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Ise Bosch

2025-04-02T09:25:37Z

Pascal.vollmer.fr: Hinweis auf eine mögliche Herkunft des Namens "Dreilinden"

'''Ise Bosch''' (* [[28. September]] [[1964]] in [[Stuttgart]]<ref>{{Munzinger|00000031374|Abruf=2024-03-12}}</ref>) ist eine deutsche Gründerin, [[Geschäftsführung (Deutschland)|Geschäftsführerin]] und Erbin sowie [[Verwandtschaftsbeziehung|Enkelin]] des [[Industrieller|Industriellen]] [[Robert Bosch]].<ref>{{Internetquelle |autor=Susanne Klingner |url=http://www.sueddeutsche.de/wirtschaft/plan-w-ise-bosch-geboren-mit-einer-million-mark-auf-dem-konto-1.2920353 |titel=Ise Bosch - geboren mit einer Million Mark auf dem Konto |werk=Süddeutsche Zeitung |datum=2016-04-25 |abruf=2018-04-28}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://geben-mit-vertrauen.de/ise-bosch/ |titel=Ise Bosch |werk=Geben mit Vertrauen |abruf=2019-07-02}}</ref>

== Leben ==
Ise Bosch wuchs in Stuttgart auf. Nach dem [[Abitur]] studierte sie 1985 bis 1988 Geschichte am [[Reed College]] in [[Portland (Oregon)|Portland]] (Oregon) und 1994 bis 1998 [[Jazz]] im Fach E-Bass an der [[Hanns-Eisler-Hochschule für Musik|Hochschule für Musik Hanns-Eisler]] in [[Berlin]].<ref name="cv3linden">[http://www.dreilinden.org/pdf/Kurzbiografie%20Ise%20Bosch.pdf Offizieller Lebenslauf] auf dreilinden.org</ref> In den 1990er-Jahren war sie als freiberufliche [[Musiker]]in im Bereich Jazz und Weltmusik tätig.<ref>[http://www.klangraeume.de/kompass4_009.htm Jazz, Ambient, Crossover, World ... 3] und dort [[CD]] ''Her Favorite Food, "Mahlzeit"'', auf klangraeume.de</ref>

Während ihres Aufenthaltes in den [[Vereinigte Staaten|USA]] kam Bosch mit dem amerikanischen Verständnis von [[Philanthropie]] in Berührung und setzt sich seitdem mit ihrem ererbten [[Vermögen (Wirtschaft)|Vermögen]] nachhaltig für sozialen Wandel ein. Seit den 1990er-Jahren spendet und stiftet sie gezielt in den Bereichen [[Menschenrechte]], Frauen und sexuelle Minderheiten.<ref>''[http://www.deutschlandradiokultur.de/geld-ist-ein-arbeitsmittel-gluecklich-machen-andere-dinge.954.de.html?dram:article_id=145926 Geld ist ein Arbeitsmittel, glücklich machen andere Dinge – Ise Bosch über die "Parallelgesellschaft" der Erbinnen]'', im Gespräch mit Susanne Führer, [[Deutschlandradio Kultur]] 6. Januar 2011</ref> So rief sie in New York 1996 den International Fund for Sexual Minorities der Astraea Lesbian Action Foundation ins Leben und gründete 2001 die international tätige Frauenstiftung [[Filia. Die Frauenstiftung|filia.die frauenstiftung]], für die sie von 2003 bis 2011 im Vorstand tätig war.<ref>https://www.filia-frauenstiftung.de/fileadmin/_migrated/content_uploads/2011_Geschaeftsbericht.pdf</ref> Außerdem ist sie Gründerin und Geschäftsführerin der Dreilinden gGmbH in Hamburg, die sich für die Rechte von lesbischen, bi-, [[Transgender|trans*]] und [[Intersexualität|Inter]]-Menschen, Frauen und Mädchen einsetzt.<ref>''[http://www.zeit.de/2012/30/Erbenrepublik Erbschaft: Wie viel Erbe ist gerecht?] – Die Deutschen besitzen so viel Vermögen wie nie zuvor. Drei reiche Nachkommen über ihr Schicksal, in Geld zu schwimmen'', von Kolja Rudzio, [[Die Zeit]] 30/12, 19. Juli 2012</ref><ref>[[Anne Weber (Autorin)]] erinnert in ihrem Buch "Ahnen" daran, dass "Dreilinden" der Name der "Dreilinden Maschinenbau GmbH" war, einer Fabrik des Bosch-Konzerns, auf deren Betriebsgelände in den Jahren 1944-45 ein Konzentrationslager eingerichtet war. Siehe Anne Weber: ''Ahnen''. Matthes&Seitz, Berlin, 2022, ISBN 978-3-7518-0093-8, S. 121. Siehe auch Angela Martin, Ewa Czerwiakowski: ''Muster des Erinnerns. Polnische Frauen als KZ-Häftlinge in einer Tarnfabrik von Bosch''. Metropol, 2005, ISBN 978-3-936411-69-0, zu dem Ise Bosch ein Vorwort verfasst hat.</ref>

Die zertifizierte Ecoanlageberaterin<ref>''[http://www.ecoanlageberater.de/deutschlandkarte.html Alle ecoanlageberater auf einen Blick]'', Infos mit Karte der Berater im deutschsprachigen Raum, auf ecoanlageberater.de / [https://www.google.com/maps/d/u/0/viewer?ll=51.193115%2C10.327148&spn=7.852341%2C9.536133&hl=de&msa=0&z=6&source=embed&ie=UTF8&mid=1jWRUtipDmdjD4d8qk4N67Fe1Vcc Karte] auf google.com/maps</ref> tritt öffentlich für den verantwortungsvollen und nachhaltigen Umgang mit Vermögen ein. Um den Austausch über strategisches Geldgeben zu fördern, gründete sie 2003 zusammen mit anderen Frauen [[Pecunia|Pecunia – Das ErbinnenNetzwerk]].<ref>Vera Bloemer: ''Stifterinnen. Frauen erzählen von ihrem Engagement – ein Lesebuch.'' Bundesverband deutscher Stiftungen, Berlin 2010, ISBN 978-3-941368-12-5, S. 45–51.</ref>

2007 erschien im [[Verlag C. H. Beck]] ihr Buch „Besser spenden! Ein Leitfaden für nachhaltiges Engagement“.<ref>{{Webarchiv |url=http://www.chbeck.de/Bosch-Besser-spenden_/productview.aspx?product=21555 |text=Bosch, Ise: ''Besser spenden! Ein Leitfaden für nachhaltiges Engagement'' |wayback=20150816145818}}, C.H. Beck, München 2007, ISBN 978-3-406-54797-3 – mit Leseproben, auf chbeck.de</ref> Die Neuauflage ihres Buches „Besser Spenden! Ein Leitfaden für nachhaltiges Engagement“ erschien 2021 im Herder Verlag.<ref>{{Internetquelle |url=https://besser-spenden.de/ |titel=Besser Spenden - Ein Buch von Ise Bosch |abruf=2021-03-12}}</ref>

2018 erschien ihr gemeinsam mit Claudia Bollwinkel und Justus Eisfeld verfasstes Buch „Geben mit Vertrauen. Wie Philanthropie transformativ wird“.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.buchhandelsgesellschaft.de/handelsware/geben-mit-vertrauen-wie-philanthropie-transformativ-wird-ise-bosch/ |titel=Geben mit Vertrauen - Wie Philanthropie transformativ wird {{!}} Ise Bosch |werk=BuchHandelsGesellschaft |abruf=2019-06-21}}</ref>

Ise Bosch ist Unterzeichnerin der Kampagne ''Proud to Pay More'', mit der sich Superreiche unter anderem beim [[Weltwirtschaftsforum]] 2024 für die [[Vermögensteuer|Besteuerung]] extrem hoher Vermögen einsetzen.<ref>{{Internetquelle |url=https://proudtopaymore.org/signatures |titel=Signatures |werk=Proud to Pay More |sprache=en-US |abruf=2024-01-19}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.dw.com/de/davos-superreiche-wollen-mehr-steuern-zahlen/a-68021329 |titel=Davos: Superreiche wollen mehr Steuern zahlen |werk=Deutsche Welle |datum=2024-01-19 |abruf=2024-01-19}}</ref>

== Auszeichnungen ==
* 2017 wurde der Transformative Philanthropy Award der Astraea Lesbian Foundation for Justice nach ihr benannt und sie war die Preisträgerin der ersten jährlichen Verleihung.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.astraeafoundation.org/videolibrary/40th-anniversary-gala-ise-boschs-speech/ |titel=40th Anniversary Gala: Ise Bosch’s Speech - Astraea Lesbian Foundation For Justice |werk=astraeafoundation.org |sprache=en |datum=2017-11-19 |abruf=2018-02-25}}</ref>
* Im Mai 2018 erhielt sie auf dem Deutschen Stiftungstag in [[Nürnberg]] den Deutschen Stifterinnenpreis, die höchste [[Auszeichnung (Ehrung)|Auszeichnung]] des deutschen Stiftungswesens.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.stiftungen.org/aktuelles/pressemitteilungen/mitteilung/eine-philanthropin-im-wahren-sinne-des-wortes-deutscher-stifterinnenpreis-2018-fuer-regenbogen-philanthropin-ise-bosch-324.html |titel=„Eine Philanthropin im wahren Sinne des Wortes“: Deutscher Stifterinnenpreis 2018 für Regenbogen-Philanthropin Ise Bosch |datum=2018-05-16 |abruf=2023-08-26}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Bundesverband Deutscher Stiftungen |url=https://www.youtube.com/watch?v=08IGOtTyMXI |titel=Deutscher StiftungsTag 2018: Verleihung des Deutschen Stifterinnenpreises an Ise Bosch |datum=2018-05-17 |abruf=2019-07-02}}</ref>

== Board-Mitgliedschaften ==
* Nachhaltigkeitsbeirat der Oeco Capital Lebensversicherung (2004–2016)
* Anlageausschuss der [[GLS Gemeinschaftsbank|GLS Bank]] (2006–2012)
* Stiftungsrat der Berghof Foundation (seit 2008)
* LGBT Advisory Council, Human Rights Watch (seit 2009)
* Trägerverein des [[Deutsches Institut für Menschenrechte|Deutschen Instituts für Menschenrechte]] (seit 2014)

== Weblinks ==
* [http://www.besser-spenden.de/ Besser spenden, Internetseite für nachhaltiges Engagement] – besser-spenden.de
* [http://www.dreilinden.org/ Dreilinden gGmbH] – dreilinden.org
* [http://www.filia-frauenstiftung.de/ filia. die Frauenstiftung] – filia-frauenstiftung.de
* [http://pecunia-erbinnen.net/ Das Erbinnen-Netzwerk Pecunia e. V.] – pecunia-erbinnen.net
* [https://taz.de/Ise-Bosch-ueber-Vermoegen-und-Spenden/!5574093/ ''„Große Vermögen sind schädlich für die Demokratie“''] Ise Bosch im Interview mit Waltraud Schwab, In: www.taz.de, 2. März 2019

== Einzelnachweise ==
<references />

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{{SORTIERUNG:Bosch, Ise}}
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[[Kategorie:Menschenrechtsaktivist (Deutschland)]]
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[[Kategorie:Frau]]

{{Personendaten
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Ré Soupault

2024-11-28T21:01:25Z

Pascal.vollmer.fr:

'''Ré Soupault''' (* [[29. Oktober]] [[1901]] als '''Meta Erna Niemeyer''' in [[Bobolice|Bublitz]], [[Provinz Pommern]]; † [[12. März]] [[1996]] in [[Versailles]]) war eine [[Deutsche|deutsch]]-[[Franzosen|französische]] Künstlerin. Ausgebildet am [[Bauhaus-Universität Weimar|Bauhaus]] in Weimar gehörte sie zur europäischen [[Avantgarde]] des [[20. Jahrhundert]]s zwischen Berlin und Paris. Nach dem Zweiten Weltkrieg arbeitete sie als literarische Übersetzerin und Essayistin für den Hörfunk. Sie hinterließ ein komplexes Werk von Fotografien, Zeichnungen, Modeentwürfen, Reportagen und anderen Texten.
== Leben ==
Erna Niemeyer wuchs in einer konservativen Familie in einer kleinen Ortschaft in Pommern mit sieben älteren Geschwistern auf. Ihre Eltern waren Bertha Marie Auguste Niemeyer, geborene Hensel, und der Metzger und Pferdezüchter Friedrich Carl Richard Niemeyer. Sie besuchte das [[Mädchengymnasium|Lyzeum]] in [[Kołobrzeg|Kolberg]]. Durch ihre Zeichenlehrerin erfuhr sie vom Bauhaus-Manifest von [[Walter Gropius]].
{{Zitat
|Text=Da war eine Idee, mehr noch ein Ideal: keinen Unterschied mehr von Handwerkern und Künstlern. Alle zusammen in einer neuen Gemeinschaft sollten wir die Kathedrale der Zukunft bauen. Da wollte ich mitmachen.
|Autor=Ré Soupault
|ref=<ref>Zitiert in: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne''. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52</ref>}}

=== Ausbildung am Bauhaus ===
Sie schrieb sich gegen den Willen ihrer Eltern 1921 am [[Bauhaus]] in [[Weimar]] ein und nahm Unterricht bei [[Johannes Itten]], [[Wassily Kandinsky]], [[Oskar Schlemmer]], [[Paul Klee]], [[Walter Gropius]] und [[Georg Muche]]. Von Itten war sie am meisten beeindruckt: {{" |Und bei Itten geschah etwas, was uns befreite. Wir lernten nicht malen, sondern lernten neu sehen, neu denken und zugleich lernten wir uns selber kennen.}}<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 8.</ref> Die persische [[Mazdaznan]]-Lehre, die er lehrte, interessierte sie so sehr, dass sie nebenbei zwei Semester [[Sanskrit]] in Jena studierte. 1922 kam sie in die [[Werkstatt für Weberei am Bauhaus|Werkstatt für Weberei]]. In die abstrakten Farbkompositionen ihrer Teppiche knüpfte sie Sanskrit-Weisheiten ein. Ihre Arbeiten wurden auf der ersten [[Bauhausausstellung von 1923]] in Weimar ausgestellt und verkauft. Das Bauhaus betrachtete sie als ihre „geistige Familie“.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007.</ref>

Ihr Studienfreund [[Werner Graeff]] machte sie 1923 mit dem schwedischen Avantgarde-Filmemacher [[Viking Eggeling]] (1880–1925) bekannt. Sie ließ sich für ein Jahr vom Bauhaus beurlauben und half Eggeling in Berlin bei der Fertigstellung seines Experimentalfilms ''[[Symphonie diagonale|Diagonal-Symphonie]]''. Von ihm lernte sie die Grundlagen des Filmens. Kurz nach Eggelings Tod drehte sie selber Filme, darunter einen experimentellen Modefilm über Schuhe.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne''. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52</ref>

=== Mode ===
Nach der Schließung des Bauhauses in Weimar 1925 arbeitete sie ab 1926 unter dem Pseudonym ''Renate Green'' in Berlin als Modejournalistin und Illustratorin für die Zeitschrift ''[[Sport im Bild]]'', die im [[Scherl-Verlag]] erschien. Für diesen ging sie 1929 als Modekorrespondentin nach Paris und wurde bald in die avantgardistischen Kreise aufgenommen. Zu ihren Freunden gehörten [[Man Ray]], [[Fernand Léger]], [[Lee Miller]] und [[Kiki de Montparnasse]]. Die Fotografin [[Florence Henri]] schuf Halbaktporträts von ihr.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 9.</ref> Léger stellte sie dem Modeschöpfer [[Paul Poiret]] vor, für den sie eine erfolgreiche Kollektion [[Hosenrock|Hosenröcke]] entwarf. Doch die femininen Effekte und der schnelle modische Wechsel der [[Haute Couture]] gefielen ihr nicht.

Sie gründete 1931 mit finanzieller Unterstützung des amerikanischen Millionärs Arthur Wheele in Paris ihr eigenes Modeatelier ''Ré Sport'' in der rue Froidevaux im [[Quartier du Montparnasse|Montparnasse]]. Sie nannte sich „Ré“, seit [[Kurt Schwitters]] ihr 1924 diesen Namen gegeben hatte.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52</ref> Die Innenräume ihres Modestudios gestaltete sie selbst puristisch in Weiß. Der bereits berühmte Architekt [[Ludwig Mies van der Rohe|Mies van der Rohe]] richtete es mit seinen Möbeln ein. Man Ray fotografierte ihre Kollektionen. In der Beilage ''Für die Frau'' in der ''[[Frankfurter Zeitung]]'' berichtete [[Helen Hessel]] 1932 und 1933 über Rés Mode-Aktivität und ihren Erfolg in Paris.<ref>[https://www.tagesspiegel.de/kultur/re-soupault-magie-der-sekunde/22940860.html Nicole Henneberg: ''Ré Soupault. Magie der Sekunde.'' In: Der Tagesspiegel, 24. August 2018]</ref>

Sie entwarf Mode für den zeitgenössischen Typ der „[[Neue Frau (Feminismus)|Neuen Frau]]“, den sie selbst verkörperte, die sich schick und gleichzeitig praktisch und bequem kleiden wollte. Sie erfand u. a. das „Transformationskleid“. Es war schlicht geschnitten und konnte mittels einer Vielzahl von Accessoires von einem Alltags- bis hin zum bodenlangen Abendkleid mit Cape verwandelt werden.<ref>[https://www.faz.net/aktuell/stil/mode-design/mode/transformationskleid-neu-interpretiert-verwandlung-per-reissverschluss-1594184/ein-kleid-fuer-alle-faelle-1600699.html ''Ein Kleid für alle Fälle: Soupaults Transformationskleid, nachgeschneidert vom Kostümatelier des Nationaltheaters Mannheim'', Foto in: FAZ, 12. Februar 2011]</ref> Um ihre Mode hochwertig, aber erschwinglich zu gestalten, verwendete sie Stoffe der Couturiers vom Vorjahr. Diese Idee wie auch ihr spielerischer Umgang mit der Farben- und Formlehre des Bauhauses verrieten dessen Prägung. Außerdem kreierte sie erfolgreich eine neue Art von Hals-Schmuck: einen Metallkragen und Halsbänder aus künstlichen Blumen. Mit ihren [[prêt-à-porter]]-Kreationen revolutionierte sie die Pariser Modeszene und galt als neuer Star.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien, Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 10.</ref> Ihre Kollektionen wurden in Warenhäusern verkauft. Nach Wheeles Tod musste sie 1934 ihr Atelier schließen.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 54</ref>

=== Philippe Soupault ===
Am 7. November 1933 hatte Ré Richter, wie sie nach ihrer kurzen Ehe mit dem [[Dadaismus|dadaistischen]] Maler und Filmemacher [[Hans Richter (Dadaist)|Hans Richter]] hieß, [[Philippe Soupault]] in der [[Sowjetunion|sowjetischen]] Botschaft in Paris beim Empfang zur Feier der [[Oktoberrevolution]] kennengelernt. Er galt seit Ende der 1920er Jahre als einer der wichtigsten Journalisten Frankreichs. Nachdem sie ihr Modestudio aufgegeben hatte, unternahm sie mit ihm Reportagereisen durch Deutschland, die Schweiz, England, Skandinavien, Italien, Spanien und Nordafrika. Er überzeugte sie, seine Reportagen mit Fotografien zu illustrieren. 1937 heirateten sie.<ref>{{Webarchiv |url=http://www.literaturhaus-muenchen.de/programm/ausstellung.asp?ID=4212 |text=''Ré Soupault (1901–1996). Die Fotografin der magischen Sekunde'' |wayback=20070909123954}}, literaturhaus-muenchen.de 2009, abgerufen am 2. Mai 2013.</ref>

=== Fotografie ===
Am [[Bauhaus#Das Bauhaus und die Fotografie|Bauhaus]] hatte sie bereits mit dem Medium Fotografie experimentiert. Die grafischen Bildkompositionen ihrer Schwarz-Weiß-Fotografien zeugen davon.<ref>[https://www.centrepompidou.fr/cpv/ressource.action?param.id=FR_R-176d674be36c5303e6c23f1d7f34c2&param.idSource=FR_O-72eb818131781f2699e43d1a77776d0 Ré Soupault: ''Délégation de gréviste à la fête de la victoire du Front Populaire, le 14 juin 1936'', Reproduktion der Fotografie im Centre Pompidou]</ref> Sie arbeitete mit einer [[Rolleiflex|Rolleiflex 6x6]], später auch mit einer [[Schraubleica|Leica]]. Ihr bevorzugtes Motiv waren Menschen.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 12.</ref> Auf den Reisen entwickelte sie ihren Blick für die ›Magische Sekunde‹, die ihre Arbeiten auszeichnet. Als Beispiel dafür gilt das Foto eines Mädchens von 1936 in Madrid vor Beginn des [[Spanischer Bürgerkrieg|Bürgerkriegs]], das mit erhobener Faust die Arbeitersolidarität der Erwachsenen imitierte.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne''. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 54–55</ref>

1938 zog das Ehepaar Soupault nach [[Tunesien]]. [[Léon Blum]], der 1936 zum ersten sozialistischen Premierminister Frankreichs gewählt worden war, hatte Philippe Soupault beauftragt, die antifaschistische Radiostation ''Radio Tunis'' aufzubauen. In Tunesien veröffentlichte Ré Soupault ab August Reportagen für zahlreiche Zeitschriften. Sie fotografierte Auswanderer, Pilger, Nomaden und im Palast des tunesischen Monarchen. Es entstanden auch Selbstporträts. Die französische Regierung erwarb Fotografien von ihr für wenig Geld. Sie setzte sich mit der Rolle der Frau in der islamischen Welt auseinander und erfuhr von der Existenz des „Quartier réservé“ in Tunis, einem geschlossenen Bezirk, in den von ihren Familien und der Gesellschaft verstoßene Frauen abgeschoben wurden und wo Prostitution ihr einziger Broterwerb war. Die guten Beziehungen zu den Behörden ermöglichten Ré Soupault für zwei Tage in Begleitung eines örtlichen Polizisten den Zugang zu diesem Viertel. Sie porträtierte Frauen in fast leeren Zimmern und fing deren Blicke ein. Es blieben die einzigen Fotos, die dort je gemacht wurden.<ref>[https://www.zeit.de/1989/06/quartier-reserve Anne Frederiksen: ''Quartier Reserve'', aus: Die Zeit No. 6/1989]</ref><ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 13.</ref>

Während des [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkriegs]] unterstand Tunesien ab 1940 der [[Vichy-Regime|Vichy-Regierung]], die Philippe Soupault entließ, sodass das Ehepaar kein festes Einkommen mehr hatte. Im März 1942 wurde er für sechs Monate wegen angeblichen Hochverrats ohne Prozess inhaftiert. Als deutsche Streitkräfte Tunis nach der [[Operation Torch|Landung der Amerikaner]] in Nordafrika im November 1942 besetzten, flüchtete das Paar nach Algerien, das zum [[Forces françaises libres|Freien Frankreich]] übergegangen war. Sie mussten alles zurücklassen, auch Rés Fotonegative. Ihr Haus in der ''rue el Karchani'' in Tunis wurde vollständig geplündert.<ref>Ursula März: ''Du lebst wie im Hotel.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1999, S. 80.</ref>

Fast ein Jahr lang blieben sie in Algerien, dann bekam Philippe Soupault 1943 von [[Charles de Gaulle|Général de Gaulle]] den Auftrag, in Nord-, Mittel- und Südamerika eine neue französische Nachrichtenagentur aufzubauen. Das Ehepaar Soupault reiste 1943 mit einem amerikanischen Truppentransporter von [[Tanger]] aus in die USA und siedelte sich in New York an. Dort begegneten sie ihren exilierten Freunden aus dem Vorkriegs-Europa wieder. Ré Soupault begleitete ihren Mann auf allen seinen Reisen, im Jahr 1944 nach Südamerika.

1945 trennten sie sich. Philippe Soupault ging nach Europa zurück; Ré Soupault blieb in New York. [[Max Ernst]] überließ ihr sein Studio. Sie schrieb und fotografierte Reisereportagen für den ''International Digest'' und das ''Travel-Magazin''.

Ihre letzte Fotoreportage machte sie 1950 in Westdeutschland über [[Flucht und Vertreibung Deutscher aus Mittel- und Osteuropa 1945-1950|Flüchtlinge und Vertriebene aus den Ostgebieten]]. Sie reiste drei Wochen durch Bayern, Niedersachsen und Schleswig-Holstein, besuchte Flüchtlingsunterkünfte und schilderte die unterschiedliche Integration der einzelnen Volksgruppen. Ein Hauptthema war die drohende Verwahrlosung von Jugendlichen.<ref>[https://www.sueddeutsche.de/kultur/fluechtlinge-in-den-50er-jahren-deutsche-vagabunden-1.3366323 Hans-Peter Kunisch: ''Deutsche Vagabunden'', Süddeutsche Zeitung, 7. Februar 2017]</ref> Ihre Fotografien nahmen Menschen in den Fokus, „in deren oft leeren Blicken an der Kamera vorbei sich Verlust und Zukunftssorgen ablesen lassen“. Sie berichtete aber auch von „der hohen personellen Kontinuität, von ehemaligen SS-Leuten, die nach dem Krieg als Polizeibeamte in den Flüchtlingslagern arbeiteten“.<ref>René Schlott, Rezension: [https://www.visual-history.de/2016/12/05/rezension-re-soupault-katakomben-der-seele/ ''Ré Soupault, Katakomben der Seele''], in: [[Visual History]] 5. Dezember, 2016, [[doi:10.14765/zzf.dok-1580]]</ref>

=== Übersetzungen und Hörfunk-Features ===
Im Juni 1946 kehrte Ré Soupault nach Paris zurück und begann als literarische Übersetzerin aus dem Französischen ins Deutsche für die [[Büchergilde Gutenberg]] in [[Zürich]] zu arbeiten. Sie übersetzte u. a. [[Romain Rolland]], [[André Breton]], Philippe Soupault und [[Tristan Tzara]]. 1954 übertrug sie ein Schlüsselwerk des Surrealismus, ''[[Die Gesänge des Maldoror]]'' von [[Lautréamont]].

Sie verfasste für deutsche und schweizerische Rundfunkanstalten zahlreiche Hörfunk-Features u. a. über das Bauhaus, [[Antoine de Saint-Exupéry]], [[Rabindranath Tagore]], [[Mahatma Gandhi]], Frauen im Mittelalter, Paris unter der [[Pariser Kommune|Kommune]] von 1871, die [[Geschwister Scholl]], [[Joseph Roth]], [[Fritz von Unruh]] und [[Viking Eggeling]]. Für das Abendstudio des Hessischen Rundfunks schrieb sie zwischen 1955 und 1980 insgesamt 16 Radioessays, unter anderem ihre eigene Adaption von [[Voltaire]]s ‘[[Candide oder der Optimismus|Candide]]’. Den literarisch-künstlerischen Bewegungen [[Dadaismus]] und [[Surrealismus]], als deren Bindeglied sie [[Tristan Tzara]] sah, widmete sie zwei Features, ''Tristan Tzara, Begründer des Dada'' (1968) und ''„Wir haben uns geirrt: Die wahre Welt ist nicht, was wir geglaubt haben.“ Die Entstehung des Surrealismus'' (1974).<ref>[https://literaturkritik.de/soupault-vom-dadaismus-zum-surrealismus-zwischen-dada-und-surrealismus,25209.html Martin Ingenfeld: ''Zwischen Dada und Surrealismus. Zum 100. Jahrestag der „magnetischen Felder“ eröffnet Ré Soupault den Blick auf Tristan Tzara als Bindeglied der beiden Kunstbewegungen'', Literaturkritik, 1. Januar 2019]</ref>
Gemeinsam mit Philippe Soupault drehte sie 1967 für das Französische Fernsehen einen Film über [[Wassily Kandinsky]].

=== Späte Jahre und Wiederentdeckung ihres künstlerischen Werks ===
Ab 1973 lebte das Ehepaar Soupault wieder in Paris zusammen im selben Haus, doch in zwei getrennten Wohnungen in der ''Résidence d’Auteuil'' im [[16. Arrondissement (Paris)|XVI. Bezirk]]. Auf einer Reise nach Heidelberg 1981 lernten sie den Verleger Manfred Metzner kennen, der 1978 den Verlag [[Das Wunderhorn]] mitgegründet hatte. Er machte Ré Soupaults verloren geglaubtes fotografisches Werk der Dreißiger und Vierziger Jahre in Deutschland bekannt. Ein Teil ihrer Negative aus den Jahren 1934 bis 1942, die sie auf ihrer Flucht in Tunis zurücklassen musste, hatte nach dem Zweiten Weltkrieg eine tunesische Freundin in einer Truhe in den [[Souk]]s von Tunis wiedergefunden. Vieles war jedoch für immer verloren.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 17.</ref> 1988 erschien die Erstveröffentlichung des Fotobands ''Eine Frau allein gehört allen. Fotos aus dem ‚‚Quartier réservé‘‘ in Tunis''; 1994 folgte der zweite Fotoband ''Paris 1934–1938''.

Nach dem Tod von Philipp Soupault 1990 lebte sie zurückgezogen in einem kleinen Apartment am [[Bois de Boulogne]] und arbeitete an der Herausgabe ihres Tagebuchs, das sie seit den Vierziger Jahren kontinuierlich führte. Sie starb am 12. März 1996 in Versailles, auf den Tag genau sechs Jahre nach ihrem Mann. Sie wurde in seinem Grab auf dem [[Cimetière de Montmartre|Friedhof Montmartre]] beerdigt.

Die erste Retrospektive ihres fotografischen Werks widmete ihr im Jahr 2007 der [[Gropius-Bau]] in Berlin. 2011 präsentierte die [[Kunsthalle Mannheim]] das komplexe Lebenswerk der Mode- und Filmemacherin, Fotografin, Essayistin und Übersetzerin in der Ausstellung ''Ré Soupault. Künstlerin im Zentrum der Avantgarde''. Neben ihren eigenen fotografischen Arbeiten wurden auch die Fotoserien von [[Man Ray]] gezeigt, in denen er sie und ihre Modekreationen porträtiert hatte.<ref>[https://www.fr.de/kultur/kunst/augenhoehe-welt-11439368.html Natalie Soondrum: ''Das Lebenswerk der Künstlerin Ré Soupault. Auf Augenhöhe mit der Welt'', Frankfurter Rundschau, 15. Februar 2011]</ref>

2018 brachte Metzner den Erinnerungsband ''Nur das Geistige zählt. Vom Bauhaus in die Welt'' heraus, die er aus hinterlassenen Briefen, Texten und Tagebuchpassagen von Ré Soupault zu einem fortlaufenden Text montiert hatte.<ref>[https://www.deutschlandfunkkultur.de/re-soupault-nur-das-geistige-zaehlt-ein-aufschlussreiches.1270.de.html?dram:article_id=419038 Helmut Böttiger: ''Ré Soupault: „Nur das Geistige zählt.“ Ein aufschlussreiches atmosphärisches Zeugnis'', Deutschlandfunk Kultur, 30. Mai 2018]</ref>
{{Zitat
|Text=Es gibt zwei Wege im Leben: der eine führt nach außen: Karriere, Geltung, Besitz […] der andere nach innen: Arbeit, aber ohne Rücksicht auf äußeren Erfolg, schöpferische Arbeit, die ihren Lohn in sich selbst findet.
|Autor=Ré Soupault
|ref=<ref>Zitiert in: [https://oe1.orf.at/artikel/646351/Re-Soupault-Nur-das-Geistige-zaehlt ''Ré Soupault - "Nur das Geistige zählt"''. Rezension von Carsten Hueck. Oe1, ORF.at, 10. Juni 2018]</ref>}}

== Ausstellungen ==
;Einzelausstellungen
* 1997: ''La Tunisie 1936–1940 vue par Ré Soupault.'' Maison des arts Tunisie; [[Institut du monde arabe]], Paris
* 2001: ''Ré Soupault. Fotografien 1935–1952.'' Tournee-Ausstellung des [[Institut für Auslandsbeziehungen|Instituts für Auslandsbeziehungen]] an den [[Goethe-Institut]]en in Casablanca, Rabat, Tunis, Madrid. Ausstellung zum 100. Geburtstag in Heidelberg.
* 2007: ''Ré Soupault (1901–1996). Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Retrospektive im [[Martin-Gropius-Bau]], Berlin; anschl. im [[Literaturhaus München]]
* 2011: ''Ré Soupault – Künstlerin im Zentrum der Avantgarde.'' Retrospektive des Gesamtwerks in der [[Kunsthalle Mannheim]]
* 2015: ''Ré Soupault – Das Auge der Avantgarde''. [[Zeppelin-Museum]] Friedrichshafen
* 2021: ''Ré Soupault – „Es war höchste Zeit …“. Eine Avantgardekünstlerin in Basel 1948 bis 1958.'' Universitätsbibliothek Basel
;Beteiligung
* 2004–2005: ''Woman. Metamorphosis of modernity.'' [[Fundación Joan Miró]], Barcelona
* 2015–2016: ''Qui a peur des femmes photographes? 1839–1945.'' [[Musée d’Orsay]], Paris
* 2018–2019: ''Photographie, arme de classe. La photographie sociale et documentaire en France. 1928-1936.'' [[Centre Pompidou]], Paris
* 2019–2020: ''Unbekannte Moderne – Bild der Stadt / Stadt im Bild. Malerei, Grafik und Fotografie zwischen Bauhaus und Neuer Sachlichkeit.'' [[Brandenburgisches Landesmuseum für moderne Kunst / Dieselkraftwerk Cottbus|Brandenburgisches Landesmuseum für Moderne Kunst]], [[Cottbus]]

== Publikationen ==
=== Eigene Werke ===
;Bildbände, Fotoreportagen
* ''Tunesien 1936–1940.'' Deutsch-französische Ausgabe. Mit einem Text von [[Abdelwahab Meddeb]]. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1996, ISBN 978-3-88423-102-9.
* ''Paris 1934–1938.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1994, ISBN 978-3-88423-088-6.
* ''Frauenportraits aus dem „Quartier résérvé“ in Tunis.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2001, ISBN 978-3-88423-140-1. (Die erste Ausgabe dieses Fotobands war 1988 mit dem Titel ''Eine Frau allein gehört allen'' erschienen. Er wurde zum 100. Geburtstag von Ré Soupault neu aufgelegt.)
* ''Philippe Soupault. Portraits.'' Fotografien 1934–1944. Mit einem Essay von Philippe Soupault. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2003, ISBN 978-3-88423-217-0.
* ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde. Im Zentrum der Klassischen Moderne zwischen Berlin und Paris.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-88423-282-8
* ''Katakomben der Seele. Eine Reportage über Westdeutschlands Vertriebenen- und Flüchtlingsproblem 1950.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-88423-546-1.
;Essays
* ''Vom Dadaismus zum Surrealismus''. Zwei Essays. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-88423-602-4
* ''Geistige Freiheiten. Essays.'' Herausgegeben von Manfred Metzner, Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-88423-716-8.
;Autobiografische Texte
* ''Nur das Geistige zählt. Vom Bauhaus in die Welt.'' Herausgegeben von Manfred Metzner, Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-88423-588-1.

;Herausgabe von Märchen-Anthologien
* ''Bretonische Märchen.'' 1959.
* ''Französische Märchen.'' 1962.
* ''52 contes merveilleux: De tous les temps et de tous les pays pour toutes les semaines.'' Mit Philippe Soupault. 1953.
* ''Märchen aus fünf Kontinenten.'' (Deutsche, französische, italienische Ausgabe), mit Philippe Soupault. 1968.
* ''Histoires merveilleuses des 5 continents.'' Mit Philippe Soupault und Mireille Wieland. (Collection ''Mille et une histoires''), Éditions Seghers, 1975.
* ''L’étoile et le nénuphar, et autres contes.'' Mit Philippe Soupault, Nachwort von Michaël Batalla, Collection ''Seghers jeunesse'', Éditions Seghers, 2005.
* ''Histoires merveilleuses du Brésil.'' Mit Philippe Soupault, Nachwort von Michaël Batalla. Collection ''Seghers jeunesse'', Éditions Seghers, 2005.
* ''Dragon bleu Dragon jaune.'' Mit Philippe Soupault und Zhon yao Li. ''Les Pt’its albums du Père Castor'', Flammarion, Paris 2006.

=== Übersetzungen (Auswahl) ===
* [[Romain Rolland]]: ''Zwischen den Völkern – Tagebuch der Kriegsjahre'' und die Memoiren ''Aus meinem Leben.'' Zürich 1948.
* [[Lautréamont]]: ''Das Gesamtwerk'', ''Die Gesänge des Maldoror'', ''Dichtungen'', ''Briefe''. Heidelberg 1954.
* Philippe Soupault: ''Der Neger'', ''Die letzten Nächte von Paris'', ''Ein grosser Mann'', ''Das letzte Spiel'', ''Begegnungen mit Dichtern und Malern''. Mit André Breton: ''Die magnetischen Felder.''

== Literatur ==
* ''Ré Soupault''. In: [[Patrick Rössler]], [[Elizabeth Otto]]: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne.'' Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52–55.
* Inge Herold et al.: ''Ré Soupault. Künstlerin im Zentrum der Avantgarde'', Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2011.
* Anton Escher: ''Construction of the Public Sphere in the Middle Eastern Medina. The Photographs by Ré Soupault.'' In: Hans Christian Korsholm Nielsen, Jakob Skovgaard-Petersen (Hrsg.): ''Middle Eastern Cities 1900–1950. Public Places and Public Spheres in Transformation.'' Aarhus University Press 2001, ISBN 978-87-7288-906-1, S. 165 f.
* [[Ursula März]]: ''Du lebst wie im Hotel.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1999, ISBN 978-3-88423-155-5. (Biografischer Essay über Ré Soupault mit zahlreichen Abbildungen)
* Sigrid Wortmann Weltge: ''Bauhaus-Textilien: Kunst und Künstlerinnen der Webwerkstatt.'' Übersetzung aus dem Amerikanischen. Ed. Atemmle, Schaffhausen 1993, S. 205.

== Filmporträts ==
* ''Ré et Philippe Soupault: les années tunisiennes.''Von [[Frédéric Mitterrand]], Fernsehfilm ARTE, 1996.
* ''Ré Soupault in Tunis. Eine Bauhausschülerin fotografiert den Orient.'' Von [[Ulrike Becker (Regisseurin)|Ulrike Becker]], Fernsehfilm (45 Min.), SWR Baden-Baden, 1997.<ref>[https://www.literaturhaus-muenchen.de/veranstaltung/re-soupault-in-tunis-eine-bauhausschuelerin-fotografiert-den-orient/ Filmvorführung im Literaturhaus München 2007]</ref>
* ''Die Fotografin Ré Soupault.'' Von [[Luzia Braun]], [[ZDF Aspekte]], 27. April 2007.

== Hörspiele ==
* ''Und plötzlich war ich eine Fremde. Die Fotografin Ré Soupault.'' Von Conny Frühauf, WDR, 2006.<ref>[https://www.deutschlandfunkkultur.de/und-ploetzlich-war-ich-eine-fremde.3682.de.html?dram:article_id=147481 Hörspiel und Feature, Deutschlandfunk]</ref>
* ''Schießbuden haben noch immer einen Reiz für mich.'' Nach unveröffentlichten Texten von Ré Soupault. Von [[Andra Joeckle]], Deutschlandradio Kultur 2007 (54'43 Min.).<ref>[http://hoerspiele.dra.de/vollinfo.php?dukey=1517103&vi=3&SID ARD-Hörspieldatenbank]</ref>

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|118861549}}
* {{UBNL|000072092}}
* {{Perlentaucher|re-soupault}}
* {{NDB|24|605|606|Soupault, Ré|Ivo Kranzfelder|118861549}}
* [https://bauhauskooperation.de/wissen/das-bauhaus/koepfe/biografien/biografie-detail/person-Soupault-Ré-1225 ''Ré Soupault. 1921–1925 Studierende am Bauhaus''] bei bauhauskooperation.de
* [http://photography-now.com/artist/re-soupault Ré Soupault bei Photography Now]
* [https://kultursysteme.de/re-soupault/ ''Eine Frau allein gehört Allen'', Ré Soupault im Gespräch mit Thomas Mank in Paris 1995], in: [[epd Film]], Ausgabe 1/96, S. 20–26
* René Schlott: ''[https://www.visual-history.de/2016/12/05/rezension-re-soupault-katakomben-der-seele/ Rezension: Ré Soupault, Katakomben der Seele]'', in: Visual-History, 5. Dezember 2016

== Einzelnachweise ==
<references />

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{{SORTIERUNG:Soupault, Re}}
[[Kategorie:Schüler am Bauhaus]]
[[Kategorie:Fotograf (20. Jahrhundert)]]
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[[Kategorie:Journalist (Deutschland)]]
[[Kategorie:Modedesigner (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Übersetzer aus dem Französischen]]
[[Kategorie:Übersetzer ins Deutsche]]
[[Kategorie:Emigrant zur Zeit des Nationalsozialismus]]
[[Kategorie:Deutscher Emigrant in Frankreich]]
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[[Kategorie:Franzose]]
[[Kategorie:Geboren 1901]]
[[Kategorie:Gestorben 1996]]
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{{Personendaten
|NAME=Soupault, Ré
|ALTERNATIVNAMEN=Niemeyer, Meta Erna (Geburtsname); Green, Renate; Richter-Green, Renate; Richter, Ré
|KURZBESCHREIBUNG=französische Fotografin
|GEBURTSDATUM=29. Oktober 1901
|GEBURTSORT=[[Bobolice|Bublitz]], [[Pommern]]
|STERBEDATUM=12. März 1996
|STERBEORT=[[Paris]]
}}

Ré Soupault

2024-11-28T20:58:39Z

Pascal.vollmer.fr: nicht: auf eine Weise, dass sondern: wonach

'''Ré Soupault''' (* [[29. Oktober]] [[1901]] als '''Meta Erna Niemeyer''' in [[Bobolice|Bublitz]], [[Provinz Pommern]]; † [[12. März]] [[1996]] in [[Versailles]]) war eine [[Deutsche|deutsch]]-[[Franzosen|französische]] Künstlerin. Ausgebildet am [[Bauhaus-Universität Weimar|Bauhaus]] in Weimar gehörte sie zur europäischen [[Avantgarde]] des [[20. Jahrhundert]]s zwischen Berlin und Paris. Nach dem Zweiten Weltkrieg arbeitete sie als literarische Übersetzerin und Essayistin für den Hörfunk. Sie hinterließ ein komplexes Werk von Fotografien, Zeichnungen, Modeentwürfen, Reportagen und anderen Texten.
== Leben ==
Erna Niemeyer wuchs in einer konservativen Familie in einer kleinen Ortschaft in Pommern mit sieben älteren Geschwistern auf. Ihre Eltern waren Bertha Marie Auguste Niemeyer, geborene Hensel, und der Metzger und Pferdezüchter Friedrich Carl Richard Niemeyer. Sie besuchte das [[Mädchengymnasium|Lyzeum]] in [[Kołobrzeg|Kolberg]]. Durch ihre Zeichenlehrerin erfuhr sie vom Bauhaus-Manifest von [[Walter Gropius]].
{{Zitat
|Text=Da war eine Idee, mehr noch ein Ideal: keinen Unterschied mehr von Handwerkern und Künstlern. Alle zusammen in einer neuen Gemeinschaft sollten wir die Kathedrale der Zukunft bauen. Da wollte ich mitmachen.
|Autor=Ré Soupault
|ref=<ref>Zitiert in: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne''. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52</ref>}}

=== Ausbildung am Bauhaus ===
Sie schrieb sich gegen den Willen ihrer Eltern 1921 am [[Bauhaus]] in [[Weimar]] ein und nahm Unterricht bei [[Johannes Itten]], [[Wassily Kandinsky]], [[Oskar Schlemmer]], [[Paul Klee]], [[Walter Gropius]] und [[Georg Muche]]. Von Itten war sie am meisten beeindruckt: {{" |Und bei Itten geschah etwas, was uns befreite. Wir lernten nicht malen, sondern lernten neu sehen, neu denken und zugleich lernten wir uns selber kennen.}}<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 8.</ref> Die persische [[Mazdaznan]]-Lehre, die er lehrte, interessierte sie so sehr, dass sie nebenbei zwei Semester [[Sanskrit]] in Jena studierte. 1922 kam sie in die [[Werkstatt für Weberei am Bauhaus|Werkstatt für Weberei]]. In die abstrakten Farbkompositionen ihrer Teppiche knüpfte sie Sanskrit-Weisheiten ein. Ihre Arbeiten wurden auf der ersten [[Bauhausausstellung von 1923]] in Weimar ausgestellt und verkauft. Das Bauhaus betrachtete sie als ihre „geistige Familie“.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007.</ref>

Ihr Studienfreund [[Werner Graeff]] machte sie 1923 mit dem schwedischen Avantgarde-Filmemacher [[Viking Eggeling]] (1880–1925) bekannt. Sie ließ sich für ein Jahr vom Bauhaus beurlauben und half Eggeling in Berlin bei der Fertigstellung seines Experimentalfilms ''[[Symphonie diagonale|Diagonal-Symphonie]]''. Von ihm lernte sie die Grundlagen des Filmens. Kurz nach Eggelings Tod drehte sie selber Filme, darunter einen experimentellen Modefilm über Schuhe.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne''. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52</ref>

=== Mode ===
Nach der Schließung des Bauhauses in Weimar 1925 arbeitete sie ab 1926 unter dem Pseudonym ''Renate Green'' in Berlin als Modejournalistin und Illustratorin für die Zeitschrift ''[[Sport im Bild]]'', die im [[Scherl-Verlag]] erschien. Für diesen ging sie 1929 als Modekorrespondentin nach Paris und wurde bald in die avantgardistischen Kreise aufgenommen. Zu ihren Freunden gehörten [[Man Ray]], [[Fernand Léger]], [[Lee Miller]] und [[Kiki de Montparnasse]]. Die Fotografin [[Florence Henri]] schuf Halbaktporträts von ihr.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 9.</ref> Léger stellte sie dem Modeschöpfer [[Paul Poiret]] vor, für den sie eine erfolgreiche Kollektion [[Hosenrock|Hosenröcke]] entwarf. Doch die femininen Effekte und der schnelle modische Wechsel der [[Haute Couture]] gefielen ihr nicht.

Sie gründete 1931 mit finanzieller Unterstützung des amerikanischen Millionärs Arthur Wheele in Paris ihr eigenes Modeatelier ''Ré Sport'' in der rue Froidevaux im [[Quartier du Montparnasse|Montparnasse]]. Sie nannte sich „Ré“, seit [[Kurt Schwitters]] ihr 1924 diesen Namen gegeben hatte.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52</ref> Die Innenräume ihres Modestudios gestaltete sie selbst puristisch in Weiß. Der bereits berühmte Architekt [[Ludwig Mies van der Rohe|Mies van der Rohe]] richtete es mit seinen Möbeln ein. Man Ray fotografierte ihre Kollektionen. In der Beilage ''Für die Frau'' in der ''[[Frankfurter Zeitung]]'' berichtete [[Helen Hessel]] 1932 und 1933 über Rés Mode-Aktivität und ihren Erfolg in Paris.<ref>[https://www.tagesspiegel.de/kultur/re-soupault-magie-der-sekunde/22940860.html Nicole Henneberg: ''Ré Soupault. Magie der Sekunde.'' In: Der Tagesspiegel, 24. August 2018]</ref>

Sie entwarf Mode für den zeitgenössischen Typ der „[[Neue Frau (Feminismus)|Neuen Frau]]“, den sie selbst verkörperte, die sich schick und gleichzeitig praktisch und bequem kleiden wollte. Sie erfand u. a. das „Transformationskleid“. Es war schlicht geschnitten und konnte mittels einer Vielzahl von Accessoires von einem Alltags- bis hin zum bodenlangen Abendkleid mit Cape verwandelt werden.<ref>[https://www.faz.net/aktuell/stil/mode-design/mode/transformationskleid-neu-interpretiert-verwandlung-per-reissverschluss-1594184/ein-kleid-fuer-alle-faelle-1600699.html ''Ein Kleid für alle Fälle: Soupaults Transformationskleid, nachgeschneidert vom Kostümatelier des Nationaltheaters Mannheim'', Foto in: FAZ, 12. Februar 2011]</ref> Um ihre Mode hochwertig, aber erschwinglich zu gestalten, verwendete sie Stoffe der Couturiers vom Vorjahr. Diese Idee wie auch ihr spielerischer Umgang mit der Farben- und Formlehre des Bauhauses verrieten dessen Prägung. Außerdem kreierte sie erfolgreich eine neue Art von Hals-Schmuck: einen Metallkragen und Halsbänder aus künstlichen Blumen. Mit ihren [[prêt-à-porter]]-Kreationen revolutionierte sie die Pariser Modeszene und galt als neuer Star.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien, Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 10.</ref> Ihre Kollektionen wurden in Warenhäusern verkauft. Nach Wheeles Tod musste sie 1934 ihr Atelier schließen.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 54</ref>

=== Philippe Soupault ===
Am 7. November 1933 hatte Ré Richter, wie sie nach ihrer kurzen Ehe mit dem [[Dadaismus|dadaistischen]] Maler und Filmemacher [[Hans Richter (Dadaist)|Hans Richter]] hieß, [[Philippe Soupault]] in der [[Sowjetunion|sowjetischen]] Botschaft in Paris beim Empfang zur Feier der [[Oktoberrevolution]] kennengelernt. Er galt seit Ende der 1920er Jahre als einer der wichtigsten Journalisten Frankreichs. Nachdem sie ihr Modestudio aufgegeben hatte, unternahm sie mit ihm Reportagereisen durch Deutschland, die Schweiz, England, Skandinavien, Italien, Spanien und Nordafrika. Er überzeugte sie, seine Reportagen mit Fotografien zu illustrieren. 1937 heirateten sie.<ref>{{Webarchiv |url=http://www.literaturhaus-muenchen.de/programm/ausstellung.asp?ID=4212 |text=''Ré Soupault (1901–1996). Die Fotografin der magischen Sekunde'' |wayback=20070909123954}}, literaturhaus-muenchen.de 2009, abgerufen am 2. Mai 2013.</ref>

=== Fotografie ===
Am [[Bauhaus#Das Bauhaus und die Fotografie|Bauhaus]] hatte sie bereits mit dem Medium Fotografie experimentiert. Die grafischen Bildkompositionen ihrer Schwarz-Weiß-Fotografien zeugen davon.<ref>[https://www.centrepompidou.fr/cpv/ressource.action?param.id=FR_R-176d674be36c5303e6c23f1d7f34c2&param.idSource=FR_O-72eb818131781f2699e43d1a77776d0 Ré Soupault: ''Délégation de gréviste à la fête de la victoire du Front Populaire, le 14 juin 1936'', Reproduktion der Fotografie im Centre Pompidou]</ref> Sie arbeitete mit einer [[Rolleiflex|Rolleiflex 6x6]], später auch mit einer [[Schraubleica|Leica]]. Ihr bevorzugtes Motiv waren Menschen.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 12.</ref> Auf den Reisen entwickelte sie ihren Blick für die ›Magische Sekunde‹, die ihre Arbeiten auszeichnet. Als Beispiel dafür gilt das Foto eines Mädchens von 1936 in Madrid vor Beginn des [[Spanischer Bürgerkrieg|Bürgerkriegs]], das mit erhobener Faust die Arbeitersolidarität der Erwachsenen imitierte.<ref>''Ré Soupault''. In: Patrick Rössler, Elizabeth Otto: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne''. Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 54–55</ref>

1938 zog das Ehepaar Soupault nach [[Tunesien]]. [[Léon Blum]], der 1936 zum ersten sozialistischen Premierminister Frankreichs gewählt worden war, hatte Philippe Soupault beauftragt, die antifaschistische Radiostation ''Radio Tunis'' aufzubauen. In Tunesien veröffentlichte Ré Soupault ab August Reportagen für zahlreiche Zeitschriften. Sie fotografierte Auswanderer, Pilger, Nomaden und im Palast des tunesischen Monarchen. Es entstanden auch Selbstporträts. Die französische Regierung erwarb Fotografien von ihr für wenig Geld. Sie setzte sich mit der Rolle der Frau in der islamischen Welt auseinander und erfuhr von der Existenz des „Quartier réservé“ in Tunis, einem geschlossenen Bezirk, in den von ihren Familien und der Gesellschaft verstoßene Frauen abgeschoben wurden und wo Prostitution ihr einziger Broterwerb war. Die guten Beziehungen zu den Behörden ermöglichten Ré Soupault für zwei Tage in Begleitung eines örtlichen Polizisten den Zugang zu diesem Viertel. Sie porträtierte Frauen in fast leeren Zimmern und fing deren Blicke ein. Es blieben die einzigen Fotos, die dort je gemacht wurden.<ref>[https://www.zeit.de/1989/06/quartier-reserve Anne Frederiksen: ''Quartier Reserve'', aus: Die Zeit No. 6/1989]</ref><ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 13.</ref>

Während des [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkriegs]] unterstand Tunesien ab 1940 der [[Vichy-Regime|Vichy-Regierung]], die Philippe Soupault entließ, sodass das Ehepaar kein festes Einkommen mehr hatte. Im März 1942 wurde er für sechs Monate wegen angeblichen Hochverrats ohne Prozess inhaftiert. Als deutsche Streitkräfte Tunis nach der [[Operation Torch|Landung der Amerikaner]] in Nordafrika im November 1942 besetzten, flüchtete das Paar nach Algerien, das zum [[Forces françaises libres|Freien Frankreich]] übergegangen war. Sie mussten alles zurücklassen, auch Rés Fotonegative. Ihr Haus in der ''rue el Karchani'' in Tunis wurde vollständig geplündert.<ref>Ursula März: ''Du lebst wie im Hotel.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1999, S. 80.</ref>

Fast ein Jahr lang blieben sie in Algerien, dann bekam Philippe Soupault 1943 von [[Charles de Gaulle|Général de Gaulle]] den Auftrag, in Nord-, Mittel- und Südamerika eine neue französische Nachrichtenagentur aufzubauen. Das Ehepaar Soupault reiste 1943 mit einem amerikanischen Truppentransporter von [[Tanger]] aus in die USA und siedelte sich in New York an. Dort begegneten sie ihren exilierten Freunden aus dem Vorkriegs-Europa wieder. Ré Soupault begleitete ihren Mann auf allen seinen Reisen, im Jahr 1944 nach Südamerika.

1945 trennten sie sich. Philippe Soupault ging nach Europa zurück; Ré Soupault blieb in New York. [[Max Ernst]] überließ ihr sein Studio. Sie schrieb und fotografierte Reisereportagen für den ''International Digest'' und das ''Travel-Magazin''.

Ihre letzte Fotoreportage machte sie 1950 in Westdeutschland über [[Flucht und Vertreibung Deutscher aus Mittel- und Osteuropa 1945-1950|Flüchtlinge und Vertriebene aus den Ostgebieten]]. Sie reiste drei Wochen durch Bayern, Niedersachsen und Schleswig-Holstein, besuchte Flüchtlingsunterkünfte und schilderte die unterschiedliche Integration der einzelnen Volksgruppen. Ein Hauptthema war die drohende Verwahrlosung von Jugendlichen.<ref>[https://www.sueddeutsche.de/kultur/fluechtlinge-in-den-50er-jahren-deutsche-vagabunden-1.3366323 Hans-Peter Kunisch: ''Deutsche Vagabunden'', Süddeutsche Zeitung, 7. Februar 2017]</ref> Ihre Fotografien nahmen Menschen in den Fokus, „in deren oft leeren Blicken an der Kamera vorbei sich Verlust und Zukunftssorgen ablesen lassen“. Sie berichtete aber auch von „der hohen personellen Kontinuität, von ehemaligen SS-Leuten, die nach dem Krieg als Polizeibeamte in den Flüchtlingslagern arbeiteten“.<ref>René Schlott, Rezension: [https://www.visual-history.de/2016/12/05/rezension-re-soupault-katakomben-der-seele/ ''Ré Soupault, Katakomben der Seele''], in: [[Visual History]] 5. Dezember, 2016, [[doi:10.14765/zzf.dok-1580]]</ref>

=== Übersetzungen und Hörfunk-Features ===
Im Juni 1946 kehrte Ré Soupault nach Paris zurück und begann als literarische Übersetzerin aus dem Französischen ins Deutsche für die [[Büchergilde Gutenberg]] in [[Zürich]] zu arbeiten. Sie übersetzte u. a. [[Romain Rolland]], [[André Breton]], Philippe Soupault und [[Tristan Tzara]]. 1954 übertrug sie ein Schlüsselwerk des Surrealismus, ''[[Die Gesänge des Maldoror]]'' von [[Lautréamont]].

Sie verfasste für deutsche und schweizerische Rundfunkanstalten zahlreiche Hörfunk-Features u. a. über das Bauhaus, [[Antoine de Saint-Exupéry]], [[Rabindranath Tagore]], [[Mahatma Gandhi]], Frauen im Mittelalter, Paris unter der [[Pariser Kommune|Kommune]] von 1871, die [[Geschwister Scholl]], [[Joseph Roth]], [[Fritz von Unruh]] und [[Viking Eggeling]]. Für das Abendstudio des Hessischen Rundfunks schrieb sie zwischen 1955 und 1980 insgesamt 16 Radioessays, unter anderem ihre eigene Adaption von [[Voltaire]]s ‘[[Candide oder der Optimismus|Candide]]’. Den literarisch-künstlerischen Bewegungen [[Dadaismus]] und [[Surrealismus]], als deren Bindeglied sie [[Tristan Tzara]] sah, widmete sie zwei Features, ''Tristan Tzara, Begründer des Dada'' (1968) und ''„Wir haben uns geirrt: Die wahre Welt ist nicht, was wir geglaubt haben.“ Die Entstehung des Surrealismus'' (1974).<ref>[https://literaturkritik.de/soupault-vom-dadaismus-zum-surrealismus-zwischen-dada-und-surrealismus,25209.html Martin Ingenfeld: ''Zwischen Dada und Surrealismus. Zum 100. Jahrestag der „magnetischen Felder“ eröffnet Ré Soupault den Blick auf Tristan Tzara als Bindeglied der beiden Kunstbewegungen'', Literaturkritik, 1. Januar 2019]</ref>
Gemeinsam mit Philippe Soupault drehte sie 1967 für das Französische Fernsehen einen Film über [[Wassily Kandinsky]].

=== Späte Jahre und Wiederentdeckung ihres künstlerischen Werks ===
Ab 1973 lebte das Ehepaar Soupault wieder in Paris zusammen im selben Haus, doch in zwei getrennten Wohnungen in der ''Résidence d’Auteuil'' im [[16. Arrondissement (Paris)|XVI. Bezirk]]. Auf einer Reise nach Heidelberg 1981 lernten sie den Verleger Manfred Metzner kennen, der 1978 den Verlag [[Das Wunderhorn]] mitgegründet hatte. Er machte Ré Soupaults verloren geglaubtes fotografisches Werk der Dreißiger und Vierziger Jahre in Deutschland bekannt. Ein Teil ihrer Negative aus den Jahren 1934 bis 1942, die sie auf ihrer Flucht in Tunis zurücklassen musste, hatte nach dem Zweiten Weltkrieg eine tunesische Freundin in einer Truhe in den [[Souk]]s von Tunis wiedergefunden. Vieles war jedoch für immer verloren.<ref>Manfred Metzner (Hrsg.): ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Fotografien. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, S. 17.</ref> 1988 erschien die Erstveröffentlichung des Fotobands ''Eine Frau allein gehört allen. Fotos aus dem ‚‚Quartier réservé‘‘ in Tunis''; 1994 folgte der zweite Fotoband ''Paris 1934–1938''.

Nach dem Tod von Philipp Soupault 1990 lebte sie zurückgezogen in einem kleinen Apartment am [[Bois de Boulogne]] und arbeitete an der Herausgabe ihres Tagebuchs, dass sie seit den Vierziger Jahren kontinuierlich führte. Sie starb am 12. März 1996 in Versailles, auf den Tag genau sechs Jahre nach ihrem Mann. Sie wurde in seinem Grab auf dem [[Cimetière de Montmartre|Friedhof Montmartre]] beerdigt.

Die erste Retrospektive ihres fotografischen Werks widmete ihr im Jahr 2007 der [[Gropius-Bau]] in Berlin. 2011 präsentierte die [[Kunsthalle Mannheim]] das komplexe Lebenswerk der Mode- und Filmemacherin, Fotografin, Essayistin und Übersetzerin in der Ausstellung ''Ré Soupault. Künstlerin im Zentrum der Avantgarde''. Neben ihren eigenen fotografischen Arbeiten wurden auch die Fotoserien von [[Man Ray]] gezeigt, in denen er sie und ihre Modekreationen porträtiert hatte.<ref>[https://www.fr.de/kultur/kunst/augenhoehe-welt-11439368.html Natalie Soondrum: ''Das Lebenswerk der Künstlerin Ré Soupault. Auf Augenhöhe mit der Welt'', Frankfurter Rundschau, 15. Februar 2011]</ref>

2018 brachte Metzner den Erinnerungsband ''Nur das Geistige zählt. Vom Bauhaus in die Welt'' heraus, die er aus hinterlassenen Briefen, Texten und Tagebuchpassagen von Ré Soupault zu einem fortlaufenden Text montiert hatte.<ref>[https://www.deutschlandfunkkultur.de/re-soupault-nur-das-geistige-zaehlt-ein-aufschlussreiches.1270.de.html?dram:article_id=419038 Helmut Böttiger: ''Ré Soupault: „Nur das Geistige zählt.“ Ein aufschlussreiches atmosphärisches Zeugnis'', Deutschlandfunk Kultur, 30. Mai 2018]</ref>
{{Zitat
|Text=Es gibt zwei Wege im Leben: der eine führt nach außen: Karriere, Geltung, Besitz […] der andere nach innen: Arbeit, aber ohne Rücksicht auf äußeren Erfolg, schöpferische Arbeit, die ihren Lohn in sich selbst findet.
|Autor=Ré Soupault
|ref=<ref>Zitiert in: [https://oe1.orf.at/artikel/646351/Re-Soupault-Nur-das-Geistige-zaehlt ''Ré Soupault - "Nur das Geistige zählt"''. Rezension von Carsten Hueck. Oe1, ORF.at, 10. Juni 2018]</ref>}}

== Ausstellungen ==
;Einzelausstellungen
* 1997: ''La Tunisie 1936–1940 vue par Ré Soupault.'' Maison des arts Tunisie; [[Institut du monde arabe]], Paris
* 2001: ''Ré Soupault. Fotografien 1935–1952.'' Tournee-Ausstellung des [[Institut für Auslandsbeziehungen|Instituts für Auslandsbeziehungen]] an den [[Goethe-Institut]]en in Casablanca, Rabat, Tunis, Madrid. Ausstellung zum 100. Geburtstag in Heidelberg.
* 2007: ''Ré Soupault (1901–1996). Die Fotografin der magischen Sekunde.'' Retrospektive im [[Martin-Gropius-Bau]], Berlin; anschl. im [[Literaturhaus München]]
* 2011: ''Ré Soupault – Künstlerin im Zentrum der Avantgarde.'' Retrospektive des Gesamtwerks in der [[Kunsthalle Mannheim]]
* 2015: ''Ré Soupault – Das Auge der Avantgarde''. [[Zeppelin-Museum]] Friedrichshafen
* 2021: ''Ré Soupault – „Es war höchste Zeit …“. Eine Avantgardekünstlerin in Basel 1948 bis 1958.'' Universitätsbibliothek Basel
;Beteiligung
* 2004–2005: ''Woman. Metamorphosis of modernity.'' [[Fundación Joan Miró]], Barcelona
* 2015–2016: ''Qui a peur des femmes photographes? 1839–1945.'' [[Musée d’Orsay]], Paris
* 2018–2019: ''Photographie, arme de classe. La photographie sociale et documentaire en France. 1928-1936.'' [[Centre Pompidou]], Paris
* 2019–2020: ''Unbekannte Moderne – Bild der Stadt / Stadt im Bild. Malerei, Grafik und Fotografie zwischen Bauhaus und Neuer Sachlichkeit.'' [[Brandenburgisches Landesmuseum für moderne Kunst / Dieselkraftwerk Cottbus|Brandenburgisches Landesmuseum für Moderne Kunst]], [[Cottbus]]

== Publikationen ==
=== Eigene Werke ===
;Bildbände, Fotoreportagen
* ''Tunesien 1936–1940.'' Deutsch-französische Ausgabe. Mit einem Text von [[Abdelwahab Meddeb]]. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1996, ISBN 978-3-88423-102-9.
* ''Paris 1934–1938.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1994, ISBN 978-3-88423-088-6.
* ''Frauenportraits aus dem „Quartier résérvé“ in Tunis.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2001, ISBN 978-3-88423-140-1. (Die erste Ausgabe dieses Fotobands war 1988 mit dem Titel ''Eine Frau allein gehört allen'' erschienen. Er wurde zum 100. Geburtstag von Ré Soupault neu aufgelegt.)
* ''Philippe Soupault. Portraits.'' Fotografien 1934–1944. Mit einem Essay von Philippe Soupault. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2003, ISBN 978-3-88423-217-0.
* ''Ré Soupault – Die Fotografin der magischen Sekunde. Im Zentrum der Klassischen Moderne zwischen Berlin und Paris.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-88423-282-8
* ''Katakomben der Seele. Eine Reportage über Westdeutschlands Vertriebenen- und Flüchtlingsproblem 1950.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-88423-546-1.
;Essays
* ''Vom Dadaismus zum Surrealismus''. Zwei Essays. Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-88423-602-4
* ''Geistige Freiheiten. Essays.'' Herausgegeben von Manfred Metzner, Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-88423-716-8.
;Autobiografische Texte
* ''Nur das Geistige zählt. Vom Bauhaus in die Welt.'' Herausgegeben von Manfred Metzner, Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-88423-588-1.

;Herausgabe von Märchen-Anthologien
* ''Bretonische Märchen.'' 1959.
* ''Französische Märchen.'' 1962.
* ''52 contes merveilleux: De tous les temps et de tous les pays pour toutes les semaines.'' Mit Philippe Soupault. 1953.
* ''Märchen aus fünf Kontinenten.'' (Deutsche, französische, italienische Ausgabe), mit Philippe Soupault. 1968.
* ''Histoires merveilleuses des 5 continents.'' Mit Philippe Soupault und Mireille Wieland. (Collection ''Mille et une histoires''), Éditions Seghers, 1975.
* ''L’étoile et le nénuphar, et autres contes.'' Mit Philippe Soupault, Nachwort von Michaël Batalla, Collection ''Seghers jeunesse'', Éditions Seghers, 2005.
* ''Histoires merveilleuses du Brésil.'' Mit Philippe Soupault, Nachwort von Michaël Batalla. Collection ''Seghers jeunesse'', Éditions Seghers, 2005.
* ''Dragon bleu Dragon jaune.'' Mit Philippe Soupault und Zhon yao Li. ''Les Pt’its albums du Père Castor'', Flammarion, Paris 2006.

=== Übersetzungen (Auswahl) ===
* [[Romain Rolland]]: ''Zwischen den Völkern – Tagebuch der Kriegsjahre'' und die Memoiren ''Aus meinem Leben.'' Zürich 1948.
* [[Lautréamont]]: ''Das Gesamtwerk'', ''Die Gesänge des Maldoror'', ''Dichtungen'', ''Briefe''. Heidelberg 1954.
* Philippe Soupault: ''Der Neger'', ''Die letzten Nächte von Paris'', ''Ein grosser Mann'', ''Das letzte Spiel'', ''Begegnungen mit Dichtern und Malern''. Mit André Breton: ''Die magnetischen Felder.''

== Literatur ==
* ''Ré Soupault''. In: [[Patrick Rössler]], [[Elizabeth Otto]]: ''Frauen am Bauhaus. Wegweisende Künstlerinnen der Moderne.'' Knesebeck, München 2019. ISBN 978-3-95728-230-9. S. 52–55.
* Inge Herold et al.: ''Ré Soupault. Künstlerin im Zentrum der Avantgarde'', Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 2011.
* Anton Escher: ''Construction of the Public Sphere in the Middle Eastern Medina. The Photographs by Ré Soupault.'' In: Hans Christian Korsholm Nielsen, Jakob Skovgaard-Petersen (Hrsg.): ''Middle Eastern Cities 1900–1950. Public Places and Public Spheres in Transformation.'' Aarhus University Press 2001, ISBN 978-87-7288-906-1, S. 165 f.
* [[Ursula März]]: ''Du lebst wie im Hotel.'' Verlag Das Wunderhorn, Heidelberg 1999, ISBN 978-3-88423-155-5. (Biografischer Essay über Ré Soupault mit zahlreichen Abbildungen)
* Sigrid Wortmann Weltge: ''Bauhaus-Textilien: Kunst und Künstlerinnen der Webwerkstatt.'' Übersetzung aus dem Amerikanischen. Ed. Atemmle, Schaffhausen 1993, S. 205.

== Filmporträts ==
* ''Ré et Philippe Soupault: les années tunisiennes.''Von [[Frédéric Mitterrand]], Fernsehfilm ARTE, 1996.
* ''Ré Soupault in Tunis. Eine Bauhausschülerin fotografiert den Orient.'' Von [[Ulrike Becker (Regisseurin)|Ulrike Becker]], Fernsehfilm (45 Min.), SWR Baden-Baden, 1997.<ref>[https://www.literaturhaus-muenchen.de/veranstaltung/re-soupault-in-tunis-eine-bauhausschuelerin-fotografiert-den-orient/ Filmvorführung im Literaturhaus München 2007]</ref>
* ''Die Fotografin Ré Soupault.'' Von [[Luzia Braun]], [[ZDF Aspekte]], 27. April 2007.

== Hörspiele ==
* ''Und plötzlich war ich eine Fremde. Die Fotografin Ré Soupault.'' Von Conny Frühauf, WDR, 2006.<ref>[https://www.deutschlandfunkkultur.de/und-ploetzlich-war-ich-eine-fremde.3682.de.html?dram:article_id=147481 Hörspiel und Feature, Deutschlandfunk]</ref>
* ''Schießbuden haben noch immer einen Reiz für mich.'' Nach unveröffentlichten Texten von Ré Soupault. Von [[Andra Joeckle]], Deutschlandradio Kultur 2007 (54'43 Min.).<ref>[http://hoerspiele.dra.de/vollinfo.php?dukey=1517103&vi=3&SID ARD-Hörspieldatenbank]</ref>

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|118861549}}
* {{UBNL|000072092}}
* {{Perlentaucher|re-soupault}}
* {{NDB|24|605|606|Soupault, Ré|Ivo Kranzfelder|118861549}}
* [https://bauhauskooperation.de/wissen/das-bauhaus/koepfe/biografien/biografie-detail/person-Soupault-Ré-1225 ''Ré Soupault. 1921–1925 Studierende am Bauhaus''] bei bauhauskooperation.de
* [http://photography-now.com/artist/re-soupault Ré Soupault bei Photography Now]
* [https://kultursysteme.de/re-soupault/ ''Eine Frau allein gehört Allen'', Ré Soupault im Gespräch mit Thomas Mank in Paris 1995], in: [[epd Film]], Ausgabe 1/96, S. 20–26
* René Schlott: ''[https://www.visual-history.de/2016/12/05/rezension-re-soupault-katakomben-der-seele/ Rezension: Ré Soupault, Katakomben der Seele]'', in: Visual-History, 5. Dezember 2016

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=118861549|LCCN=n85113695|VIAF=59170932}}

{{SORTIERUNG:Soupault, Re}}
[[Kategorie:Schüler am Bauhaus]]
[[Kategorie:Fotograf (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Fotograf (Paris)]]
[[Kategorie:Journalist (Deutschland)]]
[[Kategorie:Modedesigner (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Übersetzer aus dem Französischen]]
[[Kategorie:Übersetzer ins Deutsche]]
[[Kategorie:Emigrant zur Zeit des Nationalsozialismus]]
[[Kategorie:Deutscher Emigrant in Frankreich]]
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Franzose]]
[[Kategorie:Geboren 1901]]
[[Kategorie:Gestorben 1996]]
[[Kategorie:Frau]]

{{Personendaten
|NAME=Soupault, Ré
|ALTERNATIVNAMEN=Niemeyer, Meta Erna (Geburtsname); Green, Renate; Richter-Green, Renate; Richter, Ré
|KURZBESCHREIBUNG=französische Fotografin
|GEBURTSDATUM=29. Oktober 1901
|GEBURTSORT=[[Bobolice|Bublitz]], [[Pommern]]
|STERBEDATUM=12. März 1996
|STERBEORT=[[Paris]]
}}

Kreuzprodukt

2024-09-11T14:03:32Z

Pascal.vollmer.fr: Tippfehler beseitigt

{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Produkt zweier Vektoren im Raum; für weitere Bedeutungen siehe [[Kreuzprodukt (Begriffsklärung)]].}}

[[Datei:Cross product parallelogram.svg|mini|Kreuzprodukt]]
Das '''Kreuzprodukt''', auch '''Vektorprodukt''', '''vektorielles Produkt''' oder '''äußeres Produkt''', ist eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum#Euklidische Vektorräume|euklidischen Vektorraum]], die zwei [[Vektor]]en wieder einen Vektor zuordnet. Um es von anderen Produkten, insbesondere vom [[Skalarprodukt]], zu unterscheiden, wird es im deutsch- und englischsprachigen Raum mit einem [[Malzeichen|Malkreuz]] <math>\times</math> als Multiplikationszeichen geschrieben (vgl. Abschnitt [[#Schreibweisen|Schreibweisen]]). Die Bezeichnungen Kreuzprodukt und Vektorprodukt gehen auf den Physiker [[Josiah Willard Gibbs]] zurück, die Bezeichnung äußeres Produkt wurde von [[Hermann Graßmann]] geprägt.<ref>{{Literatur |Autor=Max Päsler |Titel=Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung |Auflage= |Verlag=Walter de Gruyter |Ort= |Datum=1977 |ISBN=3-11-082794-8 |Seiten=33}}</ref>

Das Kreuzprodukt der Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist ein Vektor, der [[Orthogonalität|senkrecht]] auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] bildet. Die Länge dieses Vektors entspricht dem [[Flächeninhalt]] des [[Parallelogramm]]s, das von den Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> aufgespannt wird.

In der Physik tritt das Kreuzprodukt an vielen Stellen auf, zum Beispiel im [[Elektromagnetismus]] bei der Berechnung der [[Lorentzkraft]] oder des [[Poynting-Vektor]]s. In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] wird es bei Drehgrößen wie dem [[Drehmoment]] und dem [[Drehimpuls]] oder bei Scheinkräften wie der [[Corioliskraft]] benutzt.

== Geometrische Definition ==
[[Datei:RHR.svg|mini|Rechte-Hand-Regel]]
Das Kreuzprodukt <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> von zwei Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> im dreidimensionalen Anschauungsraum ist ein Vektor, der [[orthogonal]] zu <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math>, und damit orthogonal zu der von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> aufgespannten Ebene ist.

Dieser Vektor ist so orientiert, dass <math>\vec a, \vec b</math> und <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> in dieser Reihenfolge ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] bilden. Mathematisch heißt das, dass die drei Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> und <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> gleich orientiert sind wie die Vektoren <math>\vec e_1</math>, <math>\vec e_2</math> und <math>\vec e_3</math> der [[Standardbasis]]. Im physikalischen Raum bedeutet es, dass sie sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand verhalten ([[Drei-Finger-Regel|Rechte-Hand-Regel]]). Ein Drehen des ersten Vektors <math>\vec a</math> in den zweiten Vektor <math>\vec b</math> ergibt die positive Richtung des Vektors <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> über den [[Schraubenregel|Rechtsschraubensinn]].

[[Datei:Flächeninhalt Parallelogramm Kreuzprodukt.png|mini]]
[[Datei:Cross product parallelogram.gif|mini|Abhängigkeit des Kreuzproduktes und dessen Betrag vom Winkel]]
Der Betrag von <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> gibt den Flächeninhalt des von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> aufgespannten [[Parallelogramm]]s an. Ausgedrückt durch die Längen <math>|\vec a|</math> und <math>|\vec b|</math> der Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> sowie den von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> eingeschlossenen [[Winkel]] <math>\theta = \sphericalangle(\vec a, \vec b)</math> gilt
:<math>|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\, |\vec{b}|\, \sin\theta </math>,
wobei <math>\sin \theta\,</math> den [[Sinus]] des eingeschlossenen Winkels <math>\theta</math> bezeichnet.

Streng genommen lässt sich diese Formel nur für <math>\vec a, \vec b \neq \vec 0 </math> anwenden, da ansonsten <math>\theta</math> nicht erklärt ist.

Zusammenfassend gilt also
:<math>
\vec{a}\times\vec{b}
=\begin{cases}\displaystyle
|\vec{a}||\vec{b}|
\sin\theta \, \vec{n}, &\text{falls } \vec a, \vec b \neq \vec 0, \\ \vec 0 & \text{sonst,} \end{cases}
</math>
wobei der Vektor <math>\vec{n}</math> derjenige zu <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> senkrechte [[Einheitsvektor]] ist, der diese zu einem Rechtssystem ergänzt.

== Schreibweisen ==
Je nach Land sind für das Vektorprodukt zum Teil unterschiedliche Schreibweisen gebräuchlich. Im englisch- und deutschsprachigen Raum wird für das Vektorprodukt zweier Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> für gewöhnlich die Schreibweise <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> verwendet, in Frankreich und Italien wird dagegen die Schreibweise <math>\vec{a}\wedge\vec{b}</math> bevorzugt. In Russland wird das Vektorprodukt oft in der Schreibweise <math>[\vec{a}\ \vec{b}]</math> oder <math>[\vec{a},\vec{b}]</math> notiert.

Die Schreibweise <math>\vec{a}\wedge\vec{b}</math> und die Bezeichnung ''äußeres Produkt'' werden nicht nur für das Vektorprodukt verwendet, sondern auch für die Verknüpfung, die zwei Vektoren einen sogenannten ''Bivektor'' zuordnet, siehe [[Graßmann-Algebra]].

== Komponentenweise Berechnung ==
In einem rechtshändigen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] bzw. im [[Euklidischer Raum|reellen Koordinatenraum]] <math>\R^3</math> mit dem [[Standardskalarprodukt]] und der Standardorientierung gilt für das Kreuzprodukt:
: <math>
\vec{a}\times\vec{b}
=
\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}\,.
</math>

Ein Zahlenbeispiel:
: <math>
\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\
3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\
1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-6 \\
-30 \\
22
\end{pmatrix}\,.
</math>

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer symbolischen Darstellung über die [[Determinante]]. Dabei notiert man eine <math>(3 \times 3)</math>-Matrix, in deren erster Spalte die Symbole <math>\vec e_1</math>, <math>\vec e_2</math> und <math>\vec e_3</math> für die [[Standardbasis]] stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors <math>\vec a</math> und die dritte von denen des Vektors <math>\vec b</math> gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte [[Laplacescher Entwicklungssatz|entwickelt]]
:<math>\begin{align}
\vec a \times \vec b &=\det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\
&= \vec e_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}
- \vec e_2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix}
+ \vec e_3 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \\
&= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,,
\end{align}
</math>
oder mit Hilfe der [[Regel von Sarrus]]:
:<math>\begin{align}
\vec a \times \vec b &= \det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\
&= \vec e_1 \, a_2 \, b_3 + a_1 \, b_2 \, \vec e_3 + b_1 \, \vec e_2 \, a_3 \\
&\quad - \vec e_3 \, a_2 \, b_1 - a_3 \, b_2 \, \vec e_1 - b_3 \, \vec e_2 \, a_1 \\
&= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,.
\end{align}
</math>

Mit dem [[Levi-Civita-Symbol]] <math>\varepsilon_{ijk}</math> schreibt sich das Kreuzprodukt als
: <math> \vec{a}\times\vec{b} = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_i b_j \vec e_k\,.</math>

== Herleitung ==

Führt man im euklidischen Raum ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren <math>\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3</math> ein, so erhält man direkt aus der [[#Geometrische Definition|geometrischen Definition]] und der [[#Antikommutativität|Antikommutativität]]

:<math>\begin{array}{lll}
\vec e_1 \times \vec e_1 = \vec 0, & \vec e_1 \times \vec e_2 = \vec e_3, & \vec e_1 \times \vec e_3 = -\vec e_2, \\
\vec e_2 \times \vec e_1 = -\vec e_3, & \vec e_2 \times \vec e_2= \vec 0, & \vec e_2 \times \vec e_3 = \vec e_1, \\
\vec e_3 \times \vec e_1 = \vec e_2, & \vec e_3 \times \vec e_2 = -\vec e_1, & \vec e_3 \times \vec e_3= \vec 0. \\
\end{array}</math>

Drückt man zwei Vektoren <math>\vec a, \vec b</math> mithilfe der Basiseinheitsvektoren aus, so liest sich deren Kreuzprodukt als

:<math>\vec a \times \vec b = \left(a_1 \vec e_1 + a_2 \vec e_2 + a_3\vec e_3\right)\times \left(b_1 \vec e_1 + b_2 \vec e_2 + b_3\vec e_3\right).</math>

Unter Vorwegnahme der Bilinearität des Kreuzprodukts (siehe [[#Eigenschaften|Eigenschaften]]) lässt sich die rechte Seite ausmultiplizieren:

:<math>\vec a \times \vec b =a_1b_1 \left(\vec e_1 \times \vec e_1\right)+a_1b_2 \left(\vec e_1 \times \vec e_2\right)+a_1b_3 \left(\vec e_1 \times \vec e_3\right)+a_2b_1 \left(\vec e_2 \times \vec e_1\right)+a_2b_2 \left(\vec e_2 \times \vec e_2\right)+a_2b_3 \left(\vec e_2 \times \vec e_3\right)+a_3b_1 \left(\vec e_3 \times \vec e_1\right)+a_3b_2 \left(\vec e_3 \times \vec e_2\right)+a_3b_3 \left(\vec e_3 \times \vec e_3\right).</math>

Einsetzen der obigen Kreuzprodukte liefert

:<math>\vec a \times \vec b =a_1b_2 \vec e_3+a_1b_3 \left(-\vec e_2\right)+a_2b_1 \left(-\vec e_3\right)+a_2b_3 \vec e_1+a_3b_1 \vec e_2+a_3b_2 \left(-\vec e_1\right).</math>

Durch Zusammenfassung gleicher Terme erhält man hieraus

:<math>\vec a \times \vec b = (a_2b_3 -a_3b_2)\, \vec e_1 + (a_3b_1-a_1b_3)\,\vec e_2 + (a_1b_2-a_2b_1)\, \vec e_3.</math>

== Eigenschaften ==
=== Bilinearität ===
Das Kreuzprodukt ist [[Bilineare Abbildung|bilinear]],<ref name="AmannII312313">Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis.'' 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, ISBN 3-7643-7105-6 (''Grundstudium Mathematik''), S. 312–313</ref> das heißt, für alle reellen Zahlen <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> und alle Vektoren <math>\vec a</math>, <math>\vec b</math> und <math>\vec c</math> gilt
: <math>\begin{align}
\vec{a}\times(\beta \,\vec{b} + \gamma\, \vec{c}) = \beta \,(\vec{a}\times\vec{b}) + \gamma \,(\vec{a}\times\vec{c})\,, \\
(\alpha\,\vec{a} + \beta\,\vec{b})\times\vec{c} = \alpha\,(\vec{a}\times\vec{c}) + \beta \,(\vec{b}\times\vec{c})\,.
\end{align}</math>
Die Bilinearität impliziert insbesondere auch das folgende Verhalten hinsichtlich der Skalarmultiplikation
: <math>\ \vec{a}\times(\beta\,\vec{b}) = \beta\,(\vec{a}\times\vec{b}) = (\beta\,\vec{a})\times\vec{b}\,,</math>
: <math>\ (\alpha\,\vec{a})\times(\beta\,\vec{b}) = \alpha\,\beta\,(\vec{a}\times\vec{b}) = (\beta\,\vec{a})\times(\alpha\,\vec{b}) .</math>

=== Alternierende Abbildung ===
Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst oder einem [[Kollinearität|kollinearen]] Vektor ergibt den [[Nullvektor]]:
: <math>\vec{a}\times r\vec{a} = \vec{0}</math>.
Bilineare Abbildungen, für die diese Gleichung gilt, werden ''alternierend'' genannt.<ref name="AmannII312313" />

=== Antikommutativität ===
[[Datei:Cross product vector.svg|mini|278x278px|Antikommutativität in einem Rechtssystem]]
Das Kreuzprodukt ist [[antikommutativ]]. Das heißt, bei Vertauschung der Argumente wechselt es das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]:<ref name="AmannII312313" />
: <math>\vec{a}\times\vec{b} = -\, \vec{b}\times\vec{a}\,.</math>
Dies folgt aus der Eigenschaft, (1) alternierend und (2) bilinear zu sein, da
:<math>\vec{0} \, \mathrel{\stackrel{(1)}{=}} (\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})
\mathrel{\stackrel{(2)}{=}} \vec{a}\times\vec{a}+\vec{a}\times\vec{b} +\vec{b}\times\vec{a}+\vec{b}\times\vec{b}
\mathrel{\stackrel{(1)}{=}} \vec{0}+\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{a}+\vec{0}
= \vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{a}
</math>
für alle <math>\vec{a},\vec{b}\in\R^3</math> gilt.

=== Jacobi-Identität ===
Das Kreuzprodukt ist nicht [[Assoziativgesetz|assoziativ]]. Stattdessen gilt die [[Jacobi-Identität]], das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet:
:<math>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) +\vec{b}\times (\vec{c}\times\vec{a}) +\vec{c}\times (\vec{a}\times\vec{b}) = \vec{0}</math>

Aufgrund dieser Eigenschaft und den zuvor genannten bildet der <math>\R^3</math> zusammen mit dem Kreuzprodukt eine [[Lie-Algebra]].

=== Beziehung zur Determinante ===
Für jeden Vektor <math>\vec v</math> gilt
:<math> \vec v \cdot (\vec a \times \vec b) = \operatorname{det} (\vec v, \vec a, \vec b) </math>.
Dabei bezeichnet der Malpunkt das [[Skalarprodukt]]. Durch diese Bedingung ist das Kreuzprodukt eindeutig bestimmt:<ref name="AmannII312313" />

Für jeden Vektor <math>\vec v</math> gilt:
Sind zwei Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> gegeben, so gibt es genau einen Vektor <math>\vec c</math>, so dass <math> \vec v \cdot \vec c = \operatorname{det} (\vec v, \vec a, \vec b) </math> für alle Vektoren <math>\vec v</math> gilt. Dieser Vektor <math>\vec c</math> ist <math>\vec a \times \vec b</math>.

=== Graßmann-Identität ===
Für das wiederholte Kreuzprodukt von drei [[Vektor]]en (auch ''doppeltes Vektorprodukt'' genannt<ref>[http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/krm-2008-2009/node67.html#eq:math:doppelt:vektor Doppeltes Vektorprodukt] ([http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/krm-2008-2009/krm-2008-2009.html Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik, Othmar Marti], abgerufen am 2. Oktober 2020)</ref>) gilt die ''Graßmann-Identität'' (auch ''Graßmannscher Entwicklungssatz'', nach [[Hermann Graßmann]]). Diese lautet:
:<math>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \,\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\, \vec{c}</math>
bzw.
:<math>(\vec{a}\times\vec{b})\times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\, \vec{b}\ - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \,\vec{a},</math>

wobei die Malpunkte das [[Skalarprodukt]] bezeichnen.
In der Physik wird oft die Schreibweise
:<math>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b} \,(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}\,(\vec{a} \cdot \vec{b}) \,,</math>
verwendet. Nach dieser Darstellung wird die Formel auch ''BAC-CAB-Formel'' genannt.
In Indexschreibweise lautet die Graßmann-Identität
:<math>\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}</math>.
Hierbei ist <math>\varepsilon_{ijk}</math> das [[Levi-Civita-Symbol]] und <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]].

=== Lagrange-Identität ===
Für das Skalarprodukt von zwei Kreuzprodukten gilt<ref name="AmannII312313" />
:<math>\begin{align}
(\vec{a}\times\vec{b}) \cdot (\vec{c}\times\vec{d})
&= (\vec{a}\cdot\vec{c}) (\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c}) (\vec{a}\cdot\vec{d})\\
&= \det \begin{pmatrix}(\vec{a}\cdot\vec{c}) & (\vec{a}\cdot\vec{d}) \\
(\vec{b}\cdot\vec{c}) & (\vec{b}\cdot\vec{d}) \end{pmatrix} \; .
\end{align}</math>
Dabei bezeichnet der Malpunkt das [[Skalarprodukt]].

Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus
: <math>\begin{align}
|\vec{a}\times\vec{b}|^2 &= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 \\
&= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(1-\cos^2 \theta) \\
&= |\vec{a}|^ 2|\vec{b}|^2\sin^2 \theta \; ,
\end{align}</math>
also gilt für den Betrag des Kreuzproduktes:
: <math>|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}| \, |\vec{b}|\, |\sin \theta| \; .</math>
Da <math>\theta</math>, der Winkel zwischen <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math>, immer zwischen 0° und 180° liegt, ist <math>0 \le\sin \theta \le 1.</math> Daraus folgt die Abschätzung
: <math>|\vec{a}\times\vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|</math>.

=== Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten ===
: <math>\begin{align}
(\vec{a}\times\vec{b}) \times (\vec{c}\times\vec{d})
&=\vec{b} \cdot \det(\vec{a},\vec{c},\vec{d}) - \vec{a} \cdot \det(\vec{b},\vec{c},\vec{d}) \\
&=\vec{c} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{d}) - \vec{d} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})
\end{align}
</math>

Sonderfälle:
: <math>(\vec{a}\times\vec{b}) \times (\vec{b}\times\vec{c})
= \vec{b} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})
</math>

: <math>(\vec{a}\times\vec{b}) \times (\vec{a}\times\vec{c})
= \vec{a} \cdot \det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})
</math>

: <math>(\vec{a}\times\vec{b}) \times (\vec{a}\times\vec{b})
= \vec{0}
</math>

== Kreuzproduktmatrix ==
Das Kreuzprodukt definiert für einen festen Vektor <math> \vec{w} </math> eine [[lineare Abbildung]], die einen Vektor <math> \vec{v} </math> auf den Vektor <math> \vec{w}\times \vec{v} </math> abbildet. Diese kann mit einem schiefsymmetrischen [[Tensoralgebra|Tensor]] zweiter Stufe [[Dyadisches Produkt#Koordinatenfreie Darstellung|identifiziert werden]]. Bei Verwendung der [[Standardbasis]] <math> \lbrace\vec{e}_1, \vec{e}_2,\vec{e}_3\rbrace </math> entspricht die lineare Abbildung einer [[Matrix (Mathematik)|Matrixoperation]]. Die [[schiefsymmetrische Matrix]]

:<math> {W}=\sum_{i=1}^3 (\vec{w}\times \vec{e}_i)\otimes\vec{e}_i
=\left(\begin{array}{ccc}
0& -w_3& w_2\\
w_3& 0& -w_1\\
-w_2& w_1& 0
\end{array}\right) </math>    mit    <math> \displaystyle\vec{w}
=\sum_{i=1}^3 w_i \vec{e}_i
=\left(\begin{array}{c}
w_1\\
w_2\\
w_3
\end{array}\right) </math>

leistet das Gleiche wie das Kreuzprodukt mit <math> \vec{w} </math>, d. h. <math> {W}\vec{v}=\vec{w}\times \vec{v} </math>:

:<math> \left(\begin{array}{ccc}
0& -w_3& w_2\\
w_3& 0& -w_1\\
-w_2& w_1& 0
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}
-w_3 v_2+w_2 v_3\\
w_3 v_1-w_1 v_3\\
-w_2 v_1+w_1 v_2
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
w_1\\
w_2\\
w_3
\end{array}\right)
\times
\left(\begin{array}{c}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\right) </math>.
Die Matrix <math>W</math> heißt ''Kreuzproduktmatrix''. Sie wird auch mit <math>[\vec w]_{\times}</math> bezeichnet. In Indexnotation gilt
:<math>W_{ij} = - \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} w_k</math>
mit
:<math>\sum_{j=1}^3 W_{ij} v_j = (\vec w \times \vec v)_i</math>.

Bei gegebener schiefsymmetrischer Matrix <math> {W} </math> gilt

:<math> {W}=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 W_{ij}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j = -W^{{T}} </math>,
wobei <math> {W}^{{T}} </math> die [[Transponierte Matrix|Transponierte]] von <math> {W} </math> ist, und man erhält den zugehörigen Vektor aus
:<math> \vec{w}=-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 W_{ij}\vec{e}_i \times \vec{e}_j </math>.

Hat <math>\vec w</math> die Gestalt <math> \vec{w} = \vec{b}\times\vec{a} </math>, so gilt für die zugehörige Kreuzproduktmatrix:
:<math> {W} = [\vec w]_{\times}= \vec{a}\otimes\vec{b}-\vec{b}\otimes\vec{a} </math> und <math> W_{ij}= a_i b_j - b_i a_j </math> für alle <math>i, j</math>.
Hierbei bezeichnet „<math>\otimes</math>“ das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]].

== Polare und axiale Vektoren ==
Bei der Anwendung des Kreuzprodukts auf vektorielle [[physikalische Größe]]n spielt die Unterscheidung in ''polare'' oder ''Schubvektoren'' (das sind solche, die sich wie Differenzen zweier Ortsvektoren verhalten, zum Beispiel [[Geschwindigkeit]], [[Beschleunigung]], [[Kraft]], [[elektrische Feldstärke]]) einerseits und ''axiale'' oder ''Drehvektoren'', auch ''[[Pseudovektor]]en'' genannt, andererseits (das sind solche, die sich wie Drehachsen verhalten, zum Beispiel [[Winkelgeschwindigkeit]], [[Drehmoment]], [[Drehimpuls]], [[magnetische Flussdichte]]) eine wichtige Rolle.

