Koerzitive Funktion

2008-03-27T19:47:37Z

132.230.12.116:

In der [[Mathematik]] wird eine reellwertige [[Funktion]] als '''koerzitiv''' (oder '''koerziv''') bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen unendlich streben, wenn die Eingabewerte gegen unendlich streben.

== Definition ==
Sei <math>\left(X, \left\|.\right\|\right)</math> ein [[normierter Raum]] und <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math>.
Die Funktion <math>f</math> heißt '''koerzitiv''', falls für alle Folgen <math>\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset X</math> mit <math>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left\|x_n\right\| = \infty</math> gilt: <math>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = \infty</math>

== Motivation ==

Im Allgemeinen nehmen [[Stetigkeit|stetige]] Funktionen auf nicht-[[Kompakter Raum|kompakten]] Mengen kein [[Extremwert|Minimum]] oder [[Extremwert|Maximum]] an, z.B. realisiert <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^3</math> das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv.
<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2</math> ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum (<math>0 = g(0)</math>) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei <math>X</math> ein [[Banachraum#Dualer Raum|reflexiver]] [[Banachraum]] und <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:
* <math>f</math> ist schwach [[halbstetig]] von unten und koerzitiv
* <math>f</math> ist [[stetig]], konvex und koerzitiv
Dann nimmt <math>f</math> das Minimum an.

== Weiteres ==

Eine komplexwertige [[Sesquilinearform]] <math>B: X \times X \rightarrow \mathbb{C}</math> wird als '''koerzitiv''' bezeichnet, falls die Funktion <math>x \mapsto B(x,x)</math> reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z.B. im [[Lemma von Lax-Milgram]] Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der [[Koerzitivfeldstärke]] verwechselt werden.

== Literatur ==
* Dirk Werner: ''Funktionalanalysis''. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7


[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

[[en:Coercive function]]

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Koerzitive Funktion