie und Methoden |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-58854-3 |DOI=10.1007/978-3-662-58855-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Dieter Jungnickel]] |Titel=Optimierungsmethoden – Eine Einführung
|Auflage=3., neu bearbeitete |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |ISBN=978-3-642-54820-8 |DOI=10.1007/978-3-642-54821-5}}

==== Reelle Funktionen ====
* {{Literatur |Autor=[[I. P. Natanson]] |Titel=Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen |Auflage=4. |Verlag= Harri Deutsch |Ort=Thun |Datum=1981 |ISBN=3-87144-217-8 |Kommentar=Unveränderter Nachdruck der 4. Aufl., Akademie-Verlag, Berlin 1975}}

== Sammelwerke ==
=== Zeitschriften ===
* [[Liste statistischer Zeitschriften]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Statistikzeitschriften, allgemein|Statistikzeitschriften, allgemein]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Statistikzeitschriften bezogen auf methodische Teilgebiete|Statistikzeitschriften bezogen auf methodische Teilgebiete]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Statistikzeitschriften bezogen auf Anwendungsbereiche|Statistikzeitschriften bezogen auf Anwendungsbereiche]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Zeitschriften aus Nachbargebieten mit Statistikbezug|Zeitschriften aus Nachbargebieten mit Statistikbezug]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Monographische Statistikreihen|Monographische Statistikreihen]]
** [[Liste statistischer Zeitschriften#Monographische Reihen aus Nachbargebieten mit Statistikbezug|Monographische Reihen aus Nachbargebieten mit Statistikbezug]]

=== Sammelbände ===

* {{Literatur |Titel=Contributions to Probability and Statistics |TitelErg=Essays in Honor of [[Harold Hotelling]] |Hrsg=[[Ingram Olkin]], Sudhist G. Ghurye, [[Wassily Hoeffding]], William G. Madow, [[Henry Mann|Henry B. Mann]] |Verlag=Stanford University Press |Ort=Stanford |Reihe=Stanford Studies in Mathematics and Statistics |BandReihe=2 |Datum=1960 |ISBN=978-0-8047-0596-7 |Kommentar=Enthält u. a. eine Bibliographie von Harold Hotelling und einen häufig zitierten Artikel von [[Howard Levene]]}}
* {{Literatur |Hrsg=[[Horst Rinne]], [[Bernhard Rüger]], [[Heinrich Strecker (Mathematiker)|Heinrich Strecker]] |Titel=Grundlagen der Statistik und ihre Anwendungen – Festschrift für [[Kurt Weichselberger]]|Verlag= Physica-Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=1995 |ISBN=3-7908-0872-5}}

== Artikel ==

=== [[Sankt-Petersburg-Paradoxon]] ===
* {{Literatur |Autor=[[Daniel Bernoulli]] |Titel=Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk |Sammelwerk=Econometrica |Band=22 |Datum=1954 |Seiten=23–36 |DOI=10.2307/1909829 |Kommentar=Übersetzung aus dem Lateinischen}}
* {{Literatur |Autor=Daniel Bernoulli |Titel=Versuch einer neuen Theorie der Wertbestimmung von Glücksfällen (Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis) |Reihe=Sammlung älterer und neuerer staats-wissenschaftlicher Schriften des In- und Auslandes| BandReihe=9 |HrsgReihe=[[Lujo Brentano]], [[Emanuel Leser]] |Verlag=Duncker & Humblot |Ort=Leipzig |Datum=1896 |Kommentar=Mit einer Einleitung von Luwig Fick, aus dem Lateinischen übersetzt und kommentiert von [[Alfred Pringsheim]]}}
*{{Literatur |Autor=[[Karl Menger]] |Titel=Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre – Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel |Sammelwerk=Zeitschrift für Nationalökonomie |Band=5 |Datum=1934| Seiten=459–485 |DOI=10.1007/BF01311578}}
*{{Literatur |Autor=[[Christian Seidl]] |Titel=The St. Petersburg Paradox at 300|Sammelwerk=Journal of Risk and Uncertainty |Band=46 |Datum=2013| Seiten=247–264 |DOI=10.1007/s11166-013-9165-9}}

=== COVID-19 ===
* {{Internetquelle |autor=Statistisches Bundesamt |titel=Monatsberichte der Todesursachenstatistik mit Fokus auf COVID-19-Sterbefälle – Vorläufige Fallzahlen nach Monaten für ausgewählte Diagnosegruppen und Einzeldiagnosen für die Monate Januar 2020 bis Januar 2022 |url=https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Gesundheit/Todesursachen/Tabellen/sonderauswertung-todesursachen.html
|abruf=2023-01-06 |kommentar=Die Sonderauswertung wird vorerst monatlich aktualisiert}}

=== Verschiedenes ===
* {{Literatur |Autor=Jonathan J. Koehler |Titel=The influence of prior beliefs on scientific judgments of evidence quality |Sammelwerk=Organizational Behavior and Human Decision Processes |Band=56 |Jahr=1993 |Seiten=17–67}}

</div>
<noinclude>
[[Kategorie:Portal:Statistik|Literatur]]
</noinclude>

Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:43:48Z

Sigma^2: /* Vorlagen */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]]
- [[Portal Diskussion:Mathematik]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filter (Mathematik)]] - [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]] - [[Klassifizierung]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
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- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
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- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
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- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
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* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
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=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
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{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
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Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
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:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
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:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

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{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
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{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:43:24Z

Sigma^2: /* Portale */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]]
- [[Portal Diskussion:Mathematik]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filter (Mathematik)]] - [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]] - [[Klassifizierung]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
- [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Bruchpunkt|Bruchpunkt]]
- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
- [[Diskussion:Càdlàg-Funktion|Càdlàg-Funktion]]
- [[Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis]]
- [[Diskussion:David-Hartley-Pearson-Test|David-Hartley-Pearson-Test]]
- [[Diskussion:Definitheit|Definitheit]] - [[Diskussion:Delta-Distribution|Delta-Distribution]]
- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
- [[Diskussion:Dualität von Lp-Räumen|Dualität von Lp-Räumen]]
- [[Diskussion:Empirische Risikominimierung|Empirische Risikominimierung]]
- [[Diskussion:Empirische Verteilungsfunktion|Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Diskussion:Empirisches Quantil|Empirisches Quantil]]
- [[Diskussion:Erhebung (Empirie)|Erhebung (Empirie)]] - [[Diskussion:Ereignis|Ereignis]] - [[Diskussion:Ereignisrisiko|Ereignisrisiko]]
- [[Diskussion:Extremwerttheorie|Extremwerttheorie)]]
- [[Diskussion:Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Fréchet-Verteilung|Fréchet-Verteilung]]
- [[Diskussion:Funktion (Mathematik)|Funktion (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Gaußsches Maß|Gaußsches Maß]] - [[Diskussion:Gauß-Prozess|Gauß-Prozess]]
- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
- [[Diskussion:Gepaarte Zufallsstichprobe|Gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Diskussion:Graph (Graphentheorie)|Graph (Graphentheorie)]] - [[Diskussion:Grenzwert (Folge)|Grenzwert (Folge)]] - [[Diskussion:Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]]
- [[Diskussion:Hochrechnung|Hochrechnung]]
- [[Diskussion:Hypothese|Hypothese]]
- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]] - [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]] - [[Diskussion:Inverse Distanzwichtung|Inverse Distanzwichtung]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Klassifizierung|Klassifizierung]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
- [[Diskussion:Logistische Regression|Logistische Regression]] - [[Diskussion:Lokale Grenzwertsätze|Lokale Grenzwertsätze]]
- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
- [[Diskussion:Median|Median]] - [[Diskussion:Mehrdimensionale Normalverteilung|Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Diskussion:Mengenlehre|Mengenlehre]] - [[Diskussion:Messraum (Mathematik)|Messraum (Mathematik)]] - [[Diskussion:Messung|Messung]] - [[Diskussion:Metrischer Raum|Metrischer Raum]]
- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
- [[Diskussion:Moment (Stochastik)|Moment (Stochastik)]] - [[Diskussion:Momentenproblem|Momentenproblem]] [[Diskussion:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]] - [[Diskussion:Monotone reelle Funktion|Monotone reelle Funktion]] - [[Diskussion:Monte-Carlo-Simulation|Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Diskussion:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]
- [[Diskussion:Ordnungsstatistik|Ordnungsstatistik]]
- [[Diskussion:Partielle Funktion|Partielle Funktion]]
- [[Diskussion:Polnischer Raum|Polnischer Raum]]
- [[Diskussion:Polytop (Geometrie)|Polytop (Geometrie)]]
- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
- [[Diskussion:Preisindex|Preisindex]]
- [[Diskussion:Probit-Modell|Probit-Modell]]
- [[Diskussion:Relativ|Relativ]]
- [[Diskussion:Quantisierung (Physik)|Quantisierung (Physik)]] - [[Diskussion:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Relation (Mathematik)|Relation (Mathematik)]]
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- [[Diskussion:Standardfehler|Standardfehler]] - [[Diskussion:Stationärer stochastischer Prozess|Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Diskussion:Statistischer Test|Statistischer Test]]
-[[Diskussion:Stichprobenverteilung|Stichprobenverteilung]] -[[Diskussion:Stichprobenverteilungsfunktion|Stichprobenverteilungsfunktion]] -[[Diskussion:Stieltjesscher Inhalt|Stieltjesscher Inhalt]] -
- [[Diskussion:Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]
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- [[Diskussion:Symmetrische einfache Irrfahrt|Symmetrische einfache Irrfahrt]]
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- [[Diskussion:Übergangsmatrix|Übergangsmatrix]] - [[Diskussion:Überwachtes Lernen|Überwachtes]]
- [[Diskussion:Ultrafilter|Ultrafilter]]
- [[Diskussion:Variation (Kombinatorik)|Variation (Kombinatorik)]]
- [[Diskussion:Vektorautoregressive Modelle|Vektorautoregressive Modelle]] - [[Diskussion:Verallgemeinerte lineare Modelle|Verallgemeinerte lineare Modelle]]
- [[Diskussion:Vollständiger Raum|Vollständiger Raum]] - [[Diskussion:Vorhersagemodell|Vorhersagemodell]]
- [[Diskussion:Wachstum (Mathematik)|Wachstum (Mathematik)]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsfunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsinhalt|Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]]
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- [[Diskussion:Zeitreihenanalyse|Zeitreihenanalyse]]
- [[Diskussion:Ziegenproblem|Ziegenproblem]] - [[Diskussion:Ziehen mit Zurücklegen|Ziehen mit Zurücklegen]]
- [[Diskussion:Zufallsstichprobe|Zufallsstichprobe]] - [[Diskussion:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] - [[Diskussion:Zusammenhangsmaß|Zusammenhangsmaß]]
</div>

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== Arbeitshilfen zur Artikelvorbereitung ==
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* [https://www.aleph1.info/?call=Publikationen Online-Publikationen von O. Deiser]

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;Auszeichnen
* <code><nowiki>''kursiv''</nowiki></code> ''kursiv''
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;Gliedern
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* Nummerierung (Zeilenanfang): <code>#</code>
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;Text :text
:<code><nowiki>:;Text2 :text2</nowiki></code> erzeugt
:;Text2 :text2
: Das Leerzeichen vor <code>:</code> ist redundant, dient aber der Übersichtlichkeit.
* Die Einrückungen von <code>*</code> und <code>:</code> sind identisch, aber <code>#</code> erzeugt abweichende Einrückungen.