Polaren oder Schubvektoren ordnet man dabei die ''Signatur'' (oder ''Parität'') +1 zu, axialen oder Drehvektoren die Signatur −1. Bei der vektoriellen Multiplikation zweier Vektoren schließlich multiplizieren sich diese Signaturen: zwei Vektoren mit gleicher Signatur liefern ein axiales, zwei mit verschiedener Signatur ein polares Vektorprodukt. Operationell ausgedrückt: Ein Vektor überträgt seine Signatur auf das Kreuzprodukt mit einem anderen Vektor, wenn dieser axial ist; ist der andere Vektor dagegen polar, bekommt das Kreuzprodukt die entgegengesetzte Signatur.

== Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen ==
=== Spatprodukt ===
{{Hauptartikel|Spatprodukt}}

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form
:<math>(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math>
wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten [[Parallelepiped|Spats]] (Parallelepipeds) entspricht. Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante der benannten drei Vektoren darstellen

:<math>V = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \det \left(\vec a, \vec b, \vec c\right). </math>

=== Rotation ===
{{Hauptartikel|Rotation eines Vektorfeldes}}

In der [[Vektoranalysis]] wird das Kreuzprodukt zusammen mit dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> verwendet, um den [[Differentialoperator]] „Rotation“ zu bezeichnen.
Ist <math>\vec V</math> ein [[Vektorfeld]] im <math>\R^3</math>, so ist
:<math>
\operatorname{rot}\vec{V} =
\nabla \times \vec{V} =
\begin{pmatrix}
\frac \partial {\partial x_1} \\[.5em]
\frac \partial {\partial x_2}\\[.5em]
\frac \partial {\partial x_3}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}V_1\\[.5em] V_2\\[.5em] V_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x_2} V_3 - \frac{\partial}{\partial x_3} V_2 \\[.5em]
\frac{\partial}{\partial x_3} V_1 - \frac{\partial}{\partial x_1} V_3 \\[.5em]
\frac{\partial}{\partial x_1} V_2 - \frac{\partial}{\partial x_2} V_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_3}{\partial x_2} - \frac{\partial V_2}{\partial x_3} \\[.5em]
\frac{\partial V_1}{\partial x_3} - \frac{\partial V_3}{\partial x_1} \\[.5em]
\frac{\partial V_2}{\partial x_1} - \frac{\partial V_1}{\partial x_2}
\end{pmatrix}
</math>
wieder ein Vektorfeld, die Rotation von <math>\vec V</math>.

Formal wird dieses Vektorfeld also als Kreuzprodukt des Nabla-Operators und des Vektorfelds <math>\vec V</math> berechnet.
Die hierbei auftretenden Ausdrücke <math>\tfrac \partial {\partial x_i} V_j</math> sind jedoch keine Produkte, sondern Anwendungen des Differentialoperators <math>\tfrac \partial {\partial x_i} </math> auf die Funktion <math>V_j</math>. Deshalb sind die oben angeführten Rechenregeln wie z. B. die Graßmann-Identität in diesem Fall nicht gültig. Stattdessen gelten für doppelte Kreuzprodukte mit dem Nabla-Operator [[Nabla-Operator#Rechenregeln|besondere Rechenregeln]].

== Kreuzprodukt im n-dimensionalen Raum ==
Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension <math>n \ge 2</math> auf den n-dimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^n</math> verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im <math>\mathbb{R}^n</math> kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von <math>n-1</math> Faktoren.

Das Kreuzprodukt <math>\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}</math> der Vektoren <math>\vec a_1, \dots , \vec a_{n-1} \in \R^n</math> ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor <math>\vec v \in \R^n</math> gilt
:<math> \vec v \cdot (\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}) = \operatorname{det} (\vec v, \vec a_1, \dots, \vec a_{n-1}). </math>

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im <math>\R^n</math> wie folgt berechnen.
Es sei <math>\vec e_i </math> der zugehörige <math>i</math>-te [[Standardbasis|kanonische Einheitsvektor]]. Für <math>n-1</math> Vektoren
: <math>
\vec a_1
=
\begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1}\end{pmatrix}, \
\vec a_2
=
\begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2}\end{pmatrix}, \
\dots, \
\vec a_{n-1}
=
\begin{pmatrix}a_{1\, (n-1)} \\ a_{2\, (n-1)} \\ \vdots \\ a_{n\, (n-1)}\end{pmatrix} \in \R^n
</math>
gilt
:<math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} = \det
\begin{pmatrix}
\vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\
\vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)}
\end{pmatrix},
</math>
analog zu der [[#Komponentenweise Berechnung|oben erwähnten Berechnung]] mit Hilfe einer Determinante.

Der Vektor <math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}</math> ist orthogonal zu
<math>\vec a_1,\vec a_2, \dotsc , \vec a_{n-1}</math>. Die Orientierung ist so, dass die Vektoren
<math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}, \vec a_1,\vec a_2, \dotsc , \vec a_{n-1}</math> in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.
Der Betrag von <math> \vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}</math> ist gleich dem <math>(n-1)</math>-dimensionalen Volumen des von <math>\vec a_1,\vec a_2, \dotsc , \vec a_{n-1}</math> aufgespannten [[Parallelotop]]s.

Für <math>n = 2</math> erhält man dabei kein Produkt, sondern nur eine lineare Abbildung
: <math>\R^2 \to \R^2; \
\begin{pmatrix} a_1 \\a_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix}</math>,
die Rotation um 90° im Uhrzeigersinn.

Hieran ist auch zu erkennen, dass die Komponentenvektoren des Kreuzprodukts inklusive des Ergebnisvektors in ''dieser'' Reihenfolge – anders als aus dem <math>\R^3</math> gewohnt – im Allgemeinen ''kein'' Rechtssystem bilden; diese entstehen nur in reellen [[Vektorraum|Vektorräumen]] mit ungeradem <math>n</math>, bei geraden <math>n</math> bildet der Ergebnisvektor mit den Komponentenvektoren ein Linkssystem. Dies liegt wiederum daran, dass die [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>( \vec a_1, \vec a_2, \dotsc, \vec a_{n-1}, \vec a_1 \times \vec a_2 \times \dotsb \times \vec a_{n-1})</math> in Räumen geradzahliger Dimension nicht dasselbe ist wie die Basis <math>(\vec a_1 \times \vec a_2 \times \dotsb \times \vec a_{n-1}, \vec a_1, \vec a_2, \dotsc, \vec a_{n-1})</math>, die per Definition (siehe oben) ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] ist. Zwar würde eine kleine Veränderung der Definition dazu führen, dass die Vektoren in der erstgenannten Reihenfolge im <math>\R^n</math> stets ein Rechtssystem bilden, nämlich wenn in der symbolischen Determinante die Spalte der Einheitsvektoren ganz nach rechts gesetzt würde, diese Definition hat sich allerdings nicht durchgesetzt.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung führt auf die [[Graßmann-Algebra|Graßmann-Algebren]]. Anwendung finden diese Algebren etwa in Formulierungen der [[Differentialgeometrie]], welche die rigorose Beschreibung der klassischen Mechanik ([[Symplektische Mannigfaltigkeit]]en), der [[Quantengeometrie]] sowie in allererster Linie der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] erlaubt. In der Literatur wird das Kreuzprodukt im höherdimensionalen und ggf. gekrümmten Raum meist indexweise mit [[Levi-Civita-Symbol]] ausgeschrieben.

== Kreuzprodukt in komplexwertigen Vektorräumen ==
Behandelt man Vektoren aus komplexen Vektorräumen, z. B. in <math>\mathbb{C}^3</math>, muss das Kreuzprodukt entsprechend angepasst werden. Die konkrete Realisation hängt dabei von der gewählten Definition des [[Standardskalarprodukt|komplexen Skalarprodukts]] ab. Wählt man das Standardskalarprodukt zweier Vektoren <math> x, y \in \mathbb{C}^3</math>, bei dem der erste Vektor als [[komplexe Konjugation]] eingeht:
:<math>\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle := \bar x_1 y_1 + \bar x_2 y_2 + \dotsb + \bar x_n y_n = \sum_{i=1}^n \bar x_i y_i = \vec{x}^H\vec{y}</math>,
dann wird das Kreuzprodukt wie im <math>\mathbb{R}^3</math> berechnet und das Ergebnis anschließend komplex konjugiert:
:<math>
\vec{x}\times\vec{y}
=
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
=

\begin{pmatrix}
\overline{x_2y_3 - x_3y_2} \\
\overline{x_3y_1 - x_1y_3} \\
\overline{x_1y_2 - x_2y_1}
\end{pmatrix}\,.
</math>

== Anwendungen ==
Das Kreuzprodukt findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik, unter anderem bei folgenden Themen:
* Berechnung des [[Drehmoment]]s, des [[Drehimpuls]]es, der [[Corioliskraft]], der [[Lorentzkraft]]
* Abstandsformel für [[windschiefe]] Geraden

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra'', Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Cross product|Kreuzprodukt}}
{{Wiktionary|Kreuzprodukt}}
* {{TIBAV |9743 |Linktext=Vektorprodukt 1 |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9743}}
* {{TIBAV |9744 |Linktext=Vektorprodukt 2 |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2010 |DOI=10.5446/9744}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Ralph Messac

2024-09-08T10:40:30Z

Pascal.vollmer.fr: Hochkomma fehlte

'''Ralph Boris Messac''' (* [[8. September]] [[1924]] in [[Versailles]]; † [[18. April]] [[1999]] in [[12. Arrondissement (Paris)|Paris]])<ref>[https://www.acte-deces.fr/recherche-deces-famille-messac ''Acte de décès des familles Messac'']</ref> war ein französischer [[Journalist]], [[Schriftsteller]] und [[Rechtsanwalt]]. Er war Vorsitzender des [[Syndicat national des journalistes]] (SNJ) und der [[Union nationale des syndicats de journalistes]] (UNSJ; Nationaler Verband der Journalistengewerkschaften).

== Familie und Beruf ==
Ralph Messac war nach Serge (* 1921) der zweite Sohn von [[Régis Messac]], Professor an der [[Universität Montreal]], und dessen Frau Germaine Desvachez (1902–1989).<ref>Brian Stableford: [https://www.nyrsf.com/2016/07/brian-stableford-nightmares-of-a-utopian-the-science-fiction-of-r%C3%A9gis-messac.html ''Nightmares of a Utopian: The Science Fiction of Régis Messac''.] The New York Review of Science Fiction, Februar 2022.</ref><ref>[https://www.libramemoria.com/avis/nom-desvachez ''Familie Desvachez''], Libra Memoria</ref> 1945 verlor er seinen Vater, der als Mitglied der [[Résistance]] in einem deutschen [[Konzentrationslager]] ermordet wurde. Ralph beteiligte sich ebenfalls an den Aktivitäten der Résistance und besuchte zeitgleich die Gymnasien zunächst von [[Montpellier]], dann in [[Coutances]], bevor er an die Pariser Rechtsfakultät wechselte und dort seinen Abschluss in Jura machte.<ref name="Maitron">André Caudron: [https://maitron.fr/spip.php?article147040 ''MESSAC Ralph, Boris''] Maitron Campus Condorcet, Aubervilliers, 18. September 2013.</ref>

An den ''Collèges Chaptal und Jean-Baptiste-Say'' in Paris war er Aufsichtslehrer und begann unter dem Pseudonym «L’Ecornifleur» als politischer Journalist und literarischer Essayist für ''[[Le Populaire]]'' (1944–1951), [[Franc-Tireur (Widerstandsbewegung)|Franc-Tireur]] (1952–1954) und schließlich für ''[[L’Information]]'' (1955–1956) zu arbeiten. 1957 wechselte er von den Printmedien zum Radio und blieb zwanzig Jahre lang in Paris bei [[Europe 1]], einem Sender, der äußerst beliebt war und zu dieser Zeit die größte [[Technische Reichweite|Reichweite]] seiner Existenz hatte. Es wurde vom [[Saarland]] aus gesendet und er galt in Frankreich als [[Piratensender]].<ref name="Maitron" />

Ralph Messac war um den Status der freien Journalisten besorgt, die zu dieser Zeit keine [[Presseausweis]]e bekommen konnten und [[Soziale Sicherheit|sozial nicht abgesichert]] waren. Um sich für diese Personengruppe besser einsetzen zu können, war er seit 1953 [[gewerkschaft]]lich aktiv. Erst 30 Jahre später sollte der Schutz der Journalisten vom [[Conseil d’État (Frankreich)|Verwaltungsgericht]] in Gesetzesform endgültig verabschiedet werden.<ref>[https://www.legifrance.gouv.fr/ceta/id/CETATEXT000007684028/ ''Conseil d'Etat, 1 / 4 SSR, du 29 juin 1983, 34198, publié au recueil Lebon''] République Française, Légifrance, 29. Juni 1983.</ref>

Als Mitglied des Syndicat national des journalistes (SNJ) wurde er 1963 zum Generalsekretär und 1968 zum Präsidenten der SNJ gewählt, ein Amt, das er vier Jahre lang ausübte. 1970 wurde er Präsident der ''Union nationale des syndicats de journalistes'' (UNSJ), eine Position, die er nur ein Jahr lang innehatte.<ref name="Maitron" /> 1975 wurde er SNJ-Delegierter für internationale Angelegenheiten, der direkt dem Vorstand der SJU unterstand,<ref>[https://archive.org/stream/LeMondeDiplomatique1975FranceFrench/Apr%2026%201975%2C%20Le%20Monde%20Diplomatique%2C%20%239417%2C%20France%20%28fr%29_djvu.txt ''Le Monde diplomatique, 1975, France''], [[Le Monde diplomatique]], 26. April 1975, Seite 31</ref> und gleichzeitig Vizepräsident der Kommission für Presseausweise für Berufsjournalisten, Verwalter des ''Centre de formation des journalistes'' (CFJ, Ausbildungszentrums für Journalisten) in Paris sowie [[Arbeitsgerichtsbarkeit (Frankreich)|Arbeitsrichter]] (1969–1976).<ref name="Maitron" />

== Schriftstellerei und Privates ==
[[Datei:Le « Detective Novel » et l'influence de la pensée scientifique.jpg|mini|hochkant|Le «Detective Novel» et l’influence de la pensée scientifique, Paris 1929.]]
Wie sein Vater – der mit ''Le «Detective Novel» et l'influence de la pensée scientifique'' zu diesem Thema seine Dissertation verfasste und bei [[Éditions Honoré Champion]] verlegte – hatte Ralph Messac ein [[Faible]] für [[Kriminalroman|Kriminal]]- und [[Spionageliteratur]]. Hohes Ansehen hatten für ihn vor allem [[Alphonse Allais]], dem er mehrere Bände widmete, und [[Georges Simenon]], aber auch [[Guy de Maupassant|Maupassant]], [[Jules Amédée Barbey d’Aurevilly|Barbey d’Aurevilly]] und andere, für die er in verschiedenen Jurys für Literaturpreise saß, insbesondere für [[Science-Fiction]].<ref name="Maitron" />

In seinen späten Berufsjahren 1977 bis 1992 war er Anwalt für Sozialrecht und für Presseangelegenheiten. Zusammen mit seiner Frau Marie-Odette Poullain (1922–2017)<ref>[https://gw.geneanet.org/pierfit?lang=de&p=marie+odette&n=poullain ''Marie-Odette POULLAIN''] auf [[Geneanet]].</ref> – die sich in den 1970er Jahren [[Scheidung|scheiden]] ließ – hatte er einen Sohn und eine Tochter.<ref name="Maitron" /> Sein Grab befindet sich auf dem Friedhof von Coutances.<ref>[https://www.landrucimetieres.fr/spip/spip.php?article4622 ''Cimetière de France et d’Ailleurs: COUTANCES''.]</ref>

== Bibliothek ==
Messac besaß eine umfangreiche Privatbibliothek kriminalliterarischer Fachliteratur, darunter die 1929 eingereichte [[Dissertation]] seines Vaters Régis, die er mit handschriftlichen Anmerkungen versehen hatte. Diese Arbeit gilt als die erste wissenschaftliche Studie in diesem Fachbereich. Kern dieser Buchsammlung ist seine Arbeitsbibliothek, die Originalausgaben von angelsächsischen Romanen enthält, die meist nicht in französischer Übersetzung vorlagen oder immer noch nicht vorliegen, sowie viele Ausgaben von [[Pulp-Magazin]]en. Namentlich gehören vollständig ''[[Detective Weekly]]'' und ''[[Flynn’s Weekly]]'' sowie 144 Hefte von ''[[Sexton Blake]]'' dazu. Insgesamt handelt es sich um über 8000 Einheiten, die er 1984 der ''Bilipo'', eine staatliche, auf Kriminalliteratur spezialisierte Pariser Einrichtung, vermachte. In den folgenden 10 Jahren leistete er weiterhin unregelmäßig weitere Buchspenden zu diesem Konvolut.<ref>Catherine Chauchard: ''La Bilipo: mémoire de l'édition policière'' Histoires littéraires, 2e trimestre 2006, Nr. 26, Seite 115–124.</ref><ref>BiLiPo steht für ''Bibliothèque des Littératures policières'' (Kriminalliteratur).</ref>

== Werke ==
* ''Autour du chat noir'', Anthologie über [[Alphonse Allais]]; in Zusammenarbeit mit [[Anatole Jakovsky]], Les 4 jeudis, 1955.
* ''Loufoc House'', Les Éditions françaises, 1957.
* ''Georges Simenon « romancier-nez »,'' über [[Georges Simenon]] unter Leitung von [[Francis Lacassin]], [[Plon (Verlag)|Plon]], 1973.
* ''Calembour'', Éditions du Fourneau, 1982.
* ''Contredanse pour même chanteur'', in Zusammenarbeit mit [[Léo Malet]], [[Éditions Robert Laffont|Bouquins Laffont]], 1985.
* ''Le gang des voleurs de joujoux'', in: ''Contes noirs de fin de siècle'', [[Fleuve éditions|Fleuve noir]], 1999.
* ''Correspondance, 1920–1940'', kommentierte Ausgabe zum Schriftverkehr zwischen [[Max Jacob (Malerdichter)|Max Jacob]] und [[Edmond-Marie Poullain]], herausgg. von Olivier Messac, [[Ex Nihilo]], 2015

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=1232532010|LCCN=|VIAF=12402429}}

{{SORTIERUNG:Messac, Ralph}}
[[Kategorie:Journalist (Frankreich)]]
[[Kategorie:Hörfunkjournalist]]
[[Kategorie:Zeitungsjournalist]]
[[Kategorie:Autor]]
[[Kategorie:Sachliteratur]]
[[Kategorie:Gewerkschafter (Frankreich)]]
[[Kategorie:Jurist]]
[[Kategorie:Franzose]]
[[Kategorie:Geboren 1924]]
[[Kategorie:Gestorben 1999]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Messac, Ralph
|ALTERNATIVNAMEN=Messac, Ralph Boris (vollständiger Name)
|KURZBESCHREIBUNG=französischer Journalist, Schriftsteller und Rechtsanwalt
|GEBURTSDATUM=8. September 1924
|GEBURTSORT=[[Versailles]]
|STERBEDATUM=18. April 1999
|STERBEORT=12. Arrondissement (Paris)
}}

Grenzbedingungen (Elektrodynamik)

2024-08-20T20:53:28Z

Pascal.vollmer.fr: Um der Einheitlichkeit willen die Worte "parallel" und "Parallelkomponente" ersetzt durch tangential und Tangentialkomponente. Aus dem gleichen Grund "senkrecht" ersetzt durch normal.

'''Grenzbedingungen''' sind Stetigkeitsbedingungen, welche in der [[Elektrodynamik|klassischen Elektrodynamik]] zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten. Sie stellen die [[Randwertproblem|Randwerte]] bei den [[Maxwellgleichungen]] im Übergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar.

== Allgemeine Grenzbedingungen ==
Die Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet.

* <math>\hat n\times \left( \vec{E}_{2}-\vec{E}_{1} \right)=0</math>

* <math>\hat n\cdot \left( \vec{D}_{2}-\vec{D}_{1} \right)=\sigma_\text{frei} </math>

* <math>\hat n\cdot \left( \vec{B}_{2}-\vec{B}_{1} \right)=0</math>

* <math>\hat n\times \left( \vec{H}_{2}-\vec{H}_{1} \right)=\vec{j}_\text{frei}</math>

dabei ist

* <math>\hat n</math> der [[Normalenvektor]] auf der Grenzfläche,
* <math>\sigma_\text{frei}</math> die [[Ladungsdichte|Flächenladungsdichte]] freier Ladungen an der Grenzfläche
* und <math>\vec{j}_\text{frei}</math> die [[Flächenstromdichte|freie Stromdichte]], die den Strom pro Flächeneinheit an der Grenzfläche angibt.

Diese Grenzbedingungen sagen aus: Die Tangentialkomponente des [[Elektrisches Feld|''E''-Feldes]] und die Normalkomponente des [[Magnetische Flussdichte|''B''-Feldes]] sind stetig. Die Tangentialkomponente des [[Magnetische Feldstärke|''H''-Feldes]] springt um <math>\vec j_\mathrm{frei}</math> und die Normalkomponente des [[Elektrische Flussdichte|''D''-Feldes]] springen um <math>\sigma_\mathrm{frei}</math>.<ref name="tangential-normal">Mit Tangentialkomponente ist diejenige Komponente gemeint, die tangential zur Grenzfläche liegt, analog bezeichnet die Normalkomponente die Komponente in Richtung des [[Normalenvektor]]s der Grenzfläche.</ref>

== Grenzbedingungen für ungeladene Isolatoren ==
Für ungeladene [[Nichtleiter|Isolatoren]] vereinfachen sich obige Beziehungen, da es dort keine freien Ladungen <math>\sigma_\text{frei}=0</math> und somit auch keine freien Ströme gibt <math>\vec{j}_{frei}=0</math>.

* <math>\hat n\times \left( \vec{E}_{2}-\vec{E}_{1} \right)=0</math>

* <math>\hat n\cdot \left( \vec{D}_{2}-\vec{D}_{1} \right)=0</math>

* <math>\hat n\cdot \left( \vec{B}_{2}-\vec{B}_{1} \right)=0</math>

* <math>\hat n\times \left( \vec{H}_{2}-\vec{H}_{1} \right)=0</math>

Die Stetigkeitsbedingungen in Worten: Die Tangentialkomponente des ''E''-Feldes und die Normalkomponente des ''B''-Feldes sind stetig. Zusätzlich sind hier die Tangentialkomponente des ''H''-Feldes und die Normalkomponente des ''D''-Feldes stetig.<ref name ="tangential-normal" />

== Grenzbedingungen von isotropen, zeitinvarianten Materialien ==
In [[Isotropie|isotropen]] und [[Zeitinvarianz|zeitinvarianten]] Materialien gelten die Zusammenhänge

: <math>
\begin{align}
\vec D &= \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \vec E \\
\vec B &= \mu_o \mu_\mathrm{r} \vec H
\end{align}
</math>

Daraus können die restlichen Komponenten der Felder bestimmt werden.

: <math>\begin{array}{ccclccccl}
E_1^\parallel &=& E_2^\parallel & & \qquad \qquad& \varepsilon_1 E_1^\perp &=& \varepsilon_2 E_2^\perp &- \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \\
\frac{1}{\varepsilon_1} D_1^\parallel &=& \frac{1}{\varepsilon_2} D_2^\parallel & & & D_1^\perp &=& D_2^\perp &- \sigma_\text{frei} \\
H_1^\parallel &=& H_2^\parallel & -\hat t\cdot (\vec j_\mathrm{frei} \times \hat n) & & \mu_1 H_1^\perp &=& \mu_2 H_2^\perp \\
\frac{1}{\mu_1} B_1^\parallel &=& \frac{1}{\mu_2} B_2^\parallel & - \mu_0 \hat t\cdot (\vec j_\mathrm{frei} \times \hat n) & & B_1^\perp &=& B_2^\perp \\
\end{array}</math>

oder in nicht-leitenden, ungeladen Materialien

: <math>\begin{array}{cccccc}
E_1^\parallel &=& E_2^\parallel & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad& \varepsilon_1 E_1^\perp &=& \varepsilon_2 E_2^\perp \\
\frac{1}{\varepsilon_1} D_1^\parallel &=& \frac{1}{\varepsilon_2} D_2^\parallel & & D_1^\perp &=& D_2^\perp\\
H_1^\parallel &=& H_2^\parallel & & \mu_1 H_1^\perp &=& \mu_2 H_2^\perp \\
\frac{1}{\mu_1} B_1^\parallel &=& \frac{1}{\mu_2} B_2^\parallel & & B_1^\perp &=& B_2^\perp\\
\end{array}</math>

Dabei ist

* <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> die [[relative Permittivität]],
* <math>\mu_\mathrm{r} </math> die [[relative Permeabilität]],

* <math>E^\parallel</math>die Komponente des ''E''-Feldes tangential zur Oberfläche und <math>E^\perp</math> die Komponente normal zur Oberfläche.
* <math>\hat t</math> ist der [[Normierter Vektor|normierte]] Vektor in Richtung der Tangentialkomponente. Für <math>\vec B^\parallel</math> tangential zu <math>\vec j_\mathrm{frei}</math> gilt damit <math>\hat t\cdot (\vec j_\mathrm{frei} \times \hat n) = |\vec j_\mathrm{frei}|</math>.

== Siehe auch ==

* [[Materialgleichungen der Elektrodynamik]]
* [[Fresnelsche Formeln]]

== Fußnoten und Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Elektrostatik]]

Coulombsches Gesetz

2024-07-31T17:26:16Z

Pascal.vollmer.fr: Betragsstriche fehlten

Das '''coulombsche Gesetz''' oder '''Coulomb-Gesetz''' ist die Basis der [[Elektrostatik]]. Es beschreibt die zwischen zwei [[Punktladung]]en wirkende [[Kraft]].<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Daniel |Titel=Elektrodynamik – Relativistische Physik |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=1997 |ISBN=3-11-015777-2 |Online=https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA6&dq=coulomb+gesetz&q=coulomb+gesetz&hl=de}}</ref> Es gilt auch für kugelsymmetrisch verteilte [[Elektrische Ladung|elektrische Ladungen]], die räumlich getrennt sind.

Der Betrag dieser Kraft ist proportional zum Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Kugelmittelpunkte. Die Kraft wirkt je nach [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Ladungen anziehend oder abstoßend in Richtung der [[Verbindungsgerade]]n der Mittelpunkte. Im anziehenden Fall verhält sie sich also ganz entsprechend wie die Kraft zwischen zwei Punktmassen nach dem [[Gravitationsgesetz]].

Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kraftvektoren gemäß dem [[Superposition (Physik)|Superpositionsprinzip]] addiert.

Das coulombsche Gesetz ist Grundlage der elektrischen [[Influenz]].

== Coulomb-Kraft ==
[[Datei:CoulombsLaw.svg|mini|Grundmechanismus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an.]]
[[Datei:Quadratischer Abfall, Veranschaulichung nach Martin Wagenschein (GeoGebra).png|mini|Veranschaulichung der quadratischen Abnahme mit der Entfernung nach [[Martin Wagenschein]]]]
[[Datei:Bcoulomb.png|mini|[[Torsionspendel]] von Coulomb, mit dem er Kraftmessungen durchführte]]

Das coulombsche Gesetz wurde von [[Charles Augustin de Coulomb]] um 1785 entdeckt und in umfangreichen Experimenten bestätigt. Im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem]], in [[Skalar (Physik)|skalarer]] Form und im Vakuum ist die Kraft demnach

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 \, q_2}{r^2} </math>,

{| class="wikitable"
|-
| <math>q_1</math>, <math>q_2</math> || kugelsymmetrisch verteilte Ladungsmengen
|-
| <math>r</math> || Abstand zwischen den Mittelpunkten der Ladungsmengen
|-
| <math>\varepsilon_0</math> || [[elektrische Feldkonstante]]
|}

=== Vektorform ===
Die [[vektor]]ielle Notation diskreter Ladungen liefert das Coulomb-[[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]], dem eine kugelsymmetrische Probeladung <math>q_1</math> im Feld einer zweiten kugelsymmetrischen Ladung <math>q_2</math> ausgesetzt ist, wie folgt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec e_{12}}{|\vec r_1-\vec r_2|^2}</math>

{| class="wikitable"
|-
| <math>\vec{F}_{12}</math> || Kraft auf die Probeladung <math>q_1</math>, hervorgerufen von der Ladung <math>q_2</math>
|-
| <math>\vec{r}_1, \vec{r}_2</math> || Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte
|-
| <math>\vec e_{12}</math> || [[Einheitsvektor]], der von <math>q_2 </math> (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung <math>q_1 </math> zeigt
|}

Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d. h. solche gleichen Vorzeichens, dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> in solchem Fall dieselbe Orientierung wie <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> dann (analog zum [[Newtonsches Gravitationsgesetz#Mathematische Formulierung|newtonschen Gravitationsgesetz]]) die entgegengesetzte Orientierung von <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt.

Eine alternative Formulierung erhält man, indem man <math>\vec e_{12}=\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math> in die Formel einsetzt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>

Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung <math>q_2</math> gelegt, vereinfacht sich diese Gleichung zu:

: <math> \vec{F}_{12}(\vec{r}_1) = q_1 \, \frac {q_2}{4 \pi \varepsilon_0\, |\vec{r}_{1}|^3}\ \vec{r}_{1} </math>.

Weiter ist dann
: <math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 \, r^3}\ \vec{r}</math>
der Vektor der [[Elektrische Feldstärke|Feldstärke]] des von der Zentralladung <math>q_2</math> erzeugten [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]] an der Stelle <math>\vec r</math>, d. h. im Abstand <math>\ r</math> vom Ursprung.

Wirken mehrere diskrete im Raum verteilte Ladungen <math>q_j</math> auf die Probeladung <math>q_1</math>, so erhält man die gesamte auf <math>q_1</math>ausgeübte Kraft durch Vektoraddition:

:<math>\vec F_1(\vec r_1)=q_1\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j>1} q_j\frac{\vec r_1-\vec r_j}{|\vec r_1-\vec r_j|^3}</math>

Werden die das Feld erzeugenden Ladungen <math>q_j</math> durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit [[Ladungsdichte]] <math>\rho(\vec r')</math> ersetzt, tritt an die Stelle der Summe ein [[Volumenintegral]]:
: <math> \vec{F}_{1}(\vec{r}) = q_1\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \int \rho(\vec{r}') \frac{(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3} \,\mathrm d^3 \vec{r}'.</math>

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz hergeleitet werden.

=== {{Anker|Coulomb-Konstante}}Coulomb-Konstante ===
{{Infobox Physikalische Konstante
| Name = Coulomb-Konstante
| Formelzeichen = <math>k_\mathrm C</math>
| Art =
| WertSI = {{ZahlExp|8,9875517862|9|suffix=(14)|post=N·m2·C−2}} ≈ 10−7 ''c2'' N·A−2
| Genauigkeit = {{ZahlExp|1,5|−10}}
| WertPlanck =
| Formel = <math>k_\mathrm C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math> <math>\varepsilon_0</math>: [[Elektrische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math>: [[Magnetische Feldkonstante]] <math>c</math>: [[Lichtgeschwindigkeit]]
| Anmerkung =
}}
Der in den obigen Gleichungen auftretende Term
: <math> k_\mathrm{C} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math>
wird auch als '''Coulomb-Konstante''' bezeichnet. Da die [[magnetische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math> fast genau den Wert <math display="inline">4\pi \cdot 10^{-7} \mathrm{\frac{N}{A^2}}</math> hat (die relative Abweichung beträgt ca. {{ZahlExp|2|-10}}; bis zur [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Neudefinition der SI-Einheiten]] von 2019 galt der Wert exakt),<ref name="CGPM-26-1" /> hat
<math display="inline"> k_\mathrm{C}</math> fast genau den Wert <math display="inline">10^{-7}c^2\mathrm{\frac{N}{A^2}}</math>.

=== Form in CGS-Systemen ===
In [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußschen Einheiten]] und in anderen [[CGS-Einheitensystem|CGS-Einheiten]] wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung genutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, [[Elektrostatisches Einheitensystem|CGS-ESU]] und [[Elektromagnetisches Einheitensystem|CGS-EMU]] unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von <math>\mu_0:</math>
* Im CGS-ESU ist <math>\mu_0 = 4\pi/c^2</math>. Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert <math> k_\mathrm{C} = 1</math>.
* Im CGS-EMU ist <math>\mu_0 = 4\pi</math>. Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert <math> k_\mathrm{C} = c^2</math>.

== Coulomb-Potential ==
{{Hauptartikel|Elektrisches Potential}}
Das elektrische Feld ist, solange keine [[Maxwell-Gleichungen|zeitliche Änderung des magnetischen Felds]] auftritt, [[wirbelfrei]] und die Energiedifferenz beim Transfer einer Ladung von Punkt <math>A</math> zu Punkt <math>B</math> daher in diesem Fall unabhängig vom konkret zurückgelegten Weg (siehe auch: [[konservatives Kraftfeld]]). Entsprechend kann man das elektrische Feld und die elektrische Kraft auch durch ein [[Potential (Physik)|Potential]] beschreiben.

Für den Fall der einfachen Coulomb-Kraft ergibt sich das Coulomb-Potential, das für eine einzelne Punktladung <math>Q</math> wie folgt beschrieben werden kann:

: <math> \Phi (\vec{r}) = -\int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{\left|\vec{r}\right|} + C</math>

Dabei wird die beliebige [[Integrationskonstante]] <math>C</math> typischerweise null gesetzt, so dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist der [[Elektrische Spannung|Spannungsabfall]] U zwischen diesen beiden Punkten. Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Für bewegte Punktladungen dagegen, bei denen auch [[Magnetfeld]]er ins Spiel kommen, wird aus dem Coulomb-Potential ein [[Liénard-Wiechert-Potential]].

Die potentielle elektrische Energie <math>W_\mathrm{pot}</math> ist ebenfalls ein Potential, nun bezüglich der elektrischen Kraft:

: <math> W_\mathrm{pot} (\vec{r}) = -\int \vec{F} \cdot \mathrm d\vec{s} = -q \, \int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = q \, \Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q\, Q}{\left|\vec{r}\right|} + C</math>

Auch hier ist es üblich, die Randbedingung so zu wählen, dass die potentielle Energie im Unendlichen Null wird, <math>C</math> also auch hier gleich null ist.

== Coulomb-Kraft in einem Medium ==

Das coulombsche Gesetz lässt sich auf einfache Weise auf den Fall von Ladungen in [[Homogenität (Physik)|homogenen]], [[isotrop]]en, [[Permittivität|linearen]] Medien erweitern. Das die Ladungen umgebende Material muss dazu in guter Näherung diese Eigenschaften besitzen:
* Es ist elektrisch neutral.
* Es füllt den Raum zwischen den Ladungen und um diese herum ''gleichmäßig'' (homogen) aus.
* Die [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisierbarkeit]] des Mediums ist ''richtungsunabhängig''.
* Die Polarisierung ist ''proportional'' zum [[Elektrisches Feld|elektrischen Feld]], das von den Ladungen erzeugt wird.
Insbesondere verlangt die Homogenität, dass der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigbar ist.

Für solche Medien schreibt sich das coulombsche Gesetz in gleicher Form wie im Vakuum, mit dem einzigen Unterschied, dass <math>\varepsilon_0</math> durch <math>\varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_\mathrm{r}</math> ersetzt wird:

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1\, q_2}{r^2} </math>

Die [[relative Permittivität]] <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> ist bei isotropen Medien eine [[Materialkonstante]], die der Polarisierbarkeit des Mediums Rechnung trägt. Sie kann sowohl durch Messungen als auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden.

In der Umkehrung gilt im Vakuum <math>\varepsilon_\mathrm{r}=1</math>.

== Literatur ==
* [[Dieter Meschede]]: ''[[Gerthsen Physik]].'' 23. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 3-540-25421-8; 25. Auflage: 2015, ISBN 978-3-662-45976-8.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Coulomb's law|2=Coulombsches Gesetz}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="CGPM-26-1">
{{Internetquelle
|url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1
|titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI)
|titelerg=Appendix 2
|werk=
|hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
|datum=2018
|sprache=en
|abruf=2023-05-16
}}
</ref>
</references>{{Normdaten|TYP=s|GND=7595673-1}}
[[Kategorie:Elektrostatik]]

Coulombsches Gesetz

2024-07-31T17:25:17Z

Pascal.vollmer.fr: Betragsstriche fehlten

Das '''coulombsche Gesetz''' oder '''Coulomb-Gesetz''' ist die Basis der [[Elektrostatik]]. Es beschreibt die zwischen zwei [[Punktladung]]en wirkende [[Kraft]].<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Daniel |Titel=Elektrodynamik – Relativistische Physik |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=1997 |ISBN=3-11-015777-2 |Online=https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA6&dq=coulomb+gesetz&q=coulomb+gesetz&hl=de}}</ref> Es gilt auch für kugelsymmetrisch verteilte [[Elektrische Ladung|elektrische Ladungen]], die räumlich getrennt sind.

Der Betrag dieser Kraft ist proportional zum Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Kugelmittelpunkte. Die Kraft wirkt je nach [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Ladungen anziehend oder abstoßend in Richtung der [[Verbindungsgerade]]n der Mittelpunkte. Im anziehenden Fall verhält sie sich also ganz entsprechend wie die Kraft zwischen zwei Punktmassen nach dem [[Gravitationsgesetz]].

Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kraftvektoren gemäß dem [[Superposition (Physik)|Superpositionsprinzip]] addiert.

Das coulombsche Gesetz ist Grundlage der elektrischen [[Influenz]].

== Coulomb-Kraft ==
[[Datei:CoulombsLaw.svg|mini|Grundmechanismus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an.]]
[[Datei:Quadratischer Abfall, Veranschaulichung nach Martin Wagenschein (GeoGebra).png|mini|Veranschaulichung der quadratischen Abnahme mit der Entfernung nach [[Martin Wagenschein]]]]
[[Datei:Bcoulomb.png|mini|[[Torsionspendel]] von Coulomb, mit dem er Kraftmessungen durchführte]]

Das coulombsche Gesetz wurde von [[Charles Augustin de Coulomb]] um 1785 entdeckt und in umfangreichen Experimenten bestätigt. Im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem]], in [[Skalar (Physik)|skalarer]] Form und im Vakuum ist die Kraft demnach

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 \, q_2}{r^2} </math>,

{| class="wikitable"
|-
| <math>q_1</math>, <math>q_2</math> || kugelsymmetrisch verteilte Ladungsmengen
|-
| <math>r</math> || Abstand zwischen den Mittelpunkten der Ladungsmengen
|-
| <math>\varepsilon_0</math> || [[elektrische Feldkonstante]]
|}

=== Vektorform ===
Die [[vektor]]ielle Notation diskreter Ladungen liefert das Coulomb-[[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]], dem eine kugelsymmetrische Probeladung <math>q_1</math> im Feld einer zweiten kugelsymmetrischen Ladung <math>q_2</math> ausgesetzt ist, wie folgt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec e_{12}}{|\vec r_1-\vec r_2|^2}</math>

{| class="wikitable"
|-
| <math>\vec{F}_{12}</math> || Kraft auf die Probeladung <math>q_1</math>, hervorgerufen von der Ladung <math>q_2</math>
|-
| <math>\vec{r}_1, \vec{r}_2</math> || Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte
|-
| <math>\vec e_{12}</math> || [[Einheitsvektor]], der von <math>q_2 </math> (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung <math>q_1 </math> zeigt
|}

Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d. h. solche gleichen Vorzeichens, dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> in solchem Fall dieselbe Orientierung wie <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> dann (analog zum [[Newtonsches Gravitationsgesetz#Mathematische Formulierung|newtonschen Gravitationsgesetz]]) die entgegengesetzte Orientierung von <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt.

Eine alternative Formulierung erhält man, indem man <math>\vec e_{12}=\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math> in die Formel einsetzt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>

Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung <math>q_2</math> gelegt, vereinfacht sich diese Gleichung zu:

: <math> \vec{F}_{12}(\vec{r}_1) = q_1 \, \frac {q_2}{4 \pi \varepsilon_0\, |\vec{r}_{1}|^3}\ \vec{r}_{1} </math>.

Weiter ist dann
: <math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 \, r^3}\ \vec{r}</math>
der Vektor der [[Elektrische Feldstärke|Feldstärke]] des von der Zentralladung <math>q_2</math> erzeugten [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]] an der Stelle <math>\vec r</math>, d. h. im Abstand <math>\ r</math> vom Ursprung.

Wirken mehrere diskrete im Raum verteilte Ladungen <math>q_j</math> auf die Probeladung <math>q_1</math>, so erhält man die gesamte auf <math>q_1</math>ausgeübte Kraft durch Vektoraddition:

:<math>\vec F_1(\vec r_1)=q_1\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j>1} q_j\frac{\vec r_1-\vec r_j}{|\vec r_1-\vec r_j|^3}</math>

Werden die das Feld erzeugenden Ladungen <math>q_j</math> durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit [[Ladungsdichte]] <math>\rho(\vec r')</math> ersetzt, tritt an die Stelle der Summe ein [[Volumenintegral]]:
: <math> \vec{F}_{1}(\vec{r}) = q_1\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \int \rho(\vec{r}') \frac{(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3} \,\mathrm d^3 \vec{r}'.</math>

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz hergeleitet werden.

=== {{Anker|Coulomb-Konstante}}Coulomb-Konstante ===
{{Infobox Physikalische Konstante
| Name = Coulomb-Konstante
| Formelzeichen = <math>k_\mathrm C</math>
| Art =
| WertSI = {{ZahlExp|8,9875517862|9|suffix=(14)|post=N·m2·C−2}} ≈ 10−7 ''c2'' N·A−2
| Genauigkeit = {{ZahlExp|1,5|−10}}
| WertPlanck =
| Formel = <math>k_\mathrm C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math> <math>\varepsilon_0</math>: [[Elektrische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math>: [[Magnetische Feldkonstante]] <math>c</math>: [[Lichtgeschwindigkeit]]
| Anmerkung =
}}
Der in den obigen Gleichungen auftretende Term
: <math> k_\mathrm{C} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math>
wird auch als '''Coulomb-Konstante''' bezeichnet. Da die [[magnetische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math> fast genau den Wert <math display="inline">4\pi \cdot 10^{-7} \mathrm{\frac{N}{A^2}}</math> hat (die relative Abweichung beträgt ca. {{ZahlExp|2|-10}}; bis zur [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Neudefinition der SI-Einheiten]] von 2019 galt der Wert exakt),<ref name="CGPM-26-1" /> hat
<math display="inline"> k_\mathrm{C}</math> fast genau den Wert <math display="inline">10^{-7}c^2\mathrm{\frac{N}{A^2}}</math>.

=== Form in CGS-Systemen ===
In [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußschen Einheiten]] und in anderen [[CGS-Einheitensystem|CGS-Einheiten]] wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung genutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, [[Elektrostatisches Einheitensystem|CGS-ESU]] und [[Elektromagnetisches Einheitensystem|CGS-EMU]] unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von <math>\mu_0:</math>
* Im CGS-ESU ist <math>\mu_0 = 4\pi/c^2</math>. Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert <math> k_\mathrm{C} = 1</math>.
* Im CGS-EMU ist <math>\mu_0 = 4\pi</math>. Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert <math> k_\mathrm{C} = c^2</math>.

== Coulomb-Potential ==
{{Hauptartikel|Elektrisches Potential}}
Das elektrische Feld ist, solange keine [[Maxwell-Gleichungen|zeitliche Änderung des magnetischen Felds]] auftritt, [[wirbelfrei]] und die Energiedifferenz beim Transfer einer Ladung von Punkt <math>A</math> zu Punkt <math>B</math> daher in diesem Fall unabhängig vom konkret zurückgelegten Weg (siehe auch: [[konservatives Kraftfeld]]). Entsprechend kann man das elektrische Feld und die elektrische Kraft auch durch ein [[Potential (Physik)|Potential]] beschreiben.

Für den Fall der einfachen Coulomb-Kraft ergibt sich das Coulomb-Potential, das für eine einzelne Punktladung <math>Q</math> wie folgt beschrieben werden kann:

: <math> \Phi (\vec{r}) = -\int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{\left|\vec{r}\right|} + C</math>

Dabei wird die beliebige [[Integrationskonstante]] <math>C</math> typischerweise null gesetzt, so dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist der [[Elektrische Spannung|Spannungsabfall]] U zwischen diesen beiden Punkten. Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Für bewegte Punktladungen dagegen, bei denen auch [[Magnetfeld]]er ins Spiel kommen, wird aus dem Coulomb-Potential ein [[Liénard-Wiechert-Potential]].

Die potentielle elektrische Energie <math>W_\mathrm{pot}</math> ist ebenfalls ein Potential, nun bezüglich der elektrischen Kraft:

: <math> W_\mathrm{pot} (\vec{r}) = -\int \vec{F} \cdot \mathrm d\vec{s} = -q \, \int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = q \, \Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q\, Q}{\vec{r}} + C</math>

Auch hier ist es üblich, die Randbedingung so zu wählen, dass die potentielle Energie im Unendlichen Null wird, <math>C</math> also auch hier gleich null ist.

== Coulomb-Kraft in einem Medium ==

Das coulombsche Gesetz lässt sich auf einfache Weise auf den Fall von Ladungen in [[Homogenität (Physik)|homogenen]], [[isotrop]]en, [[Permittivität|linearen]] Medien erweitern. Das die Ladungen umgebende Material muss dazu in guter Näherung diese Eigenschaften besitzen:
* Es ist elektrisch neutral.
* Es füllt den Raum zwischen den Ladungen und um diese herum ''gleichmäßig'' (homogen) aus.
* Die [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisierbarkeit]] des Mediums ist ''richtungsunabhängig''.
* Die Polarisierung ist ''proportional'' zum [[Elektrisches Feld|elektrischen Feld]], das von den Ladungen erzeugt wird.
Insbesondere verlangt die Homogenität, dass der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigbar ist.

Für solche Medien schreibt sich das coulombsche Gesetz in gleicher Form wie im Vakuum, mit dem einzigen Unterschied, dass <math>\varepsilon_0</math> durch <math>\varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_\mathrm{r}</math> ersetzt wird:

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1\, q_2}{r^2} </math>

Die [[relative Permittivität]] <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> ist bei isotropen Medien eine [[Materialkonstante]], die der Polarisierbarkeit des Mediums Rechnung trägt. Sie kann sowohl durch Messungen als auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden.

In der Umkehrung gilt im Vakuum <math>\varepsilon_\mathrm{r}=1</math>.

== Literatur ==
* [[Dieter Meschede]]: ''[[Gerthsen Physik]].'' 23. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 3-540-25421-8; 25. Auflage: 2015, ISBN 978-3-662-45976-8.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Coulomb's law|2=Coulombsches Gesetz}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="CGPM-26-1">
{{Internetquelle
|url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1
|titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI)
|titelerg=Appendix 2
|werk=
|hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
|datum=2018
|sprache=en
|abruf=2023-05-16
}}
</ref>
</references>{{Normdaten|TYP=s|GND=7595673-1}}
[[Kategorie:Elektrostatik]]

Coulombsches Gesetz

2024-07-31T17:21:47Z

Pascal.vollmer.fr: Abschnitt "Coulomb-Potential", potentielle elektrische Energie: r ist eine vektorielle Größe

Das '''coulombsche Gesetz''' oder '''Coulomb-Gesetz''' ist die Basis der [[Elektrostatik]]. Es beschreibt die zwischen zwei [[Punktladung]]en wirkende [[Kraft]].<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Daniel |Titel=Elektrodynamik – Relativistische Physik |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=1997 |ISBN=3-11-015777-2 |Online=https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA6&dq=coulomb+gesetz&q=coulomb+gesetz&hl=de}}</ref> Es gilt auch für kugelsymmetrisch verteilte [[Elektrische Ladung|elektrische Ladungen]], die räumlich getrennt sind.

Der Betrag dieser Kraft ist proportional zum Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Kugelmittelpunkte. Die Kraft wirkt je nach [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Ladungen anziehend oder abstoßend in Richtung der [[Verbindungsgerade]]n der Mittelpunkte. Im anziehenden Fall verhält sie sich also ganz entsprechend wie die Kraft zwischen zwei Punktmassen nach dem [[Gravitationsgesetz]].

Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kraftvektoren gemäß dem [[Superposition (Physik)|Superpositionsprinzip]] addiert.

Das coulombsche Gesetz ist Grundlage der elektrischen [[Influenz]].

== Coulomb-Kraft ==
[[Datei:CoulombsLaw.svg|mini|Grundmechanismus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an.]]
[[Datei:Quadratischer Abfall, Veranschaulichung nach Martin Wagenschein (GeoGebra).png|mini|Veranschaulichung der quadratischen Abnahme mit der Entfernung nach [[Martin Wagenschein]]]]
[[Datei:Bcoulomb.png|mini|[[Torsionspendel]] von Coulomb, mit dem er Kraftmessungen durchführte]]

Das coulombsche Gesetz wurde von [[Charles Augustin de Coulomb]] um 1785 entdeckt und in umfangreichen Experimenten bestätigt. Im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem]], in [[Skalar (Physik)|skalarer]] Form und im Vakuum ist die Kraft demnach

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 \, q_2}{r^2} </math>,

{| class="wikitable"
|-
| <math>q_1</math>, <math>q_2</math> || kugelsymmetrisch verteilte Ladungsmengen
|-
| <math>r</math> || Abstand zwischen den Mittelpunkten der Ladungsmengen
|-
| <math>\varepsilon_0</math> || [[elektrische Feldkonstante]]
|}

=== Vektorform ===
Die [[vektor]]ielle Notation diskreter Ladungen liefert das Coulomb-[[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]], dem eine kugelsymmetrische Probeladung <math>q_1</math> im Feld einer zweiten kugelsymmetrischen Ladung <math>q_2</math> ausgesetzt ist, wie folgt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec e_{12}}{|\vec r_1-\vec r_2|^2}</math>

{| class="wikitable"
|-
| <math>\vec{F}_{12}</math> || Kraft auf die Probeladung <math>q_1</math>, hervorgerufen von der Ladung <math>q_2</math>
|-
| <math>\vec{r}_1, \vec{r}_2</math> || Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte
|-
| <math>\vec e_{12}</math> || [[Einheitsvektor]], der von <math>q_2 </math> (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung <math>q_1 </math> zeigt
|}

Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d. h. solche gleichen Vorzeichens, dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> in solchem Fall dieselbe Orientierung wie <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> dann (analog zum [[Newtonsches Gravitationsgesetz#Mathematische Formulierung|newtonschen Gravitationsgesetz]]) die entgegengesetzte Orientierung von <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt.

Eine alternative Formulierung erhält man, indem man <math>\vec e_{12}=\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math> in die Formel einsetzt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>

Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung <math>q_2</math> gelegt, vereinfacht sich diese Gleichung zu:

: <math> \vec{F}_{12}(\vec{r}_1) = q_1 \, \frac {q_2}{4 \pi \varepsilon_0\, |\vec{r}_{1}|^3}\ \vec{r}_{1} </math>.

Weiter ist dann
: <math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 \, r^3}\ \vec{r}</math>
der Vektor der [[Elektrische Feldstärke|Feldstärke]] des von der Zentralladung <math>q_2</math> erzeugten [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]] an der Stelle <math>\vec r</math>, d. h. im Abstand <math>\ r</math> vom Ursprung.

Wirken mehrere diskrete im Raum verteilte Ladungen <math>q_j</math> auf die Probeladung <math>q_1</math>, so erhält man die gesamte auf <math>q_1</math>ausgeübte Kraft durch Vektoraddition:

:<math>\vec F_1(\vec r_1)=q_1\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j>1} q_j\frac{\vec r_1-\vec r_j}{|\vec r_1-\vec r_j|^3}</math>

Werden die das Feld erzeugenden Ladungen <math>q_j</math> durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit [[Ladungsdichte]] <math>\rho(\vec r')</math> ersetzt, tritt an die Stelle der Summe ein [[Volumenintegral]]:
: <math> \vec{F}_{1}(\vec{r}) = q_1\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \int \rho(\vec{r}') \frac{(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3} \,\mathrm d^3 \vec{r}'.</math>

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz hergeleitet werden.

=== {{Anker|Coulomb-Konstante}}Coulomb-Konstante ===
{{Infobox Physikalische Konstante
| Name = Coulomb-Konstante
| Formelzeichen = <math>k_\mathrm C</math>
| Art =
| WertSI = {{ZahlExp|8,9875517862|9|suffix=(14)|post=N·m2·C−2}} ≈ 10−7 ''c2'' N·A−2
| Genauigkeit = {{ZahlExp|1,5|−10}}
| WertPlanck =
| Formel = <math>k_\mathrm C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math> <math>\varepsilon_0</math>: [[Elektrische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math>: [[Magnetische Feldkonstante]] <math>c</math>: [[Lichtgeschwindigkeit]]
| Anmerkung =
}}
Der in den obigen Gleichungen auftretende Term
: <math> k_\mathrm{C} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math>
wird auch als '''Coulomb-Konstante''' bezeichnet. Da die [[magnetische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math> fast genau den Wert <math display="inline">4\pi \cdot 10^{-7} \mathrm{\frac{N}{A^2}}</math> hat (die relative Abweichung beträgt ca. {{ZahlExp|2|-10}}; bis zur [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Neudefinition der SI-Einheiten]] von 2019 galt der Wert exakt),<ref name="CGPM-26-1" /> hat
<math display="inline"> k_\mathrm{C}</math> fast genau den Wert <math display="inline">10^{-7}c^2\mathrm{\frac{N}{A^2}}</math>.

=== Form in CGS-Systemen ===
In [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußschen Einheiten]] und in anderen [[CGS-Einheitensystem|CGS-Einheiten]] wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung genutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, [[Elektrostatisches Einheitensystem|CGS-ESU]] und [[Elektromagnetisches Einheitensystem|CGS-EMU]] unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von <math>\mu_0:</math>
* Im CGS-ESU ist <math>\mu_0 = 4\pi/c^2</math>. Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert <math> k_\mathrm{C} = 1</math>.
* Im CGS-EMU ist <math>\mu_0 = 4\pi</math>. Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert <math> k_\mathrm{C} = c^2</math>.

== Coulomb-Potential ==
{{Hauptartikel|Elektrisches Potential}}
Das elektrische Feld ist, solange keine [[Maxwell-Gleichungen|zeitliche Änderung des magnetischen Felds]] auftritt, [[wirbelfrei]] und die Energiedifferenz beim Transfer einer Ladung von Punkt <math>A</math> zu Punkt <math>B</math> daher in diesem Fall unabhängig vom konkret zurückgelegten Weg (siehe auch: [[konservatives Kraftfeld]]). Entsprechend kann man das elektrische Feld und die elektrische Kraft auch durch ein [[Potential (Physik)|Potential]] beschreiben.

Für den Fall der einfachen Coulomb-Kraft ergibt sich das Coulomb-Potential, das für eine einzelne Punktladung <math>Q</math> wie folgt beschrieben werden kann:

: <math> \Phi (\vec{r}) = -\int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{\vec{r}} + C</math>

Dabei wird die beliebige [[Integrationskonstante]] <math>C</math> typischerweise null gesetzt, so dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist der [[Elektrische Spannung|Spannungsabfall]] U zwischen diesen beiden Punkten. Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Für bewegte Punktladungen dagegen, bei denen auch [[Magnetfeld]]er ins Spiel kommen, wird aus dem Coulomb-Potential ein [[Liénard-Wiechert-Potential]].

Die potentielle elektrische Energie <math>W_\mathrm{pot}</math> ist ebenfalls ein Potential, nun bezüglich der elektrischen Kraft:

: <math> W_\mathrm{pot} (\vec{r}) = -\int \vec{F} \cdot \mathrm d\vec{s} = -q \, \int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = q \, \Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q\, Q}{\vec{r}} + C</math>

Auch hier ist es üblich, die Randbedingung so zu wählen, dass die potentielle Energie im Unendlichen Null wird, <math>C</math> also auch hier gleich null ist.

== Coulomb-Kraft in einem Medium ==

Das coulombsche Gesetz lässt sich auf einfache Weise auf den Fall von Ladungen in [[Homogenität (Physik)|homogenen]], [[isotrop]]en, [[Permittivität|linearen]] Medien erweitern. Das die Ladungen umgebende Material muss dazu in guter Näherung diese Eigenschaften besitzen:
* Es ist elektrisch neutral.
* Es füllt den Raum zwischen den Ladungen und um diese herum ''gleichmäßig'' (homogen) aus.
* Die [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisierbarkeit]] des Mediums ist ''richtungsunabhängig''.
* Die Polarisierung ist ''proportional'' zum [[Elektrisches Feld|elektrischen Feld]], das von den Ladungen erzeugt wird.
Insbesondere verlangt die Homogenität, dass der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigbar ist.

Für solche Medien schreibt sich das coulombsche Gesetz in gleicher Form wie im Vakuum, mit dem einzigen Unterschied, dass <math>\varepsilon_0</math> durch <math>\varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_\mathrm{r}</math> ersetzt wird:

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1\, q_2}{r^2} </math>

Die [[relative Permittivität]] <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> ist bei isotropen Medien eine [[Materialkonstante]], die der Polarisierbarkeit des Mediums Rechnung trägt. Sie kann sowohl durch Messungen als auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden.

In der Umkehrung gilt im Vakuum <math>\varepsilon_\mathrm{r}=1</math>.

== Literatur ==
* [[Dieter Meschede]]: ''[[Gerthsen Physik]].'' 23. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 3-540-25421-8; 25. Auflage: 2015, ISBN 978-3-662-45976-8.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Coulomb's law|2=Coulombsches Gesetz}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="CGPM-26-1">
{{Internetquelle
|url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1
|titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI)
|titelerg=Appendix 2
|werk=
|hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
|datum=2018
|sprache=en
|abruf=2023-05-16
}}
</ref>
</references>{{Normdaten|TYP=s|GND=7595673-1}}
[[Kategorie:Elektrostatik]]

Coulombsches Gesetz

2024-07-31T17:19:49Z

Pascal.vollmer.fr: Coulomb-Potential: r ist eine vektorielle Größe

Das '''coulombsche Gesetz''' oder '''Coulomb-Gesetz''' ist die Basis der [[Elektrostatik]]. Es beschreibt die zwischen zwei [[Punktladung]]en wirkende [[Kraft]].<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Daniel |Titel=Elektrodynamik – Relativistische Physik |Verlag=Walter de Gruyter |Datum=1997 |ISBN=3-11-015777-2 |Online=https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA6&dq=coulomb+gesetz&q=coulomb+gesetz&hl=de}}</ref> Es gilt auch für kugelsymmetrisch verteilte [[Elektrische Ladung|elektrische Ladungen]], die räumlich getrennt sind.

Der Betrag dieser Kraft ist proportional zum Produkt der beiden Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Kugelmittelpunkte. Die Kraft wirkt je nach [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der Ladungen anziehend oder abstoßend in Richtung der [[Verbindungsgerade]]n der Mittelpunkte. Im anziehenden Fall verhält sie sich also ganz entsprechend wie die Kraft zwischen zwei Punktmassen nach dem [[Gravitationsgesetz]].

Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kraftvektoren gemäß dem [[Superposition (Physik)|Superpositionsprinzip]] addiert.

Das coulombsche Gesetz ist Grundlage der elektrischen [[Influenz]].

== Coulomb-Kraft ==
[[Datei:CoulombsLaw.svg|mini|Grundmechanismus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an.]]
[[Datei:Quadratischer Abfall, Veranschaulichung nach Martin Wagenschein (GeoGebra).png|mini|Veranschaulichung der quadratischen Abnahme mit der Entfernung nach [[Martin Wagenschein]]]]
[[Datei:Bcoulomb.png|mini|[[Torsionspendel]] von Coulomb, mit dem er Kraftmessungen durchführte]]

Das coulombsche Gesetz wurde von [[Charles Augustin de Coulomb]] um 1785 entdeckt und in umfangreichen Experimenten bestätigt. Im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem]], in [[Skalar (Physik)|skalarer]] Form und im Vakuum ist die Kraft demnach

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 \, q_2}{r^2} </math>,

{| class="wikitable"
|-
| <math>q_1</math>, <math>q_2</math> || kugelsymmetrisch verteilte Ladungsmengen
|-
| <math>r</math> || Abstand zwischen den Mittelpunkten der Ladungsmengen
|-
| <math>\varepsilon_0</math> || [[elektrische Feldkonstante]]
|}

=== Vektorform ===
Die [[vektor]]ielle Notation diskreter Ladungen liefert das Coulomb-[[Kraftfeld (Physik)|Kraftfeld]], dem eine kugelsymmetrische Probeladung <math>q_1</math> im Feld einer zweiten kugelsymmetrischen Ladung <math>q_2</math> ausgesetzt ist, wie folgt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec e_{12}}{|\vec r_1-\vec r_2|^2}</math>

{| class="wikitable"
|-
| <math>\vec{F}_{12}</math> || Kraft auf die Probeladung <math>q_1</math>, hervorgerufen von der Ladung <math>q_2</math>
|-
| <math>\vec{r}_1, \vec{r}_2</math> || Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte
|-
| <math>\vec e_{12}</math> || [[Einheitsvektor]], der von <math>q_2 </math> (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung <math>q_1 </math> zeigt
|}

Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d. h. solche gleichen Vorzeichens, dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> in solchem Fall dieselbe Orientierung wie <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft <math>\vec{F}_{12}</math> dann (analog zum [[Newtonsches Gravitationsgesetz#Mathematische Formulierung|newtonschen Gravitationsgesetz]]) die entgegengesetzte Orientierung von <math>\vec{e}_{12}</math> besitzt.

Eine alternative Formulierung erhält man, indem man <math>\vec e_{12}=\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|}</math> in die Formel einsetzt:

:<math>\vec{F}_{12}(\vec r_1)=\frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}</math>

Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung <math>q_2</math> gelegt, vereinfacht sich diese Gleichung zu:

: <math> \vec{F}_{12}(\vec{r}_1) = q_1 \, \frac {q_2}{4 \pi \varepsilon_0\, |\vec{r}_{1}|^3}\ \vec{r}_{1} </math>.

Weiter ist dann
: <math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 \, r^3}\ \vec{r}</math>
der Vektor der [[Elektrische Feldstärke|Feldstärke]] des von der Zentralladung <math>q_2</math> erzeugten [[Elektrisches Feld|elektrischen Feldes]] an der Stelle <math>\vec r</math>, d. h. im Abstand <math>\ r</math> vom Ursprung.

Wirken mehrere diskrete im Raum verteilte Ladungen <math>q_j</math> auf die Probeladung <math>q_1</math>, so erhält man die gesamte auf <math>q_1</math>ausgeübte Kraft durch Vektoraddition:

:<math>\vec F_1(\vec r_1)=q_1\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j>1} q_j\frac{\vec r_1-\vec r_j}{|\vec r_1-\vec r_j|^3}</math>

Werden die das Feld erzeugenden Ladungen <math>q_j</math> durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit [[Ladungsdichte]] <math>\rho(\vec r')</math> ersetzt, tritt an die Stelle der Summe ein [[Volumenintegral]]:
: <math> \vec{F}_{1}(\vec{r}) = q_1\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \int \rho(\vec{r}') \frac{(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3} \,\mathrm d^3 \vec{r}'.</math>

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz hergeleitet werden.

=== {{Anker|Coulomb-Konstante}}Coulomb-Konstante ===
{{Infobox Physikalische Konstante
| Name = Coulomb-Konstante
| Formelzeichen = <math>k_\mathrm C</math>
| Art =
| WertSI = {{ZahlExp|8,9875517862|9|suffix=(14)|post=N·m2·C−2}} ≈ 10−7 ''c2'' N·A−2
| Genauigkeit = {{ZahlExp|1,5|−10}}
| WertPlanck =
| Formel = <math>k_\mathrm C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math> <math>\varepsilon_0</math>: [[Elektrische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math>: [[Magnetische Feldkonstante]] <math>c</math>: [[Lichtgeschwindigkeit]]
| Anmerkung =
}}
Der in den obigen Gleichungen auftretende Term
: <math> k_\mathrm{C} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} = \frac {1}{4 \pi} \mu_0 c^2 </math>
wird auch als '''Coulomb-Konstante''' bezeichnet. Da die [[magnetische Feldkonstante]] <math>\mu_0</math> fast genau den Wert <math display="inline">4\pi \cdot 10^{-7} \mathrm{\frac{N}{A^2}}</math> hat (die relative Abweichung beträgt ca. {{ZahlExp|2|-10}}; bis zur [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Neudefinition der SI-Einheiten]] von 2019 galt der Wert exakt),<ref name="CGPM-26-1" /> hat
<math display="inline"> k_\mathrm{C}</math> fast genau den Wert <math display="inline">10^{-7}c^2\mathrm{\frac{N}{A^2}}</math>.

=== Form in CGS-Systemen ===
In [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußschen Einheiten]] und in anderen [[CGS-Einheitensystem|CGS-Einheiten]] wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung genutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, [[Elektrostatisches Einheitensystem|CGS-ESU]] und [[Elektromagnetisches Einheitensystem|CGS-EMU]] unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von <math>\mu_0:</math>
* Im CGS-ESU ist <math>\mu_0 = 4\pi/c^2</math>. Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert <math> k_\mathrm{C} = 1</math>.
* Im CGS-EMU ist <math>\mu_0 = 4\pi</math>. Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert <math> k_\mathrm{C} = c^2</math>.

== Coulomb-Potential ==
{{Hauptartikel|Elektrisches Potential}}
Das elektrische Feld ist, solange keine [[Maxwell-Gleichungen|zeitliche Änderung des magnetischen Felds]] auftritt, [[wirbelfrei]] und die Energiedifferenz beim Transfer einer Ladung von Punkt <math>A</math> zu Punkt <math>B</math> daher in diesem Fall unabhängig vom konkret zurückgelegten Weg (siehe auch: [[konservatives Kraftfeld]]). Entsprechend kann man das elektrische Feld und die elektrische Kraft auch durch ein [[Potential (Physik)|Potential]] beschreiben.

Für den Fall der einfachen Coulomb-Kraft ergibt sich das Coulomb-Potential, das für eine einzelne Punktladung <math>Q</math> wie folgt beschrieben werden kann:

: <math> \Phi (\vec{r}) = -\int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{\vec{r}} + C</math>

Dabei wird die beliebige [[Integrationskonstante]] <math>C</math> typischerweise null gesetzt, so dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist der [[Elektrische Spannung|Spannungsabfall]] U zwischen diesen beiden Punkten. Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Für bewegte Punktladungen dagegen, bei denen auch [[Magnetfeld]]er ins Spiel kommen, wird aus dem Coulomb-Potential ein [[Liénard-Wiechert-Potential]].

Die potentielle elektrische Energie <math>W_\mathrm{pot}</math> ist ebenfalls ein Potential, nun bezüglich der elektrischen Kraft:

: <math> W_\mathrm{pot} (r) = -\int \vec{F} \cdot \mathrm d\vec{s} = -q \, \int \vec{E} \cdot \mathrm d\vec{s} = q \, \Phi(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q\, Q}{r} + C</math>

Auch hier ist es üblich, die Randbedingung so zu wählen, dass die potentielle Energie im Unendlichen Null wird, <math>C</math> also auch hier gleich null ist.

== Coulomb-Kraft in einem Medium ==

Das coulombsche Gesetz lässt sich auf einfache Weise auf den Fall von Ladungen in [[Homogenität (Physik)|homogenen]], [[isotrop]]en, [[Permittivität|linearen]] Medien erweitern. Das die Ladungen umgebende Material muss dazu in guter Näherung diese Eigenschaften besitzen:
* Es ist elektrisch neutral.
* Es füllt den Raum zwischen den Ladungen und um diese herum ''gleichmäßig'' (homogen) aus.
* Die [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisierbarkeit]] des Mediums ist ''richtungsunabhängig''.
* Die Polarisierung ist ''proportional'' zum [[Elektrisches Feld|elektrischen Feld]], das von den Ladungen erzeugt wird.
Insbesondere verlangt die Homogenität, dass der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigbar ist.

Für solche Medien schreibt sich das coulombsche Gesetz in gleicher Form wie im Vakuum, mit dem einzigen Unterschied, dass <math>\varepsilon_0</math> durch <math>\varepsilon = \varepsilon_0\,\varepsilon_\mathrm{r}</math> ersetzt wird:

: <math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1\, q_2}{r^2} </math>

Die [[relative Permittivität]] <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> ist bei isotropen Medien eine [[Materialkonstante]], die der Polarisierbarkeit des Mediums Rechnung trägt. Sie kann sowohl durch Messungen als auch aus theoretischen Überlegungen gewonnen werden.

In der Umkehrung gilt im Vakuum <math>\varepsilon_\mathrm{r}=1</math>.

== Literatur ==
* [[Dieter Meschede]]: ''[[Gerthsen Physik]].'' 23. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2006, ISBN 3-540-25421-8; 25. Auflage: 2015, ISBN 978-3-662-45976-8.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Coulomb's law|2=Coulombsches Gesetz}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="CGPM-26-1">
{{Internetquelle
|url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1
|titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI)
|titelerg=Appendix 2
|werk=
|hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
|datum=2018
|sprache=en
|abruf=2023-05-16
}}
</ref>
</references>{{Normdaten|TYP=s|GND=7595673-1}}
[[Kategorie:Elektrostatik]]

Modell (Wissenschaft)

2024-05-26T20:31:06Z

Pascal.vollmer.fr: Rechtschreibfehler

{{Dieser Artikel|behandelt den Begriff Modell aus allgemeinwissenschaftlicher Perspektive; zu anderen Bedeutungen siehe [[Modell (Begriffsklärung)]].}}
[[Datei:Benzol 8167.JPG|mini|Modell ([[Stäbchenmodell|Kugel-Stab-Modell]]) des [[Benzol]]-[[Molekül]]s („Benzolring“)]]

Unter einem '''Modell''' versteht man in '''[[Wissenschaft]]''' und [[Philosophie]] eine Abbildung oder Repräsentation eines Objektes, eines Verhaltens oder eines Systems, das man verstehen möchte.<ref>J. Kopersky, [https://iep.utm.edu/models/ Models] (Internet Enzyklopedia of Philosophy): ''„…, a model is considered to be a representation of some object, behavior, or system that one wants to understand.“''</ref> Eine einheitliche Terminologie ist aber weder in der Wissenschaft noch in der Philosophie in Gebrauch.<ref>J. Kopersky, [https://iep.utm.edu/models/ Models] (Internet Enzyklopedia of Philosophy): ''„The word “model” is highly ambiguous, and there is no uniform terminology used by either scientists or philosophers.“''</ref> Die Unterscheidung zwischen Modell und Theorie ist unscharf. Wegen seines oft vorhandenen theoretischen Inhalts und weil eine [[Theorie]] oft mit Hilfe eines Modells dargestellt wird, werden beide Begriffe gelegentlich synonym verwendet.<ref group="An">Z. B.: Erklärung der Lichtausbreitung durch [[Newton]] bzw. [[Huygens]]: [[Korpuskeltheorie]]/[https://www.leifiphysik.de/optik/wellenmodell-des-lichts/grundwissen/licht-als-teilchen-vorstellungen-von-newton -modell] bzw. [[Wellentheorie]]/[https://www.leifiphysik.de/optik/wellenmodell-des-lichts -modell].</ref>

== Begriffliche Bestimmung ==
Der Begriff des ''Modells'' stammt, seiner ursprünglichen Bedeutung nach, vom lateinischen ‹modulus› (Maß, Takt, Vorbild) ab; entsprechend auch das italienische ‹modello›, das französische Wort ‹modèle›, und das englische Wort ‹model›. Im Zusammenhang mit der vor allem [[Universalienproblem#Neuzeit|nominalistischen]] Strömung der neuzeitlichen Philosophie gewann der Begriff des Modells diejenige Bedeutung, die er bis heute in den modernen Naturwissenschaften erhalten hat:<ref>Siehe zu dieser Charakterisierung und zu den Wortlauten Kaulbach, Mainzer (1984), hier in der ''Literatur'', S. 45.</ref>
* Einerseits ist das Modell technischer Repräsentant zum ‹künstlerischen Experimentieren›, als ein ‹Raumgeber› anstelle des natürlichen Objekts. (Das schließt auch [[Gedankenexperiment]]e mit ein, ebenso mathematisch-geometrische Konstruktionen zur Begründung von Hypothesen und Naturgesetzen, oder auch [[Computermodell]]e. In diesem Sinn ist etwa das [[Heliozentrisches Weltbild|Kopernikanische Planetensystem]] ein Modell der Wirklichkeit.)
* Andererseits dient das reale oder begriffliche Modell als ‹Muster› oder ‹Vorbild zur Verwirklichung› für eine endgültige Realisierung.
Allgemein dient der Modell-Begriff in den Wissenschaften als ein nomologisches ‹Muster›, welches für ein real gegebenes Objekt steht. Er ist somit seit den neuzeitlichen Wissenschaften von ‹Überlegungen zum Wesen losgelöst› worden.<ref>Siehe zu dieser Charakterisierung und zu den Wortlauten Kaulbach, Mainzer (1984), hier in der ''Literatur'', S. 47.</ref>

== Modelle in verschiedenen Wissenschaften ==
=== Biologie ===
{{Hauptartikel|Modellorganismus}}
In der biologischen und medizinischen Forschung ist ein ''Tiermodell'' ein nichtmenschliches Lebewesen, dessen Zweck die Erforschung menschlicher Krankheiten ist, ohne dabei am Menschen direkt experimentieren zu müssen. Allgemeiner sind ''Modellorganismen'' ausgewählte Spezies von [[Bakterien]], [[Viren]], [[Pilze]]n, [[Pflanzen]] oder [[Tier]]e, die ihre jeweilige taxonomische Gruppierung repräsentieren und der biologischen Forschung dienen.<ref>{{Internetquelle |autor=TheFreeDictionary |url=http://encyclopedia.thefreedictionary.com/Animal+model#cite_note-zam-0 |titel=Animal disease model |abruf=2023-12-19}}</ref>

=== Chemie ===
{{Hauptartikel|Modell (Chemie)}}
In der ''[[Chemie]]'' dienen Modelle insbesondere zur Veranschaulichung von kleinsten Teilchen, wie beispielsweise [[Atom]]e und [[Molekül]]e, und zur Erklärung und Deutung von [[Chemische Reaktion|chemischen Reaktionen]], die oftmals auch [[Simulation|simuliert]] werden. Modellexperimente stellen häufig die Funktion von technischen Prozessen dar.

=== Informatik ===
{{Hauptartikel|Informatik#Modellierung und Bewertung}}

Z. B. sind in der Informatik spezielle Modellierungsmethoden entwickelt worden, um Bewertungen bereits vor der eigentlichen Systemrealisierung durchführen zu können.

Andere Anwendungen sind mit besonderen Modell-Begriffen verbunden.
* Ein [[Computermodell]] ist ein mathematisches Modell, das aufgrund seiner Komplexität und/oder der schieren Anzahl von Freiheitsgraden nur mit einem Computer ausgewertet werden kann.
* 3D-Modelle von Körpern werden in der [[Computergrafik]] und verwandten Gebieten mit Hilfe der [[Geometrische Modellierung|geometrischen Modellierung]] erzeugt.
* Ein [[Digitales Geländemodell]] (DGM) bzw. Digitales Höhenmodell (DHM) ist ein digitales, numerisches Modell der Geländehöhen und -formen. Ein DGM bzw. DHM stellt im Gegensatz zum [[Digitales Oberflächenmodell|Digitalen Oberflächenmodell]] (DOM) keine Objekte auf der Erdoberfläche
dar (z. B. Bäume oder Häuser).

=== Mathematik ===
'''Mathematisches Modell'''
{{Hauptartikel|Mathematisches Modell}}
[[Mathematisches Modell|Mathematische Modelle]] beschreiben die gegenständliche Wirklichkeit, zum Beispiel in der [[Numerische_Wettervorhersage|numerischen Wettervorhersage]].

'''Modell in der mathematischen Logik'''
{{Hauptartikel|Modelltheorie}}
Eine spezielle Bedeutung hat ''Modell'' in der [[Mathematische Logik|Mathematischen Logik]], die das Studium der Ausdrucksstärke von formalen Logiken und formalen Beweissystemen umfasst. In der Mathematische Logik|mathematischen Logik werden die Begriffe ''Modell'' und ''Theorie'' voneinander differenziert. Der Begriff des Modells geht dabei auf [[Alfred Tarski]]s Verwendung zurück, die aus seiner formalisierten Semantik für logische Sprachen entsprungen ist. Er bildet zugleich den Ausgangspunkt der ''modelltheoretischen'' oder ''semantischen'' Sicht auf wissenschaftliche Theorien.<ref>Siehe etwa S. 253 f. In Suppes (1957/1999) der u. a. ''Literatur''.</ref><ref>Aktuellere Diskussion dazu etwa in M. Thomson-Jones (2004), ''Models and the Semantic View''. In: ''Philosophy of Science'', Vol. 73, No. 5, pp. 524–535 (Preview: [https://www.jstor.org/stable/10.1086/518322 jstor.org]) ''PSA 2004''.</ref><ref>Ferner in umfassendem Überblick zum gegenwärtigen Diskussionsstand: 'R. Frigg (2023), in der u. a. ''Literatur'', Abschn. 2.6 (''Logical models and structures''), S. 58 f., dort auch explizit als bezeichnet ‹''Tarskian models''›, insofern "[t]his way of thinking about models and languages goes back to Tarski [...].".</ref>

Demnach bezeichnet ein Modell eine Objektmenge einschließlich der [[Interpretation (Logik)|Interpretation]] aller symbolischen Formeln, die aus der formellen Theorie gewonnen werden können.<ref>Die Modelltheorie bezeichnet das Modell auch als eine ''Signatur'' der Theorie.</ref> Somit versteht man unter einem Modell einen Gegenstand, der alle Prädikatensymbole, Funktionen und Operationen der Theorie ''erfüllt''.<ref>A. Tarski (1994). S. 123 der u. a. ''Literatur''; bzw. Tarski (1941) des Kap. 37 (''Model and Interpretation of a deductive Theory''). Online: [https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.471634/page/n137/mode/2up archive.org]. Tarski (1994/1941), S. 5, spricht allgemein von ''Aussagenfunktionen'' (''sentential functions''), die durch die Interpretation zu ''erfüllen'' sind, eine Bezeichnung, die noch aus der syntaktischen Phase der mathematischen Logik Anfang des 20. Jh. kommt (B. Russell, D. Hilbert).</ref> In diesem Sinne ist die ''Theorie'' selbst eine formalisierte (logische) Sprache einschließlich der Modellmenge, dem [[Axiomensystem]] und dessen Menge an Aussagen, die aus ihm streng und sinnvoll [[Semantische Folgerung|gefolgert]] werden können.

Nach diesem vorrangig formalen Verständnis von wissenschaftlichen Modellen bildet zum Beispiel das Axiomensystem der [[Euklidische Geometrie|Euklidischen Geometrie]] die syntaktischen Struktur der Geometrie, das in überlieferter Weise die ''Theorie'' genannt wird. Ihre ''formalen'' Modelle sind die Realisierungen der Theorie, interpretierte Strukturen. So ist etwa eine [[Ebenengleichung]] (z. B. <math>E \colon \, 2x + 3y = z</math>) formaler Repräsentant und ''eine'' Realisierung der Theorie der Euklidischen Geometrie. Ferner wird die bildliche Darstellung einer Ebene, in einem dreidimensionalen [[Kartesisches Koordinatensystem|Koordinatensystem]] gezeichnet, das ''reale'' oder ''ikonische'' Modell der Ebenengleichung genannt. Reale (mathematische) Modelle sind sinnlich erfahrbar und haben einen faktischen Bezug zur Wirklichkeit.<ref>Siehe dazu Seite 336 f. in: [[Wolfgang Stegmüller|W. Stegmüller]], ''Wissenschaftstheorie''. (Seiten 327 – 353.) In: A. Diemer, I. Frenzel (Hrsg.), ''Philosophie''. (Fischer) Main, Frankfurt am Main, 1958.</ref><ref>Seite 97 in: Frederic Suppe, ''The Structure of Scientific Theories.'' Kap IV. D (''Models'', S. 95 – 102.) 2. Auflage. Urbana, Chicago, London 1977.</ref>

Über das Modellkonzept der mathematischen Logik können [[Metamathematik|metamathematische]] Fragen der Vollständigkeit des Axiomensystems, der Unabhängigkeit einzelner Axiome, der Korrektheit und Widerspruchsfreiheit für ganze wissenschaftliche Theorien sinnvoll gestellt und beurteilt werden.<ref>Siehe etwa A. Tarski (1994). S. 125 der u. a. ''Literatur''; Kap. 41 (''Consistency and Completeness of a Deductive Theory'').</ref>

Dieser modelltheoretische, logische Gebrauch von 'Modell' wird auch in der [[Modelltheoretische Semantik|modelltheoretischen Semantik]] verwandt, die an formale [[Linguistik]] angrenzt.

Unaufgelöster Grundlagenstreit, auch innerhalb der Philosophie der Mathematik, besteht darin, ob die formalen Eigenschaften der mathematischen Theorie genügen, um die mathematischen Modelle zu charakterisieren; und umgekehrt.<ref>Exemplarisch dafür ist die Diskussion, wie angemessen etwa der so genannte ''Received View'' sei, der vor allem die syntaktischen Elemente der Semantischen (modelltheoretischen) Sichtweise nach Tarski voraus nimmt, für wissenschaftliche Theorien sei: Kap. IV (''Criticism of the Received View'', S. 62 – 66), in: Frederic Suppe, ''The Structure of Scientific Theories.'' 2. Auflage. Urbana, Chicago, London 1977.</ref><ref>siehe auch R. Frigg (2023), in der hier angeg. ''Literatur'', Kap.I.1: ''Theory and Language'' (S. 15 – 45).</ref> Die Frage wird in der Wissenschaftstheorie dahingehend diskutiert, ob eine [[Isomorphie (Mathematik)|Isomorphie]] zwischen Theoriestruktur und ihrer Modellklasse bestehen würde.<ref>Siehe dazu Frigg (2023), hier in der ''Literatur'', S. 8, dort als ‹fundamentales Problem der wissenschaftlichen Darstellung› eingeführt, und in Kap. II.6 (S. 185  –  218), für einen allgemeinen und anwendungsbezogenen Überblick.</ref>

=== Physik ===
{{Hauptartikel|Modell (Physik)}}
In der ''[[Physik]]'' spielen Modelle ähnlich wie in der Chemie zur Veranschaulichung und zum Verständnis von Atomen und [[Elementarteilchen]] eine große Rolle. Physikalische [[Theorie]]n und Modelle sind eng verknüpft und bestimmen das Denken in Modellen zur Erkenntnisgewinnung und zum Verständnis von Relationen und Strukturen. Beispiele für Theorien sind die [[Atomtheorie]], die [[kinetische Gastheorie]], die [[Wellentheorie des Lichts]] und die [[Relativitätstheorie]]. Beispiele für Modelle sind etwa [[Atommodelle]], das [[Optisches Modell|Optische Modell]] in der Kernphysik oder das [[Standardmodell]] der Elementarteilchenphysik, aber auch zum Beispiel große Computerprogramme zur numerischen [[Simulation]] des Klimas. Zur Modellbildung gehört auch die [[Mathematische Physik|Mathematisierung]] physikalischer Gesetzmäßigkeiten. Im [[Physikdidaktik|didaktischen]] Bereich werden Modelle häufig im Sinne von Analogien zwischen dem zu untersuchenden Objektbereich und schon erforschten Bereichen benutzt. Zusätzlich werden Demonstrationsmodelle als vereinfachte Abbilder (z. B. das [[Planetenmodell]]) benutzt. Simulationen dienen neben der Veranschaulichung physikalischer Zusammenhänge der Überprüfung von [[Hypothese]]n. Experimente haben nicht nur im [[Physikunterricht]] oft Modellcharakter, indem sie die komplexe Realität vereinfachen und sich bei der [[Induktion (Philosophie)|induktiven]] Herleitung von Gesetzmäßigkeiten auf das Wesentliche beschränken. Funktionsmodelle haben beispielsweise eine Bedeutung zur Verdeutlichung der Funktion von [[Einfache Maschine|einfachen Maschinen]].

== Spezielle Ansätze ==
=== Modellplatonismus ===
Der Begriff wurde durch [[Hans Albert]] geprägt. Er kennzeichnet kritisch die Abweichung des neoklassischen Denkstils in der [[Volkswirtschaftslehre]] von der Methodologie einer empirischen Sozialwissenschaft.<ref>Hans Albert: ''Modell-Platonismus. Der neoklassische Stil des ökonomischen Denkens in kritischer Beleuchtung.'' In: Ernst Topitsch, (Hrsg.): ''Logik der Sozialwissenschaften.'' Kiepenheuer & Witsch, Köln/Berlin 1965, S. 406–434; zitiert nach: Friedrich Karrenberg, Hans Albert (Hrsg.): ''Sozialwissenschaft und Gesellschaftsgestaltung. Festschrift für Gerhard Weisser.'' Duncker & Humblot, Berlin 1963, S. 45–76.</ref> Als Beispiele dienen das [[Nachfrage]]gesetz, die [[Quantitätstheorie]] sowie die [[Wachstumstheorie]].

Obwohl die [[neoklassische Theorie]] mit ihren Modellbetrachtungen offenkundig auf das wirtschaftliche Handeln von Menschen gerichtet ist, wird die soziale Verursachung des menschlichen Handelns, wie sie etwa die empirische Sozialwissenschaft auf unterschiedliche Weise in Rechnung stellt, größtenteils ausgeschaltet. Einige Theoretiker leugnen gar die Absicht, kausale Erklärungen zu liefern und begnügen sich anstelle von Aussagen, die [[Falsifikationismus#Falsifizierbarkeitsgrade|Informationsgehalt]] besitzen, weil sie an empirischen Daten scheitern können, mit Aussagen, die nichts weiter als einen Realitätsbezug aufweisen (d. h. reale Dinge erwähnen). Verbunden wird diese Vorgehensweise mit der Tendenz, die Aussagen so zu gestalten, dass sie schon aufgrund ihrer logischen Struktur wahr sind. Erreicht wird dies durch [[Tautologie (Logik)|tautologische]] Formulierungen oder die Anwendung von konventionalistischen Strategien ([[Immunisierungsstrategie]]), wozu zum Beispiel die Verwendung einer expliziten oder impliziten [[ceteris-paribus-Klausel]] rechnet. Dieser von ihren Anhängern in ihren praktischen Konsequenzen für die Anwendbarkeit der analytischen Ergebnisse nicht immer überblickte methodische Stil des Denkens in Modellen, die von jedweder empirischen Überprüfbarkeit bewusst oder unbewusst abgeschottet werden, läuft auf eine neuartige Form des [[Platonismus]] hinaus.<ref>Hans Albert: ''Der logische Charakter der theoretischen Nationalökonomie.'' In: ''Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik'', 171, 1959, S. 1 ff.</ref> [[Platon]] war davon überzeugt, dass die Wirklichkeit durch rein logisches Denken erkannt werde; statt die Sterne zu beobachten, sollten wir deren Bewegungsgesetze durch das Denken ergründen.<ref>Hans Reichenbach: ''Der Aufstieg der wissenschaftlichen Philosophie.'' Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig 1968, S. 42.</ref>

In der deutschen Nationalökonomie dominierte damals der Schulenstreit zwischen Begriffsrealismus ([[Essentialismus]]) und Modellplatonismus. Diese Frontstellung hält Albert für aus methodologischen Gründen verfehlt; er setzt sich stattdessen ein für Wirtschaftswissenschaft, verstanden als eine empirische Sozialwissenschaft. In diesem Sinne spricht er auch von [[Marktsoziologie]] oder einer „Soziologie der kommerziellen Beziehungen“.<ref>Siehe dazu Hans Albert: ''Marktsoziologie und Entscheidungslogik.'' (Mohr Siebeck) Tübingen 1998, insb. Kapitel IV und seinen Vortrag ''[https://ux-tauri.unisg.ch/RePEc/usg/wajohr/wajohr1995.pdf Die Idee rationaler Praxis und die ökonomische Tradition]'' (PDF; 0,1 MB).</ref>

== Literatur ==
* Wolfgang Balzer: ''Empirische Theorien: Modelle – Strukturen – Beispiele. Die Grundzüge der modernen Wissenschaftstheorie''. Vieweg, Braunschweig 1982.
* [[Manfred Broy]], Ralf Steinbrüggen: ''Modellbildung in der Informatik''. Springer, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-44292-8.
* Hans Kleine Büning, Uwe Kastens: ''Modellierung''. Hanser, 2005, ISBN 3-446-40460-0.
* [[Dietrich Dörner]]: ''Modellbildung und Simulation.'' In: E. Roth (Hrsg.): ''Sozialwissenschaftliche Methoden''. Oldenbourg, München 1984, S. 337–350.
* Roman Frigg, ''Models and Theories''. (Taylor and Francis: Routledge) London, New York 2023. Online-Zugriff (open access): [https://www.taylorfrancis.com/books/oa-mono/10.4324/9781003285106/models-theories-roman-frigg Frigg (2023)] (abgerufen am 30. Oktober 2023).
*[[Friedrich Kaulbach (Philosoph)|F. Kaulbach]], [[Klaus Mainzer|K. Mainzer]]: ''Modell''. In: ''Historisches Wörterbuch der Philosophie'' ([[Historisches Wörterbuch der Philosophie|HWPh]]), hrsg. v. J. Ritter, K. Gründer, G. Gabriel. Band 6 (S. 45 – 50). (Schwabe), Basel 2010. Erstveröffentlichung 1984.
* R. Mayntz: ''Modellkonstruktion: Ansatz, Typen und Zweck''. In: R. Mayntz (Hrsg.): ''Formalisierte Modelle in der Soziologie''. Luchterhand, Neuwied/Berlin 1967.
* Jürgen Perl, Martin Lames, Ulrich Glitsch (Hrsg.): ''Modellbildung in der Sportwissenschaft''. Hofmann, Schorndorf 2002, ISBN 3-7780-1821-3 (Beiträge zur Lehre und Forschung im Sport, Band 132).
* Magnus Richter: ''Zur Güte von Beschreibungsmodellen – eine erkenntnistheoretische Untersuchung''. Ilmenau 2009.
* Magnus Richter: ''Modelle in der Betriebswirtschaftslehre – Ein systematischer Überblick über Merkmale, Ziele und Erscheinungsformen.'' In: ''WiSt – Wirtschaftswissenschaftliches Studium'', Jg. 42, Nr. 6, 2013, S. 280–285.
* Reinhard Schütte: ''Grundsätze ordnungsmäßiger Referenzmodellierung''. Gabler, Wiesbaden 1998, ISBN 3-409-12843-3.
* Herbert Stachowiak: ''Allgemeine Modelltheorie''. Wien 1973, ISBN 3-211-81106-0.
* Herbert Stachowiak (Hrsg.): ''Modelle – Konstruktion der Wirklichkeit''. Wilhelm Fink Verlag, München 1983, S. 17–86.
* [[Patrick Suppes]]: ''Introduction to Logic''. Ersterscheinung: (Van Nostrand) New York 1957. (Dover) New York, 1999.
* Patrick Suppes: ''The Desirability of Formalization in Science''. In: ''Journal of Philosophy'', 65 (1968), S. 651–664; dt. ''Warum Formalisierung in der Wissenschaft erwünscht ist''. In: W. Balzer, M. Heidelberger (Hrsg.): ''Zur Logik empirischer Theorien''. Berlin 1983, S. 24–39.
* [[Alfred Tarski|Tarski, Alfred]]: ''Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences''. 4. Auflage hrsg. von Jan Tarski (nach der 1. amerikanischen Auflage von 1941, übersetzt aus dem deutschen Original von 1936 ''Einführung in die mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik''), Oxford Univ. Press, Oxford New York Toronto 1994.
* K. Troitzsch: ''Modellbildung und Simulation in den Sozialwissenschaften''. Westdeutscher Verlag, Opladen 1990.
* R. Ziegler: ''Theorie und Modell''. Der Beitrag der Formalisierung zur soziologischen Theoriebildung. Oldenbourg, München 1972.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
{{Commonscat|Scientific modeling|Modell}}
* Roland Müller: [http://www.muellerscience.com/MODELL/Begriffsgeschichte/ModellgeschichteistKulturgeschichte.htm Modellgeschichte ist Kulturgeschichte], Eine Chronik von Modellgebrauch und Modellbegriff, 2000. (und weitere Materialien zum Gebrauch von Modellen als Veranschaulichungen seit der frühen Neuzeit)
* [http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/files/modelle.php Sammlung mathematisch-geometrischer Modelle der Technischen Universität Dresden]
* [http://www.universitaetssammlungen.de/modelle Objektdatenbank von materiellen Modellen in Forschung und Lehre am Helmholtz-Zentrum für Kulturtechnik der Humboldt-Universität zu Berlin]
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/models-science/|Models in Science|Roman Frigg und Stephan Hartmann}}
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/scientific-explanation/|Scientific Explanation|James Woodward}}
* {{IEP|http://www.iep.utm.edu/m/models.htm|Models|Jeffrey Koperski}}
* [[Friedrich Dorsch|Dorsch]] ([[Fritz Giese]]) ''Lexikon de Psychologie'': [https://dorsch.hogrefe.com/stichwort/modell ''Modell'']

== Anmerkungen ==
<references group="An" />

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4039798-1}}

[[Kategorie:Wissenschaftstheorie]]
[[Kategorie:Modellierung und Simulation| ]]

Duale Kategorie

2024-01-31T22:24:14Z

Pascal.vollmer.fr: Schreibfehler korrigiert

In der Mathematik ordnet man jeder [[Kategorientheorie|Kategorie]] eine '''duale Kategorie''' zu, die im Wesentlichen dadurch entsteht, dass man alle Pfeile (das heißt [[Morphismus|Morphismen]]) umdreht. Die einfache Tatsache, dass dadurch wieder eine Kategorie entsteht, führt zu einem '''Dualitätsprinzip''', das einerseits zu jeder kategorientheoretischen Definition eine entsprechende duale Definition liefert und andererseits den Beweisaufwand durch Übergang zur dualen Kategorie verringert.

