Wikipedia - Benutzerbeiträge [de]

Summenregel

2012-06-30T12:52:05Z

92.75.195.250: Quelle: d-nb.info/992494516

Die '''Summenregel''' ist in der [[Mathematik]] eine der Grundregeln der [[Differentialrechnung]]. Sie besagt, dass die Summe aus zwei differenzierbaren [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann.

== Regel ==

Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> seien in einem gemeinsamen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] definiert, das die Stelle <math>x_0</math> enthält. An dieser Stelle <math>x_0</math> seien beide Funktionen differenzierbar. Dann ist auch die Funktion <math>f</math> mit
:<math>f(x) = g(x)\, + h(x)</math>
an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar, und es gilt
:<math>f'(x_0) = g'(x_0) + h'(x_0)\,</math>.

== Beispiel ==

Die Funktionen

: <math>\ g(x) = x^4</math>

: <math>\ h(x) = x^3</math>

sind auf <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen

: <math>\ g'(x) = 4x^3</math>

: <math>\ h'(x) = 3x^2</math>.

Daher ist auch die Funktion

: <math>\ f(x) = g(x) + h(x) = x^4 + x^3</math>

auf <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

: <math>\ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 4 x^3 + 3 x^2</math>.

== Folgerungen ==
* Differenzregel: Betrachtet man die Differenz <math>f=g-h=g+(-h)</math> für Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>, die in <math>x_0</math> differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der [[Faktorregel]], dass <math>f</math> in <math>x_0</math> differenzierbar ist und für die Ableitung <math>f'(x)=g'(x)-h'(x)</math> gilt.
* Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind <math>g_1, \ldots, g_n</math> in <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> differenzierbare Funktionen und <math>c_1, \ldots, c_n \in \mathbb{R}</math> reelle Konstanten, dann ist die [[Linearkombination]] <math>f(x) := \sum_{i=1}^nc_ig_i(x)</math> wiederum in <math>x_0</math> differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion
*:<math>f'(x_0) = \left(\sum_{i=1}^nc_ig_i\right)'(x_0) = \sum_{i=1}^nc_i {g_i}'(x_0)</math>.

*Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen [[Vektorraum]], und die Differentiation ist eine [[lineare Abbildung]] von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

== Literatur ==
* Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis Teil 1''. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9.

== Weblinks ==
*[http://www.mathe-lexikon.at/analysis/differentialrechnung/ableitungsregeln/summenregel.html Summenregel auf mathe-lexikon.at]
*[http://planetmath.org/encyclopedia/SumRule.html Summenregel auf [[PlanetMath]] (engl.)]

[[Kategorie:Analysis]]

[[ar:قاعدة المجموع في التفاضل]]
[[ca:Regla de la derivada de la suma]]
[[en:Sum rule in differentiation]]
[[eo:Suma regulo en diferencialado]]
[[it:Regola della somma]]
[[nl:Somregel (afgeleide)]]

Mehrdimensionale Kettenregel

2012-06-30T12:12:30Z

92.75.195.250: Quellen: d-nb.info/1010546414 & d-nb.info/970698623

Die '''verallgemeinerte Kettenregel''' ist in der [[Mehrdimensionale Analysis|mehrdimensionalen Analysis]] eine Verallgemeinerung der [[Kettenregel]] von Funktionen einer Variablen auf Funktionen und Abbildungen mehrerer Variablen. Sie besagt, dass die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von (total) [[Differenzierbarkeit|differenzierbaren]] Abbildungen bzw. Funktionen differenzierbar ist, und gibt an, wie sich die Ableitung dieser Abbildung berechnet.

== Einleitung ==

Ist <math>f \colon \R^n \to \R^m</math> eine differenzierbare Abbildung, so ist die [[Totalableitung|Ableitung]] von <math>f</math> im Punkt <math>p \in \R^n</math>, geschrieben <math>f'(p)\,</math>, <math>Df(p)</math> oder <math>Df_p</math>, eine [[lineare Abbildung]], die [[Vektor]]en im Punkt <math>p \in \R^n</math> auf Vektoren im Bildpunkt <math>f(p) \in \R^m</math> abbildet. Man kann sie durch die [[Jacobi-Matrix]] darstellen, die mit <math>J_f(p)</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial x}(p)</math> oder auch mit <math>Df(p)</math> bezeichnet wird, und deren Einträge die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind:
:<math>J_f(p) = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(p)\right)_{ij} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(p)&\ldots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(p)\\
\vdots & &\vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(p)&\ldots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(p)
\end{pmatrix}</math>

Die Kettenregel besagt nun, dass die Ableitung der Verkettung zweier Abbildungen gerade die Verkettung der Ableitungen ist, bzw. dass die Jacobi-Matrix der Verkettung das [[Matrizenprodukt]] der Jacobi-Matrix der äußeren Funktion mit der Jacobi-Matrix der inneren Funktion ist.

== Satz ==
Sind <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^l</math> und <math>g\colon\mathbb R^l\to\mathbb R^m</math> differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Verkettung <math>h = g \circ f \colon \R^n \to \R^m</math> differenzierbar. Ihre Ableitung im Punkt <math>p \in \R^n</math> ist die Hintereinanderausführung der Ableitung von <math>f</math> im Punkt <math>p</math> und der Ableitung von <math>g</math> im Punkt <math>f(p)</math>:
:<math>D(g \circ f)_p = Dg_{f(p)} \circ Df_p</math>
bzw.
:<math>(g\circ f)'(p)=g'(f(p))\circ f'(p).</math>
Für die Jacobi-Matrizen gilt entsprechend:
:<math>J_{g \circ f}(p) = J_g(f(p)) \cdot J_f(p)</math>,
bzw.
:<math>\frac{\partial (g \circ f)}{\partial x}(p) =
\frac{\partial g}{\partial y}(f(p)) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(p)</math>
wobei der Punkt die Matrizenmultiplikation bezeichnet.
Ausgeschrieben mit den Komponenten der Abbildungen und den partiellen Ableitungen:
:<math>\frac{\partial h_i}{\partial x_j}(p)=\sum_{k=1}^l\frac{\partial g_i}{\partial y_k}(f(p))\cdot\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(p)</math>

=== Höhere Differenzierbarkeit ===
Sind, für ein <math>k \in \N</math>, die Abbildungen <math>f</math> und <math>g</math> von der Klasse <math>C^k</math>, das heißt <math>k</math>-mal stetig differenzierbar, so ist auch <math>g \circ f</math> von der Klasse <math>C^k</math>.
Dies ergibt sich durch wiederholtes Anwenden der Kettenregel und der Produktregel auf die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen.

== Spezialfall ''n'' = ''m'' = 1 ==
Häufig möchte man die Ableitung einer gewöhnlichen reellen Funktion <math>h\colon \R \to \R</math> bestimmen, die aber über einen mehrdimensionalen "Umweg" definiert ist:
:<math>h = g \circ f</math> mit <math>f\colon \R \to\R^l</math> und <math>g\colon \R^l \to \R</math>.
In diesem Fall lässt sich die Kettenregel wie folgt schreiben:
:<math>h'(x) =
\frac{\partial g}{\partial y_1}(f(x)) \cdot f_1'(x) + \dots +
\frac{\partial g}{\partial y_l}(f(x)) \cdot f_l'(x)
=\operatorname{grad}\ g(f(x)) \cdot f'(x)</math>
Der letzte Malpunkt bezeichnet dabei das [[Skalarprodukt]] zwischen zwei Vektoren, dem [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]]
:<math>\operatorname{grad}\ g = \nabla g = \left(\frac{\partial g}{\partial y_1}, \ldots, \frac{\partial g}{\partial y_l}\right)</math>
der Funktion <math>g</math>, ausgewertet an der Stelle <math>f(x)</math>, und der [[Vektor|vektorwertigen]] Ableitung
:<math>f'(x) = \left(f_1'(x),\ldots, f_l'(x)\right)</math> der Abbildung <math>f</math>. <ref name="Physik">Physiker schreiben hier die Vektoren, <math>\,f'(x)</math> bzw. <math>v</math>, mit Vektorpfeilen (<math>\vec f'(x)</math>, <math>\vec v</math>) oder mit Fettdruck (<math>\mathbf{f'}(x)</math> bzw. <math>\mathbf v</math>). Das hat u.a. den Vorteil, dass man sofort erkennt, dass <math>x</math> im Gegensatz zu <math>\mathbf v</math> eine eindimensionale Variable ist.</ref>

=== Kettenregel und Richtungsableitung ===
Für den Spezialfall <math>f \colon \R \to \R^l</math>, <math>f(t) = a + t v</math>, mit <math>a, v \in \R^l</math>, ist
:<math>(g \circ f)'(0) = \left.\frac {d}{dt}\right|_{t=0} g(a + tv) = D_v g(a)</math>
die [[Richtungsableitung]] von <math>g</math> im Punkt <math>a</math> in Richtung des Vektors <math>v</math>.
Aus der Kettenregel folgt dann
:<math>(g \circ f)'(0) = \operatorname{grad}\ g(f(0)) \cdot f'(0) = \operatorname{grad}\ g(a) \cdot v.</math>
Es ergibt sich also die übliche Formel für die Berechnung der Richtungsableitung:
:<math>D_v g(a) = \operatorname{grad}\ g(a) \cdot v</math> <ref name="Physik" />

==Beispiel==

:<math>h(x) = g(\cos x, \sin x)</math>

In diesem Beispiel bildet <math>g</math> die äußere Funktion, abhängig von <math>y = (y_1, y_2)</math>. Somit ist

:<math>g'(y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial g}{\partial y_1} & \frac{\partial g}{\partial y_2} \end{pmatrix}</math>

Als innere Funktion setzen wir <math>f(x) = (f_1(x), f_2(x)) = (\cos x, \sin x)</math>, abhängig von der reellen Variablen <math>x</math>. Ableiten ergibt

:<math>f'(x) = \begin{pmatrix} f_1'(x) \\ f_2'(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin x \\ \cos x \end{pmatrix}</math>

Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:

:<math>
\begin{align}
h'(x) &= g'(f(x)) \cdot f'(x) =
\left. \begin{pmatrix} \frac{\partial g}{\partial y_1} & \frac{\partial g}{\partial y_2} \end{pmatrix} \right|_{y = f(x)} \cdot \begin{pmatrix} -\sin x \\ \cos x \end{pmatrix}\\
&= - \sin{x} \cdot \frac{\partial g}{\partial y_1}(\cos{x},\sin{x}) + \cos{x} \cdot \frac{\partial g}{\partial y_2}(\cos{x},\sin{x})\end{align}</math>

==Ein additives Beispiel mittels Substitution==

Die Frage wie man die Ableitung von <math>\displaystyle f(x)=x^x</math> bestimmt, wird meist mit einem bekannten „Trick“ beantwortet, dies als <math>\displaystyle e^{x \log x}</math> zu schreiben und dann mittels Produkt- und Kettenregel auszuwerten. Es ergibt <math>(x \frac 1x + 1\log x)e^{x \log x} = x^x + x^x\log x </math>.

