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Observatorio Astronómico de Córdoba

2021-10-25T14:37:53Z

200.16.16.13: /* Direktoren */

{{Infobox Observatorium
|Name =
|Bild =[[Datei:Observatorio-cba.jpg|center|300px]]
|Bild-Titel =Hauptgebäude des Observatoriums
|Code =822
|Observatoriumstyp =Sternwarte
|Höhe =
|Höhe-Bezug =
|Höhe-Anmerkung =
|Breitengrad =-31.420579
|Längengrad =-64.198867
|ISO-Region =AR
|Ort =[[Córdoba (Argentinien)|Córdoba]]
|Gründung =24. Oktober 1871
|Periode =
|Betreiber =
|Leitung =[[Nationale Universität Córdoba|Universidad Nacional de Córdoba]]
|Mitarbeiterzahl =
|Website =[http://www.oac.unc.edu.ar Observatorio Astronómico de Córdoba]
}}

Das '''Observatorio Astronómico de Córdoba''' (früher ''Observatorio Nacional Argentino'') ist ein [[Astronomie|astronomisches]] [[Observatorium]] in [[Córdoba (Argentinien)|Córdoba]], [[Argentinien]]. Es gehört zur [[Nationale Universität Córdoba|Universidad Nacional de Córdoba]]. Gegründet wurde das Observatorium am 24. Oktober 1871 vom damaligen [[Präsident von Argentinien|Präsident]]en Argentiniens [[Domingo Faustino Sarmiento]] auf Anregung von [[Nicolás Avellaneda]]<ref name="OAC_Historia" />, der damit seinem Volk den direkten Kontakt zur [[Astronomie]] ermöglichte. Der erste Direktor wurde [[Benjamin Apthorp Gould]].
Der [[IAU-Code]] ist 822.

== Geschichte ==
[[Datei:Observatorio de Bosque Alegre.JPG|mini|rechts|300px|Bosque Alegre Observatorium, seit 1942 mit dem Córdoba Observatorium verbunden.]]
Der Beginn der astronomischen Studien in Argentinien ist das unbestreitbare Werk von Domingo Faustino Sarmiento. Als er als Vertreter seines Landes in den [[Vereinigte Staaten|Vereinigten Staaten]] weilte, hatte er die Gelegenheit, den Astronomen Benjamin Apthorp Gould zu treffen, der zu dieser Zeit nach Argentinien reisen wollte, um Sternstudien der südlichen Hemisphäre durchzuführen, und bot zu diesem Zweck seine wissenschaftlichen Dienste an.

Sarmiento, der in der Zwischenzeit als Präsident seines Landes eingesetzt worden war, lud den angesehenen Wissenschaftler und seine Assistenten 1869 ein, nach Argentinien zu reisen, und unterstützte sie bei der Organisation eines Observatoriums. Gould kam 1870 in Buenos Aires an und musste geduldig auf die Ankunft der bei einer europäischen Firma bestellten Geräte warten. Während er auf die wissenschaftlichen Instrumente wartete wurde am 24. Oktober 1871 das Observatorium eingeweiht und er begann mit bloßem Auge und mit Hilfe eines kleinen [[Fernglas]]es eine Karte des südlichen Himmels zu erstellen, mit mehr als 7000 Sternen. Welche später, 1877, unter dem Namen ''Uranometría Argentina'' veröffentlicht wurde.<ref name="OAC_Historia" />

Er blieb Direktor des Observatoriums bis 1885, dann kehrte er in die USA zurück. Zu seinen Arbeiten zählen die Untersuchung von [[Stern]]en bis zur [[Scheinbare Helligkeit|scheinbaren Helligkeit]] von 10,0 mag, die zur Veröffentlichung des ''Catálogo de Zonas'' (1884) führte, in welchem mehr als 70.000 Sterne der [[Südhalbkugel|südlichen Hemisphäre]] registriert sind. Und dem ''Catálogo General Argentino'' welcher 35.000 mit guter Präzision festgelegte Sternpositionen enthält.<ref name="OAC_Historia" />

Es war auch Gould zu verdanken, dass einige der ersten Sternfotos der Welt an diesem Observatorium aufgenommen wurden. Dazu wurden Hunderte von Aufnahmen [[offener Sternhaufen]] aus der südlichen Hemisphäre mit dem großen [[Fernrohr|Refraktor]] mit 28 cm Durchmesser erstellt, welche dann vermessen wurden um die Position der Sterne zu bestimmen. Das war die erste systematische und groß angelegte Arbeit in der Astronomie unter Verwendung der [[Fotografie]]. Die Ergebnisse wurden 1896 unter dem Namen ''fotografías cordobesas'' veröffentlicht.<ref name="OAC_Historia" /><ref name="ADSFotografiasCordobesas" />

Die Veröffentlichung der ersten wichtigen [[Sternkarte]]n des südlichen Himmels erreichte ihren Höhepunkt mit der Fertigstellung der monumentalen [[Córdoba-Durchmusterung]] im Jahr 1908. Dieser Katalog mit 613.718 Sternen ist bis heute eine Referenz in der Geschichte der weltweiten Astronomie. Zu den herausragendsten Beiträgen des Astronomischen Observatoriums von Córdoba zu Beginn des 20. Jahrhunderts gehört die Vorbereitung der ersten großen fotografischen Vermessung des Himmels ("[[Carte du Ciel]]") zusammen mit insgesamt 35 anderen Observatorien aus anderen Breiten auf der ganzen Welt. Die Ergebnisse ermöglichten es die Bestimmung des Abstandes zwischen [[Erde]] und der [[Sonne]] wesentlich zu verbessern.

Historisch gesehen hat das Astronomische Observatorium von Córdoba nicht nur auf dem Gebiet der Astronomie, sondern auch in verschiedenen anderen sozialen Aspekten wichtige Beiträge geleistet:
* Präzisions-Sternenkataloge, die seit Goulds Zeit mit dem [[Passageninstrument|Meridian Circle]] analysiert wurden, wurden zur Zeitbestimmung und Navigation in der gesamten südlichen Hemisphäre verwendet.
* Der Nationale Wetterdienst, der seinen Ursprung im Wetteramt hatte, das Sarmiento 1872 auf Goulds Vorschlag als Teil des Astronomischen Observatoriums von Córdoba eingerichtet hatte. Ebenfalls unter der Leitung von Gould wurden die ersten genauen Bestimmungen von Längen- und Höhenunterschieden zwischen [[Buenos Aires]], Rosario, Córdoba und [[Santiago de Chile]] vorgenommen. Die ersten exakten Bestimmungen der genauen Gewichte und Maße wurden im Observatorium durchgeführt, das von der nationalen Regierung in Auftrag gegeben wurde. Zusätzlich zu Messungen des Erdmagnetfeldes.
* Das Observatorium war für viele Jahre zuständig für den Telegrafiedienst zur Bestimmung der offiziellen Zeit. Diese Aufgabe ging dann ans Marineobservatorium.

Unter der Leitung von [[Enrique Gaviola]] (zwischen 1940 und 1947 und von 1956 bis 1957) wurde das Astronomische Observatorium von Córdoba in ein erstklassiges wissenschaftliches Zentrum umgewandelt. Die ''Bosque Alegre Astrophysical Station'' wurde 1942 eingeweiht und gebaut. Sie befindet sich in den [[Sierras Chicas]], 25 Kilometer von der Stadt [[Alta Gracia]] entfernt, auf 1250 Metern über dem [[Meeresspiegel]]. Er verband das Observatorium mit der Argentinischen Physikalischen Vereinigung und erhielt Vollzeitmitarbeiter und Wissenschaftler sowie eine exzellente Optik-Werkstatt. Dort wurden unter anderem [[Mario Bunge]], [[Ernesto Sabato]] und [[José Antonio Balseiro]] ausgebildet.

Gegenwärtig werden in dieser Einrichtung wissenschaftliche Forschungsaufgaben, Ausbildungen für Studenten und Doktoranden sowie Aktivitäten zur Öffentlichkeitsarbeit durchgeführt. In der [[Astrophysik]]alischen Station Bosque Alegre werden Beobachtungen mit [[Photometrie]]- und [[Spektroskopie]]instrumenten durchgeführt.

Seit 1955 ist das astronomische Observatorium und seine astrophysikalische Station der [[Nationale Universität Córdoba|Nationalen Universität von Córdoba]] angegliedert.

== Forschung und instrumentelle Entwicklung ==
[[Bild:Observatoriobosquealegre.jpg|mini|300px|rechts|Blick auf das Bosque Alegre Observatorium vom Westhang der Sierras Chicas.]]
Die Forscher dieser Institution sind größtenteils an der [[Nationale Universität Córdoba|Nationalen Universität von Córdoba]] ausgebildet und befinden sich auf Augenhöhe mit den höchsten akademischen Zentren der Welt. Am Astronomischen Observatorium von Córdoba wird die [[Astronomie#Fachgebiete|Forschung]] aus verschiedenen Perspektiven durchgeführt: beobachtende, statistische, theoretische und Entwicklung der Instrumente. Die Hauptbereiche, auf die sich die Studien konzentrieren, sind: [[Sonnenphysik]], [[Planetensystem]]e, stellare [[Astrophysik]], [[Astrometrie]], [[Astronomisches Instrument|Instrumentierungs-]] und [[Beobachtende Astronomie|Beobachtungstechniken]], [[Interstellares Medium]] und [[Intergalaktisches Medium|galaktische Struktur]], [[extragalaktische Astronomie]] und [[Kosmologie]] und [[Geschichte der Astronomie]]. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen werden in internationalen Publikationen und in wissenschaftlichen Sitzungen in den entsprechenden Bereichen bekannt gegeben.

Das Astronomische Observatorium von Córdoba verfügt über [[Ingenieur]]e und technische Mitarbeiter, die Techniken und Instrumente entwickeln, die für die astronomische Forschung erforderlich sind. Das Team für die Instrumentenentwicklung hat ein Teleskop mit einem Durchmesser von 0,76 Metern von Grund auf gebaut, welches 2012 in einer zweiten Kuppel der Astrophysikalischen Station Bosque Alegre installiert wurde. Darüber hinaus beteiligen sie sich aktiv am Bau eines neuen Observatoriums in [[Tolar Grande]] in der [[Provinz Salta]] sowie an der Fernsteuerung der Teleskope, die sowohl an der Astrophysikalischen Station von Bosque Alegre als auch am Hauptsitz des Astronomischen Observatoriums von Córdoba verfügbar sind.

=== Beobachtungsprojekte ===
Seit 1992 hat Argentinien zusammen mit den [[Vereinigte Staaten|USA]], [[England]], [[Kanada]], [[Frankreich]], [[Australien]], [[Brasilien]] und [[Chile]] als Gastländer an einem internationalen Abkommen namens [[Gemini-Observatorium|Gemini-Projekt]] teilgenommen, das aus dem Bau von zwei großen Teleskopen mit einem Durchmesser von 8 Metern bestand, jeweils eines in [[Hawaii]] und in Chile. Die Beobachtungszeit an den beiden Teleskopen wird den Astronomen der teilnehmenden Ländern im Verhältniss ihres wirtschaftlichen Beitrages zugeteilt. Argentinien verfügt in jedem Teleskop über 2,5 % der gesamten für die Wissenschaft verfügbaren Zeit. Diese leistungsstarken Teleskope wurden Ende des letzten Jahrhunderts in Betrieb genommen und stellten einen neuen und großen Fortschritt für die Astronomie dar.

Die Globalisierung hat es möglich gemacht, die Art und Weise zu ändern, in der Informationen gesammelt und analysiert werden. Die Astronomen des Observatoriums von Córdoba haben Zugang zu verschiedenen Observatorien auf der Welt, indem sie ein Beobachtungsprojekt vorstellen, das von ihren Kollegen für die Verteilung der Beobachtungszeit bewertet wird. In einigen internationalen Observatorien werden Beobachtungen ''aus der Ferne'' gemacht, d. h. diese Observatorien haben Personal, die für die Beobachtungen verantwortlich sind, und dann werden die gesammelten Daten an die führenden Forscher des vorgestellten Projekts gesendet. Für die Astronomen ist es nicht unbedingt erforderlich bei den Beobachtungsstellen vor Ort zu sein.

OAC-Astronomen haben auch die Möglichkeit, das 2,15-Meter-Teleskop der [[Astronomische Einrichtung Leoncito|Astronomischen Einrichtung Leoncito]] in [[Provinz San Juan|San Juan]] und das 1,54-Meter-Teleskops der Astrophysikalischen Station Bosque Alegre des Astronomischen Observatoriums von Córdoba zu nutzen.

Anlässlich des 70-jährigen Bestehens der Astrophysikalischen Station Bosque Alegre wurden im November 2012 einige Umbauarbeiten an zwei der kleineren Kuppeln durchgeführt. In einem von ihnen wurde ein 11-Zoll-CELESTRON-Teleskop des ''Instituto de Astronomía Teórica y Experimental'' (IATE) installiert und robotisiert, das als ''Observatorio Remoto Bosque Alegre'' (ORBA) bezeichnet wird. In der zweiten Kuppel ein Teleskop mit einem Durchmesser von 0,76 m benannt nach ''Charles Perrine''.

Am 5. Mai 2013 hat das [[Minor Planet Center]] ORBA den Code MPC X13 zugewiesen.<ref name="MPC" />

== Lehre und Ausbildung der Humanressourcen ==
Obwohl das Observatorium keine akademische Einheit ist, beteiligen sich Forscher des Astronomischen Observatoriums welche Lehraufträge innehaben an der [[Nationale Universität Córdoba|Nationalen Universität von Córdoba]], an der Lehrverteilung der Fakultäten für [[Mathematik]], [[Astronomie]] und [[Physik]] (''Facultad de Matemática, Astronomía y Física; FaMAF''), mit der eine Vereinbarung über die Zusammenarbeit besteht. OAC Dozenten unterrichten Bachelor- und Master-Fächer in FaMAF Bereichen sowie in den verschiedenen akademischen Einheiten, mit denen FaMAF Vereinbarungen getroffen hat.

Die Forscher des Observatoriums fungieren als Direktoren oder Co-Direktoren in den Abschlussarbeiten der Studenten der Bachelor oder Doktoranden in Astronomie, beides Studiengänge des FaMAF.

== Erweiterung und Verbreitung der Astronomie ==
[[Bild:Observatorio Astronomico Córdoba - Noche.jpg|mini|rechts|Astronomisches Observatorium Córdoba in der Nacht.]]
Historisch gesehen hat sich diese Institution durch ihre informative Arbeit zur Astronomie hervorgetan, um der Gemeinde zu helfen, die Wunder des Universums und die Bedeutung der Wissenschaft im täglichen Leben zu verstehen. Darüber hinaus wurden gemäß der von der Nationalen Universität von Córdoba unter der Leitung von Dr. [[Carolina Scotto]] geförderten Erweiterungsrichtlinie Erweiterungsprojekte hinzugefügt, die hauptsächlich auf den Unterricht von Astronomie auf voruniversitärer Ebene abzielen.

Das OAC führt folgende Programme durch:
* Gruppe für Astrometrie und Photometrie, an der Forscher, Amateurastronomen, Studenten und voruniversitäre Lehrer teilnehmen und zur weltweiten wissenschaftlichen Forschung beitragen.
* Argentinische Astronomie-Olympiade für Schüler und Einrichtungen.
* Artikulationskurse mit Unterrichtsnoten für Lehrer der Sekundarstufe.
* Kurse zum Umgang mit tragbaren Teleskopen.

Unter den Verbreitungsaktivitäten, die vom Astronomischen Observatorium an die Gemeinschaft im Allgemeinen entwickelt werden, können folgende erwähnt werden:
* In den Abendstunden einmal pro Woche im Hauptquartier offen für die breite Öffentlichkeit.
* Offen für die breite Öffentlichkeit in der astrophysikalischen Station von Bosque Alegre an Wochenenden tagsüber und nachts.
* Offen für Besuche in Bildungseinrichtungen im Hauptquartier.
* Offen von Bildungseinrichtungen in der astrophysikalischen Station von Bosque Alegre.
* Mobiles Teleskop durch die verschiedenen Städte im Landesinneren von Córdoba und Argentinien.
* Konferenzen für alle Zielgruppen einmal im Monat.
* Konferenzen in Bildungseinrichtungen in der Stadt Córdoba.
* Tägliche Verbreitung von Astronomie, Wissenschaft im Allgemeinen und den Aktivitäten des OAC über soziale Netzwerke (Facebook, G+, Blog, Twitter).

== Entdeckungen ==
* [[Asteroid]] [[(2854) Rawson]]

== Publikationen ==
* Uranometría Argentina, Katalog mit mehr als 7.000 Sternen des südlichen Himmels; Gould<ref name="URANOMETRIA" />
* Catálogo de Zonas, Katalog mit mehr als 70.000 Sternen; Gould
* Catálogo General Argentino, Katalog mit 35.000 Sternen; Gould
* Fotografías cordobesas; Gould<ref name="ADSFotografiasCordobesas" />
* [[Córdoba-Durchmusterung]] Resultados del Observatorio Nacional Argentino; Thome, Perrine

== Direktoren ==
* [[Benjamin Apthorp Gould]] 1871–1885
* [[John Macon Thome]] 1885–1908
* Eleodoro Sarmiento (Stellvertreter) 1908–1909
* [[Charles Dillon Perrine]] 1909–1936
* Félix Aguilar (Stellvertreter) 1936–1937
* Juan José Nissen 1937–1940
* [[Enrique Gaviola|Ramón Enrique Gaviola]] 1940–1947
* Ricardo P. Platzeck (Stellvertreter) 1947–1951
* Jorge Bobone (Stellvertreter) 1951–1953
* Jorge Sahade 1953–1955
* Jorge Bobone 1955–1956
* [[Enrique Gaviola|Ramón Enrique Gaviola]] 1956–1957
* [[Livio Gratton]] 1957–1960
* Jorge Landi Dessy (Stellvertreter) 1960–1971
* José Luis Sérsic (Stellvertreter) 1971–1972
* Luis Ambrosio Milone 1972–1973
* Roberto Félix Sisteró 1973–1976
* Carlos R. Fourcade (Stellvertreter) 1976
* Luis Ambrosio Milone 1976–1982
* José Luis Sérsic 1982–1983
* Gustavo J. Carranza 1984–1995
* Juan José Clariá Olmedo 1995–1998
* Gustavo J. Carranza 1998–2002
* Luis Ambrosio Milone 2002–2005
* Emilio Lapasset 2005–2011
* Diego García Lambas 2011–2017
* Manuel Merchán 2017–2021
*Mercedes Gómez 2021–

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* [http://www.oac.unc.edu.ar/ Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional de Córdoba]
* [https://oac.unc.edu.ar/institucionales/historia/ Historia]
* [https://web.archive.org/web/20141028161944/http://www.oac.uncor.edu/M1SM4.html Historia del Observatorio]
* [https://web.archive.org/web/20141218115306/http://historiadelaastronomia.files.wordpress.com/2008/12/historia-del-ona1.pdf Historia del Observatorio Astronómico Córdoba]

== Einzelnachweise ==
<references responsive>
<ref name="URANOMETRIA">
{{Internetquelle
|autor=Benjamin Apthorp Gould
|url=https://web.archive.org/web/20200208172114/http://www.uranometriaargentina.com/
|titel=URANOMETRIA ARGENTINA
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|abruf=2021-01-31}}
</ref>
<ref name="OAC_Historia">
{{Internetquelle
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|url=https://oac.unc.edu.ar/institucionales/historia/
|titel=OAC Historia
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|abruf=2021-01-31}}
</ref>
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{{Internetquelle
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|titel=Minor Plantet Center - Observatory Codes
|werk=International Astronomical Union
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|sprache=en
|abruf=2021-01-31}}
</ref>
<ref name="ADSFotografiasCordobesas">
{{Internetquelle
|autor=Benjamin Apthorp Gould
|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1897RNAO...19.....G/abstract
|titel=Fotografias cordobesas : observaciones fotograficas de cimulos de estrellas de impresiones hechas EN EL Observatorio Nacional Argentino, medidas Y computadas con EL apoyo del gobierno argention
|werk=Resultados del Observatorio Nacional Argentino en Cordoba
|format=
|sprache=es
|abruf=2021-01-31}}
</ref>
</references>

{{SORTIERUNG:Observatorio Astronómico de Córdoba}}
[[Kategorie:Sternwarte in Amerika]]
[[Kategorie:Córdoba (Argentinien)]]
[[Kategorie:Gegründet 1871]]
[[Kategorie:Wissenschaft und Forschung in Argentinien]]

Krummlinige Koordinaten

2019-03-27T22:32:13Z

200.16.16.13: /* Kovariante Basis */ Edited vector components transformation equations

[[Datei:Curvilinear.svg|mini|hochkant=1.5|'''Krummlinige''', '''affine''' und '''Kartesische''' Koordinaten]]
'''Krummlinige Koordinaten''' sind [[Koordinatensystem]]e auf dem [[euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>E^n</math>, bei denen die Koordinatenlinien gekrümmt sein können und die [[Diffeomorphismus|diffeomorph]] zu [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] sind.<ref>William M. Boothby: ''An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry''. 2. überarbeitete Auflage. Academic Press, 2002.</ref> Das heißt, die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und krummlinigen Koordinaten muss lokal [[Bijektive Funktion|invertierbar]] sein, wobei die Abbildung wie auch die [[Umkehrabbildung]] [[stetig differenzierbar]] sein müssen.

Die am häufigsten verwendeten krummlinigen Koordinatensysteme, die beide zu den orthogonalen Koordinatensystemen zählen, sind:
* ebene [[Polarkoordinaten]] ([[2D]]) bzw. deren 3-dimensionale Entsprechung, die [[Zylinderkoordinaten]]
* [[Kugelkoordinaten]], auch sphärische Koordinaten genannt ([[3D]])

Je nach Problemstellung sind Berechnungen in krummlinigen Koordinatensystemen einfacher als in kartesischen durchzuführen. Zum Beispiel sind physikalische Systeme mit [[Radialsymmetrie]] oft einfacher in Kugelkoordinaten zu behandeln.

Folgende Ausführungen beziehen sich speziell auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, vieles davon lässt sich jedoch auf den <math>n</math>-dimensionalen Fall erweitern.

== Transformation von kartesischen Koordinaten ==

Koordinaten eines Punktes im <math>n</math>-dimensionalen Raum sind ein [[Tupel]] aus <math>n</math> reellen Zahlen, die bezüglich eines speziellen Koordinatensystems bestimmt werden. Im Folgenden werden für einen Punkt die Koordinaten in zwei verschiedenen Koordinatensystemen betrachtet.

Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>x_i</math> lassen sich als stetig differenzierbare Funktionen neuer Koordinaten <math>u_i</math> schreiben (direkte Transformation):

:<math>x_{1}=x_{1}\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n} \right)\ </math>,     <math>x_{2}=x_{2}\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n} \right)\ </math>,   …   <math>x_{n}=x_{n}\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n} \right)</math>

Dies stellt ein [[Gleichungssystem]] dar, das [[invertierbar]] (also nach den <math>u_i</math> auflösbar) ist (inverse Transformation)

:<math>u_{1}=u_{1}\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \right)\ </math>,     <math>u_{2}=u_{2}\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \right)\ </math>,   …   <math>u_{n}=u_{n}\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \right)</math>

wenn die inverse [[Funktionaldeterminante]] ungleich null oder unendlich ist:

:<math>\det\left(\underline{\underline{J}}^{-1}\right) = \det \frac{\partial (u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})}{\partial (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})}\ne 0</math>.

Die inverse Transformation muss ebenso wie die direkte Transformation stetig differenzierbar sein.

Für die Punkte, in denen die Transformation umkehrbar eindeutig ist, heißt die Transformation regulär, sonst singulär. Dann gilt: Ist ein Punkt <math>P</math> mit den kartesischen Koordinaten <math>(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})</math> gegeben, so können mit Hilfe der inversen Transformation eindeutig die Koordinaten <math>(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})</math>, die krummlinigen Koordinaten von <math>P</math>, berechnet werden. Jeder reguläre Punkt des Raums kann eindeutig sowohl durch die <math>\{x_{i}\}</math> als auch äquivalent durch die <math>\{u_{i}\}</math> beschrieben werden.

Ein Satz von Transformationsgleichungen mit den oben beschriebenen Eigenschaften zusammen mit einem kartesischen Koordinatensystem definiert ein krummliniges Koordinatensystem.

== Koordinatenflächen, -linien und -achsen ==

[[Datei:General curvilinear coordinates 1.svg|mini|350px|hier qi statt ui: Koordinatenflächen, Koordinatenlinien und Koordinatenachsen (entlang der Basisvektoren eines ausgewählten Ortes)]]
Die Begriffe Koordinatenflächen, -linien und -achsen werden im Folgenden anhand des dreidimensionalen Raums anschaulich erläutert.

Koordinatenflächen erhält man, indem jeweils eine Koordinate festgehalten (<math>u_k=\text{const}</math>) und die beiden anderen variiert werden.

:<math>\vec{r}_{ij}(\alpha,\beta)=\vec{r}\,(u_i=\alpha,u_j=\beta,u_k=\text{const})</math>   mit   <math>i\neq j\neq k\neq i</math>

Durch jeden nicht-singulären Punkt geht genau eine Fläche jeder Flächenschar <math>u_k=\text{const}</math>.

[[Koordinatenlinie]]n erhält man, indem jeweils zwei Koordinaten festgehalten (<math>u_i=\text{const}, \ u_j=\text{const}</math> mit <math>i\neq j</math>) und die dritte variiert wird, d. h. als Schnittmenge zweier Koordinatenflächen für unterschiedliche Koordinaten.

:<math>\vec{r}_{k}(\gamma)=\vec{r}\,(u_i=\text{const},u_j=\text{const},u_k=\gamma)</math>   mit   <math>i\neq j\neq k\neq i</math>

Obige Bedingung für die Funktionaldeterminante bedeutet, dass in jedem Punkt des [[3D|3-dimensionalen]] Raumes sich nur 3 Koordinatenlinien schneiden dürfen, da sonst dieser Punkt keine eindeutigen Koordinaten besitzt (Funktionaldeterminante gleich null).

Als Beispiel für eine Uneindeutigkeit zählt die <math>z</math>-Achse bei Kugelkoordinaten, an der sich alle <math>\varphi=\text{const}</math> Ebenen (<math>\varphi</math> ist der Azimutwinkel) schneiden; somit sind die Koordinaten von Punkten auf der <math>z</math>-Achse nicht eindeutig (<math>z=r\cos\vartheta</math>, aber <math>\phi</math> beliebig). Solche Punkte heißen singuläre Punkte der Transformation.

Schneiden sich die Koordinatenlinien unter [[Rechter Winkel|rechten Winkeln]], so heißt das Koordinatensystem orthogonal.

Die Koordinatenachsen sind als Tangenten an die Koordinatenlinien definiert. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen gekrümmt sind, sind die Koordinatenachsen nicht räumlich fest, wie es für kartesische Koordinaten gilt. Dies führt auf das Konzept der lokalen Basisvektoren, deren Richtung vom betrachteten Raumpunkt abhängt – im Gegensatz zu globalen Basisvektoren der kartesischen oder affinen Koordinaten.

== Verschiedene Basen ==

Um einen [[Vektor]] mittels Koordinaten darstellen zu können, ist eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] nötig. Im <math>n</math>-dimensionalen Raum besteht diese aus <math>n</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängigen]] Vektoren, den Basisvektoren. Jeder beliebige Vektor kann als [[Linearkombination]] der Basisvektoren dargestellt werden, wobei die Koeffizienten der Linearkombination die Komponenten des Vektors genannt werden.

Für echt krummlinige (also nicht-geradlinige) Koordinaten variieren Basisvektoren und Komponenten von Punkt zu Punkt, weshalb die Basis als ''lokale Basis'' bezeichnet wird. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes verteilt sich auf die Koordinaten sowie auf die Basisvektoren. Im Gegensatz dazu zeichnen sich globale Basen dadurch aus, dass die Basisvektoren in jedem Punkt identisch sind, was nur für lineare bzw. affine Koordinaten (die Koordinatenlinien sind geradlinig, aber im Allgemeinen schiefwinklig) möglich ist. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes steckt bei geradlinigen Koordinatensystemen allein in den Koordinaten.

Um Basisvektoren mit einem Koordinatensystem zu verknüpfen gibt es zwei gebräuchliche Methoden:
* kovariante Basisvektoren: Tangential an die Koordinatenlinien, d. h. kollinear zu den Koordinatenachsen
* kontravariante Basisvektoren: Normal zu den Koordinatenflächen

Die beiden Klassen von Basisvektoren sind [[Duale Basis|dual]] bzw. reziprok zueinander. Diese beiden Basen bezeichnet man als holonome Basen. Sie unterscheiden sich in ihrem Transformationsverhalten unter Koordinatenwechsel. Dabei sind die Transformationen invers zueinander.

An jedem Punkt der betrachteten Mannigfaltigkeit existieren gleichzeitig beide Basen. Somit kann ein beliebiger Vektor als Linearkombination entweder der kovarianten Basisvektoren oder der kontravarianten Basisvektoren dargestellt werden. Dabei werden stets kontravariante Komponenten <math>a_{u_{i}}</math> mit kovarianten Basisvektoren <math>\vec{b}_{u_{i}}</math> kombiniert und kovariante Komponenten <math>a_{u_{i}}^{\,*}</math> mit kontravarianten Basisvektoren <math>\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}</math>.

:<math>\vec{a}=\sum\limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}\vec{b}_{u_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}</math>

Diese kreuzweise Paarung (kontra-ko bzw. ko-kontra) sorgt dafür, dass der Vektor <math>\vec{a}</math> unter Koordinatentransformation invariant ist, da die Transformationen von Komponenten und Basisvektoren invers zueinander sind und sich gegenseitig aufheben. Diese Eigenschaft ist für den Begriff eines Vektors in der Physik essentiell: In der Physik müssen Gesetzmäßigkeiten unabhängig vom speziellen Koordinatensystem gelten. Aus physikalischer Sicht muss ein Vektor, der z. B. die Geschwindigkeit eines Teilchens beschreibt, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein.

Man spricht von einem kontravarianten Vektor (besser: kontravarianter Koordinatenvektor), wenn die Komponenten kontravariant und die Basisvektoren kovariant sind. Analog spricht man von einem kovarianten Vektor, wenn die Komponenten kovariant und die Basisvektoren kontravariant sind.

== Kovariante Basis ==

Die kovarianten Basisvektoren schmiegen sich in jedem Punkt tangential an die Koordinatenlinien an.

=== Normierte und natürliche Basisvektoren ===

Die [[Frenetsche Formeln|Tangenteneinheitsvektoren]] an die Koordinatenlinien bilden eine Basis, bestehend aus kovarianten Basisvektoren:

:<math>\vec{e}_{u_{i}}=\frac{\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}}{\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} \right|}</math>

Diese Einheitsvektoren haben im Allgemeinen eine vom Ort abhängige Richtung <math>\vec{e}_{u_{i}}=\vec{e}_{u_{i}}\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n} \right)</math>.