== Definition ==
Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie, das heißt man hat eine Klasse von Objekten, zu je zwei Objekten <math>C,D</math> eine Menge (je nach Definition auch nur eine Klasse) <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(C,D)</math> von Morphismen, die man auch als Pfeile <math>f\colon C\rightarrow D</math> darstellt, und eine Komposition genannte Operation <math>\circ</math>, die zwei Morphismen <math>f\colon C\rightarrow D</math> und <math>g\colon D\rightarrow E</math> einen Morphismus <math>g\circ f\colon C\rightarrow E</math> zuordnet, so dass gewisse Regeln gelten. Diese Regeln sind
:Assoziativität: <math>(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)</math>, wann immer diese Kompositionen möglich sind.
:Identischer Morphismus: Zu jedem Objekt <math>C</math> gibt es einen Morphismus <math>1_C\colon C\rightarrow C</math>, so dass <math>f\circ 1_C = f = 1_D\circ f</math> für alle Morphismen <math>f\colon C\rightarrow D</math>.

Die '''duale Kategorie''' <math>\mathcal{C}^{op}</math> besteht aus
:den Objekten von <math>\mathcal{C}</math>
:den Morphismenmengen <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(C,D) := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(D,C)</math>
:und der Komposition <math>g\diamond f := f\circ g</math> für <math>f \in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(C,D)</math> und <math>g\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(D,E)</math>.<ref >Martin Brandenburg: ''Einführung in die Kategorientheorie'', Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 2.6.3</ref><ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 4.12</ref><ref>[[Saunders Mac Lane]]: ''Kategorien'', Springer-Verlag 1972, ISBN 978-3-540-05634-8, Kapitel II.2: ''Kontravarianz und duale Kategorien''</ref>

Leicht zeigt man, dass diese Daten tatsächlich eine Kategorie definieren, und zwar mit denselben identischen Morphismen, indem die Forderungen an <math>\diamond</math> auf die entsprechenden Eigenschaften von <math>\circ</math> zurückführt. Die Komposition in <math>\mathcal{C}^{op}</math> schreibt man dann wieder mit dem typischen Kompositionszeichen <math>\circ</math> und muss gegebenenfalls erwähnen, in welcher Kategorie die Komposition ausgeführt wird.

== Natürliches Auftreten dualer Kategorien ==
Bei [[Funktor (Mathematik)|kontravarianten Funktoren]] <math>F\colon \mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}</math> kehrt sich definitionsgemäß die Verknüpfungsreihenfolge um, das heißt für komponierbare Morphismen <math>f</math> und <math>g</math> aus <math>\mathcal{C}</math> gilt <math>F(g \circ f) = F(f)\circ F(g)</math>. Man erhält daraus einen gewöhnlichen (kovarianten) Funktor, indem man diesen als Funktor <math>\mathcal{C}^{op}\rightarrow \mathcal{D}</math> oder <math>\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}^{op}</math> auffasst. Man kann umgekehrt kontravariante Funktoren als Funktoren auf dualen Kategorien definieren.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 9.5</ref>

Das prominenteste Beispiel ist der [[Hom-Funktor]] in der ersten Variablen. Für ein festes Objekt <math>B</math> ist <math>\mathrm{Hom}(-,B)</math> ein Funktor <math>\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{Set}^{op}</math> bzw. <math>\mathcal{C}^{op}\rightarrow \mathcal{Set}</math>, wobei <math>\mathcal{Set}</math> die [[Kategorie der Mengen]] bezeichne. Manchmal tragen die <math>\mathrm{Hom}</math>-Mengen zusätzliche Struktur, so dass man eine andere Zielkategorie erhält. Ist zum Beispiel <math>K</math> ein fest gewählter [[Körper (Algebra)|Körper]] und <math>\mathcal{Vect}_K</math> die Kategorie der <math>K</math>-[[Vektorraum|Vektorräume]] mit den <math>K</math>-[[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] als Morphismen, so ist <math>\mathrm{Hom}(C,K)</math> nichts weiter als der [[Dualraum]] des Vektorraums <math>C</math>. Dieser Dualraumfunktor <math>\mathrm{Hom}(-,K)</math> ist ein Funktor <math>\mathcal{Vect}_K \rightarrow \mathcal{Vect}_K^{op}</math>.

Ein weiteres wichtiges Anwendungsbeispiel dieses <math>\mathrm{Hom}</math>-Funktors und der dualen Kategorie ist die [[Yoneda-Einbettung]]. Jedem Objekt <math>B</math> der Kategorie <math>\mathcal{C}</math> wird der oben erwähnte Funktor <math>\mathrm{Hom}(-,B)\colon\mathcal{C}^{op}\rightarrow \mathcal{Set}</math> zugeordnet. In diesem Fall erhält man eine Einbettung der Kategorie <math>\mathcal{C}</math> in die [[Funktorkategorie]] <math>\mathcal{Set}^{\mathcal{C}^{op}}</math>.<ref >Martin Brandenburg: ''Einführung in die Kategorientheorie'', Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 5.2.10</ref>

== Das Dualitätsprinzip ==
Trivialer Weise gilt <math>(\mathcal{C}^{op})^{op} = \mathcal{C}</math>, denn wenn man einen Pfeil zweimal umdreht, befindet man sich wieder in der Ausgangssituation.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 4.14</ref>

Hat man einen kategorientheoretischen Begriff mittels Objekten und Morphismen definiert, so kann man dazu einen weiteren definieren, indem man alle Pfeile in der Definition umdreht, diesen nennt man den dualen Begriff. Beispielsweise ist ein [[Monomorphismus]] ein [[Morphismus]] <math>f\colon C\rightarrow D</math>, so dass für je zwei Morphismen <math>g,h\colon B\rightarrow C</math> mit <math>f\circ g = f\circ h</math> schon <math>g=h</math> gilt. Kehrt man die Pfeile und damit die Kompositionsreihenfolge um, so erhält man den Begriff des [[Epimorphismus]]. Das ist demnach ein Morphismus <math>f\colon D\rightarrow C</math>, so dass für alle Morphismen <math>g,h\colon C\rightarrow B</math> mit <math>g \circ f = h \circ f</math> schon <math>g=h</math> gilt. Damit sind die Monomorphismen in <math>\mathcal{C}</math> genau die Epimorphismen in <math>\mathcal{C}^{op}</math> und entsprechend sind die Epimorphismen in <math>\mathcal{C}</math> genau die Monomorphismen in <math>\mathcal{C}^{op}</math>, und das gilt wegen <math>(\mathcal{C}^{op})^{op} = \mathcal{C}</math> auch jeweils umgekehrt.

Viele Konstruktionen erzeugen nur vordergründig bestimmte Objekte, genau genommen handelt es sich um Objekte mit Morphismen, die gewissen Bedingungen unterliegen. So ist das [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkt]] zweier Objekte <math>C_1</math> und <math>C_2</math> ein Objekt <math>P</math> mit zwei Morphismen <math>p_1\colon P\rightarrow C_1</math> und <math>p_2\colon P\rightarrow C_2</math>, so dass es zu allen anderen Objekten <math>Q</math> mit Morphismen <math>q_1\colon Q\rightarrow C_1</math> und <math>q_2\colon Q\rightarrow C_2</math> genau einen Morphismus <math>f\colon Q\rightarrow P</math> gibt, so dass <math>q_1 = p_1\circ f</math> und <math>q_2 = p_2\circ f</math>. Diese Morphismenbedingungen lassen sich dualisieren (durch Umkehrung aller Pfeile), und man erhält den Begriff des [[Koprodukt]]es.
Genauso kann man kategorielle Eigenschaften dualisieren. So kann eine Kategorie [[Vollständige Kategorie|endlich vollständig]] sein, das heißt alle endlichen [[Limes (Kategorientheorie)|Limiten]] enthalten. Die duale Eigenschaft, alle endlichen Kolimiten zu enthalten, heißt dann Kovollständigkeit.

Das Dualitätsprinzip liefert nun zu jeder Aussage über Objekte und Morphismen einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> eine entsprechende duale Aussage. Jene Aussage gilt genau dann in <math>\mathcal{C}</math>, wenn die duale Aussage in <math>\mathcal{C}^{op}</math> zutrifft.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, 4.15: ''The Duality Priciple''</ref><ref >Martin Brandenburg: ''Einführung in die Kategorientheorie'', Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Bemerkung 3.6.18</ref>

Hat man beispielsweise eine kategorientheoretische Aussage, die für alle Monomorphismen aller Kategorien gilt, so gilt der duale Satz für alle Epimorphismen, denn diese sind ja gerade die Monomorphismen in der dualen Kategorie. So kann man aus dem Satz, dass die Komposition zweier Monomorphismen wieder ein Monomorphismus ist, mit Verweis auf das Dualitätsprinzip schließen, dass auch die Komposition zweier Epimorphismen wieder ein Epimorphismus ist.
Hat man entsprechend einen Satz, der für alle Produkte in allen Kategorien gilt, so gilt die dualisierte Form auch für alle Koprodukte, denn diese sind je gerade die Produkte in der dualen Kategorie. Die Kategorientheorie enthält eine Unzahl von solchen dualen Begriffspaaren, die man in dieses Schema bringen kann. Häufig wird der duale Begriff einfach mit der Vorsilbe ''ko-'' versehen, wie etwa bei den obigen Beispielen Produkt und Koprodukt, Vollständigkeit und Kovollständigkeit aber auch [[Kern (Algebra)|Kern]] und [[Kokern]] und viele mehr, oft hat man aber auch andere etablierte Begriffspaare wie Monomorphismus und Epimorphismus, [[Pullback]] und [[Pushout]], oder [[Retraktion und Koretraktion|Retraktion und Schnitt]] (letzteres nennt man auch Koretraktion).

Diese dualen Begriffsbildungen und Schlussweisen sind für Kategorientheoretiker derart selbstverständlich, dass sie die duale Version oft nicht einmal ausformulieren.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: ''Category Theory'', Allyn and Bacon Inc. 1973, Seite 35, Text hinter Satz 5.10</ref>

Schließlich gibt es noch selbstduale Begriffe, das sind solche, bei der die Dualisierung zum selben Begriff führt. Als Beispiele wären hier [[Isomorphismus]] oder [[ausgeglichene Kategorie]] zu nennen.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Jeschajahu Leibowitz

2023-12-25T12:47:22Z

Pascal.vollmer.fr: Schreibfehler korrigiert: Leerzeichen zwischen an und hingen.

[[Datei:Yeshaia Leibowitz. Photograph by Grubner. Wellcome V0026693.jpg|mini|hochkant|Jeschajahu Leibowitz]]
'''Jeschajahu Leibowitz''' ({{heS|ישעיהו ליבוביץ&lrm;}}, auch ''Yeshayahu''; geboren am [[29. Januar]] [[1903]] in [[Riga]], [[Russisches Kaiserreich]]; gestorben am [[18. August]] [[1994]] in [[Jerusalem]]) war ein [[israel]]ischer [[Naturwissenschaftler]], [[Medizin]]er und [[Religionsphilosophie|Religionsphilosoph]]. Er lehrte fast sechs Jahrzehnte lang an der [[Hebräische Universität Jerusalem]] und hielt Vorlesungen in Biochemie, Neurophysiologie, Philosophie und Wissenschaftsgeschichte. Er war Herausgeber der [[Encyclopaedia Hebraica]] und veröffentlichte Bücher über Religion, Ethik, Philosophie, Geschichte und Wissenschaft.

Als [[Humanismus|Humanist]], [[Zionismus|Zionist]] und [[Orthodoxes Judentum|orthodoxer Jude]] ist Leibowitz vor für seine religionsphilosophischen Schriften und für seine scharfe Kritik an der israelischen Politik bekannt geworden. Er warnte davor, dass der Staat Israel und der Zionismus heiliger geworden seien als die jüdisch-humanistischen Werte, und beschrieb das israelische Verhalten in den besetzten palästinensischen Gebieten als jüdisch-nationalsozialistisch im Charakter, während er gleichzeitig vor der entmenschlichenden Wirkung der Besatzung auf die Opfer und Besetzer warnte.

== Leben ==
Jeschajahu Leibowitz stammte aus einer großbürgerlichen jüdisch-[[Zionismus|zionistischen]] Familie. Seine Eltern waren Mordechai Kalman und Frieda Leibowitz.<ref>{{Literatur |Autor=David B. Green |Titel=1994: A Scientist Adored by Israelis, Though Most Hated His Opinions, Dies |Sammelwerk=Haaretz |Datum=2016-08-18 |Seiten=}}</ref> In der Familie wurde [[Deutsche Sprache|Deutsch]] gesprochen, auf der Straße [[Jiddisch]] und in der Schule [[Russische Sprache|Russisch]].<ref>Tsafrir Cohen: [Dokumentiert: Ein Gespräch mit Jeschajahu Leibowitz], Rosa-Luxemburg-Stiftung Israel Office, 28. April 2018</ref> Gleichzeitig lernte er als Kind [[Hebräisch]] und [[Französische Sprache|Französisch]]; das sei im Umfeld seiner Familie der Normalfall gewesen.<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=264}}</ref> Seine Schwester und er erhielten Privatunterricht; erst später besuchte er das allgemeine Gymnasium in [[Riga]].

Während des [[Russischer Bürgerkrieg|Russischen Bürgerkriegs]] 1919 verließ die Familie Leibowitz Riga,<ref>[[Marģers Vestermanis]]: ''Juden in Riga. Auf den Spuren des Lebens und Wirkens einer ermordeten Minderheit''. 3. verbesserte und erweiterte Ausgabe in deutscher Sprache. Edition Temmen, Bremen 1995, S. 58.</ref> sie zog, wie viele andere baltische Juden, ins Deutschland der [[Weimarer Republik]] nach Berlin. In Berlin studierte Jeschajahu Leibowitz studierte [[Chemie]] an der [[Friedrich-Wilhelms-Universität Berlin]]. Seine akademischen Lehrer waren [[Fritz Haber]], [[Walther Nernst]], [[Otto Fritz Meyerhof]] und [[Otto Warburg (Biochemiker)|Otto Warburg]]. 1924 promovierte er in Chemie (an der philosophischen Fakultät). Auf Empfehlung seiner Professoren erhielt er die preußische Staatsbürgerschaft.
[[Datei:Yeshayahu Leibowitz 1.jpg|mini|hochkant|Leibowitz in den 1930er Jahren.]]
Von 1926 bis 1930 war er als [[Biochemiker]] Assistent am [[Kaiser-Wilhelm-Institut]] in Berlin, später an der [[Universität Köln]]. Ab 1929 studierte er [[Medizin]] in Köln und [[Universität Heidelberg|Heidelberg]]. Nach seiner Heirat mit Grete Leibowitz (geb. Winter) 1931 wechselte sie nach Heidelberg, wo sie 1933 promovierte. 1934 habilitierte er sich in [[Basel]] in Medizin, denn dies war für ihn als Juden in Berlin nach der [[Machtergreifung]] der [[Nationalsozialismus|Nationalsozialisten]] nicht mehr möglich.

[[Datei:PikiWiki Israel 4961 People of Israel.jpg|mini|Leibowitz (Dritte von links from left) mit Studenten an der Tichon Beit Hakerem, 1947]]
[[Datei:PikiWiki Israel 17008 Professor Yeshayahu Leibowitz Lecturing in the He.jpg|mini|Leibowitz im Hörsaal, um 1964.]]
Noch im selben Jahr nach wanderte das Ehepaar nach [[Völkerbundsmandat für Palästina|Palästina]] aus. 1936 trat er in die [[Hebräische Universität Jerusalem]] ein, erhielt dort 1941 einen Lehrstuhl für [[Biochemie]] und wurde 1952 zum ordentlichen Professor für [[organische Chemie]] und [[Neurophysiologie]] befördert. 1970 wurde er pensioniert, lehrte aber weiterhin Philosophie und Wissenschaftsgeschichte in Jerusalem.

Von Anfang an arbeitete Leibowitz als Redakteur an der ''Encyclopaedia Hebraica'' mit und wurde 1953 deren [[Chefredakteur]]. Grete Leibowitz arbeitete als Lehrerin und Übersetzerin seiner Schriften und war ab Sechziger Jahre auch Sekretärin der Encyclopaedia Hebraica.<ref>[https://www.hagalil.com/israel/leibowitz/grete-leibowitz.htm Grete Leibowitz, geb. Winter], [[haGalil]], 10. September 2000</ref>

Außer Hunderten von Artikeln und Essays veröffentlichte er zahlreiche Bücher über Philosophie, Politik und die Schriften von [[Maimonides]]. Einige seiner Vorträge wurden zunächst im Rahmen der „Offenen Universität“ des [[Galei Zahal|Radios]] der [[Israelische Verteidigungsstreitkräfte|israelischen Armee]] gesendet und später als Buch veröffentlicht.

Der 1933 in Berlin geborene israelische Journalist und Politiker Michael Shashar, Sekretär von [[Mosche Dajan]] und Generalkonsul in New York, Sohn von Jugendfreunden von Leibowitz aus seiner Studienzeit in Deutschland, führte 1987 ein längeres Interview mit Leibowitz, das er in Buchform herausgab und das 1990 unter dem Titel ''Gespräche über Gott und die Welt'' auch in deutscher Sprache erschien.

1993 sollte Leibowitz den [[Israel-Preis]] erhalten. Als sich zeigte, dass der damalige Premierminister [[Jitzchak Rabin]] sich weigern würde, an der Zeremonie teilzunehmen, wies Leibowitz den Preis zurück.

Leibowitz’ jüngere Schwester, [[Nechama Leibowitz]], war eine bekannte Bibelwissenschaftlerin; der bedeutende polnisch-französische [[Komponist]], [[Musiktheorie|Musiktheoretiker]] und [[Dirigent]] [[René Leibowitz]] war sein Cousin.

Jeschajahu Leibowitz wurde 91 Jahre alt. Nach bekannt werden seines Todes lobte Präsident [[Ezer Weizmann]] ihn als „eine der größten Persönlichkeiten im Leben des jüdischen Volkes und des Staates Israel in den letzten Generationen“ und fügte hinzu, dass er „für viele in Israel das spirituelles [[Gewissen]]“ sei.<ref name="NYT94">Joel Greenberg: [https://www.nytimes.com/1994/08/19/obituaries/yeshayahu-leibowitz-91-iconoclastic-israeli-thinker.html Yeshayahu Leibowitz, 91, Iconoclastic Israeli Thinker], The New York Times, 19. August 1994</ref>

== Religiöse Positionen ==
Jeschajahu Leibowitz war in seinem Denken stark von [[Maimonides]] geprägt, außerdem von der jüdischen Orthodoxie litauischer Prägung.
{{Zitat
|Text=Die mündliche Tora ist einerseits ohne Zweifel ein menschliches Produkt, andererseits akzeptieren wir sie als die göttliche Tora; die Tora, die wir selbst geschrieben haben, ist die göttliche Tora!
|ref=<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=129}}</ref>}}

Grundlegend war für ihn die Selbstverpflichtung zum Tun der [[Mitzwa|Mitzwot]], und zwar um ihrer selbst willen. Daraus zog er Konsequenzen, die ihn in Gegensatz zu chassidischen Positionen brachten, aber auch zum liberalen Judentum:
* Das Gebet ist eine Mitzwa; das Gebet um seiner selbst willen zu verrichten, bedeutet, darauf zu verzichten, mit Beten den Lauf der Welt oder das persönliche Schicksal ändern zu wollen.<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=159}}</ref><ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=255}}</ref> Das Gebet sei kein „emotionaler Sport“. Wie der Opferkult im Tempel, so sei das Gebet nach Zerstörung des Tempels ein „Formalismus der Gottesverehrung“.<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=157}}</ref>[[Datei:Yeshayahu Leibowitz.jpg|mini|hochkant|Leibowitz fotografiert von [[Bracha Ettinger]]]]
* Die Speisegesetze und andere Regeln der Alltagsgestaltung sollen um ihrer selbst willen befolgt werden, sie haben medizinisch keine Relevanz.<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=166}}</ref>
* Die Mitzwa des Torastudiums soll auch strikt um ihrer selbst willen ausgeübt werden, also ohne Bezahlung oder Freistellung von irgendwelchen Pflichten. Der Jude, der sich nach Feierabend mit der Tora befasst und nur zu einem oberflächlichen Verständnis gelangt, übt diese Mitzwa mehr aus als der [[Jeschiwa]]student, der zu einem profunden Wissen gelangt ist, aber keinem Broterwerb nachgeht. Orthodoxen Frauen sollte das Torastudium offenstehen, da es ein wesentlicher Aspekt jüdischen Lebens ist. Das liberale Judentum disqualifiziert sich in Leibowitz’ Sicht durch seinen selektiven Umgang mit der [[Halacha]]: „Was ist der Unterschied zwischen einem Menschen, der niemals in die Synagoge gegangen ist und niemals gehen wird, und einem Menschen, der eine Synagoge ausdrücklich gegen die halachischen Vorschriften baut?“<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=162}}</ref> Leibowitz engagierte sich durchaus im [[Christlich-jüdischer Dialog|interreligiösen Gespräch]] mit Christen und hielt im [[Theologisches Studienjahr Jerusalem|Theologischen Studienjahr Jerusalem]] 1976/1977 Vorlesungen. Er machte aber keinen Hehl daraus, dass er das Christentum ablehnte bzw. „tief verachtete“.<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=81}}</ref> Das Christentum sei eine Religion ohne Mitzwot,<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Gespräche über Gott und die Welt |Verlag= |Ort= |Datum= |ISBN= |Seiten=87-88}}</ref> ja, es habe das Tun der Mitzwot als Gesetzlichkeit bekämpft.

Leibowitz erkannte in der Ausbreitung einer neuen, messianischen Ideologie unter den jüdischen Israelis ein Grundproblem: Nationalistische, religiöse Juden, die der Idee eines [[Großisrael]] anhingen und Araber nicht als gleichwertige Menschen betrachteten, würden auch in Zukunft einen dauerhaften Frieden verhindern. Er urteilte unmissverständlich und nannte diese Nationalisten „Judeo-Nazis“.<ref>[[Meron Mendel]]: ''Über Israel reden: Eine deutsche Debatte''. Kiepenheuer & Witsch, Köln 2023, S. 12</ref>

Als überzeugter Verfechter der Trennung von Staat und Religion argumentierte er, dass die Vermischung von Religion und Politik in Israel den Glauben korrumpiere. Er verurteilte die Verehrung jüdischer Heiligtümer und Rituale als Glücksbringer und bezeichnete die Klagemauer, eine beliebte Pilgerstätte, als „religiöse [[Diskothek|Disco]]“.<ref name="NYT94" />

== Politische Ansichten ==
Leibowitz war als überzeugter Zionist 1934 nach Israel eingewandert. Schon vor der Staatsgründung 1948 setzte er sich für eine absolute [[Laizismus|Trennung von Religion und Staat]] ein. Mit großem Misstrauen stand er der Verbindung von Nationalismus und mystischem Denken bei so unterschiedlichen Personen wie [[Liste von Oberrabbinern|Oberrabiner]] von Palästina [[Abraham Isaak Kook]] und dem Historiker der jüdischen Mystik [[Gershom Scholem]] gegenüber. Die Idee, der Staat Israel, das Land oder die Armee seien „heilig“, wurde von ihm zurückgewiesen.

Obwohl er des Öfteren von Gegnern als „Antizionist“ bezeichnet wurde, bekräftigte er gegen Ende seines Lebens seine Parteinahme für die zionistische Idee.

Er entwickelte nach dem [[Qibya-Massaker]] vom 14./15. Oktober 1953 eine fortwährend kritischere Haltung gegenüber der israelischen Regierung. In seinen späteren Schriften verneinte er jegliche religiöse Bedeutung Israels und betonte wiederholt die seiner Ansicht nach notwendige Trennung von Religion und Staat.<ref name="Leibowitz1995">Yeshayahu Leibowitz (1995): ''Judaism, Human Values and the Jewish State''. Cambridge: Harvard University Press.</ref>
[[Datei:Evyatar Protest 180222 005.jpg|mini|Räumung des illegalen Außenposten Eviatar auf palästinensischem Farmland nahe [[Nablus]] jüdische Siedler im [[Westjordanland]]. T-Shirt mit Leibowitz' Silhouette und den Spruch "Hab' ich es nicht gesagt" (2022)<ref>[https://www.btselem.org/firearms/20220228_nine_months_of_protesting_seven_killed_and_dozens_injured_in_the_town_of_beita Nine months of protesting a new outpost: seven killed and dozens injured in the town of Beita], [[B’Tselem]], 28 February 2022</ref>]]

In der Siegeseuphorie nach dem [[Sechstagekrieg]] von 1967, in dem Jitzchak Rabin Stabschef der Armee war, warnte Leibowitz, dass die [[Israelische Siedlung|anhaltenden Besetzung der Gebiete]] Israel zu einem Agenten der Unterdrückung machen würde und dessen Bürger in wachsender Zahl zur Überwachung der Palästinenser eingesetzt werden würden. Bereits 1968, nur wenige Monate nach dem spektakulären Sieg Israels über drei Nachbarländer Ägypten, Jordanien und Syrien, schrieb er: „Der wichtigste Tag im Sechstagekrieg ist der siebte Tag.“ Am siebten Tag nämlich hätte sich die israelische Armee aus seiner Sicht aus den besetzten Gebieten – [[Ostjerusalem]], [[Westjordanland]] und [[Gazastreifen]] – vollständig zurückziehen müssen.<ref>Meron Mendel: ''Über Israel reden: Eine deutsche Debatte''. Kiepenheuer & Witsch, Köln 2023, S. 11.</ref> Israel müsse sich „von diesem Fluch befreien, ein anderes Volk zu beherrschen“, sagte er und argumentierte, dass eine anhaltende israelische Gewaltherrschaft über die Palästinenser „eine Katastrophe für das jüdische Volk als Ganzes herbeiführen“ würde. Er unterstützte israelische Armeeangehörige, die sich weigerten, in den besetzten Gebieten zu dienen. Israelische Undercover-Einheiten, die dort flüchtende Palästinenser aufspürten und manchmal töteten, unterschieden sich nicht von Bewaffneten der militanten islamischen Gruppe [[Hamas]].<ref name="NYT94" />

Bezogen auf Folter in den besetzten palästinensischen Gebiete sagte er: „Wir wenden Folter an. Die Folter! Wir verwenden es mit der Genehmigung des Geschöpfs, das noch vor drei Jahren Präsident des Obersten Gerichtshofs des Staates Israel war.<ref>Gemeint ist [[Moshe Landau]], der von 1980 bis 1982 Präsident des Obersten Gerichts Israels war.</ref> Eine Persönlichkeit, die in der Praxis wichtiger ist als der Staatspräsident oder der Premierminister und die den Einsatz von Folter, um arabische Gefangene zum Sprechen zu bringen, ausdrücklich legalisiert hat. Das meine ich mit jüdisch-nazistisch. Es gibt jüdische Nazis. Ich sehe eine Tatsache. Wenn ich meine Stimme erhebe, dann deshalb, weil die Leute es immer noch nicht wissen.“ Er sagte, wenn „das Gesetz... die Anwendung von Folter zulässt, um Geständnisse aus Gefangenen herauszuholen, dann zeugt dies von einer Nazi-Mentalität“.<ref>David Hoffman: [https://www.washingtonpost.com/archive/politics/1993/01/25/maverick-israeli-professor-gives-up-state-prize-amid-flap/f0890de2-e571-454d-b1e5-a835932e060e/ ''Maverick Israeli Professor gives up state prize amid flap''], 25. Januar 1993, abgerufen am 19. Dezember 2023.</ref>

Leibowitz hielt der israelischen Gesellschaft immer wieder das Zitat von [[Franz Grillparzer|Grillparzer]] „Es führt ein Weg von der Humanität durch die Nationalität in die Bestialität“ vor. „Diesen Weg ist das deutsche Volk in diesem Jahrhundert tatsächlich bis zu Ende gegangen, und eben diesen Weg haben wir 1967 betreten.“<ref>Tsafrir Cohen: [https://taz.de/Ein-grosser-Provokateur/!1547499/ Ein großer Provokateur - Jeshayahu Leibowitz, der wichtigste Philosoph und Kritiker Israels, ist tot], 19. August 1994</ref>

In einem 1968 in der israelischen Tageszeitung ''[[Jedi’ot Acharonot]]'' erschienenen Aufsatz mit dem Titel ''The Territories'' schrieb er:
{{Zitat
|Text=Die Araber verwandeln sich in die Arbeiterklasse, und die Juden zu Administratoren, Inspektoren, Verwaltern und Polizisten – vor allem aber zu Geheimpolizisten. Ein Staat, der eine unfreundlich gesinnte, eineinhalb bis zwei Millionen fremde Menschen zählende Bevölkerung beherrscht, wird zwangsläufig zu einem [[Polizeistaat|Staat, der von einer Geheimpolizei beherrscht wird]] – mit all seinen Implikationen für die Bildung, die Redefreiheit und die Demokratie. Die korrumpierenden Kräfte jedes [[Kolonialmacht|Kolonialregimes]] werden sich auch im israelischen Staat zeigen. Die Verwaltung wird mit der einen Hand den arabischen Aufstand unterdrücken, und mit der anderen sich arabischer [[Quisling]]e annehmen. Es bestehen auch gute Gründe für die Befürchtung, dass die [[Israelische Verteidigungsstreitkräfte|Israelischen Verteidigungsstreitkräfte]], die bis jetzt eine Volksarmee waren, als Resultat dieser Entwicklung sich in eine Besatzungsarmee verwandeln, degenieren, ihre Offiziere zu militärischen Verwaltern mutieren und sodann ihren Kollegen in anderen Nationen ähneln.
|ref=<ref name="Leibowitz1995" /><ref>{{Internetquelle |url=http://www.rosalux.org.il/50-jahre-israelischer-widerstand-zur-besatzung/ |titel=52 Jahre Besatzung – 52 Jahre Widerstand |werk=Rosa-Luxemburg-Stiftung Israel Office |zugriff=2019-10-15}}</ref>}}

Trotz seiner [[Subversion|subversiven]] Äußerungen wurde er noch ein Jahr vor seinem Tod von der Armee gebeten, Vorträge vor den Truppen zu halten.<ref>[https://www.latimes.com/archives/la-xpm-1994-08-19-mn-28803-story.html Yeshayahu Leibowitz; Iconoclastic Israeli Philosopher], LA Times, 19. August 1994</ref>

== Ehrungen ==
Nach langjährigen Diskussionen entschied die Stadt [[Herzlia]] 2011, eine Straße nach Jeschajahu Leibowitz zu benennen. Es war dies das erste Mal, dass ihn eine israelische Stadt auf diese Weise ehrte.

2014 wurde eine Straße in Jerusalem nach ihm benannt.<ref>Newsletter der [[Israelische Botschaft in Berlin|Botschaft des Staates Israel]] vom 18. August 2014</ref>

== Schriften (Auswahl) ==
* ''Vorträge über die Sprüche der Väter. Auf den Spuren des Maimonides''. Context-Verlag, Obertshausen 1984; 2. Auflage 1999, ISBN 3-924072-03-5.
* Michael Shashar (Hrsg.): ''Jeshajahu Leibowitz. Gespräche über Gott und die Welt.'' insel taschenbuch Nr. it 1568, Frankfurt 1990, ISBN 3-458-33268-5.

== Literatur ==
* [[Matthias Morgenstern]]: Artikel ''Jeschajahu Leibowitz.'' In: ''Metzler Lexikon jüdischer Philosophen.'' ''Philosophisches Denken des Judentums von der Antike bis zur Gegenwart.'' Hrsg. von [[Andreas Kilcher|Andreas B. Kilcher]] und Otfried Fraisse unter Mitarbeit von Yossef Schwartz. Stuttgart 2003, S. 403–407.
* ''Jüdisch-orthodoxe Wege zur Bibelkritik. I. Schriftauslegung der mündlichen Tora: Vom Drasch zum Pschat''. In: ''Judaica. Beiträge zum Verstehen des Judentums'', 56, 2000, S. 178–192 (zu Leibowitz: S. 188–192).
* ''Leibowitz, Yesha'yahu'', in: [[Yaacov Shimoni]]: ''Biographical dictionary of the Middle East''. New York: Facts on File, 1991, S. 147
* [https://mimeo.dubnow.de/torah-true-zionism/ <nowiki>Davide Bizzini, Torah-True Loyal Zionism. Yeshayahu Leibowitz on Religion and Nationalism, in: Mimeo [Weblog], 1. Juni 2023.</nowiki>]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Yeshayahu Leibowitz|Jeschajahu Leibowitz}}
* {{DNB-Portal|119048701}}
* [https://www.hagalil.com/israel/leibowitz/leibowitz.htm Weiterführende Informationen] auf [[haGalil]].com
* {{Internetquelle |url=http://www.hagalil.com/archiv/2004/09/leibowitz.htm |autor=[[Uri Avnery]] |hrsg=[[Haaretz]]|titel=Wie ein einsamer Komet am Himmel: Yeshayahu Leibowitz zur Erinnerung |werk=hagalil.com |datum=2004-09-15 |zugriff=2017-02-23}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/leibowitz-yeshayahu/|Yeshayahu Leibowitz|Daniel Rynhold}}

== Fußnoten ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=119048701|LCCN=n/83/27393|VIAF=91457475}}

{{SORTIERUNG:Leibowitz, Jeschajahu}}
[[Kategorie:Philosoph (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Religionsphilosoph]]
[[Kategorie:Person (Judentum)]]
[[Kategorie:Person (Riga)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Hebräische Universität Jerusalem)]]
[[Kategorie:Literatur (Hebräisch)]]
[[Kategorie:Publizist]]
[[Kategorie:Journalist (Israel)]]
[[Kategorie:Chefredakteur]]
[[Kategorie:Essay]]
[[Kategorie:Biochemiker]]
[[Kategorie:Russischer Emigrant]]
[[Kategorie:Emigrant aus dem Deutschen Reich zur Zeit des Nationalsozialismus]]
[[Kategorie:Emigrant in Palästina zur Mandatszeit]]
[[Kategorie:Russe]]
[[Kategorie:Israeli]]
[[Kategorie:Geboren 1903]]
[[Kategorie:Gestorben 1994]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Leibowitz, Jeschajahu
|ALTERNATIVNAMEN=Leibowitz, Yeshayahu; ישעיהו ליבוביץ (hebräisch)
|KURZBESCHREIBUNG=israelischer Religionsphilosoph und Biochemiker
|GEBURTSDATUM=29. Januar 1903
|GEBURTSORT=[[Riga]]
|STERBEDATUM=18. August 1994
|STERBEORT=[[Jerusalem]]
}}

Verdichtete Menge

2023-11-08T14:50:12Z

Pascal.vollmer.fr: anstelle von Objekt a, Objekt b zu verwenden. Aber: anstatt a zu tun, b zu tun.

Eine '''verdichtete Menge''' ist in der [[Verdichtete Mathematik|verdichteten Mathematik]] ({{enS|condensed mathematics}}, deutsch auch ‚kondensierte Mathematik‘ genannt<ref>Davide Castelvecchi: [https://www.spektrum.de/magazin/forschung-aktuell-umbau-der-mathematik-mit-computerunterstuetzung/1914157 Der Umbau der Mathematik mit Computerunterstützung], in: Spektrum Magazin, Oktober 2021, S. 21–22, online vom 15. September 2021</ref>) eine [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] auf einer [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] von [[Stone-Raum|Stone-Räumen]]. Die Grundidee ist, anstatt eine [[algebraische Struktur]] mit einer [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] zu versehen, sie als verdichtete Menge aufzufassen. So lassen sich "verdichtete" algebraische Strukturen definieren, die bessere kategorielle Eigenschaften besitzen als herkömmliche [[Topologische Algebra|topologische algebraische Strukturen]]. Die Theorie wird seit 2018 von [[Dustin Clausen]] und [[Peter Scholze]] entwickelt. Unabhängig und zeitgleich entwickelten [[Clark Barwick]] und [[Peter Haine]] ''pyknotische Mengen''.<ref>Pyknotic objects, I: Def. 2.1.3</ref>

== Definition ==
=== Vereinfachte Definition ===
Der ''proétale Situs eines Punktes'' <math>*_{\mathrm{proet}}</math> ist die Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen und der [[Grothendieck-Topologie|Grothendieck-(Prä)Topologie]], die durch endliche und gemeinsam surjektive Familien stetiger Abbildungen gegeben ist. Eine ''verdichtete Menge'' ist eine Garbe von Mengen auf <math>*_{\mathrm{proet}}</math>.<ref>Lectures on Condensed Mathematics: Def. 1.2</ref>

Da <math>*_{\mathrm{proet}}</math> keine [[kleine Kategorie]] ist, birgt diese Definition mengentheoretische Probleme.<ref>Lectures on Condensed Mathematics: Rem. 1.3</ref> Wir geben die richtige Definition im nächsten Abschnitt.

=== Vollständige Definition ===
Für jede [[Überabzählbar|überabzählbare]] [[starke Limes-Kardinalzahl]] <math>\kappa</math> sei <math>*_{\kappa\text{-}\mathrm{proet}}</math> die Kategorie von Stone-Räumen von [[Mächtigkeit_(Mathematik)|Mächtigkeit]] <math><\kappa</math>. Die Grothendieck-Topologie ist wieder durch endliche und gemeinsam surjektive Familien stetiger Abbildungen gegeben. Eine ''<math>\kappa</math>-verdichtete Menge'' ist eine Garbe von Mengen auf <math>*_{\kappa\text{-}\mathrm{proet}}</math>. Wir bezeichnen die Kategorie der <math>\kappa</math>-verdichteten Mengen mit <math>\mathsf{Cond}_{\kappa}(\mathrm{Set})</math>.

Ist <math>\kappa' > \kappa</math> eine weitere starke Limes-Kardinalzahl, so ist durch Einschränken von Garben ein Funktor <math>\mathsf{Cond}_{\kappa'}(\mathrm{Set}) \to \mathsf{Cond}_{\kappa}(\mathrm{Set})</math> definiert. Dieser besitzt einen [[volltreuer Funktor|volltreuen]] [[Adjunktion (Kategorientheorie)|linksadjungierten]] <math>i_{\kappa,\kappa'} : \mathsf{Cond}_{\kappa}(\mathrm{Set}) \to \mathsf{Cond}_{\kappa'}(\mathrm{Set})</math>.<ref>Lectures on Condensed Mathematics: Prop. 2.9</ref>

Die Kategorie ''verdichteter Mengen'' ist nun als [[Kolimes]] <math>\mathsf{Cond}(\mathrm{Set}) := \mathrm{colim}_{\kappa} \mathsf{Cond}_{\kappa}(\mathrm{Set})</math> entlang <math>i_{\kappa,\kappa'}</math> definiert, wobei <math>\kappa</math> alle überabzählbaren starken Limes-Kardinalzahlen durchläuft.<ref>Lectures on Condensed Mathematics: Def. 2.11</ref> Bei diesem Kolimes handelt es sich effektiv um eine Vereinigung, die durch eine [[echte Klasse]] indiziert ist. Das ist unproblematisch, weil die Übergangsfunktoren volltreu sind und die Klasse der starken Limes-Kardinalzahlen [[total geordnete Menge|total geordnet]] ist.

=== Als Funktor auf extremal unzusammenhängenden Stone-Räumen ===
Einschränkung auf die Kategorie <math>\mathrm{Ex}_{\kappa}</math> [[Extremal unzusammenhängender Raum|extremal unzusammenhängender]] Stone-Räume von Mächtigkeit <math><\kappa</math> definiert eine Kategorienäquivalenz zwischen <math>\mathsf{Cond}_{\kappa}(\mathrm{Set})</math> und der Kategorie der Funktoren <math>F : \mathrm{Ex}_{\kappa}^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Set}</math> mit folgenden Eigenschaften:
* <math>F(\emptyset)</math> ist eine einelementige Menge.
* Für zwei Stone-Räume <math>S_1</math> und <math>S_2</math> ist die natürliche Abbildung <math>F(S_1 \sqcup S_2) \to F(S_1) \times F(S_2)</math> bijektiv.

== Topologische Räume als verdichtete Mengen ==
Eine verdichtete Menge sollte als alternative Definition von [[topologischer Raum|topologischem Raum]] betrachtet werden. Ist <math>X</math> ein beliebiger topologischer Raum, so ist durch <math>\underline X(S) := \mathcal C(S,X)</math> eine verdichtete Menge definiert. Das definiert einen Funktor <math>\mathrm{Top} \to \mathsf{Cond}_{\kappa}(\mathrm{Set})</math>, der beispielsweise auf der Kategorie [[sequentieller Raum|sequentieller Räume]] volltreu ist.

== Kategorielle Eigenschaften ==
Die Kategorie verdichteter Mengen erfüllt die [[Topos_(Mathematik)#Grothendieck-Topos|Axiome von Giraud]] mit einer einzigen Ausnahme: Sie hat keine kleine erzeugende Menge. Sie ist in diesem Sinne "fast" ein [[Topos_(Mathematik)#Grothendieck-Topos|Grothendieck-Topos]].

Wie in jedem Grothendieck-Topos sind ''quasikompakte'' und ''quasiseparierte'' Objekte definiert. Sie können wie folgt charakterisiert werden:
* Eine verdichtete Menge <math>X</math> ist genau dann quasikompakt, wenn es einen Stone-Raum und einen surjektiven Morphismus <math>S \to X</math> gibt.
* <math>X</math> ist genau dann quasisepariert, wenn für je zwei Stone-Räume <math>S_1,S_2</math> und Morphismen <math>S_1,S_2 \to X</math> das [[Faserprodukt]] <math>S_1 \times_X S_2</math> quasikompakt ist.<ref>Lectures on Analytic Geometry: §1</ref>

== Literatur ==
* Dustin Clausen, Peter Scholze: [http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf Lectures on Condensed Mathematics], Uni Bonn, Mai 2019
* Dustin Clausen, Peter Scholze: [https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf Lectures on Analytic Geometry], Uni Bonn
* Clark Barwick, Peter Haine: [https://math.mit.edu/~phaine/files/Pyknotic1.pdf Pyknotic objects, I]
* nLab: [https://ncatlab.org/nlab/show/condensed+set Condensed set]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Verdichtete Mathematik]]
[[Kategorie:Topologische Algebra]]

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2023-11-07T20:50:24Z

Pascal.vollmer.fr:

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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet,
* deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder
* deren Konfigurationsraum eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner,
* bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt.
Zum Beispiel ist
* der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum,
* der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152; Abraham, Marsden, 1978, S. 298; Arnold, 1978>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren.

Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J''' >>> siehe in dem entsprechenden Artikel der de.wikipedia >>>. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
</nowiki>

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2023-11-06T23:49:01Z

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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet,
* deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder
* deren Konfigurationsraum eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner,
* bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt.
Zum Beispiel ist
* der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum,
* der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152; Abraham, Marsden, 1978, S. 298; Arnold, 1978>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren.
Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J''' >>> siehe in dem entsprechenden Artikel der de.wikipedia >>>. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
</nowiki>

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2023-11-06T23:47:10Z

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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet,
* deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder
* deren Konfigurationsraum eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner,
* bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt.
Zum Beispiel ist
* der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum,
* der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152; Abraham, Marsden, 1978, S. 298; Arnold, 1978>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J''' >>> siehe in dem entsprechenden Artikel der de.wikipedia >>>. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
</nowiki>

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2023-11-06T23:23:36Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet,
* deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder
* deren Konfigurationsraum eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner,
* bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt.
Zum Beispiel ist
* der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum,
* der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J''' >>> siehe in dem entsprechenden Artikel der de.wikipedia >>>. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
</nowiki>

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2023-11-06T23:22:03Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet,
* deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder
* deren Konfigurationsraum eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner,
* bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt.
Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J''' >>> siehe in dem entsprechenden Artikel der de.wikipedia >>>. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
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Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2023-11-06T23:19:28Z

Pascal.vollmer.fr:

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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J''' >>> siehe in dem entsprechenden Artikel der de.wikipedia >>>. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
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Graßmann-Algebra

2023-09-16T20:34:00Z

Pascal.vollmer.fr: ein 'n' hatte gefehlt

Die '''Graßmann-Algebra''' oder '''äußere Algebra''' eines Vektorraums <math>V</math> ist eine assoziative, [[schiefsymmetrisch]]-[[Graduierung (Algebra)|graduierte]] Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten [[Tensoralgebra]] von <math>V</math> und wird durch <math>\Lambda V</math> dargestellt. Die Multiplikation wird als '''äußeres Produkt''', '''Keilprodukt''', '''Dachprodukt''' oder '''Wedgeprodukt''' bezeichnet. Ein Spezialfall dieses Produkts ist mit dem [[Kreuzprodukt]] verwandt. Anwendung findet dieser Kalkül nicht nur in der elementaren linearen Algebra (zum Beispiel in der Theorie der [[Determinante]]n), sondern vor allem in der algebraischen Geometrie und der [[Differentialgeometrie]] als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden [[Differentialform]]en auf [[Élie Cartan]] zurück, der damit die bestehenden Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1846 von [[Hermann Graßmann]] betrachtet.

== Definition ==
=== Äußere Potenz ===
Es sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math>. Weiter sei
: <math> T^k(V) = \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}</math>
(mit den Konventionen <math>T^0(V)=K</math> und <math>T^1(V)=V</math>). Der [[Untervektorraum]] <math>J^k(V)\subseteq T^k(V)</math> sei erzeugt durch Elementartensoren, bei denen zwei Faktoren gleich sind:
: <math> J^k(V) := \mathrm{span}\left\{v_1 \otimes \cdots \otimes v_k\Big|\;\exists i, j \in \{1, \dots, k\};\,i \neq j\ \colon v_i=v_j \right\}</math>

Die <math>k</math>-te äußere Potenz ist dann definiert als der [[Faktorraum|Quotientenraum]]
: <math>\,\Lambda^k(V) = T^k(V) / J^k(V)</math>.

=== Äußere Algebra ===
Die direkte Summe
: <math>J(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty J^k(V)</math>
ist ein zweiseitiges, homogenes [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in der [[Tensoralgebra]]
: <math>T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V).</math>

Die äußere Algebra ist die Faktoralgebra
: <math>\,\Lambda (V) := T(V) / J(V).</math>
Als Vektorraum aufgefasst ist dies isomorph zu
: <math>\bigoplus_{k=0}^\infty \Lambda^k(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V) / J^k(V).</math>
Für <math>k>\dim V</math> ist <math>\Lambda^k(V)=\{0\}</math>.

Das Produkt in der äußeren Algebra wird traditionell als <math>a\wedge b</math> geschrieben.

Analog kann man die äußere Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

=== Alternierende Tensoren ===
Neben der oben angeführten Definition der äußeren Algebra gibt es noch weitere äquivalente Möglichkeiten die äußere Algebra zu definieren. Beispielsweise kann man die Elemente der äußeren Algebra als ''alternierende Tensoren'' auffassen. Im Folgenden sei die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] des Körpers <math>K</math> gleich 0.

Auf den homogenen Bestandteilen <math>T^k(V)</math> operiert jeweils die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_k</math>. Ein Tensor <math>t\in T^k(V)</math> heißt alternierend, wenn
: <math>\sigma(t)=\sgn(\sigma)\cdot t</math>
für alle Permutationen <math>\sigma\in S_k</math> gilt (<math>\sgn(\sigma)</math> ist das [[Vorzeichen (Permutation)|Signum]] der Permutation). Der Vektorraum der alternierenden Tensoren der Stufe <math>k</math> sei <math>A^k(V)\subseteq T^k(V)</math>.

Man kann jedem Tensor mit Hilfe der Antisymmetrisierungsabbildung (auch „Alternator“) <math>\operatorname{Alt}_k \colon T^k(V) \rightarrow A^k(V)</math> auf kanonische Weise einen alternierenden Tensor zuordnen. Sie ist definiert durch
: <math> e_1 \otimes \dotsb \otimes e_k \mapsto \frac{1}{k!} \sum_{\sigma\in S_k} \sgn(\sigma)(e_{\sigma(1)} \otimes \dotsb \otimes e_{\sigma(k)}).</math>
Sie ist eine [[Projektion (Lineare Algebra)|Projektion]] auf <math>A^k(V)</math>. Dabei sorgt der Faktor <math>1/k!</math> dafür, dass sie die Identitätsabbildung auf <math>A^k(V)</math> ist, also alternierende Tensoren auf sich abbildet.

Mit dem Produkt
: <math>a \wedge b = \frac{(k+l)!}{k!\,l!}\operatorname{Alt}_{k+l}(a \otimes b)</math>
für <math>a\in A^k(V),b\in A^l(V)</math> und bilinearer Fortsetzung entsteht insgesamt im Raum <math>\textstyle A(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty A^k(V)</math> der alternierenden Tensoren eine assoziative, antikommutativ-graduierte Algebra. Die kanonische Abbildung <math>A(V)\to\Lambda(V)</math> ist ein [[Algebrenisomorphismus]].

== Eigenschaften ==
In diesem Abschnitt wird auf die wesentlichen Eigenschaften der äußeren Algebra wie ihre [[Graduierung (Algebra)|Graduierung]] und die [[universelle Eigenschaft]] und auf ihr Produkt eingegangen. Vorausgesetzt wird dafür immer, dass <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Vektorraum ist.

=== Äußeres Produkt ===
Das Produkt <math>\wedge</math> der äußeren Algebra ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]]. Außerdem ist es kommutativ-graduiert, das heißt, es gilt
: <math> a \wedge b =(-1)^{k l} b \wedge a </math>
für <math>a\in\Lambda^k(V)</math> und <math>b\in\Lambda^l(V)</math>. Insbesondere ist <math>v\wedge v=0</math> für alle <math>v\in V</math>, aber im Allgemeinen ist <math>a\wedge a\ne0</math> für <math>a\in\Lambda^k(V)</math> mit <math>k</math> gerade.

In der Terminologie der [[Supergeometrie]] verwendet man statt kommutativ-graduiert den äquivalenten Begriff [[Superalgebra|superkommutativ]] und mit Hilfe des [[Superkommutators]] <math>[{\cdot},{\cdot}]</math> lässt sich die Bedingung der Superkommutativität ausdrücken als
: <math> [a,b]=0 </math>
für <math>a\in\Lambda^k(V)</math> und <math>b\in\Lambda^l(V)</math>.

Ist <math>f</math> eine <math>p</math>-[[Multilinearform#Alternierende Multilinearformen|Form]] und <math>g</math> eine <math>q</math>-Form, so lautet die explizite Formel für das äußere Produkt von <math>f</math> und <math>g</math> für beliebige endlichdimensionale Vektorräume (und für unendlichdimensionale Banachräume):
: <math>(f \wedge g)(v_1, \ldots, v_p, v_{p+1}, \ldots, v_{p+q}) = \frac{1}{p!q!} \sum_{\sigma \in \operatorname {Sym}_{p+q}} \sgn(\sigma) f(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(p)}) g(v_{\sigma(p+1)}, \ldots, v_{\sigma(p+q)})</math>,
wobei <math>\operatorname {Sym}_{p+q}</math> die [[symmetrische Gruppe]] der Ordnung <math>p+q</math> und <math>\sgn(\sigma)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] der Permutation <math>\sigma</math> darstellen sollen.

=== Graduierung, Basis und Dimension ===
Die äußere Algebra
: <math>\Lambda (V)=\bigoplus_{m=0}^n \Lambda^m (V)</math>
ist eine [[graduierte Algebra]]. Das heißt, sie kann als [[direkte Summe]] von [[Untervektorraum|Untervektorräumen]], welche durch eine [[abelsche Gruppe]] indiziert werden, dargestellt werden, sodass das Algebraprodukt mit dieser Zerlegung verträglich ist. Für die äußere Algebra folgt dies direkt aus deren Definition: für die Untervektorräume der äußeren Potenzen <math>\Lambda^m (V)</math> gilt <math>\Lambda^m (V) \wedge \Lambda^n (V) = \Lambda^{m+n} (V) </math>.

Sei nun <math>e_1, \dotsc, e_n</math> eine Basis des <math>n</math>-dimensionalen Vektorraums <math>V</math>. Dann ist
: <math>
\{\,e_{i_1} \wedge \dotsb \wedge e_{i_k} \,|\, i_1 < \dotsb < i_k\,\}
</math>
eine Basis von <math>\Lambda^k(V)</math>. Die Dimension ist <math>\dim(\Lambda^k(V)) = \tbinom{n}{k}</math>. Insbesondere ist <math>\dim(\Lambda^k(V))=0</math>, falls <math>k>n</math>.

Die Basis der äußeren Algebra erhält man dann durch Vereinigung der Basen aller Grade. Für die Dimension <math>n</math> gilt dann
: <math>
\dim(\Lambda(V)) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n,
</math>
wobei <math>\tbinom{n}{i}</math> den [[Binomialkoeffizient]]en bezeichnet. Es folgt, dass sich jedes Element der Graßmann-Algebra darstellen lässt als
: <math>
\sum_{I\subseteq\{1,\dotsc,n\}} f_I\,e_I,
</math>
wobei die <math>2^n</math> Koeffizienten <math>f_I</math> das Element bezüglich einer Basis <math>e_1,\dotsc,e_n</math> charakterisieren und <math>e_I:=e_{m_1}\wedge\dotsb\wedge e_{m_k}</math> mit <math>I=\{m_1,\dotsc,m_k\};\,i<j\,\Rightarrow\,m_i<m_j</math> ist.

Als Beispiel kann man den Vektorraum <math>\mathbb{R}^4</math> mit der [[Standardbasis|kanonischen Basis]] wählen. Der 3. Grad der äußeren Algebra <math>\Lambda(\mathbb{R}^4)</math> wird aufgespannt durch:
: <math>\Lambda^3(\R^4) = \operatorname{span}(\{ (e_1 \wedge e_2 \wedge e_3), (e_1 \wedge e_2 \wedge e_4), (e_1 \wedge e_3 \wedge e_4), (e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)\}) </math>
Durch Abzählen sieht man, dass <math>\dim(\Lambda^3(\mathbb{R}^4)) = 4</math> ist.

=== Universelle Eigenschaft ===
Ist <math>V</math> ein Vektorraum (bzw. Modul) und <math>A</math> eine [[assoziative Algebra]], so gibt es eine Bijektion zwischen
* den Homomorphismen von Vektorräumen (bzw. Moduln) <math>f\colon V\to A</math>, so dass <math>f(v)^2=0</math> für alle <math>v\in V</math> gilt
und
* den Algebrenhomomorphismen <math>\Lambda(V) \to A</math>.

== Skalarprodukt ==
Hat der Vektorraum <math>V</math> ein Skalarprodukt, so kann auch die äußere Algebra mit einem solchen ausgestattet werden. Dabei werden Unterräume verschiedenen Grades als [[orthogonal]] definiert. Innerhalb eines Unterraums genügt es, das Skalarprodukt auf reinen Produkten zu definieren. Seien <math>a_1\wedge\dots\wedge a_m</math> und <math>b_1\wedge\dots\wedge b_m</math> reine Produkte in <math>\Lambda^m V</math>. Ihnen kann die [[Gramsche Matrix]] der Skalarprodukte zugeordnet werden. Dann kann das Skalarprodukt als Determinante der Gramschen Matrix definiert werden:
: <math>\langle a_1\wedge\dots\wedge a_m,\,b_1\wedge\dots\wedge b_m\rangle :=\det\begin{pmatrix}\langle a_1,b_1\rangle&\dots&\langle a_1,b_m\rangle\\ \vdots&&\vdots\\ \langle a_m,b_1\rangle&\dots&\langle a_m,b_m\rangle\end{pmatrix}</math>

Ist <math>V</math> der <math>n</math>-dimensionale Spaltenvektorraum, so kann zu <math>a_1\wedge\dots\wedge a_m</math> die Matrix <math>A=(a_1,\dots,a_m)</math> definiert werden. Von dieser kann man die maximalen quadratischen [[Untermatrix|Untermatrizen]] <math>A_\alpha</math> betrachten. Dabei ist <math>\alpha</math> ein Multiindex aus
: <math>I_m:=\{\alpha\in\mathbb N^m:\;1\le\alpha(1)<\dots<\alpha(m)\le n\}</math>
und <math>A_\alpha</math> besteht aus genau diesen Zeilen von <math>A</math>.

Es gilt folgende Identität nach dem [[Satz von Binet-Cauchy]], im Falle <math>m=2</math> und <math>A=B</math> auch „Flächenpythagoras“ genannt:
: <math>\det(\;(\langle a_i,b_k\rangle)\;)=\det(A^tB)=\sum_{\alpha\in I_m} \det A_\alpha\cdot\det B_\alpha</math>

== Differentialformen ==
{{Hauptartikel|Differentialform}}

Das Hauptanwendungsgebiet der äußeren Algebra liegt in der Differentialgeometrie. Sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]. So wählt man den [[Kotangentialraum]] dieser Mannigfaltigkeit als zugrundeliegenden Vektorraum und bildet die äußere Algebra. Eine Differentialform ist ein [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] im [[Vektorbündel|Bündel]] dieser Vektorräume, also eine Abbildung, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Element der äußeren Algebra über dem Kotangentialraum an diesem Punkt zuordnet. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe [[Atlas (Mathematik)|kartenunabhängig]] auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.

== Hodge-Operator ==
{{Hauptartikel|Hodge-Stern-Operator}}

Sei <math>V</math> (wie oben) ein Vektorraum und <math>\Lambda^n V</math> die äußere Algebra von <math>V</math>. Weiterhin sei <math>V</math>[[Orientierung (Mathematik)|orientiert]] und mit einem Skalarprodukt versehen. Der ''Hodge-Operator'' oder ''Hodge-Stern-Operator'' ist ein natürlicher Isomorphismus <math>*:\Lambda^k V \rightarrow \Lambda^{n-k} V</math>. Der Hodge-Operator ordnet also jedem <math>\omega\in\Lambda^k V</math> auf eindeutige Weise ein <math>*\omega\in\Lambda^{n-k} V</math> zu, das sog. „duale Element“ zu <math>\omega</math>. Ist <math>(e_1,\dots,e_n)</math> eine [[Orientierung (Mathematik)|orientierte Basis]] von <math>V</math>, so ist <math>*\omega</math> eindeutig durch die Formel
: <math>\forall\eta\in\Lambda^k V:\;\eta\wedge *\omega=\langle\eta,\omega\rangle\cdot e_1\wedge\dots\wedge e_n,</math>

festgelegt. Zum Beispiel gilt, falls <math>(e_1,\dots,e_n)</math> zusätzlich eine Orthonormalbasis ist,

<math>*(e_1\wedge\dots\wedge e_k) = e_{k+1}\wedge\dots\wedge e_n</math>

für <math>k=0,\dots,n</math> (wobei das leere Produkt, für <math>k=0
</math> oder <math>k=n</math>, als 1 zu interpretieren ist). Der Hodge-Operator kann also als algebraische Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs des orthogonalen Komplements von Unterräumen von <math>V</math> aufgefasst werden.

=== Beziehung zum Kreuzprodukt und Spatprodukt (Hodge-Dualität von Vektoren) und Begriffen der Physik ===
Sei <math>\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3</math> die kanonische Basis des <math>\mathbb{R}^3</math> und <math>\alpha = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + a_3 \mathbf e_3, \beta= b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + b_3 \mathbf e_3 \in \Lambda^1(\mathbb{R}^3)</math> seien zwei Elemente aus der äußeren Algebra (bzw. äußeren Potenz) des reellen Vektorraumes. Mit <math>*</math> wird der Hodge-Operator bezüglich des Standard- (euklidischen) Skalarprodukts und der Standardorientierung bezeichnet. Für das äußere Produkt von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> gilt mithilfe des Distributivgesetzes
: <math>\begin{array}{rl}
*(\alpha \wedge \beta)
=& *((a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + a_3 \mathbf e_3) \wedge (b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + b_3 \mathbf e_3))\\[0.5em]
=& *((a_2\mathbf e_2\wedge b_1\mathbf e_1) + (a_3\mathbf e_3 \wedge b_1\mathbf e_1) + (a_1\mathbf e_1 \wedge b_2\mathbf e_2) \\
&+ (a_3\mathbf e_3 \wedge b_2 \mathbf e_2) + (a_1\mathbf e_1 \wedge b_3\mathbf e_3) + (a_2\mathbf e_2 \wedge b_3\mathbf e_3))\\[0.5em]
=& *((a_1b_2-a_2b_1)(\mathbf e_1\wedge \mathbf e_2) + (a_2b_3-a_3b_2) (\mathbf e_2\wedge \mathbf e_3) + (a_3b_1-a_1b_3) (\mathbf e_3\wedge \mathbf e_1))\,.
\end{array}</math>

Der Hodge-Operator ordnet im dreidimensionalen Raum dem Produkt der Basisvektoren <math>\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2</math> den Vektor <math>\mathbf e_3</math> zu. Durch [[Zyklische Permutation|zyklisches Vertauschen]] der Indizes ergeben sich die Zuordnungen der anderen Basisvektoren. Damit ergibt sich das [[Kreuzprodukt]] im dreidimensionalen reellen Raum. Also kann man <math>*(\alpha \wedge \beta)</math> auf der äußeren Algebra als Verallgemeinerung des Kreuzproduktes verstehen. Mit Hilfe dieser Verallgemeinerung lässt sich ebenfalls der aus der Vektoranalysis bekannte [[Differentialoperator]] [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] <math>\operatorname{rot}</math> auf den <math>n</math>-dimensionalen Fall verallgemeinern.

Das [[Spatprodukt]] dreier <math>a,b,c</math> Vektoren im <math>\R^3</math> lässt sich entsprechend als Element <math>a\wedge b\wedge c</math> der dritten äußeren Potenz auffassen. Man beachte, dass der Hodge-Stern-Operator nur bezüglich eines [[Skalarprodukt]]s und einer Orientierung definiert ist. Das äußere Produkt dagegen lässt sich unabhängig von einer solchen Wahl definieren.

Der klassischen Physik entstammende Größen, die in der Physik [[Pseudovektor]]en genannt werden, wie zum Beispiel eine [[magnetische Feldstärke]] oder ein [[Drehimpuls]], lassen sich als Elemente von <math>\Lambda^2(\R^3)</math> auffassen. Mit einem [[Pseudoskalar]] ist in vielen Fällen eine Größe gemeint, die sich als Element von <math>\Lambda^3(\R^3)</math> verstehen lässt.

=== Beziehung zur Determinanten-Theorie; Ausdehnungsmaß von ''m''-Vektoren ===
Noch einfacher ist der mit dem Hodge-Operator einhergehende Begriff der Dualität bei Skalaren: Diese sind dual zur Determinante einer <math>n\times n</math>-Matrix.<ref>In der Physik wird in diesem Zusammenhang von ''pseudoskalaren'' Größen gesprochen.</ref> Im Einzelnen:

Es sollen die gleichen Voraussetzungen wie im vorigen Abschnitt gelten; nur sei jetzt <math>m \ge 3</math> zugelassen, und es sei <math>n\ge m\,.</math> Wenn nunmehr, für <math>1\le i_\nu \le n\,,</math> ein <math>m</math>-Bein der Form <math>\textstyle \gamma :=\sum_{\,i_1 < i_2 < \ldots <i_m}\,(a^{(1)}_{i_1} a^{(2)}_{i_2} \ldots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}\,\mathbf e_{i1}\wedge\mathbf e_{i_2}\wedge \ldots\wedge\mathbf e_{i_m}</math> gegeben ist (also eine Summe von <math>\textstyle \binom{n}{m}</math> elementaren <math>m</math>-Beinen<ref><math>p=m</math> und <math>p=n-m</math> ergeben also duale <math>p</math>-Beine.</ref>), dann ergibt wie oben das antisymmetrisierte<ref>In der Antisymmetrisierung der angegebenen Produkte liegt keine Beschränkung der Allgemeinheit, weil Zusatzterme sich automatisch zu Null aufsummieren würden.</ref> Produkt <math> (a^{(1)}_{i_1}a^{(2)}_{i_2}\ldots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}</math>, bis auf ein alternierendes Vorzeichen, das von der jeweiligen Orientierung abhängt („Rechtshändigkeit“ versus „Linkshändigkeit“), das Hyperflächenmaß des <math>m</math>-Beins dual zur jeweiligen „Basisrichtung“, also dessen <math>m</math>-dimensionales „Volumen“ im <math>\mathbb R^n</math> bzw. <math>\mathbb C^n\,.</math> Zugleich stellt dieser Ausdruck eine Unterdeterminante einer Matrix mit <math>m</math> Spalten und <math>n</math> Zeilen dar. Man erhält so auf elementare Weise, nämlich wegen der Multilinearität und Multi-Assoziativität des angegebenen Ausdrucks, die bekannten Determinanten-Entwicklungsätze. Insbesondere ist das so erzeugte Volumenmaß (=Grundflächenmaß mal Höhe) des jeweiligen Parallel-Epipeds invariant gegen Verschiebungen parallel zur Grundfläche<ref>Das sind sog. „Scherungen“, z. B. Transformationen <math>a_n\to a_n +\lambda a_i\,,</math> mit <math>i\le (n-1)\,.</math></ref>, weil Determinanten von linear abhängigen Vektoren verschwinden.<ref>Präzise gilt für das Ausdehnungsmaß des <math>m</math>-Beins <math>\gamma</math> :
<math> V(\gamma )=\sqrt{\sum_{i_1 < \ldots < i_m} |(a^{(1)}_{i_1}\dots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}|^2}</math>. Das ist erneut ein „verallgemeinerter [[Satz von Pythagoras]].“</ref>

== Beziehung zur Clifford-Algebra ==
Sei <math>q \colon V\times V\to K</math> eine [[symmetrische Bilinearform]] auf <math>V</math>.

Nun sei die zweistellige, bilineare Verknüpfung
: <math>\circ:\Lambda(V)\times\Lambda(V)\to\Lambda(V)</math>

definiert durch
: <math> \begin{align}
&(v_1\wedge\cdots\wedge v_i)\circ(w_1\wedge\cdots\wedge w_j)\\
=&v_1\wedge\cdots\wedge v_i\wedge w_1\wedge\cdots\wedge w_j\\
+ &\sum_{k=1}^{\min\{i,j\}}\sum_{\overset{1\leq m_1<\cdots<m_k\leq i}{1\leq n_1<\cdots<n_k\leq j}}\;\sum_{\sigma\in P_k}(-1)^{ik+\sum_{\nu=1}^k(m_{\nu}+n_{\nu})}\;\mathrm{sign}\,\sigma\left(\prod_{\nu=1}^kq(v_{m_{\sigma(\nu)}},w_{n_{\nu}})\right)\\
\cdot &v_1\wedge\cdots\wedge \hat v_{m_1}\wedge\cdots\wedge \hat v_{m_2}\wedge\cdots\wedge v_i\wedge w_1\wedge\cdots\wedge \hat w_{n_1}\wedge\cdots\wedge w_j
\end{align}</math>

für <math> v_m,w_n\in V</math>. Die Hüte über den Faktoren bedeuten hier deren Auslassung im Produkt. Durch Einführen dieser neuen Verknüpfung als Multiplikation erhält man die [[Clifford-Algebra]] <math>\mathrm{Cl}(V,q)</math>. Insbesondere erhält man mit der Nullbilinearform wieder die Graßmann-Algebra: <math>\mathrm{Cl}(V,0)=\Lambda(V)</math>, da der Zusatzterm in der obigen Gleichung wegfällt und somit <math>\circ=\wedge</math> gilt.

Für einfache <math> v,w \in V</math> meint obige Definition die elementare Beziehung
: <math>v\circ w:=v\wedge w + v \cdot w</math>,
wonach das "geometrische"<ref>D. Hestenes: ''A Unified Language for Mathematics and Physics''. In: J.S.R. Chisholm/A.K. Common (eds.): ''Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics'' (Reidel: Dordrecht/Boston, 1986), S. 1–23.</ref> Produkt <math>\circ</math> zweier Vektoren in einen antisymmetrischen Keilprodukt- und einen symmetrischen Skalarproduktanteil <math>v \cdot w := - q(v,w)</math> zerlegt werden kann. Die Summe ist hier in der Graßmannalgebra definiert, wobei das Vorzeichen eine Frage der Konvention ist.

== Siehe auch ==
* [[Symmetrische Algebra]]

== Literatur ==
* {{BibISBN|3-11-017963-6}}
* {{BibISBN|0-201-10168-8}}
* {{BibISBN|3-540-60656-4}}
* {{cite book
| last = Shafarevich
| first = I. R.
| authorlink = Igor Shafarevich
| coauthors = A. O. Remizov
| title = Linear Algebra and Geometry
| publisher = Springer
| year = 2012
| isbn = 978-3-642-30993-9}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |url=https://mathworld.wolfram.com/ExteriorAlgebra.html |titel=Exterior Algebra |werk=[[MathWorld]]
|sprache=en |abruf=2023-01-12 |abruf-verborgen=1}}
* {{Webarchive |url=http://planetmath.org/encyclopedia/GrassmannAlgebra.html |text=Exterior Algebra |wayback=20081017021025}} [[PlanetMath]] (englisch).

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:GrassmannAlgebra}}
[[Kategorie:Algebra]]

Runder Tisch Heimerziehung in den 50er und 60er Jahren

2023-05-16T13:06:28Z

Pascal.vollmer.fr: Tippfehler beseitigt

Der '''Runde Tisch [[Heimerziehung]] in den 1950er und 1960er Jahren''' (Abkürzung ''RTH'') wurde von der [[Bundesregierung (Deutschland)|deutschen Bundesregierung]] mit Beschluss<ref>[https://www.fonds-heimerziehung.de/fileadmin/de.fonds-heimerziehung/content.de/dokumente/Empfehlung_Petitionsausschuss.pdf Beschluss]</ref> vom 26. November 2008 des [[Deutscher Bundestag|Deutschen Bundestages]] eingerichtet.

== Einrichtung und Mitglieder ==
2004 gründet sich der [[Verein ehemaliger Heimkinder]] in Deutschland und wendet sich an den Petitionsausschuss<ref>Deutscher Bundestag. Beschlussempfehlung des Petitionsausschusses. [http://dipbt.bundestag.de/doc/btd/16/111/1611102.pdf Bundestags-Drucksache 16/11102] vom 27. November 2008 (abgerufen am 1. Mai 2019).</ref> des [[Deutscher Bundestag|Deutschen Bundestags]].<ref>{{Internetquelle |autor=Detlef Grumbach |url=http://www.deutschlandfunk.de/wenn-du-nicht-spurst-kommst-du-ins-heim.724.de.html?dram:article_id=99358 |titel=Wenn du nicht spurst, kommst du ins Heim! Späte Hilfe für westdeutsche Heimkinder |werk=Deutschlandfunk |datum=2009-01-22 |abruf=2019-01-25}}</ref> Der RTH konstituierte sich am 17. Februar 2009 unter dem Vorsitz von [[Präsident des Deutschen Bundestages#Stellvertreter|Bundestagsvizepräsidentin]] a. D. [[Antje Vollmer]]. Er beschäftigte sich ausführlich mit der Situation der Kinder und Jugendlichen, die in ihrer Kindheit oder Jugend in einem Heim untergebracht waren. Mit der Überreichung seiner im Konsens beschlossenen Empfehlungen an den Bundespräsidenten am 19. Januar 2011 schloss er seine Arbeit ab.

Mitglieder des Runden Tisches waren neben Vertretern ehemaliger Heimkinder, Vertreter des Bundestages und der Bundesregierung, der (alten) Bundesländer, der Jugendämter und der Jugendgerichtshilfe, der katholischen und evangelischen Kirche, der Wohlfahrtsverbände und Träger Erziehungshilfe, des Deutschen Vereins für öffentliche und private Fürsorge, des Deutschen Instituts für Jugendhilfe und Familienrecht, sowie Vertreter der Wissenschaft.

== Gegenstand des Runden Tisch Heimerziehung (RTH) ==
Der RTH wurde angestoßen durch neun Petitionen der Betroffenen und weiterer Unterstützer und einer anschließenden [[Petitionsausschuss]]-Empfehlung. Der RTH entstand als ein privatrechtlich und politisch beteiligter [[Hoheitsakt]]. Er konnte am 17. Februar 2009 in einem Unterordnungsverhältnis vom Bundestag (Subordinationsverhältnis) unter der Schirmherrschaft vom [[Norbert Lammert]] (Bundestagspräsident) seine Arbeit aufnehmen.<ref name="Runder Tisch Heimerziehung">{{Internetquelle |url=https://www.fonds-heimerziehung.de/geschichte-der-fonds/runder-tisch-heimerziehung.html |titel=Runder Tisch "Heimerziehung in den 50er und 60er Jahren" |werk=Fonds Heimerziehung |abruf=2020-08-29 |sprache=de }}</ref> Gegenstand waren Problematiken der [[Heimerziehung]] in den zurückliegenden Jahrzehnten. Thematisiert wurde, dass allein in den 1950er und 1960er Jahren rund 350.000 Kinder und Jugendliche in der [[Fürsorgeerziehung]] und weitere 500.000 in Kinderheimen und Jugendanstalten untergebracht waren, davon überwiegend in kirchlicher Trägerschaft. Viele von ihnen wurden gedemütigt, misshandelt und zur Arbeit gezwungen. Beraten werden sollte über die Möglichkeiten der Rehabilitierung, psychologischer Hilfe und Entschädigung der Opfer.
Heimkinder haben oft schon im frühen Kindesalter und länger andauernd körperliche, sexuelle oder psychische Gewalt erleben müssen, die von Menschen in ihrem nahen persönlichen Umfeld und von Fürsorgepersonen ausging. Derartige traumatische Erfahrungen können zu traumatischen Belastungsreaktionen und [[Posttraumatische Belastungsstörung|posttraumatischen Belastungsstörungen]] führen. Wenn diese lang andauern, können Persönlichkeitsveränderungen auftreten, die sich in verschiedenen sozialen, psychosomatischen und psychiatrischen Auffälligkeiten äußern können.<ref>{{Literatur |Autor=Manfred Kappeler |Titel=Unrecht und Leid – Rehabilitation und Entschädigung? Der Abschlussbericht des Runden Tisches Heimerziehung}}</ref> Extrembelastungen können auch [[Andauernde Persönlichkeitsänderung nach Extrembelastung|andauernde Persönlichkeitsänderungen]] zur Folge haben. Als weitere Erkrankung tritt [[Hospitalismus]] auf.

== Beteiligte ==
Am Gremium beteiligt sind Vertreter von Betroffenen, Trägern, Wohlfahrtsverbänden, Kirchen, Bund und Länder sowie Wissenschaft.
* Vorsitzende des Runden Tischs:
** [[Antje Vollmer]], Vizepräsidentin des Deutschen Bundestages a. D.
* Vertretung ehemaliger Heimkinder:
** Sonja Djurovic
** Eleonore Fleth
** Hans-Siegfried Wiegand

* Vertretung des [[Petitionsausschuss des Deutschen Bundestages|Petitionsausschusses des Deutschen Bundestages]]:
** [[Marlene Rupprecht]], Mitglied des Deutschen Bundestages
* Vertretung des Bundes:
** [[Lutz Stroppe]], Leiter der Abteilung Kinder- und Jugendhilfe im [[Bundesministerium für Familie, Senioren, Frauen und Jugend]];
** Georg Recht, Leiter der Abteilung IV, Sozialversicherung, Rentenversicherung, Sozialgesetzbuch und Soziale Entschädigung im [[Bundesministerium für Arbeit und Soziales]]
* Vertretung der Bundesländer:
** Klaus Schäfer, Abteilungsleiter im [[Ministerium für Generationen, Familie, Frauen und Integration des Landes Nordrhein-Westfalen]],
** Georg Gorrissen, Beauftragter des [[Ministerium für Soziales, Gesundheit, Familie, Jugend und Senioren Schleswig-Holstein|Ministeriums für Soziales, Gesundheit, Familie, Jugend und Senioren Schleswig-Holstein]]
* Vertretung der Bundesarbeitsgemeinschaft der Landesjugendämter:
** Hans Meyer, Landesrat beim [[Landschaftsverband Westfalen-Lippe]] (LWL), Leiter LWL-Landesjugendamt, Schulen, Koordinationsstelle Sucht
* Vertretung der [[Bundesvereinigung der kommunalen Spitzenverbände]]:
** Jörg Freese, [[Deutscher Landkreistag]], Beigeordneter für Jugend, Bildung und Gesundheit
* Vertretung der [[Deutsche Bischofskonferenz|Deutschen Bischofskonferenz]]:
** Johannes Stücker-Brüning, Geschäftsführer der Caritaskommission der Deutschen Bischofskonferenz
* Vertretung der Evangelischen Kirche in Deutschland:
** [[Hans Ulrich Anke]], Vizepräsident im Kirchenamt der Evangelischen Kirche in Deutschland
* Vertretung des [[Deutscher Caritasverband|Deutschen Caritasverbandes]]:
** Mario Junglas, Direktor Berliner Büro des Deutschen Caritasverbandes
* Vertretung des [[Diakonisches Werk|Diakonischen Werkes]] der Evangelischen Kirche in Deutschland:
** Jörg A. Kruttschnitt, Zweiter Vorsitzender des Vorstandes des Diakonischen Werkes der Evangelischen Kirche in Bayern
* Vertretung der Bundesarbeitsgemeinschaft der Freien Wohlfahrtspflege für die nicht-konfessionellen Trägerverbände:
** Norbert Struck, Jugendhilfereferent beim Paritätischen Wohlfahrtsverband – Gesamtverband
* Vertretung des [[AFET – Bundesverband für Erziehungshilfe]]:
** Rainer Kröger, Vorstand Diakonieverbund Schweicheln
* Vertretung des [[Deutscher Verein für öffentliche und private Fürsorge|Deutschen Vereins für öffentliche und private Fürsorge]]:
** Michael Löher, Vorstand Deutscher Verein für öffentliche und private Fürsorge
* Vertretung des Deutschen Institutes für Jugendhilfe und Familienrecht:
** Thomas Mörsberger, Vorsitzender des Deutschen Institutes für Jugendhilfe und Familienrecht
* Vertretung der [[Deutsche Vereinigung für Jugendgerichte und Jugendgerichtshilfen|Deutschen Vereinigung für Jugendgerichte und Jugendgerichtshilfen]]:
** [[Bernd-Rüdeger Sonnen]], Vorsitzender der Deutschen Vereinigung für Jugendgerichte und Jugendgerichtshilfen
* Vertretung der [[Wissenschaft]]:
** [[Christian Schrapper]], Professor für Pädagogik mit Schwerpunkt Sozialpädagogik an der [[Universität Koblenz-Landau]], Campus Koblenz
** [[Peter Schruth]], Professor für Recht in der Sozialen Arbeit an der [[Hochschule Magdeburg-Stendal]]

=== Delegitimation und Marginalisierung der Opfervertreter ===
Der [[Verein ehemaliger Heimkinder]], gegründet am 14. Oktober 2004 in [[Idstein]], entsandte aus seinen Reihen – unter Vorbehalt einer späteren Wahl und demokratischen Legitimation – drei Mitglieder in das insgesamt 22-köpfigen Gremium, unter ihnen der Vorsitzende. Den drei Mitgliedern wurde trotz dieses Vorbehalts von der Leitung des Runden Tischs zugesichert, dass sie im Gremium verbleiben durften. Der Verein beschloss auf seiner Versammlung am 30. Mai 2009 die Entsendung drei neuer Vertreter aus seinen Reihen und wollte darüber hinaus versuchen, eine eigene Rechtsberatung (Rechtsanwalt Gerrit Wilmans und Jurist Michael Witti) an den Tisch zu bekommen. Demgegenüber fasste der RTH schon im April 2009 bei drei Enthaltungen den Beschluss: „Der Runde Tisch beschließt, dass am Runden Tisch keine anwaltlichen Interessenvertreter – egal von welcher Seite – mitwirken sollen.“<ref>{{Literatur |Autor=Heinz Duthel |Titel=Gequält, Missbraucht und Zerstört! 10 Jahre im Kinderheim, Erziehungsheim, Erzieher, Pfarrer, Jugendamt: Und Schuldig war immer ich! |Verlag=Books on Demand |Datum=2014 |ISBN=978-3-7357-8708-8 |Seiten=205}}</ref> Dem wurde vom Verein entgegengehalten, dass die ebenfalls am Runden Tisch mehrheitlich vertretenen Kirchen und Ministerien mit insgesamt sechs Volljuristen in dem Gremium säßen. Streitgegenstand waren auch die Protokolle der Sitzung, welche die Opfervertreter nach Wunsch des Runden Tischs nicht an den Verein oder an einen Rechtsbeistand weiterleiten sollten.

Der Verein ehemaliger Heimkinder teilte der Öffentlichkeit mit, er brauche „mit Sicherheit keine VertreterInnen, die sich auf jedes Lügenmärchen einlassen und nur brav sind!“. Der Verein klagte ferner vor dem [[Kammergericht Berlin|Berliner Kammergericht]], um „das Recht des Vereins, seine Vertreter am Runden Tisch zu bestimmen und nicht von Frau Vollmer diktieren zu lassen.“ Am 13. August 2009 entschied die Richterin, dass die drei bisherigen Vertreter weiter an den Verhandlungen teilnehmen sollen, um den konstruktiven Verlauf nicht zu gefährden. Die drei Vertreter verließen den Verein und nahmen am Runden Tisch weiter teil. Eine Zusammenarbeit mit dem „Verein ehemaliger Heimkinder“ bestand nicht mehr.

== Arbeit des Runden Tischs ==
=== Expertisen ===
Insgesamt drei [[Expertise]]n wurden vom Runden Tisch veranlasst und von unabhängigen Personen verfasst. Sie waren Arbeitsmaterialien des Runden Tisches und gaben die derzeitigen Erkenntnisse und Sichtweisen der Autorinnen und Autoren wieder.

* [[Silke Birgitta Gahleitner]]: ''Expertise zu Rechtsfragen der Heimerziehung [...] Was hilft ehemaligen Heimkindern bei der Bewältigung ihrer komplexen Traumatisierung?'' Georg-August-Universität Göttingen vom 31. Mai 2010 ([https://www.fonds-heimerziehung.de/fileadmin/de.fonds-heimerziehung/content.de/dokumente/RTH_Expertise_Trauma_000.pdf online]; PDF; 720 kB, abgerufen: 26. Januar 2019).
* Dietmar von der Pfordten: ''Rechtsfragen der Heimerziehung der 50er und 60er Jahre''. Gutachten im Auftrag des „Runden Tisch Heimerziehung“, Universität Göttingen, 2010 ([https://www.fonds-heimerziehung.de/fileadmin/de.fonds-heimerziehung/content.de/dokumente/RTH_Expertise_Rechtsfragen.pdf online]; PDF; 670 kB, abgerufen: 26. Januar 2019).
* Carola Kuhlmann: Expertise für den Runden Tisch […]. ''Erziehungsvorstellungen in der Heimerziehung der 50er und 60er Jahre. Maßstäbe für angemessenes Erziehungsverhalten und für Grenzen ausgeübter Erziehungs- und Anstaltsgewalt.'' Ruhr-Universität Bochum, 2010 ([https://www.fonds-heimerziehung.de/fileadmin/user_upload/dokumente/RTH_Expertise_Erziehungsvorstellungen.pdf online]; PDF; 266 kB, abgerufen: 26. Januar 2019).

=== Abschlussbericht ===
Im Dezember 2010 legte der RTH in einer Pressekonferenz seinen Abschlussbericht.pdf Abschlussbericht vor.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.fonds-heimerziehung.de/fileadmin/de.fonds-heimerziehung/content.de/dokumente/RTH_Abschlussbericht.pdf |titel=ABSCHLUSSBERICHT |hrsg=fonds-heimerziehung.de |format=PDF |abruf=2019-10-13}}</ref> Darin wird aufgezeigt, dass in der Heimerziehung der frühen Bundesrepublik die Rechte der Heimkinder durch körperliche Züchtigungen, sexuelle Gewalt, religiösen Zwang, Einsatz vom Medikamenten und Medikamentenversuche, Arbeitszwang sowie fehlende oder unzureichende schulische und berufliche Förderung massiv verletzt wurden. Dies sei auch nach damaliger Rechtslage und deren Auslegung nicht mit dem Gesetz und auch nicht mit pädagogischen Überzeugungen vereinbar gewesen. Als Verantwortliche für das den Heimkindern zugefügte Leid werden Eltern, Vormünder und Pfleger, Jugendbehörden, Gerichte, die kommunalen und kirchlichen Heimträger und das Heimpersonal und schließlich die hierzu schweigende Öffentlichkeit genannt.

Der RTH forderte, die Heimkinder zu rehabilitieren, indem die heutigen Repräsentanten der seinerzeit verantwortlichen Träger und der damals politisch Verantwortlichen das Unrecht anerkennen und um Verzeihung bitten, er forderte, dass regionale Anlauf- und Beratungsstellen als Stützpunkte für Geschädigte ehemaliger Heimerziehung eingerichtet werden. Er fordert darüber hinaus finanzielle Maßnahmen zugunsten einzelner Betroffener, mit denen Hilfen zur Bewältigung von [[Traumatisierung]]en finanziert werden und finanzieller Nachteile, etwa bei der Rente ausgeglichen werden können. Er setzt sich auch dafür ein, dass die wissenschaftliche Aufarbeitung und die Dokumentation der Missstände der Heimerziehung finanziell gefördert wird. Es solle ein Fonds für ehemalige Heimkinder eingerichtet werden, der durch die öffentliche Hand und durch die Heimträger mit insgesamt 120 Mio. Euro dotiert werden solle. Schließlich müssten organisatorische und gesetzgeberische Initiativen ergriffen werden, um die Rechte heutiger Heimkinder noch besser zu garantieren. Der Abschlussbericht schließt mit einem Appell der Vorsitzenden an den Deutschen Bundestag und die Landesparlamente, die geforderten Maßnahmen zügig in die Tat umzusetzen.

Am 13. Dezember wurde der Abschlussbericht des RTH während einer zusätzlich angelegten Pressekonferenz der Öffentlichkeit von der „Freien Initiative ehemaliger Heimkinder“ vorgestellt.

=== Empfehlungen des Runden Tisches ===
Die Empfehlungen des Runden Tisches umfassen sowohl immaterielle als auch materielle Formen der Aufarbeitung einer freiwillig zu erbringenden [[Wiedergutmachung|Restitution]]. Durch die Gründung eines bundesweiten Fonds Heimerziehung, der gemeinsam von Bund, westdeutschen Bundesländern, den beiden großen christlichen Kirchen getragen wird und ohne Rechtsanspruch ist, solle damaliges Leid und Unrecht abmildern. Der Fonds solle ermöglichen, dass Betroffene Hilfen zur Überwindung der heute noch nachweisbaren Folgen aus der Zeit ihrer Heimunterbringung zwischen den Jahren 1949 und 1975 erhalten können.

=== Reaktionen ===
Die ehemaligen Heimkinder reagierten empört auf bekannt gewordene Einzelheiten des Berichtes und auf das Zustandekommen des "einheitlichen" Abstimmungsergebnisses. In der Pressekonferenz wurde reklamiert dass:
* der im Abschlussbericht vorgeschlagene Fonds (zu gründen von Bund, Ländern und den beiden großen Kirchen) mit 120 Millionen Euro auf keinen Fall ausreichend sei – rein rechnerisch ergebe das eine Summe von höchstens 1.000 bis 4.000 Euro pro Person;
* eine „Entschädigung“ an sehr detaillierte Einlassungen von Seiten der ehemaligen Heimkinder geknüpft sei;
* den ehemaligen Heimkindern in großen Teilen ihrer Schilderungen nicht gefolgt wurde – obwohl es im Bericht heißt, die Schilderungen der Ehemaligen seien glaubhaft;
* ehemalige Heimkinder mit Behinderungen erst gar nicht berücksichtigt worden seien;
* ehemalige Heimkinder aus der Ex-DDR ebenso wenig berücksichtigt wurden;
* das Zeitfenster (1950er und 1960er Jahre) eindeutig zu klein sei;
* großer Druck auf die Heimkindervertreter bei der Abstimmung ausgeübt wurde, um hier eine Einstimmigkeit herzustellen. Vertreter des VEH empfanden dies als einen ungeheuerlichen Vorgang und mit Sicherheit einer Demokratie nicht würdig.
Auch der Sozialpädagoge [[Manfred Kappeler]] empfand diesen Abschlussbericht als äußerst kritikwürdig und ging nur wenige Tage nach dem Erscheinen desselben mit einer scharfen Kritik an die Öffentlichkeit.<ref>M. Kappeler: ''[http://www.ex-heimkinder.de/Dokumente/Abschlussbericht.pdf Unrecht und Leid – Rehabilitation und Entschädigung? Der Abschlussbericht des Runden Tisches Heimerziehung]'' (PDF).</ref>

{{Zitat
|Text=Sie waren mit Vertrauen in die vorbehaltlose Aufklärung der Heimerziehung und ihrer Folgen für die ihr ausgelieferten Kinder und Jugendlichen und mit der Erwartung einer ihnen gerecht werdenden Rehabilitation und Entschädigung in dieses Gremium gegangen und mussten erleben, dass sie von den meisten anderen Mitgliedern herablassend und wie „Klienten“ behandelt wurden, deren substantielle Anliegen nicht akzeptiert wurden. Sie wurden nicht gehört, sondern angehört, wie Zeugen vor einem Untersuchungsausschuss. Alle sechs Ehemaligen am RTH, die drei Mitglieder und ihre drei Vertreter (diese mit einem bloßen Anwesenheitsrecht, d. h. ohne Rede- und Stimmrecht wenn die Vollmitglieder anwesend waren – nur in der letzten Sitzung durften sie reden und abstimmen), haben mir diese demütigende Erfahrung, die sie an ihre Kindheit in den Heimen erinnerte, wiederholt berichtet.
|ref=<ref>M. Kappeler: [http://www.ex-heimkinder.de/Dokumente/Abschlussbericht.pdf ''Unrecht und Leid – Rehabilitation und Entschädigung? Der Abschlussbericht des Runden Tisches Heimerziehung''] (PDF), S. 5.</ref>}}

== Ergebnisse und Kritik ==
Am 7. Juli 2011 beschloss der Deutsche Bundestag eine weitgehende Übernahme der Empfehlungen des RTH. Die Bundesregierung wurde aufgefordert, in Abstimmung mit den betroffenen Ländern und Kirchen zeitnah eine angemessene Umsetzung der Lösungsvorschläge des RTH vorzulegen, eine geeignete Rechtsform für die Umsetzung der Vorschläge vorzuschlagen, die Einsichtnahme von Akten und Dokumenten in der Kinder- und Jugendhilfe bzw. des Vormundschaftswesens zu erleichtern und im Juni 2013 einen Bericht über den Stand der Umsetzung vorzulegen, um den Opfern von Unrecht und Misshandlungen in der Heimerziehung wirksam helfen.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.stiftung-anerkennung-und-hilfe.de/SharedDocs/Downloads/DE/bundestagsbeschluss.pdf?__blob=publicationFile&v=1 |titel=Antrag Opfern von Unrecht und Misshandlungen in der Heimerziehung wirksam helfen |hrsg=stiftung-anerkennung-und-hilfe.de |datum=2011-06-08 |format=PDF |abruf=2019-10-13}}</ref> „Die Einrichtung eines Nationalen Entschädigungsfonds wurde vom Bundestag und Bundesregierung nicht angestrebt.“ (Zitat aus einem Brief der Bundesfamilienministerin Ursula von der Leyen vom 15. Dezember 2008).<ref>{{Literatur |Autor=Manfred Kappeler |Titel=Der Kampf ehemaliger Heimkinder um die Anerkennung des an ihnen begangenen Unrechts |Sammelwerk=Widersprüche. Zeitschrift für sozialistische Politik im Bildungs-, Gesundheits- und Sozialbereich |Nummer=111 |Verlag=KleineVerlag |Datum=2009 |ISBN=978-3-937461-62-5 |Seiten=93}}</ref> Die sogenannte Rehabilitation bzw. Entschädigung erfolgte ausschließlich in Form von Sachleistungen,<ref>Der Hans-Ehrenberg-Preis, verliehen an Frau Antje Vollmer für die angestrebten Ergebnis des RTH (im Jahre 2011), wurde in Höhe von 5.000 EUR in Bar ausgezahlt.</ref> bei der Anfangs die Opfer zunächst in Vorkasse gehen mussten. Die von Frau Antje Vollmer abgelehnte Untersuchung zur Durchführung von Medikamentenversuchen an ehemaligen Heimkindern, die den Straftatbestand einer (schweren) Körperverletzung darstellen, wurden zwischenzeitlich von Sylvia Wagner (Universität Duisburg) aufgenommen. Erste Ergebnisse dieser [[Menschenversuch]]e konnten 2016 unter dem Titel: ‚Ein unterdrücktes und verdrängtes Kapitel der Heimgeschichte. Arzneimittelstudien an Heimkindern in der Zeitschrift‘ ‚Sozial.Geschichte Online‘ (Heft 19, S. 61–113) vorgestellt werden.<ref>{{Internetquelle |autor=Wagner, Sylvia |url=https://duepublico2.uni-due.de/receive/duepublico_mods_00042076 |titel=Ein unterdrücktes und verdrängtes Kapitel der Heimgeschichte : Arzneimittelstudien an Heimkindern |hrsg=[[Universität Duisburg-Essen]] |datum=2016-09-15 |abruf=2020-08-29 |sprache=de }}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Heimkampagne]]
* [[Runder Tisch Sexueller Kindesmissbrauch in Abhängigkeits- und Machtverhältnissen in privaten und öffentlichen Einrichtungen und im familiären Bereich]]
* [[Freistatt (Film)|Freistatt]] (Film von Marc Brummund aus dem Jahr 2015)

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Rose Ahlheim u. a. |Titel=Gefesselte Jugend. Fürsorgeerziehung im Kapitalismus |Verlag=Suhrkamp |Ort=Frankfurt am Main |Datum=1971 |Sprache=de |DNB=720058783}}
* [[Frank Sparing]]: ''Medikamentenvergabe und Medikamentenerprobung an Kindern und Jugendlichen. Eine Untersuchung zu kinder- und jugendpsychiatrischen Einrichtungen des Landschaftsverbandes Rheinland 1953 bis 1975.'' Herausgegeben vom Landschaftsverband Rheinland [[LVR]]– Archivberatungs- und Fortbildungszentrum – Archiv des LVR – Redaktion: Wolfgang Schaffer. Heft 1. Metropol, Berlin. 2020, ISBN 978-3-86331-531-3.
* Sylvia Wagner: ''Arzneimittelversuche an Heimkindern zwischen 1949 und 1975.'' Mabuse, Frankfurt am Main 2020, ISBN 978-3-86321-532-3. Zugleich bei der [[Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf|Heinrich-Heine Universität Düsseldorf]] als Dissertation unter dem Titel: "Arzneimittelprüfung an Heimkindern von 1949 bis 1975 in der Bundesrepublik Deutschland unter besonderer Berücksichtigung der Neroleptika sowie am Beispiel der Rotenburger Anstalten der Inneren Mission" angenommen.
* {{Literatur |Autor=Peter Mosser, Helga Dill, Gerhard Hackenschmied, Florian Straus |Hrsg=Institut für Praxisforschung und Projektberatung |Titel=Heimkindheiten zwischen 1949 und 1975 und die Beratungs- und Unterstützungsarbeit der bayerischen Anlaufstelle (im Rahmen des Fonds Heimerziehung) |Reihe=IPP Arbeitspapiere |BandReihe=13 |Ort=München |Datum=2018 |ISSN=1614-3159 |Sprache=de |Online=[http://www.ipp-muenchen.de/texte/IPP_2018_ABS_Studie_AP_13.pdf Download beim IPP] |Format=PDF |KBytes=2685 |Abruf=2020-08-29 |Umfang=389}} Abrufbar unter {{Internetquelle |url=https://www.ipp-muenchen.de/praxisforschung/evaluation-der-anlauf-und-beratungsstelle-bayern |titel=Heimkinder zwischen 1949 und 1975 und die Beratungs- und Unterstützungsarbeit der bayerischen Anlaufstelle (im Rahmen des Fonds Heimerziehung) |hrsg=[[Institut für Praxisforschung und Projektberatung]] (IPP) |abruf=2020-08-29 |sprache=de |abruf-verborgen=1}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |url=https://www.fonds-heimerziehung.de/ |titel=Heimerziehung in der Bundesrepublik Deutschland in den Jahren 1949 bis 1975 / Heimerziehung in der DDR in den Jahren 1949 bis 1990 |werk=Fonds Heimerziehung |abruf=2020-08-29 |sprache=de |abruf-verborgen=1}}
* Verein ehemaliger Heimkinder e. V. in Aachen [http://veh-ev.eu/ (VEH eV)] (abgerufen: 30. März 2019).
* Helmut Jacob, Klaus Dickneite: [http://www.gewalt-im-jhh.de/Runder_Tisch_-_Informationen_u/runder_tisch_-_informationen_u.html Informationen über die Zusammenarbeit mit dem Runden Tisch in Berlin] (abgerufen: 30. März 2019).
* {{Internetquelle |autor=Stephanie Kowalewski |url=https://www.deutschlandfunkkultur.de/medikamentenversuche-an-heimkindern-das-war-die-hoelle.976.de.html?dram:article_id=435708 |titel=Medikamentenversuche an Heimkindern. „Das war die Hölle“ |werk=[[Deutschlandfunk Kultur]] |datum=2018-12-12 |abruf=2020-08-29 |sprache=de |abruf-verborgen=1}}
* Christine Bergmann: ''Abschlussbericht der Unabhängigen Beauftragten zur Aufarbeitung des sexuellen Kindesmissbrauchs.'' Herausgeber: Geschäftsstelle der Unabhängigen Beauftragten zur Aufarbeitung des sexuellen Kindesmissbrauchs. April 2011. [https://www.fonds-missbrauch.de/fileadmin/content/Abschlussbericht-der-Unabhaengigen-Beauftragten-zur-Aufarbeitung-des-sexuellen-Kindesmissbrauchs.pdf (fonds-missbrauch.de], abgerufen: 22. März 2019).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Organisation (Deutscher Bundestag)]]
[[Kategorie:Bildung (deutsche Nachkriegszeit)]]
[[Kategorie:Organisation der Kinder- und Jugendhilfe]]
[[Kategorie:Gegründet 2009]]
[[Kategorie:Heimerziehung]]

Intensionaler Fehlschluss

2023-04-24T20:50:19Z

Pascal.vollmer.fr: Schreibfehler korrigiert

Der '''intensionale Fehlschluss''' ist ein [[Fehlschluss]], der darauf beruht, dass die Ausdrücke der Prämissen durch Ausdrücke gleicher Referenz ersetzt werden, obwohl ein Kontext vorliegt, bei welchem dies zu Abweichungen der Wahrheitsbelegungen führen kann, ein sogenannter [[Opaker Kontext|intensionaler Kontext]].