==== HTML-Formatierung ====
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* Als Code formatieren <code><nowiki><code> 1 + 1 + Text </code></nowiki></code> <code> 1 + 1 + Text</code>
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* <code><nowiki><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift </div></nowiki></code><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift</div> <code><nowiki><small>kleinere Schrift</small></nowiki></code><small>kleinere Schrift</small> nicht über Überschriften usw. hinweg benutzen.
* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
Die [[Vorlage:Belege]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

==== Lückhaftigkeit monieren ====
Die [[Vorlage:Lückenhaft]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
*<code><nowiki>{{Lückenhaft}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

=== Seite Löschen ===
[[Vorlage:Löschen]]

Mit der [[Vorlage:db-u1]] (Verwendung: <code><nowiki>{{db-u1}}</nowiki></code>) kann man eine Seite im eigenen Benutzerraum durch einen Administrator löschen lassen.

=== [[Weiterleitung]] ===
* [[H:Weiterleitung]] - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname]]</nowiki></code> - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname#Abschnittsüberschrift]]</nowiki></code>
=== [[Begriffsklärung]] ===
* [[H:Begriffsklärung]]
=== Kategorie ===
* [[H:Kategorie]]
=== Versionen ===
* [[H:Spezial]]
=== Kommunikation ===
* [[Vorlage:ping]]
=== Fehler beim Parsen ===
Mögliche Abhilfe durch Browseraufruf <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Artikelname;action=purge</nowiki>.
=== Graphiken einlagern ===
[[Datei:test.svg|200px]]
[[Datei:test.svg|200px|right]]
[[Datei:test.svg|mini]]
[[Datei:test.svg|mini|TEXT TEXT]]

Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:42:39Z

Sigma^2: /* Weiterleitungen */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filter (Mathematik)]] - [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]] - [[Klassifizierung]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
- [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Bruchpunkt|Bruchpunkt]]
- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
- [[Diskussion:Càdlàg-Funktion|Càdlàg-Funktion]]
- [[Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis]]
- [[Diskussion:David-Hartley-Pearson-Test|David-Hartley-Pearson-Test]]
- [[Diskussion:Definitheit|Definitheit]] - [[Diskussion:Delta-Distribution|Delta-Distribution]]
- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
- [[Diskussion:Dualität von Lp-Räumen|Dualität von Lp-Räumen]]
- [[Diskussion:Empirische Risikominimierung|Empirische Risikominimierung]]
- [[Diskussion:Empirische Verteilungsfunktion|Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Diskussion:Empirisches Quantil|Empirisches Quantil]]
- [[Diskussion:Erhebung (Empirie)|Erhebung (Empirie)]] - [[Diskussion:Ereignis|Ereignis]] - [[Diskussion:Ereignisrisiko|Ereignisrisiko]]
- [[Diskussion:Extremwerttheorie|Extremwerttheorie)]]
- [[Diskussion:Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Fréchet-Verteilung|Fréchet-Verteilung]]
- [[Diskussion:Funktion (Mathematik)|Funktion (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Gaußsches Maß|Gaußsches Maß]] - [[Diskussion:Gauß-Prozess|Gauß-Prozess]]
- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
- [[Diskussion:Gepaarte Zufallsstichprobe|Gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Diskussion:Graph (Graphentheorie)|Graph (Graphentheorie)]] - [[Diskussion:Grenzwert (Folge)|Grenzwert (Folge)]] - [[Diskussion:Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]]
- [[Diskussion:Hochrechnung|Hochrechnung]]
- [[Diskussion:Hypothese|Hypothese]]
- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]] - [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]] - [[Diskussion:Inverse Distanzwichtung|Inverse Distanzwichtung]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Klassifizierung|Klassifizierung]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
- [[Diskussion:Logistische Regression|Logistische Regression]] - [[Diskussion:Lokale Grenzwertsätze|Lokale Grenzwertsätze]]
- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
- [[Diskussion:Median|Median]] - [[Diskussion:Mehrdimensionale Normalverteilung|Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Diskussion:Mengenlehre|Mengenlehre]] - [[Diskussion:Messraum (Mathematik)|Messraum (Mathematik)]] - [[Diskussion:Messung|Messung]] - [[Diskussion:Metrischer Raum|Metrischer Raum]]
- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
- [[Diskussion:Moment (Stochastik)|Moment (Stochastik)]] - [[Diskussion:Momentenproblem|Momentenproblem]] [[Diskussion:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]] - [[Diskussion:Monotone reelle Funktion|Monotone reelle Funktion]] - [[Diskussion:Monte-Carlo-Simulation|Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Diskussion:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]
- [[Diskussion:Ordnungsstatistik|Ordnungsstatistik]]
- [[Diskussion:Partielle Funktion|Partielle Funktion]]
- [[Diskussion:Polnischer Raum|Polnischer Raum]]
- [[Diskussion:Polytop (Geometrie)|Polytop (Geometrie)]]
- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
- [[Diskussion:Preisindex|Preisindex]]
- [[Diskussion:Probit-Modell|Probit-Modell]]
- [[Diskussion:Relativ|Relativ]]
- [[Diskussion:Quantisierung (Physik)|Quantisierung (Physik)]] - [[Diskussion:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Relation (Mathematik)|Relation (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Robuste Schätzverfahren|Robuste Schätzverfahren]] - [[Diskussion:Roland Barthes|Roland Barthes]]
- [[Diskussion:Satz von Bernstein-von-Mises|Satz von Bernstein-von-Mises]] - [[Diskussion:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Diskussion:Walter A. Shewhart|Walter A. Shewhart]]
- [[Diskussion:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]
- [[Diskussion:Stefan Schäffler|Stefan Schäffler]]
- [[Diskussion:Schätzfehler|Schätzfehler]] - [[Diskussion:Schätzfunktion|Schätzfunktion]]
- [[Diskussion:Standardfehler|Standardfehler]] - [[Diskussion:Stationärer stochastischer Prozess|Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Diskussion:Statistischer Test|Statistischer Test]]
-[[Diskussion:Stichprobenverteilung|Stichprobenverteilung]] -[[Diskussion:Stichprobenverteilungsfunktion|Stichprobenverteilungsfunktion]] -[[Diskussion:Stieltjesscher Inhalt|Stieltjesscher Inhalt]] -
- [[Diskussion:Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]
- [[Diskussion:Streuungsmaß (Statistik)|Streuungsmaß (Statistik)]]
- [[Diskussion:Symmetrische einfache Irrfahrt|Symmetrische einfache Irrfahrt]]
- [[Diskussion:TeX|TeX]]
- [[Diskussion:Gerhard Tintner |Gerhard Tintner]]
- [[Diskussion:Transferfunktionsmodell|Transferfunktionsmodell]] - [[Diskussion:Trennschärfe eines Tests|Trennschärfe eines Tests]] - [[Diskussion:Trichotomie|Trichotomie]]
- [[Diskussion:Übergangsmatrix|Übergangsmatrix]] - [[Diskussion:Überwachtes Lernen|Überwachtes]]
- [[Diskussion:Ultrafilter|Ultrafilter]]
- [[Diskussion:Variation (Kombinatorik)|Variation (Kombinatorik)]]
- [[Diskussion:Vektorautoregressive Modelle|Vektorautoregressive Modelle]] - [[Diskussion:Verallgemeinerte lineare Modelle|Verallgemeinerte lineare Modelle]]
- [[Diskussion:Vollständiger Raum|Vollständiger Raum]] - [[Diskussion:Vorhersagemodell|Vorhersagemodell]]
- [[Diskussion:Wachstum (Mathematik)|Wachstum (Mathematik)]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsfunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsinhalt|Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]]
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- [[Diskussion:Zeitreihenanalyse|Zeitreihenanalyse]]
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;Auszeichnen
* <code><nowiki>''kursiv''</nowiki></code> ''kursiv''
* <code><nowiki>'''fett'''</nowiki></code> '''fett'''
* <code><nowiki>'''''kursiv und fett'''''</nowiki></code> '''''kursiv und fett'''''
;Gliedern
* Gliederungspunkt (Zeilenanfang): <code><nowiki>*</nowiki></code>
* Nummerierung (Zeilenanfang): <code>#</code>
* Einrückung (Zeilenanfang): <code><nowiki>:</nowiki></code>
* Definition (Zeilenanfang): <code><nowiki>;Text :text</nowiki></code> erzeugt
;Text :text
:<code><nowiki>:;Text2 :text2</nowiki></code> erzeugt
:;Text2 :text2
: Das Leerzeichen vor <code>:</code> ist redundant, dient aber der Übersichtlichkeit.
* Die Einrückungen von <code>*</code> und <code>:</code> sind identisch, aber <code>#</code> erzeugt abweichende Einrückungen.

==== HTML-Formatierung ====
* Kommentar: <code><nowiki></nowiki></code>
* Als Code formatieren <code><nowiki><code> 1 + 1 + Text </code></nowiki></code> <code> 1 + 1 + Text</code>
* Wikicode ohne Ausführung <code><nowiki><nowiki> ... </nowiki></nowiki></code>
* Zeilenumbruch <code><nowiki><br /></nowiki></code>, '''nicht''' <code><nowiki><br></nowiki></code> oder <code><nowiki></br></nowiki></code> (aus Kompatibilitätsgründen zu XHTML, HTML5 usw.)
* <code><nowiki><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift </div></nowiki></code><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift</div> <code><nowiki><small>kleinere Schrift</small></nowiki></code><small>kleinere Schrift</small> nicht über Überschriften usw. hinweg benutzen.
* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
Die [[Vorlage:Belege]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

==== Lückhaftigkeit monieren ====
Die [[Vorlage:Lückenhaft]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
*<code><nowiki>{{Lückenhaft}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

=== Seite Löschen ===
[[Vorlage:Löschen]]

Mit der [[Vorlage:db-u1]] (Verwendung: <code><nowiki>{{db-u1}}</nowiki></code>) kann man eine Seite im eigenen Benutzerraum durch einen Administrator löschen lassen.

=== [[Weiterleitung]] ===
* [[H:Weiterleitung]] - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname]]</nowiki></code> - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname#Abschnittsüberschrift]]</nowiki></code>
=== [[Begriffsklärung]] ===
* [[H:Begriffsklärung]]
=== Kategorie ===
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=== Versionen ===
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=== Graphiken einlagern ===
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[[Datei:test.svg|mini]]
[[Datei:test.svg|mini|TEXT TEXT]]

Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:40:19Z

Sigma^2: /* Personenartikel */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
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</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filter (Mathematik)]] - [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]] - [[Klassifizierung]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
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- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
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- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
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- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
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- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]] - [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]] - [[Diskussion:Inverse Distanzwichtung|Inverse Distanzwichtung]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Klassifizierung|Klassifizierung]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
- [[Diskussion:Logistische Regression|Logistische Regression]] - [[Diskussion:Lokale Grenzwertsätze|Lokale Grenzwertsätze]]
- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
- [[Diskussion:Median|Median]] - [[Diskussion:Mehrdimensionale Normalverteilung|Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Diskussion:Mengenlehre|Mengenlehre]] - [[Diskussion:Messraum (Mathematik)|Messraum (Mathematik)]] - [[Diskussion:Messung|Messung]] - [[Diskussion:Metrischer Raum|Metrischer Raum]]
- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
- [[Diskussion:Moment (Stochastik)|Moment (Stochastik)]] - [[Diskussion:Momentenproblem|Momentenproblem]] [[Diskussion:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]] - [[Diskussion:Monotone reelle Funktion|Monotone reelle Funktion]] - [[Diskussion:Monte-Carlo-Simulation|Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
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- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
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- [[Diskussion:Standardfehler|Standardfehler]] - [[Diskussion:Stationärer stochastischer Prozess|Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Diskussion:Statistischer Test|Statistischer Test]]
-[[Diskussion:Stichprobenverteilung|Stichprobenverteilung]] -[[Diskussion:Stichprobenverteilungsfunktion|Stichprobenverteilungsfunktion]] -[[Diskussion:Stieltjesscher Inhalt|Stieltjesscher Inhalt]] -
- [[Diskussion:Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]
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- [[Diskussion:Übergangsmatrix|Übergangsmatrix]] - [[Diskussion:Überwachtes Lernen|Überwachtes]]
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- [[Diskussion:Wachstum (Mathematik)|Wachstum (Mathematik)]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsfunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsinhalt|Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]]
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* [https://www.aleph1.info/?call=Publikationen Online-Publikationen von O. Deiser]