Man definiert die ''Maßstabsfaktoren'' <math>h_{u_{i}}</math> durch

:<math>h_{u_{i}}:=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} \right|</math>,   somit <math>\displaystyle\vec{e}_{u_{i}}=\frac{1}{h_{u_{i}}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}</math>

Die unnormierten Vektoren bilden die ''natürliche Basis'', aus der man durch Normierung die ''unitäre Basis'' erhält (Einheitsvektoren). Die Vektoren der natürlichen Basis werden hier mit <math>\vec{b}_{u_i}</math> bezeichnet, die Vektoren der normierten Basis durch <math>\vec{e}_{u_i}</math>.

:<math>\vec{b}_{u_{i}}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}=h_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}}</math>

=== Kontravariante Komponenten: Vektoren als Linearkombination der kovarianten Basisvektoren ===

Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren <math>\vec{a}</math> durch die Basisvektoren der kovarianten Basis <math>\vec{e}_{u_{i}}</math> (normiert) bzw. <math>\vec{b}_{u_{i}}</math> (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:

:<math>\vec{a}=\sum\limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}}}=\sum\limits _{i=1}^{n}{\tilde{a}_{u_{i}}\vec{b}_{u_{i}}}\quad\text{mit}\quad\tilde{a}_{u_{i}}=\frac{a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}},\quad\vec{b}_{u_{i}}=h_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}}</math>

Dabei ist <math>a_{u_{i}}</math> bzw. <math>\tilde{a}_{u_{i}}</math> die (kontravariante) Vektorkomponente, die in Richtung der <math>u_{i}</math>-Koordinatenlinie zeigt, <math>a_{u_{i}}</math> bezüglich der normierten Basis und <math>\tilde{a}_{u_{i}}</math> bezüglich der natürlichen Basis. In der Tensoranalysis wird <math>\tilde{a}_{u_{i}}</math> mit hochgestelltem Index <math>a^{i}</math> geschrieben.

Die Länge einer Vektorkomponente <math>{a_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}}}={\tilde{a}_{u_{i}}\vec{b}_{u_{i}}}</math> entspricht im Fall der normierten Basis dem Betrag der Koordinate <math>a_{u_{i}}</math>, im Fall der natürlichen Basis dem Produkt aus dem Betrag der Koordinate <math>\tilde{a}_{u_{i}}</math> und der Länge des Basisvektors <math>\vec{b}_{u_{i}}</math>:

:<math>|a_{u_{i}}|=|a_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}}|=|\tilde{a}_{u_{i}}\vec{b}_{u_{i}}|=|\tilde{a}_{u_{i}}|\,|\vec{b}_{u_{i}}|=|\tilde{a}_{u_{i}}|\,|h_{u_{i}}|</math>

Beschreibt ein Vektor eine physikalische Größe, so steckt im unnormierten Fall nicht nur die Länge, sondern auch die physikalische Dimension teils in den Koordinaten und teils in den natürlichen Basisvektoren, was bei konkreten Rechnungen umständlich sein kann. Bei normierter Basis hingegen ist die physikalische Dimension rein auf die Koordinate beschränkt. Die Koordinaten <math>a_{u_{i}}</math> heißen deshalb ''physikalische Koordinaten'' und die normierten Basisvektoren <math>\vec{e}_{u_{i}}</math> heißen auch ''physikalische Basisvektoren''.

Zur Abgrenzung heißen die Koordinaten <math>\tilde{a}_{u_{i}}</math> deshalb ''holonome Koordinaten'' und die natürlichen Basisvektoren <math>\vec{b}_{u_{i}}</math> heißen auch ''holonome Basisvektoren'' oder einfach ''kontravariante Koordinaten'' und ''kovariante Basisvektoren''.

=== Transformationsverhalten von Basisvektoren und Koordinaten, Jacobi-Matrix ===

Aus der Definition der natürlichen Basisvektoren folgt für die Transformation von den Koordinaten <math>\{u_i\}</math> nach <math>\{x_i\}</math> die einfache Transformationsformel:

:<math> \vec{b}_{u_{k}}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{k}}=\sum_{j}\frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}}\frac{\partial\vec{r}}{\partial x_{j}}=\sum_{j}\frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}}\vec{e}_{x_{j}} </math>

Die natürlichen Basisvektoren zeigen ein sehr einfaches Transformationsverhalten. Für die normierten Basisvektoren enthält die Transformationsformel zusätzliche Faktoren <math>h_{u_{i}}</math>:

:<math>\vec{b}_{u_{k}}=\sum_{j}\frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}}\vec{e}_{x_{j}}\quad\Longrightarrow\quad h_{u_{k}}\vec{e}_{u_{k}}=\sum_{j}\frac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}}\vec{e}_{x_{j}}</math>

Ein beliebiger Vektor <math>\vec{a}</math> muss sowohl in den alten, wie auch den neuen Koordinaten darstellbar sein:

:<math>\vec{a}=\sum_{i}a_{x_{i}}\vec{e}_{x_{i}}=\sum_{i,k}a_{x_{i}}\delta_{ik}\vec{e}_{x_{k}}=\sum_{i,j,k}a_{x_{i}}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\frac{\partial x_{k}}{\partial u_{j}}\vec{e}_{x_{k}}=\sum_{i,j}a_{x_{i}}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\vec{b}_{u_{j}}=\sum_{j}\tilde{a}_{u_{j}}\vec{b}_{u_{j}}</math>

Somit erhält man das Transformationsverhalten der Koordinaten:

:<math>\tilde{a}_{u_{i}}=\sum_{j}a_{x_{j}}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\quad\Longrightarrow\quad\frac{a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}=\sum_{j}a_{x_{j}}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}</math>

Während die Transformation der (kovarianten) Basisvektoren mittels der Jacobi-Matrix <math>J_{kj}=\tfrac{\partial x_{j}}{\partial u_{k}}</math> durchzuführen ist, muss bei der Transformation der (kontravarianten) Koordinaten die inverse Jacobi-Matrix <math>J^{-1}_{kj}=\tfrac{\partial u_{j}}{\partial x_{k}}</math> angewandt werden.

In der Tensoranalysis definiert man einen Vektor über obiges Transformationsverhalten. Insofern ist der Ortsvektor <math>\vec{r}</math> selbst kein Vektor, das Ortsvektordifferential <math>\textstyle \mathrm{d}\vec{r}=\sum_{i}\vec{b}_{u_{i}}\mathrm{d}u_{i}</math> aber schon.

Die Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation von kartesischen in krummlinige Koordinaten ist identisch mit der Matrix, die von den natürlichen Basisvektoren als Spalten gebildet wird:

:<math>\underline{\underline{J}}=\frac{\partial(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})}{\partial(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})}=\left(\begin{array}{cccc}
\partial x_{1}/\partial u_{1} & \partial x_{1}/\partial u_{2} & \ldots & \partial x_{1}/\partial u_{n}\\
\partial x_{2}/\partial u_{1} & \partial x_{2}/\partial u_{2} & \ldots & \partial x_{2}/\partial u_{n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
\partial x_{n}/\partial u_{1} & \partial x_{n}/\partial u_{2} & \ldots & \partial x_{n}/\partial u_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
| & | & & |\\
\vec{b}_{u_{1}} & \vec{b}_{u_{2}} & \ldots & \vec{b}_{u_{n}}\\
| & | & & |
\end{array}\right)\equiv[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]</math>

Die Bedingung <math>\det\left(\underline{\underline{J}}^{-1}\right) \ne 0</math> für die inverse Funktionaldeterminante lässt sich anhand folgender Beziehung erklären:

:<math>\vec{e}_{x_{k}}=\sum_{j}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{k}}\vec{b}_{u_{j}}=\sum_{j}(J^{-1})_{kj}\vec{b}_{u_{j}}</math>

Dies entspricht einer inhomogenen linearen Gleichung <math>\vec{b}=\underline{\underline{A}}\vec{v}</math> für den Vektor <math>\vec v</math>. D. h. die Unbekannten <math>\vec{v}</math> sind die Basisvektoren der krummlinigen Koordinaten <math>\{\vec{b}_{u_{j}}\}</math>. Das Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn der [[Kern (Algebra)|Kern]] der Matrix <math>\underline{\underline{A}}</math> nulldimensional ist bzw. die Zeilen- oder Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Dies ist dazu äquivalent, dass die Determinante <math>\det\underline{\underline{A}}</math> ungleich Null ist. Dann sind die Unbekannten eindeutig bestimmt, d. h. an jedem Punkt existiert genau eine definierte Basis <math>\{\vec{b}_{u_{j}}\}</math>.

Analog entspricht die duale Basis <math>\{\vec{b}_{u_i}^* \}</math> einer Matrix, die genau das Inverse der obigen Matrix ist.

=== Metrischer Tensor und Gramsche Determinante ===

Die [[Skalarprodukt]]e zwischen den natürlichen Basisvektoren definieren die Komponenten des [[Metrischer Tensor|metrischen Tensors]] bzw. Fundamentaltensors <math>g</math>:

:<math>g_{ij}=\vec{b}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\vec{e}_{u_{i}}\cdot\vec{e}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\cos\!\left(\sphericalangle(\vec{e}_{u_{i}},\vec{e}_{u_{j}})\right)</math>

Man beachte, dass der metrische Tensor wegen der Kommutativität des Skalarprodukts symmetrisch ist:

:<math>g_{ij}=\vec{b}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{j}}=\vec{b}_{u_{j}}\cdot\vec{b}_{u_{i}}=g_{ji}</math>

Wegen dieser Symmetrie hat der metrische Tensor <math>N(N+1)/2</math> unabhängige Elemente (statt <math>N^2</math>), im Dreidimensionalen also 6 Koeffizienten.

Der metrische Tensor lässt sich als Produkt der Jacobi-Matrix und ihrer Transponierten schreiben:

:<math>\underline{\underline{g}}=\underline{\underline{J}}^{T}\underline{\underline{J}}=[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]^{T}[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]=\left(\begin{array}{ccc}
\vec{b}_{u_{1}}\cdot\vec{b}_{u_{1}} & \ldots & \vec{b}_{u_{1}}\cdot\vec{b}_{u_{n}}\\
\vdots & & \vdots\\
\vec{b}_{u_{n}}\cdot\vec{b}_{u_{1}} & \ldots & \vec{b}_{u_{n}}\cdot\vec{b}_{u_{n}}
\end{array}\right)</math>

Die Größen <math>g_{ij}</math> nennt man Metrik- bzw. Maßkoeffizienten, da diese benötigt werden, um die Länge eines Vektors aus den kontravarianten Koordinaten <math>\{\tilde{a}_{u_{i}}\}</math> zu berechnen. Hierzu sind die Maßstabsfaktoren nötig.

Die Maßstabsfaktoren <math>h_{u_{i}}</math> sind durch die Diagonalelemente <math>g_{ii}</math> gegeben, da <math>|\vec{b}_{u_{i}}| = \sqrt{ \vec{b}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{i}} }</math> gilt:

:<math>h_{u_{i}}=\sqrt{g_{ii}}</math>

Die Determinante des metrischen Tensors wird [[Gramsche Determinante]] <math>g</math> genannt:

:<math>\det\underline{\underline{g}}=g</math>

Aus <math>g=\det(J^{T}J)=\det J^{T}\det J=(\det J)^{2}</math> folgt, dass der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix (also der [[Funktionaldeterminante]]) gleich der Wurzel der Gramschen Determinante sein muss. Oder anders geschrieben, dass

:<math>\det[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]\equiv\det J=\pm\sqrt{g}</math>,

wobei das Vorzeichen von der Orientierung der Basis abhängt. Die Determinante aus den normierten Basisvektoren ergibt (aufgrund der [[Multilinearform|Multilinearität]] von Determinanten):

:<math>\det[\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\ldots,\vec{e}_{u_{n}}]=\det[h_{u_{1}}^{-1}\vec{b}_{u_{1}},h_{u_{2}}^{-1}\vec{b}_{u_{2}},\ldots,h_{u_{n}}^{-1}\vec{b}_{u_{n}}]=\frac{\det[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}=\frac{\pm\sqrt{g}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}</math>

Für die Inverse <math>g^{ij}</math> des metrischen Tensors gilt nach der [[Cramersche Regel|Cramerschen Regel]]

:<math>g^{ij}:=(g^{-1})_{ij}=\frac{A^{ij}}{g}</math>

wobei <math>A^{ij}</math> die [[Adjunkte]] (die Transponierte der Kofaktormatrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten [[Minor (Mathematik)|Unterdeterminanten]] sind) und <math>g</math> die Gramsche Determinante bezeichnet. Aus dem [[Laplace'scher Entwicklungssatz|Laplace'schen Entwicklungssatz]] folgt

:<math>g:=\det\underline{\underline{g}}=\sum_{i,j}g_{ij}A^{ji}\quad\Longrightarrow\quad\frac{\partial g}{\partial g_{ij}}=A^{ji}</math>

folgt für den inversen metrischen Tensor:

:<math>g^{ij}=\frac{1}{g}\frac{\partial g}{\partial g_{ji}}</math>

=== Spezialfall: Orthogonale Koordinaten ===

Schneiden sich im <math>n</math>-dimensionalen Raum an jedem Raumpunkt die <math>n</math> Koordinatenlinien paarweise senkrecht, so spricht man von einem ''orthogonalen Koordinatensystem''. Die Einheitsvektoren <math>\vec{e}_{u_{i}}</math> bilden also eine [[Orthonormalbasis|orthonormale Basis]] des <math>\mathbb{R}^{n}</math>:

:<math>\vec{e}_{u_{i}}\cdot \vec{e}_{u_{j}}=\delta_{ij}</math>,   <math>i,j=1,2,\ldots,n</math>   (<math>\delta: \ </math>[[Kronecker-Delta]])

Für die natürlichen Basisvektoren gilt:

:<math>g_{ij}=\vec{b}_{u_{i}}\cdot \vec{b}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\delta_{ij}=h_{u_{i}}^2\delta_{ij}</math>

Somit ist für orthogonale Basisvektoren der metrische Tensor diagonal.

:<math>\underline{\underline{g}}=\left(\begin{array}{cccc}
h_{u_{1}}^{2} & 0 & \ldots & 0\\
0 & h_{u_{2}}^{2} & \ldots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & h_{u_{3}}^{2}
\end{array}\right)</math>

Der inverse metrische Tensor ist für orthogonale Koordinaten gleich:

:<math>(g^{-1})_{ij} \equiv g^{ij}=h_{u_{i}}^{-2}\delta_{ij}</math>

:<math>\underline{\underline{g}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
1/h_{u_{1}}^{2} & 0 & \ldots & 0\\
0 & 1/h_{u_{2}}^{2} & \ldots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \ldots & 1/h_{u_{n}}^{2}
\end{array}\right)</math>

Die Gramsche Determinante vereinfacht sich für orthogonale Koordinaten zu:

:<math>g=h_{u_{1}}^{2}h_{u_{2}}^{2}\cdots h_{u_{n}}^{2}</math>

Für die Determinanten aus natürlichen bzw. normierten Basisvektoren gilt hier:

:<math>\det[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]=\sqrt{g}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{3}} \quad\iff\quad \det[\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\ldots,\vec{e}_{u_{n}}]=1</math>

=== Spezialfall: Orthogonale Koordinaten in 3 Dimensionen ===

Bilden die orthonormalen Basisvektoren eine [[Rechtssystem (Mathematik)|rechtshändige Basis]] (positive [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]]), gelten folgende Beziehungen:

:<math>\vec{e}_{u_{i}}\times \vec{e}_{u_{j}}=\varepsilon _{ijk}\vec{e}_{u_{k}}</math>,   <math>i,j,k=1,2,3</math>   (<math>\varepsilon</math>: [[Levi-Civita-Symbol]])

Ausgeschrieben:

:<math>\begin{align}\vec{e}_{u_{1}}\times\vec{e}_{u_{2}} & =\vec{e}_{u_{3}}\quad & \vec{e}_{u_{2}}\times\vec{e}_{u_{3}} & =\vec{e}_{u_{1}}\quad & \vec{e}_{u_{3}}\times\vec{e}_{u_{1}} & =\vec{e}_{u_{2}}\\
\vec{e}_{u_{2}}\times\vec{e}_{u_{1}} & =-\vec{e}_{u_{3}} & \vec{e}_{u_{3}}\times\vec{e}_{u_{2}} & =-\vec{e}_{u_{1}} & \vec{e}_{u_{1}}\times\vec{e}_{u_{3}} & =-\vec{e}_{u_{2}}\end{align}</math>

=== Spezialfall: Geradlinige Koordinatensysteme ===

Für allgemeine krummlinige Koordinaten sind die Koordinatenlinien gekrümmt und die Basisvektoren variieren von Punkt zu Punkt. Beim Spezialfall der geradlinigen, aber durchaus schiefwinkligen, Koordinatensystemen sind die Koordinatenlinien gerade und die Basisvektoren somit ortsunabhängig. Die Koordinatenflächen sind Ebenen, eine Schar von Koordinatenflächen bilden parallele Ebenen.

Die Transformationsgleichungen lassen sich in diesem Fall schreiben als:

:<math>x_i = \sum_{j=1}^{n} A_{ij} u_j + b_i \quad \iff \quad J_{ij}\equiv\frac{\partial x_i}{\partial u_j}=A_{ij}</math>

wobei die <math>A_{ij}</math> und <math>b_i</math> konstant sind. Die Jacobi-Matrix <math>J</math> entspricht dabei der Transformationsmatrix <math>A</math>. Somit entsprechen die natürlichen Einheitsvektoren <math>\vec{b}_{u_{i}}</math> der <math>i</math>-ten Spalte der Matrix <math>A</math>.

=== Beispiel für geradlinige, schiefwinklige Koordinatensysteme ===

[[Datei:Minkowski diagram - asymmetric.svg|miniatur|Minkowski-Diagramm mit <math>x_0=ct \ \ ,\ x_1=x</math>, <math>u_0=ct' \ , \ u_1=x',</math> <math>\tanh\theta=\tan\alpha=\beta</math>.]]

Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems wird ein [[Minkowski-Diagramm]] mit zwei Bezugssystemen betrachtet, die sich gleichförmig zueinander mit der Geschwindigkeit <math>v=\beta c</math> bewegen. Über <math>\tanh\theta=\tan\alpha=\beta</math> hängen die Größen relative Geschwindigkeit <math>\beta</math>, [[Rapidität (Physik)|Rapidität]] <math>\theta</math> und Winkel <math>\alpha</math> mit den Wertebereichen mit <math>0\leq\beta < 1</math> und <math>0\leq\alpha < \pi/4</math> sowie <math>0\leq\theta < \infty</math> zusammen.
Die [[Lorentz-Transformation]] transformiert die Bezugssysteme ineinander <math>x_i = \sum_{j=0}^{1} A_{ij} u_j</math>:

:<math>\begin{pmatrix}x_{0}\\ x_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cosh\theta & \sinh\theta\\ \sinh\theta & \cosh\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{0}\\ u_{1} \end{pmatrix}\equiv\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}}\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{0}\\ u_{1} \end{pmatrix}</math>

Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: <math>A_{ij} = J_{ij}</math>. Die natürlichen Basisvektoren in <math>u_i</math> Richtung lauten in kartesischen Koordinaten:

:<math>\vec{b}_{u_{0}}=\begin{pmatrix}\cosh\theta\\ \sinh\theta \end{pmatrix}\,,\ \vec{b}_{u_{1}} = \begin{pmatrix}\sinh\theta\\ \cosh\theta \end{pmatrix}</math>

Interpretiert man das Minkowski-Diagramm euklidisch (Verwendung des [[Standardskalarprodukt]]s und nicht des Minkowski-Skalarprodukts) erhält man den metrischen Tensor

:<math>\underline{\underline{g}}=\underline{\underline{J}}^{T}\underline{\underline{J}}=\begin{pmatrix}\cosh^{2}\theta+\sinh^{2}\theta & 2\cosh\theta\sinh\theta\\ 2\cosh\theta\sinh\theta & \cosh^{2}\theta+\sinh^{2}\theta \end{pmatrix}</math>

und die Gramsche Determinante

:<math>g=(\cosh^2\theta-\sinh^2\theta)^2=1</math>

Da für <math>\theta\neq 0</math> Nebendiagonalelemente auftreten, bilden die <math>\{u_{i}\}</math> Koordinatenlinien keinen rechten Winkel:

:<math>\sphericalangle(\vec{b}_{u_{0}},\vec{b}_{u_{1}})=\arccos\!\left[\tanh(2\theta)\right]=\pi/2-2\alpha</math>

Da für <math>\theta\neq 0</math> die Diagonalelemente ungleich Eins sind, sind die natürlichen Basisvektoren <math>\vec{b}_{u_{i}}</math> keine Einheitsvektoren, d. h. der Maßstab auf den gekippten <math>u_{i}</math> Koordinatenlinien ist gestreckt:

:<math>h_{u_{i}}=\left( \cosh^{2}\theta+\sinh^{2}\theta \right)^{1/2} = \left( \cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha \right)^{-1/2} \geq 1</math> .

Nebenbemerkung: Mit dem Skalarprodukt der speziellen Relativitätstheorie <math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}^{\, T}\underline{\underline{\eta}}\ \vec{b}</math>, wobei <math>\underline{\underline{\eta}} = \begin{pmatrix}1\\ & -1 \end{pmatrix}</math> die nichteuklidische [[Minkowski-Metrik]] ist, erhält man die Invarianz des Skalarprodukts <math>\underline{\underline{g}}=\underline{\underline{J}}^{T}\underline{\underline{\eta}}\ \underline{\underline{J}}=\underline{\underline{\eta}}</math> unter Lorentz-Boosts.

== Duale Basis: Kontravariante Basis ==

Die kontravarianten Basisvektoren stehen an jedem Punkt senkrecht auf den Koordinatenflächen. Sie sind dual zu den kovarianten Basisvektoren. Die kontravarianten Komponenten eines Vektors lassen sich durch Projektion auf kontravariante Basisvektoren erhalten.

=== Komponenten als Projektion auf Basisvektoren: Orthogonale Koordinaten ===

Die Vektorkomponente <math>a_{u_{i}}</math> (kontravariante Komponente) des Vektors <math>\vec{a}=\sum\limits_{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\vec{e}_{u_{j}}}</math> lässt sich für eine orthonormale Basis (<math>\vec{e}_{u_{i}}\cdot\vec{e}_{u_{j}}=\delta_{ij}</math>) einfach durch folgende [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] bestimmen:
:<math>\vec{e}_{u_{i}}\cdot\vec{a}=\sum\limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\vec{e}_{u_{i}}\cdot\vec{e}_{u_{j}}}=\sum\limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta_{ij}}=a_{u_{i}}</math>

Bei nicht orthogonalen Koordinatensystemen (schiefwinklig) erhält man durch die Projektion <math>\vec{e}_{u_{i}}\cdot\vec{a}</math> eines Vektors auf einen kovarianten Basisvektor die kovariante Komponente <math>a_{u_{i}}^{\,*}</math> (kovariante Komponente – in der Tensoranalysis mit tiefgestelltem Index geschrieben <math>a_{i}</math>) und nicht die kontravariante Komponente <math>a_{u_{i}}</math>, da hier die Relation <math>\vec{e}_{u_{i}}\cdot\vec{e}_{u_{j}}=\delta_{ij}</math> nicht gilt, bzw. der metrische Tensor nicht diagonal ist. Hierzu benötigt man das Konzept des Dualraums und der dualen Basis.

=== Einführung Dualraum und duale Basis ===

Der [[Dualraum]] <math>V^*</math> zum Vektorraum <math>V</math> der Tangentialvektoren wird gebildet aus den [[Linearform|linearen]] [[Funktional]]en (auch [[1-Form]]en), die Vektoren in den darunterliegenden Körper abbilden: <math>f \colon\ V \rightarrow K,\ \vec{v} \mapsto f[\vec{v}]</math>. Eine Basis des Dualraums <math>V^*</math> sind die [[Duale Basis|dualen Basisvektoren]] zu <math>V</math>. Diese sind so definiert, dass <math>\vec{e}_{i}^{\,*}[\vec{e}_{j}]=\delta_{ij}</math> gilt.

Weiterhin definiert man folgende [[Bilinearform]], die sog. [[duale Paarung]]: <math>\langle \cdot,\cdot\rangle\colon\ V^* \times V \rightarrow K,\ \langle f,\vec{v}\rangle = f[\vec{v}]</math>. Damit lässt sich die Wirkung dualer Basisvektoren <math>\vec{e}_{i}^{\,*}\in V^{\,*}</math> auf Basisvektoren <math>\vec{e}_{j}\in V</math> schreiben als:

:<math>\langle\vec{e}_{i}^{\,*},\vec{e}_{j}\rangle=\delta_{ij}</math>

Für endlichdimensionale <math>V</math> ist <math>V^*</math> [[isomorph]] zu <math>V</math>, also <math>V \cong V^{\,*}</math>. In euklidischen Räumen <math>E^n</math> (dem <math>\mathbb{R}^{n}</math> mit dem Standardskalarprodukt) lässt sich die duale Paarung mit dem Skalarprodukt

: <math>\langle\vec{w}^{\,*},\vec{v}\rangle=\sum_{i=1}^{n}w_{i}^{\,*}\, v_{i} \equiv \vec{w}^{\,*}\cdot\vec{v} = \vec{w}\underline{\underline{g}}\vec{v}</math>

identifizieren und somit duale Vektoren ebenfalls als Vektoren darstellen (hier gilt: <math>K=\mathbb{R}</math> und <math>V=\mathbb{R}^n</math> sowie <math>V^{\,*}=\mathbb{R}^n</math>).

=== Duale Basis ===

Die duale Basis ist also so definiert, dass für das Skalarprodukt aus Basisvektoren <math>\vec{e}_{u_{j}}</math> (kovariante Basisvektoren) und dualen Basisvektoren <math>\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}</math> (kontravariante Basisvektoren) gilt (hier für die normierten Basisvektoren <math>\vec{e}_{u_{j}}</math>):

:<math>\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}\cdot\vec{e}_{u_{j}} = \delta_{ij} \quad\text{mit}\quad \vec{b}_{u_{j}}=h_{u_{j}}\vec{e}_{u_{j}}\ ,\quad\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}=\frac{1}{h_{u_{i}}}\vec{e}_{u_{i}}^{\ *}</math>.

Bzw. analog für die natürlichen Basisvektoren <math>\vec{b}_{u_{j}}</math> und deren duale Basisvektoren <math>\vec{b}^{\ *}_{u_{i}}</math>:

:<math>\vec{b}^{\ *}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{j}} = \delta_{ij}</math>.

Für die natürlichen Basisvektoren <math>\vec{b}_{u_{j}}</math> und deren duale Basisvektoren <math>\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}</math> gilt in Matrixnotation:

:<math>[\vec{b}_{u_{1}}^{\ *},\vec{b}_{u_{2}}^{\ *},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]=\underline{\underline{E}}</math>

Da die Matrix mit den kovarianten Basisvektoren als Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix entspricht <math>\underline{\underline{J}}=[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}]</math>, muss folglich die Matrix mit den kontravarianten Basisvektoren als Zeilenvektoren der inversen Jacobi-Matrix entsprechen:

:<math>\underline{\underline{J}}^{-1}=[\vec{b}_{u_{1}}^{\ *},\vec{b}_{u_{2}}^{\ *},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}</math>

Um die dualen Basisvektoren zu erhalten, muss somit die [[Inverse]] der Jacobi-Matrix bestimmt werden.

Die Gramsche Determinante der kontravarianten Basisvektoren muss dem Inversen der Determinante der kovarianten Basisvektoren entsprechen:

:<math>\det[\vec{b}_{u_{1}}^{\ *},\vec{b}_{u_{2}}^{\ *},\ldots,\vec{b}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}=\det(J^{-1})=\frac{1}{\det(J)}=\frac{1}{\sqrt{g}}</math>

=== Kovariante Komponenten: Vektoren als Linearkombination der kontravarianten Basisvektoren ===

Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren <math>\vec{a}</math> durch die Basisvektoren der kontravarianten Basis <math>\vec{e}_{u_{i}}^{\ *}</math> (normiert) bzw. <math>\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}</math> (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:

:<math>\vec{a}=\sum\limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}^{\ *}\vec{e}_{u_{i}}^{\ *}}=\sum\limits _{i=1}^{n}{\tilde{a}_{u_{i}}^{\ *}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}}\quad\text{mit}\quad\tilde{a}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}a_{u_{i}}^{\ *},\quad\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}=\frac{1}{h_{u_{i}}}\vec{e}_{u_{i}}^{\ *}</math>

Dabei ist <math>a_{u_{i}}^{\ *}</math> bzw. <math>\tilde{a}_{u_{i}}^{\ *}</math> die (kovariante) Vektorkomponente, die in Richtung der Normale der <math>u_{i}</math>-Koordinatenfläche zeigt. In der Tensoranalysis wird <math>\tilde{a}_{u_{i}}^{\ *}</math> mit tiefgestelltem Index geschrieben.

=== Komponenten als Projektion auf Basisvektoren: Allgemein krummlinige Koordinaten ===

Die kontravariante Komponente <math>a_{u_{i}}</math> eines Vektors <math>\vec{a}=\sum_{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\vec{e}_{u_{j}}}</math> erhält man durch Projektion auf den [[Duale Basis|dualen Basisvektor]] <math>\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}</math> (kontravariante Basis – in der Tensoranalysis mit hochgestelltem Index geschrieben <math>\vec{e}^{i}</math>).

:<math>\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}\cdot\vec{a}=\sum\limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}\cdot\vec{e}_{u_{j}}}=\sum\limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta_{ij}}=a_{u_{i}}</math>

Bei orthonormalen Basisvektoren stimmen ko- und kontravariante Basisvektoren überein und ebenso ko- und kontravariante Komponenten eines Vektors.

Allgemein lässt sich ein beliebiger Vektor über kontra- oder kovariante Basisvektoren darstellen:
:<math>\vec{a}=\sum\limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}\vec{b}_{u_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}</math>

Somit werden kontravariante Komponenten mit kovarianten Basisvektoren oder kovariante Komponenten mit kontravarianten Basisvektoren kombiniert. Diese Eigenschaft führt auf die Invarianz der Vektoren unter einem Wechsel des Koordinatensystems.

Multiplikation auf beiden Seiten mit <math>\vec{b}_{u_{j}}</math> liefert
:<math>\sum\limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}\underbrace{\vec{b}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{j}}}_{g_{ij}}=\sum\limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}\underbrace{\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{j}}}_{\delta_{ij}}\quad\Rightarrow\quad a_{u_{j}}^{\,*}=\sum\limits _{i=1}^{n}g_{ij}a_{u_{i}}\quad\Rightarrow\quad a_{u_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{n}g_{ij}^{-1}a_{u_{j}}^{\,*}</math>

Somit lassen sich mit Hilfe des metrischen Tensors <math>g_{ij}=\vec{b}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{j}}</math> und seiner Inversen <math>g_{ij}^{-1}=\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{j}}^{\,*}</math> kontravariante Komponenten <math>a_{u_{i}}</math> in kovariante <math>a_{u_{j}}^{\,*}</math> und umgekehrt überführen (in Tensorsprache: Heben und Senken von Indizes).

