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Diskussion:Negative Binomialverteilung

2005-12-19T16:04:18Z

129.132.67.244:

<font color="red">Fehler im Erwartungswert/Varianz!</font> Bei dieser Definition ist der Erwartungswert r/p.

<strike>Die Polya-Verteilung ist die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung</strike>

Ist nicht die HV, aber auch nicht die neg. BV, sondern die sogenannte Ansteckungsverteilung, noch verquerer als die negative Binomialverteilung.

--[[Benutzer:Philipendula|Philipendula]] 00:59, 14. Aug 2004 (CEST)

Ein schönes Beispiel wäre noch angesagt.

--[[Benutzer:Philipendula|Philipendula]] 01:41, 4. Aug 2004 (CEST)

Philipendula, ich glaube der Erwartungswert war wirklich falsch, das kann man doch nicht so stehen lassen. Ich hab's jetzt ausgerechnet. Aber die Varianz war richtig. In en.wikipedia wird halt eine andere Definition benutzt. Und vielleicht muesste man noch anmerken dass P(X=n) = 0 fuer n < r? [[Benutzer:129.132.67.244|129.132.67.244]] 17:04, 19. Dez 2005 (CET)

Diskussion:Negative Binomialverteilung

2005-12-19T15:53:52Z

129.132.67.244:

<font color="red">Fehler im Erwartungswert/Varianz!</font> Bei dieser Definition ist der Erwartungswert r/p.

<strike>Die Polya-Verteilung ist die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung</strike>

Ist nicht die HV, aber auch nicht die neg. BV, sondern die sogenannte Ansteckungsverteilung, noch verquerer als die negative Binomialverteilung.

--[[Benutzer:Philipendula|Philipendula]] 00:59, 14. Aug 2004 (CEST)

Ein schönes Beispiel wäre noch angesagt.

--[[Benutzer:Philipendula|Philipendula]] 01:41, 4. Aug 2004 (CEST)

Philipendula, ich glaube der Erwartungswert war wirklich falsch, das kann man doch nicht so stehen lassen. Ich hab's jetzt ausgerechnet. Aber die Varianz war richtig. In en.wikipedia wird halt eine andere Definition benutzt. [[Benutzer:129.132.67.244|129.132.67.244]] 16:53, 19. Dez 2005 (CET)

Negative Binomialverteilung

2005-12-19T15:50:52Z

129.132.67.244: /* Eigenschaften der negativen Binomialverteilung */ Erwartungswert korrigiert, bevor du nochmals revertest bitte nachrechnen

Die '''negative Binomialverteilung''' (auch '''Pascal-Verteilung''') ist eine diskrete [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]].

Die negative Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um in einem [[Bernoulli-Prozess]] eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen. Sie ist ein Speziallfall der [[Panjer-Verteilung]].

==Herleitung der negativen Binomialverteilung==

Man könnte diese Verteilung mit Hilfe des Urnenmodells mit Zurücklegen beschreiben: In einer Urne befinden sich zwei Sorten Kugeln (dichotome Grundgesamtheit). Der Anteil der Kugeln erster Sorte beträgt p. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel erster Sorte gezogen wird, beträgt also p.

Es wird nun so lange eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt, bis erstmalig genau r Kugeln erster Sorte resultieren. Man kann eine Zufallsvariable X: "Zahl der Versuche, bis erstmals r Erfolge resultieren" definieren. Da r vorgegeben ist, variiert man die Zahl n der Versuche und erhält als Ausprägungen von X die Menge {r; r + 1; ... n, ...}. X hat abzählbar unendlich viele Ausprägungen.

Wie berechnet sich P(X = n)?

Es sollen zum jetzigen Zeitpunkt bereits n - 1 Versuche stattgefunden haben. Es wurden insgesamt r - 1 Kugeln erster Sorte gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird durch die Binomialverteilung der Zufallsvariablen Y: "Zahl der Kugeln erster Sorte bei n - 1 Versuchen" angegeben:

:<math> P(Y = r-1) = {{n-1} \choose {r-1}} p^{r-1}(1-p)^{n-1-(r-1)} .</math>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nun eine weitere Kugel erster Sorte gezogen wird? Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist einfach

:<math> P(X = n)=P(Y = r-1) \cdot p ,</math>

so dass sich für die negative Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeitsfunktion

:<math> P(X = n)={{n-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{n-r} ,</math>

angeben lässt.