Eine weniger trickreiche, unmotivierte oder spezielle Methode zur Lösung, ist die folgende mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel:

Sei <math>\displaystyle g(x,y)=x^y</math>. Dann ist <math>\frac{\partial g}{\partial x} = y \, x^{y-1}</math> und <math>\frac{\partial g}{\partial y} = x^y \log x </math>.

Mit <math>\displaystyle f(x)=g(h_1(x),h_2(x))</math>, wobei <math>\displaystyle h_1(x)=x, h_2(x)=x</math> erhält man

<math>f'(x) = \frac{\partial g}{\partial x}(x,x) h_1'(x) + \frac{\partial g}{\partial y}(x,x) h_2'(x) = x \,x^{x-1}\, 1 + x^x \log x \,1 = x^x + x^x\log x</math>.

In Worten:

1. Man leitet <math>x^x</math> 'nach dem <math>x</math> in der Basis ab', wobei man das
<math>x</math> im Exponenten wie eine Konstante betrachtet,

2. man leitet <math>x^x</math> 'nach dem <math>x</math> im Exponenten ab', wobei man das
<math>x</math> in der Basis wie eine Konstante betrachtet,

3. man addiert die Ergebnisse.

Der "Trick" hierbei ist, dass man x in der Basis und x im Exponenten, obwohl sie gleichlauten, unterscheidet.

Es ist eine Folgerung aus der verallgemeinerten Kettenregel, dass diese erstaunlich einfache Prozedur korrekt ist.

Diese Herleitung enthält mehr Einsicht, warum das Ergebnis so ist, wie es ist, als der "Trick" mit der Exponentialfunktion. Außerdem ist diese Herleitung allgemeiner anwendbar, z.B. liefert sie ganz einfach auch die Leibnizregel für [[Parameterintegral|Parameterintegrale]].

== Verallgemeinerung auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten ==

Sind <math>M</math> und <math>N</math> [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en und <math>f\colon M \to N</math> eine differenzierbare Abbildung, so ist die Ableitung <math>\,f'(p)</math> oder <math>Df_p</math>
von <math>f</math> im Punkt <math>p \in M</math> eine lineare Abbildung vom [[Tangentialraum]] von <math>M</math> im Punkt <math>p</math> in den Tangentialraum von <math>N</math> im Bildpunkt <math>f(p)</math>:
:<math>Df_p \colon T_p M \to T_{f(p)}N</math>
Andere Bezeichnungen dafür sind:
Differential (dann oft <math>df_p</math> geschrieben),
[[Pushforward]] (<math>f_{\ast p}</math>) und
Tangetialabbildung (<math>T_p f</math>).

Die Kettenregel besagt dann:
Sind <math>M</math>, <math>N</math> und <math>P</math> differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ist <math>h = g \circ f \colon M \to P</math> die Verkettung der differenzierbaren Abbildungen <math>f\colon M \to N</math> und <math>g\colon N \to P</math>, so ist auch <math>h</math> differenzierbar und für die Ableitung im Punkt <math>p \in M</math> gilt :
:<math>Dh_p = Dg_{f(p)} \circ Df_p</math>

== Kettenregel für Fréchet-Ableitungen ==
Die Kettenregel gilt ganz entsprechend für [[Fréchet-Ableitung]]en.

Gegeben seien Banach-Räume <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>Z</math>, offene Teilmengen <math>U \subset X</math> und <math>V \subset Y</math> und Abbildungen
<math>B \colon U \to Y</math> und <math>A \colon V \to Z</math>.

Ist <math>B</math> an der Stelle <math>\varphi \in U</math> und <math>A</math> an der Stelle <math>B(\varphi) \in V</math> differenzierbar, so ist auch die Verkettung <math>A \circ B \colon U \to Z</math> an der Stelle <math>\varphi</math> differenzierbar und es gilt
:<math>(A \circ B)'(\varphi) = A'(B(\varphi)) \circ B'(\varphi)</math>
==Einzelnachweise und Fußnoten==
<references />
== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 2. Differentialrechnung im'' '''R'''''n''. ''Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' 9. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1231-5.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.

[[Kategorie:Analysis]]

Gary Moore

2012-06-30T11:06:15Z

92.75.195.250:

[[Datei:Gary Moore 2010-11-23 01 25 9152.jpg|thumb|Gary Moore im Jahr 2010]]
[[Datei:Gary Moore 2005.05.21 002-2.jpg|thumb|Gary Moore live im Jahr 2005]]

'''Robert William Gary Moore''' (* [[4. April]] [[1952]] in [[Belfast]], [[Nordirland]]; † [[6. Februar]] [[2011]] in [[Estepona]], [[Spanien]]<ref>[http://www.bbc.co.uk/news/uk-northern-ireland-12377862 www.bbc.co.uk:''Rock guitar star Gary Moore dies aged 58''.] Zugriff am 6. Februar 2011.</ref>) war ein [[Vereinigtes Königreich|britischer]] [[Blues]]- und [[Heavy Metal]] bzw. [[Hard Rock]]-[[Gitarre|Gitarrist]], [[Komponist]] und [[Gesang|Sänger]].

== Leben und Karriere ==
=== Aufstieg in Dublin ===
Moore wuchs als Sohn eines Veranstalters mit vier Geschwistern in Ost-Belfast auf. In seiner Familie gab es viele Schwierigkeiten, und so verließ er mit 16 sein Elternhaus und ging nach [[Dublin]]. Ein Jahr darauf trennten sich seine Eltern.<ref name=interview>[http://www.belfasttelegraph.co.uk/entertainment/music/news/moores-almanac-13444722.html "Moore's almanac."] ''Belfast Telegraph'', 24 May 2007. Zugriff am 26. Februar 2011.</ref>

In Dublin verdiente sich Moore ab 1969 sein erstes Geld als Musiker, zusammen mit [[Phil Lynott]]. Die gemeinsame Band [[Skid Row (irische Band)|Skid Row]] veröffentlichte zwei Alben. Ende 1971 stieg Moore aus und unterstützte die Folkrock-Band ''Dr. Strangely Strange'' als Gastmusiker, um dann 1973 die erste ''Gary Moore Band'' zu gründen, bei der er auch den Gesang übernahm. Das einzige Album ''Grinding Stone'' (1973) blieb erfolglos, und die Band löste sich wieder auf. 1974 schloss sich Moore [[Thin Lizzy]] an und war wieder mit Phil Lynott in einer Band. Dort blieb er jedoch nur kurze Zeit. Danach arbeitete er als [[Studiomusiker]], unter anderem für [[Eddie Howell]].

1975 gründete Moore zusammen mit dem Schlagzeuger [[Jon Hiseman]], dem Keyboarder [[Don Airey]], dem Bassisten [[Neil Murray]] und dem Sänger Mike Starrs die [[Jazzrock]]-orientierte Formation [[Colosseum II]]. 1978 löste sich die Band nach drei Studio-Alben und vielen Konzerten auf. Moore arbeitete weiter als Studiomusiker und beteiligte sich an Alben von [[Andrew Lloyd Webber]], [[Gary Boyle]] und Rod Argent. 1978 startete Moore erneut einen Solo-Versuch mit dem Album ''Back on the Streets'', das die erfolgreiche Single ''Parisienne Walkways'' enthält, eine Zusammenarbeit mit Phil Lynott, die bis zuletzt Teil von Gary Moores Live-Repertoire war. 1979 spielte Moore mit Thin Lizzy das Album ''Black Rose'' ein. Danach gründete er mit Mark Nauseef das kurzlebige Projekt G-Force und wurde Gitarrist in der Band von [[Greg Lake]].

=== Die Hardrock-Ära ===
In den nachfolgenden Jahren etablierte sich Moore allmählich als Gitarrenvirtuose in der Hardrock- bzw. Heavy-Metal-Szene. Das ehemalige [[UFO (Band)|UFO]]-Mitglied Neil Carter wurde 1983 zu einem wichtigen Co-Musiker für Gary Moore. Mit ''Corridors of Power'' (1982) und ''[[Victims of the Future]]'' (1983) etablierte sich Moore im Hardrock Genre. Das Album ''Victims of the Future'' enthält mit der Ballade ''Empty Rooms'' eines seiner bekanntesten Stücke. Spätestens mit dem Album ''[[Run for Cover]]'' (1985) war Gary Moore eine feste Größe als Blues- und Rockgitarrist. Das Album enthält unter anderem die Single ''Out in the Fields'', an der auch Phil Lynott beteiligt war.

[[File:Gary Moore - Manchester Apollo - 1985.jpg|thumb|Gary Moore 1985 im Apollo Manchester]]
Seine Position als stilistisch vielseitiger Hardrock-Gitarrist und versierter Sänger festigte Moore mit dem Album ''[[Wild Frontier (Album)|Wild Frontier]]'' (1987), das durch [[Irish Folk|Irish-Folk]]-Einflüsse geprägt ist. ''Wild Frontier'' ist Phil Lynott gewidmet wobei die Plattenhülle den Aufdruck „for Philip“ aufweist. Der auf dem Album enthaltene Song ''Johnny Boy'' ist ebenfalls ein Tribut an Phil Lynott. ''Wild Frontier'' blieb Gary Moores einziges Celtic-Rock-Album, auch wenn der Nachfolger ''After the War'' (1989) weitere irische Einflüsse (zum Beispiel im Lied ''Blood of Emeralds'') widerspiegelt. ''Wild Frontier'' enthält mit der Single unter dem Titel ''Over the Hills and Far Away'' einen bekannten Song des Celtic Rock.

