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Benutzer:InvertedRepeat

2019-04-21T12:09:58Z

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Gewöhnliche Differentialgleichung

2019-04-21T12:08:20Z

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Eine '''gewöhnliche Differentialgleichung''' (oft abgekürzt mit '''GDGL''' oder '''ODE''', englisch ''ordinary differential equation'') ist eine [[Differentialgleichung]], bei der zu einer gesuchten Funktion nur Ableitungen nach genau einer Variablen auftreten.

Die meisten dynamischen Vorgänge in unserer realen Welt wie Bewegung, Zerfall, Änderung usw. können als ein mathematisches Modell oder als ein [[dynamisches System]] mit mindestens einem Eingang und mindestens einem Ausgang durch eine Differentialgleichung definiert werden. Alternativ kann das Modell je nach Aufgabenstellung anstelle eines Systemeingangs durch Anfangswerte ([[Anfangswertproblem]]) oder Randwerte ([[Randwertproblem]]) bestimmt werden.

Viele [[physik]]alische, [[Chemie|chemische]] und [[Biologie|biologische]] Vorgänge in der Natur lassen sich mit solchen Gleichungen mathematisch beschreiben, z. B. der [[Radioaktivität|radioaktive Zerfall]], Bewegungsvorgänge von Körpern, viele Arten von [[Schwingung#Linear gedämpfte Schwingung|Schwingungsvorgängen]] oder das Wachstumsverhalten von Tier-[[Population (Biologie)|Populationen]]. In [[naturwissenschaft]]lichen [[Modell]]en werden gewöhnliche Differentialgleichungen daher häufig eingesetzt, um solche Vorgänge zu analysieren, zu [[Simulation|simulieren]] oder um [[Vorhersage]]n abgeben zu können.

Es werden einige Beispiele mit verschiedenen Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten gezeigt.

Nicht alle Differentialgleichungen von Modellen sind [[Analysis|analytisch]] lösbar. Jedoch kann häufig mittels der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] eine gute Annäherung an die analytische Funktion erreicht werden.

== Historische Entwicklung ==
Historisch gesehen wurden die ersten Differentialgleichungen verwendet, um die Bewegung von Objekten zu modellieren. Besonders hervorzuheben sind dabei die Gleichungen für die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit bzw. konstanter Beschleunigung. Im Jahr [[1590]] erkannte [[Galileo Galilei]] den Zusammenhang zwischen der Fallzeit eines Körpers und seiner Fallgeschwindigkeit sowie dem Fallweg und formulierte (noch) mit geometrischen Mitteln das [[Freier Fall|Gesetz des freien Falles]].

Als [[Isaac Newton]] auch Bewegungen mit Reibungen betrachtete, die zum Betrag oder zum Quadrat der Geschwindigkeit proportional sind, war er genötigt, die Differentialrechnung und den heute geläufigen Formalismus der Differentialgleichungen einzuführen.

Durch die exakte Formulierung des [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertbegriffes]], der [[Differentialrechnung|Ableitung]] und des [[Integralrechnung|Integrals]] stellte schließlich [[Augustin Louis Cauchy]] im 19. Jahrhundert die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein festes Fundament und machte sie somit vielen Wissenschaften zugänglich.

Das wissenschaftliche Interesse an Differentialgleichungen ist im Wesentlichen darin begründet, dass mit ihnen auf Grund vergleichsweise einfacher Beobachtungen und Experimente vollständige Modelle geschaffen werden können.

Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen. Trotzdem lassen sich qualitative Aussagen wie [[Stabilitätstheorie|Stabilität]], [[Periodizität (Mathematik)|Periodizität]] oder [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] auch dann treffen, wenn die Differentialgleichung nicht explizit gelöst werden kann. Eines der wichtigsten Hilfsmittel für skalare Differentialgleichungen sind Argumente mittels eines [[Vergleichssatz]]es.

== Allgemeine Definition ==

Seien <math>\Omega \subseteq \R \times \left(\R^m\right)^{n+1}, n\in\N</math> und <math>f\colon\Omega\to\R^m</math> eine stetige Funktion. Dann heißt
:<math>f\left(x,y,y',y'',\dotsc,y^{(n)}\right)=0</math>
ein ''gewöhnliches Differentialgleichungssystem'' <math>n</math>-ter Ordnung von <math>m</math> Gleichungen (<math>x</math> ist hier die unabhängige Variable, <math>y'=\tfrac{dy}{dx}</math> usw.). Im Fall <math>m=1</math> nennt man dies eine ''gewöhnliche Differentialgleichung'' <math>n</math>-ter Ordnung.

Ihre [[Lösung (Mathematik)|Lösungen]] sind <math>n</math>-mal differenzierbare Funktionen <math>y\colon I\to\R^m</math>, welche die Differentialgleichung auf einem zu bestimmenden Intervall <math>I\subset\R</math> erfüllen. Sucht man eine spezielle Lösung, welche zu gegebenen <math>x_0 \in I</math> und <math>y_0, \dotsc, y_{n-1} \in \R^m</math> zusätzlich
:<math>y(x_0) = y_0,\;y'(x_0) = y_1, \dotsc, y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}</math>
erfüllt, so bezeichnet man dies als [[Anfangswertproblem]].

Kann die Differentialgleichung nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden und hat somit die Form
:<math>y^{(n)} = f\left(x,y,y',y'',\dotsc,y^{(n-1)}\right)</math>,
so heißt sie ''explizit'', andernfalls ''implizit''; siehe auch [[Satz von der impliziten Funktion]].

=== Existenz und Eindeutigkeit ===

Ob überhaupt eine Lösung existiert, lässt sich anhand einiger Kriterien erkennen. Die Differentialgleichung selbst reicht im Allgemeinen nicht aus, um die Lösung eindeutig zu bestimmen.

Beispielsweise ist der grundsätzliche Bewegungsablauf aller schwingenden Pendel gleich und kann durch eine einzige Differentialgleichung beschrieben werden. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die ''[[Randbedingung|Rand]]- oder [[Anfangsbedingung]](en)'' (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie groß ist die Anfangsauslenkung) bestimmt.

Die lokale Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung wird durch den [[Satz von Picard-Lindelöf]] und den [[Satz von Peano]] beschrieben. Aus der Existenz einer lokalen Lösung kann man in einem zweiten Schritt auf die Existenz einer [[nicht-fortsetzbare Lösung|nicht-fortsetzbaren Lösung]] schließen. Mit Hilfe des [[nicht-fortsetzbare Lösung|Satzes vom maximalen Existenzintervall]] kann man darauf aufbauend von dieser nicht-fortsetzbaren Lösung dann gelegentlich Globalität nachweisen. Die Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der [[grönwallsche Ungleichung|grönwallschen Ungleichung]].

=== Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung ===

Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen. Hat eine gewöhnliche Differentialgleichung die Ordnung <math>n</math>, so führt man dazu die voneinander abhängigen Funktionen <math>y_1, y_2, \dotsc, y_n</math> ein:
:<math>\begin{align}
y_1 &:= y \\
y_2 &:= y'_1\\
y_3 &:= y'_2\\
&\vdots\\
y_n &:= y'_{n-1}\\
\end{align}</math>
Aus der expliziten Differentialgleichung <math>n</math>-ter Ordnung für <math>y</math> wird dabei:
:<math>y'_n = f(x,y_1,\ldots,y_n) </math>

Man erhält also ein System von <math>n</math> gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung:
:<math>(y_1,\dotsc, y_{n-1}, y_n)' = (y_2,\dotsc, y_n, f(x,y_1,\ldots,y_n))</math>.

Umgekehrt kann man aus manchen Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.

== Beispiele ==

* Ein einfaches Beispiel aus der [[Physik]] ist das [[Zerfallsgesetz]]:
:<math>\dot N \sim N</math>

:Dieses besagt, dass bei einer Menge instabiler Atome die Anzahl der zerfallenden [[Atom]]e von der gesamten Anzahl <math>N</math> der vorhandenen Atome proportional abhängt.

* Eine wichtige Klasse weiterer Differentialgleichungen bilden die newtonschen [[Bewegungsgleichung]]en:

:<math>m \cdot \ddot{\vec{r}}(t) = \vec{F} \left(\vec{r}(t),t\right)</math>

:Durch die Kenntnis der von der Zeit <math>t</math> und der Position <math>r</math> eines Teilchens abhängenden Kraft <math>F</math> treffen diese Gleichungen Aussagen über die Bewegung des Teilchens selbst.

* Neben einfachen Zusammenhängen der Änderungen einer einzelnen Größe lassen sich aber auch Vorhersagen über mehrere Größen in einem System treffen. In etwa die [[Lotka-Volterra-Gleichungen]] der [[Ökologie]]:
:<math>\dot r = Z_r r b - M_r r</math>
:<math>\dot b = Z_b b - M_b r b</math>
:Dieses System beschreibt die zeitliche Veränderung der Räuberpopulation <math>r</math> und der Beutepopulation <math>b</math> bei konstanten natürlichen [[Geburtenrate]]n <math>Z</math> und [[Sterberate]]n <math>M</math>. Einige wichtige Eigenschaften dieses Modells lassen sich in Form der sogenannten [[Lotka-Volterra-Regeln]] zusammenfassen. Dieses und ähnliche Systeme finden in der [[Theoretische Biologie|theoretischen Biologie]] auch zur Beschreibung von Ausbreitungsprozessen und in Epidemiemodellen breite Anwendung.

== Spezielle Typen von Differentialgleichungen ==

Den bekanntesten Typ der gewöhnlichen Differentialgleichungen bildet die [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|lineare Differentialgleichung]] <math>n</math>-ter Ordnung mit:
:<math>\sum_{i=0}^n a_i(x) y^{(i)}(x) = b(x)</math> für stetige <math>a_i\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>.

Weitere wichtige Typen von gewöhnlichen Differentialgleichungen sind die folgenden:

* [[d’Alembertsche Differentialgleichung]]
::<math>y(x) = x g(y'(x)) + f(y'(x)) \,</math>.

* [[Bernoullische Differentialgleichung]]
::<math>y'(x)=f(x)y(x) + g(x)y^\alpha(x) \,</math> mit <math>\alpha\neq 1</math>.

* [[Exakte Differentialgleichung]]
::<math>p\left(x,y(x)\right)+q(x,y(x))y'(x)=0 \,</math>, worin das Vektorfeld <math>(p,q)</math> eine Potentialfunktion besitzt.

* [[Jacobische Differentialgleichung]]
::<math>y'(x)= f\left(\frac{ax + by(x) + c}{\alpha x + \beta y(x) + \gamma}\right)</math>.

* [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|Lineares Differentialgleichungssystem]] erster Ordnung von <math>m</math> Gleichungen
::<math>\ y'(x) = A(x)y(x) + b(x)</math> für stetige <math>A\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{m \times m}</math> und <math>b\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^m \,</math>.

* [[Riccatische Differentialgleichung]]
::<math>y'(x) = f(x)y^2(x)+ g(x)y(x) + h(x) \,</math>.

* [[Trennung der Veränderlichen|Separierbare Differentialgleichung]]
::<math>y'(x) = f\left(y(x)\right)g(x) \,</math>.

== Autonome Systeme ==

Ein Differentialgleichungssystem heißt ''[[Autonome Differentialgleichung|autonom]]'', falls es von der Form
:<math>f\left(y,y',y'',\dotsc,y^{(n)}\right)=0</math>
ist.

Sei <math>f\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^m</math> linear beschränkt und [[Lipschitz-stetig]]. Es bezeichne <math>\varphi(\cdot,y_0)</math> die (eindeutig bestimmte globale) Lösung von
:<math>y'=f(y)\ ,\ y(0) = y_0 \in \mathbb{R}^m\ .</math>
Dann nennt man <math>\varphi</math> den ''Fluss'' der Differentialgleichung <math>y'=f(y)</math>, und <math>(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m, \varphi)</math> bildet dann ein [[dynamisches System]].

Von besonderem Interesse ist der Fall <math>n=1,\ m=2</math> der ''ebenen autonomen Systeme''. Mit Hilfe des [[Poincaré-Bendixson-Theorem|Satzes von Poincaré-Bendixson]] kann man oft die Existenz periodischer Lösungen nachweisen. Ein wichtiges ebenes autonomes System bildet das [[Lotka-Volterra-Gleichung|Lotka-Volterra-Modell]].

Da die Poincaré-Bendixson-Theorie zentral auf den [[Jordanscher Kurvensatz|jordanschen Kurvensatz]] aufbaut, sind höherdimensionale Analoga falsch. Insbesondere ist es sehr schwierig, periodische Lösungen höherdimensionaler autonomer Systeme zu finden.

== Anwendung verschiedener Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ==
=== Grundlagen der Differentialgleichungen für die Systembeschreibung ===
Durch '''gewöhnliche Differentialgleichungen''' lassen sich viele dynamische Systeme aus der Technik, Natur und Gesellschaft beschreiben. Viele auf den ersten Blick sehr verschiedene physikalische Probleme lassen sich mit der GDGL jedoch formal identisch darstellen.

Eine Differentialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Kommen Ableitungen nur bezüglich einer [[Variable (Mathematik)|Variablen]] vor, spricht man von „gewöhnlichen Differentialgleichungen“ (kurz GDGL). Diese abhängige Variable wird in der Systemtheorie der GDGL mit <math>y(x)</math> oder <math>y(t)</math> bezeichnet, dabei sind <math>x</math> oder <math>t</math> die unabhängigen Variablen.

Enthält eine Differentialgleichung mehrere abhängige Variablen, so handelt es sich um eine partielle Differentialgleichung.

Differentialgleichungen werden in vielen Anwendungen als mathematische Modelle physikalischer und anderer Systeme definiert. Sie beschreiben in der Praxis häufig dynamische Systeme mit einem oder mehreren Signaleingängen und einem oder mehreren Signalausgängen. Solche GDGL werden als inhomogen bezeichnet.

Ein [[Dynamisches System (Systemtheorie)|dynamisches System]] ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen, wobei die Systemeingangsgröße <math>u(t)</math> als Ursache und die Systemausgangsgröße <math>y(t)</math> als Folge des zeitlichen Übertragungsverhaltens des Systems definiert ist. <math>u(x)</math> oder <math>u(t)</math> wird auch als Störfunktion bezeichnet.

Dynamische Systeme werden durch GDGL beschrieben. Dazu werden für sämtliche Energiespeicher des Systems die zugehörigen Bilanzgleichungen benötigt, die durch eine Differenzialgleichung erster Ordnung beschrieben werden. Für jeden konzentrierten Energiespeicher entsteht eine Differenzialgleichung erster Ordnung.

Einige Beispiele von GDGL haben die Formen: <ref name="Kallenrode">Prof. Dr. May-Britt Kallenrode, Universität Osnabrück, Fachbereich Physik: Vorlesungsskript „Mathematik für Physiker“, Kapitel: „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“, 611 Seiten, ausgestellt 2007.</ref>

:<math>x(t) = c \cdot \dot x; \qquad \text {oder}\qquad \dot x(t) =-c_1 \cdot \ddot x; \qquad \text {oder} \qquad x(t)=c_1 \cdot \dot x+c_2 \cdot \ddot x+c_3 \cdot x^{(3)}+ \dots </math>.

Dabei ist <math>x</math> die abhängige und <math>t</math> die unabhängige Variable. <math>c_i</math> sind hier konstante Koeffizienten.

Ein dynamisches System verhält sich linear, wenn die Wirkungen zweier linear überlagerter Eingangssignale sich am Ausgang des Systems in gleicher Weise linear überlagern.

Eine lineare inhomogene GDGL erster Ordnung eines dynamischen Systems mit einem Signaleingang <math>u(t)</math> und einem Signalausgang <math>y(t)</math> hat die Form:
:<math> \dot y(t) = a(t) \cdot y(t) + u(t) \qquad \text {oder} \qquad \dot y(t)+a(t)\cdot y(t)=b(t)\cdot u(t)</math>.

Hier ist <math>y(t)</math> die abhängige Variable und <math>a(t)</math> ein zeitabhängiger Koeffizient. <math>u(t)</math> ist die Störfunktion und Ursache der Inhomogenität der GDGL.

Die homogene Form einer linearen GDGL erster Ordnung in expliziter Darstellung lautet:
:<math> \dot y(t) = a(t) \cdot y(t) \qquad \text {oder} \qquad \dot y(t) = a(t) \cdot y(t)+b</math>

Dabei ist die Eingangsgröße (Störfunktion) <math>u(t)</math> gleich Null. <math>b</math> ist eine Konstante.

Bei der expliziten Darstellung ist die Ableitung <math> \dot {y}</math> von einem Koeffizienten freigestellt worden. Die Lösung dieser GDGL ist die Funktion von <math>y(t)</math>.

Eine lineare GDGL enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Es dürfen keine Produkte der gesuchten Funktion und ihren Ableitungen auftreten. Die gesuchte Funktion darf auch nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw. erscheinen.

Die Eingangsgröße <math>u(t)</math> wird in der Mathematik – im Gegensatz zur Systemtheorie – häufig als Störfunktion oder Störglied bezeichnet. Fehlt das Störglied <math>u(t)=0</math>, so handelt es sich um eine homogene lineare GDGL, anderenfalls um eine lineare inhomogene GDGL.

==== Differentialgleichungen höherer Ordnung ====
Eine GDGL 2. Ordnung ist eine Erweiterung der GDGL 1. Ordnung. Die inhomogene GDGL mit variablen Koeffizienten und der Eingangsgröße <math>g(t)</math> (Störfunktion) lautet:

:<math> \ddot x(t) = a(t) \cdot \dot x(t)+b(t) \cdot x(t)+g(t)</math>.

Die homogene Lösung dieser GDGL 2. Ordnung lautet:
:<math> \ddot x(t) = a(t) \cdot \dot x(t)+b(t) \cdot x(t)</math>.