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* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
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* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

==== Lückhaftigkeit monieren ====
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*<code><nowiki>{{Lückenhaft}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft}}
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{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:36:36Z

Sigma^2: /* Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filter (Mathematik)]] - [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]] - [[Klassifizierung]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
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* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
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=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
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Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
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:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
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:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

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{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
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{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:35:06Z

Sigma^2: /* Sachartikel */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filter (Mathematik)]] - [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]] - [[Klassifizierung]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
- [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Bruchpunkt|Bruchpunkt]]
- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
- [[Diskussion:Càdlàg-Funktion|Càdlàg-Funktion]]
- [[Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis]]
- [[Diskussion:David-Hartley-Pearson-Test|David-Hartley-Pearson-Test]]
- [[Diskussion:Definitheit|Definitheit]] - [[Diskussion:Delta-Distribution|Delta-Distribution]]
- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
- [[Diskussion:Dualität von Lp-Räumen|Dualität von Lp-Räumen]]
- [[Diskussion:Empirische Risikominimierung|Empirische Risikominimierung]]
- [[Diskussion:Empirische Verteilungsfunktion|Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Diskussion:Empirisches Quantil|Empirisches Quantil]]
- [[Diskussion:Erhebung (Empirie)|Erhebung (Empirie)]] - [[Diskussion:Ereignis|Ereignis]] - [[Diskussion:Ereignisrisiko|Ereignisrisiko]]
- [[Diskussion:Extremwerttheorie|Extremwerttheorie)]]
- [[Diskussion:Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Fréchet-Verteilung|Fréchet-Verteilung]]
- [[Diskussion:Funktion (Mathematik)|Funktion (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Gaußsches Maß|Gaußsches Maß]] - [[Diskussion:Gauß-Prozess|Gauß-Prozess]]
- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
- [[Diskussion:Gepaarte Zufallsstichprobe|Gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Diskussion:Graph (Graphentheorie)|Graph (Graphentheorie)]] - [[Diskussion:Grenzwert (Folge)|Grenzwert (Folge)]] - [[Diskussion:Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]]
- [[Diskussion:Hochrechnung|Hochrechnung]]
- [[Diskussion:Hypothese|Hypothese]]
- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]] - [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]] - [[Diskussion:Inverse Distanzwichtung|Inverse Distanzwichtung]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
- [[Diskussion:Logistische Regression|Logistische Regression]] - [[Diskussion:Lokale Grenzwertsätze|Lokale Grenzwertsätze]]
- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
- [[Diskussion:Median|Median]] - [[Diskussion:Mehrdimensionale Normalverteilung|Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Diskussion:Mengenlehre|Mengenlehre]] - [[Diskussion:Messraum (Mathematik)|Messraum (Mathematik)]] - [[Diskussion:Messung|Messung]] - [[Diskussion:Metrischer Raum|Metrischer Raum]]
- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
- [[Diskussion:Moment (Stochastik)|Moment (Stochastik)]] - [[Diskussion:Momentenproblem|Momentenproblem]] [[Diskussion:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]] - [[Diskussion:Monotone reelle Funktion|Monotone reelle Funktion]] - [[Diskussion:Monte-Carlo-Simulation|Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Diskussion:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]
- [[Diskussion:Ordnungsstatistik|Ordnungsstatistik]]
- [[Diskussion:Partielle Funktion|Partielle Funktion]]
- [[Diskussion:Polnischer Raum|Polnischer Raum]]
- [[Diskussion:Polytop (Geometrie)|Polytop (Geometrie)]]
- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
- [[Diskussion:Preisindex|Preisindex]]
- [[Diskussion:Probit-Modell|Probit-Modell]]
- [[Diskussion:Relativ|Relativ]]
- [[Diskussion:Quantisierung (Physik)|Quantisierung (Physik)]] - [[Diskussion:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Relation (Mathematik)|Relation (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Robuste Schätzverfahren|Robuste Schätzverfahren]] - [[Diskussion:Roland Barthes|Roland Barthes]]
- [[Diskussion:Satz von Bernstein-von-Mises|Satz von Bernstein-von-Mises]] - [[Diskussion:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Diskussion:Walter A. Shewhart|Walter A. Shewhart]]
- [[Diskussion:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]
- [[Diskussion:Stefan Schäffler|Stefan Schäffler]]
- [[Diskussion:Schätzfehler|Schätzfehler]] - [[Diskussion:Schätzfunktion|Schätzfunktion]]
- [[Diskussion:Standardfehler|Standardfehler]] - [[Diskussion:Stationärer stochastischer Prozess|Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Diskussion:Statistischer Test|Statistischer Test]]
-[[Diskussion:Stichprobenverteilung|Stichprobenverteilung]] -[[Diskussion:Stichprobenverteilungsfunktion|Stichprobenverteilungsfunktion]] -[[Diskussion:Stieltjesscher Inhalt|Stieltjesscher Inhalt]] -
- [[Diskussion:Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]
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- [[Diskussion:Ultrafilter|Ultrafilter]]
- [[Diskussion:Variation (Kombinatorik)|Variation (Kombinatorik)]]
- [[Diskussion:Vektorautoregressive Modelle|Vektorautoregressive Modelle]] - [[Diskussion:Verallgemeinerte lineare Modelle|Verallgemeinerte lineare Modelle]]
- [[Diskussion:Vollständiger Raum|Vollständiger Raum]] - [[Diskussion:Vorhersagemodell|Vorhersagemodell]]
- [[Diskussion:Wachstum (Mathematik)|Wachstum (Mathematik)]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsfunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsinhalt|Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]]
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- [[Diskussion:Zeitreihenanalyse|Zeitreihenanalyse]]
- [[Diskussion:Ziegenproblem|Ziegenproblem]] - [[Diskussion:Ziehen mit Zurücklegen|Ziehen mit Zurücklegen]]
- [[Diskussion:Zufallsstichprobe|Zufallsstichprobe]] - [[Diskussion:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] - [[Diskussion:Zusammenhangsmaß|Zusammenhangsmaß]]
</div>

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;Text :text
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:;Text2 :text2
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* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
Die [[Vorlage:Belege]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

==== Lückhaftigkeit monieren ====
Die [[Vorlage:Lückenhaft]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
*<code><nowiki>{{Lückenhaft}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:33:07Z

Sigma^2: /* Sachartikel */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filter (Mathematik)]] - [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
- [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Bruchpunkt|Bruchpunkt]]
- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
- [[Diskussion:Càdlàg-Funktion|Càdlàg-Funktion]]
- [[Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis]]
- [[Diskussion:David-Hartley-Pearson-Test|David-Hartley-Pearson-Test]]
- [[Diskussion:Definitheit|Definitheit]] - [[Diskussion:Delta-Distribution|Delta-Distribution]]
- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
- [[Diskussion:Dualität von Lp-Räumen|Dualität von Lp-Räumen]]
- [[Diskussion:Empirische Risikominimierung|Empirische Risikominimierung]]
- [[Diskussion:Empirische Verteilungsfunktion|Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Diskussion:Empirisches Quantil|Empirisches Quantil]]
- [[Diskussion:Erhebung (Empirie)|Erhebung (Empirie)]] - [[Diskussion:Ereignis|Ereignis]] - [[Diskussion:Ereignisrisiko|Ereignisrisiko]]
- [[Diskussion:Extremwerttheorie|Extremwerttheorie)]]
- [[Diskussion:Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Fréchet-Verteilung|Fréchet-Verteilung]]
- [[Diskussion:Funktion (Mathematik)|Funktion (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Gaußsches Maß|Gaußsches Maß]] - [[Diskussion:Gauß-Prozess|Gauß-Prozess]]
- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
- [[Diskussion:Gepaarte Zufallsstichprobe|Gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Diskussion:Graph (Graphentheorie)|Graph (Graphentheorie)]] - [[Diskussion:Grenzwert (Folge)|Grenzwert (Folge)]] - [[Diskussion:Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]]
- [[Diskussion:Hochrechnung|Hochrechnung]]
- [[Diskussion:Hypothese|Hypothese]]
- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]] - [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]] - [[Diskussion:Inverse Distanzwichtung|Inverse Distanzwichtung]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
- [[Diskussion:Logistische Regression|Logistische Regression]] - [[Diskussion:Lokale Grenzwertsätze|Lokale Grenzwertsätze]]
- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
- [[Diskussion:Median|Median]] - [[Diskussion:Mehrdimensionale Normalverteilung|Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Diskussion:Mengenlehre|Mengenlehre]] - [[Diskussion:Messraum (Mathematik)|Messraum (Mathematik)]] - [[Diskussion:Messung|Messung]] - [[Diskussion:Metrischer Raum|Metrischer Raum]]
- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
- [[Diskussion:Moment (Stochastik)|Moment (Stochastik)]] - [[Diskussion:Momentenproblem|Momentenproblem]] [[Diskussion:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]] - [[Diskussion:Monotone reelle Funktion|Monotone reelle Funktion]] - [[Diskussion:Monte-Carlo-Simulation|Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Diskussion:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]
- [[Diskussion:Ordnungsstatistik|Ordnungsstatistik]]
- [[Diskussion:Partielle Funktion|Partielle Funktion]]
- [[Diskussion:Polnischer Raum|Polnischer Raum]]
- [[Diskussion:Polytop (Geometrie)|Polytop (Geometrie)]]
- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
- [[Diskussion:Preisindex|Preisindex]]
- [[Diskussion:Probit-Modell|Probit-Modell]]
- [[Diskussion:Relativ|Relativ]]
- [[Diskussion:Quantisierung (Physik)|Quantisierung (Physik)]] - [[Diskussion:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Relation (Mathematik)|Relation (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Robuste Schätzverfahren|Robuste Schätzverfahren]] - [[Diskussion:Roland Barthes|Roland Barthes]]
- [[Diskussion:Satz von Bernstein-von-Mises|Satz von Bernstein-von-Mises]] - [[Diskussion:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Diskussion:Walter A. Shewhart|Walter A. Shewhart]]
- [[Diskussion:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]
- [[Diskussion:Stefan Schäffler|Stefan Schäffler]]
- [[Diskussion:Schätzfehler|Schätzfehler]] - [[Diskussion:Schätzfunktion|Schätzfunktion]]
- [[Diskussion:Standardfehler|Standardfehler]] - [[Diskussion:Stationärer stochastischer Prozess|Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Diskussion:Statistischer Test|Statistischer Test]]
-[[Diskussion:Stichprobenverteilung|Stichprobenverteilung]] -[[Diskussion:Stichprobenverteilungsfunktion|Stichprobenverteilungsfunktion]] -[[Diskussion:Stieltjesscher Inhalt|Stieltjesscher Inhalt]] -
- [[Diskussion:Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]
- [[Diskussion:Streuungsmaß (Statistik)|Streuungsmaß (Statistik)]]
- [[Diskussion:Symmetrische einfache Irrfahrt|Symmetrische einfache Irrfahrt]]
- [[Diskussion:TeX|TeX]]
- [[Diskussion:Gerhard Tintner |Gerhard Tintner]]
- [[Diskussion:Transferfunktionsmodell|Transferfunktionsmodell]] - [[Diskussion:Trennschärfe eines Tests|Trennschärfe eines Tests]] - [[Diskussion:Trichotomie|Trichotomie]]
- [[Diskussion:Übergangsmatrix|Übergangsmatrix]] - [[Diskussion:Überwachtes Lernen|Überwachtes]]
- [[Diskussion:Ultrafilter|Ultrafilter]]
- [[Diskussion:Variation (Kombinatorik)|Variation (Kombinatorik)]]
- [[Diskussion:Vektorautoregressive Modelle|Vektorautoregressive Modelle]] - [[Diskussion:Verallgemeinerte lineare Modelle|Verallgemeinerte lineare Modelle]]
- [[Diskussion:Vollständiger Raum|Vollständiger Raum]] - [[Diskussion:Vorhersagemodell|Vorhersagemodell]]
- [[Diskussion:Wachstum (Mathematik)|Wachstum (Mathematik)]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsfunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsinhalt|Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]]
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- [[Diskussion:Zeitreihenanalyse|Zeitreihenanalyse]]
- [[Diskussion:Ziegenproblem|Ziegenproblem]] - [[Diskussion:Ziehen mit Zurücklegen|Ziehen mit Zurücklegen]]
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;Auszeichnen
* <code><nowiki>''kursiv''</nowiki></code> ''kursiv''
* <code><nowiki>'''fett'''</nowiki></code> '''fett'''
* <code><nowiki>'''''kursiv und fett'''''</nowiki></code> '''''kursiv und fett'''''
;Gliedern
* Gliederungspunkt (Zeilenanfang): <code><nowiki>*</nowiki></code>
* Nummerierung (Zeilenanfang): <code>#</code>
* Einrückung (Zeilenanfang): <code><nowiki>:</nowiki></code>
* Definition (Zeilenanfang): <code><nowiki>;Text :text</nowiki></code> erzeugt
;Text :text
:<code><nowiki>:;Text2 :text2</nowiki></code> erzeugt
:;Text2 :text2
: Das Leerzeichen vor <code>:</code> ist redundant, dient aber der Übersichtlichkeit.
* Die Einrückungen von <code>*</code> und <code>:</code> sind identisch, aber <code>#</code> erzeugt abweichende Einrückungen.