''[[After the War]]'' (1989) beschäftigt sich thematisch unter anderem mit dem [[Nordirlandkonflikt]] ''(Blood of Emeralds)'' und dem [[Vietnamkrieg]] ''(After the War)''. Des Weiteren äußerte sich Moore in ''Led Clones'' (mit [[Ozzy Osbourne]]) kritisch über Rockbands, die sich zu sehr an Idolen wie [[Led Zeppelin]] orientieren, ohne eigene musikalische Identität zu entwickeln. Auch auf diesem Album erinnerte Moore an seinen verstorbenen Freund Lynott: „…the darkest son of Ireland, he was standin’ by my side.“ ''(Blood of Emeralds)''.

=== Wechsel zum Blues ===
Um 1990 änderte Moore seinen Stil von hartem Rock zu Blues und konnte mit dem Album ''[[Still Got the Blues]]'' und der Single ''Still Got the Blues (for You)'' einen weltweit großen Erfolg verbuchen. An dem Album wirkten mit [[Albert King]] und [[Albert Collins]] zwei einflussreiche Bluesgitarristen mit; auch [[George Harrison]] von den [[The Beatles|Beatles]] ist als Autor und Gitarrist bei einem Song vertreten. Das nachfolgende Album ''[[After Hours (Album)|After Hours]]'' erschien 1992 und war ähnlich konzipiert, als Gastmusiker trat diesmal [[B. B. King]] auf. Allerdings konnten die Singles ''Cold Day in Hell'' sowie ''Separate Ways'' nicht ganz an den Erfolg von ''Still Got the Blues'' anknüpfen.

Neben weiteren Solo-Bluesalben tat sich Moore 1994 mit [[Ginger Baker]] und [[Jack Bruce]], die in den 1960er Jahren mit [[Eric Clapton]] die Band [[Cream]] bildeten, für das Album ''Around the Next Dream'' unter dem Namen [[BBM (Band)|BBM]] (steht für ''Bruce-Baker-Moore'') zusammen, das zunächst als Soloalbum Moores geplant war. Obwohl von den Musikern selbst ein Zusammenhang bestritten wurde, klingt BBM wie eine Neuauflage von Cream, bei der Moore den Part von Clapton übernahm.<ref>{{internetquelle |url=http://www.musicline.de/de/artist_bio/Cream |titel=Biografietext |werk=Musicline.de |zugriff=4. Dezember 2008}}</ref>

Nach dem [[Peter Green|Peter-Green]]-[[Tribute-Album]] ''Blues For Greeny'' aus dem Jahr 1995 veröffentlichte Gary Moore 1997 ''Dark Days in Paradise''. Auf diesem Album experimentierte Moore mit modernen Rocksounds. Im selben Jahr komponierte er die Titelmusik zum Film ''Middleton's Changeling'', die er auch selbst einspielte. Mit ''A Different Beat'' folgte 1999 das vielleicht untypischste Album; so experimentierte Moore hier unter anderem mit Hip Hop und Drum’n Bass-Sounds. Im Jahr 2001 wandte sich Moore mit dem passend ''Back to the Blues'' betitelten Album wieder dem Blues zu. 2002 gründete Gary Moore zusammen mit Cass Lewis (vorher-[[Skunk Anansie]]) und Darrin Mooney (ex-[[Primal Scream]]) das Bandprojekt Scars. Im Jahr 2003 war Gary Moore im Vorprogramm von [[Whitesnake]] während der „Monsters of Rock“-Tournee in Großbritannien unterwegs. Während dieser Tournee spielte er erstmals seit längeren Jahren wieder Stücke aus seiner Hardrockzeit. Im folgenden Jahr 2004 widmete sich Moore mit dem Album ''Power of the Blues'' erneut dem Blues.

Am 20. August 2005 wurde in Dublin eine Gedenkstatue an den 1986 verstorbenen Thin-Lizzy-Frontmann Phil Lynott enthüllt. Beim Gedächtniskonzert für Lynott bildete Gary Moore mit Brian Downey (Schlagzeug) und Jonathan Noyce (Bass) die Backingband für zahlreiche Lieder, Weggefährten und Bandkollegen. Mit [[Brian Robertson (Gitarrist)|Brian Robertson]], Eric Bell und Scott Gorham spielte Gary Moore zahlreiche Hits aus der Geschichte der Band Thin Lizzy sowie einige seiner eigenen Lieder.

[[Datei:Gary-Moore-at-Pite-Havsbad.jpg|thumb|Gary Moore live im Jahr 2008]]
Mit ''Old New Ballads Blues'' (2006) orientierte sich Gary Moore stärker am Slow Blues. Gleich zwei der Stücke auf diesem Album sind Neuaufnahmen von Titeln seines bis dato erfolgreichsten Bluesalbums, ''Still Got the Blues''. Daneben sind Coversongs der Bluesveteranen [[Otis Rush]] und [[Willie Dixon]] vertreten.<ref>Music Street Journal: [http://www.musicstreetjournal.com/artists_cdreviews_display.cfm?id=101432 ''Gary Moore - Old New Ballads Blues''.] Zugriff am 11. August 2009.</ref> Am 25. Oktober 2007 gab Gary Moore in London ein [[Jimi Hendrix]]-Gedächtniskonzert, bei dem er bei drei Titeln von den Original-Hendrix-Musikern [[Mitch Mitchell]] und [[Billy Cox]] unterstützt wurde. 2007 und 2008 erschienen die Blues-Rock-Alben ''Close as You Get'' und ''Bad for You, Baby'', die neben eigenen Kompositionen auch Coversongs enthalten und wieder etwas schnellere Bluesstücke wie beispielsweise ''Thirty Days'' aufgreifen. Das Album ''Bad for You, Baby'' wurde 2009 in der Kategorie „Best Rock Blues Album of the Year“ des „[[Blues Music Award]]s“ nominiert. Gary Moore bestritt zuletzt 2007 und 2009 Tourneen in Deutschland.

=== Die letzten Jahre ===
Ende 2009 erklärte Gary Moore in einem Interview in Budapest, dass er nur noch ein Blues-Album aufnehmen und damit die Verpflichtungen gegenüber seiner Plattenfirma Eaglerock erfüllen werde. Danach sollte ein Celtic-Rock-Album im Stil von ''Wild Frontier'' (1987) folgen. Dazu strebte er eine Zusammenarbeit mit der irischen Folkband [[The Chieftains]] an. Bereits 2005 erklärte Moore gegenüber dem japanischen Magazin Burrn, dass er einige Stücke verfasst habe, jedoch benötige ein Album eine längere Vorbereitungszeit. Drei dieser Stücke sind 2011 auf dem Album ''Live at Montreux 2010'' in einer Live-Version veröffentlicht worden. Das für dasselbe Jahr geplante Album konnte er jedoch wegen seines frühen Todes nicht mehr fertigstellen.

Moore hatte seit 1970 in England gelebt. 2002 zog er nach [[Brighton]], um nahe bei seinen beiden Söhnen zu sein, die aus einer 1985 bis 1993 dauernden Ehe stammen. Seit 1997 lebte er mit einer Künstlerin zusammen; aus dieser Beziehung stammen zwei Töchter.<ref name=Interview>[http://www.belfasttelegraph.co.uk/entertainment/music/news/moores-almanac-13444722.html "Moore's almanac."] ''Belfast Telegraph'', Mai 2007</ref>

Gary Moore wurde am 6. Februar 2011 im Alter von 58 Jahren tot in einem Hotelzimmer im spanischen Estepona (Costa del Sol) aufgefunden; er war während des Schlafes an einem Herzinfarkt gestorben.<ref>[http://www.gary-moore.com/ www.gary-moore.com: ''On Sunday 6th February 2011 musician Gary Moore died in his sleep of a heart attack while on holiday in Spain.''] Zugriff am 10. Februar 2011</ref>

Die DVD ''Live at Montreux 2010'' ist für den am 5. Mai 2012 zu verleihenden „Blues Music Award“ in der Kategorie „DVD Of The Year“ nominiert worden.

== Streit um ''Still Got The Blues'' ==
2001 wurde Moore von Jürgen Winter, dem Gitarristen der [[Krautrock]]-Gruppe ''Jud’s Gallery'' (1970–1974), verklagt.<ref name="sz">{{internetquelle |url=http://newsticker.sueddeutsche.de/list/id/260347 |titel=Gary Moore verliert Prozess um seinen Hit |werk=sueddeutsche.de |datum=3. Dezember 2008 |zugriff=3. Dezember 2008}}</ref> Moores Hit ''Still Got the Blues'' sei ein [[Plagiat]] von Winters Stück ''Nordrach'' (1974 aufgenommen, jedoch bis 1999 nicht veröffentlicht): die Gitarrenpassage am Ende von ''Nordrach'' bilde das [[Thema (Musik)|Hauptthema]] von ''Still Got the Blues''. 2008 bekam Winter vom Landgericht München Recht.<ref>{{internetquelle |url=http://www.justiz.bayern.de/gericht/lg/m1/presse/archiv/2008/01717/index.php |titel=Urteil im Plagiatsprozess um „Still got the Blues“ |werk=Landgericht München I |datum=3. Dezember 2008 |zugriff=4. Dezember 2008}}</ref>
Moore schloss 2009 mit Winter einen Vergleich, zahlte eine nicht genannte Summe und behielt die Rechte an ''Still Got the Blues''.<ref>{{internetquelle |url=http://www.badische-zeitung.de/offenburg/nie-war-er-nordrach-so-nah--41003061.html |titel=Nie war er Nordrach so nah |werk=Badische Zeitung |datum=8. Februar 2011 |zugriff=26. April 2011}}</ref>

== Equipment ==
Im Laufe der Jahre spielte Moore auf unterschiedlichen Gitarren. Neben den drei Gitarren, die er von dem [[Bluesbreakers]]- und [[Fleetwood Mac|Fleetwood-Mac]]-Gitarristen [[Peter Green]] erworben hatte (eine 1959er [[Gibson Les Paul]], eine 1961er [[Fender Stratocaster]] sowie eine Gibson Les Paul Junior), spielte er auf Modellen von ''Charvel'', [[Ibanez]], ''Hamer'', [[Jackson Guitars|Jackson]], [[PRS Guitars|PRS]] und [[Heritage Guitar|Heritage]]. Für gewöhnlich setzte Moore Verstärker des Herstellers [[Marshall Amplification|Marshall]] ein, auch Soldano Amps, die in Verbindung mit den Les-Paul-Gitarren den bekannten, druckvollen Klang erzeugen. In seiner späteren experimentellen Phase, als er synthetische Klangelemente hinzufügte, verwendete er Line 6 Vorverstärker.<ref>{{internetquelle |autor=Brian D. Holland |url=http://www.alloutguitar.com/interview/artists_and_bands/gary_moore_interview_sticking_the_blues |sprache=engl. |titel=Gary Moore Interview - Sticking With The Blues |werk=all out guitar |datum=2. September 2007 |zugriff=4. Dezember 2008}}</ref>

Gary Moore war eigentlich [[Linkshänder]], er spielte jedoch Rechtshänder-Gitarren, die er auch wie ein Rechtshänder bediente (Anschlag mit der rechten Hand, Griffhand links).