=== Duale Basis und Komponenten für orthogonale Koordinaten ===

Bei orthogonalen Koordinaten stimmen in der normierten Form Basisvektoren und duale Basisvektoren überein. Für die natürliche Basis bedeutet dies, dass zwei zueinander duale Basisvektoren kollinear sind, d. h. der eine ist ein Vielfaches (Faktor <math>h_{u_{i}}^{2}</math>) des anderen:

:<math>\vec{e}_{u_{i}}^{\ *} = \vec{e}_{u_{i}} \quad \iff \quad h_{u_{i}}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *} = \frac{1}{h_{u_{i}}}\vec{b}_{u_{i}} \equiv \vec{e}_{u_{i}}</math>

Somit stimmen die Komponenten bzgl. der normierten Basis ebenfalls überein:

:<math>a_{u_{i}}^{\ *}=a_{u_{i}}\quad\iff\quad\frac{1}{h_{u_{i}}}\tilde{a}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}\tilde{a}_{u_{i}}\equiv a_{u_{i}}</math>

=== Duale Basis in 3 Dimensionen ===

Die dualen Basisvektoren lassen sich im dreidimensionalen über [[Kreuzprodukt]]e der Basisvektoren geteilt durch deren [[Spatprodukt]] <math>\det(\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\vec{e}_{u_{3}})</math> bzw. <math>\det(\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\vec{b}_{u_{3}})=\sqrt{g}</math> ausdrücken:

:<math>\vec{e}_{u_{1}}^{\,*}=\frac{\vec{e}_{u_{2}}\times\vec{e}_{u_{3}}}{\det(\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\vec{e}_{u_{3}})}\ ,\quad\quad\vec{e}_{u_{2}}^{\,*}=\frac{\vec{e}_{u_{3}}\times\vec{e}_{u_{1}}}{\det(\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\vec{e}_{u_{3}})}\ ,\quad\quad\vec{e}_{u_{3}}^{\,*}=\frac{\vec{e}_{u_{1}}\times\vec{e}_{u_{2}}}{\det(\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\vec{e}_{u_{3}})}</math>

In kompakter Notation für die normierten Basisvektoren

:<math>\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\vec{e}_{u_{k}}^{\,*}=\frac{\vec{e}_{u_{i}}\times\vec{e}_{u_{j}}}{\det(\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\vec{e}_{u_{3}})}</math>

bzw. für die natürlichen Basisvektoren:

:<math>\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\vec{b}_{u_{k}}^{\,*}=\frac{\vec{b}_{u_{i}}\times\vec{b}_{u_{j}}}{\sqrt{g}}</math>

Während die (kovarianten) Basisvektoren tangential an die Koordinatenlinien sind, stehen die dualen (kontravarianten) Basisvektoren senkrecht auf den Koordinatenflächen. Beispiel: Während die Vektoren <math>\vec{e}_{u_{2}}</math> und <math>\vec{e}_{u_{3}}</math> in der <math>u_{1}=\text{const}</math> Koordinatenfläche liegen, steht <math>\vec{e}_{u_{1}}^{\,*}</math> senkrecht auf dieser.

Umgekehrt lassen sich die kontravarianten Basisvektoren im dreidimensionalen über Kreuzprodukte der kovarianten Basisvektoren geteilt durch deren Spatprodukt <math>\det(\vec{b}_{u_{1}}^{\ *},\vec{b}_{u_{2}}^{\ *},\vec{b}_{u_{3}}^{\ *})=1/\sqrt{g}</math> bzw. <math>\det(\vec{e}_{u_{1}}^{\,*},\vec{e}_{u_{2}}^{\,*},\vec{e}_{u_{3}}^{\,*})</math> ausdrücken:

:<math>\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\vec{e}_{u_{k}}=\frac{\vec{e}_{u_{i}}^{\,*}\times\vec{e}_{u_{j}}^{\,*}}{\det(\vec{e}_{u_{1}}^{\,*},\vec{e}_{u_{2}}^{\,*},\vec{e}_{u_{3}}^{\,*})}=\det(\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\vec{e}_{u_{3}})\,\vec{e}_{u_{i}}^{\,*}\times\vec{e}_{u_{j}}^{\,*}</math>

:<math>\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\vec{b}_{u_{k}}=\frac{\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\times\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}}{\det(\vec{b}_{u_{1}}^{\ *},\vec{b}_{u_{2}}^{\ *},\vec{b}_{u_{3}}^{\ *})}=\det(\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\vec{b}_{u_{3}})\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\times\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}=\sqrt{g}\,\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\times\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}</math>

Bilden die kovarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (Funktionaldeterminante positiv), dann bilden auch die kontravarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (inverse Funktionaldeterminante positiv). Das Produkt aus den beiden Determinanten muss nämlich Eins ergeben.

=== Beispiel für geradlinige, schiefwinklige Koordinatensysteme ===

[[Datei:Coordinate rotation in 1+1 Minskowski space.svg|miniatur|Minkowski-Diagramm für <math>\tanh\theta=\beta</math> und <math>\beta=0,5</math> mit Basis- und dualen Basisvektoren.]]

Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems dient, als Fortsetzung des obigen Beispiels, ein Minkowski-Diagramm.
Die Lorentz-Transformation war gegeben durch <math>x_i = \sum_{j=0}^{1} A_{ij} u_j</math>, somit lautet die inverse Transformation: <math>u_i = \sum_{j=0}^{1} A_{ij}^{-1} x_j</math>:

:<math>\begin{pmatrix}u_{0}\\ u_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cosh\theta & -\sinh\theta\\ -\sinh\theta & \cosh\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{0}\\ x_{1} \end{pmatrix}</math>

Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: <math>A_{ij}^{-1} = J_{ij}^{-1}</math>. Somit lauten die dualen Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten:

:<math>\vec{b}_{u_{0}}^{\,*}=\begin{pmatrix}\cosh\theta\\ -\sinh\theta \end{pmatrix}\,,\ \vec{b}_{u_{1}}^{\,*} = \begin{pmatrix}-\sinh\theta\\ \cosh\theta \end{pmatrix}</math>

Diese erfüllen die Dualitätsbedingungen: Orthogonalität für <math>\vec{b}_{u_{0}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{1}}=0</math> und <math>\vec{b}_{u_{1}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{0}}=0</math> sowie Normierung für <math>\vec{b}_{u_{0}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{0}}=1</math> und <math>\vec{b}_{u_{1}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{1}}=1</math>.

== Tensoren ==

[[Tensor]]en <math>n</math>-ter Stufe lassen sich allgemein als <math>n</math>-faches [[Tensorprodukt]] von Vektoren darstellen:

:<math>\vec{v}_{1}\otimes\vec{v}_{2}\otimes\ldots\otimes\vec{v}_{n}</math>

Das tensorielle Produkt von Vektoren ist nicht kommutativ, sodass die Reihenfolge der (Basis-) Vektoren nicht vertauscht werden darf.

Dabei sind Skalare (Funktionen der Koordinaten <math>\{u_{i}\}</math> in den Grundkörper, also <math>\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>, die unter Koordinatentransformation ihren Funktionswert an jedem Punkt nicht ändern <math>\phi(u_i)=\tilde{\phi}(\tilde{u}_i)</math>) Tensoren nullter Stufe und Vektoren sind Tensoren erster Stufe.

Da sich Vektoren auf zwei verschiedene Arten, nämlich kovariant bzw. kontravariant, darstellen lassen, gibt es für einen Tensor <math>n</math>-ter Stufe <math>2^n</math> Darstellungsmöglichkeiten. Durch die Darstellung mittels Vektoren werden die Eigenschaften des Vektors auf Tensoren vererbt. So lassen sich z. B. mit Hilfe des metrischen Tensors Indizes heben und senken, d. h. ko- in kontravariante Komponenten bzw. umgekehrt überführen. Tensoren, die sich durch Heben und Senken (also innere Produkte mit dem metrischen Tensor) ergeben, heißen assoziierte Tensoren. Ebenso wird das Transformationsverhalten von Vektoren für Tensoren übernommen, d. h. kovariante Anteile eines Tensors transformieren sich wie kovariante Vektoren, also mittels der Jacobi-Matrix, und kontravariante Anteile mit der inversen Jacobi-Matrix, wie bei kontravarianten Vektoren.

=== Tensoren zweiter Stufe ===

Ein Tensor zweiter Stufe kann auf vier verschiedenen Arten dargestellt werden:

:<math>\underline{\underline{T}}=\vec{v}\otimes\vec{w}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}^{\,*}\vec{b}_{u_{i}}\otimes\vec{b}_{u_{j}}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}^{\,*}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{j}}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}\vec{b}_{u_{i}}\otimes\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}</math>

Die vier Fälle sind: (rein) kontravariant, (rein) kovariant, gemischt kontra-kovariant, gemischt ko-kontravariant.

Der Einheitstensor, definiert durch <math>\underline{\underline{I}}\cdot\vec{v}=\vec{v}</math>, ist gegeben durch:

:<math>\underline{\underline{I}}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}g_{ij}\,\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}g^{ij}\,\vec{b}_{u_{i}}\otimes\vec{b}_{u_{j}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\vec{b}_{u_{i}}\otimes\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}</math>

=== Skalarprodukt zweier Vektoren ===

Das Skalarprodukt zweier Vektoren in krummlinigen Koordinaten ist gegeben durch:

:<math>\vec{v}\cdot\vec{w}=\sum\limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{i}}^{\,*}=\sum\limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{i}}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}g^{ij}w_{u_{j}}^{\,*}=\sum\limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}g_{ij}w_{u_{j}}</math>

Dies entspricht der [[Tensorverjüngung|Kontraktion]] des Tensors zweiter Stufe <math>\vec{v}\otimes\vec{w}</math> zu einem Tensor nullter Stufe.

=== Tensoren dritter Stufe ===

Ein Tensor dritter Stufe kann auf acht verschiedene Arten dargestellt werden:

:<math>\underline{\underline{\underline{T}}}=\vec{a}\otimes\vec{b}\otimes\vec{c}=\sum\limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{k}}^{\ *}=\sum\limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}^{\,*}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{k}}=\ldots=\sum\limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}b_{u_{j}}^{\,*}c_{u_{k}}^{\,*}\vec{b}_{u_{i}}\otimes\vec{b}_{u_{j}}\otimes\vec{b}_{u_{k}}</math>

Im Dreidimensionalen ist der [[Levi-Civita-Symbol|total antisymmetrische Tensor]] gegeben durch:

:<math>\underline{\underline{\underline{\mathcal{E}}}}=\sum\limits _{i,j,k=1}^{n}\epsilon_{ijk}\vec{e}_{x_{i}}\otimes\vec{e}_{x_{j}}\otimes\vec{e}_{x_{k}}=\sum\limits _{i,j,k=1}^{n}\mathcal{E}_{ijk}\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{j}}^{\ *}\otimes\vec{b}_{u_{k}}^{\ *}=\ldots=\sum\limits _{i,j,k=1}^{n}\mathcal{E}^{ijk}\vec{b}_{u_{i}}\otimes\vec{b}_{u_{j}}\otimes\vec{b}_{u_{k}}</math>

:<math>\epsilon_{ijk}=\det[\vec{e}_{x_{i}},\vec{e}_{x_{j}},\vec{e}_{x_{k}}]\equiv\det[\vec{e}_{x_{i}},\vec{e}_{x_{j}},\vec{e}_{x_{k}}]\ ,\quad\mathcal{E}_{ijk}=\det[\vec{b}_{u_{i}},\vec{b}_{u_{j}},\vec{b}_{u_{k}}]=\sqrt{g}\,\epsilon_{ijk}\ ,\quad\mathcal{E}^{ijk}=\det[\vec{b}_{u_{i}}^{\ *},\vec{b}_{u_{j}}^{\ *},\vec{b}_{u_{k}}^{\ *}]=\frac{1}{\sqrt{g}}\,\epsilon^{ijk}</math>

Dabei ist die erste Relation die kartesische Schreibweise, die folgenden zwei aus acht Schreibweisen der krummlinigen Version des Tensors.

== Ableitungen der Basisvektoren ==

Die [[Differentialrechnung|Ableitungen]] von Vektoren, die in krummlinigen Koordinaten dargestellt werden, weisen gegenüber den kartesischen folgende Besonderheit auf. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen keine Geraden sind und daher die Basisvektoren eine vom Ort abhängige Richtung haben, müssen die Basisvektoren auch differenziert werden (Anwenden der [[Produktregel]]):

:<math>\frac{\partial \vec{a}}{\partial u_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial \left( a_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}} \right)}{\partial u_{k}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial a_{u_{i}}}{\partial u_{k}}\vec{e}_{u_{i}}+a_{u_{i}}\frac{\partial \vec{e}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} \right]}</math>

Bzw. bzgl. der natürlichen Basis

:<math>\frac{\partial \vec{a}}{\partial u_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial \left( \tilde{a}_{u_{i}}\vec{b}_{u_{i}} \right)}{\partial u_{k}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \tilde{a}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}\vec{b}_{u_{i}}+\tilde{a}_{u_{i}}\frac{\partial \vec{b}_{u_{i}}}{\partial u_{k}} \right]}</math>

=== Christoffel-Symbole ===

Die Ableitung der Basisvektoren <math>\vec{b}_{u_{i}}</math> nach einer Koordinate <math>u_{k}</math> lässt sich als Linearkombination aller Basisvektoren <math>\{\vec{b}_{u_{j}}|j=1,2,\ldots,n\}</math> schreiben.

:<math>\frac{\partial\vec{b}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}=\sum_{j=1}^{n}\Gamma_{ki}^{j}\vec{b}_{u_{j}}</math>

Die Koeffizienten <math>\Gamma_{ki}^{j}</math> heißen [[Christoffel-Symbole]] zweiter Art.

:<math>\Gamma_{ki}^{j}=\vec{b}_{u_{j}}^{\,*}\frac{\partial\vec{b}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}=\sum_{l}g^{jl}\vec{b}_{u_{l}}^{\,}\frac{\partial\vec{b}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}=\sum_{l}g^{jl}\Gamma_{ki,l}=(\nabla u_{j})\cdot\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}=\sum_{l}\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{l}}\frac{\partial^{2}x_{l}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}</math>

Die Größen <math>\Gamma_{ki,l}</math> heißen Christoffel-Symbole erster Art. Das vollständige Differential eines natürlichen Basisvektors lautet:

:<math>\mathrm{d}\vec{b}_{u_{i}}=\sum_{j,k=1}^{n}\Gamma_{ki}^{j}\vec{b}_{u_{j}}\mathrm{d}u_{k}</math>

Die Christoffel-Symbole werden nun für die Ableitung eines Vektors verwendet (beim zweiten Gleichheitszeichen werden die Indizes <math>i</math> und <math>j</math> vertauscht, was möglich ist, da über beide summiert wird, und <math>\vec{b}_{u_{i}}</math> ausgeklammert):

:<math>\frac{\partial\vec{a}}{\partial u_{k}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\left[\frac{\partial \tilde{a}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}\vec{b}_{u_{i}}+\sum_{j=1}^{n}\tilde{a}_{u_{i}}\Gamma_{ki}^{j}\vec{b}_{u_{j}}\right]=\sum\limits _{i=1}^{n}\left[\frac{\partial \tilde{a}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}+\sum_{j=1}^{n}\tilde{a}_{u_{j}}\Gamma_{kj}^{i}\right]\vec{b}_{u_{i}}</math>

=== Kovariante Ableitung ===

Darauf basierend definiert man die [[kovariante Ableitung]] (ein ausgezeichneter [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] auf einem [[Tensorbündel]], einem besonderen [[Vektorbündel]]) eines Vektors durch:

:<math>\nabla_{u_{k}}\tilde{a}_{u_{i}}=\frac{\partial \tilde{a}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}+\sum_{j=1}^{n}\tilde{a}_{u_{j}}\Gamma_{kj}^{i}</math>

Der erste Term beschreibt die Änderung der Vektorkomponenten <math>\tilde{a}_{u_{i}}</math> des Feldes <math>\vec a</math> entlang der Koordinatenachse <math>u_{k}</math>, der zweite die Änderung des Feldes, die durch die Änderung des Koordinatensystems zustande kommt. In geradlinigen Koordinatensystemen (hier ist der metrische Tensor konstant) verschwinden die Christoffel-Symbole und die kovariante Ableitung ist identisch mit der partiellen Ableitung.

Die kovariante Ableitung führt eine zusätzliche geometrische Struktur auf einer [[Mannigfaltigkeit]] ein, die es erlaubt Vektoren aus unterschiedlichen Vektorräumen und zwar aus benachbarten Tangentialräumen zu vergleichen. Somit stellt die kovariante Ableitung einen [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] zwischen verschiedenen Vektorräumen her. Dieser ist z. B. nötig, um für eine Kurve <math>\vec{\gamma}(t)</math> die Krümmung berechnen zu können – dazu ist der Differentialquotient aus den Vektoren <math>\vec{\gamma}^{\,\prime}(t+\Delta t)</math> und <math>\vec{\gamma}^{\,\prime}(t)</math> zu bilden, die in unterschiedlichen Vektorräumen leben.

Die kovariante Ableitung der Koordinaten eines Tensors <math>n</math>-ter Stufe ergibt die Koordinaten eines Tensors der Stufe <math>(n+1)</math>, da ein kovarianter Index hinzukommt. Für Tensoren der Stufe <math>n\geq 1</math> gilt: Die partielle Ableitung einer Tensorkoordinate nach krummlinigen Koordinaten ist, im Gegensatz zur kovarianten Ableitung, keine Tensorkoordinate.

Die kovariante Ableitung der Koordinaten des metrischen Tensors verschwinden: <math>\nabla_{u_{k}}g_{ij}=\nabla_{u_{k}}g^{ij}=0</math>.

Mit der kovarianten Ableitung lässt sich die [[Richtungsableitung]] verallgemeinern:

:<math>\nabla_{\vec{w}}\vec{a}=\sum_{i,k=1}^{n}\left(\tilde{w}_{u_{k}}\frac{\partial \tilde{a}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}+\sum_{j=1}^{n}\tilde{w}_{u_{k}}\tilde{a}_{u_{j}}\Gamma_{kj}^{i}\right)\vec{b}_{u_{i}}</math>

Beispiel: Die [[Geodäte]] auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, die kürzeste Verbindungskurve <math>\gamma:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n},\, t\mapsto\vec{r}(t)</math> zwischen zwei Punkten, lässt sich durch die geodätische Differentialgleichung <math>\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0</math> ausdrücken. Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld (bzw. Tangentenvektorfeld) der Kurve <math>\dot{\vec{r}}</math> längs der Kurve <math>\gamma</math> (also parallel zu <math>\dot{\vec{r}}</math>) konstant ist. Dieser Definition liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Geodäten des <math>\mathbb{R}^{n}</math> gerade Linien sind. Die Krümmung der Kurve muss also verschwinden und somit die Richtungsableitung der Tangentenvektoren entlang der Kurve null sein. In lokalen Koordinaten ausgedrückt lautet die geodätische Differentialgleichung:

:<math>\nabla_{\dot{\vec{r}}}\dot{\vec{r}}=\sum_{i,k=1}^{n}\Biggl(\underbrace{\frac{\mathrm{d}u_{k}}{\mathrm{d}t}}_{\dot{u}_{k}}\frac{\partial\dot{u}_{i}}{\partial u_{k}}+\sum_{j=1}^{n}\dot{u}_{k}\dot{u}_{j}\Gamma_{kj}^{i}\Biggr)\vec{b}_{u_{i}}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\mathrm{d}\dot{u}_{i}}{\mathrm{d}t}+\sum_{j,k=1}^{n}\dot{u}_{k}\dot{u}_{j}\Gamma_{kj}^{i}\right)\vec{b}_{u_{i}}</math>

Es existieren grundsätzlich zwei Möglichkeiten, die Christoffelsymbole, also die Koeffizienten des affinen Zusammenhangs <math>\nabla</math>, festzulegen: Entweder man gibt die Koeffizienten vor, d. h. man gibt vor, wie sich die Koordinatensysteme von Punkt zu Punkt auf der Mannigfaltigkeit ändern, oder man hat mehr Informationen über den betrachten Raum als nur dass es sich um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit handelt (z. B. einen Abstandsbegriff) und weiß dadurch, was man unter der kovarianten Ableitung zu verstehen hat, wodurch die Christoffelsymbole ebenfalls festgelegt werden. Hier ist letzterer Fall realisiert, da die hier betrachteten Mannigfaltigkeiten [[riemannsche Mannigfaltigkeit]]en sind und somit für jeden Tangentialraum der Mannigfaltigkeit ein Skalarprodukt und dadurch induziert eine Metrik, also ein Abstandsbegriff, existiert.

Da die betrachteten Mannigfaltigkeiten [[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit|(semi-)]] [[riemannsche Mannigfaltigkeit]] sind (hier verschwindet der [[Torsionstensor]]), ist der Zusammenhang <math>\nabla</math> ein sog. [[Levi-Civita-Zusammenhang]], d. h. er ist [[Torsionstensor|torsionsfrei]] bzw. symmetrisch und außerdem ein [[metrischer Zusammenhang]]. Da hier der Zusammenhang torsionsfrei ist, entspricht die antisymmetrisierte Richtungsableitung <math>\nabla_{\vec{w}}\vec{a}-\nabla_{\vec{a}}\vec{w}</math> genau der [[Lie-Ableitung]] <math>L_{\vec{w}}\vec{a}\equiv [\vec{w},\vec{a}]</math>. Während die Richtungsableitung <math>\nabla_{\vec{w}}\vec{a}</math> linear im Richtungsfeld <math>\vec w</math> ist (die Richtungsableitung hängt vom Richtungsfeld an nur einem Punkt ab), ist die Lie-Ableitung <math>L_{\vec{w}}\vec{a}</math> in keinem Argument linear (für die Lie-Ableitung müssen beide Vektorfelder in einer offenen [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] bekannt sein).

=== Eigenschaften der Christoffel-Symbole ===

Aus dem [[Satz von Schwarz]] (bzw. aus der Torsionsfreiheit des Zusammenhangs <math>\nabla</math>) folgt, dass die Christoffel-Symbole in den unteren beiden Indizes symmetrisch sind:

:<math>\frac{\partial\vec{b}_{u_{i}}}{\partial u_{j}}=\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial u_{j}\partial u_{i}}=\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial u_{i}\partial u_{j}}=\frac{\partial\vec{b}_{u_{j}}}{\partial u_{i}}\quad\Longrightarrow\quad\Gamma_{ij}^{k}=\Gamma_{ji}^{k}</math>

Daher lassen sich die Christoffel-Symbole durch Ableiten der metrischen Koeffizienten <math>g_{ij}</math> bestimmen:

:<math>\Gamma_{ki,l}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{il}}{\partial u_{k}}+\frac{\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}\right)
\quad\Longrightarrow\quad
\Gamma_{ki}^{j}=\sum_{l=1}^{n}\frac{g^{jl}}{2}\left(\frac{\partial g_{il}}{\partial u_{k}}+\frac{\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}-\frac{\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}\right)</math>

Dies folgt aus folgender Relation

:<math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial u_{k}}=\frac{\partial(\vec{b}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{j}})}{\partial u_{k}}=\frac{\partial\vec{b}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}\cdot\vec{b}_{u_{j}}+\vec{b}_{u_{i}}\cdot\frac{\partial\vec{b}_{u_{j}}}{\partial u_{k}}=\sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}\vec{b}_{u_{l}}\cdot\vec{b}_{u_{j}}+\sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}\vec{b}_{u_{i}}\cdot\vec{b}_{u_{l}}=\sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}g_{jl}+\sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}g_{il}=\Gamma_{ik,j}+\Gamma_{jk,i}</math>

und zwei Permutationen von <math>\partial_k g_{ij}</math>, nämlich <math>\partial_i g_{jk}</math> und <math>\partial_j g_{ki}</math>.

Für die Ableitung der dualen Basisvektoren erhält man folgenden Zusammenhang mit dem negativen Christoffel-Symbol:

:<math>\Gamma_{ki}^{j}=\vec{b}_{u_{j}}^{\,*}\cdot\frac{\partial\vec{b}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}=\underbrace{\frac{\partial}{\partial u_{k}}\overbrace{\vec{b}_{u_{j}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{i}}}^{\delta_{ij}}}_{0}-\frac{\partial\vec{b}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}\cdot\vec{b}_{u_{i}}=-\frac{\partial\vec{b}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}\cdot\vec{b}_{u_{i}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial\vec{b}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}=-\Gamma_{ki}^{j}\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}</math>

Damit folgt die kovariante Ableitung von kovarianten Komponenten:

:<math>\frac{\partial\vec{a}}{\partial u_{k}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial\left(\tilde{a}_{u_{i}}^{\,*}\vec{b}^{\ *}_{u_{i}}\right)}{\partial u_{k}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\left[\frac{\partial \tilde{a}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}-\sum_{j}\tilde{a}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma_{ki}^{j}\right]\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}\quad\Longrightarrow\quad\nabla_{u_{k}}\tilde{a}_{u_{i}}^{\,*}=\frac{\partial \tilde{a}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}-\sum_{j=1}^{n}\tilde{a}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma_{ki}^{j}</math>

Es ist wichtig anzumerken, dass die Christoffel-Symbole mit ihren drei Indizes ''keinen'' Tensor dritter Stufe beschreiben, da sie nicht das geforderte Transformationsverhalten für Tensoren zeigen.

:<math>\bar{\Gamma}_{ij}^{k}:=\sum_{l,m,n}\frac{\partial\bar{u}_{k}}{\partial u_{l}}\frac{\partial u_{m}}{\partial\bar{u}_{i}}\frac{\partial u_{n}}{\partial\bar{u}_{j}}\Gamma_{mn}^{l}+\sum_{n}\frac{\partial\bar{u}_{k}}{\partial u_{n}}\frac{\partial^{2}u_{n}}{\partial\bar{u}_{i}\partial\bar{u}_{j}}</math>

Das Auftreten des zweiten Summanden in der Transformationsformel zeigt, dass es sich nicht um einen Tensor handelt. Deswegen werden die Christoffel-Symbole in der Literatur manchmal mit Symbolen notiert, die nicht mit Tensoren verwechselt werden können:

:<math>\Gamma_{ij}^{k}=\left\{ \begin{array}{c}
k\\ ij \end{array}\right\} \quad \text{und} \quad \Gamma_{ij,k}=\left[ij,k\right]</math>

Die Aussage zum Transformationsverhalten lässt sich verallgemeinern: Der Index (<math>i</math>) einer partiellen Ableitung eines Tensors transformiert sich wie ein kovarianter Index (<math>\partial_i A</math>). Dagegen transformieren sich die beiden Indizes (<math>i,j</math>) einer zweiten partiellen Ableitung <math>\partial_i \partial_j A</math> nicht wie Tensorindizes. Als Ausweg steht die kovariante Ableitung zur Verfügung: Die Indizes einer <math>n</math>-te kovarianten Ableitung einer Tensorkoordinate sind wieder Tensorkoordinaten, sie transformieren sich wie kovariante Indizes. Z.B. sind in <math>\nabla_i \nabla_j A</math> die Indizes <math>i</math> und <math>j</math> kovariante Indizes.