Der intensionale Fehlschluss ist vom [[Intentionaler Fehlschluss|intentionalen Fehlschluss]] zu unterscheiden. Bei dem einen geht es um die [[Extension und Intension|Intension]] (Bedeutung), beim anderen um die [[Intention]] (Absicht).

Ein klassisches ''Beispiel'' für einen intensionalen Fehlschluss:<ref>Nach Holm Tetens: ''Philosophisches Argumentieren.'' Beck, München 2004, S. 126</ref>

# Der Abendstern ist identisch mit dem Morgenstern (der Stern/Planet Venus).
# Mike weiß, dass der Abendstern als erster Stern/Planet abends sichtbar wird.
# Also: Mike weiß, dass der Morgenstern zuerst am Abendhimmel sichtbar wird.

In diesem Beispiel geht es darum, dass „Morgenstern“ und „Abendstern“ [[Analytisches Urteil|analytisch]] jeweils der abends am frühesten und morgens am letzten beobachtbare Himmelskörper (unter Ausschluss des Mondes) ist. Wenn Mike die Ausdrücke versteht, hält er Prämisse 2 für wahr, ebenso wie den Satz "Der Morgenstern ist Morgens am längsten sichtbar". Durch kontinuierliche Beobachtung kann man feststellen, dass „Abendstern“ und „Morgenstern“ dasselbe bezeichnen (den auch als Venus bekannten Planeten). In intensionalen Kontexten kann ein Ausdruck nicht ohne weiteres durch einen anderen, extensionsgleichen ersetzt werden. In unserem Beispiel ist das der Fall, wenn Mike um Prämisse 1. nicht weiß. Dann folgt aus 2. eben nicht 3.

Der Fehlschluss kann in beiden Richtungen zu Irrtümern führen:

* Entweder man kann folgern, dass dann, wenn eine Person etwas über x weiß, glaubt etc., sie dasselbe über den extensionsgleichen Ausdruck y weiß, glaubt etc.<ref>Dies ansprechend Peter Prechtl: ''Fehlschluss, intensionaler.'' In: P. Prechtl (Hrsg.): ''Grundbegriffe der analytischen Philosophie.'' Metzler, Stuttgart u. a. 2004</ref>

* Oder man schließt falsch, dass es sich nicht um extensionsgleiche Ausdrücke handeln kann, wenn eine Person zwar etwas von x, aber nicht von dem Ausdruck y weiß, dessen Extensionsgleichheit infrage steht.<ref>So Holm Tetens: ''Philosophisches Argumentieren.'' Beck, München 2004, S. 126 f.</ref>

Ein anderes, interkulturelles ''Beispiel'' ist die Verwendung des Ausdrucks „Gott“:

: 1. „Gott“ im Deutschen bezeichnet denselben „Gegenstand“ wie „Deus“ im Lateinischen oder wie „Allah“ im Arabischen.
: 2. Müller glaubt an Gott.
: 3. Also: Müller glaubt auch an Allah.
: 3’. bzw.: wenn die Konklusion 3. nicht zutrifft, kann die Prämisse 1. nicht zutreffen.

== Siehe auch ==
[[Extension und Intension]]

== Literatur ==
* [[Peter Prechtl]]: ''Fehlschluss, intensionaler.'' In: P. Prechtl (Hrsg.): ''Grundbegriffe der analytischen Philosophie.'' Metzler, Stuttgart u. a. 2004.
* [[Holm Tetens]]: ''Philosophisches Argumentieren.'' Beck, München 2004, S. 126 f.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Logischer Fehlschluss]]

Elisabeth Leonskaja

2023-03-05T17:06:39Z

Pascal.vollmer.fr: Buchstabe entfernt, der zuviel war

[[Datei:Elisabeth Leonskaja.jpg|mini|Elisabeth Leonskaja (2012)]]
'''Elisabeth Leonskaja''' ({{ruS|Елизавета Ильинична Леонская}}; geboren am [[23. November]] [[1945]] in [[Tiflis]], [[Sowjetunion]]) ist eine [[Russland|russische]] [[Pianist]]in. Als [[Solist]]in spielt sie in den ersten Orchestern der Welt wie den [[New York Philharmonic|New York Philharmonic]], [[Los Angeles Philharmonic]], [[Cleveland Orchestra]], [[London Philharmonic Orchestra]], [[Tonhalle-Orchester Zürich]], [[Gewandhausorchester]] Leipzig und arbeitet mit bekannten Dirigenten zusammen. Sie zählt zu den führenden Pianistinnen ihrer Zeit.

== Leben ==
Elisabeth Leonskaja wurde als Tochter einer jüdischen Gesangs- und Klavierlehrerin und eines Anwalts geboren. Die Eltern stammten aus Odessa und waren vor den [[Judenpogrom|jüdischen Pogromen]] geflüchtet.<ref name=":2">{{Internetquelle |autor=Robert Fraunholzer |url=https://www.rondomagazin.de/artikel.php?artikel_id=1923 |titel=Elisabeth Leonskaja – Schubert von Welt |werk=www.rondomagazin.de |datum=2016 |sprache=de |abruf=2022-04-09}}</ref> Durch den Wunsch der Mutter, die selbst Klavier studiert hatte besuchte sie im Alter von sieben Jahren eine Musikschule in Tiflis. Mit 10 Jahren spielte sie ein [[Joseph Haydn|Haydn]]-Konzert und mit 11 Jahren beherrschte sie [[Ludwig van Beethoven|Beethovens]] [[1. Sinfonie (Beethoven)|Erste]]. Als sie 12 Jahre alt war, bekam sie eine neue Musiklehrerin die ihr sagte, sie müsse sechs Stunden am Tag üben.<ref name=":1">{{Literatur |Titel=Virtuosity & Grace |Sammelwerk=International Piano Magazine Nov – Dec 2014 |Verlag=Rhinegold Publishing |Datum=2014 |Seiten=18-21}}</ref> Kurz vor ihrem Eintritt in das Staatliche Konservatorium nahm Leonskaja am internationalen Wettbewerb [[George Enescu]] in [[Bukarest]] teil, wo [[Artur Rubinstein|Arthur Rubinstein]] in der Jury saß. Sie gewann den ersten Preis und durch ihren Sieg ermutigt, schrieb sie sich 1964 am [[Moskauer Konservatorium]] ein, wo Jacob Milstein ihr Lehrer wurde. Der renommierte Pianist [[Swjatoslaw Teofilowitsch Richter|Swjatoslaw Richter]] unterstützte junge Studierende und so wurde Leonskaja oft in sein Haus eingeladen. Nach dem Tod ihrer Eltern entwickelte sie eine Freundschaft zu ihm und spielte das zweite Klavier bei seinen Mozart-Konzerten.<ref name=":1" /><ref>{{Internetquelle |url=https://www.rbb-online.de/rbbkultur/themen/musik/album_der_woche/elisabeth-leonskaja-mozart.html |titel=Elisabeth Leonskaja: „Mozart“ |sprache=de |abruf=2022-04-08}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.rhinegold.co.uk/opera_now/recording-review-joyce-didonatos-eden/ |titel=Recording review: Joyce DiDonato's Eden |sprache=en |abruf=2022-04-09}}</ref> In dieser Zeit gewann sie Preise bei internationalen Wettbewerben in Bukarest, [[Brüssel]] und [[Paris]].<ref>{{Internetquelle |url=https://www.concerti.de/kuenstler/elisabeth-leonskaja/ |titel=Elisabeth Leonskaja: Konzerte, Artikel, Rezensionen & Termine |werk=concerti.de |sprache=en |abruf=2022-04-08}}</ref>

Nach dem Abschluss beschloss Elisabeth Leonskaja vorerst eine Pause, da sie aufgrund ihrer jüdischen Mutter nicht als ''Russin'' angesehen und selbstbestimmt entscheiden durfte, welchen Weg ihre Karriere nehmen sollte. Die Musikhochschule wollte sie als Solistin in eine kleine russische Stadt in der Provinz schicken. Für ein Konzert unter der Leitung von [[Giuseppe Sinopoli]] wurde ihr ein Transitvisum für Wien gewährt, das erst in letzter Minute eintraf. Sie beschloss in Wien zu bleiben, da die Sowjetunion 1978 jüdischen Bürgern das Recht zur Auswanderung gab.<ref name=":2" /><ref>{{Internetquelle |autor=deutschlandfunk.de |url=https://www.deutschlandfunk.de/russische-klaviermusik-rueckblick-auf-leben-und-wurzeln-100.html |titel=Russische Klaviermusik – Rückblick auf Leben und Wurzeln |sprache=de |abruf=2022-04-09}}</ref> Nach dem Tod ihrer Eltern und der Scheidung der Ehe mit dem Geiger [[Oleg Moissejewitsch Kagan|Oleg Kagan]]<ref>{{Internetquelle |url=https://www.deutschlandfunkkultur.de/begegnungen-mit-elisabeth-leonskaja-1-3-ein-leichter-weg-100.html |titel=Begegnungen mit Elisabeth Leonskaja (1/3). Ein leichter Weg zum Klavier |werk=[[Deutschlandfunk Kultur]] |datum=2020-11-11 |abruf=2022-08-04 |abruf-verborgen=1}}</ref> fiel ihr dieser Ortswechsel nicht schwer.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.gn-online.de/gn-card/erstklassig-und-gefeiert-elisabeth-leonskaja-274718.html |titel=Erstklassig und gefeiert: Elisabeth Leonskaja |sprache=de |abruf=2022-04-08}}</ref><ref name=":1" />

== Werk ==
[[Datei:Galia+ Leosnskaja11 (51389092672).jpg|mini|hochkant|Elisabeth Leonskaja 2021]]
[[Datei:Galia+ Leosnskaja32 (51390594854).jpg|mini|Elisabeth Leonskaja – Quincena Musical de San Sebastián 2021]]
Elisabeth Leonskaja ist regelmäßig bei internationalen Festivals vertreten, wie den [[Wiener Festwochen]], dem [[Schleswig-Holstein Musik Festival]], der [[Schubertiade Schwarzenberg]], dem [[Springfestival|Spring Festival Tokio]] und den ''Dezemberabenden Moskau''. Mit ihren Solorezitals ist sie in großen musikalischen Zentren weltweit präsent. Neben solistischer Tätigkeit trat sie auch als [[Kammermusik]]erin in Erscheinung, so mit den [[Quartett (Musik)|Quartetten]] Belcea, [[Borodin-Quartett|Borodin]], [[Artemis Quartett|Artemis]] in Jerusalem. Die gemeinsamen Aufnahmen mit dem [[Alban Berg Quartett]], dem sie außerdem durch eine langjährige musikalische Freundschaft verbunden war, gelten als legendär.<ref name=":0">{{Internetquelle |autor= |url=https://www.mdr.de/klassik/biografien/elisabeth-leonskaja-klavier-100.html |titel=Elisabeth Leonskaja |werk=www.mdr.de |datum=2021-06-05 |sprache=de |abruf=2022-04-08}}</ref>

Zahlreiche ihrer LPs und CDs wurden mit Preisen ausgezeichnet. Von der [[International Classical Music Awards|International-Classical-Music-Awards]]-Jury (ICMA) wurde ''Paris'' mit Werken von [[Maurice Ravel]], [[George Enescu]] und [[Claude Debussy]] als Solo-Einspielung des Jahres 2014 ausgezeichnet.<ref name=":0" /> Zahlreiche CD-Einspielungen und Auftritte in der ganzen Welt, wie bei den [[Salzburger Festspiele]]n, und ihre Zusammenarbeit, unter anderem mit den [[Berliner Philharmoniker]]n und dem [[Guarneri String Quartet]], zeugen von ihrer internationalen Anerkennung. Sie ist Ehrenmitglied des [[Wiener Konzerthaus]]es.<ref>{{Internetquelle |url=https://konzerthaus.at/ehrenmitglieder |titel=Ehrenmitglieder |werk=konzerthaus.at |sprache=de-AT |abruf=2022-04-08}}</ref>

2006 wurde ihr die höchste Auszeichnung Österreichs, das [[Österreichisches Ehrenzeichen für Wissenschaft und Kunst|Österreichische Ehrenkreuz für Wissenschaft und Kunst erster Klasse]] für besondere Verdienste um die Kultur des Landes verliehen. In [[Georgien]] erhielt sie 2016 die Auszeichnung ''Priesterin der Kunst'', die höchste Auszeichnung des Landes für Kunstschaffende und 2020 erhielt sie den ICMA für ihr Lebenswerk.

== Auszeichnungen (Auswahl) ==
* 1999: Ehrenbürgerin der Stadt [[Deutschlandsberg]]
* 2006: Österreichisches Ehrenkreuz für Wissenschaft und Kunst I. Klasse
* 2016: Auszeichnung ''Priesterin der Kunst'' in Georgien
* 2020: [[Opus Klassik]], Kategorie Instrumentalistin (Klavier), für ''Robert Schumann Variations – Sonaten''
* 2020: International Classical Music Awards für ihr Lebenswerk
* 2021: Auszeichnung als Instrumentalistin des Jahres von Opus Klassik

== Werke (Auswahl) ==
* 1991: ''Brahms: Klavierkonzert No. 1''
* 2006: ''Nr 2 Op 9 2 Es Dur Andante'' (Single, UK: {{Schallplatte|S}})<ref name="Ausz.">Auszeichnungen für Musikverkäufe: [https://www.bpi.co.uk/brit-certified/ UK]</ref>
* 2010: ''Klaviersonaten Op.109-111'' Klaviersonaten von Ludwig Van Beethoven
* 2016: ''Die Späten Klaviersonaten'' Klaviersonaten von Swjatoslaw Richter
* 2019: ''Schubert: Piano Works''
* 2022: ''Sämtliche Klaviersonaten'' Klaviersonaten von W. A. Mozart in einer Gesamtausgabe von Elisabeth Leonskaja

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* {{DNB-Portal|130219584|TYP=Medien von und über}}
* [http://www.leonskaja.com/ Internetseite] von Elisabeth Leonskaja

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{Normdaten|TYP=p|GND=130219584|LCCN=n/86/864677|VIAF=29718547}}

{{SORTIERUNG:Leonskaja, Elisabeth}}
[[Kategorie:Klassischer Pianist]]
[[Kategorie:Musiker (Wien)]]
[[Kategorie:Musiker (Russland)]]
[[Kategorie:Musiker (Sowjetunion)]]
[[Kategorie:Komponist klassischer Musik (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Absolvent des Moskauer Konservatoriums]]
[[Kategorie:Träger des österreichischen Ehrenkreuzes für Wissenschaft und Kunst I. Klasse]]
[[Kategorie:Ehrenbürger von Deutschlandsberg]]
[[Kategorie:Person (Tiflis)]]
[[Kategorie:Sowjetbürger]]
[[Kategorie:Geboren 1945]]
[[Kategorie:Frau]]

{{Personendaten
|NAME=Leonskaja, Elisabeth
|ALTERNATIVNAMEN=Леонская, Елизавета Ильинична (russisch)
|KURZBESCHREIBUNG=russische Pianistin
|GEBURTSDATUM=23. November 1945
|GEBURTSORT=[[Tiflis]], [[Sowjetunion]]
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}}

Gaby Casadesus

2023-03-04T23:48:20Z

Pascal.vollmer.fr: accent bei Diémer fehlte

[[Datei:Robert et Gaby CASADESUS.jpg|mini|Robert und Gaby Casadesus]]

''' Gaby Casadesus''', geborene ''Gaby L’Hôte'' (* [[9. August]] [[1901]] in [[Marseille]]; † [[12. November]] [[1999]] in [[Paris]]) war eine [[Frankreich|französische]] [[Pianist]]in, deren Spezialität das französische Klavierrepertoire des 19. und 20. Jahrhunderts war.

== Leben und Werk ==
Casadesus trat mit 12 Jahren in das [[Pariser Konservatorium]] ein und wurde Schülerin von [[Marguerite Long]] und [[Louis Diémer]]. Mit 16 Jahren gewann sie den Prix Pagès, den prestigeträchtigsten französischen Wettbewerb, an dem Frauen zu der Zeit teilnehmen durften. Am Konservatorium lernte sie [[Robert Casadesus]], einen Schüler von Louis Diémer, kennen und die beiden begannen, Duo-Klavierwerke gemeinsam aufzuführen und heirateten 1921. 1927 wurde ihr Sohn, der spätere Pianist [[Jean Casadesus]] geboren, 1932 ebenfalls in Paris ihr Sohn Guy Casadesus. Ihre Tochter, die spätere Opernsängerin Thérèse Casadesus, wurde 1942 in [[Princeton (New Jersey)|Princeton]], Mercer County, [[New Jersey]], USA, geboren. Robert Casadesus schrieb mehrere Werke für das Duo, darunter Six Pieces (1938) und ein Konzert für zwei Klaviere, das sie 1934 erstmals in [[Warschau]] aufführten und 1950 mit den [[New Yorker Philharmoniker]]. Das Duo machte viele Aufnahmen, jedoch war sie auch eine bedeutende Solistin. Sie kannte [[Maurice Ravel]], [[Gabriel Fauré]], [[Florent Schmitt]] und [[Moritz Moszkowski]], die sie bei ihren Interpretationen anleiteten. Ihr Repertoire umfasste auch [[Felix Mendelssohn Bartholdy]] und die Komponisten der Barockzeit. Als Lehrerin unterrichtete sie in den USA, an der [[Universität Mozarteum Salzburg]], an der [[Académie Maurice Ravel]] in [[Saint-Jean de Luz]] und am [[Amerikanisches Konservatorium|Amerikanischen Konservatorium]] in [[Fontainebleau]]. Zu ihren bemerkenswerten Schülern zählen [[Donna Amato]], [[David Deveau]], [[Rudy Toth]] und [[Vladimir Valjarević]]. Zusammen mit Grant Johannesen und Odette Valabrègue Wurtzburger gründete sie 1975 die [[Casadesus International Piano Competition]] mit Sitz in [[Cleveland]] in [[Ohio]].

== Weblinks ==
* [https://portal.dnb.de/opac.htm?index=tit&term=&operator=and&index=per&term=gaby+casadesus&operator=and&index=inh&term=&operator=and&index=sw&term=&operator=and&index=jhr&term=&index=wvn&wvnStart=&wvnEnd=19.02.2020&method=enhancedSearch Werke von und über Gaby Casadesus im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek]
* [https://www.lib.umd.edu/ipam/collections/robert-and-gaby-casadesus ''Robert and Gaby Casadesus Collection''] [[University of Maryland]] (englisch)
* [https://www.nytimes.com/1999/11/20/arts/gaby-casadesus-pianist-in-duo-dies-at-98.html Gaby Casadesus, Pianist in Duo, Dies at 98]
* [https://www.forte-piano-pianissimo.com/Gaby-Casadesus.html Gaby Casadesus, French pianist (1901-1999)]

{{Normdaten|TYP=p|GND= 119008238|LCCN=n/82/136829|VIAF=14957770}}

{{SORTIERUNG:Casadesus, Gaby}}
[[Kategorie:Mitglied der Familie Casadesus|⚭Gaby]]
[[Kategorie:Klassischer Pianist]]
[[Kategorie:Franzose]]
[[Kategorie:Geboren 1901]]
[[Kategorie:Gestorben 1999]]
[[Kategorie:Frau]]

{{Personendaten
|NAME=Casadesus, Gaby
|ALTERNATIVNAMEN= L’Hôte, Gaby (Geburtsname)
|KURZBESCHREIBUNG=französische Pianistin
|GEBURTSDATUM=9. August 1901
|GEBURTSORT=[[Marseille]]
|STERBEDATUM= 12. November 1999
|STERBEORT=[[Paris]]
}}

Gaby Casadesus

2023-02-20T11:39:42Z

Pascal.vollmer.fr: "Keyboardkomponisten" dürfte aus einem englischsprachigen Text übernommen worden sein. Komponisten reicht hier m.E., es ist klar, dass es um Klaviermusik geht.

[[Datei:Robert et Gaby CASADESUS.jpg|mini|Robert und Gaby Casadesus]]

''' Gaby Casadesus''', geborene ''Gaby L’Hôte'' (* [[9. August]] [[1901]] in [[Marseille]]; † [[12. November]] [[1999]] in [[Paris]]) war eine [[Frankreich|französische]] [[Pianist]]in, deren Spezialität das französische Klavierrepertoire des 19. und 20. Jahrhunderts war.

== Leben und Werk ==
Casadesus trat mit 12 Jahren in das [[Pariser Konservatorium]] ein und wurde Schülerin von [[Marguerite Long]] und [[Louis Diémer]]. Mit 16 Jahren gewann sie den Prix Pagès, den prestigeträchtigsten französischen Wettbewerb, an dem Frauen zu der Zeit teilnehmen durften. Am Konservatorium lernte sie [[Robert Casadesus]], einen Schüler von Louis Diemer, kennen und die beiden begannen, Duo-Klavierwerke gemeinsam aufzuführen und heirateten 1921. 1927 wurde ihr Sohn, der spätere Pianist [[Jean Casadesus]] geboren, 1932 ebenfalls in Paris ihr Sohn Guy Casadesus. Ihre Tochter, die spätere Opernsängerin Thérèse Casadesus, wurde 1942 in [[Princeton (New Jersey)|Princeton]], Mercer County, [[New Jersey]], USA, geboren. Robert Casadesus schrieb mehrere Werke für das Duo, darunter Six Pieces (1938) und ein Konzert für zwei Klaviere, das sie 1934 erstmals in [[Warschau]] aufführten und 1950 mit den [[New Yorker Philharmoniker]]. Das Duo machte viele Aufnahmen, jedoch war sie auch eine bedeutende Solistin. Sie kannte [[Maurice Ravel]], [[Gabriel Fauré]], [[Florent Schmitt]] und [[Moritz Moszkowski]], die sie bei ihren Interpretationen anleiteten. Ihr Repertoire umfasste auch [[Felix Mendelssohn Bartholdy]] und die Komponisten der Barockzeit. Als Lehrerin unterrichtete sie in den USA, an der [[Universität Mozarteum Salzburg]], an der [[Académie Maurice Ravel]] in [[Saint-Jean de Luz]] und am [[Amerikanisches Konservatorium|Amerikanischen Konservatorium]] in [[Fontainebleau]]. Zu ihren bemerkenswerten Schülern zählen [[Donna Amato]], [[David Deveau]], [[Rudy Toth]] und [[Vladimir Valjarević]]. Zusammen mit Grant Johannesen und Odette Valabrègue Wurtzburger gründete sie 1975 die [[Casadesus International Piano Competition]] mit Sitz in [[Cleveland]] in [[Ohio]].

== Weblinks ==
* [https://portal.dnb.de/opac.htm?index=tit&term=&operator=and&index=per&term=gaby+casadesus&operator=and&index=inh&term=&operator=and&index=sw&term=&operator=and&index=jhr&term=&index=wvn&wvnStart=&wvnEnd=19.02.2020&method=enhancedSearch Werke von und über Gaby Casadesus im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek]
* [https://www.lib.umd.edu/ipam/collections/robert-and-gaby-casadesus ''Robert and Gaby Casadesus Collection''] [[University of Maryland]] (englisch)
* [https://www.nytimes.com/1999/11/20/arts/gaby-casadesus-pianist-in-duo-dies-at-98.html Gaby Casadesus, Pianist in Duo, Dies at 98]
* [https://www.forte-piano-pianissimo.com/Gaby-Casadesus.html Gaby Casadesus, French pianist (1901-1999)]

{{Normdaten|TYP=p|GND= 119008238|LCCN=n/82/136829|VIAF=14957770}}

{{SORTIERUNG:Casadesus, Gaby}}
[[Kategorie:Mitglied der Familie Casadesus|⚭Gaby]]
[[Kategorie:Klassischer Pianist]]
[[Kategorie:Franzose]]
[[Kategorie:Geboren 1901]]
[[Kategorie:Gestorben 1999]]
[[Kategorie:Frau]]

{{Personendaten
|NAME=Casadesus, Gaby
|ALTERNATIVNAMEN= L’Hôte, Gaby (Geburtsname)
|KURZBESCHREIBUNG=französische Pianistin
|GEBURTSDATUM=9. August 1901
|GEBURTSORT=[[Marseille]]
|STERBEDATUM= 12. November 1999
|STERBEORT=[[Paris]]
}}

Tensorprodukt

2023-02-16T22:22:14Z

Pascal.vollmer.fr: übersichtliche Darstellung, mit vielen Beispielen versehen bei dem Artikel von Lek-Heng Lim.

{{Dieser Artikel|behandelt vorrangig das Tensorprodukt von Vektorräumen und von linearen Abbildungen. Eine allgemeinere Konstruktion ist das [[Tensorprodukt von Moduln]], auf dessen Eigenschaften jedoch auch [[#Tensorprodukt von Moduln|in diesem Artikel]] eingegangen wird. Für das Tensorprodukt von Tensoren (Tensormultiplikation) siehe [[#Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen|diesen Abschnitt]], [[#Das äußere Produkt von Tensoren|jenen]] oder den Artikel [[Tensor]]. }}

Das '''Tensorprodukt''' ist ein [[Universelle Eigenschaft|universelles Objekt]] der multilinearen Algebra und somit ein vielseitiger Begriff der [[Mathematik]]: In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und in der [[Differentialgeometrie]] dient es zur Beschreibung [[Multilinearform|multilinearer]] Abbildungen, in der [[Kommutative Algebra|kommutativen Algebra]] und in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] geometrischer Objekte.

Die '''Definition''' für den allgemeinen multilinearen Fall durch die [[universelle Eigenschaft]] im Sinne der [[Kategorientheorie]] befindet sich ''[[#Definition durch universelle Eigenschaft|im Abschnitt zur universellen Eigenschaft]].'' Eine ''konstruktive'' Definition – will sagen: eine Konstruktion und damit ein Beweis der Existenz des universellen Objekts – wird zuvor in ''koordinatenbasierter'' Weise [[#Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion|in diesem Abschnitt]] gegeben. Auch wenn als Einstieg also eine koordinatenbasierte [[#Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion|konstruktive Definition]] des Tensorprodukts mit nachfolgender Beleuchtung der wesentlichen [[Tensorprodukt#Eigenschaften|Eigenschaften]] gewählt wurde, so legt dieser Artikel doch den Schwerpunkt auf die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorprodukts, ohne jedoch die Koordinatendarstellung zu übergehen: Siehe [[#Koordinatendarstellung von Tensoren|hier]], [[#Die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten|da]] und [[#Koordinatendarstellung von (r,s)-Tensoren|dort]]. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe [[Tensor]].

Für die ''basisfreie'' Konstruktion sei auf den Artikel über das [[Tensorprodukt von Moduln]] verwiesen.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts
:<math>
\underbrace{V\otimes\dotsb\otimes V}_{r\text{ Faktoren}}
\otimes
\underbrace{V^*\otimes\dotsb\otimes V^*}_{s\text{ Faktoren}}
</math>
(für einen [[Vektorraum]] <math>V</math> mit [[Dualraum]] <math>V^*</math>, oft <math>V=\R^3</math>) als '''[[#Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)|gemischte]] [[Tensor]]en,''' [[Kontravarianter Tensor|kontravariant]] der Stufe <math>r</math> und [[Kovarianter Tensor|kovariant]] der Stufe <math>s</math>. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ <math>(r,s)</math>. So lassen sich lineare Abbildungen <math>f\colon V\to W</math> als Tensoren aus <math>V^* \otimes W</math> oder aber als Tensoren ''auf'' dem Dualraum <math>V \otimes W^*</math> interpretieren. Wie sich diese zunächst verwirrende Vielfalt widersprüchlich erscheinender Auffassungen dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklären die Abschnitte über [[#Homomorphismen als Tensoren|Homomorphismen als Tensoren]] und [[#Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)|Tensoren vom Typ <math>(r,s)</math>]] (vgl. auch den Artikel [[Tensor]]).

Der Begriff wird zunächst am einfachsten Beispiel des [[#Tensorprodukt von Vektorräumen|Tensorprodukts auf Vektorräumen]] erläutert, bevor skizziert wird, wie er auf [[#Tensorprodukt von Moduln|Moduln verallgemeinert]] wird. Darauf folgt der Fall des [[#Tensorprodukt von Algebren|Tensorprodukts von Algebren]] sowie des [[#Tensorprodukt von Darstellungen|Tensorprodukts]] von [[Darstellung (Gruppe)|Darstellungen]] (etwa solcher [[Darstellungstheorie endlicher Gruppen|endlicher Gruppen]]).

== Tensorprodukt von Vektorräumen ==
=== Einleitung ===
Das Tensorprodukt ist ein [[Universelle Eigenschaft|universelles Objekt]] der multilinearen Algebra, genauer: ein ''[[Universelle Eigenschaft#Äquivalente Formulierungen|Anfangsobjekt]]'' (Synonyme: ''initiales Objekt'', engl.: ''universally repelling object'').<ref>Siehe [[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]] und [[Serge Lang]].</ref> Als solches ist es nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Was auf den ersten Blick enttäuschend klingen mag, bedeutet in Wahrheit jedoch die äußerst flexible Anwendbarkeit dieses Begriffs. Im Mittelpunkt stehen – als Erweiterung des Begriffs der linearen Abbildungen – die ''multilinearen'' Abbildungen. Dies sind Abbildungen in <math>N</math> linearen Variablen (Vektoren), die in jeder einzelnen für sich genommen, während die anderen unverändert bleiben, linear sind. Dass Messgrößen in dieser Weise voneinander abhängen, beobachtet die Physik häufig. Im Falle von <math>N=1</math> spricht man von (uni)linearen, bei <math>N=2</math> von bilinearen, für <math>N=3</math> von trilinearen, im allgemeinen Falle von <math>N</math>-fach multilinearen Abbildungen. Für alles Folgende muss daher notwendig vorausgesetzt werden, dass der Grundkörper <math>K</math> ''kommutativ'' ist, also kein [[Schiefkörper]]. (Der nicht-kommutative Fall wird im Abschnitt über [[#Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement|das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen]] und darin speziell [[#Tensorprodukt auf Vektorräumen über Schiefkörpern|hier]] skizziert.)

:In Parenthese: Man mag die Situation mit der elementaren Situation für einen Körper <math>K</math> vergleichen, der ja über sich selbst einen Vektorraum bildet und dessen Elemente also als Vektoren aufgefasst werden können: Eine unilineare, d. h. lineare Abbildung <math>K \to K</math> (<math>N=1</math>) ist eine Multiplikation mit einem Körperelement („Skalar“) <math>m</math>, d. h.: <math>\operatorname{mult}_m\colon x \mapsto m\cdot x</math>. Bilineare Abbildungen sind Produkte zweier linearer Abbildungen und haben daher quadratische Ordnung: <math>K \times K \to K,\; (x_1, x_2) \mapsto m_1 x_1 \cdot m_2 x_2 = m_1 m_2 \cdot x_1 x_2</math>. Trilineare Abbildungen haben entsprechend kubische Ordnung, und allgemein sind <math>N</math>-fach multilineare Abbildungen das Produkt von <math>N</math> linearen Abbildungen. Das Tensorprodukt von Vektorräumen verallgemeinert diese Bildung: Allerdings müssen zu diesem Zweck – im Gegensatz zu der eben beschriebenen elementaren Situation – sowohl eine (<math>N</math>-fach multilineare) „Multiplikation für Vektoren“ (zumal aus unterschiedlichen <math>K</math>-Vektorräumen), nämlich das Tensorprodukt, als auch der Tensorproduktraum, in dem diese Produkte liegen, erst geschaffen werden. Dabei werden der Tensorproduktraum und das Tensorprodukt als ein ''universelles Objekt'' definiert, sodass ''jede'' multilineare Abbildung mit ihnen linear parametrisiert werden kann. Diese Parenthese möge verdeutlicht haben, dass – salopp gesagt – multilineare Abbildungen ebenso (wenig) linear sind, wie es bspw. kubische [[Monom]]e sind.

Beispiele für multilineare Abbildungen auf ein und demselben Vektorraum <math>V</math> der Dimension <math>\dim V =: n</math> sind (insbesondere aus dem Anschauungsraum <math> K = \R, n = 3, V = \R^3 </math>) bekannt:
* Das (innere) [[Skalarprodukt]]: Dies ist ein Produkt zweier Vektoren (<math>N=2</math>) aus dem Vektorraum mit Werten im Grundkörper <math>K</math>. Es misst die Länge der (gerichteten) Projektion des einen Vektors auf den anderen skaliert mit dessen Länge.
* Das Vektorprodukt oder [[Kreuzprodukt]] oder äußere Produkt: Dies ist ein Produkt von <math> N=n-1</math> Vektoren aus dem Vektorraum und liefert einen ''Vektor'', dessen Länge im <math>n</math>-Dimensionalen das „vorzeichenbehaftete“ (da [[Orientierung (Mathematik)|orientierte]]) Volumen des von <math>n-1</math> Vektoren aufgespannten Hyperquaders misst, und der senkrecht ([[Orthogonalität|orthogonal]]) und in positiver [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] auf dem Hyperquader steht.
* Die [[Determinante]] misst (als [[Volumenform]]) im <math>n</math>-Dimensionalen das – ebenfalls orientierte – Volumen des von <math>n</math> Vektoren aufgespannten Quaders als Skalargröße. Für sie ist also <math> N = n </math>. Sie lässt sich auch als Skalarprodukt von einem ihrer <math>n</math> Vektoren mit dem Vektorprodukt der übrigen <math>n-1</math> Vektoren errechnen. (Dem entspricht die Entwicklungsformel nach einer Spalte oder Zeile.) Sie lässt sich durch das [[Spatprodukt]] (verallgemeinert ins <math>n</math>-Dimensionale) vom [[Kreuzprodukt#Spatprodukt|Kreuzprodukt]] [[Orthogonaler Tensor#Spatprodukt und Kreuzprodukt|ableiten]].
* Allgemeiner betrachtet ist klar, dass das <math>k</math>-dimensionale Volumen eines von <math>k</math> Vektoren <math>(v_1, \dots, v_k)</math> aufgespannten [[Parallelepiped#Verallgemeinerung|Parallelotops]] im <math>n</math>-dimensionalen Raum (<math>v_i \in V, \, i = 1, \dots, k \leq n = \dim V</math>) linear von jedem einzelnen Vektor abhängt und verschwindet, sobald zwei Vektoren gleich sind, weil die <math>k</math> Vektoren dann einen höchstens <math>(k-1)</math>-dimensionalen Vektorraum aufspannen und das Parallelotop folglich kollabiert. Die Messung <math>k</math>-dimensionaler Volumina ist also ein elementargeometrisches Beispiel einer [[Multilinearform#Alternierende Multilinearformen|alternierenden]] <math>k</math>-stufigen Multilinearform und liefert daher bei <math>\operatorname{Char} K \neq 2</math> einen [[Tensor#Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie|antisymmetrischen]] Tensor. Hiermit im Zusammenhang stehen die [[Graßmann-Algebra]] und – bei weiterer Verallgemeinerung – die [[Clifford-Algebra]]. Die Determinante behandelt den Fall <math>k=n</math>.
Die [[Duale Paarung#Definition|duale Paarung]] hingegen ist eine bilineare Abbildung auf einem Vektorraum und seinem [[Dualraum#Definition und Begriffsbildung|Dualraum]] mit Werten im Grundkörper, also eine [[Bilinearform]]: Sie besteht in der bloßen Auswertung eines [[Kovektor]]s (einer [[Linearform]]) auf einem Vektor und ermöglicht es, einen Vektorraum als einen Unterraum seines [[Dualraum#Bidualraum|Bidualraumes]] aufzufassen, bei endlicher Dimension sogar mit ihm kanonisch zu identifizieren.

All diese „Produkte“ verdienen diesen Namen, weil sie bilinear bzw. multilinear sind, und stellen daher – trotz ihrer Verschiedenheit – Beispiele für '''Tensoren''' dar. Tensoren sind multilineare Abbildungen, und ''das'' Tensor''produkt'' lässt sich als ein ''universeller Tensor'' verstehen: Alle denkbaren multilinearen Abbildungen (Produkte von Vektoren aus vorgegebenen Vektorräumen) lassen sich mit Hilfe des Tensor(produkt)raumes einheitlich beschreiben.

Da – zumal im endlichdimensionalen Falle – etliche Identifikationen rund um Vektorräume, ihre Dualräume und die Räume linearer Abbildungen möglich sind, gibt es für den Tensorproduktraum viele [[#Homomorphismen als Tensoren|isomorphe Deutungen]]. Daher lassen sich in der Literatur viele Zugänge und unterschiedliche Betrachtungsweisen finden. Das Wesen des Tensorprodukts liegt jedoch in der Betrachtung multilinearer Abbildungen <math> V^{(1)} \times \dots \times V^{(N)} \longrightarrow W </math>, also Abbildungen, die in jeder einzelnen Komponente (<math>V^{(i)},\, i=1, \dots, N</math>) bei festgehaltenen übrigen Komponenten <math>K</math>-linear sind. Der Raum dieser Abbildungen ist in naheliegender Weise ein Vektorraum über <math>K</math> und wird mit <math>L^N( V^{(1)}, \dots, V^{(N)} ; W) </math> bezeichnet. Es ist <math>\operatorname{Hom}(V,W) = L(V ,W) = L^1(V; W)</math>.

Es wird zunächst der Fall der bilinearen Abbildungen (<math>N=2</math>) behandelt, bevor der [[#Multilineare Abbildungen und das mehrfache Tensorprodukt|allgemeine Fall der multilinearen Abbildungen]] in verdichteter Form betrachtet wird.

==== Sesquilinearität im komplexen Fall ====
Für den komplexen Fall <math> K = \Complex </math> ist zu beachten, dass an die Stelle der Bilinearität meist die ''Sesquilinearität'' tritt, wie etwa im Falle [[Hermitesche Sesquilinearform|hermitescher]] [[Sesquilinearform]]en, wie es [[Definitheit|positiv definite]] [[Skalarprodukt]]e sind: Das heißt, dass die Abbildung nur in einem der beiden Argumente linear ist, im anderen stattdessen [[antilinear]] oder [[Semilineare Abbildung|semilinear]]: Dies bedeutet, dass die [[Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]] als Involution ins Spiel kommt – und darin auch bleibt. Somit ist an manchen Stellen die Linearität durch Antilinearität (Semilinearität) zu ersetzen, siehe bspw. den Abschnitt zum [[#Tensorprodukt von Hilbert-Räumen|Tensorprodukt von Hilbert-Räumen]].

==== Gemischte Tensoren ====
Wie erwähnt, beobachtet die Physik häufig, dass eine Messgröße, sei sie skalar- oder vektorwertig, von mehreren anderen abhängt und zwar von jeder einzelnen in linearer Weise. Wie sich die Abhängigkeit insgesamt beschreiben lässt, gibt der zugehörige [[Tensor]] an. Typischerweise entstammen die Observablen demselben Vektorraum <math>V = V^{(i)}, i = 1, \dots, s </math> oder aber seinem Dualraum <math> V^* = V^{(i)}, i = s+1, \dots s+r = N </math>. Dies führt (für den grundlegenden Fall <math>W=K</math>) zu dem in der Physik üblichen Begriff der (gemischten) [[#Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)|Tensoren vom Typ]] <math> (r,s) </math>, der <math>r</math>-fach kontravarianten und <math>s</math>-fach kovarianten Tensoren (der Stufe <math> r+s </math>): <math>T^r_s(V) = L^{r+s}(\underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{r\text{ Mal}} \times \underbrace{V\times\dots\times V}_{s\text{ Mal}}; K) = V^{\otimes r} \otimes (V^*)^{\otimes s}</math>. Tatsächlich entstand der Begriff des Tensors zuerst in der Physik der [[Spannungstensor]]en, wie im Artikel zum Tensor nachzulesen ist (siehe auch [[Kontinuumsmechanik]], [[Trägheitstensor]] und [[Verzerrungstensor]]).

==== Tensoren mit besonderen Eigenschaften ====
Unter den Tensoren gibt es solche mit [[Multilineare Abbildung#Weitere Eigenschaften|weiteren speziellen Eigenschaften]] wie [[Symmetrische Matrix#Symmetrische Tensoren|symmetrische Tensoren]], [[Graßmann-Algebra#Alternierende Tensoren|alternierende Tensoren]] (siehe auch [[Multilinearform#Alternierende Multilinearformen|alternierende Multilinearformen]], [[Alternierende Matrix|alternierende Matrizen]] bzw. [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrische Tensoren]] und [[Tensor#Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie|symmetrische und antisymmetrische Tensoren]]), insbesondere das [[Vektorprodukt]] (siehe auch im Kontext [[Krummlinige Koordinaten#Vektorprodukt und alternierender Tensor|krummliniger Koordinaten]]), [[Schiefsymmetrische Matrix#Schiefsymmetrischer Tensor|schiefsymmetrische Tensoren]] etc.

==== Verknüpfungen von Tensoren ====
Da Tensorprodukträume ihrerseits Vektorräume sind, lassen sich multilineare Abbildungen [[Tensor#Operationen auf Tensoren|auf ihnen]] und damit ihr Tensorprodukt bilden: [[#Das äußere Produkt von Tensoren|Äußeres]] (siehe auch [[Tensor#Äußeres Tensorprodukt|hier]]) und [[#Das innere Produkt von Tensoren|inneres]] Produkt sowie [[Tensorverjüngung]] (siehe auch Abschnitte zur [[#Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines Endomorphismus|Spurbildung]] und [[#Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)|Verjüngung]] bzw. Kontraktion) sind Beispiele multilinearer Abbildungen von Tensoren. Formelsammlungen befinden sich in der [[Formelsammlung Tensoralgebra]] oder im Internet.<ref group="Anm">Z. B. unter [https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Multilineare_Algebra Formelsammlung Mathematik: Multilineare Algebra], auf wikibooks.org.</ref>

==== Einige Anwendungsgebiete ====
In der [[Tensoranalysis]] werden [[Tensorfeld]]er betrachtet. Sie kommen durch die [[Tangentialraum|Tangentialräume]] und [[Tensoranalysis#Tensorbündel|Tensorbündel]] ins Spiel, [[Formelsammlung Tensoranalysis|hier]] befindet sich eine Formelsammlung dazu.

In der Theorie der Algebren wird das Konzept des Tensorprodukts genutzt, um Algebren zu konstruieren wie bspw.:
* die [[Tensoralgebra]]
* die [[Graßmann-Algebra]]
* die [[Clifford-Algebra]]

Das [[#Tensorprodukt von Algebren|Tensorprodukt von Algebren]] spielt eine zentrale Rolle bei der Untersuchung von [[Azumaya-Algebra|Azumaya-Algebren]] (d. h. zentraler einfacher endlichdimensionaler Algebren), worin sich Algebrentheorie und Zahlentheorie begegnen und den [[Satz von Skolem-Noether]] liefern sowie einen Beweis des [[Satz von Wedderburn|Satzes von Wedderburn]] mit Hilfe der verschränkten Produkte (Faktorensystem) von Emmy Noether ermöglichen. Die Definition der [[Brauergruppe]] beruht auf der Verwendung des Tensorproduktes von Azumaya-Algebren.

==== Erinnerung an die (uni)lineare Algebra: Illustration am Beispiel ''N'' = 1 ====
Der Fall <math>N=1</math> ist aus der (uni)linearen Algebra bekannt: Der Koordinatenraum <math>K^n</math> ist ein Modell für jeden <math>n</math>-dimensionalen <math>K</math>-Vektorraum. So könnte dieser unilineare Fall auch als Induktionsanfang für eine [[#Definition durch Zurückführung auf bilineare Abbildungen und das Tensorprodukt mit zwei Faktoren|induktive Definition]] und die [[#Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion|Definition für das bilineare Tensorprodukt]] als [[Induktionsschritt]] benutzt werden (siehe [[#Definition durch Zurückführung auf bilineare Abbildungen und das Tensorprodukt mit zwei Faktoren|diesen Abschnitt]]), doch ist die [[#Multilineare Abbildungen und das mehrfache Tensorprodukt|Definition für den allgemeinen Fall auch unmittelbar]] möglich.

Lineare Abbildungen können in Koordinatenräumen dargestellt werden. Insbesondere können sie durch [[Linearform]]en (also durch lineare Abbildungen <math> \lambda\colon V \to K </math> in den Grundkörper) dargestellt werden, wie kurz erläutert werden soll: Es seien dazu <math> V = \bigoplus_{j\in J} v_j </math> und <math> W = \bigoplus_{i\in I} w_i </math> Vektorräume über dem Grundkörper <math>K</math> mit den Basen <math> (v_j)_j </math> bzw. <math> (w_i)_i </math>. (Bei endlichen Dimensionen denke man sich <math>J = \{1, \dots, n \}</math> und <math> I = \{1, \dots, m\}</math>.) Jede Abbildung <math> f\colon B \to W </math> einer Menge (!) <math> B </math> in den Vektorraum <math> W </math> zerfällt in naheliegender Weise in die Summe <math> f = \sum_{i \in i} f_i </math> von Komponentenabbildungen <math> f_i </math> definiert durch <math> f(v) =: \sum_{i \in I} \underbrace{w_i \cdot \lambda_i(v) }_{=: f_i(v) = \pi_i \circ f} </math>, wobei <math> \pi_i\colon W \to W_i := K\cdot w_i </math> die kanonischen Projektionen bezeichne. In dieser Weise lassen sich alle vektorwertigen Funktionen zerlegen, insbesondere lineare Abbildungen <math> f\colon V \to W </math> in die Summe der zugehörigen Linearformen <math> \lambda_i </math>.

Aus der (uni)linearen Algebra ist bekannt, dass derartige Linearformen als [[Dualraum|Kovektoren]] bezeichnet werden und [[Dualraum|dual]] zu den Ursprungsvektoren beschrieben werden: Werden die Vektoren <math> v = \sum_j v_j \cdot x_j \in V </math> als Spaltenvektoren <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} </math> dargestellt (bezogen auf die gewählte Basis), so können die Kovektoren als Zeilenvektoren dargestellt werden und sind als Elemente des [[Dualraum]]es <math> V^* </math> zu verstehen: Als solche sind sie eindeutig als eine Linearkombination <math> \sum_{j\in J} x'_j \cdot v_j^*</math> der zu <math> (v_j)_j </math> [[Dualraum|dualen Basis]] <math> (v_j^*)_j </math> darstellbar. Bei endlicher Dimension besteht eine – freilich basisabhängige – Isomorphie zwischen Dualraum und Ursprungsraum, während die Isomorphie zwischen Bidualraum und Ursprungsraum kanonisch ist. („Der Ursprungsraum ist der Dualraum seines Dualraums.“)

Zusammengefasst: Jede lineare Abbildung <math> f \in L(V, W) := \operatorname{Hom}(V, W) </math> lässt sich als Linearkombination <math> \sum_{i\in I} w_i \lambda_i = \sum_{i \in I} f_i </math> von ''Linear''formen (Kovektoren) darstellen. Die elementaren Bausteine linearer Abbildungen sind also Kovektoren <math> v^* \in V^* </math>, und diese sind – als Elemente des Dualraums – gut bekannt. Die Koordinatenabbildung <math> \phi\colon V \to \bigoplus_{j\in J} v_j \cdot K \cong \coprod_{j\in J} K \cong K^{(J)} \cong K^n</math><ref group="Anm">Hierbei wird die Notation <math>K^{(X)} := \left\{ F: X \to K \Big\vert\,\text {Nur für endliche viele } x\in X \text{ gilt } f(x) \neq 0.\right\}</math> verwendet. <math>K^{(X)}</math> ist das freie abelsche Erzeugnis von <math>X</math> über K. Die Funktionen <math>F</math> lassen sich mit formalen ''endlichen'' Summen (''Linearkombinationen'') <math>F \leftrightarrow \sum_{x\in X} F(x) \cdot x </math> identifizieren. Bekanntlich ist ein Vektorraum <math>V</math> das freie <math>K</math>-lineare Erzeugnis <math>K^{(X)} \cong K^{(J)}</math> einer Basis <math>X = \{ v_j, j\in J \}</math>.</ref> liefert eine konkrete Darstellung als Spalten- bzw. Zeilenvektoren, mit deren Hilfe jede lineare Abbildung <math> f \in L(V, W) </math> mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung <math>\tilde{f}</math> als Kompositum <math> f\colon V \stackrel{\phi}{\stackrel{\sim}{\longrightarrow}} K^{(J)} \stackrel{\tilde{f}}{\longrightarrow} W </math> dargestellt werden kann.

Das <math>N</math>-fache Tensorprodukt <math> \otimes\colon \prod_{k=1}^N V^{(k)} \to \bigotimes_{k=1}^N V^{(k)} </math> klärt dieselbe Fragestellung für <math>N</math>-fach multilineare Abbildungen <math> \psi\colon \prod_{k=1}^N V^{(k)} \to W </math> und wird ebenfalls liefern: Jede derartige multilineare Abbildung <math> \psi </math> ist mit Hilfe einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung <math> \tilde\psi\colon \bigotimes_{k=1}^N V^{(k)} \to W </math> darstellbar als <math> \psi = \tilde\psi \circ \otimes </math>. Um alle multilinearen Abbildungen („Tensoren“) zu kennen, genügt es also, das Tensorprodukt zu kennen, denn es ist ''universell:'' Jede multilineare Abbildung ist ein (sogar eindeutig bestimmtes) lineares Abbild des Tensorprodukts. So erscheint das Tensorprodukt als eine multilineare Koordinatenabbildung, mit der jeder Tensor auf eindeutige Weise linear parametrisiert werden kann. Man darf sie sich als eine multilineare Koordinatenabbildung vorstellen, die minimal mit der Eigenschaft ist, dass jede multilineare Abbildung ihr lineares Abbild ist. Die Minimalität sichert die Eindeutigkeit des linearen Abbildes. Als Koordinatenraum für die Koordinatendarstellung von Tensoren wird sich der Raum der <math>N</math>-dimensionalen (Super-)Matrizen empfehlen. Der folgende Unterabschnitt präzisiert diese Überlegungen.

==== N beliebig: Multilineare Algebra ====
Der Fall <math>N=1</math> zeigt also: Unilineare Abbildungen <math> f \in L(V,W) </math> lassen sich durch Multiplikation mit Matrizen <math>\Tau^{i\in I}_{j\in J}</math> beschreiben, die den zugehörigen Koordinatenraum <math>K^{(J)}</math> von <math>V</math> (bezüglich einer Basis <math>\underline{v}</math> in <math>V</math>) in denjenigen <math>K^{(I)}</math> von <math>W</math> (bezüglich einer Basis <math>\underline{w}</math> in <math>W</math>) linear abbildet. Sie sind in Summen elementarer Tensoren zerlegbar.

Ist nun <math>N \in \N</math> beliebig und <math>V^{(k)} \cong K^{(J_k)}, \, k=1, \dots, N</math> eine Familie von Vektorräumen, so korrespondiert mit einer <math>N</math>-fach multilinearen Abbildung <math>f \in L^N(V^{(1)}, \dots, V^{(N)}; W)</math> (nach Auswahl von (geordneten) Basen <math>\underline{v^{(k)}} = (v^{(k)}_j)_{j\in J_k}</math> in <math>V^{(k)},\, k=1, \dots, N</math> bzw. <math>\underline{w} = (w_i)_{i\in I)}</math> in <math>W</math>) eine <math>N</math>-fach multilineare Abbildung <math>[f]</math>, die das Produkt der zugehörigen Koordinatenräume <math>K^{(J_1)} \times \dots \times K^{(J_N)}</math> multilinear in <math>K^{(I)}</math> abbildet (bezüglich der gewählten Basen, versteht sich) und die sich durch Multiplikation mit Matrizen beschreiben lässt: Dabei handelt es sich um „Supermatrizen“ <math>\Tau^{i\in I}_{j_1\in J_1, \dots, j_N\in J_N}</math>, also um <math>(N+1)</math>-fach multiindizierte Matrizen: Das <math>N</math>-Tupel <math>(j_1, \dots j_N)</math> der unteren Indizes korrespondiert mit dem <math>N</math>-Tupel von Koordinatenvektoren aus <math>K^{(J_1)} \times \dots \times K^{(J_N)}</math>, die Vektoren aus <math>V^{(1)} \times \dots \times V^{(N)}</math> bezüglich der zugehörigen Basen <math>\underline{v^{(k)}}</math> identifizieren, der obere Index korrespondiert entsprechend mit Koordinatenvektoren <math>W</math> bezüglich der Basis <math>\underline{w}</math>. Auch diese Supermatrizen können in eine Summe elementarer Tensoren zerlegt werden.

:'''Zwischenbemerkung:''' Zwar ist auch <math>K^{(J_1)} \times \dots \times K^{(J_N)}</math> bzw. <math>V^{(1)} \times \dots \times V^{(N)}</math> ein Vektorraum, aber die (''uni'')linearen Abbildungen aus <math>L \left(V^{(1)} \times \dots \times V^{(N)}, W \right) = L^1 \!\left(V^{(1)}, \dots, V^{(N)}; W \right)</math> und die <math>N</math>-fach ''multi''linearen Abbildungen aus <math>L^N \!\left(V^{(1)}, \dots, V^{(N)}; W \right)</math> haben für <math>N>1</math> nur die triviale Nullabbildung gemein. (Bspw. ist schon die Identität auf dem kartesischen Produkt von Vektorräumen nicht multilinear.) Mit anderen Worten: Betrachtet man <math>V^{(1)} \times \dots \times V^{(N)}</math> als ein Objekt aus der Kategorie der Vektorräume, so gehören die ''multi''linearen Abbildungen auf diesem Raum ''nicht'' zu den Morphismen dieser Kategorie (mit der trivialen Ausnahme der Nullabbildung).

Also lassen sich diese ''multilinearen'' Abbildungen als ''unilineare'' Abbildungen auf dem Raum <math>K^{(J_1 \times \dots \times J_N)}</math> auffassen, und dies ist gerade der Inhalt der [[#Definition durch universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaft]] – ergänzt um die Aussage, dass diese Eigenschaft den Tensorproduktraum kennzeichnet: <math>K^{(J_1)} \otimes \dots \otimes K^{(J_N)}\stackrel{\sim}{\longrightarrow} K^{(J_1 \times \dots \times J_N)}</math>.
So spiegelt sich das kartesische Produkt <math>J_1 \times \dots \times J_N</math> der Basen <math>J_k</math> im Tensorproduktraum wider: Der Tensorproduktraum wird von eben diesem kartesischen Produkt der Basen aufgespannt, wie die Konstruktion zeigen wird.

<math>N</math>-fach multilineare Abbildungen auf einem <math>N</math>-fachen kartesischen Produkt von Vektorräumen sind also als unilineare Abbildungen auf dem zugehörigen <math>N</math>-fachen Tensorproduktraum der Vektorräume aufzufassen, und dieser ist das freie lineare Erzeugnis des kartesischen Produkts zugehöriger Basen. Durch den Übergang zum Tensorprodukt(raum) gelingt es also, multilineare Abbildungen, die keine Morphismen der Kategorie der Vektorräume sind, als (uni)lineare Abbildungen und mithin als Morphismen der betrachteten Kategorie darzustellen.<ref group="Anm">Salopp zugespitzt bedeutet dies: Die multilineare Algebra eröffnet kein neues Gebiet, denn mit Hilfe des – freilich multilinearen – Tensorproduktes ordnet sie sich der (uni)linearen Algebra unter.</ref>

Der unilineare Fall liefert für <math>W=K</math> die ''einstufigen'' kovarianten Tensoren, also Kovektoren oder Linearformen aus dem Dualraum <math>V^*</math>. Ist ihre Dimension gleich 1, ist also <math>\dim V = 1, \, V\cong K</math>, so sind es gar Skalare. Also lassen sich auch Skalare als (einstufige) Tensoren (eines eindimensionalen Vektorraumes) auffassen.<ref group="Anm">Nichts anderes ist Gegenstand des Schulunterrichts beim Thema „Lineare Funktionen“ <math>y = f(x) = a\cdot x</math>: Hierbei ist <math>a</math> ein einstufiger kovarianter Tensor. Bildet man das Produkt zweier Linearfunktionen <math>f_i(x_i) =a_i x, \;i\in \{1, 2\}</math>, so erhält man eine quadratische (d. h. bilineare) Funktion <math>y = f_1(x_1) f_2(x_2) =: f(x_1, x_2) = a_1 a_2 x_1 x_2</math>, definiert auf <math>K \times K</math>. Sie ist als Kompositum eines Tensorprodukts (der Körpermultiplikation) und einer linearen Funktion auf <math>K = K \otimes K</math> darstellbar: <math>(x_1, x_2) \mapsto x_1 \otimes x_2 = x_1 \cdot x_2 =: x \mapsto (a_1 a_2) \cdot x</math>. Die lineare Funktion ist das Tensorprodukt <math>f_1 \otimes f_2</math> der linearen Abbildungen <math>f_i</math>, gegeben durch den Skalarfaktor <math>a_1 a_2</math>. Die Kovarianz von <math>a</math> steckt in folgender Trivialität: Bezeichnet <math>t</math> eine „Basistransformation“ (also eine Skalartransformation <math>x\mapsto t \cdot x</math>) auf <math>K</math>, so transformiert sich auch der einstufige kovariante Tensor <math>a</math> mit <math>t</math>, denn <math>(a \cdot t) \cdot x = a \cdot (t \cdot x)</math> für jedes <math>x \in K</math>.</ref>

==== Zur Motivation aus quantenmechanischer Sicht ====
{{Hauptartikel|Quantenverschränkung}}
In der [[Quantenmechanik]] ist der [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustandsraum]] eines Objekts ein [[Hilbertraum]]. Hat man <math>n</math> Teilchen mit Zuständen <math>z_1, \dotsc, z_n</math> in Hilberträumen <math>H_1, \dotsc, H_n</math> und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems <math>S</math>, so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen <math>z_i \in H_i</math> dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man ''reine'' oder ''Produkt''zustände <math>z_1 \dotsm z_n = z_1 \otimes\dotsm\otimes z_n</math> nennt.
Die Quantenmechanik beobachtet, dass auch jede Überlagerung (Superposition) von Zuständen eines Objekts (hier <math>S</math>) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist – von der Normierung auf die Länge 1 sei hierbei abgesehen. Entsprechend enthält das mathematische Modell außer den genannten Produktzuständen auch beliebige Linearkombinationen
:<math>\sum_{j=1}^k c_j \, z_{1,j} \otimes\dotsm\otimes z_{n,j}</math>
dieser Produktzustände, wobei <math>z_{i,j} \in H_i</math> und <math>k\in\N</math>; und die Gesamtheit solcher Linearkombinationen bildet den Hilbertraum des Systems <math>S</math>, d. h., die Produktzustände spannen den Hilbertraum des Systems auf. Der neue Vektorraum wird mit <math>H_1 \otimes \dotsb \otimes H_n</math> bezeichnet und ''Tensorprodukt'' genannt. Weitere Einzelheiten sind dem Artikel zur [[Quantenverschränkung]], insbesondere auch der [[Quantenverschränkung#Mathematische Betrachtung|dortigen mathematischen Betrachtung]] zu entnehmen.

=== Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion ===
Es seien <math>V</math> und <math>W</math> zwei [[Vektorraum|Vektorräume]] über einem gemeinsamen kommutativen [[Körper (Algebra)|Skalarkörper]] <math>K</math>.
Unter dem Tensorprodukt dieser beiden Vektorräume versteht man ein Paar <math> (V\otimes W, \otimes) </math> bestehend aus
* einem ''Tensorproduktraum'' <math>V\otimes W</math> und
* einer ''bilinearen Abbildung'' <math> \otimes\colon V \times W \to V\otimes W</math> in den Tensorproduktraum.
Der Tensorproduktraum wird [[#Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch Konstruktion|hier]], die bilineare Abbildung wird [[#Definition der bilinearen Abbildung durch explizite Festlegung auf Erzeugenden|dort]] konstruiert.

:Zuvor jedoch ein Hinweis: Häufig spricht man abkürzend vom Tensorprodukt oder Tensorraum <math>V\otimes W</math> unter Vernachlässigung der bilinearen Abbildung <math>\otimes </math>. Da dies leicht das Verständnis des Tensorprodukt erschwert, soll in diesem Artikel die Rolle der bilinearen Abbildung hervorgehoben werden. Gelegentlich wird aber auch gerade diese Abbildung als das Tensor''produkt'' angesprochen. Die Elemente des Tensorraumes werden ebenfalls als Tensoren bezeichnet. Doch auch bilineare Abbildungen werden als Tensoren bezeichnet: Unter ihnen befindet sich also auch das Tensorprodukt selbst, und es zeichnet eine Eigenschaft aus, die „universell“ geheißen wird: Es ist ein universeller Tensor. Wie in [[#Homomorphismen als Tensoren|weiteren Abschnitten]] deutlich werden wird, gibt es eine Fülle kanonischer Identifikationen rund um die Tensorräume. So können auch lineare, bilineare und multilineare Abbildungen als Tensoren begriffen werden, zumal wenn die (nicht notwendig kanonische) Identifikation eines endlichdimensionalen Vektorraums mit seinem [[Dualraum]] stillschweigend vorgenommen wird – auch dieses Vorgehen verschleiert das Konzept des Tensorprodukts. Grundlage bildet jedoch die nun folgende Definition der ''beiden'' Bestandteile <math>V \otimes W</math> und <math>\otimes\colon V\times W \to V \otimes W</math>.

==== Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch Konstruktion ====
Der ''Tensorproduktraum'' <math>V\otimes W</math> ist ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist <math>\underline{v}=\{v_i\mid i\in I\}</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math> und <math>\underline{w}=\{w_j\mid j\in J\}</math> eine Basis von <math>W</math>, dann ist <math>V\otimes W</math> ein Vektorraum, genannt ''Tensorproduktraum,'' in dem es eine Basis gibt, die auf umkehrbar eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts
:<math>\underline{v}\times \underline{w}=\{(v_i,w_j)\mid i\in I, j\in J\}</math>
der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann.

:'''NB:''' Diese Formulierung zeigt, dass der Tensorproduktraum <math>V\otimes W</math> nicht eindeutig festgelegt ist: Es kann durchaus ''verschiedene'' Realisierungen geben. Ihnen allen gemeinsam ist aber, dass sie (durch eine Bijektion der Basen aufeinander, wie beschrieben, und lineare Fortsetzung) sämtlich miteinander identifiziert werden können, d. h. isomorph sind. Tensorprodukt(räume) sind also nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Dimension von <math>V\otimes W</math> ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von <math>V</math> und <math>W</math>.
Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar <math>(v_i,w_j)</math> entspricht, wird als <math>v_i\otimes w_j</math> notiert. Das Symbol <math>\otimes</math> hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Es erhält erst durch die Definition der bilinearen Abbildung <math>\otimes</math> seine Bedeutung.

Da der Tensorproduktraum ein Vektorraum ist, hat also ein beliebiges Element des Tensorprodukts <math>V \otimes W</math> die Gestalt
:<math>\sum_{(i,j)\in I\times J} c_{ij}\cdot (v_i\otimes w_j) \,,</math>
wobei die Summe endlich ist oder – was auf dasselbe hinausläuft – [[fast alle]] Koeffizienten <math> c_{ij}</math> verschwinden (gleich Null sein) müssen. Die Redensweise „fast alle“ bedeutet hierbei gemäß üblichem Sprachgebrauch „alle, bis auf endlich viele“. Das ließe sich auch mit dem Begriff der eingeschränkten Summe <math>\widehat{\sum}</math> notieren: <math>\widehat{\sum_{(i,j)\in I\times J}} c_{ij}\cdot (v_i\otimes w_j) </math>, vergleiche hierzu etwa den Artikel zum [[Eingeschränktes direktes Produkt|eingeschränkten direkten Produkt]]. Ein Tensor des Tensor(produkt)raumes wird daher häufig mit der Matrix <math> (c_{ij})_{i,j} </math> identifiziert, ähnlich wie Vektoren mit den sie darstellenden Koordinatenvektoren.

Mit anderen Worten: Der Tensorraum <math> V \otimes W </math> wird von den linear unabhängigen Elementen <math> v_i \otimes w_j </math>, die zunächst nur als Symbole begriffen werden, über dem Grundkörper <math> K </math> frei erzeugt (vgl. die Artikel [[Direkte Summe]] und (allgemeiner) [[Produkt und Koprodukt]]):
::<math>V \otimes W := \bigoplus_{(i,j)\in I\times J} K \cdot (v_i\otimes w_j) </math>.

==== Definition der bilinearen Abbildung durch explizite Festlegung auf Erzeugenden ====
Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus <math>V</math> und <math>W</math> definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren <math>v_i\in \underline{v}\subset V</math> und <math>w_j\in \underline{w}\subset W</math> gerade der Basisvektor, der mit <math>v_i\otimes w_j\in V\otimes W</math> bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren wird nun durch bilineare Fortsetzung festgelegt:
:Zwei Vektoren
::<math>v=\sum_{i\in I}a_i v_i \in V</math> und <math>w=\sum_{j\in J} b_j w_j\in W</math> (wie oben auch hier: ''endliche'' Summen, da ein [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertbegriff]] oder Konvergenzbegriff mangels [[Topologie (Mathematik)|topologischer Struktur]] nicht zur Verfügung steht)
:wird das Produkt
::<math>v\otimes w=\sum_{(i,j)\in I\times J} a_i b_j \cdot (v_i\otimes w_j)</math>
:zugeordnet. Diese Summe ist ebenfalls endlich, weil fast alle Produkte <math> a_i b_j = 0 \in K </math> sind, da dies schon für die Koeffizienten <math>a_i</math> und <math>b_j</math> gilt. Somit ist die bilineare Abbildung <math>\otimes</math> definiert (unter Benutzung der obigen Bezeichnungen):
::<math>
\begin{matrix}
\otimes\colon & V \times W & \longrightarrow & V \otimes W && \text{definiert durch} \\
& (v,w) & \longmapsto & v\otimes w &=& \sum_{(i,j)\in I\times J} a_i b_j \cdot (v_i\otimes w_j) \; .
\end{matrix}
</math>

Tensoren, die sich in der Gestalt <math> v \otimes w </math> mit einem geeigneten Paar <math> (v,w) \in V \times W </math> darstellen lassen, heißen [[#Elementare Tensoren|elementare oder einfache]] Tensoren. Im Allgemeinen sind Tensoren jedoch keine elementaren Tensoren, sondern benötigen eine Summendarstellung (wie oben dargestellt) mit mehr als einem Summanden: Die [[#Elementare Tensoren als Erzeugende|elementaren Tensoren erzeugen]] den gesamten Tensorproduktraum.

=== Eigenschaften ===
Im Folgenden werden einige Eigenschaften zusammengestellt, die für das Tensorprodukt wesentlich sind.

==== Bilinearität ====
Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten (gemäß der obigen Konstruktion durch die bilineare Fortsetzung) folgende Rechenregeln für alle <math>v,v',v'' \in V</math> und <math>w,w',w'' \in W</math> sowie <math>\lambda \in K</math>:
{|
|-
|style="width:3.9em;" | || style="width:22em;" | <math>(v'+v'')\otimes w = v'\otimes w + v''\otimes w</math> || (1)
|-
| || <math>v\otimes(w' + w'') = v\otimes w' + v\otimes w''</math> || (2)
|-
| || <math>(\lambda v)\otimes w = \lambda\cdot(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)</math> || (3)
|}

Mit anderen Worten: Die Abbildung <math>\otimes\colon V \times W \to V \otimes W</math>; <math>(v,w) \mapsto v \otimes w</math> ist <math>K</math>-[[Bilineare Abbildung|bilinear]], das heißt in jeder der beiden Komponenten, während die andere unverändert bleibt, linear. (Das soll nicht überraschen, denn sie wurde durch bilineare Fortsetzung gewonnen.)

Diese Regeln sehen aus wie [[Distributivgesetz]]e bzw. [[Assoziativgesetz]]e, was den Namen Tensor''produkt'' motiviert.

==== Dimensionsformel ====
Die Dimensionsformel wurde bereits erwähnt: <math> \dim (V \otimes W) = \dim V \cdot \dim W </math>.

==== Kommutativität nicht gegeben ====
Ein [[Kommutativgesetz]] gilt im Allgemeinen nicht, denn für <math>v \in V, w \in W</math> gehören die Tensoren
:<math>v\otimes w \in V\otimes W</math> und <math>w\otimes v \in W\otimes V</math>
nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume <math>V</math> und <math>W</math> identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren <math>v\otimes w</math> und <math>w\otimes v</math> im Allgemeinen verschieden: Siehe dazu Beispiele im Abschnitt über die [[#Homomorphismen als Tensoren|Realisierung von Tensoren als Homomorphismen]] und im Abschnitt zum [[#Beispiel: Kronecker-Produkt bei endlicher Dimension|Kronecker-Produkt im endlichdimensionalen Fall]].

Beachte: Es ist kein Widerspruch, dass dennoch ein natürlicher Isomorphismus von Vektorräumen besteht, der durch die Vertauschung definiert wird:
:<math>
\begin{array}{ccc}
V \otimes W & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & W \otimes V \\
\sum_k v_k \otimes w_k & \longmapsto & \sum_k w_k \otimes v_k
\end{array}
</math>

==== Elementare Tensoren als Erzeugende ====
Tensoren der einfachen Gestalt <math> v\otimes w </math> heißen '''elementare''' oder '''einfache''' oder '''reine''' Tensoren. Keineswegs hat jeder Tensor diese Gestalt: Allgemeine Tensoren sind – gemäß obiger Konstruktion – eine Linearkombination (eine endliche Summe) elementarer Tensoren. Dabei genügt es sogar, sich auf die elementaren Tensoren <math> v_i \otimes w_j </math> zu beschränken, die von den Ausgangsbasen <math>\underline{v}</math> und <math>\underline{w}</math> herrühren, wie bereits im Rahmen der Konstruktion erwähnt wurde und auch aus den Rechenregeln ableitbar ist.

==== Rang von Tensoren ====
Ein allgemeiner Tensor hat also die Gestalt <math>\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij} \; v_i \otimes w_j</math> mit einer Koeffizientenmatrix <math>C = (c_{ij})_{1\leq i\leq m,\, 1\leq j\leq n}</math>, die Bezug nimmt auf eine Basis <math>\underline{v} = (v_i)_{i=1,\dots,m}</math> von <math>V</math> und eine Basis <math>\underline{w} = (w_j)_{j=1, \dots, n}</math> von <math>W</math>. Man weist einem Tensor einen ''Rang'' zu, nämlich den Rang seiner Koeffizientenmatrix: Dieser Tensor hat also den '''Rang''' <math>\operatorname{rang}(C)</math>. Der Rang hängt (nach dem [[Elementarteilersatz]]) nicht von der Basiswahl in den Räumen <math>V, W</math> ab. (Das gilt auch für das [[#Tensorprodukt auf Moduln über Hauptidealringen|Tensorprodukt von Moduln über Hauptidealringen]].) Dass der Begriff des ''Ranges eines Tensors'' mit dem ''Rang eines Homomorphismus'' bzw. einer ''Matrix'' übereinstimmt, sobald man Letztere als Tensor begreift, zeigt der Abschnitt über [[#Die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten|die Darstellungsmatrix eines Homomorphismus als Koeffizientenmatrix des zugehörigen Tensors]].

Der Rang eines Tensors ist die minimale Anzahl von Summanden, die zu seiner Darstellung als Linearkombination <math>\sum_{\mu, \nu} a_{\mu\nu} \; x_\mu \otimes y_\nu</math> einfacher Tensoren <math>x_\mu \otimes y_\nu</math> (mit <math>x_\mu \in V</math> und <math>y_\nu \in W</math>) erforderlich ist. (Da ja nur endliche Linearkombinationen betrachtet werden, gibt es nach dem [[Unendlicher Abstieg#Vergleich mit dem Induktionsprinzip|Satz vom kleinsten Element]] eine solche minimale Anzahl von Summanden.)

'''Elementare''' oder '''einfache''' oder '''reine''' Tensoren (ungleich null, [[scil.]]) sind also genau die Tensoren '''vom Rang 1'''.<ref group="Anm">Verschränkte Quantenzustände sind also Zustände, deren Rang größer als 1 ist. Vgl. den Abschnitt über [[#Homomorphismen einfacher Tensoren|Homomorphismen einfacher Tensoren]].</ref>

==== Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren Tensoren ====
Die Tatsache, dass der Tensorproduktraum <math> V\otimes W</math> von den elementaren Tensoren über <math>K</math> linear erzeugt wird, hat ein wichtiges Prinzip zur Folge, das die Definition linearer Abbildungen betrifft. Es bezeichne <math> Y </math> einen <math>K</math>-Vektorraum und <math>L(V\otimes W, Y)</math> den Raum aller linearer Abbildungen <math> V\otimes W \to Y </math>.

Das Prinzip besagt:
:Um eine lineare Abbildung <math> f \in L(V\otimes W, Y) </math> wohl zu definieren, genügt es, sie auf elementaren Tensoren festzulegen. Es genügt sogar die Bilder <math> f(v_i \otimes w_j) </math> der elementaren Tensoren <math> v_i \otimes w_j </math> anzugeben. Die Abbildung <math> f </math>, die bis dato erst eine Abbildung <math> f\colon \{v_i \otimes w_j \mid i, j \} \to Y </math> ist, kann dann auf den gesamten Tensorraum <math> V \otimes W </math> linear fortgesetzt werden, und zwar auf eindeutige Weise, und ist dadurch wohldefiniert.
:Mit anderen Worten: Die Restriktionsabbildung
:::<math>
\begin{matrix}
\mathrm{restr}\colon L(V\otimes W, Y) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \mathrm{Abb'}(\{v_i \otimes w_j \mid (i, j) \in I \times J \}, Y ) \cong Y^{(I \times J)} \\
\text{definiert durch:}\quad f & \longmapsto & f\mid_{I \times J} \,,
\end{matrix}
</math>
:die eine lineare Abbildung auf die Menge der Erzeugenden einschränkt, ist ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung wird gerade durch die lineare Fortsetzung geliefert.

:Dabei mögen die beiden Notationen <math> \mathrm{Abb'}(M, Y) = Y^{(M)} </math> die Menge aller Abbildungen von einer Menge <math>M</math> in eine Gruppe <math>Y</math> (hier: Vektorraum) bezeichnen, deren Werte an ''fast allen'' („<math>\forall'</math>“) Stellen <math>x\in M</math> verschwindet: <math>\forall' x\colon f(x) = 0 \in Y</math>.

:'''Anmerkung''': Dieses Prinzip ist gerade diejenige [[universelle Eigenschaft]], die gemäß der [[#Definition durch Konstruktion|oben stehenden]] (oder der [[#Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch Konstruktion|unten stehenden]] allgemeinen) Konstruktion des Tensorproduktraums als des ''freien abelschen Erzeugnisses'' <math> X := K^{(B)} </math> ''einer Menge'' <math> B </math> (für das Tensorprodukt wurde <math> B = I\times J \cong \underline{v} \times \underline{w} </math> gewählt) ''über dem Körper'' <math>K</math> mit sich bringt und allgemein so formuliert wird:
:::Ist <math> B </math> eine Menge und <math> \iota\colon B \subset X </math> eine injektive Abbildung (Inklusion) in die Menge der Vektoren eines Vektorraums <math> X </math>, so heißt <math> X </math> das frei abelsche (lineare) Erzeugnis von <math> B </math> über dem Körper <math> K </math>, wenn es zu jeder Abbildung <math> \eta\colon B \to Y </math> in die Menge von Vektoren eines anderen Vektorraumes <math> Y </math> mit <math> \eta(\beta) \neq 0 </math> für ''nur endlich viele'' <math> \beta \in B </math> (mit anderen Worten: zu jeder Abbildung <math> \eta \in \mathrm{Abb'}(B, Y) </math>) eine ''eindeutig bestimmte lineare'' Abbildung <math> \tilde\eta </math> mit <math> \tilde\eta = \iota^*(\eta) = \eta \circ \iota </math> ''von Vektorräumen'' gibt.
::Äquivalent ist die Forderung, dass folgende Abbildung <math> \mathrm{restr}_B := \iota^* </math> (die Restriktion auf die Inklusion) ein Isomorphismus ist:
:::<math>
\begin{matrix}
\mathrm{restr}_B\colon L(X, Y) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \mathrm{Abb'}(B, Y ) \cong Y^{(B)} \\
\text{definiert durch:}\quad f & \longmapsto & f\mid_{B} \,,
\end{matrix}
</math>
:In der Sprache der Kategorientheorie zeigt dies, dass der ''Vergissfunktor'' und der Funktor der ''freien Erzeugung'' zueinander adjungiert sind, wie [[Kategorientheorie#Funktoren|hier für abelsche Gruppen ]] erklärt wird.

:Spätestens an dieser Stelle wird deutlich: Wie ein Vektorraum durch die Menge seiner Basiselemente aufgespannt wird, so wird der Tensorproduktraum von Vektorräumen durch das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] ihrer jeweiligen Basen aufgespannt. Eine im Sinne der [[Kategorientheorie#Strukturtransfer|Kategorientheorie]] abstrakte Fassung dieses Gedankens wird im [[Lemma von Yoneda|Yoneda-Lemma]] durch die [[Universelle Eigenschaft#Äquivalente Formulierungen|Darstellbarkeit]] formuliert.

==== Universelle Eigenschaft ====
Damit wird deutlich, dass das auf diese Weise konstruierte Tensorprodukt
:<math> \otimes\colon V \times W \to V \otimes W </math>
unter allen bilinearen Abbildungen
:<math> V \times W \to Y </math> in einen beliebigen Vektorraum <math>Y</math>
eine besondere Eigenschaft hat. Es ist nämlich ''universell'' in dem Sinne, dass ''jede'' bilineare Abbildung lediglich ein lineares Abbild des Tensorprodukts ist, soll heißen:

:Ist <math> \psi\colon V \times W \to Y </math> eine bilineare Abbildung in einen <math>K</math>-Vektorraum <math>Y</math>, so kann <math> \psi </math> aus <math> \otimes </math> durch Anhängen einer (sogar eindeutig bestimmten) linearen Abbildung <math> \tilde\psi\colon V \otimes W \to Y </math> gewonnen werden. Dazu muss sie – wie soeben beschrieben – nur auf den elementaren Tensoren <math> v \otimes w </math> durch <math> \tilde\psi( v \otimes w) := \psi( v,w ) </math> definiert werden.

Es genügt also, das Tensorprodukt zu kennen, um alle bilinearen Abbildungen durch (uni)lineare Abbildung zu gewinnen. Somit birgt das Tensorprodukt alle Informationen für bilineare Abbildungen.

Die universelle Eigenschaft ist sogar geeignet, das Tensorprodukt hinreichend zu kennzeichnen: Dies geschieht durch die [[#Universaldefinition|Universaldefinition]], die koordinatenfrei, also basisunabhängig formuliert ist.

=== Beispiel: Kronecker-Produkt bei endlicher Dimension ===
Haben die Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> endliche Dimension über <math>K</math>, sind also <math>I</math> und <math>J</math> endliche Mengen der Mächtigkeit <math>m = \dim V</math> bzw. <math>n = \dim W </math>, so ist der Tensorproduktraum <math>V \otimes W</math> offenbar mit dem <math>(mn)</math>-dimensionalen Raum <math> K^{(m\cdot n)}</math> zu identifizieren. Wie aber sieht diese Identifikation aus?
Aus der obigen Definition geht hervor, dass der Tensorproduktraum nur bis auf Isomorphie bestimmt ist. Dies soll an diesem Beispiel illustriert werden, indem verschiedene Möglichkeiten der Identifikation vorgestellt werden. Dadurch soll verdeutlicht werden, dass es nicht genügt, unter dem Tensorprodukt lediglich das Produkt zweier Räume zu verstehen, sondern es muss zusätzlich angegeben werden, wie das Produkt <math>v\otimes w </math> zweier Vektoren definiert sein soll. Zwar ist es üblich, vom Tensorprodukt ''von'' Vektorräumen zu sprechen, aber es wäre besser, vom Tensorprodukt ''auf'' Vektorräumen zu sprechen, einer „Multiplikation“ von Vektoren, deren Ergebnis in einem neuen Raum liegt, eben dem Tensorproduktraum.
Zu diesem Zweck sei der Einfachheit halber direkt in die Koordinatenräume übergangen: <math>V := K^m</math> und <math>W := K^n</math>.
* Identifikation von <math> K^{(m\cdot n)}</math> mit einem Vektorraum von [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]
::Die Zeilen werden mit dem Basisindex <math>i \in I=\{1, \dotsc, m\}</math> von <math>V</math> nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex <math>j \in J=\{1, \dotsc, n\}</math> von <math>W</math>. Das Tensorprodukt zweier Vektoren <math>v = \sum_{i=1}^m a_i v_i \in V</math> und <math>w = \sum_{j=1}^n b_j w_j \in W</math> ist die Matrix <math>(a_i b_j)_{i\in I, j \in J}</math>: Ihr Eintrag an der Stelle <math>(i,j)</math> ist das Produkt aus der <math>i</math>-ten Koordinate von <math>v</math> bezüglich <math>\underline{v}</math> und der <math>j</math>-ten Koordinate von <math>w</math> bezüglich <math>\underline{w}</math>.
::Das Tensorprodukt lautet in diesem Falle <math>v\otimes w := (a_i b_j)_{i\in I, j \in J}</math> und liefert <math>(m\times n)</math>-Matrizen.
* Identifikation von <math> K^m \times K^n \to K^{(m\cdot n)}</math> mit dem üblichen [[Kronecker-Produkt]]
::Für zwei Vektoren
::<math>
v := \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m
\end{pmatrix}
</math> und <math>
w := \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n
\end{pmatrix}
</math> setze <math>
\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix} (a_1\cdot w) \\ \vdots \\ (a_m \cdot w)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1 b_1\\ \vdots \\ a_1 b_n \end{pmatrix}\\ \vdots \\ \begin{pmatrix}a_m b_1 \\ \vdots \\a_m b_n\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
::In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch [[dyadisches Produkt]] der Koordinatenvektoren und ordnet sich dem [[Kronecker-Produkt]] von Matrizen unter.
::Dies Produkt ist bilinear, jedoch nicht kommutativ, denn Vertauschung der Faktoren führt zu einer Permutation der Bild-Koordinaten.
* Identifikation von <math> K^m \times K^n \to K^{(m\cdot n)}</math> mit dem opponierten Kronecker-Produkt
::Ebenso gut ließe sich auch umgekehrt (vgl. Artikel [[Gegenring]]) definieren:
::<math>
\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m
\end{pmatrix}
\stackrel{op}{\otimes}
\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix} (v\cdot b_1) \\ \vdots \\ (v \cdot b_n)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1 b_1\\ \vdots \\ a_m b_1 \end{pmatrix}\\ \vdots \\ \begin{pmatrix}a_1 b_n \\ \vdots \\a_m b_n\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
::Auch dieses Tensorprodukt ist bilinear.
Diese Beispiele sollen verdeutlichen, dass das Tensorprodukt von Vektoren ''nur bis auf Isomorphie'' bestimmt ist: Die obigen Tensorprodukte sind nicht gleich, aber isomorph, und dies, obwohl die Tensorprodukträume gleich sind.

=== Erweiterung der Skalare ===
Ist <math>V</math> ein Vektorraum über <math>K</math> und <math>L</math> ein [[Erweiterungskörper]] von <math>K</math>, so kann man das Tensorprodukt
:<math>V_L:=V\otimes_KL</math>
bilden, indem man auch <math>L</math> als <math>K</math>-Vektorraum auffasst; dies wird durch <math>\otimes_K</math> symbolisiert. <math>V_L</math> wird zu einem Vektorraum über <math>L</math>, wenn man
:<math>\lambda\cdot(v\otimes\mu):=v\otimes(\lambda\mu)\qquad\mathrm{f\ddot ur}\ v\in V,\,\lambda,\mu\in L</math>
setzt. Die Dimension von <math>V_L</math> als <math>L</math>-Vektorraum ist gleich der Dimension von <math>V</math> als <math>K</math>-Vektorraum: Ist <math>B</math> eine <math>K</math>-Basis von <math>V</math>, so bildet die Menge
:<math>\{b\otimes 1 \,|\, b \in B\}</math>
eine <math>L</math>-Basis von <math>V_L</math>.

Allgemeiner lässt sich aus der obigen [[#Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch Konstruktion|konstruktiven Definition des Tensorprodukts]] ableiten, dass

:<math>
V \otimes W \stackrel{\text{def}}{=} \bigoplus_{(i,j)\in I\times J} K \cdot (v_i\otimes w_j)
= \bigoplus_{i\in I} \left( v_i \otimes W \right)
= \bigoplus_{j\in J} \left( V \otimes w_j \right) \,.
</math>
Mit anderen Worten: Das Tensorprodukt ist einerseits die direkte Summe von Unterräumen <math>v_i \otimes W \, (i\in I)</math> und andererseits von Unterräumen <math>V \otimes w_j \, (j\in J)</math>, also unabhängig von der Wahl der Basen in <math>V</math> und in <math>W</math>.<ref>Siehe [[Bartel Leendert van der Waerden]], Algebra II, § 94.</ref>

Tatsächlich löst sich die folgende [[#Universaldefinition|Universaldefinition]] gänzlich vom Bezug auf die Basen, ist allerdings auch nicht mehr konstruktiv. Eine basisunabhängige (koordinatenfreie) Konstruktion zeigt der Artikel über das [[Tensorprodukt von Moduln]], siehe auch den [[#Tensorprodukt von Moduln|gleichnamigen Abschnitt in diesem Artikel]].

=== Universaldefinition ===
Bisher wurde nicht auf die Frage eingegangen, auf welche Weise der mit <math>V\otimes W</math> bezeichnete Vektorraum ''ohne'' Bezugnahme auf vorgegebene Basen der beiden Vektorräume beschrieben werden kann. Dies soll nun anhand der Universaldefinition geschehen, die diesen Vektorraum allein anhand der [[Universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaft]] eindeutig – bis auf Isomorphie – kennzeichnet. Allerdings war dies auch schon in der obigen [[#Definition|Definition]] der Fall, da dort lediglich verlangt wurde, dass <math> V \otimes W </math> eine Basis haben solle, die umkehrbar eindeutig mit den Paaren <math> (v_i, w_j) </math> von Basisvektoren aus <math>V</math> bzw. <math>W</math> identifizierbar sei. Tatsächlich darf man sich – zumindest aus mathematischer Sicht – das Tensorprodukt zweier Vektoren nicht als ein „durch Multiplikation errechenbares“ Produkt in einem unverrückbar festgelegten Produktraum vorstellen. Vielmehr kann es verschiedene „Realisierungen“ geben. Beachte: Selbst beim Aufbau des Zahlensystems, für die vertrauten natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, gibt es verschiedene, lediglich äquivalente Beschreibungsweisen. Immerhin stellt das [[Kronecker-Produkt]] ein konkretes (da koordinatengebundenes) Beispiel dar (siehe den zugehörigen [[#Beispiel: Kronecker-Produkt bei endlicher Dimension|gleichnamigen Abschnitt]]). Wesentlich und allen Realisierungen gemeinsam sind jedoch Eigenschaften, die das Tensorprodukt als solches ''eindeutig charakterisieren''. Dies ist der Inhalt der folgenden ''universellen Eigenschaft des Tensorprodukts''. Dabei müsste man also streng genommen nicht von ''dem'' Tensorprodukt sprechen, sondern von ''einem'' Tensorprodukt oder von ''einer Realisierung des Tensorprodukts''. Das ist aber nicht üblich, stattdessen wird die Identifikation isomorpher Realisierungen stillschweigend unterstellt – ganz so, wie man es bei Zahlen schließlich auch tut.

Einige vorbereitende Festlegungen vorab: Es seien also <math>V</math> und <math>W</math> sowie <math>X</math> und <math>Y</math> Vektorräume über dem Körper <math>K</math>.
Der Vektorraum der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] von <math>V</math> nach <math>X</math> sei mit <math>L(V, X)</math> bezeichnet, und der Vektorraum der [[Bilineare Abbildung|bilinearen Abbildungen]] <math>V \times W \to X </math> werde mit <math> L^2(V, W; X)</math> bezeichnet.

Allgemein gilt nun: Ist eine bilineare Abbildung <math>\phi\colon V\times W \to X </math> gegeben, so ist für jeden Vektorraum <math>Y</math> die Abbildung
::<math> \begin{align}
\Phi\colon L(X, Y) & \longrightarrow L^2(V,W; Y) \\
f & \longmapsto [f\circ \phi\colon (v,w) \mapsto f(\phi(v, w))]
\end{align}
</math>
ein Homomorphismus.