Ein Spezialfall ist die inhomogene '''lineare''' GDGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
:<math> \ddot x(t)=a \cdot \dot x(t)+b \cdot x(t)=g(t)</math>

Die GDGL kann in impliziter oder expliziter Form dargestellt werden.

In der impliziten Form lässt sich eine GDGL <math>n</math>-ter Ordnung wie folgt beschreiben:

: <math>F(t; \ y; \ \dot {y}; \ \ddot {y} \ \cdots y^{(n)})=0</math>

Ist die implizit dargestellte GDGL nach der höchsten Ableitung <math>y^{(n)}</math> auflösbar, so
ergibt sich die explizite Form:

: <math> y^{(n)}=f(t; \ y; \ \dot {y}; \ \ddot {y} \ \cdots y^{(n-1)})</math>

Die allgemeine Form einer inhomogenen GDGL eines dynamischen Systems höherer Ordnung mit variablen Koeffizienten
lautet:
: <math>\begin{align}
a_n(t)\cdot y^{(n)}(t) &+ \ \cdots \ + a_2(t) \cdot \ddot y(t) +a_1(t) \cdot \dot y(t)+a_0(t)\cdot y(t) = \\
&= b_0(t)\cdot u(t)+b_1(t)\cdot \dot u(t)+b_2(t)\cdot \ddot u(t)+ \ \cdots \ + b_m(t)\cdot u^{(m)}(t) .
\end{align}</math>

Diese Form der GDGL enthält auch Ableitungen der Eingangsgröße, die aber keine Auswirkungen auf das Zeitverhalten haben, sondern nur auf die Größe der Ausgangs-Amplituden. Weil diese Gleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten <math>a_i(t)</math> und <math>b_i(t)</math> seltener in der Praxis vorkommt und nur schwierig zu lösen ist, beschränkt man sich bei der Behandlung dynamischer Systeme auf eine GDGL mit konstanten Koeffizienten.

Die allgemeine Form einer '''linearen''' inhomogenen GDGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten <math>a_i</math> der System-Ausgangsgröße <math>y(t)</math> und mit <math>b_i</math> der System-Eingangsgröße <math>u(t)</math> lautet:

{| class="wikitable" |-
!<math>a_n \cdot y^{(n)}(t)+ \ \cdots \ + a_2\cdot \ddot y(t)+a_1\cdot \dot y(t)+a_0\cdot y(t)= b_0\cdot u(t)+b_1\cdot \dot u(t)+b_2\cdot \ddot u(t) + \ \cdots \ + b_m\cdot u^{(m)}(t) </math>
|}

Diese GDGL ist zwar eine Spezialform der GDGL, wird aber im gesamten Bereich der Systemtheorie, der Elektrotechnik und der Regelungstechnik angewendet.
Das Verhalten solcher Systeme wird als linear und [[Zeitinvarianz|zeitinvariant]] bezeichnet. Ein Übertragungssystem wird als [[Zeitinvarianz|zeitinvariant]] bezeichnet, wenn sich die Systemeigenschaften (d. h. die Koeffizienten) mit der Zeit nicht verändern.

==== Eigenschaften der GDGL ====
Für eine gegebene GDGL stellt sich die Frage zu der Art:
* Ist die Gleichung linear?
* Sind die Koeffizienten konstant?
* Welche Ordnung der Ableitungen hat die abhängige Variable?
* Handelt es sich um eine homogene oder inhomogene GDGL?
* Sind Anfangswerte oder Randwerte gegeben?

Aus der Mechanik existiert das bekannte Beispiel einer linearen GDGL zweiter Ordnung eines schwingfähigen Systems mit der Federkraft <math>c</math>, Masse <math>m</math> und Dämpfung <math>D</math>. Dabei ist die Eingangsgröße: die Kraft <math>F</math>, die Ausgangsgröße der Weg <math>x</math>.

:<math>\ddot x(t)+\frac D m \cdot \dot x(t)+\frac c m \cdot x(t)=\frac 1 m \cdot F(t)</math>.

Sind Zahlenwerte gegeben, lautet die allgemeine Form dieser GDGL mit <math>y(t)</math> als Ausgangssignal und <math>u(t)</math> als Eingangssignal:
:<math> \ddot y(t)+a_1 \cdot \dot y(t) +a_0 \cdot y(t)=b_0 \cdot u(t)</math>

==== Anfangswertproblem und Randwertproblem ====
Befindet sich das dynamische System in Ruhe, d. h. die Anfangswerte der Energiespeicher <math>y_0;\ y'_0</math> sind zum Zeitpunkt <math>t=0</math> gleich Null, dann ist der zeitliche Verlauf einer Sprungantwort des Systems abhängig vom Eingangssignals <math>u(t)>0</math>, der Größe der Koeffizienten <math>a_i</math>, bzw. deren Nullstellen <math>\lambda_a</math>, ob der Systemausgang y(t) aperiodisch oder gedämpft schwingend das Niveau des Eingangssprungs <math>u(t)</math> erreicht. Die Größe des Eingangssignals <math>u(t)</math> und die Koeffizienten <math>b_i</math>, bzw. deren Nullstellen <math>\lambda_b</math> (hier nicht vorhanden), des rechtsseitigen Teils der Differentialgleichung haben nur eine Auswirkung auf die Größe der Amplituden.

Bei der homogenen Form dieser GDGL ist die Eingangsgröße <math>u(t)</math> gleich Null. Bei der homogenen GDGL startet die Ausgangsgröße <math>y(t)</math> von gegebenen Anfangswerten <math>y_0;\ y'_0</math> der inneren Systemspeicher des Systems bis <math>y(t)=0</math> erreicht wird. Diese Form der homogenen GDGL mit Anfangswerten zum Zeitpunkt <math>t=0</math> bezeichnet man als {{"|[[Anfangswertproblem]]}}.

Im Gegensatz dazu, kann eine GDGL als {{"|[[Randwertproblem]]}} bezeichnet werden, wenn Lösungen zu <math>y(x)</math> gesucht werden, die von Randwerten an verschiedenen Stellen <math>x_0; \ x_1</math> bestimmt werden. Ein bekanntes Beispiel ist die Berechnung einer Biegelinie eines Balkens, der von zwei Stützpunkten im Abstand <math>x=L</math> bei gleichmäßig verteilter Last getragen wird.

==== Lösungsmethoden der GDGL ====
Die systembeschreibenden GDGL linearer zeitinvarianter Systeme können durch die nachfolgenden Verfahren berechnet werden:
* Für GDGL erster Ordnung „[[Trennung der Veränderlichen|Separation der Variablen]]“ (wird hier nicht behandelt)
* Klassisch mit Hilfe des [[Exponentialansatz]]es,
* [[Laplace-Transformation]],
* Numerisch mit [[Zeitdiskretes Signal|zeitdiskreten]] Methoden mit Anlehnung an die [[Zustandsraumdarstellung]].

Nichtlineare Differenzialgleichungen sind Unikate und können nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch gelöst werden. Wenn möglich, wird eine Linearisierung im Arbeitspunkt des Systems durchgeführt und es gelten die Bedingungen für die angelegte Tangente in der Nähe des Arbeitspunktes. Viele Anwendungen nichtlinearer Systeme können mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden in Verbindung mit logischen Definitionen wie {{"|WENN-DANN-SONST-Anweisungen}} annäherungsweise an die Originalfunktion gelöst werden. Eine nichtlineare Funktion kann auch tabellarisch definiert werden.

== Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit Hilfe des Exponentialansatzes ==
=== Gesamtlösung einer inhomogenen GDGL ===

Ein lineares dynamisches Übertragungssystem mit einem Eingangssignal und dem Ausgangssignal wird durch eine gewöhnliche inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben.

Die Lösung einer inhomogenen GDGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen GDGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen GDGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Die Gesamtlösung ist die Summe der beiden Lösungen:

* Die homogene Lösung der GDGL beschreibt das Systemverhalten mit Anfangswerten der Systemspeicher zum Zeitpunkt <math>t=0</math> und dem Eingangssignal <math>u(t)=0</math>. Dies bedeutet für das dynamische System, es ist sich selbst überlassen und hat nur ein Ausgangssignal. Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen von <math>y_0=0</math> und deren Ableitungen Null sind.

* Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von <math>y(t)</math> für <math>u(t)\ne 0</math> als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen <math>y_0=0</math> und deren Ableitungen Null sein.
:Ist die Übertragungsfunktion <math>G(s)</math> als Laplace-transformierte GDGL gegeben, so ist die Berechnung des System-Ausgangssignals <math>Y(s)</math> für ein gegebenes Eingangssignal <math>U(s)</math> bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.

Mit Hilfe des [[Exponentialansatz]]es und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.

Hat eine GDGL die Ordnung n, so hat ihre Lösung n Integrationskonstanten. Dazu müssen n Anfangsbedingungen gegeben sein.

Folgender Exponentialansatz für <math>y(t)</math> liefert Ableitungen der Form: <math>y=e^{\lambda \cdot t}</math>. Dabei bedeutet <math>\lambda</math> eine [[Nullstelle]].

Die Ableitungen des Lösungsansatzes ergeben sich zu:

:<math>\dot {y} = \lambda \cdot e^{\lambda \cdot t} = \lambda \cdot y; \qquad \ddot {y} ={\lambda}^2 \cdot e^{\lambda \cdot t} = \lambda^2 \cdot y; \qquad y^{(n)} = {\lambda}^{(n)} \cdot e^{\lambda \cdot t} = {\lambda}^n \cdot y</math>

Werden diese Ableitungen in die oben stehende homogene GDGL eingesetzt, entsteht die charakteristische Gleichung als Polynom n-ter Ordnung:

Die homogene Lösung einer inhomogenen Differenzialgleichung lautet damit allgemein für den Fall reeller ungleicher Nullstellen <big>λi</big>:

:{| class="wikitable" |-
!<math> y_H(t)=C_1 \cdot e^{{\lambda}_1 \cdot t}+C_2 \cdot e^{{\lambda}_2 \cdot t}+C_3 \cdot e^{{\lambda}_3 \cdot t}+\cdots </math>
|}
Die Lösung einer GDGL erfolgt durch Integration. Jede Integration ergibt Integrationskonstanten <math>C_i</math>, deren Anzahl durch die Ordnung der GDGL bestimmt ist. Die Lösung einer GDGL n-ter Ordnung enthält <big>n</big> voneinander unabhängige Integrationskonstanten. Diese sind für eine spezielle (partikuläre) Lösung der GDGL abhängig von den Eigenwerten und gegebenen Anfangsbedingungen des Übertragungssystems zu bestimmen.

Die Bestimmung der Integrationskonstanten <math>C_i</math> bei Systemen höherer Ordnung (> 2) ist sehr umständlich. Weitere Informationen liefert die Fachliteratur.<ref name="Kallenrode" />

=== Anfangswertproblem und Integrationskonstanten für eine homogene GDGL 2. Ordnung ===
Eine homogene GDGL n-ter Ordnung hat mindestens einen Anfangswert bis n Anfangswerte. Für die homogene GDGL zweiter Ordnung mit zwei vorzugebenden Anfangswerten <math>y_0>0</math> und <math>y'_0>0</math> können die Integrationskonstanten <math>C_1</math> und <math>C_2</math> errechnet werden, wenn die [[Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] (Nullstellen) der homogen GDGL bekannt sind.

Die Integrationskonstanten <math>C_1</math> und <math>C_2</math> errechnen sich durch Vorgabe von Anfangswerten <math>y_0</math> und <math>y'_0</math>, die anstelle von <math>y_H(t)</math> der Lösungsgleichung der homogenen GDGL 2. Ordnung eingesetzt werden. Damit ergeben sich zwei Gleichungen für die zwei Anfangswerte. Für <math>y_H=y_0</math> wird die erste Gleichung für <math>t=0</math> bestimmt. Für die zweite Gleichung mit <math>y_H=y'_0</math> wird erst die Ableitung der Gleichung und dann die Gleichung für <math>t=0</math> errechnet.

Beispiel für eine homogene GDGL mit zwei reellen Wurzeln <math>\lambda_1 = -0{,}5</math> und <math>\lambda_2=-1</math> und Anfangswerten der Energiespeicher <math>y'_0=1</math>; <math>y_0=1</math>:

Lösung der homogenen DGL 2. Ordnung:

:<math> y_H(t) = C_1 \cdot e^{-0{,}5 \cdot t} + C_2 \cdot e^{-1 \cdot t}</math>

Berechnung der Integrationskonstanten:
:<math> y_0 \ \xrightarrow {t=0} 1 = C_1 + C_2</math>

:<math>\dot y_0 \xrightarrow {d / dt} 1 = C_1 \cdot -0{,}5 \cdot e^{-0{,}5 \cdot t} + C_2 \cdot -1 \cdot e^{-1 \cdot t}</math>

:<math>\dot y_0 \xrightarrow {t=0} 1 = C_1 \cdot -0{,}5 + C_2 \cdot -1 = -0{,}5 \cdot C_1 - C_2</math>

Aus den beiden Gleichungen von <math>y_0</math> für <math>t=0</math> und <math>y'_0</math> für <math>t=0</math> lassen sich die Integrationskonstanten <math>C_1</math> und <math>C_2</math> bestimmen.

Anmerkung: Die Ableitung <math>d/dt</math> von <math>e^{-a \cdot t}=-a \cdot e^{-a \cdot t}</math>

Tabelle: Durch die verschiedenen Arten der Lösungen der Wurzel, bedingt durch die Größe des Radikanden, ergeben sich drei unterschiedliche Fälle der Eigenwerte <big>λ</big> der GDGL wie:

:{| class="wikitable"
|-class="hintergrundfarbe5"
! Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
||Wurzeln (Nullstellen) || Anfangswertproblem Bestimmung C1, C2
|-
| Der Radikand > 0 hat 2 reelle Wurzeln <math> y_H(t) = C_1 \cdot e^{{\lambda}_1 \cdot t} + C_2 \cdot e^{{\lambda}_2 \cdot t} </math> ||<math> {\lambda}_{1;2} = - \frac {a_1}2 \pm \sqrt {\frac {{a_1}^2} {4} - a_0}</math> || <math> C_1 = \frac {\dot {y}_{(0)}- y_{(0)} \cdot \lambda_2} {\lambda_1 - \lambda_2} \, </math> <math> C_2 = y_{(0)}- C_1 \, </math>
|-
| Der Radikand = 0 hat 2 gleiche Wurzeln <math> y_H(t) = C_1 \cdot e^{{\lambda}_1 \cdot t} + C_2 \cdot t \cdot e^{{\lambda}_1 \cdot t} </math> || <math>\lambda = \lambda_{1;2} = - \frac {a_1}2 </math> || <math> C_1 = y_{(0)} \, </math> <math> C_2 = \dot {y}_{(0)}- y_{(0)} \cdot \lambda \, </math>
|-
| Der Radikand < 0 führt zu konjugiert komplexen Wurzeln <math> y_H(t) = e^{\alpha \cdot t} \cdot [C_1 \cdot \cos (\beta \cdot t) + C_2 \cdot \sin (\beta \cdot t)] </math>|| <math> {\lambda}_{1;2} = \alpha \pm i \cdot \beta </math> <math> \alpha = - a_1 / 2 \, </math> <math> \beta = \sqrt {a_0 - \frac {{a_1}^2} {4}}</math> || <math> C_1 = \frac {\dot {y}_{(0)} - \alpha \cdot y_{(0)}} {\beta} </math> <math> C_2 = y_{(0)} \, </math>
|}

=== Berechnungsbeispiel der Lösung einer GDGL 2. Ordnung mit reellen Nullstellen ===
[[Datei:Homogene und partikuläre lösung einer dgl.png|miniatur|300px|* Homogene Lösung der GDGL einer Reihenschaltung von zwei PT1-Gliedern mit Anfangswerten. * Partikuläre Lösung der GDGL für einen Eingangssprung.]]

:{| class="wikitable"
|
; Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems bestehend aus zwei PT1-Gliedern:
:<math> G(s) = \frac {Y(s)} {U(s)} = \frac 1 {(2 \cdot s+1)\cdot (s+1)}=\frac 1 {2\cdot s^2+3\cdot s+1}</math>
'''Zugehörige systembeschreibende GDGL:'''
:<math> 2 \cdot \ddot y(t) + 3 \cdot \dot y(t) + y(t) = u(t)</math>

'''Die höchste Ableitung freigestellt:'''
: <math>\ddot y(t) + 1{,}5 \cdot \dot y(t) + 0{,}5 \cdot y(t) = 0{,}5 \cdot u(t) \qquad \text {Koeffizienten:} \ a_1 = 1{,}5 \quad a_0 = 0{,}5 \quad b_0 = 0{,}5</math>
* '''Vorgegeben:''' Willkürlich gewählte Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren): <math>y'_0(t)=1</math>; <math>y_0(t)=1</math>;
* '''Vorgegeben:''' Eingangsgröße <math>u(t)=1</math> ist eine normierte Sprungfunktion für <math>t>0</math>.
* '''Gesucht:''' Homogene Lösung der GDGL <math>y_H(t)</math> und partikuläre Lösung <math>y_p(t)</math>:
: Für die homogene Lösung wird <math>u(t)=0</math> gesetzt.
* '''Errechnet''' laut der oben dargestellten Tabelle der homogenen Lösung:
: Es ergeben sich zwei reelle Wurzeln (Nullstellen): <math> {\lambda}_1 = -0{,}5; \quad {\lambda}_2=-1</math>
* '''Errechnet:''' Die Integrationskonstanten errechnen sich laut Tabelle mit <math>C_1 = 4</math>; <math>C_2 = -3</math>.
* '''Analytische homogene Lösung''' laut Tabelle für zwei reelle Wurzeln:
:<math> y_H(t) = C_1 \cdot e^{{\lambda}_1 \cdot t} + C_2 \cdot e^{{\lambda}_2 \cdot t} \qquad \to</math> daraus folgt:
: '''Mit den eingesetzten Zahlenwerten lautet die analytische Lösung der homogenen GDGL:'''
:<math>\underline{\underline{ y_H(t)=4 \cdot e^{-0{,}5 \cdot t}-3 \cdot e^{- t}}} </math>
* '''Partikuläre Lösung:'''
: Die Berechnung der Systemantwort <math>y_p(t)</math> des Eingangs-Ausgangsverhaltens über das Faltungsintegral ist aufwendig.
: Einfacher ist die Lösung – wie nachfolgend dargestellt – durch die Anwendung der Laplace-Transformation.
|}

== Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung mittels der Übertragungsfunktion <math>G(s)</math> ==
Die allgemeine Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten <math>a_i</math> der System-Ausgangsgröße <math>y(t)</math> und mit <math>b_i</math> der System-Eingangsgröße <math>u(t)</math> lautet:

:<math>a_n \cdot y^{(n)}(t)+ \ \cdots \ + a_2\cdot \ddot y(t)+a_1\cdot \dot y(t)+a_0\cdot y(t)= b_0\cdot u(t)+b_1\cdot \dot u(t)+b_2\cdot \ddot u(t) + \ \cdots \ + b_m\cdot u^{(m)}(t)</math>.