== Weitere Eigenschaften krummliniger Koordinaten in 3 Dimensionen ==

=== Vektorprodukt und alternierender Tensor ===

In kartesischen Koordinaten lautet das Kreuz- oder Vektorprodukt mit dem [[Levi-Civita-Symbol]] <math>\epsilon^{ijk}</math>

:<math>\vec{v}\times\vec{w}=\sum_{ijk}\epsilon_{ijk}v_{j}w_{k}\vec{e}_{i}^{\,*}=\sum_{ijk}\epsilon^{ijk}v_{j}^{\,*}w_{k}^{\,*}\vec{e}_{i}\quad\text{mit}\quad\epsilon_{ijk}=\epsilon^{ijk}=\det[\vec{e}_{i},\vec{e}_{j},\vec{e}_{k}]</math>

In krummlinigen Koordinaten <math>\{u_i\}</math> ist dies unter Verwendung des alternierenden Tensors

:<math>\mathcal{E}_{ijk}=\det[\vec{b}_{u_{i}},\vec{b}_{u_{j}},\vec{b}_{u_{k}}]=\sqrt{g}\,\epsilon_{ijk}\ ,\quad \mathcal{E}^{ijk}=\det[\vec{b}_{u_{i}}^{\ *},\vec{b}_{u_{j}}^{\ *},\vec{b}_{u_{k}}^{\ *}]=\frac{1}{\sqrt{g}}\,\epsilon^{ijk}</math>

zu ersetzen durch:

:<math>\begin{align}
\vec{v}\times\vec{w} & =\sum_{ijk}\mathcal{E}_{ijk}\tilde{v}_{u_{j}}\tilde{w}_{u_{k}}\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}=\sum_{ijk}\mathcal{E}^{ijk}\tilde{v}_{u_{j}}^{\,*}\tilde{w}_{u_{k}}^{\,*}\vec{b}_{u_{i}}\\
& =\sqrt{g}\left|\begin{matrix}\vec{b}_{u_{1}}^{\ *} & \vec{b}_{u_{2}}^{\ *} & \vec{b}_{u_{3}}^{\ *}\\
\tilde{v}_{u_{1}} & \tilde{v}_{u_{2}} & \tilde{v}_{u_{3}}\\
\tilde{w}_{u_{1}} & \tilde{w}_{u_{2}} & \tilde{w}_{u_{3}}
\end{matrix}\right|=\frac{1}{\sqrt{g}}\left|\begin{matrix}\vec{b}_{u_{1}} & \vec{b}_{u_{2}} & \vec{b}_{u_{3}}\\
\tilde{v}_{u_{1}}^{\,*} & \tilde{v}_{u_{2}}^{\,*} & \tilde{v}_{u_{3}}^{\,*}\\
\tilde{w}_{u_{1}}^{\,*} & \tilde{w}_{u_{2}}^{\,*} & \tilde{w}_{u_{3}}^{\,*}
\end{matrix}\right|
\end{align}</math>

Dies lässt sich mit <math>\vec{b}_{u_{j}}\times\vec{b}_{u_{k}}=\sum_{i}\sqrt{g}\,\epsilon_{ijk}\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}</math> ableiten:

:<math>\mathcal{E}_{ijk}:=\left(\vec{b}_{u_{j}}\times\vec{b}_{u_{k}}\right)\cdot\vec{b}_{u_{i}}=\sum_{l}\sqrt{g}\,\epsilon_{ljk}\underbrace{\vec{b}_{u_{l}}^{\,*}\cdot\vec{b}_{u_{i}}}_{\delta_{l,i}}=\sqrt{g}\,\epsilon_{ijk}</math>

:<math>\vec{v}\times\vec{w}=\sum_{jk}\left(\tilde{v}_{u_{j}}\vec{b}_{u_{j}}\right)\times\left(\tilde{w}_{u_{k}}\vec{b}_{u_{k}}\right)=\sum_{jk}\tilde{v}_{u_{j}}\tilde{w}_{u_{k}}\left(\vec{b}_{u_{j}}\times\vec{b}_{u_{k}}\right)=\sum_{ijk}\tilde{v}_{u_{j}}\tilde{w}_{u_{k}}\underbrace{\sqrt{g}\,\epsilon_{ijk}}_{\mathcal{E}_{ijk}}\vec{b}_{u_{i}}^{\,*}</math>

An folgender Rechnung sieht man, dass <math>\mathcal{E}_{ijk}</math> das korrekte Transformationsverhalten eines Tensors hat (hier die kovariante Version des Tensors):

:<math>\begin{align}
\mathcal{E}_{ijk}:=\det\!\left[\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}},\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{j}},\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{k}}\right]
&=\det\!\Biggl[\sum_{l}\frac{\partial x_{l}}{\partial u_{i}}\underbrace{\frac{\partial\vec{r}}{\partial x_{l}}}_{\vec{e}_{l}},\sum_{m}\frac{\partial x_{m}}{\partial u_{j}}\underbrace{\frac{\partial\vec{r}}{\partial x_{m}}}_{\vec{e}_{m}},\sum_{n}\frac{\partial x_{n}}{\partial u_{k}}\underbrace{\frac{\partial\vec{r}}{\partial x_{n}}}_{\vec{e}_{n}}\Biggr]\\
&=\sum_{l,m,n}\frac{\partial x_{l}}{\partial u_{i}}\frac{\partial x_{m}}{\partial u_{j}}\frac{\partial x_{n}}{\partial u_{k}}\underbrace{\det\!\left[\vec{e}_{l},\vec{e}_{m},\vec{e}_{n}\right]}_{\epsilon_{lmn}}
\end{align}</math>

Bezüglich der normierten Basis lautet das Vektorprodukt:

:<math>\begin{align}
\vec{v}\times\vec{w} & =\sum_{ijk}\mathcal{E}_{ijk}\frac{v_{u_{j}}w_{u_{k}}\vec{e}_{u_{i}}^{\,*}}{h_{u_{j}}h_{u_{k}}h_{u_{i}}}=\sum_{ijk}\mathcal{E}^{ijk}h_{u_{j}}v_{u_{j}}^{\,*}h_{u_{k}}w_{u_{k}}^{\,*}h_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}}\\
& =\sqrt{g}\left|\begin{matrix}h_{u_{1}}^{-1}\vec{e}_{u_{1}}^{\ *} & h_{u_{2}}^{-1}\vec{e}_{u_{2}}^{\ *} & h_{u_{3}}^{-1}\vec{e}_{u_{3}}^{\ *}\\
h_{u_{1}}^{-1}v_{u_{1}} & h_{u_{2}}^{-1}v_{u_{2}} & h_{u_{3}}^{-1}v_{u_{3}}\\
h_{u_{1}}^{-1}w_{u_{1}} & h_{u_{2}}^{-1}w_{u_{2}} & h_{u_{3}}^{-1}w_{u_{3}}
\end{matrix}\right|=\frac{1}{\sqrt{g}}\left|\begin{matrix}h_{u_{1}}\vec{e}_{u_{1}} & h_{u_{2}}\vec{e}_{u_{2}} & h_{u_{3}}\vec{e}_{u_{3}}\\
h_{u_{1}}v_{u_{1}}^{\,*} & h_{u_{2}}v_{u_{2}}^{\,*} & h_{u_{3}}v_{u_{3}}^{\,*}\\
h_{u_{1}}w_{u_{1}}^{\,*} & h_{u_{2}}w_{u_{2}}^{\,*} & h_{u_{3}}w_{u_{3}}^{\,*}
\end{matrix}\right|
\end{align}</math>

=== Koordinatenfläche: Innere Geometrie ===

Wir betrachten [[ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] die Fläche <math>u_3=\text{const}</math>. Ein (unnormierter) Normalenvektor der Fläche ist kollinear zum kontravarianten Basisvektor <math>\vec{b}_{u_{3}}^{\,*}</math>:

:<math>\vec{n}=\vec{b}_{u_{1}}\times\vec{b}_{u_{2}}=\sqrt{g}\,\vec{b}_{u_{3}}^{\,*}</math>

Man definiert für eine Fläche im <math>\mathbb{R}^{3}</math> konventionsgemäß die folgenden Größen der „inneren Geometrie“, die sich durch Längen- und Winkelmessungen innerhalb der Fläche ermitteln lassen (siehe [[Erste Fundamentalform]]):

:<math>E=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{1}}\right)^{2}=\vec{b}_{u_{1}}^{\ 2}=h_{u_{1}}^{2}=g_{11}</math>
:<math>F=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{1}}\cdot\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{2}}=\vec{b}_{u_{1}}\cdot\vec{b}_{u_{2}}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}\vec{e}_{u_{1}}\cdot\vec{e}_{u_{2}}=g_{12}</math>
:<math>G=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{2}}\right)^{2}=\vec{b}_{u_{2}}^{\ 2}=h_{u_{2}}^{2}=g_{22}</math>

Für orthogonale Koordinaten <math>\vec{e}_{u_{i}}\cdot \vec{e}_{u_{j}}=\delta _{ij}</math> ist <math>F=0</math>.

Der Metrische Tensor der Fläche und deren Gramsche Determinante ist

:<math>\underline{\underline{\tilde{g}}}=\left(\begin{array}{cc} E & F\\ F & G\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\tilde{g}=\det\underline{\underline{\tilde{g}}}=EG-F^{2}=\vec{b}_{u_{1}}^{\ 2}\vec{b}_{u_{2}}^{\ 2}-(\vec{b}_{u_{1}}\cdot\vec{b}_{u_{2}})^{2}=(\vec{b}_{u_{1}}\times\vec{b}_{u_{2}})^{2}</math>

Die Funktionaldeterminante der Fläche lautet, wobei <math>\hat{n}=\vec{n}/|\vec{n}|</math> der normierte Normalenvektor der Fläche ist:

:<math>\sqrt{\tilde{g}}=\sqrt{EG-F^{2}}=\left|\vec{b}_{u_{1}}\times\vec{b}_{u_{2}}\right|=\det\left[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\hat{n}\right]</math>

Der inverse metrische Tensor der Fläche lautet:

:<math>\underline{\underline{\tilde{g}}}^{-1}=\frac{1}{\tilde{g}}\left(\begin{array}{cc} G & -F\\ -F & E \end{array}\right)</math>

=== Koordinatenfläche: Äußere Geometrie ===

Griechische Indizes laufen im Folgenden über den Bereich 1,2 und kennzeichnen so Koordinaten und Basisvektoren in der Fläche.

Die partielle Ableitung des normierten Normalenvektors <math>\hat{n}</math> nach der Koordinate <math>u_\beta</math> lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren der Fläche <math>\vec{e}_\alpha</math> darstellen. Dies folgt aus der Normierungsbedingung <math>\hat{n}\cdot\hat{n}=1</math> durch Ableiten <math>\hat{n}\cdot\partial_{\beta}\hat{n}=0</math>. Somit ist <math>\partial_{\beta}\hat{n}</math> orthogonal zur Flächennormale <math>\hat{n}</math> und muss folglich in der Fläche liegen. Man führt eine neue Größe <math>h</math> ein, der ein Tensor zweiter Stufe ist:

:<math>\partial_{\beta}\hat{n}=-\sum_{\alpha=1}^{2}h_{\ \beta}^{\alpha}\vec{e}_{\alpha}=-\sum_{\alpha=1}^{2}h_{\alpha\beta}\vec{e}_{\alpha}^{\ *}</math>

Der Tensor <math>h</math> wird in der Literatur teilweise Flächentensor zweiter Stufe, Krümmungstensor oder Haupttensor genannt. Die kovarianten Koordinaten <math>h_{\alpha\beta}</math> lassen sich wie folgt berechnen, wobei <math>\hat{n}=\left(\vec{b}_{u_{1}}\times\vec{b}_{u_{2}}\right)/\sqrt{\tilde{g}}</math> gilt:

:<math>h_{\alpha\beta}=-\vec{e}_{\alpha}\cdot\partial_{\beta}\hat{n}=-\partial_{\beta}\underbrace{(\vec{e}_{\alpha}\cdot\hat{n})}_{=0}+\hat{n}\cdot\partial_{\beta}\vec{e}_{\alpha}=\hat{n}\cdot\partial_{\beta}\vec{e}_{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{\tilde{g}^{\,}}}\det\left[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\partial_{\beta}\vec{e}_{\alpha}\right]</math>

Dies lässt sich auch umschreiben zu (siehe [[zweite Fundamentalform]]):

:<math>h_{\alpha\beta}=\hat{n}\cdot\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial u_{\beta}\partial u_{\alpha}}=\sum_{i,j,k=1}^{3}\frac{1}{\sqrt{\tilde{g}^{\,}}}\epsilon_{ijk}\frac{\partial x_{i}}{\partial u_{1}}\frac{\partial x_{j}}{\partial u_{1}}\frac{\partial^{2}x_{k}}{\partial u_{\beta}\partial u_{\alpha}}=:\left(\begin{array}{cc} L & M\\ M & N \end{array}\right)_{\alpha\beta}</math>

Die <math>h_{\alpha\beta}</math> lassen sich mit den Christoffel-Symbolen zweiter Art in Verbindung bringen. Es gelte im Folgenden <math>\hat{n}=\vec{e}_{3}^{\ *}</math>:

:<math>h_{\alpha\beta}=\hat{n}\cdot\partial_{\beta}\vec{e}_{\alpha}=\hat{n}\cdot\sum_{i=1}^{3}\vec{e}_{i}\Gamma_{\alpha\beta}^{i}=\sum_{i=1}^{3}\underbrace{\vec{e}_{3}^{\ *}\cdot\vec{e}_{i}}_{\delta_{i}^{3}}\Gamma_{\alpha\beta}^{i}=\Gamma_{\alpha\beta}^{3}</math>

Daraus folgen die [[Gauß-Weingarten-Gleichungen]]:

:<math>\partial_{\beta}\vec{e}_{\alpha}=\sum_{\gamma=1}^{2}\Gamma_{\alpha\beta}^{\gamma}\vec{e}_{\gamma}+h_{\alpha\beta}\hat{n}\ ,\quad\partial_{\beta}\hat{n}=-\sum_{\gamma=1}^{2}h_{\ \beta}^{\gamma}\vec{e}_{\gamma}</math>

Die zweite Fundamentalform hängt von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab und wird für Krümmungsberechnungen benötigt. Mit Hilfe des gemischt kontravariant-kovarianten Tensors <math>h_{\ \beta}^{\alpha}</math>

:<math>h_{\ \beta}^{\alpha}=\sum_{\gamma=1}^{2}\tilde{g}^{\alpha\gamma}h_{\gamma\beta}=\frac{1}{\tilde{g}}\left(\begin{array}{cc} GL-FM & GM-FN\\ -FL+EM & -FM+EN \end{array}\right)_{\ \beta}^{\alpha}</math>

werden die [[Hauptkrümmung]]en (Eigenwerte von <math>h_{\ \beta}^{\alpha}</math>), die [[mittlere Krümmung]] <math>H=\operatorname{Spur}\left(h_{\ \beta}^{\alpha}\right)/2</math> und die [[Gaußsche Krümmung]] <math>K=\det\left(h_{\ \beta}^{\alpha}\right)</math> der Fläche definiert.

Der [[Riemannscher Krümmungstensor|Riemannsche Krümmungstensor]] lässt sich durch das Tensorprodukt <math>R_{\ \alpha\beta\gamma}^{\nu}=h_{\ \beta}^{\nu}h_{\alpha\gamma}-h_{\ \gamma}^{\nu}h_{\alpha\beta}</math> ausdrücken. Weitere Integrabilitätsbedingungen sind die [[Mainardi-Codazzi-Gleichungen]] <math>\nabla_{\gamma}h_{\alpha\beta}-\nabla_{\beta}h_{\alpha\gamma}=0</math>.

== Integrationselemente in 3 Dimensionen ==

=== Kurvenelement ===

Ein vektorielles [[Wegelement]] oder [[Kurvenintegral|Kurvenelement]] <math>\mathrm{d} \vec r</math> kann als [[totales Differential]] des Ortsvektors dargestellt werden.
:<math>\text{d}\vec{r}=\sum\limits _{i=1}^{3}{\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_{i}}\text{d}u_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{3}{\vec{b}_{u_{i}}\text{d}u_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{3}{\vec{e}_{u_{i}}h_{u_{i}}\text{d}u_{i}}</math>

Die [[Differential (Mathematik)|Differentiale]] in Richtung der <math>u_{i}</math>-Koordinatenlinien können identifiziert werden:
:<math>\operatorname{d}\vec{r}_{u_{i}}=\vec{b}_{u_{i}}\operatorname{d}u_{i}=\vec{e}_{u_{i}}h_{u_{i}}\operatorname{d}u_{i}</math>

Es ist zu beachten, dass der Index in <math>\operatorname{d}\vec{r}_{u_{i}}</math> kein kovarianter Index ist.

Mit Hilfe des vektoriellen Wegelements können nun Bogen-, Flächen- und Volumenelement bestimmt werden.

=== Bogenelement ===

Das skalare Wegelement oder Längenelement bzw. Bogenelement ist definiert über <math>\text{d}s =|\text{d}\vec{r}\,|</math>

:<math>\begin{align}
\text{d}s &=\sqrt{\text{d}\vec{r}\,^2}
= \sqrt{\sum_{i=1}^3 \operatorname{d}\vec{r}_{u_i}\cdot\operatorname{d}\vec{r}_{u_i}}
= \sqrt{\sum_{i,j=1}^3 \vec{b}_{u_i}\cdot\vec{b}_{u_j}\text{d}u_i\text{d}u_j}
= \sqrt{\sum_{i,j=1}^3 g_{ij}\,\text{d}u_i\text{d}u_j}\\
&= \sqrt{g_{11}\left(\text{d}u_1\right)^2 + g_{22}\left(\text{d}u_2\right)^2 + g_{33}\left(\text{d}u_3\right)^2 + 2g_{12}\text{d}u_1\text{d}u_2 + 2g_{13}\text{d}u_1\text{d}u_3 + 2g_{23}\text{d}u_2\text{d}u_3}
\end{align}</math>

Mit physikalischen (normierten) Basisvektoren gilt:

:<math>\text{d}s=\sqrt{\left(h_{u_1}\text{d}u_1\right)^2+\dots + 2\left(\vec{e}_{u_1}\cdot\vec{e}_{u_2}\right)h_{u_1}h_{u_2}\text{d}u_1\text{d}u_2+\cdots }</math>

für orthogonale Koordinaten <math>\vec{e}_{u_i}\cdot \vec{e}_{u_j}=\delta _{ij}</math> gilt: <math>g_{ij}=h_{u_i}^2\delta_{ij}</math>

:<math>\text{d}s=\sqrt{\left( h_{u_1}\text{d}u_1 \right)^2+\left( h_{u_2}\text{d}u_2 \right)^2+\left( h_{u_3}\text{d}u_3 \right)^2}</math>

Spezialfall: Verläuft die Kurve in der Ebene <math>u_{3}=\text{const}</math>, dann gilt die [[erste Fundamentalform]]

:<math>\begin{align}
\text{d}s &= \sqrt{\left(h_{u_1}\text{d}u_1\right)^2 + \left(h_{u_2}\text{d}u_2\right)^2 + 2\left(\vec{e}_{u_1}\cdot\vec{e}_{u_2}\right)h_{u_1}h_{u_2}\text{d}u_1\text{d}u_2}\\
&=\sqrt{E\left(\text{d}u_1\right)^2+G\left(\text{d}u_2\right)^2 + 2F\text{d}u_1\text{d}u_2}
\end{align}</math>

=== Flächenelement ===

Das vektorielle [[Oberflächenintegral|Flächenelement]] einer Koordinatenfläche lautet

:<math>\text{d}\vec{A}=\sum_{i=1}^{3}\text{d}\vec{A}_{i}\quad\text{mit}\quad\epsilon_{ijk}\text{d}\vec{A}_{i}=\pm\text{d}\vec{r}_{u_{j}}\times\text{d}\vec{r}_{u_{k}}=\pm\vec{b}_{u_{j}}\times\vec{b}_{u_{k}}\,\text{d}u_{j}\text{d}u_{k}=\pm\sqrt{g}\,\vec{b}_{u_{i}}^{\ *}\,\text{d}u_{j}\text{d}u_{k}</math>

Das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] hängt von der Orientierung des Flächenelements ab. Die Größe <math>\text{d}A=|\text{d}\vec{A}|</math> heißt skalares Flächenelement.

Wir betrachten ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Fläche <math>u_{3}=\text{const}</math>:

:<math>\text{d}\vec{A}_{3}=\pm\text{d}\vec{r}_{u_{1}}\times\text{d}\vec{r}_{u_{2}}=\pm\vec{b}_{u_{1}}\times\vec{b}_{u_{2}}\,\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}=\pm\sqrt{g}\,\vec{b}_{u_{3}}^{\ *}\,\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}</math>

:<math>\begin{align}
\text{d}A_{3} & =\left|\text{d}\vec{A}_{3}\right|=\left|\vec{b}_{u_{1}}\times\vec{b}_{u_{2}}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}=\left|\sqrt{g}\,\vec{b}_{u_{3}}^{\ *}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}=\left|\vec{n}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\\
& =\sqrt{\vec{b}_{u_{1}}^{\ 2}\vec{b}_{u_{2}}^{\ 2}-\left(\vec{b}_{u_{1}}\cdot\vec{b}_{u_{2}}\right)^{2}}\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}=\sqrt{EG-F^{2}}\,\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}=\sqrt{\tilde{g}}\,\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}
\end{align}</math>

Mit physikalischen (normierten) Basisvektoren gilt:

:<math>\text{d}\vec{A}_{3}=\pm\vec{e}_{u_{1}}\times\vec{e}_{u_{2}}h_{u_{1}}h_{u_{2}}\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}</math>

:<math>\text{d}A_{3}=\left|\vec{e}_{u_{1}}\times\vec{e}_{u_{2}}\right|\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}</math>

Für orthogonale Koordinaten gilt:

:<math>\text{d}\vec{A}_{3}=\pm\vec{e}_{u_{3}}h_{u_{1}}h_{u_{2}}\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}=\pm\vec{e}_{u_{3}}\sqrt{EG}\,\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}</math>

:<math>\text{d}A_{3}=\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}=\sqrt{EG}\,\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}</math>

=== Volumenelement ===

Das [[Volumenelement]] lautet, wobei sich der Betrag der [[Funktionaldeterminante]] <math>\sqrt{g}</math> identifizieren lässt:
:<math>\text{d}V=\left|\text{d}\vec{r}_{u_{1}}\cdot\left(\text{d}\vec{r}_{u_{2}}\times\text{d}\vec{r}_{u_{3}}\right)\right|=\left|\det[\text{d}\vec{r}_{u_{1}},\text{d}\vec{r}_{u_{1}},\text{d}\vec{r}_{u_{3}}]\right|=\left|\det[\vec{b}_{u_{1}},\vec{b}_{u_{2}},\vec{b}_{u_{3}}]\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}=\left|\sqrt{g}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}</math>

Mit physikalischen (normierten) Basisvektoren gilt:

:<math>\text{d}V=\left|\det[\vec{e}_{u_{1}},\vec{e}_{u_{2}},\vec{e}_{u_{3}}]\right|\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}=\left|\sqrt{g}\right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}</math>

Für orthogonale Koordinaten gilt:

:<math>\text{d}V=\left| h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}} \right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}</math>

== Differentialoperatoren in 3 Dimensionen ==

=== Spezialfall: Orthogonale Koordinatensysteme ===
Dieser Spezialfall ist aus verschiedenen Gründen besonders wichtig (z. B. für [[Physik]]er und [[Ingenieur]]e), u. a. weil die gebräuchlichsten krummlinigen Koordinatensysteme (etwa [[Kugelkoordinaten|sphärische]] und [[elliptische Koordinaten|elliptische]] Koordinaten) dazugehören und weil erschwerende mathematische Begriffe, etwa ''[[Kovarianz (Physik)|kovariant]]'' und ''[[Kontravarianz (Physik)|kontravariant]]'' bzw. der mit dem *-Symbol verbundene Begriff des ''[[Dualität (Mathematik)|Dualen]]'' bzw. die ''Γ-Koeffizienten'' hier entfallen. Ferner hat man es immer mit orthogonalen Basen (orthonormierte Einheitsvektoren) zu tun. (Die Basisvektoren sind nur orthogonal, aber nicht notwendig normiert. Erst das zugehörige Einheitsvektorsystem ist orthonormiert.)<ref>Normierte Vektoren werden nicht durch den Vektorpfeil, sondern durch den <math>\hat{}</math>-Operator gekennzeichnet.</ref>

Es werden die [[Differentialoperator]]en Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace für ''orthogonale'' Koordinatensysteme angegeben<ref>Der Gradient einer Funktion <math>\phi (\mathbf r)</math> gibt den Vektor des steilsten Anstiegs dieser Funktion an, der Skalar <math>\rm{div } \ \mathbf a(\mathbf r)</math> bzw. das Vektorfeld <math>\rm{rot} \ \mathbf a</math> geben Quellen- bzw. Wirbeldichte des Vektorfeldes <math>\mathbf a</math> an. Ihre Bedeutung ist unabhängig von den benutzten Koordinaten.</ref>:

* [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] einer skalaren Funktion <math>\Phi(\mathbf u)</math> (eigentlich einer Schachtelfunktion):
:<math>\begin{align}
\vec{\nabla}\Phi & =\sum\limits _{i=1}^{3}{\vec{e}_{u_{i}}\frac{1}{h_{u_{i}}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{i}}}\\
& =\vec{e}_{u_{1}}\frac{1}{h_{u_{1}}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{1}}+\vec{e}_{u_{2}}\frac{1}{h_{u_{2}}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{2}}+\vec{e}_{u_{3}}\frac{1}{h_{u_{3}}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{3}}
\end{align}</math>

Beachte, dass nicht nur <math>\Phi</math>, sondern alle genannten Größen, auch die Basisvektoren und die h-Koeffizienten, von '''u''' abhängen können.

* [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]:  
:<math>\begin{align}
\vec{\nabla}\cdot\vec{a} & =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial}{\partial u_{j}}\left(\frac{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}}a_{u_{j}}\right)\\
& =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left[\frac{\partial}{\partial u_{1}}\left(h_{u_{2}}h_{u_{3}}a_{u_{1}}\right)+\frac{\partial}{\partial u_{2}}\left(h_{u_{1}}h_{u_{3}}a_{u_{2}}\right)+\frac{\partial}{\partial u_{3}}\left(h_{u_{1}}h_{u_{2}}a_{u_{3}}\right)\right]
\end{align}</math>

* [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]]:  
:<math>\begin{align}
\vec{\nabla}\times\vec{a} & =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\sum_{i,j,k=1}^{3}\epsilon_{ijk}h_{u_{i}}\vec{e}_{u_{i}}\frac{\partial}{\partial u_{j}}\left(h_{u_{k}}a_{u_{k}}\right)\\
& =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left|\begin{matrix}h_{u_{1}}\vec{e}_{u_{1}} & h_{u_{2}}\vec{e}_{u_{2}} & h_{u_{3}}\vec{e}_{u_{3}}\\ \frac{\partial}{\partial u_{1}} & \frac{\partial}{\partial u_{2}} & \frac{\partial}{\partial u_{3}}\\ h_{u_{1}}a_{u_{1}} & h_{u_{2}}a_{u_{2}} & h_{u_{3}}a_{u_{3}} \end{matrix}\right|\\
& =\frac{\vec{e}_{u_{1}}}{h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left(\frac{\partial(h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{2}}-\frac{\partial(h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{3}}\right)+\frac{\vec{e}_{u_{2}}}{h_{u_{1}}h_{u_{3}}}\left(\frac{\partial(h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{3}}-\frac{\partial(h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{1}}\right)+\frac{\vec{e}_{u_{3}}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}}\left(\frac{\partial(h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{1}}-\frac{\partial(h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{2}}\right)
\end{align}</math>

* [[Laplace-Operator]]:  
:<math>\begin{align}
\Delta\Phi & =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial}{\partial u_{j}}\left(\frac{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}^{2}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{j}}\right)\\
& =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left[\frac{\partial}{\partial u_{1}}\left(\frac{h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{1}}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{1}}\right)+\frac{\partial}{\partial u_{2}}\left(\frac{h_{u_{1}}h_{u_{3}}}{h_{u_{2}}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{2}}\right)+\frac{\partial}{\partial u_{3}}\left(\frac{h_{u_{1}}h_{u_{2}}}{h_{u_{3}}}\frac{\partial\Phi}{\partial u_{3}}\right)\right]
\end{align}</math>

Man sollte hier also nicht einfach <math>\Delta =\nabla^2 </math> setzen, sondern die Definition <math>\Delta \Phi=\rm{div \ grad} \ \phi </math> benutzen. Die oben wiedergegebenen Ergebnisse erhält man in der Tat leichter auf anschaulichem Wege als aus der meist ziemlich umständlichen Rechnung, wenn man von den vorhandenen koordinatenunabhängigen Definitionen der benutzten Größen <math>\rm{grad}, \ \rm{div}</math> und <math>\rm{rot}</math> ausgeht.

=== Konforme Abbildung ===
Nützliche orthogonale krummlinige Koordinaten in zwei Dimensionen werden unter anderem durch [[konforme Abbildung]]en erzeugt. Solche krummlinigen Koordinaten sind nicht nur orthogonal, sondern [[winkeltreu]] für beliebige Winkel. Das bedeutet u. a., dass die Längenverhältnisse zweier Basisvektoren, z. B. <math> | h_{u_k} | : |h_{ u_1}|, \ k=2,3,\dots ,</math> unabhängig von ''k'' den Wert 1 ergeben, sodass nicht etwa aus einer Sphäre ein Ellipsoid entsteht.

=== Allgemeine krummlinige Koordinatensysteme ===

Schließlich werden in allgemeinen krummlinigen Koordinatensystem die Differentialoperatoren angegeben.

Im Folgenden wird die ''natürliche Basis'' benutzt und die korrekte Notation der Tensoranalysis (kontravariant = hochgestellter Index, kovariant = tiefgestellter Index) verwendet. <math>\Phi</math> sei ein skalares Feld und <math>\vec{a}=a^{i}\vec{b}_{i}=a_{i}\vec{b}^{\,\, i}</math> ein Vektorfeld.

Es wird die Schreibweise <math>\partial_{i}=\tfrac{\partial}{\partial x^{i}}</math> verwendet. Weiterhin werden die Christoffel-Symbole <math>\Gamma_{ik}^{j}</math>, die durch <math>\partial_{k}\vec{b}_{i}=\sum_{j}\Gamma_{ik}^{j}\vec{b}_{j}</math> definiert sind, sowie die kovariante Ableitung <math>\nabla_{i}</math> benutzt. Die kovariante Ableitung eines Skalars ist <math>\nabla_{k}\Phi=\partial_{k}\Phi</math> und die kovariante Ableitung eines Vektors ist <math>\nabla_{k}a^{i}=\partial_{k}a^{i}+\sum_{j}\Gamma_{kj}^{i}a^{j}</math> bzw. <math>\nabla_{k}a_{i}=\partial_{k}a_{i}-\sum_{j}\Gamma_{ki}^{j}a_{j}</math>.

* Gradient eines skalaren Feldes
:<math>\mathrm{grad}\,\Phi=\sum_{i}(\nabla_{i}\Phi)\vec{b}^{\,\, i}=\sum_{i}(\partial_{i}\Phi)\vec{b}^{\,\, i}</math>

* Gradient eines Tensorfeldes

: Für Tensoren <math>A</math> der Stufe <math>n\geq 1</math> gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten den Gradient zu definieren: Der Rechtsgradient als
:<math>\mathrm{grad}\, A = A \otimes \nabla = \sum_{k}(\partial_{k}A)\otimes\vec{b}^{\,\, k}</math>
: und der Linksgradient als
:<math>\mathrm{grad}\, A = \nabla \otimes A = \sum_{k}\vec{b}^{\,\, k}\otimes(\partial_{k}A)</math>.
: Hier wird im Folgenden die Rechtsversion verwendet.

* Gradient eines Vektorfeldes
:<math>\begin{align}
\mathrm{grad}\,\vec{a} & =\sum_{k}(\partial_{k}\vec{a})\otimes\vec{b}^{\,\, k}\\
& =\sum_{i,k}(\nabla_{k}a^{i})\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}^{\,\, k}=\sum_{i,k}(\partial_{k}a^{i}+a^{l}\Gamma_{lk}^{i})\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}^{\,\, k}\\
& =\sum_{i,k}(\nabla_{k}a_{i})\vec{b}^{\,\, i}\otimes\vec{b}^{\,\, k}=\sum_{i,k}(\partial_{k}a_{i}-a_{l}\Gamma_{ik}^{l})\vec{b}^{\,\, i}\otimes\vec{b}^{\,\, k}
\end{align}</math>

* Gradient eines Tensors zweiter Stufe

:<math>\begin{align}
\operatorname{grad}\underline{\underline{S}} & =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S_{ij}\,\vec{b}^{~i}\otimes\vec{b}^{~j}]\otimes\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial u^{k}}-\Gamma_{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma_{kj}^{l}S_{il}\right]\vec{b}^{~i}\otimes\vec{b}^{~j}\otimes\vec{b}^{~k}\\
& =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S^{ij}\,\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}_{j}]\otimes\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\cfrac{\partial S^{ij}}{\partial u^{k}}+\Gamma_{kl}^{i}S^{lj}+\Gamma_{kl}^{j}S^{il}\right]\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}_{j}\otimes\vec{b}^{~k}\\
& =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S_{~j}^{i}\,\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}^{~j}]\otimes\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\cfrac{\partial S_{~j}^{i}}{\partial u^{k}}+\Gamma_{kl}^{i}S_{~j}^{l}-\Gamma_{kj}^{l}S_{~l}^{i}\right]\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}^{~j}\otimes\vec{b}^{~k}\\
& =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S_{i}^{~j}\,\vec{b}^{~i}\otimes\vec{b}_{j}]\otimes\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\cfrac{\partial S_{i}^{~j}}{\partial u^{k}}-\Gamma_{ik}^{l}S_{l}^{~j}+\Gamma_{kl}^{j}S_{i}^{~l}\right]\vec{b}^{~i}\otimes\vec{b}_{j}\otimes\vec{b}^{~k}
\end{align}</math>

* Divergenz eines Vektorfeldes

:<math>\begin{align}
\mathrm{div}\,\vec{a} & =\operatorname{Tr}(\mathrm{grad}\,\vec{a})\\
& =\sum_{i}\nabla_{i}a^{i}=\sum_{i}\partial_{i}a^{i}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^{i}a^{j}\\
& =\sum_{i,k}\nabla_{i}a_{k}g^{ik}=\sum_{k}\left(\sum_{i}\partial_{i}a_{k}-\sum_{i,j}\Gamma_{ik}^{j}a_{j}\right)g^{ik}\\
& =\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_{i}(\sqrt{g}a^{i})\end{align}</math>

* Divergenz eines Tensorfeldes

: Für Tensoren <math>A</math> der Stufe <math>n\geq 2</math> gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, die Divergenz zu definieren: Die Rechtsdivergenz als <math>\mathrm{div}\, A = A \cdot \nabla</math> und die Linksdivergenz als <math>\mathrm{div}\, A = \nabla \cdot A</math>. Hier wird im Folgenden die Rechtsversion verwendet.