== Diskografie ==
{{Infobox Chartplatzierungen
| vorläufige Chartplatzierung = ja
| Singles =
{{Single
|Parisienne Walkways
|{{Charts|UK|8|1979||}}
}}
{{Single
|Hold on to Love
|{{Charts|UK|65|1984||}}
}}
{{Single
|Shapes of Thing
|{{Charts|UK|77|1984||}}
}}
{{Single
|Empty Rooms
|{{Charts|UK|23|1985||}}
}}
{{Single
|Out in the Fields (mit [[Phil Lynott]])
|{{Charts|DE|14|1985||}}
|{{Charts|UK|5|1985||}}
|{{Charts|NL|21|1985||}}
|{{Charts|SE|2|1985||}}
|{{Charts|NO|2|1985||}}
}}
{{Single
|Over the Hills and Far Away
|{{Charts|CH|27|15.02.1987|1|}}
|{{Charts|UK|20|1986||}}
|{{Charts|NL|22|1987||}}
|{{Charts|SE|7|1987||}}
|{{Charts|NO|1|1987||}}
}}
{{Single
|Wild Frontier
|{{Charts|UK|35|1987||}}
}}
{{Single
|Friday on My Mind
|{{Charts|UK|26|1987||}}
|{{Charts|NL|72|1987||}}
}}
{{Single
|The Loner
|{{Charts|UK|53|1987||}}
}}
{{Single
|Take a Little Time
|{{Charts|UK|75|1987||}}
}}
{{Single
|After the War
|{{Charts|CH|17|12.02.1989|6|}}
|{{Charts|UK|37|1989||}}
|{{Charts|SE|12|1989||}}
|{{Charts|NO|4|1989||}}
}}
{{Single
|Ready for Love
|{{Charts|UK|56|1989||}}
}}
{{Single
|Still Got the Blues (For You)
|{{Charts|DE|28|25.06.1990|25|}}
|{{Charts|UK|31|1990||}}
|{{Charts|US|97|1991||}}
|{{Charts|NL|2|1991||}}
|{{Charts|SE|4|1991||}}
|{{Charts|NO|3|1991||}}
|{{Charts|AUS|18|1990||}}
}}
{{Single
|Oh Pretty Woman (mit [[Albert King]])
|{{Charts|UK|48|1990||}}
|{{Charts|NL|8|1990||}}
|{{Charts|AUS|50|1990||}}
}}
{{Single
|Walking by Myself
|{{Charts|UK|48|1990||}}
|{{Charts|NL|28|1990||}}
}}
{{Single
|Too Tired
|{{Charts|UK|71|1990||}}
}}
{{Single
|Cold Day in Hell
|{{Charts|DE|29|1992||}}
|{{Charts|UK|24|1992||}}
|{{Charts|NL|28|1992||}}
|{{Charts|SE|24|1992||}}
|{{Charts|NO|4|1992||}}
|{{Charts|AUS|42|1992||}}
}}
{{Single
|Story of the Blues
|{{Charts|DE|99|1992||}}
|{{Charts|UK|40|1992||}}
|{{Charts|NL|50|1992||}}
}}
{{Single
|Since I Met You Baby (mit [[B. B. King]])
|{{Charts|UK|59|1992||}}
}}
{{Single
|Separate Ways
|{{Charts|UK|59|1992||}}
}}
{{Single
|Parisienne Walkways (Remix)
|{{Charts|UK|32|1993||}}
|{{Charts|FR|9|1993||}}
}}
{{Single
|Need Your Love So Bad
|{{Charts|UK|48|1995||}}
}}
| Alben =
{{Album
|Back on the Streets
|{{Charts|UK|70|1979||}}
}}
{{Album
|Corridors of Power
|{{Charts|UK|30|1982||}}
|{{Charts|US|149|1983||}}
}}
{{Album
|[[Victims of the Future]]
|{{Charts|DE|53|1984||}}
|{{Charts|UK|12|1984||}}
|{{Charts|US|172|1984||}}
|{{Charts|SE|15|1984||}}
}}
{{Album
|We Want Moore!
|{{Charts|DE|52|1984||}}
|{{Charts|UK|32|1984||}}
|{{Charts|SE|21|1984||}}
}}
{{Album
|[[Run for Cover]]
|{{Charts|DE|27|1985||}}
|{{Charts|UK|12|1985||}}
|{{Charts|US|146|1986||}}
|{{Charts|SE|6|1985||}}
|{{Charts|NO|7|1985||}}
}}
{{Album
|Rockin’ Every Night
|{{Charts|UK|99|1986||}}
}}
{{Album
|[[Wild Frontier (Album)|Wild Frontier]]
|{{Charts|DE|9|1987||}}
|{{Charts|AT|16|15.04.1987|10|}}
|{{Charts|CH|7|15.03.1987|14|}}
|{{Charts|UK|8|1987||}}
|{{Charts|US|139|1987||}}
|{{Charts|SE|2|1987||}}
|{{Charts|NO|1|1987||}}
}}
{{Album
|[[After the War]]
|{{Charts|DE|2|1989||}}
|{{Charts|CH|3|12.02.1989|11|}}
|{{Charts|UK|23|1989||}}
|{{Charts|US|114|1989||}}
|{{Charts|SE|3|1989||}}
|{{Charts|NO|3|1989||}}
}}
{{Album
|[[Still Got the Blues]]
|{{Charts|DE|4|1990||}}
|{{Charts|AT|13|15.04.1990|24|}}
|{{Charts|CH|3|08.04.1990|31|}}
|{{Charts|UK|13|1990||}}
|{{Charts|US|83|1990||}}
|{{Charts|SE|1|1990||}}
|{{Charts|NO|2|1990||}}
|{{Charts|AUS|5|1990||}}
}}
{{Album
|After Hours
|{{Charts|DE|2|1992||}}
|{{Charts|AT|6|22.03.1992|11|}}
|{{Charts|CH|1|15.03.1992|16|}}
|{{Charts|UK|4|1992||}}
|{{Charts|US|145|1992||}}
|{{Charts|SE|1|1992||}}
|{{Charts|NO|2|1992||}}
|{{Charts|AUS|8|1992||}}
}}
{{Album
|Story of the Blues
|{{Charts|DE|99|1992||}}
}}
{{Album
|Blues Alive
|{{Charts|DE|31|1993||}}
|{{Charts|AT|14|30.05.1993|7|}}
|{{Charts|CH|14|23.05.1993|14|}}
|{{Charts|UK|8|1993||}}
|{{Charts|NL|56|1993||}}
|{{Charts|SE|40|1993||}}
|{{Charts|NO|18|1993||}}
}}
{{Album
|Ballads and Blues 1982-1994
|{{Charts|DE|30|1994||}}
|{{Charts|CH|15|04.12.1994|11|}}
|{{Charts|UK|33|1994||}}
|{{Charts|NL|86|1994||}}
|{{Charts|SE|10|1994||}}
|{{Charts|NO|6|1994||}}
}}
{{Album
|Blues for Greeny
|{{Charts|DE|33|1995||}}
|{{Charts|CH|26|25.06.1995|7|}}
|{{Charts|UK|14|1995||}}
|{{Charts|NL|71|1995||}}
|{{Charts|SE|40|1995||}}
|{{Charts|NO|31|1995||}}
}}
{{Album
|Dark Days in Paradise
|{{Charts|DE|32|1997||}}
|{{Charts|AT|19|08.06.1997|6|}}
|{{Charts|CH|22|08.06.1997|5|}}
|{{Charts|UK|43|1997||}}
|{{Charts|SE|23|1997||}}
|{{Charts|NO|27|1997||}}
}}
{{Album
|Out in the Fields - The Very Best of
|{{Charts|UK|54|1998||}}
|{{Charts|SE|13|1998||}}
|{{Charts|NO|10|1998||}}
}}
{{Album
|A Different Beat
|{{Charts|DE|60|1999||}}
}}
{{Album
|Back to the Blues
|{{Charts|DE|40|2001||}}
|{{Charts|AT|68|25.03.2001|2|}}
|{{Charts|CH|49|25.03.2001|7|}}
|{{Charts|UK|53|2001||}}
|{{Charts|NL|81|2001||}}
|{{Charts|SE|22|2001||}}
|{{Charts|FR|136|2001||}}
}}
{{Album
|Scars
|{{Charts|CH|31|22.09.2002|5|}}
|{{Charts|DE|48|2002||}}
}}
{{Album
|Walking by Himself
|{{Charts|NO|20|2002||}}
}}
{{Album
|The Best of the Blues
|{{Charts|CH|98|03.03.2002|1|}}
|{{Charts|SE|10|2002||}}
}}
{{Album
|Power of the Blues
|{{Charts|DE|65|2004||}}
|{{Charts|SE|51|2004||}}
|{{Charts|FR|198|2004||}}
}}
{{Album
|Old New Ballads Blues
|{{Charts|DE|91|2006||}}
|{{Charts|FR|146|2006||}}
}}
{{Album
|Close as You Get
|{{Charts|DE|66|2007||}}
|{{Charts|FR|179|2007||}}
}}
{{Album
|Bad for You, Baby
|{{Charts|DE|69|03.10.2008|…|}}
|{{Charts|CH|71|05.10.2008|…|}}
|{{Charts|FR|127|2008||}}
}}
{{Album
|Live At Montreux 2010
|{{Charts|DE|41|30.09.2011|…|}}
}}
}}