Durch Anwendung des Laplace-Differentiationssatzes einer GDGL für Anfangsbedingungen <math>y_0, y'_0, y''_0 \cdots</math> der System-Ausgangsgröße entstehen algebraische Gleichungen mit sogenannten Zähler- und Nennerpolynomen. <math>s=\delta +j \cdot \omega</math> ist die komplexe Laplace-Variable, die mit einem Exponenten anstelle der Ordnung einer Ableitung steht. Die Variable <math>s</math> ist ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation. Sie enthält keine Zahlenwerte.

'''Laplace-transformierte Differentialgleichung mit Anfangswerten:'''
: <math> Y(s)=\frac{b_{m}s^{m} + \dots +b_2s^2 + b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\dotsb +a_2s^2+ a_{1}s + a_{0}}U(s)+\frac {\text {Anfangswertterme}}{a_{n}s^{n}+\dots +a_2s^2+ a_{1}s + a_{0}}</math>.

Die '''Übertragungsfunktion <math>G(s)</math>''' ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals <math>Y(s)</math> zum Eingangssignal <math>U(s)</math>, wobei die Anfangswerte des Systems gleich Null sind.
: <math> G(s)=\frac {Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{m}s^{m}+\dotsb +b_2s^2 + b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\dotsb +a_2s^2+ a_{1}s + a_{0}}</math>.

Die Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems aus der Übertragungsfunktion <math>G(s)</math> wird üblicherweise für normierte Eingangssignale <math>U(s)</math> durchgeführt. Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal <math>u(t)=1(t):=U(s):=\frac 1 s</math> wird der Übertragungsfunktion der Term <math>\frac 1 s</math> multiplikativ angehängt. Wird letzteres nicht durchgeführt, erhält man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort.

'''Übertragungsfunktion in Polynomdarstellung, Pol- Nullstellendarstellung und Zeitkonstantendarstellung:'''
: <math>\begin{align}
G(s) &= \frac {Y(s)}{U(s)} \frac{b_{m}s^{m} + \dotsb + b_{1}s + b_{0}}{a_{n}s^{n} + a_{n-1}s^{n-1} + \dotsb + a_{1}s + a_{0}} \\ \\
&=k \cdot \frac{(s - s_{n1})(s - s_{n2} ) \dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2} ) \dotsm (s-s_{pn} )}=K \cdot \frac{(T_{v1} \cdot s+1)(T_{v2} \cdot s+1) \cdots }{(T_1 \cdot s+1)(T_2 \cdot s+1) \cdots }
\end{align}</math>

'''Die Lösung''' erfolgt durch Partialbruch-Zerlegung der Produktdarstellung in einfache additive Terme, die sich leicht in den Zeitbereich transformieren lassen. Die Partialbruch-Zerlegung von Übertragungsfunktionen höherer Ordnung ist nicht immer einfach, insbesondere wenn konjugiert komplexe Nullstellen vorliegen.

Alternativ können [[Laplace-Transformation]]stabellen benutzt werden, welche die häufigsten korrespondierenden Gleichungen im Zeitbereich enthalten.

=== Allgemeine (partikuläre) Lösung der GDGL 2. Ordnung mit Hilfe der Laplace-Transformation ===
Die partikuläre Lösung beschreibt das Übertragungsverhalten des Systems als Funktion des Eingangssignals <math>u(t)</math> und ist meist von hauptsächlichem Interesse. Die Anfangsbedingungen <math>y_0</math> und <math>y_0'</math> haben dabei den Wert 0.<ref>Prof. Dr.-Ing. Oliver Nelles, Universität Siegen: Vorlesungskonzept Mess- und Regelungstechnik I, Kapitel: „Laplace-Transformation“, 446 Seiten vom 8. Oktober 2009.</ref>

Eine mögliche partikuläre Lösung der GDGL kann über das [[Faltungsintegral]] erfolgen. Die Berechnung des Faltungsintegrals ist für Systeme höherer Ordnung jedoch aufwendig. Die Zeitfunktionen <math>g(t)</math> und <math>u(t)</math> können sehr kompliziert werden. Deshalb gestaltet sich der partikuläre Lösungsweg der GDGL über die Laplace-Transformation mit anschließender Rücktransformation einfacher.

Lösung der gegebenen GDGL 2. Ordnung:
:<math>a_2 \cdot \ddot {y}(t)+ a_1 \cdot \dot {y}(t)+a_0 \cdot y(t)=b_0 \cdot u(t)</math>.

Die Gleichung wird so umgeformt, dass der Koeffizient der höchsten Ableitung <math>a_2=1</math> wird, indem die restlichen Terme der Gleichung durch <math>a_2</math> dividiert wird und die Bezeichnung der übrigen Koeffizienten beibehalten wird. Wenn Zahlenwerte vorgelegen haben, dann entsprechen die Koeffizienten <math>a_1, a_0, b_0</math> neuen um <math>a_2</math> korrigierten Zahlenwerten.
:<math> \ddot {y}(t)+a_1 \cdot \dot {y}(t)+a_0 \cdot y(t)=b_0 \cdot u(t)</math>.

Die Übertragungsfunktion eines Systems entsteht nach dem Differentiationssatz durch Austausch der zeitabhängigen Terme einer GDGL mit den Laplace-Transformierten. Voraussetzung ist, dass die Anfangsbedingung des Systems Null ist. Je nach Grad der Ableitungen einer Funktion y(t) entstehen nach der Transformation folgende Laplace-Transformierte Y(s):

:<math>s^2 \cdot Y(s)+a_1 \cdot s \cdot Y(s)+a_0 \cdot Y(s)=b_0 \cdot U(s)</math>

Mit den transformierten Termen kann die Übertragungsfunktion des dynamischen Systems G(s) aufgestellt werden:
:<math>G(s)=\frac Y U (s)=\frac {b_0}{s^2+a_1 \cdot s+a_0}</math>

Polynome einer Übertragungsfunktion werden durch Nullstellenbestimmungen in Linearfaktoren (Grundpolynome: Monom, Binom und Trinom) zerlegt. Liegen Zahlenwerte der Koeffizienten einer Übertragungsfunktion 2. Ordnung vor, können die Pole (= Nullstellen im Nenner der Übertragungsfunktion) durch die bekannte Formel zur Lösung einer gemischt-quadratischen Gleichung ermittelt werden.

Durch die verschiedenen Arten der Lösungen der Pole bedingt durch die Größe des Radikanden der Wurzel ergeben sich drei unterschiedliche Fälle der Eigenwerte <math>s_i</math> (der Pole <math>s_{pi}</math>) der Übertragungsfunktion. Nachfolgend ist eine Korrespondenztabelle des s-Bereichs mit <math>Y(s)=U(s) \cdot G(s)</math> und des Zeitbereichs für <math>y(t)</math> für einen transformierten Eingangssprung <math>u(t)=1(t) \to \ U(s):=1/s</math>.

Folgende Grundpolynome (Binome und Trinome bei konjugiert komplexen Polen) entstehen in Abhängigkeit von den Nullstellen. Die Lösungen der Übertragungsfunktionen als Sprungantwort im Zeitbereich sind einer Laplace-Transformationstabelle entnommen worden:

Die Laplace-Transformationstabellen können in zwei Formen der Produkt-Darstellung aufgeführt sein, wobei unterschiedliche Faktoren <big>a0</big> und <big>K</big> berücksichtigt werden müssen. Die Umrechnung der Pole- Nullstellen-Darstellung in Zeitkonstanten-Darstellung ist einfach, sie sind algebraisch identisch. <math>T_i=1/{s_{pi}}</math>.

Pol-Nullstellen-Darstellung (Stabiles System) und Zeitkonstanten-Darstellung:
: <math> G(s)=\frac {a_0}{(s + s_{p1}) \cdot (s+s_{p2})}=\frac K {(T_1 \cdot s + 1) \cdot (T_2 \cdot s+1)}</math>

:{| class="wikitable"
|-class="hintergrundfarbe5"
! f(s) Übertragungsfunktion 2. Ordnung Eingangssprung u(t) = 1 := Multiplikation mit 1/s
!|f(t) Partikuläre Lösung Sprungantwort im Zeitbereich || Bestimmung der Pole <math>s_{p1}</math> und <math>s_{p2}</math> aus der Polynom-Darstellung
|-
| Der Radikand > 0 hat 2 reelle Wurzeln <math> y(s) = \frac 1 {s \cdot (T_1 \cdot s +1) \cdot (T_2 \cdot s + 1)} </math>
||<math> y(t)=1- \frac 1 {T_1-T_2} \cdot </math> <math> \cdot \left(T_1 \cdot e^{-\frac t {T_1}} - {T_2 \cdot e^{-\frac t {T_2}}}\right)</math>
||<math> s_{p1;2}=- \frac {a_1}2 \pm \sqrt {\frac {{a_1}^2} {4}-a_0} </math> <math> T_1 = - \frac 1 {s_{p1}} \quad T_2=- \frac 1 {s_{p2}}</math>
|-
| Der Radikand = 0 hat 2 gleiche Wurzeln <math> y(s)=\frac 1 {s \cdot (T \cdot s+1)^2}</math>
|| <math> y(t)=1- \frac {T+t}{T} \cdot e^{-\frac t T}</math>
|| <math> s_{p1=2}=- \frac {a_1}2 </math> <math>T=- \frac 1 {s_{p1=2}}</math>
|-
| Der Radikand < 0 hat konjugiert komplexe Wurzeln <math> y(s)=\frac {{\omega_0}^2}{s \cdot (s^2 + 2 \cdot D \cdot \omega_0 \cdot s + {\omega_0}^2)} </math> <big>ω0</big> = Kreisfrequenz (ungedämpft) = 1 / T
|| <math> y(t) = 1 -\frac 1 {\sqrt {1 - D^2}} \cdot </math> <math> \cdot e^{-D \cdot \omega_0 \cdot t} \cdot \sin(\omega_e \cdot t + \phi) </math> <math> \omega_e = \omega_0 \cdot \sqrt {1 - D^2} </math> <math> \phi = \arccos(D) </math>
|| Dämpfung D <math> -1 < D < 1 \, </math> <math>D=\frac {a_1}{2 \cdot \sqrt {a_0}}</math> 
|}

Wird für den Fall der zwei reellen Wurzeln in die Gleichung für <math>f(t) \to T_1=T_2</math> eingesetzt, entsteht eine Division durch Null <math>1/(T_1-T_1)</math>, was nicht zulässig ist. Als „verschiedene“ Nullstellen gelten bereits Nullstellen, wenn sie sich in einer theoretisch unendlichen Dezimalstelle eines Wertes unterscheiden.

Die Gesamtlösung einer GDGL ergibt sich aus der Überlagerung der Systemantworten auf die Anfangsbedingungen und auf das Eingangssignal:
:<math> y(t)=y_H(t)+y_P(t)</math>

Die partikuläre Lösung der GDGL bezieht sich darauf, dass die Anfangswerte <math>y_0; \ y'_0; \ y''_0 \dots</math> gleich Null sind und das Eingangssignal <math>u(t)\ne 0</math> ist. Sie lässt sich aus der Übertragungsfunktion <math>G(s)</math> bestimmen, indem die Differentialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen wird.

=== Berechnungsbeispiel der partikulären Lösung einer GDGL 2. Ordnung mit der Laplace-Transformationstabelle ===
:{| class="wikitable"
|
* '''Vorgegeben:'''
: Eingangssignal: Sprungfunktion <math>U(s)=1/s</math>.

: Übertragungsfunktion des Systems:
:<math> G(s) = \frac {Y(s)}{U(s)} = \frac 1 {(2 \cdot s+1)\cdot (s+1)} \qquad T_1=2; \, T_2=1</math>

: '''Gesucht:''' Partikuläre Lösung <math>y_P(t)</math> für die gegebene Übertragungsfunktion:

: '''Suchbegriff''' für die Laplace-Transformationstabelle:
:<math>{Y(s)} = \frac {U(s)}{(2 \cdot s+1)\cdot (s+1)} = \frac 1 {s \cdot (2 \cdot s+1)\cdot (s+1)}\qquad T_1 = 2; \, T_2 = 1</math>

* '''Errechnet:'''
: Die gefundene analytische Gleichung <math>f(t)</math> der partikulären Lösung laut Transformationstabelle durch Eingabe der Koeffizienten lautet:

:<math>y_p(t)=1-\frac 1{T_1-T_2}\cdot [T_1\cdot e^{-\frac t {T_1}}-T_2 \cdot e^{-\frac t {T_2}}] </math>.

: Zahlenwerte der Zeitkonstanten eingesetzt:
:<math>\underline{\underline{y_p(t)= \ 1-[2 \cdot {e^{-\frac t{2}}-e^{-t}}]}}</math>.

Grafische Darstellung der partikulären Lösung siehe letztes Bild.
|}

Anmerkung: Enthält die Ausgangsgröße eines Übertragungssystems Schwingungsanteile, ergeben sich laut Transformationstabellen aufwendige trigonometrische Gleichungen.

== Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mittels der numerischen Berechnung ==
=== Grundlagen der numerischen Berechnung mit Differenzengleichungen ===
Eine gewöhnliche Differentialgleichung, die ein dynamisches System mit einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal beschreibt, wird in eine [[Differenzengleichung]] umgeformt, indem die Differentialquotienten der GDGL durch [[Differenzenquotient]]en ausgetauscht werden. Dazu existieren zahlreiche Verfahren der numerischen Mathematik.

Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation der Differentialgleichungen werden bei Differenzengleichungen [[diskret]] durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.

Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare Berechnungsvorschrift für eine [[Diskrete Mathematik|diskret]] definierte Folge <math>k=[0, 1, 2, 3, \dots]</math> von Folgegleichungen, welche Variablen <math>y_{(k)}</math> zu fortlaufenden nummerierten Ereignissen bzw. nummerierten Zeitpunkten im Abstand eines Intervalls <math>\Delta x=h</math> berechnen.

Die [[Rekursion|rekursive]] Lösung einer Differenzengleichung erster Ordnung erfolgt von einer Anfangsbedingung <math>y_0=0 \ \text {bis} \ y_0>0</math> durch nummerierte Folgegleichungen, welche sich je auf das Ergebnis einer zurückliegenden Folgegleichung bezieht. Bei Differenzengleichungen höherer Ordnung bezieht sich jede aktuelle Folgegleichung, entsprechend der Ordnungszahl, auf mehrere der zurückliegenden Folgegleichungen.

Das Lösungsergebnis <math>y_{(k)}=f(x_{(k)})</math> besteht aus gestuften nummerierten Einzelergebnissen als sogenannte Funktions-Stützstellen (auch Knoten genannt).

Für die Aufstellung der meisten Differenzengleichungen werden verschiedene Verfahren eingesetzt, wie das einfache [[Explizites Euler-Verfahren|Euler-Streckenzugverfahren]] oder die besseren und aufwendigeren [[Mehrschrittverfahren]]. Die komplizierteren Mehrschrittverfahren benötigen vorteilhaft für ein gleiches genaues Berechnungsergebnis eine wesentlich geringere Anzahl von Folgegleichungen.

* '''Kommerzielle Programme numerischer Verfahren:'''
: Für den ingenieurtechnischen Bereich stehen die bekanntesten Programme wie [[Matlab]] und [[Simulink]] mit umfangreichen Befehlssätzen für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen kybernetischen und regelungstechnischen Anwendungen zur Verfügung. Für diese Aufgaben ist ein normal ausgestatteter [[Personal Computer]] geeignet.
* '''Einschrittverfahren nach Euler:'''
: Das klassisches Verfahren der Lösung von Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen ist das explizite Euler-Verfahren mit der Berechnungsfolge <math>k</math>.<ref>Prof. Dr.-Ing. Jürgen Dankert, HAW-Hamburg, Skript: „Numerische Integration von Anfangswertproblemen“, 39 Seiten.</ref>

[[Datei:Explizites Euler-Streckenzugverfahren.png|mini|Darstellung der Integrationsschritte des expliziten Euler-Streckenzugverfahrens.]]
Das Verfahren wird für jeden Rechenschritt (Stützpunkt, Knoten) <math>y_{(k)},x_{(k)}</math> für die Ableitung <math>y'(x)</math> durch einen Vorwärts-Differenzenquotienten [[Approximation|approximiert]]. Der Begriff Vorwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf die linke Intervallgrenze laut Diagramm <math>x_{(0)}</math> nach <math>x_{(1)}</math> mit dem Intervall <math>h</math>.