* Divergenz eines Tensors zweiter Stufe

:<math>\begin{align}
\operatorname{div}\underline{\underline{S}} & =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S^{ij}\,\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}_{j}]\cdot\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\nabla_{k}S^{ij}\right]\vec{b}_{i}\otimes\underbrace{\vec{b}_{j}\cdot\vec{b}^{~k}}_{\delta_{j}^{k}}=\sum_{i,k}\left[\nabla_{k}S^{ik}\right]\vec{b}_{i}\\
& =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S_{i}^{~j}\,\vec{b}^{~i}\otimes\vec{b}_{j}]\cdot\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\nabla_{k}S_{i}^{~j}\right]\vec{b}^{~i}\otimes\underbrace{\vec{b}_{j}\cdot\vec{b}^{~k}}_{\delta_{j}^{k}}=\sum_{i,k}\left[\nabla_{k}S_{i}^{~k}\right]\vec{b}^{~i}\\
& =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S_{~j}^{i}\,\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}^{~j}]\cdot\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\nabla_{k}S_{~j}^{i}\right]\vec{b}_{i}\otimes\underbrace{\vec{b}^{~j}\cdot\vec{b}^{~k}}_{g^{jk}}=\sum_{i,k}\left[\nabla_{k}S^{ik}\right]\vec{b}_{i}\\
& =\sum_{i,j,k}\partial_{k}[S_{ij}\,\vec{b}^{~i}\otimes\vec{b}^{~j}]\cdot\vec{b}^{~k}=\sum_{i,j,k}\left[\nabla_{k}S_{ij}\right]\vec{b}^{~i}\otimes\underbrace{\vec{b}^{~j}\cdot\vec{b}^{~k}}_{g^{jk}}=\sum_{i,k}\left[\nabla_{k}S_{i}^{~k}\right]\vec{b}^{~i}
\end{align}</math>

* Rotation eines Tensorfeldes

: Für Tensoren <math>A</math> der Stufe <math>n\geq 1</math> gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, die Rotation zu definieren: Die Rechtsrotation als <math>\mathrm{rot}\, A = A \otimes \nabla</math> und die Linksrotation als <math>\mathrm{rot}\, A = \nabla \otimes A</math>. Hier wird im Folgenden die Rechtsversion verwendet:

:<math>\mathrm{rot}\, A = A \otimes \nabla = -A \times \nabla = - \partial_k A \times \vec{b}^{\ k}</math>

* Rotation eines Vektorfeldes
:<math>\begin{align}
\mathrm{rot}\,\vec{a} & =\sum_{i,j,k}\mathcal{E}^{ijk}\nabla_{i}a_{j}\vec{b}_{k}=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i,j,k}\epsilon^{ijk}(\partial_{i}a_{j})\vec{b}_{k}=\frac{1}{\sqrt{g}}\left|\begin{matrix}\vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \vec{b}_{3}\\
\partial_{1} & \partial_{2} & \partial_{3}\\
a_{1} & a_{2} & a_{3}
\end{matrix}\right|=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i,j,k,l}\epsilon^{ijk}(\partial_{i}a^{l}g_{jl})\vec{b}_{k}\\
& =\sum_{i,j,k}\mathcal{E}_{ijk}\nabla^{i}a^{j}\vec{b}^{\ k}=\sqrt{g}\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}(\partial^{i}a^{j})\vec{b}^{\ k}=\sqrt{g}\left|\begin{matrix}\vec{b}^{\ 1} & \vec{b}^{\ 2} & \vec{b}^{\ 3}\\
\partial^{1} & \partial^{2} & \partial^{3}\\
a^{1} & a^{2} & a^{3}
\end{matrix}\right|
\end{align}</math>

* Laplace eines skalaren Feldes
:<math>\begin{align}
\Delta\Phi & =\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,\Phi) \\
& =\sum_{i}\nabla_{i}(\nabla^{i}\Phi)=\sum_{i,j}\nabla_{i}g^{ij}\nabla_{j}\Phi=\sum_{i,j}\partial_{i}g^{ij}\partial_{j}\Phi+\sum_{i,j,k}\Gamma_{ij}^{i}g^{jk}\partial_{k}\Phi \\
& =\sum_{i,j}\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_{i}(\sqrt{g}\, g^{ij}\partial_{j}\Phi)
\end{align}</math>

==== Gradient und totales Differential ====

Im Folgenden soll der Gradient in krummlinigen Koordinaten hergeleitet werden. Das totale Differential des Ortsvektors lässt sich darstellen als:

:<math>\mathrm{d}\vec{r}=\sum_{j}\partial_{j}\vec{r}\,\mathrm{d}u^{j}=\sum_{j}\vec{b}_{j}\,\mathrm{d}u^{j}\quad\Rightarrow\quad\vec{b}^{\,\,i}\cdot\mathrm{d}\vec{r}= \sum_{j}\underbrace{\vec{b}^{\,\,i}\cdot\vec{b}_{j}}_{\delta_{j}^{i}}\,\mathrm{d}u^{j}=\mathrm{d}u^{i}</math>

Betrachte nun ein beliebiges Skalarfeld <math>\Phi</math>. Sein totales Differential lautet (wobei obige Darstellung von <math>\mathrm{d}u^{i}</math> verwendet wird):

:<math>\mathrm{d}\Phi=\sum_{i}(\partial_{i}\Phi)\,\mathrm{d}u^{i}=\sum_{i}(\partial_{i}\Phi)\,\vec{b}^{\,\, i}\cdot\mathrm{d}\vec{r}</math>

Der Gradient <math>\nabla\Phi</math> ist definiert über

:<math>\mathrm{d}\Phi=\langle\nabla\Phi,\mathrm{d}\vec{r}\rangle=\nabla\Phi\cdot\mathrm{d}\vec{r}</math>

und lässt sich also identifizieren als:

:<math>\nabla\Phi=\sum_{i}(\partial_{i}\Phi)\,\vec{b}^{\,\, i}=\sum_{i}\frac{\partial\Phi}{\partial u^{i}}\,\vec{b}^{\,\, i}</math>

Für orthogonale Koordinaten ist ein kovarianter Basisvektor gleich <math>\vec{b}_{i}=h_{i}\vec{e}_{i}</math> und der dazu duale kontravariante Basisvektor <math>\vec{b}^{\,\, i}=\frac{1}{h_{i}}\vec{e}_{i}</math>. Somit der Gradient für orthogonale Koordinaten:

:<math>\nabla\Phi=\sum_{i}\frac{\partial\Phi}{\partial u^{i}}\,\vec{b}^{\,\, i}=\sum_{i}\frac{\partial\Phi}{\partial u^{i}}\,\frac{1}{h_{i}}\vec{e}_{i}</math>

Für <math>\Phi=u^k</math> erhält man als Gradient den kontravarianten Basisvektor <math>\vec{b}^{\,\, k}</math>, also den Normalenvektor zur Koordinatenfläche <math>u^k=\text{const.}</math>.

:<math>\nabla u^{k}=\sum_{i}(\partial_{i}u^{k})\,\vec{b}^{\,\, i}=\sum_{i}\underbrace{\frac{\partial u^{k}}{\partial u^{i}}}_{\delta_{i}^{k}}\,\vec{b}^{\,\, i}=\vec{b}^{\,\, k}</math>

==== Spezielle Christoffel-Symbole ====

Bei der Berechnung der Divergenz wird das Christoffel-Symbol <math>\Gamma_{ij}^{i}</math> benötigt. Dieses lässt sich durch die Determinante <math>g</math> des metrischen Tensors ausdrücken:

:<math>\sum_{i}\Gamma_{ij}^{i}=\sum_{i,k}\cfrac{g^{ki}}{2}\frac{\partial g_{ik}}{\partial u^{j}}=\sum_{i,k}\cfrac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial g_{ik}}\frac{\partial g_{ik}}{\partial u^{j}}=\cfrac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial u^{j}}=\frac{1}{2g}\partial_{j}g=\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_{j}\sqrt{g}</math>

was aus <math>g^{ij}=\frac{1}{g}\frac{\partial g}{\partial g_{ji}}</math> und folgender Beziehung folgt:

:<math>\sum_{ij}g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial u_{k}}=\sum_{ijl}\Gamma_{ik}^{l}g_{lj}g^{ij}+\sum_{ijl}\Gamma_{jk}^{l}g_{il}g^{ij}=\sum_{il}\Gamma_{ik}^{l}\delta_{l}^{i}+\sum_{jl}\Gamma_{jk}^{l}\delta_{l}^{j}=\sum_{i}\Gamma_{ik}^{i}+\sum_{j}\Gamma_{jk}^{j}=2\sum_{i}\Gamma_{ik}^{i}</math>

Somit erhält man für Divergenz und Laplace:

:<math>\begin{align}\mathrm{div}\,\vec{a} & =\sum_{i}\partial_{i}a^{i}+\sum_{i,j}\Gamma_{ji}^{j}a^{i}=\sum_{i}\partial_{i}a^{i}+\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{g}}(\partial_{i}\sqrt{g})a^{i} =\sum_{i}\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_{i}(\sqrt{g}a^{i})\end{align}</math>

:<math>\begin{align} \Delta\Phi & =\sum_{i}\partial_{i}g^{ij}\partial_{j}\Phi+\sum_{i,j,k}\Gamma_{ki}^{k}g^{ij}\partial_{j}\Phi=\sum_{i}\partial_{i}g^{ij}\partial_{j}\Phi+\sum_{i,j}\frac{1}{\sqrt{g}}(\partial_{i}\sqrt{g})g^{ij}\partial_{j}\Phi =\sum_{i,j}\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_{i}(\sqrt{g}\, g^{ij}\partial_{j}\Phi)\end{align} </math>

==== Divergenz in koordinatenfreier Darstellung ====

Die koordinatenfreie Definition der Divergenz führt diese als „Quellendichte“
ein:

:<math>
\operatorname{div}\vec{F}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{1}{\Delta V}\oint\limits _{\partial(\Delta V)}\!\mathrm{d}\vec{A}\cdot\vec{F}
</math>

Dabei ist <math>\Delta V</math> ein beliebiges Volumen, wobei der Fluss <math>\mathrm{d}\vec{A}\cdot\vec{F}</math>
über den Rand <math>\partial(\Delta V)</math> dieses Volumenelements integriert
wird. Im Folgenden sei dieses Volumen ein (infinitesimal) kleines
Parallelepiped am Raumpunkt <math>\vec{r}=(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})</math>,
das von den Vektoren <math>\vec{b}_{i}\Delta u^{i}=\vec{e}_{i}h_{i}\Delta u^{i}</math>
in Richtung der <math>u^{i}</math>-Koordinatenlinien aufgespannt wird, d. h.
jede Koordinate läuft im Intervall <math>u^{i}\in I^{i}:=[u_{0}^{i},u_{0}^{i}+\Delta u^{i}]</math>.
Die Kantenlänge ist <math>h_{i}\Delta u^{i}</math>, wobei die Kanten <math>\vec{e}_{i}</math>
nicht notwendigerweise orthogonal zueinander sind. Das Volumen berechnet
sich im Allgemeinen zu:

:<math>
\Delta V=\left|\det[\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}]\right|\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}=\sqrt{g}\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}
</math>

Das Parallelepiped ist für jede Koordinate von den Flächen <math>u^{i}=u_{0}^{i}=\mathrm{const}</math>
und <math>u^{i}=u_{0}^{i}+\Delta u^{i}=\mathrm{const}</math> begrenzt. Das Flächenelement
für eine Koordinatenfläche <math>u^{i}=u_{0}^{i}=\mathrm{const}</math> lautet
in drei Dimensionen

:<math>
\text{d}\vec{A}^{i}=\pm\sum_{j,k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\vec{b}_{j}\times\vec{b}_{k}\,\text{d}u^{j}\text{d}u^{k}=\pm\sum_{j,k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\sqrt{g}\,\vec{b}^{\ i}\,\text{d}u^{j}\text{d}u^{k}
</math>

und der lokale Fluss durch dieses Flächenelement für das Vektorfeld
<math>\vec{F}=\sum_{l}F^{l}\vec{b}_{l}</math> ist:

:<math>
\mathrm{d}\vec{A}^{i}\cdot\vec{F}=\pm\sum_{j,k,l=1}^{3}\epsilon_{ijk}\sqrt{g}\, F^{l}\underbrace{\vec{b}^{\ i}\cdot\vec{b}_{l}}_{\delta_{l}^{i}}\,\text{d}u^{j}\text{d}u^{k}=\pm\sum_{j,k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\sqrt{g}\, F^{i}\,\text{d}u^{j}\text{d}u^{k}
</math>

Somit ist der Fluss durch die Fläche <math>u^{1}=u_{0}^{1}</math> (nach außen
zeigendes vektorielles Flächenelement, deswegen <math>-\mathrm{d}\vec{A}^{\,1}</math>)

:<math>\begin{align}
\Phi_{1a} & =\int\limits _{(u^{2},u^{3})\in I^{2}\times I^{3}}\!\left[-\mathrm{d}\vec{A}^{\,1}\cdot\vec{F}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u^{3})}=\int\limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\mathrm{d}u^{2}\int\limits _{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3}+\Delta u^{3}}\!\mathrm{d}u^{2}\left[-\sqrt{g}\, F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u^{3})}\\
& \approx\left[-\sqrt{g}\, F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}
\end{align}</math>

und der Fluss durch die Fläche <math>u^{1}=u_{0}^{1}+\Delta u^{1}</math>

:<math>\begin{align}
\Phi_{1b} & =\int\limits _{(u^{2},u^{3})\in I^{2}\times I^{3}}\!\left[\mathrm{d}\vec{A}^{\,1}\cdot\vec{F}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u^{3})}=\int\limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\mathrm{d}u^{2}\int\limits _{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3}+\Delta u^{3}}\!\mathrm{d}u^{2}\left[\sqrt{g}\, F^{1}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u^{3})}\\
& \approx\left[\sqrt{g}\, F^{1}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}
\approx\left[\sqrt{g}\, F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}+\left[\frac{\partial\sqrt{g}\, F^{1}}{\partial u^{1}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}
\end{align}</math>

Dabei wurde der Integrand an der Stelle <math>(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})</math>
in erster Ordnung in <math>\Delta u^{i}</math> entwickelt. Als Bilanz aus beiden
erhält man

:<math>
\Phi_{1}=\Phi_{1a}+\Phi_{1b}=\left[\frac{\partial\sqrt{g}\, F^{1}}{\partial u^{1}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}
</math>

Analog für die beiden anderen Koordinaten

:<math>
\frac{1}{\Delta V}\oint\limits _{\partial(\Delta V)}\!\mathrm{d}\vec{A}\cdot\vec{F}=\frac{1}{\Delta V}\sum_{i=1}^{3}\Phi_{i}=\frac{1}{\sqrt{g}\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\sqrt{g}\, F^{i}}{\partial u^{i}}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial\sqrt{g}\, F^{i}}{\partial u^{i}}
</math>

Somit lautet die Divergenz in natürlichen <math>F^{i}</math> bzw. physikalischen Koordinaten <math>\tilde{F}^{i}</math>:

:<math>
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i}\partial_{i}\sqrt{g}\, F^{i}=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i}\partial_{i}\sqrt{g}\,\tilde{F}^{i}/h_{i}
</math>

Für orthogonale Koordinaten gilt:

:<math>
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\sum_{i}\partial_{i}\frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}}\tilde{F}^{i}
</math>

==== Rotation in koordinatenfreier Darstellung ====

Die koordinatenfreie Definition der Rotation ist gegeben durch

:<math>
(\operatorname{rot}\vec{F})\cdot\hat{n}=\lim_{\Delta A\to 0}\frac{1}{\Delta A}\oint\limits _{\partial(\Delta A)}\!\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}
</math>

Dabei ist <math>\Delta A</math> eine beliebige Fläche mit Normaleneinheitsvektor <math>\hat{n}</math>, wobei das Linienintegral <math>\int \mathrm{d}\vec{r}\cdot\vec{F}</math> über den Rand <math>\partial(\Delta A)</math> dieser Fläche läuft.

Zunächst wird hier eine Fläche mit <math>\hat{n}=\vec{b}^{\;3}/ |\vec{b}^{\;3}|</math> betrachtet. Die linke Seite wird dann zu:
:<math>(\operatorname{rot}\vec{F})\cdot\hat{n}=\sum_{i=1}^{3}(\operatorname{rot}\vec{F})^{i}\vec{b}_{i}\cdot\frac{\vec{b}^{\;3}}{|\vec{b}^{\;3}|}=(\operatorname{rot}\vec{F})^{3}\frac{1}{|\vec{b}^{\;3}|}</math>

Im Folgenden sei die Fläche <math>\Delta A</math> ein (infinitesimal) kleines Parallelogramm am Raumpunkt <math>\vec{r}=(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})</math>, das von den Vektoren <math>\vec{b}_{1}\Delta u^{1}</math> und <math>\vec{b}_{2}\Delta u^{2}</math> aufgespannt wird. Der Flächeninhalt ist <math>\Delta A =|\vec{b}_{1}\Delta u^{1}\times\vec{b}_{2}\Delta u^{2}|=\sqrt{g}\,|\vec{b}^{\;3}|\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}</math>.

Als (geschlossener) Integrationsweg dienen die Kanten des Parallelogramms:
:<math>
[u_{0}^{1},u_{0}^{2}]
\xrightarrow[\mathrm{d}\vec{r}=\vec{b}_{1}\mathrm{d}u^{1}]{\gamma_{1}}[u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2}]
\xrightarrow[\mathrm{d}\vec{r}=\vec{b}_{2}\mathrm{d}u^{2}]{\gamma_{2}}[u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2}]
\xrightarrow[\mathrm{d}\vec{r}=\vec{b}_{1}\mathrm{d}u^{1}]{\gamma_{3}}[u_{0}^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2}]
\xrightarrow[\mathrm{d}\vec{r}=\vec{b}_{2}\mathrm{d}u^{2}]{\gamma_{4}}[u_{0}^{1},u_{0}^{2}]
</math>

Mit <math>\vec{F}=\sum^{3}_{i=1}F_{i}\vec{b}^{\,\,i}</math> gilt <math>\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F_{1}\,\mathrm{d}u^{1}</math> für <math>\gamma_{1}</math> sowie für <math>\gamma_{3}</math> und <math>\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=F_{2}\,\mathrm{d}u^{2}</math> für <math>\gamma_{2}</math> sowie für <math>\gamma_{4}</math>.

Die Integrale über Weg 1 und 3 lassen sich zusammenfassen:
:<math>\begin{align}
\int_{\gamma_{1}+\gamma_{3}}\!\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} & =\int\limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\mathrm{d}u^{1}+\int\limits _{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}^{u_{0}^{1}}\!\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2},u_{0}^{3})}\mathrm{d}u^{1}\\
& =\int\limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left(\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}-\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2},u_{0}^{3})}\right)\mathrm{d}u^{1}
\end{align}</math>

Entwickelt man den Integranden an der Stelle <math>(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})</math> in erster Ordnung in <math>\Delta u^{1}</math>, hängt der genäherte Integrand nur noch von <math>u_{0}^{1}</math> ab, ist also unabhängig von <math>u^{1}</math> und man kann das Integral einfach auswerten:
:<math>
\int_{\gamma_{1}+\gamma_{3}}\!\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\approx\int\limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left(-\left[\frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\right)\mathrm{d}u^{1}=-\left[\frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{1}
</math>

Eine analoge Vorgehensweise für die Integrale über Weg 2 und 4 ergibt:
:<math>\begin{align}
\int_{\gamma_{2}+\gamma_{4}}\!\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} & =\int\limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\underbrace{\left(\left[F_{2}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u_{0}^{3})}-\left[F_{2}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u_{0}^{3})}\right)}_{\approx\left[\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}}\mathrm{d}u^{2}\approx\left[\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}
\end{align}</math>

Insgesamt erhält man die Zirkulation in der Fläche <math>u^{3}=u_{0}^{3}</math> um das Parallelogramm <math>\Delta A</math>.
:<math>
\oint\limits _{\partial(\Delta A)}\!\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\approx\left[\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}}-\frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}
</math>

Für <math>\Delta u^{1},\Delta u^{2}\to 0</math> werden aus den Näherungen exakte Relationen. Eingesetzt in obige Definitionsgleichung für die Rotation (alle Größen am Punkt <math>(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})</math> ausgewertet)
:<math>
(\operatorname{rot}\vec{F})^{3}\frac{1}{|\vec{b}^{\;3}|}=\lim_{\Delta A\to0}\frac{1}{\sqrt{g}\,|\vec{b}^{\;3}|\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}}\left[\frac{\partial F_{2}}{\partial u^{1}}-\frac{\partial F_{1}}{\partial u^{2}}\right]\Delta u^{1}\Delta u^{2}
\quad\implies\quad
(\operatorname{rot}\vec{F})^{3}=\frac{1}{\sqrt{g}}\left[\partial_{1}F_{2}-\partial_{2}F_{1}\right]
</math>

Analog für die beiden anderen Koordinaten unter zyklischer Vertauschung. Somit lautet die Rotation mit <math>\mathcal{E}^{ijk}=\varepsilon^{ijk}/\sqrt{g}</math>:
:<math>
\left(\operatorname{rot}\vec{F}\right)^{i}=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{jk}\varepsilon^{ijk}\partial_{j}\, F_{k} \quad \implies \quad
\operatorname{rot}\vec{F}= \sum_{ijk}\vec{b}_{i}\mathcal{E}^{ijk}\partial_{j}\, F_{k}
</math>

Die (natürliche) kovariante Koordinate <math>F_{k}</math> berechnet sich aus der (natürlichen) kontravarianten <math>F^{n}</math> mittels <math>F_{k}=\sum_{n}g_{kn}F^{n}</math>. Des Weiteren gilt für physikalischen Koordinaten <math>F^{n}=\tilde{F}^{n}/h_{n}</math> sowie <math>\vec{b}_{i}=h_{i}\vec{e}_{i}</math>.

Sind die Koordinaten orthogonal, gilt wegen <math>g_{kn}=h_{k}^{2}\delta_{kn}</math> die Beziehung <math>F_{k}=h_{k}^{2}F^{k}</math> sowie <math>\sqrt{g}=h_{1}h_{2}h_{3}</math>. Für orthogonale physikalische Koordinaten <math>\tilde{F}^{k}</math> gilt also <math>F_{k}=h_{k}\tilde{F}^{k}</math> und die Rotation lautet für diesen Spezialfall:

:<math>
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\sum_{ijk}h_{i}\vec{e}_{i}\varepsilon^{ijk}\partial_{j}\,(h_{k}\tilde{F}^{k})
</math>

==== Rotation als antisymmetrischer Tensor ====

Bei der Rotation treten Terme der Form <math>\nabla_{i}a_{j}-\nabla_{j}a_{i}</math>, was sich zu partiellen Ableitungen vereinfachen lässt, da die Christoffelsymbole in den unteren Indizes symmetrisch sind:

:<math>\nabla_{i}a_{j}-\nabla_{j}a_{i}=\partial_{i}a_{j}-\Gamma_{ij}^{k}a_{k}-\partial_{j}a_{i}+\Gamma_{ji}^{k}a_{k}=\partial_{i}a_{j}-\partial_{j}a_{i} \quad\iff\quad \sum_{i,k}\epsilon^{ijk}\Gamma_{ik}^{l}=-\sum_{i,k}\epsilon^{ijk}\Gamma_{ik}^{l}=0</math>

Diese Größe stellt einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe dar, den Rotor des Vektors <math>\vec{a}</math>.

== Beispiele krummliniger Koordinatensysteme ==

=== Orthogonale Koordinatensysteme ===

* Zylinderkoordinaten: <math>(\rho,\phi,z)</math>

:<math>\rho\geq 0\,,\quad 0\leq\phi<2\pi \,,\quad -\infty<z<\infty</math>

:<math>x=\rho\cos\phi \,,\quad y=\rho\sin\phi \,,\quad z=z</math>

* Kugelkoordinaten: <math>(r,\theta,\phi)</math>

:<math>r\geq0 \,,\quad 0\leq\theta\leq\pi \,,\quad 0\leq\phi<2\pi</math>

:<math>x=r\sin\theta\cos\phi \,,\quad y=r\sin\theta\sin\phi \,,\quad z=r\cos\theta</math>

* [[Konfokale Kegelschnitte#Konfokale Parabeln|Parabolische Zylinderkoordinaten]]: <math>(u,v,z)</math>

:<math>-\infty<u<\infty \,,\quad v\geq 0 \,,\quad -\infty<z<\infty</math>

:<math>x=(u^2-v^2)/2 \,,\quad y=uv \,,\quad z=z</math>

* Paraboloid-Koordinaten: <math>(u,v,\phi)</math>

:<math>u\geq 0 \,,\quad v\geq 0 \,,\quad 0\leq\phi<2\pi</math>

:<math>x=uv\cos\phi \,,\quad y=uv\sin\phi \,,\quad z=(u^2-v^2)/2</math>

* Elliptische Zylinderkoordinaten: <math>(\xi,\phi,z)</math>

:<math>\xi\geq 0 \,,\quad 0\leq\phi<2\pi \,,\quad -\infty<z<\infty</math>

:<math>x=a\cosh\xi\cos\phi \,,\quad y=a\sinh\xi\sin\phi \,,\quad z=z</math>

* Gestreckte Sphäroid-Koordinaten: <math>(\xi,\theta,\phi)</math>

:<math>\xi\geq0 \,,\quad 0\leq\theta\leq\pi \,,\quad 0\leq\phi<2\pi</math>

:<math>x=a\sinh\xi\sin\theta\cos\phi \,,\quad y=a\sinh\xi\sin\theta\sin\phi \,,\quad z=a\cosh\xi\cos\theta</math>

* Abgeplattete Sphäroid-Koordinaten: <math>(\xi,\vartheta,\phi)</math>

:<math>\xi\geq0 \,,\quad -\pi/2\leq\vartheta\leq\pi/2 \,,\quad 0\leq\phi<2\pi</math>

:<math>x=a\cosh\xi\cos\vartheta\cos\phi \,,\quad y=a\cosh\xi\cos\vartheta\sin\phi \,,\quad z=a\sinh\xi\sin\vartheta</math>

* Bipolar-Koordinaten: <math>(u,v,z)</math>

:<math>0\leq u<2\pi \,,\quad -\infty<v<\infty \,,\quad -\infty<z<\infty</math>

:<math>x=\frac{a\sinh v}{\cosh v-\cos u} \,,\quad y=\frac{a\sin u}{\cosh v-\cos u} \,,\quad z=z</math>

* [[Konfokale Quadriken|Ellipsoid-Koordinaten]]: <math>(\lambda,\mu,\nu)</math>

:<math>\begin{align}
\frac{x^{2}}{a^{2}-\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\lambda}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\lambda} & =1\ ,\quad\lambda<c^{2}<b^{2}<a^{2}\\
\frac{x^{2}}{a^{2}-\mu}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\mu}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\mu} & =1\ ,\quad c^{2}<\mu<b^{2}<a^{2}\\
\frac{x^{2}}{a^{2}-\nu}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\nu}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\nu} & =1\ ,\quad c^{2}<b^{2}<\nu<a^{2}
\end{align}</math>

=== Nicht orthogonale Koordinatensysteme ===

* Alternative elliptische Zylinderkoordinaten: <math>(\xi,\phi,z)</math>

:<math>\xi\geq 0 \,,\quad 0\leq\phi<2\pi \,,\quad -\infty<z<\infty</math>

:<math>x=a\xi\cos\phi \,,\quad y=b\xi\sin\phi \,,\quad z=z</math>

== Differentialgeometrie ==

Krummlinige Koordinaten lassen sich als Anwendung der [[Differentialgeometrie]] ansehen, speziell als [[Atlas (Mathematik)|Karte]] auf einer [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]]. Im Folgenden werden Zusammenhänge zum Kalkül der [[Differentialform]]en hergestellt, da mit diesen Berechnungen koordinatenunabhängig dargestellt werden können.

=== Differentialformen – allgemein ===

Sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]. Eine <math>k</math>-Form <math>\omega</math> ordnet jedem Punkt <math>p\in M</math> eine glatte alternierende <math>k</math>-[[Multilinearform]] <math>\omega_{p}</math> auf dem [[Tangentialraum]] <math>T_{p}M</math> zu. Dieses <math>\omega_{p}</math> ist ein reellwertiges lineares [[Funktional]], das <math>k</math>-Tupeln von Vektorfeldern reelle Zahlen zuordnet:

:<math>
\omega_{p}\colon\underbrace{T_{p}M\times\ldots\times T_{p}M}_{k\text{-mal}}\to\mathbb{R}
</math>

Dabei ist <math>\omega_{p}</math> selbst ein Element der [[Graßmann-Algebra|äußeren Potenz]] des Tangentialraums, also von <math>\Lambda^{k}(T_{p}^{*}M)=T_{p}^{*}M\wedge\ldots\wedge T_{p}^{*}M</math> (es gilt dabei <math>\Lambda^{0}(T^{*}M)=C^{\infty}(M,\mathbb{R})</math> und <math>\Lambda^{1}(T^{*}M)=T^{*}M</math>). Die Menge aller <math>k</math>-Formen auf <math>M</math>, also das [[Vektorbündel|Bündel]] beziehungsweise die disjunkte Vereinigung <math>\textstyle \Lambda^{k}(T^{*}M)=\bigsqcup_{p\in M}\Lambda^{k}(T_{p}^{*}M)</math>, bildet den Vektorraum <math>\Omega^{k}(M)</math>. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe kartenunabhängig auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.

In der [[Tensoranalysis]] ist <math>\omega_{p}</math> ein antisymmetrischer (wg. alternierend) kovarianter Tensor <math>k</math>-ter Stufe (wg. <math>k</math>-Multilinearform).