Zur Erklärung:
:Es ist leicht zu nachzuprüfen, dass für jede lineare Abbildung <math>f \in L(X,Y)</math> das Kompositum <math> f\circ \phi </math> bilinear ist. Die obige Abbildung <math>\Phi</math> ist also wohldefiniert. Sie ist zudem ein Vektorraum-Homomorphismus (also eine lineare Abbildung).

'''Definition:''' Als Tensorprodukt der <math>K</math>-Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> wird jeder <math>K</math>-Vektorraum <math>X</math> ''zusammen'' mit einer [[Bilineare Abbildung|bilinearen Abbildung]] <math>\phi\colon V\times W\to X</math> bezeichnet, der die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
:Jede bilineare Abbildung <math>\psi\colon V\times W\to Y</math> in einen <math>K</math>-Vektorraum <math>Y</math> faktorisiert linear eindeutig über <math>\phi</math>, das heißt:
::Es gibt eine eindeutig bestimmte [[lineare Abbildung]] <math>\tilde \psi\colon X\to Y</math> gibt, sodass gilt: <math>\psi=\tilde \psi\circ \phi</math>, das heißt:
::Für beliebige Paare <math>(v,w) \in V\times W</math> von Vektoren gilt dann: <math>\psi(v,w)=\tilde \psi(\phi(v,w))</math>.
:Man notiert dann <math>V \otimes W := X</math> und versteht darunter den – bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten – Vektorraum <math>X</math>.
:Die (zum Tensorprodukt gehörige) bilineare Abbildung <math>\phi</math> wird als <math>\phi(v,w) =: v \otimes w</math> notiert. Es ist wichtig zu beachten, dass diese wesentlicher Bestandteil des Tensorproduktes ist: Einen Tensorproduktraum <math>X = V \otimes W </math> zu betrachten, ohne zu wissen, welche bilineare Abbildung <math> \phi\colon (v,w) \mapsto \phi(v,w) = v\otimes w </math> als „Produkt“ in ihn führt, ist sinnlos.

Bemerkung: ''Gibt'' es eine bilineare Abbildung <math>\phi\colon V\times W\to X</math> in einen Vektorraum <math>X</math> mit dieser universellen Eigenschaft, so ist <math>X</math> bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

'''Zur Erklärung:'''
:Nutzt man nämlich die universelle Eigenschaft für <math> \phi\colon V\times W \to X</math> gegenüber <math> \chi </math> und ebenso – mit vertauschten Rollen – für <math> \chi\colon V\times W \to Z</math> gegenüber <math>\phi</math>, so erhält man zwei Homomorphismen <math> \tilde\chi\in L(X,Z) </math> bzw. <math> \tilde\phi \in L(Z, X)</math> mit <math> \chi = \tilde \chi \circ \phi </math> und <math> \phi = \tilde \phi \circ \chi </math>. Also sind beide zueinander invers: <math>\forall x \in X\colon \tilde \chi \circ \tilde \phi (x) = x</math>. Daher sind zwei Realisierungen des Tensorproduktes zueinander isomorph.<ref>Serge Lang nennt diese Argumentationen „pfeiltheoretisch“ (arrow theoretical) und bezieht sich auf sie mit der Formulierung „by abstract nonsense“; siehe Serge Lang, ''Algebra'', 2nd edition, Chapter XVI. Siehe ferner den Artikel zum „[[Allgemeiner Unsinn|Allgemeinen Unsinn]]“.</ref>

:'''Notabene:''' Hierbei ist wesentlich zu beachten, dass die Isomorphie sich nicht nur auf die beiden Räume <math>X</math> und <math>Z</math> als Vektorräume bezieht: Vielmehr beziehen die beiden zueinander inversen Isomorphismen die jeweiligen bilinearen Abbildungen ein, indem sie auch sie aufeinander abbilden. Hieran wird deutlich, dass das Tensorprodukt zweier Vektorräume nicht lediglich als ein neuer Vektorraum verstanden werden darf. In Wahrheit bewegt sich das Tensorprodukt also nicht in der [[Kategorientheorie#Kategorie|Kategorie]] der Vektorräume, sondern in der Kategorie der bilinearen Abbildungen <math>\psi\colon V \times W \to [??]</math>. Darin bildet <math>\otimes\colon V \times W \to V \otimes W</math> ein [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|initiales]] oder [[Universelle Eigenschaft#Äquivalente Formulierungen|Anfangsobjekt]], weil jede bilineare Abbildung <math>\psi</math> über die bilineare Abbildung <math> \phi </math> eindeutig faktorisiert. Am zugehörigen Diagramm spiegelt sich diese Tatsache darin wider, dass es ein Dreieck ist: Beide bilinearen Abbildungen erscheinen darin, und es kommutiert: Es geht nicht allein um einen Isomorphismus <math>X \cong Z</math>, sondern um einen Isomorphismus, der mit den bilinearen Abbildungen <math>\phi, \psi </math> verträglich ist. Aus diesen Gründen sollte man unter der Begrifflichkeit „Tensorprodukt“ nicht den Produktraum <math>V \otimes W </math> zu verstehen suchen, sondern eine universelle bilineare Abbildung <math> \phi\colon V \times W \to X </math> in eine geeignete Realisierung. „Produkt“ steht also nicht für ein Produkt ''von'' Räumen, sondern für ein Produkt ''auf'' Räumen (in einen anderen Raum), für eine Multiplikation, eben eine bilineare Abbildung, die im Übrigen nicht kommutativ ist.

Vor dem Hintergrund der eingangs gemachten Anmerkung über die Abbildung <math> \Phi </math> lässt sich die Universaldefinition nun auch so formulieren:

'''Äquivalente Definition:''' Der Vektorraum <math>X</math> und eine bilineare Abbildung <math>\phi\colon V\times W \to X</math> werden als '''Tensorprodukt''' von <math>V</math> und <math>W</math> bezeichnet, wenn für jeden Vektorraum <math>Y</math> die Abbildung <math>\Phi\colon L(X, Y) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} L^2(V,W; Y)</math> induziert vermöge <math> f \longmapsto [(v,w) \mapsto f(\phi(v,w))] </math> bijektiv, mithin also ein Isomorphismus ist. Man schreibt dann auch <math> V \otimes W := X </math> und <math> v\otimes w := \phi(v,w) </math>.

Zur Erklärung:
:Es bleibt lediglich noch nachzuweisen, dass die Bijektivität von <math>\Phi</math> mit der Aussage der universellen Eigenschaft äquivalent ist: Diese sichert nämlich gerade zu, dass es ''zu jeder'' bilinearen Abbildung <math>\psi\colon V \times W \to Y</math> eine ''lineare'' Abbildung <math>\tilde \psi\in L( V \otimes W, Y ) </math> ''gibt'' (Existenzaussage), sodass <math> \psi = \tilde \psi \circ \phi = \Phi(\tilde\psi)</math>, und dass diese Abbildung <math>\tilde\psi</math> zudem ''eindeutig'' bestimmt (Eindeutigkeitsaussage) ist. Die Existenzaussage ist mit der Surjektivität, die Eindeutigkeitsaussage mit der Injektivität von <math>\Phi\colon \tilde\psi \mapsto \psi</math> äquivalent. Also besagt die universelle Eigenschaft gerade, dass der Homomorphismus <math>\Phi</math> ein Isomorphismus ist.
:Hinweis: Zwar ist der Homomorphismus <math>\tilde\phi</math> zunächst nur auf jedem elementaren Tensor <math>v\otimes w \in V \otimes W </math> durch <math> \tilde\psi ( v\otimes w ) = \psi (v,w) </math> festgelegt. Durch lineare Fortsetzung ist <math>\tilde\phi</math> damit jedoch auf dem gesamten Tensorraum <math>V \otimes W</math> wohldefiniert, wie im Abschnitt über [[#Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren Tensoren|die Fortsetzbarkeit von Abbildungen auf elementaren Tensoren zu Homomorphismen auf dem Tensorraum]] erklärt wurde.

''Wenn'' es also einen Vektorraum mit der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft]] gibt, so ist er – eben aufgrund der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft]] – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die [[#Universaldefinition|Universaldefinition]] die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also die Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel [[Tensorprodukt von Moduln]] aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum faktorisiert wird, sodass der Quotientenraum „erzwungenermaßen“ genau die gewünschten Eigenschaften hat.

Die Universaldefinition zeigt (nämlich für <math>Y=K</math>) einen Weg zu einer Realisierung des Tensorproduktes auf: Dieser Gedanke wird im Abschnitt [[#Natürliche Homomorphismen|Natürliche Homomorphismen]] berührt und im Abschnitt [[#Homomorphismen als Tensoren|Homomorphismen als Tensoren]] vertieft. Darin wird ein Vektorraum benannt, von dem sich (mit Hilfe der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft]]) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums <math> V \otimes W </math> hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass <math>V</math> oder <math>W</math> endliche Dimension über ihrem Grundkörper <math>K</math> haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben die endliche Dimension als Voraussetzung benötigen.

==== Der triviale eindimensionale Fall ====
Ein Seitenblick möge zeigen, wie der Fall <math>V=K=W</math> das Tensorprodukt „trivialisiert“: Dabei zeigt sich, dass sich die Situation ganz analog zu den (uni)linearen Abbildungen aus der elementaren linearen Algebra verhält. Einzig bemerkenswert ist, dass die Kommutativität des Grundkörpers eine Rolle spielt, im Gegensatz zum linearen Fall.

Der Skalarkörper bildet über sich selbst in natürlicher Weise einen eindimensionalen Vektorraum. Für eine bilineare Abbildung <math> \psi\colon K \times K \to Y </math> und beliebige Körperelemente <math> x, y \in K </math> gilt
:<math> \psi (x, y) = \psi (x\cdot 1, y\cdot 1) = xy \cdot \psi(1,1) \in Y \;.</math>
:NB: Man beachte, wie hierbei fast unbemerkt die Kommutativität des Körpers eingeht.
Also ist eine bilineare Abbildung <math> \psi\colon K \times K \to Z </math> bereits durch den Wert von <math> \psi (1,1) </math> festgelegt, und bis auf diesen Wert (als Faktor) ist sie mit der Körpermultiplikation identisch: Die Eigenschaften der Bilinearität gehen in die Distributivität der Multiplikation über, im Verbund mit der Assoziativität und der Kommutativität: <math>\lambda (x y) = (\lambda x) y = x (\lambda y)</math>.

Also ist in diesem Falle der Körper selbst mit dem Tensorprodukt identifizierbar: <math>(K, \cdot) \cong ( K\otimes K, \otimes) </math>. Die universelle Eigenschaft bedeutet: Setzt man <math> \tilde\psi (1) =: \tilde\psi (1 \cdot 1 ) := \psi(1,1) </math>, so vermittelt <math> \tilde\psi </math> das lineare Abbild der bilinearen Abbildung <math> \psi </math>, wie es die universelle Eigenschaft fordert. Schließlich gilt ja <math>\dim (K \otimes K) = \dim K \cdot \dim K = 1 </math>.

Das Tensorprodukt zweier Skalare (aufgefasst als Vektoren) liefert also nichts Neues: Es ist bis auf den Skalarfaktor <math> 1 \otimes 1 </math> mit der Körpermultiplikation identisch, lässt sich also durch ein [[Monom]] <math> f(X,Y) = a \cdot X \cdot Y </math> beschreiben. Dieser Skalarfaktor <math> a = 1 \otimes 1 </math> darf allerdings nicht verschwinden: Wäre nämlich <math> 1 \otimes 1 = 0 </math>, so wäre die universelle Eigenschaft verletzt: Die einzige bilineare Abbildung, die lineares Abbild dieses „Null-Produktes“ ist, ist nämlich die triviale Nullabbildung. Die genaue Wahl des Skalarfaktors <math> a = 1 \otimes 1 \in K\backslash\{0\}</math> tut aber auch nichts zur Sache: Das Tensorprodukt ist ja nur bis auf Isomorphie festgelegt, und jede andere bilineare Abbildung unterscheidet sich um einen Linearfaktor. Es kann naheliegenderweise <math> 1 \otimes 1 = 1 </math> normiert werden.

Haben jedoch die beiden Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> mehr als eine Dimension (<math> \dim V > 1, \dim W > 1 </math>), so liegt das Tensorprodukt zweier ''Vektoren'' in einem Vektorraum, der erst konstruiert oder „gefunden“ werden muss, eben einer Realisierung des Tensorproduktraums. Das Tensorprodukt dreier Vektoren liegt in einem weiteren, davon verschiedenen Raum usw. usf. Die [[Tensoralgebra]] liefert den geeigneten Produktraum für Produkte mit beliebig (doch endlich) vielen Faktoren.

Mit anderen Worten: Unilineare Abbildungen <math> V \to W </math> zwischen Vektorräumen verallgemeinern lineare Abbildungen <math> K \to K,\; x \mapsto m\cdot x </math>. Bilineare Abbildungen <math> V_1 \times V_2 \to W </math> verallgemeinern die Körpermultiplikation <math> K \times K \to K,\; (x,y) \mapsto x \cdot y </math>, die quadratische Ordnung hat: <math> (rx, ry) \mapsto r^2\cdot xy </math>.

Für mehr als zwei Faktoren gilt [[#Der triviale Fall mehrerer eindimensionaler Faktoren|Entsprechendes]].

=== Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen ===
Es seien zwei Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> mit je einer linearen Abbildung auf einen weiteren Vektorraum gegeben: <math>f\colon V\to V'</math> und <math>g\colon W\to W'</math>. Dann ist die Abbildung
:<math>
\begin{matrix}
V \times W &\longrightarrow& V' \otimes W' \\
(v,w) &\longmapsto & f(v) \otimes g(w)
\end{matrix}
</math>
bilinear. Nach der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft]] gibt es also eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung <math>h\colon V\otimes W \to V'\otimes W'</math>, die auf den elementaren Tensoren gerade mit dem Tensorprodukt der Bildvektoren übereinstimmt:
:<math>h(v\otimes w) = f(v) \otimes g(w) </math> für jedes Paar <math> (v,w) \in V \times W \,. </math>

Die Abbildung <math>h</math> kann also auf den elementaren Tensoren (oder gar auf den Basisvektoren <math> v_i \otimes w_j </math> allein) definiert und linear fortgesetzt werden. Wie sich aus der obigen Konstruktion durch lineare Fortsetzung einer auf den elementaren Tensoren definierten Abbildung ergibt, gilt: ''Die Konstruktion von <math>\mathcal{T}(f,g) := h</math> ist von der Wahl der Basen unabhängig.''

Für <math>(f,g) \in L(V,V) \times L(W,W')</math> ergibt sich also eine wohldefinierte Abbildung
:<math>
\begin{matrix}
L(V,V') \times L(W,W') & \longrightarrow & L(V\otimes W, V' \otimes W') \\
(f,g) & \longmapsto & \left[ \mathcal{T}(f,g)\colon v\otimes w \mapsto f(v) \otimes g(w) \right] \;.
\end{matrix}
</math>

Sind weitere Vektorräume bzw. lineare Abbildungen <math> f''\colon V' \to V''</math> und <math>g''\colon W' \to W''</math> gegeben, und ist <math>h' = f'\otimes g'</math>, so gilt darüber hinaus:
:<math>
h' \circ h = \mathcal{T}(f',g') \circ \mathcal{T}(f,g) = \mathcal{T}(f' \circ f, g' \circ g)
</math>

Dies zeigt, dass die Zuordnung <math> (f,g) \mapsto \mathcal{T}(f,g)</math> in der Sprache der [[Kategorientheorie]] ein ([[Funktor (Mathematik)#Definition|kovarianter]]) '''[[Bifunktor]]''' auf der [[Kategorientheorie#Kategorie|Kategorie]] der <math>K</math>-Vektorräume ist.

Diese Zuordnung ist darüber hinaus bilinear über <math>K</math>.<ref group="Anm">Nota bene: Wäre der Körper <math>K</math> ein [[#Tensorprodukt auf Vektorräumen über Schiefkörpern|Schiefkörper]] und wären <math>V</math> bzw. <math>W</math> entsprechend Rechts- bzw. Links-Vektorräume, so träte an dieser Stelle eine wesentliche Änderung ein: Auf beiden Seiten stünden lediglich abelsche Gruppen, und die Abbildung wäre nur noch bilinear über <math>\Z</math>.</ref>

Man notiert diesen Bifunktor häufig mit dem Zeichen für das Tensorprodukt: <math>\mathcal{T}(f,g) =: f \otimes g </math>. Aus dem Zusammenhang muss deutlich werden, ob dabei die Zuordnung durch den Bifunktor <math>\mathcal{T}(f,g) \in L(V\otimes W, V' \otimes W') </math> oder aber ein Tensor <math>f\otimes g \in L(V,V) \otimes L(W,W')</math> gemeint ist.<ref>Siehe Serge Lang, Chapter XVI, § 1, Seite 560.</ref>

Allerdings ist diese Unterscheidung in der Regel unwesentlich, denn beide Deutungen können miteinander identifiziert werden, da aufgrund der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft]] eine Einbettung besteht:

'''Der Bifunktor''' <math>\otimes = \mathcal{T}</math>: Es gibt einen natürlichen Monomorphismus <math>L(V,V')\otimes L(W,W')\to L(V\otimes W,V'\otimes W')</math>, induziert durch die Festlegung <math>(f\otimes g)(v\otimes w) := f(v)\otimes g(w)</math>. Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn <math>V</math> oder <math>W</math> endlichdimensional ist.<ref>{{Literatur |Autor=[[Gottfried Köthe]] |Titel=Topological Vector spaces I |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen |BandReihe=159 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1969 |ISBN=0-387-04509-0 |Kapitel=§ 9. ''The algebraic dual space. Tensor products,'' 7. ''Linear mappings of tensor products'' |Seiten=80 |Originaltitel=Topologische Lineare Räume I |Originalsprache=de |Übersetzer=D. J. H. Garling}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Datum=1998 |ISBN=3-540-64243-9 |Kapitel=§ 4. ''Relations between tensor products and homomorphism modules.'' No. 4 und Exercises 2, 3, 4, 7 |Seiten=274, 396-398 |Online={{archive.org |ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1 |Blatt=n294}}, nicht abrufbar}}</ref>

Die [[Darstellungsmatrix]] oder [[Abbildungsmatrix]] der linearen Abbildung <math>f \otimes g = \mathcal{T}(f,g)</math> ist das [[Kronecker-Produkt]] der Darstellungsmatrizen von <math>f</math> und <math>g</math> bezogen auf die Basen <math>v_i \otimes w_j</math> von <math>V\otimes W</math> bzw. <math>v'_i \otimes w'_j</math> von <math>V'\otimes W'</math>, wenn in den Räumen <math>V, W, V'</math> bzw. <math>W'</math> die Basen <math>v_i, w'_{j'}, v'_{i'}</math> bzw. <math>w'_{j'}</math> (für <math>i\in I, j\in J, i'\in I'</math> bzw. <math>j'\in J'</math>) zugrunde gelegt werden.

==== Vertauschbarkeit mit dem Koprodukt ====
Aus der Konstruktion geht hervor, dass das Tensorprodukt (als Bifunktor) mit dem [[Produkt und Koprodukt|Koprodukt]] ([[direkte Summe]]) vertauschbar ist, das heißt, für <math>K</math>-Vektorräume <math>V_i, W, W_j, W</math> bestehen folgende Isomorphismen:
:<math> \big( \bigoplus_{i\in I} V_i \big) \otimes W \cong \bigoplus_{i\in I} \big( V_i \otimes W \big) \,,
</math>
folglich
:<math> V \otimes \big( \bigoplus_{j\in J} W_j \big) \cong \bigoplus_{j\in J} \big( V \otimes W_j \big)
</math>
und
:<math> \big( \bigoplus_{i\in I} V_i \big) \otimes \big( \bigoplus_{j\in J} W_j \big) \cong \bigoplus_{i\in I} \bigoplus_{j\in J} \big( V_i \otimes W_j \big) \,.
</math>

==== Natürliche Homomorphismen ====
Wenn <math>V^*</math> den [[Dualraum]] von <math>V</math> bezeichnet, dann liefert die oben erwähnte Isomorphie <math> L(V,X)\otimes L(W,Y) \; \tilde\to \; L(V\otimes W,X\otimes Y)</math> für endlichdimensionale Vektorräume <math>V, W</math> und für den Fall <math>X=Y=K</math> die Isomorphie:
:<math>V^*\otimes W^* \;\cong\; (V\otimes W)^*
</math>
Dabei wurde der Isomorphismus <math>K\otimes K\cong K</math> verwendet. Allgemein ist <math>K\otimes V \,\tilde\to\, V</math>, definiert durch <math>c\otimes v\mapsto cv</math>, ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Setzt man hingegen <math>X=K=W</math>, so erhält man die Isomorphie
:<math> V^* \otimes Y \; \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \; L(V, Y) \;,
</math>
die weiter unten erneut abgeleitet und mit <math>\Psi^\bullet</math> bezeichnet wird. Auch diese Identifikation besteht jedoch nur für endlichdimensionale Vektorräume. Bei unendlicher Dimension sind es nur Monomorphismen.<ref name="JD 20.3">[[Jean Dieudonné]], Anhang A.20.3</ref>

Neben dem Isomorphismus <math>L(V\otimes W, X) \; \stackrel{\sim}{\rightarrow} \; L^2(V,W; X) </math>, den die [[#Universaldefinition|universelle Eigenschaft]] liefert, erhält man durch [[Currying]] – unabhängig von Überlegungen zum Tensorprodukt – einen Isomorphismus
:<math>
\begin{matrix}
\Xi\colon & L^2(V,W; X) &\stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V, L(W,X)) \;,\\
& \beta & \longmapsto & [v \mapsto (w \mapsto \beta(v, w))] \;,
\end{matrix}
</math>
insgesamt also einen kanonischen Isomorphismus <math> L(V\otimes W, X) \;\stackrel{\sim}{\to}\; L(V, L(W,X)) </math>: Dieser besteht auch bei unendlichen Dimensionen.<ref name="JD 20.3" />

:'''Anmerkung''': Die folgenden linearen Abbildungen jedoch, in deren Bezeichnung der griechische Buchstabe <math>\Psi</math> erscheint, sind daher ''Isomorphismen bei endlicher Dimension, bei unendlicher Dimension jedoch sind es lediglich Monomorphismen.''

Zusammen mit der [[#Universaldefinition|Universaldefinition]] erhält man auf diese Weise für <math>X=K</math> die folgende Identifikation:
:<math>
\begin{matrix}
\Psi\colon & V^*\otimes W^* &\stackrel{\sim}{\longrightarrow} & (V\otimes W)^*
&\stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L^2(V, W; K)
&\stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V,W^*) \\
& \lambda \otimes \mu &\longmapsto & [v\otimes w\mapsto \lambda(v)\mu(w) ]
&\longmapsto & [(v, w) \mapsto \lambda(v)\mu(w) ]
&\longmapsto & \big[v \mapsto \lambda(v) \mu = [w \mapsto\lambda(v)\mu(w) ]\big] \;.
\end{matrix}
</math>
Nun besteht ein kanonischer Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem [[Bidualraum]]:<ref group="Anm">Auch hier gilt: Ein Vektorraum unendlicher Dimension ist in seinen Bidualraum lediglich eingebettet.</ref>
:::<math>
\begin{matrix}
V &\stackrel{\sim}{\longrightarrow} & V^{**}, \\
v &\longmapsto & [\lambda \mapsto \lambda(v)]
\end{matrix}
</math>
Nutzt man diese Tatsache, so kann man das Tensorprodukt von <math>V</math> und <math>W</math> also auch als den [[Dualraum]] des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen <math>V\times W\to K</math> realisieren, endliche Dimensionen vorausgesetzt:
:<math>
\begin{matrix}
\Psi^\bullet_\bullet\colon & V \otimes W & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L^2(V,W; K)^*
& \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V^*,W) \\
& v \otimes w & \longmapsto & [\beta \mapsto \beta(v,w)]
& \longmapsto & [\mu \mapsto \mu(v)\cdot w ]
\end{matrix}
</math>
In Worten: Der Dualraum <math> L^2(V,W; K)^* </math> des Raumes <math> L^2(V,W; K) </math> der bilinearen Abbildungen ist eine Realisierung des Tensorprodukts <math> V \otimes W </math>. Dabei gilt ja <math> L^2(V,W; K)^* \cong L(V\otimes W, K)^* </math>. So kann man <math>V\otimes W</math> als denjenigen Unterraum des Raums der Bilinearformen aus <math> V^* \times W^* \to K</math> definieren, der von solchen der Gestalt <math> (\lambda, \mu) \mapsto \lambda(v) \cdot \mu(w) \in K</math> aufgespannt wird, wobei <math>v</math> und <math>w</math> die Vektorräume <math>V</math> bzw. <math>W</math> durchlaufen.<ref>Vgl. Bartel Leendert van der Waerden, Algebra II, § 24, S. 76 f.</ref> Im Falle unendlichdimensionaler Vektorräume ist es ein echter Unterraum (siehe obige Verweise).

Setzt man hierbei <math>W=K</math>, so erhält man als Sonderfall die eben bereits verwendete Tatsache zurück, dass der [[Bidualraum]] <math>V^{**}</math> eines endlichdimensionalen Vektorraums <math>V</math> mit diesem kanonisch identifiziert werden kann.

Wer sogar die nichtkanonische Identifikation <math> V \cong V^* </math> vornimmt (etwa aufgrund eines auf <math>V</math> definierten Skalarproduktes), gelangt sogar zur (leicht Verwirrung stiftenden) Identifikation <math> V \otimes W \cong L(V, W) </math>, denn sie verschweigt die Beimischung eines weiteren willkürlichen Tensors (eben des Skalarprodukts als einer Bilinearform). Stattdessen sollte die kanonische Identifikation <math>\Psi^\bullet\colon V^* \otimes W \;\stackrel{\sim}{\longrightarrow}\; L(V, W)</math> betrachtet werden. Dieser Homomorphismus und ähnliche Homomorphismen werden in den folgenden Unterabschnitten näher betrachtet.

==== Homomorphismen als Tensoren ====
Dieser Isomorphismus lässt sich (wie folgt) explizit auf den elementaren Tensoren angeben und wird linear auf allgemeine Tensoren fortgesetzt:
:<math>
\begin{matrix}
&\Psi\colon V^*\otimes W^* & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V, W^*) \, \\
\text{definiert durch} & \lambda \otimes \mu & \longmapsto & [\Psi(\lambda \otimes \mu)\colon v \mapsto \lambda(v) \cdot \mu] \;.
\end{matrix}
</math>

Ersetzt man nun <math>W</math> durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation <math>W\cong W^{**}</math> mit dem [[Dualraum#Bidualraum|Bidualraum]] für einen Vektorraum <math>W</math> ''endlicher'' Dimension, so erhält man einen Isomorphismus
:<math>
\begin{matrix}
& \Psi^\bullet\colon V^*\otimes W & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V,W) \, \\
\text{definiert durch} & \lambda \otimes w & \longmapsto & [\Psi^\bullet(\lambda \otimes w)\colon v \mapsto \lambda(v) \cdot w] \;,
\end{matrix}
</math>
der schon oben für den Fall <math>X=K=W</math> erwähnt wurde. Er darf als ''der'' kanonische Homomorphismus gelten, während die anderen hier genannten sich als Varianten aus ihm ergeben und nur der Vollständigkeit halber erwähnt werden. Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlichdimensional sind, ist <math>\Psi^\bullet</math> nur ein natürlicher ''Monomorphismus''.<ref>{{Literatur |Autor=Nicolas Bourbaki |Titel=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Datum=1998 |ISBN=3-540-64243-9 |Kapitel=§ 4. ''Relations between tensor products and homomorphism modules.'' 2. |Seiten=271 |Online={{archive.org |ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1 |Blatt=n294}}, nicht abrufbar}}</ref>

Ebenso lässt sich <math>V</math>, falls von endlicher Dimension, durch seinen Dualraum ersetzen, und man erhält:
:<math>
\begin{matrix}
& \Psi_\bullet\colon V \otimes W^* & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V^*, W^*) \, \\
\text{definiert durch} & v \otimes \mu & \longmapsto & [\Psi_\bullet(v \otimes \mu)\colon \lambda \mapsto \lambda(v) \cdot \mu] \;.
\end{matrix}
</math>

Wenn ''beide'' durch ihr Dual ersetzt werden, erhält man:
:<math>
\begin{matrix}
& \Psi^\bullet_\bullet\colon V\otimes W & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V^*, W) \, \\
\text{definiert durch} & v \otimes w & \longmapsto & [\Psi^\bullet_\bullet(v \otimes w)\colon \lambda \mapsto \lambda(v) \cdot w] \;.
\end{matrix}
</math>
Für den Vektorraum <math> L(V^*, W) </math> von Homomorphismen lässt sich unter diesen Voraussetzungen explizit zeigen, dass er die für <math>V\otimes W</math> geforderte [[#Universaldefinition|universelle Eigenschaft]] erfüllt, zusammen mit der bilinearen Abbildung <math>(v,w) \mapsto \Psi^\bullet_\bullet(v \otimes w) \in L(V^*, W) </math>. Auf diese Weise hat man für <math> V \otimes W </math> – auch ohne Konstruktion – eine konkrete Realisierung des Tensorproduktes gefunden, entsprechend natürlich für die anderen Beispiele.

Diese Realisierung liefert zudem ein greifbares Beispiel dafür, dass das Tensorprodukt auch für <math>V=W</math> nicht kommutativ ist:
:Es ist unmittelbar abzulesen, dass <math>\Psi</math> die beiden Tensoren <math> v_1 \otimes v_2 </math> auf verschiedene Homomorphismen abbildet, sobald sie nur linear unabhängig sind. Ist jedoch <math> v_1 = x v_2</math>, so gilt für die Bilder unter <math>\Phi</math> tatsächlich <math> \lambda(v_1) v_2 = \lambda( x v_2) v_2 = \lambda(v_2) xv_2 = \lambda(v_2) v_2 </math>, ganz analog zu der schon zuvor bekannten Rechenregel für Tensoren <math>v \otimes xv = xv \otimes v</math>.

Bringt man – dank der endlichen Dimensionen – den natürlichen Isomorphismus <math> L(V,W) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} L(W^*, V^*), \; f \longmapsto [f^*\colon \mu \mapsto \mu\circ f ] </math> zusammen mit <math> V^{**} \cong V </math> bzw. <math>W^{**} \cong W </math> ins Spiel, so erhält man weitere Identifikationen.

Die '''Umkehrabbildung''' von <math> \Psi^\bullet </math> – unter Voraussetzung endlicher Dimension von <math>W</math> – wird folgendermaßen konstruiert:<ref>Vgl. Bartel Leendert van der Waerden, ''Algebra'', Band 1, § 24, Aufgabe 2.</ref>
:Die Tatsache, dass für jede lineare Abbildung <math> f \in L(V, W) </math> und jede Linearform <math> \mu \in L(W, K) </math> das Kompositum <math> V \stackrel{f}{\rightarrow} W \stackrel{\mu}{\rightarrow} K </math> linear ist, bedeutet, dass folgende Abbildung wohldefiniert und ihrerseits linear ist:
::<math>
\begin{matrix}
& (\Psi^\bullet)^{-1}\colon L(V,W) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L^2(V, W^*; K) \cong (V\otimes W^*)^* \cong V^*\otimes W \, \\
\text{definiert durch} & f & \longmapsto & [ (v, \mu) \mapsto \mu(f(v)) ] \;.
\end{matrix}
</math>
:Sie ist injektiv, weil die [[duale Paarung]] <math> W^* \times W \to K, (\mu, w) \mapsto \mu(w) </math> [[Bilinearform#Nicht ausgeartete Bilinearform|nicht ausgeartet]] ist, das heißt, weil für jedes <math> w \in W \backslash\{0\} </math> ein <math> \mu \in W^* </math> existiert mit <math> \mu(w) \neq 0 </math>.
:Die Surjektivität folgt so: Ist <math> t \in L^2(V, W^*; K) </math> eine Bilinearform, so ist für jedes (festgehaltene) <math> v \in V </math> die [[Currying|partielle Abbildung]] <math> t(v, \cdot) \in L(W^*, K) = W^{**} </math> als ein Vektor <math> w_v \in W^{**} \stackrel{!}{=} W </math> des Bidualraumes zu verstehen, der jedoch (unter Verwendung von <math>\dim W < \infty </math> beim Ausrufezeichen) in kanonischer Weise mit <math> W </math> selbst zu identifizieren ist. Setzt man nun <math> f(v) := w_v </math>, so erhält man eine lineare Abbildung <math> f \in L(V, W) </math> mit <math> \mu(f(v)) = \mu (w_v) = t(v, \cdot)(\mu) = t(v, \mu) </math>, wie gewünscht.
:: Diese Abbildung tauchte bereits oben als Abbildung <math> \Xi </math> auf, die durch bloßes [[Currying]] gewonnen wurde: Dafür ist lediglich <math> W </math> durch <math>W^* </math> zu ersetzen. Tatsächlich ist bereits durch Currying klar, dass eine Bilinearform <math> t \in L^2(V, W^*; K) = L(V, L(W^*; K)) \stackrel{!}{=} L(V, W) </math> als Homomorphismus zu verstehen ist, wenn man beim Gleichheitszeichen <math> \stackrel{!}{=} </math> die Identifikation <math> W^{**} = W </math> voraussetzen darf.

Homomorphismen aus <math> L(V, W) </math> lassen sich also als Bilinearformen interpretieren. Die Abbildungen <math> \Psi^\bullet </math> und <math> \Psi_\bullet </math> bzw. die Umkehrabbildung liefern im Falle <math>W=V</math> Interpretationen der so genannten [[#Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)|gemischten Tensoren]] als Endomorphismen auf <math>V</math>; weitere Einzelheiten siehe [[#Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines Endomorphismus|diesen Abschnitt]].

===== Homomorphismen einfacher Tensoren =====
Im Lichte der Identifikation von Tensoren mit Homomorphismen wird deutlich, was [[#Elementare Tensoren als Erzeugende|'''einfache''', '''reine''' oder '''elementare Tensoren''']] sind: Sind sie von Null verschieden, so entsprechen ihnen die Homomorphismen vom Rang 1, also diejenigen Homomorphismen <math>f</math>, für die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
* Es gibt einen Vektor <math> w \in \operatorname{Bild} f \backslash \{0\} </math> mit <math>\operatorname{Bild} f = K \cdot w</math>.
* <math> \dim_K \operatorname{Bild} f = 1 </math>
* Für eine (und mithin jede) Darstellungsmatrix <math>A = (a_{ij})</math> gilt: <math> \operatorname{rang} A = 1 </math>.
* Eine (und mithin jede) Darstellungsmatrix <math>A = (a_{ij})</math> ist [[Matrizenprodukt]] (vgl. [[#Beispiel: Kronecker-Produkt bei endlicher Dimension|diesen Abschnitt, erstes Beispiel]]) aus einem Spaltenvektor <math>\boldsymbol{y} := \begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix} \neq 0</math> und Zeilenvektor <math> \boldsymbol{x}:= (x_1 \dots, x_n) \neq 0</math>, also <math> A = \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{x} </math>.
* Mit geeignet gewählten <math> x_j \in K \; (j=1, \dots, n:= \dim V)</math> und <math> y_i \in K\; (i=1, \dots, m:= \dim W)</math> gilt für die Einträge <math>a_{ij}</math> der Matrix: <math>\forall \; 1\leq i\leq m, \; 1\leq j\leq n\colon a_{ij} = y_i \cdot x_j</math>.

Welche Rolle Spalten- und Zeilenvektor spielen, wird im [[#Aus Sicht des Matrizenkalküls|folgenden Abschnitt]] klar.

Die genannte Charakterisierung ist für die [[Quantenverschränkung]] von Interesse: Gemäß der [[Quantenverschränkung#Mathematische Betrachtung|dortigen mathematischen Beschreibung]] korrespondieren die einfachen Tensoren mit den ''separablen'' oder ''Produkt''zuständen. ''Verschränkt'' sind hingegen jene Zustände, die nicht separabel sind. Die Koordinatenmatrix <math>A = (a_{ij})</math> verschränkter Zustände ist also durch <math>\operatorname{rang} A > 1</math> gekennzeichnet.

===== Aus Sicht des Matrizenkalküls =====
Es lohnt sich zu beleuchten, wie sich die Abbildung <math>\Psi^\bullet</math> im Matrizenkalkül widerspiegelt. Um das Ergebnis vorwegzunehmen: Die Abbildung <math>\Psi^\bullet</math> besagt, dass eine Matrix
::<math>A :=
\begin{pmatrix}
a^1_1 & a^1_2 & \dots & a^1_n \\
a^2_1 & a^2_2 & \dots & a^2_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a^m_1 & a^2_2 & \dots & a^m_n
\end{pmatrix} \; ,
</math>
die einen Homomorphismus <math>f \in L(V,W)</math> bezüglich zweier Basen <math>\underline{v}</math> und <math>\underline{w}</math> von <math>V</math> bzw. <math>W</math> darstellt, sich als Tensor auffassen lässt, indem man die Zeilen als Linearformen <math>\lambda^i \in V^*</math> auf dem als Spaltenvektorraum notierten Vektorraum <math>V</math> auffasst:
::<math>
\begin{pmatrix}
( a^1_1 & a^1_2 & \dots & a^1_n ) \\
( a^2_1 & a^2_2 & \dots & a^2_n ) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
( a^m_1 & a^2_2 & \dots & a^m_n )
\end{pmatrix} \; .
</math>
So liefert die [[Abbildungsmatrix|Darstellungsmatrix]] <math>A = M^{\underline{v}}_{\underline{w}}(f)</math> in jeder Zeile für je einen eindimensionalen Unterraum <math>w_i \cdot K \subset W </math> eine Linearform <math>\lambda^i \in V^*</math>, sodass sich in der direkten Summe über diese Unterräume die gesamte Abbildung ergibt.
Denn genau dies geschieht bei der Multiplikation der Matrix <math> A </math> mit einem Koordinatenvektor.
Dabei wird die Notation mit hochgestellten Indizes verwendet, also <math>a^i_j</math> anstelle von <math>a_{ij}</math>. Diese Notation wird gerne benutzt, wenn duale Beziehungen durch die Notationsweise verdeutlicht werden sollen. (Häufig findet dann die [[einsteinsche Summenkonvention]] Anwendung.) Hochgestellte Indizes sind also im Folgenden keine Potenzen.

'''Zur Erläuterung''': Es seien also <math> V, W </math> Vektorräume über dem Körper <math>K</math> endlicher Dimension mit <math> n := \dim V </math> und <math> m := \dim W </math>,
:<math> v_1, v_2, \dots, v_n </math> eine Basis von <math>V</math> und <math> w_1, w_2, \dots, w_m </math> eine Basis von <math>W</math>.
Dann sind diese Vektorräume die (inneren) direkten Summen ihrer eindimensionalen Unterräume <math> V_j := K\cdot v_j</math> bzw. <math> W_i := K\cdot w_i</math>:
:<math>
V = \bigoplus_{j=1}^n V_j \quad\text{ und } \quad W = \bigoplus_{i=1}^m W_i
</math>
Mit den kanonischen Projektionen <math> \pi_i\colon W \to W_i </math> (für <math>i=1,\dots,m</math>) gilt für jedes <math>v \in V </math> die Beziehung <math> f(v) = \sum_{i=1}^m \pi_i \circ f (v) </math>, also lässt sich <math> f </math> als Summe
:<math> f = \sum_{i=1}^m \pi_i \circ f
</math>
einzelner Abbildungen
:<math>
f^i := \pi_i \circ f \in L(V, W_i)
</math>
darstellen, wobei stillschweigend die Einbettung <math>L(V, W_i) \subset L(V, W)</math> vorgenommen wird, da nur in diesem gemeinsamen „Oberraum“ die Addition der <math>f^i</math> ausgeführt werden kann. Definiert man nun für jedes <math> i = 1, \dots, m </math> eine Abbildung <math> \lambda^i\colon V \to K </math> vermöge der Gleichung
:<math>
\forall\, v\in V\colon f^i(v) =: w_i \cdot \lambda^i(v) \;,
</math>
so erhält man Linearformen <math> \lambda^i \in V^* </math>, für die folgende Beziehung gilt:
:<math>
f(v) = \sum_{i=1}^m w_i \cdot \lambda^i(v) \; .
</math>
Damit wird deutlich, wie die Abbildung <math> \Psi^\bullet </math> zu verstehen ist: Die lineare Abbildung <math> f \in L(V,W) </math> ist unter <math> \Psi^\bullet </math> das Bild des Tensors <math> \sum_{i=1}^m \lambda^i \otimes w_i </math>:
:<math>
\Psi^\bullet \left(\sum_{i=1}^m \lambda^i \otimes w_i \right) = f \; .
</math>
Die Abbildung <math> f </math> lässt sich also vermittels <math> \Psi^\bullet </math> als Tensor auffassen, nämlich als Summe elementarer Tensoren <math> \lambda^i \otimes w_i </math>, deren jeder die zugehörige Komponentenabbildung <math> f^i </math> darstellt.

Mit der obigen darstellenden Matrix <math>A</math> bestimmt man für einen Vektor <math>v\in V </math> mit Koordinatendarstellung <math> v =: \sum_{j=1}^n v_j \cdot x^j </math> gemäß Matrizenkalkül die Koordinatendarstellung des Bildvektors <math> f(v) </math> bekanntlich gemäß der Gleichung
:<math>
\begin{matrix}
f(v) &=& w_1 \cdot \underbrace{\sum_{j=1}^n a^1_j x^j}_{=: y^1} &+ \dots +& w_m \cdot \underbrace{\sum_{j=1}^n a^m_j x^j}_{=:y^m} \\
&=:& \sum_{i=1}^m w_i \cdot y^i \; .
\end{matrix}
</math>
Durch Vergleich mit der obigen Gleichung <math>f(v) = \sum_{i=1}^m w_i \cdot \lambda^i(v) </math> erkennt man, wie sich die Linearformen <math> \lambda^i </math> in der darstellenden Matrix <math>A</math> wiederfinden: Es sind gerade die Zeilenvektoren.
<math>
\lambda^i(v) = \sum_{j=1}^n a^i_j x^j = y^i\; \text{ für } i = 1, \dots m \; .
</math>
Für die Koeffizienten der Matrix <math> A = \left( a^i_j \right)^i_j</math> gilt also:
:<math>
a^i_j = \lambda^i(v_j) .
</math>
Hierin drückt sich die bekannte Merkregel aus, dass in der <math>j</math>-ten Spalte (<math>j=1, \dots, n</math>) der darstellenden Matrix <math>\left( a^i_j \right)^i_j</math> der – auf die Basis <math> \underline{w} </math> des Bildraums <math>W</math> bezogene – Koordinatenvektor <math>\left( a^i_j \right)^i</math> der Bildes <math>f(v_j) = \sum_{i=1}^m f^i(v_j) = \sum_{i=1}^m w_i \cdot \lambda^i(v_j) = \sum_{i=1}^m w_i \cdot a^i_j</math> des Basisvektors <math> v_j </math> steht.

:Anmerkung: Die dazu duale Merkregel besagt, dass in der <math>i</math>-ten Zeile (<math>i=1, \dots, m</math>) der darstellenden Matrix <math>\left( a^i_j \right)^i_j</math> der – auf die zur Basis <math> \underline{v} </math> des Definitionsraums <math>V</math> duale Basis <math> \underline{v}^* </math> des Dualraums <math>V^*</math> bezogene – Koordinatenvektor <math>\left( a^i_j \right)_j</math> desjenigen Kovektors <math> \lambda^i \in V^* </math> steht, der die Abbildung <math> f </math> in der <math>i</math>-ten Bildkomponente darstellt: <math>\pi_i \circ f (v) = f^i(v) = w_i \cdot \lambda^i(v)</math>.

Bezeichnet <math>\underline{v}^* = (v_1^*, \dots, v_n^*) \in V \times\dots\times V </math> die zu <math>\underline{v}</math> gehörige [[Dualraum|duale Basis]] des [[Dualraum]]s <math>V^*</math> von <math>V</math> ― definiert durch <math>v_i^*(v_j) = \delta^i_j</math> (<math>1 \leq i,j \leq n</math> mit dem [[Kronecker-Delta]]) ―, so lässt sich die lineare Abbildung als Linearkombination schreiben:
:<math>
f = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n w_i \cdot a^i_j \cdot v_j^*
</math>
Dies ist ja gerade die definierende Gleichung für die [[Darstellungsmatrix]] <math>M^{\underline{v}}_{\underline{w}} (f) =: A = (a^i_j)</math>, welche die Abbildung <math>f</math> bezüglich der Basen <math>\underline{v}</math> und <math>\underline{w}</math> darstellt.

Unter der Abbildung <math>\Psi^\bullet</math> korrespondieren also <math>a^i_j \cdot v_j^* \otimes w_i</math> und <math>w_i \cdot a^i_j \cdot v_j^* </math> miteinander: Dies sind die einfachen Tensoren, aus denen die Abbildung <math>f</math> zusammengesetzt ist.

Im Folgenden soll demonstriert werden, dass die Anwendung des Matrizenkalküls auf die Spaltenvektoren der zugehörigen Koordinatenräume <math> K^n \cong V</math> bzw. <math>K^m \cong W </math> implizit genau diese Zerlegung der linearen Abbildung <math> f </math> in die Summe von Linearformen <math> \lambda^i </math> vornimmt. Dazu sei zunächst darauf hingewiesen, dass Skalare <math> x \in K </math> – aufgefasst als <math>1\times 1</math>-Matrizen – an ''Spalten''vektoren von ''rechts'', an ''Zeilen''vektoren jedoch von ''links'' heran multipliziert werden müssen. Dies ist zwar bei kommutativen Körpern (wie hier) gleichgültig, doch ist für den Formalismus hilfreich, dies im Hinterkopf zu behalten. Nun kann man die Matrix <math>A</math> in folgender – zunächst zweckfrei erscheinenden – Weise in eine Summe zerlegen, ganz der Zerlegung <math>f = \sum_{i=1}^m f^i = \sum_{i=1}^m w_i \cdot \lambda^i \in L(V,W) </math> entsprechend:
:<math>
\begin{align}
A &=&
\begin{pmatrix}
a^1_1 & a^1_2 & \dots & a^1_n \\
a^2_1 & a^2_2 & \dots & a^2_n \\
a^3_1 & a^3_2 & \dots & a^3_n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a^m_1 & a^m_2 & \dots & a^m_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a^1_1 & a^1_2 & \dots & a^1_n \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 \\
a^2_1 & a^2_2 & \dots & a^2_n \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 0
\end{pmatrix}
+ \dots +
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
a^m_1 & a^m_2 & \dots & a^m_n
\end{pmatrix}
\\
&=&
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}}_{\cong w_1}
\cdot
\underbrace{
\Big(
\begin{matrix} a^1_1 & a^1_2 & \dots & a^1_n \end{matrix}
\Big)}_{=\lambda^1\; \text{als Kovektor }}
+
\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}}_{\cong w_2}
\cdot
\underbrace{
\Big(
\begin{matrix} a^2_1 & a^2_2 & \dots & a^2_n \end{matrix}
\Big)}_{=\lambda^2\; \text{als Kovektor}}
+ \dots +
\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\cong w_m}
\cdot
\underbrace{
\Big(
\begin{matrix} a^m_1 & a^m_2 & \dots & a^m_n \end{matrix}
\Big)}_{= \lambda^m\; \text{als Kovektor}}
\end{align}
</math>
Die Linearformen <math>\lambda^i</math> sind als Kovektoren (hier also Zeilenvektoren) im Koordinatenraum <math> K^n</math> bezüglich der zu <math> (v_j) </math> dualen Basis <math>(v_j^*)</math> (definiert durch <math>v_{j_1}^*(v_{j_2}) := \delta^{j_1}_{j_2}</math> ([[Kronecker-Symbol]])) dargestellt. Die links von diesen Linearformen stehenden Einheitsvektoren sind die Koordinatenvektoren der Basisvektoren <math>w_i</math> und stehen für die Projektionen <math>\pi_i</math>. Multipliziert man nun einen Koordinatenvektor <math>(x^j)^j \in K^n</math> für einen Vektor <math> v =: \sum_{j=1}^n v_j \cdot x^j </math> (von rechts) an die Matrix <math>A</math>, beachtet Distributivität und Assoziativität des Matrizenkalküls, so ergibt sich:
:<math>
A
\cdot
\begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}
=
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}}_{\cong w_1}
\cdot
\underbrace{
\Big(
\begin{pmatrix} a^1_1 & a^1_2 & \dots & a^1_n \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}
\Big)}_{=\lambda^1(v) = y^1}
+ \dots +
\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}}_{\cong w_m}
\cdot
\underbrace{
\Big(
\begin{pmatrix} a^m_1 & a^m_2 & \dots & a^m_n \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}
\Big)}_{= \lambda^m(v) = y^m}
</math>
Dabei stellen die links von den Skalarfaktoren <math>\lambda^i(v)</math> stehenden Einheitsvektoren gerade die ''Koordinatenvektoren der Basisvektoren'' <math>w_i</math> dar. Diese Beziehung ist also die Entsprechung für die obige Zerlegung der Abbildung <math>f</math> in eine Summe elementarer Tensoren <math> f = \Psi^\bullet ( \sum_{i=1}^m \lambda^i \otimes w_i ) </math>. Sie überträgt diese Zerlegung in die zugehörigen Koordinatenräume (bei gegebener Basiswahl) und zerlegt die Matrix <math>A</math> in eine Summe von Linearformen. Die Abbildung <math>\Psi^\bullet</math> wird im Matrizenkalkül also inhärent vollzogen.

Ähnlich lässt sich mit Hilfe der kanonischen Einbettungen <math> \varepsilon_j\colon K\cdot v_j := V_j \subset V </math> eine (zu <math>\pi_i </math> duale) Zerlegung angeben. Insgesamt ergibt sich die bekannte Tatsache, dass die Familie <math> \left( f^i_j \right)^i_j</math> der linearen Abbildungen <math> f^i_j\colon V_j = K\cdot v_j \stackrel{\varepsilon_j}{\longrightarrow} V \stackrel{f}{\longrightarrow} W \stackrel{\pi_i}{\longrightarrow} W_i = K\cdot w_i </math> durch die Familie (lies: Matrix) <math>\left(a^i_j\right)^i_j</math> von Koeffizienten <math>a^i_j</math> gegeben ist: <math>f^i_j (v) = a^i_j\cdot w_i</math> für <math>v\in V_j</math>. Dabei korrespondiert offenbar <math>f^i_j</math> mit <math>w_i \cdot a^i_j v_j^*</math>, also unter <math>\Psi^\bullet</math> mit <math>a^i_j \cdot v_j^* \otimes w_i </math>. Dies soll nun in kompakter Notationsweise gezeigt werden, die bei der Betrachtung des [[#Kontravarianz kontra Kovarianz: Tensoriell versus funktoriell|tensoriellen Transformationsverhaltens]] von Nutzen ist.

===== Die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten =====
Notiert man einen Vektor <math>v = \sum_{j=1}^n v_j \cdot x^j \in V </math> mit seinem Koordinatenvektor <math> \begin{pmatrix} x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} </math> bezogen auf die – als Zeile notierte – geordnete Basis <math>\underline{v} = (v_1, \dots, v_n) </math> in der Form <math> v = \underline{v} \cdot \begin{pmatrix} x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} </math> (und entsprechend für Vektoren in <math>W</math> mit seiner Basis <math>\underline{w} = (w_1, \dots, w_m)</math>), und geht man von der definierenden Gleichung
:<math>
f = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n w_i \cdot a^i_j \cdot v_j^*
</math>
für die Darstellungsmatrix <math>A=(a^i_j)</math> aus und notiert den Bildvektor <math> f(v) </math> mit seinen Koordinaten <math>y^i</math> bezüglich der Basis <math>\underline{w}</math> entsprechend, so erhält man:

:<math>
\begin{array}{cccccccc}
\underline{w} \cdot \begin{pmatrix} y^1 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix}
&:=& & f(v) \\
&=& \sum\limits_{k=1}^n & f(v_k) & & &\cdot & x^k \\
&=& \sum\limits_{k=1}^n & \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n w_i &\cdot& a^i_j \cdot v_j^* (v_k) &\cdot & x^k \\
&=& \sum\limits_{k=1}^n & \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n w_i &\cdot& a^i_j \cdot \delta^j_k &\cdot & x^k \\
&=& & \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n w_i &\cdot& a^i_j &\cdot & x^j \\
&=& & \sum\limits_{i=1}^m w_i &\cdot& \sum\limits_{j=1}^n a^i_j &\cdot & x^j \\
&=& & \underline{w} &\cdot& A &\cdot & \begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}
\end{array}
</math>

Zur Abkürzung setze man
:<math>
f \cdot \underline{v} := f(\underline{v}) := \left( f(v_1), \dots, f(v_m) \right) \in \underbrace{W\times\dots\times W}_{m\text{ Mal}}
</math>
und notiere die geordnete duale Basis <math>\underline{v}^*</math> als Spalte:
:<math>
\underline{v}^* := \begin{pmatrix} v^1 \\ \vdots \\ v^m \end{pmatrix} \in \underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{m\text{ Mal}}\;,
</math>
wobei <math>v^j := v^*_j \in V^*</math>.

Weiter setze man zur Abkürzung <math> v^i \cdot v_j := v^i(v_j) =: v_j \cdot v^i</math>, sodass <math> \underline{v}^* \cdot \underline{v} = (\delta^i_j)^i_j = E_m</math>.

Dann lautet die definierende Gleichung für die Darstellungsmatrix <math>A =: \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]}</math> von <math>f</math> bezogen auf die Basen <math>\underline{v}</math> und <math>\underline{w}</math> schlicht und suggestiv
:<math>
f = \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \cdot \underline{v}^* \,,
</math>
oder äquivalent:
:<math>
f \cdot \underline{v} = \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \cdot \underbrace{\underline{v}^* \cdot \underline{v}}_{=\left( \delta^i_j\right)^i_j = E_m} = \underline{w} \cdot A
</math>

Dabei liegen die einfachen Tensoren <math> w_i \cdot a^i_j \cdot v^j \in L(V, w_i \cdot K) \subset L(V,W) </math> und können infolgedessen in diesem Raum aufsummiert werden. Sie korrespondieren mit <math> \pi_j \circ f \circ \varepsilon_j </math>.

Mit diesen Notationen gilt für eine Matrix <math> A = (a^i_j)^i_j \in \operatorname{Mat} (m\times n, K) </math> und eine lineare Abbildung <math>f\in L(V,W)</math>:
:<math>
\begin{array}{crcl}
\Psi^{\bullet}\colon & V^* \otimes W & \longrightarrow & L(V, W) \\
& \left(\sum_{i, j} a^i_j \cdot v^j \otimes w_i \right) & \longmapsto & w_i \cdot A \cdot v^j = f \text{, wenn } A = \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]}
\end{array}
</math>
In Worten: Die Abbildung <math>\Psi^\bullet</math> deutet die Einträge der Darstellungsmatrix als Koordinaten des zugehörigen Tensors: Die Darstellungsmatrix liefert die Koordinatendarstellung des Tensors bezogen auf die induzierte Basis <math>v^j \otimes w_i</math>.

Für die duale Abbildung <math> f^* \in L(W^*, V^*), \; \mu \mapsto f^*(\mu) =: \mu\circ f </math> gilt mit dieser Notation im Übrigen
:<math>
f^*(\mu) = \mu \cdot f = \mu \cdot \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \cdot \underline{v}^*
</math>
oder – wenn man an die Stelle von <math>\mu</math> das Tupel der geordneten dualen Basis <math>\underline{w}^* = \big( w^1, \dots, w^m\big)</math> einsetzt – in dualer Analogie zu obigen Beziehungen:
:<math>
f^*(\underline{w}^*) := \big( f^*(w^1), \dots, f^*(w^m) \big) := \underline{w}^* \cdot f := \overbrace{\underline{w}^* \cdot \underline{w}}^{E_m} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \cdot \underline{v}^* = \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \cdot \underline{v}^*
</math>

An der definierenden Gleichung für die Darstellungsmatrix sind erneut die beiden oben erwähnten Merkregeln ablesbar:
* Die Klammerung <math>f = \underline{w} \cdot \left( \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \cdot \underline{v}^* \right) </math> oder aber die Gleichung <math>f \cdot \underline{v} = \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]}</math> zeigen: In der <math>j</math>-ten Spalte der darstellenden Matrix <math>A</math> stehen die Koordinaten <math>y^i</math> des Bildes <math>f(v_j)</math> des <math>j</math>-ten Basisvektors <math>v_j</math>, – und dazu dual:
* Die Klammerung <math>f = \left( \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \right) \cdot \underline{v}^* </math> bzw. die Gleichung <math>\underline{w}^* \cdot f = \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[f]} \cdot \underline{v}^*
</math> zeigen gleichermaßen: In der <math>i</math>-ten Zeile der darstellenden Matrix <math>A</math> stehen die Koordinaten derjenigen Linearform <math>\lambda^i</math>, welche die <math>i</math>-te Komponentenabbildung <math> f^i\colon V \to W_i</math> auf den vom Basisvektor <math>w_i</math> aufgespannten Unterraum <math> W_i = K \cdot w_i </math> beschreibt.

Man beachte, dass diese Notationsweise gültig bleibt, wenn <math>V</math> und <math>W</math> Rechts-Vektorräume über einem Schiefkörper <math>K</math> sind, sodass ihre Dualräume <math>V^*</math> bzw. <math>W^*</math> Links-Vektorräume über <math>K</math> sind. Diese Tatsache wird später aufgegriffen, wenn das [[Tensorprodukt#Kontravarianz kontra Kovarianz: Tensoriell versus funktoriell|kovariante bzw. kontravariante Transformationsverhalten gemischter Tensoren]] beleuchtet wird.

==== Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines Endomorphismus ====
Der Vektorraum <math>V</math> habe endliche Dimension. Setzt man in den obigen natürlichen Homomorphismen <math> W = V </math>, so erhält man den Isomorphismus
:<math>
\begin{matrix}
& \Psi^\bullet\colon V^*\otimes V & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(V,V) = \mathop{\mathrm{End}}(V) \,, \\
\text{definiert durch} & \lambda \otimes v & \longmapsto & [v' \mapsto \lambda(v') \cdot v]
\end{matrix}
</math>
auf den einfachen Tensoren, nach dem [[#Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren Tensoren|Prinzip der linearen Fortsetzung]] auf den von diesen aufgespannten Tensorraum allgemeiner Tensoren fortgesetzt. Dabei genügt es, sich auf jene einfachen Tensoren <math> \lambda^i \otimes v_j </math> zu beschränken, die von Basisvektoren <math>\lambda^i \in V^* </math> bzw. <math> v_j \in V </math> gebildet werden, denn diese spannen den ganzen Tensorraum auf.

Die Umkehrabbildung kann wie folgt beschrieben werden:
:Es sei <math> B = \{ v_1, \dots, v_m \} </math> eine Basis von <math> V </math>, <math> V_i := K \cdot v_i </math>, sodass <math> V = \bigoplus_{i} V_i </math>. Die kanonischen Projektionen seien mit <math> \pi_i\colon V \to V_i </math> bezeichnet. Für <math> f \in L(V,V) = \operatorname{End}(V) </math> sei <math> f^i := \pi_i \circ f \in L(V,V_i) \subset L(V,V) </math>, sodass <math> f = \sum_i f^i </math>. Die Abbildung <math> f^i </math> definiert eine Linearform <math> \lambda^i \in V^* </math> durch <math> \forall v \in V\colon f^i (v) = \lambda^i(v) \cdot v_i</math>. Mit diesen [[Dualraum|Kovektoren]] <math> \lambda^i </math> gilt gerade <math> \Psi^\bullet( \sum_{i=1}^m \lambda^i \otimes v_i ) = f </math>.
:Bezeichnet <math> (v_i^*)_i </math> die dazu [[Dualraum#Basis des Dualraums|duale Basis]] aus Kovektoren ([[Linearform]]en) <math> v^{(i)} := v_i^* \in V^* </math>, so können die Kovektoren <math> \lambda^i </math> als Summe dargestellt werden: <math> \lambda^i = \sum_{j=1}^m a^{i}_{j} \cdot v^{(j)} </math>. Dann ist
::<math> (\Psi^\bullet)^{-1}(f) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m a^{i}_{j} \cdot v^{(j)} \otimes v_i
</math>.

:Die quadratische Matrix <math> (a^{i}_{j}) </math> stellt den Tensor (bezüglich der Basis <math> B </math>) dar und ist zugleich die diesbezügliche [[Bilinearform#Koordinatendarstellung|Darstellungsmatrix]] des Endomorphismus <math> f </math> auf <math> V </math>.

Nun betrachte die naheliegende [[Bilinearform]]
:<math>
\begin{array}{rccc}
s\colon & V^* \times V & \longrightarrow & K \\
& (\lambda, v) & \longmapsto & \lambda(v)
\end{array}
</math>
:Anmerkung: Diese Abbildung ist die durch die '''Auswertung''' ('''Evaluation''') der Linearform induzierte [[duale Paarung]]: Bei den Betrachtungen über den [[Bidualraum]] <math>V^{**}</math> wird gezeigt, dass sie [[Bilinearform#Nicht ausgeartete Bilinearform|nicht ausgeartet]] und bei endlicher Dimension folglich eine [[Bilinearform#Nicht ausgeartete Bilinearform|perfekte Paarung]] ist, sodass <math> V^{**} \cong V </math> kanonisch isomorph sind: Ein Vektor induziert durch die jeweilige Auswertung der [[Dualraum|Kovektoren]] auf ihm eine [[Linearform]] auf den Kovektoren, also können Vektoren als Linearformen auf den Kovektoren aufgefasst werden.

Gemäß der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft]] gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung <math> \mathop{\mathrm{Sp}}\colon V^* \otimes V \to K </math> mit <math> \mathop{\mathrm{Sp}}( \lambda \otimes v) = \lambda(v) </math>.

Auf diese Weise erhält man eine Bilinearform, die so genannte [[Spur (Mathematik)|Spur(bildung)]] (trace):
:<math>
\begin{array}{rccc}
\mathop{\mathrm{Sp}}\colon & V^* \otimes V & \longrightarrow & K \\
& \lambda \otimes v & \longmapsto & \lambda(v)
\end{array}
</math>
Diese Abbildung lässt sich (mit Hilfe von <math> \Psi^\bullet </math>) als Abbildung auf den Endomorphismen von <math> V </math> interpretieren.
Da für die [[Dualraum#Basis des Dualraums|duale Basis (gemäß ihrer Definition)]] <math> v_j^* (v_i) = \delta^j_i </math> ([[Kronecker-Delta]]) gilt, folgt für die Spur eines Endomorphismus: <math> \mathop{\mathrm{Sp}} (f) = \sum_i a^i_i </math>, in Worten: Die Spur eines Endomorphismus ist die Summe der Diagonaleinträge einer [[Bilinearform#Koordinatendarstellung|Darstellungsmatrix]]. Dabei zeigen die Überlegungen, dass die Spur unabhängig von der Basiswahl ist.

Für Matrizen (gemäß der [[#Koordinatendarstellung von Tensoren|Koordinatendarstellung von Tensoren]]) lässt sich dies unmittelbar einsehen:<ref>Siehe Bartel Leendert van der Waerden, 4. Kapitel, § 26 Ende.</ref>
: Denn die Spur ist gegenüber Vertauschung invariant. Sind nämlich <math> A = (a^i_j) </math> und <math> B = (b^i_j) </math> zwei Matrizen, so gilt
::<math>
\mathop{\mathrm{Sp}}(AB) = \sum_i \left(\sum_k a^i_k b^k_i \right) = \sum_k \left(\sum_i b^i_k a^k_i \right) = \mathop{\mathrm{Sp}}(BA)
</math>
: Also ist für drei Matrizen <math> \mathop{\mathrm{Sp}}(A(BC)) = \mathop{\mathrm{Sp}}(BCA) </math>. Ist <math> A </math> eine Übergangsmatrix mit Inverser <math> C := A^{-1} </math>, so erhält man die Unabhängigkeit von der Basiswahl.

Eine weitere Perspektive auf die Spur liefert das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] <math> \chi_f(X) = \det ( f - X\cdot \mathrm{id}_V ) </math> eines Endomorphismus <math> f \in \mathrm{End}(V) \cong V^* \otimes V </math> bzw. einer dazugehörigen [[Bilinearform#Koordinatendarstellung|Darstellungsmatrix]] <math> A</math>: <math> \chi_A(X) = \det ( A - X\cdot E_n ) </math>, wobei <math> n := \dim V < \infty </math>. Dieses Polynom (in der Unbekannten <math> X </math>) hängt nicht von der Basiswahl ab: <math> \chi_A(X) = \chi_{T^{-1}AT}(X)</math>. Die Spur ist gerade der Koeffizient des Monoms <math> X^{n - 1} </math>.
:Hintergrund: Ein Endomorphismus <math> f \in \mathrm{End}(V) </math> induziert auf <math> V </math> die Struktur eines Moduls über dem [[Polynomring]] <math> K[X] </math> in einer Unbekannten <math> X </math> durch <math> P(X) \cdot v := \underbrace{P( f )}_{\in\mathrm{End}(V)} (v) \in V </math>. Auf diese Weise wird <math> V </math> zu einem Modul über dem [[Hauptidealring]] <math> R := K[X] </math>, der wegen <math> n < \infty </math> endlich erzeugt ist. (Dieser Polynomring enthält den Körper <math>K</math> und ist sogar ein [[euklidischer Ring]].) Das charakteristische Polynom ist eine Strukturinvariante dieses Moduls, die durch den [[Elementarteilersatz]] (verstanden als [[Hauptidealring#Moduln über Hauptidealringen|Struktursatz für Moduln über Hauptidealringen]]) in Erscheinung tritt: Der [[Satz von Cayley-Hamilton]]<ref group="Anm">Zum Beweis des Satzes siehe bspw. [https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Lineare_Algebra:_Endomorphismen:_Satz_von_Cayley-Hamilton Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton], auf wikibooks.org.</ref> zeigt, dass es sich um einen [[Torsion (Algebra)|Torsionsmodul]] handelt, da <math> \chi_f(X) \cdot V = \{0\} </math>. Daher teilt das [[Minimalpolynom]] das charakteristische Polynom, denn es ist das (hinsichtlich der [[Euklidischer Ring#Definitionen|Gradfunktion]] <math> \deg </math> als [[Euklidischer Ring#Definitionen|Bewertungs- oder Höhenfunktion]]) „minimale“ Polynom mit dieser Eigenschaft. Das [[Polynom#Definition|Absolutglied]] des charakteristischen Polynoms ist im Übrigen die Determinante: <math> \chi_f(0) = \det f </math> bzw. <math> \chi_A(0) = \det A </math>. Spur und Determinante werden im Abschnitt über die [[#Norm und Spur kommutativer Algebren|Norm und Spur kommutativer Algebren]] aufgegriffen.

Die Spur ist der Spezialfall der '''[[Tensorverjüngung]]''' oder '''Kontraktion''' für einfach kovariante und einfach kontravariante Tensoren, also jene vom Typ <math>(1,1)</math>: Siehe dazu den Abschnitt über [[#Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)|Tensoren vom Typ <math>(r,s)</math>]].

=== Multilineare Abbildungen und das mehrfache Tensorprodukt ===
Einer Erweiterung der bisherigen Betrachtungen auf mehr als zwei Vektorräume als „Faktoren“ des Tensorprodukts steht nichts entgegen: Es geht dann nicht mehr um ''bi''lineare Abbildungen, sondern um ''multi''lineare Abbildungen und das <math>N</math>-fache Tensorprodukt.

Für eine endliche Indexmenge <math>I = \{1, \dots, N\}</math> mögen <math>V^{(i)}, i \in I </math> Vektorräume über dem Grundkörper <math>K</math> der (nicht notwendig endlichen) Dimensionen <math>\dim V^{(i)} =: m_i </math> bezeichnen. Ihre Basen seien mit <math> B^{(i)} </math> (für <math>V^{(i)} </math>) bezeichnet.
Die Basisvektoren seien mit <math> v^{(i)}_k, k=1, \dots, m_i</math> bezeichnet.

Eine <math>N</math>-fach multilineare Abbildung <math> \prod_{i \in I} V^{(i)} \to X </math> in einen <math>K</math>-Vektorraum <math>X</math> ist eine Abbildung, die in jeder Komponente (bei festgehaltenen übrigen Komponenten) linear über <math>K</math> ist. Der Raum dieser multilinearen Abbildungen wird mit <math> L^N(V^{(1)}, \dots, V^{(N)} ; X) </math> bezeichnet.

==== Definition durch Konstruktion ====
Zur Bequemlichkeit sei <math> B := \prod_{i\in I} B^{(i)} </math> gesetzt.

Setze als Tensorproduktraum
<math>
\bigotimes_{i\in I} V^{(i)} := \bigoplus_{\beta \in B} K \cdot (\otimes(\beta)) = \coprod_{\beta \in B} K \cdot (\otimes(\beta)) \;.
</math>
:Anmerkung 1: Mit der [[#Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren Tensoren|oben]] definierten Notationsweise besteht übrigens eine Identifikation <math> K^{(B)} \stackrel{\sim}{\rightarrow} \bigoplus_{\beta \in B} K \cdot (\otimes(\beta)) </math> durch <math> f \mapsto \sum_{\beta \in B} f(\beta) \cdot (\otimes(\beta))</math>. Die Verwendung des Zeichens <math> \coprod </math> für das [[Produkt und Koprodukt|Koprodukt]] soll auf den größeren kategoriellen Zusammenhang hinweisen. Im vorliegenden Falle darf es schlicht als direkte Summe <math> \bigoplus </math> verstanden werden.
:Anmerkung 2: Dabei ist <math>f(\beta) \in K </math> als eine multiindizierte Koordinate zu verstehen. Dazu fasse <math> \beta </math> in folgender Weise als einen Multiindex <math> (j_1, j_2, \dots, j_n) </math> auf:
::<math>
\begin{align}
\beta \in B = B^{(1)} \times \dots \times B^{(N)}
&=& \big\{ (v^{(1)}_{j_1}, v^{(2)}_{j_2}, \dots v^{(N)}_{j_N}) \mid
1\leq j_1\leq m_1, 1\leq j_2\leq m_2, \dots, 1\leq j_N\leq m_N
\big\} \\
&\cong & \big\{ (j_1, j_2, \dots, j_n) \mid 1\leq j_1\leq m_1, 1\leq j_2\leq m_2, \dots, 1\leq j_N\leq m_N
\big\} \;.
\end{align}
</math>
:Anmerkung 3: Die Supermatrix <math> (f(\beta))_{\beta\in B} </math> wird häufig mit dem Tensor, den sie darstellt, identifiziert. Sie ist sozusagen die Koordinatenmatrix des Tensors und wird mit ihm identifiziert, ähnlich wie Koordinatenvektoren mit dem durch sie dargestellten Vektor identifiziert werden. Die Bezugnahme auf die Basen <math>B^{(i)}</math> fließt bei dieser Identifikation stillschweigend ein.

Dabei sei <math>\otimes(\beta)</math> zunächst lediglich als ein Symbol aufgefasst. Für <math> \beta = (v^{(1)}, \dots, v^{(N)}) \in B </math> steht es also für <math> \otimes\big( (v^{(1)}, \dots, v^{(N)}) \big)</math>. (Die Schreibweise <math> v^{(1)} \otimes \dots \otimes v^{(N)}</math> wird vermieden, weil sie die Frage der [[Operatorassoziativität]] aufwürfe.)

Nun definiere die Abbildung
:<math>
\begin{matrix}
\phi\colon\; & B & \longrightarrow & \bigotimes_{i\in I} V^{(i)} \\
& \beta & \longmapsto & 1 \cdot \otimes(\beta)
\end{matrix}
</math>
Durch multilineare Fortsetzung von <math> \phi </math> auf den gesamten Raum <math>\prod_{i \in I} V^{(i)}</math> definiere die gewünschte <math>N</math>-fach multilineare Abbildung <math> \otimes := \phi </math>, das Tensor''produkt''
:<math>
\begin{matrix}
\otimes\colon &\prod_{i \in I} V^{(i)} & \longrightarrow & \bigotimes_{i\in I} V^{(i)} \; .
\end{matrix}
</math>

===== Der (uni)lineare Fall =====
Für den Fall der „Unilinearität“ <math> N = 1 </math> liefert die [[#Definition durch koordinatenbasierte Konstruktion|obige basisabhängige Konstruktion des Tensorprodukts]] lediglich die von der gewählten Basis <math> B</math> abhängige Koordinatendarstellung eines Vektorraumes <math> V \to \bigoplus_{v\in B} K \cdot v </math>. Die universelle Eigenschaft zeigt auf, dass jede „unilineare“ (das heißt lineare) Abbildung <math>V \to Y </math> als lineare Abbildung dieses Koordinatenraums dargestellt werden kann – eine wohlvertraute Tatsache. Das Tensorprodukt verallgemeinert sie für den multilinearen Kontext des [[Produkt und Koprodukt|Produkts]] <math> \prod_{i\in I} V^{(i)} </math>. Hierin lässt sich das Wesen des Tensorprodukts erblicken.

===== Der triviale Fall mehrerer eindimensionaler Faktoren =====
Wie schon im bilinearen (<math>N=2</math>) Falle trivialisiert sich das multilineare Tensorprodukt für den Fall, dass alle <math>N</math> Vektorräume eindimensional sind: <math>V^{(i)} \cong K</math>. Es ist dann – bis auf eine Isomorphie, die sich in einem Skalarfaktor <math> 1 \otimes \dots \otimes 1 =: a \in K\backslash\{0\} </math> niederschlägt – durch ein [[Monom]] <math> f(X_1, \dots, X_N) = a \cdot X_1\cdot \dots \cdots X_N</math> gegeben und mithin mit der Körpermultiplikation (linear) identifizierbar. Eine beliebige multilineare Abbildung <math> \psi\colon \underbrace{K \times \dots \times K}_{n\text{ Mal}} \to K </math> ist ein lineares Abbild durch Multiplikation mit dem skalierenden Faktor <math> \psi(1, \dots, 1) \cdot a^{-1} </math>.

Mit anderen Worten: Eine <math>N</math>-fach multilineare Abbildung <math> V_1 \times \dots \times V_N \to W </math> verallgemeinert die Multiplikation <math> \underbrace{K \times\dots\times K}_{N\text{ Mal}} \to K,\;(x_1, \dots, x_N) \mapsto x_1\,\cdot \,\dots\, \cdot\, x_N</math> von <math>N</math> Faktoren aus dem Körper und entspricht somit einem Monom <math>N</math>-ten Grades: Bilinearität verallgemeinert quadratische Monome, Trilinearität kubische Monome etc. pp.

==== Definition durch universelle Eigenschaft ====
Unter einem Tensorprodukt der (endlichen) Familie von <math>K</math>-Vektorräumen <math>V^{(i)}, i \in I </math> versteht man eine <math>N</math>-fach multilineare Abbildung <math> \phi \in L^N( V^{(1)}, \dots, V^{(N)} ; X ) </math> in einen <math>K</math>-Vektorraum <math>X</math> mit einer der beiden folgenden ''äquivalenten'' Eigenschaften:
* Ist <math> \psi \in L^N( V^{(1)}, \dots, V^{(N)} ; Y ) </math> eine multilineare Abbildung in einen <math>K</math>-Vektorraum <math>Y</math>, so existiert genau eine lineare Abbildung <math>\tilde\psi\colon X \to Y </math> mit <math> \psi = \tilde\psi \circ \phi =: \phi^*(\tilde\psi)</math>.
* Für jeden <math>K</math>-Vektorraum <math>Y</math> liefert der durch <math> \phi </math> gestiftete [[Rücktransport|Rückzug]] <math> \phi^* =: \Phi </math> einen Isomorphismus von Vektorräumen
::<math>
\begin{matrix}
\Phi\colon & L( X , Y) & \longrightarrow & L^N ( V^{(1)}, \dots, V^{(N)} ; Y ) \\
& f & \longmapsto & \phi^*(f) := f \circ \phi =: f_*(\phi) \; .
\end{matrix}
</math>
Man notiert das Tensorprodukt <math> \phi( v^{(1)}, \dots, v^{(N)} ) =: \otimes( v^{(1)}, \dots, v^{(N)} ) \in X := \bigotimes_{i=1}^N V^{(i)}</math>.

===== Kategorisch gesehen =====
In der Sprache der [[Kategorientheorie]] formuliert ist das Tensorprodukt
: <math> \otimes\colon V^{(1)} \times\dots\times V^{(N)} \quad\stackrel{\otimes}{\longrightarrow}\quad \bigotimes_{i=1}^N V^{(i)} </math>
das bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte [[Anfangsobjekt]] in einer [[Kommakategorie#Kategorie der Objekte unter A|Kategorie von Objekten unter]] <math>V:= V^{(1)} \times\dots\times V^{(N)}</math>, die wie folgt definiert ist: Ihre ''Objekte'' sind die <math>N</math>-fach multilinearen Abbildungen <math>\psi\colon V \to [??]</math> in einen Vektorraum, und ein ''Morphismus'' <math>\big[\psi_1\colon V \to Y_1 \big] \to \big[ \psi_2\colon V \to Y_2 \big]</math> ist eine lineare Abbildung <math>f\colon Y_1 \to Y_2</math> mit <math>\psi_2 = f\circ \psi_1 = f_*(\psi_1)</math>. Für diese Eigenschaft des Anfangsobjektes sind [[Universelle Eigenschaft#Äquivalente Formulierungen|hier äquivalente Formulierungen]] zu finden sowie eine [[Universelle Eigenschaft#Beziehung zu adjungierten Funktoren|Beziehung zu adjungierten Funktoren]]. Die letztere zeigt sich im [[Kategorientheorie#Natürliche Transformation|kanonischen Isomorphismus]] <math> L(V\otimes W,X)\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;L(V,L(W,X))</math> aus dem Abschnitt über [[Tensorprodukt#Natürliche Homomorphismen|natürliche Homomorphismen]].

==== Definition durch Zurückführung auf bilineare Abbildungen und das Tensorprodukt mit zwei Faktoren ====
Eine <math>N</math>-fach multilineare Abbildung lässt sich auf eine <math>(N-1)</math>-fach multilineare Abbildung zurückführen, denn die Definition der Multilinearität lässt sich durch [[Currying]] in folgende Gleichungen kleiden:
:<math> L^N(V^{(1)}, \dots, V^{(N)}; Y) = L(V^{(k)}, L^{N-1}( V^{(1)}, \dots, \cancel{V^{(k)}}, \dots, V^{(N)} ; Y))
</math>
bzw.
:<math> L^N(V^{(1)}, \dots, V^{(N)}; Y) = L^{N-1}( V^{(1)}, \dots, \cancel{V^{(k)}}, \dots, V^{(N)}; L(V^{(k)} ; Y)) \;,
</math>
wobei die Schreibweise <math> V^{(1)}, \dots, \cancel{V^{(k)}}, \dots, V^{(N)} </math> die Tilgung des durchgestrichenen Vektorraums <math>V^{(k)}</math> bedeuten möge.

Setzt man also sukzessive <math>k= 1, 2, \dots, N</math>, so erhält man
:<math>
L^N(V^{(1)}, \dots, V^{(N)}; Y) = L( V^{(1)}, L( V^{(2)}, L(V^{(3)}, L(\dots, L(V^{(N)}, Y ) \dots ) )))
</math>

Auf diese Weise lässt sich das <math>N</math>-fache Tensorprodukt schrittweise auf das gewöhnliche <math>2</math>-fache (bilineare) Tensorprodukt zurückführen – oder umgekehrt von ihm ausgehend mit Iterationsschritten <math> N \to N+1 </math> aufbauen.

Dabei zeigt sich, dass die Frage der [[Operatorassoziativität]] müßig ist: Beispielsweise sind die beiden <math>3</math>-fachen Tensorprodukte <math> [(\cdot \otimes \cdot) \otimes \cdot] </math> und <math> [\cdot \otimes ( \cdot \otimes \cdot ) ]</math> (als trilineare Abbildungen) isomorph. Dies ist der Grund dafür, dass die Klammern auch fortgelassen werden können:
:<math>
\otimes( v^{(1)}, \dots, v^{(N)} ) =: v^{(1)} \otimes \dots \otimes v^{(N)}
</math>

=== Koordinatendarstellung von Tensoren ===
Unter einem Tensor versteht man eine multilineare Abbildung
:<math> \tau \in L^N\left( V^{(1)}, \dots, V^{(N)} ; X \right) \cong L\left( \bigotimes_{i=1}^N V^{(i)}, Y \right) </math>.

Gemäß der [[#Definition durch universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaft]] ist ein Tensor durch die Werte <math> \tau(\beta)</math> auf den Basistupeln <math> \beta\in B </math> festgelegt. Werden die Basen <math> B^{(i)} </math> mit <math> B^{(i)} = (v^{(i)}_{j})_{j = 1, \dots, m_i} </math> bezeichnet, so definiert die Familie
:<math> \left( \tau ( v^{(1)}_{i_1}, \dots, v^{(N)}_{i_N} ) \right)_{ 1\leq i_1 \leq m_1, \dots, 1 \leq i_N \leq m_N }
</math>
von Werten <math> T_{i_1, \dots, i_N } := \tau ( v^{(1)}_{i_1}, \dots, v^{(N)}_{i_N} ) \in Y </math> den Tensor <math> \tau </math>.

Im Falle <math> Y = K </math>, der ohnehin von besonderem Interesse ist, handelt es sich also um eine Supermatrix <math> T = (T_{i_1, \dots, i_N})_{ 1\leq i_1 \leq m_1, \dots, 1 \leq i_N \leq m_N } </math> mit Koeffizienten aus <math> K </math>.

Dies ist die Koordinatendarstellung eines Tensors <math> \tau \in L^N( V^{(1)}, \dots, V^{(N)} ; K ) \cong L\left( \bigotimes_{i=1}^N V^{(i)}, K \right) = \left( \bigotimes_{i=1}^N V^{(i)} \right)^* \cong \bigotimes_{i=1}^N \left( V^{(i)\,*} \right) </math>.

Beispiele:
* Im Falle eines Skalarproduktes, das eine Metrik liefert, führt dies zum [[Metrischer Tensor|Maßtensor]].
* Im Falle der Determinante gelangt man zum [[Levi-Civita-Symbol]] oder Epsilontensor.

=== Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s) ===
Von besonderem Interesse – vor allem in der Physik – ist der Fall, dass sämtliche Vektorräume <math> V^{(i)} </math> – bis auf [[Dimension (Größensystem)|dimensionsbehaftete Skalarfaktoren]] – gleich ein und demselben Vektorraum <math> V </math> oder seinem Dualraum <math> V^* </math> sind. Zur Abkürzung setze nun <math>V^{\otimes s} := V\otimes\ldots\otimes V </math>.
Bei endlicher Dimension haben dann beide gleiche Dimension <math>\dim V = n = \dim V^* </math>, und wegen <math>(V^{\otimes r})^* \cong (V^*)^{\otimes r} </math> bestehen Isomorphismen:
: <math>
\begin{matrix}
V^{\otimes r} \otimes (V^*)^{\otimes s}
&\stackrel{\sim}{\longrightarrow} &
L( (V^*)^{\otimes r} \otimes V^{\otimes s}; K)
&\stackrel{\text{(gem. univ. Eig.)}}{\stackrel{\sim}{\longrightarrow}} &
L^{r+s} (\underbrace{V^*, \dots, V^*}_{r\text{ Mal}},\; \underbrace{V, \dots, V}_{s\text{ Mal}} ; K)
\\
(v^{(1)} \otimes\dots\otimes v^{(r)} ) \otimes (\lambda^{(1)} \otimes\dots\otimes \lambda^{(s)})
& \longmapsto & [\dots]
& \longmapsto & \left[ \left( \mu^{(1)}, \dots, \mu^{(r)}, w_1, \dots, w_s \right)
\mapsto
\prod_{i=1}^r \mu_i (v^{(i)}) \; \cdot \;
\prod_{j=1}^s \lambda^{(j)} ( w^{(j)} )
\right] \; .
\end{matrix}
</math>

Man definiert (bis auf Isomorphie)
:<math>
T^r_s(V) \quad:=\quad L^{r+s} \left(\underbrace{V^*, \dots, V^*}_{r\text{ Mal}},\; \underbrace{V, \dots, V}_{s\text{ Mal}} ; K \right)
\quad\cong\quad V^{\otimes r}\otimes (V^*)^{\otimes s}
</math>
Die Elemente dieses Vektorraumes heißen '''(gemischte) Tensoren''' der Stufe <math>r+s</math>, und zwar
* '''kontravariant''' von der Stufe <math>r</math>, '''kovariant''' von der Stufe <math>s</math>
* oder kürzer <math>r</math>-fach (oder -stufig) kontravariante und <math>s</math>-fach (oder -stufig) kovariante Tensoren
* oder Tensoren des '''Typs''' <math>(r,s)</math>
* oder schlicht <math>(r,s)</math>-'''Tensoren'''.
Tensoren vom Typ <math>(r,0)</math> heißen ''rein kontravariant'' von der Stufe <math>r</math>, Tensoren vom Typ <math>(0,s)</math> hingegen ''rein kovariant'' von der Stufe <math>s</math>.

Beispiele:
* <math>(1,0)</math>-Tensoren lassen sich als Elemente des Vektorraums <math>V</math>, also als Vektoren des „Ausgangs-Vektorraumes“ verstehen, oder aber als Linearformen auf dem Dualraum,
* <math>(0,1)</math>-Tensoren lassen sich als Elemente des Dualraums <math>V^*</math>, also als [[Linearform]]en oder ''Kovektoren'' auffassen,
* <math>(0,2)</math>-Tensoren lassen sich als ''Bilinearformen'' (wie bspw. ein [[Skalarprodukt]]) auf <math>V</math> interpretieren, und allgemeiner:
* <math>(0,N)</math>-Tensoren lassen sich als <math>N</math>-fache ''Multilinearformen'' auf <math>V</math> deuten. Die [[Determinante]] ist ein Beispiel für <math>N=n</math>: Sie ist sogar eine [[Multilinearform#Alternierende Multilinearformen|alternierende Multilinearform]], siehe auch [[Graßmann-Algebra#Alternierende Tensoren|alternierende Tensoren]].
* <math>(1,1)</math>-Tensoren sind duale Paarungen auf <math>V^*\times V</math> und können, wie [[#(r,s)-Tensoren als Homomorphismen|weiter unten]] deutlich wird, mit [[Endomorphismus|Endomorphismen]] auf <math>V^*</math> oder auf <math> V</math> identifiziert werden.
* <math>(r,r)</math>-Tensoren können dementsprechend mit [[Endomorphismus|Endomorphismen]] auf <math>(V^*)^{\otimes r}</math> oder <math>V^{\otimes r}</math> identifiziert werden. Dabei beachte ([[#Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen|wegen endlicher Dimension]]): <math> \operatorname{End}((V^*)^{\otimes r}) \cong \left(\operatorname{End}(V^*)\right)^{\otimes r} </math> bzw. <math> \operatorname{End}(V^{\otimes r}) \cong \left(\operatorname{End}(V)\right)^{\otimes r} </math>

Die Begriffe '''kontravariant''' und '''kovariant''' beziehen sich in diesem tensoriellen Kontext auf das [[Tensor#Ko- und Kontravarianz von Vektoren|Transformationsverhalten]] der [[Koordinatentransformation|Koordinatendarstellung bei einem Wechsel der Basis]] in dem als „Ursprungsraum“ auserkorenen Vektorraum. Letzterer ist – so legt es die Notation <math>T^r_s(V)</math> nahe – der Vektorraum <math>V</math>. Doch aus Sicht der Dualitätstheorie ist es ebenso legitim, den Vektorraum <math>V \cong V^{**}</math> als Dualraum seines Dualraumes <math>V^*</math> anzusehen und diesen als Ursprungsraum auszuersehen, also die Rollen zu tauschen: Dann ist (durch natürliche Isomorphie) <math> T^r_s(V) = T^s_r(V^*)</math>. Wechselt man also die Basis nicht im Raum <math>V</math> sondern im Raum <math>V^*</math>, so vertauschen sich entsprechend die Begriffe „kontravariant“ und „kovariant“, denn diese sind bezogen auf den Ursprungsraum, dessen Auswahl willkürlich ist. Genaugenommen müsste es also „kontravariant/kovariant in Bezug auf (das Transformationsverhalten bei Basiswechsel im Vektorraum) <math>V</math>“ heißen. Dabei zieht ein Basiswechsel in <math>V</math> natürlich einen entsprechenden Wechsel der zugehörigen Dualbasis in <math>V^*</math> nach sich: Zur Betrachtung dieses Raumes ist <math>T^r_s(V)</math> die geeignete Bezeichnungsweise. Ein Basiswechsel in <math>V^*</math> zöge den Wechsel der Dualbasis in <math>V^{**}=V</math> nach sich: Zur Betrachtung dieser Situation ist <math>T^s_r(V^*)</math> die naheliegende Bezeichnungsweise, wenngleich die damit bezeichneten Räume isomorph sind. Näheres dazu [[#Kontravarianz kontra Kovarianz: Tensoriell versus funktoriell|weiter unten]].

==== (r,s)-Tensoren als Homomorphismen ====
In den Abschnitten über [[#Natürliche Homomorphismen|natürliche Homomorphismen]] und [[#Homomorphismen als Tensoren|Homomorphismen als Tensoren]] wurde gezeigt, dass für zwei endlichdimensionale Vektorräume <math> X</math> und <math>Y</math> folgender Isomorphismus besteht:
:<math>
\begin{matrix}
X^* \otimes Y & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \operatorname{Hom}_K (X, Y) = L(X,Y) \\
\xi \otimes y & \longmapsto & [x \mapsto \xi(x) \cdot y ]
\end{matrix}
</math>
Wegen der natürlichen Isomorphismie <math> X^* \otimes Y \;\cong\; Y \otimes X^* </math> (nicht Gleichheit!) gilt ebenso
:<math>
\begin{matrix}
X^* \otimes Y & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \operatorname{Hom}_K (Y^*, X^*) \\
\xi \otimes y & \longmapsto & [\eta \mapsto \eta(y) \cdot \xi ] \;,
\end{matrix}
</math>
wobei auch die natürlichen Isomorphismien <math>Y \cong Y^{**}</math> (bzw. <math> X \cong X^{**}</math>) genutzt wurde.
:Anmerkung: Tatsächlich gehen <math>\operatorname{Hom}_K (X, Y)</math> und <math> \operatorname{Hom}_K (Y^*, X^*) </math> durch Dualisierung ([[Rückzug]]) <math> f \mapsto f^* </math> der Homomorphismen <math>f \in \operatorname{Hom}_K (X, Y)</math> auseinander hervor, denn für endlichdimensionale Vektorräume <math>X, Y</math> ist die folgende injektive Vektorraum-Homomorphismus aus Dimensionsgründen surjektiv, also ein Isomorphismus:
::<math>
\begin{matrix}
L(X,Y) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L(Y^*, X^*) \\
f & \longmapsto & \left[ f^*\colon \eta \mapsto \eta \circ f \right] \;.
\end{matrix}
</math>


Angewandt auf <math> X = V^{\otimes r} </math> und <math> Y = (V^*)^{\otimes s} </math> erhält man eine weitere Interpretation von <math>(r,s)</math>-Tensoren, die im Übrigen schon auf die [[#Universaldefinition|universelle Eigenschaft]] und [[Currying]] zurückgeht:
:<math>
T^r_s(V) \quad \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \quad \operatorname{Hom} \big( (V^*)^{\otimes r}, (V^*)^{\otimes s} \big)
\quad \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \quad \operatorname{Hom} \big( V^{\otimes s}, V^{\otimes r} \big)
\quad \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \quad T^s_r( V^* ) \;.
</math>
In Worten: Elemente von <math>V^{\otimes r} \otimes (V^*)^{\otimes s}</math> lassen sich
* als <math>r</math>-multilineare Abbildungen <math>\underbrace{V^*\times\dotsb\times V^*}_{r\text{ Mal}} \to (V^*)^{\otimes s}</math> oder
* als <math>s</math>-multilineare Abbildungen <math> \underbrace{V\times\dotsb\times V}_{s\text{ Mal}} \to V^{\otimes r} </math>
auffassen.

Auch hier wird deutlich, dass die Begriffe ''kontravariant'' und ''kovariant'' davon abhängen, welcher Raum als der „Ursprungsraum“ betrachtet wird, in dem der Basiswechsel vollzogen wird. Die Konvention für die Bezeichnung <math>T^r_s(V)</math> besagt, dass Basistransformationen im Vektorraum <math>V</math> vollzogen werden.

==== Koordinatendarstellung von (r,s)-Tensoren ====
Zur Koordinatendarstellung wähle man eine Basis <math> \underline{v} = (v_1, \dots, v_n) </math> von <math>V</math> und die dazugehörige [[Dualraum|duale Basis]] <math> \underline{v}^* = (v_1^*, \dots, v_n^*) =: (v^{(1)}, \dots, v^{(n)}) </math> von <math>V^*</math> definiert durch <math> v^{(i)}(v_j) := \delta^i_j </math> ([[Kronecker-Delta]]). Die Koordinaten eines <math>(r,s)</math>-Tensors
:<math>
\tau \in L^r (\underbrace{V^*, \dots, V^*}_{r\text{ Mal}}; (V^*)^{\otimes s})
\quad\cong\quad L^{r+s} (\underbrace{V^*, \dots, V^*}_{r\text{ Mal}}, \underbrace{V, \dots, V}_{s\text{ Mal}}; K)
\quad\cong\quad \operatorname{Hom}((V^*)^{\otimes r}, (V^*)^{\otimes s}) \;=\; L((V^*)^{\otimes r}, (V^*)^{\otimes s})
</math>
bezüglich dieser Basiswahl lauten dann
:<math>
\Tau^{i_1, i_2, \dots, i_r}_{j_1, j_2, \dots, j_s} :=
\tau \left( v^{(i_1)}, v^{(i_2)}, \dots, v^{(i_r)} , \;\; v_{j_1}, v_{j_2}, \dots, v_{j_s} \right) \in K \;.
</math>
für beliebige Tupel <math> 1 \leq i_1, \dots, i_s, j_1, \dots, j_r \leq n </math>.