Der Vorwärts-Differenzenquotient für eine Funktion <math>y'=f(x,y)</math> lautet:

:{| class="wikitable"
|
<math>y'\approx \frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac {y(x+h)-y(x)}{(x+h)-x}:=\frac {y_{(k+1)}-y_{(k)}} h</math>
|}

Beim Euler-Vorwärts-Verfahren wird das Integral für einen Streckenzug approximiert:

: <math>\int_{x}^{x+h}f[y(x)dx]\approx h \cdot f[y_k,x_k]</math>

Die Annäherung für das Integral ist die Festlegung, dass der Integrand <math>f(x,y)</math> im gesamten Integrationsintervall konstant ist und durch den Wert <math>f(x,y)</math> am linken Rand des Integrationsintervalls ersetzt werden kann. <math>x_0</math> und <math>y_0</math> sind bekannte Größen ([[Anfangswertproblem|Anfangswerte]]).

Der Algorithmus zur Approximation des Integrals führt auf folgende Berechnungsvorschrift:

Explizite Form der Differenzengleichung der Vorwärtsdifferenz:
:{| class="wikitable"
|
<math>y_{(k+1)}=y_{(k)}+h \cdot f(y_{(k)},x_{(k)})</math>
|}

Für die Terme der Differenzengleichung lassen sich die Integrationsgrenzen der Indizierungen von <math>y_{(k+1)},\ y_{(k)},\ x_{(k)}</math> um (−1) zurücksetzen. Damit entsteht eine identisch verwendbare Form der Differenzengleichung als Rückwärtsdifferenz ([[Implizites Euler-Verfahren]])

:{| class="wikitable"
|
<math>\underbrace {y_{(k)}} =\underbrace {y_{(k-1)}} + \ \underbrace {h \cdot f(y_{(k-1)},x_{(k-1)})}</math>
|}

'''Dabei bedeutet:'''
* <math>{y_{(k)}}</math>=<math>\begin{bmatrix}
y_{(0)} & =& 0&+& \ h \cdot f(y_{(0)},x_{(0)})\\
y_{(1)} & =& y_{(0)}&+& \ h \cdot f(y_{(1)},x_{(1)})\\
y_{(2)} & =& y_{(1)}&+& \ h \cdot f(y_{(2)},x_{(2)})\\
y_{(k)} & =& y_{(k-1)}&+& \ h \cdot f(y_{(k)},x_{(k)})\\
\end{bmatrix}</math>

: <math>{y_{(k)}}</math> sind die aktuellen Lösungen der rekursiven Differenzengleichung. <math>{y_{(k=0)}}</math> ist der Folge <math>k=0</math> zugeordnet.

* <math>y_{(k-1)}</math> = das um einen Schritt <math>h</math> zurückliegende Ergebnis,
* <math>{h \cdot f(y_{(k-1)},x_{(k-1)})}</math> bedeutet: Parameter der diskretisierten Differentialgleichung zu einer Differenzengleichung.
: Diese Parameter und <math>h</math> sind in jeder Berechnungsfolge konstant. (Es existieren aber auch aufwendigere Diskretisierungsverfahren, die variable Intervalle <math>h</math> benutzen.)

Durch die Anwendung dieser Form der Differenzengleichung (Rückwärtsdifferenz) ergibt sich der Verlauf von <math>{y_{(k)}}</math> als [[Riemannsches Integral|Obersumme]] gegenüber der analytischen Funktion <math>y=f(x)</math>. Die zugehörige Differenzengleichung entsteht erst durch Einsetzen des Differenzenquotienten anstelle des Differenzialquotienten in der Differentialgleichung.

Das explizite Eulerverfahren wird auch unter dem Begriff: Integrationsformel ([[Explizites Euler-Verfahren|Euler-Cauchy]]-Verfahren) bezeichnet.

=== Beispiel einer numerischen Berechnung einer gegebenen Differentialgleichung 1. Ordnung ===
[[Datei:Numerische Berechnung einer Differentialgleichung.png|mini|Numerische Berechnung einer Differentialgleichung mit Anfangswert.]]
:{| class="wikitable"
|
'''Gegeben:''' Differentialgleichung <math>y'=2\cdot e^{2 \cdot x}</math>, Anfangswert <math>y_0=1</math>
::: Analytische Lösung: <math>y=e^{2 \cdot x}</math>
'''Gesucht:''' Differenzengleichung nach Euler-Rückwärts:

Die Ableitung <math>y'=\frac {dy}{dx}</math> wird näherungsweise durch den Differenzenquotient <math>\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}} h</math> ersetzt.

: <math>y'=2\cdot e^{2 \cdot x}\approx \frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}} h=2 \cdot e^{2 \cdot x_k}</math>

Die Differenzengleichung wird nach <math>y_{(k)}</math> freigestellt:

:{| class="wikitable"
|
: <math>y_{(k)}=y_{(k-1)}+h \cdot 2 \cdot e^{2\cdot x_k}</math>
|}
: Schrittweite h = 0,2; e = 2,718.

{| class="wikitable"
|-
! Folge k !! <math>x_{(k)}</math>!! <math>y_{(k-1)}</math>!!Parameter <math>h\cdot 2\cdot e^{2\cdot x_k}</math>!!Ergebnis <math>y_{(k)}</math> Annäherung!! Analytisch <math>y(x)=e^{2\cdot x_k}</math>
|-
| 0|| 0|| 0|| 0,4|| <math>y_{(0)}</math> = 1|| 1
|-
| 1|| 0,2|| 1|| 0,597|| 1,597|| 1,492
|-
| 2|| 0,4|| 1,597|| 0,890|| 2,487|| 2,225
|-
| 3|| 0,6|| 2,487|| 1,328|| 3,815|| 3,320
|-
| 4|| 0,8|| 3,815|| 1,981|| 5,796|| 4,952
|-
| 5|| 1,0|| 5,796|| 2,955|| 8,751|| 7,387
|}
|}
'''Anmerkung zur Programmierung von Differenzengleichungen:'''

Entscheidend für das Ergebnis der numerischen Berechnung ist die Differenzengleichung in der Startzeile für <math>x=0</math>, <math>y_{(k=0)}</math> bzw. <math>y_{(k=1)}</math>. Damit ist festgelegt, ob es sich bei dem Ergebnis <math>y_{(k)}</math> um eine Obersumme oder Untersumme gegenüber der analytischen Funktion handelt. Ober- und Untersumme können sich durch eine einzelne Schrittweite <math>h</math> unterscheiden.

Das tabellarische Ergebnis <math>y_{(k)}=[y_{(0)}, y_{(1)}, y_{(2)}, y_{(3)}, \dots, y_\mathrm{(max)}]</math> ist eine Folge von Berechnungspunkten (Stützstellen) in Annäherung an die analytische Funktion. Werden diese Punkte [[Interpolation (Mathematik)|interpoliert]], entsteht eine geschlossene Funktion. Mit fallender Größe von <math>h</math> konvergiert die numerische Lösung gegenüber der analytischen Funktion im Unendlichen.

Differenzengleichungen können mit jeder Programmiersprache berechnet werden. Da das Ergebnis der Berechnungsfolgen immer tabellarisch ist, empfiehlt es sich die Software der [[Tabellenkalkulation]] anzuwenden. Die Differenzengleichung wird beliebig oft kopiert. Der Vorteil: Die Tabellenkalkulation macht keine Fehler, die Rechengenauigkeit (Dezimalstellen) ist sehr hoch, die grafische Darstellung der Funktion <math>y_{(k)}=f(x_{(k)})</math> ist als XY-Diagramm bereits im Programm enthalten und muss nur aufgerufen werden.

=== Differenzengleichung des Zeitverhaltens bekannter Systeme 1. Ordnung ===
[[Differenzengleichung]]en beschreiben im einfachsten Falle Differentialgleichungen 1. Ordnung, deren [[Differentialquotient]]en durch Differenzenquotienten <math> \Delta y / \Delta t </math> ausgetauscht wurden. Sämtliche linearen Systeme höherer Ordnung können mit Hilfe von 4 Arten von Differenzengleichungen beschrieben werden, auch schwingende Systeme mit konjugiert komplexen Polpaaren.

Lineare zeitabhängige Prozesse, die durch GDGL beschrieben werden, lassen sich durch Nullstellenzerlegung in Systeme 1. Ordnung zerlegen. Enthalten diese Systeme Schwingungsanteile, weil auch ein Teilsystem mit einem konjugiert komplexen Polpaar vorhanden ist, so handelt es sich um ein lineares Teilsystem zweiter Ordnung.

Lineare Systeme ohne Anfangswerte der Systemspeicher werden durch die Laplace-transformierte Differentialgleichung als Übertragungsfunktionen <math>G(s)=Y(s)/U(s)</math> beschrieben und mittels Laplace-Transformationstabellen oder Partialbruchzerlegung berechnet. Diese Systeme können ebenso durch Umwandlung in Differenzengleichungen berechnet werden. Enthalten die systembeschreibenden GDGL konjugiert komplexe Pole, so werden die zugehörigen Differenzengleichungen durch Differenzenquotienten 2. Ordnung bestimmt.

Die nachfolgende Tabelle zeigt die möglichen stabilen Teilsysteme 1. Ordnung, aus denen ein lineares dynamisches Gesamtsystem bestehen kann:

{| class="wikitable"
|+ Tabelle der Differenzengleichungen (Euler-Rückwärts) der Elementarsysteme G(s) erster Ordnung
|-
! Elementarsysteme
! Übertragungsfunktion
! Differenzengleichungen
|-
| P-Glied || <math>\frac Y U(s) = K </math> || <math> y_{(k)} = K \cdot u_{(k)} </math>
|-
| I-Glied || <math>\frac Y U(s)= \frac 1{T_I \cdot s} </math> || <math>y_{(k)} = y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T_I}</math>
|-
| D-Glied || <math>\frac Y U(s)= T\cdot s </math> ||<math>y_{(k)} = [u_{(k)}-u_{(k-1)}]\cdot \frac {T}{\Delta t}</math>
|-
| PD1-Glied || <math>\frac Y U(s)=K \cdot(T\cdot s+1)</math> || <math>y_{(k)} = K_{PD1} \cdot \left[u_{(k)} + (u_{(k)}-u_{(k-1)})\cdot \frac {T}{\Delta t}\right]</math>
|-
| PT1-Glied || <math>\frac Y U(s)=\frac K {T\cdot s+1} </math> || <math>y_{(k)} = y_{(k-1)} + [K_{PT1}\cdot u_{(k)}-y_{(k-1)}] \cdot \frac {\Delta t}{T+\Delta t} </math>
|}

[Mit <math>K</math> = Verstärkungsfaktor, <math>y_{(k)}</math> = aktuelle zeitdiskrete Ausgangsgröße, <math>y_{(k-1)}</math> = vorherige Ausgangsgröße, <math>T</math> = Zeitkonstante, <math> u_{(k)}</math> = aktuelle zeitdiskrete Eingangsgröße der Systemeingangsgröße <math>u(t)</math>].

Bei dynamischen Systemen, die über die Übertragungsfunktion <math>G(s)</math> beschrieben werden, existieren keine Anfangswerte. Berechnete Differenzengleichungen starten bei der Folge <math>k=0</math> mit <math>y_{(k)}=0</math>

Diese Differenzengleichungen von Elementarsystemen können beliebig multiplikativ, additiv oder zurückgekoppelt vermascht sein. Jede Gleichung eines Gesamtsystems wird hintereinander berechnet. Bei Reihenschaltungen von Teilsystemen ist die berechnete Ausgangsgröße <math>y_{(k)}</math> die Eingangsgröße <math>u_{(k)}</math> des folgenden Teilsystems. Bei Parallelschaltungen von Teilsystemen werden die Ergebnisse der Ausgangsgrößen additiv zusammengeführt.

<math>\to</math> Siehe Artikel [[Differenzengleichung#Differenzengleichungen höherer Ordnung|Differenzengleichungen höherer Ordnung]].

=== Numerische Berechnung eines Übertragungssystems 2. Ordnung mit Hilfe der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung ===
Die bis in die 1960er Jahre bevorzugte Lösung einer systembeschreibenden Differenzialgleichung durch einen Analogrechner ähnelt sehr stark der Regelungsnormalform des [[Zustandsraumdarstellung|Zustandsraumes]].

Die Ausgangswerte der Integratoren können zu einem beliebig wählbaren Zeitpunkt für <math>t_0</math> den Wert Null haben, oder auf einen beliebigen Anfangswert <math>y_0, y'_0, y''_0 \cdots</math> gesetzt werden, unabhängig davon, ob die Eingangsgröße <math>u(t)</math> einen Wert ungleich Null oder gleich Null hat. Die Ausgänge der Integratoren sind die Zustandsvariablen <math>x_n(t) \text{ bis } x_1(t)</math> und jeweils die Lösungen der Differentiale, indem sie mit den zugehörigen Koeffizienten auf den Eingang der höchsten Ableitung zurückgeführt werden. Die gesuchte Funktion der Ausgangsgröße <math>y(t)</math> entspricht der Zustandsvariablen <math>x_1(t)</math>.

Die Berechnung des Signalflussplans wird numerisch durchgeführt und bezieht sich auf die explizite Form der Differenzialgleichung, bei der die höchste Ableitung der Ausgangsgröße <math>y^{n}(t)</math> von der Gleichung freigestellt wird.

'''Beispiel der GDGL eines Feder-Masse-Dämpfungssystems mit dem Eingangssignal <math>u(t)</math>'''

Im universitären Fachbereich technischer Studienrichtungen wird das Federpendel als ein Übertragungssystem zweiter Ordnung in vielen Fällen als System mit einem Eingang und einem Ausgang definiert. Das linear gedämpft schwingende System verfügt meist über einen Systemeingang <math>u(t)</math> und einen Systemausgang <math>y(t)</math> als Position (Lage) der Masse. Folgende Anwendungsfälle treten auf:

* Anwendungsfall <math>u(t)>0</math>
: Die Eingangsgröße <math>u(t)</math> greift mit einer Kraft <math>F</math> den Körper der Masse <math>m</math> an und bewegt den Körper als Ausgangsgröße <math>y(t)</math>. Der Bewegung stehen die Trägheits-, Dämpfungs- und Rückstellkraft der Feder entgegen.
: Nach genügend langer Zeit ist die Ruhelage der Masse abhängig von der Eingangsgröße <math>u(t)</math>, von der Federkonstante <math>f</math> und der Masse <math>m</math>.
* Anwendungsfall <math>u(t)=0</math>
: Das System mit <math>y(t)</math> ist in Bewegung, wenn zum Zeitpunkt <math>t=0</math> Anfangswerte <math>y_0</math> und deren Ableitungen der inneren Energiespeicher gegeben sind.
: Nach genügend langer Zeit ist die Ruhelage der Masse durch die Größe der Masse und durch die Federkraft bestimmt.

Es handelt sich bei dem Federpendel um ein lineares Verzögerungssystem 2. Ordnung, das im komplexen Frequenzbereich ein konjugiert komplexes Polpaar aufweist. Das System schwingt gedämpft, wenn die Größe des Dämpfungsgrades <math>d</math> im Bereich <math>0<d<1</math> liegt.

Differenzialgleichung der [[Schwingung|Schwingbewegung]] mit Signaleingang <math>u(t)</math> und Signalausgang <math>y(t)</math>:
(m = Masse, d = Dämpfungskonstante, k = Federkonstante, b0 = Faktor)
:<math> m \cdot \ddot y(t) + d \cdot \dot y(t) + k \cdot y(t) = b_0 \cdot u(t)</math>

=== Signalflussplan für die homogene und partikuläre Lösung der GDGL zweiter Ordnung ===
[[Datei:Blockschaltbild bestimmung zustandsvariablen pt2-glied.gif|mini|350px|Signalflussplan der Regelungsnormalform für ein System 2. Ordnung ohne Differentiale des Eingangssignals u(t) zur Bestimmung der Zustandsvariablen x1(t), x2(t).]]

In dem dargestellten Signalflussplan sind alle Koeffizienten der GDGL durch den Koeffizienten <math>a_2</math> der höchsten Ableitung <math>\ddot y(t)</math> dividiert worden, um <math>\ddot y(t)</math> freistellen zu können. Der Signalflussplan entspricht der expliziten Darstellung der GDGL, also der Form der freigestellten Gleichung nach der höchsten Ableitung <math> y^{(n)}=f(t; \ y; \ \dot {y}; \ \ddot {y} \ \cdots)</math>.

Der Signalflussplan wird wie dargestellt numerisch berechnet, indem jede mathematische Operation der Koeffizienten und Differenzengleichungen hintereinander erfolgt. Da das Ergebnis der numerischen Berechnung immer tabellarisch erfolgt, gehören sämtliche Berechnungen entsprechend der Folge <math>k</math> innerhalb einer Zeile. Jede Gleichung besetzt eine Spalte der gleichen Zeile. Es werden <math>k_\mathrm{max}</math> identische Zeilen hintereinander berechnet.

Die allgemeine Form der Schwingungsgleichung lautet:
: <math>a_2 \cdot \ddot y(t)+a_1 \cdot \dot y(t)+a_0 \cdot y(t)= b_0 \cdot u(t)</math>

Zur Durchführung der Berechnung wird die GDGL nach der höchsten Ableitung <math>y^{(n)}(t)</math> umgestellt und freigestellt.

:{| class="wikitable"
|
<math> \ddot y(t)= \frac {b_0}{a_2} \cdot u(t)- \frac {a_1}{a_2} \cdot \dot y(t)-\frac {a_0}{a_2} \cdot y(t)</math>
|}

Der dargestellte Signalflussplan erzwingt die Lösung der GDGL zweiter Ordnung für <math>y(t)</math>. Es hängt nun davon ab, ob eine:
* homogene Lösung mit Anfangswerten und <math>u(t)=0</math>,
* partikuläre Lösung mit <math>u(t)\ne 0</math> ohne Anfangswerte,
* eine Gesamtlösung mit Anfangswerten und <math>u(t)\ne 0</math> gewünscht wird.