==== HTML-Formatierung ====
* Kommentar: <code><nowiki></nowiki></code>
* Als Code formatieren <code><nowiki><code> 1 + 1 + Text </code></nowiki></code> <code> 1 + 1 + Text</code>
* Wikicode ohne Ausführung <code><nowiki><nowiki> ... </nowiki></nowiki></code>
* Zeilenumbruch <code><nowiki><br /></nowiki></code>, '''nicht''' <code><nowiki><br></nowiki></code> oder <code><nowiki></br></nowiki></code> (aus Kompatibilitätsgründen zu XHTML, HTML5 usw.)
* <code><nowiki><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift </div></nowiki></code><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift</div> <code><nowiki><small>kleinere Schrift</small></nowiki></code><small>kleinere Schrift</small> nicht über Überschriften usw. hinweg benutzen.
* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
Die [[Vorlage:Belege]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

==== Lückhaftigkeit monieren ====
Die [[Vorlage:Lückenhaft]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
*<code><nowiki>{{Lückenhaft}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

=== Seite Löschen ===
[[Vorlage:Löschen]]

Mit der [[Vorlage:db-u1]] (Verwendung: <code><nowiki>{{db-u1}}</nowiki></code>) kann man eine Seite im eigenen Benutzerraum durch einen Administrator löschen lassen.

=== [[Weiterleitung]] ===
* [[H:Weiterleitung]] - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname]]</nowiki></code> - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname#Abschnittsüberschrift]]</nowiki></code>
=== [[Begriffsklärung]] ===
* [[H:Begriffsklärung]]
=== Kategorie ===
* [[H:Kategorie]]
=== Versionen ===
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=== Graphiken einlagern ===
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[[Datei:test.svg|mini]]
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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:31:57Z

Sigma^2: /* Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
- [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Bruchpunkt|Bruchpunkt]]
- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
- [[Diskussion:Càdlàg-Funktion|Càdlàg-Funktion]]
- [[Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis]]
- [[Diskussion:David-Hartley-Pearson-Test|David-Hartley-Pearson-Test]]
- [[Diskussion:Definitheit|Definitheit]] - [[Diskussion:Delta-Distribution|Delta-Distribution]]
- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
- [[Diskussion:Dualität von Lp-Räumen|Dualität von Lp-Räumen]]
- [[Diskussion:Empirische Risikominimierung|Empirische Risikominimierung]]
- [[Diskussion:Empirische Verteilungsfunktion|Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Diskussion:Empirisches Quantil|Empirisches Quantil]]
- [[Diskussion:Erhebung (Empirie)|Erhebung (Empirie)]] - [[Diskussion:Ereignis|Ereignis]] - [[Diskussion:Ereignisrisiko|Ereignisrisiko]]
- [[Diskussion:Extremwerttheorie|Extremwerttheorie)]]
- [[Diskussion:Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Fréchet-Verteilung|Fréchet-Verteilung]]
- [[Diskussion:Funktion (Mathematik)|Funktion (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Gaußsches Maß|Gaußsches Maß]] - [[Diskussion:Gauß-Prozess|Gauß-Prozess]]
- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
- [[Diskussion:Gepaarte Zufallsstichprobe|Gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Diskussion:Graph (Graphentheorie)|Graph (Graphentheorie)]] - [[Diskussion:Grenzwert (Folge)|Grenzwert (Folge)]] - [[Diskussion:Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]]
- [[Diskussion:Hochrechnung|Hochrechnung]]
- [[Diskussion:Hypothese|Hypothese]]
- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]] - [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]] - [[Diskussion:Inverse Distanzwichtung|Inverse Distanzwichtung]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
- [[Diskussion:Logistische Regression|Logistische Regression]] - [[Diskussion:Lokale Grenzwertsätze|Lokale Grenzwertsätze]]
- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
- [[Diskussion:Median|Median]] - [[Diskussion:Mehrdimensionale Normalverteilung|Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Diskussion:Mengenlehre|Mengenlehre]] - [[Diskussion:Messraum (Mathematik)|Messraum (Mathematik)]] - [[Diskussion:Messung|Messung]] - [[Diskussion:Metrischer Raum|Metrischer Raum]]
- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
- [[Diskussion:Moment (Stochastik)|Moment (Stochastik)]] - [[Diskussion:Momentenproblem|Momentenproblem]] [[Diskussion:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]] - [[Diskussion:Monotone reelle Funktion|Monotone reelle Funktion]] - [[Diskussion:Monte-Carlo-Simulation|Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Diskussion:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]
- [[Diskussion:Ordnungsstatistik|Ordnungsstatistik]]
- [[Diskussion:Partielle Funktion|Partielle Funktion]]
- [[Diskussion:Polnischer Raum|Polnischer Raum]]
- [[Diskussion:Polytop (Geometrie)|Polytop (Geometrie)]]
- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
- [[Diskussion:Preisindex|Preisindex]]
- [[Diskussion:Probit-Modell|Probit-Modell]]
- [[Diskussion:Relativ|Relativ]]
- [[Diskussion:Quantisierung (Physik)|Quantisierung (Physik)]] - [[Diskussion:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Relation (Mathematik)|Relation (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Robuste Schätzverfahren|Robuste Schätzverfahren]] - [[Diskussion:Roland Barthes|Roland Barthes]]
- [[Diskussion:Satz von Bernstein-von-Mises|Satz von Bernstein-von-Mises]] - [[Diskussion:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Diskussion:Walter A. Shewhart|Walter A. Shewhart]]
- [[Diskussion:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]
- [[Diskussion:Stefan Schäffler|Stefan Schäffler]]
- [[Diskussion:Schätzfehler|Schätzfehler]] - [[Diskussion:Schätzfunktion|Schätzfunktion]]
- [[Diskussion:Standardfehler|Standardfehler]] - [[Diskussion:Stationärer stochastischer Prozess|Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Diskussion:Statistischer Test|Statistischer Test]]
-[[Diskussion:Stichprobenverteilung|Stichprobenverteilung]] -[[Diskussion:Stichprobenverteilungsfunktion|Stichprobenverteilungsfunktion]] -[[Diskussion:Stieltjesscher Inhalt|Stieltjesscher Inhalt]] -
- [[Diskussion:Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]
- [[Diskussion:Streuungsmaß (Statistik)|Streuungsmaß (Statistik)]]
- [[Diskussion:Symmetrische einfache Irrfahrt|Symmetrische einfache Irrfahrt]]
- [[Diskussion:TeX|TeX]]
- [[Diskussion:Gerhard Tintner |Gerhard Tintner]]
- [[Diskussion:Transferfunktionsmodell|Transferfunktionsmodell]] - [[Diskussion:Trennschärfe eines Tests|Trennschärfe eines Tests]] - [[Diskussion:Trichotomie|Trichotomie]]
- [[Diskussion:Übergangsmatrix|Übergangsmatrix]] - [[Diskussion:Überwachtes Lernen|Überwachtes]]
- [[Diskussion:Ultrafilter|Ultrafilter]]
- [[Diskussion:Variation (Kombinatorik)|Variation (Kombinatorik)]]
- [[Diskussion:Vektorautoregressive Modelle|Vektorautoregressive Modelle]] - [[Diskussion:Verallgemeinerte lineare Modelle|Verallgemeinerte lineare Modelle]]
- [[Diskussion:Vollständiger Raum|Vollständiger Raum]] - [[Diskussion:Vorhersagemodell|Vorhersagemodell]]
- [[Diskussion:Wachstum (Mathematik)|Wachstum (Mathematik)]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsfunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsinhalt|Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]]
- [[Diskussion:Weg (Mathematik)|Weg (Mathematik)]] - [[Diskussion:Weibull-Verteilung|Weibull-Verteilung]] - [[Diskussion:Weißes Rauschen|Weißes Rauschen]]
- [[Diskussion:Zeitreihenanalyse|Zeitreihenanalyse]]
- [[Diskussion:Ziegenproblem|Ziegenproblem]] - [[Diskussion:Ziehen mit Zurücklegen|Ziehen mit Zurücklegen]]
- [[Diskussion:Zufallsstichprobe|Zufallsstichprobe]] - [[Diskussion:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] - [[Diskussion:Zusammenhangsmaß|Zusammenhangsmaß]]
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* Geschichte: [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword Earliest Uses of Some Words of Mathematics] - [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym Earliest Uses of Various Mathematical Symbols] - [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/stat/ Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics] - [https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/welcome.htm Peter M. Lee (1940-2017): Materials for the History of Statistics] - [https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/lifework.htm P. M. Lee: Life and Work of Statisticians] - [https://web.archive.org/web/20220330113904/http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm John Aldrich (19??-20??): Figures from the History of Probability and Statistics]
* [https://www.aleph1.info/?call=Publikationen Online-Publikationen von O. Deiser]

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* Zeilenumbruch <code><nowiki><br /></nowiki></code>, '''nicht''' <code><nowiki><br></nowiki></code> oder <code><nowiki></br></nowiki></code> (aus Kompatibilitätsgründen zu XHTML, HTML5 usw.)
* <code><nowiki><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift </div></nowiki></code><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift</div> <code><nowiki><small>kleinere Schrift</small></nowiki></code><small>kleinere Schrift</small> nicht über Überschriften usw. hinweg benutzen.
* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
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* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
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* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

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{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:29:01Z

Sigma^2: /* Sachartikel */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]]
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
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- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
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- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
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* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
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=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
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{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
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Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
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:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

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{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
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{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

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{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:28:16Z

