Bernoulli-Zahl

2012-09-22T06:35:49Z

Mathdata: /* Weblinks */

Die '''Bernoulli-Zahlen''' oder '''bernoullischen Zahlen''' ''<math>B_n</math>'' sind eine Folge [[Rationale Zahlen|rationaler Zahlen]], die in der [[Mathematik]] in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungs[[Koeffizient#Mathematik|koeffizienten]] [[Trigonometrie|trigonometrischer]], [[Hyperbel (Mathematik)|hyperbolischer]] und anderer [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], in der [[Euler-Maclaurin-Formel]], und in der [[Zahlentheorie]] in Zusammenhang mit der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen Zetafunktion]]. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker [[Jakob I. Bernoulli|Jakob Bernoulli]] wurde von [[Abraham de Moivre]] eingeführt.

== Definition ==

''Achtung:'' In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert, die im Folgenden zur Unterscheidung <math>B_n</math> bzw. <math>\beta_n</math> geschrieben werden!

Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als [[Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] der [[Erzeugende Funktion|erzeugenden Funktion]] <math>\tfrac{x}{e^x-1}</math> eingeführt. Die [[Reihenentwicklung]]
:<math>\begin{align}
\frac{x}{e^x-1} &= 1 - {x\over 2} + B_1 {x^2\over 2!} - B_2{x^4\over 4!} \pm \cdots + {(-1)}^{n+1} B_n {x^{2n}\over (2n)!}\pm \cdots \\
&= \beta_0 {x^0\over 0!} + \beta_1 {x\over 1!} + \beta_2 {x^2\over 2!} + \cdots + \beta_n {x^{n}\over n!} + \cdots
\end{align}</math>
konvergiert für alle <math>x</math> mit einem Betrag kleiner als <math>2\pi</math>.

Bernoulli selbst entdeckte diese Zahlen bei der Summation von [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] [[natürliche Zahl|natürlicher Zahlen]], z. B.:

:<math>\begin{align}
1 + 2 + \cdots + (n-1) &= \tfrac12 (n-1) n \\
1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 &= \tfrac16 n (n-1) (2n -1)
\end{align}</math>

Bei der Summation der <math>k</math>-ten Potenzen ist der [[Koeffizient]] des linearen Gliedes des [[Polynom]]s auf der rechten Seiten gleich <math>\beta_k</math>.

== Zahlenwerte ==

Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten: ''<math>B_1</math>, <math>B_2</math>, <math>B_3</math>, … = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, …''
Diese Zahlen finden sich beispielsweise in der [[Reihenentwicklung]] des [[Tangens]], des [[Tangens Hyperbolicus]] oder des [[Cosecans]] wieder.

In der alternativen Definition ist ''β0 = 1'' und ''β1 = − 1/2''; alle weiteren ''<math>\beta</math>'' mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: <math>\beta_{2n+1} = 0</math>.

Die ''<math>\beta</math>'' mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den ''<math>B_n</math>'' gemäß <math>B_n = (-1)^{n+1}\beta_{2n}</math> als ''<math>\beta_2</math>, <math>\beta_4</math>, <math>\beta_6</math>, … = 1/6, − 1/30, 1/42, − 1/30, 5/66, …''

Auch wenn die Folge-''<math>\beta_n</math>'' zunächst kleine Zahlenwerte annimmt, geht ''<math>|\beta_n|</math>'' doch schneller gegen Unendlich als ''<math>e^n</math>''. So ist
:<math>\beta_{100} \approx -2,838 \cdot 10^{78}</math> bzw. <math>\beta_{1000} \approx -5,319 \cdot 10^{1769}</math>.

== Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen ==

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die klassischen (im o. g. Sinne) Bernoulli-Zahlen:

:<math>\begin{align}
B_n &= \frac{ (2n)!} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ k^{2n}} \\
&= \frac{2 \cdot (2n)!}{(2^{2n}-1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ (2k + 1) ^{2n}} \\
&= \frac{(2n)!} {(2^{2n - 1} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{ k^{2n}}
\end{align}</math>

== Produktentwicklung für Bernoulli-Zahlen ==
Aus den Reihenentwicklungen geht die folgende Produktentwicklung der Bernoulli-Zahlen hervor:

:<math> B_n = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \ \cdot \prod_{p \ \mathrm{prim}} \left( 1 - \frac{1}{p^{2n}} \right)^{-1} = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \ \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{3^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{5^{2n}} \right) \cdots}. </math>

Hierbei erstreckt sich das Produkt über alle [[Primzahl|Primzahlen]] (siehe [[Eulerprodukt]]).

== Rekursionsformel ==

Setzt man ''β0 = 1'' und ''β1 = − 1/2'', so ergeben sich die Bernoulli-Zahlen ''<math>\beta_k</math>'' aus der [[Rekursion]]<nowiki>sformel</nowiki>:
:<math>\sum_{k=0}^n {n + 1\choose k}\beta_k = 0</math>
Für ungerade Zahlen ''n ≥ 3'' gilt ''βn = 0''

== Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome ==

Die '''Bernoulli-Polynome''' sind eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] von <math>B_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}</math> und durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert: Für <math>n = 0</math> setzen wir

:<math>B_0(x) := 1</math>

und für <math>n \geq 1</math> ergibt sich das <math>n</math>-te Bernoulli-Polynom <math>B_n</math> eindeutig durch die beiden Bedingungen

:<math>\frac{d}{dx}B_n(x) = n \cdot B_{n-1}(x)</math>

und

:<math>\int_0^1 B_n(x) \, dx = 0.</math>

Als Summe geschrieben lautet der Ausdruck für das <math>n</math>-te Polynom:

:<math>B_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}\beta_k\,x^{n-k}.</math>

Die ersten drei Polynome lauten somit:

:<math>B_1(x) = x-\frac{1}{2}</math>

:<math>B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}</math>

:<math>B_3(x) = x^3 -\frac{3}{2}x^2 +\frac{1}{2}x.</math>

Die konstanten [[Term]]e dieser Polynome stehen in direktem Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen, denn es sind gerade die Bernoulli-Zahlen <math>\beta_n</math>.

== Literatur ==
* [[Jakob I. Bernoulli|Jakob Bernoulli]]: ''[[Ars conjectandi]], opus posthumum'' (Kunst des Vermutens, hinterlassenes Werk), Basileæ (Basel) 1713 (lateinisch)
* [[Julius Worpitzky]]: ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002158698 Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen]'', Crelles Journal 94, 1883, S. 203–232
* [[Jürgen Neukirch]]: ''Algebraische Zahlentheorie'', Springer-Verlag, 1992
* Kenneth F. Ireland, [[Michael Rosen (Mathematiker)|Michael Rosen]]: ''A Classical Introduction to Modern Number Theory'', Graduate Texts in Mathematics, vol. 84, Springer–Verlag, 2. Auflage 1990

== Siehe auch ==
* [[Ada Lovelace]]

== Weblinks ==
* [http://www.gutenberg.org/dirs/etext01/brnll10.txt Die ersten 498 Bernoulli-Zahlen] als [[Project Gutenberg|Projekt-Gutenberg]]-e-Text.
* [http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/potenzsummen.pdf Helmut Richter, Bernhard Schiekel: ''Potenzsummen, Bernoulli-Zahlen und Euler’sche Summenformel''] (PDF-Datei; 212 kB)
* Hamid Naderi Yeganeh, [http://archive.org/details/bernoulli-number Näherungen für Bernoulli-Zahlen]—archive.org.
* [http://www.mscs.dal.ca/~dilcher/bernoulli.html Bibliographie für Bernoullizahlen (engl.)]
* [http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html Weisstein, Eric W.: ''Bernoulli Number'' in: MathWorld]

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

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[[es:Número de Bernoulli]]
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