Zur Berechnung der Komponenten des Signalflussplanes sind folgende numerische Operationen erforderlich:

Algebraische Operationen wie z. B. die Differenz der Koeffizienten von der Eingangsgröße <math>u(t)</math> sind entsprechend der Folge <math>k</math> bzw. der Folgegleichungen nummeriert.

: <math>\frac {u_{(k)}\cdot b_0}{a_2}-\frac {a_1}{a_2}-\frac {a_0}{a_2}</math>.

Für die homogene Lösung ist die Eingangsgröße <math>u_{(k)}=0</math>.

Für die Berechnung der Integratoren gilt die Differenzengleichung der Integration (Euler-Rückwärts):
:{| class="wikitable"
|
<math>y_{k}=y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T_I}</math>
|}

Der Term <math>u_{(k)}</math> bedeutet hier allgemein die Eingangsgröße für jede Folge der Differenzengleichung. Dies ist in den meisten fällen nicht die System-Eingangsgröße <math>u(t)</math>, sondern es handelt sich um den in der tabellarische Darstellung stehenden Eingangswert, der in der gleichen Zeile links neben der Spalte der Differenzengleichung liegt. Je nach Aufgabenstellung ändert sich <math>u_{(k)}</math> ständig mit steigender Folge. Bei mehreren Differenzengleichungen in Reihenschaltung ist die Ausgangsgröße <math>y_{(k)}</math> die Eingangsgröße der nächsten Differenzengleichung <math>u_{(k)}</math>.

Die Integrationskonstante <math>T_I</math> hat ohne besondere Spezifikation den Wert 1.

<math>y_{(k-1)}</math> bezieht sich auf das Ergebnis einer um <math>k-1</math> zurückliegenden Folge (Zeile) der gleichen Spalte der Differenzengleichung.

Da zwei Integratoren in Reihenschaltung vorliegen, ist die Ausgangsgröße des ersten Integrators die Eingangsgröße des zweiten Integrators. Die Ausgangsgröße des zweiten Integrators ist die gesuchte Funktion <math>y_{(k)}</math> der gleichen Folge für einen Stützpunkt in Annäherung an die analytische Funktion.

Liegen Anfangswerte der GDGL vor, werden für den entsprechenden Integrator für die Berechnungsfolge <math>k=0</math> anstelle des Wertes <math>y_{(k)}=0</math> (1. Zeile der Tabelle) die Anfangswerte der zwei Differenzengleichungen <math>y_{(k=0)}=y_0^' \ \text {bzw.} \ =y_0</math> eingegeben.

Da die numerische Lösung der GDGL eine Annäherung an die Originalfunktion darstellt, hängt die Genauigkeit der Berechnung für die angegebene Differenzengleichung von Größe der diskreten Zeit ab. Wird für <math>\Delta t</math> ein Wert von ca. 0,1 % von der dominanten System-Zeitkonstante gewählt, ist ein Annäherungsfehler von ca. 0,1 % zu erwarten.

=== Beispiel der homogenen Lösung eines senkrecht schwingenden Federpendels ohne Eingangssignal <math>u(t)=0</math> mit Anfangswerten ===
[[Datei:Senkrecht schwingendes Federpendel.png|mini|350px|Zeitverhalten der Position der Masse des Federpendels ohne Signaleingang. Schwingperiode: 2,54 [sec], Dämpfung D = 0,15. Beispiel Zahlenwerte: m = 0,16; d = 0,12; k = 1; y0 = 1]]

Siehe nebenstehendes Bild!

Das Federpendel kann auch als ein System mit einem Eingangssignal = Null zum Zeitpunkt <math>t_0</math> mit den Anfangswerten der Federkraft und der Masse definiert werden. In diesem Fall ist das System zum Zeitpunkt <math>t_0</math> sich selbst überlassen und strebt eine Ruhelage an, die durch die Federkraft, Masse und Dämpfung bestimmt wird.

Die Anfangswerte werden wie folgt definiert:
* Die Lage der Masse im Ruhezustand wird als Null festgelegt.
* Die Lage der Masse wird auf eine Höhe mit dem Anfangswert <math>y_0=1</math> angehoben definiert und zum Zeitpunkt <math>t=0</math> fallen gelassen.
* Der Anfangswert des ersten Integrators <math>y'_0</math> muss im angehobenen Zustand der Masse den Wert Null, also <math>y'_0=0</math> annehmen, anderenfalls kann der Anfangswert <math>y_0=1</math> nicht auf den Anfangswert <math>y_0=1</math> verharren. Ein konstanter Ausgangswert bei zwei hintereinander geschalteten Integratoren ist nur möglich, wenn der Ausgangswert des ersten Integrators gleich Null ist.

'''Für die homogene Lösung der GDGL des Federpendels sind folgende rekursive Berechnungen nach dem Signalflussplan erforderlich:'''

* Die Eingangsgröße <math>\frac {u_{(k)}\cdot b_0}{a_2}</math> ist gleich Null.
:: <math>-\frac {a_1}{a_2} \cdot y'_{(k)}-\frac {a_0}{a_2} \cdot y_{(k)}</math>. Diese mit den Koeffizienten bewertete Ausgangsgrößen der Integratoren wirken als Eingangsgröße auf <math>\ddot y(t)</math>.
* Differenzengleichung des ersten I-Gliedes:
:: <math>y_{k}=y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T_I}</math>. Der Ausgangswert des ersten Integrators ist der Eingangswert des zweiten Integrators. (<math>T_I=1</math>)
* Differenzengleichung des zweiten I-Gliedes:
:: <math>y_{k}=y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T_I}</math>. Der Ausgangswert des zweiten Integrators ist das Ergebnis <math>y_{k}</math> einer Berechnungszeile. (<math>T_I=1</math>)
* Die erste Berechnungszeile für <math>y_{(k=0)}</math> enthält die Anfangswerte der Integratoren <math>\dot y_0(t)=0</math> und <math>y_0(t)=1</math> der Differenzengleichungen. Alle übrigen Gleichungen in dieser Zeile haben den Wert Null.

Werden diese Gleichungen für eine grafische Darstellung mit einer Betrachtungszeit von 10 Sekunden mit <math>\Delta t = 0{,}01\,\mathrm{s}</math> berechnet, sind 1000 identische Berechnungsfolgen (Zeilen) erforderlich. Jede Folge liefert im Abstand <math>\Delta t</math> für <math>y_{(k)}</math> einen Wert. Der größte Approximationsfehler beträgt wegen der gewählten Größe von <math>\Delta t = 0{,}01\,\mathrm{s}</math> etwa 1 %.

Mit Ausnahme der Folgegleichung für <math>k=0</math> (1. Zeile) sind alle weiteren Folgegleichungen (Zeilen) identisch.

'''Tabellarische Berechnung des Pendels:'''

Zur Berechnung der Koeffizienten als Eingangsgröße des ersten Integrators der Folge <math>k</math> stehen die Werte von <math>y'_{(k)}</math> und <math>y_{(k)}</math> noch nicht zur Verfügung. Deshalb müssen diese Werte von einer zurückliegenden Folge <math>k-1</math> entnommen werden. Zur Vermeidung von Rundungsfehlern, die sich addieren, wurde mit sehr hoher Stellenzahl der Tabellenkalkulation gerechnet.

{| class="wikitable"
|-
! Folge k !! Diskrete Zeit <math> t_{(k)}</math>!! Koeffizienten <math>-0{,}75 \cdot y'_{(k)} - 6{,}25 \cdot y_{(k)}</math> !! Erste numerische Integration <math>y'_{(k)}</math> !! Zweite numerische Integration <math>y_{(k)}</math>
|-
| 0 || 0 || 0 || <math>y'_0=0</math> || <math>y_0=1</math>
|-
| 1 || 0,01 || −6,250 || −0,0625 || 0,999375
|-
| 2 || 0,02 || −6,199219 || −0,1244922 || 0,998130
|-
| 3 || 0,03 || −6,144944 || −0,1859416 || 0,9962706
|-
| || || || ||
|-
| 126 || 1,26 || 3,929768 || −0,0337729 || −0,6203322
|}

Siehe Zahlenwerte im letzten Bild für <math>t_{(k=126)}=1{,}26 \ [sec]</math> und <math>y_{(k=126)}=-0{,}62</math>.

=== Partikuläre Lösung der GDGL eines senkrecht schwingenden Federpendels mit Eingangssignal <math>u(t)>0</math> ohne Anfangswerte ===
Für die partikuläre Lösung der GDGL des Federpendels sind folgende rekursive Berechnungen nach dem Signalflussplan erforderlich:

* Die Eingangsgröße <math>\frac {u_{(k)}\cdot b_0}{a_2}</math> wird für einen normierten Sprung <math>u(t)=1</math> gewählt.
:: <math>\frac {b_0} {a_2} \cdot u_{(k)}-\frac {a_1}{a_2} \cdot y'_{(k)}-\frac {a_0}{a_2} \cdot y_{(k)}</math>. Diese bewerteten Koeffizienten wirken als Eingangsgröße auf <math>\ddot y(t)</math>
* Differenzengleichung des ersten I-Gliedes:
:: <math>y_{k}=y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T_I}</math>. Der Ausgangswert des ersten Integrators ist der Eingangswert des zweiten Integrators. (<math>T_I=1</math>)
* Differenzengleichung des zweiten I-Gliedes:
:: <math>y_{k}=y_{(k-1)} + u_{(k)}\cdot \frac {\Delta t}{T_I}</math>. Der Ausgangswert des zweiten Integrators ist das Ergebnis <math>y_{k}</math> einer Berechnungszeile. (<math>T_I=1</math>)
* Die erste Berechnungszeile für <math>y_{(k=0)}</math> enthält die Anfangswerte der Integratoren <math>\dot y_0(t)=0</math> und <math>y_0(t)=0</math> der Differenzengleichungen. Alle übrigen Gleichungen in dieser Zeile haben den Wert Null.

Das Ergebnis der numerischen Berechnung ist eine spiegelbildliche Darstellung des Verlaufs von <math>y(t)</math> der homogenen Lösung für die gewählten Daten. Das System <math>y_{(k)}</math> startet bei <math>\Delta t=0</math> gedämpft schwingend und nähert sich asymptotisch nach genügend langer Zeit dem Wert 1.

Die Gesamtlösung der GDGL <math>y_H(t)+y_P(t)</math> der gewählten Daten lautet für alle Folgen <math>y_{(k)}=1</math>.

== Siehe auch ==
* [[Partielle Differentialgleichung]]
* [[Anfangswertproblem]]
* [[Randwertproblem]]

== Literatur ==
* Herbert Amann: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', 2. Auflage, Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin New York, 1995, ISBN 3-11-014582-0
* Bernd Aulbach: ''Gewöhnliche Differenzialgleichungen'', Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
* Martin Hermann: ''Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme'', Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
* Harro Heuser: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', Teubner, März 2004, ISBN 3-519-32227-7
* Edward Lincey Ince: ''Die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen'', Dover Publications, 1956, ISBN 0-486-60349-0
* Wolfgang Walter: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung]]

Martin Ziegler (Mathematiker)

2018-09-26T07:50:50Z

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'''Martin Ziegler''' (* [[1968]]) ist ein [[Deutschland|deutscher]] [[Mathematiker]]. Er ist Professor für [[Theoretische Informatik]] an der [[KAIST]]. Von 2010 bis 2015 war er Professor an der [[TU Darmstadt|Technischen Universität Darmstadt]].

== Leben ==
Ziegler wurde 2002 mit der Arbeit ''Zur Berechenbarkeit reeller geometrischer Probleme'' an der [[Universität Paderborn]] promoviert.<ref>{{Internetquelle | url=http://www.genealogy.ams.org/id.php?id=123041 | titel=Martin Ziegler | hrsg=[[Mathematics Genealogy Project]] | zugriff=2017-10-28 | sprache=en}}</ref> Nach verschiedenen [[Post-Doktorand|Post-Doc-Stellen]] wurde er dort 2008 habilitiert. Im März 2010 trat er an der [[Technische Universität Darmstadt|TU Darmstadt]] eine [[W2-Professur]] für Mathematik an.

An der TU Darmstadt war er Mitglied der IANUS-Gruppe (Interdisziplinäre Arbeitsgruppe Naturwissenschaft, Technik und Sicherheit). Die Gruppe beschäftigt sich mit naturwissenschaftlich orientierter Friedensforschung. In den Jahren 2012–2015 war er deren Sprecher.<ref name="Ziegler" />

2015 folgte er einem Ruf auf eine Professur für Theoretische Informatik am KAIST (früher: ''Korea Advanced Institute of Science and Technology'') in [[Daejeon]], [[Südkorea]].

== Leistungen ==
In seinen Arbeiten beschäftigt er sich u. a. mit Logik-Problemen, einem Forschungsfeld zwischen der Mathematik und der Informatik. Er war an der TU Darmstadt Mitglied der Logik-Gruppe des Fachbereichs Mathematik.<ref>{{internetquelle |url=http://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/index.php?id=1577 |titel=Mitglieder der Arbeitsgruppe Logik |hrsg=Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt |zugriff=2014-09-02}}</ref>

== Auszeichnungen ==
* 1996/97: Preis für herausragende Abschlussarbeiten 1996/97 der Uni-GH Paderborn for the Diplomarbeit ''Eine alternative Formulierung der Quantenmechanik''.<ref name="Ziegler">{{Internetquelle | url=http://m.zie.de/ | titel=Martin Ziegler (Prof. Dr. rer. nat. Dipl.-Phys. Dipl.-Math.) | titelerg=Persönliche Webseite | autor=Martin Ziegler | zugriff=2017-10-28 | sprache=en}}</ref>
* 1998: Multimedia Award 1998 des [[Bundesministerium für Wirtschaft und Energie|BMWi]] zusammen mit Matthias Fischer and Tamás Lukovszki für das Projekt ''Multimediale Entdeckungsreisen unserer Welt mit dem Internet''<ref name="Ziegler" />
* 2006: Forschungspreis 2006 (zusammen mit Dr. Matthias Fischer)<ref name="Ziegler" />
* 2009: Den ''Best Paper Award'' des Springer-Verlags auf der ''32nd Annual Conference on Artificial Intelligence'', gemeinsam mit ''Florentin Neumann'' and ''Andrea Reichenberger'' für: ''Variations of the Turing Test in the Age of Internet and Virtual Reality''
* 2011: Athene Fachbereichspreis für Gute Lehre und Sonderpreis für Interdisziplinäre Lehre 2011 (gemeinsam mit ''Gerd Buntkowsky'' und ''Hans-Jürgen Bär'')<ref name="Ziegler" />

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|124487572}}
* {{Internetquelle | url=http://m.zie.de/ | titel=Martin Ziegler (Prof. Dr. rer. nat. Dipl.-Phys. Dipl.-Math.) | titelerg=Persönliche Webseite | autor=Martin Ziegler | zugriff=2017-10-28 | sprache=en}}

== Einzelnachweise ==

<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=124487572|VIAF=62482832}}

{{SORTIERUNG:Ziegler, Martin}}
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Mathematiker (21. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Technische Universität Darmstadt)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Südkorea)]]
[[Kategorie:Geboren 1968]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
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|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=deutscher Mathematiker
|GEBURTSDATUM=1968
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Martin Ziegler (Mathematiker)

2018-09-26T07:48:40Z

InvertedRepeat:

'''Martin Ziegler''' (* [[1968]]) ist ein [[Deutschland|deutscher]] [[Mathematiker]]. Er ist Professor für [[Theoretische Informatik]] an der KAIST. Von 2010 bis 2015 war er Professor an der [[TU Darmstadt|Technischen Universität Darmstadt]].

== Leben ==
Ziegler wurde 2002 mit der Arbeit ''Zur Berechenbarkeit reeller geometrischer Probleme'' an der [[Universität Paderborn]] promoviert.<ref>{{Internetquelle | url=http://www.genealogy.ams.org/id.php?id=123041 | titel=Martin Ziegler | hrsg=[[Mathematics Genealogy Project]] | zugriff=2017-10-28 | sprache=en}}</ref> Nach verschiedenen [[Post-Doktorand|Post-Doc-Stellen]] wurde er dort 2008 habilitiert. Im März 2010 trat er an der [[Technische Universität Darmstadt|TU Darmstadt]] eine [[W2-Professur]] für Mathematik an.

An der TU Darmstadt war er Mitglied der IANUS-Gruppe (Interdisziplinäre Arbeitsgruppe Naturwissenschaft, Technik und Sicherheit). Die Gruppe beschäftigt sich mit naturwissenschaftlich orientierter Friedensforschung. In den Jahren 2012–2015 war er deren Sprecher.<ref name="Ziegler" />

2015 folgte er einem Ruf auf eine Professur für Theoretische Informatik am [[KAIST]] (früher: ''Korea Advanced Institute of Science and Technology'') in [[Daejeon]], [[Südkorea]].