==Eigenschaften der negativen Binomialverteilung==

Erwartungswert und Varianz der negativen Binomialverteilung sind

:<math> E(X) = \frac{r(1-p)}{p} + r\,</math> und <math> \,\operatorname{V}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}.</math>

Ein Spezialfall der negativen Binomialverteilung für r = 1 ist die [[geometrische Verteilung]]. Hier interessiert man sich für die Zahl der Misserfolge, bis erstmals Erfolg auftritt.

==Beispiel: Bei wie viel Skatspielen gewinnt Paula das 10. Spiel?==

[[Bild:NegBV.png|400px|thumb|Wahrscheinlichkeitsfunktion der Negativen Binomialverteilung]]

Die Studentin Paula spielt heute Abend Skat. Aus langer Erfahrung weiß sie, dass sie bei jedem 5. Spiel gewinnt. Gewinnen ist folgendermaßen definiert: Sie muss zunächst ein Spiel durch Reizen bekommen, dann muss sie dieses Spiel gewinnen.

Da sie morgen um acht Uhr Statistik-Vorlesung hat, soll der Abend nicht zu lang werden. Deshalb hat sie beschlossen, nach dem 10. gewonnenen Spiel nach Hause zu gehen. Nehmen wir an, dass ein Spiel etwa 4 Minuten dauert (großzügig gerechnet). Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann sie nach zwei Stunden nach Hause gehen, also nach 30 Spielen?

Wir gehen mit unseren Überlegungen analog zu oben vor:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie in 29 Spielen 9 mal gewonnen? Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung, in Begriffen des Urnenmodells bei 29 Versuchen und 9 Kugeln erster Sorte:

:<math>P(Y=9)={29 \choose 9}0,2^9 \cdot 0,8^{20}=0,0591.</math>

Die Wahrscheinlichkeit, den 10. Gewinn beim 30. Spiel zu machen, ist nun

:<math>P(X=30)=0,0591 \cdot 0,2=0,0118.</math>

[[Bild:NegBVFx.png|400px|thumb|Verteilungsfunktion der Negativen Binomialverteilung]]

Diese Wahrscheinlichkeit scheint nun sehr klein zu sein. Die Grafik der negativ binomialverteilten Zufallsvariablen X zeigt, dass insgesamt die Wahrscheinlichkeiten sehr klein bleiben. Wie soll da das arme Ding Paula jemals ins Bett kommen? Wir können sie beruhigen: Es genügt ja, danach zu fragen, wie viel Versuche Paula höchstens braucht, es müssen ja nicht genau 30 sein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 30 Versuche nötig sind, ist die Verteilungsfunktion F(x) der negativen Binomialverteilung an der Stelle x=30, was hier die Summe der Wahrscheinlichkeiten P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=30) ergibt. Ein Blick auf die Grafik der Verteilungsfunktion zeigt: Wenn Paula mit einer 50%igen Wahrscheinlichkeit zufrieden ist, müsste sie höchstens ca. 50 Spiele absolvieren, das wären 50*4min = 200 min = 3h 20 min. Um mit einer 80%igen Wahrscheinlichkeit ihre 10 Gewinne zu bekommen, müsste sie höchstens ca. 70 Spiele spielen, also knapp 5 Stunden. Vielleicht sollte Paula doch ihre Strategie der Spielezahl ändern.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

[[en:negative binomial distribution]]
[[it:Variabile casuale Binomiale Negativa]]

Negative Binomialverteilung

2005-12-16T16:42:34Z

129.132.67.244: falsch

Die '''negative Binomialverteilung''' (auch '''Pascal-Verteilung''') ist eine diskrete [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]].

Die negative Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um in einem [[Bernoulli-Prozess]] eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen. Sie ist ein Speziallfall der [[Panjer-Verteilung]].

==Herleitung der negativen Binomialverteilung==

Man könnte diese Verteilung mit Hilfe des Urnenmodells mit Zurücklegen beschreiben: In einer Urne befinden sich zwei Sorten Kugeln (dichotome Grundgesamtheit). Der Anteil der Kugeln erster Sorte beträgt p. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel erster Sorte gezogen wird, beträgt also p.

Es wird nun so lange eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt, bis erstmalig genau r Kugeln erster Sorte resultieren. Man kann eine Zufallsvariable X: "Zahl der Versuche, bis erstmals r Erfolge resultieren" definieren. Da r vorgegeben ist, variiert man die Zahl n der Versuche und erhält als Ausprägungen von X die Menge {r; r + 1; ... n, ...}. X hat abzählbar unendlich viele Ausprägungen.