=== Solo-Veröffentlichungen ===
'''Studioalben'''
* 1973: ''Grinding Stone''
* 1978: ''Back on the Streets''
* 1980: ''G-Force''
* 1981: ''[[Dirty Fingers]]'' (erst im Jahr 1984 gegen den Willen Moores veröffentlicht)
* 1982: ''Corridors of Power''
* 1984: ''[[Victims of the Future]]''
* 1985: ''[[Run for Cover]]''
* 1987: ''[[Wild Frontier (Album)|Wild Frontier]]''
* 1989: ''[[After the War]]''
* 1990: ''[[Still Got the Blues]]''
* 1992: ''[[After Hours (Album)|After Hours]]''
* 1995: ''Blues for Greeny''
* 1997: ''Dark Days in Paradise''
* 1999: ''A Different Beat''
* 2001: ''Back to the Blues'' (zusätzlich als [[DVD-Audio]] im [[5.1|5.1-Mix]] erschienen)
* 2004: ''Power of the Blues''
* 2006: ''Best of the Blues''
* 2006: ''Old New Ballads Blues''
* 2007: ''Close as You Get''
* 2008: ''Bad for You, Baby'' (Japan-Ausgabe mit zusätzlichem Titel)

'''Kompilationen'''
* 1990: ''Gary Moore (Castle Masters Collection)''
* 1994: ''Ballads & Blues 1982–1994''
* 1996: ''Ballads & Blues II''
* 1998: ''Out in the Fields – The Very Best of Part 1''
* 1999: ''Blood of Emeralds – The Very Best of Part 2''
* 2004: ''Back on the Streets – The Rock Collection''
* 2005: ''Street & Walkways - The Best of Gary Moore & Colosseum II''
* 2011: ''Memorial Collection'' (enthält das sonst nicht auf CD veröffentlichte Instrumental ''Track Nine'')

'''Live-Alben'''
* 1983: ''Live at the Marquee'' (1981 aufgenommen, aber erst 1983 und gegen den Willen von Gary Moore veröffentlicht)
* 1984: ''We Want Moore''
* 1986: ''Rockin’ Every Night – Live in Japan'' (1982 für den japanischen Markt aufgenommen und erst 1986 weltweit veröffentlicht)
* 1993: ''Blues Alive''
* 2003: ''Live at Monsters of Rock''
* 2009: ''Essential Montreux'' (5-CD-Box, enthält Konzertausschnitte aus den Jahren 1990, 1995, 1997, 1999 und 2001 vom [[Montreux Jazz Festival]])
* 2011: ''Live at Montreux 2010''

'''Singles'''

Alphabetische Reihenfolge:

* ''After the War'' (1988)
* ''Always Gonna Love You'' (1982)
* ''Always There for You'' (1997)
* ''Back On The Streets'' (1978)
* ''Cold Day In Hell'' (1992)
* ''Crying in the Shadows'' (1986)
* ''[[Don’t Let Me Be Misunderstood]]'' (1984)
* ''Empty Rooms'' (1984)
* ''End of the World'' (1982)
* ''Enough of the Blues'' (2001)
* ''Falling in Love with You'' (1983)
* ''Friday on My Mind'' (1987)
* ''Hold on to Love'' (1984)
* ''I Have Found My Love in You'' (1997)
* ''I Loved Another Woman'' (1995)
* ''Led Clones'' (1989)
* ''Listen to Your Heartbeat'' (1985)
* ''Livin’ on Dreams'' (1989)
* ''Midnight Blues'' (1990)
* ''Military Man'' (1985)
* ''Moving On'' (1990)
* ''Need Your Love So Bad'' (1995)
* ''Oh Pretty Woman'' (1990)
* ''One Day'' (1994)
* ''One Good Reason'' (1997)
* ''Only Fool in Town'' (1992)
* ''Out in the Fields'' (1985)
* ''Over the Hills and Far Away'' (1986)
* ''Parisienne Walkways'' (1978/1983/1986/1993)
* ''Picture of the Moon'' (2001)
* ''Reach for the Sky'' (1986)
* ''Ready for Love'' (1989)
* ''Run for Cover'' (1985)
* ''Separate Ways'' (1992)
* ''Shapes of Things'' (1984)
* ''Since I Met You Baby'' (1992)
* ''Spanish Guitar'' (1979)
* ''Still Got the Blues'' (1990/1993)
* ''Story of the Blues'' (1992)
* ''Take a Little Time'' (1987)
* ''Teenage Idol'' (1983)
* ''The Loner'' (1987)
* ''Too Tired'' (1990)
* ''Walking by Myself'' (1990)
* ''Walking by Myself (live)'' (1993)
* ''Wild Frontier'' (1987)

'''Videos (VHS)'''
* 1985: ''Emerald Aisles''
* 1987: ''Videosingles''
* 1987: ''Wild Frontier Tour/Live in Stockholm''
* 1990: ''An Evening of the Blues''
* 1993: ''Live Blues''
* 1994: ''Ballads and Blues''
* 1996: ''Blues for Greeny Live''
* 2003: ''Live at the Monsters Of Rock''

'''DVDs/Blue-Rays'''
* 1984: ''Live in Chippenham''
* 1989: ''Live in Belfast''
* 2002: ''Live Blues and Ballads of Blues''
* 2003: ''Live at the Monsters of Rock''
* 2005: ''Gary Moore & The Midnight Blues Band – Live at Montreux 1990''
* 2006: ''Gary Moore and Friends, One Night in Dublin, A Tribute to Phil Lynott''
* 2007: ''The Definitive Montreux Collection'' (enthält Konzertausschnitte aus den Jahren 1990, 1995, 1997, 1999 und 2001)
* 2011: ''Wild Frontier Tour/Live in Stockholm''
* 2011: ''Live at Montreux 2010''

=== Veröffentlichungen in Bands ===
'''Alben mit Skid Row'''
* 1970: ''Skid''
* 1971: ''34 Hours''
* 1983: ''Skid Row'' – zuvor unveröffentlichtes Studio-Album aus dem Jahr 1970
* 1990: ''Moore Shiels Bridgeman'' – zuvor unveröffentlichtes Studio-Album aus dem Jahr 1971
* 2006: ''Live and on Song'' – enthält die ersten beiden Singles von 1969 und Liveaufnahmen von 1971

'''Alben mit Thin Lizzy'''
* 1974: ''Night Life''
* 1979: ''The Continuing Saga of the Ageing Orphans'' (enthält 1977 entstandene Neubearbeitungen von Thin Lizzy-Songs aus der Zeit von 1971 bis 1974, von denen die meisten auf den 2010 erschienen Editionen der ersten drei Thin Lizzy-Alben wieder veröffentlicht worden sind)
* 1979: ''Black Rose: A Rock Legend'' (Die remasterte Edition enthält als Bonustracks zehn zuvor nicht auf dem Album veröffentlichte Songs mit Gary Moore, von denen neun hier erstmals veröffentlicht wurden.)
* 1983: ''Live Life''
* 1986: ''Live for Ireland'' (Live-Sampler; enthält mit ''Don’t Believe a Word'' die einzige veröffentlichte neue Aufnahme von Thin Lizzy zwischen Lynotts Tod und der Wiederbelebung der Band 1999)
* 2010: ''Thin Lizzy (Digitally remastered Edition)'' (Wiederveröffentlichung des Albums aus dem Jahr 1971, enthält als Bonustracks unter anderem neun vorher nicht auf dem Album veröffentlichte Songs mit Gary Moore aus dem Jahr 1977)
* 2010: ''Shades of a Blue Orphanage (Digitally remastered Edition)'' (Wiederveröffentlichung des Albums aus dem Jahr 1972, enthält als Bonustracks unter anderem drei zuvor nicht auf dem Album veröffentlichte Songs mit Gary Moore aus dem Jahr 1977)
* 2010: ''Vagabonds of the Western World (Deluxe Edition)'' (Wiederveröffentlichung des Albums aus dem Jahr 1973, enthält als Bonustracks unter anderem neun zuvor nicht auf dem Album veröffentlichte Songs mit Gary Moore aus den Jahren 1974 und 1977)
* 2011: ''At the BBC'' - 6-CD+DVD-Set (Mitwirkung Moores auf Disc 2 und der DVD)
* 2012: ''Night Life (Deluxe Edition)'' (Wiederveröffentlichung des Albums aus dem Jahr 1974, enthält als Bonustracks unter anderem vier zuvor nicht auf dem Album veröffentlichte Songs mit Gary Moore)

'''Alben mit Colosseum II'''
* 1976: ''Strange New Flesh''
* 1976: ''Electric Savage''
* 1977: ''War Dance''

'''Alben mit Greg Lake'''
* 1981: ''Greg Lake''
* 1983: ''Manoeuvres''
* 1999: ''Live on the King Biscuit Flower Hour'' (Konzert von 1981)
* 2010: ''From the Underground Vol.1''
* 2010: ''From the Underground Vol.2''

'''Alben mit BBM''' (Jack Bruce, Ginger Baker & Gary Moore)
* 1994: ''Around the Next Dream''

'''Alben mit Scars'''
* 2002: ''Scars''