== Leistungen ==
In seinen Arbeiten beschäftigt er sich u. a. mit Logik-Problemen, einem Forschungsfeld zwischen der Mathematik und der Informatik. Er war an der TU Darmstadt Mitglied der Logik-Gruppe des Fachbereichs Mathematik.<ref>{{internetquelle |url=http://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/index.php?id=1577 |titel=Mitglieder der Arbeitsgruppe Logik |hrsg=Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt |zugriff=2014-09-02}}</ref>

== Auszeichnungen ==
* 1996/97: Preis für herausragende Abschlussarbeiten 1996/97 der Uni-GH Paderborn for the Diplomarbeit ''Eine alternative Formulierung der Quantenmechanik''.<ref name="Ziegler">{{Internetquelle | url=http://m.zie.de/ | titel=Martin Ziegler (Prof. Dr. rer. nat. Dipl.-Phys. Dipl.-Math.) | titelerg=Persönliche Webseite | autor=Martin Ziegler | zugriff=2017-10-28 | sprache=en}}</ref>
* 1998: Multimedia Award 1998 des [[Bundesministerium für Wirtschaft und Energie|BMWi]] zusammen mit Matthias Fischer and Tamás Lukovszki für das Projekt ''Multimediale Entdeckungsreisen unserer Welt mit dem Internet''<ref name="Ziegler" />
* 2006: Forschungspreis 2006 (zusammen mit Dr. Matthias Fischer)<ref name="Ziegler" />
* 2009: Den ''Best Paper Award'' des Springer-Verlags auf der ''32nd Annual Conference on Artificial Intelligence'', gemeinsam mit ''Florentin Neumann'' and ''Andrea Reichenberger'' für: ''Variations of the Turing Test in the Age of Internet and Virtual Reality''
* 2011: Athene Fachbereichspreis für Gute Lehre und Sonderpreis für Interdisziplinäre Lehre 2011 (gemeinsam mit ''Gerd Buntkowsky'' und ''Hans-Jürgen Bär'')<ref name="Ziegler" />

== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|124487572}}
* {{Internetquelle | url=http://m.zie.de/ | titel=Martin Ziegler (Prof. Dr. rer. nat. Dipl.-Phys. Dipl.-Math.) | titelerg=Persönliche Webseite | autor=Martin Ziegler | zugriff=2017-10-28 | sprache=en}}

== Einzelnachweise ==

<references />

{{Normdaten|TYP=p|GND=124487572|VIAF=62482832}}

{{SORTIERUNG:Ziegler, Martin}}
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Mathematiker (21. Jahrhundert)]]
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[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Ziegler, Martin
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}}

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2018-09-24T17:06:35Z

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Jim Al-Khalili

2018-09-24T15:56:16Z

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[[Datei:Prof Jim Al-Khalili - EdSciFest 2014 (10).JPG|mini|Jim Al-Khalili]]

'''Jim Al-Khalili''' ([[Order of the British Empire|OBE]]; ''Jameel Sadik Al-Khalili''; * [[20. September]] [[1962]] in [[Bagdad]], [[Irak]]) ist britischer Professor für theoretische [[Kernphysik]], Autor, Fernseh- und Hörfunk-Journalist.

== Leben ==
Al-Khalili wurde am 20. September 1962 in Bagdad als Sohn des Irakers Sadik Al-Khalili und der Engländerin Jean Wheatcroft geboren. Zusammen mit einem Bruder und zwei Schwestern wuchs er im Irak auf, bevor die Familie 1979 dauerhaft in das [[Vereinigtes Königreich|Vereinigte Königreich]] zog.
Dort widmete er sich dem Studium der Physik an der [[Universität Surrey]], das er 1986 als [[Bachelor]] abschloss. In diesem Jahr heiratete er des Weiteren seine Frau Julie. Bereits 1989 erreichte er den Doktorgrad der Philosophie für seine Arbeit auf dem Gebiet der theoretischen Kernphysik. Noch im gleichen Jahr wurde ihm ein [[Science and Engineering Research Council]] (SERC) Forschungsstipendium für Postdoktoranden am [[University College London]] gewährt. 1991 kehrte er nach Surrey zurück, wo er zunächst als Forschungsassistent und später als Juniorprofessor arbeitete. Im Jahre 1994 wurde ihm ein fünfjähriges fortgeschrittenes Engineering and Physical Sciences Research Council (EPSRC) Forschungsstipendium zuerkannt, in dessen Verlauf er sich als Experte auf dem Gebiet der Neutronenhalokerne etablierte. Seine Publikationen umfassen über 60 Aufsätze in internationalen Fachzeitschriften.

Heute lebt Al-Khalili in [[Southsea]] in [[Hampshire]] mit seiner Frau Julie und seinen beiden Kindern David und Kate. Nach seiner Ernennung zum ''Senior [[Lecturer]]'' im Jahr 2000 ist er seit 2005 Professor für Physik an der Universität von Surrey, wo er auch einen Lehrstuhl für ''Public Engagement in Science'' innehat. Seine Tätigkeit als Dozent erstreckte sich bisher sowohl über Großbritannien als auch über den Rest der Welt. Neben seiner Lehrtätigkeit ist Al-Khalili in der [[British Association for the Advancement of Science]] engagiert, wo er Ehrenmitglied ist, darüber hinaus ist er Mitarbeiter am Institute of Physics. Al-Khalili ist seit Dezember 2012 außerdem Präsident der [[British Humanist Association]].

Zu seinen jüngsten Auszeichnungen zählen der Public Awareness of Physics Award des Institute of Physics (2000), der Royal Society Michael Faraday Prize für Wissenschaftspublizistik (2007)<ref>{{Webarchiv|wayback=20070930201130|url=http://www.royalsoc.ac.uk/news.asp?id=6683 |text=Pressemitteilung}} auf der Website der Royal Society, Stand: 30. September 2007, im [[Internet Archive]] auf archive.org (englisch)</ref> und die Ernennung zum Officer of the [[Order of the British Empire]] (OBE; 2008). 2018 wurde er in die [[Royal Society]] gewählt.

== Tätigkeit beim Rundfunk ==
Al-Khalili tritt regelmäßig im Fernsehen und im Radio auf.

Im Fernsehen hat er zu einigen Produktionen beigetragen. Dies gilt gleichermaßen für Sendungen mit wissenschaftlichem Inhalt wie ''Tomorrow's World'' oder ''BBC Horizon'' wie für Sendungen über Kunst und Kultur, z. B. ''The South Bank Show''. 2007 präsentierte er ''Atom'', eine dreiteilige Sendung, die die Entwicklung unseres Verständnisses des Aufbaus der Atome dokumentiert.

Im Radio ist Al-Khalili regelmäßiger Gast in der [[BBC Radio 4|Radio 4]]-Sendung ''In Our Time'' und präsentiert die Sendung ''The Life Scientific'' im selben Sender.

== Veröffentlichungen (Auswahl) ==
* ''Intermediate Energy Deuteron Elastic Scattering from Nuclei in a Three-Body Model'', PhD Thesis, University of Surrey, 1989, {{bibcode|1989PhDT........76A}}

Jim Al-Khalili ist Autor unter anderen dieser populärwissenschaftlicher Werke:
* ''Nucleus: A Trip into the Heart of Matter'', Johns Hopkins University Press, Baltimore 2001, ISBN 0-8018-6860-2
* ''Black Holes, Wormholes and Time Machines''
** deutsch: ''Schwarze Löcher, Wurmlöcher und Zeitmaschinen'', übersetzt von Heiner Must, Elsevier, Spektrum Akad. Verlag, München und Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-1018-5
* ''Quantum: A Guide for the Perplexed'', Weidenfeld & Nicolson, London 2004, ISBN 1-841-88238-0
** deutsch: ''Quantum: Moderne Physik zum Staunen'', übersetzt von Heiner Must, Elsevier, Spektrum, Akda. Verlag 2004, ISBN 3-8274-1574-8
* ''Pathfinders'', Allen Lane, London 2010, ISBN 978-1-84614-161-4, auch unter dem Titel:
* ''The House of Wisdom: How Arabic Science Saved Ancient Knowledge and Gave us the Renaissance'', Penguin Press, New York 2011, ISBN
** deutsch: ''Im Haus der Weisheit. Die arabischen Wissenschaften als Fundament unserer Kultur'', übersetzt von Sebastian Vogel, S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main 2011 ISBN 978-3-10-000424-6

Seine Bücher wurden teilweise in 13 Sprachen übersetzt.

Eine Liste seiner Bücher findet sich auf seiner Website.<ref> {{Webarchiv|url=http://www.jimal-khalili.com/books/|text=Veröffentlichungsliste|wayback=20180221072621|webciteID=|archive-is=|archive-today=}} (englisch)</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://www.jimal-khalili.com/ Private Website] (englisch)
* [http://www.ph.surrey.ac.uk/profiles?s_name=Jim_Al-Khalili Jim Al-Khalili] auf der Webseite der Universität Surrey (englisch)
* [http://www.iop.org/activity/careers/Careers/Resources/Case_studies/Professionals/page_3360.html Jim Al-Khalili] auf der Webseite des Institute of Physics (englisch)

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[[Kategorie:Sachbuchautor (Physik)]]
[[Kategorie:Hochschullehrer (Guildford)]]
[[Kategorie:Physiker (21. Jahrhundert)]]
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{{Personendaten
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Benutzer:InvertedRepeat

2017-02-12T20:16:14Z

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Wissenschaftliches Interesse: Strukturbiologie, Biophysik, Chemische Biologie und Proteomics/Metabolomics.

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Student der Biochemie in Heidelberg.

Wissenschaftliches Interesse: Strukturbiologie, Biophysik, Chemische Biologie und Proteomics/Metabolomics.

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2017-02-12T20:14:21Z

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Student der Biochemie in Heidelberg.

Wissenschaftliches Interesse: Strukturbiologie, Biophysik, Chemische Biologie und Proteomics/Metabolomics.

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{{Box|b=#6E8B3D|c=black|Text=Fast jeder Editor verwendet für seine Arbeit in der Wikipedia neben gedruckten Quellen auch Online-Ressourcen. Damit auch andere Editoren von solchen Quellen profitieren können, werden sie seit 2005 auf der '''Quellenseite der Redaktion''' gesammelt.

Die zahlreichen inzwischen dort versammelten Materialien sind hochwertig, ohne Zugangsbeschränkungen und umfangreich, fast zu jeder Organismengruppe können dort gute Quellen gefunden werden. Ein Blick lohnt während der Recherche fast immer. Weitere Informationen '''[[Wikipedia:Redaktion Biologie/Quellen|hier]]'''.}}

{{Box|b=#b0c58c|c=black|Text=[[Datei:BioOne Logo white.svg|right|]]Durch eine Kooperation von Wikimedia Deutschland mit dem Verlag [http://www.bioone.org BioOne] stehen '''100 Zugänge zur BioOne-Online-Literaturdatenbank''' für Autoren der deutschsprachigen Wikipedia bereit.

Sie bieten '''uneingeschränkten Vollzugriff''' auf derzeit rund 170 teils hochrenommierte Zeitschriften zum Thema Biologie ([http://www.bioone.org/userimages/ContentEditor/1242668692442/2009_BioOne_All.pdf Liste als PDF]).

Voraussetzung für einen Zugang ist nur eine erkennbare Mitarbeit in der Redaktion Biologie. Die Zugänge werden im eLitstip-Programm des Literaturstipendiums von Wikimedia Deutschland verwaltet. Weitere Informationen [[Wikipedia:Literaturstipendium/BioOne|'''hier''']].}}
{{Kasten|<center>Dieses Projekt wurde für den [[Wikipedia:Zedler-Preis|Zedler-Preis]] 2015 vorgeschlagen. [[Datei:ZedlerPreis motiv3.svg|40px]]</center>}}

== Einordnung der Tiere "bis vor kurzem" ==
{{nicht archivieren}}
Ich habe das schon [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Neuseelandf%C3%A4cherschwanz&diff=prev&oldid=132260611 hier] angesprochen. Es ist irgendwie schwammig zu schreiben, wie eine Spezies "bis vor kurzem" eingeordnet wurde. Besagte Formulierung ist in Dutzenden von Tierartikeln zu finden. Bin überzeugt, die Experten hier dürften was genaueres wissen. --[[Benutzer:Albertus correctus magnus|Albertus correctus magnus]] ([[Benutzer Diskussion:Albertus correctus magnus|Diskussion]]) 16:46, 18. Jul. 2014 (CEST)
:[[Benutzer:Albertus correctus magnus|Albertus correctus magnus]] - Ich finde ''bis vor kurzem'' grundsätzlich problematisch in einer Enzyklopädie. Das sind einfach Satzteile die alleine aufgrund verstrichener Zeit ihre Gültigkeit verlieren. In 10 Jahren ist nichts mehr "bis vor kurzem" das es heute noch ist. Wenn ich sowas finde versuch ich es zumindest auf ein spezifisches Jahr zu ändern (zb ''bis 2012'' statt ''bis vor kurzem'') --[[Benutzer:Thyriel|Thyriel]] ([[Benutzer Diskussion:Thyriel|Diskussion]]) 04:11, 15. Okt. 2014 (CEST)
::{{ping|Thyriel}} Danke für die Antwort, Thyriel. [https://de.wikipedia.org/w/index.php?search=bis+vor+kurzem&title=Spezial%3ASuche&go=Artikel Hier hast du eine Auflistung von Artikeln per Wikipedia-Suche], die den Satzteil entsprechend enthalten. Es gibt aber Fälle, da wären Abänderungen nicht so sinnvoll, wie z.B. Zusammenfassungen von Filmhandlungen, Erzählungen und dergleichen. Hier geht es natürlich primär um die Tierartikel, wollte aber darauf hinweisen, dass das Problem recht verbreitet ist, das sich über alle Themen durchzieht. --[[Benutzer:Albertus correctus magnus|Albertus correctus magnus]] ([[Benutzer Diskussion:Albertus correctus magnus|Diskussion]]) 14:33, 22. Okt. 2014 (CEST)
::Übrigens: Auch [https://de.wikipedia.org/w/index.php?search=seit+kurzem&title=Spezial%3ASuche&go=Artikel "seit kurzem"] ist so ein verbreitetes Unding. --[[Benutzer:Albertus correctus magnus|Albertus correctus magnus]] ([[Benutzer Diskussion:Albertus correctus magnus|Diskussion]]) 17:54, 22. Okt. 2014 (CEST)
:::[[Wikipedia:Wie_schreibe_ich_gute_Artikel#Zeitangaben]], nicht gerade ein neues Thema.--[[Benutzer:Giftzwerg 88|Giftzwerg 88]] ([[Benutzer Diskussion:Giftzwerg 88|Diskussion]]) 01:08, 5. Feb. 2015 (CET)

=== "mittellang" ===
Wie ist es mit der Beschreibung der Morphologie verschiedener Arten unter Verwendung von ''mittellang'' (am häufigsten bei Tieren, ''mittelbreit'' oft in [[Rassentheorie]], ''mittelgroß'' bei [[Rebsorte]]n)? Ich stelle mir vor, dass sich solche Bezeichnungen immer auf die Abweichung vom Durchschnitt beziehen... Gibt es bei der Klassifizierung von Arten einen Standart oder sollte man anstreben, diese Wörter auszutauschen? --[[Benutzer:Entinator|Entinator]] ([[Benutzer Diskussion:Entinator|Diskussion]]) 14:52, 22. Nov. 2016 (CET)
:Solche Beschreibungen können m.E. tatsächlich sinnvoll sein, da sie Arten oder Sorten im Rahmen ihrer Verwandtschaft (z.B. des höheren Taxons) recht klar beschreiben - im Einzelfall wäre aber ggf. zu prüfen, ob der Bezug klar ist. Ein mittellanges Säugetier wäre z.B. kaum sinnvoll (zwischen Blauwal und Spitzmaus also 15 m oder nach Artenzahl gemittelt, also eher wie ein größerer Nager???), während eine mittellange Art innerhalb der Pythons in meinen Augen ziemlich eindeutig wäre (Eine mittellange Schlange dagegen wieder schwieriger würde). -- [[Benutzer:Cymothoa exigua|Cymothoa]] 15:24, 22. Nov. 2016 (CET)

== Kategoriendiskussionen ==

{{nicht archivieren}}
Moin, die aktuellen Kategoriendiskussionen habe ich verlagert auf [[Wikipedia Diskussion:Redaktion Biologie/Kategorien‎‎]] - dies betrifft vor allem die obige Diskussion um die Fiktiven Lebewesen. Zudem habe ich heute morgen die [[:Kategorie:Lebewesen – sonstige Kategorien]] aufgelöst und ebenfalls dort dokumentiert - Diskussionen und Dokumentation der weiteren Schritte bitte ebenfalls auf der dortigen Seite führen. Gruß -- [[Benutzer:Achim Raschka|Achim Raschka]] ([[Benutzer Diskussion:Achim Raschka|Diskussion]]) 09:18, 5. Mär. 2016 (CET)
: Den Abschnitt habe ich eben aus dem Archiv geholt und werde gleich auf der Seite weiterdiskutieren. -- [[Benutzer:Olaf Studt|Olaf Studt]] ([[Benutzer Diskussion:Olaf Studt|Diskussion]]) 00:10, 26. Jun. 2016 (CEST)

== Vorlage Wikispecies ==
Zur Info: Der Löschantrag auf die [[Vorlage:Wikispecies]] wurde heute entschieden, [[Benutzer:Rax]] entschied entgegen der in der Diskussion reichhaltig vorhandenen Fachdarstellungen und mit länglicher Begründung darauf, dass das Teil behalten werden soll - die Energie, das in einer Löschprüfung anzufechten spare ich mir aktuell lieber. Die Entscheidung kopiere ich hier hinein, damint sie auch in unserem Archiv verfügbar und damit nutzbar ist:

{{Kasten|
erl. - bleibt -
* Wikispecies war lange Zeit ein fachlich unsauberes Projekt (das war ja der Grund dafür, dass es quasi auf den Index des Fachportals geriet), Ähnliches gilt aber für andere Schwesterprojekte ebenso (bspw. Wikiquote).
* Wikispecies ist (wie andere Schwesterprojekte) über die Sidebar schon derzeit in Artikeln verlinkt - ob dies so bleibt und, falls ja, wer in welcher Form auf die Verlinkungen in der Sidebar Einfluss nehmen kann, wird sich zeigen - ich denke aber, dass es diesbezgl. kein großes Problem geben wird, wir verlinken ja auch die andern Sprachversionen unabhängig von der Qualität der Artikel in der Sidebar.
* Ob eine (ggf. zusätzliche) Verlinkung in Artikeln (im Abschnitt "Weblinks" wie bei anderen Schwesterprojekten) sinnvoll ist, entscheiden dagegen wie üblich die Autoren der Artikel der Wikipedia. Es gibt keinen Automatismus ''für'' (auch nicht ''gegen'') die Verlinkung von Artikeln/Seiten der Schwesterprojekte, sondern sie müssen üblicherweise den Ansprüchen genügen, die für Weblinks in der Wikipedia gelten, also (entgegen Boshomis Annahme oben) natürlich doch [[WP:WEB]], Stichwort "vom Feinsten!" (Commons wird meist ungeprüft verlinkt; bei Wikiquote oder Wictionary sieht das schon anders aus ...). Ob diese Ansprüche erfüllt sind, entscheiden eigenständig die Autoren der Wikipedia-Artikel, siehe dazu [[Wikipedia:Weblinks#Im_Abschnitt_Weblinks]], 4. Spiegelpunkt. (nb: Es wurden schon User und Bots gesperrt, die ihre Mission im automatischen Verlinken der Schwesterprojekte sahen.)
* Ebenso entscheiden die Autoren der Wikipedia-Artikel selbst darüber (wie bei Literaturangaben oder bei Angaben von Internetquellen), ob sie Verlinkungen per Vorlage oder per reinem Quelltext in ihren Artikeln haben möchten - es gibt Argumente für beides. (Klartext bzgl. Löschdiskussion oben: [[Spezial:Diff/154779110|in einem Diff wie diesem von Boshomi verlinkten]] sind beide Varianten möglich, da sie sachlich dasselbe Ergebnis haben. Welche die für den jew. Artikel die richtige ist, entscheiden die Autoren selbst; im Zweifel gilt auch hier [[WP:Korrektoren]].)
* Ob eine solche Vorlage besteht oder nicht besteht, hat also nichts damit zu tun, ob und wie sie verwendet wird. Kann daher einfach bleiben; damit, dass es diese Vorlage gibt, ist schlicht genau keine Aussage verbunden, ob die Wikispecies-Seiten (unter Weblinks) eine sinnvolle Ergänzung der Wikipedia-Artikel darstellen könnten.
Fazit: Gegen die Vorlage an sich ist nichts einzuwenden - ob und wie sie verwendet wird, entscheiden die Autoren der Wikipedia-Artikel selbst, und zwar aus rein fachlicher Perspektive. --[[Benutzer:Rax|Rax]] [[Benutzer_Diskussion:Rax| post ]] 02:01, 10. Jul. 2016 (CEST)
}}

Wichtig für mich dabei: Rax betont, dass die Verwendung fachlich begründet sein und der Vorgabe für Weblinks genügen muss ("vom Feinsten") (!!) und es keine Massenverlinkungen geben darf - ich werde ihn gelegentlich an diese Aussagen erinnern, wenn jemand meint, diese Vorlage massenhaft zu verwenden. Für mich bedeutet es, dass ich in den Bereichen, in denen ich aktiv bin, diese Vorlage auch weiterhin nicht dulden werde, solange kein wirklicher Mehrwert gegenüber dem Inhalt des Artikels erkennbar ist - und das ist bei den Säugern bzw. bei den Wirbeltieren sowie in weiteren Bereichen der Zoologie eigentlich generell nicht der Fall. Wie es andere Mitarbeiter halten belasse ich in deren Entscheidung - in der Botanik und evtl. der Entomologie gibt es sicher begründete Fälle, in denen die Vorlage brauchbar ist. Gruß -- [[Benutzer:Achim Raschka|Achim Raschka]] ([[Benutzer Diskussion:Achim Raschka|Diskussion]]) 09:21, 10. Jul. 2016 (CEST)

== [[:Kategorie:Hanf]] ==
Beim Projekt Kategorien habe ich einen [https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia_Diskussion:WikiProjekt_Kategorien#Kategorie:Hanf Vorschlag] über die Neukonzeption dieser Kategorie gemacht, die Euch auch betrifft.[[Benutzer:Oliver S.Y.|Oliver S.Y.]] ([[Benutzer Diskussion:Oliver S.Y.|Diskussion]]) 11:58, 19. Dez. 2016 (CET)

== Redaktionelle Gestaltung: Quellen vs. Weblinks ==

Hallo! Ich habe ein Thema zur redaktionellen Artikelgestaltung, dass ich gerne zur Diskussion stellen möchte. Aufhänger ist [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Himantura_leoparda&action=history ''Himantura leoparda'']. Als ich den Text verfasste, entschied ich mich bewusst zur Aufteilung zwischen "Quellen" (auf denen der Text beruht) und "Weblinks" (mit denen ein Leser weiterstöbern kann) - zur Erklärung gibt es auch einen Quelltextkommentar. Nicht nur hier wurde aber im Rahmen der Eingangskontrolle diese Aufteilung (gerne mit der Begründung "Standardisierung") aufgelöst. Das finde ich persönlich nicht gut, erstens weil ich einen begrifflichen Unterschied zwischen Links und Quellen sehe und zweitens es hier ja eine Wartungsliste gibt, die offensichtlich sehr gut zu dieser Ansicht der Aufteilung passt: [[Wikipedia:Redaktion Biologie/keine Quellenangabe außer Weblinks]]. Wie seht ihr anderen das, und ist das vielleicht sogar etwas für das ganz große Forum weil wiki-übergreifend wichtig? Grüße, [[Benutzer:Grand-Duc|Grand-Duc]] ([[Benutzer Diskussion:Grand-Duc|Diskussion]]) 07:51, 13. Jan. 2017 (CET)
:Soweit ich Dich verstehe, geht es Dir um "Weblinks als Quellen" vs. "Weblinks als Weblinks". Da gibt´s eigentlich nichts zu deuteln, der Unterschied ist klar und eindeutig. "Weblinks" sind nette Extras, aber keine Quellen. Ich denke, die Irritation kommt im konkreten Fall daher, dass alle verwendeten Quellen ebenfalls weblinks sind. Hätte da ein Aufsatz oder Buch mit dringestanden, wäre das wohl kaum so gekommen. In vielen Altlasten aus der prä-ref-Phase stehen (vermutlich), aus ähnlichen Gründen, einige tatsächliche Quellen (noch) irrigerweise unter der falschen Überschrift. Sonst sehe ich eigentlich kein wirkliches Problem.--[[Benutzer:Meloe|Meloe]] ([[Benutzer Diskussion:Meloe|Diskussion]]) 08:26, 13. Jan. 2017 (CET)
::Ehrlich gesagt finde ich Quellen, die einfach unter den Artikel geklatscht werden, generell wenig hilfreich. Besser wäre es, diese an den jeweiligen Stellen als Einzelnachweise einzubauen um klar zu machen, welche Infos wo her kommen. Dann entsteht das oben angesprochene Problem auch gar nicht erst, denn selbstverständlich können bestimmte Websites Einzelnachweise und ''zusätzlich'' Weblinks sein. Und niemand wird auf die Idee kommen einen Einzelnachweis zu löschen. Warum ein Abschnitt "Quellen" wenig hilfreich ist sieht man hier auch: Mehrere Originalarbeiten sind im Text nur mit Autor und Jahreszahl angegeben. Sind diese Arbeiten in den Artikel eingeflossen oder kommt das aus einer Sekundärquelle? Das bleibt völlig unklar. Und: Pubmed kennt [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed?term=(white%5BAuthor%20-%20First%5D)%20AND%20(%222006%22%5BDate%20-%20Publication%5D%20%3A%20%222006%22%5BDate%20-%20Publication%5D) 473 Arbeiten], von 2006 mit dem Erstautor White. Sollten da nicht genaue Zitate angegeben werden? Woher stammt beispielsweise, dass manche Autoren falsche (irrtümliche) Angaben gemacht haben? Mit Einzelnachweisen an den Absätzen wäre all das eindeutig. Gruß [[Benutzer:Dietzel65|d65]][[Benutzer Diskussion:Dietzel65|sag's mir]] 12:18, 13. Jan. 2017 (CET)
::: +1. Genau darum geht es: Man kann dem Leser bzw. der Redaktion Biologie kaum zumuten gegebenenfalls dicke Bücher (oder unübersichtliche Webseiten) durchzuschmökern, um herauszufinden, was davon als Quelle für welche Stelle im Artikel gedient hat. Daher: möglichst genauer Einzelnachweis mit Seitenangabe bei Büchern oder Zeitschriften bzw. Kapitelüberschriften und Abrufdatum (Abgerufen am...) bei Webseiten. MfG --[[Benutzer:Regiomontanus|Regiomontanus]] ([[Benutzer Diskussion:Regiomontanus|Diskussion]]) 12:42, 13. Jan. 2017 (CET)
::::Also wenn ich obige Diskussion richtig verstehe will ich entsprechend mein Votum dazu tun. Ich bin gegen Quellen nur unter unter Quellen zu nennen. Ich finde seit über fünf Jahren ist es üblich jeden absatz mit referenzen zu versehen, damit klar ist was aus welcher Quelle stammt, das erleichtert das überprüfen, das erleichtert den ausbau etc. und hilft OMA. (also da gibt es dann gar nicht das Problem von „quell-weblinks“ und „nicht quell-weblinks“. herzliche Grüße. --[[Benutzer:BotBln|BotBln]] ([[Benutzer Diskussion:BotBln|Diskussion]]) 19:36, 18. Jan. 2017 (CET)
::::::[[Benutzer:Grand-Duc]], es wäre schön, wenn Du Dich zur Diskussion noch mal äußern würdest, die Du hier gestartet hast. Gruß [[Benutzer:Dietzel65|d65]][[Benutzer Diskussion:Dietzel65|sag's mir]] 22:54, 31. Jan. 2017 (CET)
:::::::Genau genommen steckt jede online aufbrufbare Information (auf Websites gespeicherte Bücher, Zeitschriften) hinter einem Weblink. Das andere wären Printmedien (physische Bücher und Zeitschriften), die man offline verwendet. --[[Benutzer:Melly42|Melly42]] ([[Benutzer Diskussion:Melly42|Diskussion]]) 23:36, 31. Jan. 2017 (CET)

::: Ich bin etwas überrascht worden - ich denke mal, dass ich noch ältere (= "Jugend" der WP...) Ansichten präsent habe, wonach Quellen grundsätzlich, Einzelnachweise aber nur zu Verdeutlichung präziser Aussagen erforderlich sind (mithin als "Quellen" eine Art höheren Rang als "Einzelnachweise" haben). Ich persönlich habe bei EN auch immer das Problem, dass nicht immer sofort erkennbar ist, wieviel von dem vorangegangene Text mit diesem EN belegt werden soll... Meloe hat mich ansonsten richtig verstanden (und bestätigt). Grüße, [[Benutzer:Grand-Duc|Grand-Duc]] ([[Benutzer Diskussion:Grand-Duc|Diskussion]]) 22:59, 2. Feb. 2017 (CET)

== et al vs. u. a. ==

Warum wird die wissenschaftliche Abkürzung et al ständig in u. a. umgeändert? Da Abkürzungen in der Wikipedia eh verpönt sind, müsste es dementsprechend ausgeschrieben „und andere“ heissen. --[[Benutzer:Melly42|Melly42]] ([[Benutzer Diskussion:Melly42|Diskussion]]) 16:52, 15. Jan. 2017 (CET)
:Wenn ich es sehe, setze ich es sofort zurück. Das Thema hatten wir hier auch schon mal. Der Benutzer „Ron Meier“ ist da sehr aktiv, reagiert aber offenbar nicht auf Ansprachen, bzw. macht einfach, was er will. Gruß, --[[Benutzer:Donkey shot|Donkey shot]] ([[Benutzer Diskussion:Donkey shot|Diskussion]]) 17:40, 15. Jan. 2017 (CET)
:: Ja man macht es weil et. al. nicht alle sofort verstehen, u. a. ist halt Deutsch üblich. Halt etwas blöd zum kopieren.--[[Spezial:Beiträge/77.56.60.22|77.56.60.22]] 07:50, 22. Jan. 2017 (CET)
::: Erschließt sich über kurz oder lang eigentlich aus dem Zusammenhang. Wir haben auch einen Artikel [[et al.]], da kann der irritierte Leser ansosten auch mal händisch nachschlagen... --[[Benutzer:Gretarsson|Gretarsson]] ([[Benutzer Diskussion:Gretarsson|Diskussion]]) 20:24, 30. Jan. 2017 (CET)
:::: Da es hier für fachlich richtig immer wieder erklärt wurde, dies auch erörtert wurde warum, kann man nur ermuntern, diese unermüdlichen „Andersmacher“ einfach mit den reverts zu versorgen, die sie nötig zu haben scheinen. richtig ist: [[et al.]] --[[Benutzer:BotBln|BotBln]] ([[Benutzer Diskussion:BotBln|Diskussion]]) 23:25, 6. Feb. 2017 (CET)
:::::Habe ihn auf VM gemeldet. Irgendwann reicht es... -- [[Benutzer:Cymothoa exigua|Cymothoa]] 16:03, 9. Feb. 2017 (CET)

== nicht fachlicher Fehler in der Vorlage "alternatives Taxon" ==

Es ist im Text von einer Abbildung die Rede, die weder im Baustein auftaucht noch in mindestens einem Artikel, der die Vorlage verwendet (Schleimpilze). "(... )bzw. ist nicht Teil der hier abgebildeten Systematik der Gruppe."
# Vorschlag: "(...) bzw. ist nicht Teil der in Wikipedia verwendeten Systematik."
# Vorschlag: in jedem den Baustein verwendenden Artikel einen individuell formulieren Baustein einfügen
# Vorschlag: für Artikel, die die Vorlage verwenden, eine reguläre Infobox/Systematikbox einrichten, und an die ungeklärten Stellen einen entsprechenden Vermerk eintragen oder mehrere Varianten (je nach Systematik) eintragen

Alle vorgeschlagenen Varianten würden für den Artikel über Schleimpilze beispielsweise funktionieren. Überdies ist der Hinweis für unerfahrene Wikipedia-Leser deswegen unter Umständen verwirrend, da in diesem Fall nicht vorausgesetzt werden kann, dass der Leser weiß, dass der Hinweis sich (auch) auf die in anderen Biologieartikeln verwendeten Systematik-Infoboxen bezieht.

[[Benutzer:Erdhummel|Erdhummel]] ([[Benutzer Diskussion:Erdhummel|Diskussion]]) 19:35, 30. Jan. 2017 (CET)

: Ich denke „abgebildet“ bezieht sich in der Vorlage nicht auf eine figürliche Abbildung, eine Grafik o.ä., sondern auf die (verbale) Darstellung des Artikelgegenstandes (i.S.v. Wiedergabe der Fachliteratur). Dem Vorschlag 1 hätte ich aber erstmal nichts entgegen zu setzen, die anderen beiden gefallen mir nicht so gut. --[[Benutzer:Gretarsson|Gretarsson]] ([[Benutzer Diskussion:Gretarsson|Diskussion]]) 20:19, 30. Jan. 2017 (CET)
:: Sehe ich auch so, in meisten Fällen sind die Taxa mit der Vorlage "alternatives Taxon" nur noch reine Formtaxa und [[paraphyletisch]], also wirklich obsolet und veraltet. Also wenn dann würde der erste Vorschlag völlig ausreichen.--[[Benutzer:Toxoplasma II.|Toxoplasma II.]] ([[Benutzer Diskussion:Toxoplasma II.|Diskussion]]) 20:30, 30. Jan. 2017 (CET)

Zunächst kurz noch ein Link zu Meinungen dazu bei [[Wikipedia:Auskunft#eine_Frage_an_erfahrene_Editierer_von_Wikipedia.21|Fragen an Wikipedia]], wo ich die Frage zuerst gestellt hatte. Dort hat jemand ein paar weitere Artikel, die die Vorlage verwenden, verlinkt (ich weiß nicht wie man die Seiten, die die Vorlage verwenden, rausfindet). Bei diesen Seiten handelt es sich vor allem um wirklich obsolet gewordene oder ausgestorbene Taxa. Insofern ist der Text der Vorlage dort tatsächlich passender als im Artikel Schleimpilze, bis auf den sehr frei verwendeten Begriff "abgebildet". Ich würde also vorschlagen, die kleine Umformulierung in der Vorlage vorzunehmen und im Artikel über [[Schleimpilze]] evtl. noch zu erwähnen, dass sie ungewöhnlicherweise sehr schwer in die Systematik der Lebewesen einzugliedern sind (zusätzlich zum Hinweis, dass es weder Pilze noch Tiere noch Pflanzen sind). Als Einzeller können sie ja auch schwerlich bezeichnet werden.

[[Benutzer:Erdhummel|Erdhummel]] ([[Benutzer Diskussion:Erdhummel|Diskussion]]) 12:05, 2. Feb. 2017 (CET)
:Wo liegt jetzt das Problem? Bei den Schleimpilzen ist es genau wie bei den [[Reptilien]]. In der Einleitung des Artikels Schleimpilze ist es doch erklärt. Schleimpilze sind keine näturliche Gruppe und paraphyletisch. Sie stellen nur noch ein Formtaxa dar. Das scheint noch nicht überall angekommen zu sein, ist aber aktueller Stand der Forschung. Wenn man eine aktuelle Systematische Einteilung sehen will muss man sich die Artikel der ehemaligen Untergruppen ansehen. [[Myxogastria]], [[Dictyostelia]] und [[Protostelia]]. Es gibt die Kategorie Alternatives Taxon, dort sind alle solche Fälle gelistet. --[[Benutzer:Toxoplasma II.|Toxoplasma II.]] ([[Benutzer Diskussion:Toxoplasma II.|Diskussion]]) 12:56, 2. Feb. 2017 (CET)

::Ich habe noch gar nicht gesehen, dass das tatsächlich auch im Artikel über Reptilien steht. Die neue Sytematik wird bestimmt eine ganze Weile wissenschaftsintern bleiben. Gut, bleibt also nur die zuerst angesprochene Sache. [[Benutzer:Erdhummel|Erdhummel]] ([[Benutzer Diskussion:Erdhummel|Diskussion]]) 16:12, 2. Feb. 2017 (CET)

Könnte sich dann also jemand der Vorlage annehmen und sie kurz umformulieren, um damit den Ansprüchen an die gute Formulierung ohne Missverständnispotenzial entgegenzukommen? Das ist ja offenbar die Lösung, der alle zustimmen. [[Benutzer:Erdhummel|Erdhummel]] ([[Benutzer Diskussion:Erdhummel|Diskussion]]) 13:46, 8. Feb. 2017 (CET)

== Innere Systematik: Phylloscopidae ==

Ich hab hier gerade eine kleines Bevorzugsproblem bei der inneren Systematik für die Laubsängerartigen:

# HBW Illustrated Checklist/IUCN/BirdLife listen 78 Arten in eine Gattung ''Phylloscopus'' (del Hoyo et al 2016) (siehe www.redlist.org → Stichwort Phylloscopus)
# Bird Families of the World listet 70 Arten in die Gattungen ''Rhadina'' (3), ''Abrornis'' (9), ''Phylloscopus'' (15) und ''Seicercus'' (43) (Winkler et al 2015)
# IOC listet 66 Arten in ''Phylloscopus'' und 11 Arten in ''Seicercus''.