Stellt man
* Vektoren <math>v\in V </math> als Spaltenvektoren <math> \begin{pmatrix} x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix}\in K^n</math><ref group="Anm">Die hochgestellten Indizes sind in diesem Kontext als solche, als Superindizes, zu verstehen, nicht als Potenzen. Vgl. etwa Bartel Leendert van der Waerden.</ref> bezüglich der Basis <math>\underline{v}</math> dar, sodass <math> v = \sum_{j=1}^n x^j \cdot v_j </math>, und
* dual dazu Kovektoren <math>\lambda\in V^* </math> als Zeilenvektoren <math> \left( x_1, \dots, x_n \right) \in K^n</math> bezüglich der dualen Basis <math>\underline{v}^*</math> dar, sodass <math> \lambda = \sum_{i=1}^n x_i \cdot v^{(i)} </math>,
so lässt sich
:<math>
\left(\Tau^{i_1, i_2, \dots, i_r}_{j_1, j_2, \dots, j_s} \right)^{1\leq i_1, i_2, \dots, i_r \leq n}_{1\leq j_1, j_2, \dots, j_s \leq n}
</math>
als eine Supermatrix verstehen, die von rechts auf <math>r</math> Zeilen- und von links auf <math>s</math> Spaltenvektoren durch „Supermatrix-Multiplikation“ operiert. Sie stellt den <math>(r+s)</math>-fach multilinearen Tensor <math>\tau</math> dar: Dieser ist <math>r</math>-fach kontravariant und <math>s</math>-fach kovariant. Gemäß üblicher Konvention werden die Koordinaten kontravarianter Vektoren – also solcher aus <math>V</math> – oben indiziert, während diejenigen kovarianter Vektoren – nämlich jener aus <math>V^*</math> – unten indiziert werden. Zur Vereinfachung der Summenschreibweise bietet sich die [[einsteinsche Summenkonvention]] an: Sie unterdrückt unter geeigneten Voraussetzungen die Notation des Summenzeichens.

Beispiele:
* Der Fall <math> r=s </math> liefert die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus <math> \tau \in \operatorname{End}(V^{\otimes r})</math> zur Basis <math>\underline{v}</math>, aufgefasst als Tensor der Stufe <math>(r,r)</math>.
* Der Fall <math> r=1=s </math> liefert die Darstellungsmatrix einer Bilinearform auf <math>V^* \times V </math> – oder aber diejenige eines Endomorphismus <math> \tau \in \operatorname{End}(V)</math> zur Basis <math>\underline{v}</math>, aufgefasst als Bilinearform, also als Tensor der Stufe <math>(1,1)</math>.

==== Kontravarianz kontra Kovarianz: Tensoriell versus funktoriell ====
In der Sprache der [[Kategorientheorie]] ist <math> \mathop{\mathrm{Hom}}([??],[??]) = L([??],[??]) </math> ein Bifunktor, [[Funktor (Mathematik)|kontravariant]] im ersten, [[Funktor (Mathematik)|kovariant]] im zweiten Argument. Dies ist eine Aussage über das funktorielle Verhalten des Bifunktors <math>\operatorname{Hom} (\cdot, \cdot) </math>.

Kovarianz und Kontravarianz von Tensoren betreffen jedoch Eigenschaften des [[Tensor#Ko- und Kontravarianz von Vektoren|Transformationsverhaltens]] der Tensoren <math>\tau \in T^r_s(V)</math> bei [[Koordinatentransformation]] im „Ursprungsraum“ <math>V</math>: Sie beschreiben, wie sich Koordinaten bei [[Basiswechsel (Vektorraum)|Wechsel des Basisbezugs]] im Ursprungsraum verändern.

:'''Zur Erläuterung''': Es sei <math>\dim V =: n</math>. Bildet die Matrix <math>A</math> eine – zeilenartig notierte – geordnete Basis <math>\underline{v} = (v_1, \dots, v_n) \in \underbrace{V\times\dots\times V}_{n\text{ Mal}}</math> von <math>V</math> auf eine andere geordnete Basis <math>\underline{w} = (w_1, \dots, w_n) </math> von <math>V</math> ab, d. h., gilt (in naheliegender Notationsweise) <math>\underline{v} \cdot A = \underline{w}</math>, so beschreibt <math>A^{-1}</math> die zugehörige Koordinatentransformation der Vektoren von <math>V</math>, denn für Koordinatenvektoren <math>(x^i)\in K^n</math> bezüglich <math>\underline{v}</math> gilt
::<math>
\underline{v} \cdot \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} = \underline{w} \cdot A^{-1} \cdot \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} \quad\in V \;.
</math>
:Für ''Vektoren'' aus <math>V</math> sind also die transformierten Koordinaten <math>(y^i)\in K^n</math> bezüglich <math>\underline{w}</math> durch die lineare Transformation <math>\begin{pmatrix}y^1\\\vdots\\y^n\end{pmatrix} = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} </math> gegeben.
:Ebenso lässt sich aus der Gleichung <math>\underline{v} \cdot A = \underline{w}</math> für einen Koordinatenvektor <math>\begin{pmatrix}y^1\\\vdots\\y^n\end{pmatrix}</math> von <math>V</math> folgern:
::<math>
\underline{v} \cdot A \cdot \begin{pmatrix}y^1\\\vdots\\y^m\end{pmatrix}
\;=\; \underline{w} \cdot \begin{pmatrix}y^1\\\vdots\\y^m\end{pmatrix}
</math>
:Mit anderen Worten: Während per definitionem die Darstellungsmatrix einer Basistransformation <math>\alpha</math> (von rechts heranmultipliziert) die Basis <math>\underline{v}</math> auf ihr Bild <math>\alpha(\underline{v}) := \underline{w}</math> wirft, transformiert dieselbe Darstellungsmatrix (nun jedoch von links heranmultipliziert) die <math>\underline{w}</math>-Koordinaten auf die <math>\underline{v}</math>-Koordinaten. Daher spricht man von Kontravarianz.

Ein '''kontravarianter Vektor''' entstammt also (per definitionem) einem Vektorraum, auf dem eine Gruppe von Basistransformationen operiert, sodass sich seine Koordinaten dabei '''kontravariant''' transformieren. Ist nämlich <math>A</math> die Übergangsmatrix der Basistransformation, so beschreibt <math>A^{-1}</math> den Koordinatenübergang.

::'''Anmerkung''': Mit der im Abschnitt über [[#Die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten|die Darstellungsmatrix als Tensor]] eingeführten Notationsweise lässt sich dieser Sachverhalt so formulieren: Ist <math>\alpha\in \operatorname{Aut}(V)</math> eine Basistransformation mit der Darstellungsmatrix <math>A := \sideset{_\underline{v}}{_\underline{v}}{[\alpha]}</math>, definiert durch die Gleichung <math> \alpha(\underline{v}) = \underline{w} = \underline{v} \cdot \sideset{_\underline{v}}{_\underline{v}}{[\alpha]}</math>, so gilt:
:::<math>
\sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[\operatorname{id}_V]} \cdot \sideset{_\underline{v}}{_\underline{v}}{[\alpha]}
\;=\; \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[\operatorname{id} \circ \alpha]}
\;=\; E_n
\;=\; \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[ \alpha\circ\operatorname{id}]}
\;=\; \sideset{_\underline{w}}{_\underline{w}}{[\alpha]} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[\operatorname{id}_V]}
</math>
::Daraus folgt für die Darstellungsmatrix:
:::<math>
A = \sideset{_\underline{v}}{_\underline{v}}{[\alpha]} = \sideset{_\underline{w}}{_\underline{w}}{[\alpha]} = \left( \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[\operatorname{id}_V]}\right)^{-1}
</math>
::Hierbei ist <math>\sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[\operatorname{id}_V]}</math> offensichtlich die Matrix der zugehörigen Koordinatentransformation, da <math>\underline{v}=\underline{w}\cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[\operatorname{id}_V]}\,.</math>

:Die zugehörigen ''dualen'' geordneten Basen <math>\underline{v}^* = \begin{pmatrix}v^1\\\vdots\\v^n\end{pmatrix} \in \underbrace{V^*\times\dots\times V^*}_{n\text{ Mal}}</math> und entsprechend <math>\underline{w}^* = \begin{pmatrix}w^1\\\vdots\\w^n\end{pmatrix}</math> des Dualraums <math>V^*</math> werden spaltenartig notiert und sind definiert durch
::<math>
\underline{v}^* \cdot \underline{v} := \left( v^i(v_j) \right)^i_j = \left( \delta^i_j \right)^i_j = E_n
</math>
:und analog <math> \underline{w}^* \cdot \underline{w} := E_n \;.</math>
:Beschreibt eine Matrix <math>B</math> die Transformation <math> B \cdot \underline{v}^* = \underline{w}^*</math>, so gilt folglich <math> E_n = \underline{w}^* \cdot \underline{w} = B\cdot\underbrace{\underline{v}^* \cdot \underline{v}}_{=E_n}\cdot A = B\cdot A </math>, also <math>B=A^{-1}</math>.
:Also wird (gemäß obigen Überlegungen) die Koordinatentransformation der ''Kovektoren'' bezüglich der zugehörigen ''dualen'' Basen <math>\underline{v}^*</math> und <math>\underline{w}^*</math> von <math>V^*</math> durch die Matrix <math>B^{-1} = A</math> beschrieben:
::<math>
(\xi_1, \dots, \xi_n) \cdot \underline{v}^* = (\xi_1, \dots, \xi_n) \cdot B^{-1} \cdot \underline{w}^* = \underbrace{(\xi_1, \dots, \xi_n) \cdot A}_{=(\eta_1, \dots, \eta_n)} \cdot \underline{w}^* \;.
</math>

:Nun gilt es, einen strukturellen Aspekt zu beachten: Die Notationsweise spiegelt die „Seitigkeit“ der Vektorräume wider, d. h.: Werden – wie hier – <math>V</math> als Rechts-Vektorraum und seine Koordinatenvektoren als Spaltenvektoren notiert, so ist der Dualraum <math>V^*</math> ein Links-Vektorraum und seine Koordinatenvektoren sind Zeilenvektoren. Entsprechend geschieht auch die Multiplikation mit Darstellungsmatrizen in beiden Räumen von entgegengesetzten Seiten: Zeilenartig notierte Tupel treten ''von rechts'', spaltenartig notierte Tupel hingegen ''von links'' an die Darstellungsmatrix; insbesondere treten Koordinatenvektoren für Rechts-Vektorräume (Spaltenvektoren) von rechts an die Darstellungsmatrix, während Koordinatenvektoren für Links-Vektorräume (Zeilenvektoren) von links an die Darstellungsmatrix herantreten, denn schließlich wird dadurch eine Summe von Skalarmultiplikationen notiert und Skalare müssen auf der richtigen Seite notiert werden. Wird aber – dank der Kommutativität des Grundkörpers <math>K</math> – diese strukturelle Unterscheidung in der Notation unterschlagen, indem beide Vektorräume mit gleicher Seitigkeit notiert werden, so ist zu beachten, dass beim Übergang zur Gegenseite die beteiligten Matrizen transponiert werden müssen, d. h., dass Zeilen- und Spaltenindex ihre Plätze tauschen. Dies bedeutet für die Koordinatenvektoren im Dualraum beispielsweise:
::<math>
(\eta_1, \dots, \eta_n)^T = \big( (\xi_1, \dots, \xi_n) \cdot B^{-1} \big)^T = B^{-1T} \cdot \begin{pmatrix} \xi_1\\\vdots\\ \xi_n \end{pmatrix}
</math>

:Sollen also die Koordinatenvektoren des Dualraums in derselben Form notiert werden wie diejenigen des Ursprungsraums, so müssen die Darstellungsmatrizen transponiert werden, bevor sie von der Gegenseite zwecks [[Matrizenmultiplikation]] an die Koordinatenvektoren herantreten. Dies kann man sich natürlich ebenso gut vor Augen führen, indem man die Summenprodukte sämtlich ausschreibt wie [[Kovarianz (Physik)#Mathematische Darstellung|in diesem Artikel]] gezeigt.

:Speziell für <math>K \in \{\R, \Complex \}</math>: Ist auf dem Vektorraum <math>V</math> ein [[Hermitesche Sesquilinearform|hermitesches]] (bzw. [[Bilinearform#Symmetrieeigenschaften im Fall V=W|symmetrisches]]) [[Skalarprodukt]] definiert, so gilt für [[Unitäre Abbildung|unitäre Transformationen]] (bzw. [[Orthogonale Gruppe|orthogonale Transformationen]]) <math>A</math> bekanntlich <math>A^{-1} = A^\dagger</math>, für [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierte Transformationen]] hingegen <math>A = A^\dagger</math>. Dabei bezeichne <math>A^\dagger</math> die (zur [[Adjungierte Abbildung|adjungierten Abbildung]] gehörige) [[adjungierte Matrix]], nämlich <math>A^\dagger = \overline{A}^T = \overline{A^T}</math> die [[Adjungierte Matrix|konjugiert-komplexe und transponierte Matrix]] (bzw. <math>A^\dagger = A^T</math> die transponierte Matrix) von <math>A</math>. – Für antisymmetrische Skalarprodukte (bzw. die symplektische Gruppe) lässt sich Entsprechendes ableiten: Siehe dazu die Rechnungen im Artikel zur [[Kovarianz (Physik)#Mathematische Darstellung|Kovarianz und Kontravarianz]], deren strukturelle Hintergründe hiermit hinreichend beleuchtet sein mögen.

Ein '''kovarianter Vektor''' hingegen entstammt einem Vektorraum, auf dessen ''Dualraum'' eine Gruppe linearer Basistransformationen operiert, sodass sich seine Koordinaten '''kovariant''' transformieren. Ist nämlich <math>A</math> die Darstellungsmatrix einer solchen Basistransformation, so beschreibt
* <math>A</math> den Koordinatenübergang der kovarianten Vektoren, wenn Vektorraum und Dualraum ''gegen''seitig notiert werden, um einem [[Schiefkörper]] <math>K</math> zu entsprechen, wohingegen
* <math>A^T</math> den Koordinatenübergang der kovarianten Vektoren beschreibt, wenn – unter Ausnutzung der Kommutativität von <math>K</math> – Vektorraum und Dualraum ''gleich''seitig notiert werden.

Anmerkung: Enthält die Gruppe linearer Basistransformationen nur symmetrische Transformationen, also solche mit <math>A = A^T</math>, dann erübrigt sich die Fallunterscheidung der beiden Spiegelpunkte. Für orthogonale (<math>K=\R</math>), unitäre (<math>K=\Complex</math>) bzw. selbstadjungierte Transformationen lässt sich die Aussage über die Matrix, die den Koordinatenübergang beschreibt, entsprechend umformulieren, denn für orthogonale Transformationen <math>A</math> gilt <math>A^T = A^{-1}</math>, für unitäre <math>A^T = \overline{A^{-1}}</math> bzw. für selbstadjungierte <math>A^T = \overline{A}</math>.

Das ''funktorielle Verhalten'' eines Funktors muss vom ''tensoriellen Transformationsverhalten'' eines Tensors [[Metrischer Tensor#Koordinatendarstellung|unterschieden]] werden.

==== Das äußere Produkt von Tensoren ====
Das [[Tensor#Äußeres Tensorprodukt|äußere Produkt von Tensoren]] – im Gegensatz zum [[#Das innere Produkt von Tensoren|''inneren'' Produkt]] – ist schlicht ''das Tensorprodukt'' von Tensoren der Stufe <math>(r,s)</math> im Sinne der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft]]. Es muss also vom äußeren Produkt im Sinne [[Graßmann-Algebra|des Dach-Produktes oder der Graßmann-Algebra]] unterschieden werden. Explizit bedeutet dies:

Sind zwei Tensoren <math> \tau_1 \in T^{r_1}_{s_1}(V) </math> und <math> \tau_2 \in T^{r_2}_{s_2}(V) </math> gegeben, so ist ihr äußeres Produkt ihr Tensorprodukt <math> \tau_1 \otimes \tau_2 \in T^{r_1}_{s_1}(V) \otimes T^{r_2}_{s_2}(V) = T^{r_1+r_2}_{s_1+s_2} (V)</math> gemäß [[#Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen|diesem]] oder [[#Universaldefinition|jenem]] Abschnitt, je nachdem, wie man Tensoren interpretiert.

Mit anderen Worten: Das '''äußere Produkt''' von Tensoren oder die '''Tensormultiplikation''' ''ist'' das Tensorprodukt von Tensoren (aufgefasst als Vektoren ihrer jeweiligen Tensorprodukträume). In der Koordinatendarstellung entspricht es dem [[Kronecker-Produkt]].

So lässt sich das [[#Beispiel: Tensorprodukt zweier Bilinearformen|Tensorprodukt von Bilinearformen]] bilden und infolgedessen auch das Tensorprodukt [[Quadratische Form|quadratischer Formen]], falls <math>\operatorname{char}K \neq 2</math>, denn mit Hilfe der [[Polarisationsformel]] gehen quadratische und symmetrische Bilinearformen auseinander hervor.

Der einfachste Fall ist das äußere Produkt eines Vektors mit einem Kovektor, das eine quadratische Matrix liefert, die offensichtlich den Rang <math>1</math> hat und einen ''einfachen'', ''elementaren'' oder ''reinen'' Tensor der Stufe <math>(1,1)</math> darstellt:
:<math>
\begin{array}{rcl}
T^1_0(V) \times T^0_1(V) & \longrightarrow & T^1_1(V) \\
\big( \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix}, \big( \xi_1, \dots, \xi_n \big)\big) & \longmapsto & \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} \cdot \big( \xi_1, \dots, \xi_n \big) = \big( x^i \cdot \xi_j \big)^i_j \in \operatorname{Mat}(n\times n, K)
\end{array}
</math>

Das ''äußere'' Produkt von Tensoren führt zu einer ''Erhöhung'' ihrer Stufe.

===== Beispiel: Tensorprodukt zweier Bilinearformen =====
Das erwähnte Beispiel des äußeren Produktes zweier Bilinearformen sei explizit gezeigt: Es seien dazu zwei <math>K</math>-Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> gegeben mit je einer Bilinearform:
:<math>
\begin{array}{rcl}
\langle\cdot,\cdot\rangle_V\colon V \times V &\longrightarrow& K \\
(v_1, v_2) &\longmapsto& \langle v_1, v_2 \rangle_V
\end{array}
</math>
und entsprechend für <math>W</math>.
Dann definiere man – getreu dem Abschnitt über [[#Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen|das Tensorprodukt linearer Abbildungen]] – eine Bilinearform auf dem Tensorproduktraum <math>V \otimes W</math> durch Festlegung auf den einfachen Tensoren:
:<math>
\begin{array}{rcl}
\langle\cdot,\cdot\rangle_{V\otimes W}\colon (V \otimes W) \times (V \otimes W) &\longrightarrow& K \\
(v_1 \otimes w_1, v_2 \otimes w_2 ) &\longmapsto& \langle v_1, v_2 \rangle_V \cdot \langle w_1, w_2 \rangle_W
\end{array}
</math>
Beachte: Die hierbei auftretenden Summen bleiben stets endlich.

Dabei genügt – wie immer – die Festlegung auf den Basisvektor-Paaren.

Die gegebene Definition liefert – wie im Abschnitt über [[#Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer Abbildungen|das Tensorprodukt linearer Abbildungen]] bereits gezeigt – die bilineare Abbildung des Bifunktors <math>\otimes = \mathcal{T}</math>
:<math>
\begin{array}{ccc}
\mathcal{T}\colon T^0_2(V) \times T^0_2(W) &\longrightarrow& T^0_2(V\otimes W) \\
\left( \langle\cdot,\cdot\rangle_V , \langle\cdot,\cdot\rangle_W \right) &\longmapsto& \langle\cdot,\cdot\rangle_{V\otimes W} = \mathcal{T}( \langle\cdot,\cdot\rangle_V, \langle\cdot,\cdot\rangle_W ) = \langle\cdot,\cdot\rangle_V \otimes \langle\cdot,\cdot\rangle_W \,.
\end{array}
</math>
und daher (per universeller Eigenschaft) den natürlichen Monomorphismus <math>T^0_2(V) \otimes T^0_2(W) \longrightarrow T^0_2(V\otimes W)</math>.

Anhand der Definition ist offenkundig: Sind <math>(v_i)_{i\in I}</math> bezüglich eines [[Skalarprodukt]]es <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_V</math> eine [[Orthonormalbasis]] in <math>V</math> und entsprechend <math>(w_j)_{j\in J}</math> eine Orthonormalbasis in <math>W</math> bezüglich seines Skalarproduktes <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_W</math>, so ist <math>(v_i \otimes w_j)_{(i,j)\in I\times J}</math> eine Orthonormalbasis in <math>V\otimes W</math> bezüglich <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_{V\otimes W}</math>, das heißt:
:<math>
\langle v_i \otimes w_k, v_j \otimes w_l \rangle_{V\otimes W} =
\begin{cases}
1 & \text{, wenn } i=j \text{ und } k=l\,,\\
0 & \text{anderenfalls.}
\end{cases}
</math>

==== Das innere Produkt von Tensoren ====
Im Gegensatz dazu steht das ''innere Produkt'' eines Kovektors mit einem Vektor, das einen Skalar liefert:
:<math>
\begin{array}{rcl}
T^0_1(V) \times T^1_0(V) & \longrightarrow & K = T^0_0(V) \\
\Big( \big( \xi_1, \dots, \xi_n \big), \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} \Big) & \longmapsto & \big( \xi_1, \dots, \xi_n \big) \cdot\begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} = \sum\limits_i \xi_i \cdot x^i \in K
\end{array}
</math>

Das innere Produkt ähnelt dem [[Standardskalarprodukt]], unterscheidet sich von diesem jedoch dadurch, dass die Vektoren verschiedenen Räumen entstammen: Es ist eine Paarung aus Vektor und Kovektor durch Auswertung der Linearform auf ihrem Argument.

Das Standardskalarprodukt ist – dank der universellen Eigenschaft – interpretierbar als eine Linearform ''auf'' <math>T^2_0(V)</math> (und mithin als Tensor ''aus'' <math>T^2_0(V^*) = T^0_2(V)</math>), das innere Produkt hingegen als Linearform ''auf'' <math>T^1_1(V)</math> (mithin als Tensor ''aus'' <math>T^1_1(V^*) = T^1_1(V)</math>). Dennoch wird gelegentlich das Standardskalarprodukt als inneres Produkt bezeichnet.

Das innere Produkt ist ein Beispiel für eine ''Tensorverjüngung''.

==== Spur und Verjüngung ====
Die [[#Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines Endomorphismus|Spur]] eines Tensors <math> \lambda \otimes v \in T^1_1(V) \cong \operatorname{End}(V)</math> vom Typ <math>(1,1)</math> (also eines Endomorphismus) liefert einen Tensor vom Typ <math>(0,0)</math> (also einen Skalar), nämlich durch die Festlegung <math> \operatorname{Sp}( \lambda \otimes v) = \lambda (v) \in K</math> für einfache (elementare) Tensoren und lineare Fortsetzung auf die allgemeinen Tensoren der Stufe <math>(1,1)</math>.

Für einen solchen allgemeinen Tensor <math>\tau\in L(V,V^*;K) \cong \operatorname{End}(V)</math> und seine Darstellungsmatrix <math>\Tau = \left(\Tau^i_j\right)_{i,j}</math><ref group="Anm">Als griechischer Großbuchstabe „Tau“ zu lesen und zu unterscheiden vom kursiv gesetzten Funktor <math>T^r_s</math>.</ref> ergibt sich gemäß der obigen Koordinatendarstellung:
:<math>
\begin{matrix}
\operatorname{Sp}(\Tau) &=& \sum_{i=1}^n \Tau^i_i &\stackrel{!}{=}& \Tau^i_i \;,
\end{matrix}
</math>
wobei beim Ausrufezeichen „<math>\stackrel{!}{=}</math>“ die [[einsteinsche Summenkonvention]] benutzt wird.

Ganz entsprechend induziert die '''Auswertung''' ('''Evaluation''') <math>v^* \otimes v \mapsto v^*(v) \in K</math> Abbildungen vom Raum der <math>(r,s)</math>-Tensoren in den Raum der <math>(r-1,s-1)</math>-Tensoren, die '''[[Kontraktion]]''' oder '''[[Spurbildung]]''' oder '''[[Tensorverjüngung]]''' genannt werden und eine ''Erniedrigung'' der Tensorstufe herbeiführen. Für eine solche Tensorverjüngung muss ein Paar <math>(p,q)</math> mit <math>1\leq p\leq r</math> und <math>1\leq q\leq s</math> gewählt werden: Denn in diesen Komponenten findet die Verjüngung durch Auswertung statt, während die anderen unverändert bleiben. Zu jedem derartigen Paar <math>(p,q)</math> gehört also eine Verjüngung<math>\operatorname{Spur}^p_q</math><ref group="Anm">Wiederum genügt die Definition auf den einfachen Tensoren als Erzeugende.</ref>:
:<math>
\begin{array}{crcl}
\operatorname{Spur}^p_q\colon &
T^r_s(V) = \overbrace{V\otimes\dots\otimes V}^{r \text{ Mal}} \otimes \overbrace{V^* \otimes\dots\otimes V^*}^{s \text{ Mal}} &
\longrightarrow &
T^{r-1}_{s-1}(V) = \overbrace{V\otimes\dots\otimes V}^{r-1 \text{ Mal}} \otimes \overbrace{V^* \otimes\dots\otimes V^*}^{s-1 \text{ Mal}} \\
&
(v_1\otimes\dots\otimes v_r) \otimes (\lambda_1\otimes\dots\otimes\lambda_s) &
\longmapsto &
\lambda_q(v_p)\cdot (v_1\otimes\dots\cancel{v_p}\dots\otimes v_r) \otimes (\lambda_1\otimes\dots\cancel{\lambda_q}\dots\otimes\lambda_s)
\end{array}
</math>

==== Koevaluation ====
Umgekehrt induziert (für <math>n:=\dim V</math>) die '''Koevaluation''', definiert durch <math> K \to V^* \otimes V,\, 1 \mapsto \sum_{i=1}^n v^*_i \otimes v_i</math> (und lineare Fortsetzung, versteht sich) Erhöhungen der Stufe: <math>T^r_s(V) \to T^{r+1}_{s+1}(V)</math>. Diese Abbildung bildet offenbar einen Tensor – hier dargestellt durch seine Koordinaten <math>\Tau^{i_1, \dots, i_r}_{j_1, \dots, j_s}</math> – auf das Tensorprodukt (Kronecker-Produkt) mit der Einheitsmatrix <math>E_n</math> (der Identität auf <math>V</math>) ab:
:<math>
\begin{array}{ccc}
T^r_s(V) & \longrightarrow & T^{r+1}_{s+1}(V) \\
\Tau^{i_1, \dots, i_r}_{j_1, \dots, j_s} & \longmapsto & \Tau^{i_1, \dots, i_r, i_{r+1}}_{j_1, \dots, j_s, j_{s+1}} := \delta^{i_{r+1}}_{j_{s+1}} \cdot \Tau^{i_1, \dots, i_r}_{j_1, \dots, j_s}
\end{array}
</math>

=== Lineare Abbildungen als Verjüngung ===
Die Multiplikation von Matrizen und Vektoren lässt sich als Verjüngung von Tensoren verstehen: Die Abbildung
:<math>
\begin{array}{ccc}
L(V,W) \times V & \longrightarrow & W \\
( f, x ) & \longmapsto & f(x)
\end{array}
</math>
ist offensichtlich bilinear und faktorisiert folglich zu einer linearen Abbildung
:<math>
\begin{array}{ccc}
L(V,W) \otimes V & \longrightarrow & W \\
f \otimes x & \longmapsto & f(x)
\end{array}
</math>
Für den Fall <math>V=W</math> handelt es sich um die Abbildung
:<math>
\begin{array}{rccc}
T^2_1(V) = & T^1_1(V) \otimes T^1_0(V) & \longrightarrow & T^1_0 (V) \\
& \upharpoonleft\!\downharpoonright & & \upharpoonleft\!\downharpoonright \\
& \operatorname{End}_K(V) \otimes V & \longrightarrow & V \\
& f \otimes x & \longmapsto & f(x) \\
& \upharpoonleft\!\downharpoonright & & \upharpoonleft\!\downharpoonright \\
& \operatorname{Mat}_K(n\times n) \otimes K^n & \longrightarrow & K^n \\
& A_f \otimes \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} & \longmapsto & A_f \cdot \begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix} \,,
\end{array}
</math>
wobei <math>A_f = \sideset{_{\underline{v}}}{_{\underline{v}}}{[f]}</math> die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus <math>f</math> bezüglich einer festgewählten Basis <math>\underline{v}</math> bezeichne und <math>\begin{pmatrix}x^1\\\vdots\\x^n\end{pmatrix}</math> den Koordinatenvektor eines Vektors <math>x</math> bezüglich derselben Basis.

Für den Fall <math>W=K</math> hingegen erhält man die obige Spurabbildung.

=== Die Komposition als Tensorverjüngung und die Matrizenmultiplikation als verjüngtes Kronecker-Produkt ===
Mit der im Abschnitt über die [[#Die Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten|Darstellungsmatrix als Matrix der Tensorkoordinaten]] vorgestellten Bezeichnungsweise für Darstellungsmatrizen lässt sich leicht erkennen, dass die Komposition <math> (g, f) \mapsto g \circ f </math> von Homomorphismen <math> (g, f) \in L(V,W) \times L(U, V) </math> eine Kontraktion (Tensorverjüngung) ist und dass die [[Matrizenmultiplikation]] genau dies widerspiegelt.

Denn für Homomorphismen <math>f \in L(U,V)</math> und <math>g \in L(V,W)</math> ist die Kompositionsabbildung
:<math>
\begin{matrix}
\circ\colon L(V,W) \times L(U,V) & \longrightarrow & L(U,W) \\
(g,f) & \longmapsto & g \circ f
\end{matrix}
</math>
offenkundig eine bilineare Abbildung. Nach obigen Überlegungen ist also die Komposition <math>\circ</math> ihrerseits das Kompositum dieser Abbildungen:
:<math> \circ \in L^2\big( L(V,W), L(U,V); L(U,W) \big) \;\tilde\to\; L\big( L(V,W) \otimes L(U,V), L(U,W) \big) \;\tilde\to\; L\big( (V^*\otimes W) \otimes (U^*\otimes V), L(U,W) \big)
</math>

In der Tat ergibt sich, wenn in den Vektorräumen <math>U, V</math> und <math> W</math> die Basen <math> \underline{u}, \underline{v}</math> bzw. <math>\underline{w}</math> gewählt werden und <math>n := \dim V</math> gesetzt wird:
:<math>
\begin{array}{ccccccccc}
(g,f) &\mapsto& g \otimes f &=& \big( \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[g]} \cdot \underline{v}^* \big) \otimes
\big( \underline{v} \cdot \sideset{_\underline{v}}{_\underline{u}}{[f]} \cdot \underline{u}^* \big) &\mapsto&
g \circ f &=& \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[g]} \cdot \underbrace{\underline{v}^* \cdot \underline{v}}_{E} \cdot \sideset{_\underline{v}}{_\underline{u}}{[f]} \cdot \underline{u}^* \\
&&&&&& &=& \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[g]} \cdot E_n \cdot \sideset{_\underline{v}}{_\underline{u}}{[f]} \cdot \underline{u}^* \\
&&&&&& &=& \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[g]} \cdot \sideset{_\underline{v}}{_\underline{u}}{[f]} \cdot \underline{u}^* \\
&&&&&& &=& \underline{w} \cdot \sideset{_\underline{w}}{_\underline{u}}{[g\circ f]} \cdot \underline{u}^* \\
&&&&&& &=& g \circ f
\end{array}
</math>
Dabei findet in der Mitte – ausgelöst durch die ''Evaluation'' <math> \underline{v}^* \cdot \underline{v} </math> – die '''Kontraktion''' statt: Sie spiegelt sich darin wider, dass das [[Kronecker-Produkt]] <math>\sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[g]} \otimes \sideset{_\underline{v}}{_\underline{u}}{[f]}</math> der Darstellungsmatrizen in das [[Matrizenprodukt]] <math>\sideset{_\underline{w}}{_\underline{v}}{[g]} \cdot \sideset{_\underline{v}}{_\underline{u}}{[f]}</math> übergeht. Der Begriff der Verjüngung ist zwar genau genommen nur für die Räume <math>T^r_s(V)</math> gemischter Tensoren definiert, aber es ist offensichtlich, wie er sich hier einordnet: Für den Fall <math>U=V=W</math> geht es um die Hintereinanderausführung von Endomorphismen <math>f, g \in \operatorname{End}(V)</math> auf <math>V</math> und die Multiplikation quadratischer Darstellungsmatrizen, und diese liefern eine Kontraktion <math>T^2_2(V) \to T^1_1(V)</math>.

=== Tensorprodukt von Hilbert-Räumen ===
{{Hauptartikel|Hilbertraum-Tensorprodukt}}
Für das [[Hilbertraum-Tensorprodukt|Tensorprodukt]] zweier [[Hilbert-Raum|Hilbert-Räume]] kann [[mutatis mutandis]] das Vorgehen gemäß dem [[#Beispiel: Tensorprodukt zweier Bilinearformen|Tensorprodukt zweier Bilinearformen]] herangezogen werden, zu beachten sind hierbei zwei wesentliche Punkte:
* [[Hermitesche Sesquilinearform|Die Hermitesche Form]] bzw. das [[Skalarprodukt#In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen|Hermitesche Skalarprodukt]] (also das „Hilbertprodukt“) auf Hilberträumen ist nicht bilinear, sondern [[sesquilinear]] über <math>K=\Complex</math>. Tatsächlich liefert die Definition gemäß dem [[#Beispiel: Tensorprodukt zweier Bilinearformen|Tensorprodukt zweier Bilinearformen]] im Falle zweier Sesquilinearformen ohne weiteres Zutun eine [[Sesquilinearform]]. Eine [[Orthonormalbasis|Hilbertbasis]] ist mit den Hilbertbasen der Ausgangs-Hilberträume gegeben, worauf im Abschnitt über das [[#Beispiel: Tensorprodukt zweier Bilinearformen|Tensorprodukt zweier Bilinearformen]] schon hingewiesen wurde.
* Die Definition eines Hilbert-Raums erfordert, dass dieser in der durch die Hilbertnorm, die das Hilbertprodukt mit sich bringt, induzierten Topologie [[Vollständiger Raum|vollständig]] (und somit bekanntlich zugleich ein [[Banachraum]] bezüglich der Hilbertnorm) ist.

Daher muss nach Bildung des „sequilinearen“ Tensorprodukts gemäß Abschnitt [[#Beispiel: Tensorprodukt zweier Bilinearformen|zum Tensorprodukt von Bilinearformen]] der Tensorproduktraum bezüglich der Hilbertnorm [[Vollständiger Raum#Vervollständigung|vervollständigt]] werden, um seine Vollständigkeit sicherzustellen und somit einen Hilbert-Raum aus dem Tensorprodukt zu erhalten, in welchem die lineare Hülle der Orthonormalbasis dicht liegt. Bei unendlicher Dimension ist dies nämlich nicht ohne Weiteres gewährleistet.

Für [[Euklidischer Raum|euklidische Räume]] gilt das entsprechende Vorgehen.

Anmerkung: Bei endlicher Dimension <math>n</math> sind ohnehin alle Normen äquivalent, sodass bei vollständigem Skalarkörper <math>K</math> stets ein vollständiger Vektorraum vorliegt, nämlich isomorph zu <math>K^n</math>. Die Vollständigkeit des Skalarkörpers ist im hier interessierenden Fall <math>K=\Complex</math> (bzw. <math>K=\R</math> im Falle euklidischer Räume) gegeben.

Manche Autoren verleihen der Vervollständigung des „bloß sesquilinear algebraischen“ Tensorprodukts <math>V\otimes W</math> zweier Hilbert-Räume <math>V</math> und <math>W</math> auch in der Schreibweise <math>V\bar{\otimes} W</math> Ausdruck, andere halten es ohne expliziten Notationshinweis für selbstverständlich, das – kategoriell gesehen – Notwendige zu tun.

==== Anwendung: Produktmaß quadratisch integrierbarer Funktionen ====
Der Raum <math>L^2</math> der [[Lp-Raum#Der Hilbertraum L2|quadratisch integrierbaren Funktionen]]<ref group="Anm">Die Bezeichnung <math>L^2</math> ist hierbei zu unterscheiden von der in diesem Artikel sonst verbreiteten Bezeichnung für Räume bilinearer Abbildungen.</ref> [[Skalarprodukt#L2-Skalarprodukt für Funktionen|ist]] ein Hilbertraum. Somit ist es möglich, das Tensorprodukt zweier solcher Räume zu bilden und mithin das [[Produktmaß]] der zugrundeliegenden [[Maßraum|Maßräume]].

== Tensorprodukt von Moduln ==
Das Tensorprodukt lässt sich – wie an anderer Stelle schon angedeutet – nicht nur für die [[Kategorientheorie#Kategorie|Kategorie]] der Vektorräume bilden, sondern auch für die Kategorie der [[Modul (Mathematik)#Moduln über einem beliebigen Ring|Moduln]] über einem (beliebigen, auch nichtkommutativen) [[Ring (Algebra)|Ring]] mit Einselement, freilich mit Auswirkungen auf manche seiner Eigenschaften. Im Folgenden werden Eigenschaften für das Tensorprodukt in der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring <math>R</math> skizziert.

Vorab eine allgemeine Anmerkung: Jede abelsche Gruppe <math>G</math> lässt sich als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen <math>\Z</math> vermöge <math> n \cdot x = (n-1) \cdot x + x </math> (per vollständige Induktion für jedes <math> n \geq 1 </math>) und durch <math> (-n) \cdot x := - (n\cdot x) </math>, sodass <math> 0 \cdot x = 0 \in G </math>. Die [[Kategorientheorie#Kategorie|Kategorie]] der [[Gruppe (Mathematik)#Abelsche Gruppe|abelsche Gruppen]] und diejenige der <math>\Z</math>-[[Modul (Mathematik)|Moduln]] sind also äquivalent, siehe dazu auch [[Gruppe (Mathematik)#Anmerkungen zur Notation|diesen Link]].

=== Tensorprodukt auf freien Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement ===
Alle Aussagen, die im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen über einem Körper <math>K</math> getroffen wurden, gelten auch für das Tensorprodukt auf [[Freier Modul|freien Moduln]] über einem kommutativen Ring mit Einselement.

:'''Hintergrund''': Im Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen wurde nicht benutzt, dass die Elemente des Körpers <math>K</math> (bis auf die 0) sämtlich invertierbar sind: <math>K^* = K\setminus\{0\} </math>. Es wurde nicht einmal verwendet, dass <math>K</math> als Ring nullteilerfrei ist. Wohl aber wurde benutzt, dass jeder Vektorraum direkte Summe seiner eindimensionalen Unterräume ist, deren jeder durch einen der Basisvektoren aufgespannt wird: <math>V = \bigoplus_{i \in I}K\cdot v_i</math>. Diese Eigenschaft ist für die Konstruktion schon hinreichend – und für freie Moduln über einem Ring <math>R</math> mit Einselement aber (per definitionem) erfüllt. Wenn <math>R</math> sogar ein Körper ist – für Vektorräume also – lässt sich diese Tatsache dank der Invertierbarkeit nichtverschwindender Körperelemente sicherstellen.

Man kann also den obigen Abschnitt über das [[#Tensorprodukt von Vektorräumen|Tensorprodukt von Vektorräumen]] auch für [[Freier Modul|freie Moduln]] über kommutativen Ringen mit Einselement lesen.<ref group="Anm">''Freie Moduln'' heißen bei Bartel Leendert van der Waerden ''Linearformenmoduln''.</ref>

=== Tensorprodukt auf Moduln über Hauptidealringen ===
Bei der Ermittlung des Tensorprodukts auf Moduln über einem [[Hauptidealring]] <math>R</math> sind der [[Elementarteilersatz]] und die [[Primärzerlegung]] hilfreich. Für den Fall <math>R = \Z</math> liefert dieser den [[Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen|Hauptsatz]] über [[Endlich erzeugte abelsche Gruppe|endlich erzeugte abelsche Gruppen]].

==== Beispiel aus der Zahlentheorie: ggT annulliert Tensorprodukt ====
Der Ring <math> \Z </math> der ganzen Zahlen ist ein [[euklidischer Ring]]. Jeder euklidische Ring – wie etwa der Ring der [[Gaußsche Zahl|Gaußschen Zahlen]] <math> \Z[i] </math> oder die [[Polynomring|Polynomalgebra]] <math>K[X]</math> über einem Körper – ist ein Hauptidealring. Das folgende Beispiel illustriert einen, wie ihre [[Primärzerlegung]] lehrt, für [[Torsion (Algebra)|Torsionsmoduln]] über [[Hauptidealring]]en ''typischen'' Fall.

Betrachte für zwei ganze Zahlen <math> m_1, m_2 </math> das Tensorprodukt <math> \Z / (m_1) \otimes_\Z \Z / (m_1) </math> der [[Restklassenring]]e <math> \Z / (m_i) </math>:

Ist <math> d = n_1 m_1 + n_2 m_2 </math> für zwei Zahlen <math> n_i \in \Z </math>, so gilt für jeden elementaren Tensor <math> x_1 \otimes x_2 \in \Z/(m_1) \otimes \Z/(m_2) </math>:
:<math>
\begin{matrix}
d \cdot ( x_1 \otimes x_2 )
&=& ( n_1 m_1 + n_2 m_2) \cdot (x_1 \otimes x_2) \\
&=& ( n_1 m_1) \cdot (x_1 \otimes x_2) + ( n_2 m_2) \cdot (x_1 \otimes x_2) \\
&=& ( n_1 m_1\cdot x_1) \otimes x_2 + x_1 \otimes ( n_2 m_2\cdot x_2) \\
&=& 0 \otimes x_2 + x_1 \otimes 0 \\
&=& 0 \;.
\end{matrix}
</math>
Tatsächlich lassen sich für den [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teiler]] <math> d := \mathrm{ggT}(m_1, m_2) </math> solche Zahlen <math>n_i \in \Z </math> finden. Also annulliert der größte gemeinsame Teiler das gesamte Tensorprodukt:
:<math> d \cdot \big(\Z / (m_1) \otimes_\Z \Z / (m_1) \big) = \{0\}</math>.

Sind die beiden Zahlen gar [[Teilerfremdheit|''teilerfremd'']], so ist der größte gemeinsame Teiler <math> \mathrm{ggT}(m_1, m_2) = 1 </math>, und es folgt, dass das Tensorprodukt zur Nullgruppe kollabiert:
:<math> \Z / (m_1) \otimes_\Z \Z / (m_1) = \{0\}</math>.
Daher ist eine <math>\Z</math>-bilineare Abbildung <math> \Z/(m_1) \times \Z/(m_2) \to Y </math> notwendig die triviale Nullabbildung.

Das Tensorprodukt abelscher Gruppen kann also zum Kollaps führen.

Man beachte hier den großen Unterschied zwischen direktem Produkt und Tensorprodukt: Während das Tensorprodukt zu
:<math> \Z/(m_1) \otimes \Z/(m_2) \cong\{0\} </math>
kollabiert, liefert das direkte Produkt nach dem [[Chinesischer Restsatz|Chinesischen Restsatz]] den Restklassenring
:<math> \Z/(m_1) \times \Z/(m_2) \cong \Z/(m_1\cdot m_2) </math>.

=== Tensorprodukt auf Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement ===
{{Hauptartikel|Tensorprodukt von Moduln}}

Sind die Moduln aber nicht frei über dem Ring <math>R</math>, so gelingt die Konstruktion aus dem Abschnitt über das Tensorprodukt auf Vektorräumen nicht, eben weil die Ausgangsbasen nicht gegeben sind. Jedoch bleibt die [[#Universaldefinition|Universaldefinition]] mit Hilfe [[Multilineare Abbildung|multilinearer Abbildungen]]<ref group="Anm">Siehe etwa ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multilinear_mapping Multilinear mapping]'', auf encyclopediaofmath.org.</ref> sinnvoll und definiert das Tensorprodukt auf Moduln über kommutativen Ringen mit Einselement. Allerdings bleibt die Frage der Existenz offen: Sie wird mittels einer allgemeineren Konstruktion nachgewiesen, siehe den Artikel über das [[Tensorprodukt von Moduln]].

==== Polynommodul als Skalarerweiterung ====
Der [[Polynommodul]] <math>M[X]</math> eines Moduls <math>M</math> über einem kommutativen unitären Ring <math>R</math> wird definiert durch
:<math>
\begin{align}
M[X] := M^{(\N)} &:=& \Big\{ f\colon \N \to M \;\Big\vert\; f(n) \neq 0_M \text{ für nur endlich viele } n \in \N \Big\} \\
&\cong& \Big\{ \sum_{n\in\N} f(n)\cdot X^n \;\Big\vert\; f(n) = 0 \text{ für fast alle } n\in\N \Big\}
\end{align}
</math>
und ist ein Modul sowohl über dem Polynomring <math>R[X]</math> als auch über dem Ring <math>R</math>.

Wendet man die [[Tensorprodukt#Erweiterung der Skalare|Skalarerweiterung]] auf einen Modul <math>M</math> über einem unitären kommutativen Ring <math>R</math> an, indem man das Tensorprodukt mit der [[Polynomalgebra]] <math>R[X]</math> (lediglich als ''Modul'' über <math>R</math> betrachtet) bildet, so erhält man eine Isomorphie zum Polynommodul <math>M[X]</math>:
:<math>
M \otimes_R R[X] \quad \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \quad M[X]
</math>

=== Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement ===
{{Hauptartikel|Tensorprodukt von Moduln}}

Eine wesentliche Änderungen tritt ein, wenn der Ring <math>R</math> nicht kommutativ ist, und diese Änderungen betrifft folglich auch Vektorräume über Schiefkörpern: Das liegt daran, dass die Eigenschaft der Bilinearität für Elemente <math>m_i \in M_i</math> zweier Moduln <math>M_i</math> (für <math>i=1,2</math>) und für eine bilineare Abbildung <math> \phi\colon M_1 \times M_2 \to N </math> folgende Identität impliziert:
:<math>\forall r_1, r_2 \in R\colon r_1 r_2 \phi(m_1, m_2) = \phi(r_1m_1, r_2m_2) = r_2 r_1 \phi(m_1, m_2)</math>.
Also operiert <math>R</math> auf dem Bild <math> \phi(M_1 \times M_2) \subset N </math> und mithin auf dem von ihm aufgespannten <math>R</math>-Untermodul kommutativ. Ist (für Bilinearformen etwa) <math>N=R</math> und hat der Ring keine Links-Nullteiler oder gibt es <math>(m_1,m_2) \in M_1 \times M_2 </math> mit <math>\phi(m_1, m_2) = 1 \in R = N</math>, so ist der Ring notwendig kommutativ. Bilineare Abbildungen scheinen also (im Gegensatz zu „unilinearen“ Abbildungen) nach einer ''kommutativen'' Operation des Ringes auf dem Modul zu verlangen.

Daher wird diese Eigenschaft der Bilinearität in bedeutsamer, folgenschwerer Weise geändert: Das Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement handelt nicht von bilinearen Abbildungen, sondern von Abbildungen anderer Art, und der Produktraum ist kein <math>R</math>-Modul:

Dazu seien <math>M_1</math> ein Rechtsmodul, <math>M_1</math> ein Linksmodul über dem Ring <math>R</math>, <math>Y</math> eine abelsche Gruppe (ein Modul (über dem Ring der ganzen Zahlen)).

'''Definition''': Eine Abbildung <math> \phi\colon M_1 \times M_2 \to Y </math> heißt <math>R</math>-''balanziert'', wenn gilt: Sie ist additiv in jeder Komponente und darüber hinaus assoziativ in folgendem Sinne:
:<math>\forall r \in R\colon \phi( m_1 r, m_2) = \phi( m_1, r m_2)</math>.

Nun wird die Universaldefinition an die ''über dem Ring balanzierten Abbildungen'' angepasst und liefert daher für diese das Tensor''produkt''. Dabei ist das „Produkt“ eben nicht mehr bilinear, sondern balanziert.

:'''Universaldefinition:''' Eine <math>R</math>-balanzierte Abbildung <math>\phi\colon M_1 \times M_2 \to X </math> in eine abelsche Gruppe <math> X </math> wird als Tensorprodukt von <math>M_1</math> und <math>M_2</math> bezeichnet, wenn für jede abelsche Gruppe <math>Y</math> der durch <math>\phi</math> gestiftete [[Rücktransport]] (Rückzug, Pullback)
::<math>
\begin{matrix}
\phi^*\colon L(X,Y) &\stackrel{\sim}{\longrightarrow} & L^2 (M_1,M_2;Y) \\
f & \longmapsto & f \circ \phi
\end{matrix}
</math>
:bijektiv, mithin ein Isomorphismus von Gruppen ist. Man schreibt <math>M_1\otimes M_2 := X </math> und <math> m_1\otimes m_2 := \phi (m_1, m_2) </math>.

Dies hat zur Folge, dass der Tensorproduktraum <math>M_1 \otimes_R M_2 </math> kein Modul über dem Ring <math>R</math> ist: Die „Skalarmultiplikation“ ist gewissermaßen eingekapselt und nicht mehr erreichbar, und der Tensorproduktraum ist lediglich ein Modul, also eine abelsche Gruppe, das heißt: ein Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Tatsächlich benötigt die Definition der Balanziertheit gar keine <math>R</math>-Linearität des Moduls <math>N</math> (soll heißen: keine Skalarmultiplikation mit Ringelementen). Es genügt, dass <math>N</math> eine abelsche Gruppe ist. Entsprechend ist auch <math>M_1 \otimes_R M_2</math> eine abelsche Gruppe.

==== Tensorprodukt auf Vektorräumen über Schiefkörpern ====
Der Fall des Tensorprodukts von (oder auf) Vektorräumen <math>V, W</math> über einem Schiefkörper <math>K</math> ordnet sich selbstverständlich dem soeben beschriebenen Fall des Tensorprodukts von [[#Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement|Moduln über nicht-kommutativen Ringen]] unter, während der Abschnitt über [[#Tensorprodukt von Vektorräumen|das Tensorprodukt von Vektorräumen]] wesentlich die Kommutativität des Skalarkörpers benutzt. Insbesondere sind die natürlichen Homomorphismen <math> \Psi </math> aus den Abschnitten über [[#Natürliche Homomorphismen|natürliche Homomorphismen]] und [[#Homomorphismen als Tensoren|Homomorphismen als Tensoren]] nur noch Homomorphismen abelscher Gruppen (also von <math>\Z</math>-Moduln), denn für einen Schiefkörper <math>K</math> ist die Menge <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math> der Homomorphismen zwischen zwei Rechts-Vektorräumen (oder zwischen zwei Links-Vektorräumen) nur noch eine abelsche Gruppe (bei punktweiser Addition), kein Vektorraum: Die Begründung verläuft ähnlich wie in den [[#Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement|obigen Überlegungen]] über den Zusammenhang zwischen Bilinearformen und der Kommutativität des Ringes.

Dank der Dualitätstheorie von Vektorräumen über Schiefkörpern bleiben die Dimensionsargumente auch für Schiefkörper bestehen. Allerdings ist darauf zu achten, dass im Tensorprodukt <math>\otimes_K</math> die Faktoren auf der richtigen Seite stehen: Rechts-Vektorräume links, und Links-Vektorräume rechts, d. h., für einen Rechts-Vektorraum <math>V</math> und einen Links-Vektorraum <math>W</math> ist <math>V\otimes_K W</math> definiert, nicht jedoch <math>W \otimes_K V</math>. Dementsprechend müssen die [[#Homomorphismen als Tensoren|natürlichen Homomorphismen]] <math>\Psi</math> notiert werden: Sie sind auf <math>V \otimes_K V^*</math> definiert, nicht jedoch auf <math>V^* \otimes_K V</math>. Dies spiegelt sich ja auch im [[#Aus Sicht des Matrizenkalküls|Matrizenkalkül]] wider. So lohnt es sich also, beim Lesen des Abschnittes über [[#Tensorprodukt von Vektorräumen|das Tensorprodukt von Vektorräumen]] darauf zu achten, an welchen Stellen – häufig unauffällig – die Kommutativität des Grundkörpers <math>K</math> genutzt wird.

=== Skalarerweiterung ===
Es sei <math>M</math> ein Rechtsmodul über dem unitären Ring <math>R</math>, <math>N</math> ein Linksmodul über dem unitären Ring <math>S</math> und <math>f\colon R \to S</math> ein Ringhomomorphismus in den unitären Ring <math>S.</math> Dann wird <math>N</math> durch <math>r\cdot n := f(r) \cdot n</math> zu einem Linksmodul über dem Ring <math>R</math>, und mithin ist das Tensorprodukt <math>M \otimes_R N</math> definiert.

Dies gilt insbesondere für <math>N=S</math> selbst, betrachtet als Linksmodul über sich selbst: <math>M \otimes_R S</math>.

Bei kommutativen Ringen <math>R, S</math> entsteht mit <math>M_S := M \otimes_R S</math> ein Modul über dem Ring <math>S</math>. Dieser Vorgang wird als '''Skalarerweiterung''' bezeichnet.

Bei Anwendung der Skalarerweiterung auf den Fall des kanonischen Homomorphismus <math>f\colon R \to R/\mathfrak{a} =: S</math> für ein Ideal <math>\mathfrak{a}\triangleleft R</math> in <math>R</math> ist die Sequenz
:<math>
\begin{array}{ccccccccc}
0 &\longrightarrow& M\mathfrak{a} &\longrightarrow& M &\longrightarrow& M \otimes_R (R/\mathfrak{a}) &\longrightarrow& 0 \\
& & & & m &\longmapsto & m \otimes \overline{1} & &
\end{array}
</math>
[[Exakte Sequenz|exakt]], und man erhält einen Isomorphismus von Moduln über <math>R/\mathfrak{a}</math>:<ref>Siehe [[Ina Kersten]], ''Brauergruppen von Körpern'', Kapitel 4, Abschnitt (c), Seite 11.</ref>
:<math>
\begin{array}{ccc}
M \otimes_R (R/\mathfrak{a}) &\longrightarrow& M/(M\mathfrak{a}) \\
m \otimes \overline{r} &\longmapsto& \overline{m} \cdot \overline{r}
\end{array}
</math>
Im Falle eines Körperhomomorphismus <math>f</math> handelt es sich notwendig um einen Monomorphismus <math>R\hookrightarrow S</math>, also um eine [[Körpererweiterung]] <math>L=S</math> von <math>K=R</math>, und es ergibt sich der im Abschnitt [[#Erweiterung der Skalare|Erweiterung der Skalare]] beschriebene Fall.

=== Gestalt der Tensoren ===
Für die Gestalt der Tensoren gelten [[#Elementare Tensoren als Erzeugende|analoge Aussagen wie im Falle des Tensorprodukts auf Vektorräumen]]; siehe auch den Abschnitt zum [[#Rang von Tensoren|Rang von Tensoren]].

==== Elementare Tensoren ====
Ein '''elementarer Tensor''' (auch '''reiner''' oder '''einfacher Tensor''') im Tensorprodukt <math>M \otimes_R N</math> ist ein Element von der Form <math>m \otimes n</math> mit <math>m\in M,\, n\in N</math>.

==== Allgemeine Gestalt ====
Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich ''nicht'' jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.

Zum Beispiel ist der Tensor <math>e_1\otimes e_2 - e_2\otimes e_1</math> kein elementarer Tensor im Tensorprodukt <math>\R^2\otimes_{\R}\R^2</math>, wobei <math>e_i</math> die Standardbasisvektoren sind (dagegen <math>e_1\otimes e_1 - e_1\otimes e_2 - e_2\otimes e_1 + e_2\otimes e_2 = (e_1- e_2) \otimes (e_1- e_2)</math> durchaus).

Ist <math>R</math> ein kommutativer Ring und <math>M</math> ein von einem Element erzeugter <math>R</math>-Modul, dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts <math>M \otimes_R N</math> ein elementarer Tensor für jeden beliebigen <math>R</math>-Modul <math>N.</math>

== Tensorprodukt von Algebren ==
Es seien nun <math> R </math> ein kommutativer Ring mit Einselement sowie <math> A, B </math> und <math> X </math> [[Algebra über einem Körper#Unitäre Algebren|unitäre]] [[Algebra über einem kommutativen Ring|Algebren]] über dem Ring <math> R </math>.
Dabei bezeichne <math> L_{R\text{-Alg}}(A, X) = \mathrm{Hom}_{R\text{-Alg}}(A, X) </math> die Menge der <math>R</math>-[[Algebra über einem Körper#Algebrenhomomorphismen|Algebren-Homomorphismen]] von <math> A </math> in <math> X </math>.

=== Definition ===
Auf dem für <math> A </math> und <math> B </math> als <math>R</math>-Moduln definierten Tensorprodukt <math> A \times B \stackrel{\otimes}{\longrightarrow} A \otimes_R B </math> lässt sich die Struktur einer <math>R</math>-Algebra in folgender Weise definieren:
:<math> (a_1 \otimes b_1) \cdot (a_2 \otimes b_2) := (a_1 a_2) \otimes (b_1 b_2) \; .
</math>

'''Anmerkung''': Offenbar ist dann stets <math> (a_1 \otimes 1) \cdot ( 1 \otimes b_2) := a_1 \otimes b_2 = ( 1 \otimes b_2) \cdot (a_1 \otimes 1) \;. </math> Also sind die aus dem Tensorprodukt <math> \phi\colon A \times B \to A \otimes B \;, (a,b) \mapsto a \otimes b </math> durch [[Currying]] gewonnenen partiellen Abbildungen <math> \phi_A(a) := \phi(a, 1) = a \otimes 1 </math> und <math> \phi_B(b) := \phi(1, b) = 1 \otimes b </math> nicht nur linear über dem Ring <math> R </math>, sondern auch <math> R </math>-Algebren-Homomorphismen:

::<math> \phi_A \in \mathrm{Hom}_{R\text{-Alg}}(A, A \otimes_R B)
</math>
: und
::<math> \phi_B \in \mathrm{Hom}_{R\text{-Alg}}(B, A \otimes_R B).
</math>
Überdies gilt für sie <math> \phi_A(a) \cdot \phi_B(b) = \phi_B(b) \cdot \phi_A(a) \in A \otimes B </math>.

Entsprechend lässt sich für <math>R</math>-Algebren <math> A_1, \dots A_N </math> auf dem für sie als <math>R</math>-Moduln definierten Tensorprodukt <math> A_1 \times \dots \times A_N \stackrel{\otimes}{\to} \bigotimes_{i=1}^N A_i </math> die Struktur einer <math>R</math>-Algebra in folgender Weise definieren:
:<math> (a^{(1)}_1 \otimes \dots \otimes a^{(N)}_1) \cdot (a^{(1)}_2 \otimes \dots \otimes a^{(N)}_2) := ( a^{(1)}_1 \cdot a^{(1)}_2) \otimes \dots \otimes ( a^{(N)}_1 \cdot a^{(N)}_2 ) \; .
</math>

=== Universelle Eigenschaft ===
Ist <math> X </math> eine <math>R</math>-Algebra und sind <math> f \in L_{R\text{-Alg}}(A, X) </math> sowie <math> g \in L_{R\text{-Alg}}(B, X) </math> Algebren-Homomorphismen mit <math> f(a) \cdot g(b) = g(b) \cdot f(a) </math> für jedes Paar <math> (a,b) \in A \times B </math>, so gibt es einen eindeutig bestimmten <math>R</math>-Algebren-Homomorphismus
::<math>
\begin{matrix}
& A \otimes B & \longrightarrow & X \\
\text{mit} & a \otimes b & \longmapsto & f(a) \cdot g(b)
\end{matrix}
</math>
für jedes Paar <math> (a,b) \in A \times B </math>.

Entsprechend lässt sich auch die universelle Eigenschaft für mehrere Faktoren formulieren.

=== Tensorprodukt und Koprodukt ===
Es sollen nun Tensorprodukt und Koprodukt in der Kategorie unitärer Algebren über einem kommutativen unitären Ring beschrieben und verglichen werden.

In einem der [[#Tensorprodukt und Koprodukt in der Kategorie kommutativer Algebren|folgenden Abschnitte]] wird hierauf aufbauend deutlich werden, dass Tensorprodukt und Koprodukt in der Kategorie ''kommutativer'' Algebren dasselbe universelle (initiale) Objekt beschreiben.

In diesem Abschnitt sei zunächst jedoch von nicht notwendig kommutativen, unitären Algebren die Rede.

==== Vorüberlegung ====
Für <math>R</math>-Algebren <math> A^{(1)}, \dots, A^{(N)} </math> bezeichne <math> L^N_{R\text{-Alg}}( A^{(1)}, \dots, A^{(N)}; X) </math> diejenige Teilmenge der Menge <math> L^N( A^{(1)}, \dots, A^{(N)}; X) </math> aller <math>R</math>-bilinearen Abbildungen <math> \phi\colon A^{(1)} \times\dots\times A^{(N)} \longrightarrow X </math>, die zudem [[Ring (Algebra)#Direktes Produkt|multiplikativ auf dem direkten Produkt]] sind, das heißt, für die gilt:
:<math>
\phi( a^{(1)}_1, \dots, a^{(N)}_1 ) \cdot \phi( a^{(1)}_2, \dots, a^{(N)}_2 ) = \phi( a^{(1)}_1 a^{(1)}_2, \dots, a^{(N)}_1 a^{(N)}_2 )
</math> für jedes Tupel <math> ( a^{(1)}_k, \dots, a^{(N)}_k ) \in A^{(1)} \times A^{(N)} \,,\; k= 1,2 </math>.

Für ein solches <math>\phi \in L^N_{R\text{-Alg}}( A^{(1)}, \dots, A^{(N)}; X) </math> setze
:<math> \phi_{A^{(i)}}(a) := \phi_i := \phi\underbrace{(1, \dots, 1, a, 1, \dots, 1)}_{\text{in jeder Stelle }1\text{, nur an der }i\text{-ten }a} \;.
</math>

Dann gilt <math> \phi( a^{(1)}, \dots, a^{(N)} ) = \phi_1 ( a^{(1)} ) \cdot \dots \cdot \phi_N ( a^{(N)} ) </math> für jedes Tupel <math> ( a^{(1)}, \dots, a^{(N)} ) \in A^{(1)} \times\dots\times A^{(N)} </math>, und ferner ist für je zwei Indizes <math> 1 \leq i,j \leq N </math> stets die ''Vertauschbarkeit'' <math> \phi_i ( a_1 ) \cdot \phi_j (a_2) = \phi_j (a_2) \cdot \phi_i (a_1) </math> für jedes Paar <math> (a_1, a_2) \in A^{(i)} \times A^{(j)} </math> gegeben.

:Anmerkung: Man beachte, wie sich auch hier, im Falle der Algebren, eine ''Vertauschbarkeitseigenschaft'' der beteiligten multiplikativen Struktur auf naheliegende Weise „empfiehlt“, sobald <math> N \geq 2 </math>. Ähnliches war auch schon im Falle des Tensorprodukts für Moduln (und Vektorräume) festzustellen: Die Betrachtung bilinearer (<math>N=2</math>) oder multilinearer (<math>N\geq 2</math>) Abbildungen ließ es sinnvoll erscheinen, die ''Kommutativität'' des Grundrings <math> R </math> bzw. des Grundkörpers <math>K</math> vorauszusetzen. Siehe dazu die [[#Tensorprodukt auf Moduln über nicht-kommutativen Ringen mit Einselement|Anmerkungen zum Fall nicht kommutativer Ringe]]. Nun ist sogar die Multiplikation der gesamten Algebra davon betroffen.

Nun bezeichne <math> \left[ \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, X ) \right]^{S_N} </math> diejenige Teilmenge der Menge <math> \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, X ) </math> aller Familien <math> \left( f_i \right)_{i=1, \dots, N} </math> von Abbildungen <math> f_i \in L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, X ) </math>, die jene ''Bedingung der Vertauschbarkeit'' erfüllen, die soeben für die <math> \phi_i </math> verifiziert wurde, dass nämlich für zwei Indizes <math> 1 \leq i,j \leq N </math> stets <math> f_i ( a_1 ) \cdot f_j (a_2) = f_j (a_2) \cdot f_i (a_1) </math> für jedes Paar <math> (a_1, a_2) \in A^{(i)} \times A^{(j)} </math>.

Mit diesen Bezeichnungen besteht eine Bijektion von Mengen
:<math>
\begin{matrix}
L^N_{R\text{-Alg}}( A^{(1)}, \dots, A^{(N)}; X)
& \stackrel{\sim}{\longrightarrow}
& \left[ \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, X ) \right]^{S_N} \\
\phi & \longmapsto & \left( \phi_{A^{(i)}} \right)_{ i=1, \dots, N } \;.
\end{matrix}
</math>
Die Umkehrung ist durch <math> \left( f_i \right)_i \mapsto \prod_{i=1}^N f_i </math> gegeben.

==== Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts ====
Es sei eine Abbildung <math> \left[ \phi\colon A^{(1)} \times\dots\times A^{(N)} \longrightarrow X \right] \in L^N_{R\text{-Alg}}( A^{(1)}, \dots, A^{(N)}; X) </math> endlich vieler unitärer Algebren <math> A^{(i)} \,,\; (i=1, \dots, N) </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> gegeben.

'''Definition''': Die Abbildung <math> \phi </math> heißt, zusammen mit <math> X =: \bigotimes_{i=1}^N A^{(i)} </math>, das '''Tensorprodukt''' der Algebren <math> A^{(i)} </math>, wenn gilt:
:: Zu jedem Algebren-Homomorphismus <math> \psi \in L^N_{R\text{-Alg}}( A^{(1)}, \dots, A^{(N)}; Y) </math> in eine unitäre <math>R</math>-Algebra <math>Y</math> gibt es einen eindeutig bestimmten Algebren-Homomorphismus <math> \tilde\psi \in L_{R\text{-Alg}}( X, Y) </math> mit <math> \psi = \phi^* ( \tilde\psi ) = \tilde\psi \circ \phi </math>.
: Äquivalent ist die Forderung: <math>
\phi^*\colon L_{R\text{-Alg}}( X, Y) \longrightarrow L^N_{R\text{-Alg}}( A^{(1)}, \dots, A^{(N)}; Y)
</math> ist bijektiv.

Wie oben gezeigt, ist die Existenz des Tensorprodukts gesichert: Man nehme das [[#Tensorprodukt von Moduln|Tensorprodukt der Moduln]] <math>A^{(i)}</math> und versehe es, wie oben beschrieben, dank der Algebrenstruktur der <math>A^{(i)}</math> mit der Struktur einer Algebra.

==== Universelle Eigenschaft des Koprodukts ====
Es sei nun eine Familie von Abbildungen <math> \left( \varepsilon_i\colon A^{(i)} \longrightarrow X \right)_{i=1,\dots,N} \in \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, X ) </math> endlich vieler unitärer Algebren <math> A^{(i)} \,,\; (i=1, \dots, N) </math> über einem kommutativen unitären Ring <math> R </math> gegeben.

'''Definition''': Die Abbildungen <math> \varepsilon_i </math> heißen, zusammen mit <math> X =: \coprod_{i=1}^N A^{(i)} </math>, das '''Koprodukt''' der Algebren <math> A^{(i)} </math>, wenn gilt:
:: Zu jeder Familie von Algebren-Homomorphismen <math> \left( \psi_i \right)_i \in \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, Y ) </math> in eine unitäre <math>R</math>-Algebra <math>Y</math> gibt es einen eindeutig bestimmten Algebren-Homomorphismus <math> \tilde\psi \in L_{R\text{-Alg}}( X, Y) </math> mit der Eigenschaft:
:::<math> \psi_i = \varepsilon_i^* ( \tilde{\psi} ) = \tilde{\psi} \circ \varepsilon_i </math> für jedes <math> i = 1, \dots, N</math>.
: Äquivalent ist die Forderung: <math>
\varepsilon^*\colon L_{R\text{-Alg}}( X, Y) \longrightarrow \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, Y )
</math> ist bijektiv.

Dabei zieht die Vertauschbarkeitsbedingung der Familie <math>(\varepsilon_i)_i</math> offensichtlich die der Familie <math> (\psi_i)_i </math> nach sich:
:<math>
\left( \varepsilon_i \right)_i \in \left[ \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, X ) \right]^{S_N}
\Longrightarrow
\left( \psi_i \right)_i \in \left[ \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, Y ) \right]^{S_N} \,.
</math>
Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Forderung der universellen Eigenschaft äquivalent mit <math> \psi = \varepsilon^* ( \tilde{\psi} ) = \tilde{\psi} \circ \varepsilon </math>, wobei <math> \varepsilon := \prod_i \varepsilon_i </math> und ebenso <math> \psi := \prod_i \psi_i </math> gemäß den obigen Vorüberlegungen.

Allerdings ist die Vertauschbarkeitsbedingung der Familie <math>(\varepsilon_i)_i</math> nicht Bestandteil der universellen Eigenschaft das Koprodukts. Im Allgemeinen ist sie nicht erfüllt: Hierin besteht gerade der Unterschied zum Tensorprodukt. Doch in der Kategorie kommutativer Algebren verschwindet dieser Unterschied: Das ist der Inhalt des folgenden Abschnittes.

=== Tensorprodukt und Koprodukt in der Kategorie kommutativer Algebren ===
Nun wird deutlich, dass [[Produkt und Koprodukt|Koprodukt]] <math> \coprod_1^N </math> und Tensorprodukt <math> \bigotimes_1^N </math> in der Kategorie der [[Algebra über einem Körper#Kommutative Algebren|''kommutativen'' Algebren]] über kommutativen Ringen mit Einselement – bis auf Isomorphie, versteht sich – dasselbe universelle (initiale) Objekt beschreiben. Denn mit Blick auf die in der [[#Vorüberlegung|Vorüberlegung]] erwähnte Bijektion bleibt für die Kategorie ''kommutativer'' Algebren nur noch festzustellen, dass die Vertauschbarkeitseigenschaft stets gegeben ist:
:<math>
\left[ \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, Y ) \right]^{S_N} = \prod_{i=1}^N L_{R\text{-Alg}}( A^{(i)}, Y ) \,.
</math>

Ist <math> \phi\colon A^{(1)} \times \dots \times A^{(N)} \longrightarrow X := \bigotimes A^{(i)} </math> das (universelle) Tensorprodukt kommutativer Algebren, so sind die Abbildungen <math> \phi_i\colon A^{(i)}\longrightarrow X, \, a^{(i)} \mapsto 1 \otimes \dots \otimes 1 \otimes a^{(i)} \otimes 1 \otimes \dots \otimes 1 </math> aus der Vorüberlegung als Einbettungen <math> \varepsilon_i </math> im Sinne des Koproduktes zu verstehen.

=== Tensorprodukt kommutativer unitärer Ringe ===
Insbesondere ist also das Koprodukt kommutativer Ringe mit Einselement dasselbe wie das Tensorprodukt dieser Ringe (als Algebra über den ganzen Zahlen verstanden) über <math>\Z</math>.

=== Norm und Spur kommutativer Algebren ===
Es sei <math>A</math> eine unitäre kommutative Algebra der endlichen Dimension <math>n := \dim_K A</math> über dem Körper <math>K</math>. Die Multiplikation mit einem Element <math> a \in A </math> ist ein Endomorphismus in der Algebra <math>A</math> als einem Vektorraum über <math>K</math> und mithin ein Tensor:
:<math>
\left( \operatorname{mult}_a\colon A \to A, \; x \mapsto a \cdot x \right) \in \operatorname{End}_K A \cong A^* \otimes_K A \;,
</math>
wobei <math> A^* </math> den Dualraum des <math>K</math>-Vektorraums <math>A</math> bezeichnen möge.
Gemäß dem [[#Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines Endomorphismus|Abschnitt über die Spur eines Endomorphismus]] ist daher jedem Element seine [[Norm (Körpererweiterung)|Norm]] und [[Spur (Mathematik)#Die Spur in Körpererweiterungen|Spur]] zugeordnet:
:<math>
\begin{array}{llll}
\operatorname{Sp}_{A/K}\colon & A &\longrightarrow& K \\
& a &\longmapsto & \operatorname{Sp}_{A/K}(a) := \operatorname{Sp}_{A/K} \operatorname{mult}_a
\end{array}
</math>
und
:<math>
\begin{array}{llll}
\operatorname{N}_{A/K}\colon & A &\longrightarrow& K \\
& a &\longmapsto & \operatorname{N}_{A/K}(a) := \det \operatorname{mult}_a
\end{array}
</math>
Beide können anhand einer Darstellungsmatrix berechnet werden.
Die Spur ist eine <math>K</math>-lineare Abbildung mit <math> \operatorname{Sp}_{A/K}(1) = n\cdot 1_K \in K </math>.
Wegen <math> \operatorname{mult}_a \circ \operatorname{mult}_b = \operatorname{mult}_{ab} </math> und der Multiplikativität der [[Determinante]] ist auch die Norm multiplikativ:
:<math> \operatorname{N}_{A/K}(ab) = \operatorname{N}_{A/K}(a) \cdot \operatorname{N}_{A/K}(b)
</math>
Da <math> \operatorname{N}_{A/K} (1) = 1 </math>, bildet die Norm die Einheitengruppe <math>A^\times</math> der Algebra <math>A</math> in die Einheitengruppe <math>K^\times</math> des Körpers <math>K</math> ab und ist somit ein Gruppenhomomorphismus:
:<math>
\operatorname{N}_{A/K}\colon A^\times \longrightarrow K^\times \,, \quad a \longmapsto \operatorname{N}_{A/K}(a)
</math>
Aufgrund der <math>n</math>-fachen Multilinearität der Determinante ist auch die Norm <math>n</math>-fach multilinear, d. h.
:<math> \operatorname{N}_{A/K}(xa) = x^n\cdot \operatorname{N}_{A/K}(a)
</math>
oder – was gleichbedeutend ist: <math> \operatorname{N}_{A/K}(x) = x^n </math> für <math>x\in K</math>.

Ist die Algebra sogar ein Körper <math>L = A</math>, so handelt es sich um eine [[Körpererweiterung]] <math>L/K</math>.

=== Eine Anwendung in der algebraischen Zahlentheorie ===
Im Folgenden eine Anwendung aus der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]].
Es sei <math>L/K</math> eine endliche, [[Körpererweiterung#Separabilität|separable]] [[Körper (Algebra)#Körpererweiterung|Erweiterung]] [[algebraischer Zahlkörper]] oder – allgemeiner – [[globaler Körper]] der Dimension <math> \dim_K L = n </math>, und es sei <math>\mathfrak{p}</math> eine – [[Diskrete Bewertung|diskrete]] oder archimedische – [[Bewertung (Algebra)#Definition|Primstelle]] von <math>K</math>, und <math> K_{\mathfrak{p}} </math> bezeichne den bezüglich dieser Primstelle [[Vollständiger Raum|komplettierten]], mithin [[Lokaler Körper|lokalen Körper]]. Dann kommutiert folgendes Diagramm mit den hierdurch induzierten Abbildungen:
::<math>
\begin{array}{ccc}
L & \stackrel{\psi_L}{\longrightarrow} & L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} \\
\uparrow_{\mathrm{incl}} & & \uparrow_{\psi_{\mathfrak{p}}} \\
K & \stackrel{\iota_{\mathfrak{p}}}{\longrightarrow} & K_{\mathfrak{p}}
\end{array}
</math>
Dabei wird das Tensorprodukt <math> L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} </math> als [[#Erweiterung der Skalare|Grundkörpererweiterung]], freilich für kommutative Algebren, aufgefasst, sodass <math> \dim_{K_{\mathfrak{p}}} L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} = \dim_K L = n </math>. Die (durch die Bewertungsnorm definierte) Topologie des Grundkörpers <math> K_{\mathfrak{p}} </math> induziert daher auf der endlichdimensionalen Algebra, dem Tensorprodukt <math> L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} </math>, eine Topologie.

Jede Primstelle <math>\mathfrak{q}</math> von <math> L </math> über <math>\mathfrak{p}</math> induziert nun [[Körper (Algebra)|Körperhomomorphismen]]
::<math>
f_{\mathfrak{q}} := \iota_{\mathfrak{q}}\colon L \longrightarrow L_{\mathfrak{q}}
</math>
sowie
::<math>
g_{\mathfrak{q}} := \mathrm{incl}_{\mathfrak{q}}\colon K_{\mathfrak{p}} \longrightarrow L_{\mathfrak{q}} \,.
</math>
Da diese selbstverständlich die Vertauschbarkeitsbedingung erfüllen, liefert die [[#Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts|universelle Eigenschaft des Tensorprodukts]] (eigentlich des [[#Universelle Eigenschaft des Koprodukts|Koprodukts]]) ''zu jeder Primstelle'' <math>\mathfrak{q} \mid \mathfrak{p}</math> einen <math>K_{\mathfrak{p}}</math>-Algebren-Homomorphismus
<math> \Psi_\mathfrak{q}\colon L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} \longrightarrow L_{\mathfrak{q}}
</math>
mit <math> f_{\mathfrak{q}} = \Psi_\mathfrak{q} \circ \psi_L </math> und <math> g_{\mathfrak{q}} = \Psi_\mathfrak{q} \circ \psi_{\mathfrak{p}} </math>.

Diese Familie von Algebren-Homomorphismen <math> \left( \Psi_\mathfrak{q}\colon L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} \longrightarrow L_{\mathfrak{q}} \right)_{\mathfrak{q} \mid \mathfrak{p}} </math> liefert also einen <math>K_{\mathfrak{p}}</math>-Algebra-Homomorphismus
::<math>
\begin{matrix}
\Psi\colon & L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} & \longrightarrow & \prod_{{\mathfrak{q}}|{\mathfrak{p}}} L_{\mathfrak{q}} \\
& y \otimes x & \longmapsto & \left( \Psi_{\mathfrak{q}} ( y \otimes x ) \right)_{\mathfrak{q}} \,,
\end{matrix}
</math>
sodass
::<math>\Psi( \psi_L (y) ) = \left( f_{\mathfrak{q}} (y) \right)_{\mathfrak{q}}
</math> für jedes <math> y \in L </math>
und
::<math>\Psi( \psi_{\mathfrak{p}} (x) ) = \left( g_{\mathfrak{q}}(x) \right)_{\mathfrak{q}}
</math> für jedes <math> x \in K_{\mathfrak{p}} </math>.
Mit einigen Argumenten (u. a. [[Adelering#„Approximation Theorems“|Approximationssatz der Bewertungstheorie]]) lässt sich zeigen, dass dieser <math>K_{\mathfrak{p}}</math>-Algebra-Homomorphismus ein ''algebraischer und topologischer Isomorphismus'' bezüglich derjenigen Topologie ist, die auf den kommutativen Algebren durch die beteiligten Primstellen induziert wird.
:Zur Erklärung im Einzelnen: Zunächst ist festzustellen, dass die Topologie auf dem Tensorprodukt durch die Norm auf dem erweiterten Grundkörper <math>K_\mathfrak{p}</math> und eine Auswahl einer Basis induziert wird: Dabei hat die Auswahl der Basis keinen Einfluss auf die Topologie, da [[Norm (Mathematik)#Äquivalenz von Normen|Normen endlichdimensionaler Vektorräume äquivalent]] sind. Als <math>K_{\mathfrak{p}}</math>-lineare Abbildung ist die Abbildung <math> \Psi_{\mathfrak{q}}</math> für jede Primstelle <math>{{\mathfrak{q}}|{\mathfrak{p}}}</math> stetig, also auch <math>\Psi</math>. Daher sind die Bilder <math> \Psi_{\mathfrak{q}} (L \otimes_K K_{\mathfrak{p}}) </math> und ebenso <math> \Psi (L \otimes_K K_{\mathfrak{p}}) </math> als endlichdimensionale Vektorräume über dem kompletten Grundkörper <math> K_{\mathfrak{p}} </math> komplett, liegen also ''abgeschlossen'' im Produkt <math> \prod_{{\mathfrak{q}}|{\mathfrak{p}}} L_{\mathfrak{q}} </math>. Andererseits liegt das Bild <math> \Psi (L \otimes_K K_{\mathfrak{p}}) </math> dicht, da nach dem [[Adelering#„Approximation Theorems“|Approximationssatz]]<ref>Vgl. bspw. Bartel Leendert van der Waerden, Algebra, Band 2, § 148, S. 232 ff.; mit einem Beweis aus einer Vorlesung von [[Emil Artin]].</ref> schon die „Diagonaleinbettung“ <math> (\iota_{\mathfrak{q}}) = \iota\colon L \longrightarrow \prod_{{\mathfrak{q}}|{\mathfrak{p}}} L_{\mathfrak{q}} </math> dicht liegt. Also ist <math>\Psi</math> surjektiv. Daraus folgt die Surjektivität, da die Dimensionen – der Separabilität wegen! – übereinstimmen:
::<math> \dim_{K_{\mathfrak{p}}} L \otimes_K K_{\mathfrak{p}} = [L:K] \;\stackrel{!}{=} \sum_{{\mathfrak{q}}|{\mathfrak{p}}} [L_{\mathfrak{q}}:K_{\mathfrak{p}}] = \dim_{K_{\mathfrak{p}}} \prod_{{\mathfrak{q}}|{\mathfrak{p}}} L_{\mathfrak{q}} \,.</math>
:Also ist <math>\Psi</math> stetiger Isomorphismus von <math>K_{\mathfrak{p}}</math>-Algebren. Die Stetigkeit seiner Umkehrabbildung <math>\Psi^{-1}</math> folgt nun – wie schon oben – aus ihrer Linearität über <math> K_{\mathfrak{p}} </math>.

== Tensorprodukt von Darstellungen ==
Seien
:<math>\rho_1\colon G_1\to \text{GL}(V_{\rho_1}),\, \rho_2\colon G_2\to\text{GL}(V_{\rho_2})</math>
lineare Darstellungen. Wir definieren die lineare Darstellung
:<math>\rho_1\otimes\rho_2\colon G_1\times G_2 \to \text{GL}(V_{\rho_1}\otimes V_{\rho_2})</math>
in das Tensorprodukt von <math>V_{\rho_1}</math> und <math>V_{\rho_2}</math> durch
:<math>\rho_1\otimes\rho_2(s_1,s_2)=\rho_1(s_1)\otimes \rho_2(s_2),</math>
für <math>s_1\in G_1, s_2\in G_2</math>, wobei das Tensorprodukt von Matrizen das [[Kronecker-Produkt]] ist.
Diese Darstellung wird '''äußeres Tensorprodukt''' der Darstellungen <math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> genannt. Existenz und Eindeutigkeit folgen aus der [[#Universaldefinition|universellen Eigenschaft des Tensorprodukts]].

Seien <math>\rho_1\colon G \to \text{GL}(V_{\rho_1})</math> und <math>\rho_2\colon G \to \text{GL}(V_{\rho_2})</math> zwei lineare Darstellungen derselben Gruppe und sei <math>s\in G,</math> dann kann
:<math>\rho(s)\in\text{GL}(V_{\rho_1}\otimes V_{\rho_2})</math>
definiert werden durch
:<math>\rho(s)(v_1\otimes v_2)=\rho_1(s)v_1\otimes \rho_2(s)v_2,</math>
für <math>v_1\in V_{\rho_1}, v_2\in V_{\rho_2}.</math> Man schreibt dafür <math>\rho(s)=\rho_1(s) \otimes \rho_2(s).</math> Die Abbildung <math>s\mapsto \rho(s)</math> definiert dann eine lineare Darstellung von <math>G,</math> die ebenfalls '''Tensorprodukt''' der gegebenen Darstellungen genannt wird.

Man muss diese beiden Fälle jedoch strikt unterscheiden. Der erste Fall ist eine Darstellung des Produkts zweier Gruppen in das Tensorprodukt der jeweils zugehörigen Darstellungsräume. Der zweite Fall ist eine Darstellung einer Gruppe <math>G</math> ins Tensorprodukt von Darstellungsräumen dieser Gruppe. Der zweite Fall kann jedoch als Spezialfall des ersten Falls angesehen werden, indem man die diagonale Untergruppe <math>G\times G</math> betrachtet. Die Definitionen können endlich oft iteriert werden.

Seien <math>V</math> und <math>W</math> Darstellungen der Gruppe <math>G,</math> dann ist <math>\text{Hom}(V,W)</math> eine Darstellung, wie durch die Identifikation
:<math>\text{Hom}(V,W)=V^*\otimes W</math>
ersichtlich ist. Sei <math>B \in \text{Hom}(V,W)</math> und sei <math>\rho</math> die Darstellung auf <math>\text{Hom}(V,W),</math> <math>\rho_V</math> die Darstellung auf <math>V,</math> <math>\rho_W</math> die Darstellung auf <math>W.</math> Dann liefert die obige Identifikation die Gleichung
:<math>\rho(s)(B) v=\rho_W(s)\circ B\circ\rho_V(s)(v)</math>
für alle <math>s\in G, v\in V.</math>

Die irreduziblen Darstellungen von <math>G_1\times G_2</math> sind bis auf Isomorphie genau die Darstellungen <math>\rho_1\otimes\rho_2</math>, für die <math>\rho_1</math> und <math>\rho_2</math> die irreduziblen Darstellungen von <math>G_1</math> bzw. <math>G_2</math> sind.

Dieses Ergebnis schränkt das Studium der Darstellungen von <math>G_1\times G_2</math> auf das Studium der Darstellungen von <math>G_1</math> und <math>G_2</math> ein.

Das folgende Beispiel illustriert den Unterschied zwischen direkter Summe und Tensorprodukt.
Sei
:<math>\textstyle\rho_1\colon \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \text{GL}_2(\mathbb{C})</math>
die lineare Darstellung, die gegeben ist durch
:<math>\rho_1(\overline{1})=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0\end{array} \right).</math>
Und sei
:<math>\textstyle\rho_2\colon \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to \text{GL}_3(\mathbb{C})</math>
die lineare Darstellung, die gegeben ist durch
:<math>\rho_2(\overline{1}) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & e^{\frac{2\pi i}{3}}\\ 0 & e^{\frac{2\pi i}{3}} & 0\\ 0 & 0 & e^{\frac{4\pi i}{3}}\end{array}\right).</math>
Dann ist das äußere Tensorprodukt
:<math>\rho_1\otimes\rho_2\colon \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to \text{GL}(\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^3)=\text{GL}_6(\mathbb{C})</math>
gegeben durch <math>\rho_1(k)\otimes \rho_2(l),</math> wobei <math>k\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, l\in\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.</math> 
Die lineare Abbildung <math>\rho_1(\overline{1})\otimes \rho_2(\overline{1}),</math> die zum Erzeuger <math>(\overline{1},\overline{1})</math> gehört, ist dann in der Basis von <math>\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^3\cong \mathbb{C}^6</math> gegeben durch:
:<math>\rho_1(\overline{1})\otimes \rho_2(\overline{1}) = \left( \begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & -i & 0 & -ie^{\frac{2\pi i}{3}}\\
0 & 0 & 0 & 0 & -ie^{\frac{2\pi i}{3}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -ie^{\frac{4\pi i}{3}} \\
i & 0 & ie^{\frac{2\pi i}{3}} & 0 & 0 & 0 \\
0 & ie^{\frac{2\pi i}{3}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & ie^{\frac{4\pi i}{3}} & 0 & 0 & 0 \end{array}
\right)
</math>
Ein Vergleich mit der [[Direkte Summe#Direkte Summe von Darstellungen|direkten Summe]] zeigt den Unterschied. Die erhaltenen Darstellungen besitzen auch nicht denselben Grad.

=== Symmetrisches und alternierendes Quadrat ===
Sei <math>\rho\colon G\to V\otimes V</math> eine lineare Darstellung von <math>G</math> und <math>(e_k)</math> eine Basis von <math>V.</math> Definiere
:<math>\vartheta\colon V\otimes V \to V\otimes V,</math>
indem wir
:<math>\vartheta(e_k \otimes e_j) = e_j \otimes e_k</math>
linear fortsetzen. Dann gilt
:<math>\forall u,v \in V\colon \theta (v \otimes u) = u \otimes v</math>
und <math>\vartheta^2 =1.</math> Damit zerfällt <math>V\otimes V</math> in
:<math>V\otimes V=\text{Sym}^2(V)\oplus \text{Alt}^2(V),</math>
wobei
:<math>\text{Sym}^2(V) = \{z\in V\otimes V \mid \vartheta(z)=z \}</math>
und
:<math>\textstyle \text{Alt}^2(V)=\bigwedge ^2(V)=\{z\in V\otimes V \mid \vartheta(z)=-z \}.</math>
Diese Unterräume sind <math>G</math>-invariant und definieren so Teildarstellungen, die '''symmetrisches''' bzw. '''alternierendes Quadrat''' genannt werden. Diese Teildarstellungen existieren auch für <math> V^{\otimes m},</math> werden dann allerdings mit ''Hutprodukt'' <math>\textstyle\bigwedge ^m(V)</math> und ''symmetrisches Produkt'' <math>\text{Sym}^m(V)</math> bezeichnet. Im Falle <math>m>2</math> ergibt sich <math> V^{\otimes m}</math> dann im Allgemeinen nicht mehr als die direkte Summe der beiden Produkte.

== Weiterführende Begriffe ==
In der [[Algebra]]:
* [[Flachheit (Algebra)|Flachheit]]
* [[Brauergruppe]]

In der [[Kategorientheorie]]:
* [[Kommakategorie]]
* [[Universelle Eigenschaft]]
* [[Adjunktion (Kategorientheorie)|Adjungierte Funktoren]]
* [[Darstellbarkeit (Kategorientheorie)|Darstellbare Funktoren]]

In der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]]:
* [[Tor (Mathematik)|Tor-Funktor]] als [[Abgeleiteter Funktor|links abgeleiteter (derivierter) Funktor]] des Tensorprodukts
* [[Ext (Mathematik)|Ext-Funktor]] als [[Abgeleiteter Funktor|rechts abgeleiteter (derivierter) Funktor]] des [[Hom-Funktor]]s
* [[Exakter Funktor|Exakte Funktoren]]

In der [[Differentialgeometrie]]:
* [[Tensorfeld]]
* [[Differentialform]]
* [[Vektorbündel]]

In der [[Funktionalanalysis]]:
* [[Projektives Tensorprodukt]] ([[Banachraum|Banachräume]], [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]])
* [[Injektives Tensorprodukt]] (Banachräume, lokalkonvexe Räume)
* [[Hilbertraum-Tensorprodukt]]
* [[Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren]]
* [[Räumliches Tensorprodukt]] ([[C*-Algebra|C*-Algebren]])
* [[Maximales Tensorprodukt]] (C*-Algebren)

Aus der Physik:
* [[Quantenverschränkung]]
* [[Kontinuumsmechanik]]
* [[Spannungstensor]]
* [[Verzerrungstensor]]
* [[Trägheitstensor]]

Informatik (neuronale Netzwerke), Neurowissenschaften, Sprachwissenschaften:
* Tensornetzwerke<ref>Siehe etwa [https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_network_theory Tensornetzwerk-Theorie (engl. WP)], [https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_product_state Matrix-Produktzustand (engl. WP)], [https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_network Tensornetzwerk (engl. WP)] mit Literaturhinweisen. Verwiesen sei auch auf die [https://tensornetwork.org/diagrams/ graphentheoretische Darstellung von Tensornetzwerken (TN)], den Artikel [https://arxiv.org/abs/1603.03039 ''„Hand-waving and Interpretive Dance: An Introductory Course on Tensor Networks“'' auf arXiv.org] (von Jacob C. Bridgeman, Christopher T. Chubb) und beispielhaft auf eine Anwendung in der Sprachmodellierung (Language Models, LM): [https://arxiv.org/pdf/1901.11167.pdf ''„Tensorspace in Language Modelling (TSLM)“'' auf arXiv.org] von (Lipeng Zhang et al.). Abrufe am 26. Juni 2021.</ref>

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, [[doi:10.1007/978-3-540-92812-6]]. Abschnitt 4.11: ''Tensorprodukt von Vektorräumen'', S. 230 und Abschnitt 7.2: ''Tensorprodukt über Ringen'', S. 299.
* [[Bartel Leendert van der Waerden]]: ''Algebra I'', unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, 8. Auflage (der ''Modernen Algebra''), Springer-Verlag, 1971, Heidelberger Taschenbücher Band 12, ISBN 3-540-03561-3. Kapitel IV (''Vektorräume und Tensorräume'', S. 62), insbesondere § 24 ff., S. 76 ff.
* Bartel Leendert van der Waerden: ''Algebra II'', unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, 5. Auflage (der ''Modernen Algebra''), Springer-Verlag, 1967, Heidelberger Taschenbücher Band 23, ISBN 3-540-03869-8. Kapitel XIII ''Algebren'' § 93 (''Beispiele von Algebren'', S. 37 ff.) und § 94 (''Produkte und verschränkte Produkte'', S. 42 ff.).
* [[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]: ''Kategorien I'', Springer-Verlag, 1970, Heidelberger Taschenbücher Band 65.
* [[Serge Lang]]: ''Algebra'', Chapter XVI, 2nd edition, Addison-Wesley, 1984, ISBN 0-201-05487-6. 3rd edition, New York, Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X.
* Serge Lang: ''Algebraic number theory'', Graduate Texts in Mathematics 110. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York 1994, ISBN 0-387-94225-4.
* [[Lek-Heng Lim]]: Tensors in computations. arXiv:2106.08090. Acta Numerica, Volume 30, 2021.
* [[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]]: ''Algebra'', Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5, insbesondere Kapitel VII und IX.
* [[Helmut Hasse]], [[Walter Klobe]]: ''Aufgabensammlung zur höheren Algebra'', Sammlung Göschen, Band 1082, Walter de Gruyter & Co, Berlin, 1961. S. 82 f.
* [[Jean Dieudonné]]: ''Grundzüge der modernen Analysis'', Friedrich Vieweg + Sohn, Braunschweig 1976, Lizenzausgabe für die Deutsche Demokratische Republik und die übrigen sozialistischen Länder, Lizenz-Nr. 206 435/5/76 und 206 435/6/76, Band 3 und 4, jeweilige Anhänge ''Ergänzungen aus der Algebra'', A.10 und A.20.
* [[Gottfried Köthe]]: ''Topological Vector spaces I'', Springer-Verlag, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 159, 2. Auflage, New York 1969, ISBN 0-387-04509-0, § 9. ''The algebraic dual space. Tensor products,'' 7. ''Linear mappings of tensor products'', Seite 80 (Übersetzer: D. J. H. Garling, Originaltitel: ''Topologische Lineare Räume I'').
* [[Nicolas Bourbaki]]: ''Elements of Mathematics, Algebra I'', 2. Auflage, Springer-Verlag, 1998, ISBN 3-540-64243-9, Chapters 1–3, § 4. ''Relations between tensor products and homomorphism modules.'' No. 4 und Exercises 2, 3, 4, 7, Seiten 274, 396–398 ({{archive.org |ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1 |Blatt=n294}}, nicht abrufbar).
* [[Falko Lorenz]]: ''Lineare Algebra II'', Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, dritte Auflage, Mannheim/Wien/Zürich 1991, ISBN 978-3-41-115233-9.
* [[Ina Kersten]]: ''Brauergruppen.'' Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen 2007, [https://www.univerlag.uni-goettingen.de/bitstream/handle/3/isbn-978-3-938616-89-5/brauergruppen.pdf?sequence=3 PDF] (abgerufen an Himmelfahrt, 13. Mai 2021).
* Ina Kersten: ''Brauergruppen von Körpern'', Verlag Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 1990, ISBN 3-528-06380-7.