=== Differentialformen – Koordinatendarstellung ===

Sei <math>U</math> ein offener Teil von <math>M</math> und <math>(U,x)</math> ein lokales Koordinatensystem ([[Atlas (Mathematik)|Karte]]) mit den lokalen Koordinaten <math>(x^{1},\ldots,x^{n})</math>. Dann bilden am Ort <math>p\in U</math>

:<math>
\left\{ \vec{b}_{i}\mid i=1,\ldots n\right\} =\left\{ \partial_{i}\equiv\frac{\partial}{\partial x^{i}}\mid i=1,\ldots n\right\}
</math>

die lokale Basis des [[Tangentialraum]]s <math>T_{p}M</math> und

:<math>
\left\{ \vec{b}^{\ i}\mid i=1,\ldots n\right\} =\left\{ \mathrm{d}x^{i}\in\Omega^{1}M\mid i=1,\ldots n\right\}
</math>

die dazu duale Basis (die Dualität drückt sich durch <math>\mathrm{d}x^{i}\,\partial_{j}=\delta_{j}^{i}</math> aus), also die Basis des [[Kotangentialraum]]s <math>T_{p}^{*}M=\Lambda^{1}(T_{p}^{*}M)\subset\Omega^{1}M</math>, dies sind [[1-Form]]en auf dem Vektorraum <math>T_{p}M</math>.

Das <math>k</math>-fache [[Keilprodukt|äußere Produkt]] <math>\wedge</math> dieser 1-Formen <math>\mathrm{d}x^{i}</math> (dabei ist <math>\mathrm{d}x^{i}\wedge\mathrm{d}x^{j}</math> assoziativ, bilinear und antikommutativ) ist eine <math>k</math>-Form, wobei

:<math>
\{\mathrm{d}x^{i_{1}}\wedge\ldots\wedge\mathrm{d}x^{i_{k}}\in\Omega^{k}M\mid1\leq i_{1}<\ldots<i_{k}\leq n\}
</math>

eine Basis der äußeren Algebra <math>\Lambda^{k}(T_{p}^{*}M)</math> über dem Kotangentialraum <math>T_{p}^{*}M</math> ist. Jede Differentialform <math>\omega\in\Omega^{k}(M)</math> hat auf allen Karten <math>(U,x)</math> eine eindeutige Darstellung:

:<math>
\omega =\sum_{1\leq i_{1}<\ldots<i_{k}\leq n}w_{i_{1},\ldots,i_{k}}(x)\,\mathrm{d}x^{i_{1}}\wedge\ldots\wedge\mathrm{d}x^{i_{k}}
</math>

Eine 2-Form ist z. B.

:<math>
\omega=\sum_{1\leq i<j\leq n}w_{ij}(x)\,\mathrm{d}x^{i}\wedge\mathrm{d}x^{j}=\sum_{1\leq i<j\leq n}w_{ij}(x)\, \left(\mathrm{d}x^{i}\otimes\mathrm{d}x^{j}-\mathrm{d}x^{j}\otimes\mathrm{d}x^{i}\right)
</math>

was einem antisymmetrischen kovarianten Tensorfeld zweiter Stufe entspricht. Für <math>n=3</math> erhält man also:

:<math>
\omega=\sum_{\underset{i<j}{i,j=1}}^{3}w_{ij}(x)\,\mathrm{d}x^{i}\wedge\mathrm{d}x^{j}=w_{12}(x)\,\mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}+w_{13}(x)\,\mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{3}+w_{23}(x)\,\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}
</math>

=== Verbindung zwischen Skalar- bzw. Vektorfeldern mit Differentialformen ===

Für differenzierbare [[Skalarfeld]]er gilt die Identität: [[Glatte Funktion]]en <math>f\colon\, M\to\mathbb{R}</math> sind identisch mit 0-Formen:

:<math>C^{\infty}(M,\mathbb{R})=\Omega^{0}M</math>

Durch folgende [[Isomorphismus|Isomorphie]] lässt sich einem differenzierbaren [[Vektorfeld]] <math>\vec{v}\in C^{\infty}(M,\mathbb{R}^{n})</math> eindeutig eine 1-Form zuordnen (dabei bezeichne <math>\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle </math> das Skalarprodukt) (es wird die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet):

:<math>
C^{\infty}(M,\mathbb{R}^{n})\overset{\cong}{\longrightarrow}\Omega^{1}M\ ,\quad\vec{v}=v_{i}\vec{b}^{\ i}\mapsto\left\langle \vec{v}\mid\cdot\right\rangle =v_{i}\left\langle \vec{b}^{\ i}\mid\cdot\right\rangle =v_{i}\mathrm{d}x^{i}
</math>

Mit Hilfe des Hodge-Stern-Operators (siehe unten) lassen sich einem Skalarfeld auch eine <math>n</math>-Form zuordnen und einem Vektorfeld eine <math>(n-1)</math>-Form.

=== Verknüpfung Tangential-/Kotangentialvektoren ===

Die musikalischen Operatoren (flat <math>\flat</math> und sharp <math>\sharp</math>) beschreiben Isomorphien, die durch die Riemannsche Metrik <math>\underline{\underline{g}}=\left\langle \partial_{i}\mid\partial_{j}\right\rangle \mathrm{d}x^{i}\otimes\mathrm{d}x^{j}</math> induziert werden, und Tangentialvektoren auf Kotangentialvektoren bzw. umgekehrt abbilden:

:<math>
\sharp:\, T_{p}M\to T_{p}^{*}M\ ,\quad v^{i}\vec{e_{i}}\mapsto v^{i}g_{ij}\vec{b}^{\ j}=v_{j}\vec{b}^{\ j}\ ,\quad v^{i}\partial_{i}\mapsto v_{j}\mathrm{d}x^{j}
</math>
:<math>
\flat:\, T_{p}^{*}M\to T_{p}M\ ,\quad v_{i}\vec{b}^{\ i}\mapsto v_{i}g^{ij}\vec{b}_{j}=v^{j}\vec{b}_{j}\ ,\quad v_{i}\mathrm{d}x^{i}\mapsto v^{j}\partial_{j}
</math>

In Tensornotation entspricht dies dem Heben und Senken von Indizes.

=== Hodge-Stern-Operator ===

Für <math>n</math>-dimensionale Vektorräume, die [[Orientierung (Mathematik)|orientiert]] und [[Euklidischer Raum|euklidisch]] sind (somit muss <math>M</math> einer orientierten [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Mannigfaltigkeit]] entsprechen), existiert ein kanonischer Isomorphismus, der alternierende Multilinearformen komplementären Grades (also <math>k</math> und <math>n-k</math>) aufeinander abbildet. Dies ist der sog. [[Hodge-Stern-Operator]]:

:<math>
*:\,\Omega^{k}M\overset{\cong}{\longrightarrow}\Omega^{n-k}M
</math>

Beide Vektorräume haben die Dimension <math>\binom{n}{k}\equiv\binom{n}{n-k}</math>.

Im dreidimensionalen Raum <math>n=3</math> lässt sich somit einer 0-Form eine 3-Form zuordnen

:<math>
\Omega^{0}M\overset{*}{\leftrightarrow}\Omega^{3}M\ ,\quad\rho\mapsto\rho\,\det(\cdot,\cdot,\cdot)=\rho\,\mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}
</math>

und einer 1-Form eine 2-Form

:<math>
\Omega^{1}M\overset{*}{\leftrightarrow}\Omega^{2}M\ ,\quad\left\langle \vec{v}\mid\cdot\right\rangle =v_{i}\mathrm{d}u^{i}\mapsto\det(\vec{v},\cdot,\cdot)=\epsilon_{\ jk}^{i}v_{i}\,\mathrm{d}x^{j}\wedge\mathrm{d}x^{k}
</math>

Somit lässt sich einem differenzierbaren Vektorfeld <math>\vec{a}</math> nicht nur eine 1-Form <math>a_{1}\mathrm{d}x^{1}+a_{2}\mathrm{d}x^{2}+a_{3}\mathrm{d}x^{3}</math> sondern auch eine 2-Form <math>a_{1}\,\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}+a_{2}\,\mathrm{d}x^{3}\wedge\mathrm{d}x^{1}+a_{3}\,\mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}</math> zuordnen. Und eine differenzierbare skalare Funktion <math>f</math> kann sowohl einer 0-Form <math>f</math> wie auch einer 3-Form <math>f\,\mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}</math> zugeordnet werden.

Durch die [[äußere Ableitung]] einer <math>k</math>-Form entsteht eine <math>(k+1)</math>-Form. Mit den musikalischen Operatoren und dem Hodge-Stern-Operator wird der [[De-Rham-Kohomologie|De-Rham-Komplex]] gebildet. Die Verkettung zweier äußerer Ableitungen ist identisch Null. Hieraus lassen sich die Integralsätze der Vektoranalysis ([[Satz von Stokes|Stokes]], [[Gaußscher Integralsatz|Gauß]] und [[Satz von Green|Green]]) herleiten.

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

== Literatur ==
* [[Günter Bärwolff]]: ''Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure.'' 2. Auflage, 1. korrigierte Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
* [[Wolfgang Kühnel (Mathematiker)|Wolfgang Kühnel]]: ''Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten.'' 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2.
* Siegfried Kästner: ''Vektoren, Tensoren, Spinoren. Eine Einführung in den Tensorkalkül unter Berücksichtigung der physikalischen Anwendung.'' 2. verbesserte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1964.
* Murray R. Spiegel, Dennis Spellman, Seymour Lipschutz: ''Vector Analysis''. Schaum’s Outlines. 2. Auflage. McGraw-Hill, 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.
* Heinz Schade, Klaus Neemann: ''Tensoranalysis''. 3. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-020696-8.
* [[Klaus Jänich]]: ''Vektoranalysis''. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-23741-9.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Differentialgeometrie}}
* [http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1193 Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? – Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten], matheplanet.com
* R. Brannon: [http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/curvilinear.pdf Skript über krummlinige Koordinaten], University of New Mexico (engl.) (PDF-Datei; 1 MB)

{{Normdaten|TYP=s|GND=4165813-9}}

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Observatorio Astronómico de Córdoba

2017-08-22T12:55:38Z

200.16.16.13:

{{Ficha de observatorio
|nombre = Observatorio Astronómico de Córdoba
|imagen = Observatorio-cba.jpg
|imagen_tamaño = 300px
|imagen_pie = Fachada de la sede central del Observatorio.
|organización = [[Universidad Nacional de Córdoba]]
|código = 821 (EABA) 822 (OAC)<ref name=MPC>{{cita web |título= List Of Observatory Codes|url= http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/ObsCodesF.html |idioma= inglés |fechaacceso= 29 de junio de 2013}}</ref> X13 (ORBA)
|situación = [[provincia de Córdoba (Argentina)|Provincia de Córdoba]], {{ARG}}
|coordenadas = {{coord|31|25|14.29|S|064|11|55.57|W|type:landmark|display=title,inline}}
|altitud =
|clima =
|fundadoen = 24 de octubre de 1871
|cerradoen =
|sitio web = http://www.oac.unc.edu.ar
|telescopioX_nombre =
|telescopioX_tipo =
}}
[[Archivo:Observatorio de Bosque Alegre.JPG|thumb|right|300px|Observatorio Astronómico de Bosque Alegre, vinculado al observatorio desde 1942.]]

El '''Observatorio Astronómico de Córdoba''' es una institución de investigación, docencia y extensión astronómica [[argentina]] perteneciente a la [[Universidad Nacional de Córdoba]], fundada el [[24 de octubre]] de [[1871]]<ref name="oac">{{cita web|url=http://www.oac.unc.edu.ar/institucionales/historia/|título=Observatorio Astronómico de Córdoba|idioma=español|fechaacceso=6 de febrero de 2017}}</ref> por el [[Presidente de Argentina|presidente]] [[Domingo F. Sarmiento]] y gestiones de su Ministro Nicolás Avellaneda,<ref name="oac" /> quien permitió a su pueblo tener un contacto directo con la [[astronomía]].

Dirección: Laprida 854, Ciudad de Córdoba, Argentina

== Historia ==
El inicio de estudios astronómicos en la Argentina es obra indiscutible de [[Domingo Faustino Sarmiento]]. Cuando era representante de su país en Estados Unidos, tuvo oportunidad de conocer al astrónomo [[Benjamín Apthorp Gould]], quien teniendo por entonces deseos de viajar a la Argentina para realizar estudios estelares del hemisferio Sur, ofreció con ese fin sus servicios científicos.

Ya instalado como presidente de su país, Sarmiento invitó en 1869 al eminente científico y sus asistentes contratados, a viajar a la Argentina prestándose todo su apoyo para organizar un observatorio.<ref name="oac" /> Gould llegó a Buenos Aires en 1870 y tuvo que esperar pacientemente la llegada de los aparatos encargados a una firma europea. Pero, en la espera del instrumental científico, comenzó a simple vista y con ayuda de un anteojo de teatro, un mapa del cielo austral que el [[24 de octubre]] de [[1871]], fecha de inauguración del Observatorio Astronómico de Córdoba, contaba con más de 7000 estrellas registradas, posteriormente publicado bajo el nombre de '''Uranometría Argentina''' en [[1877]].<ref name="oac" />

Como director del observatorio su labor de organizador y científico se prolongó hasta 1885, año que marca su regreso a Estados Unidos. Entre sus trabajos debemos mencionar el estudio de estrellas de hasta magnitud 10, que derivaron en las publicaciones ''Catálogo de Zonas'' (1884), donde dejó registradas más de 70 000 estrellas del hemisferio austral, y el ''Catálogo General Argentino'' que contiene alrededor de 35 000 estrellas cuyas posiciones fueron fijadas con muy buena precisión.<ref name="oac" />

Fue también gracias a Gould que en el observatorio se tomaron las que serían unas de las primeras [[fotografías]] estelares del mundo. Para este trabajo se tomaron cientos de placas de cúmulos estelares abiertos del hemisferio sur con el “Gran Ecuatorial”, telescopio refractor de 28 cm de diámetro, que posteriormente se midieron para determinar las posiciones de sus estrellas. Esta obra fue la primera sistemática y de envergadura que se realizó en astronomía empleando la técnica fotográfica. Se publicó en 1896 con el nombre '''fotografías cordobesas'''.<ref name="oac" />

La publicación de los primeros mapeos importantes del cielo austral tuvo su punto culminante con la conclusión en 1908 del monumental ''Córdoba Durchmusterung''. Este catálogo de 613.718 [[estrellas]] es aún hoy la base para un punto de referencia obligado en la historia de la [[Astronomía]] mundial.
Entre los más destacados aportes realizados por el Observatorio Astronómico de Córdoba a principios del siglo XX debe mencionarse el de la confección, junto con observatorios de otras latitudes, del primer gran relevamiento fotográfico de los cielos ("''Carte du Ciel''"), y la determinación, junto con 35 observatorios de todo el mundo, de la órbita del asteroide [[(433) Eros|Eros]], tarea ésta que permitió mejorar substancialmente la determinación de la distancia Tierra - Sol.

Históricamente, el Observatorio Astronómico de Córdoba realizó aportes no sólo en el área de la astronomía, también los hizo en distintos aspectos sociales:
* Los catálogos estelares de precisión analizados con el Círculo Meridiano desde la época de Gould han servido para la determinación de la hora y para la navegación en todo el hemisferio austral.<ref name="oac" />
* El servicio Meteorológico Nacional, que tuvo su origen en la Oficina Meteorológica creada por Sarmiento a propuesta de Gould en 1872, como parte del Observatorio Astronómico de Córdoba. También bajo la dirección de Gould, se realizaron las primeras determinaciones precisas de diferencias de longitud y de altura entre Buenos Aires, Rosario, Córdoba, Santiago de Chile. Y las primeras operaciones exactas de contraste de pesas y medidas fueron hechas en el observatorio, por encargo del Gobierno Nacional. Además de mediciones del campo magnético terrestre.<ref name="oac" />
* El servicio telegráfico de la hora oficial estuvo cargo del observatorio por muchos años, pasando luego al Observatorio Naval.

Bajo la dirección de [[Enrique Gaviola]] (entre 1940 y 1947 y de 1956 a 1957) el Observatorio Astronómico de Córdoba se transformó en un centro científico de primer orden, con el diseño y construcción de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] inaugurada en 1942. La misma está situada en las Sierras Chicas, a 25 kilómetros de la ciudad de [[Alta Gracia]], a 1250 metros sobre el nivel del mar. Hizo que el observatorio se vinculara con la Asociación Física Argentina y consiguió personal y científicos de dedicación exclusiva además de un excelente taller de óptica. Allí se formaron entre otros [[Mario Bunge]], [[Ernesto Sabato]] y [[José Antonio Balseiro]].

Actualmente en esta institución se desarrollan tareas de investigación científica, docencia de pre y post grado y actividades de extensión a la comunidad. En la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] se realizan observaciones con instrumental de [[fotometría]] y [[espectroscopia]].

Desde 1955 el observatorio astronómico y su estación astrofísica dependen de la [[Universidad Nacional de Córdoba]].
La Unión Astronómica Internacional le ha asignado el Código 822.

== Investigación y desarrollo instrumental ==
[[Archivo:Observatoriobosquealegre.jpg|thumb|300px|right|Vista del Observatorio de Bosque Alegre desde la ladera Oeste de la Sierras Chicas.]]
Los investigadores de esta Institución están en su mayoría formados en la [[Universidad Nacional de Córdoba]] y especializados en los centros de mayor nivel académico del mundo. En el Observatorio Astronómico de Córdoba se realizan investigaciones en astronomía desde distintas perspectivas: observacional, estadística, teórica y de desarrollo instrumental. Las principales áreas en las que se centran los estudios son: 'Física Solar', 'Sistemas Planetarios', 'Astrofísica Estelar', 'Astrometría, instrumentación y técnicas observacionales', 'Medio Interestelar y Estructura galáctica', 'Astronomía Extragaláctica y Cosmología' y 'Historia de la astronomía'.
Los resultados de estas investigaciones son dados a conocer en publicaciones internacionales y en reuniones científicas dentro de las correspondientes áreas.

El Observatorio Astronómico de Córdoba cuenta con personal técnico y de Ingeniería que desarrolla técnicas e instrumentos necesarios para la investigación astronómica. El personal de instrumentación ha construido completamente un telescopio de 0.76 metros de diámetro que en 2012 ha sido instalado en una cúpula secundaria de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre. Además, participan activamente de la construcción de un nuevo observatorio ubicado en Tolar Grande, en la provincia de Salta, y de la remotización de los telescopios disponibles tanto en la Estación Astrofísica de Bosque Alegre como en la sede central del Observatorio Astronómico de Córdoba.

=== Proyectos observacionales ===
Desde 1992, [[Argentina]] participa junto con [[Estados Unidos]], [[Inglaterra]], [[Canadá]], [[Francia]], [[Australia]], [[Brasil]] y [[Chile]] como país huésped, en un convenio internacional denominado [[Observatorio Gemini|Proyecto Gemini]], el cual consistió en la construcción de dos grandes telescopios de 8 metros de diámetro cada uno, ubicados en [[Hawai]] y [[Chile]]. El tiempo de observación en ambos telescopios es compartido por los astrónomos de los países participantes con una fracción de tiempo proporcional al aporte económico que cada país realiza. Argentina cuenta con el 2.5% del tiempo total disponible para ciencia en cada telescopio. Estos poderosos telescopios comenzaron a operar a fines del siglo pasado y significaron un nuevo y gran paso hacia el conocimiento.

La globalización ha permitido modificar la forma en la que la información es obtenida y analizada. Los astrónomos observacionales del Observatorio Astronómico de Córdoba tienen acceso a distintos observatorios del mundo mediante la presentación de un proyecto de observación que está sujeto a la evaluación por sus pares para la asignación de tiempo de observación. En algunos observatorios internacionales, se realizan observaciones "a distancia", es decir, que esos observatorios tienen ingenieros operadores de los telescopios, quienes son los encargados de realizar las observaciones, y luego los datos recopilados son enviados a los investigadores líderes del proyecto presentado, por lo que no es indispensable el traslado de los astrónomos a los sitios de observación.

Los astrónomos del OAC tienen además la posibilidad de utilizar las facilidades del telescopio de 2,15 metros de diámetro del [[Complejo Astronómico El Leoncito|Complejo Astronómico 'El Leoncito']], ubicado en San Juan, y del telescopio de 1,54 metros de diámetro de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] perteneciente al Observatorio Astronómico de Córdoba.

Con motivo de cumplirse 70 años de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre, durante el mes de noviembre de 2012 se llevaron a cabo algunas obras de remodelación de dos de las cúpulas menores. En una de ellas se instaló un telescopio CELESTRON de 11 pulgadas provisto por [[:w:en:Instituto_de_Astronomía_Teórica_y_Experimental_(IATE)|Instituto de Astronomía Teórica y Experimental (IATE)]], robotizado, denominado Observatorio Remoto Bosque Alegre (ORBA), y en la segunda cúpula un telescopio de 0,76 mt de diámetro bautizado "Charles Perrine"<ref>http://www.oac.unc.edu.ar/</ref>

El 5 de mayo de 2013, el Minor Planet Center le asignó al ORBA el código de Observatorio MPC X13.

== Docencia y formación de recursos humanos ==
Si bien el Observatorio no es una unidad académica, los investigadores del Observatorio Astronómico que tienen cargos docentes de la [[Universidad Nacional de Córdoba]] participan en la distribución docente de la [[Facultad de Matemática, Astronomía y Física (Universidad Nacional de Córdoba)|Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF)]] con la cual existe un convenio que establece este acuerdo. Los docentes del OAC dictan materias de grado y post-grado en las carreras de FaMAF, como así también en las distintas unidades académicas con las que FaMAF tiene convenios.

Los investigadores del Observatorio se desempeñan como directores/co-directores en los trabajos finales y tesis de los alumnos de la Licenciatura en Astronomía y el Doctorado en Astronomía, ambas carreras pertenecientes a la FaMAF.

== Extensión y divulgación de la astronomía ==
[[Archivo:Observatorio Astronomico Córdoba - Noche.jpg|thumb|Observatorio Astronómico Córdoba - Noche]]
Históricamente esta institución se ha destacado por su labor divulgativa de la astronomía con el objetivo de ayudar a la comunidad a entender las maravillas del Universo y la importancia de la ciencia en la vida cotidiana. Además, en concordancia con la política extensionista impulsada por la [[Universidad Nacional de Córdoba]] durante la gestión de la Dra. [[Carolina Scotto]], se han sumado proyectos de extensión orientados principalmente a la enseñanza de la astronomía en los niveles pre-universitarios.

Desde el OAC se llevan a cabo los siguientes programas:
* Grupo de Astrometría y Fotometría en el que participan investigadores, astrónomos aficionados, estudiantes y docentes pre-universitario que contribuyen a las investigaciones científicas mundiales.
* Olimpíada Argentina de Astronomía destinada a estudiantes de nivel secundario y para establecimientos con modalidad especial
* Cursos de articulación con puntaje docente destinados a docentes de nivel secundario
* Talleres sobre el manejo de telescopios portátiles

Entre las actividades de difusión que se desarrollan desde el Observatorio Astronómico hacia la comunidad en general se pueden mencionar:
* Atención al público en general en la sede central una vez por semana en horario vespertino
* Atención al público en general en la estación astrofísica de bosque alegre los fines de semana en horario diurno y nocturno
* Atención de visitas de establecimientos educativos en la sede central
* Atención de establecimientos educativos en la estación astrofísica de bosque alegre
* Telescopio itinerante por las distintas ciudades del interior de Córdoba y Argentina
* Conferencias para todo público una vez por mes
* Conferencias itinerantes en establecimientos educativos de la ciudad de Córdoba.
* Difusión diaria de la astronomía, la ciencia en general, y las actividades del OAC por medio de redes sociales (facebook, G+, blog, twitter).

== Directores ==
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center"
|+''' Directores por época'''
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Benjamin Apthorp Gould]]
| 1871-1885
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[John Macon Thome]]
| 1885-1908
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. Eleodoro Sarmiento (Interino)
| 1908-1909
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Charles Dillon Perrine]]
| 1909-1936
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. [[Félix Aguilar]] (Interventor)
| 1936-1937
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. Juan José Nissen
| 1937-1940
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1940-1947
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Ricardo P. Platzeck (Interino)
| 1947-1951
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]] (Interino)
| 1951-1953
|-
! style="background:#efefef;"| [[Jorge Sahade|Dr. Jorge Sahade]]
| 1953-1955
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]]
| 1955-1956
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1956-1957
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Livio Gratton
| 1957-1960
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Landi Dessy (Interino)
| 1960-1971
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]] (Director Sustituto)
| 1971-1972
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1972-1973
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Roberto Félix Sisteró
| 1973-1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Carlos R. Fourcade (Director sustituto)
| 1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1976-1982
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]]
| 1982-1983
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1984-1995
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Juan José Clariá Olmedo
| 1995-1998
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1998-2002
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 2002-2005
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Emilio Lapasset
| 2005-2011
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Diego García Lambas
| 2011 - 2017
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Manuel Merchán
| 2017 (continúa)
|}

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita libro|título=Enrique Gaviola y el Observatorio Astronómico de Córdoba. Su impacto en el desarrollo de la ciencia argentina.|autor=Omar Bernaola|Bernaola, Omar|editorial=Saber y Tiempo|id=ISBN 987-98946-0-X|año=2001}}
* {{cita libro|título=Uranometría Argentina 2001, Historia del Observatorio Nacional Argentino.|autor=Paolantonio Santiago y Minniti Edgardo|editorial=SECyT/OAC Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba|id=ISBN 987-43-3817-2|año=2001}}
* {{cita libro|título=Córdoba Estelar, Historia del Observatorio Nacional Argentino.|autor=Minniti Edgardo y Paolantonio Santiago|editorial=Observatorio Astronómico - Editorial Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba|id=ISBN 978-950-33-0709-0|año=2009}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.oac.unc.edu.ar/ Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional de Córdoba]
* [https://www.facebook.com/ObservatorioAstronomico/ Facebook del OAC]
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/ Instituto de Astronomía Teórica Experimental, OAC-CONICET]
* [http://www.moa.unc.edu.ar/ Museo Astronómico "Pte D. F. Sarmiento - Dr. B. A. Gould"]
* [http://gaf.oac.uncor.edu/ Grupo de Astrometría y Fotometría]
* [http://www.cordobaestelar.oac.uncor.edu/ Córdoba Estelar (Versión electrónica, 2013)]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/ Historia de la Astronomía]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/2008/12/14/reinauguran-bosque-alegre/ La Estación Astrofísica de Bosque Alegre nuevamente en función]

[[Categoría:Observatorios astronómicos de Argentina|C]]
[[Categoría:Córdoba (ciudad de Argentina)]]

Observatorio Astronómico de Córdoba

2013-04-17T20:59:02Z

200.16.16.13: /* Extensión y Divulgación de la Astronomía */

{{Ficha de observatorio
|nombre = Observatorio Astronómico de Córdoba (OAC)
|imagen =
|imagen_tamaño =
|imagen_pie =
|organización =
|código = 821 (EABA) - 822 (OAC),
|situación = [[provincia de Córdoba (Argentina)|provincia de Córdoba]], [[Argentina]]
|coordenadas = {{coord|-31.42083333|-64.19666666}},
|altitud =
|clima =
|fundadoen = 1871,
|cerradoen =
|sitio web = [http://www.oac.uncor.edu/index.html]
|telescopioX_nombre =
|telescopioX_tipo =
}}

[[Archivo:Observatorio-cba.jpg|thumb|350px|Fachada principal del Observatorio de Córdoba]]

El '''Observatorio Astronómico de Córdoba''' es una institución de investigación, docencia y extensión astronómica [[argentina]] perteneciente a la [[Universidad Nacional de Córdoba]], creada el [[24 de octubre]] de [[1871]] por el [[Presidente de Argentina|presidente]] [[Domingo F. Sarmiento]], quien permitió a su pueblo tener un contacto directo con la [[astronomía]].

Latitud: 31º 25' 15'' (Sur)
Longitud: 4h 16m 47,2s (Oeste)

Dirección: Laprida 854, Ciudad de Córdoba, Argentina

== Historia ==

El inicio de estudios astronómicos en la Argentina es obra indiscutible de [[Domingo Faustino Sarmiento]]. Cuando era representante de su país en Estados Unidos, tuvo oportunidad de conocer al astrónomo [[Benjamín Apthorp Gould]], quien teniendo por entonces deseos de viajar a la Argentina para realizar estudios estelares del hemisferio Sur, ofreció con ese fin sus servicios científicos.

Ya instalado como presidente de su país, Sarmiento invitó en 1869 al eminente científico a viajar a la Argentina prestándole todo su apoyo para organizar un observatorio. Gould llegó a Buenos Aires en 1870 y tuvo que esperar pacientemente la llegada de los aparatos encargados a una firma europea. Pero, en la espera del instrumental científico, comenzó a simple vista y con ayuda de un anteojo de teatro, un mapa del cielo austral que el [[24 de octubre]] de [[1871]], fecha de inauguración del Observatorio Astronómico de Córdoba, contaba con más de 7.000 estrellas registradas, posteriormente publicado bajo el nombre de '''Uranometría Argentina'''.

[[Archivo:Observatorio de Bosque Alegre.JPG|thumb|200px|Observatorio Astronómico de Bosque Alegre, vinculado al observatorio desde 1942.]]

Como director del observatorio su labor de organizador y científico se prolongó hasta 1885, año que marca su regreso a Estados Unidos. Entre sus trabajos debemos mencionar su ''Catálogo de Zonas'' (1884), donde dejó registradas más de 70.000 estrellas del hemisferio austral, y el ''Catálogo General Argentino'' que contiene alrededor de 35.000 estrellas cuyas posiciones fueron fijadas con muy buena precisión.

Fue también gracias a Gould que en el observatorio se tomaron las que serían unas de las primeras [[fotografías]] estelares del mundo. Para este trabajo se tomaron cientos de placas de cúmulos estelares abiertos del hemisferio sur, que posteriormente se midieron para determinar las posiciones de sus estrellas. Esta obra fue la primera sistemática y de envergadura que se realizó en astronomía empleando la técnica fotográfica. Se publicó en 1897 con el nombre '''Fotografías Cordobesas'''.

La publicación de los primeros mapeos importantes del cielo austral tuvo su punto culminante con la conclusión en 1908 del monumental ''Córdoba Durchmusterung''. Este catálogo de 613.718 [[estrellas]] es aún hoy la base para un punto de referencia obligado en la historia de la [[Astronomía]] mundial.
Entre los más destacados aportes realizados por el Observatorio Astronómico de Córdoba a principios del siglo XX debe mencionarse el de la confección, junto con observatorios de otras latitudes, del primer gran relevamiento fotográfico de los cielos ("''Carte du Ciel''"), y la determinación, junto con 35 observatorios de todo el mundo, de la órbita del asteroide Eros, tarea ésta que permitió mejorar substancialmente la determinación de la distancia Tierra - Sol.

Históricamente, el Observatorio Astronómico de Córdoba realizó aportes no sólo en el área de la astronomía, también los hizo en distintos aspectos sociales:
* los catálogos estelares de precisión levantados con el círculo meridiano desde la época de Gould han servido para la determinación de la hora y para la navegación en todo el hemisferio austral.
* El servicio Meteorológico Nacional tuvo su origen en la Oficina Meteorológica creada por Sarmiento, a propuesta de Gould, en 1872, como parte del Observatorio Astronómico de Córdoba. También bajo la dirección de Gould, se realizaron las primeras determinaciones precisas de diferencias de longitud y de altura entre Buenos Aires, Rosario, Córdoba, Santiago de Chile. Y las primeras operaciones exactas de contraste de pesas y medidas fueron hechas en el observatorio, por encargo del Gobierno Nacional.
* El servicio telegráfico de la hora oficial estuvo cargo del observatorio por muchos años, pasando luego al Observatorio Naval.