Sigma^2: /* Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]] -
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
- [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Bruchpunkt|Bruchpunkt]]
- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
- [[Diskussion:Càdlàg-Funktion|Càdlàg-Funktion]]
- [[Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis]]
- [[Diskussion:David-Hartley-Pearson-Test|David-Hartley-Pearson-Test]]
- [[Diskussion:Definitheit|Definitheit]] - [[Diskussion:Delta-Distribution|Delta-Distribution]]
- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
- [[Diskussion:Dualität von Lp-Räumen|Dualität von Lp-Räumen]]
- [[Diskussion:Empirische Risikominimierung|Empirische Risikominimierung]]
- [[Diskussion:Empirische Verteilungsfunktion|Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Diskussion:Empirisches Quantil|Empirisches Quantil]]
- [[Diskussion:Erhebung (Empirie)|Erhebung (Empirie)]] - [[Diskussion:Ereignis|Ereignis]] - [[Diskussion:Ereignisrisiko|Ereignisrisiko]]
- [[Diskussion:Extremwerttheorie|Extremwerttheorie)]]
- [[Diskussion:Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Fréchet-Verteilung|Fréchet-Verteilung]]
- [[Diskussion:Funktion (Mathematik)|Funktion (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Gaußsches Maß|Gaußsches Maß]] - [[Diskussion:Gauß-Prozess|Gauß-Prozess]]
- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
- [[Diskussion:Gepaarte Zufallsstichprobe|Gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Diskussion:Graph (Graphentheorie)|Graph (Graphentheorie)]] - [[Diskussion:Grenzwert (Folge)|Grenzwert (Folge)]] - [[Diskussion:Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]]
- [[Diskussion:Hochrechnung|Hochrechnung]]
- [[Diskussion:Hypothese|Hypothese]]
- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]] - [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]] - [[Diskussion:Inverse Distanzwichtung|Inverse Distanzwichtung]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
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- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
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- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
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- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Diskussion:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]
- [[Diskussion:Ordnungsstatistik|Ordnungsstatistik]]
- [[Diskussion:Partielle Funktion|Partielle Funktion]]
- [[Diskussion:Polnischer Raum|Polnischer Raum]]
- [[Diskussion:Polytop (Geometrie)|Polytop (Geometrie)]]
- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
- [[Diskussion:Preisindex|Preisindex]]
- [[Diskussion:Probit-Modell|Probit-Modell]]
- [[Diskussion:Relativ|Relativ]]
- [[Diskussion:Quantisierung (Physik)|Quantisierung (Physik)]] - [[Diskussion:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Relation (Mathematik)|Relation (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Robuste Schätzverfahren|Robuste Schätzverfahren]] - [[Diskussion:Roland Barthes|Roland Barthes]]
- [[Diskussion:Satz von Bernstein-von-Mises|Satz von Bernstein-von-Mises]] - [[Diskussion:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Diskussion:Walter A. Shewhart|Walter A. Shewhart]]
- [[Diskussion:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]
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- [[Diskussion:Standardfehler|Standardfehler]] - [[Diskussion:Stationärer stochastischer Prozess|Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Diskussion:Statistischer Test|Statistischer Test]]
-[[Diskussion:Stichprobenverteilung|Stichprobenverteilung]] -[[Diskussion:Stichprobenverteilungsfunktion|Stichprobenverteilungsfunktion]] -[[Diskussion:Stieltjesscher Inhalt|Stieltjesscher Inhalt]] -
- [[Diskussion:Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]
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- [[Diskussion:Ultrafilter|Ultrafilter]]
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- [[Diskussion:Vektorautoregressive Modelle|Vektorautoregressive Modelle]] - [[Diskussion:Verallgemeinerte lineare Modelle|Verallgemeinerte lineare Modelle]]
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- [[Diskussion:Zufallsstichprobe|Zufallsstichprobe]] - [[Diskussion:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] - [[Diskussion:Zusammenhangsmaß|Zusammenhangsmaß]]
</div>

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:;Text2 :text2
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* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
Die [[Vorlage:Belege]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

==== Lückhaftigkeit monieren ====
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Benutzer:Sigma^2

2024-08-25T12:25:52Z

Sigma^2: /* Sachartikel */

Sigma^2 hat Kenntnisse in Statistik, mathematischer Statistik, Stochastik und Mathematik; ist promoviert, habilitiert und hat über 25 Jahre Lehr- und Publikationserfahrung. Häufig verwendete Links: [[Portal:Statistik]]: [[P:Statistik/Aktuelles|Aktuelles]]/[[P:Statistik/Fehlende Artikel|Fehlende Artikel]] /[[P:Statistik/Literatur|Literatur]] - [[Spezial:Pr%C3%A4fixindex/Benutzer:Sigma%5E2|Seiten im Benutzerraum Sigma^2]] - [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste statistischer Zeitschriften]]

== Autorschaft an Wikipedia-Artikeln ==
=== Neuanlage von Wikipedia-Artikeln ===
==== Sachartikel ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Asymptotisch normalverteilt]]
- [[Asymptotische Statistik]]
- [[Chi-Verteilung]]
- [[Delta-Methode]]
- [[Ereignisrisiko]]
- [[Erweiterte Zufallsvariable]]
- [[Frankfurter Schule der Statistik]]
- [[Gitterförmige Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Kolmogorow-Verteilung]]
- [[Komonotone Zufallsvariablen]]
- [[Liste statistischer Zeitschriften]]
- [[Multiples Testen]]
- [[Quadratische Formen von Zufallsvariablen]]
- [[Satz über Typenkonvergenz]]
- [[Šidák-Korrektur]]
- [[Šidák-Ungleichung]]
- [[Stutzung]]
- [[Subverteilungsfunktion]]
- [[Verteilungstyp]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]]
</div>

==== Zeitschriften und Schriftenreihen ====
<div style="height: 80px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
'''A'''
[[Ablauf- und Planungsforschung (Zeitschrift)|Ablauf- und Planungsforschung]]
- [[Allgemeines Statistisches Archiv]]
- [[AStA Advances in Statistical Analysis]]
- [[AStA Wirtschafts- und Sozialstatistisches Archiv]]
- [[Austrian Journal of Statistics]]
'''B'''
[[Bank-Archiv – Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen]]
'''D'''
[[Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren]]
'''L'''
[[Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics]]
- [[Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems]]
- [[Lecture Notes in Statistics]]
- [[Lecture Notes in Statistics – Proceedings]]
'''M'''
[[Mathematical Methods of Operations Research]]
- [[Metrika]]
- [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]]
'''O'''
[[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Österreichisches Bank-Archiv]]
'''R'''
[[Risknews]]
'''S'''
[[Statistical Papers]]
- [[Statistische Hefte]]
- [[Systems Analysis, Modelling, Simulation]]
'''T'''
[[The Annals of Applied Probability]]
- [[The Annals of Applied Statistics]]
- [[The Journal of Risk Model Validation]]
'''U'''
[[Unternehmensforschung (Zeitschrift)|Unternehmensforschung]]
'''Z'''
[[Zeitschrift für handelswissenschaftliche Forschung]]
- [[Zeitschrift für Operations-Research]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 60px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;">
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Paul Flaskämper]]
- [[Heinrich Hartwig]]
- [[Siegfried Heiler]]
- [[Stefan Huschens]]
- [[Hans Kellerer]]
- [[Peter von der Lippe]]
- [[Johann Pfanzagl]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Bernhard Rüger]]
- [[Friedrich Schmid (Statistiker)]]
- [[Heinz J. Skala]]
- [[Slawtscho Sagoroff]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]]
- [[Kurt Stange]]
- [[Horst Stenger]]
- [[Gerhard Tintner]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[Wolfgang Wetzel (Statistiker)]]
- [[Franz Žižek]]
</div>

==== Weiterleitungen ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Abschneidetechnik]]
- [[Oskar N. Anderson]] - [[T. W. Anderson]]
- [[ARIMA-Modell]] - [[ARMAX-Modell]]
- [[Atomloser Wahrscheinlichkeitsraum]] -
[[Bedingendes Ereignis]] - [[Bedingtes Ereignis]] - [[Beidseitig gestutzte Verteilung]] -
[[Bereichsmitte]]- [[Bereichsmittel]] - [[Bernoulli-Parameter]] - [[Bernoulli-Variable]] - [[Bernoulli-verteilt]] -
[[Beschränkte Mengenfunktion]]
- [[Binomialverteilt]]
- [[Black-Litterman-Modell]]
- [[George E. P. Box]]
- [[Rainer Ernst Burkard]]
- [[Cauchy-Kern]] - [[Cauchy-verteilt]]
- [[Charakteristischer Exponent]]
- [[Chi-verteilt]]
- [[Degenerierte Verteilung]] - [[Degenerierte Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
- [[Doppelte Exponentialverteilung]]
- [[Eigentliches Komplement]] - [[Einpunktverteilung]] - [[Einseitig gestutzt]]
- [[Endlich additive Mengenfunktion]]
- [[Endliche Additivität]]
- [[Erzeugte Sigma-Algebra]]
- [[Fast sicheres Ereignis]] - [[Fast unmögliches Ereignis]]
- [[Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art]]
- [[Führender Hauptminor]] - [[Funktionale Delta-Methode]] - [[Fuzzy-Relation]]
- [[Gauß-Kern]] - [[Gaußsches Zufallsfeld]]
- [[Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Geschichtete Stichprobenziehung]] - [[Gespiegelte Weibull-Verteilung]] - [[Gestutzte Version]] - [[Gestutzte Verteilung]] - [[Gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate]] - [[Gewogener arithmetischer Mittelwert]]
- [[Gitterkonstante (Stochastik)]]
- [[Gleichungsrestriktion]]
- [[Grenzverteilung]]
- [[Hamburgersches Momentenproblem]] - [[Hausdorffsches Momentenproblem]]
- [[Isotropes Zufallsfeld]]
- [[Inzidenzrelation]]
- [[I. P. Natanson]]
[[Klassierte Daten]] -
[[Kohärentes Risikomaß]] - [[Kolmogorow-verteilt]] - [[Komonotonie]] - [[Komonotone Additivität]]
- [[Lagefamilie]]
- [[Limesverteilung]]
- [[Linksseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Logit-Funktion]]
- [[Logit-Transformation]]
- [[Mengentheoretische Differenz]]
- [[Mitteilungsblatt der Österreichischen Gesellschaft für Statistik und Informatik]] - [[Mitteilungsblatt / Österreichische Statistische Gesellschaft]] - [[Mittlere absolute Differenz]] - [[Mittlere Differenz]]
- [[Monetäres Risikomaß]]
- [[Multinomiales Logit-Modell]]
- [[Notwendiger Stichprobenumfang]]
- [[Nichtnegativ definit]]
- [[Nicht-negativ]]
- [[Obere Quantilfunktion]]
- [[Oberes Quantil]]
- [[Optionszeit]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik]]
- [[Österreichische Zeitschrift für Statistik und Informatik]]
- [[Oskar N. Anderson]]
- [[Poisson-verteilt]]
- [[Positiv semidefinite Kovarianzfunktion]]
- [[Probitanalyse]]
- [[Probit-Funktion]]
- [[Probit-Transformation]]
- [[Prozess zweiter Ordnung]]
- [[Quantiltransformation]]
- [[Rainer E. Burkhard]]
- [[Randverteilungsfunktion]]
- [[Rechtsseitig gestutzte Verteilung]]
- [[Reellwertiger stochastischer Prozess]]
- [[Reguläre Distribution]]
- [[Rückweisungsmethode]]
- [[Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]]
- [[Schwach kohärentes Risikomaß]]
- [[Sigma-additive Mengenfunktion]]
- [[Singuläre Distribution]]
- [[Stabiler Verteilungstyp]] - [[Standard-Cauchy-Verteilung]] - [[Stationär im engeren Sinn]] - [[Stationär im weiteren Sinn]] - [[Statistisches Testverfahren]]
- [[Stichprobenlänge]] - [[Stieltjessches Momentenproblem]]
- [[Stutzungsmethode]]
- [[Umfang (Statistischer Test)]]
- [[Ungleichungsrestriktion]] - [[Untere Quantilfunktion]] - [[Unteres Quantil]] - [[Unvereinbare Ereignisse]] - [[unverzerrt]]
- [[VARMA-Modell]]
- [[Verbandsgeordnete Menge]]
- [[Wahrscheinlichkeitsalgebra]]
- [[Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics]]
- [[Zentrierte Zufallsvariable]]
- [[Uwe T. Zimmermann]]
- [[ZOR – Methods and Models of Operations Research]]
- [[Zufallselement]] - [[Zufallszahlenerzeugung]]
- [[Zufällige Variable]] - [[Zufällige Veränderliche]] - [[Zufälliges Element]]
- [[Zufälliges Feld]] - [[Zulässiger Punkt]]
- [[Zweiseitig gestutzt]]
</div>