== Anmerkungen ==
<references group="Anm" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Benutzer:Pascal.vollmer.fr

2022-12-29T22:58:13Z

Pascal.vollmer.fr: bearbeitete Seiten

Ich bin Elektrotechnik-Ingenieur und interessiere mich für Philosophie, Mathematik und Physik.

Folgende Seiten habe ich bearbeitet:

* [[Open_Services_for_Lifecycle_Collaboration]]
* [[Personal_Software_Process]]
* https://fr.wikipedia.org/wiki/Hans_Stilett

Sait Faik

2022-12-19T19:55:57Z

Pascal.vollmer.fr:

[[Bild:Sait faik burgazada.jpg|mini|Sait-Faik-Abasıyanık-Museum in [[Burgazada]] (2009)]]
'''Sait Faik Abasıyanık''' (* [[18. November]] [[1906]] in [[Adapazarı]]; † [[11. Mai]] [[1954]] in [[İstanbul]]) war ein [[Türkei|türkischer]] [[Schriftsteller]]. Er gilt als der Wegbereiter und Begründer der modernen türkischen [[Kurzgeschichte]].

== Leben ==
Sait Faik stammte aus einer wohlhabenden Familie. Sein Vater war der Händler und zeitweilige Bürgermeister (1922) Mehmed Faik Bey. Seine Mutter war Makbûle Hanım und stammte aus einer angesehenen Familie mit großem Grundbesitz. Sait Faik besuchte in [[Adapazarı]] die Grundschule und zwei Jahre lang die Mittelschule. Als die griechischen Truppen während des [[Griechisch-Türkischer Krieg|Griechisch-Türkischen Krieges]] die Stadt einnahmen, floh die Familie nach [[Düzce]], dann [[Bolu]] und ließ sich nach dem Krieg in Istanbul nieder, wo Sait Faik das Gymnasium besuchte. Er wurde aufgrund eines Streiches der Schule verwiesen und beendete das Gymnasium in einem Internat in [[Bursa]] im Jahr 1928. Bis zum Jahre 1930 studierte er in Istanbul Literaturwissenschaften und Lehramt. Von 1931 bis 1935 lebte er in Frankreich und studierte zwei Jahre Literatur in [[Grenoble]].

Auf Geheiß seines Vaters kehrte er nach Istanbul zurück, damit er einem geregelten Beruf nachgehe. Zuerst versuchte er sich als Türkisch-Lehrer an einer armenischen Waisenschule, danach als Kaufmann in einem Geschäft, das sein Vater für ihn eröffnet hatte, und schließlich als Gerichtsreporter. Nach dem Tod des Vaters im Jahr 1939 lebte er von dessen Erbe.

Ab 1943 arbeitete er als freier Schriftsteller. Sait Faik blieb unverheiratet und starb 1954 an [[Leberzirrhose]] als Folge übermäßigen Alkoholkonsums.

== Literarisches Schaffen ==
Sait Faik schrieb zwei Romane und eine Vielzahl von Kurzgeschichten. Er gilt als der Wegbereiter und Begründer der modernen türkischen Kurzgeschichte, der nach Ansicht von [[Mahmut Makal]] neue Themen und eine neue Erzählweise einführte.<ref>Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976, S. 255</ref>

Sait Faik lebte in einem Umfeld, das seine Art zu leben ablehnte und ihn als ''aylak'' (Müßiggänger) betrachtete.<ref name=Anagu118>Tahir Alangu: ''Cumhuriyetten Sonra Hikaye ve Roman Önculer 1930-1950,'' Bd. 2, Istanbul 1965, S. 118</ref> Die meiste Zeit seines Lebens hat er nach eigener Aussage damit verbracht, fischen zu gehen, im Café zu sitzen, herumzulaufen, Alkohol zu trinken und Geschichten zu schreiben.<ref>Seyit Kemal Karaalioğlu: ''Edebiyetımızda Şair ve Yazarlar.'' Istanbul 1976, S. 140</ref>

Sait Faik war ein Sonderling. [[Orhan Kemal]] bezeichnete ihn als sehr direkt und streitsüchtig.<ref>Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976, S. 200</ref> Sait Faik hatte Schwierigkeiten im Umgang mit Frauen und litt unter Einsamkeit. Er zog sich nicht ganz zurück, sondern suchte immer wieder die Nähe. Aber auch in der Menge war Sait Faik einsam. Seine Geschichten entstehen wie unter Zwang. Folgerichtig schreibt er denn auch in der Geschichte ''Haritada bir Nokta'': "Wenn ich nicht schriebe, würde ich verrückt werden."

Schauplatz seiner Geschichten sind Istanbul oder die Inseln der Region. Die Geschichten basieren auf subjektiven Beobachtungen, die einem Ereignis oftmals überraschende Aspekte abgewinnen. In der Geschichte "Kafa ve Şişe" (in: Alemdağda var bir Yılan) beschreibt er seine Beobachtungsgabe anhand einer Messerstecherei:
:"Ich sehe nicht auf das Messer, sondern meine Blicke bleiben an den Augenbrauen desjenigen hängen, der das Messer zückt."

Es sind Beobachtungen alltäglicher Situationen, die sich mit Fantasie und Erinnerungen mischen. Die Handlung oder das Ereignis einer Geschichte tritt in den Hintergrund oder findet gar nicht statt.<ref>Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976, S. 23</ref> Sait Faik macht aus einem beliebigen Gesicht eine Geschichte, wie zum Beispiel in "Birahanedeki Adam" (in: Lüzumsuz Adam).

Seine Geschichten handeln vom städtischen Leben der Fischer, Matrosen, Kneipenbesucher, Passagiere eines Dampfers, Straßenfeger, Wirte, Postboten, Armenier, Juden und Straßenmusikanten von İstanbul.

== Stil ==
Die Sprache Sait Faiks ist ein ungekünsteltes Istanbul-Türkisch mit vielen umgangssprachlichen Elementen. Alangu<ref name=Anagu118/> beschreibt diese als "Randbezirksdialekte". Verschiedene Autoren werfen Sait Faik eine gewisse Nachlässigkeit (''savrukluk'') und Disziplinlosigkeit im Umgang mit der Sprache vor. Sein Stil schwankt zwischen [[Realismus (Literatur)|realistischer]] Beschreibung und [[Impressionismus|impressionistischen]] Einwürfen. Sein literarischer Ansatz, gleichzeitig skizzenhaft zu schreiben und sich auf Details zu konzentrieren, beeinflusste in der Folge viele junge Schriftsteller.

== Ehrungen und Nachleben ==
1953 wählte ihn die [[USA|US-amerikanische]] [[Mark Twain|Mark-Twain]]-Gesellschaft zum Mitglied. 1955 stiftete seine Mutter den jährlichen [[Sait-Faik-Literaturpreis]]. Sein Haus auf der zu İstanbul gehörenden Insel [[Burgazada|Burgaz]] ist seit 1964 ein [[Museum]].

== Werke ==
1936 veröffentlichte Sait Faik seinen ersten Kurzgeschichtenband ''Semaver'' („Der Samowar“). Es folgten dutzend weitere wie ''Lüzumsuz adam'' (1948; „Der nutzlose Mann“), ''Kumpanya'' (1951; „Die Firma“) und ''Alemdağda var bir yilan'' (1953; „In [[Alemdağ]] gibt es eine Schlange“).

Sein experimenteller Roman ''Bir takım insanlar'' (1952; „Eine Gruppe von Leuten“) fiel der türkischen [[Zensur (Informationskontrolle)|Zensur]] zum Opfer, weil er sich intensiv mit [[Klassenunterschied]]en auseinandersetzte.

Seine Kurzgeschichten und Reportagen erschienen u. a. auch in der namhaften Literaturzeitschrift ''Varlık'' („Existenz“).

== Literatur ==
=== Werkausgaben ===
* ''Ein Lastkahn namens Leben. Roman'', übersetzt von Monika Carbe und Enis Gülegen, [[Unionsverlag]], Zürich 1996, ISBN 3-293-20078-8 (türk.: "Medar-i-Maiset Motoru")
* ''Ein Punkt auf der Landkarte. Erzählungen''. [[Dagyeli-Verlag]], Frankfurt/M. 1991, ISBN 3-89329-118-0 (türk.: "Haritada bir nokta")
* ''Der Samowar. Erzählungen'', übersetzt von Monika Carbe und Enis Gülegen, DIPA, Frankfurt am Main, 1993, ISBN 3-7638-0365-3 (türk.: "Semaver")
* ''Verschollene gesucht. Roman und drei Erzählungen'', übersetzt von Monika Carbe und Enis Gülegen, DIPA, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-7638-0199-5 (türk.: "Kayıp Aranıyor")
* ''Geschichten aus Istanbul'', übersetzt und mit einem Nachwort versehen von Gerhard Meier, Manesse Verlag, Zürich 2012. ISBN 978-3-7175-2288-1.<ref>''Paris? Das ist doch nur etwas für die High Society'' in [[Frankfurter Allgemeine Zeitung|FAZ]] vom 10. Januar 2013, Seite 26</ref>

=== Sekundärliteratur ===
* Şükran Kurdakul: ''Şairler ve Yazarlar Sözlüğü.'' Istanbul 1971
* Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976
* Tahir Alangu: ''Cumhuriyetten Sonra Hikaye ve Roman Önculer 1930-1950,'' Bd. 2, Istanbul 1965
* Seyit Kemal Karaalioğlu: ''Edebiyetımızda Şair ve Yazarlar.'' Istanbul 1976
* Mustafa Kutlu: ''Sait Faik Hikaye Dünyası.'' Istanbul 1968
* [[Karl-Markus Gauß]], Der Alltag der Welt. Zwei Jahre, und viele mehr. Wien 2015. S. 111–114.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Sait Faik Abasıyanık}}
{{Wikilivres}}
* {{DNB-Portal|11949535X}}
* {{Perlentaucher|sait-faik-abasiyanik|a|Sait Faik Abasiyanik}}
* Übersetzung der Kurzgeschichte [http://exoriente.net/?page_id=5 Samowar] von Hakan Özkan

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=11949535X|LCCN=n/83/218364|VIAF=51716695}}

{{SORTIERUNG:Faik, Sait}}
[[Kategorie:Autor]]
[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Literatur (Türkisch)]]
[[Kategorie:Kurzgeschichte]]
[[Kategorie:Roman, Epik]]
[[Kategorie:Träger der İstiklâl Madalyası]]
[[Kategorie:Schriftsteller (Istanbul)]]
[[Kategorie:Türke]]
[[Kategorie:Person (Adapazarı)]]
[[Kategorie:Geboren 1906]]
[[Kategorie:Gestorben 1954]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Faik, Sait
|ALTERNATIVNAMEN=Faik, Sait Abasıyanık
|KURZBESCHREIBUNG=türkischer Schriftsteller
|GEBURTSDATUM=18. November 1906
|GEBURTSORT=[[Adapazarı]]
|STERBEDATUM=11. Mai 1954
|STERBEORT=[[İstanbul]]
}}

Sait Faik

2022-12-19T19:54:06Z

Pascal.vollmer.fr:

[[Bild:Sait faik burgazada.jpg|mini|Sait-Faik-Abasıyanık-Museum in [[Burgazada]] (2009)]]
'''Sait Faik Abasıyanık''' (* [[18. November]] [[1906]] in [[Adapazarı]]; † [[11. Mai]] [[1954]] in [[İstanbul]]) war ein [[Türkei|türkischer]] [[Schriftsteller]]. Er gilt als der Wegbereiter und Begründer der modernen türkischen [[Kurzgeschichte]].

== Leben ==
Sait Faik stammte aus einer wohlhabenden Familie. Sein Vater war der Händler und zeitweilige Bürgermeister (1922) Mehmed Faik Bey. Seine Mutter war Makbûle Hanım und stammte aus einer angesehenen Familie mit großem Grundbesitz. Sait Faik besuchte in [[Adapazarı]] die Grundschule und zwei Jahre lang die Mittelschule. Als die griechischen Truppen während des [[Griechisch-Türkischer Krieg|Griechisch-Türkischen Krieges]] die Stadt einnahmen, floh die Familie nach [[Düzce]], dann [[Bolu]] und ließ sich nach dem Krieg in Istanbul nieder, wo Sait Faik das Gymnasium besuchte. Er wurde aufgrund eines Streiches der Schule verwiesen und beendete das Gymnasium in einem Internat in [[Bursa]] im Jahr 1928. Bis zum Jahre 1930 studierte er in Istanbul Literaturwissenschaften und Lehramt. Von 1931 bis 1935 lebte er in Frankreich und studierte zwei Jahre Literatur in [[Grenoble]].

Auf Geheiß seines Vaters kehrte er nach Istanbul zurück, damit er einem geregelten Beruf nachgehe. Zuerst versuchte er sich als Türkisch-Lehrer an einer armenischen Waisenschule, danach als Kaufmann in einem Geschäft, das sein Vater für ihn eröffnet hatte, und schließlich als Gerichtsreporter. Nach dem Tod des Vaters im Jahr 1939 lebte er von dessen Erbe.

Ab 1943 arbeitete er als freier Schriftsteller. Sait Faik blieb unverheiratet und starb 1954 an [[Leberzirrhose]] als Folge übermäßigen Alkoholkonsums.

== Literarisches Schaffen ==
Sait Faik schrieb zwei Romane und eine Vielzahl von Kurzgeschichten. Er gilt als der Wegbereiter und Begründer der modernen türkischen Kurzgeschichte, der nach Ansicht von [[Mahmut Makal]] neue Themen und eine neue Erzählweise einführte.<ref>Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976, S. 255</ref>

Sait Faik lebte in einem Umfeld, das seine Art zu leben ablehnte und ihn als ''aylak'' (Müßiggänger) betrachtete.<ref name=Anagu118>Tahir Alangu: ''Cumhuriyetten Sonra Hikaye ve Roman Önculer 1930-1950,'' Bd. 2, Istanbul 1965, S. 118</ref> Die meiste Zeit seines Lebens hat er nach eigener Aussage damit verbracht, fischen zu gehen, im Café zu sitzen, herumzulaufen, Alkohol zu trinken und Geschichten zu schreiben.<ref>Seyit Kemal Karaalioğlu: ''Edebiyetımızda Şair ve Yazarlar.'' Istanbul 1976, S. 140</ref>

Sait Faik war ein Sonderling. [[Orhan Kemal]] bezeichnete ihn als sehr direkt und streitsüchtig.<ref>Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976, S. 200</ref> Sait Faik hatte Schwierigkeiten im Umgang mit Frauen und litt unter Einsamkeit. Er zog sich nicht ganz zurück, sondern suchte immer wieder die Nähe. Aber auch in der Menge war Sait Faik einsam. Seine Geschichten entstehen wie unter Zwang. Folgerichtig schreibt er denn auch in der Geschichte ''Haritada bir Nokta'': "Wenn ich nicht schriebe, würde ich verrückt werden."

Schauplatz seiner Geschichten sind Istanbul oder die Inseln der Region. Die Geschichten basieren auf subjektiven Beobachtungen, die einem Ereignis oftmals überraschende Aspekte abgewinnen. In der Geschichte "Kafa ve Şişe" (in: Alemdağda var bir Yılan) beschreibt er seine Beobachtungsgabe anhand einer Messerstecherei:
:"Ich sehe nicht auf das Messer, sondern meine Blicke bleiben an den Augenbrauen desjenigen hängen, der das Messer zückt."

Es sind Beobachtungen alltäglicher Situationen, die sich mit Fantasie und Erinnerungen mischen. Die Handlung oder das Ereignis einer Geschichte tritt in den Hintergrund oder findet gar nicht statt.<ref>Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976, S. 23</ref> Sait Faik macht aus einem beliebigen Gesicht eine Geschichte, wie zum Beispiel in "Birahanedeki Adam" (in: Lüzumsuz Adam).

Seine Geschichten handeln vom städtischen Leben der Fischer, Matrosen, Kneipenbesucher, Passagiere eines Dampfers, Straßenfeger, Wirte, Postboten, Armenier, Juden und Straßenmusikanten von İstanbul.

== Stil ==
Die Sprache Sait Faiks ist ein ungekünsteltes Istanbul-Türkisch mit vielen umgangssprachlichen Elementen. Alangu<ref name=Anagu118/> beschreibt diese als "Randbezirksdialekte". Verschiedene Autoren werfen Sait Faik eine gewisse Nachlässigkeit (''savrukluk'') und Disziplinlosigkeit im Umgang mit der Sprache vor. Sein Stil schwankt zwischen [[Realismus (Literatur)|realistischer]] Beschreibung und [[Impressionismus|impressionistischen]] Einwürfen. Sein literarischer Ansatz, gleichzeitig skizzenhaft zu schreiben und auf Details zu konzentrieren, beeinflusste in der Folge viele junge Schriftsteller.

== Ehrungen und Nachleben ==
1953 wählte ihn die [[USA|US-amerikanische]] [[Mark Twain|Mark-Twain]]-Gesellschaft zum Mitglied. 1955 stiftete seine Mutter den jährlichen [[Sait-Faik-Literaturpreis]]. Sein Haus auf der zu İstanbul gehörenden Insel [[Burgazada|Burgaz]] ist seit 1964 ein [[Museum]].

== Werke ==
1936 veröffentlichte Sait Faik seinen ersten Kurzgeschichtenband ''Semaver'' („Der Samowar“). Es folgten dutzend weitere wie ''Lüzumsuz adam'' (1948; „Der nutzlose Mann“), ''Kumpanya'' (1951; „Die Firma“) und ''Alemdağda var bir yilan'' (1953; „In [[Alemdağ]] gibt es eine Schlange“).

Sein experimenteller Roman ''Bir takım insanlar'' (1952; „Eine Gruppe von Leuten“) fiel der türkischen [[Zensur (Informationskontrolle)|Zensur]] zum Opfer, weil er sich intensiv mit [[Klassenunterschied]]en auseinandersetzte.

Seine Kurzgeschichten und Reportagen erschienen u. a. auch in der namhaften Literaturzeitschrift ''Varlık'' („Existenz“).

== Literatur ==
=== Werkausgaben ===
* ''Ein Lastkahn namens Leben. Roman'', übersetzt von Monika Carbe und Enis Gülegen, [[Unionsverlag]], Zürich 1996, ISBN 3-293-20078-8 (türk.: "Medar-i-Maiset Motoru")
* ''Ein Punkt auf der Landkarte. Erzählungen''. [[Dagyeli-Verlag]], Frankfurt/M. 1991, ISBN 3-89329-118-0 (türk.: "Haritada bir nokta")
* ''Der Samowar. Erzählungen'', übersetzt von Monika Carbe und Enis Gülegen, DIPA, Frankfurt am Main, 1993, ISBN 3-7638-0365-3 (türk.: "Semaver")
* ''Verschollene gesucht. Roman und drei Erzählungen'', übersetzt von Monika Carbe und Enis Gülegen, DIPA, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-7638-0199-5 (türk.: "Kayıp Aranıyor")
* ''Geschichten aus Istanbul'', übersetzt und mit einem Nachwort versehen von Gerhard Meier, Manesse Verlag, Zürich 2012. ISBN 978-3-7175-2288-1.<ref>''Paris? Das ist doch nur etwas für die High Society'' in [[Frankfurter Allgemeine Zeitung|FAZ]] vom 10. Januar 2013, Seite 26</ref>

=== Sekundärliteratur ===
* Şükran Kurdakul: ''Şairler ve Yazarlar Sözlüğü.'' Istanbul 1971
* Mahmut Alptekin: ''Sait Faik Abasıyanık, Bir Öykü Ustası.'' Istanbul 1976
* Tahir Alangu: ''Cumhuriyetten Sonra Hikaye ve Roman Önculer 1930-1950,'' Bd. 2, Istanbul 1965
* Seyit Kemal Karaalioğlu: ''Edebiyetımızda Şair ve Yazarlar.'' Istanbul 1976
* Mustafa Kutlu: ''Sait Faik Hikaye Dünyası.'' Istanbul 1968
* [[Karl-Markus Gauß]], Der Alltag der Welt. Zwei Jahre, und viele mehr. Wien 2015. S. 111–114.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Sait Faik Abasıyanık}}
{{Wikilivres}}
* {{DNB-Portal|11949535X}}
* {{Perlentaucher|sait-faik-abasiyanik|a|Sait Faik Abasiyanik}}
* Übersetzung der Kurzgeschichte [http://exoriente.net/?page_id=5 Samowar] von Hakan Özkan

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=11949535X|LCCN=n/83/218364|VIAF=51716695}}

{{SORTIERUNG:Faik, Sait}}
[[Kategorie:Autor]]
[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Literatur (Türkisch)]]
[[Kategorie:Kurzgeschichte]]
[[Kategorie:Roman, Epik]]
[[Kategorie:Träger der İstiklâl Madalyası]]
[[Kategorie:Schriftsteller (Istanbul)]]
[[Kategorie:Türke]]
[[Kategorie:Person (Adapazarı)]]
[[Kategorie:Geboren 1906]]
[[Kategorie:Gestorben 1954]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Faik, Sait
|ALTERNATIVNAMEN=Faik, Sait Abasıyanık
|KURZBESCHREIBUNG=türkischer Schriftsteller
|GEBURTSDATUM=18. November 1906
|GEBURTSORT=[[Adapazarı]]
|STERBEDATUM=11. Mai 1954
|STERBEORT=[[İstanbul]]
}}

Einbettungssatz von Whitney

2022-10-03T21:44:58Z

Pascal.vollmer.fr: Link zu Lemma "Diffeomorphismus"

Der '''Einbettungssatz von Whitney''' ist ein grundlegendes [[Theorem]] in der [[Differentialgeometrie]]. Er wurde 1936 vom amerikanischen Mathematiker [[Hassler Whitney]] bewiesen. Der Satz besagt, dass jede <math>n</math>-dimensionale [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] eine [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] in <math>\R^{2n}</math> besitzt.

== Erläuterungen ==
Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es differenzierbare Mannigfaltigkeiten eigentlich nur im [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] gibt.

Man beachte, dass der Satz nur gilt, wenn man der (sehr üblichen) Definition folgt, dass eine Mannigfaltigkeit immer [[Zweites Abz%C3%A4hlbarkeitsaxiom|zweitabzählbar]] ist. Wenn man dies nicht fordert, gibt es glatte Mannigfaltigkeiten, die sich nicht in einen Euklidischen Raum einbetten lassen, wie z. B. die [[Lange Gerade]] oder ein überabzählbarer [[diskreter Raum]].

Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> in eine andere <math>N</math> ist eine [[Injektivität|injektive]] Abbildung <math>f\colon M\to N</math>, so dass <math>f(M)</math> eine Untermannigfaltigkeit von <math>N</math> ist und die Abbildung <math>f\colon M\to f(M)</math> ein [[Diffeomorphismus]] ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den euklidischen Raum <math>\R^n</math> eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.

== {{Anker|Beispiel}}Beispiele und schärfere Aussagen ==
Ein Beispiel ist die [[Kleinsche Flasche|Klein’sche Flasche]], eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich nicht in den dreidimensionalen Raum einbetten lässt (jedoch [[Immersion (Mathematik)|immersieren]]), wohl aber in den vierdimensionalen <math>\R^4</math>.

Das Beispiel der Einbettung des [[Torus]] in den dreidimensionalen Raum zeigt, dass die Dimension <math>2n</math> nicht immer die kleinste Dimension ist, für die eine Einbettung existiert; manchmal genügt auch eine niedrigere Dimension.

Sei <math>e(n)</math> die kleinste ganze Zahl, so dass alle kompakten zusammenhängenden n-Mannigfaltigkeiten in einen <math>\R^n</math> eingebettet werden können. Der Satz von Whitney über die starke Einbettung besagt, dass <math>e(n) \le 2n</math>.
Für jede Potenz von 2, d. h. <math>n=2^k</math>, ist das Resultat von Whitney scharf in dem Sinn, dass es eine <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit gibt, die in den <math>2n</math>-dimensionalen Raum, aber nicht in den <math>(2n-1)</math>-dimensionalen Raum eingebettet werden kann, d. h. <math>e(n) = 2n</math>.

Ist <math>n</math> keine Potenz von 2, kann das Ergebnis von Whitney zu <math>e(n) \le 2n - 1</math> verbessert werden. Dies ist ein Ergebnis von André Haefliger und Morris Hirsch (für <math>n > 4</math>) und C. T. C. Wall (für <math>n = 3</math>); diese Autoren verwendeten wichtige vorläufige Ergebnisse und besondere Fälle, die von Hirsch, William S. Massey, Sergey Novikov und Vladimir Rokhlin nachgewiesen wurden (siehe Skopenkov, Abschnitt 2). Zurzeit (Stand 2008) ist der Wert der Funktion <math>e</math> nicht  für alle ganzen Zahlen bekannt.

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.
* Arkadiy Skopenkov: ''[https://www.cambridge.org/core/books/abs/surveys-in-contemporary-mathematics/embedding-and-knotting-of-manifolds-in-euclidean-spaces/1CD7E954116B64F79CF663E30333B025 Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces]'', in Nicholas Young, Yemon Choi (Hrsg.): Surveys in Contemporary Mathematics, London Math. Soc. Lect. Notes., Band. 347, Cambridge: Cambridge University Press, 2007/2008, S. 248–342, [[doi:10.1017/CBO9780511666315.008]]. {{arXiv|math/0604045}}, {{bibcode|2006math......4045S}}, [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2388495 MR 2388495].

== Siehe auch ==
* [[Einbettungssatz von Nash]]
* [[Immersionssatz von Whitney]]

== Weblinks ==
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Embeddings_in_Euclidean_space:_an_introduction_to_their_classification Klassifikation von Einbettungen]

[[Kategorie:Satz (Differentialtopologie)|Whitney, Einbettungssatz von]]

Einbettungssatz von Whitney

2022-10-03T21:21:51Z

Pascal.vollmer.fr: ein "r" hatte gefehlt

Der '''Einbettungssatz von Whitney''' ist ein grundlegendes [[Theorem]] in der [[Differentialgeometrie]]. Er wurde 1936 vom amerikanischen Mathematiker [[Hassler Whitney]] bewiesen. Der Satz besagt, dass jede <math>n</math>-dimensionale [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] eine [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] in <math>\R^{2n}</math> besitzt.

== Erläuterungen ==
Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es differenzierbare Mannigfaltigkeiten eigentlich nur im [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] gibt.

Man beachte, dass der Satz nur gilt, wenn man der (sehr üblichen) Definition folgt, dass eine Mannigfaltigkeit immer [[Zweites Abz%C3%A4hlbarkeitsaxiom|zweitabzählbar]] ist. Wenn man dies nicht fordert, gibt es glatte Mannigfaltigkeiten, die sich nicht in einen Euklidischen Raum einbetten lassen, wie z. B. die [[Lange Gerade]] oder ein überabzählbarer [[diskreter Raum]].

Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> in eine andere <math>N</math> ist eine [[Injektivität|injektive]] Abbildung <math>f\colon M\to N</math>, so dass <math>f(M)</math> eine Untermannigfaltigkeit von <math>N</math> ist und die Abbildung <math>f\colon M\to f(M)</math> ein Diffeomorphismus ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den euklidischen Raum <math>\R^n</math> eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.

== {{Anker|Beispiel}}Beispiele und schärfere Aussagen ==
Ein Beispiel ist die [[Kleinsche Flasche|Klein’sche Flasche]], eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich nicht in den dreidimensionalen Raum einbetten lässt (jedoch [[Immersion (Mathematik)|immersieren]]), wohl aber in den vierdimensionalen <math>\R^4</math>.

Das Beispiel der Einbettung des [[Torus]] in den dreidimensionalen Raum zeigt, dass die Dimension <math>2n</math> nicht immer die kleinste Dimension ist, für die eine Einbettung existiert; manchmal genügt auch eine niedrigere Dimension.

Sei <math>e(n)</math> die kleinste ganze Zahl, so dass alle kompakten zusammenhängenden n-Mannigfaltigkeiten in einen <math>\R^n</math> eingebettet werden können. Der Satz von Whitney über die starke Einbettung besagt, dass <math>e(n) \le 2n</math>.
Für jede Potenz von 2, d. h. <math>n=2^k</math>, ist das Resultat von Whitney scharf in dem Sinn, dass es eine <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit gibt, die in den <math>2n</math>-dimensionalen Raum, aber nicht in den <math>(2n-1)</math>-dimensionalen Raum eingebettet werden kann, d. h. <math>e(n) = 2n</math>.

Ist <math>n</math> keine Potenz von 2, kann das Ergebnis von Whitney zu <math>e(n) \le 2n - 1</math> verbessert werden. Dies ist ein Ergebnis von André Haefliger und Morris Hirsch (für <math>n > 4</math>) und C. T. C. Wall (für <math>n = 3</math>); diese Autoren verwendeten wichtige vorläufige Ergebnisse und besondere Fälle, die von Hirsch, William S. Massey, Sergey Novikov und Vladimir Rokhlin nachgewiesen wurden (siehe Skopenkov, Abschnitt 2). Zurzeit (Stand 2008) ist der Wert der Funktion <math>e</math> nicht  für alle ganzen Zahlen bekannt.

== Literatur ==
* John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.
* Arkadiy Skopenkov: ''[https://www.cambridge.org/core/books/abs/surveys-in-contemporary-mathematics/embedding-and-knotting-of-manifolds-in-euclidean-spaces/1CD7E954116B64F79CF663E30333B025 Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces]'', in Nicholas Young, Yemon Choi (Hrsg.): Surveys in Contemporary Mathematics, London Math. Soc. Lect. Notes., Band. 347, Cambridge: Cambridge University Press, 2007/2008, S. 248–342, [[doi:10.1017/CBO9780511666315.008]]. {{arXiv|math/0604045}}, {{bibcode|2006math......4045S}}, [https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2388495 MR 2388495].

== Siehe auch ==
* [[Einbettungssatz von Nash]]
* [[Immersionssatz von Whitney]]

== Weblinks ==
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Embeddings_in_Euclidean_space:_an_introduction_to_their_classification Klassifikation von Einbettungen]

[[Kategorie:Satz (Differentialtopologie)|Whitney, Einbettungssatz von]]

Maxwell-Gleichungen

2022-09-23T15:33:04Z

Pascal.vollmer.fr: Fußnote erweitert um das Lehrbuch Lehner/Kurz

Die '''Maxwell-Gleichungen''' von [[James Clerk Maxwell]] (1831–1879) beschreiben die Phänomene des [[Elektromagnetismus]]. Sie sind damit ein wichtiger Teil des modernen [[Physik|physikalischen]] [[Weltbild]]es.

Die Gleichungen beschreiben, wie [[Elektrisches Feld|elektrische]] und [[Magnetfeld|magnetische]] Felder untereinander sowie mit [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladungen]] und [[Elektrischer Strom|elektrischem Strom]] unter gegebenen [[Randbedingungen]] zusammenhängen. Zusammen mit der [[Lorentzkraft]] erklären sie alle Phänomene der klassischen [[Elektrodynamik]]. Sie bilden daher auch die theoretische Grundlage der [[Optik]] und der [[Theoretische Elektrotechnik|Elektrotechnik]]. Die Gleichungen sind nach dem schottischen Physiker James Clerk Maxwell benannt, der sie von 1861 bis 1864 erarbeitet hat. Er kombinierte dabei das [[Durchflutungsgesetz]] und das [[Gaußsches Gesetz|Gaußsche Gesetz]] mit dem [[Induktionsgesetz]] und führte zusätzlich, um die [[Kontinuitätsgleichung]] nicht zu verletzen, den ebenfalls nach ihm benannten [[Verschiebungsstrom]] ein.

[[Datei:James Clerk Maxwell big.jpg|mini|hochkant=1.2|James Clerk Maxwell]]
Die Maxwell-Gleichungen sind ein spezielles System von linearen [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] erster Ordnung. Sie lassen sich auch in integraler Form, in differentialgeometrischer Form und in kovarianter Form darstellen.

== Maxwell-Gleichungen im Feldlinienbild ==
[[Datei:VFPt charges plus minus thumb.svg|mini|hochkant=1.2|Die Feldlinien des elektrischen Feldes verlaufen zwischen den positiven und negativen Ladungen.]]
[[Datei:VFPt dipole magnetic2.svg|mini|hochkant=1.2|Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte <math>\vec B</math> bilden geschlossene Bahnen oder sind unendlich lang.]]
Das elektrische und das magnetische Feld können durch [[Feldlinie]]n repräsentiert werden. Das elektrische Feld wird durch die Felder der [[Elektrische Feldstärke|elektrischen Feldstärke]] <math>\vec{E}</math> und der [[Elektrische Flussdichte|elektrischen Flussdichte]] <math>\vec{D}</math> repräsentiert, während das magnetische Feld durch die Felder der [[Magnetische Feldstärke|magnetischen Feldstärke]] <math>\vec{H}</math> und der [[Magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]] <math>\vec{B}</math> repräsentiert wird.

Die elektrische Feldstärke <math>\vec{E}</math> und die magnetische Flussdichte <math>\vec{B}</math> können prinzipiell durch die Kraftausübung auf Ladungen veranschaulicht werden. Die Zusammenhänge werden im Artikel über die [[Lorentzkraft]] genauer beschrieben. Im Falle des elektrischen Feldes zeigt der Verlauf der elektrischen Feldstärke die Richtung der vom Feld ausgeübten Kraft an (die Kraft wirkt in Richtung der Tangente an die Feldlinie am jeweiligen Ort), die Feldliniendichte (die Nähe der Feldlinien zueinander) stellt die Feldstärke in diesem Gebiet dar. Im Falle des magnetischen Feldes wirkt die Kraft normal zur Richtung der magnetischen Flussdichte und normal zur Bewegungsrichtung der Ladung.

In der folgenden Abbildung wird das Feldlinienbild anhand einer positiven und einer negativen Ladung verdeutlicht. Das elektrische Feld ist an den Ladungsträgern am stärksten und nimmt mit größerer Entfernung ab:

In [[Feldtheorie (Physik)#Quellenfeld|Quellenfeldern]] zeichnen sich die Feldlinien durch einen Anfang und ein Ende aus (oder verschwinden im Unendlichen). In [[Feldtheorie (Physik)#Wirbelfeld|Wirbelfeldern]] sind die Feldlinien geschlossene Kurven.

* Das Gaußsche Gesetz für elektrische Felder besagt, dass elektrische Ladungen Quellen und Senken des Feldes der elektrischen Flussdichte <math>\vec{D}</math> sind, also Anfang und Ende der zugehörigen Feldlinien darstellen. Elektrische Felder ohne Quellen und Senken, sogenannte Wirbelfelder, treten hingegen bei Induktionsvorgängen auf.
* Das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus besagt, dass das Feld der magnetischen Flussdichte <math>\vec{B}</math> keine Quellen aufweist. Die magnetische Flussdichte hat demzufolge nur Feldlinien, welche kein Ende besitzen. Eine magnetische Feldlinie ist daher entweder unendlich lang oder führt in einer geschlossenen Bahn wieder auf sich selbst zurück.<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Paul, Reinhold Paul |Titel=Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 2: Elektromagnetische Felder und ihre Anwendungen |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2012 |ISBN=3-642-24157-3 |Seiten=200 |Online={{Google Buch|BuchID=mvGGnfzVMTcC|Seite=200}}}}</ref>
* Induktionsgesetz von [[Michael Faraday|Faraday]]: Zeitliche Änderungen des magnetischen Flusses führen zu einem elektrischen Wirbelfeld.
* Erweitertes [[Ampèresches Gesetz]], auch Durchflutungs- oder Maxwell-Ampèresches Gesetz genannt: Elektrische Ströme – einschließlich einer zeitlichen Änderung der elektrischen Flussdichte – führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.

== Gleichungen ==
Im engeren Sinne sind die Maxwell-Gleichungen die mathematische Beschreibung dieser Gesetze. Direkt analog zu den Gesetzen kann man sie mit vier<ref>Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik'' 3, Kap. 4.1.3, [http://books.google.de/books?id=n3KIC9We93oC&printsec=frontcover&dq=nolting+elektrodynamik&hl=de&ei=8vEZTvOtLYKk8QPN7dAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CDAQ6AEwAA#v=onepage&q=elektromagnetische%20potentiale&f=false books.google.de]; darin ist von vier Gleichungen die Rede</ref> gekoppelten Differentialgleichungen beschreiben, es gibt jedoch auch weitere äquivalente Formulierungen.

=== Notation ===
Es werden die Methoden der [[Vektoranalysis]] (und damit verbunden [[Oberflächenintegral]], [[Kurvenintegral]]) verwendet. <math>\vec\nabla</math> bezeichnet den [[Nabla-Operator]].
Die Differentialoperatoren bedeuten:
* <math>\vec\nabla \cdot \vec{E} \equiv \operatorname{div} \vec{E}</math> bezeichnet die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] von <math>\vec E</math>
* <math>\vec\nabla\times \vec{E} \equiv \operatorname{rot} \vec{E} </math> bezeichnet die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] von <math>\vec E</math>

=== Mikroskopische Maxwell-Gleichungen ===
Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen verknüpfen die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> und die magnetische Flussdichte <math>\vec B</math> mit der [[Ladungsdichte]] <math>\,\rho</math> (Ladung pro Volumen) und der [[Elektrische Stromdichte|elektrischen Stromdichte]] <math>\vec\jmath</math> (Strom pro durchflossene Fläche).

{| class="wikitable"
|-
!width="50px"| Name
!width="50px"| [[Internationales Einheitensystem|SI]]
! Physikalischer Inhalt
|-
! Gaußsches Gesetz
| <math>\vec\nabla\cdot\vec{E}= \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
| Elektrische Feldlinien divergieren voneinander unter Anwesenheit elektrischer Ladung; die Ladung ist [[Quelle und Senke|Quelle]] des elektrischen Feldes.
|-
! Gaußsches Gesetz für Magnetfelder
| <math>\vec\nabla\cdot\vec{B}=0</math>
| Magnetische Feldlinien divergieren ''nicht'', das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei; es gibt keine [[Magnetischer Monopol|magnetischen Monopole]].
|-
! Induktionsgesetz
| <math>\vec\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}</math>
| Änderungen der magnetischen Flussdichte führen zu einem elektrischen [[Wirbelfeld]]. Das Minuszeichen schlägt sich in der [[Lenzsche Regel|Lenzschen Regel]] nieder.
|-
! [[Ampèresches Gesetz#Maxwells Erweiterung|Erweitertes Durchflutungsgesetz]]
| <math>\vec\nabla\times\vec{B}= \mu_0\vec\jmath+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math>
| Elektrische Ströme – einschließlich des [[Verschiebungsstrom]]s – führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.
|}

Dabei kann auch <math>\mu_0\varepsilon_0 =\frac{1}{c^2}</math> eingesetzt werden.

=== Makroskopische Maxwell-Gleichungen ===
[[Datei:Polarization and magnetization.svg|mini|hochkant=1.5|Mikroskopische elektrische Dipole und Kreisströme sowie die nicht dargestellten Spindipole (relativistische Quantentheorie) führen zu makroskopischen Polarisationen <math>\vec P</math> bzw. <math>\vec M</math>.]]
Bei Anwesenheit von Materie sind die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen einerseits unhandlich, da schließlich jeder Ladungsträger in jedem Atom des Mediums berücksichtigt werden muss. Andererseits können die magnetischen Eigenschaften (beispielsweise von einem Permanentmagneten) prinzipiell nicht ohne zusätzliche physikalische Erkenntnisse der Quantenmechanik aus den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden.

Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen berücksichtigen die Eigenschaften der Materie in Form von Materialparametern, wobei dem leeren Raum die Parameter [[Permittivität]] <math>\varepsilon_0</math> und [[Magnetische Permeabilität|Permeabilität]] <math>\mu_0</math> zugeordnet werden. Maxwell selbst ging nicht von einem leeren Raum, sondern – wie zu seiner Zeit üblich – von dem mit einem sogenannten [[Äther (Physik)|„Äther“]] erfüllten Raum aus. Die Bezeichnung „makroskopisch“ kommt dadurch zustande, dass die Eigenschaften der Materie letztlich örtlich gemittelte Eigenschaften der Materie kennzeichnen. Im Hinblick auf die Ladungen wird dabei zwischen freien Ladungsträgern (etwa Leitungselektronen im elektrischen Leiter) und gebundenen Ladungsträgern (etwa Hüllenelektronen) unterschieden, und es wird davon ausgegangen, dass die gebundenen Ladungsträger durch mikroskopische Prozesse<ref>Diese mikroskopischen Prozesse werden im Allgemeinen durch die Quantenmechanik beschrieben, wobei im Falle des [[Spin]]magnetismus sogar die relativistische Form der Quantenmechanik, die sogenannte [[Dirac-Gleichung]], herangezogen werden muss.</ref> zu einer makroskopischen [[Elektrische Polarisation|Polarisation]] <math>\vec{P}</math> bzw. [[Magnetisierung]] <math>\vec{M}</math> führen.

Die Anwesenheit von Materie erfordert, dass das elektrische und das magnetische Feld jeweils durch zwei zusätzliche [[Vektorfeld]]er beschrieben werden, die [[elektrische Flussdichte]] <math>\vec{D}:= {\varepsilon_0}\vec{E}+\vec{P}</math> und die [[magnetische Feldstärke]] <math>\vec{H} := \frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\vec{M}</math> .

{| class="wikitable"
|-
!width="50"| Name
!width="50"| [[Internationales Einheitensystem|SI]]
! Physikalischer Inhalt
|-
! Gaußsches Gesetz
| <math>\vec\nabla\cdot\vec{D}= \rho_{\text{frei}}</math>
| Die Ladung ist [[Quelle und Senke|Quelle]] des elektrischen Feldes.
|-
! Gaußsches Gesetz für Magnetfelder
| <math>\vec\nabla\cdot\vec{B}=0</math>
| Das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei; es gibt keine magnetischen Monopole.
|-
! Induktionsgesetz
| <math>\vec\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}</math>
| Änderungen des magnetischen Feldes führen zu einem elektrischen Wirbelfeld.
|-
! Erweitertes Durchflutungsgesetz
| <math>\vec\nabla\times\vec{H}= \vec\jmath_{\text{frei}}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}</math>
| Elektrische Ströme – einschließlich des Verschiebungsstroms – führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.
|}
und es ist z. B. <math>\rho_{\mathrm{frei}}=\rho - \rho_{\mathrm{pol}}=\rho + \operatorname{div} \vec P\,.</math>

== Differentielle und integrale Formulierung ==
In den folgenden Abschnitten bzw. Tabellen wird bezüglich der Indizierung von Ladung und Strom eine semantisch äquivalente Konvention benutzt: Und zwar werden <math>\rho_{\mathrm{frei}}</math> bzw. <math>\vec\jmath_{\mathrm{frei}}</math> ohne Index geschrieben und als „wahre Ladungen“ bzw. „wahre Ströme“ bezeichnet, während umgekehrt die in den 'mikroskopischen Gleichungen' auftretenden nicht-indizierten Größen als Effektivgrößen <math>\rho_E</math> bzw. <math>\vec\jmath_B</math> geschrieben werden. Im Vakuum gelten die „mikroskopischen Gleichungen“ und auf die Indizierung kann verzichtet werden. Die folgenden Gleichungen gelten dagegen in Materie, und man ist auf eine einheitliche Schreibweise angewiesen, meistens die unten benutzte, obwohl auch hier unterschiedliche Konventionen nicht ausgeschlossen sind.

=== Übersicht ===

Hier werden u. a. die Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten angegeben. Formulierungen in anderen Einheitensystemen sind am Schluss aufgeführt bzw. werden durch Bemerkungen im Text erläutert.

Die im Folgenden in der rechten Spalte im Zentrum von einfachen oder zweifachen Integralen angegebenen Symbole betonen, dass man es mit ''geschlossenen''  Kurven bzw. Flächen zu tun hat.

{| class="wikitable"
|+'''Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten'''
|-
!style="width:49%"| differentielle Form
!style="width:2%" colspan="3"| verknüpfender Integralsatz
! Integralform
|-
|style="background:#eee;" colspan="2" | '''Physikalisches [[gaußsches Gesetz]]''' Das <math>\vec D</math>-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte <math>\rho</math>) ist Quelle des elektrischen Feldes.
|style="background:#fff;text-align:center;" | [[Gaußscher Integralsatz|Gauß]]
|style="background:#eee;" colspan="2" | Der (elektrische) [[Fluss (Physik)|Fluss]] durch die geschlossene Oberfläche <math>\partial V</math> eines Volumens <math>V</math> ist direkt proportional zu der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
|-
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:right;" colspan="2" | <math>\operatorname{div} \vec D=\vec\nabla \cdot \vec D=\rho</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:center;" | <math>\Longleftrightarrow</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:left;" colspan="2" | <math>\oint_{\partial V} \vec D\cdot\mathrm{d}\vec A = \iiint_{V} \rho \ \mathrm{d}V = Q(V)</math>
|-
|style="background:#eee;" colspan="2" | '''Quellenfreiheit des B-Feldes''' Das <math>\vec B</math>-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.
|style="background:#fff;text-align:center" | Gauß
|style="background:#eee;" colspan="2" | Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
|-
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:right;" colspan="2"| <math>\operatorname{div} \vec B=\vec\nabla\cdot\vec B=0</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:center;" | <math>\Longleftrightarrow</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:left;" colspan="2" | <math>\oint_{\partial V} \vec B\cdot\mathrm{d}\vec A = 0</math>
|-
|style="background:#eee;" colspan="2" | '''[[Induktionsgesetz]]''' Jede Änderung des <math>\vec B</math>-Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte abhängig.
|style="background:#fff;text-align:center" | [[Satz von Stokes|Stokes]]
|style="background:#eee;" colspan="2" | Die (elektrische) [[Zirkulation (Feldtheorie)|Zirkulation]] über der Randkurve <math>\partial A</math> einer Fläche <math>A</math> ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche.<ref name="Induktionsgesetz">Das eingeklammerte Doppelintegral ist Null, wenn die magnetische bzw. elektrische Induktion konstant bleibt. Auch in diesem Fall ergibt sich aber ein elektromotorischer Effekt, wenn in der betrachteten Zeit <math>dt</math> eine Änderung der Integrationsfläche <math>\vec A</math> auftritt, die zu einer [[Lorentzkraft]] führt. Siehe dazu die zweite der im unmittelbar folgenden Abschnitt angegebenen Gleichungen.</ref>
|-
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:right;" colspan="2" | <math>\operatorname{rot} \vec E = \vec\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:center;" | <math>\Longleftrightarrow</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:left;" colspan="2" |<math>\oint_{\!\partial A}\!\!\!\vec E\cdot\mathrm{d}\vec s = -\!\!\iint_A\! \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot\mathrm{d}\vec A</math>
|-
|style="background:#eee;" colspan="2" | '''[[Durchflutungsgesetz]]''' 
Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der [[Elektrische Stromdichte|Leitungsstromdichte]] <math>\textstyle\vec\jmath_\mathrm l</math> und von der elektrischen Flussdichte <math>\textstyle\vec D</math> ab. Die zeitliche Änderung von <math>\vec D</math> wird auch als [[Verschiebungsstrom]]dichte <math>\vec\jmath_\mathrm v</math> bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte <math>\vec\jmath_{\,\text{total}} = \vec\jmath_\mathrm{l} + \vec\jmath_\mathrm{v}</math> <ref>In der Physikliteratur, und wenn aus dem Zusammenhang eindeutig erkennbar, wird die Leitungsstromdichte <math>\vec{\jmath_\mathrm l}</math> meist als <math>\vec\jmath</math> bezeichnet. In der Elektrotechnik ist die Bezeichnung <math>\vec J</math> üblich.</ref>
|style="background:#fff;text-align:center;" | Stokes
|style="background:#eee;" colspan="2" | Die magnetische Zirkulation über der Randkurve <math>\partial A </math> einer Fläche <math>A</math> ist gleich der Summe aus dem Leitungsstrom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.<ref name="Induktionsgesetz" />
|-
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:right;" colspan="2" | <math>\operatorname{rot} \vec H = \vec\nabla\times\vec H = \vec\jmath_\mathrm{l} \;+\; \frac{\partial\vec D}{\partial t}</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:center;" | <math>\Longleftrightarrow</math>
|style="border-left:0;border-right:0;text-align:left;" colspan="2" |<math>\oint_{\!\partial A}\!\!\!\vec H\cdot\mathrm{d}\vec s=\iint_A\!\vec\jmath_\mathrm l\cdot\mathrm{d}\vec A\;\;+\;\;\iint_A\!\frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec A</math>
|}

=== Erläuterungen ===
Zu beachten ist, dass alle Größen aus einem beliebigen, aber für alle Größen gleichen [[Inertialsystem]] gemessen werden müssen. Soll mithilfe der o. g. Gleichungen beispielsweise die induzierte Spannung in einer bewegten Leiterschleife betrachtet werden, so ist es günstig, die Größen in den bewegten Teilen des Systems mithilfe der [[Lorentztransformation]] in das Ruhesystem umzurechnen.

In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass manche Lehrbücher anstelle des Induktionsgesetzes folgende Näherung notieren:
: <math>
\oint_{\partial A} \vec E' \cdot\text{d}\vec{s} = -\iint_{A}{\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}\cdot\text{d}\vec{A}+\oint_{\partial A} \vec{v}\times \vec{B}\cdot \text{d}\vec{s}\qquad \left(=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\iint_{A} \vec{B}\cdot \text{d}\vec{A}\,\right),
</math>
wobei die Feldstärke <math>\vec E'</math> jeweils in einem Bezugssystem gemessen wird, in dem das Linienelement <math>\mathrm{d}\vec s</math> ruht. Diese Gleichung gilt nur für Geschwindigkeiten, die klein sind im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, <math>|\vec v| \ll c.</math><ref>Klaus W. Kark: ''Antennen und Strahlungsfelder – Elektromagnetische Wellen auf Leitungen im Freiraum und ihre Abstrahlung''. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, Kap. 3.7.1, S. 46 f.</ref>

==== Elektrischer Strom ====
In der elektrischen Stromdichte <math>\vec\jmath</math> kann rein formal sowohl die übliche Leitungsstromdichte entsprechend dem Fluss von elektrischen Ladungsträgern als auch die [[Verschiebungsstrom]]dichte (die zeitliche Änderung der elektrischen Flussdichte) zusammengefasst werden, was eine wichtige Rolle bei der Entdeckung der Maxwell-Gleichungen durch Maxwell spielte. Üblicherweise wird aber der Verschiebungsstrom getrennt aufgeführt. Die elektrische Stromdichte ist über die [[Materialgleichungen der Elektrodynamik]] und die dabei auftretende [[elektrische Leitfähigkeit]] <math>\sigma</math> mit der elektrischen Feldstärke <math>\vec E</math> verknüpft.

==== Elektrisches Feld ====
<math>\vec D</math> ist die elektrische Flussdichte, historisch und etwas verwirrend auch als ''elektrische Verschiebungsdichte'' oder als ''elektrische Erregung'' bezeichnet. Dabei handelt es sich um die Dichte des elektrischen Flusses, welcher von elektrischen Ladungen ausgeht. Die elektrische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretende [[Permittivität|dielektrische Leitfähigkeit]] <math>\varepsilon</math> mit der elektrischen Feldstärke <math>\vec E</math> verknüpft. Noch allgemeiner gilt <math>\vec D =\varepsilon_0\,\vec E+\vec P</math> mit der elektrischen Polarisation <math>\vec P</math>, dem elektrischen Dipolmoment pro Volumen.

==== Magnetisches Feld ====
<math>\vec B</math> ist die magnetische Flussdichte, auch historisch als ''Induktion'' bezeichnet. Dabei handelt es sich um die Dichte des magnetischen Flusses, welcher von bewegten elektrischen Ladungen oder von Permanentmagneten verursacht wird. Die magnetische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretende [[Magnetische Permeabilität|magnetische Leitfähigkeit]] <math>\mu</math> mit der magnetischen Feldstärke <math>\vec H</math> verknüpft. Noch allgemeiner gilt <math>\vec B =\mu_0\vec H +\vec J</math> mit der [[Magnetische Polarisation|magnetischen Polarisation]] <math>\vec J</math>, dem magnetischen Dipolmoment pro Volumen (als ''Magnetisierung'' wird die im Weiteren zu <math>\vec J</math> äquivalente Größe <math>\vec M =\frac{\vec J}{\mu_0}</math> bezeichnet).

Die magnetische Polarisation <math>\vec J</math> sollte nicht mit der Stromdichte <math>\vec\jmath</math> (genauer: mit der Leitungsstromdichte) verwechselt werden. Vielmehr gilt:
: <math>\operatorname{rot} \frac{\vec B -\vec J}{\mu_0} = \vec\jmath + \frac{\partial \vec D}{\partial t}</math><ref name="maxwell65">James Clerk Maxwell: ''[[:Datei:A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field.pdf|A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field]]''. (PDF) In: ''Royal Society Transactions'', 155, 1865, S. 459–512, eingereicht [[1864]].</ref>

=== Erläuterung zu den Maxwell-Gleichungen mit Materie ===
Die in allen drei Bereichen auftretenden Materialgleichungen werden nicht direkt zu den Maxwell-Gleichungen gezählt, sondern die drei Gleichungssätze:

* Maxwell-Gleichungen
* Materialgleichungen der Elektrodynamik
* Kontinuitätsgleichungen der Elektrodynamik

stellen gemeinsam und unter gegenseitiger Ergänzung das Fundament der elektrodynamischen Feldtheorie dar. Die Materialgleichungen gelten in der allgemeinen Form sowohl für den leeren Raum als auch für mit Materie ausgefüllte Raumbereiche.

Aus historischen Gründen, und manchmal auch um bestimmte Berechnungsvorgänge spezifisch darzustellen, werden die Materialgleichungen und die darin auftretenden drei Leitfähigkeiten jeweils in den Anteil des leeren Raumes <math>\varepsilon_0</math> bzw. <math>\mu_0</math> und den Anteil der Leitfähigkeit, welcher durch die Materie verursacht wird, <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> und <math>\mu_\mathrm{r}</math> aufgespalten.

Für das elektrische Feld ergibt sich durch die Aufspaltung der dielektrischen Leitfähigkeit die Möglichkeit zur Einführung eines weiteren Vektorfeldes, der [[Elektrische Polarisation|elektrischen Polarisation]] <math>\vec P</math> (eigentlich dielektrische Polarisation, die aber auch als elektrische Polarisation bezeichnet wird, da dem elektrischen Feld zugewiesen).

Analog dazu beschreibt die [[magnetische Polarisation]] <math>\vec J</math> die von den Eigenschaften des leeren Raumes losgelösten Verhältnisse in Materie für das magnetische Feld. Aus der magnetischen Polarisation ergibt sich die Magnetisierung <math>\vec M=\tfrac{\vec J}{\mu_0}</math>. (Im cgs-System sind die Verhältnisse verwirrender: <math>\vec J</math> und <math>\vec M</math> werden dort gleich bezeichnet, als ''cgs-Magnetisierung'', und unterscheiden sich nur um einen Faktor <math>4\pi</math>, je nachdem ob <math>\vec B</math> oder <math>\vec H</math> gemeint ist.)

Grundsätzlich kann ohne Verlust auf die Einführung der Vektorfelder der elektrischen Polarisation <math>\vec P</math> und der magnetischen Polarisation <math>\vec J</math> (bzw. der dazu äquivalenten Magnetisierung <math>\vec M</math>) verzichtet werden. Stattdessen werden die Abhängigkeiten in den Materialgleichungen und den entsprechend allgemein gefassten Leitfähigkeiten in Form von Tensoren höherer Ordnung berücksichtigt. Weiterhin können die Leitfähigkeiten auch Funktionen darstellen, um nichtlineare Eigenschaften der Materie erfassen zu können. Diese können sogar von der Vorbehandlung abhängen, also explizit zeitabhängig sein. Diese Vorgangsweise empfiehlt sich auch für einen systematischen Zugang, wenn dieser über das [[SI-Einheit]]ensystem erfolgt. Aus historischen Gründen, aber auch in bestimmten Teilbereichen der Physik, wird allerdings manchmal sehr intensiv von den <math>\vec P</math>- und <math>\vec J</math>- (bzw. <math>\vec M</math>-)Vektorfeldern Gebrauch gemacht, weshalb im Folgenden dieser Sachverhalt näher dargestellt wird.

In Materie gilt allgemein
: <math>\vec D = \varepsilon_0 \vec E + \vec P</math>
sowie
: <math>\vec H = \frac{1}{\mu_0} \vec B - \vec M</math>
bzw.
: <math>\vec B =\mu_0 (\vec H + \vec M) = \mu_0 \vec H + \vec J\,,</math> mit der oben eingeführten „magnetischen Polarisation“ <math>\vec J=\mu_0\vec M</math>,

wobei sich im Spezialfall der [[Linearität]] bei [[Isotropie]] oder bei kubischen Systemen noch folgende Vereinfachung ergibt:

: <math>\vec D =\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} \,\vec E</math>
und
: <math>\vec B =\mu_0\mu_\mathrm{r}\,\vec H</math>.

In homogenen isotropen Materialien (d. h. die Größen <math>\varepsilon\,\, (=\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r} )\,</math> und <math>\mu\,\, (=\mu_0\mu_\mathrm{r})</math> sind skalar und konstant) erhält man für die Maxwell-Gleichungen
: <math>\vec\nabla\times\vec H = \varepsilon\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}+\sigma\,\vec E</math>
: <math>-\vec\nabla\times\vec E = \mu\,\frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>
: <math>\varepsilon\,\vec\nabla\cdot\vec E = \rho</math>
: <math>\mu\,\vec\nabla\cdot\vec H = 0</math>.

In [[anisotrop]]er nicht-kubischer linearer Materie werden die Skalare <math>\varepsilon_\mathrm{r}</math> und <math>\mu_\mathrm{r}</math> zu [[Tensor]]en 2. Stufe, wobei die Beziehungen weiterhin Gültigkeit behalten. In nichtlinearen Materialien hängen die Leitfähigkeiten von den jeweiligen Momentanwerten der Feldstärken oder im allgemeinsten Fall von deren gesamter Geschichte ab (siehe [[Hysterese]]).
Die <math>\vec P</math>- und <math>\vec J</math>-Felder, elektrische bzw. magnetische Polarisation genannt, verschwinden außerhalb der Materie, was in den genannten Spezialfällen gleichwertig mit der Aussage ist, dass <math>\varepsilon_\mathrm{r} = \mu_\mathrm{r} = 1</math> wird.

Die [[dielektrische Polarisation]] ist dann mit der [[Elektrische Suszeptibilität|elektrischen Suszeptibilität]] <math>\chi_e</math>, bzw. der relativen Permittivität <math>\varepsilon_r</math> und der Vakuum-Permittivität ([[Dielektrizitätskonstante]]) <math>\varepsilon_0</math> folgendermaßen verknüpft:

: <math>\vec P = \varepsilon_0 \chi_e \vec E = \varepsilon_0 \cdot ({\varepsilon_\mathrm{r}}-1) \vec E</math>,
mit
: <math>\varepsilon_\mathrm{r} = 1 + \chi_e</math>.

Für die magnetische Polarisation <math>\vec J</math> bzw. die [[Magnetisierung]]
<math>\vec M=\tfrac{\vec J}{\mu_0}</math> gilt eine entsprechende Gleichung mit der [[Magnetische Suszeptibilität|magnetischen Suszeptibilität]] <math>\chi_m</math> bzw. der relativen Permeabilität <math>\mu_\mathrm{r}</math> und der Vakuum-Permeabilität ([[magnetische Feldkonstante]]) <math>\mu_0</math> mit der Einheit <math>\mathrm{\tfrac{V\,s}{A\,m}}</math>:

: <math>\vec J =\mu_0\, \chi_m\, \vec H =\mu_0\cdot \left(\mu_\mathrm{r} - 1\right)\, \vec H</math>,
mit
: <math>\mu_\mathrm{r} = 1 + \chi_m</math>.

(Anmerkung: Im [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußschen CGS-System]] sind <math>\chi_e</math> und <math>\chi_m</math> mit <math>4\pi</math> zu multiplizieren.)

Weiter ergibt sich die Definition des [[Brechungsindex]] mit

: <math>n:= \sqrt{{\varepsilon_\mathrm{r} \, \mu_\mathrm{r}}}</math>
und der Zusammenhang zwischen Lichtgeschwindigkeit und elektrischer und magnetischer Feldkonstante
: <math>c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \, \mu_0}}</math>.

Dies bringt die Ausbreitung von Licht in Materie mit den Konstanten des Mediums in Verbindung. So ist die [[Phasengeschwindigkeit]] im Medium

: <math>c_p =\frac{c}{n} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \, \mu_0 \, \varepsilon_\mathrm{r} \, \mu_\mathrm{r}}}</math>,

die ohne [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] gleich der [[Gruppengeschwindigkeit]] ist.

=== Zusammenfassung ===

{| class="wikitable"
|+ Maxwell-Gleichungen in Materie in SI-Einheiten
|-
| [[Durchflutungsgesetz]]
| <math>\vec\nabla\times \vec H = \frac{\partial\vec D}{\partial t} + \vec\jmath</math>
|-
| [[Induktionsgesetz]]
| <math>\vec\nabla\times\vec E = - \frac{\partial\vec B}{\partial t}</math>
|-
| [[Gaußsches Gesetz]]
| <math>\vec\nabla\cdot \vec D = \rho</math>
|-
| [[Gaußsches Gesetz]] des Magnetismus
| <math>\vec\nabla\cdot \vec B = 0</math>
|-
| siehe Erläuterung
|<math>\vec D = \varepsilon_0 \, \vec E + \vec P \quad </math> (oder auch <math>\vec D = \varepsilon\,\vec E</math>)
|-
| siehe Erläuterung
|<math>\vec B = \mu_0\,(\vec H + \vec M) \quad </math> (oder auch <math>\vec B = \mu\,\vec H</math>)
|}

'''Erläuterung:''' Die zuletzt angegebenen, eingeklammerten Beziehungen gelten nur bei ''linearem'' Zusammenhang. Die davor angegebenen Definitionen von <math>\vec P</math> und <math>\vec M</math> sind dagegen allgemein.

Traditionell werden die beiden zuletzt angegebenen sogenannten ''Materialgesetze'' und das [[Ohmsches Gesetz|ohmsche Gesetz]] <math>\vec\jmath= \sigma\,\vec E</math> (<math>\sigma</math> ist hier der [[Spezifischer Widerstand|spezifische elektrische Leitwert]]) meist nicht in die Maxwell-Gleichungen miteinbezogen. Die [[Kontinuitätsgleichung#Elektrodynamik|Kontinuitätsgleichung]] <math> \tfrac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\, \vec\jmath = 0\,</math> als Beschreibung der [[Ladungserhaltung]] folgt aus den Maxwell-Gleichungen.

Die elektrischen Feldstärken <math>\vec E</math> sowie die magnetischen Flussdichten <math>\vec B</math> werden als physikalisch vorhandene Kraftfelder interpretiert. Schon Maxwell verband diese Kraftfelder mit dem [[Elektrisches Potential|elektrischen Potenzialfeld]] <math>\,\phi</math> und dem [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] <math>\vec A</math>:
: <math>\vec E = -\vec\nabla\,\phi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}\,,</math>
: <math>\vec B = \vec\nabla \times \vec A\,.</math>
Der Zusammenhang zwischen Feldstärken und Potentialen ist zwar nur bis auf [[Eichtransformation]]en definiert, den Potentialen kommt aber in der Quantentheorie eine fundamentale Bedeutung zu.<ref name="aharonov59">Yakir Aharonov, David Bohm: ''Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory''. In: ''Physical Review'', 115/3, 1959.</ref>

== Maxwell-Gleichungen mit Differentialformen (differentialgeometrische Formulierung) ==
Die Beschreibung durch die [[Vektoranalysis]] hat den großen Nachteil, dass sie
* auf den flachen <math> \mathbb R^3 </math> bzw. <math> \mathbb R^4 </math> beschränkt ist
* prinzipiell „metrisch verseucht“ ist, da entweder die [[Euklidische Metrik|euklidische]] oder die [[Minkowski-Metrik]] in den [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] verbaut ist, obwohl die Maxwell-Gleichungen metrikfrei definiert sind
* die Wahl einer [[Atlas (Mathematik)|Karte]] der zugrunde liegenden [[Mannigfaltigkeit]] unphysikalisch ist, da Naturgesetze unabhängig von den gewählten [[Koordinaten]] richtig sein müssen.

Es ist deshalb besser, die Gleichungen mit [[Differentialform|alternierenden Differentialformen]] zu schreiben und somit konsequent die Methoden der [[Differentialgeometrie]] zu benutzen.<ref>Die Darstellung der Maxwell-Gleichungen im Differentialformenkalkül ist (ähnlich wie hier) zum Beispiel in den Vorlesungen von [[Martin R. Zirnbauer]] (Universität Köln) dargestellt, die beim Springer Verlag in Buchform erscheinen sollen, im Lehrbuch von Günther Lehner und Stefan Kurz ab der 9. Auflage in Kapitel 8, oder ausführlicher in [[Friedrich W. Hehl]], Yuri Oboukhov: ''Foundations of classical electrodynamics: charge, flux and metric''. Birkhäuser 2003. Kurze Darstellungen finden sich in Hehl, Oboukhov, Rubilar: ''Classical Electrodynamics – a tutorial on its foundations''. 1999, {{arXiv|physics/9907046}} und Hehl, Oboukhov: ''A gentle introduction to the foundations of classical electrodynamics''. 2000, {{arXiv|physics/0005084}}.</ref>

=== Der dreidimensionale Ansatz ===
In diesem dreidimensionalen Ansatz wird die Zeit als äußerer Parameter behandelt, wie aus der klassischen Mechanik gewohnt.

==== Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen ====
Sei <math> \rho \in \Lambda^3(\mathcal M) </math> eine Differentialform auf der beliebigen glatten Mannigfaltigkeit <math> \mathcal M </math> der Dimension 3 und <math> \mathrm d </math> die Cartan’sche [[äußere Ableitung]]. Dann gilt also

: <math>\mathrm d\rho = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \rho\text{ ist eine geschlossene Differentialform} \,,</math>

weil es keine von 0 verschiedene Differentialform vom Grad 4 auf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit geben kann. Auf einem [[Sternförmiges Gebiet|sternförmigen Gebiet]] sichert das [[Poincaré-Lemma|Lemma von Poincaré]], dass eine Potentialform <math> D \in \Lambda^2(\mathcal M) </math> existiert, so dass

:<math>\mathrm d D= \rho \quad \Leftrightarrow \quad \int_{\mathcal M} \mathrm d D = \int_{\mathcal M} \rho \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad \oint_{\partial\mathcal M} D = \int_{\mathcal M}\,\, \rho\quad</math> (Gesetz von Gauß).

Weiterhin wird postuliert, dass die zeitliche Ableitung der Ladung <math> \partial_t Q </math> aus einer Mannigfaltigkeit einem Strom durch die Berandung entgegengesetzt ist (sprich: Alles was aus dem „Volumen“ <math> \mathcal M </math> herauswill, muss durch die Berandungsfläche <math> \partial \mathcal M </math> fließen).

:<math> \partial_t Q = - I \quad \Leftrightarrow \quad \partial_t \int_{\mathcal M} \rho + \oint_{\!\partial \mathcal M} j = 0 \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad \int_{\mathcal M} \underbrace{\left(\partial_t \rho + \mathrm d j \right)}_{\text{Kontinuitätsgleichung}}=0\,.</math>

Diese Aussage entspricht also dem zur Kontinuitätsgleichung gehörigen Erhaltungssatz für die Gesamtladung (die Beliebigkeit der Mannigfaltigkeit <math> \mathcal M </math> sichert analog zum Gesetz von Gauß, dass dieser auch ohne Integrale gilt).
<math> j \in \Lambda^2(\mathcal M)</math> wird Stromdichte(zweiform) genannt. Also:

: <math> \partial_t \rho + \mathrm d j = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm d( \partial_t D + j)=0 \quad \Leftrightarrow\quad (\partial_t D + j) \ \text{ ist eine geschlossene Differentialform}\,.</math>

Diese mathematische Aussage impliziert aber nach dem Lemma von Poincaré, dass auf einem sternförmigen Gebiet eine Differentialform vom Grad 1 <math> H \in \Lambda^1 ( \mathcal M ) </math> existiert, sodass

: <math> \mathrm d H = \partial_t D + j \quad \Leftrightarrow \quad \int_{\mathcal S} \mathrm dH = \int_{\mathcal S} \left( \partial_t D + j\right) \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad\oint_{\partial \mathcal S} H = \int_{\mathcal S} \left( \partial_t D + j\right)\quad</math> (Maxwell-Ampère-Gesetz).

Anzumerken ist, dass das Gesetz von Gauß rein aus der Geometrie des Problems folgt, also letztlich keine physikalische Bedeutung hat: Der einzige physikalische Input ist die Existenz elektrischer Ladungen bzw. die Kontinuitätsgleichung, welche im Maxwell-Ampère-Gesetz mündet. Die inhomogenen Gleichungen sind also Folge der Ladungserhaltung. Nicht betroffen ist im Grunde nur der sogenannte Spinmagnetismus, d. h. derjenigen magnetischen Phänomene, die nicht von den hier ausschließlich behandelten ''Ampèreschen Kreisströmen'' (den Wirbeln von ''j'' ) herrühren (siehe [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik]], speziell den Abschnitt über den [[Spin]], sowie den Artikel über das sogenannte [[Gyromagnetisches Verhältnis|gyromagnetische Verhältnis]]). Das betrifft den dominierenden Teil des [[Permanent-Magnet]]ismus. Das zeigt aber im Grunde nur, dass die klassische Elektrodynamik nicht in sich selbst abgeschlossen ist, obwohl es mathematisch und theoretisch-physikalisch so scheint.

==== Die homogenen Maxwell-Gleichungen ====
Ähnlich der Kontinuitätsgleichung wird das Induktionsgesetz postuliert. Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche <math> \mathcal S </math> geht einher mit der Induktion einer entgegengesetzten Ringspannung auf ihrem Rand <math> \partial S </math>. Das ist völlig analog zur Kontinuitätsgleichung, nur eine Dimension tiefer.

:<math> U=-\partial_t \Phi_{\text{mag}}\quad \Rightarrow \quad \oint_{\!\partial \mathcal S} E = - \int_{\mathcal S} \partial_t B \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad \int_{\mathcal S} \left(\mathrm d E +\partial_t B\right)=0 \quad</math> (Induktionsgesetz)

Dabei ist <math> B \in \Lambda^2(\mathcal M)</math> die magnetische Flussdichte(zweiform) und <math> E \in \Lambda^1(\mathcal M) </math> das elektrische Feld. Die Beliebigkeit der Fläche <math> \mathcal S </math> sichert, dass sich das Induktionsgesetz auch ohne Integral schreiben lässt:

: <math> \mathrm d E +\partial_t B = 0 \quad \stackrel{\mathrm d}{\Rightarrow } \quad \underbrace{d^2}_{=0} E + \partial_t \mathrm d B = 0 \quad \Rightarrow \mathrm d B = f(x,y,z) </math>

Man erkennt also, dass <math> \mathrm d B </math> nur von den (Raum)-Komponenten der Mannigfaltigkeit <math> \mathcal M </math> abhängen kann, nicht aber von der Zeit. Jedoch hängt der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen gar nicht von der Wahl der Koordinaten ab. Also muss ''f(x,y,z)'' verschwinden. Zusätzlich kann die Gleichung auch nur dann lorentzinvariant sein. Es folgt also die Quellfreiheit der magnetischen Flussdichte(zweiform) (d. h. die Nichtexistenz magnetischer Ladungen, siehe oben):

:<math> \mathrm d B =0 \quad \Leftrightarrow \quad \int_{ \mathcal M} \mathrm dB = 0 \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad \oint_{\!\partial \mathcal M} B = 0\quad</math> (Quellfreiheit)

Wieder geht lediglich ''ein'' Postulat ein, das Induktionsgesetz; die Quellfreiheit ist dann eine rein mathematische Konsequenz.

==== Die Materialgleichungen ====
Weil die Einsformen <math>E</math> und <math>H</math> nicht kompatibel mit den Zweiformen <math>D</math> und <math>B</math> sind, muss man eine Beziehung zwischen ihnen herstellen. Das geschieht mit dem [[Hodge-Stern-Operator]] <math> * </math>, welcher auf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit ein Isomorphismus zwischen Einsformen und Zweiformen ist.

: <math> D=\varepsilon_0 * E \quad \text{und}\quad B=\mu_0 * H \quad</math> (Materialgleichungen)

Hier wird offensichtlich, warum <math>H</math> und <math>B</math> bzw. <math>E</math> und <math>D</math> schon aus mathematischen Gründen nicht einfach (bis auf einen Faktor) identifiziert werden können. <math>H</math> ist ja eine [[Einsform]] und wird über eine Kurve integriert, <math>B</math> ist eine [[Zweiform]] und braucht eine (2-dimensionale) Fläche zur Integration. (Zudem sind in polarisierbaren Medien die zugehörigen Vektorfelder auch physikalisch wesentlich verschieden.) Es kann also schon von der Mathematik her keine Proportionalität zwischen diesen Größen bestehen, wie es die Beschreibung durch die Vektoranalysis suggeriert. Gleiches gilt für <math>E</math> und <math>D</math>: Die erste Größe beschreibt eine Differentialform vom Grade 1, braucht zur Integration also eine Kurve, wie bei einem Kraft-Integral; die zweite Größe ist eine Zweiform, braucht also eine Fläche wie bei einem Fluss-Integral. Dieser Unterschied scheint pedantisch, ist aber fundamental.

Es sei bemerkt, dass erst mit dem Hodge-Operator die Metrik eine Rolle in den Gleichungen spielt. Die Maxwell-Gleichungen ohne die Materialgleichungen sind unabhängig von der Wahl der Metrik und sogar unabhängig von der Beschaffenheit der Mannigfaltigkeit, solange <math>\mathcal M </math> dreidimensional ist. Lediglich die Wirkung von <math> * </math> in den Materialgleichungen würde sich verändern.

=== Der vierdimensionale Ansatz ===
<math> \mathcal N </math> sei eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension 4 und <math> \mathcal M \subset \mathcal N </math> eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension 3 (aus dem 3-dimensionalen Ansatz) und <math> g \in \mathcal T^0_2 (\mathcal N) </math> der metrische Tensor mit Koeffizientendarstellung.

: <math> g_{\mu\nu}=\left(\operatorname{diag}(-1,1,1,1)\right)_{\mu\nu} \quad</math> (Minkowski-Metrik)

(Es gibt viele äquivalente Formen, die man z. B. durch Multiplikation mit einer Zahl vom Betrag ''1'' erhalten kann.)

Die Metrik muss lediglich festgelegt werden, damit man das nun folgende Viererpotential <math> A \in \Lambda^1(\mathcal N) </math> explizit hinschreiben kann (Physik: „kontravariante Größen“), ohne den Umweg über die Koeffizienten eines Vektorfeldes (Physik: „kovariante Größen“) <math> \mathcal A \in \mathcal X(\mathcal N) </math> zu gehen mit

: <math> A=g(\mathcal A, \cdot ) \quad \text{wobei}\quad \mathcal A = a^\mu \partial_\mu</math>.

Die Festlegung auf den Minkowskiraum, die man u. a. benötigt um „raumartige“ und „zeitartige“ Vektor- bzw. Tensorkomponenten zu unterscheiden, oder bei der Definition der Dualitätsoperation (siehe unten), ist also hier nicht erforderlich. Man könnte die Metrik auch frei wählen, dann sehen die Komponenten der Einsform

: <math>A=a_\mu dx^\mu \quad</math> (Viererpotential)
nur anders aus, denn

: <math> a_\mu = g_{\mu\nu} a^\nu \quad</math> (Transformation zwischen Vektorfeld und Differentialform).

Sei also ab hier die Mannigfaltigkeit der flache Minkowskiraum, das heißt o. B. d. A. <math> \mathcal N = M^4 =(\mathbb R^4 , g) </math>. Dann ist das Vektorpotential gegeben durch

: <math> A = -\frac{\phi}{c} \ \mathrm dt + a_1 \ \mathrm dx + a_2\ \mathrm dy + a_3\ \mathrm dz \quad </math> für das Vektorfeld <math> \quad \mathcal A=+\frac{\phi}{c} \ \partial_t + a^1 \ \partial_x + a^2 \ \partial_y + a^3 \ \partial_z </math>.

==== Die homogenen Maxwell-Gleichungen ====
Sei nun die äußere Ableitung von <math>A</math> gegeben durch <math> F \in \Lambda^2(\mathcal N) </math>, also durch den sogenannten [[Elektromagnetischer Feldstärketensor|Feldstärketensor]] (Faradayzweiform):

: <math> F=\mathrm d A \quad \stackrel{\mathrm d}{\Rightarrow} \quad \mathrm d F = \underbrace{\mathrm d^2}_{=0} A = 0 \quad</math> (homogene Maxwell-Gleichungen).

Beeindruckend ist die Tatsache, dass die äußere Ableitung von <math>F</math> immer verschwindet, unabhängig davon, wie <math>A</math> aussieht. Das ergibt die sogenannte [[Eichtransformation|Eichfreiheit]] und begründet auch, warum die Einschränkung auf den Minkowskiraum die Allgemeinheit nicht verletzt. Da die Gleichungen jedoch ohne jeden physikalischen Input auskommen, folgt unmittelbar, dass die homogenen Maxwell-Gleichungen lediglich Folge der Geometrie des Raumes und des benutzten Formalismus sind (gleiches gilt ja auch für die Beziehung <math>\mathrm{d}^2\equiv 0\,</math>: eine ''geschlossene'' Differentialform ist ja noch weitgehend frei, nämlich bis auf das äußere Differential einer um einen Grad niedrigeren Form. ).

==== Die Materialgleichungen ====
Die Faradayzweiform lässt sich auch in den bereits bekannten Größen schreiben:

: <math> F = E\wedge \mathrm dt + B \quad \stackrel{*}{\Rightarrow} * F = -\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} G \quad</math> (Materialgleichungen).

Die zu F [[Hodge-Operator|duale]]<ref>Die Dualitätsoperation vertauscht u. a. kovariante und kontravariante Vektor-Komponenten, sie hängt somit vom metrischen Tensor ab.</ref> Zweiform G heißt Maxwellzweiform und ist gegeben durch schon bekannten Größen, nämlich:

: <math> G = D - H\wedge \mathrm d t </math> .

In physikalischen Theorien entspricht ''F'' dem [[Feldstärketensor]] und ''G'' dessen dualem Tensor (siehe unten).

==== Die gesamten Maxwell-Gleichungen mit nur zwei Differentialformen ====
Definiert man nun eine Dreiform <math> J=\rho - j \wedge \mathrm d t \in \Lambda^3(\mathcal N)</math> <ref>An dieser Stelle wird in Kauf genommen, dass <math>J</math> mit der gleich benannten Größe „magnetische Polarisation“ <math>, \equiv\mu_0 M\,,</math> verwechselt werden kann (siehe oben)</ref>, so ergibt deren äußere Ableitung

: <math> \mathrm d J=0 \quad</math> (Kontinuitätsgleichung).

Das entspricht dem schon erwähnten Erhaltungssatz für die Gesamtladung.

Während nun die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen (Maxwell I und II) durch die Aussage zusammengefasst werden können, dass die elektrischen bzw. magnetischen Felder <math> E</math> bzw. <math> B</math> durch eine einzige ''geschlossene'' Differentialform zweiter Stufe <math>\, F</math> repräsentiert werden (<math>\mathrm d F= 0</math>), gilt für die verbleibenden inhomogenen Maxwell-Gleichungen III und IV die Aussage, dass die äußere Ableitung der dualen Form <math> G \,:=\, * F</math> mit der Stromform <math> J</math> identisch ist. Also

: <math>\mathrm d (* F)= J \quad \text{(inhomogene Maxwell-Gleichungen, III und IV)}\,. </math>.
Damit ist die Gesamtheit aller vier Maxwell-Gleichungen in mathematischer Kurzform durch nur zwei Differentialformen, <math> F</math> und <math> J</math>, ausgedrückt. (Insbesondere folgt aus der letzten Gleichung sofort auch die Kontuitätsgleichung, weil die zweimalige äußere Ableitung immer Null ergibt.)

Erneut spielt die Metrik keine direkte Rolle (indirekt ist sie sehr wichtig, z. B. bei der Definition der Dualität, die bei der Berechnung der Ladungen und Ströme aus den Feldern benötigt wird sowie bei der Angabe der expliziten Form der Lorentzinvarianz). Auch die Mannigfaltigkeit <math> \mathcal N </math> ist beliebig, solange sie Dimension 4 hat. Letztlich ist aber physikalisch auch hier die Metrik wesentlich, nicht nur bei der gerade erwähnten Dualität. Sondern auch hier kommt es nicht allein auf die Vierdimensionalität der Mannigfaltigkeit an, sondern auch auf die Unterscheidung zwischen Raum- und Zeitkoordinaten (bzw. zwischen sogenannten raumartigen und zeitartigen Vektoren, Tensor- und Feldkomponenten), die sich ja mit Hilfe des metrischen Tensors ausdrücken. Dieser ist ja nicht gegeben durch <math>\mathrm ds^2=+c^2\mathrm dt^2+\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2\,,</math> sondern z. B. durch <math>\mathrm ds^2=-c^2\mathrm dt^2+\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2\,.</math> Man hat es also nicht mit einer <math>\mathbb R^4</math> -, sondern, wie schon gesagt, mit einer <math>\mathbb M^4</math> -Mannigfaltigkeit zu tun. Die Unterscheidung von „raumartigen“ und „zeitartigen“ Größen in der Metrik hängt auch mit dem Unterschied zwischen ''elektrischen'' und ''magnetischen'' Feldern zusammen. Obwohl die (insgesamt sechs) Feldkomponenten dieser Größen durch die [[Lorentztransformation|Lorentz-Beziehungen]] ineinander transformiert werden können, ist die Charakterisierung eines Feldes als im Wesentlichen „elektrisch“ bzw. „magnetisch“ eine Invariante der Theorie, weil die [[Lagrange-Funktion]], eine aus ''*F'', ''F'' und ''J'' zusammengesetzte invariante Funktion, aus der sich die Bewegungsgleichungen (also die Maxwell-Gleichungen) berechnen lassen, im cgs-System im Wesentlichen gleich ''B2-E2'' ist.
(Bemerkung: Ein Minkowski-Vektor <math>\vec v</math> ist ''raumartig'' bzw. ''zeitartig'' bzw. ''lichtartig'', je nachdem ob <math> (\mathrm ds)^2[\vec v]</math> positiv bzw. negativ bzw. Null ist. Analog ist ein elektromagnetisches Feld im Wesentlichen ''magnetisch'' bzw. ''elektrisch'' bzw. ''wellenartig'' je nachdem ob die Lagrangefunktion, für <math>\vec J=0</math> , positiv bzw. negativ bzw. Null ist.)

==== Abstrakte Integralformulierung und Interpretation ====

Diese abstrakte differentielle Formulierung der Maxwell-Gleichungen benutzt die Theorie der sogenannten alternierenden Differentialformen, insbesondere das sogenannte äußere Differential. Die zugehörige abstrakte Integralformulierung ergibt sich durch Anwendung des [[Satz von Stokes|verallgemeinerten stokesschen Satzes]] aus dieser mathematischen Theorie: Man konzentriert sich dazu in der angegebenen Drei-Mannigfaltigkeit <math>V</math> mit [[Minkowski-Metrik]] (z. B. eingebettet in den Raum <math>\mathbb M^4\,</math>)
besonders auf deren Rand <math>\partial V\,,</math> eine geschlossene Zwei-Mannigfaltigkeit, und erhält:

: <math>\left(\iiint_V \mathrm{d} F\equiv \right)\,\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset
F = 0</math>

für alle <math>V</math>, sowie (mit <math> G = * F\,</math>):

: <math>\left(\iiint_V \mathrm{d} G\equiv \right)\,\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset
G = \iiint_{V} J\,.</math>

Dabei steht der eigentlich interessierende Teil hinter der Klammer und es wird durch das Zeichen <math>\;\;\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset
</math> im Sinne der Physik betont, dass das Integrationsgebiet <math>\partial V</math> eine ''geschlossene'' Mannigfaltigkeit ist. Die erste der beiden angegebenen Gleichungen enthält das Faradaysche Induktionsgesetz und das Gesetz von der Nichtexistenz magnetischer Ladungen. In der letzten Gleichung ist das Maxwell-Ampèresche Gesetz und das Gesetz von Gauß enthalten. Beide Gesetze eines Paares gehören also jeweils zusammen. Das gaußsche Gesetz z. B. besagt in der hier gegebenen abstrakten Formulierung: Der Fluss der elektromagnetischen Form <math>c G</math> durch den Rand der Mannigfaltigkeit ''V'' ist gleich der gesamten in ''V'' enthaltenen „Ladung“, wie sie sich aus der Stromform <math> J</math> ergibt.

Die angegebene Eichfreiheit ergibt sich geometrisch daraus, dass man zu vorgegebenem Rand <math>\Gamma =\partial V</math> viele verschiedene Mannigfaltigkeiten <math>V</math> finden kann, die darin „hineinpassen“.

== Besondere Formulierungen und Spezialfälle ==
=== Maxwell-Gleichungen für konstante Frequenzen ''ω'' in komplexer Schreibweise ===
Die in den Maxwell-Gleichungen auftretenden Feldvektoren sind im Allgemeinen nicht nur Funktionen des Ortes, sondern auch der Zeit, beispielsweise <math>\vec H(x,\,y,\,z,\,t)</math>. In den partiellen Differentialgleichungen tritt dann neben den Ortsvariablen auch die Zeitvariable auf. Zur vereinfachten Lösung dieser Differentialgleichungen beschränkt man sich in der Praxis oft auf [[harmonische]] (sinusförmige) Vorgänge. Diese Darstellung ist für die praktische Feldberechnung, beispielsweise bei der Berechnung von elektromagnetischen Schirmen oder für die [[Antennentechnik]], von wesentlicher Bedeutung.

Mit Hilfe der komplexen Schreibweise lässt sich die Zeitabhängigkeit bei harmonischen Vorgängen vermeiden, da sich der komplexe Zeitfaktor <math>e^{\mathrm{j}\,\omega\,t}</math> dabei heraushebt und so aus den Maxwell-Gleichungen eine [[Helmholtz-Gleichung]] wird. Die in den Maxwell-Gleichungen auftretenden Feldgrößen sind dann komplexe Amplituden und nur noch Funktionen des Ortes. An Stelle der partiellen Differentiation nach der Zeit tritt die Multiplikation mit dem imaginären Faktor <math>\mathrm{j}\,\omega</math>. Der Faktor <math>\omega</math> wird auch als [[Kreisfrequenz]] bezeichnet.

Wie in der Elektrotechnik üblich, wird die imaginäre Einheit mit <math>\mathrm{j}</math> bezeichnet (sie sollte nicht mit der häufig für die Stromdichte verwendeten Variable <math>\vec\jmath</math> verwechselt werden) – in der Mathematik und theoretischen Physik wird sie meist <math>\mathrm{i}</math> geschrieben.

In komplexer Form – komplexe Größen sind zur Unterscheidung unterstrichen – lauten die Maxwell-Gleichungen in Differentialform:

: <math>\vec\nabla \cdot \underline{\vec D} = \rho</math>

: <math>\vec\nabla \cdot \underline{\vec B} = 0</math>

: <math>\vec\nabla \times \underline{\vec E} = -\mathrm{j}\,\omega\,\underline{\vec B}</math>

: <math>\vec\nabla \times \underline{\vec H} = \underline{\vec\jmath} + \mathrm{j}\,\omega \underline{\vec D} = \left(\sigma + \mathrm{j}\,\omega\,\varepsilon\right)\,\underline{\vec E}</math>

=== Kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen ===

''In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheitensystem]] verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren <math>\,\mu_0</math>, <math>\varepsilon_0</math> etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa [[Gaußsches Einheitensystem|Gauß-Einheiten]] oder [[Heaviside-Lorentz-Einheitensystem|Heaviside-Lorentz-Einheiten]], in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden (→ siehe [[Elektromagnetische Maßeinheiten]]). In der Literatur können deshalb, verglichen mit dieser Darstellung, Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.''

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben wird, ist im Gegensatz zur newtonschen Mechanik verträglich mit der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]]. Dazu gehört, dass die Maxwell-Gleichungen in jedem [[Inertialsystem]] gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Das spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch [[Albert Einstein]] eine wichtige Rolle.<ref name="einstein05">Albert Einstein: ''Zur Elektrodynamik bewegter Körper''. In: ''Annalen der Physik und Chemie'', 17, 30. Juni 1905, S. 891–921.</ref>

Technischer formuliert sind die Maxwell-Gleichungen ''relativistisch [[Kovarianz (Physik)|kovariant]]'' oder ''forminvariant'', das heißt, dass sie ihre Gestalt unter [[Lorentz-Transformation]]en nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwell-Gleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Dazu ist es zweckmäßig, die oben auftretenden Größen <math>\vec{E}</math>, <math>\vec{B}</math> usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-[[Skalar (Physik)|Skalare]], [[Vierervektor]]en und Vierer-[[Tensor]]en höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale <math>\,\phi</math> ([[Elektrisches Potential|skalares Potential]]) und <math>\vec{A}</math> ([[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]]), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder durch
* <math>\vec{E} = -\vec\nabla \phi - \partial_t \vec{A}</math>
* <math>\vec{B} = \vec\nabla \times \vec{A}</math>

erhält (siehe auch [[Elektrodynamik]]). Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem ''[[Viererpotential]]''

: <math> A^\mu = \left(\frac{\phi}{c}, \vec{A} \right) </math>

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte <math>\,\rho</math> und Stromdichte <math>\vec\jmath</math> die ''Viererstromdichte'' zusammensetzen, mit

: <math> j^\mu = (c \rho, \vec\jmath) </math>.

Aus dem Viererpotential wird der [[Elektrodynamischer Feldstärketensor|elektrodynamische Feldstärketensor]] abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind. Er hat die Form

: <math>
F^{\alpha\beta}
= \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha
= \begin{pmatrix}
0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\
\frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\
\frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\
\frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>.
Man definiert nun den [[Vierervektor|Vierergradienten]], die relativistische Form der Ableitung, als
: <math>\partial^\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\vec\nabla \right)</math>, also  <math>\partial_\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, +\vec\nabla \right)</math>
sowie die Differentiale <math>\,\mathrm dx^\alpha = (c\mathrm dt, \mathrm d x,\mathrm dy,\mathrm dz)</math>, die bei der Behandlung der Maxwell-Gleichungen im Artikel [[Differentialform]]en benötigt werden, der an dieser Stelle auch empfohlen wird.

Mit diesen Größen kann man die beiden ''inhomogenen Maxwell-Gleichungen'' im Vakuum durch die kovariante Gleichung

: <math>
\,\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 j^{\beta}
</math>

ersetzen. Dabei wird, wie üblich, die [[einsteinsche Summenkonvention]] benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier <math>\alpha</math>) wird summiert. Ferner erfolgt wie üblich das Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit dem [[Metrischer Tensor#Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)|metrischen Tensor]]
: <math>{\overset{\leftrightarrow}{\eta}}=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}</math>.

Man beachte, dass wegen der [[Schiefsymmetrische Matrix|Antisymmetrie]] des Feldstärketensors auch die [[Kontinuitätsgleichung]] (Verschwinden der Vierer-[[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]) folgt
: <math>
\mu_0(\partial_t \rho + \operatorname{div} \vec\jmath) =
\mu_0 \partial_{\beta} j^{\beta} =
\partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\alpha\beta} =
- \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\beta\alpha} =
- \partial_{\beta} \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} =
0
</math>.