[[Archivo:Observatoriobosquealegre.jpg|thumb|200px|left|Vista del Observatorio de Bosque Alegre desde la ladera Oeste de la Sierras Chicas.]]

Bajo la dirección de [[Enrique Gaviola]] (entre 1940 y 1947 y de 1956 a 1957) el Observatorio Astronómico de Córdoba se transformó en un centro científico de primer orden, con el diseño y construcción de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] inaugurada en 1942. La misma está situada en las Sierras Chicas, a 25 kilómetros de la ciudad de [[Alta Gracia]], a 1250 metros sobre el nivel del mar. Hizo que el observatorio se vinculara con la Asociación Física Argentina y consiguió personal y científicos de dedicación exclusiva además de un excelente taller de óptica. Allí se formaron entre otros [[Mario Bunge]], [[Ernesto Sabato]] y [[José Antonio Balseiro]].

Actualmente en esta institución se desarrollan tareas de investigación científica, docencia de pre y post grado y actividades de extensión a la comunidad. En la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] se realizan observaciones con instrumental de [[fotometría]] y [[espectroscopia]].

Desde 1955 el Observatorio Astronómico y su Estación Astrofísica dependen de la [[Universidad Nacional de Córdoba]].
La Unión Astronómica Internacional le ha asignado el Código 822.

== Investigación y desarrollo instrumental ==
Los investigadores de esta Institución están en su mayoría formados en la [[Universidad Nacional de Córdoba]] y especializados en los centros de mayor nivel académico del mundo. En el Observatorio Astronómico de Córdoba se realizan investigaciones en astronomía desde distintas perspectivas: observacional, estadística, teórica y de desarrollo instrumental. Las principales áreas en las que se centran los estudios son: 'Física Solar', 'Sistemas Planetarios', 'Astrofísica Estelar', 'Astrometría, instrumentación y técnicas observacionales', 'Medio Interestelar y Estructura galáctica', 'Astronomía Extragaláctica y Cosmología' y 'Historia de la astronomía'.
Los resultados de estas investigaciones son dados a conocer en publicaciones internacionales y en reuniones científicas dentro de las correspondientes áreas.

El Observatorio Astronómico de Córdoba cuenta con personal técnico y de Ingeniería que desarrolla técnicas e instrumentos necesarios para la investigación astronómica. El personal de instrumentación ha construido completamente un telescopio de 0.76 metros de diámetro que en 2012 ha sido instalado en una cúpula secundaria de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre. Además, participan activamente de la construcción de un nuevo observatorio ubicado en Tolar Grande, en la provincia de Salta, y de la remotización de los telescopios disponibles tanto en la Estación Astrofísica de Bosque Alegre como en la sede central del Observatorio Astronómico de Córdoba.

=== Proyectos observacionales===
Desde 1992, [[Argentina]] participa junto con [[Estados Unidos]], [[Inglaterra]], [[Canadá]], [[Francia]], [[Australia]], [[Brasil]] y [[Chile]] como país huésped, en un convenio internacional denominado [[Observatorio Gemini|Proyecto Gemini]], el cual consistió en la construcción de dos grandes telescopios de 8 metros de diámetro cada uno, ubicados en [[Hawai]] y [[Chile]]. El tiempo de observación en ambos telescopios es compartido por los astrónomos de los países participantes con una fracción de tiempo proporcional al aporte económico que cada país realiza. Argentina cuenta con el 2.5% del tiempo total disponible para ciencia en cada telescopio. Estos poderosos telescopios comenzaron a operar a fines del siglo pasado y significaron un nuevo y gran paso hacia el conocimiento.

La globalización ha permitido modificar la forma en la que la información es obtenida y analizada. Los astrónomos observacionales del Observatorio Astronómico de Córdoba tienen acceso a distintos observatorios del mundo mediante la presentación de un proyecto de observación que está sujeto a la evaluación por sus pares para la asignación de tiempo de observación. En algunos observatorios internacionales, se realizan observaciones "a distancia", es decir, que esos observatorios tienen ingenieros operadores de los telescopios, quienes son los encargados de realizar las observaciones, y luego los datos recopilados son enviados a los investigadores líderes del proyecto presentado, por lo que no es indispensable el traslado de los astrónomos a los sitios de observación.

Los astrónomos del OAC tienen además la posibilidad de utilizar las facilidades del telescopio de 2,15 metros de diámetro del [[Complejo Astronómico El Leoncito|Complejo Astronómico 'El Leoncito']], ubicado en San Juan, y del telescopio de 1,54 metros de diámetro de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] perteneciente al Observatorio Astronómico de Córdoba.

Con motivo de cumplirse 70 años de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre, durante el mes de noviembre de 2012 se llevaron a cabo algunas obras de remodelación de dos de las cúpulas menores. En una de ellas se instaló un telescopio CELESTRON de 11 pulgadas provisto por [http://en.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_Astronomía_Teórica_y_Experimental_(IATE) Instituto de Astronomía Teórica y Experimental (IATE)], robotizado y en la segunda cúpula un telescopio de 0,76 mt de diámetro bautizado "Charles Perrine" <ref>http://www.oac.uncor.edu/</ref>

== Docencia y Formación de Recursos Humanos ==
Si bien el Observatorio no es una unidad académica, los investigadores del Observatorio Astronómico que tienen cargos docentes de la [[Universidad Nacional de Córdoba]] participan en la distribución docente de la [[Facultad de Matemática, Astronomía y Física (Universidad Nacional de Córdoba)|Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF)]] con la cual existe un convenio que establece este acuerdo. Los docentes del OAC dictan materias de grado y post-grado en las carreras de FaMAF, como así también en las distintas unidades académicas con las que FaMAF tiene convenios.

Los investigadores del Observatorio se desempeñan como directores/co-directores en los trabajos finales y tesis de los alumnos de la Licenciatura en Astronomía y el Doctorado en Astronomía, ambas carreras pertencecientes a la FaMAF.

== Extensión y Divulgación de la Astronomía ==

Históricamente esta institución se ha destacado por su labor divulgativa de la astronomía con el objetivo de ayudar a la comunidad a entender las maravillas del Universo y la importancia de la ciencia en la vida cotidiana. Además, en concordancia con la política extensionista impulsada por la [[Universidad Nacional de Córdoba]] durante la gestión de la Dra. [[Carolina Scotto]], se han sumado proyectos de extensión orientados principalmente a la enseñanza de la astronomía en los niveles pre-universitarios.

Desde el OAC se llevan a cabo los siguientes programas:
* [http://gafoaceaba.blogspot.com.ar/ Grupo de Astrometría y Fotometría] en el que participan investigadores, astrónomos aficionados, estudiantes y docentes pre-universitario que contribuyen a las investigaciones científicas mundiales.
* [http://www.olimpiadas.oac.uncor.edu/ Olimpíada Argentina de Astronomía] destinada a estudiantes de nivel secundario y para establecimientos con modalidad especial
* [http://www.oac.uncor.edu/M5SM1.html Cursos de articulación con puntaje docente destinados a docentes de nivel secundario]
* Talleres sobre el manejo de telescopios portátiles

Entre las actividades de divulgación que se desarrollan desde el Observatorio Astronómico hacia la comunidad en general se pueden mencionar:
* Atención al público en general en la sede central una vez por semana en horario vespertino
* Atención al público en general en la estación astrofísica de bosque alegre los fines de semana en horario diurno y nocturno
* Atención de visitas de establecimientos educativos en la sede central
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/2013/03/nueva-modalidad-de-inscripcion-on-line.html Atención de establecimientos educativos en la estación astrofísica de bosque alegre]
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/search/label/Telescopio%20Itinerante Telescopio itinerante] por las distintas ciudades del interior de Córdoba y Argentina
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/~mario/2013/ Conferencias para todo público] una vez por mes
* Difusión diaria de la astronomía, la ciencia en general, y las actividades del OAC por medio de las redes sociales ([http://www.facebook.com/pages/Observatorio-Astron%C3%B3mico-de-C%C3%B3rdoba-OAC/108460115866648 facebook], G+, [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/ blog], twitter)

== Directores ==
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center"
|+''' Directores por época'''
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Benjamin Apthorp Gould]]
| 1871-1885
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[John Macon Thome]]
| 1885-1908
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. Eleodoro Sarmiento (Interino)
| 1908-1909
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Charles Dillon Perrine]]
| 1909-1936
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. [[Félix Aguilar]] (Interventor)
| 1936-1937
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. Juan José Nissen
| 1937-1940
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1940-1947
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Ricardo P. Platzeck (Interino)
| 1947-1951
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]] (Interino)
| 1951-1953
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Sahade
| 1953-1955
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]]
| 1955-1956
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1956-1957
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Livio Gratton
| 1957-1960
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Landi Dessy (Interino)
| 1960-1971
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]] (Director Sustituto)
| 1971-1972
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1972-1973
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Roberto Félix Sisteró
| 1973-1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Carlos R. Fourcade (Director sustituto)
| 1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1976-1982
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]]
| 1982-1983
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1984-1995
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Juan José Clariá Olmedo
| 1995-1998
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1998-2002
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 2002-2005
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Emilio Lapasset
| 2005-2011
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Diego García Lambas
| 2011 - Actual
|}

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita libro
| título = Enrique Gaviola y el Observatorio Astronómico de Córdoba. Su impacto en el desarrollo de la ciencia argentina.
| autor = Omar Bernaola |Bernaola, Omar
| editorial = Saber y Tiempo
| id = ISBN 987-98946-0-X
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Uranometría Argentina 2001, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Paolantonio Santiago y Minniti Edgardo
| editorial = SECyT/OAC Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 987-43-3817-2
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Córdoba Estelar, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Minniti Edgardo y Paolantonio Santiago
| editorial = Observatorio Astronómico - Editorial Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 978-950-33-0709-0
| año = 2009
}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.oac.uncor.edu/ Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional de Córdoba]
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/ Instituto de Astronomía Teórica Experimental, OAC-CONICET]
* [http://www.moa.oac.uncor.edu/ Museo Astronómico "Pte D. F. Sarmiento - Dr. B. A. Gould"]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/ Historia de la Astronomía]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/verarticulo/Visita_a_la_Estacion_Astrofisica_de_Bosque_Alegre.html Visita a la Estación Astrofísica de Bosque Alegre]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/foros/about472.html ESTACIÓN ASTROFISICA DE BOSQUE ALEGRE]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/2008/12/14/reinauguran-bosque-alegre/ La Estación Astrofísica de Bosque Alegre nuevamente en función]
* [http://www.unc.edu.ar/institucional/unidades/bosquealegre Estación Astrofísica de Bosque Alegre]

[[Categoría:Observatorios astronómicos de Argentina|C]]
[[Categoría:Córdoba (Argentina)]]

Observatorio Astronómico de Córdoba

2013-04-15T18:34:33Z

200.16.16.13: /* Extensión y Divulgación de la Astronomía */

{{Ficha de observatorio
|nombre = Observatorio Astronómico de Córdoba (OAC)
|imagen =
|imagen_tamaño =
|imagen_pie =
|organización =
|código = 821 (EABA) - 822 (OAC),
|situación = [[provincia de Córdoba (Argentina)|provincia de Córdoba]], [[Argentina]]
|coordenadas = {{coord|-31.42083333|-64.19666666}},
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|fundadoen = 1871,
|cerradoen =
|sitio web = [http://www.oac.uncor.edu/index.html]
|telescopioX_nombre =
|telescopioX_tipo =
}}

[[Archivo:Observatorio-cba.jpg|thumb|350px|Fachada principal del Observatorio de Córdoba]]

El '''Observatorio Astronómico de Córdoba''' es una institución de investigación, docencia y extensión astronómica [[argentina]] perteneciente a la [[Universidad Nacional de Córdoba]], creada el [[24 de octubre]] de [[1871]] por el [[Presidente de Argentina|presidente]] [[Domingo F. Sarmiento]], quien permitió a su pueblo tener un contacto directo con la [[astronomía]].

Latitud: 31º 25' 15'' (Sur)
Longitud: 4h 16m 47,2s (Oeste)

Dirección: Laprida 854, Ciudad de Córdoba, Argentina

== Historia ==

El inicio de estudios astronómicos en la Argentina es obra indiscutible de [[Domingo Faustino Sarmiento]]. Cuando era representante de su país en Estados Unidos, tuvo oportunidad de conocer al astrónomo [[Benjamín Apthorp Gould]], quien teniendo por entonces deseos de viajar a la Argentina para realizar estudios estelares del hemisferio Sur, ofreció con ese fin sus servicios científicos.

Ya instalado como presidente de su país, Sarmiento invitó en 1869 al eminente científico a viajar a la Argentina prestándole todo su apoyo para organizar un observatorio. Gould llegó a Buenos Aires en 1870 y tuvo que esperar pacientemente la llegada de los aparatos encargados a una firma europea. Pero, en la espera del instrumental científico, comenzó a simple vista y con ayuda de un anteojo de teatro, un mapa del cielo austral que el [[24 de octubre]] de [[1871]], fecha de inauguración del Observatorio Astronómico de Córdoba, contaba con más de 7.000 estrellas registradas, posteriormente publicado bajo el nombre de '''Uranometría Argentina'''.

[[Archivo:Observatorio de Bosque Alegre.JPG|thumb|200px|Observatorio Astronómico de Bosque Alegre, vinculado al observatorio desde 1942.]]

Como director del observatorio su labor de organizador y científico se prolongó hasta 1885, año que marca su regreso a Estados Unidos. Entre sus trabajos debemos mencionar su ''Catálogo de Zonas'' (1884), donde dejó registradas más de 70.000 estrellas del hemisferio austral, y el ''Catálogo General Argentino'' que contiene alrededor de 35.000 estrellas cuyas posiciones fueron fijadas con muy buena precisión.

Fue también gracias a Gould que en el observatorio se tomaron las que serían unas de las primeras [[fotografías]] estelares del mundo. Para este trabajo se tomaron cientos de placas de cúmulos estelares abiertos del hemisferio sur, que posteriormente se midieron para determinar las posiciones de sus estrellas. Esta obra fue la primera sistemática y de envergadura que se realizó en astronomía empleando la técnica fotográfica. Se publicó en 1897 con el nombre '''Fotografías Cordobesas'''.

La publicación de los primeros mapeos importantes del cielo austral tuvo su punto culminante con la conclusión en 1908 del monumental ''Córdoba Durchmusterung''. Este catálogo de 613.718 [[estrellas]] es aún hoy la base para un punto de referencia obligado en la historia de la [[Astronomía]] mundial.
Entre los más destacados aportes realizados por el Observatorio Astronómico de Córdoba a principios del siglo XX debe mencionarse el de la confección, junto con observatorios de otras latitudes, del primer gran relevamiento fotográfico de los cielos ("''Carte du Ciel''"), y la determinación, junto con 35 observatorios de todo el mundo, de la órbita del asteroide Eros, tarea ésta que permitió mejorar substancialmente la determinación de la distancia Tierra - Sol.

Históricamente, el Observatorio Astronómico de Córdoba realizó aportes no sólo en el área de la astronomía, también los hizo en distintos aspectos sociales:
* los catálogos estelares de precisión levantados con el círculo meridiano desde la época de Gould han servido para la determinación de la hora y para la navegación en todo el hemisferio austral.
* El servicio Meteorológico Nacional tuvo su origen en la Oficina Meteorológica creada por Sarmiento, a propuesta de Gould, en 1872, como parte del Observatorio Astronómico de Córdoba. También bajo la dirección de Gould, se realizaron las primeras determinaciones precisas de diferencias de longitud y de altura entre Buenos Aires, Rosario, Córdoba, Santiago de Chile. Y las primeras operaciones exactas de contraste de pesas y medidas fueron hechas en el observatorio, por encargo del Gobierno Nacional.
* El servicio telegráfico de la hora oficial estuvo cargo del observatorio por muchos años, pasando luego al Observatorio Naval.

[[Archivo:Observatoriobosquealegre.jpg|thumb|200px|left|Vista del Observatorio de Bosque Alegre desde la ladera Oeste de la Sierras Chicas.]]

Bajo la dirección de [[Enrique Gaviola]] (entre 1940 y 1947 y de 1956 a 1957) el Observatorio Astronómico de Córdoba se transformó en un centro científico de primer orden, con el diseño y construcción de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] inaugurada en 1942. La misma está situada en las Sierras Chicas, a 25 kilómetros de la ciudad de [[Alta Gracia]], a 1250 metros sobre el nivel del mar. Hizo que el observatorio se vinculara con la Asociación Física Argentina y consiguió personal y científicos de dedicación exclusiva además de un excelente taller de óptica. Allí se formaron entre otros [[Mario Bunge]], [[Ernesto Sabato]] y [[José Antonio Balseiro]].

Actualmente en esta institución se desarrollan tareas de investigación científica, docencia de pre y post grado y actividades de extensión a la comunidad. En la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] se realizan observaciones con instrumental de [[fotometría]] y [[espectroscopia]].

Desde 1955 el Observatorio Astronómico y su Estación Astrofísica dependen de la [[Universidad Nacional de Córdoba]].
La Unión Astronómica Internacional le ha asignado el Código 822.

== Investigación y desarrollo instrumental ==
Los investigadores de esta Institución están en su mayoría formados en la [[Universidad Nacional de Córdoba]] y especializados en los centros de mayor nivel académico del mundo. En el Observatorio Astronómico de Córdoba se realizan investigaciones en astronomía desde distintas perspectivas: observacional, estadística, teórica y de desarrollo instrumental. Las principales áreas en las que se centran los estudios son: 'Física Solar', 'Sistemas Planetarios', 'Astrofísica Estelar', 'Astrometría, instrumentación y técnicas observacionales', 'Medio Interestelar y Estructura galáctica', 'Astronomía Extragaláctica y Cosmología' y 'Historia de la astronomía'.
Los resultados de estas investigaciones son dados a conocer en publicaciones internacionales y en reuniones científicas dentro de las correspondientes áreas.

El Observatorio Astronómico de Córdoba cuenta con personal técnico y de Ingeniería que desarrolla técnicas e instrumentos necesarios para la investigación astronómica. El personal de instrumentación ha construido completamente un telescopio de 0.76 metros de diámetro que en 2012 ha sido instalado en una cúpula secundaria de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre. Además, participan activamente de la construcción de un nuevo observatorio ubicado en Tolar Grande, en la provincia de Salta, y de la remotización de los telescopios disponibles tanto en la Estación Astrofísica de Bosque Alegre como en la sede central del Observatorio Astronómico de Córdoba.

=== Proyectos observacionales===
Desde 1992, [[Argentina]] participa junto con [[Estados Unidos]], [[Inglaterra]], [[Canadá]], [[Francia]], [[Australia]], [[Brasil]] y [[Chile]] como país huésped, en un convenio internacional denominado [[Observatorio Gemini|Proyecto Gemini]], el cual consistió en la construcción de dos grandes telescopios de 8 metros de diámetro cada uno, ubicados en [[Hawai]] y [[Chile]]. El tiempo de observación en ambos telescopios es compartido por los astrónomos de los países participantes con una fracción de tiempo proporcional al aporte económico que cada país realiza. Argentina cuenta con el 2.5% del tiempo total disponible para ciencia en cada telescopio. Estos poderosos telescopios comenzaron a operar a fines del siglo pasado y significaron un nuevo y gran paso hacia el conocimiento.

La globalización ha permitido modificar la forma en la que la información es obtenida y analizada. Los astrónomos observacionales del Observatorio Astronómico de Córdoba tienen acceso a distintos observatorios del mundo mediante la presentación de un proyecto de observación que está sujeto a la evaluación por sus pares para la asignación de tiempo de observación. En algunos observatorios internacionales, se realizan observaciones "a distancia", es decir, que esos observatorios tienen ingenieros operadores de los telescopios, quienes son los encargados de realizar las observaciones, y luego los datos recopilados son enviados a los investigadores líderes del proyecto presentado, por lo que no es indispensable el traslado de los astrónomos a los sitios de observación.

Los astrónomos del OAC tienen además la posibilidad de utilizar las facilidades del telescopio de 2,15 metros de diámetro del [[Complejo Astronómico El Leoncito|Complejo Astronómico 'El Leoncito']], ubicado en San Juan, y del telescopio de 1,54 metros de diámetro de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] perteneciente al Observatorio Astronómico de Córdoba.

Con motivo de cumplirse 70 años de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre, durante el mes de noviembre de 2012 se llevaron a cabo algunas obras de remodelación de dos de las cúpulas menores. En una de ellas se instaló un telescopio CELESTRON de 11 pulgadas provisto por [http://en.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_Astronomía_Teórica_y_Experimental_(IATE) Instituto de Astronomía Teórica y Experimental (IATE)], robotizado y en la segunda cúpula un telescopio de 0,76 mt de diámetro bautizado "Charles Perrine" <ref>http://www.oac.uncor.edu/</ref>

== Docencia y Formación de Recursos Humanos ==
Si bien el Observatorio no es una unidad académica, los investigadores del Observatorio Astronómico que tienen cargos docentes de la [[Universidad Nacional de Córdoba]] participan en la distribución docente de la [[Facultad de Matemática, Astronomía y Física (Universidad Nacional de Córdoba)|Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF)]] con la cual existe un convenio que establece este acuerdo. Los docentes del OAC dictan materias de grado y post-grado en las carreras de FaMAF, como así también en las distintas unidades académicas con las que FaMAF tiene convenios.

Los investigadores del Observatorio se desempeñan como directores/co-directores en los trabajos finales y tesis de los alumnos de la Licenciatura en Astronomía y el Doctorado en Astronomía, ambas carreras pertencecientes a la FaMAF.

== Extensión y Divulgación de la Astronomía ==

Históricamente esta institución se ha destacado por su labor divulgativa de la astronomía con el objetivo de ayudar a la comunidad a entender las maravillas del Universo y la importancia de la ciencia en la vida cotidiana. Además, en concordancia con la política extensionista impulsada por la [[Universidad Nacional de Córdoba]] durante la gestión de la Dra. [[Carolina Scotto]], se han sumado proyectos de extensión orientados principalmente a la enseñanza de la astronomía en los niveles pre-universitarios.

Desde el OAC se llevan a cabo los siguientes programas:
* [http://gafoaceaba.blogspot.com.ar/ Grupo de Astrometría y Fotometría] en el que participan investigadores, astrónomos aficionados, estudiantes y docentes pre-universitario que contribuyen a las investigaciones científicas mundiales.
* [http://www.olimpiadas.oac.uncor.edu/ Olimpíada Argentina de Astronomía] destinada a estudiantes de nivel secundario y para establecimientos con modalidad especial
* [http://www.oac.uncor.edu/M5SM1.html Cursos de articulación con puntaje docente destinados a docentes de nivel secundario]

Entre las actividades de divulgación que se desarrollan desde el Observatorio Astronómico hacia la comunidad en general se pueden mencionar:
* Atención al público en general en la sede central una vez por semana en horario vespertino
* Atención al público en general en la estación astrofísica de bosque alegre los fines de semana en horario diurno y nocturno
* Atención de visitas de establecimientos educativos en la sede central
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/2013/03/nueva-modalidad-de-inscripcion-on-line.html Atención de establecimientos educativos en la estación astrofísica de bosque alegre]
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/search/label/Telescopio%20Itinerante Telescopio itinerante] por las distintas ciudades del interior de Córdoba y Argentina
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/~mario/2013/ Conferencias para todo público] una vez por mes
* Difusión diaria de la astronomía, la ciencia en general, y las actividades del OAC por medio de las redes sociales ([http://www.facebook.com/pages/Observatorio-Astron%C3%B3mico-de-C%C3%B3rdoba-OAC/108460115866648 facebook], G+, [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/ blog], twitter)

== Directores ==
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center"
|+''' Directores por época'''
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Benjamin Apthorp Gould]]
| 1871-1885
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[John Macon Thome]]
| 1885-1908
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. Eleodoro Sarmiento (Interino)
| 1908-1909
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Charles Dillon Perrine]]
| 1909-1936
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. [[Félix Aguilar]] (Interventor)
| 1936-1937
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. Juan José Nissen
| 1937-1940
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1940-1947
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Ricardo P. Platzeck (Interino)
| 1947-1951
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]] (Interino)
| 1951-1953
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Sahade
| 1953-1955
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]]
| 1955-1956
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1956-1957
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Livio Gratton
| 1957-1960
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Landi Dessy (Interino)
| 1960-1971
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]] (Director Sustituto)
| 1971-1972
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1972-1973
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Roberto Félix Sisteró
| 1973-1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Carlos R. Fourcade (Director sustituto)
| 1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1976-1982
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]]
| 1982-1983
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1984-1995
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Juan José Clariá Olmedo
| 1995-1998
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1998-2002
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 2002-2005
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Emilio Lapasset
| 2005-2011
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Diego García Lambas
| 2011 - Actual
|}

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita libro
| título = Enrique Gaviola y el Observatorio Astronómico de Córdoba. Su impacto en el desarrollo de la ciencia argentina.
| autor = Omar Bernaola |Bernaola, Omar
| editorial = Saber y Tiempo
| id = ISBN 987-98946-0-X
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Uranometría Argentina 2001, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Paolantonio Santiago y Minniti Edgardo
| editorial = SECyT/OAC Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 987-43-3817-2
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Córdoba Estelar, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Minniti Edgardo y Paolantonio Santiago
| editorial = Observatorio Astronómico - Editorial Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 978-950-33-0709-0
| año = 2009
}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.oac.uncor.edu/ Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional de Córdoba]
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/ Instituto de Astronomía Teórica Experimental, OAC-CONICET]
* [http://www.moa.oac.uncor.edu/ Museo Astronómico "Pte D. F. Sarmiento - Dr. B. A. Gould"]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/ Historia de la Astronomía]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/verarticulo/Visita_a_la_Estacion_Astrofisica_de_Bosque_Alegre.html Visita a la Estación Astrofísica de Bosque Alegre]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/foros/about472.html ESTACIÓN ASTROFISICA DE BOSQUE ALEGRE]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/2008/12/14/reinauguran-bosque-alegre/ La Estación Astrofísica de Bosque Alegre nuevamente en función]
* [http://www.unc.edu.ar/institucional/unidades/bosquealegre Estación Astrofísica de Bosque Alegre]

[[Categoría:Observatorios astronómicos de Argentina|C]]
[[Categoría:Córdoba (Argentina)]]

Observatorio Astronómico de Córdoba

2013-04-15T18:31:56Z

200.16.16.13: /* Extensión y Divulgación de la Astronomía */

{{Ficha de observatorio
|nombre = Observatorio Astronómico de Córdoba (OAC)
|imagen =
|imagen_tamaño =
|imagen_pie =
|organización =
|código = 821 (EABA) - 822 (OAC),
|situación = [[provincia de Córdoba (Argentina)|provincia de Córdoba]], [[Argentina]]
|coordenadas = {{coord|-31.42083333|-64.19666666}},
|altitud =
|clima =
|fundadoen = 1871,
|cerradoen =
|sitio web = [http://www.oac.uncor.edu/index.html]
|telescopioX_nombre =
|telescopioX_tipo =
}}

[[Archivo:Observatorio-cba.jpg|thumb|350px|Fachada principal del Observatorio de Córdoba]]

El '''Observatorio Astronómico de Córdoba''' es una institución de investigación, docencia y extensión astronómica [[argentina]] perteneciente a la [[Universidad Nacional de Córdoba]], creada el [[24 de octubre]] de [[1871]] por el [[Presidente de Argentina|presidente]] [[Domingo F. Sarmiento]], quien permitió a su pueblo tener un contacto directo con la [[astronomía]].

Latitud: 31º 25' 15'' (Sur)
Longitud: 4h 16m 47,2s (Oeste)

Dirección: Laprida 854, Ciudad de Córdoba, Argentina

== Historia ==

El inicio de estudios astronómicos en la Argentina es obra indiscutible de [[Domingo Faustino Sarmiento]]. Cuando era representante de su país en Estados Unidos, tuvo oportunidad de conocer al astrónomo [[Benjamín Apthorp Gould]], quien teniendo por entonces deseos de viajar a la Argentina para realizar estudios estelares del hemisferio Sur, ofreció con ese fin sus servicios científicos.

Ya instalado como presidente de su país, Sarmiento invitó en 1869 al eminente científico a viajar a la Argentina prestándole todo su apoyo para organizar un observatorio. Gould llegó a Buenos Aires en 1870 y tuvo que esperar pacientemente la llegada de los aparatos encargados a una firma europea. Pero, en la espera del instrumental científico, comenzó a simple vista y con ayuda de un anteojo de teatro, un mapa del cielo austral que el [[24 de octubre]] de [[1871]], fecha de inauguración del Observatorio Astronómico de Córdoba, contaba con más de 7.000 estrellas registradas, posteriormente publicado bajo el nombre de '''Uranometría Argentina'''.

[[Archivo:Observatorio de Bosque Alegre.JPG|thumb|200px|Observatorio Astronómico de Bosque Alegre, vinculado al observatorio desde 1942.]]

Como director del observatorio su labor de organizador y científico se prolongó hasta 1885, año que marca su regreso a Estados Unidos. Entre sus trabajos debemos mencionar su ''Catálogo de Zonas'' (1884), donde dejó registradas más de 70.000 estrellas del hemisferio austral, y el ''Catálogo General Argentino'' que contiene alrededor de 35.000 estrellas cuyas posiciones fueron fijadas con muy buena precisión.

Fue también gracias a Gould que en el observatorio se tomaron las que serían unas de las primeras [[fotografías]] estelares del mundo. Para este trabajo se tomaron cientos de placas de cúmulos estelares abiertos del hemisferio sur, que posteriormente se midieron para determinar las posiciones de sus estrellas. Esta obra fue la primera sistemática y de envergadura que se realizó en astronomía empleando la técnica fotográfica. Se publicó en 1897 con el nombre '''Fotografías Cordobesas'''.

La publicación de los primeros mapeos importantes del cielo austral tuvo su punto culminante con la conclusión en 1908 del monumental ''Córdoba Durchmusterung''. Este catálogo de 613.718 [[estrellas]] es aún hoy la base para un punto de referencia obligado en la historia de la [[Astronomía]] mundial.
Entre los más destacados aportes realizados por el Observatorio Astronómico de Córdoba a principios del siglo XX debe mencionarse el de la confección, junto con observatorios de otras latitudes, del primer gran relevamiento fotográfico de los cielos ("''Carte du Ciel''"), y la determinación, junto con 35 observatorios de todo el mundo, de la órbita del asteroide Eros, tarea ésta que permitió mejorar substancialmente la determinación de la distancia Tierra - Sol.