=== Sessions und Gastbeiträge ===
'''1970er'''
* 1969: ''Like Now/Choo Choo Charlie'' (mit The Jacobites, Single, wiederveröffentlicht auf den CD-Kompilationen ''Ireland’s Beat Groups 1964–69'', 1993 und ''Round the Gum Tree'', 2004)
* 1970: ''Honest Injun'' (mit Granny’s Intentions)
* 1970: ''Heavy Petting'' (mit Dr. Strangely Strange)
* 1973: ''Wait Till They Change the Backdrop'' (mit Jonathan Kelly)
* 1975: ''The Gramophone Record'' (mit Eddie Howell)
* 1975: ''Peter & The Wolf'' (dt. [[Peter und der Wolf]]; mit Jack Lancaster und Robin Lumley)
* 1978: ''Variations'' (mit Andrew Lloyd Webber)
* 1978: ''Moving Home'' (mit Rod Argent)
* 1978: ''Electric Glide'' (mit [[Gary Boyle]])
* 1979: ''Over the Top'' (mit [[Cozy Powell]])

'''1980er'''
* 1980: ''Solo In Soho'' (mit Philip Lynott)
* 1980: ''Skinningrove Bay TS134JQ'' (mit Jack Lancaster)
* 1981: ''Tilt'' (mit Cozy Powell)
* 1982: ''Johnny Duhan'' (mit Johnny Duhan)
* 1983: ''Arrested'' (mit [[Royal Philharmonic Orchestra]] and Friends)
* 1983: ''Octopuss'' (mit Cozy Powell)
* 1983: ''Out of the Night'' (mit [[Chris Thompson]])
* 1985: ''The Beach Boys'' (mit den [[The Beach Boys|Beach Boys]])
* 1986: ''Cancel'' (mit Minako Honda)
* 1986: ''Let It Be'' (mit Various Artists)
* 1987: ''Minako Collection'' (mit Minako Honda)
* 1988: ''K2 – Tales of Triumph and Tragedy'' (mit Don Airey)
* 1988: ''Bel Assis'' (mit Mo Foster)
* 1988: ''The Christmas Album'' (mit [[Keith Emerson]])
* 1989: ''Lady of Time'' (mit Vicky Brown)

'''1990er'''
* 1990: ''About Love and Life'' (mit Vicky Brown)
* 1990: ''Volume 3'' (mit [[Traveling Wilburys]])
* 1991: ''Southern Reunion'' (mit Mo Foster)
* 1992: ''Growing Up in Public'' (mit [[Jimmy Nail]])
* 1993: ''The Collection'' (mit Vicky Brown)
* 1993: ''Don’t Tear Me Up'' (mit [[Mick Jagger]])
* 1993: ''Collins Mix'' (mit Albert Collins)
* 1993: ''Muddy Waters Blues'' (mit [[Paul Rodgers]])
* 1994: ''Highway to the Sun'' (mit [[Snowy White]])
* 1994: ''Cities of the Heart'' (mit Jack Bruce)
* 1995: ''Lucille and Friends'' (mit B. B. King)
* 1996: ''[[Evita (Film)|Evita]]'' (mit Andrew Lloyd Webber)
* 1997: ''Alternative Medicine'' (mit Dr. Strangely Strange)
* 1997: ''The Best of Cozy Powell'' (mit Cozy Powell)
* 1998: ''The Cream of Cream'' (mit Jack Bruce; VHS/DVD)
* 1998: ''Interplay and Improvisation on the Drums'' (mit [[Gary Husband]]; VHS)

'''2000er'''
* 2000: ''Shadows in the Air'' (mit Jack Bruce)
* 2001: ''Twelve Inches'' (mit [[Frankie Goes to Hollywood]])
* 2001: ''Living on the Outside'' (mit [[Jim Capaldi]])
* 2001: ''Along for the Ride'' (mit [[John Mayall]])
* 2001: ''Soundmills'' (mit Various Artists) – enthält einen sonst nicht veröffentlichten [[Outtake]] des Albums ''Back to the Blues''
* 2002: ''From Clarksdale to Heaven'' (mit Various Artists) - [[John Lee Hooker|John-Lee-Hooker]]-Tribute mit Jack Bruce
* 2004: ''Poor Boy Blue'' (mit Jim Capaldi)
* 2004: ''Broken Rhythms'' (mit [[Trilok Gurtu]])
* 2005: ''Grief Never Grows Old'' (mit One World Project) - Charity single, als CD und als DVD erschienen
* 2005: ''The Strat Pack'' (mit Various Artists; DVD)
* 2006: ''Definition of a Circle'' (mit [[Otis Taylor]])
* 2007: ''Dear Mr. Fantasy'' (mit Various Artists) - Jim Capaldi-Tribute, als CD und als DVD erschienen
* 2009: ''Pentatonic Wars and Love Songs'' (mit Otis Taylor)
* 2009: ''Irony'' (mit Voronofff)
* 2010: ''Clovis People Vol. 3'' (mit Otis Taylor)

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=René Aagaard, Finn K. Jensen |Titel=Gary Moore. The Bio-Discography 1969-1994|Verlag=Bidstrup |Ort=Søborg |Jahr=1996 |ISBN=87-983242-6-8 }}

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* {{DNB-Portal|119065517}}
* [http://www.gary-moore.com/ Offizielle Website] (englisch)
* {{Allmusic|Rubrik=artist|ID=mn0000050034|Linktext=Gary Moore}}

{{Navigationsleiste Gary Moore}}

{{Normdaten|TYP=p|GND=119065517|LCCN=n/2002/22291|VIAF=84961021}}

{{DEFAULTSORT:Moore, Gary}}
[[Kategorie:Rocksänger]]
[[Kategorie:Gitarrist]]
[[Kategorie:Blues-Musiker]]
[[Kategorie:Britischer Musiker]]
[[Kategorie:Person (Belfast)]]
[[Kategorie:Brite]]
[[Kategorie:Nordire]]
[[Kategorie:Geboren 1952]]
[[Kategorie:Gestorben 2011]]
[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Moore, Gary
|ALTERNATIVNAMEN=Moore, Robert William Gary
|KURZBESCHREIBUNG=britischer Bluesrockmusiker
|GEBURTSDATUM=4. April 1952
|GEBURTSORT=[[Belfast]], [[Nordirland]]
|STERBEDATUM=6. Februar 2011
|STERBEORT=[[Estepona]], [[Spanien]]
}}

[[an:Gary Moore]]
[[ar:غاري مور]]
[[az:Qari Mur]]
[[be-x-old:Гэры Мур]]
[[bg:Гери Мур]]
[[ca:Gary Moore]]
[[cs:Gary Moore]]
[[cy:Gary Moore]]
[[da:Gary Moore]]
[[el:Γκάρι Μουρ]]
[[en:Gary Moore]]
[[eo:Gary Moore]]
[[es:Gary Moore]]
[[et:Gary Moore]]
[[eu:Gary Moore]]
[[fa:گری مور]]
[[fi:Gary Moore]]
[[fr:Gary Moore]]
[[he:גרי מור]]
[[hu:Gary Moore]]
[[it:Gary Moore]]
[[ja:ゲイリー・ムーア]]
[[ka:გარი მური]]
[[ko:게리 무어]]
[[la:Gary Moore]]
[[lb:Gary Moore]]
[[nl:Gary Moore]]
[[nn:Gary Moore]]
[[no:Gary Moore]]
[[pl:Gary Moore]]
[[pt:Gary Moore]]
[[ro:Gary Moore]]
[[ru:Мур, Гэри]]
[[simple:Gary Moore]]
[[sk:Gary Moore]]
[[sl:Gary Moore]]
[[sr:Гари Мур]]
[[sv:Gary Moore]]
[[th:แกรี มัวร์]]
[[tr:Gary Moore]]
[[uk:Ґері Мур]]

Kettenregel

2012-06-30T09:35:53Z

92.75.195.250: Quellen: d-nb.info/968668313 & d-nb.info/970698623

Die '''Kettenregel''' ist eine der Grundregeln der [[Differentialrechnung]]. Sie trifft Aussagen über die [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die sich selbst als [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von zwei differenzierbaren Funktionen darstellen lässt. Kernaussage der Kettenregel ist dabei, dass eine solche Funktion selbst wieder differenzierbar ist und man ihre Ableitung erhält, indem man die beiden miteinander verketteten Funktionen separat ableitet und – ausgewertet an den richtigen Stellen – miteinander [[Multiplikation|multipliziert]].

Die Kettenregel lässt sich verallgemeinern auf Funktionen, die sich als Verkettung von mehr als zwei differenzierbaren Funktionen darstellen lassen. Auch eine solche Funktion ist wiederum differenzierbar, ihre Ableitung erhält man durch Multiplikation der Ableitungen aller ineinander verschachtelten Funktionen.

Die Kettenregel bildet einen Spezialfall der [[Verallgemeinerte Kettenregel|verallgemeinerten Kettenregel]] für den eindimensionalen Fall.

Sie ist außerdem das Gegenstück zur [[Integration durch Substitution]] in der [[Integralrechnung]].

== Mathematische Formulierung ==

Seien U, V [[Offenes Intervall|offene Intervalle]], <math> v\colon V \rightarrow \mathbb{R} </math> und <math> u\colon U \rightarrow \mathbb{R} </math> Funktionen mit <math> v(V) \subset U </math>.

Die Funktion <math>v</math> sei im Punkt <math> x_0 \in V </math> differenzierbar und <math>u</math> sei im Punkt <math> z_0 := v(x_0) \in U </math> differenzierbar.

Dann ist die zusammengesetzte Funktion
:<math>f = u \circ v\colon V \rightarrow \mathbb{R}</math>
im Punkt <math>x_0</math> differenzierbar und es gilt:
:<math>(u \circ v)'(x_0) = u'\big(v(x_0)\big)\cdot v'(x_0).</math>
Im Zusammenhang mit der Kettenregel nennt man <math>u</math> auch die ''äußere'', <math>v</math> die ''innere'' Funktion von <math>f</math>.

''Praktische Merkregel'': Die Ableitung einer durch Verkettung gebildeten Funktion ist die „äußere Ableitung“ <math>u'</math> - ausgewertet an der Stelle <math>v(x_0)</math> - mal der Ableitung der inneren Funktion <math>v'</math> - ausgewertet an der Stelle <math>x_0</math>. Oder kurz: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung“.