Die beiden ''homogenen Maxwell-Gleichungen'' erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

: <math>\,
\partial_\alpha F_{\beta\gamma}
+ \partial_\beta F_{\gamma\alpha}
+ \partial_\gamma F_{\alpha\beta} = 0
</math>

Das wird auch häufig mit dem [[Levi-Civita-Symbol]] kompakter geschrieben als

: <math>
\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\alpha F_{\gamma\delta} = 0
</math>

oder

: <math>
\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha\beta} = 0
</math>

mit dem ''dualen Feldstärketensor''

: <math>
\tilde{F}^{\alpha\beta}
:= \frac{1}{2} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}
F_{\gamma\delta},
</math>

dessen Komponenten man auch aus denen von <math>\,F^{\alpha\beta}</math> erhalten kann, indem man die Vektoren <math>\vec{E}/c</math> durch <math>\vec{B}</math> und <math>\vec{B}</math> durch <math>-\vec{E}/c</math> ersetzt. Also

: <math>
\tilde{F}^{\alpha\beta}
= \begin{pmatrix}
0 & -B_x & -B_y & -B_z \\
B_x & 0 & \frac{E_z}{c} & -\frac{E_y}{c} \\
B_y & -\frac{E_z}{c} & 0 & \frac{E_x}{c} \\
B_z & \frac{E_y}{c} & -\frac{E_x}{c} & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>.

[[Differentialform]]en ermöglichen eine besonders übersichtliche Darstellung der Maxwell-Gleichungen, die damit automatisch auch kovariant sind. Das Viererpotential wird durch die 1-Form <math>\vec A</math> und die Viererstromdichte durch die 1-Form <math>\vec\jmath</math> dargestellt. Der Feldstärketensor wird durch eine 2-Form gemäß <math>\vec F=\mathrm d\vec A</math> und sein Dual durch die 2-Form <math>*\vec{F}</math> dargestellt. Das Symbol <math>\mathrm d</math> steht, wie bei Differentialformen üblich, für die [[Cartan-Ableitung]]. Der * steht für den [[Hodge-Stern-Operator]].

Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum lauten dann

: <math> *\mathrm d*\vec{F}=\mu_0 \vec\jmath</math>

und

: <math>\mathrm d\vec F=0</math>.

=== Maxwell-Gleichungen unter Berücksichtigung hypothetischer magnetischer Monopole ===

[[Magnetischer Monopol|Magnetische Monopole]] treten in einigen [[Große vereinheitlichte Theorie|GUT]]-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklären, wie [[Paul Dirac]] schon 1931 erkannte. Bislang wurden magnetische Monopole nur als [[Quasiteilchen]] beobachtet. Reale Teilchen als Monopole wurden nicht gefunden. Daher wird in den oben genannten Maxwell-Gleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwell-Gleichungen problemlos berücksichtigen.

Setzt man <math>\rho_m</math> für die Monopolladungsdichte, <math>\vec\jmath_m=\rho_m \vec{v}_m</math> für die Stromdichte und <math>\vec{v}_m</math> für die Geschwindigkeit der sich bewegenden magnetischen Monopolladungen, so ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen in differentieller Form zu

: <math>\operatorname{div} \vec{B}=\rho_m\,\,.</math>

Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.

: <math>\operatorname{rot} \vec{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}+\vec\jmath_m\right)\,.</math>

Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.

Die anderen beiden Gleichungen bleiben unverändert, während sich aber natürlich für die beiden neuen differentiellen (d. h. lokalen) Gleichungen auch neue integrale (d. h. globalen) Darstellungen ergeben, die aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole <math>\rho_m=0</math> führt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurück.

=== Maxwell-Gleichungen und Photonmasse ===

Die [[Photon]]masse verschwindet gemäß der Maxwell-Gleichungen. Diese Gleichungen sind der Grenzfall <math>m=0</math> der allgemeineren [[Maxwell-Proca-Gleichungen]] mit einer nicht negativen Masse <math>m</math> der Austauschteilchen (im elektromagnetischen Fall der Photonen). Statt des [[Coulomb-Kraft|Coulomb-Potentials]] <math>\tfrac{q}{r}</math> bewirkt in der Maxwell-Proca-Theorie eine [[Punktladung]] <math>q</math> das [[Yukawa-Potential]] {{nowrap|<math>\tfrac{q}{r}\,\mathrm e^{-m\,c\,r/\hbar}</math>,<ref>mit der Konvention <math>\hbar = c = 1</math> wird daraus <math>\tfrac{q}{r}\,\mathrm e^{-m\,r}</math></ref>}} und hat nur noch eine Reichweite von etwa der [[Compton-Wellenlänge]] {{nowrap|<math>\lambda_m = h/{m\,c}</math>.<ref>mit der reduzierten Compton-Wellenlänge <math>{\lambda\!\!\!^{-}} = \hbar/{m\,c}</math> vereinfacht sich das Yukawa-Potential zu <math>\tfrac{q}{r}\,\mathrm e^{-r/{\lambda\!\!\!^{-}}}</math></ref>}}

== Historische Bemerkungen ==
Maxwell veröffentlichte seine Gleichungen 1865 (''[[Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes]]'').<ref name="maxwell65" /> In diesem System von ursprünglich zwanzig Gleichungen waren allerdings auch solche enthalten, die Definitionen enthielten und Gleichungen, die heute nicht mehr zu den eigentlichen Maxwellgleichungen gezählt werden (wie die Kontinuitätsgleichung aufgrund der Ladungserhaltung und Vorformen der Lorentzkraft). Bei den zwanzig Gleichungen wurden auch die jeweils drei Komponenten mitgezählt, die heute in einer Vektorgleichung zusammengefasst werden. Im Jahr 1873 findet sich in Maxwells ''[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]'' in Band 2 (Teil 4, Kapitel 9) eine etwas abgewandelte Aufzählung, die aber noch weitgehend der Liste von 1865 entspricht. Zusätzlich brachte Maxwell seine Gleichungen in eine [[quaternion]]ische Darstellung, eine damals besonders in Großbritannien beliebte Alternative zum Vektorkalkül.<ref name="maxwell73">James Clerk Maxwell: ''A Treatise on Electricity & Magnetism''. Dover Publications, New York 1873, ISBN 0-486-60636-8 und ISBN 0-486-60637-6.</ref> Im Zuge dessen hat Maxwell auch das magnetische Potenzialfeld <math>\vec \Omega</math> und die magnetische Masse <math>m</math> in seine Gleichungen eingeführt und diese Feldvariablen in die Gleichung für die elektromagnetische Kraft <math>\vec F</math> eingefügt. Maxwell rechnete allerdings nicht direkt in dieser quaternionischen Notation, sondern behandelte den Skalarteil und den Vektorteil getrennt.

Die heute gängigen Vektor-Notationen wurden erst später von [[Oliver Heaviside]]<ref name="heaviside92">Oliver Heaviside: ''On the Forces, Stresses and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field''. In: ''Philosophical Transactions of the Royal Society'', 183A, 1892, S. 423</ref> und unabhängig [[Josiah Willard Gibbs]]<ref name="gibbs01">E. B. Wilson: ''Vector Analysis of Josiah Willard Gibbs – The History of a Great Mind''. Charles Scribner’s Sons, New York 1901.</ref> und [[Heinrich Hertz]] auf der Grundlage der ursprünglichen Maxwell-Gleichungen von 1865 formuliert. Dabei schränkten sie auch das ursprüngliche System auf (in Vektornotation) vier Gleichungen ein. Diese sind einfacher zu lesen und in den meisten Fällen auch einfacher anzuwenden, weshalb sie auch heute noch üblich sind.<ref>Zur Entwicklung der Notation bei Maxwell: Gerhard Bruhn: [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/Original-MAXWELL.htm ''Die Maxwell-Gleichungen – vom Original zur modernen Schreibweise''.] TU Darmstadt.</ref>

== Maxwell-Gleichungen in natürlichen Einheitssystemen ==

In [[Natürliche Einheiten|natürlichen Einheitensystemen]] fallen die Naturkonstanten weg.

''(Siehe auch: [[Elektromagnetische Einheiten#Wichtige Formeln|Elektromagnetische Einheiten → Wichtige Einheiten]] mit der Formulierung der Maxwellschen Gleichungen in fünf verschiedenen Einheitensystemen.)''

=== Gaußsches Einheitensystem ===
Da das [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußsche Einheitensystem]] auf dem [[CGS-Einheitensystem|CGS-System]] basiert, können nicht alle Naturkonstanten gekürzt werden.

In einer verbreiteten Version des gaußschen CGS-Systems lauten die Maxwell-Gleichungen:<ref>Jackson: ''[[Classical Electrodynamics]]''</ref>

{| class="wikitable"
|+ Maxwell-Gleichungen im gaußschen cgs-System
|-
| [[Durchflutungsgesetz]]
| <math>\vec\nabla\times \vec H = 4\pi \frac{\vec\jmath}{c}+\frac{1}{c}\,\frac{\partial \vec D}{\partial t}</math>
|-
| [[Induktionsgesetz]]
| <math>\vec\nabla\times \vec E = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec B}{\partial t}</math>
|-
| [[Gaußsches Gesetz]]
| <math>\vec\nabla\cdot \vec D = 4 \pi \rho</math>
|-
| [[Gaußsches Gesetz]] des Magnetismus
| <math>\vec\nabla\cdot \vec B = 0</math>
|}

So werden die Maxwell-Gleichungen zum Beispiel im bekannten Lehrbuch von [[John David Jackson (Physiker)|Jackson]] (das daneben noch das Internationale Einheitensystem (SI) benutzt) geschrieben. Daneben gibt es auch Versionen des gaußschen cgs-Systems, die eine andere Definition der Stromstärke benutzen und in denen das Durchflutungsgesetz lautet (z. B. im verbreiteten Lehrbuch von Panofsky und Phillips:<ref>z. B. Panofsky, Phillips, 2. Auflage 1978, S. 466. Dort sind im Anhang auch Erläuterungen zu den Maßeinheiten. Zu den Zweideutigkeiten der verwendeten gaußschen cgs-Systeme siehe auch Fußnote in Jackson, S. 817.</ref>)
: <math>\vec\nabla\times \vec H = 4\pi \vec\jmath +\frac{1}{c}\,\frac{\partial \vec D}{\partial t}</math>

Für die Potenziale wird im cgs-System gesetzt:

: <math>\vec E = -\vec\nabla\,\phi - \frac {1}{c}\,\frac{\partial \vec A}{\partial t}</math> sowie <math>\vec B = \vec\nabla \times \vec A\,.</math>

Ferner gilt
: <math>\vec D=\vec E + 4\pi\vec P</math> und <math>\vec B=\vec H+4\pi\vec M\,.</math>

==== Systematisches Transformationsverhalten (SI ↔ cgs) ====
Man kann in wenigen Zeilen das Transformationsverhalten zwischen SI- und cgs-Systemen systematisch beschreiben, obwohl die Transformationen schon deshalb nicht ganz trivial sind, weil das letztgenannte System drei Basisgrößen („Länge“, „Masse“, „Zeit“), das erstgenannte System aber vier davon hat (zusätzlich noch die „elektrische Stromstärke“).<ref>Besonders durchsichtig ist der Zusammenhang von SI- und cgs-Systemen in einem speziellen Kapitel der dritten und folgenden Auflagen von Jacksons „Classical Electrodynamics“ (siehe oben) dargestellt.</ref> Im cgs-System üben zwei gleich geladene Punktmassen, deren Abstand <math>r</math> beträgt, aufeinander die Coulomb-Kraft <math>q_\mathrm{cgs}^2/r^2</math> aus, während im SI die gleiche Kraft <math>q_\mathrm{SI}^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)</math> beträgt.

* Es gilt also erstens: <math>q_\mathrm{cgs} = q_\mathrm{SI}/\sqrt{4\pi\varepsilon_0}\,.</math> Nach einem ganz analogen Gesetz transformiert sich auch das ''elektrische Moment'' <math>p</math> bzw. die ''elektrische Polarisation'' (elektrisches Moment pro Volumen) <math>P</math> sowie die elektrische Stromdichte <math>j =\rho v.</math> Die elektrische Feldstärke dagegen transformiert sich komplementär zu <math>q</math>, weil das Produkt „Ladung mal Feldstärke“ invariant sein muss.
* Zweitens gilt:   <math>\textstyle E_\mathrm{cgs} = E_\mathrm{SI}\cdot\sqrt{4\pi\varepsilon_0}\,.</math>
* Drittens ist: <math>\textstyle D_\mathrm{cgs} = D_\mathrm{SI}\cdot\sqrt{\frac{4\pi}{\varepsilon_0}}\,</math>  (weil im Vakuum <math>D_\mathrm{SI} = \varepsilon_0\,E_\mathrm{SI}\,,</math> aber <math>D_\mathrm{cgs} = E_\mathrm{cgs}</math> ist.<ref>Die angegebenen Transformationsgleichungen gelten aber nicht nur im Vakuum.</ref>)

Für die entsprechenden magnetischen Größen (erstens: das ''magnetische Moment'' <math>m</math> bzw. die ''magnetische Polarisation'' <math>J = \mu_0 M</math> (Zusammenhang: <math>m = J\Delta V = \mu_0M\Delta V</math>), zweitens: die magnetische Feldstärke <math>H</math>, drittens: die magnetische Induktion <math>B</math>) gelten ähnliche Gesetze, in denen <math>\mu_0</math> an die Stelle von <math>\varepsilon_0</math> tritt.

Sowohl das Durchflutungsgesetz als auch Faradays Induktionsgesetz koppeln aber elektrische und magnetische Größen. An dieser Stelle kommt die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> ins Spiel, und zwar durch die fundamentale Beziehung <math>\varepsilon_0\mu_0\equiv 1/c^2\,.</math>

Wenn man z. B. das Durchflutungsgesetz betrachtet, das im SI folgendermaßen lautet: <math>{\operatorname{rot}}\vec H = \vec\jmath + \frac{\partial\vec D}{\partial t} \,,</math> so erhält man im cgs-System die erste der gerade in der Tabelle angegebenen Gleichungen.

=== Heaviside-Lorentz-Einheitensystem ===
Da das [[Heaviside-Lorentz-Einheitensystem]] [[Rationalisiertes Einheitensystem|rationalisiert]] ist, fallen die <math>4 \pi</math>-Faktoren weg. Kombiniert mit dem [[Planck-Einheiten]]system enthalten die Maxwell-Gleichungen keine Konstanten:

{| class="wikitable"
!
! [[Heaviside-Lorentz-Einheitensystem|HLE]]
! kombiniert mit [[Planck-Einheiten]]
|-
! [[Durchflutungsgesetz]]
| <math>\vec\nabla\times \vec H = \frac{\vec\jmath}{c}+\frac{1}{c}\,\frac{\partial \vec D}{\partial t}</math>
| <math>\vec\nabla\times \vec H = {\vec\jmath}+\frac{\partial \vec D}{\partial t}</math>
|-
! [[Induktionsgesetz]]
| <math>\vec\nabla\times \vec E = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec B}{\partial t}</math>
| <math>\vec\nabla\times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}</math>
|-
! [[Gaußsches Gesetz]]
| <math>\vec\nabla\cdot \vec D = \rho</math>
| <math>\vec\nabla\cdot \vec D = \rho</math>
|-
! [[Gaußsches Gesetz]] des Magnetismus
| <math>\vec\nabla\cdot \vec B = 0</math>
| <math>\vec\nabla\cdot \vec B = 0</math>
|}

== Literatur ==
* [[Richard Becker (Physiker)|Richard Becker]], [[Fritz Sauter (Physiker)|Fritz Sauter]]: ''Theorie der Elektrizität.'' Band 1 (Einführung in die Maxwellsche Theorie, Elektronentheorie, Relativitätstheorie). Teubner, Stuttgart 1969.
* [[Richard P. Feynman]], [[Robert B. Leighton]], [[Matthew Sands]]: ''The Feynman Lectures on Physics.'' Band 2. Definitive edition. Pearson Addison-Wesley, San Francisco CA u. a. 2006, ISBN 0-8053-9047-2.
* [[John David Jackson (Physiker)|John David Jackson]]: ''[[Classical Electrodynamics]].'' John Wiley, New York NY 1962 (3. Auflage, ebenda 1999, ISBN 0-471-30932-X; deutsch: 4. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-11-018970-4).
* {{Literatur
|Autor=Uwe Krey, Anthony Owen
|Titel=Basic Theoretical Physics. A Concise Overview
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2007
|ISBN=978-3-540-36804-5}}
* [[Lew Landau]], [[Jewgeni Lifschitz]]: ''Theoretische Physik.'' Band 2: ''Klassische Feldtheorie.'' 12. überarbeitete Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1997, ISBN 3-8171-1327-7.
* {{Literatur
|Autor=Günther Lehner, Stefan Kurz
|Titel=Elektromagnetische Feldtheorie. Für Ingenieure und Physiker
|Auflage=9.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2021
|ISBN=978-3-662-63068-6}}
* [[Wolfgang Panofsky]], [[Melba Phillips]]: ''Classical Electricity and Magnetism.'' Addison-Wesley, Reading MA 1955 (2. edition. Dover, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-43924-0).
* [[Károly Simonyi (Physiker)|Károly Simonyi]]: ''Theoretische Elektrotechnik.'' 10. Auflage. Barth, Leipzig u. a. 1993, ISBN 3-335-00375-6.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Maxwell's equations|Maxwell-Gleichungen}}
{{Wikiversity|Fachbereich Physik/Klassische Elektrodynamik/Maxwell-Einführung|Maxwell-Einführung}}
* {{DNB-Portal|4221398-8|TEXT=Literatur über die}}
* [http://www.wolfram-stanek.de/maxwell/index.htm Sehr umfangreiche Seite über die Maxwell-Gleichungen]
* [http://www.ita.uni-heidelberg.de/research/klessen/people/klessen/lectures/2007-A/Math/Maxwellgleichungen-Oenel.pdf Kompakte übersichtliche Darstellung der Maxwell-Gleichungen] (PDF; 143 kB)
* [http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/08/24/die-maxwellgleichungen-ohne-formeln-1-felder/ Anschauliche Erklärung der Maxwell-Gleichungen, nahezu formelfrei]

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4221398-8|LCCN=|NDL=|VIAF=}}

[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:James Clerk Maxwell]]

Nicole Berline

2022-08-25T17:20:06Z

Pascal.vollmer.fr: Homepage ist umgezogen

'''Nicole Berline''' (* [[1944]]) ist eine französische Mathematikerin.
[[Datei:Berline nicole76.jpg|thumb|Nicole Berline 1976]]
Berline studierte von 1963 bis 1966 an der [[École normale supérieure de jeunes filles]] und war 1966/67 als Austauschstudentin an der [[Lomonossow-Universität]] in Moskau. Ab 1967 lehrte sie an der ENS de Jeunes Filles und ab 1971 forschte sie für das [[CNRS]] (Attachée de recherches). 1974 wurde sie an der Universität Paris bei [[Jacques Dixmier]] promoviert (''Ideaux primitifs dans les algebres enveloppantes'').<ref>[http://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=47296 Mathematics Genealogy Project]</ref> 1976/77 war sie Gastprofessor an der [[University of California, Berkeley]]. 1977 wurde sie Professorin an der [[Universität Rennes 1]] und von 1984 bis zu ihrer Emeritierung im Oktober 2009 lehrte sie an der [[École polytechnique]].

Sie befasste sich mit Indexsätzen [[Elliptischer Differentialoperator|elliptischer Operatoren]] nach dem Vorbild des [[Atiyah-Singer-Indexsatz]]es und mit symplektischer Geometrie.

Sie hat vier Söhne.

== Schriften ==
* mit [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]] ''Heat Kernels and Dirac Operators'', Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298, Springer Verlag 1992, 2004
== Weblinks ==
* [http://nicole.berline.perso.math.cnrs.fr/ Homepage]
* [http://nicole.berline.perso.math.cnrs.fr/cv.html CV]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=113074964|LCCN=n91112460|VIAF=5015622}}

{{SORTIERUNG:Berline, Nicole}}
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[[Kategorie:Franzose]]
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{{Personendaten
|NAME=Berline, Nicole
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|KURZBESCHREIBUNG=französische Mathematikerin
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}}

Abstrakter Expressionismus

2022-08-19T12:30:15Z

Pascal.vollmer.fr: ein "ist" war abhandengekommen

Der '''abstrakte Expressionismus''' ist eine nordamerikanische Kunstrichtung der modernen Malerei, die vornehmlich durch die [[New York School]] in den späten 1940er bis frühen 1960er Jahren bekannt wurde. Ihre Hauptströmungen manifestierten sich im [[Action Painting]] und der [[Farbfeldmalerei]].

== Charakteristik ==
[[Datei:Actionpainting.jpg|mini|Maltechniken des Action Painting: Farbauftrag links gespritzt, rechts getröpfelt]]
Allen Ausprägungen des abstrakten Expressionismus war gemeinsam, dass das Gefühl, die Emotion und die Spontanität wichtiger waren als Perfektion, Vernunft und Reglementierung. Die Darstellungsweise war abstrakt, teilweise auch abstrakt-figurativ. Er übernahm die surrealistische Technik des [[Automatismus (Kunst)|Automatismus]] und die [[Kubismus|kubistische]] Idee der flächigen Räumlichkeit.<ref>Edward Lucie-Smith: ''DuMont's Lexikon der Bildenden Kunst.'' DuMont, Köln 1990, S. 7 f.</ref>

Die Maltechniken wurden variiert und der Farbauftrag auf den Malgrund wurde mit Pinseln, Spachteln, mit der Handfläche, mit Hilfe von durchlöcherten Behältern („dripping“) oder Eimern vollzogen.

Der Gründungsdirektor des [[Museum of Modern Art]] in New York, [[Alfred Barr]], charakterisierte die – nach [[Fauvismus]] und [[Kandinsky]] – zweite Strömung abstrakter Malerei „eher intuitiv und emotional als intellektuell, ihre Formen sind eher organisch und [[biomorph]] als geometrisch, eher kurvig als rechteckig, eher dekorativ als strukturell, und in ihrer Begeisterung für das Mystische, Spontane und Irrationale ist sie eher romantisch als klassisch“.<ref>Zitiert nach Barbara Hess; Uta Grosenick (Hrsg.): ''Abstrakter Expressionismus.'' Taschen, Köln 2005, S. 7.</ref>

== Namensgebung ==
Die Bezeichnung ''abstract expressionism'' für diese Kunstrichtung geht auf den langjährigen Kunstkritiker des ''[[The New Yorker|New Yorker]]'', [[Robert Coates (Schriftsteller)|Robert Coates]], zurück. Er verwendete ihn anlässlich der Besprechung der ersten umfassenden Ausstellung von [[Hans Hofmann (Maler)|Hans Hofmann]] 1946 in der Mortimer Brandt Gallery.
{{Zitat|Denn er [gemeint ist Hans Hofmann] ist sicher einer der kompromisslosesten Vertreter dessen, was einige als ‚Klecks- und Sudelschule der Malerei‘ bezeichnen und was ich, auf freundlichere Weise, Abstrakten Expressionismus getauft habe.|Barbara Hess; Uta Grosenick (Hrsg.)|2005, Abstrakter Expressionismus, Taschen, Köln, S, 6.}}

Der jüdisch-deutsche Emigrant [[Hans Sahl]] war nach eigenen Angaben dabei, als der Begriff „Abstrakter Expressionismus“ erfunden wurde: „Ich hatte ihre Anfänge in der ''Cedar Bar'' und im ''White Horse Inn'' kennengelernt, als mein Freund, der Bildhauer [[Peter Grippe]], mich mit einigen jungen Leuten bekannt machte, die behaupteten, man müsse etwas Neues erfinden, etwas, das weder abstrakt noch expressionistisch wäre und doch beides zugleich. ‚Warum nicht abstrakter Expressionismus?‘ sagte ein stämmiger, etwas bedrohlich aussehender Mann, der [[Jackson Pollock]] hieß. Man prostete einander mit Bierflaschen zu. Das war kurz nach dem Zweiten Weltkrieg. Dann griffen die Kunsthändler die Idee auf, und der abstrakte Expressionismus eroberte die Welt“.<ref>Hans Sahl: ''Das Exil im Exil.'' Sammlung Luchterhand, 1994, S. 161.</ref>

== Varianten und Strömungen ==
[[Datei:KO54.jpg|mini|[[Karl Otto Götz]]: ''KO 54'']]
[[Datei:Josef Trattner Weinbild 2010.jpg|mini|[[Josef Trattner]], abstrakt-expressionistisches Weinbild, 2010]]
In den Vereinigten Staaten entwickelte sich, unabhängig von der europäischen Entwicklung, das ''Action Painting'', mit [[Jackson Pollock]] als seinem Hauptvertreter, der Farbe auf die am Boden ausgebreitete Leinwand tropfte, rinnen ließ oder schleuderte (eine Technik, die auch schon [[Max Ernst]] verwendete). Auch [[Sam Francis]], [[Helen Frankenthaler]] und der frühe [[Robert Rauschenberg]] praktizierten eine schnelle spontane Malerei. Hauptvertreter der meditativen ''Farbfeldmalerei'' (''Colorfield Painting'') sind [[Barnett Newman]] und [[Mark Rothko]]. Rothko malte große, oft monochrom modulierte Farbflächen mit meditativem Charakter, die mit dem Begriff ''expressionistisch'' nicht zu fassen sind, und der immer abgestritten hat, seine Bilder seien ''abstrakt''.

Weitere wichtige Künstler des abstrakten Expressionismus waren [[Mark Tobey]], [[Adolph Gottlieb]], [[Arshile Gorky]], [[Clyfford Still]], [[Willem de Kooning]], [[Franz Kline]] und [[Robert Motherwell]]. [[Ad Reinhardt]] wird dieser Richtung ebenfalls zugerechnet, obwohl er sich davon distanzierte. Neben der Ostküsten-Variante der ''New York School'' entstanden zwei pazifische Varianten, die ''[[California School]]'' mit [[Richard Diebenkorn]] und die ''Northwest School'' des abstrakten Expressionismus mit Mark Tobey und [[Morris Graves]] als bedeutendsten Vertretern.

Verwandt ist dem amerikanischen abstrakten Expressionismus die europäische abstrakte Kunst der Nachkriegszeit, die als ''[[Informelle Kunst]]'' oder ''[[Tachismus]]'' bekannt wurde, wobei ''la tache = der Fleck'' als Ausgangspunkt für den Malprozeß diente. Sie stammte aus Frankreich und fand in Deutschland (vornehmlich [[Düsseldorf]]) große Resonanz. Wichtige Künstler sind [[Wols]], [[Jean Fautrier]], [[Hans Hartung]], [[Georges Mathieu]] aus Frankreich und [[Peter Brüning]], [[Karl Otto Götz]], [[Emil Schumacher]] aus Deutschland. In [[Österreich]] manifestiert sich die Strömung des abstrakten Expressionismus bis zum 21. Jahrhundert im Werk von [[Hermann Nitsch]] und [[Josef Trattner]].

== Entwicklung in den USA ==
[[Zweiter Weltkrieg]], [[Judenfeindlichkeit|Judenverfolgung]] und die Verdammung der modernen Kunst durch die [[Nationalsozialismus|Nationalsozialisten]] als [[Entartete Kunst]] führten zu einer [[Einwanderung|Immigrationswelle]] europäischer Künstler in die USA, vor allem nach New York. [[Hans Hofmann (Maler)|Hans Hofmann]] eröffnete 1933 in New York die ''Hofmann School of Fine Arts'', [[Josef Albers]] lehrte ab 1933 am ''[[Black Mountain College]]''. Sie übten dadurch starken Einfluss auf zeitgenössische amerikanische Künstler aus.

Dabei handelt es sich weniger um eine Stilrichtung als ein Konzept, Kunst in spontaner Weise und ohne die Beschränkung durch herkömmliche Formen auszuführen. Zu den führenden Kräften der Bewegung zählten [[Jackson Pollock]], [[Willem de Kooning]] und [[Mark Rothko]]. Die [[Surrealismus|surrealistische]] Haltung zur freien Schaffung hatte einen bedeutenden Einfluss auf die Anfänge des abstrakten Expressionismus, vor allem durch den abtrünnigen Surrealisten [[Wolfgang Paalen]], der in seiner Zeitschrift [[DYN]] aus Mexiko einen von der Quantenphysik, dem Totemismus und Kubismus neu bestimmten Raumbegriff propagierte.<ref>In seiner Theorie des beobachterabhängigen Möglichkeitsraumes, die der abstrakten Malerei in den vierziger Jahren neue Schwungkraft und ein einheitliches, neues Weltbild vermittelte, verarbeitete Paalen ebenso Erkenntnisse der Quantenphysik, wie eigenwillige Interpretationen der totemistische Weltauffassung und der räumliche Strukturen indianischer Malerei der Nord-West-Küste</ref> [[Peggy Guggenheim]]s Museum und Galerie [[Art of This Century]] in New York, die von 1942 bis 1947 moderne Kunst ausstellte, war ein Treffpunkt europäischer surrealistischer und junger amerikanischer Künstler und bot den wichtigsten Ausstellungsraum in der Entwicklungszeit des abstrakten Expressionismus.<ref>{{Webarchiv | url=http://www.enotes.com/oxford-art-encyclopedia/abstract-expressionism | wayback=20080622061053 | text=The Oxford Dictionary of Art – Abstract Expressionism}} enotes.com, abgerufen am 10. Mai 2015.</ref> Zu dieser Zeit stellte [[Barnett Newman]] eine Liste der gewünschten Vertreter für das zu gründende ''New Art Movement'' auf. Er nannte neben Gottlieb, Rothko, Pollock, Hofmann, Baziotes und Gorky auch Wolfgang Paalen. Motherwell dagegen versah er darin noch mit einem Fragezeichen.<ref>s. Barnett Newmans Notizen, in denen er seine organisierenden Gedanken zu ''America’s new art movement'' ausführt, enthält eine handgeschriebene Liste der “men in the new movement.” [Barnett Newman Foundation archive 18/103]</ref>

Als abstrakt expressionistisch wurden in den USA zuerst Werke des russischen Malers [[Wassily Kandinsky]] bezeichnet und zwar von [[Alfred Barr|Alfred H. Barr]], dem ersten Direktor des New Yorker [[Museum of Modern Art]]. Maler der europäischen Avantgarde, die während des Zweiten Weltkriegs nach New York emigriert waren, darunter [[Max Ernst]], [[Marcel Duchamp]], [[Marc Chagall]], [[Yves Tanguy]], [[Piet Mondrian]] sowie 1947 in einem mehrmonatigen Aufenthalt [[Joan Miró]], belebten bei amerikanischen Künstlern das Interesse für abstrakte Malerei neu und bereiteten den Boden für den Triumph der abstrakten Malerei in den 1940er und 1950er Jahren vor.

Diese Generation der Künstler ist von einer tiefen Fortschrittskritik geprägt, vor allem durch die Erfahrungen des Zweiten Weltkriegs und dem Abwurf der [[Kernwaffe|Atombombe]] auf [[Hiroshima]]. Wolfgang Paalens Theaterstück ''The Beam of the Balance'', eine Tragikomödie, ist eine Reflexion auf die ungebrochene Macht des [[Stalin]]schen Staatsterrorismus, die US-amerikanischen [[Atombombenabwürfe auf Hiroshima und Nagasaki]] im Sommer 1945 und die Gefahr einer aus dem Gleichgewicht geratenen Wissenschaft im Allgemeinen. Es wurde erstmals bekannt durch eine halböffentliche Lesung im Hause [[Robert Motherwell]]s in East Hampton im Sommer 1946.<ref>Amy Winter, Interview of Luchita Mullican, Santa Monica, 1 May 1994 (Archives of American Art, New York)</ref> Bei Vertretern des abstrakten Expressionismus wie [[Barnett Newman]] und Mark Rothko wird eine ähnliche Haltung deutlich.

== US-amerikanische Künstler ==
{{Mehrspaltige Liste |breite=17em |liste=
* [[Hans Hofmann (Maler)|Hans Hofmann]] (1880–1966)
* [[Mark Tobey]] (1890–1976)
* [[Bradley Walker Tomlin]] (1899–1953)
* [[Mark Rothko]] (1903–1970)
* [[Adolph Gottlieb]] (1903–1974)
* [[Seymour Lipton]] (1903–1986)
* [[Arshile Gorky]] (1904–1948)
* [[Clyfford Still]] (1904–1980)
* [[Willem de Kooning]] (1904–1997)
* [[Barnett Newman]] (1905–1970)
* [[Lee Krasner]] (1908–1984)
* [[Franz Kline]] (1910–1962)
* [[Jackson Pollock]] (1912–1956)
* [[Morris Louis]] (1912–1962)
* [[William Baziotes]] (1912–1963)
* [[Agnes Martin]] (1912–2004)
* [[Ad Reinhardt]] (1913–1967)
* [[Philip Guston]] (1913–1980)
* [[Conrad Marca-Relli]] (1913–2000)
* [[Robert Motherwell]] (1915–1991)
* Jon Schueler (1916–1992)
* [[David Hare (Künstler)|David Hare]] (1917–1992)
* [[Richard Diebenkorn]] (1922–1993)
* [[Theodoros Stamos]] (1922–1997)
* [[Grace Hartigan]] (1922–2008)
* [[Sam Francis]] (1923–1994)
* [[Michael Goldberg (Maler)|Michael Goldberg]] (1924–2007)
* [[Joan Mitchell]] (1925–1992)
* [[Cy Twombly]] (1928–2011)
* [[Helen Frankenthaler]] (1928–2011)
}}

== Semantische Verallgemeinerung ==
Wenn die Bezeichnung Expressionismus für diese Form abstrakter Malerei einen semantischen Sinn haben soll, dann muss sie auf einen inhaltlichen Anspruch verweisen, der diese Malerei von einer bloß bildhaften Konstruktion oder Formensprache abhebt. Tatsächlich will sie darüber hinaus eine geistig-seelische Regung oder Befindlichkeit des Künstlers ausdrücken und über die bildnerische Darstellung dem Betrachter vermitteln. So heißt es bei Barbara Hess: „Alle abstrakten Expressionisten wollten Emotionen und Ideen .... transportieren.“<ref>Barbara Hess: ''Abstrakter Expressionismus''. Verlag Taschen, Berlin 2017. ISBN 978-3-8365-0500-0.</ref> Dieser künstlerische Anspruch steht als geistig-religiöse Botschaft am Beginn der neuzeitlichen Malerei, und er tritt, je mehr die moderne Malerei sich vom Gegenständlichen löst, nicht etwa zurück, sondern vermag sich im Gegenteil mit zunehmender Abstraktion potentiell um so stärker zu entfalten, wie es bei van Gogh und dann im deutschen Expressionismus nachzuweisen ist.<ref>Alexander Eiling: in ''Making van Gogh'' (Alexander Eiling und Felix Krämer, Hrsg.). Hirmer Verlag, München 2019. ISBN 978-3-941399-96-9</ref> Das mag die Vermittlung von Stimmungen und Empfindungen sein, etwa menschlicher Grundgefühle, die [[Mark Rothko]] für sich beansprucht und die, wie er berichtet, die Betrachter seiner Bilder nicht selten in Tränen ausbrechen ließ,<ref>David Anfam: ''Abstract Expressionism'', Royal Academy of Arts, London 2016, Seite 22. ISBN 978-1-910350-31-7</ref> oder den Betrachter seinen eigenen Seelenzustand ergründen lassen, wie es [[Clyfford Still|Clifford Still]] postuliert hat, der aber seinerseits in seinem Werk Leben und Tod „in erschreckender Weise“ zu verbinden glaubt.<ref>David Anfam: ''Abstract Expressionism'', Seite 25, 44</ref> Der Betrachter mag die Heiterkeit, Leichtigkeit, oder auch Erhabenheit, Bedrohung nachempfinden, die sich in einem abstrakten Bild ausdrücken lässt. Selbst ein Werk des Informel soll noch Strömungen aus dem Unterbewusstsein des Künstlers auszustrahlen vermögen – oder zumindest seine überschäumende Energie, wie im Falle von Jackson Pollock.<ref>David Anfam: ''Abstract Expressionism'', Seite 25, 37</ref> Freilich: Weder der Kunstkritiker noch der Künstler selbst sollte in ein Werk zu viel an tiefsinnigem Gehalt hineininterpretieren; vielleicht ist es auch nur, aber immerhin, der Wunsch nach einer harmonischen oder dynamischen Komposition, die schon [[Alexej von Jawlensky]] als das Ziel jedes Expressionisten bezeichnet hat<ref>Alexander Eiling: in ''Making van Gogh'', Seite 123</ref> – in der ungegenständlichen Malerei nicht anders als in der von Natur aus ungegenständlichen Musik.

Mit diesem Bedeutungsgehalt andererseits ist der Begriff des abstrakten Expressionismus über seine spezifisch nordamerikanische Ausprägung hinaus als Kennzeichnung einer bestimmten Kunstrichtung, einer Malerei der ausdrucksstarken (expressiven) Abstraktion, verallgemeinerungsfähig.

== Der abstrakte Expressionismus im Kalten Krieg ==
Der abstrakte Expressionismus wurde im [[Kalter Krieg|Kalten Krieg]] als „Aushängeschild“ für den „freien Westen“ funktionalisiert. Obwohl er noch im eigenen Land erbitterte Gegner im konservativen Lager hatte, die abstrakte Kunst als unamerikanisch diffamierten, sollte er im internationalen Ausstellungsbetrieb für ein „modernes, liberales Amerika“ werben.<ref>Barbara Hess; Uta Grosenick (Hrsg.): ''Abstrakter Expressionismus.'' Taschen, Köln 2005, S. 17.</ref>

Anlässlich des Pariser „Kongresses für kulturelle Freiheit“ 1952 zeigte das [[Museum of Modern Art]] eine Ausstellung mit Meisterwerken des abstrakten Expressionismus. Der Kurator der Ausstellung verwies darauf, dass hier Werke gezeigt würden, „die in totalitären Systemen wie dem Deutschland der Nazi-Zeit oder dem heutigen Sowjet-Rußland und seinen Satelliten nicht hätten entstehen geschweige denn ausgestellt werden können.“<ref>Rolf Wedewer: ''Die Malerei des Informel. Weltverlust und Ich-Behauptung''. Deutscher Kunstverlag, München, 2007, S. 30f. ISBN 3-422-06560-1</ref> Diese Feststellung stellt sich als nicht ganz richtig heraus, wie es weiter unten gezeigt werden kann.

1953 wurden zwölf zeitgenössische US-amerikanische Maler und Bildhauer in Europa vorgestellt, darunter die Altmeister [[John Marin]], [[Stuart Davis (Maler)|Stuart Davis]], [[Edward Hopper]] und der Sozialist [[Ben Shahn]]. Abstrakt-expressionistische Werke machten sogar nur ein Viertel der Ausstellung ''Modern Art in the United States'' aus der Sammlung des New Yorker [[Museum of Modern Art]] aus, die 1956 in Europa zu sehen war. Erst 1958/59er triumphierte die neueste Malerei, ''The New American Painting'' zeigte einundachtzig Bilder von siebzehn abstrakt-expressionistischen Künstlern in acht westeuropäischen Metropolen und anschließend im Museum of Modern Art in New York. Die von [[Dorothy Canning Miller]], der einflussreichen Kuratorin des ''MoMA'', zusammengestellte Show veränderte das Bild Europas von der Kunst der USA. Ermöglicht worden war sie durch die Unterstützung der [[Rockefeller-Stiftung|Rockefeller Foundation]] und das Engagement von Blanchette Ferry Rockefeller. In Rom, Basel, Amsterdam, Brüssel, Paris, Berlin und London und auf der [[documenta II]] in Kassel (1959) war die Jackson Pollock-Retrospektive zu sehen, die [[Frank O’Hara]] für die 4. [[Biennale von São Paulo]] (1957) zusammengestellt hatte. In Kassel wurden außerdem die Arbeiten aller Künstler der ''New American Painting''-Show und weiterer Amerikaner ausgestellt, insgesamt 144 Arbeiten von 44 Künstlern.

Nach Karl Eimermacher<ref>Karl Eimermacher: ''Das Leben als Kunst - Die Kunst als Leben (Anmerkungen zum Werk Anatolij Zverevs).'' Katalog der Galerie Bayer, Bietigheim-Bissingen, 1994, S. 29f.</ref> berichtet ein amerikanischer Journalist von den Weltjugendfestspielen in Moskau 1957 „Unsere (amerikanischen Künstler, K.E.) meinten die Russen mit einer Welle von ''aggressiven'' Abstraktionen zu verblüffen. Man ging vom letzten Schrei avantgardistischer Richtungen aus und hoffte, mit all diesem Eklektizismus den sozialistischen Realismus k.o. zu schlagen. Ununterbrochen produzierte man Bilder, wie am Fließband. War eine Leinwand ''fertig'', griff man schon zur nächsten. Die Russen waren wie erschlagen. Ein solches Tempo hatten sie nicht erwartet. Den Zöglingen der Akademie blieb nichts anderes übrig als ihre Position mit Worten zu verteidigen. Man stritt heftig. Wir wurden wegen der Vernachlässigung sozialer Probleme angegriffen, wohingegen wir einwendeten: Zuerst müsse man lernen, mit dem Material umzugehen! So ging es, bis ein merkwürdig aussehender Bursche mit zwei Eimern Farbe auftauchte, die er sich bei den gelangweilt zusehenden Anstreichern zusammen mit einem an einem Stock hängenden Scheuerlappen geliehen hatte. Als er seine Leinwand ausgebreitet hatte, kippte er – soweit dies die Räumlichkeiten zuließen – beide Eimer über sie aus, sprang mitten in die blau-grüne Pfütze und begann verzweifelt, mit dem Schrubber zu arbeiten. Alles dauerte nicht länger als zehn Sekunden. Wir erstarrten vor Begeisterung. Zu unseren Füßen lichtete sich ein großes Frauenporträt, virtuos gestaltet, raffiniert und mit einem feinfühligen Verständnis. Der Bursche blinzelte einem der zu Stein gewordenen Amerikanern zu, klatschte ihm mit der völlig verschmierten Handfläche auf den Hintern und sagt: "Hört auf, euch mit Malerei zu beschäftigen, ich bringe euch erst mal Zeichnen bei.“<ref>Zitat nach I. Dudinskij: ''Die Entdeckung eines Künstlers.'' Ogonek, Nr. 33, 15. bis 22. August 1987, S. 24 (russisch)</ref>

In ihrem Buch: ''Who Paid the Piper. The CIA and the Cultural Cold War'' vermerkte die britische Historikerin und Journalistin [[Frances Stonor Saunders]] (* 1966), dass die [[Central Intelligence Agency|CIA]] [[Jackson Pollock]] und andere abstrakte Expressionisten subventionierte. Dies geschah im Wege des [[Kongress für kulturelle Freiheit|Congress for Cultural Freedom]] und in Übereinstimmung mit der Förderungspolitik der Rockefeller Foundation und der [[Ford Foundation]]. Während [[Josef Stalin|Stalin]] in seinem unmittelbaren Machtbereich den [[Sozialistischer Realismus|sozialistischen Realismus]] forcierte und in Paris linke Intellektuelle wie [[Jean-Paul Sartre]] und [[Pablo Picasso]] die Kulturszene dominierten, weiters der mexikanische [[Muralismo|Muralismus]] um [[Diego Rivera]] und [[David Alfaro Siqueiros]], der in der Ära der [[Great Depression|Großen Depression]], des Amerikanischen Regionalismus und der [[New Deal]] Wandmalerei auf die USA ausgestrahlt hatte, ebenfalls der KP-Seite zugeneigt war, bot sich nach dem Krieg der abstrakte Expressionismus auch im zerstörten Europa als Demonstration politischer und künstlerischer Freiheit (ohne sozialkritische Botschaft) an. Während die Kunstströmung als förderungswürdig im Sinne der [[Soft Power]] galt, waren die individuellen Künstler nicht unbedingt systemkonform.<ref>https://www.bbc.com/culture/article/20161004-was-modern-art-a-weapon-of-the-cia</ref>

Welche Erschütterung die New American Painting Show hervorrief, ist auch an dem [[Melbourne]]r ''Antipodean Manifesto'' einer Gruppe figurativer Maler und des marxistischen Kunsthistorikers [[Bernard Smith (Kunsthistoriker)|Bernard Smith]] gegen die amerikanisch dominierte Abstraktion abzulesen.

== Kunstmarkt ==
Unter den Galeristen der abstrakten Expressionisten sind neben Peggy Guggenheim die Künstlerin [[Betty Parsons]] die Kunsthändler [[Charles Egan]], [[Samuel Kootz]] und [[Sidney Janis]] hervorzuheben.<ref>Barbara Hess; Uta Grosenick (Hrsg.): Abstrakter Expressionismus. Taschen, Köln 2005, S. 12.</ref>

Bilder des Abstrakten Expressionismus erfreuen sich einer steigenden Nachfrage von privaten Kunstsammlern, während staatliche Museen entsprechende Ankäufe kaum noch finanzieren können. Seit der Jahrtausendwende erzielen Bilder von Willem de Kooning, Mark Rothko, Clyfford Still oder Barnett Newman auf Auktionen Spitzenpreise im zweistelligen Millionenbereich. Da diese Bilder ein enges, geschlossenes Marktsegment repräsentieren, die Anzahl der betreffenden Künstler und Objekte begrenzt bleibt, erfreuen sie sich von Seiten der Käufer eines Vertrauens in stetig wachsende Preise und sind daher beliebte Spekulationsobjekte, da man auf hohe Gewinne hoffen kann.

== Ausstellungen ==
* 2016: ''Abstract Expressionism'', [[Royal Academy of Arts]], London. Katalog.<ref>''Farbtrunkene Breitwandbilder fordern zum Duell'' in [[Frankfurter Allgemeine Zeitung|FAZ]] vom 4. November 2016, Seite 11</ref>

== Siehe auch ==
* [[American Abstract Artists]] (Vorläufer und einige Überschneidungen)
* [[New York School]] (der Abstrakte Expressionismus in New York)
* [[Action Painting]], [[Drip Painting]], [[All-over-Painting]]
* [[Black Paintings]] (in den USA)
* [[Neo-Dada]], [[Pop Art]] (als Gegenbewegung)
* [[Tachismus]], [[Informelle Kunst]] (Lyrischer und Abstrakter Expressionismus in Europa)
* [[Lyrische Abstraktion]] (Europa und späte Nachfolger in den USA)
* [[Nachmalerische Abstraktion]], [[Farbfeldmalerei]] (als direkte und indirekte Weiterentwicklungen)

== Literatur ==
* [[David Anfam]]: ''Abstract Expressionism. World of Art.'' Thames and Hudson, London 1990, ISBN 978-0-50020243-2
* Stephen Polcari: ''Abstract Expressionism and the Modern Experience.'' Cambridge University Press. Cambridge 1991.
* Ausstellungskatalog: ''Le grand geste! Informel und abstrakter Expressionismus 1946–1964.'' museum kunst palast, Düsseldorf, 10. April bis 1. August 2010.
* Marcia Bystryn: ''Art Galleries as Gatekeepers: The Case of the Abstract Expressionists.'' In: ''Social Research.'' Jg. 45/1978, S. 390–408.
* Barbara Hess/Uta Grosenick (Hrsg.): ''Abstrakter Expressionismus.'' Taschen, Köln 2005, ISBN 3-8228-2967-6.
* Lee Krasner, Elaine de Kooning u. a.: ''Abstrakter Expressionismus in Amerika.'' Ausstellungskatalog, ISBN 978-3-89422-097-6.
* Frances Stonor Saunders: ''Wer die Zeche zahlt… Der CIA und die Kultur im Kalten Krieg.'' Siedler, Berlin 2001, ISBN 978-3-88680-695-9.
* David Anfam: ''Abstract Expressionism'', Royal Academy of Arts, London 2016. ISBN 978-1-910350-31-7.
* Alexander Eiling, Felix Krämer (Hrsg.): ''Making van Gogh.'' Hirmer Verlag, München 2019. ISBN 978-3-941399-96-9.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Abstract expressionism|Abstrakter Expressionismus}}
* {{DNB-Portal|4141157-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Bildrechtshinweis}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4141157-2}}

[[Kategorie:Zeitgenössische Kunst]]
[[Kategorie:Stilrichtung in der Malerei]]
[[Kategorie:Kunst (Vereinigte Staaten)]]

YAWL

2022-08-01T16:12:26Z

Pascal.vollmer.fr: Kommasetzung: Komma vor Infinitiv

'''Yawl''' ist die Bezeichnung einer Prozessmodellierungssprache und gleichzeitig ein Akronym mit der Bedeutung ''Yet Another Workflow Language.'' Teile des Yawl-Software-Framework wurden unter der ''[[Apache Software License]]'' (ASL) und der ''[[LGPL|GNU Lesser General Public License]]'' veröffentlicht. Yawl ist somit ein Open-Source-Produkt. Das Yawl-Software-Framework kann als [[Workflow-Management]]-System (WfMS) eingeordnet werden.

Das Yawl-Software-Framework besteht aus einer Arbeitsablaufumgebung (die ''Yawl Engine''), einer Worklist-Komponente, einem Web-Service-Invoker und einer [[SMS]]-Invoker-Komponente, die es erlaubt, Geschäftsprozesse oder Teilaufgaben via SMS anzustoßen. Zudem enthält das Yawl-Software-Framework eine [[XForms]]-Komponente, die es ermöglicht, HTML-basierte Arbeitslisten automatisch zu generieren.

Entgegen den gängigen Geschäftsbeschreibungssprachen wie beispielsweise [[BPML]], [[XPDL]] oder [[BPEL]], wurde mit YAWL der Versuch unternommen, alle Workflow-Patterns, die bis dato von der Workflow-Patterns-Initiative spezifiziert wurden, zu unterstützen. Durch diese Vorgehensweise ist Yawl eine sehr ausdrucksstarke Prozessbeschreibungssprache.

== Prozessnotation ==

Auf den ersten Blick ähnelt Yawl der Notationsweise der [[Unified Modeling Language|UML]]-[[Aktivitätsdiagramm]]e oder der von der BPMI vorgeschlagenen ''[[Business Process Modeling Notation]].'' Die Yawl-Autoren weisen jedoch darauf hin, dass die visuelle Repräsentation eines Yawl-Graphen in erster Linie auf den mathematischen Grundlagen der [[Petri-Netz]]e basiert. Präzise ausgedrückt stellt ein Yawl-Graph folglich eine Erweiterung der Petri-Netze dar, die speziell auf die Domäne des [[Workflow-Management]]s angepasst wurde. Insbesondere
die formal nachweisbaren Eigenschaften von Petri-Netzen, die anderen Diagrammtechniken meist fehlen, sollen hier ausgenutzt werden, um nachweisbar korrekte
Abläufe definieren zu können. Um den Sachverhalt besser verstehen zu können, sei auf die nachfolgende Illustration verwiesen. Sie veranschaulicht den Prozess, der notwendig war, um diesen Artikel zu erstellen.

<gallery>
Bild:Wikipedia-yawl-artikel.png|Prozessdefinition (Yawl)
Bild:Wikipedia-yawl-artikel-bpmn.png|Prozessdefinition (BPMN)
Bild:Wikipedia-yawl-artikel-uml.png|Prozessdefinition (UML)
</gallery>

== Siehe auch ==

* [[Geschäftsprozessmodellierung]]
* [[Business Process Modeling Language]]
* [[XPDL|XML Processing Description Language]]

== Weblinks ==

* [http://www.yawlfoundation.org/ Yawl Website] (englisch)
* [http://www.workflowpatterns.com/ Workflow Patterns] (englisch)
* [http://www.yaug.org/ Yawl User Group] (englisch)

[[Kategorie:Geschäftsprozessmanagement-Software]]
[[Kategorie:Freie Software]]

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2022-07-13T18:15:49Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
</nowiki>

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2022-07-10T21:11:51Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die ''Reduktion''. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref>. Unabhängig davon von .. independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren. Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
One of the principal ideas of geometric mechanics is ''reduction'', which goes back to Jacobi's elimination of the node in the 3-body problem, but in its modern form is due to K. Meyer (1973)<ref>Kenneth Meyer: ''Symmetries and integrals in mechanics'' In: ''Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)'' Band 2. Academic Press, New York 1973, S. 259–272.</ref> and independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), both inspired by the work of Smale (1970). Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Anwendungen ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Literatur ==
=== Allgemein ===
* Buch #1

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
</nowiki>

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2022-07-10T10:50:11Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
One of the principal ideas of geometric mechanics is ''reduction'', which goes back to Jacobi's elimination of the node in the 3-body problem, but in its modern form is due to K. Meyer (1973) and independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), both inspired by the work of Smale (1970). Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Applications ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{cite book | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
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Diskussion:Energie-Impuls-Tensor

2022-07-09T21:26:11Z

Pascal.vollmer.fr:

schon ziemlich abgefahren, hier noch das Gauss-Einheitensystem ueberhaupt zu verwenden.
Das tun doch nur noch alte Herren wie der Greiner, oder nicht?

===============================

Um die Darstellung moeglichst durchsichtig zu bekommen (auch als Reaktion auf obige Kritik)
habe ich das Gauss-Einheitensystem jetzt durch das Heaviside-Lorentz-Einheitensystem mit
der Konvention c=1 ersetzt und die Umrechnung zum CGS-System nur mehr angedeutet.
Weil das SI-System in der Experimentalphysik das am haeufigsten benutzte Einheitensystem ist,
halte ich es fuer sinnvoll, die SI-Darstellung noch zusaetzlich darzustellen, waehrend das
Gauss-Einheitensystem auch nach meiner Ansicht obsolet ist.

Ich habe jetzt im Hinblick auf die allgemeine Relativitaetstheorie
die raum-zeitliche 4D-Sichtweise des Energie-Impulstensors weit staerker betont,
als das vorher der Fall war.

anmerkung: der energie impuls tensor ist nicht immer symmetrisch

==Oma?==
Sorry, aber gibts das auch so dass man es verstehn kann ohne so grob geschätzt 50 andere Physik-Lemmas lesen zu müssen? [[Benutzer:FreddyE|FreddyE]] 21:31, 15. Mai 2008 (CEST)
:+1. Ein einleitendes Sätzchen, das mit einfachen Worten beschreibt, worum es überhaupt geht bzw. was die Bezeichnung bedeutet, wäre schön und wäre m. E. ''vor'' der Angabe angebracht, wie das Ding angegeben wird. --[[Benutzer:TobiasHerp|Tobias]] 22:06, 21. Aug. 2008 (CEST)

== Satz von Poynting ==

Kann es sein, dass beim Satz von Poynting ein Vorzeichenfehler gemacht wurde?

Meiner Meinung nach lautet dieser:
<math>\dot{\rho} + div\vec{S} = -\vec{j}\cdot{}\vec{E}</math> und nicht <math>= \vec{j}\cdot{}\vec{E}</math> -- [[User:WanjaChresta|WanjaChresta]] 11:35, 28. Jun. 2008 (CEST)

== Vorzeichenfehler ==

In der Literatur (Jackson, Griffiths, Fließbach) ist der Spannungstensor grundsätzlich mit anderem Vorzeichen angegeben. Woran liegt das? (''nicht [[Hilfe:Signatur|signierter]] Beitrag von'' [[Spezial:Beiträge/88.65.247.164|88.65.247.164]] ([[Benutzer Diskussion:88.65.247.164|Diskussion]]) 15:39, 22. Sep. 2010 (CEST)) 
:das Vorzeichen Für den Maxwellschen Stresstensor oder auf deutsch dem Maxwellschen Spannungstensor im Jackson ist richtig. Hier war es lange falsch. Für den Energie-Impuls Tensor stimmt das Vorzeichen aber. [[Benutzer:Biggerj1|biggerj1]] ([[Benutzer Diskussion:Biggerj1|Diskussion]]) 16:09, 9. Jun. 2018 (CEST)

== Zu starker Fachjargon und unzureichende Integration ==

Der Artikel setzt zuviel physikalisches Vorwissen voraus, er ist hermetisch geschrieben, sodass Laien keinen intellektuellen Zugang erhalten. Beispiele sind völlig seltene Adjektive wie "raumartig" oder "zeitartig", der abrupte Einstieg mit diesem Formelbrett, das nur unzureichend definiert wird, oder auch inflationäre Verweise auf andere, wiederum sehr hermetisch beschriebene physikalische Fachtermini. Bitte zwingen Sie sich, zumindest in einem Einleitungssatz eine allgemein verständliche Einführung zu leisten, etwas anschauliches. Das würde die Reichweite dieses Artikels erhöhen.

== Verwechslung der Erklärungen von T 0k (superscript) und T i0 (superscript) ==

== [[Benutzer:Capitánzeppos|Capitánzeppos]] ([[Benutzer Diskussion:Capitánzeppos|Diskussion]]) 16:00, 24. Jan. 2019 (CET)

im kürzen:

Meine Meinung nach soll
T0k der Energiefluss/Massenfluss sein
und
Ti0 der Impulsdichte sein.{{unsigned|Capitánzeppos}}
:Der Tensor ist symmetrisch, also <math>T^{\alpha\beta}=T^{\beta\alpha}</math> und die Interpretation wahlweise <math>\alpha</math>-Komponente vom Energie-Impuls-Fluss durch Hyperfläche parallel zu <math>\beta</math> oder <math>\beta</math>-Komponente vom Energie-Impuls-Fluss durch Hyperfläche parallel zu <math>\alpha</math>. Es gibt in der ART keinen Unterschied zwischen dem ersten und zweiten Index vom Energie-Impuls-Tensor, außer dass aus notationstechnischen Gründen ein Index vor dem anderen geschrieben werden muss. Der Unterschied zwischen Energiefluss/Massenfluss und Impulsdichte soll wahrscheinlich dem besseren Verständnis dienen, aber verwirrt vielleicht mehr als dass er hilft?--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 16:11, 25. Jan. 2019 (CET)

== Zirkelbezug ==

Ich finde es etwas unglücklich, dass der Link in „<math>G_{ik}</math> ist im Fall der Anwendung auf elektromagnetische Strahlung das Negative des [[Maxwellscher Spannungstensor|maxwellschen Spannungstensors]]“ per Weiterleitung wieder auf diese Seite verweist. Damit ist er ziemlich uninformativ. --[[Spezial:Beiträge/77.0.137.249|77.0.137.249]] 15:32, 30. Jun. 2019 (CEST)
:Habs mal als Artikelwunsch eingetragen: [[WP:Redaktion Physik/Fehlende_Artikel#Elektrodynamik]]--[[Benutzer:Debenben|Debenben]] ([[Benutzer Diskussion:Debenben|Diskussion]]) 22:36, 30. Jun. 2019 (CEST)

== Gravitation von nicht lokalisierter Energie ==

Mehr so und vor allem andere Beispiele, wie die Autobatterie wären schön. Die würden vielleicht folgendes Laienproblem lösen: Der Ping-pong-Ball, der auf dem Tisch hüpft, hat mal kinetische, mal potentielle Energie.
Die kinetische macht ihn träger, also auch schwerer und lässt ihn ein stärkeres Gravitationsfeld erzeugen als wenn er in Ruhe ist. Ist er dann in Ruhe, so hat er nur seine ‚Ruhemasse‘ und der kinetischen Energie kann ich keinen Ort zuweisen. Wie sieht das von dieser Energie erzeugte Gravitationsfeld aus? Was immer ich da nicht oder falsch verstanden habe: Lässt es sich ohne Formeln erklären, so wie ich ja auch ohne Formel frage? Dasselbe, weniger spielerisch: Zwei Sterne umkreisen sich. Ihre Bewegung gibt ihnen kinetische Energie und erhöht ihre Massen. Ihre Anziehung bedeutet potentielle Energie. Das ist auch Energie des Gesamtsystems und macht dieses schwerer. Wie soll ich mir das Gravitationsfeld vorstellen, wo doch die potentielle Energie keinen Ort und nicht einmal eine Dichtefunktion hat?

Oma hat Bauchweh. Liegt ihr womöglich der Energie-Impuls-Tensor zu schwer im Magen?– [[Benutzer:Binse|Binse]] ([[Benutzer Diskussion:Binse|Diskussion]]) 18:10, 6. Dez. 2020 (CET)

== Link kaputt ==

Hat jemand eine Idee, wo dieser [http://benjamin-fries.de/hp/dls/vortrag_maxwell-tensor.pdf Vortrag über den Maxwell-Tensor] zu finden ist? Der aktuelle Link führt leider nicht zum Dokument.
--[[Benutzer:Pascal.vollmer.fr|Pascal.vollmer.fr]] ([[Benutzer Diskussion:Pascal.vollmer.fr|Diskussion]]) 23:26, 9. Jul. 2022 (CEST)

Wikipedia:Karlsruhe

2022-07-06T19:44:20Z

Pascal.vollmer.fr:

[[File:Badeenten - panoramio.jpg|thumb|'''Unser Erkennungszeichen''': Für Newcomer, Gäste und alle, die mal vorbeischauen wollen. Ihr erkennt den Stammtisch an einer Badeente.]]

[[Datei:Wimpel mit QR Code im Museum 01 (fcm).jpg|mini|hochkant|Unser geliebter alter Wimpel ist jetzt im [[Deutsches Technikmuseum Berlin|Museum]] (gerade mal 200 m weg vom [[Wikimedia Deutschland|WMDE]]-Sitz)!]]
{{Shortcut|WP:T/KA, WP:KA}}
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<div style="background-color: white; border:1px solid #000000; padding:5px; text-align:left; float:right; margin-left:5px; width:250px;">
'''Wikipedia-Terminkalender'''   [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vorlage:Wikipedia-Terminkalender&action=edit edit]
{{Wikipedia-Terminkalender|}}
</div></div>

{{Index-Treffen der Wikipedianer}}

Auf dem Karlsruher Wikipedia-Stammtisch, normalerweise an jedem ersten Donnerstag im Monat, treffen sich geneigte Wikipedia-Aktivisten und -Retirierte aus der Gegend.
[[Datei:Indianerbrunnen 01 (fcm).jpg|mini|hochkant|Der Indianer wirkt etwas ''zu''.]]

== Nächstes Treffen ==
=== 151. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 07. Juli 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Pizzeria '''Tropea''', Morgenstr. 22 (Ecke Luisenstr.)
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 15:58, 27. Jun. 2022 (CEST)
* MoreInput
* Hozro
* Miraki
* [[Benutzer:Pascal.vollmer.fr|Pascal Vollmer]]

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Pizza essen.

== Folgetermine ==
[[Datei:Coat of arms of Baden.svg|miniatur|hochkant|''Badischer Stammtisch'']]

* 152. Treffen am Donnerstag, den 04. August 2022
* 153. Treffen am Donnerstag, den 08. September 2022 (Termin nicht mitten in den Ferien)
* 154. Treffen am Donnerstag, den 06. Oktober 2022
* 155. Treffen am Donnerstag, den 10. November 2022 (Termin außerhalb der Ferien)
* 156. Treffen am Donnerstag, den 01. Dezember 2022

== Vergangene Treffen ==

=== 150. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 02. Juni 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Pizzeria '''Tropea''', Morgenstr. 22 (Ecke Luisenstr.)
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* MoreInput
* Hozro
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 22:52, 29. Mai 2022 (CEST)
* Miraki

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Neuen Treffpunkt testen.

=== 149. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 05. Mai 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 06:53, 29. Apr. 2022 (CEST)
* -- [[Benutzer:Miraki|Miraki]] ([[Benutzer Diskussion:Miraki|Diskussion]]) 07:48, 29. Apr. 2022 (CEST)
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]])
* MoreInput

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
[[Sein|Seiendes]] ist im Werden vergänglich und gewordenes Mögliches.

=== 148. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Mittwoch, den 06. April 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]])
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]])
* [[Benutzer:Kallewirsch]] mit [[Benutzer:Matthiasb]]
* Evtl. schaff ich es bis 19:00 oder noch etwa später. [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 19:51, 30. Mär. 2022 (CEST)

==== Eventuell ====
* -- [[Benutzer:1rhb/RHB|1rhb]] ([[Benutzer Diskussion:1rhb|Diskussion]]) 16:19, 5. Apr. 2022 (CEST)

==== Ohne wen am Donnerstag, den 07. April 2022 ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 23:36, 3. Mär. 2022 (CET) Bin beim Zahnarzt. Stammtisch wäre mir lieber.
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) klappt bei mir auch nicht. Verschieben?

:: Meinetwegen gerne verschieben. Terminlich ist es mir weitgehend wurscht. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 07:21, 23. Mär. 2022 (CET)

Ich habe auf den Mittwoch vorgezogen. Mittwoch war ja ohnehin mal der Tag für den Stammtisch.

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Die formale Korrektheit des Wikipedia-Artikels und besonderer Berücksichtigung des Halbgeviertstrichs. :-)

=== 147. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 03. März 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 22:17, 4. Feb. 2022 (CET)
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]]

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Die Sinnhaftigkeit des Seins in Anbetracht der Panoramafreiheit.

=== 146. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 03. Februar 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Ausgefallen mangels Teilnehmer.

=== 145. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 13. Januar 2022, 18:30 Uhr (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 17:30, 9. Jan. 2022 (CET)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

=== 144. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 02. Dezember 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 19:50, 28. Nov. 2021 (CET)

=== 143. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 11. November 2021''', '''18:30'''.

* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 13:18, 9. Okt. 2021 (CEST)
* [[Benutzer:Leniweni|Leniweni]] ([[Benutzer Diskussion:Leniweni|Diskussion]]) 22:17, 9. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 00:39, 11. Nov. 2021 (CET)--

==== Ohne wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST) Bin leider krank, '''kein''' Corona.

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

Unterstützung von Schulprojekten, die sich mit der Wikipedia befassen.

=== 142. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 7. Oktober 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
*[[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST)
*[[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 10:47, 3. Okt. 2021 (CEST)
*[[Benutzerin:PinguRia|PinguRia]] ([[Benutzerin Diskussion:PinguRia|Diskussion]]) 18:32, 4. Okt. 2021 (CEST)

==== Vielleicht ====
* [[Benutzer:Leniweni|Leniweni]] ([[Benutzer Diskussion:Leniweni|Diskussion]]) 13:33, 29. Sep. 2021 (CEST)

==== Programm ====

=== 141. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 2. September 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
*[[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST)
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]])

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

Termin kann bei Bedarf verschoben werden. Terminwünsche bitte hier angeben.

=== 140. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 29. Juli 2021''', '''18:30'''. (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
*[[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 21:44, 25. Jul. 2021 (CEST)
*  *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 21:33, 26. Jul. 2021 (CEST)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Tisch ist reserviert.

=== 139. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 10. Juni 2021''', '''18:30'''. (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

'''BNN vom 20.5.21'''

Restaurants dürfen wieder öffnen – und zwar innen wie außen. Zunächst allerdings nur bis 21 Uhr. '''Zudem ist der Zutritt, und zwar egal ob im Außen- oder Innenbereich, nur per Nachweis möglich: Vollständig geimpft, genesen oder mit negativem Schnelltest'''. '''Im Restaurant oder im Biergarten gelten die gültigen Kontaktbeschränkungen.'''

Wie im vergangenen Jahr müssen die Gastronomen die Kontakte ihrer Gäste dokumentieren, Tische müssen mindestens 1,5 Meter voneinander entfernt sein. Für den Innenbereich gilt: ein Gast pro 2,5 Quadratmeter.

:Nicht, dass ich Fachkraft für so was wäre (irgendwann im Winter hab ich aufgehört, mich für Vorschriften zu interessieren, die ohnehin nur 4 Tage gelten), aber wenn ich es richtig überblicke, müsste das alles einfacher werden, wenn die geheiligte Zahl paar Tage unter 50 lag. Das sollte in Karlsruhe ab nächste Woche der Fall sein. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 14:22, 29. Mai 2021 (CEST)

:: Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt unter 50:
::- Maximal 10 Personen aus 3 Haushalten
::- Vollständig Geimpfte zählen nicht mit [https://www.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/dateien/PDF/Coronainfos/210513_auf_einen_Blick.pdf]
:: Da ich ein "Vollständiger" bin, dürfen also außer mir noch drei weitere Gäste mit Test kommen und eine beliebige Anzahl vollständig Geimpfter. [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 21:54, 31. Mai 2021 (CEST)
:::Muss ich einen Schnelltest nachweisen? Wenn ja, wo bekomme ich den her? Die zweite Impfung bekomme ich leider erst Anfang Juli. --[[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) 21:16, 1. Jun. 2021 (CEST)
::: Ich bin noch auf der Suche nach einer Impfung ... [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 21:57, 1. Jun. 2021 (CEST)
::::Meine tolle Kollegin versorgt uns alle mit Terminen. Sie hat sogar für meine Frau und mich Termine am selben Tag bekommen. Wir mussten allerdings nach Stuttgart fahren. --[[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) 22:37, 1. Jun. 2021 (CEST)
::::Bin leider auch noch auf der Suche nach einer Impfung --[[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 23:26, 1. Jun. 2021 (CEST)
:::::[https://www.swr.de/swraktuell/baden-wuerttemberg/neue-coronaverordnung-wird-vorbereitet-100.html Landesregierung droht mit Änderung der Corona-Verordnung]. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 09:45, 2. Jun. 2021 (CEST)
::::::[https://www.swr.de/swraktuell/baden-wuerttemberg/karlsruhe/karlsruhe-unter-35-inzidenz-100.html Testpflicht in Außengastro entfällt ab Montag]. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 19:52, 4. Jun. 2021 (CEST)
Bekommen wir im Außenbereich auch einen Tisch? Ich könnte mir vorstellen, dass sich die Coronagelittenen um die paar Tische reißen werden. --[[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) 14:28, 9. Jun. 2021 (CEST)
: Ich schlage vor, wir treffen uns beim Wolfbräu um 18:30. Sollte kein Tisch frei sein, ziehen wir in den Alten Brauhof um, wo früher die Wiki-Treffen waren. Da ist eigentlich immer Platz im Biergarten und es sind nur ca. 10 Minuten zu Fuß. [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 15:02, 9. Jun. 2021 (CEST)
:: Reserviert Wolfbräu für 5 Personen draußen auf den Namen "Wikipedia" [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 19:50, 9. Jun. 2021 (CEST)
:::sehr gut 👍 --[[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 21:21, 9. Jun. 2021 (CEST)

==== Mit wem ====
# [[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) Wenn es die Pandemielage zulässt und mich jemand anstupst
# [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 20:58, 3. Apr. 2021 (CEST)
# [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 08:35, 4. Mai 2021 (CEST) Vielleicht ist bis dahin die Außengastronomie offen.
# .*[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 14:22, 29. Mai 2021 (CEST)
# [[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 22:42, 29. Mai 2021 (CEST) (lieber nur im Außenbereich)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

=== 138. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 25. März 2021''', '''18:30'''. (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

fällt aus.

==== Mit wem ====

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

=== 137. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 04. Februar 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

fällt aus

==== Mit wem ====

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

== Archiv ==

''Ältere Treffen findet man im [[Wikipedia:Karlsruhe/Archiv|Archiv]].''

{{Navigationsleiste Wikipedia-Treffen}}

[[Kategorie:Wikipedia:Treffen der Wikipedianer|Karlsruhe]]

Wikipedia:Karlsruhe

2022-07-06T19:43:34Z

Pascal.vollmer.fr:

[[File:Badeenten - panoramio.jpg|thumb|'''Unser Erkennungszeichen''': Für Newcomer, Gäste und alle, die mal vorbeischauen wollen. Ihr erkennt den Stammtisch an einer Badeente.]]

[[Datei:Wimpel mit QR Code im Museum 01 (fcm).jpg|mini|hochkant|Unser geliebter alter Wimpel ist jetzt im [[Deutsches Technikmuseum Berlin|Museum]] (gerade mal 200 m weg vom [[Wikimedia Deutschland|WMDE]]-Sitz)!]]
{{Shortcut|WP:T/KA, WP:KA}}
<div style="float:right; width:280px;">
<div style="background-color: white; border:1px solid #000000; padding:5px; text-align:left; float:right; margin-left:5px; width:250px;">
'''Wikipedia-Terminkalender'''   [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vorlage:Wikipedia-Terminkalender&action=edit edit]
{{Wikipedia-Terminkalender|}}
</div></div>

{{Index-Treffen der Wikipedianer}}

Auf dem Karlsruher Wikipedia-Stammtisch, normalerweise an jedem ersten Donnerstag im Monat, treffen sich geneigte Wikipedia-Aktivisten und -Retirierte aus der Gegend.
[[Datei:Indianerbrunnen 01 (fcm).jpg|mini|hochkant|Der Indianer wirkt etwas ''zu''.]]

== Nächstes Treffen ==
=== 151. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 07. Juli 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Pizzeria '''Tropea''', Morgenstr. 22 (Ecke Luisenstr.)
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 15:58, 27. Jun. 2022 (CEST)
* MoreInput
* Hozro
* Miraki
* [[Benutzer:Pascal.vollmer.fr]]

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Pizza essen.

== Folgetermine ==
[[Datei:Coat of arms of Baden.svg|miniatur|hochkant|''Badischer Stammtisch'']]

* 152. Treffen am Donnerstag, den 04. August 2022
* 153. Treffen am Donnerstag, den 08. September 2022 (Termin nicht mitten in den Ferien)
* 154. Treffen am Donnerstag, den 06. Oktober 2022
* 155. Treffen am Donnerstag, den 10. November 2022 (Termin außerhalb der Ferien)
* 156. Treffen am Donnerstag, den 01. Dezember 2022

== Vergangene Treffen ==

=== 150. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 02. Juni 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Pizzeria '''Tropea''', Morgenstr. 22 (Ecke Luisenstr.)
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* MoreInput
* Hozro
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 22:52, 29. Mai 2022 (CEST)
* Miraki

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Neuen Treffpunkt testen.

=== 149. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 05. Mai 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 06:53, 29. Apr. 2022 (CEST)
* -- [[Benutzer:Miraki|Miraki]] ([[Benutzer Diskussion:Miraki|Diskussion]]) 07:48, 29. Apr. 2022 (CEST)
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]])
* MoreInput

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
[[Sein|Seiendes]] ist im Werden vergänglich und gewordenes Mögliches.

=== 148. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Mittwoch, den 06. April 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]])
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]])
* [[Benutzer:Kallewirsch]] mit [[Benutzer:Matthiasb]]
* Evtl. schaff ich es bis 19:00 oder noch etwa später. [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 19:51, 30. Mär. 2022 (CEST)

==== Eventuell ====
* -- [[Benutzer:1rhb/RHB|1rhb]] ([[Benutzer Diskussion:1rhb|Diskussion]]) 16:19, 5. Apr. 2022 (CEST)

==== Ohne wen am Donnerstag, den 07. April 2022 ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 23:36, 3. Mär. 2022 (CET) Bin beim Zahnarzt. Stammtisch wäre mir lieber.
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) klappt bei mir auch nicht. Verschieben?

:: Meinetwegen gerne verschieben. Terminlich ist es mir weitgehend wurscht. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 07:21, 23. Mär. 2022 (CET)

Ich habe auf den Mittwoch vorgezogen. Mittwoch war ja ohnehin mal der Tag für den Stammtisch.

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Die formale Korrektheit des Wikipedia-Artikels und besonderer Berücksichtigung des Halbgeviertstrichs. :-)

=== 147. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 03. März 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 22:17, 4. Feb. 2022 (CET)
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]]

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Die Sinnhaftigkeit des Seins in Anbetracht der Panoramafreiheit.

=== 146. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 03. Februar 2022, 18:30 Uhr
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Ausgefallen mangels Teilnehmer.

=== 145. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' Donnerstag, den 13. Januar 2022, 18:30 Uhr (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 17:30, 9. Jan. 2022 (CET)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

=== 144. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 02. Dezember 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 09:06, 28. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 19:50, 28. Nov. 2021 (CET)

=== 143. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 11. November 2021''', '''18:30'''.

* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 13:18, 9. Okt. 2021 (CEST)
* [[Benutzer:Leniweni|Leniweni]] ([[Benutzer Diskussion:Leniweni|Diskussion]]) 22:17, 9. Nov. 2021 (CET)
* [[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 00:39, 11. Nov. 2021 (CET)--

==== Ohne wem ====
* [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST) Bin leider krank, '''kein''' Corona.

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

Unterstützung von Schulprojekten, die sich mit der Wikipedia befassen.

=== 142. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 7. Oktober 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
*[[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST)
*[[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 10:47, 3. Okt. 2021 (CEST)
*[[Benutzerin:PinguRia|PinguRia]] ([[Benutzerin Diskussion:PinguRia|Diskussion]]) 18:32, 4. Okt. 2021 (CEST)

==== Vielleicht ====
* [[Benutzer:Leniweni|Leniweni]] ([[Benutzer Diskussion:Leniweni|Diskussion]]) 13:33, 29. Sep. 2021 (CEST)

==== Programm ====

=== 141. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 2. September 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
*[[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST)
* [[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]])

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

Termin kann bei Bedarf verschoben werden. Terminwünsche bitte hier angeben.

=== 140. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 29. Juli 2021''', '''18:30'''. (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

==== Mit wem ====
*[[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 12:03, 11. Jun. 2021 (CEST)
* [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 21:44, 25. Jul. 2021 (CEST)
*  *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 21:33, 26. Jul. 2021 (CEST)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====
Tisch ist reserviert.

=== 139. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 10. Juni 2021''', '''18:30'''. (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

'''BNN vom 20.5.21'''

Restaurants dürfen wieder öffnen – und zwar innen wie außen. Zunächst allerdings nur bis 21 Uhr. '''Zudem ist der Zutritt, und zwar egal ob im Außen- oder Innenbereich, nur per Nachweis möglich: Vollständig geimpft, genesen oder mit negativem Schnelltest'''. '''Im Restaurant oder im Biergarten gelten die gültigen Kontaktbeschränkungen.'''

Wie im vergangenen Jahr müssen die Gastronomen die Kontakte ihrer Gäste dokumentieren, Tische müssen mindestens 1,5 Meter voneinander entfernt sein. Für den Innenbereich gilt: ein Gast pro 2,5 Quadratmeter.

:Nicht, dass ich Fachkraft für so was wäre (irgendwann im Winter hab ich aufgehört, mich für Vorschriften zu interessieren, die ohnehin nur 4 Tage gelten), aber wenn ich es richtig überblicke, müsste das alles einfacher werden, wenn die geheiligte Zahl paar Tage unter 50 lag. Das sollte in Karlsruhe ab nächste Woche der Fall sein. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 14:22, 29. Mai 2021 (CEST)

:: Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt unter 50:
::- Maximal 10 Personen aus 3 Haushalten
::- Vollständig Geimpfte zählen nicht mit [https://www.baden-wuerttemberg.de/fileadmin/redaktion/dateien/PDF/Coronainfos/210513_auf_einen_Blick.pdf]
:: Da ich ein "Vollständiger" bin, dürfen also außer mir noch drei weitere Gäste mit Test kommen und eine beliebige Anzahl vollständig Geimpfter. [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 21:54, 31. Mai 2021 (CEST)
:::Muss ich einen Schnelltest nachweisen? Wenn ja, wo bekomme ich den her? Die zweite Impfung bekomme ich leider erst Anfang Juli. --[[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) 21:16, 1. Jun. 2021 (CEST)
::: Ich bin noch auf der Suche nach einer Impfung ... [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 21:57, 1. Jun. 2021 (CEST)
::::Meine tolle Kollegin versorgt uns alle mit Terminen. Sie hat sogar für meine Frau und mich Termine am selben Tag bekommen. Wir mussten allerdings nach Stuttgart fahren. --[[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) 22:37, 1. Jun. 2021 (CEST)
::::Bin leider auch noch auf der Suche nach einer Impfung --[[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 23:26, 1. Jun. 2021 (CEST)
:::::[https://www.swr.de/swraktuell/baden-wuerttemberg/neue-coronaverordnung-wird-vorbereitet-100.html Landesregierung droht mit Änderung der Corona-Verordnung]. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 09:45, 2. Jun. 2021 (CEST)
::::::[https://www.swr.de/swraktuell/baden-wuerttemberg/karlsruhe/karlsruhe-unter-35-inzidenz-100.html Testpflicht in Außengastro entfällt ab Montag]. *[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 19:52, 4. Jun. 2021 (CEST)
Bekommen wir im Außenbereich auch einen Tisch? Ich könnte mir vorstellen, dass sich die Coronagelittenen um die paar Tische reißen werden. --[[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) 14:28, 9. Jun. 2021 (CEST)
: Ich schlage vor, wir treffen uns beim Wolfbräu um 18:30. Sollte kein Tisch frei sein, ziehen wir in den Alten Brauhof um, wo früher die Wiki-Treffen waren. Da ist eigentlich immer Platz im Biergarten und es sind nur ca. 10 Minuten zu Fuß. [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 15:02, 9. Jun. 2021 (CEST)
:: Reserviert Wolfbräu für 5 Personen draußen auf den Namen "Wikipedia" [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 19:50, 9. Jun. 2021 (CEST)
:::sehr gut 👍 --[[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 21:21, 9. Jun. 2021 (CEST)

==== Mit wem ====
# [[Benutzer:Eschenmoser|Eschenmoser]] ([[Benutzer Diskussion:Eschenmoser|Diskussion]]) Wenn es die Pandemielage zulässt und mich jemand anstupst
# [[Benutzer:MoreInput|MoreInput]] ([[Benutzer Diskussion:MoreInput|Diskussion]]) 20:58, 3. Apr. 2021 (CEST)
# [[Benutzer:Caroline Maybach|Caroline Maybach]] ([[Benutzer Diskussion:Caroline Maybach|Diskussion]]) 08:35, 4. Mai 2021 (CEST) Vielleicht ist bis dahin die Außengastronomie offen.
# .*[[Benutzer:Hozro|Hozro]] ([[Benutzer Diskussion:Hozro|Diskussion]]) 14:22, 29. Mai 2021 (CEST)
# [[Benutzer:BlauerBaum|BlauerBaum]] ([[Benutzer Diskussion:BlauerBaum|Diskussion]]) 22:42, 29. Mai 2021 (CEST) (lieber nur im Außenbereich)

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

=== 138. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 25. März 2021''', '''18:30'''. (Termin außerhalb der Ferien)
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

fällt aus.

==== Mit wem ====

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

=== 137. Wikipedia:Karlsruhe-Treffen ===

* '''Termin:''' '''Donnerstag, den 04. Februar 2021''', '''18:30'''.
* '''Ort:''' Karlsruhe, Wirtshaus '''Wolfbräu''' am Werderplatz ([[Indianerbrunnen]])
* [[Tres faciunt collegium]]!

fällt aus

==== Mit wem ====

==== Vielleicht ====

==== Programm ====

== Archiv ==

''Ältere Treffen findet man im [[Wikipedia:Karlsruhe/Archiv|Archiv]].''

{{Navigationsleiste Wikipedia-Treffen}}

[[Kategorie:Wikipedia:Treffen der Wikipedianer|Karlsruhe]]

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2022-07-05T16:57:55Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
One of the principal ideas of geometric mechanics is ''reduction'', which goes back to Jacobi's elimination of the node in the 3-body problem, but in its modern form is due to K. Meyer (1973) and independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), both inspired by the work of Smale (1970). Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Applications ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Flüssigkristalle — siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* [[Magnetohydrodynamik]]
* [[Molekülschwingung]]
* Nicht-holonome Zwangsbedingungen; siehe Bloch (2015)
* Stabilität nichtlineare Systeme
* [[Plasma (Physik)|Plasmen]]; siehe Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* [[Quantenmechanik]]
* [[Quantenchemie]]; siehe [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* [[Suprafluidität]]
* [[Bewegungsplanung]]
* [[Unbemannte Unterwasserfahrzeuge]]
* [[Numerische Integratoren]] für Hamilton'sche Systzeme; siehe [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
</nowiki>

Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2022-07-05T16:45:18Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
One of the principal ideas of geometric mechanics is ''reduction'', which goes back to Jacobi's elimination of the node in the 3-body problem, but in its modern form is due to K. Meyer (1973) and independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), both inspired by the work of Smale (1970). Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Applications ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Liquid Crystals — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* Magnetohydrodynamics
* Molecular oscillations
* Nonholonomic constraints — see Bloch (2003)
* Nonlinear stability
* Plasmas — see Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* Quantum mechanics
* Quantum chemistry — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* Superfluids
* Trajectory planning for space exploration
* Underwater vehicles
* Variational integrators; see [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony M. | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
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Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2022-07-05T16:44:17Z

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Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
One of the principal ideas of geometric mechanics is ''reduction'', which goes back to Jacobi's elimination of the node in the 3-body problem, but in its modern form is due to K. Meyer (1973) and independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), both inspired by the work of Smale (1970). Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Applications ==
* Computergrafik
* Regelungstechnik; siehe Bloch (2015)
* Liquid Crystals — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* Magnetohydrodynamics
* Molecular oscillations
* Nonholonomic constraints — see Bloch (2003)
* Nonlinear stability
* Plasmas — see Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* Quantum mechanics
* Quantum chemistry — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* Superfluids
* Trajectory planning for space exploration
* Underwater vehicles
* Variational integrators; see [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2015 | edition=2 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
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Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

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{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
One of the principal ideas of geometric mechanics is ''reduction'', which goes back to Jacobi's elimination of the node in the 3-body problem, but in its modern form is due to K. Meyer (1973) and independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), both inspired by the work of Smale (1970). Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der [[Impulsabbildung]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Applications ==
* Computer graphics
* Control theory — see Bloch (2003)
* Liquid Crystals — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* Magnetohydrodynamics
* Molecular oscillations
* Nonholonomic constraints — see Bloch (2003)
* Nonlinear stability
* Plasmas — see Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* Quantum mechanics
* Quantum chemistry — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* Superfluids
* Trajectory planning for space exploration
* Underwater vehicles
* Variational integrators; see [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2003 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
<nowiki>
[[Category:Classical mechanics]]
[[Category:Hamiltonian mechanics]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Symplectic geometry]]
[[Category:Lagrangian mechanics]]
[[Category:Variational principles]]
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Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

2022-07-03T17:12:25Z

Pascal.vollmer.fr:

{{Importartikel}}

Die '''Geometrische Mechanik''' ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der [[Differentialgeometrie]] auf verschiedene Bereiche der [[Mechanik]] angewendet werden: von der [[Punktmechanik]] über die [[Starrer Körper|Mechanik starrer Körper]] bis zur [[Strömungsmechanik]] und zur [[Regelungstechnik]].

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet, deren [[Konfigurationsraum]] eine [[Lie-Gruppe]] oder eine Gruppe von [[Diffeomorphismus|Diffeomorphismen]] ist, oder allgemeiner, bei denen ein Aspekt des Konfigurationsraums diese Gruppenstruktur besitzt. Zum Beispiel ist der Konfigurationsraum eines Satelliten die [[Bewegung_(Mathematik)#Die_Bewegungsgruppe|Bewegungsgruppe]], bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum. Der Konfigurationsraum eines [[Flüssigkristall|Flüssigkristalls]] ist die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

== Momentum map and reduction ==
One of the principal ideas of geometric mechanics is ''reduction'', which goes back to Jacobi's elimination of the node in the 3-body problem, but in its modern form is due to K. Meyer (1973) and independently [[Jerrold E. Marsden|J.E. Marsden]] and [[Alan David Weinstein|A. Weinstein]] (1974), both inspired by the work of Smale (1970). Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem [[Noether-Theorem]] eine entsprechende [[Erhaltungsgröße]]. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der >>> [[momentum map]] '''J'''. If ''P'' is the phase space and ''G'' the symmetry group, the momentum map is a map <math>\mathbf{J}:P\to\mathfrak{g}^*</math>, and the reduced spaces are quotients of the level sets of '''J''' by the subgroup of ''G'' preserving the level set in question: for <math>\mu\in\mathfrak{g}^*</math> one defines <math>P_\mu=\mathbf{J}^{-1}(\mu)/G_\mu</math>, and this reduced space is a symplectic manifold if <math>\mu</math> is a regular value of ''J''.

==Variational principles ==
{{Empty section|date=January 2014}}
* [[Hamilton's principle]]
* [[D'Alembert's principle|Lagrange d'Alembert principle]]
* Maupertuis
* Euler–Poincaré
* Vakonomic

== Geometric integrators ==
One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods.
In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

== History ==
The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.<ref>Sébastien Maronne, Marco Panza. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00415933/document "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis".] In: Raffaelle Pisano. ''Newton, History and Historical Epistemology of Science'', 2014, pp. 12–21.</ref>

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by [[Vladimir Arnold]] (1966), [[Stephen Smale]] (1970) and [[Jean-Marie Souriau]] (1970), and the first edition of [[Ralph Abraham (mathematician)|Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden|Marsden]]'s ''Foundation of Mechanics'' (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of ''Foundations of Mechanics'' (Abraham and Marsden, 1978).

== Applications ==
* Computer graphics
* Control theory — see Bloch (2003)
* Liquid Crystals — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-013-0673-1 Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013)]
* Magnetohydrodynamics
* Molecular oscillations
* Nonholonomic constraints — see Bloch (2003)
* Nonlinear stability
* Plasmas — see Holm, Marsden, Weinstein (1985)
* Quantum mechanics
* Quantum chemistry — see [https://link.springer.com/article/10.1007/s10440-019-00257-1 Foskett, Holm, Tronci (2019)]
* Superfluids
* Trajectory planning for space exploration
* Underwater vehicles
* Variational integrators; see [https://doi.org/10.1017/S096249290100006X Marsden and West (2001)]

== Einzelnachweise ==
<references />
*{{Citation | last1=Abraham | first1=Ralph| author1-link=Ralph Abraham (mathematician) | last2=Marsden | first2=Jerrold E.| author2-link=Jerrold E. Marsden | title=Foundations of Mechanics| year=1978 | edition=2nd| publisher=Addison-Wesley}}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits | journal=Annales de l'Institut Fourier | volume=16| pages=319–361 | year=1966 | doi=10.5802/aif.233| url=http://www.numdam.org/article/AIF_1966__16_1_319_0.pdf | doi-access=free }}
*{{Citation | last=Arnold | first=Vladimir | author-link=Vladimir Arnold | title=Mathematical Methods for Classical Mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1978}}
*{{cite book | last=Bloch | first=Anthony | title=Nonholonomic Mechanics and Control | publisher=Springer-Verlag | year=2003 }}
*{{cite journal |last1=Foskett |first1=Michael S. |last2=Holm |first2=Darryl D.| last3=Tronci|first3=Cesare |title=Geometry of Nonadiabatic Quantum Hydrodynamics |journal=Acta Applicandae Mathematicae |year=2019 |volume=162 |issue=1 |pages=63–103 |doi= 10.1007/s10440-019-00257-1|arxiv=1807.01031}}
*{{cite journal|last1=Gay-Balmaz|first1=Francois|last2=Ratiu|first2=Tudor|author2-link=Tudor Ratiu| last3=Tronci|first3=Cesare|title=Equivalent Theories of Liquid Crystal Dynamics| journal=Arch. Ration. Mech. Anal. |volume=210|year=2013|issue=3|pages= 773–811|doi=10.1007/s00205-013-0673-1|arxiv=1102.2918|bibcode=2013ArRMA.210..773G}}
*{{cite journal| last1=Holm|first1=Darryl D.|last2=Marsden|first2=Jerrold E.|author2-link=Jerrold E. Marsden|last3=Ratiu|first3=Tudor S.|author3-link=Tudor Ratiu|last4=Weinstein|first4=Alan| author4-link=Alan Weinstein|title=Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria|journal=Physics Reports|volume=123|year=1985|issue=1–2|pages=1–116|doi=10.1016/0370-1573(85)90028-6|bibcode=1985PhR...123....1H|url=http://infoscience.epfl.ch/record/129451}}
*{{cite book| last1=Libermann| first1=Paulette| author1-link=Paulette Libermann| last2=Marle| first2=Charles-Michel| title=Symplectic geometry and analytical mechanics| series=Mathematics and its Applications| volume=35| publisher=D. Reidel| location=Dordrecht| year=1987| isbn=90-277-2438-5| doi=10.1007/978-94-009-3807-6| url-access=registration| url=https://archive.org/details/symplecticgeomet0000libe}}
*{{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Weinstein| first2=Alan | author2-link=Alan Weinstein| title=Reduction of Symplectic Manifolds with Symmetry | journal=Reports on Mathematical Physics | year=1974 | pages=121–130 | volume=5 | issue=1 | doi=10.1016/0034-4877(74)90021-4| bibcode=1974RpMP....5..121M}}
*{{cite book| last1=Marsden | first1=Jerrold | author1-link=Jerrold E. Marsden| last2=Ratiu | first2=Tudor S. | author2-link=Tudor Ratiu| title=Introduction to mechanics and symmetry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | series=Texts in Applied Mathematics | year=1999 | edition=2| isbn=0-387-98643-X}}
*{{Cite book | last=Meyer|first=Kenneth|chapter=Symmetries and integrals in mechanics |title=Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971)|year=1973|pages=259–272|publisher=Academic Press|location=New York}}
*{{cite book| last1=Ortega| first1=Juan-Pablo|last2=Ratiu| first2=Tudor S.| author2-link=Tudor Ratiu| title=Momentum maps and Hamiltonian reduction|publisher = Birkhauser Boston|series=Progress in Mathematics|volume = 222|year = 2004|isbn = 0-8176-4307-9}}
*{{Citation | last=Smale | first=Stephen | author-link=Stephen Smale| title=Topology and Mechanics I | journal=Inventiones Mathematicae | year=1970 | pages=305–331 | doi= 10.1007/bf01418778| volume=10| issue=4 | bibcode=1970InMat..10..305S}}
*{{Citation | last=Souriau | first=Jean-Marie | author-link=Jean-Marie Souriau | title=Structure des Systemes Dynamiques | publisher=Dunod | year=1970}}
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