Welche Systematik soll bevorzugt werden? --[[Benutzer:Melly42|Melly42]] ([[Benutzer Diskussion:Melly42|Diskussion]]) 12:06, 1. Feb. 2017 (CET)

:Ich würde abwarten. "Diese gravierende Änderung der Gattungseinteilung in einer taxonomisch ohnehin extrem „schwierigen“ Singvogelgruppe wäre vermeidbar gewesen, wenn die Autoren die Publikation eines in allen Teilästen komplett aufgelösten genetischen Baum abgewartet hätten; er wird Rhadina und Abrornis überflüssig machen (M. Päckert mündl.). Auch ist kaum vertretbar, dass neue Namen ohne klare Begründung eingeführt werden, Belege nicht genannt und die Namengebung nicht erklärt werden." (Jochen Martens & Norbert Bahr: Dokumentation neuer Vogel-Taxa, 10 - Bericht für 2014. Vogelwarte 54, 2016: 195 – 230.).--[[Benutzer:Meloe|Meloe]] ([[Benutzer Diskussion:Meloe|Diskussion]]) 12:27, 1. Feb. 2017 (CET)
::Ich warte auch gerade auf mein Exemplar der HBW Illustrated Checklist. Hoffentlich gibt es da einen Hinweis, warum ''Seicercus'' mit ''Phylloscopus'' synonymisiert wurde. --[[Benutzer:Melly42|Melly42]] ([[Benutzer Diskussion:Melly42|Diskussion]]) 12:41, 1. Feb. 2017 (CET)
::Hab die Frage mal ins BirdForum geschrieben. Hier ist die Antwort hinsichtlich der Einteilung in der aktuellen HBW and BirdLife International Illustrated Checklist Vol. 2 Passerines (del Hoyo et al, Lynx Edicions, Barcelona, 2016):
:::"Recent review [43] indicates that previous internal arrangement, with all taxa of present family split between Seicercus and Phylloscopus, was paraphyletic. As a result some authors have split Phylloscopus into several genera, with some movement of taxa from Phylloscopus to Seicercus, but accuracy of this debatable on present knowledge. One of these versions [930] involves groups containing species as listed below: Rhadina (species 1-3); Abrornis (species 4-13); Phylloscopus (species 14-28); and Seicercus (species 29-78). Another version [659] divides family into nine genera. More cautious alternative involves merging Seicercus into Phylloscopus; adopted herein, pending results of a comprehensive study currently in progress [31]." Quellen: [31] = "Alström, P. pers. comm.", siehe auch Anmerkung von Alström bei der Familie Phylloscopidae bei der IOC-Klassifizierung, [43] = Alström et al 2013 [http://www.chinesebirds.net/EN/abstract/abstract257.shtml?WebShieldDRSessionVerify=UZVQLICTCDsdGkeDohur hier] [659] = Boyd 2016, [http://jboyd.net/Taxo/List22.html#phylloscopidae TiF Checklist] 3.06., [930] = Dickinson & Christidis 2014, The Howard and Moore Complete Checklist of the Birds of the World, 4th Edition, volume 2 Passerines. --[[Benutzer:Melly42|Melly42]] ([[Benutzer Diskussion:Melly42|Diskussion]]) 15:41, 1. Feb. 2017 (CET)
::::So meine HBW & BirdLife Checklist ist da. Jetzt hab ich wenigstens schonmal die deutschen Trivialnamen von allen Arten aus dieser Familie. --[[Benutzer:Melly42|Melly42]] ([[Benutzer Diskussion:Melly42|Diskussion]]) 14:57, 4. Feb. 2017 (CET)

== Wartungsbausteinwettbewerb Winter 2017 ==

Liebe Redaktion Biologie, morgen startet die [[Wikipedia:Wartungsbausteinwettbewerb/Winter 2017|Winterausgabe des Wartungsbausteinwettbewerbs]]. Habt ihr vielleicht Lust, als Einzelkämpfer oder mit einem Biologie-Team anzutreten, um einige mangelhafte Biologie-Artikel zu überarbeiten? Potentielle Überarbeitungskandidaten im Bereich Biologie gibt es (wie überall) reichlich:
:{{Catscan Portal|Biologie}}

Jeder Beitrag hilft! Einfach alleine oder zusammen mit den Redaktionskollegen [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Wartungsbausteinwettbewerb/Winter_2017&action=edit&section=1&editintro=Wikipedia:Wartungsbausteinwettbewerb/Editintro-Neues-Team anmelden], verschiedene Artikel mit Wartungsbausteinen überarbeiten, diese überarbeitete Artikel in die Wettbewerbstabelle eintragen – und schon hat die WP wieder einige überarbeitungswürdigen Artikel weniger. Macht mit, es ist ganz einfach. Zahlreiche Hinweise und Tipps gibt es auf der [[Wikipedia:Wartungsbausteinwettbewerb|Wettbewerbsseite]]. Bei Fragen gerne jederzeit auf der [[Wikipedia Diskussion:Wartungsbausteinwettbewerb/Winter 2017|Diskussionsseite]] melden. Wir würden uns über eure Teilnahme freuen. Viele Grüße, -- [[Benutzer:Toni Müller|Toni]] ([[Benutzer Diskussion:Toni Müller|Diskussion]]) 13:49, 4. Feb. 2017 (CET)

== Zikaden ==

Moin. Ich bin von der [[Wikipedia:Auskunft|Auskunft]] hier her verwiesen worden. Es stellt sich mir gerade folgende Frage: Im Artikel über die Zikaden steht sinngemäß, dass die Arten weltweit in Gebieten mit Pflanzenbewuchs vorkommen - in gemäßigten Klimaten sowohl wie in den Subtropen und Tropen. Kann man dann daraus ableiten, dass Wüsten nicht zu ihren bevorzugten Habitaten gehören, da die Vegetation dort verhältnismäßig spärlich ist? Für meine Recherchen zu einem Buchprojekt ist die Antwort auf diese Frage wirklich von höchster Wichtigkeit. Vielen Dank im Voraus für eure Antworten. Grüße, --[[Spezial:Beiträge/2003:DD:9BED:1E00:8834:8EFE:5987:F773|2003:DD:9BED:1E00:8834:8EFE:5987:F773]] 04:41, 8. Feb. 2017 (CET)
:Das kann man definitiv '''nicht''' so sagen. Solange es Vegetation gibt, wird es auch Zikaden geben. Einige Gruppen sind sogar ausgesprochen artenreich in Wüsten vertreten. Dies gilt insbesondere auch für die für menschliche Beobachter auffallendste Gruppe, die Singzikaden. Vgl. etwa [http://www.desertusa.com/insects/cicada.html hier].--[[Benutzer:Meloe|Meloe]] ([[Benutzer Diskussion:Meloe|Diskussion]]) 08:23, 8. Feb. 2017 (CET)

: Zum Verständnis: auch in Wüsten gibt es Vegetation, nur eben sehr spärlich bzw. nicht überall (vgl. [[Oase]]). --[[Benutzer:Gretarsson|Gretarsson]] ([[Benutzer Diskussion:Gretarsson|Diskussion]]) 08:28, 8. Feb. 2017 (CET)
:: Ok, vielen Dank. Ich habe ja auch ausgedrückt, dass die Vegetation sehr spärlich ist und war mir nicht sicher, ob der Pflanzenbewuchs für die Zikaden ausreicht. Danke für eure Antworten und noch frohes Schaffen weiterhin. --[[Spezial:Beiträge/2003:DD:9BD3:5700:9C49:CE05:A19A:EF79|2003:DD:9BD3:5700:9C49:CE05:A19A:EF79]] 20:57, 8. Feb. 2017 (CET)

== Überraschung bei [[Vogelbalg]] ==

Das (auf der BKL [[Balg]] verlinkte) Lemma [[Vogelbalg]] leitet nämlich auf [[Benutzer:Kürschner]]s Artikel [[Vogelfell]] weiter. Einen Artikel zum Balg als Tierpräparat gibt es somit nicht: Im Artikel [[Taxidermie]] wird zwar beim Durchlesen klar, was ein Balg ist, eine Definition zum schnellen Nachschlagen fehlt aber. -- [[Benutzer:Olaf Studt|Olaf Studt]] ([[Benutzer Diskussion:Olaf Studt|Diskussion]]) 23:20, 9. Feb. 2017 (CET)
: Der Kollege [[Benutzer:Elektrofisch|Elektrofisch]] hat vor längerer Zeit angefangen, hier [[Benutzer:Elektrofisch/balgerei|→ Elektrofisch/balgerei]] sehr erfolgversprechend einen Anfang zu einem Artikel Vogelbalg zu machen. Ich habe deshalb, um ihm Platz zu machen, das Lemma „Vogelfell“ benannt, der Name, der zur Zeit der Nutzung der Vogelbälge für Kleidung und Galanterieware gebräuchlich war. Vielleicht kann er den Artikel jetzt in den Namensraum schieben, sieht doch schon sehr gut aus? -- [[Benutzer:Kürschner|Kürschner]] ([[Benutzer Diskussion:Kürschner|Diskussion]]) 08:23, 10. Feb. 2017 (CET)
::Klaut doch einfach aus meinem BNR, ich komme nicht dazu die nötige Literatur zu beschaffen. In der praktischen Arbeit brauch ich die nicht. Ach ja, im Laufe der Arbeit am Artikel hab ich gemerkt das der sich von Vogelbalg, nach Vogelbalgsammlung verschoben hat, aber das Einzelstück hat keinen Wert und Vogelbälger außerhalb von Sammlungen machen eigentlich keinen Sinn. Den bekommen sie erst wenn sie in der Sammlung liegen.--[[Benutzer:Elektrofisch|Elektrofisch]] ([[Benutzer Diskussion:Elektrofisch|Diskussion]]) 08:45, 10. Feb. 2017 (CET)
::: Nöh [[Benutzer:Elektrofisch|Elektrofisch]], Ehre, wem Ehre gebührt. Schieb's rüber! -- [[Benutzer:Kürschner|Kürschner]] ([[Benutzer Diskussion:Kürschner|Diskussion]]) 09:35, 10. Feb. 2017 (CET)
::::Ok. Ich hab zwar noch ein Auge drauf, werde aber nicht mehr viel beitragen.--[[Benutzer:Elektrofisch|Elektrofisch]] ([[Benutzer Diskussion:Elektrofisch|Diskussion]]) 09:41, 10. Feb. 2017 (CET)
: Prima. Wie immer ist jedermann aufgerufen, die fehlenden Teile noch zu ergänzen. Und danke, ist sehr gut! -- [[Benutzer:Kürschner|Kürschner]] ([[Benutzer Diskussion:Kürschner|Diskussion]]) 10:28, 10. Feb. 2017 (CET)

Mindestns Kleinsäuger werden auch so gesammelt. Da fehlt also noch ein Artikel.--[[Benutzer:Elektrofisch|Elektrofisch]] ([[Benutzer Diskussion:Elektrofisch|Diskussion]]) 12:30, 10. Feb. 2017 (CET)

== Matthioli tricuspida Dreispitzige Levkoje ==

In der Beschreibung bei telebotanica steht im Kontext der Blütenbeschreibung

''lames du stigmate prolongées sur le dos en cornes''

Bei der Übersetzung komme ich nicht richtig weiter.

la lame lt. Wörterbuch Schwert, etc.

wörtliche Übersetzung: verlängerte Schwerter (Narbenstrahlen?) der Narbe auf dem Rücken als Hörner.

Kann jmd Licht in die Angelegenheit bringen?

Gruß --[[Benutzerin:Belladonna2|Belladonna]] [[Benutzer Diskussion:Belladonna2|Elixierschmiede]] 10:50, 11. Feb. 2017 (CET)

== Levina ==

hallo, in [[Diskussion:Levina#Begriffsklärung unenzyklopädisch verhindert]] gibt es die Frage ob [[Levina]] nur die Sängerin sein kann oder es nicht doch auch das Taxon ''Levina'' (Gattung nach Evans, 1955) gibt mit ''Levina levina'' (Plötz 1884), was mit all den Vor-und Nachnamen zu einer BKS führen müsste. Dieser Schmetterling ''Levina'' müsste zu den [[Dickkopffalter]]n (Hesperiidae) gehören. Wie seht ihr das? VG --[[Benutzer:Jbergner|Jbergner]] ([[Benutzer Diskussion:Jbergner|Diskussion]]) 21:21, 11. Feb. 2017 (CET)
:die gehören wohl zu den [[Hesperiinae]]? --[[Benutzer:Jbergner|Jbergner]] ([[Benutzer Diskussion:Jbergner|Diskussion]]) 21:48, 11. Feb. 2017 (CET)

:: Ja, Hesperiidae ''und'' (genauer) Hesperiinae, das System ist ja hierarchisch. Was meinst du mit „''all den Vor-und Nachnamen''“? Die [[Binominale Nomenklatur|Binomen]] der [[Art (Biologie)|Arten]]? Falls ja: Die sind m.E. hinsichtlich einer BKS vernachlässigbar. Nur die Schmetterlingsgattung heißt aussschließlich ''Levina''. Die kann theoretisch über einen BKH im Artikel über die Sängerin verlinkt werden. Alle Arten dieser Gattung, so es denn überhaupt mehrere sind, werden dann üblicherweise im Artikel über diese Gattung gelistet und verlinkt und brauchen nicht zusätzlich auf einer BKL-Seite gelistet werden, zumal die stets binominalen (und nur als solche eindeutigen) Artnamen ohnehin keine Homonyme von Gattungsnamen sein können. --[[Benutzer:Gretarsson|Gretarsson]] ([[Benutzer Diskussion:Gretarsson|Diskussion]]) 09:34, 12. Feb. 2017 (CET)

== Lernen ==

Hallo, im Artikel [[Lernen]] steckt eine Falschinformation - worum es geht dürfte auf Diskussion/Historie ersichtlich sein. Es ist ein recht offensichtlicher Fehler: ein unplausibler und nie empirisch gezeigter Mechanismus wird als Hauptweg der Gedächtniskonsolidierung dargestellt, obwohl die tatsächlichen Mechanismen der synaptischen Plastizität schon lange erforscht werden. Biologische Grundkenntnisse reichen aus, um das zu widerlegen. Man scheint mir als anonymen Nutzer keine fachliche Kompetenz zuzutrauen - vielleicht möchte jemand auf der Diskussion bestätigen, dass ich keinen Stuss rede? Ich habe das Gefühl, gegen eine Wand zu laufen. --[[Spezial:Beiträge/141.70.4.159|141.70.4.159]] 14:15, 12. Feb. 2017 (CET)

== Tochterprojekt Molekularbiologie und Biochemie ==

Ich habe mich ein wenig in die Arbeit der Redaktion Biologie eingelesen und mir ist aufgefallen, dass es kein WikiProject zum Thema "Molekularbiologie und Biochemie" gibt. Ich würde deshalb vorschlagen dass ein solches Projekt eingerichtet werden sollte. Da ich noch relativ wenig Erfahrung mit Wikipedia habe würde ich mir wünschen, dass möglichst viele Kommentare und Empfehlungen zum Aufbau eines solchen Projekts kommen würden.

Es gibt momentan schon ein Portal [[https://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Biochemie/|Portal Biochemie]]. Insgesamt gibt es etwa 7100 Artikel in der Kategorie Biochemie. Das müsste genug sein um ein eigenes Projekt zu rechtfertigen. Ich habe eine kurze Liste erstellt mit Punkten die meiner Meinung nach durchgeführt werden müssten um das Projekt auf den Weg zu bringen. Ich würde mich über konstruktive Meinungen freuen.

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* Überarbeiten der Portalseite Biochemie
* Erstellen eines Portals für Molekularbiologie
* Erstellen des WikiProjects

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[[Benutzer:InvertedRepeat|InvertedRepeat]] ([[Benutzer Diskussion:InvertedRepeat|Diskussion]]) 21:10, 12. Feb. 2017 (CET)

Benutzer:InvertedRepeat

2017-02-11T21:26:21Z

InvertedRepeat: AZ: Die Seite wurde neu angelegt: Student der Biochemie;

Student der Biochemie;

Benutzer:InvertedRepeat/Artikelentwurf

2016-10-02T10:56:09Z

InvertedRepeat: AZ: Die Seite wurde neu angelegt: {{Baustelle}} ==Alkyltransferase-ähnliches Protein== Alkyltransferase-ähnliches Protein (engl. alkyl…

{{Baustelle}}
==Alkyltransferase-ähnliches Protein==
Alkyltransferase-ähnliches Protein (engl. alkyltransferase-like protein, ATL)

Eine Klasse von Proteinen, die sich durch ihre strukturelle Ähnlichkeit zum