== Beispiel ==

Es wird die durch <math>f(x) = (x^3+1)^2</math> definierte Funktion <math>f</math> betrachtet.

Diese lässt sich darstellen als Verkettung der Funktion

:<math> u(v) = v^2 </math>

mit der Funktion

:<math> v(x) = x^3 + 1,</math>

denn es gilt <math>f(x) = u(v(x))</math>. In der Terminologie der Kettenregel bezeichnet <math>u</math> die äußere, <math>v</math> die innere Funktion. Es ist üblich, der Übersicht halber in der äußeren Funktion die unabhängige Variable mit dem Funktionssymbol der inneren Funktion zu identifizieren, obwohl die Benennung der Variable prinzipiell keine Rolle spielt. Man könnte gleichwertig für die erste Funktion auch <math> u(x) = x^2 </math> schreiben.

Für die Anwendung der Kettenregel benötigen wir die Ableitungen <math>u'</math> ("äußere Ableitung") und <math>v'</math> ("innere Ableitung"):

:<math> u'(v) = 2v</math>

und

:<math> v'(x) = 3x^2. </math>

Da sowohl <math>u</math> als auch <math>v</math> differenzierbar sind, ist nach der Kettenregel auch <math>f = u \circ v</math> differenzierbar, und es gilt für ihre Ableitung:

:<math> f\ '(x) = u'(v(x))\, v'(x).</math>

Nun ist <math>u'(v(x)) = 2(x^3 + 1)</math>, so dass wir insgesamt erhalten:

:<math> f\ '(x) = 2(x^3 + 1) \,3x^2</math>

Man beachte, dass die Darstellung einer Funktion als Verkettung einer äußeren mit einer inneren Funktion keineswegs eindeutig sein muss. So lässt sich die Beispielfunktion auch als Verkettung der Funktionen <math> u(v) = (v + 1)^2 </math> und <math> v(x) = x^3 </math> auffassen, denn auch für diese beiden Funktionen gilt:

:<math> u(v(x)) = (x^3 + 1)^2 = f(x). </math>

Die Anwendung der Kettenregel ist in diesem Fall rechnerisch aufwändiger, da zumindest der Term <math>(v+1)^2</math> ausmultipliziert werden muss.

Insgesamt lässt sich an diesem Beispiel die Kettenregel im Sinne der [[Konstruktivistische Didaktik|konstruktivistischen Didaktik]] selbst entdecken. Ausmultiplizieren ergibt:
: <math>f(x) = x^6+2x^3+1</math>.
Nach Ableiten wird durch Ausklammern die innere Funktion <math>v(x)=x^3+1</math> herauspräpariert:
: <math>f'(x) = 6x^5+6x^2 = 6x^2(x^3+1) = 2(x^3+1)\cdot 3x^2</math>.
Hieraus lässt sich dann die Kettenregel vermuten, die dann noch in ihrer Allgemeingültigkeit bewiesen werden muss.

== Geometrische Veranschaulichung ==

Von x zum Funktionswert u(v(x)) kann man gelangen, indem man zuerst v(x) und dann u(v) berechnet. Die Funktion v(x) hat die Steigung v'(x) (innere Ableitung). Die Funktion u(v) hat die Steigung u'(v) (äußere Ableitung). Die Steigung von u(v(x)) ist u'(x) (Gesamtableitung).

:[[Datei:Kettenregel.PNG|Kettenregel]]
Der Term <math>{\Delta u \over \Delta v} \cdot {\Delta v \over \Delta x}</math> entsteht dabei durch Erweiterung des Bruchs <math> {\Delta u \over \Delta x}</math> mit <math>\Delta v</math>, also Multiplikation mit <math> {\Delta v \over \Delta v}</math> und Umschreibung. Zu beachten ist hierbei: Die Verkettung von Funktionen ist etwas ganz anderes als die Multiplikation von Funktionen.

Für die Differenzenquotienten gilt (siehe Abbildung):
<math> {\Delta u \over \Delta x} = {\Delta u \over \Delta v} \cdot {\Delta v \over \Delta x}</math>

Durch den Grenzübergang Δx → 0 werden aus den Differenzenquotienten die Differentialquotienten. Aus der obigen Abbildung geht hervor: Geht Δx gegen Null, dann auch Δv.

Man erhält dann insgesamt für die Ableitung der verketteten Funktion:

:<math> f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Delta u \over \Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\biggl({\Delta u \over \Delta v} \cdot {\Delta v \over \Delta x}\biggl) </math>

::<math>= \lim_{\Delta v \rightarrow 0}\biggl({\Delta u \over \Delta v}\biggl) \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\biggl({\Delta v \over \Delta x}\biggl) </math>

:: <math>= \frac{\mathrm du}{\mathrm dv} \cdot \frac{\mathrm dv}{\mathrm dx} = u'\big(v(x)\big)\cdot v'(x) </math>

''Anmerkung'': Die hier verwendete Schreibweise mit Differentialen (z. B. <math>\mathrm dx</math>) nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] ist äquivalent zur obigen Schreibweise nach [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], vgl. auch den letzten Absatz dieses Artikels.

== Beweis ==
Sei
:<math>
D(z,z_0) :=
\begin{cases}
\frac {u(z)-u(z_0)} {z-z_0}, & \text{falls } z \ne z_0, \\
u'(z_0), & \text{falls } z = z_0.
\end{cases}
</math>
Weil <math>u</math> in <math> z_0 </math> differenzierbar ist, gilt
:<math>\lim_{z \to z_0} D(z,z_0) = u'(z_0),</math>
das heißt, <math>D(z,z_0)</math> ist bei <math>z=z_0</math> stetig. Außerdem gilt für alle <math>z \in U</math>
:<math>u(z)-u(z_0) = D(z,z_0)\cdot(z-z_0).</math>
Daraus folgt
:<math>
\begin{align}
(u \circ v)'(x_0)
&= \lim_{x \to x_0}\frac{u\big(v(x)\big)-u\big(v(x_0)\big)}{x-x_0}
= \lim_{x \to x_0}\frac{D\big(v(x),v(x_0)\big)\cdot\big(v(x)-v(x_0)\big)}{x-x_0} \\
&= \lim_{x \to x_0} D\big(v(x),v(x_0)\big)\cdot\lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \\
&= u'\big(v(x_0)\big)\cdot v'(x_0).
\end{align}
</math>

== Verallgemeinerung auf mehrfache Verkettungen ==

Etwas komplizierter wird das Differenzieren, wenn mehr als zwei Funktionen verkettet sind. In diesem Fall wird die Kettenregel [[Rekursion|rekursiv]] angewendet. Beispielsweise ergibt sich bei Verkettung von drei Funktionen ''u'', ''v'' und ''w''

: <math>f(x) = u(v(w(x)))</math>

die Ableitung

: <math>f'(x) = u'(v(w(x)))\cdot (v(w(x)))' = u'(v(w(x))) \cdot v'(w(x)) \cdot w'(x)</math>.

Im Allgemeinen besitzt die Funktion

: <math> f = u_1 \circ \cdots \circ u_n</math>

die Ableitung

: <math> f'(x) = u_1' (u_2(\cdots(u_n(x)))) \cdot u_2'(u_3(\cdots(u_n(x)))) \cdots u_n'(x), </math>

wie sich durch [[vollständige Induktion]] beweisen lässt. Beim praktischen Berechnen der Ableitung multipliziert man also Faktoren, die sich folgendermaßen ergeben:

Den ersten Faktor erhält man dadurch, dass man die äußerste Funktion durch eine unabhängige Variable ausdrückt und ableitet. Anstelle dieser unabhängigen Variablen ist der Rechenausdruck für die restlichen (inneren) Funktionen einzusetzen.
Der zweite Faktor wird entsprechend berechnet als Ableitung der zweitäußersten Funktion, wobei auch hier der Rechenausdruck für die zugehörigen inneren Funktionen einzusetzen ist. Dieses Verfahren setzt man fort bis zum letzten Faktor, der innersten Ableitung.

Als Beispiel kann wiederum die Funktion <math>f(x) = (x^3 + 1)^2</math> dienen. Diese lässt sich darstellen als Verkettung der drei Funktionen:

:<math> \begin{array}{ccl}
u(v) &=& v^2 \\
v(w) &=& w + 1 \\
w(x) &=& x^3,
\end{array}
</math>

denn es gilt:

: <math> u(v(w(x))) = u(w(x) + 1) = u(x^3 + 1) = (x^3 + 1)^2 = f(x). </math>

Damit liefert die auf mehrfache Verkettungen verallgemeinerte Kettenregel mit

:<math> \begin{array}{ccl}
u'(v) &=& 2v \\
v'(w) &=& 1 \\
w'(x) &=& 3x^2,
\end{array}
</math>

die Ableitung

: <math> f \ '(x) = u'(v(w(x))) v'(w(x)) w'(x) = 2 v(w(x)) \cdot 1 \cdot w'(x) = 2(x^3 + 1) \cdot 1 \cdot 3x^2 </math>.

== Verallgemeinerung für höhere Ableitungen ==
Eine Verallgemeinerung für höhere Ableitungen ist wesentlich komplizierter und schwieriger zu beweisen. Sie ist als [[Formel von Faà di Bruno]] bekannt.

== Verallgemeinerung auf Funktionen und Abbildungen mehrerer Veränderlicher ==
{{Hauptartikel|Verallgemeinerte Kettenregel}}
Hier betrachtet man differenzierbare Funktionen (Abbildungen) <math>f \colon \R^n \to \R^m</math>. Die Ableitung einer solchen Abbildung im Punkt <math>x_0 \in \R^n</math> ist dann eine lineare Abbildung
<math>Df_{x_0} \colon \R^n \to \R^m</math>, die durch eine <math>(m \times n)</math>-Matrix, die [[Jacobi-Matrix]] <math>J_f(x_0)</math> dargestellt werden kann.

Die Kettenregel besagt, dass die Verkettung von zwei differenzierbaren Abbildungen wieder differenzierbar ist. Ihre Ableitung erhält man, indem man die einzelnen Ableitungen verkettet. Die zugehörige Jacobi-Matrix ist das Matrizenprodukt der einzelnen Jacobi-Matrizen.