Históricamente, el Observatorio Astronómico de Córdoba realizó aportes no sólo en el área de la astronomía, también los hizo en distintos aspectos sociales:
* los catálogos estelares de precisión levantados con el círculo meridiano desde la época de Gould han servido para la determinación de la hora y para la navegación en todo el hemisferio austral.
* El servicio Meteorológico Nacional tuvo su origen en la Oficina Meteorológica creada por Sarmiento, a propuesta de Gould, en 1872, como parte del Observatorio Astronómico de Córdoba. También bajo la dirección de Gould, se realizaron las primeras determinaciones precisas de diferencias de longitud y de altura entre Buenos Aires, Rosario, Córdoba, Santiago de Chile. Y las primeras operaciones exactas de contraste de pesas y medidas fueron hechas en el observatorio, por encargo del Gobierno Nacional.
* El servicio telegráfico de la hora oficial estuvo cargo del observatorio por muchos años, pasando luego al Observatorio Naval.

[[Archivo:Observatoriobosquealegre.jpg|thumb|200px|left|Vista del Observatorio de Bosque Alegre desde la ladera Oeste de la Sierras Chicas.]]

Bajo la dirección de [[Enrique Gaviola]] (entre 1940 y 1947 y de 1956 a 1957) el Observatorio Astronómico de Córdoba se transformó en un centro científico de primer orden, con el diseño y construcción de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] inaugurada en 1942. La misma está situada en las Sierras Chicas, a 25 kilómetros de la ciudad de [[Alta Gracia]], a 1250 metros sobre el nivel del mar. Hizo que el observatorio se vinculara con la Asociación Física Argentina y consiguió personal y científicos de dedicación exclusiva además de un excelente taller de óptica. Allí se formaron entre otros [[Mario Bunge]], [[Ernesto Sabato]] y [[José Antonio Balseiro]].

Actualmente en esta institución se desarrollan tareas de investigación científica, docencia de pre y post grado y actividades de extensión a la comunidad. En la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] se realizan observaciones con instrumental de [[fotometría]] y [[espectroscopia]].

Desde 1955 el Observatorio Astronómico y su Estación Astrofísica dependen de la [[Universidad Nacional de Córdoba]].
La Unión Astronómica Internacional le ha asignado el Código 822.

== Investigación y desarrollo instrumental ==
Los investigadores de esta Institución están en su mayoría formados en la [[Universidad Nacional de Córdoba]] y especializados en los centros de mayor nivel académico del mundo. En el Observatorio Astronómico de Córdoba se realizan investigaciones en astronomía desde distintas perspectivas: observacional, estadística, teórica y de desarrollo instrumental. Las principales áreas en las que se centran los estudios son: 'Física Solar', 'Sistemas Planetarios', 'Astrofísica Estelar', 'Astrometría, instrumentación y técnicas observacionales', 'Medio Interestelar y Estructura galáctica', 'Astronomía Extragaláctica y Cosmología' y 'Historia de la astronomía'.
Los resultados de estas investigaciones son dados a conocer en publicaciones internacionales y en reuniones científicas dentro de las correspondientes áreas.

El Observatorio Astronómico de Córdoba cuenta con personal técnico y de Ingeniería que desarrolla técnicas e instrumentos necesarios para la investigación astronómica. El personal de instrumentación ha construido completamente un telescopio de 0.76 metros de diámetro que en 2012 ha sido instalado en una cúpula secundaria de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre. Además, participan activamente de la construcción de un nuevo observatorio ubicado en Tolar Grande, en la provincia de Salta, y de la remotización de los telescopios disponibles tanto en la Estación Astrofísica de Bosque Alegre como en la sede central del Observatorio Astronómico de Córdoba.

=== Proyectos observacionales===
Desde 1992, [[Argentina]] participa junto con [[Estados Unidos]], [[Inglaterra]], [[Canadá]], [[Francia]], [[Australia]], [[Brasil]] y [[Chile]] como país huésped, en un convenio internacional denominado [[Observatorio Gemini|Proyecto Gemini]], el cual consistió en la construcción de dos grandes telescopios de 8 metros de diámetro cada uno, ubicados en [[Hawai]] y [[Chile]]. El tiempo de observación en ambos telescopios es compartido por los astrónomos de los países participantes con una fracción de tiempo proporcional al aporte económico que cada país realiza. Argentina cuenta con el 2.5% del tiempo total disponible para ciencia en cada telescopio. Estos poderosos telescopios comenzaron a operar a fines del siglo pasado y significaron un nuevo y gran paso hacia el conocimiento.

La globalización ha permitido modificar la forma en la que la información es obtenida y analizada. Los astrónomos observacionales del Observatorio Astronómico de Córdoba tienen acceso a distintos observatorios del mundo mediante la presentación de un proyecto de observación que está sujeto a la evaluación por sus pares para la asignación de tiempo de observación. En algunos observatorios internacionales, se realizan observaciones "a distancia", es decir, que esos observatorios tienen ingenieros operadores de los telescopios, quienes son los encargados de realizar las observaciones, y luego los datos recopilados son enviados a los investigadores líderes del proyecto presentado, por lo que no es indispensable el traslado de los astrónomos a los sitios de observación.

Los astrónomos del OAC tienen además la posibilidad de utilizar las facilidades del telescopio de 2,15 metros de diámetro del [[Complejo Astronómico El Leoncito|Complejo Astronómico 'El Leoncito']], ubicado en San Juan, y del telescopio de 1,54 metros de diámetro de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] perteneciente al Observatorio Astronómico de Córdoba.

Con motivo de cumplirse 70 años de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre, durante el mes de noviembre de 2012 se llevaron a cabo algunas obras de remodelación de dos de las cúpulas menores. En una de ellas se instaló un telescopio CELESTRON de 11 pulgadas provisto por [http://en.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_Astronomía_Teórica_y_Experimental_(IATE) Instituto de Astronomía Teórica y Experimental (IATE)], robotizado y en la segunda cúpula un telescopio de 0,76 mt de diámetro bautizado "Charles Perrine" <ref>http://www.oac.uncor.edu/</ref>

== Docencia y Formación de Recursos Humanos ==
Si bien el Observatorio no es una unidad académica, los investigadores del Observatorio Astronómico que tienen cargos docentes de la [[Universidad Nacional de Córdoba]] participan en la distribución docente de la [[Facultad de Matemática, Astronomía y Física (Universidad Nacional de Córdoba)|Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF)]] con la cual existe un convenio que establece este acuerdo. Los docentes del OAC dictan materias de grado y post-grado en las carreras de FaMAF, como así también en las distintas unidades académicas con las que FaMAF tiene convenios.

Los investigadores del Observatorio se desempeñan como directores/co-directores en los trabajos finales y tesis de los alumnos de la Licenciatura en Astronomía y el Doctorado en Astronomía, ambas carreras pertencecientes a la FaMAF.

== Extensión y Divulgación de la Astronomía ==

Históricamente esta institución se ha destacado por su labor divulgativa de la astronomía con el objetivo de ayudar a la comunidad a entender las maravillas del Universo y la importancia de la ciencia en la vida cotidiana. Además, en concordancia con la política extensionista impulsada por la Universidad Nacional de Córdoba durante la gestión de la Dra. Carolina Scotto, se han sumado proyectos de extensión orientados principalmente a la enseñanza de la astronomía en los niveles pre-universitarios.

Desde el OAC se llevan a cabo los siguientes programas:
* [http://gafoaceaba.blogspot.com.ar/ Grupo de Astrometría y Fotometría] en el que participan investigadores, astrónomos aficionados, estudiantes y docentes pre-universitario que contribuyen a las investigaciones científicas mundiales.
* [http://www.olimpiadas.oac.uncor.edu/ Olimpíada Argentina de Astronomía] destinada a estudiantes de nivel secundario y para establecimientos con modalidad especial
* [http://www.oac.uncor.edu/M5SM1.html Cursos de articulación con puntaje docente destinados a docentes de nivel secundario]

Entre las actividades de divulgación que se desarrollan desde el Observatorio Astronómico hacia la comunidad en general se pueden mencionar:
* Atención al público en general en la sede central una vez por semana en horario vespertino
* Atención al público en general en la estación astrofísica de bosque alegre los fines de semana en horario diurno y nocturno
* Atención de visitas de establecimientos educativos en la sede central
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/2013/03/nueva-modalidad-de-inscripcion-on-line.html Atención de establecimientos educativos en la estación astrofísica de bosque alegre]
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/search/label/Telescopio%20Itinerante Telescopio itinerante] por las distintas ciudades del interior de Córdoba y Argentina
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/~mario/2013/ Conferencias para todo público] una vez por mes
* Difusión diaria de la astronomía, la ciencia en general, y las actividades del OAC por medio de las redes sociales ([http://www.facebook.com/pages/Observatorio-Astron%C3%B3mico-de-C%C3%B3rdoba-OAC/108460115866648 facebook], G+, [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/ blog], twitter)

== Directores ==
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center"
|+''' Directores por época'''
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Benjamin Apthorp Gould]]
| 1871-1885
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[John Macon Thome]]
| 1885-1908
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. Eleodoro Sarmiento (Interino)
| 1908-1909
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Charles Dillon Perrine]]
| 1909-1936
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. [[Félix Aguilar]] (Interventor)
| 1936-1937
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. Juan José Nissen
| 1937-1940
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1940-1947
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Ricardo P. Platzeck (Interino)
| 1947-1951
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]] (Interino)
| 1951-1953
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Sahade
| 1953-1955
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]]
| 1955-1956
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1956-1957
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Livio Gratton
| 1957-1960
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Landi Dessy (Interino)
| 1960-1971
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]] (Director Sustituto)
| 1971-1972
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1972-1973
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Roberto Félix Sisteró
| 1973-1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Carlos R. Fourcade (Director sustituto)
| 1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1976-1982
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]]
| 1982-1983
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1984-1995
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Juan José Clariá Olmedo
| 1995-1998
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1998-2002
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 2002-2005
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Emilio Lapasset
| 2005-2011
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Diego García Lambas
| 2011 - Actual
|}

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita libro
| título = Enrique Gaviola y el Observatorio Astronómico de Córdoba. Su impacto en el desarrollo de la ciencia argentina.
| autor = Omar Bernaola |Bernaola, Omar
| editorial = Saber y Tiempo
| id = ISBN 987-98946-0-X
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Uranometría Argentina 2001, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Paolantonio Santiago y Minniti Edgardo
| editorial = SECyT/OAC Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 987-43-3817-2
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Córdoba Estelar, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Minniti Edgardo y Paolantonio Santiago
| editorial = Observatorio Astronómico - Editorial Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 978-950-33-0709-0
| año = 2009
}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.oac.uncor.edu/ Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional de Córdoba]
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/ Instituto de Astronomía Teórica Experimental, OAC-CONICET]
* [http://www.moa.oac.uncor.edu/ Museo Astronómico "Pte D. F. Sarmiento - Dr. B. A. Gould"]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/ Historia de la Astronomía]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/verarticulo/Visita_a_la_Estacion_Astrofisica_de_Bosque_Alegre.html Visita a la Estación Astrofísica de Bosque Alegre]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/foros/about472.html ESTACIÓN ASTROFISICA DE BOSQUE ALEGRE]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/2008/12/14/reinauguran-bosque-alegre/ La Estación Astrofísica de Bosque Alegre nuevamente en función]
* [http://www.unc.edu.ar/institucional/unidades/bosquealegre Estación Astrofísica de Bosque Alegre]

[[Categoría:Observatorios astronómicos de Argentina|C]]
[[Categoría:Córdoba (Argentina)]]

Observatorio Astronómico de Córdoba

2013-04-15T18:28:39Z

200.16.16.13: /* Investigación y desarrollo instrumental */

{{Ficha de observatorio
|nombre = Observatorio Astronómico de Córdoba (OAC)
|imagen =
|imagen_tamaño =
|imagen_pie =
|organización =
|código = 821 (EABA) - 822 (OAC),
|situación = [[provincia de Córdoba (Argentina)|provincia de Córdoba]], [[Argentina]]
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|fundadoen = 1871,
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|sitio web = [http://www.oac.uncor.edu/index.html]
|telescopioX_nombre =
|telescopioX_tipo =
}}

[[Archivo:Observatorio-cba.jpg|thumb|350px|Fachada principal del Observatorio de Córdoba]]

El '''Observatorio Astronómico de Córdoba''' es una institución de investigación, docencia y extensión astronómica [[argentina]] perteneciente a la [[Universidad Nacional de Córdoba]], creada el [[24 de octubre]] de [[1871]] por el [[Presidente de Argentina|presidente]] [[Domingo F. Sarmiento]], quien permitió a su pueblo tener un contacto directo con la [[astronomía]].

Latitud: 31º 25' 15'' (Sur)
Longitud: 4h 16m 47,2s (Oeste)

Dirección: Laprida 854, Ciudad de Córdoba, Argentina

== Historia ==

El inicio de estudios astronómicos en la Argentina es obra indiscutible de [[Domingo Faustino Sarmiento]]. Cuando era representante de su país en Estados Unidos, tuvo oportunidad de conocer al astrónomo [[Benjamín Apthorp Gould]], quien teniendo por entonces deseos de viajar a la Argentina para realizar estudios estelares del hemisferio Sur, ofreció con ese fin sus servicios científicos.

Ya instalado como presidente de su país, Sarmiento invitó en 1869 al eminente científico a viajar a la Argentina prestándole todo su apoyo para organizar un observatorio. Gould llegó a Buenos Aires en 1870 y tuvo que esperar pacientemente la llegada de los aparatos encargados a una firma europea. Pero, en la espera del instrumental científico, comenzó a simple vista y con ayuda de un anteojo de teatro, un mapa del cielo austral que el [[24 de octubre]] de [[1871]], fecha de inauguración del Observatorio Astronómico de Córdoba, contaba con más de 7.000 estrellas registradas, posteriormente publicado bajo el nombre de '''Uranometría Argentina'''.

[[Archivo:Observatorio de Bosque Alegre.JPG|thumb|200px|Observatorio Astronómico de Bosque Alegre, vinculado al observatorio desde 1942.]]

Como director del observatorio su labor de organizador y científico se prolongó hasta 1885, año que marca su regreso a Estados Unidos. Entre sus trabajos debemos mencionar su ''Catálogo de Zonas'' (1884), donde dejó registradas más de 70.000 estrellas del hemisferio austral, y el ''Catálogo General Argentino'' que contiene alrededor de 35.000 estrellas cuyas posiciones fueron fijadas con muy buena precisión.

Fue también gracias a Gould que en el observatorio se tomaron las que serían unas de las primeras [[fotografías]] estelares del mundo. Para este trabajo se tomaron cientos de placas de cúmulos estelares abiertos del hemisferio sur, que posteriormente se midieron para determinar las posiciones de sus estrellas. Esta obra fue la primera sistemática y de envergadura que se realizó en astronomía empleando la técnica fotográfica. Se publicó en 1897 con el nombre '''Fotografías Cordobesas'''.

La publicación de los primeros mapeos importantes del cielo austral tuvo su punto culminante con la conclusión en 1908 del monumental ''Córdoba Durchmusterung''. Este catálogo de 613.718 [[estrellas]] es aún hoy la base para un punto de referencia obligado en la historia de la [[Astronomía]] mundial.
Entre los más destacados aportes realizados por el Observatorio Astronómico de Córdoba a principios del siglo XX debe mencionarse el de la confección, junto con observatorios de otras latitudes, del primer gran relevamiento fotográfico de los cielos ("''Carte du Ciel''"), y la determinación, junto con 35 observatorios de todo el mundo, de la órbita del asteroide Eros, tarea ésta que permitió mejorar substancialmente la determinación de la distancia Tierra - Sol.

Históricamente, el Observatorio Astronómico de Córdoba realizó aportes no sólo en el área de la astronomía, también los hizo en distintos aspectos sociales:
* los catálogos estelares de precisión levantados con el círculo meridiano desde la época de Gould han servido para la determinación de la hora y para la navegación en todo el hemisferio austral.
* El servicio Meteorológico Nacional tuvo su origen en la Oficina Meteorológica creada por Sarmiento, a propuesta de Gould, en 1872, como parte del Observatorio Astronómico de Córdoba. También bajo la dirección de Gould, se realizaron las primeras determinaciones precisas de diferencias de longitud y de altura entre Buenos Aires, Rosario, Córdoba, Santiago de Chile. Y las primeras operaciones exactas de contraste de pesas y medidas fueron hechas en el observatorio, por encargo del Gobierno Nacional.
* El servicio telegráfico de la hora oficial estuvo cargo del observatorio por muchos años, pasando luego al Observatorio Naval.

[[Archivo:Observatoriobosquealegre.jpg|thumb|200px|left|Vista del Observatorio de Bosque Alegre desde la ladera Oeste de la Sierras Chicas.]]

Bajo la dirección de [[Enrique Gaviola]] (entre 1940 y 1947 y de 1956 a 1957) el Observatorio Astronómico de Córdoba se transformó en un centro científico de primer orden, con el diseño y construcción de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] inaugurada en 1942. La misma está situada en las Sierras Chicas, a 25 kilómetros de la ciudad de [[Alta Gracia]], a 1250 metros sobre el nivel del mar. Hizo que el observatorio se vinculara con la Asociación Física Argentina y consiguió personal y científicos de dedicación exclusiva además de un excelente taller de óptica. Allí se formaron entre otros [[Mario Bunge]], [[Ernesto Sabato]] y [[José Antonio Balseiro]].

Actualmente en esta institución se desarrollan tareas de investigación científica, docencia de pre y post grado y actividades de extensión a la comunidad. En la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] se realizan observaciones con instrumental de [[fotometría]] y [[espectroscopia]].

Desde 1955 el Observatorio Astronómico y su Estación Astrofísica dependen de la [[Universidad Nacional de Córdoba]].
La Unión Astronómica Internacional le ha asignado el Código 822.

== Investigación y desarrollo instrumental ==
Los investigadores de esta Institución están en su mayoría formados en la [[Universidad Nacional de Córdoba]] y especializados en los centros de mayor nivel académico del mundo. En el Observatorio Astronómico de Córdoba se realizan investigaciones en astronomía desde distintas perspectivas: observacional, estadística, teórica y de desarrollo instrumental. Las principales áreas en las que se centran los estudios son: 'Física Solar', 'Sistemas Planetarios', 'Astrofísica Estelar', 'Astrometría, instrumentación y técnicas observacionales', 'Medio Interestelar y Estructura galáctica', 'Astronomía Extragaláctica y Cosmología' y 'Historia de la astronomía'.
Los resultados de estas investigaciones son dados a conocer en publicaciones internacionales y en reuniones científicas dentro de las correspondientes áreas.

El Observatorio Astronómico de Córdoba cuenta con personal técnico y de Ingeniería que desarrolla técnicas e instrumentos necesarios para la investigación astronómica. El personal de instrumentación ha construido completamente un telescopio de 0.76 metros de diámetro que en 2012 ha sido instalado en una cúpula secundaria de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre. Además, participan activamente de la construcción de un nuevo observatorio ubicado en Tolar Grande, en la provincia de Salta, y de la remotización de los telescopios disponibles tanto en la Estación Astrofísica de Bosque Alegre como en la sede central del Observatorio Astronómico de Córdoba.

=== Proyectos observacionales===
Desde 1992, [[Argentina]] participa junto con [[Estados Unidos]], [[Inglaterra]], [[Canadá]], [[Francia]], [[Australia]], [[Brasil]] y [[Chile]] como país huésped, en un convenio internacional denominado [[Observatorio Gemini|Proyecto Gemini]], el cual consistió en la construcción de dos grandes telescopios de 8 metros de diámetro cada uno, ubicados en [[Hawai]] y [[Chile]]. El tiempo de observación en ambos telescopios es compartido por los astrónomos de los países participantes con una fracción de tiempo proporcional al aporte económico que cada país realiza. Argentina cuenta con el 2.5% del tiempo total disponible para ciencia en cada telescopio. Estos poderosos telescopios comenzaron a operar a fines del siglo pasado y significaron un nuevo y gran paso hacia el conocimiento.

La globalización ha permitido modificar la forma en la que la información es obtenida y analizada. Los astrónomos observacionales del Observatorio Astronómico de Córdoba tienen acceso a distintos observatorios del mundo mediante la presentación de un proyecto de observación que está sujeto a la evaluación por sus pares para la asignación de tiempo de observación. En algunos observatorios internacionales, se realizan observaciones "a distancia", es decir, que esos observatorios tienen ingenieros operadores de los telescopios, quienes son los encargados de realizar las observaciones, y luego los datos recopilados son enviados a los investigadores líderes del proyecto presentado, por lo que no es indispensable el traslado de los astrónomos a los sitios de observación.

Los astrónomos del OAC tienen además la posibilidad de utilizar las facilidades del telescopio de 2,15 metros de diámetro del [[Complejo Astronómico El Leoncito|Complejo Astronómico 'El Leoncito']], ubicado en San Juan, y del telescopio de 1,54 metros de diámetro de la [[Estación Astrofísica de Bosque Alegre]] perteneciente al Observatorio Astronómico de Córdoba.

Con motivo de cumplirse 70 años de la Estación Astrofísica de Bosque Alegre, durante el mes de noviembre de 2012 se llevaron a cabo algunas obras de remodelación de dos de las cúpulas menores. En una de ellas se instaló un telescopio CELESTRON de 11 pulgadas provisto por [http://en.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_Astronomía_Teórica_y_Experimental_(IATE) Instituto de Astronomía Teórica y Experimental (IATE)], robotizado y en la segunda cúpula un telescopio de 0,76 mt de diámetro bautizado "Charles Perrine" <ref>http://www.oac.uncor.edu/</ref>

== Docencia y Formación de Recursos Humanos ==
Si bien el Observatorio no es una unidad académica, los investigadores del Observatorio Astronómico que tienen cargos docentes de la [[Universidad Nacional de Córdoba]] participan en la distribución docente de la [[Facultad de Matemática, Astronomía y Física (Universidad Nacional de Córdoba)|Facultad de Matemática, Astronomía y Física (FaMAF)]] con la cual existe un convenio que establece este acuerdo. Los docentes del OAC dictan materias de grado y post-grado en las carreras de FaMAF, como así también en las distintas unidades académicas con las que FaMAF tiene convenios.

Los investigadores del Observatorio se desempeñan como directores/co-directores en los trabajos finales y tesis de los alumnos de la Licenciatura en Astronomía y el Doctorado en Astronomía, ambas carreras pertencecientes a la FaMAF.

== Extensión y Divulgación de la Astronomía ==

Históricamente esta institución se ha destacado por su labor divulgativa de la astronomía con el objetivo de ayudar a la comunidad a entender las maravillas del Universo y la importancia de la ciencia en la vida cotidiana. Además, en concordancia con la política extensionista impulsada por la Universidad Nacional de Córdoba durante la gestión de la Dra. Carolina Scotto, se han sumado proyectos de extensión orientados principalmente a la enseñanza de la astronomía en los niveles pre-universitarios.

Desde el OAC se llevan a cabo los siguientes programas:
* [http://gafoaceaba.blogspot.com.ar/ Grupo de Astrometría y Fotometría] en el que participan investigadores, astrónomos aficionados, estudiantes y docentes pre-universitario que contribuyen a las investigaciones científicas mundiales.
* [http://www.olimpiadas.oac.uncor.edu/ Olimpíada Argentina de Astronomía] destinada a estudiantes de nivel secundario y para establecimientos con modalidad especial
* [http://www.oac.uncor.edu/M5SM1.html Cursos de articulación con puntaje docente destinados a docentes de nivel secundario]

Entre las actividades de divulgación que se desarrollan desde el Observatorio Astronómico hacia la comunidad en general se pueden mencionar:
* Atención al público en general en la sede central una vez por semana en horario vespertino
* Atención al público en general en la estación astrofísica de bosque alegre los fines de semana en horario diurno y nocturno
* Atención de visitas de establecimientos educativos en la sede central
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/2013/03/nueva-modalidad-de-inscripcion-on-line.html Atención de establecimientos educativos en la estación astrofísica de bosque alegre]
* [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/search/label/Telescopio%20Itinerante Telescopio itinerante] por las distintas ciudades del interior de Córdoba y Argentina
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/~mario/2013/ Conferencias para todo público] una vez por mes
* Difusión de la astronomía, la ciencia en general, y las actividades del OAC por medio de las redes sociales ([http://www.facebook.com/pages/Observatorio-Astron%C3%B3mico-de-C%C3%B3rdoba-OAC/108460115866648 facebook], G+, [http://astronomiadecordoba.blogspot.com.ar/ blog], twitter)

== Directores ==
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center"
|+''' Directores por época'''
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Benjamin Apthorp Gould]]
| 1871-1885
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[John Macon Thome]]
| 1885-1908
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. Eleodoro Sarmiento (Interino)
| 1908-1909
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Charles Dillon Perrine]]
| 1909-1936
|-
! style="background:#efefef;"| Ing. [[Félix Aguilar]] (Interventor)
| 1936-1937
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. Juan José Nissen
| 1937-1940
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1940-1947
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Ricardo P. Platzeck (Interino)
| 1947-1951
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]] (Interino)
| 1951-1953
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Sahade
| 1953-1955
|-
! style="background:#efefef;"| Sr. [[Jorge Bobone]]
| 1955-1956
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[Ramón Enrique Gaviola]]
| 1956-1957
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Livio Gratton
| 1957-1960
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Jorge Landi Dessy (Interino)
| 1960-1971
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]] (Director Sustituto)
| 1971-1972
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1972-1973
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Roberto Félix Sisteró
| 1973-1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Carlos R. Fourcade (Director sustituto)
| 1976
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 1976-1982
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. [[José Luis Sérsic]]
| 1982-1983
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1984-1995
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Juan José Clariá Olmedo
| 1995-1998
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Gustavo J. Carranza
| 1998-2002
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Luis Ambrosio Milone
| 2002-2005
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Emilio Lapasset
| 2005-2011
|-
! style="background:#efefef;"| Dr. Diego García Lambas
| 2011 - Actual
|}

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{cita libro
| título = Enrique Gaviola y el Observatorio Astronómico de Córdoba. Su impacto en el desarrollo de la ciencia argentina.
| autor = Omar Bernaola |Bernaola, Omar
| editorial = Saber y Tiempo
| id = ISBN 987-98946-0-X
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Uranometría Argentina 2001, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Paolantonio Santiago y Minniti Edgardo
| editorial = SECyT/OAC Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 987-43-3817-2
| año = 2001
}}
* {{cita libro
| título = Córdoba Estelar, Historia del Observatorio Nacional Argentino.
| autor = Minniti Edgardo y Paolantonio Santiago
| editorial = Observatorio Astronómico - Editorial Universidad Nacional de Córdoba, Córdoba
| id = ISBN 978-950-33-0709-0
| año = 2009
}}

== Enlaces externos ==
* [http://www.oac.uncor.edu/ Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional de Córdoba]
* [http://www.iate.oac.uncor.edu/ Instituto de Astronomía Teórica Experimental, OAC-CONICET]
* [http://www.moa.oac.uncor.edu/ Museo Astronómico "Pte D. F. Sarmiento - Dr. B. A. Gould"]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/ Historia de la Astronomía]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/verarticulo/Visita_a_la_Estacion_Astrofisica_de_Bosque_Alegre.html Visita a la Estación Astrofísica de Bosque Alegre]
* [http://www.espacioprofundo.com.ar/foros/about472.html ESTACIÓN ASTROFISICA DE BOSQUE ALEGRE]
* [http://historiadelaastronomia.wordpress.com/2008/12/14/reinauguran-bosque-alegre/ La Estación Astrofísica de Bosque Alegre nuevamente en función]
* [http://www.unc.edu.ar/institucional/unidades/bosquealegre Estación Astrofísica de Bosque Alegre]

[[Categoría:Observatorios astronómicos de Argentina|C]]
[[Categoría:Córdoba (Argentina)]]

Darcs

2010-08-19T19:48:46Z

200.16.16.13: version

{{Infobox Software
| Logo =
| Screenshot =
| Beschreibung = 
| Hersteller = David Roundy und andere
| AktuelleVersion = 2.4.4
| AktuelleVersionFreigabeDatum = 23. Mai 2010
| Betriebssystem = [[Unix]], [[Linux]], [[BSD]], [[Mac OS X]], [[Microsoft Windows|Windows]]
| Kategorie = verteilte [[Versionsverwaltung]]
| Lizenz = [[GNU General Public License|GPL]]v2 ([[Freie Software]])
| Deutsch = nein
| Website = [http://darcs.net/ darcs.net]
}}

'''Darcs''' ''(Darcs advanced revision control system)'' ist ein System zur verteilten [[Versionsverwaltung]] von Softwareprojekten und wurde von David Roundy geschrieben. Im Gegensatz zum populären [[Concurrent Versions System|CVS]] oder [[Subversion (Software)|SVN]] kennt Darcs kein zentrales Quelltextarchiv. Jede Kopie des Ordners mit dem Darcs Projekt stellt ein eigenständiges „[[Repository]]“ dar. Kern von Darcs sind die „Patches“ (engl. für [[Flicken]], Ausbesserung, vgl. [[Patchwork]]), mit denen die Unterschiede zwischen den einzelnen Versionen repräsentiert und die verschiedenen Repositories auf denselben Stand gebracht werden. Unter bestimmten Umständen kann die Reihenfolge der „Patches“ geändert werden bzw. Änderungen durch einzelne Patches zurückgenommen werden.

Typischerweise erstellt man eine lokale Kopie eines Archivs mit dem Befehl ''get'', führt die Änderungen durch und erstellt mit dem Befehl ''record'' einen „Patch“, den man mit ''push'' oder ''send'' an andere Archive weitergibt, dies kann auch über E-Mail erfolgen. Mit ''pull'' kann man Patches von weiteren Archiven holen und so das lokale Archiv aktualisieren.

Darcs wurde in [[Haskell (Programmiersprache)|Haskell]] geschrieben und greift für die Datenübermittlung auf bewährte Technologien wie [[Secure Shell|SSH]], [[HTTP]] und [[E-Mail]] zurück. Für die Datenübermittlung via HTTP bietet sich das in [[Python (Programmiersprache)|Python]] geschriebene [[darcsweb]] an, welches sich als CGI an die gängigen Webserver anbinden lässt.

Im Unterschied zu allen anderen Versionsverwaltungen verwaltet Darcs nicht einen Baum von Revisionen, sondern Patches und Abhängigkeiten zwischen diesen. Aus der gleichen Menge Patches lassen sich so viel mehr denkbare Revisionen generieren, etwa indem Patches weggelassen werden. Das geht bei Darcs im Prinzip überall, bei herkömmlichen Versionsverwaltungen kann immer nur der letzte Patch wieder entfernt werden.

== Weblinks ==
* [http://darcs.net/ Darcs-Homepage] (engl.)
* [http://darcs.net/manual/ Darcs-Benutzerhandbuch] (engl.)
* [http://blitiri.com.ar/p/darcsweb/ Darcsweb] (engl.)

[[Kategorie:Freie Versionsverwaltungssoftware]]
[[Kategorie:Repository]]
[[Kategorie:Haskell (Programmiersprache)]]

[[el:Darcs]]
[[en:Darcs]]
[[fi:Darcs]]
[[fr:Darcs]]
[[pl:Darcs]]
[[ru:Darcs]]
[[sv:Darcs]]
[[uk:Darcs]]