=== Überarbeitung und Ergänzung von Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ===
==== Portale ====
<div style="height: 50px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Portal:Statistik/Aktuelles]]
- [[Portal:Statistik/Literatur]]
- [[Portal:Statistik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal:Statistik/Themen3]]
- [[Portal:Statistik/Themen2]]
- [[Portal:Mathematik/Fehlende Artikel]]
- [[Portal Diskussion:Statistik]]
- [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] -
- [[Portal Diskussion:Mathematik]] -
- [[Portal Diskussion:Statistik]] -
- [[Portal:Österreich/Fehlende Artikel]] -
</div>

==== Sachartikel ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Ablehnbereich und Annahmebereich]] - [[Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] - [[Abzählbare Menge]]
- [[Adäquation]] - [[Adäquationsproblem]] - [[Additives Funktional]]
- [[Affine Ebene]] - [[Affiner Raum]]
- [[Algebra (Mengensystem)]] - [[Allianz der Wissenschaftsorganisationen]] - [[Alphafehler-Kumulierung]]
- [[Anpassungsgüte]]
- [[Asymptotische Dichte]]
- [[Ausreißer]] - [[Autokorrelation]] - [[Autokovarianzfunktion]]
- [[Bank-Archiv]]
- [[Benfordsches Gesetz]] - [[Bestimmtheitsmaß]]
- [[Bielefeld-Verschwörung]] - [[Binomialverteilung]]
- [[Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Boolesche Algebra]] - [[Bonferroni-Korrektur]] - [[Box-Plot]]
- [[Brill (Verlag)]] - [[Brownsche Brücke]] - [[Bruchpunkt]]
- [[Casella]]
- [[Charakteristische Funktion (Stochastik)]]
- [[Conditional Value at Risk]]
- [[Delta-Distribution]] - [[Delta-Methode zweiter Ordnung]] - [[Deutsche Statistische Gesellschaft]] - [[Definitheit]]
- [[Dirac-Verteilung]] - [[Diskrete Ordnung]] - [[Diskriminanzanalyse]] - [[Dispersionsmaß (Stochastik)]] - [[Distribution (Mathematik)]]
- [[Dynkin-System]]
- [[Empirische Varianz]] - [[Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Empirisches Quantil]]
- [[Entartung]]
- [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)]] - [[Ergebnisraum]] - [[Erhebung (Empirie)]]
- [[Euler-Mascheroni-Konstante]]
- [[Explorative Datenanalyse]] - [[Exponentialfamilie]]
- [[Faltung (Stochastik)]] - [[Falscherkennungsrate]] - [[Fano-Ebene]]
- [[Fehler 1. und 2. Art]]
- [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Formel von Wald]]
- [[Funktion (Mathematik)]] - [[Fuzzy-Menge]] - [[Fuzzy-Regler]]
- [[Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum]] - [[Gauß-Prozess]]
- [[Geordnete Stichprobe]] - [[Geordneter Vektorraum]]
- [[gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
- [[Gini-Koeffizient]]
- [[Gleichmäßig bester Test]]
- [[Grundgesamtheit]] - [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]]
- [[Gumbel-Verteilung]]
- [[Hosmer-Lemeshow-Test]]
- [[Huber-k-Schätzer]] - [[Hurwitzpolynom]]
- [[Indeterminismus]] - [[Inhalt (Maßtheorie)]] - [[Insolvenzprognoseverfahren]] - [[International Statistical Institute]] - [[Inzidenz (Geometrie)]] - [[Inzidenzrelation]] - [[Inzidenzstruktur]]
- [[Irrtumswahrscheinlichkeit]]
- [[Kartesisches Produkt]]
- [[Kerndichteschätzer]] -
[[Klasseneinteilung (Statistik)]] - [[Klassifikationsverfahren]]
- [[Kollektives Modell]] - [[Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Konstruktivität]] - [[Konvergenz in Verteilung]] - [[Kovarianzfunktion]] - [[Kovarianzmatrix]]
- [[Kreuzentropie]]
- [[Kriging]] - [[Kritischer Wert (Statistik)]]
- [[Lateinisches Quadrat]] - [[Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Leeres Modell]]
- [[Liste bedeutender Statistiker]] - [[Liste stochastischer Prozesse]] - [[Liste von Zufallszahlengeneratoren]] - [[Liste wirtschaftswissenschaftlicher Zeitschriften]]
- [[Logistische Regression]] - [[Lokale Grenzwertsätze]]
- [[M-Schätzer]] - [[Maß (Mathematik)]] - [[Mathematica]] - [[Mathematische Optimierung]] - [[Matrix (Mathematik)]] - [[Maximin-Test]]
- [[Median-Regression]] - [[Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Mengenfunktion]] - [[Messtheorie]] - [[Messung]] -
[[Mittelwert]] -
- [[Moment (Stochastik)]] - [[Momentenproblem]] -[[Momenterzeugende Funktion]] - [[Monotone reelle Funktion]] - [[Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Multivariate Verteilung]]
- [[Nebenbedingung]]
- [[Neyman-Kriterium]] - [[Neyman-Pearson-Test]]
- [[Nichtparametrische Statistik]] - [[Nichtrandomisierter Test]]
- [[Normal-Approximation]] - [[Normalverteilung]]
- [[Operations Research]] - [[Optimierungsproblem]] - [[Ordnungsstatistik]]
- [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Partielle Autokorrelationsfunktion]] - [[Partielle Funktion]] - [[Partieller Korrelationskoeffizient]]
- [[Positive und negative Zahlen]]
- [[Preisindex]]
- [[Probit]] - [[Produkt-%CF%83-Algebra]] - [[Projektiver Raum]]
- [[Quantilsregression]]
- [[Randomisierter Test]]
- [[Reproduktivitätseigenschaft]]
- [[Risiko]] - [[Risikomaß]]
- [[Robuste Schätzverfahren]] - [[Rossi-Verteilung]]
- [[Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Sigmoidfunktion]] - [[Signal]] - [[Signifikanztest]]
- [[Skala (Empirie)]]
- [[Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse]] -
- [[Standardisierung (Statistik)]] - [[Stationärer stochastischer Prozess]] - [[Statistics Surveys]] - [[Statistische Signifikanz]] - [[Statistischer Test]]
- [[Stichprobenfunktion]] - [[Stichprobenkovarianz]] - [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] - [[Stichprobensumme]] - [[Stichprobenverteilung]]
[[Stochastischer Prozess]] -
[[Strenger Test]] - [[Streuungsmaß (Statistik)]] -
[[Studentsche t-Verteilung]] - [[Stutzung]]
- [[Suffiziente Statistik]]
- [[Sylvester-Kriterium]] - [[System Dynamics]]
- [[The Annals of Probability]] - [[The Annals of Statistics]]
- [[Trennschärfe eines Tests]] - [[Trichotomie]] - [[Trunkierung]]
- [[Übergangsmatrix]]
- [[Umfang]]
- [[Value at Risk]]
- [[Varianz (Stochastik)]]
- [[Variation (Kombinatorik)]]
- [[Vektorprozess]]
- [[Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion]]
- [[Verwerfungsmethode]]
- [[Vollständiger Raum]] - [[Vollständiges Maß]]
- [[Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Wahrscheinlichkeitsnetz]]
- [[Weibull-Verteilung]]
- [[Wienerprozess]] - [[Wiley Series in Probability and Statistics]] - [[Wissenschaftsverlag]]
- [[Zahlungsdiensterichtlinie]]
- [[Zeitinvarianz]] - [[Zeitreihenanalyse]]
- [[Zentrierung (Statistik)]] - [[Zielfunktion]]
- [[Zufallsfeld]] - [[Zufallsmatrix]] - [[Zufallsstichprobe]] - [[Zufallsvariable]]
- [[Σ-Algebra]]
</div>

==== Personenartikel ====
<div style="height: 200px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Oskar Anderson (Konjunkturforscher)]]
- [[Oskar Anderson (Statistiker)]]
- [[Ludwig von Auer]]
- [[Günter Bamberg]] - [[Arne Bathke]]
- [[Karl Otwin Becker]]
- [[Patrick Billingsley]] - [[Kurt Binder]]
- [[Tommy Bonnesen]]
- [[Hans Wolfgang Brachinger]] - [[Martin Brokate]]
- [[Herbert Büning]]
- [[Dietrich Bierlein]]
- [[George Box]]
- [[Harald Cramér]]
- [[Wolfgang Domschke]] - [[Joseph L. Doob]]
- [[Wolfgang Drobetz]]
- [[Ludwig Fahrmeir]]
- [[Gustav Theodor Fechner]] - [[William Feller]] - [[Werner Fenchel]]
- [[Ronald Aylmer Fisher]] - [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] - [[Hannelore Fischer (Ökonomin)|Hannelore Fischer]]
- [[Hans Föllmer]] - [[Otto Forster]]
- [[Gabriel Frahm]]
- [[Ursula Gather]] - [[Peter Gänßler]] - [[Christian Gouriéroux]] - [[Heinz Grohmann]] - [[Emil Julius Gumbel]]
- [[Gottfried Haber]] - [[Frank Hampel]] - [[Joachim Hartung]]
- [[Dieter Heermann]] - [[Siegfried Heiler]] - [[Norbert Henze]]
- [[Karl Hinderer]]
- [[Harold Hotelling]]
- [[Peter J. Huber]] - [[Stefan Huschens]]
- [[Martin Kneser]]
- [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
- [[Stefan Lang (Statistiker) |Stefan Lang]]
- [[Ulrike Leopold-Wildburger]]
- [[Paul Malliavin]]
- [[Günter Menges (Ökonom)]] - [[Peter Mertens (Wirtschaftsinformatiker)]]
- [[Oskar Morgenstern]] - [[Karl Mosler]]
- [[Ulrich Müller-Funk]]
- [[Leopoldo Nachbin]] - [[Isidor Pawlowitsch Natanson]]
- [[Werner Neubauer (Statistiker)]]
- [[Iris Pigeot]]
- [[Fritz Pokropp]
- [[Alexander Robert Pruss]]
- [[Susanne Rässler]] - [[Dieter Rasch]]
- [[Pál Révész]]
- [[Horst Rinne]]
- [[Ralph Tyrrell Rockafellar]]
- [[Hartmut Sangmeister]] - [[Heinz Sauermann]]
- [[Walter A. Shewhart]]
- [[Stefan Schäffler]] - [[Rainer Schlittgen]] - [[Armin Scholl]] - [[Leopold Schmetterer]] - [[Hans Schneeweiß]] - [[Katharina Schüller]]
- [[Reinhard Selten]]
- [[Gerhard Stahl (Statistiker)]] - [[Horst Stenger]] - [[Dietrich Stoyan]] - [[Heinrich Strecker (Mathematiker)]] - [[Daniel Stroock]]
- [[Götz Trenkler]] - [[Gerhard Tutz]]
- [[Helge Toutenburg]]
- [[James Victor Uspensky]]
- [[Aad van der Vaart]] - [[Jacobus van Lint]] - [[Richard Vahrenkamp]]
- [[Adolf Wagner (Ökonom)]] - [[Abraham Wald]]
- [[Kurt Weichselberger]]
- [[Herbert Wilf]] - [[Jochen Wilhelm]] - [[Wilhelm Winkler (Statistiker)]] - [[Hermann Witting]]
- [[Herman Wold]]
- [[Günther Ziegler]] - [[Uwe Zimmermann (Mathematiker)]]
</div>

==== Vorlagen ====
<div style="height: 30px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
- [[Vorlage:Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen|Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen]]
- [[Vorlage:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Infobox Verteilung]] - [[Vorlage Diskussion:Literatur]]