Im Detail: Sind die Abbildungen <math>v \colon \R^n \to \R^l</math> im Punkt <math>x_0 \in \R^n</math> und <math>u \colon \R^l \to \R^m</math> im Punkt <math>v(x_0)\in \R^l</math> differenzierbar, so ist auch die Verkettung <math>u \circ v \colon \R^n \to \R^m</math> im Punkt <math>x_0</math> differenzierbar, und es gilt
:<math>D(u \circ v)_{x_0} = Du_{v(x_0)} \circ Dv_{x_0}</math>
und
:<math>J_{u \circ v}(x_0) = J_u(v(x_0)) \cdot J_v(x_0).</math>

In ähnlicher Form lässt sich eine Kettenregel für [[Fréchet-Ableitung]]en von Abbildungen zwischen [[Banach-Raum|Banachräumen]] und für die [[Tangentialraum#Die_Totalableitung_einer_Abbildung|Ableitungen]] (Differentiale, Tangentialabbildungen) von Abbildungen zwischen [[differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]] formulieren.

== Abweichende Notationen in der Physik und anderen Wissenschaften ==

In vielen [[Naturwissenschaft]]en wie der [[Physik]] sowie in der [[Ingenieurswissenschaft]] findet die Kettenregel breite Anwendung. Allerdings hat sich hier eine besondere Notation entwickelt, die von der mathematischen Notation der Kettenregel deutlich abweicht.

=== Vorstellung der Notation ===

In physikalischer Literatur wird für die Ableitung einer Funktion <math>h</math> nach der Variable <math>x</math> in der Regel die Schreibweise

:<math> h'(x) =: \frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}(x)</math>

bevorzugt. Ist <math>h</math> eine Verkettung zweier Funktionen: <math>h = f \circ g</math> mit <math>y \mapsto f(y), x \mapsto g(x)</math>, so präsentiert sich die Kettenregel in dieser Notation:

:<math> \frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}(x) = \frac{\mathrm df}{\mathrm dy}(g(x)) \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}(x)</math>

Es ist zusätzlich gängige Konvention, die unabhängige Variable der Funktion <math>f</math> mit dem Funktionsymbol der inneren Funktion <math>g</math> zu identifizieren, dafür aber sämtliche Argumentklammern auszulassen:

:<math> \frac{\mathrm dh}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm df}{\mathrm dg} \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}</math>

Letztlich wird für die Verkettung <math>f \circ g</math> kein neues Symbol eingeführt, sondern die gesamte Verkettung mit der äußeren Funktion <math>f</math> identifiziert: <math>f = f \circ g</math>.

Die Kettenregel nimmt dann das folgende Aussehen an:

:<math> \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm df}{\mathrm dg} \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}</math>

Formal stellt sich die Kettenregel hier als eine [[Bruchrechnung|Erweiterung]] des "Bruches" <math>\mathrm df/\mathrm dx</math> mit <math>\mathrm dg</math> dar, so dass es in physikalischer Fachliteratur (und auch in anderen Natur- und Ingenieurswissenschaften) gängig ist, die Kettenregel bei Anwendung nicht namentlich zu erwähnen. Stattdessen findet man oft Ersatzformulierungen, so ist etwa von der "Erweiterung von <math>\mathrm df/\mathrm dx</math> mit <math>\mathrm dg</math>" die Rede, teilweise fehlt eine Begründung vollständig. Auch wenn dies für das ungeübte Auge nicht immer auf den ersten Blick erkennbar ist, steckt hinter all diesen Formulierungen ausnahmslos die Kettenregel der Differentialrechnung.

Obwohl die vorgestellte Notation mit einigen mathematischen Konventionen bricht, erfreut sie sich großer Beliebtheit und weiter Verbreitung, da sie es ermöglicht, mit Ableitungen (zumindest salopp) wie mit "normalen Brüchen" zu rechnen. Viele Rechnungen gestaltet sie außerdem übersichtlicher, da Klammern entfallen und nur sehr wenige Symbole verwendet werden müssen. Vielfach stellt auch die durch eine Verkettung beschriebene Größe eine bestimmte physikalische Variable dar (z.B. eine [[Energie]] oder eine [[elektrische Spannung]]), für die ein bestimmter Buchstabe "reserviert" ist (etwa ''E'' für Energie und ''U'' für Spannung). Die obige Notation ermöglicht es, diesen Buchstaben in der gesamten Rechnung durchgängig zu verwenden.

=== Beispiel ===
Die [[kinetische Energie]] eines Körpers hängt von seiner [[Geschwindigkeit]] ''v'' ab: <math>E = f(v)</math>. Hängt die Geschwindigkeit wiederum von der [[Zeit]] ab, <math>v = g(t)</math>, so ist auch die kinetische Energie des Körpers eine Funktion der Zeit, die durch die Verkettung

:<math>E(t) = f(g(t))</math>

beschrieben wird. Möchten wir die Änderung der kinetischen Energie nach der Zeit berechnen, so gilt nach der Kettenregel

:<math> E\ '(t) = f\ '(g(t)) g\ '(t).</math>

In physikalischer Literatur würde man die letzte Gleichung in folgender (oder ähnlicher) Gestalt vorfinden:

:<math>\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm dE}{\mathrm dv}\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}.</math>

Klarer Vorteil ist die durchgängige Verwendung von Funktionssymbolen, deren Buchstaben mit denen der zugrunde liegenden physikalisch relevanten Größe (''E'' für Energie, ''v'' für Geschwindigkeit) übereinstimmen.

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. 6. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-40371-X.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2''. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.

[[Kategorie:Analysis]]

[[af:Kettingreël]]
[[ar:قاعدة السلسلة]]
[[bs:Pravilo derivacije složene funkcije]]
[[ca:Regla de la cadena]]
[[cs:Řetízkové pravidlo]]
[[en:Chain rule]]
[[eo:Derivaĵo de funkcia komponaĵo]]
[[es:Regla de la cadena]]
[[fa:قاعده زنجیری]]
[[fi:Ketjusääntö]]
[[fr:Théorème de dérivation des fonctions composées]]
[[he:כלל השרשרת]]
[[hu:Láncszabály]]
[[id:Kaidah rantai]]
[[is:Keðjuregla]]
[[it:Regola della catena]]
[[ja:連鎖律]]
[[ko:연쇄법칙]]
[[nl:Kettingregel]]
[[nn:Kjerneregelen]]
[[pl:Reguła łańcuchowa]]
[[pt:Regra da cadeia]]
[[ru:Дифференцирование сложной функции]]
[[sh:Pravilo derivacije složene funkcije]]
[[sv:Kedjeregeln]]
[[th:กฎลูกโซ่]]
[[tr:Zincir kuralı]]
[[uk:Диференціювання складної функції]]
[[zh:链式法则]]

Amalie Luise von Arenberg

2010-05-25T07:59:02Z

92.75.195.250:

'''Amalie Luise, Prinzessin und Herzogin von Arenberg''' (* [[10. April]] [[1789]] in [[Brüssel]], [[Belgien]]; † [[4. April]] [[1823]] in [[Bamberg]]) war die Gemahlin von [[Max Joseph in Bayern]] und somit die Mutter von [[Elisabeth von Österreich-Ungarn|Kaiserin Sisi]].

== Leben ==

Amalie Luise war am 10. April 1789 in [[Brüssel]] als einziges Kind von Herzog Ludwig Maria von Arenberg (1757-1795) und dessen Ehefrau Anne de Mailly-Nesle (1766-1789) zur Welt gekommen.

Am 26. Mai 1807 heiratete Amalie Luise in Brüssel den bayerischen Herzog [[Pius August in Bayern|Pius August]] (1786-1837), Sohn von Herzog [[Wilhelm in Bayern]] (1752-1837) und Mitglied einer Birkenfelder Nebenlinie der [[Wittelsbach]]er. Das Paar zog nach [[Bamberg]] und bekam im darauf folgenden Jahr den einzigen Sohn, [[Max Joseph in Bayern|Maximilian Joseph]], den späteren Herzog ''Max Joseph in Bayern''.

Amalie Luises Ehe war geprägt von Konflikten; Pius war [[Choleriker]] und provozierte oft brutale Schlägereien. Aus diesem Grund wurde ihr Sohn 1817 vom [[Königreich Bayern|bayerischen König]] [[Maximilian I. Joseph (Bayern)|Maximilian I. Joseph]], einem Großonkel des Knabens, nach [[München]] geschickt, um dort im ''Königlichen Erziehungsinstitut für Studierende'' in einem gesunden Umfeld aufwachsen zu können. Amalie Luise sah ihren Sohn erst 1820, nach fast drei Jahren wieder. Kurz nach der Rückkehr von ihrem zweiten Besuch in München verstarb Amalie Luise 1823 in Bamberg. Sie wurde in der Gruft im Schloss Tegernsee, dem heutigen [[Kloster Tegernsee]], beigesetzt.
Pius lebte nach dem frühen Tod seiner Frau völlig zurückgezogen.

{{DEFAULTSORT:Arenberg, Amalie Luise von}}
[[Kategorie:Haus Arenberg|Amalie Luise]]
[[Kategorie:Prinz (Bayern)]]
[[Kategorie:Geboren 1789]]
[[Kategorie:Gestorben 1823]]
[[Kategorie:Frau]]

{{Personendaten
|NAME=Arenberg, Amalie Luise von
|ALTERNATIVNAMEN=Amalie von Arenberg; Amalie Louise von Arenberg; Amalie Luise; Amalie Louise
|KURZBESCHREIBUNG=Mutter von [[Max Joseph in Bayern]]
|GEBURTSDATUM=10. April 1789
|GEBURTSORT=[[Brüssel]], [[Belgien]]
|STERBEDATUM=4. April 1823
|STERBEORT=[[Bamberg]]
}}

[[cs:Amálie Luisa Arenberková]]
[[en:Princess Amélie Louise of Arenberg]]
[[fr:Amélie Louise d'Arenberg]]
[[nl:Amalia Louise van Arenberg]]
[[pl:Amalia Luiza Arenberg]]