Recht am eigenen Bild (Österreich)

2012-03-15T14:07:04Z

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Recht am eigenen Bild (Deutschland)

2012-03-15T14:07:04Z

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2011-11-06T20:56:59Z

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Die Funktionalableitung ist die auf [[Funktional]]e verallgemeinerte Form des [[Gradient_(Mathematik)|Gradienten]]. Sie ist ein häufig anzutreffender Begriff in der [[Variationsrechnung]] sowie in der [[Feldtheorie]].

==Definition==
Sei <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ein Raum von [[Testfunktion]]en über <math>\Omega</math> und
:<math>F\colon M \rightarrow \mathbb{K} \quad \mbox{wobei} \quad \mathbb{K} = \mathbb{R}\ \mbox{oder}\ \mathbb{K} = \mathbb{C} </math>.
Die Funktionalableitung <math>{\delta F}/{\delta\varphi}</math> von F ist definiert als jene [[Distribution]] aus <math>{\mathcal D}^\prime(\Omega)</math> welche
:<math>\left\langle \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x)}, f(x) \right\rangle = \int \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x')} f(x')dx' = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\varphi(x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi(x)]}{\varepsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}F[\varphi+\epsilon f]\right|_{\epsilon=0} \quad \forall f\in{\mathcal D}(\Omega)</math>
erfüllt.

==Rechenregeln==
#Die Funktionalableitung ist [[Lineare Abbildung|linear]].
#Für ein Produkt aus Funktionalen <math>F\left[\phi\right]=G\left[\phi\right]H\left[\phi\right]</math> gilt die Produktregel:
#:<math>\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}=\frac{\delta G \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}H\left[\phi\right]+G\left[\phi\right]\frac{\delta H \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}</math>
#Für das Funktional eines Funktionals gilt die Kettenregel:
#:<math>\frac{\delta}{\delta\phi(y)}F\bigl[G\left[\phi\right]\bigr]=\int\mathrm dx \frac{\delta F\left[G\right]}{\delta G(x)}\frac{\delta G\left[\phi\right]}{\delta \phi (y)}</math>

==Siehe auch==
*[[Fréchet-Ableitung]]
*[[Gâteaux-Differential]]

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]

Funktionalableitung

2011-11-06T20:50:39Z

Alexnullnullsieben: /* Siehe auch */

Die Funktionalableitung ist die auf [[Funktional]]e verallgemeinerte Form des [[Gradient_(Mathematik)|Gradienten]]. Sie ist ein häufig anzutreffender Begriff in der [[Variationsrechnung]] sowie in der [[Feldtheorie]].

==Definition==
Sei <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ein Raum von [[Testfunktion]]en über <math>\Omega</math> und
:<math>F\colon M \rightarrow \mathbb{K} \quad \mbox{wobei} \quad \mathbb{K} = \mathbb{R} \mbox{oder} \mathbb{K} = \mathbb{C} </math>.
Die Funktionalableitung <math>{\delta F}/{\delta\varphi}</math> von F ist definiert als jene [[Distribution]] aus <math>{\mathcal D}\prime(\Omega)</math> welche
:<math>\left\langle \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x)}, f(x) \right\rangle = \int \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x')} f(x')dx' = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\varphi(x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi(x)]}{\varepsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}F[\varphi+\epsilon f]\right|_{\epsilon=0} \quad \forall f\in{\mathcal D}(\Omega)</math>
erfüllt.

==Rechenregeln==
#Die Funktionalableitung ist [[Lineare Abbildung|linear]].
#Für ein Produkt aus Funktionalen <math>F\left[\phi\right]=G\left[\phi\right]H\left[\phi\right]</math> gilt die Produktregel:
#:<math>\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}=\frac{\delta G \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}H\left[\phi\right]+G\left[\phi\right]\frac{\delta H \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}</math>
#Für das Funktional eines Funktionals gilt die Kettenregel:
#:<math>\frac{\delta}{\delta\phi(y)}F\bigl[G\left[\phi\right]\bigr]=\int\mathrm dx \frac{\delta F\left[G\right]}{\delta G(x)}\frac{\delta G\left[\phi\right]}{\delta \phi (y)}</math>

==Siehe auch==
*[[Fréchet-Ableitung]]
*[[Gâteaux-Differential]]

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]

Funktionalableitung

2011-11-06T20:47:49Z

Alexnullnullsieben: AZ: Die Seite wurde neu angelegt: Die Funktionalableitung ist die auf Funktionale verallgemeinerte Form des [[Gradient_(Mathematik)|…

Die Funktionalableitung ist die auf [[Funktional]]e verallgemeinerte Form des [[Gradient_(Mathematik)|Gradienten]]. Sie ist ein häufig anzutreffender Begriff in der [[Variationsrechnung]] sowie in der [[Feldtheorie]].

==Definition==
Sei <math>{\mathcal D}(\Omega)</math> ein Raum von [[Testfunktion]]en über <math>\Omega</math> und
:<math>F\colon M \rightarrow \mathbb{K} \quad \mbox{wobei} \quad \mathbb{K} = \mathbb{R} \mbox{oder} \mathbb{K} = \mathbb{C} </math>.
Die Funktionalableitung <math>{\delta F}/{\delta\varphi}</math> von F ist definiert als jene [[Distribution]] aus <math>{\mathcal D}\prime(\Omega)</math> welche
:<math>\left\langle \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x)}, f(x) \right\rangle = \int \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x')} f(x')dx' = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\varphi(x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi(x)]}{\varepsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}F[\varphi+\epsilon f]\right|_{\epsilon=0} \quad \forall f\in{\mathcal D}(\Omega)</math>
erfüllt.

==Rechenregeln==
#Die Funktionalableitung ist [[Lineare Abbildung|linear]].
#Für ein Produkt aus Funktionalen <math>F\left[\phi\right]=G\left[\phi\right]H\left[\phi\right]</math> gilt die Produktregel:
#:<math>\frac{\delta F \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}=\frac{\delta G \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}H\left[\phi\right]+G\left[\phi\right]\frac{\delta H \left[\phi\right]}{\delta \phi(x)}</math>
#Für das Funktional eines Funktionals gilt die Kettenregel:
#:<math>\frac{\delta}{\delta\phi(y)}F\bigl[G\left[\phi\right]\bigr]=\int\mathrm dx \frac{\delta F\left[G\right]}{\delta G(x)}\frac{\delta G\left[\phi\right]}{\delta \phi (y)}</math>

==Siehe auch==
[[Fréchet-Ableitung]]
[[Gâteaux-Differential]]

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]