</Div>

==== Diskussion zu Wikipedia-Artikeln (Auswahl) ====
<div style="height: 240px; overflow: auto; padding: 2px; border:2px solid black;" >
[[Diskussion:Abzählbare Menge|Abzählbare Menge]]
- [[Diskussion:Adäquation|Adäquation]]
- [[Diskussion:Adäquationsproblem|Adäquationsproblem]]
- [[Diskussion:Äquivalenztest|Äquivalenztest]]
- [[Diskussion:Algebra (Mengensystem)|Algebra (Mengensystem)]]
- [[Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen|Alpha-stabile Verteilungen]]
- [[Diskussion:Analytischer Grenzwertbegriff|Analytischer Grenzwertbegriff]]
- [[Diskussion:Anwendung von Gaußprozessen|Anwendung von Gaußprozessen]]
- [[Diskussion:Auswahlsatz|Auswahlsatz]]
- [[Diskussion:ARIMA-Modell|ARIMA-Modell]]
- [[Diskussion:Atom (Maßtheorie)|Atom (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Ausreißer|Ausreißer]] - [[Diskussion:Autokorrelation|Autokorrelation]]
- [[Diskussion:Banachraum|Banachraum]]
- [[Diskussion:Bernstein-Ungleichung (Stochastik)|Bernstein-Ungleichung (Stochastik)]] - [[Diskussion:Beurteilung eines binären Klassifikators|Beurteilung eines binären Klassifikators]]
- [[Diskussion:Bijektive Funktion|Bijektive Funktion]] - [[Diskussion:Bilinearform|Bilinearform]] - [[Diskussion:Binder-Kumulante|Binder-Kumulante]] - [[Diskussion:Binomialverteilung|Binomialverteilung]]
- [[Diskussion:Black-Litterman-Verfahren|Black-Litterman-Verfahren]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Boolesche Algebra |Boolesche Algebra]] - [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Boltzmann-Statistik|Boltzmann-Statistik]] - [[Diskussion:Bootstrapping-Verfahren|Bootstrapping]]
- [[Diskussion:Brownsche Brücke|Brownsche Brücke]]
- [[Diskussion:Bruchpunkt|Bruchpunkt]]
- [[Diskussion:Buffonsches Nadelproblem|Buffonsches Nadelproblem]]
- [[Diskussion:Càdlàg-Funktion|Càdlàg-Funktion]]
- [[Diskussion:Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis]]
- [[Diskussion:David-Hartley-Pearson-Test|David-Hartley-Pearson-Test]]
- [[Diskussion:Definitheit|Definitheit]] - [[Diskussion:Delta-Distribution|Delta-Distribution]]
- [[Diskussion:Die Lust am Text|Die Lust am Text]] - [[Diskussion:Dirac-Verteilung|Dirac-Verteilung]] - [[Diskussion:Dispersionsindex|Dispersionsindex]]
- [[Diskussion:Dualität von Lp-Räumen|Dualität von Lp-Räumen]]
- [[Diskussion:Empirische Risikominimierung|Empirische Risikominimierung]]
- [[Diskussion:Empirische Verteilungsfunktion|Empirische Verteilungsfunktion]] - [[Diskussion:Empirisches Quantil|Empirisches Quantil]]
- [[Diskussion:Erhebung (Empirie)|Erhebung (Empirie)]] - [[Diskussion:Ereignis|Ereignis]] - [[Diskussion:Ereignisrisiko|Ereignisrisiko]]
- [[Diskussion:Extremwerttheorie|Extremwerttheorie)]]
- [[Diskussion:Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Fréchet-Verteilung|Fréchet-Verteilung]]
- [[Diskussion:Funktion (Mathematik)|Funktion (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Gaußsches Maß|Gaußsches Maß]] - [[Diskussion:Gauß-Prozess|Gauß-Prozess]]
- [[Diskussion:Gelman-Rubin-Statistik|Gelman-Rubin-Statistik]] - [[Diskussion:Geordneter Körper|Geordneter Körper]]
- [[Diskussion:Gepaarte Zufallsstichprobe|Gepaarte Zufallsstichprobe]]
- [[Diskussion:Graph (Graphentheorie)|Graph (Graphentheorie)]] - [[Diskussion:Grenzwert (Folge)|Grenzwert (Folge)]] - [[Diskussion:Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]]
- [[Diskussion:Hochrechnung|Hochrechnung]]
- [[Diskussion:Hypothese|Hypothese]]
- [[Diskussion:Imaginäre Zahl|Imaginäre Zahl]] - [[Diskussion:Importance Sampling|Importance Sampling]]
- [[Diskussion:Impuls-Antwort-Funktion|Impuls-Antwort-Funktion]]
- [[Diskussion:Indeterminismus|Indeterminismus]] - [[Diskussion:Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt (Maßtheorie)]]
- [[Diskussion:Intervallskala|Intervallskala]] - [[Diskussion:Interventionsmodell|Interventionsmodell]]
- [[Diskussion:Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]]
- [[Diskussion:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] - [[Diskussion:Komplement (Mengenlehre)|Komplement (Mengenlehre)]] - [[Diskussion:Kontingenzkoeffizient|Kontingenzkoeffizient]]
- [[Diskussion:Kriging|Kriging]] - [[Diskussion:Kritischer Wert (Statistik)|Kritischer Wert (Statistik)]]
[[Diskussion:Lageparameter (deskriptive Statistik)|Lageparameter (deskriptive Statistik)]]
- [[Diskussion:Lateinisches Quadrat|Lateinisches Quadrat]]
- [[Diskussion:Leeres Modell|Leeres Modell]] - [[Diskussion:Levene-Test|Levene-Test]] - [[Diskussion:Likelihood-Funktion]]
- [[Diskussion:Links- und rechtsseitige Stetigkeit|Links- und rechtsseitige Stetigkeit]]
- [[Diskussion:Liste bedeutender Statistiker|Liste bedeutender Statistiker]] - [[Diskussion:Liste stochastischer Prozesse|Liste stochastischer Prozesse]]
- [[Diskussion:Logistische Regression|Logistische Regression]] - [[Diskussion:Lokale Grenzwertsätze|Lokale Grenzwertsätze]]
- [[Diskussion:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] - [[Diskussion:Mathematische Optimierung|Mathematische Optimierung]] - [[Diskussion:Matrix (Mathematik)|Matrix (Mathematik)]] - [[Diskussion:Maximum-Likelihood-Methode |Maximum-Likelihood-Methode]]
- [[Diskussion:Median|Median]] - [[Diskussion:Mehrdimensionale Normalverteilung|Mehrdimensionale Normalverteilung]] - [[Diskussion:Mengenlehre|Mengenlehre]] - [[Diskussion:Messraum (Mathematik)|Messraum (Mathematik)]] - [[Diskussion:Messung|Messung]] - [[Diskussion:Metrischer Raum|Metrischer Raum]]
- [[Diskussion:Mittlere quadratische Abweichung|Mittlere quadratische Abweichung]]
- [[Diskussion:Moment (Stochastik)|Moment (Stochastik)]] - [[Diskussion:Momentenproblem|Momentenproblem]] [[Diskussion:Momenterzeugende Funktion|Momenterzeugende Funktion]] - [[Diskussion:Monotone reelle Funktion|Monotone reelle Funktion]] - [[Diskussion:Monte-Carlo-Simulation|Monte-Carlo-Simulation]]
- [[Diskussion:Neyman-Pearson-Lemma|Neyman-Pearson-Lemma]]
- [[Diskussion:Nichtdeterminismus|Nichtdeterminismus]] - [[Diskussion:Nichtparametrische Statistik|Nichtparametrische Statistik]]
- [[Diskussion:Nominalskala|Nominalskala]] - [[Diskussion:Normal-Approximation|Normal-Approximation]] - [[Diskussion:Normalverteilung|Normalverteilung]] - [[Diskussion:Notwendige und hinreichende Bedingung]]
- [[Diskussion:Ornstein-Uhlenbeck-Prozess|Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]]
- [[Diskussion:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]]
- [[Diskussion:Ordnungsstatistik|Ordnungsstatistik]]
- [[Diskussion:Partielle Funktion|Partielle Funktion]]
- [[Diskussion:Polnischer Raum|Polnischer Raum]]
- [[Diskussion:Polytop (Geometrie)|Polytop (Geometrie)]]
- [[Diskussion:Positive und negative Zahlen|Positive und negative Zahlen]]
- [[Diskussion:Preisindex|Preisindex]]
- [[Diskussion:Probit-Modell|Probit-Modell]]
- [[Diskussion:Relativ|Relativ]]
- [[Diskussion:Quantisierung (Physik)|Quantisierung (Physik)]] - [[Diskussion:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
- [[Diskussion:Relation (Mathematik)|Relation (Mathematik)]]
- [[Diskussion:Robuste Schätzverfahren|Robuste Schätzverfahren]] - [[Diskussion:Roland Barthes|Roland Barthes]]
- [[Diskussion:Satz von Bernstein-von-Mises|Satz von Bernstein-von-Mises]] - [[Diskussion:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]]
- [[Diskussion:Walter A. Shewhart|Walter A. Shewhart]]
- [[Diskussion:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]]
- [[Diskussion:Stefan Schäffler|Stefan Schäffler]]
- [[Diskussion:Schätzfehler|Schätzfehler]] - [[Diskussion:Schätzfunktion|Schätzfunktion]]
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- [[Diskussion:Ultrafilter|Ultrafilter]]
- [[Diskussion:Variation (Kombinatorik)|Variation (Kombinatorik)]]
- [[Diskussion:Vektorautoregressive Modelle|Vektorautoregressive Modelle]] - [[Diskussion:Verallgemeinerte lineare Modelle|Verallgemeinerte lineare Modelle]]
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- [[Diskussion:Wachstum (Mathematik)|Wachstum (Mathematik)]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsfunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] -[[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsinhalt|Wahrscheinlichkeitsinhalt]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaß]] - [[Diskussion:Wahrscheinlichkeitsraum|Wahrscheinlichkeitsraum]]
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- [[Diskussion:Zeitreihenanalyse|Zeitreihenanalyse]]
- [[Diskussion:Ziegenproblem|Ziegenproblem]] - [[Diskussion:Ziehen mit Zurücklegen|Ziehen mit Zurücklegen]]
- [[Diskussion:Zufallsstichprobe|Zufallsstichprobe]] - [[Diskussion:Zufallsvariable|Zufallsvariable]] - [[Diskussion:Zusammenhangsmaß|Zusammenhangsmaß]]
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* Geschichte: [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword Earliest Uses of Some Words of Mathematics] - [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym Earliest Uses of Various Mathematical Symbols] - [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/stat/ Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics] - [https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/welcome.htm Peter M. Lee (1940-2017): Materials for the History of Statistics] - [https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/lifework.htm P. M. Lee: Life and Work of Statisticians] - [https://web.archive.org/web/20220330113904/http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm John Aldrich (19??-20??): Figures from the History of Probability and Statistics]
* [https://www.aleph1.info/?call=Publikationen Online-Publikationen von O. Deiser]

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;Auszeichnen
* <code><nowiki>''kursiv''</nowiki></code> ''kursiv''
* <code><nowiki>'''fett'''</nowiki></code> '''fett'''
* <code><nowiki>'''''kursiv und fett'''''</nowiki></code> '''''kursiv und fett'''''
;Gliedern
* Gliederungspunkt (Zeilenanfang): <code><nowiki>*</nowiki></code>
* Nummerierung (Zeilenanfang): <code>#</code>
* Einrückung (Zeilenanfang): <code><nowiki>:</nowiki></code>
* Definition (Zeilenanfang): <code><nowiki>;Text :text</nowiki></code> erzeugt
;Text :text
:<code><nowiki>:;Text2 :text2</nowiki></code> erzeugt
:;Text2 :text2
: Das Leerzeichen vor <code>:</code> ist redundant, dient aber der Übersichtlichkeit.
* Die Einrückungen von <code>*</code> und <code>:</code> sind identisch, aber <code>#</code> erzeugt abweichende Einrückungen.