Wie berechnet sich P(X = n)?

Es sollen zum jetzigen Zeitpunkt bereits n - 1 Versuche stattgefunden haben. Es wurden insgesamt r - 1 Kugeln erster Sorte gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird durch die Binomialverteilung der Zufallsvariablen Y: "Zahl der Kugeln erster Sorte bei n - 1 Versuchen" angegeben:

:<math> P(Y = r-1) = {{n-1} \choose {r-1}} p^{r-1}(1-p)^{n-1-(r-1)} .</math>

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nun eine weitere Kugel erster Sorte gezogen wird? Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist einfach

:<math> P(X = n)=P(Y = r-1) \cdot p ,</math>

so dass sich für die negative Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeitsfunktion

:<math> P(X = n)={{n-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{n-r} ,</math>

angeben lässt.

==Eigenschaften der negativen Binomialverteilung==

<strike>Erwartungswert und Varianz der negativen Binomialverteilung sind </strike> falsch, die gelten fuer eine andere Definition

:<math> E(X) = \frac{r(1-p)}{p}\,</math> und <math> \,\operatorname{V}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}.</math>

Ein Spezialfall der negativen Binomialverteilung für r = 1 ist die [[geometrische Verteilung]]. Hier interessiert man sich für die Zahl der Misserfolge, bis erstmals Erfolg auftritt.

==Beispiel: Bei wie viel Skatspielen gewinnt Paula das 10. Spiel?==

[[Bild:NegBV.png|400px|thumb|Wahrscheinlichkeitsfunktion der Negativen Binomialverteilung]]

Die Studentin Paula spielt heute Abend Skat. Aus langer Erfahrung weiß sie, dass sie bei jedem 5. Spiel gewinnt. Gewinnen ist folgendermaßen definiert: Sie muss zunächst ein Spiel durch Reizen bekommen, dann muss sie dieses Spiel gewinnen.

Da sie morgen um acht Uhr Statistik-Vorlesung hat, soll der Abend nicht zu lang werden. Deshalb hat sie beschlossen, nach dem 10. gewonnenen Spiel nach Hause zu gehen. Nehmen wir an, dass ein Spiel etwa 4 Minuten dauert (großzügig gerechnet). Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann sie nach zwei Stunden nach Hause gehen, also nach 30 Spielen?

Wir gehen mit unseren Überlegungen analog zu oben vor:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie in 29 Spielen 9 mal gewonnen? Wir berechnen diese Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung, in Begriffen des Urnenmodells bei 29 Versuchen und 9 Kugeln erster Sorte:

:<math>P(Y=9)={29 \choose 9}0,2^9 \cdot 0,8^{20}=0,0591.</math>

Die Wahrscheinlichkeit, den 10. Gewinn beim 30. Spiel zu machen, ist nun

:<math>P(X=30)=0,0591 \cdot 0,2=0,0118.</math>

[[Bild:NegBVFx.png|400px|thumb|Verteilungsfunktion der Negativen Binomialverteilung]]

Diese Wahrscheinlichkeit scheint nun sehr klein zu sein. Die Grafik der negativ binomialverteilten Zufallsvariablen X zeigt, dass insgesamt die Wahrscheinlichkeiten sehr klein bleiben. Wie soll da das arme Ding Paula jemals ins Bett kommen? Wir können sie beruhigen: Es genügt ja, danach zu fragen, wie viel Versuche Paula höchstens braucht, es müssen ja nicht genau 30 sein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 30 Versuche nötig sind, ist die Verteilungsfunktion F(x) der negativen Binomialverteilung an der Stelle x=30, was hier die Summe der Wahrscheinlichkeiten P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=30) ergibt. Ein Blick auf die Grafik der Verteilungsfunktion zeigt: Wenn Paula mit einer 50%igen Wahrscheinlichkeit zufrieden ist, müsste sie höchstens ca. 50 Spiele absolvieren, das wären 50*4min = 200 min = 3h 20 min. Um mit einer 80%igen Wahrscheinlichkeit ihre 10 Gewinne zu bekommen, müsste sie höchstens ca. 70 Spiele spielen, also knapp 5 Stunden. Vielleicht sollte Paula doch ihre Strategie der Spielezahl ändern.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

[[en:negative binomial distribution]]
[[it:Variabile casuale Binomiale Negativa]]