==== HTML-Formatierung ====
* Kommentar: <code><nowiki></nowiki></code>
* Als Code formatieren <code><nowiki><code> 1 + 1 + Text </code></nowiki></code> <code> 1 + 1 + Text</code>
* Wikicode ohne Ausführung <code><nowiki><nowiki> ... </nowiki></nowiki></code>
* Zeilenumbruch <code><nowiki><br /></nowiki></code>, '''nicht''' <code><nowiki><br></nowiki></code> oder <code><nowiki></br></nowiki></code> (aus Kompatibilitätsgründen zu XHTML, HTML5 usw.)
* <code><nowiki><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift </div></nowiki></code><div style="font-size:smaller;">kleinere Schrift</div> <code><nowiki><small>kleinere Schrift</small></nowiki></code><small>kleinere Schrift</small> nicht über Überschriften usw. hinweg benutzen.
* TimeLine-Erweiterung [https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:EasyTimeline EasyTimeline]
* Mathematik-Umgebung: Auf die Formel <math id="F17">17+1=18</math> mit id="F17" wird mit [[#F17]] ein Link erzeugt.

==== Satz- und Sonderzeichen ====
'Alt + vier Ziffern' auf (angeschaltetem !) numerischen Tastaturblock.
; Halbgeviertstrich
HTML &ndash; oder ALt+0150. Beispiel: ■–■
; Apostroph und Anführungszeichen
* Apostroph: Alt+0146. Beispiel: ■’■
* deutsch doppelt: Alt+0132 Alt+0147. Beispiel: „■“
* deutsch einfach: Alt+0130 Alt+0145. Beispiel: ‚■‘
* Französische Anführungszeichen werden mit Leerzeichen verwendet: Alt+0171 Alt+0187. Beispiel: « ■ »
; Geschützte Leerzeichen
* [[Geschütztes Leerzeichen]] <nowiki>&bnsp;</nowiki> Alt+0160. Beispiel: ■ ■
* '''Schmales''' geschütztes Leerzeichen: LaTeX: <code><nowiki>\, \thinspace</nowiki></code>, HTML: &#x202F; | &#8239; Beispiel: ■ ■ ■ (problematisch aus Kompatibilitätsgründen)
:In manchen Anwendungen (nicht Wikipedia-Editor) erzeugt Alt+8239 ein schmales geschütztes Leerzeichen.

==== Zitat ====
Mit der [[Vorlage:Zitat]] wird ein Zitat eingebunden. Sie muss Zeilenanfang stehen. Es gibt mehrere Parameter für die Quellenangabe und Angabe der Sprache.
* <code><nowiki>{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}</nowiki></code>
{{Zitat|Was ich schon immer sagen wollte!|Alfred Schwätzer|Quelle}}

==== Tabellen (Test ausklappbare Anmerkungen) ====
<ref group="A" name="Eins"></ref><ref group="B">Test 2</ref><ref group="A">Test 3</ref>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [A1], [A2] usw.
|
<references group="A">
<ref name="Eins">TEST1</ref>
</references>
|}
</div>
<div style="font-size:smaller;">
{| class="wikitable mw-collapsible" style="width: 100%"
|+ style="text-align:left;" | Anmerkungen [B1], [B2] usw.
|
<references group="B" />
|}
</div>

=== Literatur und Belege (Einzelnachweise) ===

==== [[Vorlage:Literatur]] <nowiki>{{Literatur | ... }}</nowiki> ====
* "Jahr=", "Monat=", "Tag=" ist veraltet, jetzt <code>Datum=2022</code>, <code>Datum=2022-12</code> oder <code>Datum=2022-12-31</code>.
* Mehrere Verlagsorte: <code>Verlag=Berlin / Heidelberg / New York</code>

;Kuzversionen
* Buch: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Zeitschriftenaufsatz: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Datum= |Seiten= |DOI=}}</nowiki></code>
* Beitrag im Sammelwerk: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Schriftenreihe mit Herausgeber: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>
* Beitrag in Sammelwerk und Schriftenreihe: <code><nowiki>{{Literatur |Autor= |Titel= |Hrsg= |Sammelwerk= |Reihe= |BandReihe= |HrsgReihe= |Band= |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=}}</nowiki></code>

;Beispiele
* Zeitschriftenaufsatz:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Dorothy Maharam |Titel=Finitely Additive Measures on the Integers |Sammelwerk=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961–2002) |Band=38 |Nummer=1 |Datum=1976 |Seiten=44–59 |JSTOR=25050025}}

* Buch mit Reihe und Fundstelle:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=[[Albert Nikolajewitsch Schirjajew|A. N. Širjaev]] |Titel=Wahrscheinlichkeit |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=91 |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1988 |ISBN=3-326-00195-9 |Seiten=185 |Fundstelle=Satz 2}}
* Buch mit Herausgeber, Band, Auflage und DOI:
:<code><nowiki>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2>}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Lexikon der Mathematik |Band=Band 2. Eig bis Inn |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53503-5 |Seiten=78 |DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
* Zitiervorlage für einen Artikel in der 'Encyclopedia of Statistical Sciences':
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor= Piotr W. Mikulski |Titel=Bonferroni, Carlo Emilio |Hrsg=[[Samuel Kotz]] et al. |Sammelwerk=Encyclopedia of Statistical Sciences |Band=1 |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=2006 |ISBN=978-0-471-15044-2 |Auflage=2 | DOI=10.1002/0471667196 |Seiten=615–617}}
* Buch mit Band und Teilband:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) / Band 2. Der Hessische Landbote / Teilband 1., Text, Editionsbericht, Erläuterungen |Hrsg = Burghard Dedner |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |Ort = Darmstadt |Seiten = 219f | Datum = 2013 | ISBN= 978-3-534-155996}}
* Werkausgabe eines Autors:
:<code><nowiki>{{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}</nowiki></code> erscheint als: {{Literatur |Autor=Georg Büchner| Titel=Sämtliche Werke und Schriften: historisch-kritische Ausgabe mit Quellendokumentation und Kommentar (Marburger Ausgabe) |Hrsg = Burghard Dedner|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft|Ort = Darmstadt |Kommentar= in zehn Bänden und 14 Teilbänden, 2000-2013}}

==== [[Vorlage:Internetquelle]] ====
* Minimalversion: <code><nowiki>{{Internetquelle |url= |titel= |abruf= }}</nowiki></code>
* Mit Autor, Werk, Herausgeber und das Datum des Erscheinens: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |werk= |hrsg= |datum= |abruf= }}</nowiki></code>
* Vollständig: <code><nowiki>{{Internetquelle |autor= |url= |titel= |titelerg= |werk= |hrsg= |datum= |seiten= |format= |sprache= |offline= |archiv-url= |archiv-datum= |abruf= |abruf-verborgen= |kommentar= |zitat= }}</nowiki></code>

==== Vorlagen EU ====
* [[Vorlage:EU-Verordnung]] | [[Vorlage:EU-Richtlinie]] | [[Vorlage:EU-LegisSum]] | [[Vorlage:EUR-Lex-Rechtsakt]]

==== Beispiel für Einzelnachweise ====
*Dies ist ein Testtext<ref name="nachweisA"> Nachweis A </ref> mit zwei Referenzen.<ref> Nachweis B </ref>
*Hier erfolgt ein wiederholter Bezug (Mehrfachreferenzierung) auf den ersten Nachweis <ref name="nachweisA"/>.
*Wird derselbe Nachweis<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 17.</ref> wiederholt, aber mit unterschiedlichen Seitenangaben verwendet<ref>Kain Musterautor: ''Warum ich mich wiederhole.'' [Verlag,] Berlin 2022, [ISBN x-xxx-xxxxx-x,] S. 128.</ref>, so wird der Nachweis mit voller Literaturangabe und zusätzlicher Seitenangabe wiederholt.<ref>[[Hilfe:Einzelnachweise#Mehrfache Referenzierung desselben Werks mit verschiedenen Seitenangaben]] </ref>

;Belege / Einzelnachweise
<references />

== Arbeitshilfen zur Organisation ==
=== Auslagerung ===
* [[H:Artikelinhalte auslagern]]

=== Autoarchivierung ===
* Beispiel für die Einrichtung einer Autoarchivierung mit der [[Vorlage:Autoarchiv-Erledigt]] auf einer Diskussionsseite: <code><nowiki>{{Archiv-Tabelle}}{{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv'}}</nowiki></code> Dabei ist <code><nowiki>((Lemma))</nowiki></code> eine Botvariable für den jeweiligen Artikelnamen.
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST)}}
* Abschnitt zur Archivierung vorschlagen mit Kommentar: <code><nowiki> {{Erledigt |--~~~~ |Kommentar}}</nowiki></code> {{Erledigt |--[[Benutzer:Sigma^2|Sigma^2]] ([[Benutzer Diskussion:Sigma^2|Diskussion]]) 20:46, 6. Apr. 2023 (CEST) |Kommentar}}

=== Korrektur von Artikeln ===
==== Qualitätssicherung ====
<code><nowiki>{{QS-Mathematik}}
{{Überarbeiten|grund=Siehe im Einzelnen unter [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Normalverteilung]].}}
</nowiki></code>
==== Externen toten Link markieren ====
Mit der [[Vorlage:Toter Link]] kann ein externer toter Link markiert werden (interne tote Links erscheinen als Rotlink).
* <code><nowiki>[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]</nowiki></code>
:[https://deadlink.example.org/toterlink.html Seitentitel des toten Links]
:wird geändert zu:
:<code><nowiki>{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}</nowiki></code>
:und erscheint dann als
:{{Toter Link |date=2023-03-28 |url=https://deadlink.example.org/toterlink.html |text=Seitentitel des toten Links}}

==== Fehlende Belege monieren ====
Die [[Vorlage:Belege]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
* <code><nowiki>{{Belege}}</nowiki></code>
{{Belege}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Dieser Abschnitt}}</nowiki></code>
{{Belege|Erläuterung|Dieser Abschnitt}}
* <code><nowiki>{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}</nowiki></code> (1: 'ist' wird zu 'sind')
{{Belege|Text einer Erläuterung|Die Abschnitte ABC und XYZ|1}}

==== Lückhaftigkeit monieren ====
Die [[Vorlage:Lückenhaft]] muss zu Beginn einer Zeile stehen.
*<code><nowiki>{{Lückenhaft}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode}}
*<code><nowiki>{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}</nowiki></code>
{{Lückenhaft|Informationen zur untersuchten Personenzahl und Auswahlmethode|Im Abschnitt XYZ}}

=== Seite Löschen ===
[[Vorlage:Löschen]]

Mit der [[Vorlage:db-u1]] (Verwendung: <code><nowiki>{{db-u1}}</nowiki></code>) kann man eine Seite im eigenen Benutzerraum durch einen Administrator löschen lassen.

=== [[Weiterleitung]] ===
* [[H:Weiterleitung]] - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname]]</nowiki></code> - <code><nowiki>#WEITERLEITUNG [[Artikelname#Abschnittsüberschrift]]</nowiki></code>
=== [[Begriffsklärung]] ===
* [[H:Begriffsklärung]]
=== Kategorie ===
* [[H:Kategorie]]
=== Versionen ===
* [[H:Spezial]]
=== Kommunikation ===
* [[Vorlage:ping]]
=== Fehler beim Parsen ===
Mögliche Abhilfe durch Browseraufruf <nowiki>https://de.wikipedia.org/wiki/Artikelname;action=purge</nowiki>.
=== Graphiken einlagern ===
[[Datei:test.svg|200px]]
[[Datei:test.svg|200px|right]]
[[Datei:test.svg|mini]]
[[Datei:test.svg|mini|TEXT TEXT]]